teoría de interpolación
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Análisis Numérico Universidad Fermín Toro SAIA BTRANSCRIPT
Teoría de Interpolación
Diseñador: Hernán SalazarSAIA B
Instructor:Domingo Méndez
Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores.
Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real.
También puede suceder que sepamos la
expresión analítica de la
función, pero sea lo suficientemente
complicada como para calcular
aproximaciones a los valores de la función a
partir de otros ya conocidos.
Tabla De Diferencias
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Polinomio Interpolante de
Newton-GregoryCuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
Fórmula de Avance
++…
Fórmula de Retroceso++…
Polinomio Interpolante de
Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zigzag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zigzag.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora
tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de
interpolación. Se ha observado que en
aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de
detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que
los gráficos con este tipo de funciones no luzcan
uniformes.
Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos 4. s(x) es continua en el intervaloSi escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal