tehnicka-mehanika

SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITU

Prof. dr. sc. Zlatan Kulenović

TEHNIČKA MEHANIKA

Priručnik za pomorce

Split, 2007.

PREDGOVOR

Ovaj priručnik sastavljen je prema važećem nastavnom programu predmeta Tehnička mehanika preddiplomskog sveučilišnog studija Pomorska nautika, koji se izvodi na Pomorskom fakultetu Sveučilišta u Splitu ali i svim pomorskim visokim učilištima u Hrvatskoj. On obuhvaća sve sadržaje koji su propisani programom Međunarodne pomorske organizacije (IMO) za naobrazbu pomorskih časnika.

U priručniku je dat sažetak predavanja iz Tehničke mehanike, koje sam održao u prvom semestru akademske 2006./2007. godine. U skladu s tim, u tekstu su obrađeni osnovni pojmovi i metode primijenjene mehanike u pomorstvu, pri čemu mi je težnja bila da ukažem na praktično značenje razmatranih problema, a da matematički aparat koji je pri tome neophodan svedem na primjenu osnovnih elemenata matematičke analize i vektorskog računa. Iako ovaj sažeti materijal ne može zamijeniti udžbenik i zbirku zadataka, vjerujem da će on pomoći studentima u pripremanju ispita iz ovog temeljnog predmeta tehničke struke. Split, prosinac 2007. Autor

SADRŽAJ Stranica

I. Uvod 1. Zadatak i podjela mehanike 2. Elementi i osnovni zakoni mehanike

II. Statika krutih tijela

1. Osnovni pojmovi i zadaci 2. Aksiomi statike 3. Veze i njihove reakcije 4. Statika čestice

4.1 Sastavljanje sila 4.2 Rastavljanje sile 4.3 Ravnoteža sila 4.4 Rješavanje zadataka ravnoteže

5. Statika tijela 5.1 Moment sile 5.2 Momentno pravilo 5.3 Spreg sila 5.4 Redukcija sustava sila 5.5 Ravnoteža sustava sila 5.6 Rješavanje zadataka ravnoteže tijela

6. Trenje 6.1 Trenje klizanja 6.2 Trenje kotrljanja

7. Nosači 7.1 Gredni nosači 7.1.1 Reakcije u osloncima 7.1.2 Unutrašnje sile 7.2 Rešetkasti nosači 7.2.1 Metoda čvorova 7.2.2 Metoda presjeka

8. Geometrijske značajke tijela i površina 8.1 Težište 8.2 Momenti tromosti i otpora III. Statika elastičnih tijela

1. Osnovni pojmovi i zadaci 2. Naprezanja i deformacije 3. Hookeov zakon 4. Aksijalno opterećenje 5. Smicanje 6. Uvijanje 7. Savijanje 8. Izvijanje

1 1 1

3 3 6 7 9 9 11 11 12 14 14 15 16 17 19 19 21 21 22 24 24 25 25 29 30 31 32 32 34

37 37 38 39 41 43 45 48 52

IV. Kinematika 1. Kinematika čestice

1.1 Osnovne kinematičke veličine 1.2 Pravocrtno gibanje 1.2.1 Jednoliko gibanje 1.2.2 Jednoliko promjenljivo gibanje 1.3 Krivocrtno gibanje 1.3.1 Prikazivanje u Descartesovom koordinatnom sustavu 1.3.2 Prikazivanje u prirodnom koordinatnom sustavu

2. Kinematika krutog tijela 2.1 Translacija tijela 2.2 Rotacija tijela oko nepomične osi 2.3 Ravninsko gibanje tijela V. Dinamika 1. Dinamika čestice 1.1 Jednadžbe gibanja 1.2 D’Alembertov princip 1.3 Rad i snaga 1.4 Kinetička i potencijalna energija 1.5 Impuls i količina gibanja

1.6 Moment količine gibanja 2. Dinamika krutog tijela 2.1 Geometrija masa 2.2 Translacija tijela 2.3 Rotacija tijela oko nepomične osi 2.4 Ravninsko gibanje tijela

VI. Mehanika fluida 1. Hidrostatika 1.2 Tlak 1.3 Hidrostatički uzgon i plivanje 2. Hidrodinamika 2.1 Jednadžba kontinuiteta 2.2 Bernoullijeva jednadžba 2.3 Istjecanje kroz otvore 2.4 Protjecanje kroz cijevi Dodatak

1. Mjerne jedinice u tehničkoj mehanici 2. Predmetci (prefiksi) SI jedinica 3. Grčka slova 4. Upute za polaganje pismenog ispita 5. Primjer pismenog ispita

54 54 54 55 57 57 58 58 60 62 62 63 65

68 68 68 69 70 72 74 75 76 76 78 78 80

82 82 82 85 87 87 88 90 91

94 94 95 95 96 97

Tehnička mehanika - priručnik za pomorce 1

I. UVOD 1. ZADATAK I PODJELA MEHANIKE

Mehanika je znanost o gibanju tijela i njegovim uzrocima. Gibanje je promjena položaja tijela u prostoru i vremenu, a uzrokuju ga sile.

Dio mehanike koji razmatra tehničke probleme zove se tehnička mehanika. Ona počiva na zakonima klasične mehanike (Newton – 17. st.) i daje praktična rješenja.

Pri gibanju, svako čvrsto tijelo manje ili više mijenja svoj oblik i volumen odnosno, deformira se. Međutim, takve se promjene u praksi često mogu zanemariti jer ne utječu na gibanje tijela, pa se govori o krutom tijelu. Ako su i dimenzije takvog idealiziranog tijela nebitne za rješavanje problema njegovog gibanja, dolazi se do pojma čestice.

Za razliku od čvrstih tijela, tekućine (kapljevine i plinovi) lako mijenjaju svoj oblik. Takva se tijela općenito nazivaju fluidi i posebno se proučavaju.

Prema problemima kojima se bavi, uobičajena podjela tehničke mehanike

je:

1. Statika – proučava sile i ravnotežu tijela 2. Kinematika – proučava gibanja tijela bez obzira na sile 3. Dinamika – proučava gibanja tijela pod utjecajem sila

2. ELEMENTI I OSNOVNI ZAKONI MEHANIKE Osnovni elementi klasične mehanike su:

Prostor. To je geometrijsko područje u kojem se prikazuje položaj tijela. On se uvijek određuje u odnosu na neki pogodan koordinatni sustav, a temelji se na mjerenju udaljenosti. Ako se koordinatni sustav veže za površinu Zemlje, tada se on može smatrati apsolutno nepomičnim i predstavlja tzv. referentni k. sustav. Najčešće je to Descartesov pravokutni desni k. sustav, u kome je položaj neke točke određen s tri koordinate (x, y, z), odnosno s tri dužine koje se mjere od ishodišta O u pravcima k. osi.

Jedinica za dužinu je metar [m].

2 Zlatan Kulenović

Položaj neke točke može se odrediti i vektorom položaja rr , usmjerenom veličinom koja je određena dužinom (OA) i orijentacijom u prostoru (kutovi α , β i γ prema k. osima x, y i z).

Dakle, u mehanici postoje dvije

vrste veličina: skalari i vektori.

Skalari su veličine određene samo svojom brojčanom vrijednošću

(veličinom), kao npr. duljina, vrijeme, masa, temperatura itd. Vektori su veličine za čiji je opis osim brojčane vrijednosti potreban i položaj u prostoru, kao npr. sila, pomak, brzina, ubrzanje itd.

Vrijeme. Ono je mjera slijeda događanja. Univerzalno je jer teče isto i

nepovratno u svim dijelovima prostora. Jedinica za vrijeme je sekunda [s].

Masa. To je količina materije koja ispunjava tijelo. Ona predstavlja mjeru otpora tijela prema promjeni gibanja, odnosno mjeru tromosti tijela. Masa je konstantna veličina i ima jedinicu kilogram [kg].

Sila. Ona je mjera međusobnog djelovanja tijela i nastoji promijeniti njihovo gibanje ili izazvati deformacije.

Sila je vektorska veličina koju u općem slučaju određuju sljedeći podaci:

1) veličina (intenzitet), 2) pravac, 3) smjer i 4) hvatište (napadna točka). Grafički, sila se predstavlja u određenom mjerilu ( FU ) pomoću

orijentirane dužine. Pokraj ovako predočenog vektora stavlja se njegova oznaka – veliko slovo sa strelicom (kukicom) iznad, npr. F

r.

UF (N/cm) Jedinica za silu je njutn [N = kgm-2].

Polazeći od osnovnih elemenata, Newton je postavio osnovne zakone mehanike, koji glase:


1. Zakon (zakon inercije) Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja, sve dok neka sila koja na njega djeluje to stanje ne promijeni. 2. Zakon (osnovni zakon dinamike) Ubrzanje je proporcionalno sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u njenom pravcu i smjeru. Njegov vektorski zapis glasi:

amF rr⋅=

gdje je: F

r– vektor sile, m – masa tijela, ar– vektor ubrzanja.

Prema ovom zakonu, težina tijela G

r

predstavlja silu kojom Zemlja privlači tijelo prema svome središtu i ima veličinu:

gmG ⋅=

gdje je g = 9,81 m/s2 – gravitacijsko ubrzanje. 3. Zakon (zakon akcije i reakcije) Dva tijela djeluju jedno na drugo silama iste veličine i pravca a suprotnog smjera. Prvi zakon mehanike jasno ukazuje na postojanje sile. Drugi zakon mehanike definira veličinu sile. Treći zakon mehanike određuje da izvor sile treba tražiti u materijalnim tijelima. II. STATIKA KRUTIH TIJELA 1. OSNOVNI POJMOVI I ZADACI Sila je pojam koji u statici ima primarno značenje. Osim grafičkog prikaza, silu je moguće predstaviti i analitički preko svojih komponenata, odnosno ortogonalnih (okomitih) projekcija na osi izabranog k. sustava. Razmotrimo silu F

r čiji pravac s osi x zatvara kut α .

4 Zlatan Kulenović

Možemo pisati: iXX

rr⋅= (1)

gdje je: X

r– komponenta sile (vektor) u pravcu osi x;

X – projekcija sile (skalar) na os x; i

r– jedinični vektor osi x (određuje njen pravac i smjer).

U prostornom k. sustavu, čijim su osima x, y i z, pridruženi jedinični vektori i

r, jr

i kr

, vektor sile napisan u analitičkom obliku glasi: kZjYiXZYXF

rrrrrrr⋅+⋅+⋅=++= (2)

gdje su: X , Y

r i Z

r– komponente sile u pravcima odgovarajućih k. osi;

X, Y i Z – projekcije sile na odgovarajuće k. osi.

Iz slike je vidljivo da je sila Fr

prostorna dijagonala kvadra, koja s k. osima x, y i z zatvara kutove α , β i γ , pa vrijedi: αcosFX = , βcosFY = , γcosFZ = (3) Na osnovi Pitagorina poučka, slijedi veličina sile:


222 ZYXF ++= (4) Pravac sile (kosinusi pravca), dobiva se na osnovi izraza (2):

FX

=αcos , FY

=βcos , FZ

=γcos (5)

Prema tome, sila je analitički potpuno definirana izrazima (4) i (5).

Skup sila ),...,2,1( niFi =r

koje djeluju na tijelo naziva se sustav sila.

Sustav sila je u ravnoteži, ako se njegovim

djelovanjem stanje tijela (mirovanje ili jednoliko gibanje) ne mijenja.

Dva sustava sila su ekvivalentna ako djelovanjem na isto tijelo uzrokuju

jednaku promjenu njegovog stanja. Ako je sustav sila ekvivalentan samo jednoj sili, tada se ona naziva rezultanta takvog sustava sila.

Sile koje predstavljaju djelovanje drugih tijela

na promatrano tijelo, zovu se vanjske sile. Sile koje se suprotstavljaju djelovanju vanjskih sila, a nastaju između pojedinih čestica tijela, predstavljaju unutrašnje sile. Proučavajući opća svojstva sila koja djeluju na kruto tijelo, u statici se rješavaju sljedeća dva osnovna zadatka:

1. Svođenje sustava sila na jednostavniji oblik 2. Određivanje uvjeta ravnoteže sustava sila

Ovi se zadaci mogu rješavati grafičkim i analitičkim metodama. U daljnjem razmatranju, analitičkim metodama dat ćemo prednost.

6 Zlatan Kulenović

2. AKSIOMI STATIKE

To su istine koje su potvrđene iskustvom i eksperimentima. 1. Aksiom

Tijelo se nalazi u ravnoteži pod djelovanjem dviju sila samo ako su one

jednake veličine i pravca a suprotnog smjera. ⇒ Uravnotežen sustav sila

2. Aksiom

Stanje tijela se ne mijenja ako mu se doda ili oduzme uravnotežen sustav

sila.

Na osnovi slike očigledno je da se hvatište sile može pomjerati duž pravca

njenog djelovanja. Prema tome, sila je klizeći vektor ili vektor vezan za pravac. Kako se unutrašnje sile u tijelu uvijek pojavljuju u parovima akcije i reakcije,

one čine uravnotežen sustav sila, što znači da pri proučavanju ravnoteže krutog tijela u obzir treba uzeti samo vanjske sile. 3. Aksiom

Rezultanta dviju sila koje djeluju u točki tijela, djeluje u istoj točki a

jednaka je dijagonali paralelograma konstruiranog nad silama kao stranicama.

Paralelogram sila Trokut sila


Pravilo paralelograma sila ili pravilo trokuta sila predstavlja vektorsko zbrajanje sila.

Veličinu rezultante R

r te kutove 1α i 2α koji određuju njen pravac, dobivamo

mjerenjem. Međutim, njih je moguće i izračunati korištenjem poznatih poučaka geometrije i to: Kosinusni poučak: αcos2 21

22

21 FFFFR ++= (6)

Sinusni poučak:

ααα sinsinsin 1

2

2

1 RFF== (7)

4. Aksiom

Ravnoteža deformabilnog tijela se ne mijenja, ako se ono ukruti. Ovaj princip ukrućivanja omogućuje da

se uvjeti ravnoteže krutog tijela primjene i na deformabilno tijelo. Tako npr. kada savitljivo uže pod djelovanjem sila zauzme deformirani ravnotežni oblik i položaj, ono se može razmatrati kao kruto tijelo. 5. Aksiom

Vezano tijelo može se smatrati slobodnim ako se sve veze uklone, a njihov

utjecaj zamijeni reakcijama tih veza. 3. VEZE I NJIHOVE REAKCIJE

Tijelo čije su mogućnosti gibanja ograničene drugim tijelima naziva se vezano tijelo. Tijela koji sprječavaju gibanje nazivaju se veze, a sile kojima takve veze djeluju na tijelo predstavljaju reakcije veza.

Tijelo i veza međusobno djeluju jednakim silama istoga pravca a suprotnog smjera (zakon akcije i reakcije).

Vanjske sile koje djeluju na vezano tijelo mogu biti aktivne i reaktivne. Aktivne sile (i težina tijela) nastoje izazvati gibanje tijela, dok su reaktivne sile zapravo reakcije veza koje se suprotstavljaju tom gibanju.

Određivanje reakcija veza važan je problem pri istraživanju ravnoteže tijela.

Postoji više vrsta veza, a najvažnije veze (bez trenja) su sljedeće:

8 Zlatan Kulenović

1. Glatka površina

Reakcija veze Nr

djeluje okomito na zajedničku površinu u dodirnoj točki. 2. Savitljivo tijelo

Ako je veza ostvarena pomoću savitljivog tijela

(uže, remen, lanac, opruga i sl.), reakcija veze Sr

ima pravac osi zategnute veze.

3. Cilindrični zglob To je veza dva tijela spojena osovinom kroz

otvore na njima. Ona dopušta samo okretanje tijela u ravnini okomitoj na os zgloba (xy). Kako pravac reakcije veze A

r nije poznat (kutα ), ona se

predstavlja svojim komponentama: xAr

i yAr

u pravcima osi izabranog k. sustava.

4. Štap

Ako je tijelo vezano štapom sa zglobovima na

krajevima, reakcija veze Sr

ima pravac spojnice središta zglobova. 5. Oslonci

U tehničkim konstrukcijama, tijela se oslanjaju na podlogu (postolje, temelj,

ležaj i sl.) pomoću oslonaca. Najvažniji oslonci u ravnini su: a) Nepomični oslonac

To je zglobna veza koja dopušta samo okretanje tijela

oko točke oslanjanja u ravnini okomitoj na os zgloba. Reakcija veze A

r jednaka je kao kod cilindričnog zgloba.


b) Pomični oslonac Ne dopušta samo pomak tijela okomito na površinu

klizanja. Reakcija veze Ar

je kao kod glatke površine. c) Uklještenje

Čvrsta veza koja ne dopušta bilo kakvo

gibanje tijela. Ako je uklještenje u ravnini, reakcije veze su dvije komponente sile: xA

r i

yAr

(opiru se pomacima u pravcima k. osi) i moment AM (opire se okretanju u ravnini). 4. STATIKA ČESTICE

Ako se kruto tijelo prikaže kao čestica, tada se pravci svih sile koje na njega djeluju sijeku u jednoj točki. Takav sustav sila naziva se konkurentni (sučeljeni) sustav sila. 4.1 SASTAVLJANJE SILA

To je postupak određivanja rezultante sustava sila, što je moguće napraviti grafički i analitički.

Grafičko sastavljanje sila temelji se na pravilu paralelograma (trokuta sila) koje se, pošto se radi o većem broju sila, mora primijeniti više puta uzastopce.

Na taj se način dobije pravilo poligona sila. Poligon sila crta se nizanjem jedne sile na drugu,

tako da na kraj prethodne sile postavljamo početak sljedeće. Završna stranica tako dobivene izlomljene crte je rezultanta. Ona je usmjerena od početka prve prema kraju zadnje sile u nizu.

Dakle, rezultanta konkurentnog sustava sila

jednaka je njihovom vektorskom zbroju, tj.:

10 Zlatan Kulenović

∑=

=+++=n

iin FFFFR

121 ...

rrrrr (8)

U posebnom slučaju kada sile imaju zajednički pravac djelovanja, one čine

kolinearni sustav sila. Poligon takvog sustava sila je pravac, što znači da je njihova rezultanta jednaka algebarskom zbroju veličina sila, tj.:

∑=

=n

iiFR

1

(9)

Predznak zbroja (∑) određuje smjer rezultante.

Analitičko sastavljanje sila temelji se na algebarskom zbrajanju projekcija sila na osi izabranog k. sustava. Zbroj tih projekcija na pojedinu k. os, predstavlja odgovarajuću projekciju rezultante.

Projekcije rezultante na k. osi su:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

==

==

∑∑∑∑∑∑

iiiz

iiiy

iiix

FZR

FYR

FXR

γ

β

α

cos

cos

cos

(10)

gdje su: iα , iβ i iγ - kutovi koje svaka od sila iF

r sustava zatvara s k. osima x, y i z.

Veličina rezultante je: 222

zyx RRRR ++= (11) a njen pravac određuju kutovi koje ona zatvara s k. osima:

RRx

R =αcos , RRy

R =βcos , RRz

R =γcos (12)

Posebno, u slučaju da sve sile djeluju u jednoj ravnini, vrijedi:


⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

+=

==

==

∑∑∑∑

x

yR

yx

iiiy

iiix

RR

RRR

FYR

FXR

α

α

α

tan

sin

cos

22 (13)

4.2 RASTAVLJNJE SILE

To je postupak obrnut sastavljanju sila. Rastaviti silu na komponente znači naći takav sustav sila kome je dana sila rezultanta.

U općem slučaju takva je zadaća neodređena i rješiva je samo ako su poznati

dopunski podaci o traženim komponentama. Najčešće su to njihovi unaprijed poznati pravci. Na taj je način silu moguće jednoznačno rastaviti u ravnini na dvije, a u prostoru na tri komponente.

Grafički, sila se rastavlja na komponente pomoću paralelograma odnosno

trokuta sila, a analitički korištenjem izraza (10). Npr:

4.3 RAVNOTEŽA SILA

Sustav sila koje djeluju na česticu je u ravnoteži, ako je njihova rezultanta jednaka nuli (R = 0). U tom slučaju čestica ili miruje ili se giba jednoliko.


Grafički uvjet ravnoteže: Poligon (trokut) sila mora biti zatvoren (kraj posljednje sile poklapa se s početkom prve).

Analitički uvjeti ravnoteže: Algebarski zbrojevi projekcija svih sila na k.

osi moraju biti jednaki nuli.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

=⇒=

=⇒=

∑∑∑

0 3. 0

0 2. 0

0 1. 0

iz

iy

ix

ZR

YR

XR

(14)

Posebno, ako sile djeluju u jednoj ravnini, vrijedi:

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

∑∑

0 .2

0 .1

i

i

Y

X (15)

Za kolinearne sile, uvjet ravnoteže glasi: 0=∑ iF (16)

4.4 RJEŠAVANJE ZADATAKA RAVNOTEŽE Pri rješavanju zadataka ravnoteže čestice ili krutog tijela, obično su nepoznate reakcije veza. Da bi zadatak bio rješiv, odnosno statički određen, broj nepoznanica mora biti jednak broju uvjeta ravnoteže (3 u prostoru, 2 u ravnini). Za veći broj nepoznanica zadatak postaje statički neodređen. U tom slučaju rješenje se traži uzimanjem u obzir deformiranje tijela, čime se nećemo baviti.


Postupak rješavanja zadataka: 1. Svaka tehnička konstrukcija obično predstavlja skup međusobno vezanih

tijela. Zato je u ovisnosti od zahtijeva zadatka, potrebno izabrati tijelo čija će se ravnoteža razmatrati.

2. Izabrano tijelo treba osloboditi veza i prikazati slikom posebno. Ucrtavaju se sve aktivne sile i reakcije veza, pri čemu se smjerovi reakcija mogu uzeti proizvoljno.

3. Postaviti uvjete ravnoteže, Za veći broj sila koristiti njihov analitički oblik, za što je potrebno izabrati pogodan koordinatni sustav s ishodištem u napadnoj točki konkurentnog sustava sila.

4. Odrediti nepoznate veličine, pri čemu negativna vrijednost dobivene reakcije znači da je njen stvarni smjer suprotan od pretpostavljenog. Pri rješavanju zadataka važna je urednost, preglednost i postupnost.

Racionalno je rješavanje provesti u općim brojevima, a zadane brojčane vrijednosti uvrstiti na kraju. Time je omogućena kontrola dimenzija i analiza dobivenih rezultata. Primjer:


5. STATIKA TIJELA 5.1 MOMENT SILE

Vektorska veličina koja opisuje težnju sile da okrene tijelo oko neke točke naziva se moment sile za točku.

Vektor momenta sile za točku O, definira se vektorskim (ex) produktom: FrM O

vvv×= (17)

gdje je: rv – vektor položaja hvatišta A vektora sile F

v

Vektor OM

v prolazi kroz točku O, a okomit je na ravninu rotacije OAB u

kojoj leže vektori Fv

i rv . Njegov je smjer određen pravilom desne ruke: Ako sila nastoji da okrene tijelo u smjeru savijenih prsta desne ruke, tada vektor momenta ima smjer ispruženog palca.

Veličina momenta sile za točku je:

FhrFM O == αsin (18) gdje je: h – krak sile (udaljenost sile od momentne točke O)

Predznak momenta je pozitivan ako sila teži da okrene tijelo u smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu.

Jedinica za moment sile je njutnmetar [Nm].


Valja primijetiti: 0=OM → 0=F ili 0=h (sila prolazi točkom O). Zaključimo: Moment sile za točku je vektor vezan za točku.

Skalarna veličina koja opisuje težnju sile da okrene tijelo oko neke osi naziva se moment sile za os.

Definira se kao moment projekcije sile na ravninu okomitu na tu os, za

točku u kojoj os probija ravninu.

Prema slici, moment sile za os z glasi:

hFMM xy

Foz

xy ⋅== (19) gdje je: Fxy – projekcija sile F na ravnin xy, h – krak sile u ravnini xy. Očito je: 0=zM → 0=xyF (sila F paralelna osi z) ili 0=h (sila F siječe os z) 5.2 MOMENTNO PRAVILO

Razmotrimo sustav sila iFv

s hvatištem u točki A. Njihova rezultanta je: ∑= iFR

vv (20)

Njen moment za točku O glasi:

∑×=×= iRO FrRrM

vvvvv= Fn

OFO MM

vv++ ...1


ili: ∑= iFO

RO MM

vv (21)

To je momentno pravilo koje glasi: moment rezultante za neku točku

jednak je zbroju momenata njenih komponenata za istu točku. To pravilo vrijedi i za sustav sila s različitim hvatištima, ako on ima

rezultantu. Posebno, ako sve sile leže u jednoj ravnini, vrijedi skalarna jednadžba:

∑= iFO

RO MM (22)

Primjena momentnog pravila olakšava

određivanje momenta sile Fr

za točku O, ako su poznate njene komponente X

v i Y

v te koordinate

x i y njenog hvatišta A, tj:

yXxYFhM O ⋅−⋅== (23)

5.3 SPREG SILA Spreg sila čine dvije jednake paralelne sile suprotnog smjera. Iako nema rezultantu ( 0=−= FFR ), taj sustav sila nije u ravnoteži već on nastoji okrenuti tijeko u svojoj ravnini.

Moment sprega sila je vektor okomit na ravninu sprega. Smjer toga vektora određen je pravilom desne ruke, a njegova veličina iznosi: aFM ⋅= (24)

gdje je: a – krak sprega (međusobna udaljenost sila).

Moment sprega sila M

v je slobodan vektor i

može se slobodno pomicati paralelno i duž svoga pravca. Zato se njegovo djelovanje u ravnini prikazuje samo kružnom strelicom.


Ako na tijelo djeluje više spregova sila s momentima

)..., ,2 ,1( niM i =v , oni se mogu

zamijeniti jednim rezultantnim spregom sila momenta M

v, tj:

∑=

=n

iiMM

1

vv (25)

Uvjet ravnoteže spregova sila je:

01

=∑=

n

iiMv

(26)

U slučaju da spregovi sila djeluju u jednoj ravnini, tada vrijedi skalarni

zapis izraza (25) i (26). 5.4 REDUKCIJA SUSTAVA SILA Djelovanje sile na kruto tijelo neće se promijeniti ako je pomaknemo paralelno u drugu točku i dodamo spreg sila, čiji je moment jednak momentu sile za tu točku. Dokaz ovog pravila očigledan je na osnovi slike:

Ovaj postupak naziva se redukcija sile na točku i može se primijeniti i

na bilo koji sustav sila ),...,2,1( niFi =r

. Ako se sve sile nekog sustava reduciraju na proizvoljnu točku O, tada u

njoj djeluju sustavi konkurentnih vektora sila iFv

i spregova sila momenata iMv

. Vektorski zbroj svih sila iF

v naziva se glavni vektor sustava sila RF

v, a vektorski


zbroj svih momenata spregova sila iMv

naziva se glavni moment RMv

sustava sila za točku O.

Vrijedi: ∑= iR FF

vv (27)

∑∑ == iF

OiR MMMvvv

(28)

Veličine RF i RM određuju se analitički preko svojih projekcija na koordinatne osi, tj:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++=

=== ∑∑∑

222

,,

RzRyRxR

iRziRyiRx

FFFF

ZFYFXF

(29)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++=

=== ∑∑∑

222

,,

RzRyRxR

izRziyRyixRx

MMMM

MMMMMM

(30)

Kut δ između vektora RF

v i RM

v, može se odrediti na osnovi izraza:

RR

RzRzRyRyRxRx

MFMFMFMF

⋅⋅+⋅+⋅

=

cosδ (31)

Zaključimo:

Redukcija sustava sila na neku točku predstavlja svođenje takvog sustava na jednostavniji oblik.


5.5 RAVNOTEŽA SUSTAVA SILA

Sustav sila je u ravnoteži, ako je: 0=RFv

i 0=RMv

, tj.:

0=RF ⇒ 0=== RzRyRx FFF 0=RM ⇒ 0=== RzRyRx MMM (32)

Prema tome, na osnovi izraza (29) i (30), analitički uvjeti ravnoteže sustava sila u prostoru glase:

0.1 =∑ iX , 0.2 =∑ iY , 0.3 =∑ iZ 0.4 =∑ ixM , 0.5 =∑ iyM , 0.6 =∑ izM (33)

Ako sve sile djeluju u jednoj ravnini, tada uvjeti ravnoteže dobivaju oblik: 0.1 =∑ iX 0 .2 =∑ iY (34) 0.3 =∑ OM

Moguće je koristiti i druge oblike uvjeta ravnoteže, uz uvjet da budu

međusobno neovisni. Tako npr. vrijede i sljedeći uvjeti ravnoteže:

0.1 =∑ AM 0.2 =∑ BM (35) 0.3 =∑ CM

5.6 RJEŠAVANJE ZADATAKA RAVNOTEŽE TIJELA Pri rješavanju zadaća ravnoteže vezanog tijela, koje je opterećeno proizvoljnim sustavom sila, veze je potrebno ukloniti i zamijeniti njihovim reakcijama. Nepoznate reakcije određuju se primjenom uvjeta ravnoteže (33) ili (34).


Zadatak je statički određen samo ako broj nepoznanica nije veći od broja uvjeta ravnoteže (6 u prostoru, 3 u ravnini). Postupak rješavanja zadataka ravnoteže krutog tijela, jednak je kao kod čestice. Primjer:


6.TRENJE

Dodirne površine tijela u stvarnosti nisu glatke nego su hrapave, što znači da se pri međusobnom pomicanju dva tijela koja se dodiruju javlja otpor nazvan trenje.

U ovisnosti od karaktera gibanja tijela u dodiru, razlikujemo trenje klizanja i trenje kotrljanja. 6.1 TRENJE KLIZANJA Kada jedno tijelo težine G

v kliže, ili teži da kliže, po drugom tijelu

hrapave površine pod djelovanjem neke sile Fv

, na mjestu dodira djeluje normalna sila N

v kao kod idealno glatke površine, ali i tangencijalna sila trenja

Tv

koja se suprotstavlja gibanju. Dakle, trenje predstavlja poseban oblik veze.

Eksperimenti pokazuju da u mirovanju tijela (kada je sila F

v dovoljno mala) vrijedi

izraz: NT S ⋅= μ (36) gdje je: maxTT = - sila statičkog trenja (najveća sila koja se pojavljuje neposredno prije početka klizanja), Sμ - koeficijent statičkog trenja. Ovaj izraz predstavlja Coulombov zakon trenja, koji se koristi u tehničkoj praksi za slučaj suhog trenja.

Ako sila Fv

postane dovoljno velika da svlada otpor podloge, nastupa klizanje tijela. Pri gibanju tijela, izraz (36) dobiva oblik:

NT K ⋅= μ (37) gdje je: T - sila kinetičkog trenja Kμ - koeficijent kinetičkog trenja

Koeficijenti trenja su bezdimenzionalne veličine koje ne ovise o veličini dodirne površine, već samo o njenom materijalu i hrapavosti. Određuju se eksperimentalno. Redovito je: Sμ > Kμ .


Ukupna reakcija Rv

hrapave površine na tijelo, čini s njenom normalom tzv. kut trenja ϕ . Slijedi:

μϕ ==

NTtan (38)

Kut trenja je najveći u graničnom slučaju kada je

maxTT = , odnosno u trenutku kada započinje klizanje tijela.

Zato se proučavanje ravnoteža tijela uz trenje i razmatra u takvom

graničnom slučaju.

Trenje klizanja javlja se i pri dodiru savitljivog tijela, npr. užeta s valjkastim krutim tijelom. Zbog trenja, sile 1S i 2S , koje zatežu krajeve užeta, nisu jednake.

Za smjer gibanja užeta kao na slici, vrijedi Eulerova formula:

μαeSS ⋅= 12 (39)

gdje je: e – baza prirodnog logaritma ( = 2, 7183... ) μ – koeficijent trenja klizanja (na dodiru savitljivo tijelo – kruto tijelo)

α – obuhvatnim kut savitljivog tijela [rad]

Valja uočiti da u idealnom slučaju kada trenja nema ( 0=μ ), izraz (39) glasi: 21 SS = . 6.2 TRENJE KOTRLJANJA To je otpor koji nastaje pri kotrljanju cilindričnog tijela po hrapavoj podlozi.

Ako na takvo tijelo polumjera r djeluje sila Fv

, zbog težine Gv

tijela podloga se lokalno deformira. Stoga je reakcija R

v podloge na tijelo pomaknuta

u točku B, za veličinu koja se naziva koeficijent trenja kotrljanja f . Ovaj koeficijent ima dimenziju dužine ([m]), a ovisi od svojstava materijala i stanja dodirnih površina.


Ako se reakcija R

v reducira na točku A i rastavi na komponente N

v i T

v,

pojavljuje se i spreg sila, koji se naziva moment trenja kotrljanja TM . Kako je fNM T ⋅= , iz ravnoteže tijela slijedi veličina sile F

v potrebna za

kotrljanje tijela: G

rfF ⋅= (40)

Da bi nastupilo kotrljanje bez klizanja, sila trenja kotrljanja T mora biti

manja od sile statičkog trenja klizanja maxT , tj.:

T < maxT ili rf < μ (41)

Ovaj uvjet je gotovo redovito u praksi ispunjen, što znači da je trenje kotrljanja znatno manje od trenja klizanja.


7. NOSAČI To su tehničke konstrukcije koje su nepomično oslonjene o podlogu i opterećene vanjskim silama. Prema obliku nosači se dijele na gredne i rešetkaste. Gredni nosač ima oblik štapa ravne osi, dok je rešetkasti nosač kruti sustav međusobno zglobno povezanih štapova.

Vanjske sile koje djeluju na nosač nastoje da ga deformiraju, zbog čega se u nosaču pojavljuju unutrašnje sile. Poznavanje unutrašnjih sila od bitnog je značenja za određivanje potrebnih dimenzija nosača, čime se osigurava da ne nastupe prevelike deformacije ili lom.

Temeljne zadaće statičke analize nosača su određivanje reakcija u osloncima i unutrašnjih sila. 7.1 GREDNI NOSAČI

Osnovni tipovi grednih nosača su:


7.1.1 REAKCIJE U OSLONCIMA Grede mogu biti opterećene različitim vrstama opterećenja, a osnovna opterećenja su:

Reakcije u osloncima i zadano opterećenje grede moraju biti u ravnoteži, što znači da se reakcije u osloncima određuju iz uvjeta ravnoteže. To su analitički uvjeti ravnoteže sustava sila u ravnini, pri čemu se koristi desni koordinatni sustav čija je os z postavljena uzduž osi grede.

7.1.2 UNUTRAŠNJE SILE

Unutrašnje sile pojavljuju se u nekom zamišljenom poprečnom presjeku opterećene grede i razdvojene dijelove drže u ravnoteži. To su:

N – uzdužna sila, Q – poprečna sila, M – moment savijanja.


Sve ove sile djeluju u težištu T presjeka. Za lijevi (L) i desni (D) dio grede, unutrašnje sile se razlikuju samo po smjeru (zakon akcije i reakcije).

Veličine unutrašnjih sila mogu se odrediti iz uvjeta ravnoteže, bilo za

lijevi ili za desni dio grede (bira se onaj dio za koji je račun jednostavniji), tj:

∑= ZN (zbroj projekcija svih sila na uzdužnu os z) ∑= YQ (zbroj projekcija svih sila na poprečnu os y) (42) ∑= TMM (zbroj momenata svih sila za težišta T presjeka)

Da bi unutrašnje sile imale isti predznak s bilo koje strane presjeka, uvodi

se dogovor o predznacima, koji se temelji na načinu deformiranja grede. Pozitivni smjerovi unutrašnjih sila u nekom presjeku z, gledano s lijeve

(L) i desne (D) strane su:

Vidljivo je da sila N opterećuje gredu aksijalno (vlačno ili tlačno, ovisno o predznaku), sila Q na smicanje (poprečno klizanje), a moment M savija gredu.

Veličine unutrašnjih sila ovise od položaja presjeka z grede. Grafički prikaz promjene unutrašnjih sila duž grede, prikazuju tzv. statički dijagrami. To su: N, Q i M dijagram.


U tim dijagramima pozitivne vrijednosti unutrašnjih sila crtaju se iznad a negativne ispod nul – linije (linija grede). Oblik statičkih dijagrama ovisi od vrste opterećenja između promatranih presjeka grede.

Za ilustraciju prikažimo statičke dijagrame između dva presjeka, za osnovna opterećenja grede:

Valja uočiti skokovite promjene u statičkim dijagramima na mjestima

djelovanja koncentrirane sile F (u Q dijagramu) odnosno momenta M (u M dijagramu). Vidljivo je da moment savijanja M raste na dijelu grede na kojem je poprečna sila Q pozitivna (Q > 0), a opada na dijelu na kojem je poprečna sila negativna (Q < 0). Na mjestu gdje poprečna sila Q mijenja predznak (Q = 0), moment savijanja M poprima ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum). Mjesto na gredi gdje moment savijanja ima maksimalnu vrijednost M = Mmax, naziva se opasni presjek. Taj presjek je važan za dimenzioniranje grede.

Na osnovi gornjih slika i izračunatih vrijednosti unutrašnjih sila u

karakterističnim presjecima grede, moguće je nacrtati njene statičke dijagrame.


Primjer:


7.2 REŠETKASTI NOSAČI Rešetkasti nosač (rešetka) je konstrukcija sastavljena od ravnih štapova međusobno vezanih zglobovima na krajevima. Zglobne veze zovu se čvorovi i ne prenose moment. Ako se uzme da vanjske sile djeluju u čvorovima i da su težine štapova zanemarive, slijedi da su štapovi rešetke opterećeni samo aksijalno, na vlak ili na tlak.

Da bi rešetka bila nosač, ona mora biti geometrijski nepromjenljiva odnosno kruta. Zato njeni štapovi moraju biti spojeni tako da čine trokute. Rešetkasti nosač je statički određen ako je zadovoljen uvjet: 32 −= ns (43)

gdje je: s – broj štapova, n – broj čvorova.

Ako je broj štapova veći, rešetka je statički neodređena, a za manji broj štapova rešetka postaje labilna (mehanizam).

Proračun rešetkastih nosača sastoji se od određivanja reakcija u osloncima

i unutrašnjih sila u štapovima. Reakcije u osloncima određuju se na osnovi analitičkih uvjeta ravnoteže

sustava sila u ravnini, pri čemu se rešetka razmatra kao kruta ploča oslobođena veza.


Sile u štapovima rešetke obično se određuju analitičkim metodama, najčešće metodom čvorova i metodom presjeka. 7.2.1 METODA ČVOROVA

Ova se metoda temelji na uvjetu da sve sile, vanjske (aktivne sile i reakcije u osloncima) i unutrašnje (sile u štapovima), koje djeluju na jedan čvor rešetke, moraju biti u ravnoteži ako je i cijeli nosač u ravnoteži. Prema tome, ako se iz rešetke izdvoji neki čvor te ucrtaju sve sile u njemu, nepoznate unutrašnje sile Si u presječenim štapovima mogu se dobiti iz analitičkih uvjeta ravnoteže konkurentnog ravninskog sustava sila.

Proračun treba započeti s onim čvorom u kojem nema više od dvije nepoznate sile. Pri tome se pretpostavlja da su štapovi opterećeni na vlak, što znači da su sile u štapovima usmjerene od čvora. Ako se kao rezultat dobije negativan predznak neke sile, to znači da je taj štap opterećen na tlak.

Postupak se nastavlja na isti način i

za ostale čvorove rešetke, sve dok se ne odrede sve nepoznate sile u štapovima.


7.2.2 METODA PRESJEKA

Ova se metoda (Ritterova metoda) primjenjuje kada treba odrediti sile samo u pojedinim štapovima rešetke. Zato se rešetka zamišljeno presijeca na dva dijela, tako da mogu biti prerezana najviše tri štapa. Iz ravnoteže jednog od dijelova rešetke, određuju se nepoznate unutrašnje sile Si u presječenim štapovima.

U pravilu promatra se onaj dio rešetke na koji djeluje manje sila, a za sile u štapovima pretpostavlja se da su vlačne, što znači da se usmjeravaju od čvorova prema presjeku promatranog dijela rešetke.

Kako se osi štapova sijeku, koriste se tri momentne jednadžbe ravnoteže, pri čemu se momentne točke biraju u čvorovima. Ako se kao rezultat dobije negativan predznak neke sile, to znači da je taj štap opterećen na tlak.


8. GEOMETRIJSKE ZNAČAJKE TIJELA I PLOHA 8.1 TEŽIŠTE Na svaki djelić tijela djeluje privlačna sila sila Zemlje, koja predstavlja njegovu težinu iG

r (i = 1, 2, ... , n). Rezultanta takvog sustava vezanih paralelnih

sila je težina tijela Gr

, čija je veličina: ∑= iGG (44)

Hvatište težine tijela naziva se težište T. Njegov položaj s obzirom na tijelo ostaje uvijek nepromijenjen bez obzira na položaj tijela u prostoru.

Primjenom momentnog pravila za koordinatne osi, jednostavno je odrediti položaj težišta tijela.

Koordinate težišta su:

G

xGx ii

T∑= ;

GyG

y iiT

∑= ; G

zGz ii

T∑= (45)

gdje su: xi ,, yi , zi - koordinate i – tog djelića tijela.

Kod homogenog tijela gustoća materijala jednaka je za sve njegove djeliće, tj. .konst=ρ Kako je VgmgG ρ== , iz (45) slijede koordinate težišta volumena:

V

xVx ii

T∑= ;

VyV

y iiT

∑= ; V

zVz ii

T∑= (46)

gdje je: iV - volumen i – tog djelića tijela; ∑= iVV - volumen tijela.

Ako je jedna dimenzija tijela mala u odnosu na ostale dvije, radi se o površini (npr. tanka ploča). Koordinate težišta površine u njenoj ravnini, dobivaju se analogno i iznose:

A

xAx ii

T∑= ;

AyA

y iiT

∑= (47)

gdje je: iA - površina i – tog djelića tijela; ∑= iAA - površina tijela.


Izraz (47) koristi se i u sljedećem obliku:

AS

x yT = ;

ASy x

T = (48)

gdje su: iix yAS ∑= , iiy xAS ∑= - statički momenti površine za osi x i y . Jedinica statičkog momenta površine je [m3].

Ako su dvije dimenzije tijela zanemarive, tijelo prelazi u liniju (npr. štap). Koordinate težišta linije u ravnini glase:

l

xlx ii

T∑= ;

lyl

y iiT

∑= (49)

gdje je: il - dužina i – tog djelića tijela; ∑= ill - dužina tijela.

Prema tome, težišta homogenih tijela određuju se kao težišta volumena,

površina i linija, a ovise samo od geometrijskih svojstava tijela.

Svi gornji izrazi su približni. Točni izrazi dobivaju se ako se uzme da tijelo ima beskonačno mnogo djelića i razmotri granični slučaj. Kako je zbrajanje beskonačno malih veličina zapravo integriranje, u svim izrazima znak zbroja (Σ) treba zamijeniti znakom integrala (∫). Takvi izrazi vrijede u općem slučaju, dakle i za nehomogena tijela.

Tako npr. izraz (47) dobiva oblik: ∫= xdA

AxT

1 ; ∫= ydAA

yT1 (50)

gdje je: dA - površina djelića tijela; ∫= dAA - površina tijela.

Postupak traženja položaja težišta tijela može se znatno pojednostaviti ako je tijelo simetrično, zatim pogodnim izborom koordinatnog sustava, te odgovarajućom zamišljenom podjelom tijela na jednostavnije dijelove.

Kod simetričnih tijela težište se uvijek nalazi u ravnini, na osi ili u točki simetrije.


Ako se tijelo može rastaviti na konačan broj dijelova čiji je položaj težišta poznat, tada se koordinate težišta tijela određuju na osnovi izraza (46), (47) i

(49). Kod tijela s izrezima, volumene i površine takvih izreza treba uvrstiti s negativnim predznakom. Tako npr., ako su koordinate težišta dijelova 1, 2 i 3 složenog lika poznate: );(T ),;(T ),;(T 333222111 yxyxyx , koordinate težišta T složenog lika glase:

321

332211

AAAxAxAxA

AxA

x iiT +−

+−== ∑

321

332211

AAAyAyAyA

AyA

y iiT +−

+−== ∑

8.2 MOMENTI TROMOSTI I OTPORA U statici elastičnih tijela koriste se karakteristične geometrijske veličine njihovih poprečnih presjeka površine A. To su: 1. Momenti tromosti površine

Aksijalni momenti tromosti oko osi x i y : ∫∫ ==

Ay

Ax dAxIdAyI 22 ; (51)

Polarni moment tromosti oko pola P:

∫=

Ap dArI 2 (52)

Jedinica momenata tromosti površine je [m4].


Polumjer tromosti oko osi x i y:

AIi x

x = ; AI

i yy = (53)

Jedinica polumjera tromosti je [m].

Moment tromosti složenog presjeka za neku os jednak je zbroju momenata tromosti pojedinih njegovih dijelova za istu os. Npr.:

4321 xxxxx IIIII −−+=

Moment tromosti presjeka za os paralelnu težišnoj osi, moguće je dobiti na osnovi tzv. Steinerovog pravila.

Npr., ako je poznat moment tromosti presjeka za njegovu težišnu os x, za paralelnu os x1 na udaljenosti a, moment tromosti glasi:

AaII xx2

1 += (54) 2. Momenti otpora površine

Aksijalni momenti otpora oko osi x i y :

maxyIW x

x = , maxxI

W yy = (55)

gdje su: maxx i maxy - najveće udaljenosti konture presjeka od koordinatnih osi.

Polarni moment otpora oko pola P:

maxrI

W pp = (56)


gdje je: maxr - najveći polumjer konture presjeka (vrijedi samo za kružne i prstenaste presjeke). Jedinica za momente otpora je [m3]. Valja naglasiti da se momenti otpora površine ne mogu zbrajati. Veličine momenata tromosti i otpora nekih jednostavnih površina presjeka:

64

4DII yxπ

== ; 32

4DI pπ

= ;

32

3DWW yxπ

== ; 16

3DWpπ

= .

)1(646464

4444

ψπππ−=−=−==

DdDIIII ox

Oxyx ;

)1(32

44

ψπ−=

DI p ;

)1(32

43

ψπ−==

DWW yx ; )1(16

43

ψπ−=

DWp ,

gdje je: Dd

=ψ .

12

3bhI x = ; 12

3hbI y = ;

6

2bhWx = ; 6

2hbWy = .


III STATIKA ELASTIČNIH TIJELA 1. OSNOVNI POJMOVI I ZADACI

Svako čvrsto tijelo pod djelovanjem vanjskog opterećenja mijenja svoj oblik i volumen, a u njemu se pojavljuju unutrašnje sile. Promjena oblika i volumena tijela naziva se deformacija, a specifično opterećenje tijela izazvano njegovim unutrašnjim silama predstavlja naprezanje.

Nakon rasterećenja deformacije mogu nestati (elastične deformacije) ili ostati trajne (plastične deformacije).

Analizom naprezanja i deformacija elastičnih tijela kao elemenata tehničkih konstrukcija, bavi se elastostatika ili nauka o čvrstoći. Njeni osnovni zadaci su proučavanje čvrstoće, krutosti i stabilnosti konstrukcija, koje moraju ispunjavati i zahtjeve sigurnosti i ekonomičnosti.

Čvrstoća konstrukcije je njezina sposobnost da prenese opterećenje bez loma, trajnih deformacija ili oštećenja (pukotina).

Krutost konstrukcije podrazumijeva njezinu otpornost prema deformiranju. Stabilnost jest sposobnost konstrukcije da zadrži početni ravnotežni oblik. Pri analizi konstrukcija, uvode se određene pretpostavke koje

pojednostavljuju rješavanje i osiguravaju inženjersku točnost (pogreška manja od 5%). Najvažnije pretpostavke su izotropnost i homogenost materijala (ista svojstva u svim točkama i pravcima), te male deformacije (u odnosu na veličinu tijela).

Kakve će deformacije čvrstog tijela nastupiti pod utjecajem vanjskih sila, ovisi o vrsti opterećenja. To se može pokazati na primjeru štapa kao najvažnijeg i najjednostavnijeg konstrukcijskog elementa.

Osnovne vrste opterećenja:


Aksijalno opterećenje. Sile djeluju uzduž osi štapa, tako da njegovo opterećenje može biti vlačno (rastezanje), što izaziva produljenje štapa, slika a, ili tlačno (sabijanje), koje proizvodi skraćenje štapa, slika b.

Smicanje. Sile djeluju u ravnini poprečnog presjeka štapa i nastoje izazvati klizanje jednog njegovog dijela u odnosu na drugi, slika c.

Uvijanje (torzija). Štap je opterećen spregovima sila koji leže u ravnini njegovog poprečnog presjeka, slika d.

Savijanje. Takvo opterećenje štapa može biti spregovima sila, slika e, ili silama u ravnini koja prolazi kroz njegovu os, slika f. U prvom se slučaju radi o čistom savijanju, dok drugi slučaj predstavlja savijanje silama.

Izvijanje. Tlačno opterećenje vitkog štapa (dug i tanak štap), kada sila prijeđe određenu graničnu vrijednost, dovodi do iskrivljenja osi štapa, tj. do njegovog bočnog izvijanja, slika g. Izvijanje je, zapravo, gubitak elastične stabilnosti štapa.

Za prikazana opterećenja, navest ćemo izraze za određivanje naprezanja i

deformacija.

2. NAPREZANJA I DEFORMACIJE

Ako na neko tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da približe ili razdvoje pojedine čestice tijela, čemu se suprotstavljaju unutrašnje sile koje djeluju među česticama. Pretpostavimo da se tijelo pod djelovanjem vanjskih sila

) ,...,2 ,1( niFi =r

nalazi u ravnoteži. Ovo znači da je uspostavljena ravnoteža između vanjskih i unutrašnjih sila i da je deformiranje završeno.

U zamišljenom presjeku tijela ravninom djeluju unutrašnje sile, koje predstavljaju utjecaj odstranjenog dijela. Mjera intenziteta ovih sila naziva se naprezanje, i podrazumijeva veličinu unutrašnje sile svedenu na jedinicu površine.

U nekoj točki O presjeka, naprezanje se definira vektorom:


dAFd pr

r= (1)

gdje je: Fd

r- elementarna unutrašnja sila, dA - elementarna površina presjeka oko

točke O. Jedinica za naprezanje je paskal [Pa = N/m2].

U općem slučaju, vektor pr može se rastaviti na dvije komponente:

- normalno naprezanje σ (okomito na presjek - pravac normale nr ) i - tangencijalno naprezanje τ (leži u ravnini presjeka - pravac tangente t

r ).

Deformacija u nekoj točki tijela, može se opisati promjenom elementarnih dužina i kutova njezine okolice. Za točku O i dva međusobno okomita pravca povučena kroz nju, mjere deformiranja su:

Duljinska deformacija ε definira se kao relativno produljenje elementarne dužine na pravcu, tj. kao omjer produljenja i početne dužine:

dldl)(Δ

=ε (2)

Kutna deformacija γ definira se kao promjena prvobitnog pravog kuta između dva pravaca kroz točku:

απγ −=2

(3)

Deformacije su bezdimenzionalne veličine. Duljinsku deformaciju ε izaziva normalno naprezanje σ, a kutnu deformaciju γ izaziva tangencijalno naprezanje τ. U tehničkoj praksi deformacije su vrlo male, reda veličine 10-3 i manje.

3. HOOKEOV ZAKON

Međusobna ovisnost između naprezanja i deformacija svakog čvrstog tijela ovisi o fizičko-mehaničkim svojstvima materijala od kojeg je tijelo izgrađeno, a utvrđuje se eksperimentalno. Rezultati pokusa najčešće se prikazuju dijagramom, u kojem se daje ovisnost naprezanja o deformaciji, tj.: σ - ε ili τ - γ. Prema obliku dobivenih dijagrama, tehnički materijali se dijele na krhke i rastezljive.


Tijelo od krhkog materijala (npr. kaljeni čelik, sivi lijev, beton itd.) prije loma dobiva male elastične deformacije (εel), za razliku od tijela izgrađenog od rastezljivog materijala (npr. meki čelik, bakar, bronca itd.), koje nakon početnih elastičnih deformacija pokazuje sposobnost znatnih plastičnih deformacija (εpl) prije loma.

Važne točke na dijagramu s odgovarajućim naprezanjima su:

P → σP – granica proporcionalnosti (do te točke ovisnost naprezanja i deformacije je linearna, a deformacije su elastične); T → σT – granica tečenja (od te točke započinju velike deformacije, tzv. tečenje materijala, pri čemu su takve deformacije plastične); M → σM – granica čvrstoće (najveće naprezanje koje materijal može podnijeti prije loma). Prema tome, pri malim elastičnim deformacijama (do točke P), postoji proporcionalnost između naprezanja i deformacija, tj.: εσ ⋅= E (4) ili γτ ⋅= G (5) gdje je: E - modul elastičnosti [Pa], G – modul smicanja [Pa]. To su konstantne veličine za određeni materijal. Npr. za čelik vrijedi: E = 210 GPa i G = 80 GPa.

Izrazi (4) i (5) predstavljaju Hookeov

zakon. To je temeljni zakon nauke o čvrstoći, jer sva dobivena rješenja vrijede samo u njegovim granicama, tj. do granice proporcionalnosti.

Da bi konstrukcija u radu bila sigurna (bez loma ili trajnih deformacija), njeno najveće naprezanja mora biti manje od nekog dopuštenog naprezanja, koje se definira kao:

SM

dσσ = - krhki materijali;

ST

dσσ = - rastezljivi materijali (6)

gdje je: S – koeficijent sigurnosti (S > 1).


4. AKSIJALNO OPTEREĆENJE

Razmotrimo štap proizvoljnog poprečnog presjeka površine A na krajevima opterećen silama F, koje djeluju duž njegove osi z. U nekom poprečnom presjeku štapa, pojavljuju se unutrašnje sile koje su paralelne njegovoj osi. Njihova rezultanta je uzdužna sila N. To znači da se u svakoj točki presjeka pojavljuje samo normalno naprezanje σ.

Na svakoj elementarnoj površini dA djeluje normalna unutrašnja sila

dA⋅σ . Uvjet ravnoteže dijela štapa glasi:

∑ =−= 0 0 FNZ ili FdAA

=∫σ (-)

Kako je raspodjela naprezanja po presjeku jednolika, tj. σ = konst., slijedi

naprezanje:

AF

=σ ili AN

=σ (7)

U slučaju vlačnog opterećenja štapa (N > 0), naprezanje je pozitivno (σ >

0), a kod tlačnog opterećenja (N < 0), naprezanje je negativno (σ < 0).

Aksijalno opterećenje štapa duljine l, uzrokuje promjenu njegove duljine za Δl . Pri vlačnom opterećenju Δl > 0 (produljenje) , a pri tlačnom Δl < 0 (skraćenje).


Uzimajući u obzir Hookeov zakon (4), uzdužna duljinska deformacija štapa iznosi:

El

l σε ==Δ (8)

Ako se u izraz (7) uvrsti izraz (8), slijedi promjena duljine štapa:

EA

lNl =Δ (9)

Veličina EA naziva se aksijalna krutost štapa i predstavlja mjeru opiranja

štapa deformiranju u pravcu njegove osi.

U slučaju da se poprečni presjek štapa i/ili njegovo opterećenje mijenjaju skokovito, tada ukupno produljenje štapa iznosi:

∑=

=n

i ii

ii

AElN

l1

Δ (10)

gdje je: li – duljina i-tog dijela štapa na kojem je Ni = konst. i EiAi = konst.

Promjena duljine štapa može nastati i zbog promjene njegove temperature za Δt i iznosi: tll Δ=αΔ (11) gdje je: α - koeficijent toplinskog rastezanja [K-1].

Pri tome je toplinska deformacija štapa: t

ll

T ΔΔ αε == (12)

Ako je promjena duljine štapa spriječena, npr. zbog nepomičnih i krutih stijenki između kojih je štap učvršćen, tada se pojavljuje toplinsko naprezanje: tEETT Δ== αεσ (13)

Naprezanje u štapu je tlačno (σT < 0), ako se temperatura povisi (Δt > 0). Pri smanjenju temperature (Δt < 0), u štapu se pojavljuje vlačno naprezanje (σT > 0).


Određivanje dimenzija štapova ili njihova provjera za zadano opterećenje, izvodi se prema: 1. Uvjet čvrstoće: dA

Nσσ ≤= max

max (14)

2. Uvjet krutosti: dεε ≤max

ili dlEAlN

l ΔΔ maxmax ≤

⋅= (15)

gdje indeks max označava najveće, a indeks d dopuštene vrijednosti. 5. SMICANJE Ako na štap djeluju dvije bliske sile okomito na njegovu os, one nastoje da pomaknu dijelove štapa u poprečnom presjeku. Takvo opterećenje se naziva čisto smicanje, jer se utjecaj savijanja izazvan spregom sila (M = Fe) zbog male udaljenosti sila (e <<), može zanemariti. Prema tome, u svakoj točki poprečnog presjeka štapa pojavljuje se samo tangencijalno naprezanje τ.

Na svakoj elementarnoj površini dA presjeka štapa, djeluje tangencijalna unutrašnja sila dA⋅τ . Njihova rezultanta je poprečna sila Q. Uvjet ravnoteže dijela štapa glasi: 0Q 0 =−=∑ FY ili FdA

A

=∫τ (16)


Iako je rasporedjela τ naprezanja neravnomjerna po presjeku, u praksi se uzima da je τ = konst., pa iz izraza (16) slijedi naprezanje:

AF

=τ ili AQ

=τ (17)

Ovaj izraz je približan, a koristi se kod dimenzioniranja ili kod provjere čvrstoće konstrukcijskih elemenata izloženih čistom smicanju. Uvjet čvrstoće glasi: dττ ≤ (18)

gdje je dτ - dopušteno naprezanje na smicanje (npr. za čelik dd στ 8,0≈ ).

Pri smicanju, kvadratni oblik napregnutog elementa zbog djelovanja τ naprezanja poprima oblik romba, pa iz Hookeovog zakona slijedi kutna deformacija:

Gτγ = (19)

gdje je: G - modul smicanja.

U tehničkoj praksi postoji niz primjera opterećenja konstrukcijskih elemenata na čisto smicanje. Tipičan primjer je spoj dijelova konstrukcija ostvaren zakovicama.

⇒

Poprečni presjek zakovice (označen crtkano) opterećen je

na smicanje i u njemu se pojavljuju tangencijalna naprezanja. Trup zakovice bit će prerezan u tom presjeku, ako sila F bude dovoljno velika.

Uvjet čvrstoće na smicanje zakovice je:

dAF ττ ≤= (20)

gdje je: 4

2dA π= - površina smicanja. Ako je spoj ostvaren s n zakovica, tada je

ukupna površina smicanja An ⋅ .


6. UVIJANJE Uvijanje štapa izazivaju momenti Mt koji djeluju u ravnini njegovog poprečnog presjeka. Kako su u praksi najčešći štapovi okruglog poprečnog presjeka, može se uzeti da se pri uvijanju poprečni presjeci ne deformiraju već se zakreću kao krute figure oko osi štapa z. To znači da se u tim presjecima pojavljuju samo tangencijalna naprezanja τ.

Prikažimo štap koji je ukliješten na jednom kraju, a na drugom opterećen vanjskim momentom uvijanja tM . Eksperimenti pokazuju da se svaka njegova izvodnica nakon deformiranja zakreće za konstantan kut γ , koji predstavlja kutnu deformaciju (kut smicanja).

Kvadrat na površini štapa poprima oblik romba, što znači da je izložen

smicanju tangencijalnim naprezanjima τ . Međusobni zakret krajnjih poprečnih presjeka štapa, opisuje kut uvijanja φ. Na osnovi geometrijske analize gornje slike slijedi:

ϑγ r= (21) pa Hookeov zakon (4) glasi: ϑγτ GrG == (22) gdje je:

dzdϕϑ = - relativni kut uvijanja (analogan ε kod aksijalnog opterećenja

štapa).


Izrazi (21) i (22) pokazuju da γ i τ , rastu linearno od nule u osi štapa ( 0=r ), do maksimalne vrijednosti na površini štapa ( Rr = ).

Na svaku elementarnu površinu štapa dA djeluje unutrašnja sila dA⋅τ , pa uvjet ravnoteže jednog dijela štapa glasi:

0 0 =−⋅= ∫∑ t

Az MrdAM τ (23)

Nakon uvrštavanja izraza (22) i rješavanja slijedi: Relativni kut uvijanja:

p

t

GIM

=ϑ (24)

gdje je: Ip - polarni moment tromosti površine presjeka. Veličina GIp naziva se krutost na uvijanje (torzijska krutost). Naprezanje: r

IM

p

t=τ (25)

Za r = rmax = R (površina štapa), slijedi veličina maksimalnog naprezanja:

p

t

p

t

WMr

IM

== maxmaxτ (26)

gdje je: pW - polarni moment otpora površine presjeka. Na slici je pokazana raspodjela naprezanja u poprečnom presjeku štapa: a) kružni presjek, b) prstenasti presjek.


Kut uvijanja:

p

t

GIlMl =⋅= ϑϕ (27)

Jedinica za kut uvijanja je [rad].

U slučaju da se poprečni presjek štapa i/ili njegovo opterećenje mijenjaju skokovito, vrijedi:

pii

itin

i IGlM∑

=

=1

ϕ (28)

gdje je: li – duljina i-tog dijela štapa na kojem je .konstM ti = i .konstIG pii =

Dimenzioniranje ili provjera štapova opterećenih na uvijanje, provodi se

na osnovi: 1. Uvjet čvrstoće:

dp

t

WM

ττ ≤=max (29)

gdje je: dτ - dopušteno tangencijalno naprezanje. 2. Uvjet krutosti: d

p

t

GIM

ϑϑ ≤=max (30)

gdje je: dϑ - dopušteni relativni kut uvijanja [rad/m].

Na slici je prikazano lako vratilo opterećeno na uvijanje, konstrukcijski element u obliku štapa koji prenosi snagu i rotacijsko gibanje.


7. SAVIJANJE Štap je opterećen na savijanje kada vanjsko opterećenje djeluje u ravnini koja prolazi kroz njegovu uzdužnu os z. Konstrukcijski element oblika štapa oslonjen o podlogu i opterećen na savijanje naziva se greda, pri čemu on dobiva zakrivljeni oblik.

Greda

Ako u ravnini opterećenja djeluju samo spregovi sila, štap je opterećen na čisto savijanje. U slučaju da u njoj djeluju i sile, radi se o savijanju silama.

Razmotrimo najčešći slučaj čistog savijanja štapa, kada su težišne osi poprečnog presjeka x i y, ujedno i njegove osi simetrije. Ravnina yz je ravnina opterećenja. Štap je na svojim krajevima opterećen spregovima sila momenta M.


Pod djelovanjem opterećenja štap se deformira, a njegova uzdužna os prelazi u zakrivljenu crtu koja se naziva elastična linija. U ovom slučaju elastična linija ima oblik kružnog luka (polumjer zakrivljenosti ρ = konst.).

Ako su deformacije male, može se pretpostaviti da poprečni presjeci štapa ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju i nakon deformiranja. Pri tom se uzdužna vlakna na gornjoj strani štapa skraćuju a na donjoj produljuju. Naravno, postoje vlakna koja ne mijenjaju svoju duljinu a leže u neutralnoj liniji, koja u poprečnom presjeku daje neutralnu os (n-n). Ona se poklapa s osi x.

Prema tome, u poprečnom presjeku štapa postoje samo normalna naprezanja σ u pravcu osi štapa.

Razmotrimo jedan deformirani element štapa između dva bliska poprečna presjeka koja međusobno zatvaraju kut αd . Vlakno duljine dz na udaljenosti y od neutralne linije produljuje se za

dzΔ , uslijed normalnog naprezanja σ.

Uzdužna deformacija toga vlakna, prema definiciji je:

ραραε y

dyd

dzdz

==Δ

= (31)

Prema Hookeovom zakonu, naprezanje iznosi: yEE

ρεσ == (32)

Jednadžba ravnoteže elementa štapa glasi: 0 0 =⋅−= ∫∑

Ax ydAMM σ (33)

Uvrštavanjem izraza (32), slijedi zakrivljenost elastične linije:

xEI

M=

ρ1 (34)

gdje je: Ix – aksijalni moment tromosti površine presjeka za os x (neutralna os). Veličina xEI naziva se krutost na savijanje.


Uvrštavajući izraz (34) u izraz (32), dobiva se naprezanje: y

IM

x

=σ (35)

Pomoću ovog izraza moguće je odrediti naprezanje u bilo kojoj točki

presjeka štapa. Može se zaključiti da je raspodjela normalnog naprezanja σ linearna po visini poprečnog presjeka. U točkama neutralne osi (y = 0), naprezanja nema, dok se najveća naprezanja pojavljuju u točkama presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi ( maxyy = ).

Maksimalno naprezanje ima veličinu:

xx WMy

IM

== maxmaxσ (36)

Raspodjela normalnih naprezanja u poprečnom presjeku prikazana je sljedećom slikom:

Kod savijanja silama, u poprečnom presjeku štapa pojavljuje se i tangencijalno naprezanje τ izazvano poprečnom silom Q. Međutim, ono je u pravilu mnogo manje od normalnog naprezanja σ, pa ga nećemo određivati.

Prema tome, uvjet čvrstoće na savijanje glasi:

dxW

Mσσ ≤= max

max (37)

gdje je: maxM - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku štapa, σd - dopušteno naprezanje na savijanje.


Elastična linija predstavlja mjeru deformacije štapa pri savijanju. Poznavanje njezinog oblika važno je pri ispitivanju krutosti ovako opterećenih konstrukcijskih elemenata.

Jednadžba elastične linije u općem slučaju ima oblik y = y (z). Vertikalni pomak težišta T presjeka štapa u nekoj točki naziva se progib f, a kut zakreta tangente t na elastičnu liniju naziva se nagib φ.

Podaci o elastičnim linijama za različito opterećene grede, mogu se naći u tehničkim priručnicima.

Primjer:


7. IZVIJANJE Kod tlačno opterećenih štapova koji imaju relativno veliku duljinu u odnosu na dimenzije poprečnog presjeka (tzv. vitki štapovi), može doći do savijanja u stranu, odnosno izvijanja. Takvo krivljenje štapa izazvano je aksijalnom a ne poprečnom silom i predstavlja gubitak stabilnosti oblika. Gubitak stabilnosti i pored ispunjenih uvjeta čvrstoće i krutosti, neizbježno vodi do loma štapa. To znači da sigurnost konstrukcijskog elementa čiji deformirani ravnotežni oblik nije stabilan, zapravo i ne postoji. Prema tome, osim čvrstoće i krutosti konstrukcije, prvorazredno značenje ima i pitanje njezine stabilnosti. Ovo je posebno izraženo u suvremenim konstrukcijama, gdje se do minimuma smanjuju poprečne dimenzije zbog uporabe otpornijih materijala i nastojanja da se težina što više smanji. Najmanja sila pri kojoj se štap izvija, naziva se kritična sila Fkr. Njena veličina definirana je Eulerovim izrazom, koji glasi:

20

min2

lEIFkr

π= (38)

gdje je: Imin - minimalni aksijalni moment tromosti presjeka štapa (izvijanje se uvijek odvija oko osi presjeka za koju je krutost štapa najmanja, odnosno za koju je aksijalni moment tromosti najmanji), 0l - slobodna duljina izvijanja.

Na slici su prikazani osnovni oblici i slobodne duljine izvijanja za različite načine učvršćenja štapa.


U trenutku izvijanja štapa, kritično naprezanje iznosi:

2

2

λπσ E

AFkr

kr == (39)

gdje je:

min

0

il

=λ - bezdimenzijska karakteristika štapa koja se naziva vitkost

štapa,

A

Ii minmin = - minimalni polumjer tromosti presjeka štapa.

Izrazi (38) i (39) vrijede samo u elastičnom području, tj. za naprezanja:

Pkr σσ ≤

gdje je: Pσ - granica proporcionalnosti, odnosno, za vitkosti: λ > Pλ

gdje je: P

PEσ

πλ = - granična vitkost (npr. čelik Pλ ≈ 100).

Pri provjeri stabilnosti oblika, mora se voditi računa da štap ima izvjesnu

sigurnost protiv izvijanja, što znači da naprezanje mora biti manje od dopuštene vrijednosti, tj.:

Skr

dσσσ =≤ (40)

gdje je: S – koeficijent sigurnosti (stabilnosti). On ovisi o materijalu, vitkosti i drugim faktorima (npr. za čelik vrijedi 35,1 ÷=S i više).


IV. KINEMATIKA Kinematika proučava geometrijska svojstva gibanja tijela ne uzimajući u obzir njihovu masu i sile koje na njih djeluju. Temeljni zadatak kinematike je određivanje kinematičkih veličina (putanja, brzina i ubrzanja) pojedinih točaka tijela. Kinematičke veličine funkcije su vremena. 1. KINEMATIKA ČESTICE 1.1 OSNOVNE KINEMATIČKE VELIČINE Svaka točka tijela ili čestica opisuje pri gibanju krivulju koja se naziva putanja. Ovisno o njenom obliku, gibanje može biti pravocrtno i krivocrtno.

Položaj čestice u prostoru,

određen je vektorom položaja rr , čili vrh slijedi putanju čestice. Dakle rr je funkcija vremena, tj.: )(trr rr

= (1) To je jednadžba gibanja čestice u vektorskom obliku.

U intervalu vremena Δt, čestica prelazi iz položaja A1 u položaj A2 na putanji, pri čemu se vektor rr promijeni za rrΔ .

Omjer prirasta vektora položaja i prirasta pripadnog vremena, naziva se

srednja brzina čestice srvr :

trvsr Δ

Δ=

rr (2)

Vektor srvr ima isti pravac i smjer kao i vektor rrΔ .

Granična vrijednost izraza (2), daje trenutnu brzinu čestice vr : r

dtrd

ΔtrΔ v

Δt&r

rrr

===→0

lim (3)


Dakle, vektor brzine jednak je prvoj derivaciji vektora položaja po vremenu. On ima pravac tangente na putanju u datoj točki i smjer gibanja. Jedinica za brzinu je [ms-1].

U promatranom intervalu vremena Δt, promijenit će se i vektor brzine vr za vrΔ .

Omjer prirasta vektora brzine i prirasta pripadnog vremena, naziva se srednje ubrzanje čestice

srar :

tvasr Δ

Δ=

rr (4)

Vektor srar ima isti pravac i smjer kao i vektor vrΔ .

Granična vrijednost izraza (4), daje trenutno ubrzanje čestice ar : rv

dtvd

ΔtvΔ a

Δt&&r&r

rrr

====→0

lim (5)

Prema tome, vektor ubrzanja jednak je prvoj derivaciji vektora brzine po vremenu, odnosno drugoj derivaciji vektora položaja po vremenu. Vektor ubrzanja uvijek je usmjeren u konkavnu stranu putanje čestice. Jedinica za ubrzanje je [ms-2]. U općem slučaju, svakom trenutku vremena t odgovara određeni vektor rr , vr i ar . 1.2 PRAVOCRTNO GIBANJE

Izvodi ga čestica čija je putanja pravac. Ako se ishodište vektora položaja odabere u jednoj točki putanje, tada se vektori rr , vr i ar , poklapaju s putanjom, pa vektorsko opisivanje nije potrebno.

Položaj čestice prikazuje se njenom udaljenošću od ishodišta O, koja se

naziva put s.


Vrijedi: )(tss = (6) To je zakon pravocrtnog gibanja čestice. Jedinica za put je [m].

Prema izrazu (3), brzina čestice je: s

dtdsv &== (7)

a prema izrazu (5), njeno ubrzanje iznosi: sv

dtdva &&& === (8)

Predznaci s, v i a, odgovaraju smjeru gibanja čestice. Ako su predznaci v i a jednaki, gibanje čestice je ubrzano. U suprotnom, gibanje čestice je usporeno.

U slučaju da je poznato ubrzanje a čestice, tada se brzina v i put s mogu odrediti integriranjem, tj.:

∫∫ +=⇒=⇒= 1 Cadtvadtdvdtdva

(9) ∫∫ +=⇒=⇒= 2 Cvdtsvdtds

dtdsv

gdje su: C1 i C2 konstante integracije, za čije se određivanje moraju poznavati početni uvjeti , odnosno vrijednosti s i v na početku gibanja.

Radi preglednosti, često se promjene kinematičkih veličina: s(t), v(t) i a(t), prikazuju grafički tzv. kinematičkim dijagramima:


1.2.1 JEDNOLIKO GIBANJE Takvo gibanje izvodi čestica čija je brzina konstantna (v = konst.), a ubrzanja nema (a = 0).

Razmotrimo česticu koja započinje gibanje iz nekog položaja A0, udaljenog za s0 od ishodišta O. U tom početnom trenutku vremena t0, početna brzina čestice iznosi v0.

Nakon vremena t čestica se pomjeri u položaj A, pri čemu njena brzina ostaje ista. Na osnovi izraza (9) slijedi:

∫ +=+= CvtCvdts Početni uvjeti glase: u trenutku t = 0, s = s0 ⇒ C = s0, što uvršteno u gornji izraz daje prijeđeni put: vtss += 0 (10) Kinematički dijagrami jednolikog gibanja čestice imaju izgled:

1.2.2 JEDNOLIKO PROMJENLJIVO GIBANJE Pri ovakvom gibanju, ubrzanje čestice je konstantno (a = konst.). Na osnovi izraza (9) može se pisati:

∫ +=+= 11 CatCadtv

Početni uvjeti glase: u trenutku t = 0, v = v0 ⇒ C1 = v0, što uvršteno u gornji izraz daje brzinu: atvv += 0 (11)


Vrijedi i:

∫∫ ++=++=+= 2

2

0202 2)( CattvCdtatvCvdts

Početni uvjeti glase: u trenutku t = 0, s = s0 ⇒ C2 = s0, što uvršteno u gornji izraz daje prijeđeni put:

2

2

00attvss ++= (12)

Izrazi (11) i (12) vrijede za jednoliko ubrzano gibanje (a > 0). Za

jednoliko usporeno gibanje (a < 0), u te izraze treba ubrzanje uvrstiti s negativnim predznakom.

Kinematički dijagrami jednoliko promjenljivog gibanja čestice imaju

izgled:

Tipični primjeri jednoliko promjenljivog gibanja čestice su slobodan pad (v0 = 0; a = g = 9,81 ms-2 – gravitacijsko ubrzanje) i vertikalni hitac (prema dolje: a = g; uvis: a = - g).

1.3 KRIVOCRTNO GIBANJE Kinematičke veličine pri krivocrtnom gibanju čestice obično se prikazuju u nekom koordinatnom sustavu. Najčešće se koriste pravokutni Descartesov koordinatni sustav i prirodni koordinatni sustav. 1.3.1 PRIKAZIVANJE U DESCARTESOVOM K. SUSTAVU Položaj čestice u ovom koordinatnom sustavu, određen je njenim koordinatama, koje ovise od vremena, tj.: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (13)


To su jednadžbe gibanja čestice u Descartesovim koordinatama.

Vektor položaja čestice u tom slučaju glasi:

kzjyixrrrrr

++= (14) gdje su: i

r, jr

, kr

- jedinični vektori koordinatnih osi x, y, z (ne ovise o vremenu t).

Vektor brzine je: kzjyixrv

r&

r&

r&&rr

++== (15) gdje su veličine komponenata vektora brzine u pravcima koordinatnih osi:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

==

==

dtdzzv

dtdyyv

dtdxxv

z

y

x

&

&

&

(16)

Veličina i pravac vektora brzine su:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

++=

cos ;cos ;cos

222

vv

vv

vv

vvvv

zv

yv

xv

zyx

γβα (17)

Vektor ubrzanja glasi: kzjyixrva

r&&

r&&

r&&&&r&rr

++=== (18) gdje su veličine komponenata vektora brzine u pravcima koordinatnih osi:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

==

==

2

2

2

2

2

2

dtzdza

dtydya

dtxdxa

z

y

x

&&

&&

&&

(19)


Veličina i pravac vektora ubrzanja su:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

++=

cos ;cos ;cos

222

aa

aa

aa

aaaa

za

ya

xa

zyx

γβα (20)

Ako se čestica giba u ravnini, vektori položaja, brzine i ubrzanja imaju

samo po dvije komponente u toj ravnini. 1.3.2 PRIKAZIVANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SUSTAVU Prirodni koordinatni sustav veže se za česticu koja se giba, a čine ga dvije međusobno okomite osi: tangenta T i glavna normala N, definirane svojim jediničnim vektorima Ter i Ner .

Pozitivan smjer osi T bira se proizvoljno, dok je pozitivan smjer osi N onaj koji gleda prema središtu zakrivljenosti putanje C s polumjerom zakrivljenosti R.

Položaj čestice A na putanji,

određen je duljinom luka s, mjereno s obzirom na početni položaj A0. Dakle s je krivocrtna koordinata i funkcija je vremena, tj.:

s = s(t) (21) To je jednadžba gibanja čestice u prirodnim koordinatama.

Za beskonačno male pomake čestice na putanji vrijedi: Tedsrd rr≈ , pa

vektor brzine čestice glasi: TT ese

dtds

dtrdrv r

&&r==== (22)

Vektor brzine poklapa se s osi T, a veličina brzine čestice iznosi: sv &= (23) Vektor ubrzanja čestice je:


TTT esesesdtd

dtvdva &r&

r&&

r&&rr

+==== )( (24)

Kako jedinični vektor Ter mijenja svoj pravac tijekom vremena (pripada pomičnom k. sustavu), vrijedi:

NT eRse &r&&r =

pa izraz (24) dobiva oblik:

NT eRsesa r&r

&&r 2

+= (25)

Očigledno je da vektor ubrzanja ima dvije komponente u pravcima k. osi T i N.

Veličine komponenata ubrzanja su:

tangencijalna komponenta saT &&= (26)

normalna komponenta RsaN

2&=

Veličina i pravac vektora ubrzanja iznose:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

+=

cos

22

aa

aaa

Ta

NT

α (27)

Vektori tangencijalnog ubrzanja Tar i brzine vr imaju isti pravac jer leže na osi T. Ako ti vektori imaju isti smjer, gibanje čestice je ubrzano. U suprotnom, njeno je gibanje usporeno. U slučaju da je 0=Tar , gibanje čestice je jednoliko ( .konstv =

r ). Vektor normalnog ubrzanja Nar leži na osi N i uvijek je usmjeren prema središtu zakrivljenosti C putanje. Ako je putanja čestice pravac, tada je 0=Nar .


2. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA Položaj krutog tijela koje se može slobodno gibati u prostoru, potpuno je određen koordinatama njegove tri proizvoljne nekolinearne točke. Kako je međusobni razmak tih točaka nepromjenljiv, ostaje šest međusobno neovisnih koordinata položaja krutog tijela koje su funkcije vremena t, tj.:

)(321 . )( );( );(

ji , , j i,konstAAtzztyytxx

ji

iiiiii

≠=====

To su jednadžbe općeg gibanja slobodnog krutog tijela. Međutim,

slobodna tijela u tehnici praktički ne postoje, jer su međusobno vezana kao dijelovi najrazličitijih konstrukcija. Takve veze smanjuju mogućnosti gibanja tijela, što znači da se analiza gibanja pojednostavljuje. Zato ćemo razmotriti samo neka od osnovnih gibanja tijela u tehničkoj praksi i to: translaciju, rotaciju i ravninsko gibanje. 2.1 TRANSLACIJA TIJELA

To je gibanje krutog tijela kod kojeg svaki njegov pravac ostaje paralelan

svom prvobitnom položaju. Ovo znači da sve točke tijela opisuju sukladne putanje, a prema njihovom obliku translacija može biti pravocrtna i krivocrtna.

Položaj dviju proizvoljnih točaka tijela A i B, definiran je vektorima položaja Arr i Br

r . Iz slike je vidljivo:

dtdABrr AB +=

rr ⇒ dtdvv AB

rr= ⇒ AB aa rr

=

Dakle, brzine i ubrzanja svih

točaka krutog tijela pri njegovoj translaciji su jednaka.

Prema tome, dovoljno je

promatrati gibanje samo jedne točke tijela, što znači da se translacija krutog tijela svodi na translaciju čestice.


2.2 ROTACIJA TIJELA OKO NEPOMIČNE OSI

Pri takvom gibanju sve točke tijela opisuju kružne putanje sa središtem na nepomičnom pravcu koji se naziva os rotacije. Pri tome nije nužno da ova os prolazi kroz tijelo.

Položaj tijela potpuno je definiran kutom rotacije φ , što ga bilo koji pravac vezan za tijelo i okomit na os rotacije, zatvara s početnim položajem, tj.:

)(tϕϕ = (28)

To je jednadžba rotacijskog gibanja

krutog tijela. Kut rotacije je pozitivan ako raste u

smjeru suprotnom gibanju kazaljke na satu. Jedinica za φ je [rad].

Promjena kuta rotacije s vremenom, daje kutnu brzinu ω:

ϕϕω &==dtd (29)

Jedinica za ω je [ rad s-1] ili [ s-1]. Kao mjera brzine rotacije tijela u tehničkoj praksi služi i tzv. brzina vrtnje n [min-1]. To je broj punih okretaja tijela (φ = 2π) u minuti, pa vrijedi:

30602 ππω nn

== (30)

Izraz (29) deriviran po vremenu daje kutno ubrzanje α: ϕωωα &&& ===

dtd (31)

Jedinica za α je [ rad s-2] ili [ s-2]. Na osnovi gornjih izraza, može se zaključiti da postoji potpuna analogija između kinematičkih veličina kod rotacijskog i translacijskog pravocrtnog gibanja krutog tijela, tj:


Rotacijsko gibanje Translacijsko pravocrtno gibanje φ s ω v α a

Tako npr. za jednoliko promjenljivu rotaciju tijela (α = konst.), vrijede

izrazi analogni onim kod pravocrtnog gibanja, tj.:

2

2

00tt αωϕϕ ++=

(32) tαωω += 0 gdje je: φ0 – početni kut rotacije; ω0 – početna kutna brzina.

Slijedeći prirodni način definiranja gibanja, luk s koji neke točka A tijela prijeđe za vrijeme t, iznosi: ϕrs = (33) gdje je: r – polumjer putanje točke.

Brzina točke v ima veličinu:

ωϕ rrsv === && (34) Ova brzina naziva se i obodna brzina.

Ubrzanje točke a određeno je s dvije komponente, čije su veličine: tangencijalna komponenta αϕ rrsaT === &&&&

(35)

normalna komponenta 222

ωrRv

RsaN ===&

Ukupno ubrzanje iznosi: 4222 ωα +=+= raaa NT (36) Kutnoj brzini i kutnom ubrzanju tijela, može se dati i vektorski smisao. Oba vektora ωr i αr leže na osi rotacije, a smjer im je određen pravilom desne ruke. Ako su smjerovi oba vektora jednaki, rotacija tijela je ubrzana a u suprotnom, rotacija je usporena.


2.3 RAVNINSKO GIBANJE TIJELA

Ako se sve točke krutog tijela gibaju paralelno nekoj nepomičnoj ravnini, radi se o ravninskom gibanju. Zbog toga je pri proučavanju ravninskog gibanja tijela moguće promatrati njegov presjek u takvoj referentnoj ravnini.

Može se jednostavno pokazati da se ravninsko gibanje tijela sastoji od dva osnovna gibanja u referentnoj ravnini i to: translacije tijela s nekom točkom i rotacije tijela oko osi koja prolazi tom točkom okomito na referentnu ravninu (rotacija oko točke A).

Takva predodžba omogućava da se položaj tijela u ravnini odredi koordinatama x i y jedne točke A presjeka tijela (translacija) i kutom α koji neka dužina AB zatvara s osi x (rotacija). Sve tri koordinate funkcije su vremena t, tj.: )( );( );( ttyytxx ϕϕ === (37) To su jednadžbe ravninskog gibanja krutog tijela.

Položaj točke B tijela, određen je vektorom položaja Brr , koji se prema

slici može zapisati kao: ABrr AB +=

rr (38) Deriviranjem ovog izraza po vremenu, slijedi vektor brzine Bvr točke B:

BAAABB vvABrrv rr&r&rr+=+== (39)

gdje je:

Avr - vektor brzine točke A (translacija tijela s točkom A), BAvr - vektor brzine točke B u odnosu na točku A (rotacija tijela oko

točke A), veličina: ω⋅= ABBAv , pravac: AB⊥BAvr .

Vektorski izraz (39), moguće je prikazati slikom:


U ravnini gibanja tijela uvijek postoji točka čija je brzina u danom trenutku vremena jednaka nuli. Ta se točka naziva trenutni pol brzina P.

Iako točka P mijenja svoj položaj tijekom gibanja, uvijek je 0=Pvr . Okomica na bilo koji vektor brzine tijela mora prolaziti kroz trenutni pol brzina, jer prema slici vrijedi:

ωω⋅==⋅==

BPAP

BPB

APA

vvvv

ili

BPAPBA vv

==ω (40)

Prema tome, ravninsko gibanje tijela može se

predočiti i kao rotacija tijela oko trenutnog pola brzina P. Poznavanje položaja točke P, omogućuje jednostavno određivanje brzina pojedinih točaka tijela. Tipičan primjer ravninskog gibanja tijela je njegovo kotrljanje bez klizanja po podlozi, pri čemu se točka P poklapa s točkom dodira tijela i podloge.

Deriviranjem izraza (39) po vremenu, dobiva se vektor ubrzanja Bar

točke B: BANBATABAABAABB aaaaavvva rrrrr&r&r&rr

++=+=+== (41)

gdje je:

Aar - vektor ubrzanja točke A (translacija tijela s točkom A), BAar - vektor ubrzanja točke B u odnosu na točku A (rotacija tijela oko

točke A), BATar - tangencijalna komponenta vektora BAar ,

veličina: α⋅= ABBATa , pravac: AB⊥BATar .


BANar - normalna komponenta vektora BAar ,

veličina: 22

ω⋅== ABABva BA

BAN , pravac: BANar .AB, smjer: B→A ׀׀

Vektorski izraz (41), moguće je prikazati slikom:

Vektorske jednadžbe (39) i (41) moguće je riješiti analitički, njihovim projiciranjem na osi izabranog koordinatnog sustava u ravnini gibanja. Na taj se način dobivaju po dvije skalarne (algebarske) jednadžbe brzina i ubrzanja.

Grafičko rješavanje vektorskih jednadžbi (39) i (41), izvodi se crtanjem plana brzina i plana ubrzanja. To su zapravo vektorski poligoni u kojima vektori brzina odnosno ubrzanja pojedinih točaka tijela, imaju zajednički početak.


V. DINAMIKA

Dinamika proučava gibanja tijela pod utjecajem sila. Dakle, ona dovodi u vezu osnovne kinematičke veličine (položaj, brzina, ubrzanje) s osnovnom statičkom veličinom (sila).

Zadaci dinamike dijele se u dvije skupine:

1. Poznato je gibanje tijela a treba naći sile koje djeluju na tijelo – prvi zadatak 2. Poznate su sile a treba odrediti gibanje tijela – drugi (osnovni) zadatak 1. DINAMIKA ČESTICE 1.1 JEDNADŽBE GIBANJA Razmotrimo česticu mase m, čiji je položaj u prostoru određen vektorom položaja rv . Ako je sila F

v rezultanta svih vanjskih sila

što djeluju na česticu, tada je njeno ubrzanje av u pravcu sile.

Drugi Newtonov zakon glasi: rmvmamF &&v&vvv

=== (1) To je diferencijalna jednadžba gibanja čestice u vektorskom obliku.

U općem slučaju sila je promjenljiva veličina i ovisi od vremena, položaja i brzine čestice, tj. ),,( vrtFF vvvv

= . Jednadžba (1) izražava se preko skalarnih jednadžbi u nekom od koordinatnih sustava: Descartesov koordinatni sustav

Projiciranjem vektorskog izraza (1) na k. osi, slijede komponente sile:

xmvmmaF xxx &&& === ymvmmaF yyy &&& ===

zmvmmaF zzz &&& === (2) To su diferencijalne jednadžbe gibanja čestice ovom koordinatnom sustavu.


Prirodni koordinatni sustav

Komponente sile u pravcu tangente T i glavne normale N su: smvmmaF TT &&& ===

Rsm

RvmmaF NN

22 &=== (3)

Izrazi (3) predstavljaju diferencijalne

jednadžbe gibanja čestice u ovom koordinatnom sustavu. Rješavanje zadataka dinamike:

1.2 D’ALEMBERTOV PRINCIP Ovaj princip omogućava u mnogim slučajevima jednostavno rješavanje dinamičkih zadaća, tako da se jednadžbe gibanja predstave u obliku statičkih jednadžbi ravnoteže.

Jednadžba gibanja čestice može se napisati u sljedećem obliku:

amF vv

= ili 0=− amF vv

ili 0=+ inFF

vv (4)

gdje je: inF

v - fiktivna (zamišljena sila) koja se naziva inercijska sila. Ona je

uvijek usmjerena suprotno ubrzanju av .

Jednadžba (1) poznata je pod nazivom jednadžba dinamičke ravnoteže čestice i predstavlja D’Alembertov princip.


Iskazan riječima on glasi: Ako se svim silama što djeluju na česticu u danom trenutku doda i inercijska sila, onda će takav sustav sila biti u ravnoteži i za njega vrijede zakoni statike.

Inercijska sila prikazuje se preko svojih komponenata u nekom od koordinatnih sustava. Takve su komponente uvijek suprotne odgovarajućim ubrzanjima. 1.3 RAD I SNAGA

Rad sile karakterizira djelovanje sile na česticu u gibanju.

Elementarni rad sile Fv

koja djeluje na česticu pri njenom elementarnom pomaku rdv na putanji, definira se kao skalarni produkt tih vektora, tj:

αcosFdrrdFdW =⋅= vv

(5)

Kako je dsdr ≈ - pomak u pravcu tangente T i αcosFFT = - tangencijalna komponenta sile, slijedi:

dsFdW T= (6)

Rad sile W na nekom putu od položaja 1 do položaja 2 čestice na putanji, dobiva se integriranjem izraza (6):

∫ ∫==2

1

2

1

dsFdWW T (7)

Dakle, rad sile je skalarna veličina, a daje ga samo tangencijalna komponenta sile TF . Rad normalne komponente sile NF jednak je nuli.

Za pravocrtno translacijsko gibanje čestice, izraz (7) dobiva oblik:

∫=2

1

FdsW (8)

Ako je .konstF = , vrijedi: FsW = (9)


Analogno, pri rotacijskom gibanju čestice oko točke O, rad momenta sile odnosno sprega sila je:

∫ ∫∫ ===2

1

2

1

2

1

ϕϕ MdFrdFdsW (10)

Ako je .konstM = , vrijedi: ϕMW = (11) gdje je: ϕ - kut rotacije [rad].

Jedinica za rad je džul [J = Nm].

Snaga sile P je brzina kojom sila obavlja rad. To je skalarna veličina koja iznosi: vF

dtdsF

dtdWP T

T === (12)

Ako se rad obavlja jednoliko, tada je:

tWP = (13)

Analogno, snaga momenta sile odnosno sprega sila iznosi:

ωϕ M

dtMd

dtdWP === (14)

gdje je: ω - kutna brzina [s-1].

Jedinica za snagu je vat [W = Js-1]. Pri radu nastaju gubici. Omjer korisne (dobivene) snage KP i uložene

snage UP , naziva se iskoristivost:

U

K

PP

=η (< 1) (15)


1.4 KINETIČKA I POTENCIJALNA ENERGIJA Elementarni rad sile može se izraziti kao:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=====

2

2mvdmvdvdsdtdvmdsmadsFdW TT

ili KdEdW = (16)

gdje je: 2

2mvEK = - kinetička energija (17)

Kinetička energija je energija gibanja i predstavlja skalarnu veličinu s

jedinicom džul [J = Nm]. Integriranjem izraza (16) od položaja 1 do položaja 2 čestice na putanji, slijedi:

WmvmvEE KK =−=−22

21

22

12 (18)

To je zakon kinetičke energije, jedan od osnovnih zakona dinamike. On

pokazuje da je promjena kinetičke energije čestice na nekom putu, jednaka radu sile zbog koje se čestica giba.

Taj zakon omogućava jednostavno rješavanje dinamičkih zadaća u slučaju

da sila ovisi samo od položaja čestice na putanji, tj. ako je ),,( zyxFF = . Takve sile nazivaju se konzervativne sile i za njih vrijedi:

PdEdW −= (19)

gdje je: ),,( zyxEE PP = - potencijalna energija

Potencijalna energija je skalarna veličina i predstavlja energiju položaja s jedinicom džul [J = Nm].

Integriranjem izraza (19) od položaja 1 do položaja 2 čestice na putanji, slijedi:

21

2

1PPP EEdEW −=−= ∫ (20)

Ovaj izraz pokazuje da rad konzervativne sile

(npr. gravitacijska, elastična, magnetska itd.) ne ovisi od oblika putanje čestice, već samo o položaju njenih krajnjih točaka 1 i 2 na putanji.


To ne vrijedi za nekonzervativne sile (npr. trenje, otpor sredine itd.), koje nemaju potencijalnu energiju.

Potencijalna energija u nekom položaju čestice izračunava se iz rada sile. Pri tome se nulti položaj u kojem je 0=PE , određuje dogovorno. Npr.: Sila težine: mgG = Potencijalna energija:

mghEP = (21)

Elastična sila: csFe = gdje je: c – krutost linearno elastične opruge [N/m], s – promjena duljine opruge

[m]. Potencijalna energija:

2

2csEP = (22)

Ako na česticu djeluju samo konzervativne sile, tada se na osnovi izraza

(18) i (20) može napisati: 2211 PKPK EEEE +=+

ili .konstEE PK =+ (23)

To je zakon održanja mehaničke energije, koji pokazuje da mehanička energija (kinetička i potencijalna) u svakom položaju čestice ostaje konstantna.

Drugi oblik ovoga zakona je:

01212 =−+− PPKK EEEE ili 0=Δ+Δ PK EE (24)

Dakle, povećanje kinetičke energije čestice dovodi do smanjenja njene potencijalne energije i obratno.


Ako na česticu djeluju i nekonzervativne sile, tada vrijedi: TPK WEE =Δ+Δ (25) gdje je: TW - rad nekonzervativnih sila (npr. rad sile trenja je negativan). 1.5 IMPULS I KOLIČINA GIBANJA

Impuls sile je dinamička veličina koja opisuje djelovanje sile na česticu tijekom vremena.

Elementarni impuls sile definira se kao produkt sile Fv

i elementarnog intervala vremena dt , tj.:

dtFIdvv

= (26)

Integriranjem ovog izraza unutar nekog intervala vremena ( 21 tt − ), slijedi impuls sile I:

∫=2

1

t

t

dtFIrv

(27)

Impuls sile je vektor i prikazuje se pomoću komponenata u nekom

koordinatnom sustavu. Jedinica za impuls sile je [Ns].

Za opisivanje gibanja čestice čija je brzina

poznata, koristi se dinamička veličina nazvana količina gibanja.

Količina gibanja p predstavlja produkt mase m i brzine vv čestice, tj.:

vmp vv = (28)

Količina gibanja je vektor, pravca i smjera kao i brzina. Prikazuje se

pomoću komponenata u nekom koordinatnom sustavu. Jedinica za količinu gibanja je [kgms-1 = Ns]. Deriviranjem izraza (28) po vremenu, slijedi: Famvmp

vv&v&v === (29) Dakle, derivacija vektora količine gibanja po vremenu, jednaka je vektoru sile koja izaziva to gibanje. Množenjem izraza (29) s dt , dobije se:


Idpdvv = (30)

što nakon integriranja unutar razmatranog intervala vremena daje:

Ippvvv =− 12

ili ∫=−2

1

12

t

t

dtFvmvmvvv (31)

Ovo je zakon količine gibanja. On pokazuje da je promjena količine

gibanja čestice u nekom intervalu vremena, jednaka impulsu sile koja djeluje na česticu u istom intervalu vremena.

Očigledno je da bez impulsa sile nema promjene brzine. Prema tome, ako je 0=I

v, tada vrijedi:

21 pp vv = (32) Taj izraz predstavlja zakon održanja količine gibanja.

1.6 MOMENT KOLIČINE GIBANJA Analogno statičkom momentu sile za točku OM

v, u dinamici se definira

veličina koja se naziva moment količine gibanja (ili kinetički moment) za točku OL

v.

Vektor toga momenta za neku točku O, jednak je vektorskom (ex) produktu vektora položaja rv i vektora količine gibanja pv čestice, tj.:

prLO

vvv×= (33)

Vektor OL

v okomit je na ravninu u kojoj leže

vektori rv i pv (međusobno zatvaraju kut α ). Veličina vektora momenta količine gibanja čestice za točku O je: αsinrmvLO = (34) a smjer mu je definiran je pravilom desne ruke. Jedinica momenta količine gibanja je [kgm2s-1= Nms]. Kako je količina gibanja pogodna za opisivanje translacije čestice, tako je moment količine gibanja pogodan za opisivanje njene rotacije. Deriviranjem izraza (33) po vremenu, slijedi:


OO MFrLvvv&v =×= (35)

To je zakon momenta količine gibanja. Iskazan riječima on glasi:

Derivacija momenta količine gibanja čestice po vremenu za neku točku, jednaka je momentu sile koja djeluje na česticu za istu točku.

Izraz (35) vrijedi i za bilo koju os koja prolazi kroz točku O. Tako npr. za

os z, skalarni zapis ovog zakona glasi: zz ML =& (36) U posebnom slučaju kada je 0=OM

v (nema momenta vanjskih sila za točku

O), vrijedi: .konstLO =

v (37)

Ovaj izraz predstavlja zakon održanja momenta količine gibanja.

2. DINAMIKA KRUTOG TIJELA 2.1 GEOMETRIJA MASA Gibanje krutog tijela ovisi o masi ali i o njenoj raspodjeli. Ukupna masa tijela je: ∫=

m

dmm (38)

gdje je: dm - masa djelića tijela.

Središte mase tijela je geometrijska točka C, koja se podudara s težištem tijela T (samo za .konstg = ). Njegov položaj definiran je vektorom položaja:

∫=

mC rdm

mr 1v (39)

gdje je: rv - vektor položaja djelića tijela. Masa tijela je mjera njegovog otpora prema translaciji, dok je mjera otpora prema rotaciji moment tromosti mase tijela. Njime se uzima u obzir i raspodjela mase tijela, a definira prema nekoj osi. Npr. za os z vrijedi:


∫=m

z dmrI 2 (40)

gdje je: r - udaljenost djelića mase dm od osi z. Jedinica momenta tromosti mase je [kgm2]. Moment tromosti mase tijela može se izraziti i na

sljedeći način: 2

zz miI = (41) gdje je iz - polumjer tromosti [m]. Za tijela različitih pravilnih oblika, veličine momenta tromosti za osi koje prolaze kroz središte njihove mase C, mogu se pronaći u tehničkim priručnicima. Npr.:

U praksi je često potrebno odrediti moment tromosti tijela za neku paralelnu os. U tom se slučaju koristi Steinerovo pravilo:

mdII zz2

1 += (42) gdje je: d - razmak osi z i z 1 (paralelna osi z).

Npr.:

Spomenimo još da se momenti tromosti za istu os mogu zbrajati, što olakšava njihovo određivanje kod tijela složenog oblika koja su sastavljena od dijelova poznatih momenata tromosti.


2.2 TRANSLACIJA TIJELA

Ona nastupa kada rezultanta vanjskih sila što djeluju na tijelo, prolazi kroz središte mase C (težište) tijela. Kako su putanje svih točaka tijela u tom slučaju sukladne, a vektori brzina i ubrzanje jednaki, kruto tijelo se može smatrati česticom jednake mase.

Prema tome, pri translaciji tijela izrazi i zakoni dinamike, jednaki su kao i za česticu, a jednadžba translacijskog gibanja glasi: CR amF vv

= (43)

gdje je: Cav - ubrzanje središta mase C tijela. 2.3 ROTACIJA TIJELA OKO NEPOMIČNE OSI Ako kruto tijelo mase m ubrzano rotira oko osi z pod djelovanjem momenta zM , na svaku njegovu česticu mase dm djeluje inercijska sila inF

v, čija

tangencijalna komponenta iznosi: dmrdmadF TinT α== (44)

Jednadžba dinamičke ravnoteže tijela u ovom slučaju glasi: 0=∑ zM 0=⋅− ∫ rdFM

minTz

pa slijedi: ∫=

mz dmrM 2α

ili ϕωα &&& zzzz IIIM === (45) gdje su: zI - moment tromosti mase tijela za os rotacije z,

α , ω , ϕ - kutno ubrzanje, kutna brzina i kut rotacije tijela. Izraz (45) predstavlja jednadžbu rotacije tijela oko nepomične osi.


Valja uočiti da je taj izraz analogan jednadžbi pravocrtnog translacijskog gibanja tijela duž osi z:

zmvmmaF zzz &&& ===

Dakle, masa m pri translaciji tijela doista odgovara momentu tromosti mase I pri rotaciji tijela. Izraz (45) može se napisati i na sljedeći način: 0=+ inz MM (46) gdje je: αzin IM −= - fiktivni (zamišljeni moment) koji se naziva inercijski moment. On je uvijek usmjeren suprotno kutnom ubrzanju α .

Jednadžba (46) predstavlja D’Alembertov princip za rotaciju tijela oko nepomične osi.

Kinetička energija čestice tijela, iznosi:

2)(

2

22 ωrdmdmvdEK ==

Nakon integriranja ovog izraza, slijedi:

∫∫ ==mm

K dmrrdmE 222

22)( ωω

Prema tome, kinetička energija tijela koje rotira oko nepomične osi glasi:

2

2ωzK

IE = (47)

Zakon kinetičke energije u ovom slučaju dobiva oblik:

WEE KK =− 12

odnosno ∫=−2

122

21

22

ϕ

ϕ

ϕωω dMIIz

zz (48)

gdje su: 2ω i 1ω - kutna brzina tijela na kraju i na početku razmatranog perioda gibanja, zM - moment vanjskih sila oko osi rotacije z.


Moment količine gibanja čestice tijela prema ranijoj definiciji iznosi:

dmrrvdmrdpdLz ω2===

Integriranjem ovog izraza, slijedi moment količine gibanja tijela koje rotira oko nepomične osi: ωω z

mz IdmrL == ∫ 2 (49)

Deriviranjem izraza (49) po vremenu, dobiva se zakon momenta količine

gibanja tijela koje rotira oko nepomične osi: zzz MIL == ω&& (50) U posebnom slučaju kada je 0=zM (nema momenta vanjskih sila za os

rotacije z), vrijedi:

.konstLz = ili .konstI z =ω (51) Ovaj izraz predstavlja zakon održanja momenta količine gibanja u

slučaju rotacije tijela oko nepomične osi.

2.4 RAVNINSKO GIBANJE TIJELA

U kinematici je pokazano da položaj krutog tijela pri ravninskom gibanju može biti definiran koordinatama njegovog središta mase C i kutom zakreta tijela oko te točke u ravnini gibanja.

Ako se sve vanjske sile ),...,2,1( niFi =v

reduciraju na točku C, iz statike je poznato da se u toj točki dobivaju glavni vektor RF

v i glavni moment RM

v za tu

točku. Pri tome je: ∑= iR FF

vv

∑= iFCR MM

vv (52)

Tijelo uslijed RF

v izvodi translacijsko gibanje, a RM

v izaziva rotaciju tijela

oko točke C u ravnini gibanja. Jednadžba gibanja središta mase C glasi:

CR amF vv= (53)

a rotacija oko točke C definirana je izrazom:


αCR IM = (54)

gdje je: m - masa tijela, CI - moment tromosti tijela za os kroz točku C, Ca - ubrzanje točke C, α - kutno ubrzanje tijela.

Projekcije izraza (53) na koordinatne osi x i y, zajedno s izrazom (54), daju sljedeće tri skalarne jednadžbe:

xmmaF CxRx &&== ymmaF CyRy &&== (55) ϕα &&CCR IIM ==

Ovo su diferencijalne jednadžbe ravninskog gibanja krutog tijela. Kinetička energija tijela sastoji se od kinetičke energije translacije sa

središtem mase C i kinetičke energije rotacije oko osi kroz točku C, tj.:

22

22 ωCCK

ImvE += (56)

gdje je: Cv - brzina središta mase C, ω - kutna brzina tijela. Zakon kinetičke energije za ravninsko gibanje tijela glasi:

WEE KK =− 12

ili WImvImv CCCC =+−+ )22

(22

21

21

22

22 ωω (57)

gdje je: W - rad svih sila (i spregova sila) koji djeluju na tijelo u periodu gibanja od početnog ploložaja 1, do konačnog položaja 2.


VI. MEHANIKA FLUIDA Za razliku od čvrstih tijela, fluidi ili tekućine (lat. fluidus = tekući) imaju svojstvo lagane pomičnosti svojih čestica. Fluidi se dijele na kapljevine i plinove.

Fluidi lako mijenjaju svoj oblik ispunjavajući posudu u kojoj se nalaze. Pri tome kapljevina samo djelomično ispunjava posudu stvarajući prema okolnoj atmosferi slobodnu površinu, dok plin potpuno ispunjava njen prostor.

Kapljevine neznatno mijenjaju svoj volumen pri promjeni tlaka. Ako je brzina promjene tlaka mala, jednako vrijedi i za plinove, pa se tada može pretpostaviti da su fluidi praktički nestlačivi.

Pri gibanju fluida odnosno njegovom strujanju, između čestica koje međusobno kližu pojavljuje se unutrašnje trenje, tzv. viskoznost. Ako je veličina takvog trenja mala, govori se o idealnom fluidu.

Mehanika nestlačivih fluida naziva se hidromehanika. Ona se dijeli na

hidrostatiku, koja proučava mirovanje fluida i hidrodinamiku, koja proučava njihovo gibanje. 1. HIDROSTATIKA 1.1 TLAK Čestice fluida djeluju međusobno ali i na stijenke posude određenim silama. Pretpostavimo da smo neki volumen V kojeg ispunjava fluid u ravnoteži, zamišljeno presjekli ravninom površine A. Tada na svaki djelić površine Δ A djeluje površinska sila F

vΔ , koja predstavlja utjecaj odbačenog

dijela. Ako fluid miruje ova je sila normalna na površinu, jer bi u suprotnom nastupilo klizanje čestica fluida (promatrani dio volumena bi istekao) i

ravnoteža bi bila poremećena. Granična vrijednost omjera površinske sile i

površine presjeka, predstavlja tlak u nekoj točki:

dAdF

AFp

A=

ΔΔ

=→Δ 0

lim (1)


Tlak je skalarna veličina. Ako je normalna sila jednoliko raspoređena po cijeloj površini, tada tlak iznosi:

AFp = (2)

Jedinica za tlak je paskal Pa = N/m2. Često se koristi i veća jedinica bar

= 105 Pa. Ako na fluid u mirovanju djeluje neka

vanjska sila, u njemu će se pojaviti tzv. hidraulički tlak, koji se širi na sve strane podjednako i djeluje na sve plohe jednakom veličinom. To je poznati Pascalov zakon, na kojem se zasniva djelovanje različitih hidrauličkih uređaja: preša, dizalica, kočnica itd.

Prikažimo princip rada hidrauličkog uređaja. Ako na klip površine A1 djeluje sila F1, u fluidu se stvara tlak p koji silom F2 podiže klip površine A2. Pri tome je volumen pomaknutog fluida V, a ostvareni pomaci klipova su s1 i s2. Vrijedi:

2

2

1

1

AF

AFp == i 2211 sAsAV == (3)

Ako je A2 > A1, tada je F2 > F1 i s2 < s1. Dakle, djelovanjem manje sile moguće je ostvariti veću silu, pri čemu je dobiveni pomak manji.

Na fluid u mirovanju djeluje i vlastita težina. Tlak izazvan težinom fluida naziva se hidrostatički tlak.

Razmotrimo vertikalni stupac fluida površine presjeka A i gustoće ρ , koji se nalazi u ravnoteži. Hidrostatički tlak p na dubini h izazvan težinom stupca fluida G je:

gh

AAhg

AVg

Amg

AGp ρρρ

===== (4)

Očigledno je da hidrostatički tlak ovisi samo o visini stupca

fluida. Dakle, hidrostatički tlak jednak je u svim točkama fluida


na istoj dubini bez obzira na oblik posude. To je poznati hidrostatički paradoks koji svoju potvrdu nalazi u spojenim posudama (kapljevina uvijek ima jednaku visinu bez obzira na oblik posude).

Ako je posuda u kojoj se nalazi kapljevina otvorena, na njezinu slobodnu površinu djeluje atmosferski tlak, čija je normirana vrijednost p0 = 1,013 bar (razina mora, t = 0 0C).

Atmosferski tlak djeluje kao dodatni vanjski tlak, pa je ukupni hidrostatički tlak u kapljevini na dubini h:

ghpp ρ+= 0 (5)

Na slici je prikazana promjena ukupnog hidrostatičkog tlaka u ovisnosti od dubine u otvorenoj posudi s kapljevinom.

Očigledno je da ukupni tlak p linearno raste (kosi pravac) s povećanjem dubine i da ima najveću vrijednost na dnu posude.

Atmosferski tlak mjeri se pomoću barometra, tj vertikalne (staklene) cijevi u kojoj se nalazi tekućina određene gustoće (najprikladnija je živa). Veličina tlaka odgovara visini stupca tekućine u cijevi.

Tlak fluida u zatvorenoj posudi mjeri se pomoću manometra. On najčešće ima oblik otvorene ili zatvorene U-cijevi. Otvoreni manometar mjeri razliku između tlaka p u posudi i atmosferskog tlaka p0. Tlak se očitava pomoću

razlike u visinama stupaca tekućine (živa) u krakovima U-cijevi.

U slučaju da je tlak veći od atmosferskog, njihova se razlika naziva pretlak, a ako je tlak niži od atmosferskog, njihova razlika zove se podtlak ili vakuum.


1.2 HIDROSTATIČKI UZGON I PLIVANJE Tijelo koje je uronjeno u fluid nalazi se pod hidrostatičkim tlakom sa svih strana. Zbog toga se na plohama tijela pojavljuju sile pritiska, čija rezultanta djeluje okomito prema gore i naziva se uzgon.

Zamislimo tijelo oblika kocke, volumena V i površine plohe A, koje je potpuno uronjeno u fluid gustoće ρ . Sile pritiska F na bočne plohe jednake su (jednaka dubina) i suprotno usmjerene, pa se poništavaju. Preostaju sile pritiska na gornju i donju plohu F1 i F2, čija je rezultanta – uzgon FU vertikalna i ima veličinu:

ghAAhhgAppFFFU ρρ =−=−=−= )()( 121212

ili gVFU ρ= (6) Očigledno je da uzgon ne ovisi od oblika tijela, već samo o njegovom volumenu. Kako je volumen tijela jednak volumenu istisnutog fluida, izraz (6) može se napisati i u obliku: iU GF = (7) što znači da je uzgon jednak težini istisnutog fluida. To je poznati Arhimedov zakon, na osnovi kojeg slijedi da tijelo uronjeno u fluid postaje prividno lakše za težinu istisnutog fluida. Pri tome su mogući sljedeći slučajevi:


a) G > FU – tijelo tone (gustoća tijela Tρ > gustoće fluida ρ ) b) G = FU – tijelo lebdi ( Tρ = ρ ) c) G < FU – tijelo izranja ( Tρ < ρ )

U slučaju c), tijelo izranja iz fluida sve dok se težina tijela i uzgon njegova

uronjenog volumena ne izjednače. Prema tome, za tijelo koje pliva vrijedi: igVG ρ= , gdje je Vi – volumen istisnine (manji je od volumena tijela V jer je

samo dio tijela uronjen u fluid).

Tijelo pliva u stabilnoj ravnoteži ako se zakrenuto iz početnog ravnotežnog položaja i prepušteno samom sebi, opet vraća u početni položaj. Međutim, ako se tijelo nastavi prevrtati tada je njegova ravnoteža nestabilna (labilna).

Za stabilnu ravnotežu težište tijela T mora biti ispod težišta istisnine Ti , pri čemu oba leže na istoj vertikali. Spreg sila G, FU koji tada nastaje, vraća zakrenuto tijelo u stabilan položaj.

Stabilnost može doći u pitanje kod

tijela koje ima težište T iznad težišta istisnine Ti . U tom slučaju, zakretom tijela težište istisnine se pomjera u točku iT′ , a

pravac uzgona siječe simetralu tijela u točki M. Ta točka naziva se metacentar, a njena udaljenost hM od težišta tijela predstavlja metacentarsku visinu. Ako je metacentar M iznad težišta tijela T (hM > 0), spreg sila G, FU nastoji vratiti tijelo u početni ravnotežni položaj.

Zaključimo, uvjet stabilnosti plivanja tijela (plovilo, brod), glasi: hM > 0. Stabilnost tijela će biti veća što je hM veće, odnosno što je težište T niže od metacentra M.


2. HIDRODINAMIKA

Gibanje fluida naziva se strujanje. Ono nastaje zbog vlastite težine fluida ili zbog razlike u u tlakovima. Strujanje fluida prikazuje se strujnicama. To su linije čije su tangente u svakoj točki pravci vektora brzina čestica fluida. Strujnice se ne mogu sjeći, a njihova je

gustoća proporcionalna veličini brzine. To znači da su strujnice gušće tamo gdje je brzina veća i obratno.

Dio fluida omeđen graničnim strujnicama naziva se strujna cijev. Ako se slika strujanja ne mijenja s vremenom, strujanje je stacionarno (ustaljeno). U tom slučaju strujnice i putanje čestica fluida se poklapaju, a brzina strujanja i tlak ovise samo od položaja.

Promjenljiva slika strujanja u vremenu, karakteristika je nestacionarnog strujanja. Pri takvom strujanju brzina i tlak fluida funkcije su položaja i vremena. 2.1 JEDNADŽBA KONTINUITETA

Razmotrimo stacionarno strujanje

idealnog i nestlačivog fluida kroz strujnu cijev promjenljivog presjeka. Sve čestice koje prolaze istim poprečnim presjekom površine A, imaju jednaku brzinu v. Za vrijeme Δt, promatrani presjek pomakne se za Δs.

Volumen proteklog fluida je: tvAsAV Δ⋅⋅=Δ⋅=Δ . Omjer proteklog

volumena i intervala vremena naziva se protok: vA

tVQ ⋅=ΔΔ

= (8)

Protok ima jedinicu m3s-1.

Kako je fluid nestlačiv, protok kroz bilo koji presjek mora biti isti, tj:

konst.=⋅= vAQ (9) To je jednadžba kontinuiteta. Za bilo koja dva presjeka strujne cijevi 1 i 2, ona glasi:


2211 vAvA ⋅=⋅ ili 1

2

2

1

AA

vv

= (10)

Dakle, brzine strujanja obrnuto su proporcionalne površinama presjeka. Drugim riječima, brzina strujanja je veća što je cijev uža i obratno. 2.2 BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA

Promotrimo presjeke 1 i 2 strujne cijevi, površina A1 i A2, koji se nalaze na različitim visinama h1 i h2 kao na slici. Tlakovi u promatranim presjecima su p1 i p2, a brzine strujanja v1 i v2.

Da bi se fluid pomaknuo u cijevi, na njega moraju djelovati vanjske sile

tlaka 111 ApF ⋅= i 222 ApF ⋅= . Ako su u intervalu vremenu Δt pomaci presjeka Δs1 i Δs2, ukupni rad koji je izvršen iznosi:

2211221121 VpVpsFsFWWW Δ⋅−Δ⋅=Δ⋅−Δ⋅=Δ−Δ=Δ Predznak minus označava da su u presjeku 2 smjerovi sile tlaka i pomaka suprotni.

Zbog nestlačivosti volumen (masa) fluida koji prolazi kroz oba presjeka je jednak, tj.:

ρmVVV Δ

=Δ=Δ=Δ 21

pa je rad sila tlaka : VppW Δ⋅−=Δ )( 21 (11) Pri tome je promjena kinetičke energije:


)(222

21

22

211

222

12 vvVvmvmEEE KKK −Δ

=Δ

−Δ

=−=Δρ (12)

a promjena potencijalne energije iznosi: )( 12112212 hhVghgmhgmEEE PPP −Δ=Δ−Δ=−=Δ ρ (13)

Kako je promatrani fluid idealan (trenja nema), onda ukupna promjena energije mora biti jednaka radu sila tlaka. To znači:

WEE PK Δ=Δ+Δ Ako se u taj izraz uvrste izrazi (11), (12) i (13), te grupiraju članovi s

jednakim indeksima, slijedi:

22

22

22

21

11vhgpvhgp ρρρρ ++=++ (14)

ili općenito: konst.2

2

=++v

hgpρ

ρ (15)

To je Bernoullijeva jednadžba stacionarnog strujanja nestalačivog

idealnog fluida.

Pojedini članovi te jednadžbe su tlakovi (jedinica Pa) i to:

p - statički tlak (uslijed vanjskih sila) hgρ - hidrostatički tlak (uslijed težine fluida)

2

2vρ - dinamički tlak (uslijed gibanja fluida)

Prema tome, ukupni tlak fluida duž neke strujnice uvijek je konstantan.

U posebnom slučaju, ako je cijev horizontalna (h = 0), izraz (15) glasi:

konst.2

2

=+v

pρ

(16)

Vidljivo je da se na mjestima, gdje se poveća brzina fluida, povećava

dinamički tlak, a smanjuje statički tlak. Prema tome, tamo gdje je presjek cijevi manji, statički tlak fluida je manji, a brzina strujanja je veća.


U praksi, Bernoullijeva jednadžba se koristi i u drugom obliku. Pri tome se energije pojedinih članova daju u obliku visina stupca fluida. To se posebno koristi kod kapljevina, zbog prikladnog načina mjerenja pomoću vertikalnih cjevčica (piezometričke cijevi) ili manometara.

Dijeljenjem izraza (15) s gρ , on poprima oblik:

konst.2

2

=++ hg

vg

pρ

(17)

Pojedini članovi te jednadžbe su visine (jedinica m). Dakle, visina ukupne energije ostaje konstantna duž strujnice.

Na primjeni Bernoullijeve jednadžbe, zasniva se tzv. Venturijeva cijev, kojoj je srednji dio sužen. Ona ima veliku primjenu u praksi, a služi i za mjerenje brzine i protoka fluida.

Razlika statičkih tlakova koja nastaje pri protjecanju fluida kroz presjeke 1 i 2, opaža se pomoću piezometričkih cijevi, u kojima se fluid diže do određene razine.

2.3 ISTJECANJE KROZ OTVORE

Razmotrimo istjecanje kapljevine kroz mali otvor na dnu široke posude. Ako je površina posude vrlo velika u usporedbi s površinom otvora, može se smatrati da je visina h kapljevine u posudi stalna, a istjecanje stacionarno. Bernoullijeva jednadžba za presjeke 1 i 2 (referentna ravnina) glasi:

22

22

22

21

11vhgpvhgp ρρρρ ++=++

Kako je: 021 ppp == , hh =1 , 02 =h , 01 =v , vv =2 , slijedi da je brzina istjecanja:


ghv 2= (18)

To je poznati Torricellijev zakon, koji kaže da je brzina v istjecanja kapljevine takva, kao da ona slobodno pada s visine h. Zbog gubitaka i suženja (kontrakcije) mlaza na rubu otvora (efektivni presjek mlaza Ae < A), stvarna je brzina istjecanja nešto manja i iznosi:

ghCv d 2= (19) gdje je: dC - koeficijent istjecanja koji ovisi o vrsti kapljevine i obliku otvora, a određuje se eksperimentalno (0,6÷ 0,7 – okrugli otvor oštrog ruba).

2.4 PROTJECANJE KROZ CIJEVI Do sada je promatran idealni fluid, tj. zanemareno je trenje među njegovim slojevima. Zato je pri strujanju idealnog fluida kroz cijev, njegova brzina jednaka u svim točkama poprečnog presjeka, kako to pokazuje slika.

Međutim, pri protjecanju realnog fluida, međumolekularne sile uzrokuju unutrašnje trenje ili viskoznost. Viskoznost se očituje samo pri gibanju fluida i znatno utječe na pojave pri njegovom protjecanju. Zato brzina strujanja realnog fluida kroz cijev nije konstantna po presjeku. Za definiranje unutrašnjeg trenja, razmotrimo sloj fluida debljine y između dvaju ploča. Neka se gornja ploča površine A, pod djelovanjem sile F giba konstantnom brzinom v u odnosu na nepomičnu donju ploču. Čestice fluida prianjaju uz ploče (adhezija), što znači da će one uz gornju ploču imati brzinu v, a one uz donju ploču ostaju nepomične. Raspodjela brzina po visini sloja fluida je linearna.

Za jednoliko gibanje gornje ploče, treba nadvladati silu unutrašnjeg trenja

T, koja prema Newtonu iznosi:


yvAT η= (20)

gdje je: η - koeficijent dinamičke viskoznosti fluida. On ovisi o vrsti fluida i o temperaturi, a ima jedinicu paskalsekunda Pas = Nm-2s.

Porastom temperature viskoznost kapljevina pada a plinova raste.

Pri protjecanju realnog fluida kroz cijev, moguće su dvije slike strujanja: laminarno i turbulentno.

Kod laminarnog strujanja čestice fluida se gibaju u slojevima koji se

međusobno ne miješaju. Strujnice su paralelne, a brzine slojeva mijenjaju se po paraboličnom zakonu. Ovakvo strujanje nastaje kod relativno malih brzina.

Pri većim brzinama pojavljuje se turbulentno strujanje, pri kojem dolazi do miješanja slojeva fluida odnosno strujnica, čestice prelaze iz jednog sloja u drugi i nastaju vrtlozi. Raspored brzina po presjeku cijevi je jednolikiji, jer razlike u brzinama slojeva zbog miješanja nisu toliko velike. Većina strujanja u praksi ima turbulentan karakter.

Eksperimentalno je utvrđeno da prijelaz iz jednog u drugi režim strujanja fluida, nastupa pri nekoj kritičnoj brzini strujanja. Ona ovisi o gustoći i viskoznosti fluida, te o obliku cijevi kroz koju fluid protječe. Vrsta strujanja određuje se prema bezdimenzionalnoj veličini koja se naziva Reynoldsov broj:

ηρ dvRe = (21)

gdje je: d - promjer cijevi.


Pri kritičnoj brzini strujanja fluida, Reynoldsov broj poprima kritičnu vrijednost Rekr (= 2320). Utvrđeno je da pri Re < Rekr fluid struji laminarno, a za Re > Rekr, strujanje fluida postaje turbulentno. Pri tome nema oštrog prijelaza između ova dva režima strujanja.

Pri protjecanju realnog fluida kroz cijev, dolazi do gubitka energije zbog svladavanja otpora, koji potječu od sila trenja između čestica fluida i stijenki, kao i između samih čestica fluida. Taj gubitak energije očituje se kao visina gubitaka hg, odnosno kao pad tlaka Δp. Imajući u vidu da je Bernoullijeva jednadžba zapravo jedan zapis zakona očuvanja energije, za realan odnosno viskozan fluid, njen oblik između dva presjeka glasi:

ghhg

vg

phg

vg

p+++=++ 2

222

1

211

22 ρρ (22)

Za horizontalnu cijev konstantnog promjera d je: v1 = v2 i h1 = h2, pa iz jednadžbe (22) slijedi visina gubitaka, odnosno pad tlaka između presjeka 1 i 2, koji su međusobno udaljeni za l:

gp

gpphg ρρ

Δ=

−= 21 ili ghp g ρ=Δ (23)

Svi gubici u cjevovodima, mogu se načelno svrstati u dvije skupine:

linijski gubici i lokalni gubici. Linijski gubici nastaju

u ravnim cijevima zbog trenja, a lokalni gubici nastaju na mjestima promjene presjeka ili smjera toka fluida (elementi cjevovoda: suženja, proširenja, ventili, koljena, račve itd.). Poznavanje

veličina svih navedenih gubitaka za praksu ima veliko značenje.


DODATAK 1. MJERNE JEDINICE U TEHNIČKOJ MEHANICI

Veličina Naziv SI – oznaka Osnovne jedinice

duljina metar m masa kilogram kg vrijeme sekunda s temperatura (termodinamička)

kelvin K

kut (ravninski) radijan rad Izvedene jedinice

brzina, linijska metar u sekundi m/s brzina, kutna radijan u sekundi rad/s deformacija jedan 1 energija džul (joule) J (= Nm) frekvencija herc (hertz) Hz (= 1/s) gustoća kilogram po kubnom metru kg/m3

impuls sile njutnsekunda Ns količina gibanja njutnsekunda Ns (= kgm/s) krutost opruge njutn po metru N/m moment količine gibanja njutnmetarsekunda Nms (= kgm2/s) moment tromosti mase kilogram metar na kvadrat kgm2

moment otpora površine metar na treću m3

moment tromosti površine metar na četvrtu m4

moment sile njutnmetar Nm naprezanje paskal (pascal) Pa (= N/m2) površina kvadratni metar m2

protok kubni metar u sekundi m3/s rad džul (joule) J (= Nm) sila njutn (newton) N (= kgm/s2) snaga vat (watt) W (= J/s) statički moment površine metar na treću m3

tlak paskal (pascal) Pa (= N/m2) ubrzanje. linijsko metar u sekundi na kvadrat m/s2

ubrzanje, kutno radijan u sekundi na kvadrat rad/s2

volumen kubni metar m3

Neke iznimno dopuštene jedinice izvan sustava SI brzina čvor (knot) kn (= 0,5144m/s) duljina morska milja (= 1852m) kut stupanj o (= π/180 rad) masa tona t (= 103 kg) vrijeme minuta, sat min (= 60 s), h (= 3600 s) volumen litra l (= 10-3 m3) temperatura (Celzijeva) Celzijev stupanj oC (= K) tlak bar bar (= 105 Pa)


2. PREDMETCI (PREFIKSI) SI JEDINICA

Predmetak Naziv Oznaka

Faktor Brojčana vrijednost

tera T 1012 1 000 000 000 000giga G 109 1 000 000 000mega M 106 1 000 000kilo k 103 1 000hekto (hecto) h 102 100deka (deca) da 101 10deci d 10-1 0,1centi c 10-2 0,01mili (milli) m 10-3 0,001mikro (micro) μ 10-6 0,000 001nano n 10-9 0,000 000 001piko (pico) p 10-12 0,000 000 000 001

3. GRČKA SLOVA


4. UPUTE ZA POLAGANJE PISMENOG ISPITA 1. Polaganje ispita prijavljuje se prijavnicom najkasnije 3 dana prije

njegovog održavanja. 2. Na ispit ponijeti 4 arka (A3 – «dvolisnica») bijelog papira. Jedan arak

služi kao košuljica, koji treba ispisati kemijskom olovkom ili tušem kako to pokazuje skica:

3. Na svakom arku na kojem se rješavaju zadaci a koji se ulaže u

košuljicu, u gornjem desnom kutu treba napisati ime i prezime kemijskom olovkom ili tušem. Preporučljivo je rješavanje i odgovore pisati običnom olovkom.

4. Student smije na ispitu imati pribor za pisanje i crtanje, kalkulator, popis formula, te neki od inženjerskih ili matematičkih priručnika.

5. Na ispit obvezno ponijeti indeks. 6. Studenti su dužni doći 15 minuta prije početka ispita i okupiti se ispred

mjesta predviđenog za njegovo održavanje. Mole se studenti da se strogo pridržavaju gornjih uputa.


5. PRIMJER PISMENOG ISPITA


Prof. dr. sc. Zlatan Kulenović

Tehnička mehanika Priručnik za pomorce

tehnicka-mehanika

Documents

prirunik za

na sljedei

ovom koordinatnom

geometrijske

tog djelia

djeluju na

odnosu na

moe se napisati