teoria de colas 1

Aplicación de la simulación con hoja de cálculo a la Teoría de Colas

XIII Jornadas de ASEPUMA 1

APLICACIÓN DE LA SIMULACIÓN CON HOJA DE

CÁLCULO A LA TEORÍA DE COLAS

Bernal García, Juan Jesús

Martínez María Dolores, Soledad María

Sánchez García, Juan Francisco

Dpto. Métodos Cuantitativos e Informáticos

Universidad Politécnica de Cartagena

RESUMEN

En la Teoría de Colas, en ocasiones, es preciso recurrir a la simulación de

fenómenos de espera generando valores de entrada y salida de acuerdo con los distintos

modelos existentes. Para realizar dicha simulación es posible recurrir a determinadas

aplicaciones informáticas especializadas en este tipo de cálculos o hacer uso de

aplicaciones de uso general como las hojas de cálculo. En el presente trabajo probamos

la idoneidad de dicha simulación utilizando las funciones estadísticas propias de la

versión 2003 de la conocida aplicación Microsoft® Excel. Además de comprobar el

funcionamiento de dichas funciones, se han programando mediante el uso de Visual

Basic para Aplicaciones (VBA) aquellas otras que son necesarias para tener recogidas

todas las posibilidades y que no son incorporadas por Excel, probando también que

cumplen todos los requisitos que son exigibles para este tipo de cálculos.

Juan J. Bernal García, Soledad M. Martínez María Dolores, Juan F. Sánchez García

2 XIII Jornadas de ASEPUMA

1. INTRODUCCIÓN

Junto con los resultados proporcionados por la Teoría de Colas, en ocasiones, es

preciso recurrir a la simulación de fenómenos de espera generando valores de entrada y

de salida de acuerdo con diferentes modelos que existen en la Teoría. Para realizar dicha

simulación se pueden usar aplicaciones específicas, o bien utilizar aplicaciones de uso

general como las hojas de cálculo.

2. GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS

2.1. Métodos de generación de números pseudoaleatorios

Se necesita en primer lugar un procedimiento que genere valores aleatorios

uniformemente distribuidos entre 0 y 1. A tal fin, la hoja de cálculo dispone de una

función que recibe el nombre de ALEATORIO(). Realmente, los números generados no

son números aleatorios, sino pseudoaleatorios pues no son debidos realmente al azar,

sino que proceden de cálculos matemáticos que tratan de imitar dicho azar.

Existen otros métodos comúnmente utilizados en la literatura (Álvarez Madrigal,

Coss, Escudero y Rubinstein), que también sirven para generar valores

pseudoaleatorios:

1. Método de los cuadrados medios.

2. Técnica de mitad del producto.

3. Método del multiplicador constante.

4. Método congruencial.

5. Método congruencial aditivo.

6. Método congruencial lineal.

2.2. Validación de los números pseudoaleatorios generados

Una vez que se han generado los valores pseudoaleatorios según la distribución

uniforme se debe comprobar que efectivamente están uniformemente distribuidos, lo

que significa que son uniformes e independientes.

Para probar la uniformidad se aplica la prueba de Kolmogorov-Smirnov, la

prueba de la 2χ y la prueba de los promedios; mientras que para probar la

independencia se utiliza el test de rachas y la prueba de poker.



En las figuras 1 a 4 se muestran, para un nivel de confianza del 95%, las pruebas

de Kolmogorov-Smirnov, 2χ , de rachas y de los promedios que se han realizado sobre

1000 valores simulados utilizando la función ALEATORIO() de Excel. Tras efectuar

diversas tiradas aleatorias comprobamos que las pruebas resultan satisfactorias en todos

los casos.

CLASE FRECUENCIA F.R.ACUM. TEÓRICA DIFERENCIA

0,1 81 0,081 0,1 0,0190,2 106 0,187 0,2 0,0130,3 96 0,283 0,3 0,0170,4 96 0,379 0,4 0,0210,5 110 0,489 0,5 0,0110,6 107 0,596 0,6 0,0040,7 99 0,695 0,7 0,0050,8 84 0,779 0,8 0,0210,9 107 0,886 0,9 0,0141 114 1 1 0,000

TOTAL 1000

TEST KOLMOGOROV-SMIRNOV

Diferencia máxima 0,021Estimador Kolmogorov-SmirnovD0,05;1000 0,043

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD Figura 1

CLASE FRECUENCIA F. TEÓRICA CHI CUADRADO

0,1 81 100 3,6100,2 106 100 0,3600,3 96 100 0,1600,4 96 100 0,1600,5 110 100 1,0000,6 107 100 0,4900,7 99 100 0,0100,8 84 100 2,5600,9 107 100 0,4901 114 100 1,960

TOTAL 1000 10,8

TEST CHI CUADRADO

CHI-CUADRADO 10,800Estimadorχ20,05;9 16,919

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD Figura 2

TEST DE RACHAS

U 667MEDIA 666,333DESV.TÍPICA 13,321Z 0,050Z0,025 1,960

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD

TEST DE LOS PROMEDIOS

MEDIA 0,513Z 1,447Z0,025 1,960

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS DE UNIFORMIDAD

Figura 3 Figura 4



3. GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CON

DISTRIBUCIÓN NO UNIFORME

3.1. Métodos de generación

Existen diversas técnicas para generar variables aleatorias cuya distribución no

es uniforme.

3.1.1. Técnica de la transformada inversa (figura 5).

Figura 5

Esta técnica utiliza números aleatorios uniformes para generar variables

aleatorias con una distribución específica. Los pasos a seguir son:

1. Decidir la función de densidad )(xf que se desea para la variable a generar.

2. Calcular la función acumulada de probabilidad )(xF para la variable aleatoria

deseada.

3. Formular la ecuación iUxF =)( .

4. Resolver la ecuación anterior, es decir, calcular xUF i =− )(1 .

5. Generar los valores de la variable deseada.

La principal limitación de este método es que la función de densidad de la

distribución debe ser fácilmente integrable.



3.1.2. Técnica gráfica de la transformada inversa (figura 6).

Figura 6

Este método se utiliza cuando las variables aleatorias no se comportan de forma

continua o no tienen una distribución conocida. Los pasos a seguir son:

1. Generar un histograma que exprese las probabilidades deseadas en las

variables a generar.

2. Encontrar la probabilidad acumulada a partir del histograma.

3. Localizar algún iU en el intervalo [ ]1,0 en el eje de ordenadas de la gráfica de

probabilidad acumulada.

4. Proyectar hasta el polígono de la curva de probabilidad acumulada y después

reflejar sobre el eje de coordenadas, encontrando el valor de una variable aleatoria con

la distribución deseada. Si la variable aleatoria buscada es discreta, x tomará el valor de

la marca de clase correspondiente, y, si es continua, el valor se calculará mediante

interpolación lineal.

3.1.3. Método polar.

Esta técnica se utiliza cuando la distribución no es integrable en todos los

intervalos, como es el caso de la distribución normal. Su razonamiento es que al

representar pares de coordenadas ( )21,ZZ normales estándar seleccionadas al azar de

una tabla, se obtiene un diagrama de dispersión con correlación aproximada de cero, es

decir, los puntos representados están distribuidos homogéneamente en todos los

cuadrantes.



3.2. Validación de los valores generados

Para validar los valores simulados de una variable se utilizan la prueba de la 2χ

y la prueba de Kolmogorov-Smirnov con datos agrupados.

4. SIMULACIÓN MEDIANTE HOJA DE CÁLCULO

4.1. Funciones estadísticas: Distribuciones probabilísticas

Hasta hace algunos años las funciones de tipo estadístico que incorporaban las

distintas aplicaciones de hoja de cálculo eran muy limitadas, obligando al usuario a

programar aquellas funciones que necesitaba (Bernal García), o bien era preciso adquirir

programas complementarios como @RISK, Analyze-It, Crystal Ball y otros, que

incorporan funciones adicionales a la hoja de cálculo.

Así, en la última versión de la hoja de cálculo Excel aparece una amplia serie de

funciones estadísticas relacionadas con las distribuciones probabilísticas. Con todas

estas funciones se pueden realizar simulaciones basadas en las distribuciones beta, F,

gamma, logarítmico-normal, normal y t de Student, ya que para todas ellas existen

funciones inversas, las cuales a partir de la probabilidad acumulada y de los parámetros

propios de cada distribución devuelven el valor que hace que se obtenga dicha

probabilidad.

El procedimiento para ello consiste en generar números aleatorios de acuerdo

con la distribución uniforme y a partir de dicho valor (que siempre será mayor o igual

que cero y menor que 1) aplicar la correspondiente función inversa para obtener el valor

al que le corresponde la probabilidad obtenida aleatoriamente1.

4.2. Construcción de funciones en Excel mediante VBA

Dado que en determinadas simulaciones las variables a simular no siguen

ninguna de las distribuciones que incorporan las aplicaciones de hoja de cálculo, se

debe proceder a su simulación. Básicamente, existen dos posibilidades:

• Realización manual de los cálculos necesarios en la propia hoja de cálculo.

1 Por ejemplo, la función DISTR.NORM.INV(probabilidad, media, desviación típica) devuelve

el valor inverso de la distribución acumulativa normal para la media y desviación típica especificadas,

siendo la probabilidad un valor pseudoaleatorio uniformemente distribuido entre 0 y1.



• Programación de la función adecuada mediante VBA.

La primera de las técnicas puede suponer el problema de que existan cálculos

intermedios que es necesario realizar para obtener el valor final. En este caso, para cada

tirada aleatoria habría que recalcular la simulación y guardarla mediante macros en una

tabla, en la cual se vería solamente el valor obtenido. Adicionalmente, en el caso de que

se necesitara efectuar otra simulación mediante la misma distribución de probabilidades

se deberían rehacer los cálculos nuevamente. Por otra parte, esta posibilidad tiene como

ventaja que no precisa conocimiento alguno en programación para poder efectuarla.

La segunda técnica, que implica conocer programación en Visual Basic para

Aplicaciones (VBA), plantea la ventaja de que mediante una función que se añade a la

hoja de cálculo como cualquier otra función de las que trae incorporadas la propia

aplicación, puede ser llamada tantas veces como sea necesario y en tantas celdas como

sea preciso simular sin ninguna limitación. Adicionalmente, se puede proteger su

contenido para que no sea visible por el usuario de forma que éste sólo tenga que

conocer la sintaxis de la función para su utilización. De esta forma, también, se evitan

manipulaciones que puedan arrojar resultados incorrectos.

4.3. Simulación de la inversa de la distribución de Poisson

Para poder determinar el número de llegadas que ocurren en una unidad de

tiempo se necesitaría una función, que a partir de la probabilidad simulada mediante la

distribución uniforme y, a partir de la tasa media de llegadas calcule el valor

correspondiente al número de llegadas que se han producido. La complicación principal

consiste en que al tratarse de una función discreta los valores deben ser números

enteros.

Dicha función no existe como tal en las aplicaciones de hoja de cálculo, por lo

que se debe recurrir a técnicas de simulación para su cálculo, y al ser una función no

integrable no se puede utilizar la técnica de la transformada inversa. En la literatura

existen diversas opciones, de las cuales se ha seleccionado la propuesta por Escudero,

que ha sido incorporada siguiendo el organigrama siguiente:



Figura 5

4.4. Simulación de la inversa de la distribución exponencial

En este caso el proceso es mucho más sencillo ya que esta función no es discreta

y además es fácil obtener el valor buscado a partir de la expresión de su función de

distribución, utilizando la técnica de la transformada inversa:

ii Ux ln1

λ−=

4.5. Simulación de la inversa de la distribución de Erlang

Esta función sí se encuentra disponible entre las funciones que incorpora la

mayoría de las aplicaciones de hoja de cálculo. En el caso concreto de Microsoftr Excel,

existe la función DISTR.GAMMA.INV (probabilidad; alfa; beta), donde alfa y beta

son los parámetros de la distribución. En este punto, se ha de recordar que la

distribución de Erlang es un caso particular de la distribución gamma, siendo alfa un

número entero positivo (que en la distribución de Erlang recibe el nombre de parámetro

k).

Pese al hecho de que ya se dispone de dicha función, también se podría construir

a partir de los métodos propuestos por Rubinstein, Jöhnk, Wallace, Fishman, Cheng y

Tadikamalla.



4.6. Simulación de distribuciones no conocidas

En múltiples estudios puede ocurrir que los valores observados no se

corresponden con ninguna función de distribución conocida. Este hecho no debe

impedir el efectuar la simulación requerida para el estudio del sistema en el que se han

producido esas observaciones. Para efectuar este tipo de cálculos ya no se puede utilizar

ninguna función estadística propia de la hoja de cálculo, ni tan siquiera una función

programada mediante VBA puesto que la cantidad de parámetros que se necesitaría es

desconocida, ya que variaría de unos sistemas a otros. Se debe poder generar valores de

acuerdo con la distribución de frecuencias observadas, para lo cual se recurre a la

técnica gráfica de la transformada inversa.

4.7. Contraste de los valores simulados

Una vez que se han analizado los procedimientos para simular valores para las

distribuciones de frecuencias que se necesitan, se deben validar sus resultados.

SIMULACIÓN POISSON INVERSA

Método: Laureano F. Escuderolambda = 3,5

FRECUENCIA0 11201 42602 73173 87024 75485 53216 30707 15868 7059 25310 7511 3512 8

TOTAL 40000

FRECUENCIASIMULADA

FRECUENCIATEÓRICA

F.REL.SIM.ACUMULADA

F.REL.TEÓR.ACUMULADA

DIFERENCIAF.REL.ACUM.

CÁLCULOS

χ2

0 1120 1208 0,02800 0,03020 0,00220 6,410601 4260 4228 0,13450 0,13589 0,00139 0,242192 7317 7398 0,31743 0,32085 0,00342 0,886863 8702 8631 0,53498 0,53663 0,00166 0,584064 7548 7552 0,72368 0,72544 0,00177 0,002125 5321 5287 0,85670 0,85761 0,00091 0,218656 3070 3084 0,93345 0,93471 0,00126 0,063557 1586 1542 0,97310 0,97326 0,00016 1,255518 705 675 0,99073 0,99013 0,00060 1,333339 253 262 0,99705 0,99669 0,00036 0,3091610 75 92 0,99893 0,99898 0,00006 3,1413011 35 29 0,99980 0,99971 0,00009 1,2413812 8 9 1,00000 0,99992 0,00008 0,11111

TOTALES 40000 40000

TEST KOLMOGOROV-SMIRNOV TEST CHI CUADRADO

Diferencia máxima 0,003 CHI-CUADRADO 15,800Estimador Kolmogorov-Smirnov EstimadorD0,05;40000 0,007 χ

20,05;12 21,026

NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS NO SE RECHAZA LA HIPÓTESIS

SIMULACIÓN POISSON

0100020003000400050006000700080009000

10000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

POISSON SIMULADA POISSON TEÓRICA

Figura 6



4.7.1. Inversa de la distribución de Poisson

Para comprobar la validez de los métodos de simulación de la función Poisson,

se han realizado 40.000 tiradas aleatorias para cada uno de los métodos analizados

(figura 6), y a continuación se han aplicado las pruebas de Kolmogorov-Smirnov y de la

χ2. Se puede observar, en dicha figura, que no existe razón para rechazar la hipótesis de

que la frecuencia teórica y la frecuencia simulada pertenecen a la misma distribución.

4.7.2. Inversa de la distribución exponencial

Dado el método de cálculo de la simulación para la distribución exponencial,

mediante la transformada inversa, no existe ninguna posibilidad de error, siempre y

cuando la generación de números aleatorios se corresponda efectivamente con una

distribución uniforme, y es conveniente recordar que la generación de números

pseudoaleatorios utilizando la función propia de la hoja de cálculo cumplía todos los

requisitos exigibles.

Como era previsible, tampoco existen diferencias entre las frecuencias simuladas

y las frecuencias teóricas.

4.7.3. Inversa de la distribución Erlang

No existen diferencias entre las frecuencias simuladas y las frecuencias teóricas,

lo que revela que dicha función es válida para realizar la simulación de valores de

acuerdo con una distribución gamma (y por extensión con una distribución Erlang), por

lo que no se necesita recurrir a la programación de ninguno de los algoritmos

relacionados en el apartado 4.5.

5. CONCLUSIONES

Podemos comprobar que la hoja de cálculo Microsoft® Excel, siendo una

herramienta de tipo ofimático, se revela como una aplicación que permite la simulación

de todo tipo de distribuciones estadísticas. En particular, es posible efectuar la

simulación de las funciones de distribución propias de la Teoría de Colas, cumpliendo

los parámetros obligados de rigor que se debe exigir a este tipo de cálculos. Además, la

utilización de su editor de Visual Basic para Aplicaciones (VBA) permite dotarla de

aquellas distribuciones de las que carece, utilizando para ello una programación

orientada a objetos.



6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• Álvarez Madrigal, M. (1997). Curso virtual de Investigación de Operaciones.

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. Campus Estado de

México. http://webdia.cem.itesm.mx/ac/alvarez/acceso.html

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documentos administrativos. Tesis doctoral. Universidad de Murcia.

• Cheng R. C. H. (1978). “Generating beta variates with non-integral shape

parameters”, Communications of the Association for Computing Machinery, 21,

317-322.

• Coss Bu, R. (1982). Simulación. Un enfoque práctico. Limusa, México D.F.

• Escudero, L. F. (1973). La simulación en la empresa. Ediciones Deusto, Bilbao.

• Fishman, G. S. (1976). “Sampling from the gamma distribution on a computer”,

Communications of the Association for Computing Machinery, 19, 407-409.

• Fishman, G. S. (1978). Principles of Discrete Event Simulation. John Wiley & Sons,

New York.

• Jöhnk, M. D. (1964). “Erzeugung von Betraverteilten y Gammaverteilten

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• Rubinstein, R. Y. (1981). Simulation and the Monte Carlo Method. John Wiley &

Sons, New York.

• Tadikamalla, P. R. (1978). “Computer generation of gamma random variables”,


• Tadikamalla, P. R. (1978). “Computer generation of gamma random variables II”,


• Wallace, N.D. (1974). “Computer generation of gamma random variables with non-

integral shape parameters”, Communications of the Association for Computing

Machinery, 17, 691-695.

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