Teoría de errores

Alejandro AguilarC.I. 25.148.582SAIA-A

La teoría de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografía, geodesia, física, química y sobre todo estadística.

Existen varios procedimientos para cumplir los objetivos de la teoría de errores, algunos incluyen procedimientos propios del análisis matemático, como integrales, derivadas, logaritmos Neperianos, etc

Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un valor aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las mediciones por lo que es imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error que se ha cometido al hacerlo.

Es objetivo de la teoría de errores hallar el valor mas cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que hemos cometido durante el trabajo de campo. También el de identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta (medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).

Tipos de errores:

Los errores pueden ser producidos, por la imprecisión de los aparatos de medida, que reciben el nombre de errores sistemáticos, o causa de agentes externos o del propio operador, que reciben el nombre de errores accidentales. Mientras que los primeros se repiten en el mismo sentido, siempre que se utiliza el mismo aparato de medida, los segundos varían de una experiencia a otra, tanto en valor como en signo.

Clases de errores:

E1 error en general podemos definirlo como la diferencia que tenemos entre el valor obtenido y el verdadero. A este error se le denomina "error absoluto" y si llamamos “x” y a la medición y “X” al valor verdadero, el error absoluto será: Otro tipo de error es el "error relativo", definido por el cociente entre el error absoluto y el valor real, dado por la fórmula:

Error relativoEste error resulta del cociente entre el error efectivo y el valor medio. Al igual que el error absoluto, éste puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto, no tiene unidades.

Error relativo porcentualEste error es definido para otorgar un mejor significado al error relativo. Por tal motivo es el error relativo expresado en porcentaje.

Ejemplo: Determinar:b) Las dimensiones de un paralelepípedo (usando un instrumento: vernier y regla patrón).

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución: a) El error de medición del puente es:

Error Absoluto = 10 000 - 9 999 = 1cm

y para el remache es de

Error Absoluto = 10 - 9 = 1cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

Error Relativo Porcentual = 1/ 10 000 x 100% = 0.01%

y para el remache es de 

Error Relativo Porcentual = 1/10 x 100% = 10%

por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Errores de Redondeo:Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

Reglas de Redondeo:                     

Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano.

En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar.

En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas.

Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.

Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones.(Multiplicación o División)  +/-  (multiplicación o división)

o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas.

Ejemplos:

Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo.

5.6723 --------------------------  5.67´   3 Cifras Significativas10.406 ---------------------------- 7.4     4 Cifras Significativas10.406 ---------------------------- 7.4     2 Cifras Significativas88.21650 ------------------- 88.216     5 Cifras Significativas1.25001 -------------------------- 1.3     2 Cifras Significativas

Errores de Truncamiento

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características  de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor

Por ejemplo:

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a ”a” y a ”x,” entonces el valor de la función en un punto x está dado por: 

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.