td10 : géométrie … suitevirginie.zampa.free.fr/cours/math-l2/td10-19-20.pdf · 2019. 11....

Métier de l’enseignement et de la formation : Math

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TD10 : géométrie … suite Les TD correspondent à une compilation d’exercices, cours, etc. des sites web indiqués en sitographie.

1 Cours

Droites perpendiculaires / droites parallèles • Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles. • Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles. • Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à

l’autre. Angles

• Un angle plat mesure 180° et un angle droit mesure 90°. • Deux angles sont complémentaires si la somme de leur mesure est égale à 90°. • Deux angles sont supplémentaires si la somme de leur mesure est égale à 180°. • Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure. (1) • Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-

internes (2) sont égaux et deux angles correspondants (3) sont égaux. Réciproquement, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante en formant deux angles alternes-internes (ou correspondants) égaux, alors elles sont parallèles.

Quadrilatères et quadrilatères particuliers Définition : Un quadrilatère est un polygone ayant 4 cotés.

1 Trapèze Définition : Un trapèze est un quadrilatère qui a 2 côtés parallèles. Les côtés parallèles sont appelés les bases.



2 Parallélogramme ¨ Est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. ¨ A ses diagonales qui se coupent en leur milieu ; ses côtés opposés ont même longueur ¨ A ses angles opposés égaux ; deux angles consécutifs sont supplémentaires.

2.1 Losange Définition : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Propriétés : ¨ Les côtés opposés d’un losange sont parallèles. ¨ Les angles opposés d’un losange ont la même mesure. ¨ Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Rectangle Définition : Est un quadrilatère qui a quatre angles droits

Propriétés : ¨ Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles et ont la même longueur. ¨ Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en milieu.

2.2 Carré Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et dont les quatre côtés ont la même longueur. Un carré est donc à la fois un rectangle et un losange.

Propriétés : Un carré étant à la fois un rectangle et un losange, il possède toutes les propriétés des rectangles et des losanges.



Théorème de Thalès

2 Exercices A. Histoires de Pythagore (retour sur les triangles)

1. Dans chaque cas, calculer la longueur du côté manquant sachant que le triangle MNP est triangle en (point de la colonne de gauche).

MN NP MP M 5,76 5,2 N 12,96 59,04 P 549 99

2. Compléter les égalités suivantes en appliquant le théorème de Pythagore aux triangles rectangles de la figure. Donner toutes les solutions possibles

AC2 = BC2 = BD2 = DC2 =

B. Histoires de Thalès 1. Thalès 1

Sur la figure ci-dessous : A ∈[GL], E ∈[GK] et (AE)//( LK) Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs GL et AE.



2. Thalès 2

Sur la figure ci-dessous : D ∈[PK], D ∈[EM] et (PM)//(EK). Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs KD et DM.

3. Thalès 3

Sur la figure ci-dessous : • SE = 5cm, SL =12 cm et GL = 9 cm ; • les points S, E et L sont alignés ; • les points S, A et G sont alignés. Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur AE.

C. Histoire de parallélogramme

Sur la figure ci-dessous, trouve tous les quadrilatères dont tu peux affirmer qu'ils sont des parallélogrammes. Pour chacun, énonce une propriété qui permet de justifier ta réponse. Sachant que (AC) // (BF) et (AB) // (EC)

D. Histoires de construction de parallémogrammes

Dans chaque cas, construis un parallélogramme en respectant les contraintes données. a. LISE tel que LI = 5 cm et IS = 2,5 cm en utilisant l'équerre et la règle graduée. b. MARC tel que MR = 7 cm et AC = 6 cm en utilisant la règle graduée. c. NOAH tel que NO = 3 cm et NA = 8 cm en utilisant le compas et la règle graduée. d. Les parallélogrammes tracés sont-ils les mêmes pour tout le monde ?

E. Histoire de propriétés de rectangle Recopie et complète en justifiant. OV = … ; ET = … ; RVT = … ; OEV = … .

b. Cite tous les triangles isocèles de la figure. c. Cite tous les triangles rectangles de la figure.



F. Histoire de propriétés du carré a. Construis, sur une feuille blanche, un carré NOIR tel que NO = 5,2 cm. b. Place son centre et trace ses axes de symétrie. c. Explique pourquoi NOR = 45°. d. Complète en justifiant.

RNI = … ; OIN = … ; ONI = … .

G. Histoire de faux semblant a. Construis un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère ? b. Construis un quadrilatère qui a quatre angles droits et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère ?

H. Histoire de propriétés du losange Dans chacun des cas suivants, on donne certaines mesures d'un losange ROSE de centre T. Trouve celles qui sont demandées. Justifie tes réponses en appliquant les propriétés du losange

a. On sait que RO = 9,1 cm et ORE = 50°. Que valent les angles OSE et ROS .

b. On sait que RT = 2,8 cm et OE = 4,2 cm. Que valent OT, RS et RTO .

c. On sait que RE = 5,1 cm et RES = 110°. Que valent REO, ROE et ORE .

d. On sait que OR = 5 cm et OSE = 60°. Que valent ORE, SOR, SOE et SEO. Quelle est la nature du triangle OSE ?

I. Histoire de passage d’un quadrilatère à l’autre Sur la figure ci-dessus, on a dessiné un quadrilatère ABCD puis on a tracé les parallèles aux diagonales passant par les sommets A, B, C et D du quadrilatère. Les droites ainsi obtenues se coupent en E, F, G et H.

a. Démontre que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. b. On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Construis une nouvelle figure et démontre que EFGH est un losange. c. On suppose enfin que ABCD est un losange. Construis une nouvelle figure et démontre que EFGH est un rectangle.



J. Histoire de feux a. Construis le parallélogramme FEUX tel que FE = 5 cm, EU = 6 cm et FEU = 50°. b. Trace la perpendiculaire à (FE) passant par F, elle coupe (UX) en R. Trace la perpendiculaire à (UX) passant par U, elle coupe (FE) en G. c. Quelle est la nature du quadrilatère FRUG ? Justifie ta réponse.

K. Histoire de bissectrices a. Construis un parallélogramme ABCD puis les bissectrices (d1) et (d2) respectivement des angles ABC et BAD . Ces droites se coupent en un point U. b. Détermine BAU et ABU sans mesurer d'angle. Quelle est la nature du triangle ABU ? c. Que peut-on en déduire pour les droites (d1) et (d2) ?

L. Histoire de figure dessinée à main levée La figure ci-contre a été réalisée à main levée. RSUT est un parallélogramme. Donne, en justifiant :

a. la longueur TU ; b. la longueur RI où I est le point d'intersection de [RU] et [ST] ; c. la mesure de l'angle RSU ; d. la mesure de l'angle TUS .

M. Histoire de dessins a. Reproduis la figure ci-contre sur ta copie. b. Place le point K tel que le quadrilatère JGKH soit un parallélogramme. c. Place les points M et N tels que GHMN soit un parallélogramme de centre J.

N. Histoire de triangle et de parallélogramme

Sur la figure ci-contre, place : • le point D tel que ABCD soit un parallélogramme, que tu dois tracer ; • le point E tel que AEBC soit un parallélogramme, que tu dois tracer ; • le point F tel que ABFC soit un parallélogramme, que tu dois tracer.



O. Histoire de récréation Hugo et Laura ont construit, à partir du patron ci-contre, trois dés identiques. Ils ont inventé un nouveau jeu, le « quadrigolo » dont la règle est la suivante : a. Lancer les trois dés en même temps. b. Additionner les faces supérieures de chaque dé sachant que : • un quadrilatère rapporte 1 point ; • un triangle rapporte 3 points ; • un parallélogramme rapporte 6 points ; • un rectangle rapporte 10 points ; • un losange rapporte 15 points ; • un carré rapporte 21 points. Hugo lance les trois dés, fait les comptes et dit : « J'ai 82 points ! ». Hugo ne s'est pas trompé et n'a pas triché. Mais qu'y avait-il sur les faces supérieures des trois dés ?

3 Sitographie http://www.ac-grenoble.fr/college/europe.bdp/IMG/pdf/fiche_bilan_6_a_3_cor.pdf https://www.educastream.com/quadrilateres-6eme http://www.maths-rometus.org/mathematiques/maths-college/default.asp?url=http%3A%2F%2Fwww%2Emaths%2Drometus%2Eorg%2Fhtm%2Ftout14%2Ehtm%23Losange https://www.brevetdescolleges.fr/infos/theoreme-de-thales.php http://mathadoc.sesamath.net/Documents/college/4eme/4pyth/f1pyth.PDF http://col58-renecassin.ac-dijon.fr/IMG/pdf/exercices_thales-2.pdf http://www.col-verne-illzach.ac-strasbourg.fr/disciplines/maths/manuels/5eme/manuel_chapitre_5G3.pdf http://tableauxmaths.fr/spip/IMG/pdf/kidimath_ds_5g3.pdf http://soutienscolairelille.e-monsite.com/medias/files/parallelogramme-2.pdf