2. DEĞİŞKEN KATSAYILI LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM

SİSTEMLERİNİN TAYLOR SERİSİ YARDIMIYLA YAKLAŞIK

ÇÖZÜMÜ

Yüksek mertebeden değişken katsayılı diferansiyel denklem sistemleri ile fizik,

mühendislik ve matematiğin birçok dalında karşılaşılır. Bu tip denklem sistemlerinin

analitik çözümlerini bulmak genelde zordur. Bu nedenle yaklaşık çözüm

yöntemlerine gerek duyulmaktadır.

Bu bölümde normal form ve standart formdaki değişken katsayılı diferansiyel

denklem sistemlerinin Taylor serisi yardımıyla yaklaşık çözümleri araştırılmıştır.

2.1. Normal Formdaki Değişken Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem

Sisteminin Taylor Serisi Yardımıyla Yaklaşık Çözümü

Bu kısımda, s bilinmeyenli birinci mertebeden değişken katsayılı normal formdaki

(2.1.1)

lineer diferansiyel denklem sistemi ile

(2.1.2)

koşullarından oluşan problem ele alınacaktır. Burada ,

fonksiyonları aralığında n. mertebeden

türevlenebilir fonksiyonlar ve ( m=1,2,...,s) uygun sabitlerdir.

28

2.1.1. Materyal ve Metot

(2.1.1) denklem sisteminin

,

(2.1.3)

noktasında N. dereceden bir Taylor polinomu olarak çözümü aransın. (2.1.1)

denklem sisteminin (2.1.3) formunda bir çözümünü elde etmek için (2.1.1)

sisteminin t’ye göre n kez türevi alınırsa,

(2.1.4)

elde edilir. Leibnitz kuralına göre iki fonksiyonun çarpımının n. mertebeden türevini

veren

(2.1.5)

Leibnitz formülü yardımı ile

(2.1.6)

29

sistemi elde edilir. Bu, , (i=1,2, ... ,s ; n=0,1,2,...,N) gibi s.(N+1) bilinmeyen

katsayısı için s.(N+1) lineer denklemden oluşan bir sistemdir. Burada ,

sırasıyla t=c noktasında , bilinmeyen fonksiyonların z. mertebeden

türevlerinin değerlerini gösterir, ( p = 0,1; i,j = 1,2,...,s ; z = 0,1,...,n ; n = 0,1,2,...,N).

Genellikle (2.1.6) sistemi, verilen problemin çözümü için direkt olarak

kullanılmayabilir. Fakat bu bir temel bağıntıdır. Eğer başlangıç şartları olarak

(m=1,2, ... ,s) verilirse (2.1.6) bağıntısından bilinmeyen katsayılar

kolayca hesaplanır.

(2.1.1) sistemi ve (2.1.2) başlangıç koşullarından oluşan en genel problemin çözümü

için (2.1.5) sisteminin matris formu yazılırsa,

(2.1.7)

elde edilir. (2.1.6) sistemindeki matrisler,

, , ... ,

(2.1.8)

, , ... ,

formundadır. (2.1.7) sistemindeki,

30

(2.1.9)

şeklindedir. (2.1.9)’deki , (i,j=1,2,...,s; n,m=0,1,...,N)’nin elemanları,

şeklinde yazılabilir.

(2.1.10) sisteminde <0 için

olup j<0 ve j>i için , (i, j, Z) dır.

31

O halde

p < m-1 (p=0,1,...,N-2) ; m=2,3,...,N) için

olur.Böylece (2.1.7) sistemi

WY=F (2.1.11)

gibi tek bir matris denklemine indirgenir. Buradaki Y ve F matrisleri

ve W matrisi

(2.1.12)

şeklinde olup, bu matrisin içindeki matrisleri aşağıdaki gibidir.

32

(2.1.2) koşullarına karşılık gelen matris formları aşağıdaki gibi bulunurlar. (2.1.3)

ifadesi ve onun türevleri matris denklemlerine denktirler.

, (m=1,2,...,s) (2.1.13)

Buradaki (2.1.8)’de tanımlanmıştır. (2.1.13)’deki denklemler

kullanılarak ifadeleri aşağıdaki gibi yazılabilir.

33

Burada h=a-c ve k=b-c’dir.

(2.1.1) denkleminde (2.1.14) ifadelerini yerine koyup gerekli sadeleştirmeler

yapılırsa (2.1.2) denkleminde tanımlanan matris formları,

,..., (2.1.15)

olur. (2.1.15)’deki denklemleri daha açık bir şekilde yazarsak,

(2.1.16)

(2.1.17)

(2.1.18)

olur. Buradaki ’ler, (2.1.2) denklemindeki

(2.1.14) denklemindeki h ve k katsayılarına bağlı sabitlerdir.

Sonuç olarak (2.1.11) matris denklemindeki matrislerinin son satırlarına

sırasıyla (2.1.16)’daki satır matrisleri tekrar yerine konursa

, (2.1.19)

elde edilir. Benzer şekilde ve matrislerinde de son satırlarına sırasıyla

(2.1.17)’deki ve satır matrisleri yerine konursa,

34

, (2.1.20)

elde edilir. Benzer şekilde ve matrislerinde de son k satırlarına sırasıyla

(2.1.18)’deki ve satır matrislerini yerine koyarsak,

, (2.1.21)

elde edilir. Bu elde edilen (2.1.19), (2.1.20), (2.1.21)’deki matrisleri (2.1.11) nolu

denklemde yerine yazılırsa,

(2.1.22)

matris denklemi elde edilir. Bu matris denklemi açık olarak

şeklinde yazılabilir. Eğer ise

(2.1.23)

olarak yazılabilir.

Böylece (2.1.23) denklemi yardımı ile bilinmeyen , (i=1,2,...,s ; k=0,1,2,...,N)

katsayıları belirlenmiş olur. Bu değerler (2.1.3)’de yerine konulursa

, ( ; m = 1,2, ... ,s ; )

Taylor polinomları elde edilmiş olur. Böylece (2.1.1) diferansiyel denklem

sisteminin (2.1.2) koşulları altındaki (m=1,2,...,s) çözümü bulunmuş olur

(Yalçınbaş, S. & Demirbaş, M., 2001 s. 175-188).

35

2.2. k. Mertebeden s Bilinmeyenli Standart Formdaki Değişken Katsayılı

Lineer Diferansiyel Denklem Sisteminin Taylor Serisi Yardımıyla

Yaklaşık Çözümü

Bu kısımda, Taylor yöntemi geliştirilerek k. mertebeden s bilinmeyenli standart

formdaki değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemine uygulanmıştır. k.

mertebeden s bilinmeyenli değişken katsayılı standart formdaki

ya da kısaca

şeklinde verilen lineer diferansiyel denklem sistemi ile

36

(2.2.2)

koşullarından oluşan problem ele alınacaktır. Burada ,(i,j=1,2, ... ,s ;

p=0,1,2, ...,k) fonksiyonları aralığında n. mertebeden türevlenebilir

fonksiyonlar ve (i,j=0,1,2,3,...,k-1 ; m = 1,2,3,...,s) uygun

sabitlerdir.

2.2.1. Materyal ve Metot

(2.2.1.) denklem sisteminin

,

(2.2.3)

noktasında N. dereceden bir Taylor polinomu olarak çözümü aransın. (2.2.1)

denklem sisteminin (2.2.3) formunda bir çözümünü elde etmek için (2.2.1)

sisteminin t’ye göre n kez türevi alınırsa,

37

(2.2.4)

elde edilir. (2.1.5)’deki Leibnitz formülü yardımı ile

sistemi elde edilir. Bu, , (i=1,2,3,...,s ; n=0,1,2,...,N) gibi (N+1)(N+1)

bilinmeyen katsayısı için (N+1)(N+1) lineer denklemden oluşan bir sistemdir.

Burada , sırasıyla t=c noktasında , bilinmeyen fonksiyonların

z. mertebeden türevlerinin değerlerini gösterir, (p=0,1,...,k ;

i,j=1,2,3,...,s ;z=0,1,...,n ; n=0,1,...,N).

Genellikle (2.2.5) sistemi, verilen problemin çözümü için direkt olarak

kullanılmayabilir. Fakat bu temel bağıntıdır. Eğer başlangıç şartları olarak

38

(m=1,2,3,...,s ; i=0,1,...,k-1) verilirse (2.2.5) bağıntısından bilinmeyen

katsayılar kolayca hesaplanır.

(2.2.1) sistemi ve (2.2.2) başlangıç koşullarından oluşan en genel problemin çözümü

için (2.2.5) sisteminin matris formu yazılırsa yazılırsa,

(2.2.6)

şeklinde elde edilir. (2.2.6) sistemindeki matrisler,

(2.2.7)

formundadır. (2.2.6) sistemindeki,

(2.2.8)

şeklindedir.

(2.2.8)’deki , (i,j=1,2,3,...,s ; n,m=0,1,...,N)’nin elemanları,

39

(2.2.9)

40

dür. (2.2.9) sisteminde <0 için

olup j<0 ve j>i için , (i,j, Z) dır.

O halde

n < m-k (n=0,1,...,N-(k+1) ; m=k+1,k+2,...,N) için

Şimdi (2.2.6) sistemini

WY=F (2.2.10)

gibi tek bir matris denklemine indirgeyelim. Buradaki Y ve F matrisleri

,

ve W matrisi

41

(2.2.11)

şeklinde olup, bu matrisin içindeki (i,j=1,2,...,s) matrisleri aşağıdaki gibidir.

42

(2.2.2) koşullarına karşılık gelen matris formları aşağıdaki gibi bulunurlar. (2.2.3)

ifadesi ve onun türevleri matris denklemlerine denktirler.

(2.2.12)

Buradaki (2.2.7)’de tanımlanmıştır. (2.2.12)’deki denklemler

kullanılarak (n=0,1,2,...,k-1) ifadeleri aşağıdaki gibi

yazılabilir.

Burada h=a-c ve k=b-c dir.

43

(2.2.1) denkleminde (2.2.13) ifadelerini yerine koyup gerekli sadeleştirmeler

yapılırsa (2.2.2) denkleminde tanımlanan matris formları

, , ,..., (2.2.14)

olur. (2.2.14)’deki denklemleri daha açık bir şekilde yazarsak,

(2.2.15)

(2.2.16)

(2.2.17)

olur. Buradaki ’ler, (2.2.2) denklemindeki

(m=1,2,...,s ; i=0,1,...,k-1 ; j=0,1,...,N) ile (2.2.13) denklemindeki h ve k katsayılarına

bağlı sabitlerdir.

Sonuç olarak (2.2.10) matris denklemindeki matrislerinin son k

satırlarına sırasıyla (2.2.15)’deki (i=0,1,...,k-1) satır matrisleri tekrar

yerine konursa

, (2.2.18)

elde edilir.

(2.2.10) matris denklemindeki ve matrislerinde de son k satırlarına sırasıyla

(2.2.16)’daki ve (i=0,1,2,...,k-1) satır matrisleri yerine konursa,

44

, (2.2.19)

elde edilir.

İşlemlere devam edersek, son olarak ve matrislerinde de son k satırlarına

sırasıyla (2.2.17)’deki ve (i=0,1,2,...,k-1) satır matrisleri yerine konulursa,

, (2.2.20)

elde edilir. Bu elde edilen (2.2.18), (2.2.19), (2.2.20)’deki matrisleri (2.2.10) nolu

matrisi denklemde yerine yazılırsa,

(2.2.21)

matris denklemi elde edilir. Bu matris denklem açık olarak

şeklinde yazılabilir. Eğer ise

(2.2.22)

olarak yazılabilir.

45

Böylece (2.2.22) denklemi yardımı ile bilinmeyen , (i=1,2,...,s ; k=0,1,2,...,N)

katsayıları belirlenmiş olur. Bu değerler (2.2.3)’de yerine konulursa

, ( ; m= 1,2,...,s ; )

Taylor polinomları elde edilmiş ve böylece (2.2.1) diferansiyel denklem sisteminin

(2.2.2) koşulları altındaki (m=1,2,...,s) çözümü bulunmuş olur (Yalçınbaş, S. &

Demirbaş, M., 2001 s. 175-188).

3. BULGULAR

Örnek 3.1.1.

normal formdaki değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemi

koşulları ile göz önüne alınsın. Bu diferansiyel denklem sisteminin çözümü ilk olarak

c=0 ve N=4 için aşağıdaki gibi incelenebilir.

İlk olarak (2.2.11)’deki W matrisi (2.2.9) yardımıyla bulunur. Daha sonra (2.2.15) ve

(2.2.16) ’dan koşullarla ilgili ifadeler bulunup , satır matrisleri sırası ile W

matrisindeki matrislerinin son satırları silinip yerine yazılarak matrisi,

benzer şekilde matrislerinin son satırları silinip yerine

değerleri sırası ile yazılarak matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.

46

Burada olduğundan (2.2.22) denklemi, yani

denklemi ile katsayıları

olarak bulunur. Böylece bu katsayılar (2.2.3)’de yerine konularak problemin yaklaşık

çözümü

olarak elde edilir. Bu bulunan çözümlerin tam çözümle karşılaştırılması aşağıdaki

tabloda incelenmiştir.

Tam çözüm Tam çözüm Şimdiki metot:Taylor metodu

c=0, N=4

Şimdiki metot:Taylor metodu

c=0, N=4

0 -0.5 0.60653 1.60650 0.75264 1.60130

1 -0.4 0.67032 1.67030 0.80228 1.67130

2 -0.3 0.74082 1.74080 0.85907 1.74550

3 -0.2 0.81873 1.81870 0.92405 1.82500

4 -0.1 0.90484 1.90480 0.99828 1.91130

5 0 1.00000 2.00000 1.08280 2.00570

6 0.1 1.10520 2.10520 1.17870 2.10950

7 0.2 1.22140 2.22140 1.28690 2.22400

8 0.3 1.34990 2.34990 1.40860 2.35050

9 0.4 1.49180 2.49180 1.54470 2.49040

47

10 0.5 1.64870 2.64870 1.69640 2.64490

Örnek 3.1.2.

normal formdaki lineer diferansiyel denklem sistemi

koşulları ile göz önüne alınsın. Lineer diferansiyel denklem sisteminin çözümü c=0

ve N=4 alarak aransın.

Burada

olup, ilk olarak (2.2.11)’deki W matrisini (2.2.9) yardımıyla bulunur. Daha sonra

(2.2.15), (2.2.16) ve (2.2.17)’dan koşullarla ilgili

ifadeleri elde edilir.

W matrisindeki matrislerinin son satırları silinip yerine

satır matrisleri sırası ile yazılarak matrisi, benzer şekilde de

matrislerinin son satırları silinip yerine değerleri

sırası ile yazılarak matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.

48

elde edilir.

Burada olduğundan (2.2.22) denklemi, yani

denklemi yardımı ile katsayıları

olarak bulunur. Böylece bu katsayılar (2.2.3)’de yerine konularak (2.2.23)

probleminin çözümü

olarak elde edilir. Bu analitik çözümdür.

Örnek 3.1.3.

49

normal formdaki lineer diferansiyel denklem sistemini

koşulları göz önüne alınsın. Lineer diferansiyel denklem sisteminin çözümü c=0 ve

N=4 alarak aransın.

İlk olarak (2.2.11)’deki W matrisini (2.2.9) yardımıyla bulup, daha sonra (2.2.14),

(2.2.15) ve (2.2.16)’dan koşullarla ilgili

olarak bulunur.

W matrisinde değerleri sırası ile matrislerinin son

satırları silinip yerine yazılarak matrisi, benzer şekilde de

değerleri sırası ile matrislerinin son satırları

silinip yerine yazılarak matrisi

50

formunda elde edilir.

Burada olduğundan (2.2.22) denklemi, yani

denklemleri yardımı ile katsayıları

olarak bulunur. Böylece bu katsayılar (2.2.3)’de yerine konularak (2.2.23)

probleminin çözümü

olarak elde edilir. Bu analitik çözümdür.

Örnek 3.1.4.

51

ikinci mertebeden standart formdaki değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem

sistemi

koşulları ile göz önüne alınsın. Lineer diferansiyel denklem sisteminin çözümü c=0

ve N=4 alarak aransın.

İlk olarak (2.2.11)’deki W matrisini (2.2.9) yardımıyla bulunur. Daha sonra (2.2.15),

(2.2.16) ve (2.2.17)’deki koşullarla ilgili ifadeler bulunup W matrisinde

matrislerinin son satırları silinip yerine

değerleri sırası ile yazılarak matrisini, benzer

şekilde de matrislerinin son satırları silinip yerine

değerleri sırası ile yazılarak

matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.

Burada olduğundan (2.2.22) denklemi, yani

52

denklemi yardımı ile katsayıları

olarak bulunur. Böylece bu katsayılar (2.2.3)’de yerine konularak (2.2.23)

probleminin çözümü

olarak elde edilir. Bu bulunan çözümlerin gerçek çözümle karşılaştırılması aşağıdaki

tabloda incelenmiştir.

Tam çözüm Tam çözüm Tam çözüm

Şimdiki metot:

Taylor metodu

c=0, N=4

Şimdiki metot:

Taylor metodu

c=0, N=4

Şimdiki metot:

Taylor metodu

c=0, N=4

0 -0.5 -0.53125 1.5625 0.46875 -0.50000 0.00000 0.50000

1 -0.4 -0.21024 0.40410 0.98976 -0.20000 0.40000 1.00000

2 -0.3 0.09757 0.80073 1.49760 0.10000 0.80000 1.50000

3 -0.2 0.39968 1.20010 1.99970 0.40000 1.20000 2.00000

4 -0.1 0.69999 1.60000 2.50000 0.70000 1.60000 2.50000

5 0 1.00000 2.00000 3.00000 1.00000 2.00000 3.00000

6 0.1 1.30000 2.40000 3.50000 1.30000 2.40000 3.50000

7 0.2 1.60030 2.80010 4.00030 1.60000 2.80000 4.00000

8 0.3 1.90240 3.20070 4.50240 1.90000 3.20000 4.50000

9 0.4 2.21020 3.60410 5.01020 2.20000 3.60000 5.00000

10 0.5 2.53130 4.01560 5.53130 2.50000 4.00000 5.50000

4. TARTIŞMA VE SONUÇ

Bu çalışmada ilk olarak, Fredholm ve Volterra integral denklemlerin yaklaşık

çözümlerini bulduran Taylor metodu incelenmiştir. Daha sonra bu Taylor metodu ile

53

değişken katsayılı normal formdaki lineer diferansiyel denklem sistemleri ile yüksek

mertebeden değişken katsayılı standart formdaki lineer diferansiyel denklem

sistemlerinin yaklaşık çözümlerinin bulunabileceği gösterilmiştir.

Yöntem, verilen diferansiyel denklem sistemlerindeki denklemlerin her iki tarafının

n kez türevini almaya ve sonra sonuç denklemlerdeki bilinmeyen fonksiyonların

Taylor seri açılımlarının yerine konmasına dayalıdır.

Burada elde edilen lineer cebrik sistem uygun bir yerde kesilerek yaklaşık bir çözüm

bulunmaktadır.

Yöntemin geçerli olabilmesi için

formundaki değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemindeki ,

fonksiyonlarının aralığında n. mertebeden türevlerinin mevcut olması

gerekmektedir. Bu durum sağlandığında t=c ( ) noktası civarında

,

formunda N. dereceden Taylor polinomu bulunabilir. Aksi halde yöntem

kullanılamaz.

Çalışmanın son bölümünde, çeşitli değişken katsayılı lineer diferansiyel denklem

sistemlerinin çözülebildiği görülmüştür. Bu yöntemin ilginç bir özelliği son bölümde

yer alan örneklerden de anlaşılacağı üzere, çözüm fonksiyonlarının polinom olduğu

durumlarda N kesme sınırının yüksek dereceli polinom derecesi ya da daha büyük

değer alınarak analitik çözüme ulaşılmasıdır.

Bu yöntem, Volterra ve Fredholm integral denklem sistemlerine ve integro -

diferansiyel denklem sistemlerine de genişletilebilir.

Ayrıca kısmi diferansiyel ve diferansiyel-cebirsel denklem sistemler ve optimal

kontrol sistemlerinin de bu yöntem ile çözülebileceği düşünülmektedir.

54

5. KAYNAKLAR

Abedzadeh, F. & Pak, R.Y.S.,1995. Horizontal translation and rocking rotation of

a rigid tubular foundation. Geotechnique, 45, 1, 83-94.

55

Agarwal, R.S., Bhargava, R. & Balaji, A.V.S. 1990. Finite elementsolutions of

nonsteady three-dimensional micropolar fluid flow at astagnation-

point. Int. J. Engineering Sci., 28, 8, 851-857.

Aksoy, Y.,1983. İntegral Denklemler. Yıldız Üniversitesi Yayınları,

Cilt:1,Sayı:166.

Andres, J. & Krajc, B., 2000. Bounded solutions in a given set of differential

systems. Journal of Computional and Applied Mathematics, 113, 73-

82.

Bayın, S.Ş., 2000. Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik Yöntemler,

s.249-254.

Bloom, F., 1980. Asymptotic bounds for solutions to a system of damped

integrodifferential equations of elektromanyetic theory. Journal of

Mathematical Analysis and Applications, 73, 2, 524-542.

Bocher, M.,1913. An Introduction to the Study of Integral Equations,

New York.

Büyükaksoy, A. & Alkumru, A.,1995. Multiple diffraction of plane waves by a

soft/hard strip. Journal of Engineering Mathematics, 29, 2, 105-120.

El-Gendi, S.E., 1969. Chebyshev Solution of Differential, Integral and

Integro -Differential Equations, Comp. J., 12, 282-287.

Ezechias, J.,1998. Contribution to the calculation of thick arcs with respect to

shearing strain and extension of the centroid axis. Computers &

Structures, 29, 4, 645-656.

Greenspan, D.,1998. Dynamical simulation of the simplest hydrides. Computers

Math. Applic., 35, 10, 55-62.

Gürgöze, M.,1992. On some series occuring in the theory of vibrations. Int. J.

Math.Educ. Sci. Technol, 23, 3, 493-496.

Holmekar, K.,1993. Global asymtotic stability for a stationary solution of a

system of integro-differential equations describing the formation of

liver zones. SIAM Journal Math. Anal.,24, 1, 116-128.

Kaçar, A., Mamedov, Y.D.,1996. İnce Çubuğu Esneklik Probleminin İki

Yaklaşık Metodla Çözümü, Azerb.Ilm.Akad.-Nin Haber.

Sibernetika ,21-24, (109), 1-11.

56

Kant, T., Varaiya, J. & Arora, H.C.P., 1990. Finite element transient

analysis of composite and sandwich plates based on a refined theory

and implicit time integration schemes. Computers & Structures, 36, 3,

401-420.

Kanwall, R.P., Liu, K.C.,1989. A Taylor Expansion Approach for Solving

Integral Equtations, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 20, (3), 411-414.

Kopeikin, I.D. & Shishkin, V.P.,1984. Integral form of the general solution of

equations of steady-state thermoelasticity. Journal of Applied

Mathematics and Mechanics (PMM U.S.S.R.), 48, 1, 117-119.

Nas, Ş.,Yalçınbaş, S.,Sezer, M., 2000. A Taylor Polynomial Approach for

Solving High-Order Linear Fredholm Integro-Differential Equations,

Int. J. Math. Educ. Scı. Technol., Vol.31, No.2, 213-225.

Pesterev, A.V. & Bergman, L.A., 1997. Response of elastic continuum carrying

moving linear oscillator. Journal of Engineering Mechanics, 123, 8,

878-7.

Pucci, P.,Serrin, J.,1995. Asymptotic stability for ordinary differential

systems with time-dependent restoring potentials. Arch. Rational

Mech. Anal., 132, 3, 207-232.

Rzepecki, B., 1982. On the existence of solutations of infinite systems of

differential and integral-differential equations. Demonstratio

Mathematica, 15, 4, 1087-1099.

Sezer, M., 1992. The Solutions of Certain Classes of Ferdholm Integral

Equations by Means of Taylor Series, Uludağ Üniversitesi Eğitim

Fakülteleri Dergisi, Cilt:VII, Sayı:2, 17-24.

Sezer, M., 1994. Taylor Polynomial Solutation of Volterra Integral

Equations, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol.,25, (5), 625-633.

Sezer, M., 1996. A Method for The Approximate Solutation of The Second-

Order Linear Differential Equations in Terms of Taylor Polynomials,

Int.J.Math.Educ.Sci.Technol., 27, (6), 821-834.

Yalçınbaş, S., Sezer, M., 2000. The Approximate Solutions of High-Order Linear

Volterra- Fredholm Integro-Differential Equations in Terms of Taylor

Polynomials, Applied Mathematics and Computation, 112, 291-308.

57

Yalçınbaş, S., Demirbaş, M., 2001. The Approximate Solutions of High-Order

Linear Differential Equation sytems with variable coefficients in

Terms of Taylor Polynomials, Tools For Mathematical Modelling,

Saint Petersburg, Rusya, 8, 175-188.

Yue, Z.Q. & Selvadurai, A.P.S., 1995. Contac problem for saturated

poroelastic solid. Journal of Engineering Mechanics, 121, 4, 502-512.

Zimmerman, W.R., 1996. Time domain solutations to partial differential equations

using spice. IEEE Transactions on Education, 39 , 4, 563-11.

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı :Mehmet DEMİRBAŞ

Doğum Yeri :Eğirdir

Doğum Yılı :1974

Medeni Hali :Bekar

58

Eğitim ve Akademik Durumu:

Lise 1989-1992 Isparta Şehit Ali İhsan Kalmaz Lisesi (ŞAİK Lisesi)

Lisans 1993-1997 Isparta Süleyman Demirel Üniversitesi

Yabancı Dil :İngilizce

İşşİş Deneyimi:

1998-1999 Denizli-Acıpayam-Kelekçi Atatürk İlköğretim Okulu

Matematik Öğretmeni

1999-2000 Isparta Sütçüler Lisesi Matematik Öğretmeni

2000- ... Isparta Gelendost Şehit Erhan Çakmak İlköğretim Okulu

Matematik Öğretmeni

59