- Campus Apucarana - Prof. Ricardo de A. Simon.

Cálculo Diferencial e Integral 3.

Teorema de Green

Sejam C uma curva simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horário, e R a região fechada

delimitada por C (C é a fronteira de R). Se f⃗ (x,y) = f1(x,y)+ f2(x,y) é um campo vetorial contínuo com

derivadas parciais de 1 a ordem contínuas em um domínio D que contém R, então∮C

f⃗ · d⃗r =∮

Cf1dx+ f2dy =

∫∫R

(∂ f2

∂x− ∂ f1

∂y

)dA. (1)

Demonstração parcial: Vamos realizar a prova no caso específico onde a região R pode ser escrita

como uma região, tanto do tipo 1, R = {(x,y)|a ≤ x ≤ b,g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}; quanto do tipo 2, R =

{(x,y)|g1(x)≤ x ≤ g2(x),c ≤ y ≤ g2(x)}.

O teorema pode ser provado em duas partes:∮C

f1dx = −∫∫R

∂ f1

∂ydA (2)

∮C

f2dy =∫∫R

∂ f2

∂xdA (3)

Considerando isto, para provar (2) divide-se C em duas curvas: C =C1 +C2, onde

C1 : r⃗1(x) = (x,g1(x)), x ∈ [a,b]

−C2 : r⃗2(x) = (x,g2(x)), x ∈ [a,b].

Então, ∮C

f1dx =∫

C1

f1dx+∫

C2

f1dx∫

C1

f1dx−∫−C2

f1dx

=

∫ b

af1(x,g1(x))dx−

∫ b

af1(x,g2(x))dx, e∫∫

R

∂ f1

∂ydA =

∫ b

a

[∫ g2(x)

g1(x)

∂ f1

∂ydy]

dx

=∫ b

af1(x,g2(x))dx−

∫ b

af1(x,g1(x))dx.

⇒∮

Cf1dx =−

∫∫R

∂ f1

∂ydA.

Como exercício demonstre (3).

Exemplo: Usando o teorema de Green, calcule∮

C[y2dx+2x2dy], onde C é o triângulo de vértices (0,0),

(1,2) e (0,2) no sentido anti-horário.

Àrea de Regiões Planas: Sabe-se que AR =∫∫R

dA, então se C é a fronteira de R, pelo teorema de Green

AR =∮

Cxdy, AR =−

∮C

ydx, AR =12

∮C(xdy− ydx).

Exemplo: Calcular a área delimitada pela elipsex2

4+

y2

9= 1

Regiões com “buracos": O teorema de Green pode ser aplicado em regiões com “buracos", consi-

derando a curva de fronteira externa orientada em sentido anti-horário e a(s) curva(s) de fronteira(s)

interna(s) em sentido horário.

Exemplo: Mostre que∮

C

[−y

x2 + y2 dx+x

x2 + y2 dy]= 2π , para qualquer curva que contenha a origem.

Exercício: Mostre que a gravitação em duas dimensões é conservativa, embora a príncipio não seria.