Universidad

Interamericana para el Desarrollo

Alumno: Moisés Abdias Acosta Rosado

Asignatura:

Profesor:

Grado: 1er Cuatrimestre

Carrera: Sistemas

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Teoría de conjunto

Conceptos básicos……………………………………………………………Conjuntos, elementos y relaciones de partencia…………………….. Descripción: comprensión y extensión………………………………….Subconjunto y relación de contención…………………………………. Conjunto vacío universal…………………………………………………..Operaciones entre conjunto……………………………………………….Unión, intercepción, diferencia, diferencia simétrica y complemento …………………………………………………………………Producto cartesiano…………………………………………………………Propiedades algebraicas……………………………………………………Relaciones y funciones……………………………………………………..Definición: dominio , codominio e imagen …………………………….Conjuntos numéricos importantes………………………………………Números naturales. Enteros, racionlaes, reales y complejos……...Funciones de conjunto y aplicaciones ………………………………….

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Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. En el contexto de la Matemática, el término conjunto no tiene una definición sino que es un concepto primitivo.

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

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Un conjunto esta integrado por objetos y los objetos que integran el conjunto se llaman Elementos de ese conjunto.

Ejemplos de conjuntos:

El conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números naturales mayores que 5 y menores que 9.

El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por el.

Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío.En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras minúsculas para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A y se lee pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a 6∈ A y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Los símbolos N, Z, Q y R servirán para denotar a los siguientes conjuntos:

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Ø   Conjunto Vacío

U   Conjunto Universal

  Conjunto Números Enteros Positivos

  1,2,3,...

  Conjunto Números Naturales

  0,1,2,3,...

  Conjunto Números Enteros

  ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...

  Conjunto Números Racionales  (Razones de enteros, i.e. quebrados)

  p/q donde p   y q

  Conjunto Números Irracionales

  2, ¶, e, 0, -1, ¾, ...

N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q: el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales.

`

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Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambigüedades, cuales son los elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras de definir un conjunto.

La forma más simple, pero que no siempre es posible, es por extensión, es decir listando todos los elementos del conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves.

Ejemplo:A = {1, 2, 3, 5, _}, U = {a, e, i, o, u}El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los elementos se consideran una sola vez.EJEMPLO: (1,2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto.

En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y se usan los puntos suspensivos “. . . ”para sugerir los elementos faltantes:EJEMPLO: B = {3, 5, 7,. . .}, C = {2, 4, . . . , 25}.

Otra forma de describir un conjunto es por comprensión, es decir enunciando una propiedad de los elementos que lo integran:

Ejemplo:A = {x | x cumple la propiedad P}.Esto se lee: “el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P.

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Al conjunto vacıo se lo denota con el sımbolo ø o {}

Ejemplo: El conjunto A = {x | x > 0 y x < 0} no tiene elementos, ya que ningúnNumero es positivo y además negativo. Por lo tanto A es un conjunto vac´ıo, y lo denotamosA = ∅ o A = { }.

Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que:

A es un subconjunto de B;

B es un superconjunto de A;

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo. Cualquier subconjunto de A que no sea igual a A se denomina propio (cuando puede ser igual a A se denomina impropio). Si A es un subconjunto propio de B, escribimos:

De manera análoga si B es un superconjunto propio de A, escribimos:

El conjunto vacío, denotado como:

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Es un subconjunto de cualquier conjunto. Además el conjunto vacío es siempre un subconjunto propio, excepto de sí mismo.

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El universo de discurso, conjunto universal o referencial, que normalmente se denota por las letras U, V o E, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Anteriormente se consideraba al conjunto universal como el conjunto de todas las cosas, sin embargo está demostrado que este conjunto no existe. Particularmente porque suponer la existencia de dicho conjunto conduce a la paradoja de Russell.

Actualmente se debe dejar en claro sobre cuál conjunto se está tratando. Por ejemplo, si estamos tratando conjuntos cuyos elementos son letras, el conjunto universal sería el conjunto formado por todas las letras del alfabeto.

El complemento del conjunto universo es el conjunto vacío, es decir, aquel que está desprovisto de elementos.

El conjunto Universal. No necesariamente los elementos de un conjunto son dela misma naturaleza, En general nos referiremos a conjuntos cuyos elementos tienen una propiedad en común. Ejemplo

A = {x | x es un natural par}, B = {x | x es un natural mayor que 4}y C = {x | x es un natural menor que 23},Son conjuntos cuyos elementos son números naturales.

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Así como pueden definirse diversas operaciones entre números, también existen operaciones entre conjuntos. El resultado de una operación entre conjuntos es a su vez un conjunto.Fijemos un conjunto universal U y consideremos todos los subconjuntos de U. Entre estos conjuntos están definidas las operaciones de unión, intersección y diferencia. Además, para cada conjunto se define el complemento. El resultado de cada una de estas operaciones es un subconjunto de U.

Sean A y B dos conjuntos.La intersección A ∩ B entre A y B es el conjunto cuyos elementosPertenecen a A y pertenecen a B.Por comprensión, la intersección de los conjuntos A y B se define comoA ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.

Fijemos U un conjunto universal y A un subconjunto de U.El complemento de A con respecto a U es el conjuntocuyos elementos son todos los elementos de U que no pertenecena A y se denota por Ac.

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Sean A y B dos conjuntos.La diferencia o complemento relativo A − B entre A y Bes el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A-B y los elementos de B-A. Se denota .

El producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y:

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

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Las propiedades algebraicas son las que se usan en operaciones básicas, suma resta multiplicación y división, y son

la comunicativa la asociativala distributivael elemento neutro entre otras

Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.

Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.

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En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:

Codominio, rango o imagen de una función son lo mismo. Por definición, una relación entre conjunto A y B, es cualquier conjunto de parejas ordenadas A x B. El Dominio de la relación será el conjunto de las primeras componentes de las parejas, y rango, o imagen, o codominio de la relación será el conjunto de las segundas componentes. Mantuve una forma práctica para identificar el dominio o rango de una función. En la gráfica de coordenadas: para el dominio imaginariamente dirijo una lámpara por encima de la gráfica, perpendicular al eje X, y la sombra que produce la gráfica sobre dicho eje es el intervalo del dominio. Para determinar el rango procedo de una manera similar, dirigiendo la lámpara perpendicular al eje Y.Saludos.

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Entre los principales conjuntos numéricos tenemos los siguientes:

(conjunto de números naturales), (conjunto de números naturales sin el ), (conjunto de números enteros),

(conjunto de números enteros sin el ), (conjunto de números

racionales), (conjunto de números racionales sin el ), (conjunto de números reales), (conjunto de números reales estrictamente positivos), (conjunto de números reales sin el ), (conjunto de números complejos), (conjunto de números complejos sin el ).

También podemos considerar conjuntos no numéricos,por ejemplo, conjuntos de funciones:

(funciones reales de variable real), (funciones

complejas de variable real), (funciones reales de variable

compleja), (funciones complejas de variable compleja).

Dado un conjunto no vacio ( ) existen siempre dos

subconjuntos de : el vacio y el propio . Al primero se le llama ``trivial" y al segundo ``impropio". Todos los demas (si es que existe alguno) se denominan ``propios no triviales".

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Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... (o el mismo conjunto excluyendo el 0 según qué autores se consulten), que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

En sentido amplio, se llama número racional o fracción común, a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero –el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

los números reales pueden ser descritos informalmente de varias formas, las cuales aunque accesibles al lego, no tienen el rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas. En primera instancia, se puede describir a los números reales como todos aquellos que poseen una expansión decimal.

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Los números reales incluyen tanto a los números racionales como 31, 25.4, 37/22, así como a los números irracionales tales

como

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como

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variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

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Las funciones de conjunto, al igual que las funciones de tupla y

de conjunto, son esenciales para negociar las estructuras

multidimensionales de Analysis Services. Las funciones de

conjuntos son vitales para obtener resultados de las consultas

MDX (Expresiones multidimensionales) porque las expresiones

de conjuntos definen los ejes de una consulta MDX.

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