tema 9. n gdl

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Tema 9. N GDL: Formulación del problema y ecuaciones del movimiento

T.9. Sistemas de N GDL: Formulación del problema y ecuaciones del movimiento

9.1 Ecuaciones del movimiento en estructuras de 2 GDL y múltiples GDL. Matrices de rigidez, masas y amortiguamiento

9.2 Condensación estática

9.3 Excitación sísmica

9.4.1 Uniforme

9.4.2 Múltiple

9.4 Aplicación a distintos sistemas estructurales

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9.1. Ecuaciones del movimiento en estructuras de 2 GDL y múltiples DOF

Las ecuaciones de equilibrio dinámico se obtienen a partir de diagramas de sólido libre de cada unade las masas del sistema discretizado, aplicando la primera ley de Newton o el principio de D’Alambert

Tema 9. N GDL: Formulación 9.1 Ecuaciones del movimientoSe plantea en este tema el análisis de estructuras discretizadas con un número finito de GDL dinámicos,la formulación de las ecuaciones del movimiento, su obtención sistemática mediante la condensaciónestática, y la formulación en el caso de excitación sísmica uniforme o múltiple.

Sistema de 1 GDL Sistema de 2 GDL

Sistema de 1 GDL

1 1 1 1 1 1 1( )+ + =m u c u k u p t

( ) ( )

' ( ) 0 ( ) ( )

=

= = −∑∑ I

Newton F t mu t

D Alambert F t con F t mu t

1 1k u

1 1c u

1u

1( )p t1 1m u

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9.1. Ecuaciones del movimiento en estructuras de 2 GDL y múltiples DOFTema 9. N GDL: Formulación 9.1 Ecuaciones del movimiento

Sistema de 2 GDL1 2 10,> >u u u

.Ec I .Ec II

2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 1 2 2 1

. 0 ( ) ( ) ( ) 0

. 0 ( ) ( ) ( ) 0

= ⇒ − − + − − − + =

= ⇒ − − − − − =∑∑

Ec I F k u u k u c u u c u m u p t

Ec II F p t m u k u u c u u

1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2

( ) ( ) ( )( )

+ + − + + − =⎧⎨ + − + − =⎩

m u c c u c u k k u k u p tm u c u c u k u k u p t

En forma matricial:

1 1

2 2

1 1

2 2

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u u

u P

u uu u

u pu p

1 1 1 11 1 2 2 1 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2

( )00 ( )

+ − + −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u u u p tm c c c k k km c c k ku u u p t

( )+ + =mu cu ku p t

Dos EDO acopladas gobiernan el comportamiento de la estructura con dos grados de libertad dinámicos

1 1k u

1 1c u

2u

2 ( )p t2 2m u

1u

1 1m u2 2 1( )k u u−

2 2 1( )c u u−1( )p t

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Edificio de dos plantas a cortanteSe desprecia la deformación por axil, los forjados y vigas se suponen infinitamente rígidos respectoa los pilares y los giros son nulos. La masa es una propiedad distribuida, pero en este caso se supone concentrada en los forjados.Se suponen amortiguadores lineales en cada planta, con una disipación de energía proporcional a ladeformación de esa planta.

GDL = 2 (número de movimientos independientes necesarios para definir lasposiciones de las masas respecto a su posición original)

Fuerzas actuantes sobre cada planta (masa)

2 2 2 2 ( )+ + =e a2m u f f p t

1 1 11 1 1 1 1

1 1 1

( )+ =⎧

⇒ + + =⎨ + =⎩

e s e i ee a

a s a i a

f f fm u f f p t

f f f

En forma matricial:1 11 11

2 22 2 2

( )0( )

0 ( )⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

+ + = ⇔ + + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

mu f f Pa ea e

a e

u p tf fmt

f fm u p t

1m

2m

2 ( )p t

1( )p t

2If

1If2ef 2af

1e sf 1a sf

1a if1e if

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Edificio de dos plantas a cortante: fuerzas elásticasEn cada pilar, si u es el movimiento relativo entre plantas (Δu):

3

2

12

6

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

EIR uLEIM uL

=f kue

3

3

1 2 3

12

12

12

=

=

= =

∑

EIEn un pilar kL

EICon varios pilares por planta kL

EILuego k kL

2 2 2 1 1 2 2

2 21 1 1 2 1 2 1 1

( )( )

= − + −⎧ ⎡ ⎤⇒ =⎨ ⎢ ⎥−= + = − + ⎣ ⎦⎩

= Δ

ke

e e s e i

ej j j

f k u u k k kk kf f f k u u k u

En general f k u

Edificio de tres plantas a cortante1 2 2

2 2 3 3

3 3

0

0

+ −⎡ ⎤⎢ ⎥⇒ = − + −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

kk k k

k k k kk k

La expresión es generalizable a N plantas

1( )p t

2 ( )p t

2 ( )f t 2 ( )f t

2 ( )f t2 ( )f t

1( )f t 1( )f t

1( )f t

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AmortiguamientoEl cortante que introduce el amortiguamiento se supone proporcional a la velocidad relativa de cadaplanta:

2 2 2 1

1 1 1 2 1 2

( )( )

= −⎧= Δ ⇒ ⎨ = + −⎩

aaj j j

a

f c u uf c u

f c u c u u

En cada instante se obtiene la solución por superposición de tres sistemas de fuerzas: rigidez elásticaproporcional a los desplazamientos, amortiguamiento proporcional a la velocidad, y fuerzas de inerciaproporcionales a las aceleraciones. La carga P(t) instantánea que sufre la estructura se reparte entre los tres sistemas.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

→ =⎧⎪→ → =⎨⎪ → =⎩

u f k uP u f cu

u f mu

e

a

I

t t tt t t t

t t t

( ) ( )+ + = ⇔ + + =f f f P mu cu ku PI a e t t

Equilibrio de fuerzas:

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9.2. Planteamiento general

Tema 9. N GDL: Formulación 9.2 Condensación estática

Ejemplo: Estructura discretizada mediante dos barras con 6 GDL estáticos. Despreciando el axil se reduce a 4 GDL estáticos. Si las cargas dinámicas son P1(t) y P2 (t), consideramos sólo 2 GDL dinámicos asociados al movimiento vertical.

1 111 12

21 222 2

( ) ( )⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤

= ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

f k u ee

e

f uk kt t

k kf uFuerzas elásticas:

Significado de kij: fuerza a aplicar en el GDL i para que se produzca un desplazamiento unitario en el GDL j, siendo el resto nulos.

1 11

2 21

10

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭u = e

e

f kf k

En términos de flexibilidad: fij es el desplazamiento del GDL i cuando se aplica una carga unitaria en el GDL j y cero en el resto.

1 111 12

21 222 2

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭-1F = K u = F P

u pf ff fu p

1 11

2 21

10

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭P =

u fu f

33

1 11 1 123 3

2 21 2 22

51 0 4824 ;0 15

48 3

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ = = ⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

P = P =

LLu f u f EIEIu f u fL L

EI EI

Luego: 3

3

2 5 16 5485 16 5 248 7

L EIEI L

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-1F = K = F

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9.2. Planteamiento generalTema 9. N GDL: Formulación 9.2 Condensación estática

Fuerzas de inerciaConcentrando la masa en los nudos mediante la matriz de masas concentrada (reparto estático), y suponiendo una masa total m de la viga, repartida de forma uniforme:

1

2

0 / 2 00 0 / 4

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

m =m m

m mFuerzas de amortiguamientoSimilar a la matriz de rigidez.

Análisis matricial y condensación estática

11 11

1 1

2 2 2 2

2 2

0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0

uu pm

u u m pθ θ

θ θ

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u u M P

No se considera la deformación por axil

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9.2. Planteamiento generalTema 9. N GDL: Formulación 9.2 Condensación estática

En el caso planteado como ejemplo: ( = 0)αT = I

2 21 2 222 11 12

32 221 22

2 2

24 0 12 30 2 3 0.5812 3 12 3

3 0.5 3

LL LEI

LLL L L L

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤+ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

k k kk

k k

Para pasar de la matriz elástica general a la matriz dinámica condensada, calculada previamentemediante el método de flexibilidad, se aplica el proceso de Condensación Estática.

3

16 5485 27

EIL

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

KMatriz dinámica

La Condensación Estática permite eliminar del análisis dinámico todos los GDL estáticos (con masas asignadas nulas y sin carga dinámica). Una vez resueltas las ecuaciones dinámicas es posibleobtener en cualquier instante los GDL estáticos compatibles con la solución dinámica.

Barra de longitud L:

3 2 3 2 3 211 12 T

11 22 12 2121 22

2 2 2

12 6 12 6 12 6

; ; ;6 4 6 4 6 2

EI EI EI EI EI EIL L L L L LEI EI EI EI EI EIL L L L L L

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k kk k k k k

k k

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9.2. Condensación estáticaTema 9. N GDL: Formulación 9.2 Condensación estática

No se considera el amortiguamiento (influye solo en los GDL dinámicos).Reordenando las ecuaciones obtenidas a partir del análisis matricial o por EF, se puede escribirmediante particiones de las matrices:

( ) 0( ) ( )

0 00t tt tt tott

ot ooo o

tt I

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + ⇔ = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u up k kmP mu ku

k ku u

El subíndice t indica GDL con masa asociada no nulaEl subíndice o indica GDL con masa asociada nula

1 1

22

( ) 0( ) ;

0( )t tt

p t mt

mp t⎧ ⎫ ⎡ ⎤

= =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦

p m

Desarrollando la ecuación (I):

( )t tt t tt t to o

ot t oo o

t = + +⎧⎨ + =⎩

p m u k u k uk u k u 0 -1

o oo ot t= −u k k u

ˆ( )ˆ

t tt t tt t

-1tt tt to oo ot

t

con

= +

= −

p m u k u

k k k k k

Aplicándolo al ejemplo anterior:

2 2

3

2 2

24 0 12 30 2 3 0.5812 3 12 3

3 0.5 3

LL LEI

LLL L L L

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

k

1

1

2

2

u

uθ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

2 23

2 2

24 12 0 312 12 3 380 3 2 0.5

3 3 0.5

LLEI

L LLL L L L

−⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

k

1

2

1

2

uuθθ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

1 1

2 2

; ;o t

uu

θθ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u u

2 2

3 3 3 32 2

24 12 0 3 16 52 0.58 8 8 48ˆ; ;12 12 3 3 5 270.5

Ttt to ot 00 tt

L L LEI EI EI EILL L L LL L

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

k k k k k

Luego:

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9.3.1 Excitación sísmica uniformeTema 9. N GDL: Formulación 9.3 Excitación sísmica

Sistema de N GDL planosCaso básico: todos los GDL en la dirección de la excitaciónTodos los apoyos sufren la misma excitación temporal ug(t)

��

��

��

��

( )t+ + =mu cu ku P

( ) ( ) ( ) 1,...,

1: ( ) ( ) ( ) =

1

: u ( ) ( )

:

tj j g

tg

g eff

En cada instante : u t u t u t j N

Considerando todas las masas t t u t con

Equilibrio dinámico sísmico t t

Equilibrio dinámico general

= + =

⎧ ⎫⎪ ⎪= + ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

+ + = ⇒ + + = − =t

u u 1 1

mu cu ku 0 mu cu ku m1 P

��

��

��

�

�

�

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9.3.1 Excitación múltiple de la baseTema 9. N GDL: Formulación 9.3 Excitación sísmica

Si la excitación de la base puede variar en cada apoyo se introducen desplazamientos impuestoscuasiestáticos que se añaden a la vibración sísmica (efecto más desfavorable).Ejemplos: refinerías, puentes colgantes, presas de grandes dimensiones…

Akashi-Kaykyo: movimientos diferenciales tras el sísmo

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La formulación en este caso debe extenderse, incluyendo los apoyos de la estructuraSe supone por simplificar que no existen cargas externas añadidas al sismo, y que este actúaúnicamente en el apoyo central de la estructura de la figura.

(t)g g g

t g

Conocemos : , ,

Buscamos : , movimientos y reacciones en apoyos

u u u

u P

Tg

( )( )

t t tg g gT Tg gg g gg gg gg g g

It

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u u um m c c k k 0m m c c k k pu u u

Ecuaciones generales

Separamos los movimientos en dos partes

et

g g

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

u u uu u 0

ue = f(t) desplazamientos cuasiestáticos. Se deben a la aplicación instantánea de los movimientos ug prescritos.

Se cumple que:

T e T eg g g g

( )( ) ( )

e g geg

gg g e gg g

IIt t

+ =⎧⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪= ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥ + =⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩

k u k u 00uk kk k u p k u k u p

reacciones cuasiestáticas en enlaces. Varían con t pero sonestáticas: al aplicarlas consigo estáticamente ug (t) y ue(t)Si la estructura es isostática las reacciones cuasiestáticas son nulas

eg ( )tp

1tu1eu 2eu gu 2tu

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0t g g t g g t g g

t eComo

+ + + + + =

= +

mu m u cu c u ku k u

u u u

De la ecuación (I) se obtiene

De las ecuaciones anteriores se deduce:

eff= ( ) ( ) ( ( )e g g e g g e g gt+ + = − + − + − +mu cu ku P mu m u cu c u ) ku k u0 por (IIa)

Desarrollando (IIa)-1 -10 =e g g e g g g g

e g

con matriz de influencia

De igual forma

+ = ⇒ = − = −

=

ku k u u k k u Iu I k k

u IuLa matriz de influencia I describe la influencia de los movimientos de los soportes en el movimientode los GDL de la estructura

eff ( ) ( ) ( ) ( ( )g g g gt t t= − + − +P mI m u cI c )uEl término de amortiguamiento, en la fuerza efectiva, es despreciable frente a las fuerzas de inercia,si además m es diagonal (mg = 0), se obtiene:

eff ( ) ( )gt t= −P mIu1

Siendo ( )g

g

gn

u

tu

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

u

Si tenemos N GDL dinámicos y Ng apoyos, la matriz I tiene dimensiones de N x Ng

Igualmente se puede expresar como:

eff i1

( ) ( ) u ( )gN

g gii

t t t=

= − = −∑P mIu mi

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Tema 9. N GDL: Formulación 9.4 Ejemplos

��

��

��

��

��

Ejercicio 17

Planteamiento general

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Ejercicio 17: Ecuación del movimiento con excitación múltiple de la base

1

2

3

( )g

g g

g

u

t u

u

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

u eff= ( ) ( )gt t+ = −mu ku P mi u

Vector de movimientos ue para excitaciones unitarias de los enlaces:

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Ejercicio 18 a

Ecuación del movimiento:

1 1 13

2 2 2

u u p (t)3m 0 6.86 2.570 m u 2.57 1.71 u p (t)

EIL

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Obtención de la matriz de rígidez condensada por cálculo matricial

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Ejercicio 18 a Obtención de la matriz de rígidez condensada por cálculo matricial

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Tema 9. N GDL: Formulación 9.4 EjemplosEjercicio 18a Obtención de la matriz de rígidez condensada por cálculo matricial

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Tema 9. N GDL: Formulación 9.4 EjemplosEjercicio 18b

��

��

�

��

��

�

��

��

�

�

Matriz de rigidez elástica y condensada

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Tema 9. N GDL: Formulación 9.4 EjemplosEjercicio 18b

��

��

�

��

��

�

��

��

�

�

Reordenando las variables

tema 9. n gdl

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