tecnologia de la llum - upc universitat politècnica de ......*propagación de la luz en un medio...
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Tecnologia de la llum
1) la naturaleza de la luz y los fenómenos ópticos2) aplicaciones tecnológicas:- fuentes (antenas, incandescencia, luminiscencia, láser)- espejos, lentes, rejillas de difracción, capas antirreflejo- instrumentos ópticos (lupa, el ojo, la cámara, telescopio, microscopio)
[email protected] despacho 11.45 (planta 11)
Consulta: LUN 11-13 y 15-17; MIE 16-18 ; VIE 11-13
- instrumentos ópticos (lupa, el ojo, la cámara, telescopio, microscopio)
- análisis de imagen, técnicas de microscopía, visión humana - semiconductores y optoelectrónica: LED, diodo láser, celdas solares,
fotodiodo, pantallas, CCD- teoría y aplicaciones del láser (holografía, DVD, medicina, materiales…) - fibras ópticas y telecomunicaciones
- si queda tiempo: un vistazo a las aplicaciones futuras: óptica integrada, plasmónica, cristales fotónicos y metamateriales, invisibilidad …
Estructura de la asignatura (1ª mitad)
- Notación compleja- Ondas monocromáticas planas y esféricas- Transformada de Fourier- Interferencia y difracción
1) Introducción: qué es la luz
2) La matemática de las ondas
3) Fuentes de luz- Clasificación de las fuentes electromagnéticas- Antenas- Fuentes luminiscentes- Fuentes luminiscentes- Fuentes incandescentes (cuerpo negro)
4) Los fenómenos ópticos
Evaluación:
- Interacción microscópica con la materia: emisión, absorción y esparcimiento- Luz en un aislante o conductor, scattering plasma y Rayleigh, velocidad de fase y de grupo- Reflexión y refracción
5) Óptica geométrica e instrumentos ópticos
0,2 EvC + 0,2 TEST + 0,2 informe + 0,4 EF
40% 40%20%
� Siglos XVII y XVIII:1609: Galileo desarrolla y usa el telescopio para mirar la luna, Júpiter, los astros1676: Rømer demuestra que la luz se propaga con velocidad finita ( c ≈ )1690, 1704: Controversia Huygens – Newton: ¿ luz = onda o partículas?
� 1801: experimento de la doble rendija de Young (interferencia)
18102.2 −⋅ ms
¿Qué es la luz? (TEMA 1)
� 1808: Malus describe el comportamiento de la polarización de la luz (onda trasversal)� 1845: Faraday encuentra que un campo magnético puede variar la polarización de la luz
que se propaga en un material � relación luz – magnetismo ?� 1850 y 1862: Primero Fizeau y luego Foucault remiden c. El 2º encuentra � 1873: Maxwell descubre que sus ecuaciones predicen la existencia de
ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío
181098.2 −⋅ ms
⇒⇒⇒⇒Utilizando la identidad vectorial: se obtiene la:
Velocidad depropagación:
( )( )27132212 1041085.81 −−−−− ⋅⋅= mkgCkgmCsc π
Ec. de Maxwell
(en el vacío)
18
00
100.31 −⋅== mscµε
)sin(),( 0ϕω +−= kxtAtxy0
1 22
=−ydyd soluciónEn 1D:
Ecuación deondas e.m.
Luz : onda electromagnética
01
01
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂
∂−∇
=∂
∂−∇
t
B
cB
t
E
cE
rr
rr
1-4
)sin(),( 0ϕω +−= kxtAtxy0
1222
=−dt
yd
cdx
yd soluciónparticular
En 1D:
En 3D k e y son vectores:
t
BE
B
E
∂
∂−=×∇
=⋅∇
=⋅∇
rrr
rr
rr
0
0
)sin(),( 0ϕω +⋅−= rktAtrYrrrrr
⇒⇒⇒⇒ EBBkEkrrrrrr
⊥⊥⊥ , ,
Er
Bv
kr
� las ondas e.m. son transversales� la dirección de E se llama polarización de la luz� el módulo de B de una onda e.m. vale B = E/c
1-1,1-2,1-6
En un medio no conductor semitransparente (p.ej. aire, vidrio)
00 εεε r→
n
ccv
rr
===εµεε 00
1
000 µµµµ ≈→ r
⇒⇒⇒⇒ ( )vcn r == ε
índice de refraccióncon:
con ω/k = λ ν = c
Relaciones constitutivasen un medio lineal e isótropo:⇒⇒⇒⇒
La descripción más simple (y no del todo correcta) de la propagación de una onda e.m. dentro de un material se puede hacer a través de la ecuaciones “macroscópicas” de Maxwell:
=⋅∇
=⋅∇
∂
∂−=×∇
∂
∂+=×∇
c
c
D
B
t
BE
t
DjH
ρrr
rr
rrr
rrrr
0
(con j=0)
2
2
00 y t
DE
t
DB
∂
∂−=×∇×∇
∂
∂=×∇
rrrr
rrr
µµ
*Propagación de la luz en un medio lineal e isótroposin cargas libres ni corrientes (dieléctrico perfecto)
n
ccc
rr
00
00
11===
εµεεEsta es la ecuación de una onda que se propaga con velocidad:
con = índice de refracción rn ε=
Entonces el efecto del medio se resume en una redefinición de la velocidad de la onda y de loscampos E y B . Ya que la energía se conserva, y la energía de un fotón es su frecuencia (a menosde una constante, la frecuencia de la luz no varía básicamente nuncaAl cambiar de medio varía la velocidad de propagación, pero no la frecuencia ⇒ cuando varía
el índice de refracción, tiene que variar la longitud de onda ( ωωωω = const )
=⋅∇ cD ρ
L&C Ej. p. 503
se define en electrostática como “constante” dieléctrica. Si es constante, n también lo es,lo que daría una velocidad de propagación que no depende de la frecuencia. Esto vale sólo paraondas de frecuencias bajas, mientras que para frecuencias ópticas n es una función de ω.
rεrε
Luz : energía electromagnéticaDensidad de energía ( u ) asociada a campos E o B :
LUZ = campo e.m. oscilante ;en el espacio vacío : B = E/c ⇒
Flujo de energía por área unitaria = energía transportada por unidad de tiempo y superficie :Para una onda plana en el espacio vacío:
2
0
2
02
1 ;
2
1BuEu me
µε ==
2
0..
2
02
2
0
2
0
)( 2
1
2
1
2
1tEuuE
c
EBu meem εε
µµ=⇒====
2
00
22
00..
22
00
2
0..2
1)(sin)(sin)( EtEutEtEu meme εωεωεε ==⇒== < > = promedio temporal
En realidad no nos interesa el valor instantáneo: luz visible: λ ∼ 500 nm � ω, ν ∼ 1015 Hz , no se puede medir el valor instantáneo de E , y aún menos el de S !!! Sólo podemos medir valorespromedios en el tiempo de la energía, que denotamos con < u > . Ej.: onda monocromática:
El flujo es en la dirección de k. Vectorialmente puede escribirse:
= vector de Poynting 0µ
BEkS u
rrrr ×
=Φ=
Para una onda plana en el espacio vacío:
La energía promedia que fluye por unidad de tiempo y superficie se llama irradiancia ( I ) , y es igual al valor medio temporal del módulo de . Para una onda e.m. monocromática es:
2
00..2
1 cEucSI me ε=== 1-19
1=A
ctc =∆=l
BErr
,
uememtA ucVuU
cAV
Φ==∆=∆
==∆
=∆= 1,1
l
kr
Sr
Sr
NOTA: la luz transporta no solo energía, sinotambién momento lineal y momento angular
*Teorema de la energía electromagnética
Con la definición de vector de Poynting , la ecuación anterior puede escribirse:
t
BE
∂
∂−=×∇
rrr
Multiplicando escalarmente por E la ecuación de Maxwell , se halla:t
EB
∂
∂=×∇
rrr
0
0
1ε
µ
( )t
EEBE
∂
∂⋅=×∇⋅
rrrrr
0
0
1ε
µ. Por la identidad vectorial , se tiene :( ) ( ) ( )BEEBBE
rrrrrrrrr×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
( ) ( )
×⋅∇+
∂
∂⋅−=×⋅∇+×∇⋅=
∂
∂⋅
0000
0
111
µµµµε
BE
t
BBBEEB
t
EE
rrr
rrrrrrrr
rr
(se ha usado también )
0µ
BES
rrr ×
=
SBt
Ett
BB
t
EE
rrrrr
rr
r⋅∇=
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂⋅+
∂
∂⋅ 2
0
2
0
0
02
1
2
11
µε
µε . Ya que:
magnética energía densidad 1
eléctrica energía densidad 2
1
2
2
0
→
→
B
E
r
rε
tttt ∂∂∂∂ 00 22 µµ magnética energía densidad 2
1 2
0
→Bµ
Sut
em
rr⋅∇=
∂
∂⇒
���� la variación de energía electromagnética (en el vacío) es igual al flujo del vector de Poynting
Sem SdVUt
r
rrΦ=⋅∇=
∂
∂∫ En forma integral (integrando sobre el volumen) :
Skrr
// Una onda e.m. transporta energía en la dirección de propagación
teorema de Poynting (en el vacío)� conservación de la energía electromagnética
Valor medio del módulo del vector de Poynting = irradiancia ( I ) = flujo de energía por área y tiempo unitarios. Onda monocromática :
IcEc
EEBS ==== 2
00
0
2
0 2
1 ε
µµ
Tipos de luz e interacción luz-materia� 1887: Hertz genera y detecta ondas e.m. en el laboratorio (antenas) � 1875-1895: descubrimiento de los rayos X (y luego gamma)� 1896: invención de la radio; primeras “fotos” con rayos X
� Espectro electromagnéticovelocidad c , ondas armónicas: λ ν = c
la frecuencia/longitud de onda están asociadas con el COLOR
� Siglo XIX: descubrimiento que la luz emitida por un gasestá formada de pocos colores
� 1901: Planck introduce la cuantización de la energíade las ondas e.m. para explicar la radiación térmica
LUZ = campo electromagnético variable en el tiempo (onda e.m.), generado por el movimiento de cargas eléctricas, que es emitido o adsorbido en
paquetes discretos de energía
de las ondas e.m. para explicar la radiación térmica� 1905: Einstein explica el efecto fotoeléctrico asociandoa la radiación e.m. de frecuencia ν una energía E = hν
donde h = 6.63 × 10 –34 J s se llama constante de Planck� 1920-1960: desarrollo de la teoría cuántica� 1960: invención del láser
1-17, 1-23 1-7,1-15,1-22
Sabemos que la solución de es . Esta solución funciona si
La matemática de las ondas (TEMA 2) Números complejos: un “juego” matemático muy útil
, porque si no, no sabemos sacar la raíz. P. ej. para las ecuaciones , o
no existe solución. Aún así, “formalmente” se podrían aceptar las soluciones simbólicas
o , ya que p.ej. : ⇒
e igualmente ⇒
02 =++ cbxaxa
acbbx
2
42
2,1
−±−=
042 ≥− acb
042 =+x
122,1 −±=x ( ) ( ) 4141141142
1 ==−⋅−=−⋅−=x
012
1 2 =+− xx
112,1 −±=x
111 −+=x
12 −=x
( ) ( ) ( ) 112112
11211
2
111
2
1
2
1 22
22 −=−+−=
−+−+=−+=x
(así que efectivamente es ). Se utiliza el símbolo para indicar 012
11
2
1 =+− xx i 1−
parte “imaginaria” de z
Un número de la forma , con (o ) se llama
Si aceptamos como válidos números de la forma , entonces el problema quecon números reales no tenía solución, ahora sí la tiene: estamos preguntando si existeun número tal que (de hecho hay dos, y )
1−+=+ baiba
012 =+xiba + ( ) iiba 011
2+−=−=+ i+ i−
211
ibaz += 1−=i
{ }za Re= { }zb Im=
ibaz +=
parte “real” de z
número complejo :
12 −=i
z se puede representar como vector 2D en el “plano complejo”(tal como un número real se puede representar como punto de una recta)También se puede pensar y definir z como el par ordenado (a, b)
Dado el número complejo , se define su “conjugado”como:
Dos números complejos se pueden sumar y multiplicar:
( ) ( ) ( ) ( )dbicaidciba +++=+++
( ) ( ) ( ) ( )adbcibdacidciba ++−=+⋅+
Podemos entonces también elevar a potencia y sacar raíces (en este último caso la operación noes unívoca (p.ej., existen 2 raíces complejas de -1, como existen dos soluciones reales de ).Además podemos definir funciones. La única que nos hará falta es la
92 =x
ibaibaz == +
ibaz +=Del (vector o par ordenado) z podemos definir el módulo y la dirección:
22baz +=
θθ sincosˆ222222
iba
bi
ba
a
ba
iba
z
zz +=
++
+=
+
+==
la representación gráficade z se llama “fasor”( )12 −=i
a
b
ibaz +=ibaz −=*
, o sea: . Integrando pues:
función exponencial compleja:
Si z es real (b=0, z=a), esto es igual a la exponencial real . Para z imaginario (a=0, z=ib) vale la
identidad de Euler :
La identidad de Euler es una relación sorprendente entre exponencial (complejo) y funcionessinusoidales. Para demostrarla, escribimos y tomamos el diferencial (derivamos):
ibaibazeeee == +
ae
bibeib sincos +=
bibq sincos +=
( ) iqdbdbbibibdbibdbdq =+=+−= sincos cossin idbq
dq=
ibeq =
Esto implica que un número complejo puede escribirse como ( ) θθθ iezizz =+= sincos
Un número complejo de módulo 1, de la forma , es una “dirección” en el plano complejoθiez =ˆ
2-3,2-4,2-5Cálculo de cos(2ωωωω), 2-2
Si : es imaginario; poniendo encontramos:
Notación compleja. Veamos ahora la utilidad de la exponencial compleja. En mecánica y electro-magnetismo encontramos ecuaciones diferenciales lineales de la formaBuscamos soluciones del estilo: . Esto da y t
Aetxκ=)( t
eAtxκκ=)(& t
eAtxκκ 2)( =&&
Substituyendo en la ecuación diferencial: , y simplificando , obtenemos: . Las soluciones para son:
02 2
0 =++ xxx ωγ &&&
02 2
0
2 =++ tttAeAeAe
κκκ ωκγκt
Aeκ
02 2
0
2 =++ ωγκκ
Si : es real; se tiene la solución “sobre-amortiguada”:
βγωγγκ ±−=−±−= 2
0
2
2,1
κ
0ωγ > β tteAeAtx
)(
2
)(
1)( βγβγ +−−− +=
0ωγ < β ωβ i=
( )titeAeeAeAtxttitti ωωγωγωγ sincos)(
1
1
)(
11 +=== −−−−
Tomando la parte real de esta solución compleja, se obtieneuna solución oscilatoria (“sub-amortiguada”): teAtx
t ωγ cos)( −=
x
t
0
tAe
γ−
0
tAe
γ−−
1b
�una solución oscilatoria (“sub-amortiguada”): teAtxt ωγ cos)( 11
−= 0Ae−
b b>
Con la notación compleja no sólo podemos encontrar soluciones a ecuaciones de oscilacionesy ondas, o escribir ondas armónicas, sino hacer cálculos de forma sencilla con senos y cosenos:
Calcula la suma : cosθ + cos(θ + α) . (podría ser la interferencia de dos ondas en 1D)
Con la notación compleja, esta cantidad es la parte real de ψ = exp(iθ) + exp[i(θ+α)]
�
Por tanto: cosθ + cos(θ + α) = Re[ψ] = 2cos(α/2)cos(α/2 + θ)
2-6
2-7
Una ventaja de la notación compleja: Una onda armónica se escribe : No hace falta poner explícitamente una fase inicial, porque se puede englobarla en la amplitud:
, donde es la amplitud compleja de la onda
{ })(
0Re),( tkxieEtxE
ω−=
)(
0
)(
0
)(
0
~00 tkxitkxiitkxi
eEeeEeE ωωϕϕω −−+− == 0
00
~ ϕieEE =
Para una onda plana que se propaga en la dirección , los frentes de onda son planos (en 3D), o rectas (en 2D), ortogonales a (dibujo). En 2D un punto P de la onda de coordenadas r = (x,y) y cualquier otro punto sobre la recta que pasa por P paralela a los frentes de onda, tiene lamisma fase que el punto P0 , que está sobre la recta quesale del origen en dirección . Si φ0 es la fase enel origen, la fase en P0 y P es:
siendo λ la longitud de onda. El segmento es la proyección de r sobre , y puede escribirsecomo producto escalar entre estos dos vectores. Así:
Ondas planask̂
k̂
00OP2
ϕλ
πϕ +=
0OP
k̂
ˆ2ϕϕ
πϕ +⋅=+⋅=
rrr
k̂
Aquí se ha definido el vector de onda:
⇒ El campo óptico de una ondaplana es pues (la parte real de):
La dirección de se llama dirección de polarización. La onda se propaga con velocidad(dicha “de fase”), siendo k el módulo del vector de ondakv f ω=
0Er
00ˆ2
ϕϕλ
πϕ +⋅=+⋅= rkrk
rrr
kk ˆ2
λ
π=
r
Onda plana
2-10,2-15 2-11,2-13NOTAS IMPORTANTES:1) Siendo cos(α) = cos(–α), la parte real de una onda compleja no cambia si el exponente (fase
total) cambia de signo. Por convención se pone siempre el signo – delante de ωωωω2) Para calcular la irradiancia: hay que tomar la parte real de E antes de elevar al cuadrado ,
ya que: Re{z2} ≠ (Re{z})2
( ) )](exp[, 00 ϕω +−⋅= trkiEtrErrrrr
Una fuente puntual genera una onda esférica. Cualquier fuente se puede considerar formada porun conjunto de fuentes puntuales ⇒ las ondas esféricas juegan un papel importante en óptica
Tomemos una fuente puntual que oscila de forma armónica, proporcional a
La onda tarda un tiempo r/c para llegar a una superficie esférica de radio r alrededor de la fuente.La fase en todo punto de la superficie esférica al instante t es la misma que la de la fuente altiempo t – r/c, y la intensidad es la misma en cada punto de la esfera. El módulo del campo E encada punto de la esfera es:
Aquí hemos utilizado el módulo del vector de onda:
Para determinar el valor de E(r) . Para ello, consideremos la potencia W emitida por la fuente.
Ondas esféricas
tie
ω−
( ) )](exp[)()](exp[)(, tkrirEcrtirEtrE ωω −=−−=
λπω 2== ck
Para determinar el valor de E(r) . Para ello, consideremos la potencia W emitida por la fuente.Por la conservación de la energía, la potencia que atraviesa una esfera alrededor de la fuente es
independiente del radio, o sea: . Por tanto , siendo
el módulo del campo óptico a una distancia de 1 metro de la fuente. Se obtiene así:
No hemos especificado la dirección del campo E, pero a menudo no hace falta. Una fuentepuntual como un filamento pequeño (a distancia suficiente) no tiene coherencia temporal :la fase y la polarización de la luz emitida varían rápidamente (en un tiempo inferior a 10–9 s), asíque no tiene sentido hablar de una dirección de polarización (hay fuentes puntuales coherentes,p. ej. antenas pequeñas, como veremos en detalle más adelante)
Onda esférica
3-5, 3-73-6
( ) )](exp[, 00 ϕω +−= tkri
r
EtrE
( )r
ErE 0=( ) 2
00
22
2
144 cErrIrW εππ == 0E
*Serie de Fourier real y compleja Cualquier onda periódica se puede escribir como suma de ondas armónicas (síntesis de Fourier):
( )
∫∫
∑
−−
+∞
=
==
=++=
2
2
0
2
2
0
0
1
000
)sin()(T
2 , )cos()(
T
2
:y T
2 con )sin()cos(
2
1)(
T
T
n
T
T
n
n
nn
dttntfbdttntfa
tnbtnaatf
ωω
πωωω
Se puede hacer lo mismo en notación compleja, sólo que aparecen peculiaridades matemáticas.
P. ej. en el caso de una onda cuadrada, la suma de tan sólo los primeros 3 términos es suficientepara obtener el perfil aproximado de la onda!
Más en general, cualquier onda periódica de periodo T puede expresarse como serie de Fourier compleja :
(el factor 1/T es de normalización, como se ve considerando el caso ).Las frecuencias que aparecen en el desarrollo en serie de Fourier de una función periódica forman su espectro de frecuencias . Los coeficientes complejos permiten tener en cuenta del desfase relativo entre las componentes armónicas (fase compleja del coeficiente = desfase).
( ) ( )titititiee
iteet
ωωωω ωω −− −=+=2
1)sin( : tambiéno ;
2
1)cos(
∫∑−
−+∞
−∞=
===2
2
000 )(
T
1y
T
2 con )(
T
T
tin
n
n
tin
n dtetfcectfωω π
ω
1)( 10 =→= cetftiω
Se puede hacer lo mismo en notación compleja, sólo que aparecen peculiaridades matemáticas. La frecuencia o pulsación de una onda es siempre positiva. Sin embargo, en notación compleja necesitamos introducir frecuencias auxiliares negativas y los coeficientes son en general complejos. Ej.:
El espectro de frecuencias es dado por la función amplitud (compleja) A(ω) .Interpretación: las componentes en frecuencia de una onda oscilan con períodos distintos. Supongamos que la onda sea la suma de componentes de frecuencia ω1, ω2, ω3, … :
Cuando multiplicamos la onda por el factor exp( iω t) , la componente a frecuencia ω (y sólo
Se puede hacer algo parecido a una suma de Fourier también con una función no periódica (perofinita y limitada): una tal función resulta en general de la suma de un conjunto continuo defrecuencias, que no son múltiples de una frecuencia fundamental. La generalización de la seriede Fourier al caso continuo es simplemente:
Trasformada de Fourier
...)( 321 ++++= −−− tititiDeCeBeAtf
ωωω
Cuando multiplicamos la onda por el factor exp( iω1t) , la componente a frecuencia ω1 (y sólo ella) “deja de oscilar”, de forma que cuando integramos en el tiempo (que es como promediar en el tiempo), sólo esta componente da una contribución distinta de cero mientras las demás, que siguen oscilando, dan una contribución promedia nula. Así, la integración que define cada coeficiente o la amplitud A(ω) es equivalente a seleccionar la componente de la onda que oscila a una frecuencia determinada (la serie de Fourier se puede considerar como un caso especial de transformada de Fourier). Se demuestra que si la función f(t) es real, A(–ω) = A*(ω), y viceversa. Por lo tanto toda la información sobre el espectro de frecuencia de un pulso (real) ya está contenida en la parte de frecuencias positivas.La relación entre una función f(t) y su espectro en frecuencia F(ν) es, en general, dada por los integrales:
nc
Ejemplos de transformadas de Fourier
Calcula el espectro de frecuencias deun pulso g(t) rectangular dado por:
2-18
2-22 Calcula el espectro de E(x) = U(x)e – ax
Puede calcularse la transformada de Fourier de un pulso temporal (� espectro de frecuenciastemporales ω) o de un perfil espacial (� frecuencias “espaciales”, indicadas con k). En el vacío en 1D da lo mismo, ya que la onda es en tal caso función de la variable “conjunta” vtx ±
2-19,2-21,2-23
2-22 Calcula el espectro de E(x) = U(x)e – ax
Destello (pulso) condecaimiento exponencial
Módulo de F(k) = peso relativo de cada componente de frecuenciaFase de F(k) = desfasamiento relativo de cada componente
superposición de ondas� suma vectorial de E (y B)
CASO 1(a): dos ondas planas de igual frecuenciay polarización, pero distinta dirección:
Interferencia
2-25
1kkkkykkkk
1) ESPACIAL misma frecuencia
2) TEMPORAL frecuencia diferenteINTERFERENCIA :
INTERFERENCIA ESPACIAL
212211
2
21 2 EEEEEEEEEIEEErrrrrrrrrrrr
⋅+⋅+⋅=⋅=∝⇒+=
1I 2I “correlación” entre 1 y 2
)](exp[ , )](exp[ 202101 trkiEEtrkiEE ωω −⋅=−⋅=rrrrrrrr
Con el sistema de referencia dibujado, las componentes x de los vectores de
y
La amplitud en y no depende del tiempo, y se anula en todos los puntos r en que: . Tales puntos forman las franjas de interferenciaLa existencia del patrón de interferencia depende de que
haya una componente antiparalela de los vectores k
El campo total vale:1kkkk
2kkkk
2kkkk
ykkkk
y-kkkkxxxxkkkklas componentes x de los vectores de onda son iguales, y las y opuestas:
x ( ) ( ))(
0
)(
0
)()(
0
)cos(2
21
txki
y
yikyiktxkitrkitrki
x
yyx
eykEE
eeeEeeE
ω
ωωω
−
−−−⋅−⋅
=⇒
+=+rr
rr rrrr
21 EEErrr
+=
)21( += nyk y π
CASO 1(b): si dos ondas de la misma frecuencia se propagan en direcciones opuestas, se obtieneuna onda estacionaria. Si 2 ondas de la misma amplitud se propagan una en la dirección positiva
del eje z (+z), y la otra en –z, su suma es:
Con la ayuda de la notación compleja, se encuentra que la onda resultante tiene la expresión:
Mientras las ondas iniciales tienen amplitud A, su suma (que es una onda estacionaria y nodepende de z – vt) tiene una amplitud dependiente de la posición . El la figura de abajose ven “instantáneas” de la onda estacionaria, en instantes separados por intervalos de tiempode 1/16 del periodo:
2-27, 2-28
Ondas estacionarias
���� 2-26[ ] )exp(cos2)exp()exp()exp(~ tikzAikzikztiA ωωψ −=+−−=
)cos()cos( tkzAtkzA ωωψ −−+−=
kzAcos2
Ondas electromagnéticas estacionarias se dan cerca de superficies reflectoras, p. ej. entre dosespejos planos paralelos. La configuración de dos espejo paralelos es tan importante en ópticaque tiene nombre propio: se le llama cavidad Fabry-Perot . Además de tener otras aplicacionesimportantes en interferometría y espectroscopia, es un elemento constitutivo del láser.
2-27, 2-28
Tomemos dos espejos planos paralelos en aire. La luz entre los espejos será reflejadas muchasveces ante de perder intensidad debido a la atenuación en aire o a la imperfección de losespejos. En general, para una periodo/frecuencia cualquiera del la onda e.m., la superposiciónde todas estas ondas de la misma frecuencia pero fase distinta será destructiva: en cada puntollegan reflexiones con fase arbitraria que se anularan mutuamente. Una onda de dichafrecuencia simplemente no puede existir, entre los dos espejos: si por ejemplo colocamos unafuente puntual de tal frecuencia entre los espejos, la fuente no puede irradiar en la direcciónortogonal a los espejos. Si por otro lado la separación entre espejos L es igual a un múltiplo delperiodo, las ondas reflejadas se solaparan perfectamente a la onda inicial; la frecuenciacorrespondiente sí puede propagarse.
*Cavidades Fabry-Perot y modos de la luz
correspondiente sí puede propagarse.Para describir las propiedades de una cavidad Fabry-Perot de longitud L, considérese la soluciónde las ecuaciones de Maxwell con dirección de propagación ortogonal a los espejos metálicos.Sabemos que en tal caso los campo E y B son paralelos a los espejos. Sin embargo, el campo eléctrico dentro de un metal tiene que ser nulo; esto implica que E es cero en la superficie ydentro los dos espejos. Es decir: E = 0 para z = 0 y z = L . Las únicas ondas (estacionarias)armónicas (sinusoidales) que cumplen esta condición se escriben
( ) ( ) nnn
ti
n ckL
nkzkEtzE n === − ωπω
, , esin, 0
rr
Estas ondas se llaman MODOS de la cavidad
CASO (2): suma de 2 ondas de distinta frecuencia, de pulsación y , ambas de la misma amplitud a. El patrono de interferencia (suma) es:
ωω ∆+ ωω ∆−
La parte real vale:
La resultante es una onda de frecuencia con una modulación sinusoidal de la amplitud, como en el fenómeno de los batidos �Una onda monocromática de frecuencia se propaga a lavelocidad . La modulación tipo “batidos”, o sea la
modulación de amplitud , se mueve con velocidad
ωckv == ω
“batidos” o“palpitaciones”
Interferencia temporal
[ ] [ ] ( ) ( )xktiaeeeaeaeaekxtixktixktikxtixkktixkkti sin2])()[(])()[()()()()( ∆+∆=+=+ −∆−∆−∆−∆−∆−−∆−∆+−∆+ ωωωωωωωωω
( )xkt sin ∆−∆ω
( ) ( )kxtxkta −∆−∆− ωω sin sin2
ω
modulación de amplitud , se mueve con velocidad
, o en el límite :
No existen ondas armónicas infinitas: las ondas reales siempre están limitadas en el tiempo, es decir, tienen una ancho de banda no nulo. Toda onda e.m. es un “paquete” de ondas de distinta frecuencia, que no se propaga a la “velocidad de fase” , sino con velocidad
kvg ∆∆= ω 0→∆ω
dk
dvg
ω=
nckv f == ω
dk
vdkv
dk
kvd
dk
dv
f
f
f
g
)()(+===
ω
En el espacio vacío, la velocidad de fase no depende de k ⇒ la velocidad de grupo es igual a la de fase. (Veremos que en un medio material la velocidad de fase sí depende de la frecuencia: ondas armónicas de frecuencia distinta se propagan con diferente velocidad, y por tanto vg ≠ vf )
Velocidad
de grupogv
( )xkt sin ∆−∆ω
Ocurre difracción cuando una región del frente de onda seobstruye de alguna manera o se altera en forma (amplitudy/o fase). El término se utiliza en al menos tres contextos:
(1) cuando la onda interactúa con medios materiales quebloquean parcialmente su paso. Ej: olas del mar cerca derompeolas; sonido; ondas radio cerca de colinas o edificios
(2) cuando una onda se propaga ensanchándose(incluso en el espacio vacio) :
� no se puede focalizar un haz de luz a
Difracción
λ
(1)
(2)
� no se puede focalizar un haz de luz aun punto: existe un tamaño mínimo
de una onda, dado aproximativamentepor la longitud de onda � “límite de difracción”
� hasta un haz láser se ensancha(pensad en la cara verde de un futbolista cuando los hinchas le apuntan con un puntero láser ...)
(3) cuando la longitud de onda de la luz es comparablecon el tamaño de los componentes (átomos/moléculas,pero también dominios o granos) del material con queinteractúa (es el equivalente ondulatorio de un choque).Difracción de rayos X � información estructura/morfología
λ
(3)
Difracción e interferenciaSon los fenómenos fundamentales de las ondas. La difracción (o esparcimiento) es de hecho labase de muchos fenómenos macroscópicos, como reflexión, refracción y difusión
Muchas veces difracción e interferencia se dan juntas:
� difracción de Bragg y cristalografía
� experimento de Young (naturaleza ondulatoria de la luz)
Veremos que para describiralgunos fenómenos comoel del experimento de Young,es suficiente calcular unatransformada de Fourier
Espectro electromagnético
Clasificación :
1) Electromagnéticas clásicas (antenas, ..)2) Luminiscentes (tiempo típico de decaimiento y
mecanismo de excitación)3) Térmicas (filamentos/materiales incandescentes)
y termonucleares (estrellas como el sol)4) Láser (de emisión estimulada)
Propiedades de una fuente:
- espectro de frecuencias
Fuentes de luz (TEMA 3)
- espectro de frecuencias- grado de coherencia (temporal y espacial)- irradiancia- direccionalidad- tipo y grado de polarización
irradiancia = flujo de energía por unidad de tiempo y superficie == promedio módulo del vector de Poynting
Para luzmonocromática:
2
00
0
..2
1cE
BEScuI me ε
µ==== 3-8, 3-9
Fuentes de luz continuas (“clásicas”)Fuentes de radiación clásica: corrientes, p. ej. la de un dipolo oscilante. ¿Por qué un dipolo eléctrico oscilante genera una onda e.m.? Como corriente, genera un campo B variable en t ; como conjunto de 2 cargas que se desplazan, también genera un campo E variable.Onda producida por una corriente oscilante � Lo más fácil es utilizar el potencial vector A, para luego sacar el campo B. Para hallar A, sólo hay que corregir la expresión para el potencial vector vista en electromagnetismo, introduciendo el tiempo que tarda el campo en propagarse.Las ec. de Maxwell son:
∂
∂−=×∇
=⋅∇
BE
Br
rr
rr0 De la 1ª se tiene que B se puede expresar como . Poniendo esta
expresión en la 2ª se saca :
ABrrr
×∇=
Vt
AE
t
AE ∇−=
∂
∂+⇒=
∂
∂+×∇
rr
rr
rr0
ec. de Gauss ⇒
∂
∂+=×∇
=⋅∇
∂−=×∇
t
EjB
E
tE
o
rrrr
rr
00
0
εµµ
ερ
tt ∂
∂
Tenemos entonces
∂
∂−∇−=
×∇=
t
AVE
ABr
rr
rrr
(la elección de V yno es univoca)A
r
Escribiendo E y B en función de A y V en las 2 últimas ecuaciones de Maxwell se obtiene:
t
V
ct
A
cj
t
E
cjAB oo
∂
∂∇−
∂
∂−=
∂
∂+=×∇×∇=×∇
rr
rr
rrrrrr
22
2
22
111µµ Utilizando , se halla:( )AAA
rrrrrrrr⋅∇∇+∇−=×∇×∇ 2
jt
V
cA
t
A
cA o
rrrrr
rrµ=
∂
∂+⋅∇∇+
∂
∂+∇−
22
2
2
2 11
0
2 ερ=∂
⋅∇∂−∇−=⋅∇
t
AVE
rrrrr
0
2 ερ=∂
⋅∇∂−∇−
t
AV
rrr
lIdjAAtc
rrrr
00
2
2
2
2
1µµ ==∇−
∂
∂t
V
cA
∂
∂−=⋅∇
2
1rrTenemos cierta libertad a la hora de elegir los potenciales V y A . Sus expresiones se simplificanimponiendo la condición de Lorentz: . Las ecuaciones de Maxwell dan así :
0
2
2
2
2
1
ε
ρ=∇−
∂
∂VV
tc
Vemos entonces que y V son solución de una ecuación de d’Alembert no homogénea.El los casos electrostático y magnetostático tales ecuaciones se reducen a las de Poisson:
Ar
Ya conocemos la solución de estas ecuaciones. Para la 1ª :jArr
0
2 µ−=∇0
2
ε
ρ−=∇ V
Ecuaciones para el potencial vector
(la ventaja de escribirlas para V y A es que lasecuaciones para E y B son más complicadas)
y
La solución de la ec. de Poisson con una corriente “puntual” es ,(de la que se puede sacar p.ej. la ley de Biot-Savart:)
0ε
∫ −=
'
)'(
4
1)(
0 rr
dVrrV rr
rr ρ
πεAnálogamente para la 2ª : ∫ −
='
)'(
4)( 0
rr
dVrjrA rr
rrrr
π
µ
( ) lIdr
dVjr
rArrrr
4)0(
4
00
π
µ
π
µ==
De forma análoga, la solución de la ec. de d’Alembert resulta ser ,
rldr
I
r
ldIABd
rrr
rrrr×=×∇=×∇=
3
00
44 π
µ
π
µ
( ) ldc
rtI
rtrA
rrr
−=
4, 0
π
µ
que tiene sentido, pues es la ecuación de una onda esférica! Para un dipolo eléctrico oscilante
, se tiene y por tanto: ( )
dt
pd
dt
lqddld
dt
dqlId
rrrr
===ldtqtprr
)()( = ( )crtdt
pd
rrA −=
rrr
4)( 0
π
µ
Ya que , se ha :
Con en el origen , A está dado por
r aparece 2 veces en A ⇒⇒⇒⇒ tiene 2 términos : uno disminuye con la distancia como
, el otro como 1/r . A grandes distancias del dipolo oscilante domina el segundo,
que está dado por :
2
0 1
rr
p∝×∇
rr
( )
⋅−=
⋅== −
−
r
xe
ci
dx
dr
dr
dfxrf
dx
d
dx
de cricri
ωω ω
)(
( )( )µµω ωω
ˆˆˆ2 crti
ri epp −−r
( ) ( )crtiepk
ricrt
dt
pd
rA
−=−= ω
π
µω
π
µ0
00 ˆ 4 4
rr
ABrrr
×∇=
Dipolo eléctrico oscilante (hertziano)ti
ekptpωˆ)( 0=
r
( )( ) ( )criticrti
rad eker
piekp
ritrB
ωωω
π
µω
π
µω −− ×∇=×∇= ˆ
4ˆ
4),( 00
00
rrrr
A grandes distancias del dipolo oscilante, E y B disminuyen pues como 1/r, mucho menos rápido que el campo B de una corriente estacionaria (1/r2) o el campo electrostático de un dipolo (1/r3 ).� Este hecho es en definitiva lo que permite la telecomunicación por ondas e.m. a grandes distancias.
El campo E correspondiente se halla de , o sea:t
E
cB
∂
∂=×∇
rrr
2
1
( )( )
φφθωπ
µ
π
µω ωωω ˆˆ)sin(
4ˆˆ
4, 20000
2
rad
crtir
ci
ti Br
e
c
perke
r
p
ctrB ==×=
−−r
campo B de radiación
θ̂radrad cBE =r
campo E de radiación
http://ocw.mit.edu/ans7870/8/8.02T/f04/visualizations/light/02-dipoleRadiationReversing/02-SmPointDipole_320.html
Antenas emisoras de dipolo eléctricoCampos de radiación de un dipolo eléctrico oscilante:
La irradiancia y por tanto el flujo de energíadependen del ángulo acimutal θ :
( )
θ
φθω
π
µ
ˆ
ˆ)sin(4
2
0
radrad
rad
cBE
rc
crtpB
=
−=
r
r
( vector de Poynting : )rcB
BEtS radradradrad
ˆ1
)(0
2
0 µµ=×=
rrr
)(sin) 4(2
24
2
2
00 θωπ
µ
rc
pI =
µµ∫
� La irradiancia vale
=== 2
0
2
0
0
2
0
0
22
1radradrad
Bc
Bc
Ec
Iµµµ
lóbulo de radiación dipolar
¿Cómo se “hace” un dipoloeléctrico oscilante? Así :
Antena de media onda. Hicimos el cálculo para una antena puntual, y el resultado encontrado vale para antenas de longitud . Si tenemos en cuenta el tamaño de la antena, resulta que la máxima eficiencia de una antena de dipolo eléctrico que emite a la longitud de onda λ se ha cuando:
En tal caso la potencia radiada es:
2λ=L
λ<<L
2
0 5.36 IW ≈
222
0042
00
12 12ω
π
µω
π
µLI
cp
cIdAW
esfera
=== ∫
3-14, 3-17
3-15, 3-16
L
Radio y telefonía móvilPara la radio se utiliza modulación de frecuencia (FM) o de amplitud(AM). Para la AM se usa la llamada “banda de onda media” entre535 y 1705 kHz . Para la FM se usan las frecuencias entre 87 y 108 MHz
Los móviles funcionan en dos bandas de frecuencia “ultra-alta”
Antenas receptoras. La antena dipolar también se usa como antena receptora. Si la resistencia de la antena es R , la tensión generada por una onda e.m. entre sus extremos es , siendo L la longitud de la antena y la componente del campo E de la onda tangente a la antena (el campo magnético de la onda induce una corriente menospreciable)
LEV T=
TE
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Amfm3-en-de.gif
Aplicaciones
Los móviles funcionan en dos bandas de frecuencia “ultra-alta”(UHF), una cerca de 800 MHz y otra cerca de 1900 MHz.Inicialmente se usaba en modo FM, ahora la modulación esdigital. Para poder seguir el “desplazamiento” de la antena deun móvil o de un car audio, se tiene que utilizar un conjuntode antenas distribuidas en todo el espacio, que utilizan frecuencias ligeramente distintas
Horno de microondasLas microondas tienen frecuencias aún más altas, y se utilizan también para telecos. La frecuencia 2.4 GHz usada en los hornos microondas provoca la excitación del enlace O-H del agua y otras moléculas (2.4 GHz es la frecuencia de resonancia del enlace O-H : se puede pensar a un pequeño muelle entre los dos átomos); la energía cinética luego se disipa como calor.
Otras fuentes clásicasBrehmsstrahlung (fuentes de rayos X)
cátodo
ánodo
rayos X
Sincrotrón (ALBA) (electrones relativistas)
Los cálculos que vimos para el dipolo oscilante significan que cada corriente variable (cada carga acelerada) genera radiación:
⇒ El modelo atómico “clásico”, con uno o más electronesque orbitan alrededor del núcleo, no es estable : un electrónen órbita circular tiene una aceleración centrípeta y radiaría, dibujando un movimiento en espiral alrededor del núcleo, hasta perder toda su energía cinética.(El cálculo hecho a partir de lo que hemos visto hasta aquí da
*Inestabilidad del átomo clásico
)(4
),( 0 crtar
qtrErad −−= ⊥
rrr
π
µ, con = componente de
perpendicular a ar
rr
⊥ar
(El cálculo hecho a partir de lo que hemos visto hasta aquí da un tiempo de vida del átomo de hidrógeno de 10–11 s ! )
¿Por qué son estables los átomos? Porque para ellos no vale la física clásica, sino la cuántica : sólo existen unos cuantos valores posibles de energía (niveles discretos) para un electrón en un átomo; cuando está en el nivel de más baja energía,ya no puede ir a ningún otro
Ecuación de Schrödinger para un electrón (1925):
orbitales = ondas de Schrödinger estacionarias:
Fuentes de luz discretas (descripción cuántica)Descripción cuántica: transiciones entre niveles discretos de energía.
Existen 3 tipos:
(1) emisión espontanea:sp
NNA
dt
dN
τ2
22 −=⋅−=
Sin luz incidente es el único proceso posible. La población
Niveles discretos ⇔ rayasde emisión/absorción
⇔ espectroscopia (1) (3) (2)
s810−≈τ
típicamente:
dt
dnNIB
dt
dN fotones
∗
−=⋅⋅−= 1
*
121(2) absorción:
Sin luz incidente es el único proceso posible. La poblacióninicial del nivel 2 decae con un tiempo característico �
1−= Aspτ
. Para pequeña1
*
12 NIBdt
dn fotones⋅⋅=
∗
Ej: onda de sección unitaria en dirección del eje z : TOTNN ≈1
( ) ( )z
I
hvz
Uc
hvcz
hvU
t
n memefotones
∆
∆=
∆
∆=
∆
∆=
∆
∆ ∗ **
..
*
.. 11⇒ ⇒TOTNIB
z
I
hv⋅−=
∆
∆ *
12
*1
TOT
zhvNBeII 12
*
0
* con , == − αα
( ) *
12
*
IhvNBdz
dITOT−=
⇒
dt
dnNIB
dt
dN fotones
∗
+=⋅⋅−= 2
*
212(3) emisión estimulada:
=∗fotonesn número de fotones en
un “modo” especifico
= coeficiente de absorciónley deBeer
ssp
810−≈τ
*I
Emisión estimulada (� láser)
(3) (2)
Emisión estimulada (3) � luz coherente � principio de funcionamiento del LASER
22 NIB
dt
dN⋅⋅−=
11
*
121 1
NnNIBdt
dNfotones
sp
⋅−=⋅⋅−= ∗
∗τ(2) absorción:
(1) emisión espontanea en un único “modo” (*):∗
∗ −=⋅−=sp
NNA
dt
dN
τ2
22
(3) emisión estimulada:22
*
212 1
NnNIBdt
dNfotones
sp
⋅−=⋅⋅−= ∗
∗τ
Emisión estimulada (3) � luz coherente � principio de funcionamiento del LASER
Einstein 1905
inversión temporal
Nota histórica: Einstein escribió las dos últimas ecuaciones en función de la densidad de energíaen lugar de la irradiancia (llamando B el correspondiente coeficiente de proporcionalidad), y fueel 1º en ver que . Los coeficientes A y B se llaman en su honor coeficientes de Einstein.2112 BB =
Fuentes luminiscentes� Funcionan por emisión espontánea, que ocurre después de la excitación de los electrones del material de la fuente. Fluorescencia ( ) o fosforescencia ( )Clasificación según el mecanismo de excitación:
- electroluminiscencia (relámpago, neón, LED)
�Televisor al plasma y pantalla LED
nssp 10≈τ horasmssp ÷≈ 1τ
- quimioluminiscencia (luciérnagas, palitos de luz, fuego)
- fotoluminiscencia:
�Televisor al plasma y pantalla LED
� materiales fosforescentes �� lámparas fluorescentes
Mecanismo: emisión espontanea (los niveles de energía más alta están poblados debido a la excitación térmica. Sean 1 y 2 dos niveles de energía de la fuente (2 > 1), y (*) un modo de luz de energía igual a la diferencia E2 – E1. Si dominan las transiciones radiativas:
En condiciones estacionarias: ⇒
En equilibrio termodinámico la población de un nivel electrónico de energía Ei es proporcional al
factor de Boltzmann ( T = temperatura en K ; kB = constante de Boltzmann )
*Fuentes de luz térmicas
∗
∗
+=
fotones
fotones
n
n
N
N
11
202 =dt
dN
∗
∗
∗
∗
∗−+−=
sp
fotones
sp
fotones
sp
Nn
Nn
N
dt
dN
τττ1222
TkE
iBieN
−∝
átomos
luzequilibrio térmico
radiación-materia
⇒
distribución deBose-Einstein
La energía del modo es
La irradiancia en función de la frecuencia se hallamultiplicando ε por la densidad de modos radiativos(que es proporcional a ). El espectro de radiaciónresultante se llama espectro de cuerpo negro
i
−=
−−=
Tk
h
Tk
EE
N
N
BB
νexpexp 12
1
2
( ) 1exp
1
−=∗
Tkhn
B
fotonesν
( ) 1exp −== ∗
Tkh
hhn
B
fotonesν
ννε
2ν
3-25
( )ν
ν
νd
TkhdI
B 1exp
3
−∝
Fuentes térmicas: espectro de cuerpo negro
K m 108976.2 3
max
−⋅=Tλ
���� ley de Wien
espectro de radiación fuente térmica: espectro de cuerpo negro
���� ley de Stefan-Boltzmann
44 TTAW ∝= σ
constante área superficial
Aplicación: termovisión (infrarroja)(en falso color):
Radiación cósmica de fondo (de microondas)
T = 2.73 K
Longitud de onda (nm)
3-213-24
3-23
constantede Stefan
área superficialde la fuente
Los fenómenos ópticos (TEMA 4)
- Emisión (fuentes de radiación)
Propagación (y “difracción”) en el vacío (↔ ec. de onda)ensanchamento del frente de onda, ondas esféricas, casos límite de las ondas planas y rayos
Interacción con la materia :
- Absorción (espectroscopia, detectores)
Interferencia (↔ ec. de onda: suma de campos E y B)(superposición de ondas, batidos, ondas estacionarias)
reflexión, refracción, propagación enun medio material, dispersión: todasson manifestaciones macroscópicas delesparcimiento en la escala microscópica
difracción (ej: Bragg)
Reflexión (difusa o especular)Refracción y dispersión
Elá
stic
o
Fenómenos de difusión
Propagación en un medio
- Absorción
Inelástico: Compton + efectos no lineales: generación de harmónicos, Raman, Brillouin, …
- Esparcimiento (scattering) elástico e inelástico
0d≈λ
0d>λ
(traducción de “scattering”: esparcimiento, dispersión o difracción)
Interacción luz - materia: absorción y scatteringLuz: campo E (y B) oscilante que interactúa con las cargas en la materia, especialmente con las que más se pueden mover: los electrones. La interacción de una onda electromagnética con los átomos que constituyen un medio es de dos tipos, según la frecuencia de la onda corresponde o menos a un nivel de absorción. Si la frecuencia está por debajo del umbral de absorción, el efecto de la onda es el de generar una oscilación de los electrones, sin llegar a producir transiciones entre niveles; esta oscilación se parece a la de un dipolo radiante: el electrón es acelerado por el campo óptico, y debido a su aceleración, emite a la vez a la misma frecuencia en una dirección que puede ser distinta de la de la onda inicial, prevalentemente en el plano normal al dipolo oscilante. Este fenómeno se llama “esparcimiento” (scattering) elástico (o también “dispersión” elástica) de la onda. La interpretación microscópica de todos los
Tipos de scattering elástico:
- Scattering Rayleigh (átomos y moléculas, aislantes)
- Scattering de plasma (electrones en un metal o en un plasma)
- Scattering Bragg (rayos X con átomos/moléculas; UV-VIS-IR rejillas de difracción)
- Scattering Mie (partículas (esféricas) pequeñas)
- Scattering Thomson (rayos X con electrones libres), ...
también “dispersión” elástica) de la onda. La interpretación microscópica de todos los fenómenos ópticos en la materia distintos de la emisión o absorción, se basa en el fenómeno de “scattering”. La distinta velocidad de fase en un medio, la reflexión y la refracción, la actividad óptica, los espejismos, todo ello puede explicarse a partir del esparcimiento elástico de la luz.
Scattering en metales y aislantesModelo sencillo del esparcimiento: movimiento de electrones en campos E armónicos.Metal: electrones libres ; Aislantes: electrones ligados. Sea: N = número e– en volumen unitario
�
AISLANTE:
METAL:
� 2
000 ,
ωω
m
eExexx
ti −== ⇒ 0002
2
002
2
00 EEm
NePNpE
m
eexp χε
ωω=−==⇒−==
⇒ 2
2
2
0
22 111
ω
ω
ωεχε p
rm
Nen −=−=+==
m
NeP
0εω = frecuencia de plasmacon:
Para , n es real; para , n es puramente imaginarioPωω >Pωω <
tieeEeE
dt
xdm
ω−== 02
2
tieeEx
dxb
xdm
ωω −=++ 22 ωeEe
txti
=−
)( 0 ENeNexP == 0
2
⇒
= anchoa media altura
�
( ) ωωωεε
ibm
Nen r
+−−==
22
00
22 1
1
Si son pequeños, como es el caso deun gas a baja presión, entonces se ha aprox. :
" ' innn +=
" y 1' nn −
='n
="n
1 ' −n"n
tieeEx
dt
dxb
dt
xdm
ωω −=++ 0
2
02 ωωω ib
eE
m
etx
+−=
)()(
22
0
0
ωωω ib
E
m
NeNexP
+−==
)( 22
0
00
2/1ω∆=b
⇒ ���� es en general complejo:y además depende de la frecuencia
n
⇒
complejo ⇒ vector de onda complejo:
Sustituyendo en la expresión de una onda monocromática:
ninn ′′+′=
Índice de refracción complejo" '
22n
cin
cn
cvf
fk
ωωωω
λ
π
λ
π+=====
� La parte real de n describe la velocidad de fase en el material
� La parte imaginaria de n nos da la atenuación de la onda enel material, o sea las perdidas debidas a scattering y absorción. Un índice n puramente imaginario significa que la onda no
{ } { } { }xktxkiEtixikkiEE "exp)'(exp)"'(exp 00 −−=−+= ωωr
( ) { })(expexp 000 txknixknE ω−′′′−
. Definiendo , se ha:c
kω
=0
⇒ 4-1, 4-2
Un índice n puramente imaginario significa que la onda nopenetra en el material, sino que es totalmente reflejada.⇒⇒⇒⇒ un material muy absorbente es muy buen reflector
La irradiancia disminuye según la ley de Beer : "2"22
nc
k
===
ω
δα
xeII α−= 0
x
Estos parámetros resumen a la vez el efecto de la absorción y del esparcimiento
, con
4-4
Se define una longitud de atenuación :"
1
k=δ
4-54-7
P. ej. en un metal o plasma a muy baja frecuencia , por lo que: in"inppp
==−≈−=ω
ω
ω
ω
ω
ω2
2
2
2
1
p
p
cn"
ck"
λ
πωω 2=== y
π
λδ
2
p= 4-8
Dos ondas de igual amplitud a , una de pulsación y la otra , dan resultante de
la forma
� “grupo” de ondas que se desplaza con velocidad :
ωω d−
Una onda perfectamente monocromática se propaga a la “velocidad de fase”
dk
dvg
ω=
nckv == ω
( ) ( )xdktdiaeeeaekxtixdktdixdktdikxti )()(sin2])()[(])()[( +=+ −−−−− ωωωωω
ωω d+
Velocidad
de grupo
gv
Medios dispersivos: velocidad de grupo
Una onda perfectamente monocromática se propaga a la “velocidad de fase” nckv f == ω
f
f
f
f
g vdk
vdkv
dk
kvd
dk
dv ≠+===
)()(ω
En un medio material tal velocidad de fase (o, lo que es lo mismo, n) depende de la frecuencia. Esto hace que la velocidad de grupo vg , que es la velocidad de un grupo de ondas o de un pulso,
sea distinta de vf :
4-9, 4-104-11
. En función de n :
dk
dn
n
kcv
dk
ndkcv
dk
ncdkv
dk
vdkvv fff
f
fg 2
1)()()(−=+=+=+=
−
, o sea :
−=
dk
dn
n
kvv fg 1
Dado que λλ
π
λ
πddkk
2
22−=⇒= , puede escribirse también:
+=
λ
λ
d
dn
nvv fg 1
El movimiento de un electrón ligado en un campo E armónico es , con
aceleración . Los campos E y B de radiación son proporcionales a
⇒ la potencia radiada es proporcional a ⇒
Muy por debajo de la resonancia ( ) el denominador es básicamente constante y valeSi la luz incidente tiene un espectro en frecuencia plano y limitado a la región , lapotencia esparcida es:
Scattering Rayleigh (aislantes)
4
0
4 ωω∝RayleighP
( )222
0
42
0
ωωω
ω
ib
EP
−−∝
4
0ω
xdt
xda 2
2
2
ω−==2
2
2
2
dt
xde
dt
pd=
4-15
0ωω <<0ωω <<
2a
ωωω
ω
ib
eE
m
etx
ti
+−=
−
22
0
0)(
P es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia, igual que para una antena de dipolo eléctrico (de hecho un electrón atómico oscilante es muy parecido a una pequeña antena). En
comparación en un metal , por lo que y P no dependen de la frecuencia.
Cuando la luz del sol atraviesa un gas como el aire, cuyas moléculas (N2, O2) no tienen niveles de absorción en el visible sino en el ultravioleta, solo puede ser esparcida y no absorbida (dado que
). La amplitud de las oscilaciones aumenta con la frecuencia; más oscilaciones significan más esparcimiento, así que la luz violeta es esparcida mas que la luz azul, ésta más de la luz verde, etc.. El haz trasmitido se vuelve cada vez más rojo, mientras que la luz esparcida es sobretodo azul (la luz solar no contiene mucho UV). De allí el rojo de las puestas del sol y el azul del cielo, que sin scattering Rayleigh sería negro como el espacio exterior.
4-16http://www.nationalstemcentre.org.uk/elibrary/resource/5403/the-earth-s-atmosphere-why-is-the-sky-blue
0ωω <<
tiem
eEtx ω
ω 2
0)( −= 2a
Fenómenos debidos a scattering Rayleigh + interferencia:
Esparcimiento en medios muy diluidosEn un gas a baja presión la separación entre moléculas es mucho mayor que la longitud de onda de la luz, así que las ondas esparcidas por distintas moléculas A y B llegan a un punto P lejano con fases arbitrarias. Algunas interfieren de manera constructiva y otras destructiva: esto anula en promedio los efectos de interferencia, y hace que siempre haya una onda esparcida. La única dirección en que esto no ocurre es la del haz, pues en tal caso hay una relación de fase fija entre la radiación emitida por A y B, ya que las ondas incidente y la esparcida recorren en tal caso la misma distancia entre A a B.
BEl esparcimiento atmosférico quedetermina el color azul del cielo se
A
P
determina el color azul del cielo seproduce en las capas exteriores(menos densas) de la atmósfera.NOTA: A nivel del mar la atmósfera es todo menos diluida: en un cubo de lado 500 nm (longitud de onda típica de la luz visible) hay 3 millones de moléculas de aire; las moléculas son tan cercanas que radian con fases muy parecidas, con efectosimportantes de interferencia
Un medio diluido con absorción en el UV esparce la luz visible; la luz esparcida es incoherente
En un gas a alta presión como la atmósfera terrestre a nivel del mar no hay esparcimiento, y lomismo ocurre en líquidos y sólidos, que son 10 veces más densos (el vidrio y el aire no sonazulados). ¿Cómo puede ser, si hay muchas más moléculas debido a la alta densidad? Comopara los medios diluidos, hay interferencia constructiva en dirección de propagación ya que la luz esparcida está entonces en fase. Sin embargo, el esparcimiento está inhibido enotras direcciones debido a la interferencia destructiva. ¿Cómo ocurre esto?Cada molécula difunde mayormente en dirección transversal al haz.Debido a la alta densidad, por cada molécula A que difundela luz, siempre se puede encontrar otra B a una distancia
Fenómenos debidos a scattering Rayleigh + interferencia:
Ausencia de esparcimiento en medios densos
λ/2 , que radia con fase opuesta a la de A ; en direccióntransversal, la interferencia es pues totalmente destructiva.
Más en general, en una dirección cualquiera fuera delhaz llegan un número muy alto de onditas de intensidad muy pequeña y fase arbitraria. La suma de todas ellases nula o como mucho muy pequeña, así que la potencia esparcida es insignificante.en un medio denso y homogéneo no ocurre esparcimiento
λ 2λ=AB
Onda monocromática en un medio:
Ningún dieléctrico es perfecto y siempre hay alguna corriente; y en un metal pueden también haber efectos de polarización, sobre todo a altas frecuencias. En un material lineal, la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico: , donde es la conductividad. Para frecuencias altas , (en un dieléctrico porque la carga ligada no tiene el tiempo de acumularse con la continua inversión de polaridad, y en el interior de un metal porque los electrones apantallan el campo incidente). De las ecuaciones de Maxwell se saca:
Luz en dieléctricos y metales: descripción e.m.
Ejrr
σ= σ
2
2
00
2
00t
D
t
j
t
BEEy
t
DjB
∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂×∇−=∇−=×∇×∇
∂
∂+=×∇
rrrrrrrrr
rrrr
µµµµ2
2
000
2
t
E
t
EE r
∂
∂−
∂
∂−=∇
rrrr
εεµσµ
ωσω
0==⋅∇ ρErr
(con εr = 1 para un metal) ⇒
σ2
c
Además se ha yvEB =1 c
- parte real de k (o n) : velocidad de fase
- parte imaginaria de k (o n) : atenuación:
" '0
ikknc
ic
k r +==+=ω
ωε
σε
ω
⇒ { } ( )xktxkiiEE x "exp)'(expˆ −−= ωr
"' ikkk +=
longitud deatenuación"
1
k=δ
METAL: εr = 1 ⇒ para ω suficientemente alta (ω > σ/ε0), (sólo que σ = σ(ω) …)
(� compara con la predicción del modelo de plasma: un metal es transparente ⇔ ω > ωp )
ωε
σε
ω 0
2
2ik
cn r +=
=
ωε
σ
ωε
σ π
0
2
0
2 iein =≈
ωε
σ
022"' === bnn
22
1"' 0
0
σωµ
ε
σω===
ckk⇒⇒
4-21 4-20, 4-22
Para frecuencias ω pequeñas en un metal o dieléctrico:
1≈n
4-19
⇒
4-17, 4-18
ωε
σπ
0
4ien ≈⇒
2
0
02
1E
vI
µ= , con
'n
cvv f ==
Onda incidente monocromática � hay una relación fija entrelos campos en todo punto de la frontera. Para que sea así entodo momento, las tres ondas (incidente, reflejada y trasmitida)han de tener igual fase:Poniendo el origen en un punto de la frontera, se ha allí , o sea:
Separación entre medios: la luz es en parte reflejada (R) y enparte trasmitida (T) (o sea, refractada). El campo E (o B) aun lado de la separación es la suma de EI y ER , al otro vale ET
Condiciones de frontera para la óptica: B = const, E// = const
Reflexión y refracción en una separación plana
trktrktrk TTRRII ωωω −⋅=−⋅=−⋅rrrrrr
0=rr
rr
ttt TRI ωωω −=−=−
Iθ
RθTθ
incidente
reflejada
trasmitida
nI nT
( � consistente con la definición de fotón y conservación de la energía)
Para t = 0 : ⇒ son coplanares
Tomando coplanar a los vectores de onda se saca pues: es decir:
⇒ ley de la reflexión (onda incidente y reflejada el mismo medio de índice de refracción � tienen mismo módulo de k )
⇒ ley de Snell (la onda trasmitida se propaga en un medio conla frecuencia es la misma � varía la longitud de onda)
0=r
TRI ωωω ==rkrkrk TRI
rrrrrr⋅=⋅=⋅ TRI kkk
rrry ,
TTRRII kkk θθθ sinsinsin ==rr
RRIIRI rkrkrkrk θθ sinsin =⇒⋅=⋅rrrr
IR θθ =
IITT nn θθ sinsin =IT nn ≠
In
TRI
4-25, 4-26
Refracción y medios dispersivos: prisma,arco iris
*Interpretación basada en el esparcimientoReflexión especular
Reflexión difusa
IR θθ =
*Esparcimiento: velocidad de fase y refracción
IθLuzincidente
nI
de
sfas
eam
plit
ud
Propagación en un medioEsparcimiento elástico refracción
IITT nn θθ sinsin =
Tθ
incidente
Luztrasmitida
nT
n
cv =
retraso de faseonda secundaria
ondasecundaria
ondaincidente
⇒
Reflectividad para incidencia normalCondiciones de frontera para la óptica: B = const, E// = const . Para incidencia normal esto es:
Por la Ley de Faraday (3ª ec. de Maxwell):
=+
=+
TRI
TRI
BBB
EEE
000
000
c
En
v
E
k
EBBkE
t
BE 000
000 ===⇒=⇒∂
∂−=×∇
ωω
rrr
=−
=+
TTRIII
TRI
EnEnEn
EEE
000
000
el signo – proviene del cambio de orientaciónrelativa de E y B en la onda reflejada (al ser )
°= 0θ
IBr
IEr
nI
Ikr
kkrr
−=
Rkr
nT
Tkr
⇒⇒⇒⇒
relativa de E y B en la onda reflejada (al ser )
+
−=
+=
I
TI
TI
R
I
TI
I
T
Enn
nnE
Enn
nE
00
00
2
Resolviendo para las amplitudes trasmitida y reflejada:
���� REFLECTIVIDAD2
2
0
2
0
+
−===
TI
TI
I
R
I
R
nn
nn
E
E
I
IR
NOTAS IMPORTANTES: es la misma si la luz incide desde un medio o desde el otro.Para una separación aire/vidrio (n = 1.5) � = 4% . También se define una “trasmisividad” .
Por la conservación de la energía electromagnética total se ha: RI
IT
I
T −== 14-28, 4-30
4-31
TRR
IR kkrr
−=
*Recubrimiento antirreflejo
Condiciones de frontera �
en x = 0 : en x = a :
aire (vidrio)
⇔ Cero reflectividad
Las lentes (de vidrio, n2 = 1.5) de las cámaras se recubren de una capa delgada de fluoruro demagnesio (MgF2), que tiene índice de refracción n1 = 1.38 , de modo que se cumpla la condición
(sólo aproximadamente). El grosor del recubrimiento se elige de forma de utilizar lacantidad mínima de MgF2 , con λ en el medio del espectro visible. El recubrimiento maximiza lacantidad de luz trasmitida, y es importante porque de otra forma cada separación vidrio-airedisminuye del 4% la intensidad incidente.El mismo concepto se utiliza con aviones de guerra, para hacerlos “invisibles” a los radares
⇒
aire (vidrio)
Ángulo críticoIITT nn θθ sinsin =
TI nn > II) caso
Ej: luz que incide sobre un material desde el aire. El ángulo del rayo refracto con la normal es menor que el ángulo incidente
Ej: luz incidente sobre la superficie desde dentro el materialEl ángulo de refracción es mayor que el de incidencia
� existe un ángulo de incidencia ( ángulo crítico ) por el que
TI nn < I) caso
In Tn
4-32, 4-334-35
) I (
Reflexión total interna ( ) ⇒ puramente imaginario,la onda trasmitida decae rápidamente en la dirección normal
���� onda evanescente , con longitud de atenuación
� existe un ángulo de incidencia ( ángulo crítico ) por el que el ángulo de refracción es 90⁰ :
⇒==° sin90sin cITT nnn θI
Tc
n
narcsin=θ
El vector de onda trasmitido tiene componentes:Utilizando la Ley de Snell, la componente horizontal (ortogonal a la separación) es:
( ) ( )TTTTTTTTT kkkkk θθθθ sin,sin1sin,cos 2−==r
2
, sin1
−= I
T
ITxT
n
nkk θ xTk ,
xTk ,1=δ
para ángulos se ha reflexión total internacI θθ >
cI θθ >
) II (
Aplicaciones de la reflexión total internaFIBRAS ÓPTICAS
4-36
ÓPTICA INTEGRADAPENTAPRISMA
http://www.youtube.com/watch?v=hBQ8fh_Fp04&feature=related
ÓPTICA INTEGRADAPENTAPRISMA
CÁMARA REFLEX
Polarización TM
θ ϕ
θ
Br
Er
Polarización TE
θθ
Br
Er
1=InnnT =
nnT =1=In
ϕθ
ϕθ
coscos
coscos
0
0
n
n
E
E
TMI
R
+
−=
ϕθ
ϕθ
coscos
coscos
0
0
+
−=
n
n
E
E
TMI
R
ϕ
*Ecuaciones de Fresnel y ángulo de Brewster
Polarización TM :R = 0 para θ = θB
alta reflectividadincidencia rasante
ángulo deBrewster:
nB =θtan
R (%)
Polarizaciónpor reflexión:
Polarización: filtros y gafas polaroidR nB
1tan−=θ
polarizador :(gafas/filtro polaroid,
gafas de visión 3D)
Polarización poresparcimiento:
*Refracción en medios no homogéneos
IITT nn θθ sinsin =
Consideremos un medio no homogéneo con índice de refracción dependientede la altura y . En el dibujo se ve un rayo casi horizontal que forma, a la posición x y altura y ,
un ángulo θ con la horizontal, cuya tangente está dada por . Al pasar la luz a través
de un espesor ∆y del medio, el ángulo θ(y) varía al valor θ(y + ∆y) debido a la refracción. Por la
ddn θ
dx
dy=θtan
x
y
http://www.youtube.com/watch?v=d8zUHBbflmM
� Materiales GRIN (Selfoc)
ley de Snell:
(se ha utilizado la expansión en serie de Taylor de n y del coseno del ángulo). Menospreciando el
término en ∆y2 , se halla . Para θ pequeño se ha:
⇒ la ecuación de la trayectoria de la luz en el medio es:
∆−
∆+=∆+∆+= y
dy
dyy
dy
dnynyyyynyyn
θθθθθ sin)(cos)()(cos)()(cos)(
dx
dn
dx
dy
dy
dn
dy
dn
dy
dn θθθ
θ=== tan
dy
dn
yndx
yd
dx
d
)(
12
2
==θ
���� Espejismos
dx
dy=≈ θθ tan
Finalidad de un instrumento óptico: formar una imagen ( I ) de un objeto ( O ). La imagen es:- real (como la que se imprime en la película fotográfica de una cámara), o por el contrario:- virtual (como la que se ve en un espejo).
Ej: espejo plano: los rayos que salen del objeto puntual Oson reflejados de forma que parecen salir de un punto I �que está detrás del espejo mismo. I es una imagen virtual
Óptica geométrica e instrumentos ópticos(TEMA 5)
Óptica geométrica: es válida la aproximación de rayo (rayo = dirección del vector de onda)(no nos interesa difracción ni interferencia, sólo la propagación de la luz en línea “recta”)
que está detrás del espejo mismo. I es una imagen virtual
La distancia se llama distancia objeto
La distancia se llama distancia imagen
Para un espejo plano
En el caso de que el objeto no sea un solo punto, la imagenpuede ser aumentada o reducida, y derecha o invertida. Se define la magnificación (transversal) como:
O IOVdo =
VIdi =
V
oi dd =
o
i
h
hM =
ihoh
Las “alturas” llevan signo; en el caso de un espejo plano, y sonambas en el mismo sentido (p. ej. hacia arriba) y tienen igual módulo:
ihohh
( ) 1 plano espejo +=⇒ M 5-1, 5-2
Instrumentos ópticos “ideales”Todos rayos que salen del punto O y entran en el instrumento – y sólo ellos – llegan al punto I
Esp
ejo
s id
eale
sD
iop
trio
s id
eale
s
O I
(d) plano
12 nn < 12 nn >
⇒
Dio
ptr
ios
idea
les
Lente ideal (con ) :
Superficies cónicas son difíciles de obtener; además la forma de una superficie refractora (dioptrio) ideal depende de los índices de refracción � por cada longitud de onda se necesitaría una superficie distinta. Esencialmente sólo se usan espejos parabólicos e hiperbólicos, y por lo demás se utilizan superficies reflectoras/refractoras planas o esféricas
(a) (b)
1n2n
2n1n
12 nn >
1n
2n
1n
Se halla así , es decir: , con2
Rf −=
Las distancias objeto e imagen se miden del “vértice” V delespejo, que es el punto del espejo más cercano al objeto.Sea C el centro de la superficie esférica (convexa). Paraencontrar la relación de las distancias empezamos de lasrelaciones angulares: y �ϕαθ +='2 ααθ +=
Eliminando el ángulo se halla:θ ϕαα 2' −=−Si los ángulos son suficientemente pequeños (aproximación paraxial),pueden remplazarse por sus tangentes (menospreciando la distancia VQ).
R
h
d
h
d
h
io
2−=−
ϕαα y ' ,
fRdd io
1211=−=−
imagen(virtual)
Espejo esférico convexo
od id
foco
o
i
o
i
d
d
h
hM ==
2Rdd io fRdd io
Para un objeto no puntual, utilizando el dibujo de la izquierda se puede ver que los dos puntos O y O’ del objeto (flecha roja) forman imágenes en I e I ’. Todo rayo quesale de O’ después de la reflexión tiene que pasar por el punto I ’.
Por tanto los ángulos y son iguales y se ha
O
'O
I
'I
La distancia focal es la distancia en que convergen rayos paralelos (es decir, provenientes de )
f
∞→od
β
βiθ
i
i
o
o
d
h
d
h=
fd i =
⇒ la magnificación depende de las distancias objeto e imagen y vale:
od id
Utilizando una convención sobre signos, las ecuaciones que acabamos de ver para un espejoesférico convexo se pueden generalizar también a espejos esféricos cóncavos y a espejos planos.Si el espejo es cóncavo, el centro de curvatura es a la izquierda, la imagen es real, y se halla una ecuación parecida para las distancias objeto e imagen, pero con todos los signos positivos.Se utiliza la convención que:
1) la distancia imagen es positiva si la imagen es real,y negativa si la imagen es virtual ;
2) el radio R es positivo para un espejo esférico convexo,y negativo para uno cóncavo ;
Entonces ambos casos se pueden resumir en las fórmulas:
Ecuación espejos esféricos y planos
Entonces ambos casos se pueden resumir en las fórmulas:
o
i
o
i
d
d
h
hM −==
fRdd io
1211=−=+
Convenio de SIGNOS: REAL y CONVEXO = POSITIVO
Estas fórmulas valen también para espejos planos, para los que ∞→R
(la distancia focal es la distancia a donde convergen rayos incidentes paralelos; para un
espejo plano la distancia focal es infinita, igual que el radio de curvatura).2
Rf −=
convexo
(imagen virtual)
cóncavo
(imagen real),
Rdd io
211−=+ECUACIÓN del ESPEJO
5-3, 5-6, 5-7
5-5
La Ley de Snell es, en aproximación paraxial:
Dioptrio : superficie de refracción entre dos materiales
fR
nn
d
n
d
n
io
11221 =−
=+
od
id
2211 sinsin θθ nn =
Ecuación dioptrios esféricos y planos
2211 θθ nn =Utilizando las relaciones angulares y ,se ha pues:En términos de las distancias, esto es
ϕθα += 2'ϕθα += 1
)'()( 11 ϕαϕα −=− nn
−=
−
R
h
d
hn
R
h
d
hn
io
21
Utilizando la misma convención para los signos que utilizamospara los espejos, se halla pues:
o
i
o
i
d
d
n
n
h
hM
2
1−==od
id
Esta ecuación vale para dioptrios esféricos (convexos y cóncavos) y planos ( ). También paralos dioptrios puede hallarse la magnificación, a partir
de la relación , que da:2211 θθ nn =
'O
'I
=
i
i
o
o
d
hn
d
hn 21
⇒
Convenio de SIGNOS: REAL y CONVEXO = POSITIVO
ECUACIÓN del DIOPTRIOfR
nn
d
n
d
n
io
11221 =−
=+
∞→R
La luz que atraviesa una lente (b) pasa por las doscaras de la misma, que son dioptrios: así la imagenfinal es el resultado de 2 “aumentos” sucesivos.La 1ª cara, de radio R1 , forma por si sola una imagen
dada por la ecuación:
Esta imagen sería visible si sólo hubiese la primeracara de la lente (a); pero al ser interceptada por la2ª cara, de radio R2 , actúa como “objeto” (virtual)
para ésta, según la ecuación:
1
1221
R
nn
d
n
d
n
io
−=+
(b)
(a)
2112 nnnn −=+
Lente : combinación de dos dioptrios esféricos1R
odid
od 'idt
'od
5-20
para ésta, según la ecuación:
Estas dos ecuaciones se pueden resolver para hallar ladistancia imagen final, utilizando el hecho que (esto da el signo correcto de ),siendo t el ancho máximo de la lente (distancia entre los vértices)
2
2112
'' Rdd io
=+
io dtd −=' 'od
od
id
'idt
En el caso de una lente delgada, la separación entre las caras es casi cero (o al menos pequeñarespecto de las distancia objeto e imagen, una condición que habitualmente se cumple). En tal
supuesto y se puede escribir entonces ,
o sea:
io dd −='2
21
1
12111221
''' R
nn
R
nn
d
n
d
n
d
n
d
n
d
n
d
n
ioioio
−+
−=+=+
++
−
−==+
211
12 111
'
11
RRn
nn
fdd io
, que define la distancia focal f de la lente
Lente (delgada) = combinación de 2 dioptrios en serie (casi solapados)
Ejemplo: comparación dioptrio / lente
1
1221
R
nn
d
n
d
n
io
−=+
id
id
M
. Then:
−
−==+
211
12 111
'
11
RRn
nn
fdd io'id
'id
M
is:
, con
Ecuación lentes delgadas y lentes en contacto
o
i
d
dM −=
fdd io
111=+
− 11111 nn
−
−=
211
12 111
RRn
nn
f
Acabamos de ver que le formación de imágenes por una lente se puede describir por la fórmula
Mirando el dibujo, el rayo (3) que pasa por elcentro de la lente atraviesa las dos caras enel punto en que ambas son verticales, por loque sale sin ser desviado. Se tiene pues la misma
relación que la reflexión:i
i
o
o
d
h
d
h=
odid
⇒ el aumento es el mismo que el de un espejo:
Para dos lentes que estén en contacto, la imagen de la 1ª es esencialmente el “objeto” de la 2ª .
Las ecuaciones de las dos lentes son: y . Con se ha pues:
od
−
−==+
211
12 11111
RRn
nn
fdd io
1
111
fdd io
=+2
1
'
1
'
1
fdd io
=+ io dd −='
21
11
'
1
'
111
'
11
ffdddddd ioioio
+=+
++=+
Convenio de SIGNOS: REAL y CONVEXO = POSITIVO
ECUACIÓN de la LENTE DELGADA
21
111
fff+=, o sea También aquí
o
i
d
dM −=
5-25, 5-36
5-27, 5-34
5-38
5-42
“aplicación”: el ojo humano
73% del poder dióptrico del ojo humano se debe a la córnea (n = 1.376), que actúa como undioptrio esférico para rayos procedentes del aire, el resto a la acción del cristalino (n = 1.45).La curvatura y espesor del cristalino se pueden modificar por la contracción del músculo ciliar, un proceso que se llama “acomodación”. En su conjunto, el ojo actúa como una lente delgada positiva de distancia focal 17 mm en el estado relajado del cristalino (visión lejana, sin acomodación) y 14 mm en el estado con el cristalino tensado (visión cercana).
ojo normal
Existe una distancia mínima (longitud hiperfocal) por debajo de la que el ojo no es capaz de focalizar. Para el ojo normal es circa 25 cm y corresponde a lamáxima acomodación (contracción músculo ciliar)longitud
hiperfocal
Defectos de la visiónPueden ser debidos a:1) forma no ideal de la superficie de la córnea: la cornea no es esférica sino que tiene dos radios de curvatura distintos si se miden vertical u horizontalmente (astigmatismo)
2) forma no ideal del ojo: ojo demasiado “largo” � miopía
ojo demasiado “corto” � hipermetropía
ojo normal
longitud
3) incapacidad de acomodación debida p.ej. a mayor rigidez del cristalino con la edad (presbicia)
ojo miope ojo hipermétrope
longitud
hiperfocal
Instrumentos ópticos sencillosCÁMARA SIMPLE / OJOUna lente en lugar del agujero � más irradiancia y nitidez; desventaja: sólo se focalizan ciertos planos a distancias fijas
Sistema más simple para formar una imagen- Ventaja: no focaliza � toda distancia está en foco- Desventaja: poca luz atraviesa el agujero; si éste se hace más grande, la imagen deja de ser nítida
nítida
CÁMARA ESTENOPEICA
objeto
agujero película
fotográfica
imagendesenfocadadesenfocada
imagen
LUPA y GAFAS. El aumento depende de la distanciade la lupa/gafas del ojo, y del objeto a la lente.La lupa se puede colocar a distintas distancias del objeto, y tampoco hace falta mover las gafas (en el caso de la miopía) para ver más cerca o lejos, porque el ojo ajusta el foco de su “lente natural”, es decir el cristalino, para focalizar la imagen sobre la retina.
película fotográficalente
distancia hiperfocal
objeto
objeto
Distancia mínima que el ojoes capaz de focalizar = longitud hiperfocal = 25 cm
Instrumentos ópticos compuestosCombinaciones de más lentes (y espejos): lente compuesta de una cámara réflex, binoculares, telescopio, microscopio
Ojo
imagen
retiniana
Ocular :1ª lente de un instrumento óptico(más cerca del ojo). La imagen real (2) del objeto (1), generada por el objetivo de un microscopio, es aumentada por el ocular que forma la imagen virtual (3) que vemos por su proyección en la retina (4)
Objetivo :lente más cercana al objeto
Ocular
Objetivo
objeto
imagen virtual
Dos lentes a distancia t
La ecuación de la 1ª lente L1 es , que da
La imagen (intermedia) creada por L1 actúa como objeto para L2
oi dfd
111
1
−=1
1
fd
dfd
o
oi
−=
L1L2
di do’
tdo
di’
f1
1 2
La distancia de tal objeto de L2 es
Sustituyendo en la ecuación de la 2ª lente, , se ha:
io dtd −='
2
2 ''
fd
dfd
o
oi
−=
)(
])([)('
112
112
2
2
fddfft
fddftf
fdt
dtfd
oo
oo
i
ii
−−−
−−=
−−
−=
L2 aumenta la imagen intermedia generada por L1 ⇒ magnificación total 21MMMTOT =
o
i
d
dM −=1
i
i
o
i
dt
d
d
dM
−−=−=
'
'
'2
)1(
1''21
−=
−=
io
i
i
i
o
i
dtd
d
dt
d
d
dMMCon y , se ha
oo
iTOT
dfdt
dM
−−=
)1(
'
1
⇒
⇒
*Aberración cromática y su correcciónAl igual que para un prisma, en una lente hay un efecto de dispersión, que hace que la distanciaimagen sea diferente para distintos colores (longitudes de onda). La combinación de dos lentespuede utilizarse para corregir este defecto, conocido como aberración cromática trasversal.
Para dos lentes delgadas 1 y 2 en aire y hechas del mismo vidrio, la ecuación de cada lente es:
)( 1L
)( 2L
Para minimizar la aberración cromática se requiere que
Esto se cumple si
Si se colocan a una distancia L , se puede mostrar que la longitud focal del conjunto vale aprox.:
, o sea:
(En realidad esta relación no es cierta para las distancias focales, sino para las distancias entre el punto focal y los llamados “planos principales”; por ello no puede utilizarse en los problemas)
Esta condición sólo involucra las distancias focales; las demás características de ambas lentes sepueden elegir para minimizar otros efectos indeseados (aberración esférica, astigmatismo..)
,
(Pedrotti3 , cap. 18 y ej. 3-4)
2121
111
ff
L
fff−+=
Para dos lentes delgadas 1 y 2 en aire y hechas del mismo vidrio, la ecuación de cada lente es:
*Magnificación angularLos objetos reales y las imágenes virtuales formadas por instrumentos ópticos pueden hallarse adistancias muy grandes (en el caso de un telescopio las distancias objeto pueden serastronómicas, y en un microscopio la distancia imagen puede ser muy grande). En estos casos, yen todos los instrumentos que tienen un ocular, la magnificación trasversal no es muy útil, y espreferible definir una magnificación angular, que da también una estimación de la dimensión dela imagen (real) que se forma en la retina de quien mira.
Ejemplo: la LUPASi un objeto pequeño de altura (en cm) se mira aojo nudo, como mucho se puede acercarlo hasta ladistancia hiperfocal de 25 cm (a). En tal posición, elobjeto forma, desde el ojo, un ángulo 25h≈α
oh
lupa
Para lentes de distancias focales cortas pues, siempre es válida la aproximaciónPara una lupa esto es típicamente entre 2x y 10x
objeto forma, desde el ojo, un ángulo Para mirarlo a través de una lupa, se acerca el objetopara que esté dentro de la longitud focal de la lupa (b)El ángulo formado desde el ojo por la imagen (virtual)es, en aproximación paraxial:
25oo h≈α
ooiii dhdh =≈α
oo
oo
o
i
dh
dhM
25
25===
α
αα
di
do
� Si la imagen virtual muy lejana, entonces por la ecuación de la lente y� Si la imagen virtual se ve en la distancia hiperfocal ( ), entonces:
fdo =
25−=id
f
fdo
+=
25
25y
≈+= pequeña para
25 1
25f
ffMα
fM
25=α
Se define la magnificación angular como:
fM 25=α
espejo:
lente delgada:
Resumen ecuaciones instrumentos ópticos
fdd io
111=+
o
i
o
i
d
d
h
hM −==
*lente gruesa(de espesor t):
Rf
21−=
lentes delgadasen contacto : 21
111
fff+=
R
nn
fd
n
d
n
io
1221 1 −==+Dioptrio:
o
i
o
i
d
d
n
n
h
hM
2
1−==
−
+−−
= 1212 111 tnnnn
−
−=
211
12 111
RRn
nn
f
Distancia imagen: real-positiva, virtual-negativa
Radio: convexo-positivo, cóncavo-negativo
(de espesor t):
La cantidad P = 1/f se llama poder dióptrico (de la lente, espejo o dioptrio)Si f es en metros, la unidad de P es la dioptría, definida como D = m–1
*dos lentes delgadasa distancia L :
SIGNOS:
+−=2121
12
211
12
RRnnRRnf
5-52
)(
])([
112
112
fddfft
fddftfd
oo
ooi
−−−
−−=
oo
i
dfdt
dM
−−=
)1( 1
* = estas ecuaciones se encuentran combinando las ecuaciones de 2 dioptrios o de 2 lentes, junto a la condición:
Dan la posición de la imagen final en función de la distancia objeto inicialio dtd −='