1.UVOD

Pod kretanjem u mehanici podrazumjevamo promjenu uzajamnog položaja različitih tijela ili dijelova jednog istog tjela u toku vremena. Položaj, a otuda i kretanje nekog tijela određuje se jedino u odnosu na neko drugo tijelo.

Tijela u prirodi vrše različite međusobne uticaje. Sa jednog tijela na drugo može se prenositi toplota, naelektrisanje, vlagaitd. Pod mehaničkim uticajem jednog tijela na drugo podrazumjevamo takav uticaj koji jedino ima za posljedicu, kretanje posmatranih tijela ili njihovih dijelova u odnosu na neko treče tijelo kao posmatrača, ili uticaj kojim se jedno tijelo suprostavlja kretanju drugog tijela.

Zadatak mehanike se sastoji u proučavanju kretanja tijela pod dejstvom različitih mehaničkih uticaja. U tom smislu su različiti autori na sličan način izrazili zadatak mehanike. Gustav Kirohof ( Kirchhoff ) 1893 .g. zapisao je : “Mehanika je nauka o kretanju tijela u prirodi, tj. o takvoj promjeni njihovog položaja koja nije povezana ni sa kakvom drugom promjenom njihovih osobina“.

Naziv, Mehanika, uveo je Aristotel ( 384.-322.g. p.n.e ). U istoriji nauka ističe se se da je mehanika ,prvaprirodna nauka u kojoj je ostvaren jedinstven sistem objašnjenja za pojave koje spadaju u njeno područje. Sredinom XIX vijeka mehanika je bila priznata kao najsavršenija grana fizike, jer je raspolagala čvrstim logičkim sistemom i metodološkim osobinama koje su druge grane fizike i druge prirodne nauke tek pokušavale da izgrade.

2. OSNOVNI POJMOVI AKSIOME STATIKE x

Bazu mehanike čine aksiomi mehanike. Ove aksiome formulisao je Isak Njitn ( Isaac Newton, 1642.-1721.g. ) u svom monumentalnom djelu: “Philosophiae naturalis principia mathematica“ , nazivajuči ih “Axiomata sive leges motus“. “Aksiomi ili zakoni kretanja“ koje je Njutn utvrdio, navode se često kao Njutnovi zakoni. Aksiomi mehanike su slijedeči:

Slika 1. Prvi i drugi Newtonov zakon iz knjige Principia Mathematica na latinskom

U originalu, na latinskom, ga je Njutn zapisao:

Lex I:Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Prvi Aksiom: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja , sve dok pod uticajem sile ne bude prinuđeno da to stanje promjeni.

Ovaj zakon je Njutn napisao ovim riječima, na latinskom:

Lex II:Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Drugi Aksiom: promjena kretanja tijela proporcijalna je sili koja djeluje na tijelo i vrši se u pravcu i smjeru djelovanja sile.

Tekst zakona kako je Njutn zapisao na latinskom je

Lex III:Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

Treči aksiom: Uzajamni mehanički uticaji dvaju tijela ispostavljaju se silama koje su

jednakog pravca i intenziteta, a djeluju u suprotnim smjerovima. Krače: akciji uvijek odgovara jednaka reakcija suprotnog smjera.

Četvrti aksiom ili Zakon nezavisnosti dejstva predstavlja tekst koji u originalu služi kao dodatak uz Drugi aksiom i glasi: pri istovremenom dejstvu dvije sile na tijelo, ono opisuje dijagonalu paralelograma za isto vrijeme, za koje opiše njegove strane, pri dejstvu svake od sila ponaosob.

Da bi se aksiomi mehanike pravilno shvatili, potrebo je prije svega imati u vidu da se u njima pod pojmon “tijel“ zamišlja elementarni mehanički objekt koji nazivamo, materijalna tačka. Pod materijalnom tačkom podrazumjevamo geometrijsku tačku kojoj je pridodata masa. Materijalna tačka, tako definisana, predstavlja mehanički model tijela čije su dimenzije male ili u odnosu na druga tijela, ili ipak u odnosu na dimenzije putanje po kojoj ono vrši kretanje. Ovako definisana materijalna tačka predstavlja samostalna mehanički objekt. Međutim od materijalnom tačkom u mehanici podrazumjevamo i svaki infinitezimalni dio zapremine tijela sa odgovarajučom količinom mase sadršanom u tom infinitezimalnom dijelu zapremine tijela. U tom smislu svako tijelo, kao materijalni objekt, sastavljeno je od neograničenog skupa materijalnih tačaka. Pri formulaciji aksioma mehanikepod tijelom se prvenstveno misli na materijalnu tačku kao samostalan mehanički objekt.

Prvi aksiom mehanike, sa stanovišta mehaničkog uticaja na materijalnu tačku, utvrđuje ekvivalentnost stanja mirovanjai stanjatzv. Inercijalnog kretanja. Pod inercijanim kretanjem se uprqavo podrazumjeva način kretanja materijalne tačke koji je opisan u Prvom aksiomu. Oba navedena stanja materijalne tačke, prema Prvom aksiomu, održavaju se samo odsustvu mehaničkog uticja na materijanu tačku koji nazivamo, sila.

Dok prvi aksiom opisuje stanje koje karakteriše odsustvo dejstva sile, Drugi aksiom upravo opisuje dejstvo sile na materijalu tačku, dovodeči ga u vezu sa promjenom njenog stanja kretanja,kao posljedicom preciznije govoreći, promjena stanjakretanja materijalne tačke jeste promjena, u elementarnom intervalu vremena, veličine koje se nazivaju, količina kretanja materijalne tačke. Ova veličina definisana je proizvodom mase materijalne tačke i njenog vektora brzine. Označimo sa m – masu materijalne tačke, sa v – njen vektor brzinei sa

F⃗ - intenzitet, pravac i smjer djelovanja sile. Koristeči ove oznake, zapisujemo matematičku

formulaciju Drugog aksioma mehanike u obliku:ddt

(m⃗v) = F⃗ .

Kao je po definiciji,vektor ubrzanja a→ određen pravim izvodom vektora brzine po vremenu, to predpostavljajući nepromjenjivost mase materijalne tačke. Drugi aksiom mehanike zapisujemo u obliku:

m⃗ α = F⃗ .

U tom obliku prikazan,Drugi aksim utvrđuje vezu između sile, kod spoljnog mehaničkog uticaja na materijalnu tačku i ubrzanja, kao veličine koja karakteriše njeno stanje kretanja. Pod dejstvom sile, materijalna tačka dobija ubrzanje u pravcu i smjeru djelovanja sile, čiji je intenzitet proporcionalan intenzitetu sile i obrnuto proporcijonalan masi materijale tačke.

Trečim aksiomom određen je mehanički uticaj između dvije materijalne tačke kao samostalnih mehanički objekata, ili ipak između dva tijela, npr . , u u tački njihovog dodira. Dakle, uzajamni mehanički uticaj izražava se silama jednog intenziteta i pravca, a suprotnih smjerova. Za razliku od prva dva aksioma u kojima se sila pojavljuje kao dati spoljni mehanički uticaj na tijelo (materijalnu tačku), treči aksiom uvodi porijeklo sile kao mehaničkog uticaja jednog tijela na drugo.

Četvrti aksiom definitivno određuje silu kao vektorsku veličinu. Naime mehanički uticaji na tijelo, izraženi istovremenim dejstvom dvije sile, sabiraju se po pravilu paralelograma.

Slika 2.

Otud slijedi da je istovremeni uticaj dvije sile na materijalnu tačku mehanički ekvivalentan uticaju jedne jedine sile koja predstavlja njihov vektorski zbir.Takvu silu nazivamo rezultatom datih sila.

Njutnovi zakoni predstavljaju stanje apsolutnog mirovanja kao prirodno stanje u kome se nalaze materijalni objekti i iz koga oni bivaju izvedenji djelovanjem sila. U prirodi takvo stanje ne postoji. Prema odnosu na položaj nekog drugog tijela koje uslovno nazivamo posmatračem. U prirodi ne postoji posmatrač koji se nalazi u stanju apsolutnog mirovanja. Na taj način pojmovi mirovanja i kretanja uvijek se odnose na relativno stanje jednog mehaničkog objekta u odnosu na drugi. Postoji eksperiment koji bi mjerio apsolutno kretanje nekog mehaničkog objekta.

Predstave o mirovanju odnosno kretanju vezane su za pojmove prostora i vremena, kao osnovne pojmove mehanike. Njutnovi zakoni u svojoj osnovi sadrže pojam neograničenog okolnog prostorakoji se nalazi u stanju apsolutnog mirovanja kao i pojam apsolutnog vremena, takvog čija bi mjera imala jednu vrijednost u svim tačkama tog neograničenog okolnog prostora. Konvencijonalna shvatanja prostora i vremena koja su ugradžena u osnove Njutnove mehanike, dovedena su u pitanje radovima Alberta Ajnštajna (Einstein) (1879.-1955.g.). tvorca Opšte teorije relativnosti (1915.g.). Pod uticajem Ajnštajnove teorije razvija se Relativistička mehanika, u kojoj se izučavaju kretanja objekata

brzinama koje su uporedive sa brzinom svjetlosti i Kvantna mehanika, koja se bavi kretanjem mikročestica atoma. Treba međutim naglasiti da, stvaranjem novih pogleda na osnovne pojmove mehanike, te razvojem novih oblasti mehanike, nije osporen značaj i vrijednost klasične Njutnove mehanike. Nova saznanja su omogučila da se preciznije odrede granice prostornih i vremenskih domena u kojima Njutnova mehanika daje zadovoljavajuče rezultate, što je samim tim doprinos i njenoj afirmaciji. Kod izučavanja kretanja objekata na Zemlji ili na relativno malim odstojanjima od Zemlje i ukoliko se ti objekti kreću brzinam koje su male u odnosu na brzinu svjetlosti, Njutvova mehanika pruža potpuno zadovoljavajuću teorijsku osnovu za njihovo proučavanje.

U vezi sa formacijom aksioma mehanike, definisali smo materijalnu tačku kao elementarni mehanički objekt. Skup više materijalih tačaka čije se kretanje nalazi u uzajamnoj zavisnosti naziva se sistem materijalnih tačaka. Broj materijalnih tačaka u sistemu moze biti konačan, pa se pod sistemom materijalnih tačaka podrazumjeva skup konačnog broja materijalnih tačaka čije se kretanje nalazi u međusobnoj zavisnosti. Kada govorimo o tijelu, tada zamišljamo skup beskonačno mnogo materijalnih tačaka čije se kretanje nalazi u međusobnoj zavisnosti. Ako je taj skup materijalnih tačaka raspoređen u jednom dijelu prostora tako da svakoj geometrijskoj tački u tom dijelu prostora odgovara po jedna materijalna tačka, tada takav dio prostora predstavlja neprekidnu materijalu sredinu ili kontinuum. U mehanici se tijela prikazuju modelom neprekidne materijalne sredine. Model neprekidne sredine koristi se podjednako u Mehanici čvrstih tijela, Mehanici fluida i Mehanici gasova. Sastavni dio Mehanike čvrstih tijela čini Mehanika krutih tijela. Pod krutim tijelom misli se na model materijalne sredine koja neprekidno ispunjava zapreminu tijela, a koja ima osobinu da su rastojanja između bilo kog para materijalnih tačaka te sredine nepromjenljiva.

U okviru Mehanike krutog tijela vršimo podjelu na tri oblasti: Kinematiku Statiku i Dinamiku. U kinematici se proučavaju kretanja materijalnih objekata tj promjenu njihovog položaja u toku vremena, nezavisno od mase tih objekata i sila koje vrše uticaj na njihovo kretanje. U Kinematici se analizira sposobnost kretanja mehaničkih objekata i definiču veličine kojima se njihova kretanja mogu utpotpunosti opisati. Statika je dio Mehanike krutih tijela u kome se proučavaju odnosi između sila koje djeluju na različite mehaničke objekte, a pod čijim dejstvom ti objekti zadržavaju stanje mirovanja. Ako na jedan mehanički objekt djeluje jedan skup sila ne proizvodeći kretanje tog objekta tada kažemo da je taj skup sila u ravnoteži.Na taj način se u Statistici proučavaju uslovi ravnoteže skupova sila na različitim mehaničkim objektima.

U Dinamici se proučavaju kretanja krutih tijela i uopšte sistema materijalnih tačaka uključujući sisteme krutih tijela,a pod dejstvom datih mehanički uticaja.

Statika prestavlja najstariju oblast mehanike koja se počela razvijati u 3.vjeku prije nove ere uporedo sa razvojem Euklidovom geometrijom.Baveći se ravnotežom poluge i težištem tjela Arhimed stvara osnove tzv.geometrijske statike.

Dinamika uglavnom počinje sa Galilejom i Njutnom.Razvoj mehanike zavisio je od razvoja drugih naučnih oblasti naročito matematike tako da je između razvoja matematike i mehanike postojao uzajamni podsticaj.

Osnovne mjerne jedinice u mehanici su : dužina , vrijeme i masa .Ostale mehaničke veličine se izražavaju izvedenim mjernim jedinicama. Pri tome se koristi Medjunarodni sistem mjernih jedinica, Systeme Internetionale d Unites, Sl-sistem. Prema odluci XI generalne konferencije za mjere i tegove (Pariz 1971.g.) u mehanici koristimo slijedeće osnovne jedinice za mjerenje osnovnih veličina:

dužina.................... metar /m/

vrijeme...................sekund /s/

masa.......................kilogram/kg/

1N = 1 kg m s-2.

Izvedene množine i dijelovi njutna su, između ostalih:

dekanjutn /dαN /, 1 dαN = 10 N

hektanjutn /hN /, 1 hN = 10 N

kilonjutn /kN /, 1 kN = 10 N

meganjutn /MN /, 1 MN = 10 N

decinjutn /dN / 1 dN = 10 N

centinjutn /cN /, 1 cN = 10 N

milinjutn /mN /, 1 mN = 10 N

mikronjutn /µN /, 1 µN = 10 N

Napomije se da težina 1 kg mase na zemljinoj površini, uzimajući za ubrzanje Zemljine teže veličinu g = 9,80665 ms-2 iznosi:

9,80665 kg ms-2 = 9,80665 N = 0, 980665 dαN = 1 dαN

Ova težina odgovara težini 1dm3 čiste vode na 40C, na 450 geografske širine, na nivou mora

3.DEFINICIJA SILE U TEHNIČKOJ MEHANICI AKSIOME STATIKE

U odjeljku II dati su aksiomi Statike koji predstavljaju bazu teorije o ktetanju odnosno mirovanju krutih tijela i sistema krutih tijela i definisani osnovni pojmovi koji predstavljaju sredstva za istraživanje te teorije. Izdvojena je Statika kao dio Mehanike čiji je predmet izučavanje, kruto tijelo ili sistem krutih tijela u stanju mirovanja. Da bi se mogli opisati uslovi mirovanja, uvedeni su, nasuprot njima, pojmovi stepena slobodne kretanja i virtuelnih pomjeranja koji određuju sposobnost mehaničkog sistema, da napusti stanje mirovanja. Kao kriterijum za očuvanje stanja mirovanja, formulisan je Princip virtuelnih radova i Opšta jednačina Statike, kao njegov poseban oblik. Polazeći od toga kriterijuma izvedeni su uslovi ravnoteže, kao ograničenje u odnosu na sile ili konfiguraciju sistema, kod sistema koji raspolažu slobodom kretanja. Definisani su prosti i složeni nosači i izvedeni zaključci o broju i rasporedu veza kod takvih sistema i prikazan postupak za određivanje reakcije veza.

Ovaj uvodni odjeljak otvara široku mogućnost primjene na razlićite vrste problema iz oblasti Statike krutih tijela. Međutim uspješna i efikasna primjena Statike uslovljne aje detaljnom razradom pojedinih pitanja koja su u oviom uvodnom dijelu razmatrana uopšteno. Upravo to je i sadržano u odjeljcima koji slijede.izvršena je detaljna analiza sila i razmatrani različiti tipovi nosača.

Osnovu Mehanike predstavljaju njena četiri aksioma. Kada se razmatranja u Mehanici odnose isključivo na Statiku, tada se i aksiomimehanike prikazuju kao aksiomi Statike. Pri tome se,umjesto Drugog aksioma Mehanike koji povezuje silu sa promjenom stanja (količine) kretanja, uvodi Drugi aksiom Statike. Ovim aksiomom se postulira stanje mirovanjamaterijalne tačke izložene mehaničkom uticaju dvije sile jednakog intenziteta i pravca, a suprotnog smijera. Pored toga, aksiomi Statike i dopunski aksiom koji glasi:

Mehanički uticaj nekog sistema sila na kruto tijelo neće se pomjeriti, ako se ovom sistemu sila ili oduzme ravnotežni sistem.

Radi kasnijeg pozivanja navodimo sve aksiome Statike po uobičajenom redoslijedu:

Prvi aksiom: Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok pod uticajem sile ne bude prinuđeno da to stanje promjeni.

Drugi aksiom: Slobodno kruto tijelo ostaje u stanju mirovanja, ako na njega djeluju duž iste napadne linije dvije sile jednakog intenziteta, a suprotnih smjerova.

Slika 3.

Treći aksiom: Mehanički uticaj nekog sistema sila na kruto tijelo neće se promjeniti, ako ovom sisitemu doda ili oduzme ravnotežni sistem.

Četvrti aksiom: Mehanički uticaj na tijelo dvije sile koje dijeluju u istoj tački tijela u različitim pravcima jednak je uticaju jedne sile koja dijeluje u istoj tački, a određena je dijagonalom paralelograma konstruisanog na pravcima datih sila.

Slika 4.

Peti aksiom: Uzajamni mehanički uticaji dvaju tijela ispoljavaju se silama koje su jednakog intenziteta i pravca, djeluju u suprotnim smjerovima duž iste napadne linije.

Šeti aksiom: Svako vezano tijelo možemo smatratzi slobodnim, ako veze odbacimo, a njihov mehanički uticaj na tijelo zamjenimo silama, reakcijama veza.

Navednei aksiomi, svi sem Trečeg, nezahtijevaju poseban komentar, jer su ranije bili navedeni i prikazani. Treba pomenuti da Treći aksiom navodi na zaključak o sili kao o klizećem vektoru. Ovakva osobina sile bila je uočena u vezi sa pojmom redukcijonog momenta sile, jednačina. Međutim, postuliranjem Trećeg aksioma, dolazimo do slijedećeg načina razmišljanja o odnosu sile prema svojoj napadnoj tački: neka na tijelo djeluje sila F⃗

u tački A. Uočimo na napadnoj liniji sile F⃗ bilo koje tačke B i C i u njima dodjemo silu F⃗1 =

F⃗ i silu F⃗2 = - F⃗ . Na tijelo sada djeluje sila F⃗ i ravnoteža par sila F⃗1 i F⃗2 . Međutim,

silaF⃗2 je u ravnoteži i sa silo F⃗ u tački A.

Po trečem aksiomu oduzimamo tijelu ravnotežni par sila: Silu F⃗ u tački A i silu F⃗2 u tački C.

Ostaje sila F⃗1 = F⃗ u tački B. Dakle, napadnu tačku sile možemo proizvoljno pomjeriti po njenoj napadnoj liniji.

Slika 5.

4.SISTEM SUČELJNIH SILA

Trećim aksiomom mehanike sila je označen kao veličina kojom se izražava uzajamno mehaničko dejstvo jednog tijela na drugo. Prema Prvom aksiomu, uticaj sile se satoji u narušavanju inerconalnog stanja tijela, dok Drugi aksiom određuje način ispoljavanja sile na tijelo (materijalnu tačku). Konačno, četvrti aksiom utvrđuje vektorski način sabiranja dvije sile koje djeluju na istu materijalnu tačku.

Sila uvedena aksiomima mehanike djeluje na materijalnu tačku u datom pravcu i smjeeru. Geometrijska prava duž koje djeluje sila naziva se, napadna linija sile, a materijalna tačka na kojoj se ispoljava dejstvo sile, napadna tačka sile. Ovako opisana sila, koja može da djeluje na materijalnu tačku kao samostalni mehanički objekt, ili na materijalnu tačku u sustavu tijela, naziva se, koncentrisana sila. Veličina koncentrisane sile mjeri se dimenzijom:

F⃗= MLT-2

Koncentrisana sila predstavlja mehanički uticaj između dva mehanička objekta koji imaju dodir samo u jednoj tački. Pri tome nije neophodno da se radi o međusobnom uticaju dvije materijalne tačke, već i između dva tijela (npr. Kugla u dodiru sa prizmatičnim tijelom). Međutim, dodir dva tijela može biti ostvaren i po liniji odnosno po površini (npr. dodir valjkastog i prizmatičnog tijela odnosno dodir dva prizmatična tijela). U takvim slučajevima mehanički uticaj između jednog i drugog tijela biva raspoređen linijski odnosno površinski, te za odgovarajuće sile koristimo termine, linijski podjeljena sila odnosno površinski podjeljena sila. Na slici 6. prikazano je prizmatično tijelo kod koga se mehanički uticaj prenosi po dužini A-B, dok je na slici 7. prikazano prizmatično tijelo sa površinski podjeljenom silom na površinski pravugaonika A-B-C-D.

Slika 6. Slika 7.

U svim navedenim primjerima mehanički uticaj između dva mehanička objekta, izražen dejstvom sile,zamišljen je kao uticaj koji se odigrava u kontaktu dva objekta.Međutim mehanički uticaj između dva tijela ne sastoji se isključivo u silama koje djeluju na mjestima njihovog dodira.Poznato je da u prirodi vladaju gravitacione sile,kao što je npr.sila težine svakog tijela na i u blizini Zemlje. Gravitaciona sila raspoređena je na cijelu oblast tijela djelujući na svaki elementarni dio mase tijela. U navedenom primjeru radi se o zapreminski podijeljenoj sili.

Proširenje pojma sile na silu koja je podijeljena linijski ,površinski ili zapreminski na ovome mjestu treba shvatiti kao napomenu.

U vezi sa silama u mehanici se koriste izvjesni termini termini koji skraćuju način izražavanja.Skup svih sila koje djeluju na posmatrano tijelo od strane drugih tijela nazivamo sistem sila.Sile kojima druga tijela djeluju na posmatrano tijelo nazivaju se spoljne sile.Prema tome ,sistem sila jeste skup svih spoljnih sila koje djeluju na posmatrano tijelo.Međutim kao što postoji mehanički uticaj između dvaju tijela , tako isto postoji i mehanički uticaj kojim jedan dio tijela djeluje na drugi.Sile koje prestavljaju mehanički uticaj jednog dijela tijela na drugi dio i obratno nazivaju se unutrašnje sile .

Ako dva sistema sila vrše jednak mehanički uticaj na mehanički objekt,tada kažemo da su ta dva sistema sila mehanički ekvivalentna.Pojam mehaničke ekvivalentnosti dva sistema sila vezan je za Mehaniku krutog tijela ,a kriterijumi mehaničke ekvivalentnosti zasnivaju se na aksiomima mehanike.Jedna sila koja je mehanički ekvivalentna datom sistemu sila naziva se rezultanta tog sistema sila.Ovim se ne tvrdi da se svaki sistem sila može mehnički ekvivalentno zamijeniti jednom silom.Ako je neki skup sila mehanički ekvivalentan datoj sili tada taj skup sila nazivamo komponente date sila .Postupak zamjene datog sistema sila njegovom rezultantom ukoliko takva postoji naziva se slaganje sila.Obrnut postupak tj.mehanički ekvivalentna zamjena jedne sile skupom njenih komponenata naziva se razlaganje date sile.

5.SLAGANJE TRI SILE KOJE LEŽE U ISTOJ RAVNI

Neka je tijelo opterećeno sa tri sile koje leže u Ay-z ravni. Dakle, vektor sila je oblika

F⃗K = {0,YK, ZK}. Presječnu tačku napadnih linija dvije sile, npr: Sila F⃗1 i F⃗2 označimo

kordinatama (0, y0, z), a napadna tačka sile F⃗3 neka je određena kordinatama (0,y,z). Postavičemo uslove ravnoteže: ƩY = 0, ƩZ = 0, ƩMX = 0.

Kada se uzmu u obzir prva dva uslova ravnoteže, tada teći uslov postaje:

z – z0 =

Z3Y3

(y – y0 ) ,

Što predstavlja jednačinu prave kroz tačku ( 0,y0, z0 ). Dakle u slučaju ravnoteže, napana linija treće sile prolazi kroz presječnu tačku napadnih linija prve dvije sile.

Na taj način, na osnovu uslova ravnoteže u obliku:

Z1 + Z2 + Z3 = 0 → Z3 = - (Z1 + Z2)

z – z0 =

Z3Y3

(y – y0 ) ,

Zaključujemo: tri neparalelne sile u ravni mogu biti u ravnoteži onda i samo da ako su napadne linije sve tri sile sijeku u jednoj tački i ako je zbir ortogonalnih projekcija vektora sila na dva koordinatna pravca u ravni jednak nulu. Ovaj stav u uslovima ravnoteže tri sile u ravni ima čestu praktičnu vrijednost.

6. MOMENT SILE NA TAČKU

Sila F⃗ dijeluje na kruto tijelo u tački P. U tijelu je obilježena osa s⃗ sa jediničnim vektorom s⃗0 koja može da predstavlja geometrijsku osu, a može biti shvaćena i kao osa oko koje tijelo ima slobodnu rotaciju (prava kroz dvije nepokretne tačke tijela).

Slika 8.

SiluF⃗možemo da redukujemo na neku tačku na osi. Odgovarajući redukcioni moment je:

M⃗ (A) = p⃗ xF⃗

pri redukcijin na tačku A. Izračunačemo algebarsku vrijednost projekcije vektora M⃗ (A) na osu s⃗, Ms = M⃗

(A) s⃗0 .

Pokazaćemo da projekcija Ms ne zavisi od položaja redukcione tačke na osi. U tom cilju nalazimo redukcioni moment za tačku A1 koji takođe projekrujemo na osu:

Koko je, porema slici 8: to je :

Drugi sabirak sa desne strane je nula, jer predstavlja mješoviti proizvod tri vektora od koji su dva istog pravca. Otud zakljućujemo:

Na osnovu ovoga definišemo. Moment sile F⃗ na osu s⃗ nalazimo kao projekciju na osu s⃗

redukcijom momenta sile F⃗ dobijemo redukcijom sile na bilo koju tačku ose.

Osa s⃗ i napadna tačka sile čine ravan čiju smo normalu na slici 9a označili jediničnim vektorom e⃗2. Jedinični vektor e⃗1 ima pravac normale spuštene iz tačke P na osu s⃗. Jedinični vektori e⃗1-e⃗2-s⃗0 čine ortogonalni trijedar, pri čemu e⃗1 i e⃗2 pripadaju ravni normalnoj na osu, povučenoj u tački P. Prodor ose s⃗ kroz tu ravan je A0, a rastojanje PA0 = d.

Razložičemo silu F⃗ u tački P na tri nekomplanarne konponente.

Slika 9.

F⃗1 = F1e⃗1 , F⃗2 = F2e⃗2 , F⃗3 = F3s⃗0 ,

Što je prikazano na slici 9a. Izračunačemo moment sile na osu preko naznačenih konponenata sile:

Ms = (s0 xde⃗1) ∙ (F1e⃗1+F2e⃗2+F3s⃗0) = d∙F2 ,

Gdje smo iskoristili mogućnost komutacije znaka skalarnog i vektorskog proizvoda u mješovitom proizvodu koji je određen moment sile za osu. Dakle moment sile za osu nalazimo kao proizvod normalnog rastojanja napadne tačke sile na osu i projekcija sile na na pravac normale na ravan koju čine osa i normalana tačka sile.

Na slici 9b. Prikazana je projekcija sile F⃗ na ravan normalnu na osu:

F⃗ = F1e⃗1 + F2e⃗2 ; ( F = √ 2F1+

2F1

¿¿.

Večina momenta sile za osu izračunata jednačinom:

Ms = (so xde⃗1) ∙ (F1e⃗1+F2e⃗2+F3s⃗o) = d∙F2 ,

Može biti određena na proizvod: d1∙→ jer se na slici 9b vidljivo da je površina trougla A0PQ1 jednaka površini trougla A0PQ2 (dok je moment sile na osu jednak dvostrukoj površini naznačenih trouglov, pri čemu se strane trougla očitavaju u odgovarajućoj razmjeni za sile odnosno za dužine). Prema tome: moment sile na osu nalazimo kao proizvod projekcije sile na ravan normalnu na osu i duži povučene iz tačke Ao (na osi) normalno na projekciju sile na tu ravan. Moment na osu je pozitivan, ako se iz vrha vektora s⃗ vidi obrtanje redukcionog momenta sile F⃗ za tačku A0 kao obrtanje u smijeru suprotnom od smijera satne kazaljke. Moment na osu je nula, ako sila siječe osu ili je paralelna osi.

Analitički izraz za moment sile za osu nalazimo, ako se veličine preko kojih se izražava veličina Ms = M⃗

(A) s⃗0 . prikažemo u kordinatnom obliku, uvodeći pri tome neki kordinatni sistem, npr; A-x-y-z, sa početkom na osi obrtanja.

Slika10.

Na slici 10. Prikazan je pravougli Dekartov koordinatni sistem sa početkom u proizvoljnoj

tački A na osi s⃗ . Označimo sa α,β,γ – uglove koji jedinični vektor s⃗o gradi sa jediničnim

vektorom koordinatnih osa. Napadana tačka sile određena je kordinatama F⃗ (X,Y.Z).

Polazeči od izraza Ms = M⃗ (A) s⃗0 . nalazimo da je moment sile za osu određen kao mješoviti

proizvod vektora s⃗o , r⃗ i F⃗, pa se otuda može izračunati pomoću slijedeće determinante:

Ms = (so r F) = cos α cos β cos γ

x y zX Y Z

U razvijenom obliku ovaj izraz glasi: Ms = (yZ – zY ), My = zX –xZ ) cosβ+(xY –yX )cosγ .

Specijalno iz gore navedenog izraza dobijemo slijedeće izraze za moment sile F⃗ oko

koordinatnih osa, stavljajući da je cosα = 1, cosβ = 0, cosγ = 0 i td. Ovi izrazi glase:

Mx = yZ – zY, My = zX – xZ, Mz = xY – yX

Redukcioni moment sile F⃗ dat jednačinom M⃗ (A) = p⃗ xF⃗ može se preko momenta sile oko koordinatnih osa izraziti u obliku:

M⃗ (A) = r⃗ x F⃗ =i⃗ j⃗ k⃗x y zX Y Z