TÉCNICAS PERT/CPM DE REVISIÓN Y EVALUACIÓN DE

PROYECTOS - Consideraciones de probabilidad en la

programación del proyecto. - Consideraciones de costo en la

programación de proyectos.

Program Evaluation and Review Technique(PERT) Los tiempos de duración de una actividad pocas veces

se conocen una precisión de 100% de seguridad. Es una técnica usada para estimar la duración de un

proyecto cuando hay un alto grado de incertidumbre acerca de la estimación individual de la duración de las actividades.

PERT trata la duración de una actividad individual y del proyecto como variables aleatorias.

Los tiempos de duración de una actividad son obtenidos con el enfoque de estimación de tres tiempos (distribución de probabilidades unimodal beta).

Distribución de probabilidades de las actividades

El enfoque de estimación de tres tiempos provee la duración para cada actividad.

Se usa la siguiente notación:o : tiempo optimista de duraciónm : tiempo mas probable de duraciónp : tiempo pesimista de duración

Las aproximaciones para la media y la desviación estándar y varianza de una actividad se basa en la distribución beta

22

6;

6

64

opop

pmo

Distribución de probabilidades de las actividades (distribución beta)

4 7 8 16 Tiempoo m μ p

Estimado del tiempo de actividad esperado

Estimado de la Varianza del tiempo de actividad

86

)16()7(4)4(

22

6

op

46

)4()16( 2

EjemploIdentifica

dor Descripción O M P Predecesoras inmediatas

A Diseño del prototipo del modelo 76 86 120 Ninguna

B Compra de materiales 12 15 18 A

C Manufactura del prototipo del modelo 4 5 6 B

D Revisión del diseño 15 18 33 G

E Producción de lote inicial 18 21 24 D

F Entrenamiento general del Staff 16 26 30 A

G Entrenamiento del Staff en el prototipo del modelo 10 13 22 C, F

H Entrenamiento del personal de ventas 24 18 32 D

I Pre-producción de la campana de publicidad 22 27 50 A

J Producción de la campana de publicidad 38 43 60 D, I

Cálculo de las medias y varianzas

Actividad Optimistao

Mas probablem

Pesimistap

Media (μ)(o+4m+p)/6

DesviaciónEstándar(p-o)/6

Varianza[(p-o)/6]2

A 76 86 120 90 7.33 53.78

B 12 15 18 15 1.00 1.00

C 4 5 6 5 0.33 0.11

D 15 18 33 20 3.00 9.00

E 18 21 24 21 1.00 1.00

F 16 26 30 25 2.33 5.44

G 10 13 22 14 2.00 4.00

H 24 18 32 28 1.33 1.78

I 22 27 50 30 4.67 21.78

J 38 43 60 45 3.67 13.44

78.53)33.7(33.76/)76120(

906/120)86(476

22

AA

A

Suposiciones de PERT El camino crítico puede ser determinado usando la media de las

duraciones de las actividades. La duración del proyecto es determinado por la duración de las

actividades en la ruta critica. El tiempo de duración de una actividad es independiente de la

duración de cualquier otra actividad. Existen suficientes actividades en el camino critico de manera que

la distribución de todo el proyecto puede ser aproximada por la distribución normal.

- Media = Suma de medias de las actividades en la ruta critica

- Varianza = Suma de varianzas de las actividades en la ruta crítica. En caso que existan varias rutas críticas, se elige la de mayor varianza

Cálculo de la ruta críticaA B

inicio terminació

n

C G D E

F

I

H

J

Ruta Max ∑δ²

A 90 53.78 i-A 90 53.78

B 15 1.00 i-A-B 105 54.78

C 5 0.11 i-A-B-C 110 54.89

D 20 9.00 i-A-F-G-D 149 72.22

E 21 1.00 i-A-F-G-D-E 170 73.22

F 25 5.44 i-A-F 115 59.22

G 14 4.00 i-A-F-G 129 63.22

H 28 1.78 i-A-F-G-D-H 177 74.00

I 30 21.78 i-A-I 120 75.56

J 45 13.44 i-A-F-G-D-J 194 85.66

∑t∑μ

crítica

Duración del proyecto La variable aleatoria de la duración del proyecto

tiene una distribución aproximadamente normal. T ~ N (μ, δ). Donde μ es la duración media del proyecto y δ es la desviación estándar

Calculo de μ

Calculo de δ

Además dicha variable aleatoria normal, puede transformarse a otra equivalente Z ~ N(0,1), de la siguiente forma:

i_

)(

)()(_

2

TVariTVar

)1,0(~ NTZ

Probabilidad de concluir el proyecto a tiempo

El camino crítico: A - F- G - D - J. La duración esperada : = 194 La varianza del proyecto: = 85.66 (En caso que existan varias rutas críticas, se elige la de

mayor varianza) La desviación estándar = 9.255 Bajo las suposiciones establecidas anteriormente el

tiempo de duración del proyecto es una variable aleatoria T con una distribución normal de media 194 días y desviación estándar 9.255 días.

T ~ N(194, 9.255).

JDGFA 222222jdGFA

66,852

Cálculo de probabilidades Cuando se hacen consultas de la probabilidad sobre una

fecha deseada de finalización de tipo: "antes de a", "hasta a", "no mas de a" se expresa : P(T ≤ a)

Cuando se hacen consultas de la probabilidad de demora de la duración posterior a una fecha limite de finalización de tipo: "mayor a", "posterior a", "sobre a", se expresa: P(T > a). No hay posibilidad a ≥, por la forma de presentar la tabla norma Z ~ N(0,1)

P(T≤a) P(T>a)

μ a tiempo

Por lo tanto : P(T≤a) + P(T>a) = 1 /evento certeza/ Entonces : P(T > a) = 1 - P(T ≤ a) /evento

complemento/ Siendo T ~ N(μ,δ) a ≠ μ

Cálculo de probabilidades La probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor o

igual que su μ (duración media) es 0.50. Entonces P(T≤μ)=P(T>μ)=0.50

Ejemplo: T ~N(194,9.255).

)1,0(~ NTZ

Tabla de la Curva Normal N(0,1) P(X ≤ x)

Cálculo de probabilidades La tabla Z ~ N(0,1) típicamente solo registran valores

para z positivos, utilizando simetría de los valores z se puede hallar los valores para z negativos.

Ejemplo:

Casos del cálculo de probabilidades de duraciones de proyectosConociendo la distribución T ~ N(μ,δ) y los parámetros

de fechas límites determinar la probabilidad de certeza solicitada.

Caso 1: Probabilidad de que el proyecto tenga una duración mayor que a: P(T > a).

Caso 2: Probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor o igual que b: P(T ≤ b).

Caso 3: Probabilidad de la duración del proyecto dentro de un intervalo [a,b] : P( a ≤ T ≤ b)

Observación: Estos casos se aplican tanto para la duración total del proyecto, o de la duración de un subproyecto formado por las actividades críticas, que forman parte del camino crítico.

)()(2

aZPaTP

Casos del cálculo de probabilidades de duraciones de proyectosConociendo la distribución T ~ N(μ,δ) y la probabilidad

de certeza deseada, determinar los parámetros de fechas limites.

Caso 4: Con una probabilidad de a% conocida, determinar la fecha limite inferior de duración del proyecto: P(T > x) = a%.

Caso 5: Con una probabilidad de b% conocida, determinar la fecha limite superior de duración del proyecto: P(T ≤ x) = b%.

Caso 6: Determinar un intervalo de confianza para T con una probabilidad de c% conocida,: P( x1 ≤ T ≤ x2) = c%

Observación: Estos casos se aplican tanto para la duración total del proyecto, o de la duración de un subproyecto formado por las actividades críticas, que forman parte del camino crítico.

Probabilidad de que el proyecto tenga una duración mayor que a: P(T>a)¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga una duración mayor

a 210 días?

Probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor o igual que b:P(T≤b).¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga una duración menor

o igual que 180 días?

Probabilidad de la duración del proyecto dentro de un intervalo [a,b]: P(a≤T≤b)¿Cuál es la probabilidad de que la duración del proyecto este en una

fecha que se encuentre sobre un día antes y tres días posterior a lo esperado?

¿Cuál es la probabilidad de que la actividad D tenga una duración mayor a 160 días? La duración esperada hasta D: La varianza hasta D: La desviación estándar hasta D : 8.498 Bajo las suposiciones establecidas anteriormente, el

tiempo de duración de la actividad D ( o del proyecto hasta la actividad D) es una variable aleatoria Td con una distribución normal media 149 días y desviación estándar 8.498 días. Td~N(149, 8.498). De igual forma puede trasformarse a otra variable aleatoria normal Z~N(0, 1)

149 DGFA

22.722222 DGFA

Cuál es la probabilidad de que la actividad G tenga una duración menor a 120 días? La duración esperada hasta G : La varianza hasta G : La desviación estándar hasta G : 7.951 Bajo las suposiciones establecidas anteriormente, el

tiempo de duración de la actividad G ( o del proyecto hasta la actividad G) es una variable aleatoria Tg con una distribución normal media 129 días y desviación estándar 7.951 días. Tg~N(129, 7.951). De igual forma puede trasformarse a otra variable aleatoria normal Z~N(0, 1).

P(Tg ≤ 120) = P(Z ≤ (120-129)/7.95) = P(Z ≤ -1.13) = = 1 – P (Z ≤ 1.13) = 0.13

129 GFA 22.63222 GFA

Con una probabilidad de a% conocida, determinar la fecha limite inferior de duración del proyecto : P(T > x) = a%.Se asume que una fecha de finalización mínima

con un 20% de certeza es aceptableP(Z ≤ 0.84) = 0.80 por probabilidad

complementaria y si Z=(x – μ)/σ, entoncesx = 194 + 0.84(9.255) = 201.78 días

Con una probabilidad de b% conocida, determinar la fecha limite superior de duración del proyecto : P(T ≤ x) = b%.Asuma que una fecha de finalización máxima con un 99% de certeza

es aceptable

P(Z ≤ 2.33) = 0.99 Z=(x – μ)/σx = 194 + 2.33(9.255) = 215.56 días

Determinar un intervalo de confianza para T con una probabilidad de c% conocida : P( x1 ≤ T ≤ x2) = c%Hallar un intervalo de duración total del proyecto con una probabilidad

de 90%

P(-Z ≤ (x- μ)/ σ ≤ +Z) = 0.90 ± Z=(x – μ)/σ

Consideraciones de costo en la programación de proyectos

Programación con Reducción de TiemposIdentifica

dor

TiempoNormal

Días

CostoNormal

(miles $)

TiempoUrgente

Días

CostoUrgente(miles $)

ReducciónMáxima

Días

CostoUnitario

Reducción(miles $/día)

A 90 120 70 140 20 1B 15 18 12 21 3 1C 5 6 5 6 0 0D 20 33 15 43 5 2E 21 24 17 30 4 1,5F 25 30 20 35 5 1G 14 22 10 28 4 1,5H 28 32 12 40 16 0,5I 30 50 26 58 4 2J 45 60 35 75 10 1,5

DATOS BASEReducción Máxima = Tiempo Normal - Tiempo UrgenteCosto unitario = ( Costo Urgente – Costo Normal ) / (Reducción Máxima)

Modelo PL para reducción del tiempo de proyectoSe debe resolver: - Qué actividades y en cuanto se puede reducir con la mínima

elevación de costos para que tiempo de terminación del proyecto no exceda un tiempo determinado D.

Modelo de PL:Variables: Xi – reducción de la actividad i (en días) Yi – inicio de la actividad i Yterm – inicio de nodo de terminación (tiempo de proyecto)

Xi, Yi, Yterm ≥ 0Función Objetivo: Minimizar el costo de reducción del tiempo del proyectoMin Z=1*XA+1*XB+0*XC+2*XD+1,5*XE+1*XF+1,5*XG+0,5*XH+2*XI+1,5*XJ

Restricciones: (3 grupos) - de la reducción máxima- de secuencia de las actividades (inicio de las actividades

considerando las relaciones de precedencia)- del tiempo de terminación de proyecto completo

Modelo PL para reducción del tiempo de proyecto

Secuencia: para G (Inicio G) ≥ (Inicio C)+(Duración Nueva C)= (Inicio C)+(Duración C – Reducción C)

YG ≥ YC + (5 - XC) YG ≥ YF + (25 - XF)

A B

inicio

terminación

C G D E

F

I

H

J

Modelo PL para reducción del tiempo de proyecto

Reducción Max:XA ≤ 20XB ≤ 3 XC ≤ 0XD ≤ 5XE ≤ 4XF ≤ 5XG ≤ 4XH ≤ 16XI ≤ 4XJ ≤ 10

Secuencia:YA=0YB ≥ YA+(90-XA)YC ≥ YB+(15-XB)YD ≥ YG+(14-XG)YE ≥ YD+(20-XD)YF ≥ YA+(90-XA)YG ≥ YC + (5 - XC)YG ≥ YF + (25 - XF)YH ≥ YD+(20-XD)YI ≥ YA+(90-XA)YJ ≥ YI+(30-XI)YJ ≥ YD+(20-XD)

Terminación:Yterm ≤ 180 (D dado)Yterm ≥ YE+(21 -XE)Yterm ≥ YH+(28 -XH)Yterm ≥ YJ+(45 -XJ)