空間図形と三平方の定理　（その１）

【１】

　(1)　1 辺 4cm の立方体の対角線の長さを求めなさい。

　(2)　右の図のような直方体について次の問いに答えなさい。

　　①対角線 AG の長さを求めなさい。

　　② AP＋PG が最小になるように辺 BF 上に点 P を

　　　おくとき、AP＋PG の長さを求めなさい。

　　③ BC 上に点 Q を、AQ＋QG が最小になるようにおく。

　　　このとき AQ＋QG の長さを求めなさい。

　(3)　右の図のように辺の長さがすべて 4cm の

　　正四角錐があり、頂点 O から底面に下ろした

　　垂線を OH とする。次の問いに答えなさい。

　　①高さ OH を求めなさい。

　　②正四角錐の体積を求めなさい。

　　③正四角錐の表面積を求めなさい。

－1－

4cm

3cm

5cm

E

A

FG

H

CDB

C

O

A B

DH

(4)　右の図のように母線の長さ 8cm、底面の半径が

　　2cm の円錐があります。

　①円錐の高さを求めなさい。

　②円錐の体積を求めなさい。

　③円錐の表面積を求めなさい。

　④右図のように点 A から円錐の側面を通り

　　ひもの長さが最短になるように一周させた。

　　このひもの長さを求めなさい。

(5)右の図のように辺の長さがすべて 6cm の四角錐

　OABCD があります。OA、OB、AD、BC の中点を

　それぞれ、P,Q,R,S とするとき、四角形 PQSR の

　面積を求めなさい。

－2－

A

O

H

A

O

H

C

O

A B

D

H

【2】下の図のように，1辺が cmの立方体

　　　ABCDEFGHと，OA＝OB＝OC＝OD＝ cm

　　　である四角すいOABCDを合わせた立体

　　　OABCDEFGHがある。ことき，次の１，２

　　　の問いに答えなさい。（茨城）

問１ 立体OABCDEFGHの表面積を求めな

　　　さい。

問２　線分OEと線分AGとの交点を Iとする。

　　　このとき，線分AIの長さを求めなさい。

【3】右の図は，底面の正方形の 1 辺が 4 cm，側面

　の二等辺三角形の等しい辺がいずれも 6 cm の

　正四角すいの展開図である。

　この正四角すいの高さを求めよ。(高知)

－3－

【4】下の図Ⅰは，4 つの面が 1 辺の長さ 6 cm の正三角形からなる三角すい OABC であ

り，

　　三角すいの高さを h cm とし，h＝OH とする。図Ⅱは，底面の正三角形 ABC を表した

　　ものであり，AH＝BH＝CH となっている。このとき次の各問いに答えなさい。（沖

縄）

問１ 図Ⅱの∠x の大きさを求めなさい。

問２ 高さ h を求めなさい。

問３ 三角すい OABC の体積を求めなさい。

－4－

【5】下の図Ⅰのように，底面の 1 辺が 4 cm，側面の二等辺三角形の等しい辺がいずれも

　　5 cm の正四角錐 ABCDE があり，この正四角錐の頂点 B から辺 AC を通って頂点 D　　まで，長さが最も短くなるように，ひもをかけます。また，図Ⅱは，この正四角錐の

　　展開図です。このとき，次の１，２の問いに答えなさい。（岩手）

　問１ ひものようすを，展開図に実線でかき入れなさい。

　問２ ひもの長さを求めなさい。

【6】図Ⅰのような，紙でつくった半径 25 cm，中心角 108°のおうぎ形 OAB がある。

を 6 等分した点を，点 A に近い方から，順に C，D，E，F，G とする。

このとき，次の１～４の問いに答えなさい。ただし，円周率は π とし，紙の厚さは考えな

－5－

いものとする。（宮崎）

問１ 図Ⅰにおいて， の長さを求めなさい。

問２ 図Ⅰのおうぎ形 OAB から，図Ⅱのよう

に，

線分 OA と OF，線分 OB と OD が重なるようには

りあわせて，図Ⅲのような円すい

錐の形をした帽子を

つくる。このとき，帽子の高さ h を求めなさい。

問３ 図Ⅳのように，点 A(F)から帽子の側面に

そって，矢印の方向にリボンを，1 回交わるよう

に点 C(G)まで巻く。

このように巻いたリボンの長さが，最も短くなる

ときのリボンの長さを求めなさい。

－6－

図Ⅰ

問４ 図Ⅴのように，図Ⅳの帽子がぴったりと

はいる直方体の箱を，次の①，②の条件をみたす

ように紙でつくる。

①　帽子の点 O，C(G) は，それぞれ直方体の辺

HI，KJ の中点と重なっている。

②　帽子の点 A(F)，E，D(B) は，直方体の内側の

面にくっついている。このとき，直方体の箱の体

積を求めなさい。

【7】図Ⅰのように，AB＝AC の三角柱 ABC－DEF　の辺 AD 上に点 P を PB＝PF となるようにとり，

　点 P と点 B，点 P と点 F をそれぞれ結びます。

　ただし，三角柱 ABC－DEF の側面はすべて長

　方形とします。あとの１～３の問いに答えな

　さい。（宮城）

　問１三角柱 ABC－DEF の辺のうち，直線

　　PF とねじれの位置にある辺をすべて答

　　えなさい。

　問２∠APB＝∠a，∠APF＝∠b とするとき，

　　∠a＋∠b は何度ですか。

問３ 図Ⅱは，図Ⅰにおいて，CF＝4 cm とし，

　線分 BP，PF 上を動く点を Q としたものです。

　点 Q が B から F まで動いたとき，線分 DQ の

　最大となる長さが 5 cm であるとすると，線分

－7－

　DQ の最小となる長さを求めなさい。

【8】右の図は，母線の長さが 6 cm，底面の半径が 1 cm の

　　円すいである。BC は底面の直径であり，AB，AC は

　　母線である。AB 上に AP＝4 cm となる点 P をとり，

　　図のように B から側面に沿って P まで糸を巻きつける。

　　次の１，２の問いに答えなさい。ただし，円周率は π　　とする。（群馬）

問１ この円すいの体積と表面積を求めなさい。

問２　糸の長さが最も短くなるように糸を巻きつけたとき，

　(1)　巻きつけた糸の長さを求めなさい。

－8－

　(2)　巻きつけた糸と AC との交点を Q とするとき，AQ の長さを求めなさい。

【9】下の図は，頂点を O とする角すいの展開図における，もとの角すいの側面にあたる

部分の図であり，1 辺が 4 cm の正三角形が 4 個つながった図形となっている。このとき，

あとの問いに答えなさい。（山形）

(1)　もとの角すいの底面積を求めなさい。

(2)　もとの角すいの体積を求めなさい。

【10】(鹿児島)

－9－

(1) この展開図は，線対称な図形であ

る。対称軸を 1 本かき入れよ。

(2) 側面の 1 つの二等辺三角形の面積

が 12 cm2 であるとき，四角すいの

体積は何 cm3か。

【11】下の図のように，1 辺の長さが 9 cm の立方体 ABCD－EFGH がある。対角線 BH上に

　　BP：PH＝3：1 となる点 P をとり，線分 GP の延長と平面 AEHD との交点を Q とする。

　　このとき，次の１～３の問いに答えなさい｡(新潟)

　問１ 線分 BP の長さを求めなさい。

　問２ △PBE の面積を求めなさい。

－10－

　問３ 線分 GQ の長さを求めなさい。

【12】下の図は，AD // BC の台形 ABCD を底面とする四角柱の展開図であり，AD＝5 cm，

　　CD＝3 cm，∠ADC＝90°で，四角形 DEFG と四角形 EHIF はともに正方形である。

　　このとき，この展開図を点線で折り曲げてできる四角柱について，次の問いに答えな

　　さい。（神奈川）

－11－

問１ この四角柱の体積を求めなさい。

問２ この四角柱において，線分 AI の長さを求めなさい。

【13】右図 4 の立体は，△ABC を 1 つの底面とする三角柱である。この三角柱において，

　

　　∠ACB＝90°，CA＝CB＝8 cm，AD＝6 cm であり，側面はすべて長方形である。

　　このとき，次の１，２の問いに答えなさい。（静岡）

問１ この三角柱の体積を求めなさい。

－12－

　問２　図の三角柱において，点 P は△ABC の辺上を，頂点 A を出発し，頂点 B，頂点 C　　を通って，頂点 A まで動く点である。点 P が辺 AB 上にあり，DP＝11 cm となると

きの，

　　線分 AP の長さを求めなさい。また，点 P が辺 BC 上にあり，DP＝11 cm となるとき

の，

　　線分 CP の長さを求めなさい。

【14】図Ⅰ～図Ⅲにおいて，立体 ABCD－EFGH は AB＝7 cm，AD＝3 cm，AE＝2 cmの直方体である。P は，直線 DH 上にあって D について H と反対側にある点である。

次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は，その形のままでよい。 (大阪)

　問１ 図Ⅰにおいて，P と F とを結んでできる線分 PF の長さが 9 cm であるときの線分

PH　　の長さを求めなさい。

－13－

問２ 図Ⅱ，図Ⅲにおいて，Q は直線 FG 上にあって F について G と反対側にある点である。

P と Q とを結んでできる線分 PQ は辺 AB と交わっている。R は線分 PQ と辺 AB との交

点である。S は H と Q とを結んでできる線分 HQ と辺 EF との交点である。R と S とを

結ぶ。このとき，RS // DH となり，四角形 RSFB は長方形となる。T は直線 PA と直線

HE との交点である。B と Q，T と Q とをそれぞれ結ぶ。このとき，四角形 ETQF は長

方形となる。また，AB // TQ となり，四角形 ATQB は長方形となる。

　(1) 図Ⅱにおいて，RB＝x cm とし，そのときの線分 PH の長さを y cm とする。

　　　0 ＜ x ＜ 7 として，y を x の式で表しなさい。

(2)　図Ⅲは，RB＝2 cm であるときの状態を示している。図Ⅲにおいて，

　　①　線分 QF の長さを求めなさい。

　　②　三角柱 ATE－BQF は平面 PHQ によって二つの立体に分けられる。その二つの

　　　立体のうち，点 T をふくむ方の立体の体積を求めなさい。

－14－

【15】図Ⅰにおいて，立体 ABCDEF－GHIJKL は

底面が正六角形で側面がすべて合同な長方形の六

角柱であり，GH＝8 cm である。P は正六角形

ABCDEF の対称の中心であり，Q は正六角形

GHIJKL の対称の中心である。このとき，直線

PQ は二つの底面に垂直になる。O は，直線 PQ上にあって OP＝PQ となる点のうち Q と異なる

点である。3 点 A，H，C，3 点 C，J，E，3 点

E，L，A をそれぞれ結ぶ。AG＝a cm とする。

　図Ⅰ中の六角柱を使い，三つの四面体

BAHC，DCJE，FELA をそれぞれ直線

－15－

AC，CE，EA を軸として回転させ，3 点

B，D，F を点 P に重ねるとき 3 点 H，J，L は点

O の位置で重なる。図Ⅱは，そのときにできる

立体を示しており，図Ⅱ中の H，J，L は，三つ

の四面体を回転させる前の点の位置を表してい

る。

　図Ⅱにおいて，O は平面 AHC，CJE，ELA 上に

あり，四角形 OAHC，OCJE，OELA は合同なひ

し形になる。次の問いに答えなさい。(大阪)

問１ 図Ⅱにおいて，G と Q とを結んでできる四角形 OAGQ は，AG // OQ の台形になる。

△AGH の内角∠GAH の大きさを b°とするとき，台形 OAGQ の内角∠OAG の大きさを b

を用いて表しなさい。

問２ 図Ⅱにおいて，ひし形 OAHC が正方形になるときの a の値を求めなさい。

問３ 図Ⅰ中の六角柱の体積と図Ⅱの立体の体積とは等しい。

そこで，次に，表面積について考える。図Ⅰ中の六角柱の表面積を S cm2とし，図Ⅱ

の立体の表面積を T cm2とするとき，a＝3 の場合の S－T の値を求めなさい。

【16】図 1，図 2 のように，8 つの点 A，B，C，D，E，F，

　　G，H を頂点とする直方体 ABCDEFGH があり，

　　AB＝AD＝ cm，AE＝8 cm である。辺 AE の

　　中点を M，線分 BD の中点を N とするとき，次の

　　問いに答えなさい。(長崎)　問１　4 つの点 A，B，D，M を頂点とする三角錐

　　ABDM の体積は何 cm3か。

－16－

　問２　三角形 BDM はどんな形の三角形か。その名称を答えよ。

　問３　線分 MN の長さは何 cm か。

問４ 図のように，頂点 A から 3 点 B，D，M をふくむ

平面にひいた垂線とこの平面との交点を P とすると，

直線 AP は，辺 CG と交わっている。直線 AP と辺 CG と

の交点を Q とするとき，次の(1)，(2)に答えよ。

　(1)　線分 CQ の長さは何 cm か。

　(2)　線分 AP と線分 PQ の長さの比を最も簡単な整数の

　　　比で表せ。

解答・解説

【1】

　(1)4 cm 切り口で対角線を調べる。あるいは(対角線)2＝(縦)2＋(横)2＋(高さ)2　(2)①5 cm　　② 3 cm 展開図で手前の面と右の面を見る。

　　③ 4 cm 展開図で上の面と右の面を見る。

　(3)①2 cm 二等辺三角形 OAC で調べる。

　　② cm3 四角錐の体積＝底面積×高さ÷3

　　③ 16 ＋16(cm2) 四角錐の表面積＝正方形＋三角形×4　(4)①2 cm

－17－

　　② cm3　

　　③ 20πcm2　側面積 16π＋底面積 4π　　④ 8 cm 展開図で側面の中心角は 90 度。1：1： の直角三角形ができる。

　(5) cm2　台形を描き、高さを調べる。高さは cm

【2】　問１ 10＋ 　(cm2)　 問２ 　(cm)

　解説　問１ 表面積は△×4枚＋□×5枚

× × ×4＋ ×5＝10＋ (cm2)

　 問２　　O,A,E,G,C を通る切り口を書き出す。O から EG へ下ろした垂

線と AC、

EG の交点を P、Q とすると、合同な三角形や相似な三角形ができる。

【3】 cm

【4】問１　∠x＝120°　問２　h＝ 　cm　問３　 　cm3　

　解説　問２ H から AB に垂線 HD をひく。∠AHD＝120÷2＝60°より，

　　　　AH＝ AD＝ ×3＝ (cm)　よって，h2＋( )2＝62より h ＝ (cm)問３ DH＝ AH＝ (cm)　よって，求める体積は， × ×AB×CD×OH

　　　　　　＝ × ×6× × ＝ (cm3)

【5】問１　 問２ 　cm

－18－

　問２　AC と BD の交点を H とおく。AC⊥BD より，AB2－AH2＝BC2－CH2　AH＝x cm

　　　とすると， 52－x2＝42－(5－x)2　x＝ (cm)　

　　　よって，BD＝2BH＝ ＝ (cm)

【6】

　問１　 ＝15π　cm　

　問２　h＝ 　cm　

　問３　 　cm　

　問４　 　cm3

　解説　　問１ 2π×25× ＝15π(cm)

問２　できた円錐の底面の半径を r とすると，円周の関係より，2πr＝ ×15π　

　r＝5(cm)　よって，h＝ ＝ ＝ (cm)問３　最短のリボンの長さは，展開図のおうぎ形の弦 AG になる。

　中心角 108°× ＝90°より　AG＝25× ＝ (cm)

問４　面 HIJK と向かい合う面を XYZW とおき，XY，ZW の中点をそれぞれ P，Q とす

る。PE＝x cm とおくと，EQ＝25－x(cm)となる。PO＝CQ だから，三平方の定理より，

　　252－x2＝102－(25－x)2　これを解いて，x＝23(cm)　　　よって，JZ＝CQ＝ ＝ 　

　　したがって，立体の体積は， ×10×25＝ (cm3)

【7】

　問１　AB，BC，BE，DE　 問２　180 度　 問３ cm

　解説　問３ DQ が最大となるのは，Q が B と一致するとき。よって，DB＝5cm　

　　△BED において，三平方の定理より，DE＝ ＝3(cm)　DQ が最小となるの

は，　DQ⊥BF のとき。DF＝DE＝3cm，BF＝ ＝ (cm)だから，QF＝xcmと

－19－

　おくと，BD2－BQ2＝DF2－QF2より，52－( －x)2＝32－x2　x＝ (cm)　

　よって，DQ＝ ＝ (cm)

【8】 問１(体積)　 π　(cm3)，(表面積)　7π　(cm2)

問２　 　(cm) 問３　 　(cm)

　解説　問２ (1)　側面のおうぎ形の中心角は，360°×2π× × ＝60°

　→展開したときに B と重なる点を B とし，B から AB に垂線 AH をひくと，

△AB H において，AH：AB ：B H＝1：2： 　

AB ＝6cm より，AH＝3cm，B H＝3 cm　よって，巻きつけた糸の長さは，

B P＝ ＝ ＝2 (cm)

(2)　BB と AC との交点を D とすると，AD＝ BD＝ × ＝3 (cm)　

△APB で，AP：PQ＝AB ：B Q　B Q＝xcm とすると，

4：(2 －x)＝6：x　6(2 －x)＝4x　x＝

QD＝ ＝ (cm)　よって，AQ＝3 － ＝ (cm)

【9】(1) 16　(cm2) (2) 　(cm3)

【10】(1) (2) 　(cm3)

－20－

【11】問１　 　cm 問２　 　cm2 問３　 　cm

　解説　問２ BE＝ ×9＝ (cm)　よって，△BEH＝ ×9× ＝ 　

ここで，BP：PH＝3：1 より，△PBE＝ △BEH＝ × ＝ (cm2)問３ 直線 BH，GQ をふくむ平面は平面 ABGH なので QH // BG　

よって，BG：QH＝BP：PH　→　 ：QH＝3：1　QH＝ ＝ (cm)

　△QGH で，三平方の定理より，GQ＝ ＝ ＝3 (cm)

【12】問１　36cm3 問２　 cm　解説　問１　四角形 DEFG と四角形 EHIF は正方形より，BC＝HE＝EF＝DE＝3cm　

よって，求める体積は， ×(3＋5)×3×3＝36(cm3)

問２　I は台形 ABCD と合同なもうひとつの底面の頂点 B に対応する頂点と重な

る。　　よって，四角柱において，AI＝ ＝ (cm)

【13】問１　192cm3　 問２　AP＝ cm、CP＝ cm　解説　問１　三角柱の体積は，△ABC×AD＝ ×8×8×6＝192(cm3)

問２　(1)　点 P が AB 上にあるとき，△ADP で AP＝ ＝ (cm)　　　点 P が BC 上にあるとき，CP＝x cm とすると，△ACP で，AP2＝x2＋82　

　　△PAD で，AP2＝112－62 よって，x2＋82＝112－62、x2＝21、x＝CP＝

(cm)

【14】問１　 cm　 問２(1) y＝ 　(2)① (cm)　② (cm3)

　解説　問１　△EHF で三平方の定理より，HF＝ ＝ (cm)　

－21－

　　△PHF で三平方の定理より，PH＝ ＝ (cm)問２(1) 立体 ABCD－EFGH は直方体だから SF // HGだから　QS：QH＝SF：HG ア

また，RS // DH だから QS：QH＝RS：PH イ

ア、イより　SF：HG＝RS：PH ウ

四角形 RSFB は長方形だから　RS＝BF＝2 (cm)，SF＝RB＝x (cm)　エ

立体 ABCD－EFGH は直方体だからHG＝AB＝7 (cm) オ

ウ、エ、オより　x：7＝2：y　だから　xy＝14x ＞ 0 だから，これを y について解くと y＝

(2)　①　AE // PH より，TE：TH＝AE：PH　TE＝QF，EH＝3cm，

　　AE＝2cm，PH＝ ＝7(cm)より，QF：(QF＋3)＝2：7　2(QF＋3)＝7QF

　　5QF＝6　QF＝ (cm)

②　求める体積は，(三角柱 ATEBQF)－(四角錐 QRSFB)　＝ ×2× ×7－ ×2×2× ＝ － ＝ (cm3)

【15】問１ 180－b 度　問２　 　問３　72－

　解説　問２　直線 GI と直線 HQ との交点を M とすると，△GHM は GH＝8(cm)，∠GMH＝90°，∠GHM＝60°の直角三角形だから　GM＝ GH＝ (cm)

だから　GI＝2GM＝ (cm)、AC＝GI だから　AC＝ (cm)ひし形 OAHC が正方形のとき，△AHC は HA＝HC の直角二等辺三角形だから

AH＝ AC＝ (cm)　△AGH で AH2＝AG＋GH2→ ( )2＝a2＋82a＝

問３　△PAB は 1 辺が 8cm の正三角形。P から AB に垂線 PR をひく。

　　PR＝ AR＝ (cm)　　　正六角形 ABCDEF の面積は，6× ×8× ＝ (cm2)　

　　S＝ ×2＋8×3×6＝ ＋144(cm2)…①　

　△BAC において，B から AC に垂線 BN をひくと，△ABN は，∠ABN＝60°の

　直角三角形だから，AN＝ AB＝ ×8＝ (cm)　

　AC＝2AN＝2× ＝ (cm)　

－22－

　△AGH は直角三角形だから，AH＝ ＝ (cm)　　△HAC は，HA＝HC の二等辺三角形だから，H と N を結ぶと，∠ANH＝90°　三平方の定理より，HN＝ ＝5(cm)　

よって，T＝6× ＋ ×3×8×6＋ × ×5×6＝ ＋72(cm2)…②　

①，②より，S－T＝ ＋144－( ＋72)＝72－ (cm2)

【16】 問１　12cm3　問２　二等辺三角形　問３　5cm　

問４(1) cm　　(2) AP：PQ＝8：17

　解説　問４　(2)PN：CQ＝AN：AQ　 ： ＝3：AQ　 AQ＝ 　AQ＝ (cm)　

よって，AP：PQ＝ ： ＝ ： ＝8：17

－23－