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Tema 7. Ondas Electromagnéticas. Física General.

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TEMA 7. ONDAS ELECTOMAGNÉTICAS.

1.- Introducción. Las ecuaciones de Maxwell fueron propuestas por James Clark Maxwell y:

• Relacionan los vectores de campo eléctrico E y magnético B con sus fuentes: cargas, corrientes y campos variables.

• Representan un resumen exhaustivo de todas les leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo: Coulomb, Gauss, Biot y Savart, Ampère y Faraday – Lenz.

• Significan la unificación de dos fenómenos aparentemente diferentes, como la electricidad y el magnetismo, en una sola teoría o cuerpo de pensamiento que recibe el nombre de electromagnetismo.

Todas estas leyes se cumplen todas de forma general, con excepción de la ley de Ampère que no puede aplicarse a corrientes discontinuas, como la que aparece entre las placas de un condensador que está descargándose.

Maxwell generaliza la ley de Ampère, introduciendo el concepto de corriente de desplazamiento, lo que le permite escribir las cuatro ecuaciones básicas del electromagnetismo en forma integro-diferencial, y además, a partir de éstas predecir la existencia de ondas electromagnéticas.

Las ondas electromagnéticas son originadas por cargas eléctricas aceleradas (ejemplo: oscilantes, como en una antena) y fueron producidas por primera vez en el Laboratorio por Heinrich Hertz en 1887. La velocidad de estas ondas en el vacío, predicha por Maxwell, debía ser:

00

1c

εµ=

que coincide con el valor de la velocidad de la luz que había sido medida anteriormente por Römer y Foucault. Esta coincidencia le permitió adelantar a Maxwell la idea acertada de que la luz es una onda electromagnética. (unificación con la óptica).

2.-La corriente de desplazamiento.

La ley de Ampère nos da la integral curvilínea del campo magnético sobre una curva cerrada, como la corriente que atraviesa cualquier superficie que descansa sobre dicha curva, y se escribe:

∫ µ=⋅C

0IdlB· , para cualquier curva cerrada C Ec. 1.


2

Maxwell puso de manifiesto que esta ley era incorrecta, como ocurre cuando se aplica a un condensador que se descarga, (Figura 32.1). Este problema surge siempre que hay una corriente discontinua.

Maxwell demostró que la ley de Ampère puede ser generalizada para incluir todas las situaciones posibles, si consideramos como corrientes tanto la corriente de conducción como una nueva, denominada corriente de desplazamiento, definida como:

dt

dI e

0d

Φε= , Definición de Corriente de desplazamiento. Ec. 2.

La forma generalizada de la ley de Ampère queda como:

∫Φεµ+µ=+µ=⋅

C

e000d0 ,dt

dI)II(dlB C es curva cerrada Ec.3

Comprobación: Si usamos el concepto de corriente generalizada Ig= I + Id y la aplicamos sobre el volumen cerrado por las dos superficies S1 y S2 de la figura 32.1, tenemos:

Idt

dQ

dt

dQ

dt

dIQ

1dSE intnet,e

0dint0SS

net,e

21

===Φ

ε=→ε

=⋅=Φ ∫∫+

Ec 4.

Así, la corriente de conducción neta que entra en el volumen, a través de S1 es igual a la corriente de desplazamiento neto que sale del volumen a través de S2. En consecuencia, la aplicación del teorema de Ampère sobre las dos superficies S1 y S2 da el mismo resultado, una vez se ha generalizado el concepto de corriente con la inclusión de la corriente de desplazamiento.

Analogía entre campos eléctricos y magnéticos: La ley de Faraday de la inducción nos indica que un flujo magnético variable en el tiempo origina un campo eléctrico, no conservativo, tal que:

Figura 32.1.- Ejemplo de corriente de desplazamiento. Dos superficies S1 y S2 están limitadas por la misma curva C. La corriente I atraviesa la superficie S1 pero no la S2. Este ejemplo pone de manifiesto la no validez de la ley de Ampère cuando las corrientes son discontinuas, como en el caso de descarga de un condensador.


3

∫Φ

−=⋅=ξC

m

dt

ddlE Ec. 5.

De forma semejante, un flujo eléctrico variable a través de una superficie origina un campo magnético, cuya circulación (a lo largo de la curva que limita la superficie) es proporcional a la variación del flujo eléctrico por unidad de tiempo, como se ve en la ecuación 3.

Resultado recíproco:

• Un campo magnético variable origina un campo eléctrico (ley de Faraday)

• Un campo eléctrico variable origina un campo magnético (Ley de Ampère generalizada)

Obsérvese que no existe el análogo magnético de la corriente de conducción, puesto que no hay monopolos magnéticos.

3.- Las ecuaciones de Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell son: (Ec. 6 a, b, c y d)

int0S

Q1

dSEε

=⋅∫∫ ley de Gauss

∫∫ =⋅S

0dSB Campo magnético solenoidal

dS·Bdt

d)(

dt

ddlE

SmagC

∫∫∫ −=Φ−=⋅=ξρ

L. Faraday

dS·Edt

dI)II(dlB

S000d0C

∫∫∫ εµ+µ=+µ=⋅ρ

L. Ampère

• La primera de estas ecuaciones es la ley de Gauss que establece que el flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga neta que se encuentra en su interior. Las cargas positivas son las fuentes del campo, y las negativas los sumideros.

• La segunda ecuación indica que el campo magnético es solenoidal (las líneas de campo se cierran sobre sí mismas) y no existen monopolos magnéticos.

• La tercera es la ley de Faraday, que nos indica que la variación con el tiempo del flujo del campo magnético (sobre una superficie abierta limitada por una curva cerrada C ) origina una FEM ξ, no ubicada sino distribuida en toda la curva, campo no conservativo. (Principio de los


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aceleradores Betatrones). El signo menos viene dado para la ley de Lenz y se relaciona con la conservación de la energía.

• La cuarta ecuación, es la ley de Ampère generalizada por Maxwell con la corriente de desplazamiento.

Las ecuaciones de Maxwell presentan un grado de simetría notable entre el campo eléctrico y el magnético. Ahora bien, la ley de Faraday no dispone de un término µ0 I como la ley de Ampère, puesto que no existen los monopolos magnéticos que puedan originar una corriente magnética. Asimismo, en el vacío, sin cargas eléctricas, quietas o en movimiento, la simetría es perfecta.

4.- Ondas electromagnéticas. Independientemente del tipo de onda, por el hecho de propagarse una

perturbación en el espacio, se ha visto que todas las ondas obedecen a una ecuación diferencial en derivadas parciales denominada ecuación de ondas, de la forma:

2

2

22

2

t

)t,x(y

v

1

x

)t,x(y

∂∂

=∂

∂ Ec. 7.

En esta ecuación, la función de ondas1 y(x,t) representa la magnitud física, cuya perturbación se propaga en el espacio. Así, y(x,t) puede representar el desplazamiento del punto de equilibrio de una cuerda en ondas transversales, o la presión en una onda sonora, los campos E y B en la luz, etc.

4.1 Propagación de ondas electromagnéticas. En el caso de las ondas electromagnéticas, las magnitudes que se

propagan en el espacio son el campo eléctrico y el magnético, que además, están acoplados, pues al ser dependientes del tiempo se influyen entre sí, como se ve en las ecuaciones 6c y d. Como resultado, estas configuraciones acopladas de campo eléctrico y magnético, pueden transportar energía y momento a distancias mucho más grandes que las que podría preverse por la disminución de 1/r2, (fenómeno de atenuación).

1 El argumento de la función de onda y(x,t) debe ser de la forma (x±vt).

Figura 35.32 Sistema mecánico para demostrar el concepto de ondas acopladas. Se trata de dos ondas materiales (ejemplo, cuerdas perpendiculares unidas por hilos).


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El concepto de acoplamiento entre los campos eléctricos y magnéticos, a través de las ecuaciones de Maxwell es importante: oscilaciones variables en el tiempo del campo eléctrico originan oscilaciones del campo magnético mediante el comentado acoplamiento y viceversa.

Cargas en movimiento acelerado son el origen de las ondas electromagnéticas: imaginemos un alambre recto muy largo alineado con el eje x y que conduce una corriente variable I. El campo magnético que crea son círculos concéntricos de acuerdo con la ley de la mano derecha.3 Por el hecho de variar la corriente con el tiempo, variará también el campo magnético B y en consecuencia el flujo magnético que atraviesa un área A1 también variará, ver figura 35.4

La ley de Faraday-Lenz nos indica que aparece una FEM asociada al campo eléctrico inducido que se muestra en la figura 35.4, (cuyo sentido corresponde a un incremento con el tiempo de la corriente y de los campos).

El campo eléctrico inducido en esta espira imaginaria, induce a su vez un campo magnético B’ de acuerdo con la ley generalizada de Ampère, puesto que no hace falta la existencia de cargas reales en movimiento.

Un campo eléctrico que cambia produce también un campo magnético, al originar una corriente de desplazamiento. Podemos ir repitiendo el proceso, pero como se ve en la figura, cada vez alcanzamos distancias más alejadas del eje x, en el que se propaga la corriente original: llegamos así intuitivamente al concepto de propagación usando únicamente las leyes de Maxwell, e incluso entendemos el concepto de acoplamiento de los campos.

Conclusiones: • Al estar restringida la corriente variable a permanecer en una línea a lo

largo del eje x, los sucesivos ejes del razonamiento se propagan hacia

2 Ver P. Fishbane, página 1011. 3 Ver en P. Tipler páginas 944 y 949 el campo magnético creado por un hilo conductor muy largo.

Figura 35.4. La ley de Ampère nos da el campo magnético creado por un conductor con corriente. Si ésta es variable, el campo magnético variable creado, origina un campo eléctrico también variable, y así sucesivamente.


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fuera de forma cilíndricamente simétrica (propagación radial). El campo eléctrico permanece paralelo a la dirección de la corriente y el campo magnético perpendicular a ambos, campo eléctrico y dirección de propagación. Este resultado es una propiedad importante de las ondas e.m.: son ondas transversales.

• Si en nuestro razonamiento incluimos que la corriente inicial varía con el tiempo de forma armónica, entonces todos los campos incluidos en la discusión exhibirán esta dependencia. Corrientes estáticas solamente producen campos estáticos y obviamente no hay propagación. Únicamente cargas aceleradas, como ejemplo en movimiento armónico, son susceptibles de originar ondas e.m.

4.2 Ondas electromagnéticas.

Las ecuaciones de Maxwell en forma integro-diferencial que acabamos de ver, permiten – después de haber hecho algunas operaciones- obtener una ecuación de ondas en forma diferencial que satisface el campo eléctrico y el magnético. Así, se pueden extraer las siguientes ecuaciones:

2x

2y

2

2x

2

00y

2

z

E

zt

By

t

E

zt

B

∂∂=

∂∂∂

−∂∂εµ=

∂∂∂

−

ecuaciones que ponen de manifiesto el acoplamiento físico entre el campo eléctrico y magnético mediante las derivadas parciales respecto del tiempo y el espacio. Combinando estas ecuaciones deducimos:

2

y2

002

y2

2x

2

002x

2

t

B

z

By

t

E

z

E

∂

∂εµ=

∂

∂

∂∂

εµ=∂

∂

que representa la ecuación diferencial de una propagación ondulatoria, es decir, es una ecuación de ondas para el campo eléctrico E. Una ecuación semejante se obtiene para el campo magnético B.

Soluciones de esta ecuación pueden ser muchas, como por ejemplo: • Un pulso o señal electromagnética que se propaga en el espacio. • Onda armónica plana en la dirección del eje +z:

( )ϕ+ω−= tkzcosEE 0x

donde podemos ver la amplitud E0, el número de ondas k y la frecuencia angular ω. El ángulo de la fase ϕ aparece con el fin de relacionar el campo eléctrico con el campo magnético.


7

De la ecuación de ondas en forma diferencial del tema 2, se deduce que la velocidad de las ondas e.m. en el vacío4 es:

( )00

28

00

2 1cs/m10X00.3

1v

εµ=⇒=

εµ=

Del acoplamiento de los campos E y B, y de las ecuaciones de Maxwell se pueden deducir las siguientes propiedades:

• El campo eléctrico E y el campo magnético B se encuentran en fase: ( )ϕ+ω−= tkzcosBB 0y (Figura 32.3). (Fallo de la analogía

mecánica.) • Las amplitudes de los campos E y B están relacionadas por E=cB • Las ondas e.m. son transversales verificándose que E·B=0, siendo los

dos campos perpendiculares siempre a la dirección de propagación kρ

de la onda.

• Las ondas e.m. son reales: por la coincidencia del valor de la velocidad de la onda con la velocidad medida anteriormente de la luz, Maxwell se dio cuenta de que la luz es una onda electromagnética. Nuestros ojos son uno de los detectores de onda e.m. más perfeccionados de la Naturaleza, pero en un rango de valores limitado, denominado espectro visible.

4.3 El espectro electromagnético.

La luz visible que detecta nuestro ojo, difiere de otras ondas electromagnéticas, como los rayos X, ondas de Radio y TV, rayos Gamma, rayos UV, etc, tan sólo en la frecuencia (ver tabla 32.1, P.Tipler página 1056).

4 En otros medios materiales:

κ=

κεµ==

µε= c1

n

c1v

00llum , dado que, excepto en

los medios ferromagnéticos, µ ≅µ 0 y ε = κ ε0. En conclusión, el índice de refracción n depende de la constante dieléctrica κ que a su vez depende usualmente de la frecuencia, cosa que ocurre en los medios denominados dispersivos.

Figura 32.3. Vectores de campo eléctrico y magnético en una onda e.m. Obsérvese que son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación.


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Comentarios: • Obsérvese el reducido rango de valores detectables por el ojo humano. • La radiación térmica de los cuerpos a temperaturas ordinarias se

encuentra en el infrarrojo. • Los rayos X tienen longitudes de onda muy pequeñas, lo que hace que

penetren en la materia habitualmente opaca, en el espectro visible. Las placas de rayos X se basan en la diferente absorción de los materiales.

• El microondas funciona a longitudes de onda de cm, lo que corresponde a frecuencias de la resonancia natural (propia) de las moléculas de agua, presentes en todos los alimentos, que absorben en resonancia esta energía, calentándose con rapidez.

• Un hierro incandescente, tiene un continuo de emisión, que corresponde al cuerpo negro, con el máximo en el espectro visible.

5. Deducción de la ecuación de onda para las ondas e.m.

Se ha visto que las ondas en una cuerda obedecen a una ecuación en derivadas parciales, denominada ecuación de ondas:

( ) ( ) ( ) ( )tkxsinyt,xyt

t,xy

v

1

x

t,xy02

2

22

2

ω−=→∂

∂=∂

∂

donde y(x,t) representa la función de ondas, y que sabemos corresponde a una magnitud física, cuya perturbación se propaga en el espacio y el tiempo. Una solución de la ecuación de ondas es la función de una onda plana armónica de la derecha, en la que k=2π/λ, es el número de ondas y ω=2πf es la frecuencia angular. Las ecuaciones de Maxwell implican que tanto E como B obedecen a la ecuación de ondas dando origen a las ondas e.m. Para demostrarlo, consideremos el espacio libre (sin cargas ni corrientes), y supongamos que los campos E y B son dependientes del tiempo y de una sola coordenada espacial x, lo que corresponde al concepto de onda plana, propagándose a lo largo del eje x, de manera que los componentes de los campos Ex y Bx son nulas.

Usaremos la tercera y cuarta ecuaciones de Maxwell, sin cargas ni corrientes, para relacionar la derivada respecto del tiempo de un vector campo con la derivada respecto del espacio del otro (acoplamiento). Sea el rectángulo ∆x∆y de la figura 32.10, muy pequeño.

La integral curvilínea a lo largo del rectángulo vale:

( ) ( ) yxEyxEd·E 1y2y ∆−∆=∫ λρρ


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donde se anulan las contribuciones sobre ∆x. Como ∆x es muy pequeño, podemos desarrollar la variación del campo Ey en la forma:

( ) ( )[ ] yxx

E·dE x

x

ExExE

yy1y2y ∆∆

∂∂

=∫→∆∂

∂≈− λ

ρρ

También, el flujo del campo magnético que atraviesa el rectángulo, (pequeño):

yxBdAB zS

n ∆∆∫∫ =

donde aplicando la ley de Faraday, se obtiene:

∂

∂−=

∂∂

∂∂

−=∂

∂→∫∫−∫ =

t

B

x

Etambién,

t

B

x

ESd·B

dt

dd·E

yzzySC

ρρλρρ

Ecuación que nos afirma que por la mera existencia de una componente de campo eléctrico Ey variable en el espacio x, debe existir una componente del campo magnético Bz generado por la inducción magnética, y variable con el tiempo, y viceversa (acoplamiento).

Una ecuación semejante se puede obtener para Ez y By.

Apliquemos ahora la cuarta de Maxwell sobre el rectángulo pequeño de la figura 32.11 (Justifíquese el signo menos).

t

E

x

BdAE

dt

dd·B

y00

S

zn00 ∂

∂εµ∫∫ −=

∂∂

→εµ=∫ λρρ

Derivando la primera ecuación respecto de la posición x, y ésta última respecto del tiempo, eliminamos la dependencia con B, para tener:

2

y2

002

y2

t

E

x

E

∂

∂εµ=

∂

∂ c.q.d.

Ejercicio: obtenga el alumno una ecuación similar para el campo Bz.

Figura 32.10 Cálculo de la ecuación de ondas.

Figura 32.11 Cálculo de la ecuación de ondas.


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En consecuencia, tanto el campo eléctrico E como el magnético B cumplen la ecuación de ondas y se propagan a la velocidad de la luz. Ejercicio: Demostrad, usando una onda armónica viajera y las relaciones entre derivadas parciales, que los campos eléctrico y magnético están en fase y que verifican la relación E=cB. (Ver Tipler pg 1066, Fishbane pg 1016)

6. Propiedades de las ondas electromagnéticas.

6.1 Producción de ondas e.m. Toda carga acelerada radia ondas electromagnéticas: de manera que si disponemos de un sistema para acelerar las cargas, se producirán ondas electromagnéticas. También se producen (o se absorben) ondas e.m. en las transiciones moleculares, atómicas, nucleares y de partículas.

Así, las ondas de radio AM tienen frecuencias de 550 a 1600 kHz y las FM de 88 a 108 MHz son producidas por corrientes eléctricas macroscópicas oscilantes en las antenas de emisión de radio.

Otras fuentes actuales de interés en la producción de ondas e.m. son los tubos de rayos X, en los que los electrones acelerados por un tubo de vacío y de elevado voltaje se frenan violentamente contra una placa metálica: radiación de bremstrahlung (frenado), que dispone de un espectro continuo superpuesto al discontinuo característico del material.

La radiación de sincrotrón que aparece en todos los aceleradores circulares, tiene múltiples aplicaciones tecnológicas y de investigación de materiales y biológicas, lo que hace que los países punteros en I+D dispongan de estos aceleradores: Francia y GB: acelerador en el Rutherford, proyecto de acelerador catalán.

6.2 Radiación dipolar eléctrica. La figura 32.4 es un dibujo esquematizado de una antena dipolar eléctrica, consistente en dos varillas conductoras dobladas y alimentadas por una fuente de corriente alterna.

Figura 32.4. Antena dipolar eléctrica para radiar ondas e.m. En la figura se muestra el campo eléctrico radiado. Existe también un campo magnético perpendicular. Un generador de alterna subministra la potencia necesaria.


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Obsérvese cómo cambia la carga de las varillas en función del período del generador y cómo lo hace el campo eléctrico generado: coincide la frecuencia de las ondas radiadas con la del generador de alterna.

El campo magnético es perpendicular a la dirección de propagación y al campo eléctrico, y está en fase con el campo eléctrico.

7. Energía y momento de las ondas e.m.

Como todas las ondas, las e.m. transportan energía y momento. La intensidad es la magnitud que representa para cada onda la energía transportada por unidad de área y de tiempo. El momento transportado por unidad de área (perpendicular) y por unidad de tiempo recibe el nombre de presión de la radiación.

7.1 Intensidad.

Hemos visto que la intensidad de una onda se puede escribir como el producto de su intensidad de energía media ηm por su velocidad c.

cI mη=

También se ha visto que la densidad de energía u de los campos eléctricos ue y magnéticos um se puede escribir como:

( )222020

0

2

em EBc2

EB

2

1uuu +

ε=

ε+

µ=+=

donde el primer término corresponde a la densidad de energía magnética um y el segundo a la densidad de energía eléctrica ue.

En una onda electromagnética en el espacio libre se verifica que E=cB y:

( )e

20

0

2

0

2

m uE2

1c/E

2

1B

2

1u =ε=

µ=

µ=

que nos dice que la densidad de energía magnética que transporta la onda coincide con la densidad de la energía eléctrica: así, la energía que contiene una onda e.m. se encuentra repartida por igual entre el campo magnético y el eléctrico.


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Figura 32.5 Líneas de campo E y B generadas por un dipolo oscilante. La radiación generada por un dipolo oscilante recibe el nombre de radiación dipolar eléctrica y tiene las características que se observan en la figura. Una característica importante de estas antenas es que la intensidad de su radiación es nula a lo largo del eje de la antena y máxima en las direcciones perpendiculares como puede verse en la figura 32.8. Figura 32.8 Representación polar de la intensidad de una radiación electromagnética producida por una antena dipolar eléctrica, en función del ángulo θ. La intensidad I(θ) es proporcional a la longitud de la flecha.

( )2

2

R

sinS

θ∝θ

donde R2 representa la atenuación en función de R.


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Así podemos escribir la densidad de energía total de diversas formas:

c

EBBEuuu

00

22

0me µ=

µ=ε=+=

que nos permite calcular la densidad de energía media, al reemplazar los valores instantáneos de los campos por sus valores eficaces:

ef0

00

0

efefm S

BE

2

1BEcI

ρ=

µ=

µ=η=

donde el vector Sρ

recibe el nombre de vector de Poynting y queda definido como:

0

BES

µ×=

ρρρ

El valor medio o eficaz del vector de Poynting es igual a la intensidad de la onda y su dirección (vector) coincide con la de propagación de la onda.

7.2 Cantidad de movimiento en las ondas e.m. Presión de radiación.

Mediante un ejemplo sencillo queremos demostrar que las ondas e.m. transportan momento. Sea una onda que se propaga en el espacio a lo largo del eje x, incidiendo sobre una carga estacionaria, como se ve en la figura 32.9.

El campo eléctrico acelera la partícula en la dirección del eje y, y ésta al adquirir velocidad, se encuentra sometida al campo magnético que oscila en fase con el campo eléctrico. El resultado es una fuerza en la dirección de propagación de la onda. Obsérvese que cuando el campo eléctrico cambia el signo, también lo hace el magnético, pero no la fuerza magnética de impulso sobre la partícula. Las fuerzas sobre los otros ejes

Figura 32.9. Una onda electromagnética incide sobre una carga en reposo: a) la fuerza eléctrica acelera la carga hacia arriba b) cuando la carga adquiere velocidad la fuerza magnética acelera la carga en la dirección de propagación de la onda.


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son en promedio nulas, pero no la fuerza magnética impulsora. Hay una fuerza neta en la dirección +x, de manera que la carga incrementa su momento, a expensas del momento transportado obviamente por la onda.

Las ondas electromagnéticas transportan pues, energía y momento (cantidad de movimiento).

Se puede demostrar que la cantidad de movimiento p por unidad de volumen que transporta una onda electromagnética vale:

22 c

S

dV

dp

c

S

c

u

Vol

p =→==

donde u representa la densidad de energía que transporta la onda y S es el vector de Poynting. La dirección de este flujo coincide además con la del vector de Poynting S.

Presión de radiación: En consecuencia, cuando las ondas e.m. son absorbidas por un cuerpo negro, o son reflejadas por un espejo, éstos adquieren cantidad de movimiento, y las ondas e.m. ejercen una presión denominada presión de radiación. Sea un cuerpo negro de área A que absorbe la radiación que le llega. En un intervalo de tiempo dt, tendremos para el momento absorbido: ( )dtAcAdxdV ==

( )c

S

dt

dp

A

1

A

FesiónPrdtA

c

SdtAc

c

Sdp

2===→=

=

Esta expresión nos da la presión de radiación F/A que se ejerce cuando una onda electromagnética es absorbida. Observad que en el caso de que la onda sea reflejada, la presión de radiación sobre el cuerpo es el doble.

Lectura recomendada: Radiaciones electromagnéticas como partículas. P. Fishbane página 1034.

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