tema 10 mat 3º expresións alxébricas
TRANSCRIPT
Tema 10
Expresións alxébricas (Fraccionarias e radicais)
FRACCIÓNS ALXÉBRICAS
1ª Parte
Fraccións alxébricas. Valor
numérico
Unha expresión alxébrica non é
máis que unha combinación de
números e letras ligados polos
símbolos de operacións
matemáticas, como:
O valor numérico de calquera
expresión alxébrica obtense ao
substituír as “letras”
(indeterminadas en linguaxe
matemática) por valores
numéricos e efectuar as
operacións indicadas, e esta é
unha operación corrente en
matemáticas:
Cálculo da superficie
do círculo de radio 1
Expresión
Valores das indeterminadas
Valor numérico final
Solución de
x2+ 2x -3=0
FRACCIÓNS ALXÉBRICAS
Unha fracción alxébrica é un
cociente de polinomios
EXEMPLO
S:
os tipos de fraccións alxébricas
están ligados aos tipos de
polinomios: nos non imos estudar
máis que os cocientes de
polinomios enteiros, e
preferentemente cunha soa
indeterminada.
Como para calquera expresión
alxébrica, o valor numérico
dunha expresión alxébrica é o
número que se obtén cando se
substitúe cada unha das
indeterminadas por un valor
numérico, e se efectúan as
operacións.
Expresión
Valor da
indeterminada
Valor
numérico
final
Exemplo 2
EXEMPLO 3:
x-5 -0,3125-4 -0,44444444-3 -0,75-2 -2-1 #¡DIV/0!0 01 0,252 0,222222223 0,18754 0,165 0,13888889
Debe lembrarse que o valor
numérico dunha expresión
cambiará se cambiamos os
valores asignados ás
indeterminadas.
En ocasións non é posible
calcular este valor
Expresión
Valor da indeterminada
Valor numérico final
Non pode calcularse o
resultado dunha fracción de
denominador nulo! SUXESTIÓN: Comproba os resultados
da táboa utilizando unha calculadora.
Tomemos por exemplo
cambiemos os valores
asignados ás “letras” e
calculemos valores numéricos.
EXPRESIÓNS INDETERMINADAS.
Dise dunha expresión que é
indeterminada cando o seu cálculo
non é posible.
Os matemáticos decidiron que
as seguintes expresións son
expresións indeterminadas:
A indeterminación 0/0 é en
realidade un caso particular da
primeira (k/0) e é a única coa que
habemos de tratar aquí.
Unha raíz de índice par e radicando
negativo como:
Contrariamente ao que puidese
pensarse, non é unha
expresión indeterminada.
A raíz citada si pode calcularse.
De feito, o problema de cálculo
das raíces cadradas de
números negativos deu orixe a
unha nova clase de números,
os números complexos, cos
cales é posible calcular a raíz
de calquera índice de calquera
número.
Os números complexos,
intuídos xa por Herón de
Alexandría no século I antes de
Cristo, e popularizados por
Gauss no XVIII, orixinaron unha
rama especial das matemáticas
coñecida como análise
complexa.
Fraccións alxébricas
equivalentesA definición corrente de faccións
numéricas equivalentes establece
que o son aquelas cuxo valor
coincide.
No caso de fraccións alxébricas
iso significaría que o seu valor
numérico debe ser o mesmo, para
calquera valor polo que se
substitúa a indeterminada.
Consideremos as fraccións:
Se consideramos os valores
numéricos destas fraccións en
distintos casos observamos
x
-5 -0,3125 -0,3125
-4 -0,44444444 -0,44444444
-3 -0,75 -0,75
-2 -2 -2
-1 #¡DIV/0! #¡DIV/0!
0 0 #¡DIV/0!
1 0,25 0,25
2 0,22222222 0,22222222
3 0,1875 0,1875
4 0,16 0,16
5 0,13888889 0,13888889
En xeral os valores coinciden,
con todo, existen valores que
ofrecen discrepancias, xa que
non se pode calcular o valor
numérico da fracción nese caso.
Para evitar este problema
defínese a equivalencia de
fraccións alxébricas como
Entón:
Multiplicando en cruz en:
Obtense:
Comprobándose que efectivamente
son equivalentes
Obtención de fraccións equivalentes
O procedemento para obter fraccións
alxébricas equivalentes é similar ao
procedemento para obter fraccións
numéricas equivalentes: se
multiplicamos ou dividimos
numerador e denominador dunha
fracción alxébrica por un mesmo
polinomio, obteremos unha fracción
alxébrica equivalente:
UN EXEMPLO SINXELO
Para obter unha fracción
equivalente a:
Simplemente multiplicamos
numerador e denominador
polo mesmo polinomio
Ao efectuar as operacións
indicadas obtemos:
Fraccións
equivalentes
A simplificación de fraccións
consiste no contrario: factorizar as
expresións complexas, e suprimir os
factores comúns a numerador e
denominador EXEMPLO:
Simplifiquemos a fracción:
SOLUCIÓN:
Factorizamos numerador e
denominador polo procedemento
que o faga máis simple:
a) Resolvendo a ecuación:
b) Utilizando a factorización de
polinomios
Simplificación de fraccións
alxébricas
Facemos o mesmo co
denominador:
1 5 6
1 2 0
-3-3
-2
1 0
X+3
X+2
Factores
de
-
6
-
2
Obtemos:
Fraccións equivalentes
Fracción simplificada
METODO 1 METODO II
Evidentemente non é necesario
factorizar empregando ambos
métodos: cun é suficiente.
En ocasións poderemos
factorizar de forma aínda máis
sinxela, se podemos utilizar
igualdades notables
Suma e diferenza de fraccións
alxébricas
Para efectuar unha suma de
fraccións alxébricas procederemos
basicamente do mesmo xeito que
para efectuar unha suma de
fraccións correntes
1.- Factorizamos denominadores:
2.- Mínimo común múltiplo dos
denominadores:
3.- Transformamos a expresión.
4.- Efectuamos a suma
Exemplo:
1.- Factorizamos denominadores:SUMA
2.- Mínimo común múltiplo dos
denominadores:
Factores non comúns
Factores comúns elevados ao
maior expoñente
Mínimo=(x-1)(x+2)(x+3)
3.- Transformamos a expresión. 4.- Efectuamos a suma
DIFERENZA (RESTA)
Dado que a diferenza non é senón a
suma do oposto, o procedemento
para efectuar unha resta é o mesmo
que para efectuar unha suma, igual
que ocorría coas fraccións
numéricas.
1.- Factorizamos
denominadores:
2.- Mínimo común múltiplo dos
denominadores:
3.- Transformamos a
expresión.
4.- Efectuamos a resta
1
2
34
EXEMPLO:
Produto e cocienteA regra para multiplicar
fraccións alxébricas é a mesma
que a regra do produto fraccións
numéricas. Multiplícanse os
numeradores, que formarán o
novo numerador, e por outra
banda o denominador será o
produto dos denominadores.
Analogamente ao caso anterior,
a división de fraccións
alxébricas é tamén idéntica á
división de fraccións numéricas.
Multiplícanse os dous extremos
para obter o novo numerador, e
o produto dos medios daranos o
denominador.
EXPRESIÓNS RADICAIS
2ª parte
DEFINICIÓN. VALOR
NUMÉRICO E
EQUIVALENCIA DE
RADICAIS
Clase 76
Unha expresión radical é unha
expresión que inclúe unha raíz. A
raíz pode englobar varios termos ou
pode atoparse no medio da
expresión.
Valor numérico dunha expresión
radical é o que se obtén cando se
substitúen as indeterminadas por
valores numéricos.
Valor numérico
cando x=1 e
y=2.
Substituímos as indeterminadas
polos seus valores, efectuamos as
operacións e obtemos:
x=1 y=2.
Cando se nos pida o valor
numérico dunha raíz indicaremos
o valor positivo, salvo petición
explícita.
Valor numérico cando x=2 e
y=3.
Exemplo:
Como podemos apreciar, esta
definición é formalmente idéntica a
todas as definicións de valor
numérico, con todo no caso das
raíces, presenta unha
ambigüidade, xa que as raíces de
índice par, cun valor numérico do
radicando positivo ofrecerán dous
resultados: un positivo e outro
negativo.
A equivalencia de radicais
vincúlase ao valor numérico:
poderiamos dicir que dúas
expresións radicais son
equivalentes se ambas teñen o
mesmo valor numérico
RADICAIS EQUIVALENTES
Esta definición presenta a
ambigüidade anteriormente citada
con respecto aos valores que se
obteñen en raíces de índice par e
impar. Abordaremos a continuación
o problema de determinar a
equivalencia de expresións
radicais e ver en que casos se
presenta esta ambigüidade e como
se resolve.
Obtención de expresións
radicais equivalentes.
A obtención de expresións
radicais equivalentes réxese polo
mesmo procedemento que a
obtención a obtención de radicais
numéricos
Exemplo:
Igualmente válida para expresións
radicais.
Debe terse en conta que ao dicir
expoñente do radicando referímonos
a este no seu conxunto.
No caso de radicais
complexos:
Valor numérico e equivalencia
Formalmente:
Ambas son raíces equivalentes,
como explicamos. Con todo a raíz
de índice par sempre nos ofrecerá
dous valores como resultado,
mentres que a de índice impar
soamente nos ha dar un. Malia isto,
mantemos a definición de
equivalencia, xa que un dos
resultados da raíz par sempre
coincide co resultado do índice
impar:
Con isto en conta podemos
definir as expresións radicais
equivalentes como:
SIMPLIFICACIÓN E
REDUCCIÓN DE RADICAIS
A ÍNDICE COMÚN.
INTRODUCIR E EXTRAER
FACTORES
Clase 77
Simplificación e redución de radicais
A simplificación e redución son
procedementos para obter radicais
equivalentes máis simples
Baséanse na propiedade:
Que pode escribirse
igualmente:
Se se multiplican ou dividen o
índice e o expoñente do
radicando dunha expresión
radical por un mesmo número
obtéñense radicais
equivalentes.
EXEMPLOS:
Radicais equivalentes a
A obtención de radicais
equivalentes pode facerse das
dúas maneiras: multiplicando
obtemos unha máis complexa,
dividindo unha máis simple.
Simplificar radicais é obter unha
expresión radical equivalente de
menor índice.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICAIS
A simplificación de radicais consiste
en reducir ao máximo mediante este
procedemento os expoñentes do
radicando e o índice da raíz,
dividindo todos estes entre o seu
máximo común divisor, da mesma
forma que se fai con números.
Exemplo:
MCD (12,6,8,2)=2
REDUCIÓN A ÍNDICE COMÚN
é un procedemento previo a
operacións como a suma ou a
diferenza, ou á aplicación de
propiedades que permiten a
realización de operacións como o
produto ou o cociente.
realízase tomando como índice
común o mínimo común múltiplo
dos índices considerados, este
divídese entre o índice de cada
raíz e o resultado é o expoñente do
radicando
Introducir factores nunha expresión
radicalExplicaremos simplemente
o procedemento sen
xustificalo:
No exemplo
queremos introducir
x2 dentro da raíz
Para facelo debemos
elevar o factor ao índice
da raíz
Operamos as
potencias
Extraer factores dunha expresión
radicalExplicaremos simplemente
o procedemento sen
xustificalo:
So se poden extraer factores
elevados a expoñentes maiores que
o índice da raíz
Poderemos
extraer
factores x e y
porque 5 e 7
son >3
Non
podemos
extraer
factores z:
2<3
Se dividimos o expoñente interior entre
o radicando, o cociente daranos o
expoñente que sae fora da raíz, e o
resto o que queda no interior
5 3
12
7 3
21
Que escribiremos
realmente
OPERACIÓNS CON RADICAIS
Clase 78
As operacións aritméticas con
expresións radicais son
formalmente idénticas ás
operacións numéricas: as regras
que estudamos para os números
seguen sendo válidas para as
operacións con expresións
alxébricas.
Recordemos estas regras:
O produto das raíces é a raíz do
produto
1
2
O cociente das raíces é a raíz do
cociente
3
A potencia dunha raíz é igual á
raíz da potencia
4
A raíz dunha raíz é igual á raíz de
índice igual ao produto dos
índices
Estudarémolas con máis detalle
e veremos algúns casos
particulares
O produto das raíces é a raíz do
produto
1
Exemplo:
neste
caso:a=x3y b=xy2
Aplicando:
(n=2,
que se
omite)
Reordenand
o
O resultado obtido debe
expresarse extraendo todos
os factores que se poida:
En ocasións presentarásenos
o produto de radicais de
distinto índice
Nestes casos haberemos
de reducir a índice común
ambos radicais para
efectuar daquela o produto
2
O cociente das raíces é a raíz do
cociente
O cociente de expresións radicais
realízase da mesma forma que o
cociente de expresións numéricas
EXEMPLO:
O resultado obtido
debe expresarse
extraendo todos os
factores que se
poida, se é
necesario debe
racionalizarse a
expresión
Tamén aquí pode darse o
caso de cociente de
radicais con diferente
índice, Procederemos da
mesma forma:
reduciremos a índice
común e simplificaremos,
se é posible, a expresión
resultante:
3
A potencia dunha raíz é igual á
raíz da potencia
Elevar unha expresión radical a
unha potencia é o mesmo que
elevar o radicando ao mesmo
expoñente
EXEMPLO: aplicamos
Unha vez introducida a
potencia no radicando
operamos seguindo as regras
das potencias
e simplificamos a expresión
radical extraendo todos os
factores posibles:
4
A raíz dunha raíz é igual á raíz de
índice igual ao produto dos
índices
Igual que nos casos anteriores, é
suficiente con aplicar a regra e
simplificar a expresión resultante
sempre que sexa posible.
EXEMPL
O:
Estes cálculos
poden complicarse
si os radicandos
non son
consecutivos,
Nestes casos
habemos de ir
introducindo todos os
elementos
intermedios baixo o
último radical, para
obter finalmente o
índice resultante:
Para introducir
factores na
raíz deben
elevarse ao
índice: a sete
neste caso
Aplicamos:
RACIONALIZACIÓN
Clase 79
Chámase binomio conxugado ao ligado pola
operación oposta:
Conxugado de a+b a-b
de a-b a+b
A racionalización en expresións
radicais realízase da mesma forma
que nas expresións numéricas. O
seu obxecto é facilitar o cálculo
dos valores numéricos das
expresións radicais que inclúan
cocientesPara eliminar raíces cadradas
Se no
denominador
está presente
unha única
raíz:
Multiplícase numerador e
denominador por esa raíz:
Operamos:
Se no
denominador
hai unha suma
ou unha resta
Multiplícase numerador e
denominador polo binomio
conxugado do denominador :
Conxugado de
Operando:
Raíces non cadradas (de índice superior a dous)
Multiplícase o denominador pola
raíz do mesmo índice có
radicando elevado ás unidades
que falten á potencia do
radicando para eliminar a raíz:
Para chegar a
53 necesito
multiplicar por
52
Para
chegar a z3
necesito
multiplicar
por z
En consecuencia, multiplico
e divido por
Operando