TEOREMA DEL FACTOR

Existe una relación entre los factores de una expresión cuadrática y las raíces de la ecuación obtenidas al igualar la expresión a cero. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación cuadrática.

0822=−+ xx

Para resolverla factorizamos la expresión, obteniendo los siguientes factores: 0)4)(2( =+− xx . Entonces, si el producto de dos números es cero, es porque alguno de los dos números es cero. Así, tenemos que, ó 0)2( =−x , de donde, 2=x . Ó bien, 0)4( =+x , de donde, 4−=x . Es claro que el factor )2( −x indica una raíz de 2+ , mientras que el factor

)4( +x indica una raíz de 4− . En general, podemos decir que: Un factor de )( ax − corresponde a una

raíz de ax = En la práctica, siempre deducimos las raíces de una ecuación cuadrática simple a través de los factores de dicha ecuación, como en el ejemplo anterior. Sin embargo, este proceso puede ser revertido, si por prueba y error podemos determinar que 2=x es una raíz de la ecuación 0822

=−+ xx , entonces también deducimos que )2( −x es un

factor de la expresión 822−+ xx .

Normalmente no solucionamos ecuaciones cuadráticas de esta manera, pero suponga que tenemos que factorizar una expresión cúbica, en la cual la mayor potencia de la variable es 3. Una ecuación cúbica podría tener tres factores lineales simples y descubrirlos por prueba y error sería una tarea considerable. Para lidiar con este tipo de inconvenientes, usamos el teorema del factor, el cual es versión generalizada de lo establecido anteriormente para una expresión cuadrática. El teorema del factor provee un método para factorizar cualquier polinomio, f(x), en la forma de factores simples.

‘si ax = es una raíz de la ecuación 0)( =xf , entonces )( ax − es un factor

de )(xf ’

Ejemplo 1. Factorizar 673−− xx , use el

resultado para solucionar la ecuación cúbica 0673

=−− xx . Hagamos 67)( 3

−−= xxxf Si 1=x , entonces,

126)1(71)1( 3−=−−=f

Si 2=x , entonces,

126)2(72)2( 3−=−−=f

Si 3=x , entonces,

06)3(73)1( 3=−−=f

Si 0)3( =f , entonces )3( −x es un factor de la expresión.

Podemos elegir ahora dividir 673−− xx

entre )3( −x ó podríamos continuar nuestro proceso de prueba y error sustituyendo valores de x en la expresión, con la esperanza de obtener un 0)( =xf . Hagámoslo de las dos formas, primero probemos la división.

0

62

62

93

73

23 3

)3(670

2

2

223

23

+−

−

+−

−

+++−

−−−+

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Por lo tanto, 23)3(

67 23

++=

−

−−xx

x

xx.

Entonces la expresión 673

−− xx se puede expresar de la siguiente manera.

)23)(3(67 23++−=−− xxxxx

Ahora, la expresión 673

−− xx se puede factorizar como )2)(1( ++ xx . De esta manera, la expresión completamente factorizada quedaría así:

)2)(1)(3(673++−=−− xxxxx

El segundo método consiste en seguir sustituyendo valores de x en f(x). Nuestra expresión para f(3) fue

.6)3(733−− Vemos que si continuamos

con valores positivos de x el primer término de la expresión hará que f(x) no

sea cero. Probemos ahora con valores negativos. Si 1−=x , entonces,

06)1(7)1()1( 3=−−−−=−f

Por lo tanto, )1( +x es un factor de la expresión (como se demostró anteriormente). Si 2−=x , entonces,

06)2(7)2()2( 3=−−−−=−f

Por lo tanto, )2( +x es un factor de la expresión. (como se demostró anteriormente). Entonces, para solucionar la ecuación

0673=−− xx , sustituimos los factores,

0)2)(1)(3( =++− xxx

De donde, 3=x , 1−=x y 2−=x . Note como los valores de x, 3, -1 y -2 son todos factores del término independiente 6. Lo anterior puede darnos una pista de cuales valores de x deberíamos considerar. Ejemplo 2. Resolver la siguiente ecuación cúbica usando el teorema del factor.

0652 23=+−− xxx

Hagamos 652)( 3

+−−= xxxxf y comencemos a sustituir valores de x como 1, 2, 3, -1, -2, entre otros.

06)1(5)1(21)1( 3=+−−=f , entonces

)1( −x es un factor.

06)2(5)2(2)2()2( 3≠+−−=f

,06)3(5)3(2)3()3( 3=+−−=f entonces

)3( −x es un factor.

06)1(5)1(2)1()1( 3≠+−−−−−=−f

,06)2(5)2(2)2()2( 3=+−−−−−=−f

entonces )2( +x es un factor. Por lo tanto si 0652 23

=+−− xxx , entonces

0)2)(3)(1( =+−− xxx

De donde, 1=x , 3=x y 2−=x . Alternativamente, habiendo obtenido al menos un solo factor, por ejemplo

)1( −x , podemos dividir la expresión

652 23+−− xxx entre dicho factor.

0

66

66

5

6

1652

2

2

223

23

−

+−

−

−−

−−+−

−+−−

x

x

xx

xx

xxxx

xxxx

Entonces 61

652 223

−−=

−

+−−xx

x

xxx

Por lo tanto,

)2)(3)(1(652

)6)(1(65223

223

+−−=+−−

−−−=+−−

xxxxxx

xxxxxx

Resumiendo, el teorema del factor nos provee un método para factorizar expresiones simples, y alternativamente, en ciertas circunstancias, a través de la división de polinomios. BIBLIOGRAFÍA BIRD, John. ENGINEERING MATHEMATICS. Newnes. Fourth Edition. 2003. Pág: 46 y 47. __________ Notas preparadas por Juan Felipe Muñoz Fernández (http://www.juanfelipe.net).