Tensor de Ricci

El tensor de curvatura de Ricci se denota por los smbolos o , es

un tensor simtrico bivalente obtenido como una traza del tensor de curvatura, que,

como aquel, puede definirse en cualquier variedad dotada de una conexin afn. Fue

introducido en 1903 por el matemtico italiano G. Ricci.

En caso de estar definido en una variedad de Riemann, variedad diferenciable real en la

que cada espacio tangente se dota con un producto interior de manera que vare

suavemente punto a punto, puede interpretarse como un Laplaciano , operador

diferencial elptico de segundo orden, del tensor mtrico. Al igual que la mtrica, el

tensor de Ricci ser una forma bilineal simtrica. En caso en que ambos sean

proporcionales, , diremos que la variedad es una variedad de Einstein.

Ejemplo de variedad de Riemann bidimensional con un sistema de coordenadas

ortogonales definido sobre ella, y varias subvariedades curvas de la misma.

El tensor de Ricci determina totalmente al tensor de curvatura, ( )

, - , si la variedad de Riemann correspondiente tiene dimensin

. En relatividad general, dado que el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, el

tensor de Ricci no determina por completo la curvatura.

Definicin

La curvatura de Ricci puede expresarse en trminos de la curvatura seccional K, esto

es, dado un plano , y una base * + se define ( )

( ) ( ) ( ) , de la

manera siguiente: para un vector unitario ( ) es suma de las curvaturas

seccionales de todos los planos atravesados por el vector y un vector de un marco

ortonormal que contiene a (hay n-1 tales planos). Aqu ( ) es la curvatura de Ricci

como un operador lineal en el plano tangente, y es el producto escalar mtrico.

La curvatura de Ricci contiene la misma informacin que todas las tales sumas sobre

todos los vectores unitarios. En las dimensiones 2 y 3 ste es igual que especificar todas

las curvaturas seccionales o el tensor de curvatura, pero en dimensiones ms altas la

curvatura de Ricci contiene menos informacin. Por ejemplo, las variedades de Einstein

no tienen que tener curvatura constante en las dimensiones 4 y ms.

Usando un sistema de coordenadas natural, el tensor de curvatura de Ricci es igual a:

La curvatura de Ricci se puede utilizar para definir las clases de Chern de un variedad,

que son invariantes topolgicos (por tanto independientes de la eleccin de mtrica). La

curvatura de Ricci tambin se utiliza en el flujo de Ricci, donde una mtrica es

deformada en la direccin de la curvatura de Ricci. En superficies, el flujo produce una

mtrica de curvatura de Gauss constante y se sigue el teorema de uniformizacin para

las superficies.

La curvatura de Ricci desempea un papel importante en Relatividad General, donde

la ecuacin del campo de Einstein se escriben en trminos del tensor de Ricci como:

donde: es el tensor de la curvatura de Einstein, es el tensor de energa-

momento, es la velocidad de la luz y es la constante gravitacional. El tensor de la

curvatura de Einstein se puede escribir como:

donde: es el tensor de Ricci, es la metrica y es el Escalar de Curvatura de

Ricci

El teorema de Myers establece que si la curvatura de Ricci es limitada por abajo en una

variedad completa de Riemann por ( ) , entonces su dimetro es

,

y la variedad tiene que tener un grupo fundamental finito. Si el dimetro es igual a

, entonces la variedad es isomtrica a una esfera de curvatura constante .

La desigualdad de Bishop-Gromov establece que si la curvatura de Ricci de un

variedad m-dimensional completa de Riemann es entonces el volumen de una bola

es ms pequeo o igual al volumen de una bola del mismo radio en el m-espacio

euclideano. Ms an, si ( ) denota el volumen de la bola con centro y radio en

la variedad y e ( ) l denota el volumen de la bola de radio en el m-

espacio euclidiano entonces la funcin ( )

( ) es no creciente. La ltima desigualdad se

puede generalizar a una cota de curvatura arbitraria y es el punto dominante en la

prueba del teorema de compacidad de Gromov.

El teorema de particin de Cheeger-Gromoll indica, si una variedad completa de

Riemann con el tiene una lnea recta, es decir, una geodsica minimizante

infinita de ambos lados, entonces es isomtrica a un espacio , donde es una

variedad de Riemann.

Todos los resultados arriba mencionados demuestran que la curvatura de Ricci positiva

tiene cierto significado geomtrico, en contrario, la curvatura negativa no es tan

restrictiva, en particular como fue demostrado por Joachim Lohkamp, cualquier

variedad admite una mtrica de curvatura negativa.

Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) fue un matemtico italiano. Es

famoso como el inventor del clculo tensorial pero public trabajos

importantes en muchos campos.

Su publicacin ms famosa, el clculo diferencial absoluto, fue publicada

bajo el nombre de Ricci y como co-autor su ex estudiante Tullio Levi-

Civita. Esto parece ser la nica vez que Ricci-Curbastro utiliz la forma

acortada de su nombre en una publicacin, y contina causando

confusin.