teorÍa de juegos ii [modo de compatibilidad]

Eloy Ávalos / UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

� Los juegosjuegos estáticosestáticos concon informacióninformación completacompleta serepresentan en forma estratégica, ya que los jugadoresrealizan sus jugadas de forma simultanea, de una sola vezy a continuación reciben las ganancias que dependen de lacombinación de decisiones tomadas.combinación de decisiones tomadas.

� En este tipo de juegos supondremos que es de dominiopúblico el conocimiento de las estructura del juego.� Una información I es de dominio público de un conjunto

de jugadores J si ocurre lo siguiente:▪ Todos los jugadores de J conocen I.▪ Todos los jugadores de J saben que todos ellos saben I.▪ Todos los jugadores de J saben que todos ellos saben que todos

ellos saben I.EEAA 2Universidad Nacional Mayor de San Marcos

� Llamaremos soluciónsolución de un juego a un conjunto de perfilesde estrategias tal que es razonable pensar que losjugadores tomarán decisiones pertenecientes a dichoconjunto.

� Llamaremos conceptoconcepto dede soluciónsolución de un juego a un� Llamaremos conceptoconcepto dede soluciónsolución de un juego a unprocedimiento que permita obtener, de manera precisa ybien argumentada, una solución.

EEAA 3Universidad Nacional Mayor de San Marcos

� Estrategias dominadas y estrategias estrictamentedominadas.� Definición:▪ En el juego , sean y dos estrategias

del jugador i.{ }= … …1 1, , ; , ,n nG S S u u ′

is ′′isdel jugador i.▪ Decimos que está dominadadominada, o también débilmente

dominada, por cuando la desigualdad:

se cumple para toda combinación de estrategias de losotros jugadores, y para alguna de esas combinaciones secumple de modo estricto.


( ) ( )− + − +′ ′′≤… … … …1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s

′is

′′is

−is

▪ Decimos que está estrictamenteestrictamente dominadadominada por cuandola desigualdad:

se cumple para toda combinación de estrategias de losotros jugadores.

( ) ( )− + − +′ ′′<… … … …1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s

′is ′′is

−isotros jugadores.▪ Decimos que es nono dominadadominada si no existe ninguna otra

estrategia del jugador i que la domine, y decimos que esnono dominadadominada estrictamenteestrictamente si no existe ninguna otraestrategia del jugador i que la domine estrictamente.


′is

′is

� Estrategias dominantes.� Definición:▪ En el juego , sea una estrategia del

jugador i.▪ Decimos que es dominantedominante cuando la desigualdad:

{ }= … …1 1, , ; , ,n nG S S u u ′is

′s▪ Decimos que es dominantedominante cuando la desigualdad:

se cumple para toda estrategia de dicho jugador y paratoda combinación de estrategias de los otros jugadores.▪ Si todas las desigualdades se cumplen de manera estricta,

decimo que es estrictamenteestrictamente dominantedominante.


( ) ( )1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s− + − +′≤… … … …

′is

−is

−is

is

� Uso de estrategias dominantes (UED).� Pertenecen a la solución del juego todos aquellos perfiles

de estrategias en los cuales cada jugador usa una estrategiadominante.▪ Este concepto de solución no siempre es aplicable.▪ Este concepto de solución no siempre es aplicable.


Preso 2

Callar Confesar

Preso 1Callar 4 , 4 0 , 5

Dilema del Prisionero

Preso 1Confesar 5 , 0 1 , 1


Preso 2

Callar Confesar





( ) ( )( ) ( )

= < =

= < =1 1

1 1

, 4 5 ,

, 0 1 ,

u callar callar u confesar callar

u callar confesar u confesar confesar

Para el jugador 1:

Preso 2

Callar Confesar





( ) ( )( ) ( )

= < =

= < =1 1

1 1

, 4 5 ,

, 0 1 ,

u callar callar u confesar callar

u callar confesar u confesar confesar

Para el jugador 1:

Igual para el jugador 2. Entonces cada jugador tiene una estrategia estrictamente dominante, que es confesar.

Preso 2

Callar Confesar


Solución del Dilema del Prisionero



� Eliminación Iterativa Estricta (EIE).� Se supone que los jugadores no sólo son racionales, sino

que es de dominio público el hecho de que todos losjugadores son racionales.

� Sea un juego finito o infinito , llamamos eliminacióneliminaciónG� Sea un juego finito o infinito , llamamos eliminacióneliminacióniterativaiterativa estrictaestricta, o bien eliminacióneliminación iterativaiterativa dede estrategiasestrategiasestrictamenteestrictamente dominadasdominadas, al proceso de eliminación:▪ De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las

estrategias que están estrictamente dominadas en el juego G.▪ De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las

estrategias que están estrictamente dominadas en el juegoresultante del primer paso.

▪ Así sucesivamente hasta que no haya estrategias que eliminar.


G

Jugador 2

Izquierda DerechaIzquierda Derecha

Jugador 1

Alta 4 , 2 0 , 1

Media 1 , 2 2 , 4

Baja 3 , 3 4 , 2


Jugador 2


Jugador 1

Alta 4 , 2 0 , 1

Media 1 , 2 2 , 4

Baja 3 , 3 4 , 2


Jugador 2


Jugador 1

Alta 4 , 2 0 , 1

Media 1 , 2 2 , 4

Baja 3 , 3 4 , 2


En conclusión:EIE ⇒ ( ){ }= ,EIE alta izquierdaS

� Eliminación iterativa débil (EID).� Dado un juego finito o infinito , llamamos eliminacióneliminación

iterativaiterativa débildébil, o bien eliminacióneliminación iterativaiterativa dede estrategiasestrategiasdébilmentedébilmente dominadasdominadas, al proceso de eliminaciónsiguiente:

G

siguiente:▪ De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las

estrategias que están débilmente dominadas en el juego G.▪ De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las

estrategias que están débilmente dominadas en el juegoresultante del primer paso.

▪ Así sucesivamente hasta que no haya estrategias que eliminar.


Jugador 2

Izquierda Centro DerechaIzquierda Centro Derecha

Jugador 1

Alta 3 , 1 4 , 2 1 , 2

Media 2 , 4 3 , 5 4 , 0

Baja 1 , 0 2 , 1 0 , 3


Jugador 2


Jugador 1

Alta 3 , 1 4 , 2 1 , 2

Media 2 , 4 3 , 5 4 , 0

Baja 1 , 0 2 , 1 0 , 3


Jugador 2


Jugador 1

Alta 3 , 1 4 , 2 1 , 2

Media 2 , 4 3 , 5 4 , 0

Baja 1 , 0 2 , 1 0 , 3


En conclusión:EID ⇒ ( ){ }= ,EID alta centroS

� Juegos resolubles por dominación.� En el juego finito o infinito G, decimo que G es resolubleresoluble

porpor dominacióndominación si en el proceso de eliminación iterativadébil, usando el algoritmo estándar, quedan comosupervivientes únicamente estrategias de⊂ ⊂…, ,S SS S S Ssupervivientes únicamente estrategias demodo que se cumple lo siguiente para todo jugador i ypara toda combinación de estrategias supervivientes delos demás:

En el caso en que G es resoluble por dominación, a cadaperfil de estrategias supervivientes se le llamaequilibrioequilibrio sofisticadosofisticado.


⊂ ⊂…1 1 , ,S Sn nS S S S

−is

( ) ( )− −′ ′∈ ⇒ =, , ,Si i i i i i i i is s S u s s u s s

∈ × ×…1S S S

ss S S

Jugador 2


Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


Jugador 2

Izquierda Centro Derecha

Por EID se tiene:


Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


Jugador 2


Por EID se tiene:


Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


Jugador 2


Por EID se tiene:


Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


En conclusión:EID ⇒ ( ){ }= ,EID alta izquierdoS

Jugador 2


Pero también por EID se tiene:


Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


Jugador 2




Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


Jugador 2




Jugador 1

Alta 2 , 0 2 , 0 2 , 0

Media 2 , 7 1 , 8 1 , 0

Baja 2 , 7 0 , 1 9 , 0


En conclusión:EID ⇒ ( ){ }= ,EID alta centroS

� Teorema.� En el juego finito , dado el perfil,▪ Si s* está constituido por estrategias s*i que dominan

estrictamente a todas las demás del jugador i, es el único perfilque sobrevive al proceso de eliminación iterativa débil y al deque sobrevive al proceso de eliminación iterativa débil y al deeliminación iterativa estricta, cualquiera sea el orden deeliminación.

▪ Si s* está constituido por estrategias s*i que dominandébilmente a todas las demás del jugador i, sobrevive a ambosprocesos para cualquier orden de eliminación, pero no esnecesariamente el único perfil sobreviviente.


teorÍa de juegos ii [modo de compatibilidad]

Documents