tehnicka mehanika 2 - grf.bg.ac.rs · pdf filekinematika krutog tela ravno kretanje krutog...
TRANSCRIPT
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢
email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2017/18
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Posmatra se telo koje vr²i sferno kretanje
Neka je telo izvr²ilo kona£an broj sukcesivnih elementarnihrotacija oko ta£ke A
�~θ1, �~θ2, �~θ3, . . .
Posmatra se proizvoljna ta£ka tela P sa vektorom poloºaja ~ρ
Traºi se UKUPNO elementarno pomeranje koje je rezultatsuperpozicije kona£nog broja elementarnih rotacija
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Posle prve elemetarne rotacije �~θ1 elementarno pomeranjeta£ke je dato sa
d~ρ1 = �~θ1 × ~ρ
Vektor poloºaja ta£ke je tada dat sa:
~ρ1 = ~ρ+ d~ρ1 = ~ρ+ �~θ1 × ~ρ (1)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Posle druge elemetarne rotacije �~θ2 elementarno pomeranjeta£ke je dato sa
d~ρ2 = �~θ2 × ~ρ1Vektor novog poloºaja ta£ke je tada dat sa:
~ρ2 = ~ρ1 + d~ρ2 = ~ρ1 + �~θ2 × ~ρ1 (2)
Unose¢i (1) u (2) dobija se
~ρ2 = ~ρ+ �~θ1 × ~ρ+ �~θ2 × (~ρ+ �~θ1 × ~ρ)
odnosno, posle sre�ivanja
~ρ2 = ~ρ+ (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ) (3)S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Posle tre¢e elemetarne rotacije �~θ3 elementarno pomeranjeta£ke je dato sa
d~ρ3 = �~θ3 × ~ρ2Vektor novog poloºaja ta£ke je tada dat sa:
~ρ3 = ~ρ2 + d~ρ3
Unose¢i iz (3) ~ρ2 dobija se
~ρ3 = ~ρ+ (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)
+ �~θ3 × [~ρ+ (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)](4)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Sre�ivanjem izraza (4) se dobija
~ρ3 = ~ρ+ (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)
+ �~θ3 × (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ3 × �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)(5)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Posle svake od elementarnih rotacija prira²taj vektora poloºaja~ρ je dat sa
~ρ1 − ~ρ = �~θ1 × ~ρ
~ρ2 − ~ρ = (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)
~ρ3 − ~ρ = (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3)× ~ρ+ �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)
+ �~θ3 × (�~θ1 + �~θ2)× ~ρ+ �~θ3 × �~θ2 × (�~θ1 × ~ρ)
(6)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Posle tri uzastopne elementarne rotacije ukupno elementarnopomeranje ta£ke P je dato sa
−−→PP ′ = d~ρ = ~ρ3 − ~ρ = (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3)× ~ρ
+∞ male veli£ine 2. i vi²eg reda(7)
Zanemaruju¢i ∞ male veli£ine 2. i vi²eg reda, dobija se,indukcijom, za proizvoljan kona£an broj �~θi:
d~ρ = (�~θ1 + �~θ2 + �~θ3 + · · · )× ~ρ =n∑i=1
�~θi × ~ρ (8)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Sabiranje elementarnih rotacija (sferno kretanje)
Ako se izraz (8) napi²e u obliku
d~ρ = �~θ × ~ρ
onda je vektor �~θ dat kao vektorski zbir uzastopnihelementarnih rotacija:
�~θ = �~θ1 + �~θ2 + �~θ3 + · · · (9)
Vaºi komutativnost u superpoziciji elementarnih rotacija
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Sabiranje KONA�NIH rotacija
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
Posmatra se veza izme�u vektora elementarne rotacije �~θ ielementarne promene Ojlerovih uglova dψ, dϑ i dϕ
Trenutna osa rotacije je prava oko koje se telo obr¢e utrenutku t, a tako�e i kao materijalna prava linija u telu duºkoje su u tom trenutku brzine ta£aka jednake nuli
Vektor elementarne rotacije �~θ je de�nisan kao vektor koji imapravac trenutne ose rotacije
Vektor �~θ moºe da se razlaºe (kao i svaki vektor) na izabranekoordinatne ose: sistem xyz ili sistem ξηζ
�~θ = �θx~ı+ �θy~+ �θz~k �~θ = �θξ~λ+ �θη~µ+ �θζ~ν
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
Imaju¢i u vidu sabiranje elementarnih rotacija, PROIZVOLJANvektor elementarne rotacije �~θ moºe da se prikaºe kaovektorski zbir tri elementarne rotacije koje odgovarajuelementarnim prira²tajima Ojlerovih uglova:
�~θ = d~ψ + d~ϑ+ d~ϕ = dψ~k + dϑ~n+ dϕ~ν (10)
Relacija (10) se podeli sa dt, pa se dobija veza izme�u vektoraugaone brzine i Ojlerovih uglova:
~ω = ψ~k + ϑ~n+ ϕ~ν (11)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
Imaju¢i u vidu de�niciju Ojlerovih uglova, kao i relacije izme�ujedini£nih vektora u fazama tri kona£ne rotacije za uglove ψ, ϑi ϕ, kao i veze izme�u elemenata matrice rotacije i Ojlerovihugolva, vektor elementarne rotacije (10) moºe da se prikaºe usistemu inercijalnih osa xyz kao:
�~θ =~ı(dϑ cosψ + dϕ sinψ sinϑ)
+ ~(dϑ sinψ − dϕ cosψ sinϑ)
+ ~k(dψ + dϕ cosϑ)
(12)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije usistemu xyz su
�θx = dϑ cosψ + dϕ sinψ sinϑ
�θy = dϑ sinψ − dϕ cosψ sinϑ
�θz = dψ + dϕ cosϑ
(13)
Koordinate vektora ugaone brzine u sistemu xyz su onda datesa
ωx = ϑ cosψ + ϕ sinψ sinϑ
ωy = ϑ sinψ − ϕ cosψ sinϑ
ωz = ψ + ϕ cosϑ
(14)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
Na sli£an na£in, vektor elementarne rotacije (10) moºe da seprikaºe u sistemu materijalnih osa ξηζ kao:
�~θ = ~λ(dψ sinϕ sinϑ+ dϑ cosϕ)
+ ~µ(dψ cosϕ sinϑ− dϑ sinϕ)
+ ~ν(dψ cosϑ+ dϕ)
(15)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Sabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
Kinematika krutog tela
Veza izme�u Ojlerovih uglova i vektora �~θ
Prema tome, koordinate vektora elementarne rotacije usistemu ξηζ su
�θξ = dψ sinϕ sinϑ+ dϑ cosϕ
�θη = dψ cosϕ sinϑ− dϑ sinϕ
�θζ = dψ cosϑ+ dϕ
(16)
Tako�e, koordinate vektora ugaone brzine u sistemu ξηζ sudate sa
ωξ = p = ψ sinϕ sinϑ+ ϑ cosϕ
ωη = q = ψ cosϕ sinϑ− ϑ sinϕ
ωζ = r = ψ cosϑ+ ϕ
(17)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Ravno kretanje krutog tela
De�nicija ravnog kretanja
Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje tela prikome sve ta£ke tela vr²e kretanje paralelno jednoj istoj ravni ipri kome sve ta£ke tela koje pripadaju istoj pravoj, normalnojna ovu ravan, opisuju podudarne putanje, svaka u ravni kojojpripada
Alternativna de�nicija ravnog kretanja:
Ravno (ravansko) kretanje krutog tela je takvo kretanje telakod koga se tri ta£ke tela stalno kre¢u u istoj ravni(A,B,C ∈ π)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Ravno kretanje krutog tela
De�nicija ravnog kretanja
Ako su tri proizvoljne ta£ke tela A, B, C stalno u istoj ravni πtokom kretanja tela, onda telo moºe da se obr¢e SAMO okoose upravne na tu ravan π
Sve ta£ke tela na normali na ravan π vr²e ISTO kretanje
Da bi se pratilo kretanje tela koje vr²i ravno kretanje, dovoljnoje da se posmatra kretanje preseka tela sa ravni π
Umesto koordinate 3 ta£ke (kao kod op²teg kretanja tela),dovoljno je da su poznate koordinate dve ta£ke, A i B, koje sestalno kre¢u u ravni π
Telo koje vr²i ravno kretanje ima TRI stepena slobode kretanjan = 3
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Ravno kretanje krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela
Broj stepeni slobode kretanja: n = 3
Posmatra se presek tela sa ravni kretanja π i usvajaju seinercijalni i materijalni sistem na slede¢i na£in:
Ose Oz i Aζ su stalno me�usobno paralelneRavni Oxy i Aξη se poklapaju me�usobno i sa ravni kretanja π
Ojlerovi uglovi su, prema tome,- z ‖ ζ ⇒ ϑ = 0- ∠(x, ξ) = ψ + ϕ = θ
Generalisane koordinate (za opisivanje poloºaja, odn. kretanjatela):
q1 = xA, q2 = yA, q3 = θ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Ravno kretanje krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Kona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela
Kona£ne jedna£ine ravnog kretanja krutog tela (n = 3)
q1 = xA(t)
q2 = yA(t)
q3 = θ(t)
Kona£ne jedna£ine ta£ke tela koje vr²i ravno kretanje
~r = ~rA + ~ρ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Kona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela
Vektori ~rA i ~ρ su, za ravansko kretanje, dati sa
~rA = xA~ı+ yA~ ~ρ = ξ~λ+ η~µ
Relacije izme�u jedini£nih vektora su date sa
~λ =~ı cos θ + ~ sin θ
~µ = −~ı sin θ + ~ cos θ(18)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Kona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela
Izraºavanjem ~λ i ~µ preko ~ı i ~, posle sre�ivanja se dobijajukona£ne jedna£ine kretanja ta£ke tela koje vr²i ravno kretanje
x = xA + ξ cos θ − η sin θ
y = yA + ξ sin θ + η cos θ
ili u matri£nom oblikuxyz
=
xAyAzA
+
cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
T ξηζ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema
�alova teorema (specijalan slu£aj Dalamberove teoreme):Svako kona£no pomeranje pri ravnom kretanju moºe da sepredstavi kao kona£na rotacija oko odre�ene ose ⊥ na ravankretanja
Presek ose ekvivalentne rotacije i ravni kretanja je centarkona£ne rotacije
Ravno kretanje moºe da se shvati i kao grani£ni slu£aj sfernogkretanja kada je nepokretna ta£ka u ∞ (radijus sfere je ∞veliki)
Ose ekvivalentne rotacije su me�usobno ‖S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema
Posmatra se duº AB, kao reprezent ravnog kretanja tela
U trenutku t1 duº (odn. telo) je u poloºaju (I), AB, a utrenutku t2 duº je u nekom kona£no udaljenom poloºaju (II),A′B′
Bez obzira kakvo je stvarno kretanje iz poloºaja (I) u poloºaj(II), to kretanje moºe da se prikaºe kao jedna kona£na rotacijaoko neke ta£ke C (odn. oko ose upravno na ravan kretanja uta£ki C)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema
Ta£ka A se spoji linijom sa ta£kom A′, a ta£ka B se spojilinijom sa ta£kom B′
Ta£ka M je na sredini duºi AA′, dok je ta£ka N na srediniduºi BB′
Iz ta£ke M se povu£e osa simetrije za duº AA′, a iz ta£ke Nosa simetrije na duº BB′
Presek te dve ose simetrije je ta£ka C - centar kona£nerotacije tela (odn. duºi AB)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema
Uo£avaju se dva trougla 4ABC i 4A′B′C
Ova dva trougla su podudarna, jer su im sve tri stranice iste:- AC = A′C . . . kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije- BC = B′C . . . kao udaljenje krajeva duºi od ose simetrije- AB = A′B′ . . . pretpostavka o krutom telu
Prema tome, i uglovi izme�u odgovaraju¢ih stranica su isti:
∠ACB = ∠A′CB′ (19)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - �alova teorema
Relaciji (19) se doda isti ugao:
∠ACB + ∠BCA′ = ∠BCA′ + ∠A′CB′
Posle sabiranja uglova, dobija se jednakost uglova
∠ACA′ = ∠BCB′ (20)
Relacija (20) zna£i da su ta£ke A i B, pri datom kona£nompomeranju tela koje vr²i ravno kretanje, dospele u kona£anpoloºaj posle obrtanja za isti kona£an ugao oko zajedni£kogcentra C
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Centar kona£ne rotacije se odnosi na proizvoljan kona£aninterval vremena ∆t
Trenutni centar rotacije je grani£ni poloºaj centra kona£nerotacije za ∆t→ dt→ 0
Presek trenutne ose rotacije i ravni kretanja je trenutni centarrotacije. To je
• ona ta£ka u ravni kretanja oko koje se presek tela u ravnikretanja obr¢e u posmatranom trenutku, ili• ona ta£ka tela £ija je brzina, u posmatranom trenutku,jednaka nuli
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
De�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela
Ravno kretanje moºe da se posmatra kao sukcesivan niz ∞mnogo elementarnih rotacija oko trenutnih centara rotacije
Ose upravno na ravan kretanja u trenutnom centru su trenutneose rotacije
Sve trenutne ose rotacije su me�usobno ‖, odn. upravne naravan kretanja
U tom smislu, ravno kretanje moºe da se posmatra i kaosferno kretanje, pri £emu je nepokretna ta£ka u beskona£nostina pravcu upravno na ravan kretanja
Geometrijsko mesto svih trenutnih osa rotacije kod ravnogkretanja je cilindri£na povr², a ne konus, kao kod "pravog"sfernog kretanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje
Ugaona brzina pri ravnom kretanju krutog tela je uvek ⊥ naravan kretanja π
~ω = ω~k = ω~ν gde je ω(t) = θ(t)
Vektor ugaone brzine je izvod ugla θ po vremenu
Brzina proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje, pa prematome i ravno kretanje, je data sa Ojlerovom relacijom
~v = ~vA + ~ω × ~ρ (21)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje
U slu£aju ravnog kretanja ~ω je uvek ⊥π, dok je ~ρ uvek u ravniπ: ~ρ ∈ πSkalarni proizvod ~ω × ~ρ se dobija u obliku
~ω × ~ρ =
∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν0 0 ωξ η 0
∣∣∣∣∣∣ = −ωη~λ+ ωξ~µ
Relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosu na sistemxy, kao
x = xA − ω(ξ sin θ + η cos θ)
y = yA + ω(ξ cos θ − η sin θ)(22)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje
Imaju¢i u vidu relacije (18) izme�u jedini£nih vektora,
~λ =~ı cos θ + ~ sin θ
~µ = −~ı sin θ + ~ cos θ(23)
inverzne relacije su date sa
~ı = ~λ cos θ − ~µ sin θ
~ = ~λ sin θ + ~µ cos θ(24)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje
Prema tome, brzina referentne ta£ke A: ~vA = xA~ı+ yA~ sedobija, posle sre�ivanja, kao
~vA = (xA cos θ + yA sin θ)~λ+ (−xA sin θ + yA cos θ)~µ
Sa ovim, relacija (21) se dobija, u skalarnom obliku u odnosuna sistem ξη, kao
vξ = xA cos θ + yA sin θ − ωηvη = −xA sin θ + yA cos θ + ωξ
(25)
vξ i vη sa KVAZIBRZINE - NISU izvodi po vremenu nekihkoordinata
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje
Ugaono ubrzanje pri ravnom kretanju krutog tela
~ε = ε~k = ε~ν gde je ε = ω(t) = θ(t)
Ugaono ubrzanje kod ravanskog kretanja je 2. izvod povremenu ugla obrtanja θ: ε = θ
Ubrzanje proizvoljne ta£ke tela koje vr²i op²te kretanje je datosa relacijom
~a = ~aA + ~ε× ~ρ+ ~ω × (~ω × ~ρ)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - brzina i ubrzanje
Kako je, kod ravanskog kretanja uvek ~ρ⊥~ω, to se dvostrukivektorski proizvod svodi na
~ω × (~ω × ~ρ) = ~ω(~ω · ~ρ)− ω2 ~ρ = −ω2 ~ρ
Prema tome, ubrzanje ta£ke tela koje vr²i ravansko kretanje jedato sa
~a = ~aA + ~ε× ~ρ− ω2~ρ
- ubrzanje referentne ta£ke: ~aA- tangencijalno ubrzanje: ~ε× ~ρ- normalno ubrzanje: −ω2~ρ (usmereno ka referentnoj ta£ki A)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanju
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Skalarni oblik ubrzanja ta£ke kod ravanskog kretanja
Ubrzanje ta£ke tela u sistemu inercijalnih osa xy
ax = x = xA − ε(ξ sin θ + η cos θ)− ω2(ξ cos θ − η sin θ)
ay = y = yA + ε(ξ cos θ − η sin θ)− ω2(ξ sin θ + η cos θ)
Ubrzanje ta£ke tela u sistemu materijalnih osa ξη
aξ = xA cos θ + yA sin θ − εη − ω2ξ
aη = −xA sin θ + yA cos θ + εξ − ω2η
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Trenutni centar rotacije je ona ta£ka u ravni kretanja oko kojese obr¢e presek tela sa ravni kretanja u tom trenutku
Trenutni centar rotacije je ona ta£ka tela £ija je brzina u tomtrenutku jednaka nuli
Trenutni centar rotacije je ta£ka S(xS , yS) ili S(ξS , ηS)
Uslov za odre�ivanje ta£ke S je ~vS = 0, odnosno,
~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 (26)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Uslovna jedna£ina (26) se transformi²e
~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 /~ω×
Dobija se~ω × ~vA + ~ω × (~ω × ~ρS) = 0
odnosno, razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda,
~ω × ~vA + ~ω(~ω · ~ρS)− ω2 ~ρS = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Kako je ~ω · ~ρS = 0, zbog ortogonalnosti vektora, to se dobijare²enje za vektor poloºaja ta£ke S u odnosu na referentnuta£ku A:
~ρS =~ω × ~vAω2
Vektor poloºaja trenutnog centra rotacije u osnosu na ta£ku Oje dat sa
~rS = ~rA + ~ρS = ~rA +~ω × ~vAω2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Vektorski proizvod ~ω × ~vA, izraºen u sistemu xyz, iznosi
~ω × ~vA =
∣∣∣∣∣∣~ı ~ ~k0 0 ωxA yA 0
∣∣∣∣∣∣ = −ω yA~ı+ ω xA ~
Vektor poloºaja u odnosu na nepokretnu ta£ku O,~rS = ~rA + ~ρS , dobija se, razlaganjem na prostorne koordinatexy, kao:
xS = xA −1
ωyA
yS = yA +1
ωxA
(27)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Posmatra se poloºaj trenutnog centra rotacije u materijalnomsistemu ξη
Uslov za odre�ivanje ta£ke S je ~vS = 0, odnosno
~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 (28)
Vektor brzine referentne ta£ke A u sistemu ξη je dat sa
~vA = (xA cos θ + yA sin θ)~λ+ (−xA sin θ + yA cos θ)~µ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Skalarni proizvod ~ω × ~ρS se dobija u obliku
~ω × ~ρ =
∣∣∣∣∣∣~λ ~µ ~ν0 0 ωξS ηS 0
∣∣∣∣∣∣ = −ω ηS ~λ+ ω ξS ~µ
Uslovna jedna£ina (28) se projektuje na ose materijalnogsistema
~vS = ~vA + ~ω × ~ρS = 0 / ·~λ~µ
pri £emu se brzina ~vA posmatra u sistemu ξη
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Dobija se:
xA cos θ + yA sin θ − ω ηS = 0
−xA sin θ + yA cos θ + ω ξS = 0
Re²avanjem se dobijaju materijalne koordinate trenutnogcentra rotacije:
ξS =1
ω(xA sin θ − yA cos θ)
ηS =1
ω(xA cos θ + yA sin θ)
(29)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - baza i ruleta
Trenutni centar rotacije u sistemu inercijalnih koordinata:
xS = xA −1
ωyA
yS = yA +1
ωxA
(30)
Trenutni centar rotacije u sistemu materijalnih koordinata:
ξS =1
ω(xA sin θ − yA cos θ)
ηS =1
ω(xA cos θ + yA sin θ)
(31)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - baza i ruleta
Jedna£ine (30) su parametarske jedna£ine (vreme t jeparametar) krive linije u sistemu inercijalnih osa Oxy
Jedna£ine (31) su parametarske jedna£ine (vreme t jeparametar) krive linije u sistemu materijalnih osa Aξη
Geometrijsko mesto ta£aka (30) u sistemu nepokretnih osa sezove NEPOKRETNA CENTROIDA ili BAZA (kriva linija uravni Oxy)
Geometrijsko mesto ta£aka (31) u sistemu pokretnih osa sezove POKRETNA CENTROIDA ili RULETA (kriva linija uravni Aξη)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - baza i ruleta
Baza je geometrijsko mesto ta£aka (izraºeno u sistemu Oxy)oko kojih se telo obrtalo tokom ravanskog kretanja
Baza je geometrijsko mesto ta£aka u prostoru Oxy kojepretstavljaju trenutne centre rotacije
Ruleta je kriva linija u telu koja predstavlja geometrijsko mestota£ka u kojima je, u pojedinim trenucima vremena, brzina bilajednaka nuli
Ruleta se pomera u odnosu na Oxy ravan i pri tome se usvakom trenutku vremena po jedna ta£ka rulete POKLAPA sapo jednom ta£kom baze (to je trenutni centar rotacije u tomtrenutku)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - baza i ruleta
Izme�u baze i rulete postoje slede¢i odnosi:- U zajedni£koj ta£ki (u trenutnom centru rotacije u tomtrenutku) baza i ruleta imaju zajedni£ku tangentu (dodir prvogreda)
- Brzine kojima se trenutni centar pomera po jednoj i po drugojkrivoj su me�usobno jednake
- Ruleta se kotrlja po bazi bez klizanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Kada se poznaje poloºaj trenutnog centra rotacije S, ondamoºe da se ta£ka S usvoji za novu referentnu ta£ku
U tom slu£aju je brzina referentne ta£ke jednaka nuli: ~vS = 0,pa je brzina bilo koje ta£ke tela P , koje vr²i ravansko kretanje,data sa
~v = ~ω × ~ρ (32)
gde se podrazumeva da se ~ρ meri od nove referentne ta£ke
~ρ =−→SP
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Imaju¢i u vidu relaciju (32), odnosno izraz za brzinu ~v = ~ω × ~ρ,moºe da se zaklju£i slede¢e
1 Vektor brzine svake ta£ke tela je upravan na pravac potegapovu£enog iz trenutnog centra rotacije ka toj ta£ki
2 Intenzitet brzine ta£ke je proporcionalan sa rastojanjem ta£keod trenutnog centra rotacije
3 Smer brzine ta£ke zavisi od smera ugaone brzine
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - trenutni centar rotacije
Poloºaj trenutnog centra rotacije se obi£no odre�uje direktno,iz zadatih uslova kretanja i postoje¢ih veza, a neizra£unavanjem relacija (27) ili (29)
Pravac brzine ta£ke je upravan na liniju koja spaja ta£ku satrenuntim centrom rotacije
Prema tome, ako je poznat pravac brzina dve razli£ite ta£ketela, trenutni centar rotacije se nalazi na preseku normala napravce brzina te dve ta£ke
Ako je telo koje vr²i ravansko kretanje u nekoj ta£ki vezanonepokretnim osloncem, onda je ta ta£ka trenutni centarrotacije (odn. telo vr²i rotaciju oko nepokretne ose koja jeupravna na ravan kretanja, a nalazi se u toj ta£ki, odn. unepokretnom osloncu)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - Teorema o tri centra
Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijeva teorema):Ako su dve plo£e koje vr²e ravno kretanje me�usobno zglobnopovezane, onda se trenutni centri rotacija plo£a i me�uzglobnalaze na jednoj liniji
Posmatraju se dve krute plo£e, (1) i (2), koje se kre¢u u ravniOxy, pri £emu su plo£e me�usobno zglobno vezane u ta£ki C
Pretpostavlja se da su poznati trenutni centri rotacija plo£a:ozna£eni, redom, sa S1 i S2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Teorema o tri centra (Aronhold-Kenedijevateorema)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - Teorema o tri centra
Posmatra se plo£a (1) i neka je ~ρ1 vektor poloºaja zajedni£keta£ke C u odnosu na S1Ako je ~ω1 vektor ugaone brzine plo£e (1), onda je vektorbrzine ta£ke C, posmatrane kao deo tela (1), dat sa
~vC1 = ~ω1 × ~ρ1
Sli£no, ako je ~ω2 vektor ugaone brzine tela (2), a ~ρ2 vektorpoloºaja ta£ke C u odnosu na S2, onda je brzina ta£ke C,posmatrane kao deo tela (2), data sa
~vC2 = ~ω2 × ~ρ2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - Teorema o tri centra
Ta£ka C je zajedni£ka za obe plo£e, pa brzina ta£ke C mora dabude jedinstvena, odn., mora da bude
~vC1 = ~vC2 t.j. ~ω1 × ~ρ1 = ~ω2 × ~ρ2 (33)
Vektori ugaonih brzina kod ravanskog kretanja moraju da buduupravni na ravan kretanja, tako da je
~ω1 = −ω1~k ~ω2 = ω2
~k
Znak ugaone brzine tela (1) je negativan zbog prikazanogpretpostavljenog smera obrtanja (u smeru kazaljke na satu)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Kinematika krutog tela
Ravno kretanje krutog tela - Teorema o tri centra
Unose¢i ugaone brzine u relaciju (33) dobija se
−ω1~k×~ρ1 = ω2
~k×~ρ2 odnosno ~k×(ω1~ρ1+ω2~ρ2) = 0 (34)
Vektorski proizvod (34) ¢e da bude jednak nuli, samo ukolikoje izraz u zagradi jednak nuli:
ω1~ρ1 + ω2~ρ2 = 0 odnosno ~ρ1 = −ω2
ω1~ρ2 (35)
Relacija (34) zna£i da su vektori ~ρ1 i ~ρ2 me�usobno kolinearni,odnosno da se ta£ke S1, C = S12 i S2 nalaze na jednom pravcu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Sadrºaj
1 Kinematika krutog telaSabiranje elementarnih i kona£nih rotacijaOjlerovi uglovi i vektor elementarne rotacije
2 Ravno kretanje krutog telaDe�nicija ravnog kretanjaKona£ne jedna£ine kretanja tela i ta£ke tela�alova teorema (centar kona£ne rotacije)
3 Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuBrzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
4 Primer - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja tela koje vr²i ravansko kretanje je onata£ka tela u kojoj je, u posmatranom trenutku, ubrzanjejednako nuli
Ubrzanje ta£ke tela koje vr²i ravansko kretanje je dato sa
~a = ~aA + ~ε× ~ρ− ω2 ~ρ
Ako je ta£ka C trenutni centar ubrzanja, onda je ~aC = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Relacija ~aC = 0 se mnoºi sa leve strane vektorski sa ~ε, a zatimi sa ω2:
~aC = ~aA + ~ε× ~ρC − ω2 ~ρC = 0 /~ε×ω2· ⇒
Dobija se:
~ε× ~aA + ~ε× (~ε× ~ρC)− ω2(~ε× ~ρC) = 0
ω2~aA + ω2(~ε× ~ρC)− ω4~ρC = 0(36)
Sabiranjem jedna£ina (36) se dobija
~ε× ~aA + ~ε× (~ε× ~ρC) + ω2~aA − ω4~ρC = 0 (37)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Dvostruki vektorski proizvod u (37) se razvije
~ε× (~ε× ~ρC) = ~ε · (~ε · ~ρC)− ε2~ρC = −ε2~ρC
jer su vektori ~ε i ~ρC me�usobno ortogonalni
Sa ovim, relacija (37) postaje
~ε× ~aA − ε2~ρC + ω2~aA − ω4~ρC = 0 (38)
odakle se direktno dobija vektor poloºaja ta£ke C:
~ρC =ω2~aA + ~ε× ~aA
ω4 + ε2(39)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
Relacijom (39) je odre�en poloºaj trenutnog centra ubrzanja uodnosu na referentnu ta£ku A
Sa odre�enim poloºajem trenutnog centra ubrzanja C, ta£ka Cse usvaja za novu referentnu ta£ku
U tom slu£aju je ubrzanje bilo koje druge ta£ke tela P dato sa
~aP = ~ε× ~ρP − ω2 ~ρP
gde je ~ρP vektor poloºaja ta£ke P u odnosu na ta£ku C:
~ρP =−−→CP
Ukupno ubrzanje se tada sastoji SAMO iz tangencijalnog inormalnog ubrzanja u odnosu na trenutni centar ubrzanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Brzina ta£ke telaUbrzanje ta£ke telaPoloºaj trenutnog centra rotacijeTrenutni centar ubrzanja
Trenutni centar ubrzanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanje - primer
U prikazanom poloºaju klipnog mehanizma koji se kre¢e u ravnixy poznati su brzina i ubrzanje klipa A. Odrediti brzinu iubrzanje ta£ke B
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanje
primer: re²enja
Mehanizam se sastoji iz dva tela. Telo (1) zaklapa 300 saosom x, a telo (2) je u pravcu ose y
Trenutni centar rotacije tela (2) je u osloncu C, a trenutnicentar tela (1) je u ∞ u pravcu ose y
Prema tome, telo (1) vr²i trenutno translatorno kretanje
Sve ta£ke tela (1), pa i ta£ka B, imaju istu brzinu:
vB = vA
Ugaona brzina tela (2) je, prema tome
ω2 =vBR
=vAR
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Re²enja: Brzine
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanje
primer: re²enja
Ta£ka B je zajedni£ka za oba ²tapa. Imaju¢i u vidu da je za²tap (1) poznato ubrzanje ta£ke A, onda je to referentna ta£kaza telo (1) i ubrzanje ta£ke B, posmatrane kao ta£ka tela (1),je dato sa
~aB1 = ~aA + ~ε1 × ~ρBA (40)
U relaciji (40) je uzeto u obzir da je ugaona brzina tela (1)jednaka nuli, a pretpostavljen je smer ugaonog ubrzanja usmeru kazaljke na satu
Ako se ta£ka B posmatra kao deo tela (2), onda je ubrzanjeta£ke B dato sa
~aB2 = ~ε2 × ~ρBC − ω22 ~ρBC (41)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanjea
primer: re²enja
Za telo (2) je ta£ka C referentna ta£ka (jer je to nepokretnata£ka) i ubrzanje je nula
Tako�e je pretpostavljen smer ugaonog ubrzanja tela (2) ε2:suprotno od kazaljke na satu (kao i stvaran smer ω2)
Ta£ka B je zajedni£ka ta£ka za oba tela, tako da mora da bude
~aB1 = ~aB2 (42)
Uno²enjem relacija (40) i (41) u jedn. (42), dobija se
~aA + ~ε1 × ~ρBA = ~ε2 × ~ρBC − ω22 ~ρBC (43)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Re²enj: Ubrzanja
Ubrzanje ta£ke B se posmatra dvojako:
kao ubrzanje ta£ke koja pripada ²tapu AB
kao ubrzanje ta£ke koja pripada ²tapu CB
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanje
Test broj 2: re²enja
Projektovanjem jedn. (43) na ose x i y se dobija
aA + ε1 2R sin 300 = ε2R
ε1 2R cos 300 = ω22 R
(44)
Iz druge od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (1):
ε1 =v2AR2
√3
3(45)
Kao ²to se vidi, ugaono ubrzanje ε1 je pozitivno, ²to zna£i daje stvaran smer kao ²to je pretpostavljen
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanje
primer: re²enja
Iz prve od (44) se dobija ugaono ubrzanje tela (2):
ε2 =aAR
+v2AR2
√3
3(46)
Kao ²to se vidi, i ugaono ubrzanje ε2 je pozitivno, ²to zna£i daje stvaran smer kao ²to je pretpostavljen
Komponente ubrzanja ta£ke B (videti sliku sa ubrzanjima),posmatraju¢i ta£ku B kao deo tela (2), su date sa
aBx = −ε2R = −aA −v2AR
√3
3
aBy = −ω22 R = −
v2ARS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kinematika krutog telaRavno kretanje krutog tela
Brzina i ubrzanje pri ravnom kretanjuPrimer - ravno kretanje
Ravno kretanje
primer: re²enja
Prema tome, vektor brzine ta£ke B, izraºen u odnosu nasistem Cxy, dat je sa
~vB = −vA~ı
Vektor ubrzanja ta£ke B je dat sa
~aB = −(aA +v2AR
√3
3)~ı−
v2AR~
gde su vA i aA poznati pozitivni skalari
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2