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Tema 1. Cálculo diferencial

Una función es una herramienta mediante la que

expresamos la relación entre una causa (variable in-

dependiente) y un efecto (variable dependiente).

Las funciones nos permiten formular de manera

precisa la dependencia de una magnitud respecto de

otra.

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Introducción.

Por ejemplo,

La presión P a que está sometido un gas de-

pende (es función) de la temperatura T del gas,

P = f(T)

La dinámica de poblaciones estudia la evolución

del número de individuos de una población, N, a

lo largo (en función) del tiempo,

N = N(t).

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Definición formal de función.

Definición. Llamaremos función real de variable real

a cualquier aplicación (o correspondencia unívoca)

definida en una parte, D, de R, que tome valores en

R (o en una parte de R), lo que denotaremos por

f : D ⊆ R −→ R.

El conjunto D se llama dominio de la función.

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Gráfica de una función

Sea f : D ⊆ R −→ R una función. Si para cada a ∈ D

consideramos el punto del plano (a, f(a)), obtenemos

una curva que se conoce como gráfica de la función.

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Estudio de funciones

Dominio.

Simetrías.

Continuidad. Asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales y oblicuas.

Cortes con ejes. Signo de la función.

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y míni-

mos.

Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

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Dominio

Dada una función

f : D ⊆ R −→ R,

el conjunto D se llama dominio de la función.

Salvo que expresamente se diga lo contrario,

entenderemos que el dominio de una función

definida mediante su expresión analítica es el

mayor conjunto de números reales donde es

posible definir la función.

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Operaciones con funciones

Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R tales que

Df ∩Dg 6= ∅. Definimos

la suma de f y g, f + g, y el producto de f por g,

f · g, como las funciones

(f + g)(x) := f(x) + g(x),

(f · g)(x) := f(x) · g(x),

respectivamente, para cada x ∈ Df ∩Dg, es decir,

el dominio de la suma y del producto de f y g es

Df+g = Df·g = Df ∩Dg.

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Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R tales que

Df ∩Dg 6= ∅. Definimos

el cociente de f entre g, f/g, como la función

(f/g)(x) := f(x)/g(x),

para cada x ∈ (Df ∩ Dg) \ {x ∈ Dg | g(x) = 0}, es

decir, el dominio del cociente de f entre g, Df/g,

es Df ∩ Dg excepto los valores de x que anulan

al denominador, g.

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Sea f : Df ⊆ R −→ R. Definimos

el producto de f por un número real λ, λ · f,como la función

(λ · f)(x) := λ · f(x),

para cada x ∈ Df.

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Sean f : Df ⊆ R −→ R y g : Dg ⊆ R −→ R dos funcio-

nes tales que Df ∩ g(Dg) 6= ∅. Se define la composi-

ción de g con f, que se denota por f ◦ g, como:

(f ◦ g)(x) := f (g(x)) ,

para cada x ∈ {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}, es decir, el domi-

nio de la composición de g con f, Df◦g, lo forman

aquellos números reales de Dg cuya imagen por g

está en Df.

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Funciones elementales

Se llaman funciones elementales a las que se

obtienen a partir de sumas, diferencias, produc-

tos, cocientes y composición de funciones po-

linómicas, racionales, potenciales, exponenciales,

logarítmicas y trigonométricas.

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Simetrías

Una función f : D ⊆ R −→ R, es par si

f(−x) = f(x), ∀x ∈ D.

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Simetrías

Una función f : D ⊆ R −→ R, es impar si

f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D.

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Continuidad

Una función f : D → R es continua en a ∈ D si

existe el límite

limx→af(x)

y

limx→af(x) = f(a)

Diremos que la función f es continua en un inter-

valo I ⊆ D si es continua cada uno de los puntos del

intervalo I.

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Teorema de Bolzano

Teorema. Sea f : D ⊆ R −→ R continua en [a,b] ⊆ D.

Si

f(a) < 0 < f(b) ó f(b) < 0 < f(a)

entonces existe c ∈ (a,b) tal que

f(c) = 0.

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Teorema de Bolzano

Geométricamente, esto significa que la gráfica de

una función continua en un intervalo que cambia

de signo en los extremos del intervalo, debe cruzar

el eje OX en, al menos, un punto.

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Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano proporciona una condición

suficiente para que la ecuación f(x) = 0 tenga al

menos una solución en el intervalo [a,b] :

Basta con que f sea continua en [a,b] y que el signo

de f(a) sea distinto del signo de f(b) para tener la

certeza de que existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0.

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Signo. Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte con el eje OX correspon-

den a las soluciones de la ecuación

f(x) = 0

Si esta ecuación no tiene ninguna solución, en-

tonces la gráfica no corta al eje OX.

El punto de corte con el eje OY es (0, f(0)) si

0 ∈ D.

Si el 0 no está en el dominio de la función, es

decir, 0 6∈ D, entonces la gráfica no corta al eje

OY.

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Asíntotas Verticales

Sea f : D ⊆ R −→ R una función.

Definición. La recta x = a es asíntota vertical de f

en a, si al menos uno de los dos límites laterales en

a es infinito (más o menos infinito), es decir, si

limx→a+f(x) = ±∞ ó limx→a−f(x) = ±∞.

La recta x = a es asíntota vertical cuando la gráfica

de la función f se acerca a la recta x = a cuando x

tiende hacia a por la derecha o cuando x tiende hacia

a por la izquierda.

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Asíntotas Horizontales

Definición. La recta y = c es una asíntota horizontal

de f si

limx→+∞f(x) = c ó limx→−∞f(x) = c

La recta y = c es asíntota horizontal cuando la grá-

fica de la función f se confunde con la recta y = c

cuando x tiende hacia +∞ o cuando x tiende hacia

−∞, respectivamente.

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Una función puede tener dos asíntotas horizon-

tales distintas: una cuando x tiende a +∞ y otra

cuando x tiende a −∞.

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Asíntotas Oblicuas

Definición. La recta y = bx + c, b 6= 0, es una asín-

tota oblicua de f si

limx→+∞ (f(x)− (bx + c)) = 0 ó limx→−∞ (f(x)− (bx + c)) = 0

La recta y = bx + c, b 6= 0, es una asíntota oblicua

de f cuando gráfica de f se confunde con la recta

y = bx+c cuando x tiende hacia +∞ o cuando x tiende

hacia −∞. respectivamente.

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Asíntotas Oblicuas

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Asíntotas Oblicuas

Si hay asíntota horizontal cuando x tiende hacia +∞(respect. −∞) no puede haber asíntota oblicua cuan-

do x tiende hacia +∞, (respect. −∞) y viceversa.

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Cálculo de Asíntotas Oblicuas

La recta y = bx + c (b 6= 0) es asíntota oblicua de f

en +∞ si, y sólo si,

b = limx→+∞f(x)

xy c = limx→+∞ (f(x)− bx) .

Análogamente para −∞

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Derivada

Definición. Sean f : D ⊆ R −→ R una función y a ∈ D.

Se dice que f es derivable en a si

limx→a

f(x)− f(a)

x− a∈ R,

es decir, si existe el límite def(x)−f(a)

x−acuando x tiende

hacia a y no es infinito.

Al valor de este límite se le llama derivada de f en a

y se denota por f′(a) o dfdx(a)

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Significados de la derivada

f′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

Si f es derivable en a, entonces

y = f′(a)(x− a) + f(a)

es la recta tangente a la curva y = f(x) en el

punto (a, f(a)).

Esta recta tangente es la gráfica de la función

lineal que más se aproxima a f en dicho punto

(a, f(a)).

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f′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a

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Desde un punto de vista físico, la derivada de

f en a es la velocidad en el instante t = a de

un móvil cuyo recorrido respecto del tiempo, t,

viene dado por f(t).

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Derivadas de las funciones más sencillas

Funciones constantes y = k y′ = 0

Funciones lineales y = k · x y′ = k

Funciones potenciales y = xn y′ = n · xn−1

y = n√

x y′ = 1

nn√

xn−1

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Álgebra de derivadas. Regla de la cadena

(f + g)′ (a) = f′(a) + g′(a).

(f · g)′ (a) = f′(a) · g(a) + g′(a) · f(a).(λ · f)′ (a) = λ · f′(a).(

f

g

)′(a) =

f′(a) · g(a)− g′(a) · f(a)(g(a))2

Regla de la cadena:

(f ◦ y)′ (a) = f′(y(a)) · y′(a),

es decir,df

dx(y(a)) =

df

dy(y(a)) · dy

dx(a).

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Tabla de derivadas.

Func. logarítmicas

y = Loga(x) y′ = 1x· Loga(e)

y = Ln(x) y′ = 1x

y = Loga(f(x)) y′ = 1f(x) · Loga(e) · f′(x)

Func. exponenciales

y = ax y′ = ax · Ln(a)y = ex y′ = ex

y = af(x) y′ = af(x) · Ln(a) · f′(x)

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Tabla de derivadas.

Potencias de funciones

y = f(x)g(x) y′ = g(x) · f(x)g(x)−1 · f′(x)+f(x)g(x) · Ln(f(x)) · g′(x)

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Tabla de derivadas

Función seno

y = sen(x) y′ = cos(x)

y = sen(f(x)) y′ = cos(f(x)) · f′(x)

Función coseno

y = cos(x) y′ = −sen(x)y = cos(f(x)) y′ = −sen(f(x)) · f′(x)

Función tangente

y = tg(x) y′ = 1

cos2(x)

= 1 + tg2(x)

y = tg(f(x)) y′ = 1

cos2(f(x))

· f′(x)

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Teoremas Fundamentales Cálculo Diferencial

Teorema. Si una función f es derivable en un punto

a, entonces es continua en a.

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Teorema De Rolle

Teorema. Si una función f : D ⊆ R −→ R es con-

tinua en [a,b] ⊆ D, derivable en (a,b) y f(a) = f(b),

entonces existe c ∈ (a,b) tal que f′(c) = 0.

El teorema de Rolle proporciona una condición su-

ficiente para que la ecuación f′(x) = 0 tenga alguna

solución en el intervalo [a,b].

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Teorema De Rolle

Geométricamente, el teorema de Rolle viene a de-

cir que si f está en las hipótesis de dicho teorema,

entonces existe algún punto de su gráfica en el cual

la tangente es horizontal (paralela al eje OX).

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Teorema del valor medio de Lagrange

Teorema. Si una función f : D ⊆ R −→ R es continua

en [a,b] ⊆ D y derivable en (a,b) entonces existe

c ∈ (a,b) tal que

f′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

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Teorema del valor medio de Lagrange

Geométricamente, el teorema del valor medio nos

dice que la tangente en algún punto de la gráfica

de una función f, continua en [a,b] y derivable en

(a,b), es paralela a la recta que pasa por los puntos

(a, f(a)) y (b, f(b)).

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Regla de L’Hôpital.

Teorema. Sean f y g dos funciones derivables en

algún intervalo simétrico de centro a tales que

f(a) = g(a) = 0.

Entonces, si existe limx→af′(x)g′(x) , también existe limx→a

f(x)g(x)

y coinciden, es decir,

limx→a

f′(x)

g′(x)= limx→a

f(x)

g(x).

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Crecimiento y decrecimiento

Sean f : D ⊆ R −→ R e I ⊆ D.

La función f es creciente en I si

x < y⇒ f(x) ≤ f(y).

La función f es decreciente en I si

x < y⇒ f(x) ≥ f(y).

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Crecimiento y decrecimiento

Teorema. Sea f : D ⊆ R → R una función es deriva-

ble en un intervalo I ⊆ D.

(a) Si f′(x) > 0, para todo x ∈ I, entonces f es

creciente en I.

(b) Si f′(x) < 0, para todo x ∈ I, entonces f es

decreciente en I.

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Máximos y mínimos

Definición.

La función f alcanza un máximo relativo en el

punto (a, f(a)), a ∈ D, si existe δ > 0 tal que

f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ (a− δ, a + δ).

Si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D, se dice que f

tiene un máximo absoluto en el punto (a, f(a)).

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Máximos y mínimos

Definición.

La función f alcanza un mínimo relativo en el

punto (a, f(a)), a ∈ D, si existe δ > 0 tal que

f(x) ≥ f(a), para todo x ∈ (a− δ, a + δ).

Si f(x) ≥ f(a), para todo x ∈ D, se dice que f

tiene un mínimo absoluto en el punto (a, f(a)).

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Máximos y mínimos

Una función continua en a tiene un máximo

relativo en ese punto si es creciente en (a −δ, a) y decreciente en (a, a + δ), para algún δ > 0,

es decir, si es creciente a la izquierda de a y

decreciente a su derecha.

Una función continua en a tiene un mínimo

relativo en ese punto si es decreciente en (a−δ, a) y creciente en (a, a + δ), para algún δ > 0,

es decir, si es decreciente a la izquierda de a y

creciente a su derecha.

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Máximos y mínimos

Teorema. Si f tiene n derivadas continuas en un

entorno de a tales que f′(a) = f′′(a) = . . . = fn−1)(a) =

0 y fn)(a) 6= 0 y n es par, entonces{fn)(a) > 0 ⇒ f tiene un mínimo local en a

fn)(a) < 0 ⇒ f tiene un máximo local en a

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Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Definición. La función f es cóncava en I si para

todo a y b ∈ I el segmento que une a los puntos

(a, f(a)) y (b, f(b)) queda por encima de la porción de

la gráfica de f correspondiente al intervalo [a,b].

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Definición. La función f es convexa en I si para todo

a y b ∈ I el segmento que une a los puntos (a, f(a)) y

(b, f(b)) queda por debajo de la porción de la gráfica

de f correspondiente al intervalo [a,b].

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Definición. Se dice que (c, f(c)), c ∈ D, es punto de

inflexión de f si existe δ > 0 tal que f es cóncava

(ó convexa) en (c − δ, c) y convexa (ó cóncava) en

(c, c + δ).

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Teorema.

Si f tiene segunda derivada en I, entonces, f es

cóncava en I si, y sólo si,

f′′(x) > 0, ∀x ∈ I

y f es convexa en en I si, y sólo si,

f′′(x) < 0, ∀x ∈ I.

Si f tiene n derivadas continuas en un entorno

de a tales que f′′(a) = . . . = fn−1)(a) = 0 y fn)(a) 6=0 y n es impar y mayor o igual que 3, entonces

f tiene un punto de inflexión en a.54/57

Aproximación lineal

Definición. Si una función f(x) es derivable en un

punto x = a, se llama aproximación por la recta tan-

gente o aproximación lineal de f en x = a a la fun-

ción lineal

Lf(a)(x) = f(a) + f′(a)(x− a)

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Aproximación polinómica (grado 2)

Definición. Sea f : D ⊆ R→ R una función y sea a un

punto de su dominio D. Si f es dos veces derivable

en a, se llama polinomio de Taylor de segundo grado

de f en a a la función P2f(a) : R→ R, definida por

P2f(a)(x) = f(a) + f′(a)(x− a) +

1

2f′′(a)(x− a)2

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Aproximación polinómica (grado 2)

Ejemplo. El polinomio de Taylor de la función expo-

nencial ex en el punto x = 0 es:

Pn(x) = e0 + e0x +1

2!e0x2 + · · ·+ 1

n!e0xn

= 1 + x +x

2!+ · · ·+ xn

n!

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