tema 14. relatividad especial i.mural.uv.es/miyallon/fisicageneral2/tema14_c.pdfy la partícula los...

Tema 14. Segundo Cuatrimestre. Relatividad Especial 1. Física General II.

1

TEMA 14. RELATIVIDAD ESPECIAL I.

1.- Introducción.

El electromagnetismo y la mecánica han sido descritos usando conceptos comunes como la energía y el momento. Así mismo, parece que existe una diferencia fundamental entre ambas materias: las leyes de la mecánica se han establecido como únicas en forma en todos los sistemas inerciales de referencia, mientras que el electromagnetismo parece violar esta ley: en efecto, las leyes de Maxwell nos han predicho la existencia de ondas electromagnéticas, que en el vacío1 se propagan siempre a la velocidad c, sin importar el estado de movimiento de la fuente emisora o del receptor. ¿Acaso existe un marco de referencia absoluto para el electromagnetismo?

La teoría de la relatividad se compone de la teoría especial y la teoría general, matemáticamente muy diferentes: la segunda requiere conocimientos matemáticos elevados. Aquí estudiaremos la teoría especial, más asequible.

La teoría de la relatividad de Einstein (1905) señala que el electromagnetismo debía cumplir el principio de que en todos los sistemas de referencia inerciales las leyes físicas deben escribirse exactamente con la misma forma. Por otra parte, era necesario conservar el formalismo de Maxwell y las propiedades de las ondas, en particular que la velocidad de las ondas electromagnéticas en todos los sistemas de referencia en el vacío es c, independientemente de los movimientos de la fuente y del observador. La solución propuesta por Einstein para reconciliar los dos principios, consiste en modificar las hipótesis que subyacen en las nociones humanas del tiempo y el espacio.

2. Relatividad Galileana.

La primera ley de Newton no distingue entre una partícula en reposo o en movimiento uniforme: si no hay ninguna fuerza externa neta actuando sobre ella, la partícula permanece indefinidamente en su estado inicial de reposo o movimiento uniforme. Por ejemplo, supongamos una partícula en reposo respecto de un observador F (que constituye un sistema de referencia) y otro sistema de referencia F’ que se mueve con velocidad

1 Recordemos que las ondas materiales tienen un sistema de referencia privilegiado a escala local, que es precisamente aquella en que el medio material se encuentra en reposo.


2

constante respecto de F. Las leyes de Newton no permiten distinguir si es F y la partícula los que se mueven respecto de F’, o por el contrario es F’ el que se desplaza respecto de F y de la partícula.

Así por ejemplo, un observador sobre un tren a la velocidad constante por una vía recta, y otro observador quieto al lado de la vía, describirán de manera distinta una pelota que cae desde el techo del tren, o un péndulo oscilante colgado del mismo, pero ambos usarán las ecuaciones de la dinámica de Newton que son válidas para las dos descripciones, es decir, no modifican su forma al aplicarse a estos sistemas de referencia.

Todo el conjunto de sistemas coordenados en reposo relativo recibe el nombre de sistema de referencia. Todos los sistemas de referencia en los que son válidas las leyes de Newton se denominan sistemas de referencia inerciales.

Todo sistema referencial que se desplaza a velocidad constante respecto de otro que es inercial, tiene la propiedad de ser el también inercial. No existe ningún experimento mecánico que pueda hacernos distinguir cual de los dos sistemas se encuentra en reposo absoluto y cual en movimiento.

El principio de relatividad galileana afirma:

No puede detectarse el movimiento absoluto

2.1 Invariancia formal de las leyes de la mecánica.

Sean dos sistemas inerciales F y F’, y este último se desplaza respecto del primero a velocidad u! ; sea también una partícula en movimiento uniforme con cantidad de movimiento p y p’ respectivamente en F y F’, como se indica en la figura 40.6.

Las transformaciones de Galileo, que dejan invariante en forma las leyes de la mecánica son:

uvvturr!!!!!! −=′→−=′

2 Las figuras de este tema son de P. Fishbane.

Figura 40.62. Sistemas de referencia inerciales F y F’. Relación entre los vectores de posición. Se verifica que OO’=ut.


3

a las que debe añadirse explícitamente lo que subyace en ellas y es la afirmación de la ley trivial de la igualdad del tiempo medido en todos los sistemas de referencia, es decir:

tt ′= Este conjunto de ecuaciones representa las transformaciones de

Galileo. Según la hipótesis del tiempo absoluto, expresada antes, el tiempo fluye de la misma forma y al mismo ritmo para todos los observadores.

Vamos a ver que las transformaciones de Galileo aseguran que si una partícula dispone de un movimiento uniforme (p! constante) en un sistema inercial, en cualquier otro sistema inercial, la partícula debe tener momento p ′! constante:

( ) .tetancons'puvmdt

rdmvmp =→−=

′=′=′ !!

!!!

Las transformaciones de Galileo aseguran también la invariancia en forma de las ecuaciones de la mecánica clásica entre los sistemas inerciales (Covariancia Galileo).

2

2

dt

rdmam

dt

pdF

!!

!!===

cvdFdt

pd

dt

rdm

dt

rdm

td

rdmam

td

pdF

2

2

2

2

2

2 !!!!!!

!!===

′=

′′

=′=′′

=′

en los dos sistemas inerciales la ecuación de Newton tiene la misma expresión formal (covariancia) y además las aceleraciones medidas por los observadores en estos sistemas inerciales coinciden.

3. Fuerza magnética entre cargas en movimiento.

Hemos aprendido que una carga en movimiento genera un campo magnético y que una carga en movimiento en el interior de un campo magnético experimenta una fuerza denominada de Lorentz. ¿Cuál es la fuerza que se ejercen entre sí dos cargas móviles? La respuesta a esta cuestión es uno de los pilares de la relatividad.

La ley de Biot y Savard, adaptada a cargas puntuales, nos da el valor del campo generado en un punto P por una carga puntual como:

20

r

r̂vq

4B

×π

µ=!!

y la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un campo magnético viene dada por la ley de Lorentz:


4

BvqF!!!

×=

Imaginemos ahora dos cargas q1 y q2, desplazándose a v1 y v2, y que se encuentran a una distancia 21rd

!= . Las fuerzas magnéticas que se ejercen:

( ) ( )2

121212

022

212121

01

d

r̂vvqq

4Fy

d

r̂vvqq

4F

××π

µ=

××π

µ=

!!!!!!

que, al ser aplicadas a diferentes situaciones, nos dan resultados sorprendentes.

¿Dependen las fuerzas magnéticas del sistema de referencia?

Supongamos que las dos cargas se mueven paralelamente a lo largo del eje x, a velocidad v, como se ve en la figura 30.35. Las fuerzas magnética y eléctrica y su relación, valen:

2

22

00E

B2

0

21E2

2

210

Bc

vv

F

F

d

1

4

qqF;y;

d

vqq

4F =εµ=→

πε=

πµ=

expresión que nos indica, que excepto en el caso que la velocidad v sea muy grande, la fuerza magnética es muy pequeña en comparación con la eléctrica.

El principio de relatividad de Galileo acaba de enunciarse con la afirmación de que no hay ningún experimento que nos permita discernir entre un sistema referencial en movimiento y otro en reposo. Así, la fuerza que mide un observador dentro de un tren en marcha en el que cae un objeto, y la que mide otro observador fuera, son coincidentes, y no podemos aclarar mediante las leyes de la mecánica, qué sistema está en movimiento.

Ahora bien, cuando aplicamos este principio a las fuerzas magnéticas que acabamos de establecer encontramos dificultades. En efecto, podemos imaginar que cambiamos el sistema de referencia desde el sistema en el que las cargas se mueven y en el que hay fuerza magnética, a otro sistema de referencia en el que las cargas están quietas: en este sistema no se detecta ninguna fuerza magnética, aunque las eléctricas sean iguales. En

Figura 30.35. Fuerzas entre dos cargas en movimiento.


5

consecuencia, midiendo la existencia o no de fuerzas magnéticas, se podrá distinguir si un sistema está o no en movimiento, y de esta forma, el movimiento absoluto, en contra del principio de relatividad de Galileo3.

La solución del problema consiste en introducir transformaciones entre el campo eléctrico y el magnético de manera que cuando se cambia de sistema de referencia, ¡los componentes de los dos campos se transforman entre ellos!, pero dejando invariable la fuerza. Esto quiere decir que un campo puramente electrostático, correspondiente a las dos cargas quietas, debe transformarse mediante las ecuaciones convenientes, en un campo eléctrico y magnético, en el sistema de referencia en el que las cargas se mueven (si es necesario salvar el principio de relatividad). Esta transformación será más relevante a medida que la velocidad v sea mayor.

¿Se cumple la tercera ley de Newton en el interior de campos magnéticos?.

Imaginemos que las dos cargas se mueven sobre un plano, pero formando un ángulo, como se ve en la figura 30.36. En el instante representado en la figura, el campo magnético B1 va hacia dentro de la página, pero el campo magnético B2 sobre la partícula 1 es nulo. En consecuencia, existe una fuerza magnética sobre q2 generada por q1 sin contrapartida de q1 sobre q2. ¿Es un claro fracaso de la tercera ley de Newton?

La tercera ley de Newton es equivalente a la conservación de la cantidad de movimiento (o momento) y hemos visto que los campos electromagnéticos transportan momento y energía. En el sistema de referencia en el que todas las cargas están en reposo no hay problemas con la tercera ley puesto que no existen campos magnéticos y el campo generado es electrostático. Se puede demostrar que la ley de conservación

3 Claramente puesto que las leyes del electromagnetismo no satisfacen el principio de covariancia bajo las transformaciones espacio-tiempo de Galileo.

Figura 30.36. Dos cargas se mueven como se indica. En el instante representado, el campo magnético sobre la q1 es nulo, y no ocurre lo mismo sobre q2.


6

del momento continua siendo válida al incluir el momento que transportan los campos.

4. Relación entre campos eléctricos y magnéticos en sistemas de referencia móviles.

Queremos reconciliar el principio de relatividad de Galileo con las leyes de la electricidad y el magnetismo, e incluso con la invariancia formal de las leyes de la física en los diferentes sistemas inerciales de referencia.

En el caso de partículas cargadas, que se encuentran sometidas a la ley de Lorentz, hemos visto que se encuentra una dificultad aparente, al depender la fuerza de Lorentz de la velocidad de las partículas, y ser la fuerza total diferente para los observadores en sistemas inerciales distintos.

La fuerza que mide cualquier observador inercial debe ser la misma con el fin de reconciliarse con el principio de Galileo. La fuerza de Lorentz se escribe en el sistema O como:

[ ]BvEqF!!!!

×+=

otro observador inercial en O’que se desplaza a velocidad u! mide:

donde hemos introducido la posibilidad ya comentada de que los campos E y B se transformen entre ellos, siendo distintos en los dos referenciales. Las fuerzas medidas serán las mismas siempre que:4

( ) B'ByBuE'E!!!!!!

=×+=

estas ecuaciones son la solución al problema cuando las velocidades entre los sistemas inerciales no son muy grandes. En conclusión:

En los cambios entre sistemas de referencia inercial, los campos magnético y eléctrico se transforman entre sí (mezclándose), de manera especial.

Ejemplo: una varilla metálica moviéndose en un campo magnético uniforme perpendicular.

5. El experimento de Michelson y Morley.

A finales del siglo XIX el modelo mecanicista se aplicaba para todo en física, y además, se aceptaba la idea de un Universo estático con las estrellas ocupando posiciones fijas en el cielo. Las ondas electromagnéticas 4 No es la solución única, pero es la correcta.

( )[ ]'Buv'EqF!!!!!

×−+=


7

necesitaban de un medio material para propagarse (como lo hacen las ondas sonoras), que fue designado como éter: una sustancia de propiedades misteriosas, que llenaba todo el Universo y que permanecía en reposo absoluto con las estrellas.

Imaginemos dentro de este marco que queremos determinar, mediante las ondas e.m., el sistema de referencia en el que el éter se encuentra en reposo. La Tierra, al viajar alrededor del Sol, se desplaza a una velocidad de 30 Km/s y por tanto se supone que respecto del éter. Una medida sencilla, aprovechando el arrastre del éter sobre las ondas e.m. es difícil, por la precisión que se requiere. Así, si medimos el tiempo de ida y vuelta como en la figura 40.1, de un pulso de luz, encontramos cuando no hay arrastre del éter (u es la supuesta velocidad del éter):

c

L2t0 =

a comparar cuando la fuente se mueve contra el éter con el valor:

( )2221c/u1

c/L2

uc

cL2

uc

L

uc

Lt

−=

−=

++

−=

Ejercicio: calculad la sensibilidad de un experimento para detectar el viento del éter, midiendo el tiempo directamente.

Michelson y Morley (1887) realizaron el experimento con gran precisión, usando un inteferómetro. La idea del experimento se ve en la figura 40.3.

Un espejo semiplateado (divisor del haz de luz) transmite y refleja la luz que le llega al espejo M1, en la dirección del éter, y hacia el espejo M2, en dirección perpendicular al desplazamiento relativo del éter. El tiempo que la luz tarda en hacer el camino L a M1 de ida y vuelta es t1, ya calculado. El cálculo del tiempo t2 de ida y vuelta a M2 se basa en la figura 40.3.b en la que se considera el arrastre del viento del éter que causa un trayecto para la luz igual a la hipotenusa de la figura. En consecuencia:

Figura 40.1. Medida de la velocidad de la luz con el hipotético arrastre del éter.


8

( )22

222

2c/u1

c/L2t

2

utL2ct

−=→

+=

que representa una diferencia de tiempo calculable desarrollando en serie:

2

21 c

u

2

1

c

L2ttt

=−=∆

Los dos rayos, inicialmente en fase, recorren caminos de diferente longitud, y al juntarse lo harán con diferente fase e interferirán según sea la diferencia de caminos.

5.1 Resultados del experimento de Michelson y Morley.

Una variación de caminos de ( )22 c/uLL=∆ origina un desplazamiento de la franja de interferencia de ( )( )2c/u/L/L λ=λ∆ y el valor pequeño del último paréntesis se compensaba con el valor grande del primero. El aparato era susceptible de detectar variaciones de 0.04 franjas, cuando el valor esperado en el experimento era de 0.4 franjas. El experimento se repitió en diferentes orientaciones del interferómetro y no se detectó ninguna interferencia, es decir, la existencia del viento del éter no se había comprobado experimentalmente.

El fracaso del experimento ponía seriamente en duda la existencia del éter, y además el modelo de las ondas mecánicas aplicado al electromagnetismo: las ecuaciones de Maxwell predicen un valor definido

Figura 40.3. Esquema del experimento de Michelson y Morley.


9

para la velocidad de la luz, y de acuerdo con la existencia de las ondas materiales, dicha velocidad debería de ser aplicada en un sistema referencial especial, preferido por las ondas e.m. violando el principio de relatividad de Galileo. Ahora bien, el experimento de Michelson y Morley establece con firmeza que no existe tal referencial y que no se pueden detectar sistemas preferidos de referencia mediante las leyes del electromagnetismo, (como tampoco con las de la mecánica).

6. Postulados de Einstein.

El resultado sorprendente del experimento de Michelson y Morley soporta el enunciado hecho por Einstein de la teoría de la Relatividad Especial. Las leyes de la mecánica, como también de la electricidad, deben ser expresables de la misma manera (covariancia) en sistemas de referencia inerciales diferentes. Y dado el experimento de Michelson, la velocidad de la luz en el vacío es c en todos los sistemas de referencia.

Postulados de Einstein

1. Las leyes de la física son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales.

2. La velocidad de la luz en el vacío es c en todos los sistemas inerciales.

Las transformaciones de Galileo, vistas en este tema son incompatibles con el segundo postulado: así, si suponemos la existencia de dos sistemas de referencia F y F’ cuyo origen coincide en el instante t=0 y una fuente luminosa que emite un pulso en este punto y en el instante t=0, como se ve en la figura 40.7, los dos observadores describirán frentes de onda esféricas en sus referenciales, es decir:

'Fentcrzyx,Fenctrzyx 2222222222 ′=′=′+′+′==++ !!

Estas dos ecuaciones no pueden satisfacerse simultáneamente si los tiempos t y t’ verifican la idea subyacente en las transformaciones de Galileo, t=t’, puesto que no se puede verificar que x’2+y’2+z’2=(x-ut)2+y2+z2 siendo ambas esferas centradas en el origen.

Figura 40.7 Los sistemas de referencia F y F’ coinciden en el instante t=0 en el que se emite un pulso luminoso. Por el segundo postulado, los dos observadores en F y F’ describirán el frente luminoso como una esfera.


10

7. Espacio, tiempo y simultaneidad.

Vamos a definir un sistema de referencia con la construcción explícita de sus coordenadas espaciales y su reloj temporal. Este sistema nos servirá para comprender los conceptos del espacio, tiempo y simultaneidad.

Sea una fuente que emite pulsos de luz y un reloj (por ejemplo de Cs) en el origen del sistema F. Situamos ahora espejos reflectores en diferentes lugares del espacio: las coordenadas de cada punto se podrán elegir como la mitad del número de tic-tacs que marca el reloj al detectarse el pulso reflejado (Figura 40.8).

Para describir el tiempo en el que ocurren los acontecimientos, podemos imaginar que situamos relojes en todos los puntos múltiplos enteros de la unidad de distancia antes definida. En el instante t=0, correspondiente a media noche, se envía un pulso desde el origen, que al ser detectado en cada punto y corregido por el tiempo que viaja la señal a cada punto de coordenadas (de distancia conocida) nos permite poner todos los relojes del sistema F en hora (figura 40.8). El mismo procedimiento seguimos para el sistema F’.

Obsérvese que si bien los intervalos de tiempo y las distancias en cada sistema de referencia por separado están bien definidos, será necesario tener cuidado en cómo especificar el tiempo y las distancias medidas por un observador O’ en el sistema F’ en movimiento. Así, si el observador O’ quiere medir cómo avanza el reloj en O, al alejarse las señales le llegarán retardadas.

Simultaneidad.

Definimos que dos acontecimientos son simultáneos cuando en un sistema de referencia inercial (por ejemplo F) ocurren a la misma hora (los

Figura 40.8 Se fijan relojes en una red de puntos, separados a distancias fijas, que representan las coordenadas espaciales. La ubicación de relojes y su lectura definen las coordenadas espacio-temporales de un acontecimiento.


11

relojes del sistema F marcan lo mismo). El concepto de simultaneidad es fundamental porque subyace en la mayor parte de las medidas de los físicos, si bien de manera sutil. En particular, el concepto de simultaneidad es de importancia para las medidas de longitud.

Ejemplo de la medida de la longitud de un tren en reposo y en movimiento.

Pongamos más cuidado al medir la longitud de un tren, a la luz de la figura 40.9, en la que el sistema F se mueve con velocidad u (solidario con el tren), con un observador A en su interior, y un sistema F’ con un observador A’, solidarios con la plataforma de la estación. La plataforma (sistema F’) dispone de su conjunto de relojes en todos los puntos coordenados y sus medidas se representan por t’. Representamos por t las medidas del sistema F, solidario con el tren. Los relojes de F y F’se sincronizan en el instante en que A pasa dentro del tren frente a A’: t=t’=0. Si en este instante, A emite una señal luminosa, llegará a B y C simultáneamente en un tiempo t=L/2c. Pero esto no puede ser verdad desde el punto de vista del sistema F’, si la velocidad de la luz es igual en los dos sistemas. El observador A’ se da cuenta que el punto B se le acerca, mientras que el punto C se le aleja, y el pulso viaja a la velocidad de la luz en su sistema F’ hacia los dos extremos: la señal llega al punto B un instante antes que al punto C. Así:

( )uc

2/Lttctu2/L BBB +

=′→′=′−

( )uc

2/Lttctu2/L CCC −

=′→′=′+

Dos acontecimientos simultáneos de referencia F no tienen por qué continuar siéndolo en otro sistema referencial F’.

Figura 40.9. En a) una señal luminosa A equidistante de B y C es recibida por B y C simultáneamente (sistema F de referencia). Mientras que en b) cuando B se acerca a A’, y C se aleja de A’ la señal llega antes al punto B que al C (sistema F’ de referencia).


12

Este resultado es muy interesante porque pone de manifiesto que el concepto de simultaneidad es relativo al referencial en el que se mide: en contra del concepto intuitivo habitual que supone que dos acontecimientos simultáneos lo son en todos los sistemas de referencia (concepto absoluto).

8. Dilatación del tiempo.

Los postulados de Einstein o el hecho de que la simultaneidad de los acontecimientos es un concepto relativo y ligado al sistema referencial en el que estos son descritos, comporta como consecuencia fenómenos espectaculares: el retraso de los relojes o dilatación del tiempo y la contracción de longitudes, o acortamiento de los patrones de medida.

Supongamos un reloj muy simple (figura 40-10.a) constituido por una varilla de longitud L, con un espejo en un extremo, de manera que la bombilla en el otro extremo reacciona enviando una señal luminosa hacia el espejo, cada vez que detecta una señal procedente de ese punto. El período del reloj es T=2L/c.

El observador solidario con el referencial F’, que se desplaza a velocidad u, ve que el reloj se aleja hacia la derecha, y aunque en su sistema F’ la luz viaja a la velocidad c, la señal luminosa debe recorrer una distancia mayor, como pasaba en el experimento de Michelson y Morley:

( ) ( )22

22

c/u1

TT

c/u1

c/L2T

2

TuL

2

Tc

−=′→

−=′→

′

+=′

Figura 40.10. (a)Diagrama esquemático de un reloj: cada vez que la bombilla recibe un pulso luminoso reflejado en el espejo, reacciona enviando otra señal. El período del reloj es T=2L/c. (b) Longitud que recorre el rayo luminoso para el observador solidario a F’.


13

Los tic-tacs del reloj en movimiento respecto del observador en F’ son más largos, medidos por este. El reloj en movimiento atrasa con un factor: ( )2c/u1− .

Dilatación del tiempo: Los relojes en movimiento funcionan más lentamente que relojes exactamente iguales en reposo.

Observad que el efecto de la dilatación es simétrico, como lo requiere el principio de que todos los movimientos son relativos y no existe referencial privilegiado por las leyes de la física. Así, si al contrario hubiera un reloj en el sistema F’ y un observador en el sistema F, éste también vería que el reloj viajero retarda respecto al propio. Si no fuera así, se podría hacer uso de este efecto para distinguir el sistema referencial que se halla en reposo absoluto en el Universo.

Todos los relojes imaginables (atómicos, humanos, astronómicos, etc.) se pueden sincronizar con el del ejemplo, y todos ellos retardan, para un observador en movimiento respecto de ellos.

Prueba experimental de la dilatación del tiempo.

La vida media de los muones en reposo, como se puede medir en el laboratorio de Instrumentación Nuclear de la Facultad de Física de Valencia, toma el valor de 2.19x10-6 s. Por otra parte, en el CERN en Ginebra, se han construido aceleradores en los que se producen muones, se aceleran a velocidades relativistas y se almacenan en un anillo, con el fin de estudiar sus propiedades. Dada la gran velocidad de los muones en el acelerador, cercana a la de la luz, el factor de dilatación temporal es del orden de 106, y su vida media puede llegar a ser de 2.2 s en el sistema laboratorio en reposo.

Lectura recomendada: La paradoja de los gemelos.

9. Contracción de la longitud.

El retraso de los relojes en movimiento viene acompañada por la contracción de longitudes en la dirección del movimiento, de los objetos que se desplazan.

Razonaremos usando el fenómeno de los muones, partículas que son producidas copiosamente en la alta atmósfera por la colisión de los rayos cósmicos. Son partículas de vida media muy corta τ=2µs y que aunque viajen a la velocidad de la luz (calculamos d=cτ), difícilmente llegarían a la superficie de la Tierra para ser detectadas en el Laboratorio de la Facultad de Física. Pero, ¡está claro que muchos de ellos son detectados!. Lo permite


14

la dilatación del tiempo, que acabamos de discutir. Así ocurre para un muón que viaja a la velocidad u, respecto de la atmósfera terrestre en la que se encuentra un observador, quien calcula el espacio recorrido como:

( )2c/u1uL

−

τ=

donde se ha considerado explícitamente la dilatación temporal del muón. Esta longitud es mucho mayor que d=cτ, sobre todo a medida que u≅ c, lo que claramente explica, desde el punto de vista del observador, por qué los muones llegan a la Tierra.

Ahora bien, ¿cómo puede explicar el fenómeno otro observador que viaja con los muones? Es decir: en su referencial los muones están es reposo y es la atmósfera la que se desplaza a velocidad u hacia arriba. Este observador mide que la vida de los muones es τ, sin dilatación, pero el hecho indiscutible que todo observador debe describir es que los muones llegan a la Tierra. Así, toda la atmósfera pasa delante de él en un tiempo τ y a velocidad u. Esto solamente es posible, si la atmósfera medida por este observador tiene una longitud L’, de manera que:

2

c

u1LL

u

L

−=′→

′=τ

Para el observador solidario con el muon, la atmósfera es más delgada de lo que dice el observador en la Tierra. Para el observador en movimiento, la altura de la atmósfera, o cualquier longitud en su dirección, ha sufrido una contracción de longitud, dada por el factor ( )2c/u1−

Observad que únicamente se contrae el espacio en la dirección del movimiento y que las otras coordenadas perpendiculares no sufren ninguna alteración.

En conclusión: • Los relojes en movimiento respecto de un observador retardan. • El espacio en la dirección del movimiento de un sistema se

contrae en relación al que mide un observador en reposo. • Las conclusiones anteriores son simétricas respecto dos sistemas

referenciales inerciales.

tema 14. relatividad especial i.mural.uv.es/miyallon/fisicageneral2/tema14_c.pdfy la partícula los...

Documents