TEMA 10. CÁLCULO DIFERENCIAL

Problemas que dieron lugar al cálculo diferencial. (Estos dos problemas los resolveremos más adelante) a) Consideremos la ecuación de movimiento de un móvil en caída libre en el vacío:

2

2

1)( gtts

Demuestra que la velocidad instantánea de dicho móvil en el momento t es gtts )('

b) Dada una curva y = f(x). La ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto P(a,f(a)) es ))·(()( axtgafy , donde es el ángulo que forma la tangente con

el eje de abscisas.

Demuestra que )(')( aftg donde h

xfhxfaf

h

)()(lim)('

0

.

Tasa de variación media. Dada una función continua, f(x). Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en el intervalo [a,b] al cociente:

ab

afbfbaMVT

)()(],.[..

1. a) Calcula la tasa de variación media de la función f(x) = x²+10 entre 4 y 7. b) Calcula la tasa de variación media de la función f(x) = x³+2x²-1 en [2,5].

c) Calcula la tasa de variación media de la función f(x) = sen(x) en

2,0

2. Dada una función, f(x), y los puntos A(a,f(a)) y B(b, f(b)), tales que a<b y f(a)

<f(b). ¿Qué signo tiene la tasa de variación media? ¿Qué ocurre si a<b y f(a) > f(b)? ¿Qué relación hay entre el signo de la T.V.M. y el crecimiento de una función? 3. Dada una función continua y creciente. Considera el triángulo que determinan

los puntos A(a,f(a)), B(b, f(b)) y C(b,f(a)). (a<b) ¿Qué relación hay entre la T.V.M. de f en [a,b] y el ángulo que tiene vértice en A?

4. a) Dada la función f(x) = 2x-1. Calcula la T.V.M de f en el intervalo [1, 1+h]. b) Dada la función f(x) = 5x-x². Calcula la T.V.M de f en el intervalo [2, 2+h]. 5. Define la T.V.M. de una función f(x) para un intervalo de la forma [a,a+h].

Definición de derivada de una función en un punto. Consideremos un función f(x), y sea “a” un punto de su dominio. Se llama derivada de la función f en el punto “a” al límite cuando h tiende a 0 de la T.V.M. de f en [a,a+h]. Se designa por f´(a), con lo que:

h

afhafhaaMVTaf

hh

)()(lim),.(..lim)('

00

6. Utilizando la definición anterior: a) Halla la derivada de la función f(x) = x³ en x = 3. b) Haz lo mismo que en el apartado anterior para f(x) = x²+5x en x = 2.

c) Halla la derivada de la función f(x)= x en x = 1.

Función derivada. Se llama función derivada de f (o simplemente derivada de f) a la función f´ que asocia a cada abscisa, x, la derivada de f en ese punto, f´(x). Es decir:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

7. Utilizando la definición anterior: a) Halla la derivada de las funciones f(x) = k ,f(x) = x, f(x) = x² y f(x) = x³. b) ¿Cuál será la derivada de f(x) = xn?

c) Halla la derivada de la función 3)( xxf

Propiedades de las derivadas. · Derivada de una función constante es cero. 0)(')( xfkxf

· Derivada del producto de una constante por una función. )('·')(· xfkyxfky

· Derivada de la suma (o diferencia) de dos funciones )(')('')()( xgxfyxgxfy

· Derivada del producto de dos funciones )(')()()·('')()·( xgxfxgxfyxgxfy

· Derivada del cociente de dos funciones.

2)(

)(')()()·(''

)(

)(

xg

xgxfxgxfy

xg

xfy

Regla de la cadena (derivada de la composición de funciones).

)('))·((''))(( xgxgfyxgfy

Derivadas inmediatas.

ky 0'y

nxy 1· nxny

)(log xy a )(log1

' ex

y a

)ln(xy x

y1

'

xay )·ln(' aay x

xey xey '

)(xseny )cos(' xy

)cos(xy )(' xseny

)(xtgy )(cos

1'

2 xy

)(xsenarcy 21

1'

xy

)cos(xarcy 21

1'

xy

)(xtgarcy 21

1'

xy

ky 0'y

nxfy )( )´(·)(· 1 xfxfny n

)(log xfy a )´()·(log)(

1' xfe

xfy a

)(ln xfy )´(·)(

1' xf

xfy

)(xfay )´()··ln(' )( xfaay xf

)(xfey )´(·' )( xfey xf

)(xfseny )´(·)(cos' xfxfy

)(cos xfy )´(·)(' xfxfseny

)(xftgy )´(·

)(cos

1'

2xf

xfy

)(xfsenarcy )´(·)(1

1'

2xf

xfy

)(cos xfarcy )´(·)(1

1'

2xf

xfy

)(xftgarcy )´(·)(1

1'

2xf

xfy

8. Halla la función derivada de las siguientes funciones: y = x7

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

Recta tangente a una curva en uno de sus puntos. (Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto) 9. Dada una curva y = f(x). La ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto P(a,f(a)) es ))·(()( axtgafy , donde es el ángulo que forma la tangente con

el eje de abscisas.

Demuestra que )(')( aftg donde h

xfhxfaf

h

)()(lim)('

0

.

10. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola 65² xxy en el punto

P(4,2) b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3-3x+4, en el punto de abscisa x=2.

c) Halla la recta tangente a la curva y = sen(x) en el punto de abscisa x =4

x .

d) Halla la recta tangente a la parábola 52² xxy en el punto de abscisa x = 1.

11. a) Halla un punto de la parábola 52² xxy en el que su tangente es paralela a

la recta de ecuación y = 2x+6. Halla la ecuación de dicha tangente. b) Halla un punto de la curva y = 2x3-3x+4, en el que su recta tangente es paralela a la recta de ecuación 3x-y+7=0.

12. a) Dada la función ³53)( 5 xxxf . Halla los puntos en los que su recta tangente

sea horizontal. b) Haz lo mismo que en el apartado anterior para la función 3045²12³)( xxxxf .

13. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 652 xxy en el punto de

abscisa x=2.

14. Escribe la ecuación de la recta tangente y la recta normal a 522 xxy en el

punto de abscisa x = -1.

15. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 142 xxy cuya pendiente

sea 2

16. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 1 xy en x=0.

17. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva xxy 33 que sean

paralelas a la recta .0106 yx

18. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función 24 xy en los puntos

de corte con el eje de abscisas.

19. ¿En qué puntos la recta tangente a xxy 43 tiene pendiente iguala 8?

20. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 1

2

x

xy que son

paralelas a la recta 02 yx .

21. Halla los puntos de tangente horizontal de la función 193 23 xxxy .

22. ¿En qué puntos de x

y 1 la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer

cuadrante?

23. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a 016622 xyx en los puntos

de abscisa x = 2.

24. Halla el punto de la función 2xseny en el que la recta tangente tiene por

pendiente 2

25. Halla los valores de a y b para que la recta tangente a 1)( 24 bxaxxf en el

punto

0,

2

1P sea paralela al eje de abscisas.

26. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a 02 22 xyx en los puntos de

abscisa x = 1. Ángulo que forman dos curvas al cortarse. 27. Demuestra que si f y g son dos curvas que se cortan en el punto de abscisa x=a, entonces la tangente del ángulo que determinan sus tangentes en dicho punto es:

)(')·('1

)(')(')(

agaf

agaftg

28. Las curvas ²xy e xy , se cortan en el punto P(1,1). Halla el ángulo que

forman sus tangentes en ese punto.

29. Halla el ángulo que forman las curvas 9y=x³ e y=6+8x-x³ en el punto de abscisa x=3.

30. Halla el ángulo que forman al cortarse las curvas 4

32 2xy

e

2

xy .

Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 31. a) Demuestra que si una función es creciente en un intervalo, entonces la derivada de la función es positiva en cualquier punto de dicho intervalo. b) Demuestra que si una función es decreciente en un intervalo, entonces la derivada de la función es negativa en cualquier punto de dicho intervalo. 32. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: xxxf 12²3)( 19²3³)( xxxxf ³3)( xxxf xxxxf 9²6³)(

²2)( 4 xxxf 2

1)(

2

xx

xxf

2

3

1)(

x

xxf

x

xxf

2)(

2

Determinación de los máximos y mínimos relativos de una función. 33. Demuestra que si una función tiene un máximo relativo (o un mínimo) en x=a, entonces f’(a) = 0. 34. Sea f una función derivable en x=a, tal que f’(a) = 0. Demuestra que si f”(a) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = a. Demuestra que si f”(a) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x = a. 35. Halla los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:

³55)( 5 xxxf 1218²6)( xxxf

xxxxf 1296²72³)( 3045²12³)( xxxxf

²3³)( xxxf ²)36()( xxxf

)6²(·)( xxxf ²1002)( xxxf

Problemas de optimización. 36. Resuelve los siguientes problemas:

a) Halla las dimensiones de un rectángulo de área 64 m² para que su perímetro sea

mínimo.

b) Descompón el número 16 en dos sumandos de modo que su producto sea máximo.

c) Halla un número que sumado con 4 veces su inverso da un valor mínimo.

d) Divide el número 8 en dos sumandos de modo que la suma de sus cubos sea la menor

posible.

e) De todos los rectángulos de perímetro 12 cm, halla el que al girar alrededor de un lado

genera un cilindro de máximo volumen.

f) Se desea construir una caja abierta de base cuadrada y 864 dm³ de capacidad. ¿cuáles

deben sus dimensiones para que la superficie sea mínima?

g) Se quiere cercar un terreno rectangular situado junto a un camino. La valla junto al

camino cuesta 240 €/m y la del resto 120 €/m. Halla el área del mayor campo que

puede vallarse con 43.200 €.

h) De una lámina de cartón de 80 cm de ancho y 60 cm de largo se quieren cortar un

cuadrado igual de cada esquina de modo que se pueda construir con ella una caja sin

tapa de capacidad máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de dichos cuadrados?

i) El coste de una ventana es de 14 € el metro de ancho y 10 € el metro de alto. Si

queremos que una ventana tenga 2 m² de superficie, ¿cuáles deben ser sus medidas

para que nos resulte lo más económica posible?

j) Un depósito abierto con fondo cuadrado ha de tener una capacidad de 400 litros. ¿Qué

dimensiones ha de tener para que en su fabricación se emplee la menor cantidad

posible de material?

k) Halla los lados del rectángulo de máximo perímetro inscrito en una semicircunferencia

de radio 1 metro.

l) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,4) y tal que la suma de las

longitudes de los segmentos que determinan con los ejes de coordenadas es la menor

posible.

m) Con un alambre de 1 metro de longitud queremos construir un rectángulo de área

máximo. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones?

n) Un número más el cuadrado de otro número de suman 48. Halla ambos números para

que su producto sea máximo.

o) Expresa 67,5 como suma de tres números de forma que el segundo sea el doble del

primero y su producto sea máximo.

p) Descompón 14 en suma de tres números positivos tales que uno de ellos sea el doble

del otro y la suma de sus cuadrados sea la menor posible.

q) Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo de modo que la suma

de sus catetos sea de 4 cm.

r) Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e

inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la

hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

s) Una barca está a 9 km del punto más próximo a la orilla ( A). Se necesita llegar lo más

rápidamente posible a otro punto (B) situado en la orilla que dista 15 km del anterior.

Si a pie se va a 5 km/h y en la barca a 4 km/h, ¿en qué punto de la orilla se debe

desembarcar para llegar a B lo más rápido posible?

t) Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

Encuentra las dimensiones de la ventana de área máxima y perímetro 10 m.

u) En una empresa de transporte urgente sólo se admiten paquetes con forma de

paralelepípedo regular, tales que la anchura sea igual a la altura y además la suma de

ancho, largo y alto debe ser de 72 cm. Halla las dimensiones de paquete que tenga

volumen máximo.

v) Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una

capacidad de 160 litros. Halla el radio del cilindro para que la chapa empleada en su

fabricación sea mínima.

w) Se pretende fabricar una lata de conservas cilíndrica de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles

deben ser sus dimensiones para que en su fabricación se use la menor cantidad

posible de material?

x) Un triángulo isósceles tiene su lado desigual de 12 cm y la altura sobre dicho lado de 5

cm. Determina el punto sobre dicha altura para que la sume de sus distancias a los

tres vértices sea mínima.

y) Una finca rectangular se ha dividido en tres partes rectangulares iguales, con el fin de

venderlas por separado. Antes de venderlas se han vallado las partes, usándose para

ello 3000 metros de vallado. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca si el área

encerrada por la valla es la máxima?

z) Una caja con tapa y base cuadrada debe tener una capacidad de 160 cm³. El precio del

material utilizado para la base es de 3 €/cm² y el de los lados y la tapa es de 2 €/m².

Calcula sus dimensiones para que resulte lo más económica posible.

aa) El dueño de una fábrica ha estimado que si compra x máquinas y contrata a y

empleados el número de unidades de producto que podría fabricar vendría dado por

la expresión F=90xy². Cada máquina le supone una inversión de 2500 € y cada

contrato de un nuevo trabajador otra de 1500 €.

a. Si solo dispone de 22500 € para este fin, ¿a cuántos obreros debe contratar y

cuántas máquinas comprar para maximizar su producción?

Representación gráfica de funciones. Dada una función f(x), para representarla gráficamente debemos calcular:

1. Dom(f) 2. Cortes con los ejes

a. El corte con el eje de abscisas se calcula resolviendo la ecuación f(x) = 0. b. El corte con el eje de ordenadas se calcula hallando f(0).

3. Ramas infinitas. a. )(lim xf

x

b. )(lim xfx

4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. a. Si f´(x) > 0 la función es creciente. b. Si f´(x) < 0 la función es decreciente.

5. Máximos y mínimos relativos. a. Si f´(a) = 0 y f´´(a) > 0 hay un mínimo relativo en A(a, f(a)) . b. Si f´(a) = 0 y f´´(a) < 0 hay un máximo relativo en A(a, f(a)) .

6. Asíntotas: a. Si

)(lim xf

kx, la recta x = k es una asíntota vertical.

b. La recta y = mx+n es una asíntota oblicua donde

x

xfm

x

)(lim

y mxxfn

x

)(lim .

40. Representa gráficamente las siguientes funciones.

a) f(x) = 3x³ - 12x + 9 f) x

xxf

2)(

2

b) f(x) = x³ - 3x² + 4 g) 4²

)(2

x

xxf

c) f(x) = x³ - 3x + 2 h) 4

4)(

2

2

x

xxf

d) f(x) = x4 - x² i ) 2

1)(

2

x

xxf

e) f(x)=6x²-2x³ j) 2

2 ³24)(

x

xxxf

Más ejercicios.

1. Deriva las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

2. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de

abscisa x = 1.

3. Calcula el ángulo que forman al cortarse las curvas e

4. Halla los puntos en los que la función tiene extremos

relativos. Indica si son máximos o mínimos.

5. Se considera la función y un punto de su gráfica, M, situado en el

primer cuadrante. Por el punto M se trazan paralelas a los ejes de coordenadas, que

junto a dichos ejes forman un rectángulo OAMB. Halla las coordenadas del punto M

para que el rectángulo tenga área máxima.

6. Representa gráficamente la función

7. Descomponer el número “e” en dos sumandos positivos de modo que la suma de los

logaritmos neperianos de los dos sumandos sea máxima.

8. Halla un punto de la parábola en el que su recta tangente sea paralela a la

recta de ecuación . Escribe la ecuación de dicha recta tangente.

9. Halla los valores de “a” y “b” para que la función pase por el punto

P(1,1), y en ese punto tenga tangente paralela a la recta 3x+y=0.

10. ¿Cuáles son las dimensiones del rombo de área máxima formado uniendo los puntos

medios de un rectángulo de 100 metros de perímetro?

11. Representa gráficamente la función

12. Descompón el número 60 como suma de tres sumandos positivos de modo que el

segundo es el doble del primero y tales que el producto de los tres es máximo.

13. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

x= 1. Halla también la ecuación de la recta normal en x=-2.

14. De todos los rectángulos de diagonal cm, encuentra las dimensiones del de

perímetro máximo.

15. Queremos cortar dos chapas cuadradas cuyos perímetros sumen 1 metro y cuyos

precios son 2 €/cm² y 3 €/cm², respectivamente. ¿Cómo hemos de elegir los lados de

los cuadrados para que su coste sea el mínimo posible?

16. Representa gráficamente la función

17. Halla “x” e “y” para que la siguiente figura tenga volumen máximo.