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Teoría de la Medida

Curso de Introducción

José C. Sabina de Lis

Universidad de La Laguna

29 de octubre de 2013

Índice general

PRÓLOGO v

INTRODUCCIÓN v

1. Medidas 11.1. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Anillos, Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Medidas completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Medidas Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1. Construcción de medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . 171.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Medidas de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . 211.5.1. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2. Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.3. Existencia de conjuntos no medible-Lebesgue . . . . . . . 251.5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Medidas exteriores métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7. El conjunto ternario de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8. Medidas de Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9. Medidas con signo: cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.10. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. La integral de Lebesgue 432.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iii

iv ÍNDICE GENERAL

2.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5. Solución a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. Convergencia 653.1. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1. Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . 703.2. Teorema de la convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . . . 733.3. Integrales que dependen de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 773.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. La integral de Riemann 854.1. La integral de Riemann en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2. El teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3. Integral de Riemann n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5. Espacios Lp 1015.1. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.1. Desigualdades de Hölder y de Minkowski . . . . . . . . . 1045.2. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3. Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6. Medidas producto 1156.1. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2. El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3. El principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4. El teorema de Fubini en Rm+n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.5. El producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.6. Teorema de CauchyPeano, 2a nota . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.7. Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7. Diferenciación 1397.1. Teorema de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.2.1. Función de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2.2. Teorema de RadónNikodym . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.2.3. Demostración del Teorema 7.11 . . . . . . . . . . . . . . . 154

8. Cambio de variable 1578.1. Transformación de conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2. Fórmula del cambio de variables para aplicaciones lineales . . . . 1588.3. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.4. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

ÍNDICE GENERAL v

BIBLIOGRAFÍA 165

ÍNDICE ALFABÉTICO 167

vi ÍNDICE GENERAL

Prólogo

Se recogen en las presentas notas las lecciones que sobre teoría de la medidae integración he impartido en la Universidad de La Laguna durante algunoscursos.

Conforman un material básico sobre el tema y compilan los ejercicios propues-tos a los alumnos. Debe resaltarse que la materia es opcional y se imparte du-rante un cuatrimestre.

La Laguna, 29 de octubre de 2013.

vii

viii ÍNDICE GENERAL

Introducción

El propio Arquímedes demuestra en el mismo libro (`El Método')que si en un cubo se introducen dos cilindros cuyas bases son tan-gentes a las caras del cubo, el segmento común de los cilindros seráigual a dos tercios de cubo. Esto resulta de utilidad para las bóvedasque se construyen de esta manera. . .

Herón,La metrica.

Citado en El Código de Arquímedes por R. Netz y W. Noel,temas de hoy, Madrid, 2007.

Áreas y volúmenes

La noción de medida es una generalización de las ideas de longitud, área ovolumen. Como veremos, toda medida lleva además aparejada una correspon-diente noción de integral. En este sentido la teoría de la medida se ocupa deasignar volumen a diversas clases de conjuntos abstractos y estudia las integra-les, bajo condiciones muy generales, de clases amplias de funciones.

Consideremos, para jar ideas, el caso del plano y repasemos a cuántos con-juntos sabemos asignarle un área. Primeramente la clase R de los rectángulosdel plano

R = a, b × c, d : a, b, c, d ∈ R, a ≤ b, c ≤ d,

donde las llaves signican que se consideran intervalos abiertos, cerrados o se-micerrados. A cada R ∈ R se le asigna como medida µ(R) su área:

µ(R) = (b− a)(d− c).

Esta noción de área se extiende a la clase más amplia de las guras elementales

S = S = ∪ni=1Ri : Ri ∈ R

donde los rectángulos involucrados Ri son tales que sus interiores son disjuntosdos a dos. A cada S ∈ S se le asigna la medida natural

µ(S) =n∑

i=1

µ(Ri).

ix

x ÍNDICE GENERAL

La de las guras elementales es a todas luces una clase demasiado restringida deconjuntos con área. Por eso se introduce la familia J de los conjuntos medibleJordan. Dado E ∈ R2 acotado se denen

µ(E) = supµ(S) : S ∈ S, S ⊂E,

µ(E) = ınfµ(S) : S ∈ S, S ⊃ E,

los contenidos interior y exterior de Jordan, respectivamente. Se dice que E ∈ Jsi los dos contenidos coinciden. La noción de área así obtenida abarca a una claserazonable de conjuntos y tiene conexión directa con la integral de Riemann. Dehecho, si χE es la función que vale 1 en E y cero fuera de E, χE es integrableRiemann si y sólo si E ∈ J y en ese caso

µ(E) =

∫∫R2

χE dxdy =

∫∫E

dxdy.

Uno de los objetivos de la teoría de la medida es extender esta noción deárea a una clase todavía mayor de conjuntos, los conjuntos medible-Lebesgue,extendiendo además la noción de integral a una clase más amplia de funciones(la integral de Lebesgue). Este proceso tiene en general sus limitaciones.

050

100150

200250

0

100

200

3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cúpula de Herón: intersección de dos cilindros inscritos en un cubo

Complecciones y espacios de funciones

La búsqueda de una noción de integral más amplia que la de Riemann noes caprichosa. Consideremos por ejemplo la siguiente cuestión fundamental. Elespacio X = C[a, b] de las funciones reales, continuas en el intervalo [a, b] es una

ÍNDICE GENERAL xi

generalización de dimensión innita del espacio RN . De hecho, para f ∈ X, elvalor f(x) podría observarse como la coordenada x-ésima de f . La cantidad

|f |2 =

(∫ b

a

f2 dx

)1/2

,

dene una norma en X que lo hace espacio métrico (| · |2 puede observarsecomo la generalización de la norma euclídea). Sin embargo X no es completoy uno se plantea cuál es la complección Y de este espacio métrico (se sabe quetodo espacio métrico X puede sumergirse de manera densa en un único espaciométrico completo Y ).

Como veremos, la completación de X es L2(a, b) que es el espacio de funcio-nes f cuyo cuadrado f2 es integrable en el sentido más general de Lebesgue.

De manera análoga, puede considerarse en C[a, b] la norma (el equivalentede la norma | · |1 de RN )

|f |1 =

∫ b

a

|f | dx.

El espacio métrico X1 resultante no es completo.

Ejercicio 0.1. En el intervalo [0, 1] se considera la sucesión de funciones fn(t)que valen 0 para t ≤ 1

2 − 1n , 1 para t ≥ 1

2 y que se extienden por interpolaciónlineal a todo el intervalo. Pruébese que fn es de Cauchy en [0, 1] y sin embargono converge.

La completación Z de X1 es ahora L1(a, b) que es el espacio de las funcionesintegrable Lebesgue. En este caso, el operador lineal integral I(f) =

∫ b

af(x) dx

(en sentido de Riemann) sobreX se extiende a un operador lineal I sobre L1(a, b)de suerte que para f ∈ L1(a, b), I(f) es la integral de Lebesgue de f .

Los espacios de funciones L2(a, b) y L1(a, b) y otros espacios similares defunciones integrables que estudiaremos constituyen ejemplos fundamentales deespacios de dimensión innita, materia de la que se ocupa el Análisis Funcional.

Series de Fourier

Otro problema importante del Análisis consiste en representar una funciónreal f denida en, pongamos por caso, el intervalo (−π, π), mediante una serietrigonométrica. Más precisamente, conseguir la igualdad

f(x) =a02

+

∞∑n=1

an cosnx+ bn sennx. (1)

El problema, de gran solera en la matemática, se remonta a la época fundacionaldel cálculo innitesimal en el siglo XVIII. Para hacer verosímil tal representaciónlo primero es encontrar los coecientes an, bn. Un cálculo formal revela que

an =1

π

∫ π

−π

f(x) cosnx dx, bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sennx dx.

xii ÍNDICE GENERAL

Ejercicio 0.2. Probar que∫ π

−π

senmx sennx dx =

∫ π

−π

cosmx cosnx dx = πδmn,

(δmn = 0 ó 1 si m = n ó m = n respectivamente), mientras:∫ π

−π

cosmx sennx dx = 0.

La serie en (1) se denomina la serie de Fourier generada por f pues los coe-cientes dependen de f a través de las integrales señaladas. Por tanto, encontrarla clase más general de funciones que pueden llegar a representarse de esa for-ma padres del análisis como Daniel Bernoulli y J. Fourier armaban que todaslas funciones eran factibles requiere una noción de integral satisfactoria. B.Riemann introdujo en la segunda mitad del XIXsu noción de integral preci-samente pare estudiar el problema de la convergencia de la series de Fourier. Elanálisis del mismo se enriquece substancialmente cuando se trata en el marcode la integral de Lebesgue.

Integrales y paso al límite

Permutar la integral con el paso al límite es asimismo otra cuestión delicadaque se presenta frecuentemente en las aplicaciones de la integral. En términosmás técnicos se sabe que si las funciones fn son integrables en sentido de Rie-mann en el intervalo [a, b] y fn → f uniformemente en [a, b] entonces

lım

∫ b

a

fn =

∫ b

a

f

o también

lım

∫ b

a

fn =

∫ b

a

lım fn.

Sin embargo, la noción de convergencia uniforme es en la práctica sumamenteagresiva y es deseable disponer de un concepto de integral que permute conuna operación de paso al límite menos restrictiva. La integral de Lebesguecumple a la perfección con esta demanda.

Estrechamente ligada a la cuestión de permutar integral y paso al límite seencuentra la diferenciación de integrales con respecto a parámetros (véase elCapítulo 3). Por poner un ejemplo de las aplicaciones, un planeta Ω ⊂ RN condensidad ρ genera un campo de fuerzas asociado al potencial V expresado porla fórmula

V (x, y, z) = G

∫∫∫Ω

ρ(ξ, η, ζ)√(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2

dξdηdη

donde G es la constante de gravitación. Las variables (x, y, z) tienen el valor deparámetros en la integral. En la física matemática interesa saber si V es o no

ÍNDICE GENERAL xiii

diferenciable. Se demuestra según veremos que si ρ es integrable Lebesgue enΩ entonces V es innitamente diferenciable fuera de Ω y satisface allí la relación

∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2= 0.

Ésta constituye una de las ecuaciones fundamentales de la física matemática (laecuaciónd de Laplace).

Ejercicio 0.3. Se considera la función:

V (x, y, z) =ρ(ξ, η, ζ)√

(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2,

donde ξ, η, ζ son constantes. Pruébese que cumple la ecuación de Laplace. Análo-gamente, compruébese que:

∂2U

∂x2+∂2U

∂y2= 0,

donde:U(x, y) = log

√(x− ξ)2 + (y − η)2,

ξ, η constantes. En éste último caso: repasar la variable compleja.

Teorema fundamental del cálculo

En los primeros cursos de análisis se demuestra que si f es continua en elintervalo [a, b] entonces la función F denida por

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt,

la integral entendida en sentido de Riemann, es derivable en [a, b] y su derivadavale

F ′(x) = f(x). (2)

Este hecho constituye el teorema fundamental del cálculo.

Ejercicio 0.4. Sea f ∈ C[a, b].

1. Probar que si m ≤ f(t) ≤M entonces m(b− a) ≤∫ b

af ≤M(b− a).

2. Probar que existe c ∈ [a, b] tal que∫ b

a

f = f(c)(b− a).

3. Probar que la función F denida más arriba es continua.

4. Probar el teorema fundamental del cálculo tal como se ha enunciado.

xiv ÍNDICE GENERAL

Si una función acotada f en [a, b] es integrable en sentido de Riemann (Ca-pítulo 4) resulta que F es continua en [a, b] mientras que (2) se cumple en todoslos puntos x de continuidad de f . Obsérvese que f puede ser menos regular quecontinua y todavía ser Riemann integrable. De hecho se sabe que f es integra-ble Riemann si el conjunto D de sus puntos de discontinuidad es pequeño enel sentido de que tiene medida cero (Capítulo 4). Por lo tanto, por el merohecho de ser f integrable, F resulta ser derivable en la mayoría de los puntosde [a, b].

El problema de la derivabilidad de F se enriquece notablemente cuando seconsidera la integral en el sentido de Lebesgue. En este caso se pueden caracte-rizar quiénes son las funciones F que provienen de funciones integrables f en laforma indicada (F se denomina una primitiva de f). Véanse más detalles en elCapítulo 7.

Una cuestión relacionada es la siguiente. Se sabe que toda función f monó-tona en [a, b] es discontinua a lo sumo en un conjunto numerable de puntos (portanto y en algún sentido es continua en la mayoría de los puntos del intervalo).La cuestión es saber qué sucede con la diferenciabilidad de la función. Dentrodel marco de la teoría de Lebesgue se da cumplida respuesta al problema.

Física matemática

En la física y más en general en las aplicaciones, las funciones que representanlos estados de los diversos sistemas bajo estudio distan mucho de ser regulares.Áreas como los medios continuos que dominan la elasticidad y la mecánicade uidos están plagados de ecuaciones diferenciales que requieren que lasfunciones involucradas sean al menos diferenciables.

A tales efectos, la noción de función diferenciable se puede extender cuandose usa un concepto de integral más exible que el de Riemann. Para jar ideasse recuerda que si f es de clase C1 en [a, b] con derivada g = f ′ entonces∫ b

a

f(x)φ′(x) dx = −∫ b

a

g(x)φ(x) dx, (3)

para toda función φ de clase C1 en [a, b] que se anule en los extremos: φ(a) =φ(b) = 0.

Sin embargo, dicha identidad tiene pleno sentido si sólo se supone que f y gson integrables. Si f es una función integrable (como luego veremos, en sentidode Lebesgue) tal que existe otra función integrable g de suerte que se cumple laidentidad precedente para toda φ de clase C1 en las condiciones señaladas, sedice entonces que g es la derivada generalizada de f . A través de lo que se conocecomo cálculo de variaciones, esta noción de derivada es lo sucientemente exiblecomo para atender las demandas de muchos problemas de las aplicaciones. Atítulo de ejemplo puede comprobarse que si f(x) = |x| entonces g(x) = x/|x|para x = 0 pudiéndosele asignar a g cualquier valor en x = 0.

Ejercicio 0.5. Compruébese la realción (3) y la última armación.

ÍNDICE GENERAL xv

Cálculo de probabilidades

La teoría de la medida proporciona el marco abstracto adecuado sobre el quedesarrollar el cálculo de proabibilidades. Históricamente, resultados tan impor-tantes como el teorema central del límite no pudieron probarse rigurosamentehasta que la materia no se codicó en el lenguaje de dicha teoría.

Consideraciones generales

En los comienzos de la teoría, a nales del XIX y principios del XX sepretendía asignar a todo conjunto E de RN un número positivo µ(E) de suerteque dicho valor coincidiera con el volumen de E cuando éste fuese calculable porlas técnicas del cálculo integral (contenido de Jordan). La función µ : P(RN ) →[0,∞] debería gozar de las siguientes propiedades:

1. µ(∪En) =∑µ(En) cuando los En son disjuntos dos a dos.

2. µ es invariante frente a movimientos rígidos (traslaciones + transforma-ciones ortogonales).

3. µ(Q) = 1 sobre el cubo unidad Q = x : 0 < xi < 1, i = 1, . . . , N.

Es importante para las aplicaciones (método de exhaución) que la unión en 1)pueda ser innita.

Sin embargo, se demostró a principios del XX que una tal función de con-junto µ no podía tener como dominio a P(RN ), es decir la totalidad de laspartes de RN . Uno de los objetivos del curso es construir µ describiendo sudominio L(RN ) (los conjuntos medible-Lebesgue) que por consiguiente resultaestrictamente menor que P(RN ).

Merece la pena resaltar que para N ≥ 3 tampoco puede existir una funciónde conjunto µ con dominio P(RN ) y valores en [0,∞] cumpliendo 2), 3) y donde1) se limita a uniones nitas. Es decir,

1)' µ(E1 ∪ · · · ∪ En) = µ(E1) + · · ·+ µ(En), los Ek son disjuntos dos a dos.

Este hecho es consecuencia de lo que se conoce como paradoja de Banach-Tarski ([8]) que no es en absoluto una paradoja. En 1924 Banach y Tarskidemostraron que dos abiertos acotados U , V de RN (N ≥ 3) admiten sendasparticiones E1, . . . , En y F1, . . . , Fn de suerte que Ei es congruente con Fi paracada i ∈ 1, . . . , n. En otras palabras la esfera unidad U se puede descomponeren n pedazos que ensamblados dan lugar a dos esferas disjuntas del mismo radio,U y U + 3e1, por ejemplo.

xvi ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Medidas. Medidas Exteriores

1.1. Familias de conjuntos

Se supondrá que todos los conjuntos A,B, . . . con los que trataremos sonsubconjuntos de uno jo X de referencia. Asimismo, las clases A,B,R, . . . , fami-lias Eii∈I o sucesiones Enn∈N de conjuntos tendrán por elementos conjuntosque son partes de X.

Diremos que Enn∈N es creciente, abreviadamente Enn∈N , si En ⊂En+1 para cada n. Enn∈N es decreciente (Enn∈N ) si para todo n: En ⊃En+1.

Por analogía con las sucesiones reales para En monótona se dene:

lımEn = ∪∞n=1En,

si En es creciente,lımEn = ∩∞

n=1En,

si En es decreciente.Para una sucesión arbitraria En se construyen las sucesiones auxiliares,

An = ∩k≥nEn Bn = ∪k≥nEn.

Al ser monótonas existen los límites de ambas sucesiones. Se denen los límitesinferior y superior de En como:

limEn = lımAn = ∪∞n=1An = ∪∞

n=1 (∩k≥nEn) ,

mientraslimEn = lımBn = ∩∞

n=1Bn = ∩∞n=1 (∪k≥nEn) .

Denición 1.1. Se dice que En converge a E si

limEn = limEn = E.

Ejercicio 1.1. Hallar limEn, limEn si En = ( (−1)n

n , 2).

1

2 CAPÍTULO 1. MEDIDAS

Ejercicio 1.2. Sean Ann∈N, Bnn∈N sucesiones tales que Ann∈N , Bnn∈N ,de suerte que:

An ⊂ Bn,

para cada n. Probar que lımAn ⊂ lımBn.

1.2. Anillos, Álgebras

Denición 1.2. Sea R una clase no vacía 1 de subconjuntos de X. Se dice queR es un anillo si satisface las siguientes propiedades:

i) A,B ∈ R ⇒ A \B ∈ R.

ii) A,B ∈ R ⇒ A ∪B ∈ R.

Si R cumple además:

iii) X ∈ R,

se dice que R es un álgebra.

Se sigue de la denición que ∅ = A \A ∈ R tomando A ∈ R.

Propiedad 1.3. Sea R una clase de partes de X cumpliendo las propieades ii)y

iv) A ∈ R ⇒ Ac ∈ R.

Entonces R es un álgebra. Por tanto, un álgebra es toda clase R de partes deX que es cerrada frente a uniones nitas y complementación.

Propiedad 1.4. Sea R un anillo, A1, . . . , An ∈ R. Entonces:

A1 ∪ · · · ∪An ∈ R A1 ∩ · · · ∩An ∈ R.

Propiedad 1.5. Sea R una clase de subconjuntos de X que cumple las propie-dades i) y

ii') A,B ∈ R & A ∩B = ∅ ⇒ A ∪B ∈ R.

Entonces R es un anillo. Por tanto i), ii') caracterizan la propiedad de seranillo.

Denición 1.6. Se dice que una clase A es un σ-anillo si cumple i) junto con:

ii-s) ∪∞n=1En ∈ A para toda sucesión Enn∈N en A.

Es inmediato comprobar que un σ-anillo en un anillo.

1En adelante daremos por sobreentendido que las diversas clases o familias de conjuntosimplicadas son no vacías.

1.2. ANILLOS, ÁLGEBRAS 3

Denición 1.7. Se llama σ-álgebra a todo σ-anillo que es un álgebra.

Propiedad 1.8. Sea A una clase que cumple i) junto con

ii-s') ∪∞n=1En ∈ A para toda sucesión Enn∈N en A de elementos disjuntos dos

a dos.

Entonces A es un σ-anillo. Por tanto i) y ii-s') caracterizan los σ-anillos.

Ejemplo 1.1.

A = A ⊂ X : A numerable ó Ac numerable es una σ-álgebra.

A = A ⊂ X : A nito ó Ac nito es un álgebra, pero sólo es σ-álgebra cuandoX es nito.

Se introducen en los ejercicios del capítulo las nociones de anillo (σ-anillo)y álgebra (σ-álgebra) generada por una clase D de conjuntos de X.

Denición 1.9. Sea G la clase de los abiertos de R. La σ-álgebra BR generadapor G se llama la σ-álgebra de los conjuntos de Borel. Más generalmente, si(X, T ) es un espacio topológico, la σ-álgebra BX de los conjuntos de Borel es lagenerada por la familia T de los abiertos de X.

Ejercicio 1.3. Sea R una clase no vacía de partes de X que cumple:

1) A,B ∈ R ⇒ A ∩B ∈ R.

2) A,B ∈ R ⇒ A B,

con A B = A \B ∪ B \A. Entonces R es un anillo. Así 1), 2) caracterizanlos anillos.

Ejercicio 1.4. Sea A una clase de conjuntos que cumple iv) junto con ii-s).Probar que A es una σ-álgebra.

Ejercicio 1.5. Pruébese que todo abierto G de R se puede escribir como unaunión numerable de intervalos abiertos disjuntos.Indicación. Las componentes conexas de G son intervalos abiertos y formanuna partición de G. Alternativamente, para x ∈ G se llama Ix = ∪x∈II dondela unión se extiende a los intervalos abiertos I ⊂ G.

Ejercicio 1.6. Se consideran en R las siguientes clases de intervalos D1 =(a, b), D2 = [a, b], D3 = (a, b], D4 = [a, b), D5 = (a,∞), D6 =[a,∞), D7 = (−∞, b) , D8 = (−∞, b]. Probar que S(D) = BR donde Des cualquiera de las clases de intervalos que acabamos de introducir.

Proposición 1.10. Todo abierto G ⊂ RN puede representarse en la formaG = ∪Qn donde Qn es una sucesión de intervalos disjuntos de la forma [a, b),a, b ∈ RN .


Demostración. Denotamos Cm la familia de cubos diádicos [ k2m ,

k+12m ). Fijado

x ∈ RN , para cada m existe un único Q ∈ Cm tal que x ∈ Q. En efecto, loscubos de Cm son una partición de RN . Por otra parte si Q ∈ Cm, Q′ ∈ Cm′ soncubos diádicos y m′ ≤ m entonces Q ⊂ Q′ si Q ∩Q′ = ∅. Esto es consecuenciade que para m′ ≤ m todo cubo Q ∈ Cm yace en un único Q′ ∈ Cm′ .

Para x ∈ G llamamos m al mínimo n tal que x ∈ Q ⊂ G con Q ∈ Cn yponemos Q = Qx.

Observamos ahora que Qx ∩ Qy = ∅ sí y sólo si Qx = Qy. Por tanto, sidenimos en G la relación x ∼ y si y ∈ Qx, cada clase [x] = Qx y hay unconjunto numerable de clases.

1.2.1. Ejercicios

A) Anillos, σ-anillos, álgebras, σ-álgebras.

1. Sean an, bn, sucesiones reales monótonas tales que an → a, bn → b, a < b,mientras En = (an, bn). Pruébese que E = lımEn existe, calculando suvalor.

2. Para Enn∈N una sucesión en X se denen:

E∗ = x ∈ X : x ∈ En para ininitos n ∈ N,

E∗ = x ∈ X : x ∈ En excepto para un núnmero nito de n ∈ N.

Pruébese que E∗ = limEn y que E∗ = limEn.

3. Si En es una sucesión en X pruébese que:(limEn

)c= limEc

n,

(limEn)c= limEc

n.

4. Si R es sólo un σ-anillo y En ⊂ R probar que:

∩nEn ∈ R, limEn ∈ R, limEn ∈ R.

5. Sea R un σ-anillo en X, Y ⊂ X, Y ∈ R. Probar que Y ∩ E : E ∈ R esuna σ-álgebra en Y .

6. Si Rα es una familia de anillos (respectivamente, σ-anillos, álgebras,σ-álgebras) probar que ∩αRα es un anillo (respectivamente, σ-anillo, ál-gebra, σ-álgebra).

7. Sea D una clase de subconjuntos de X. Demuéstrese que existe un únicoanilloR (respectivamente, σ-anillo, álgebra, σ-álgebra) con la propiedades:

a) D ⊂ R,

1.2. ANILLOS, ÁLGEBRAS 5

b) Si R′ es un anillo (respectivamente, σ-anillo, álgebra, σ-álgebra) con D ⊂R′ entonces R ⊂ R′.

Denotamos R por R(D) y lo denominamos el anillo generado por D. Uti-lizaremos S(D) en el caso de σ-anillos.

8. Sea D una clase de subconjuntos de X. Demuéstrese que cada elemento deR(D) puede recubrirse con un número nito de elementos de D, es decirestá contenido en una unión nita de elementos de D.

Nota. El ejercicio no demanda probar que R(D) es la clase de todas lasuniones nitas de elementos de D (hecho que por otro lado no es cierto).Un comentario similar se aplica al ejercicio siguiente.

9. Sea D una clase de subconjuntos de X. Demuéstrese que cada elementode S(D) puede recubrirse con una familia numerable de elementos de D,es decir está contenido en una unión numerable de elementos de D.

10. Sea D la clase de todos aquellos conjuntos en X que son nitos o tienencomplemento nito. Probar que D es un anillo mientras que si X no esnito, D no es un σ-anillo.

11. En X = R consideramos A = ∪nk=1Jk : Jk = (ak, bk], Ji ∩ Jl = ∅ i = l.

Demostrar que A es un anillo pero no un álgebra.

12. En el ejercicio 11 reemplazamos en A los intervalos (ak, bk] por intervalosarbitrarios ak, bk. Muéstrese que A también es un anillo.

13. En X = R consideramos ahora A = ∪nk=1Jk : Jk = (ak, bk], Ji ∩ Jl =

∅ i = l ∪ (−∞, a] : a ∈ R ∪ (b,∞) : b ∈ R. Demostrar que A es unálgebra pero no una σ-álgebra.

14. Obténgase la misma conclusión que en el ejercicio 13 tomando la claseak, bk de intervalos arbitrarios, con −∞ ≤ ak ≤ bk ≤ ∞.

♣ En [8] p. 23 se introduce la noción de clase elemental. Una clase E departes de X se denomina elemental si: ∅ ∈ E , A ∩ B ∈ E cuando A,B ∈E y Ac es unión nita disjunta de elementos de E para todo A ∈ E .Demuéstrese que la clase A de las uniones nitas disjuntas de elementosde E es un álgebra. Las álgebras de los ejercicios 13, 14 corresponden aeste patrón. También la del ejercicio 15.

Indicación. Resulta de utilidad la identidad:

(∪i∈IAi) ∩ (∪j∈JBj) = ∪(i,j)∈I×JAi ∩Bj .

15. En R2 consideramos A = ∪nk=1Jk : Jk = ak, bk × ck, dk, Ji ∩ Jl =

∅ i = l (la clase de los conjuntos elementales) donde a, b designa unocualquiera de los cuatro tipos de intervalos con extremos a, b incluyendoextremos innitos. Probar que A es un álgebra. Generalizar el resultado aRN .


16. Usando la denición del ejercicio 14 sean Ei ⊂ Xi clases elementales enlos conjuntos Xi, i = 1, 2. Probar que E1 × E2 es una clase elemental enX1 ×X2.

17. En un conjunto X se toma D = a, b con a = b. Hallar R(D).

1.3. MEDIDAS 7

1.3. Medidas

La recta real ampliada R es R con la adición de dos nuevos elementos −∞,+∞ más las siguientes propiedades:

1) −∞ < x < +∞ para todo x ∈ R.

2) x ±∞ = ±∞ para todo x ∈ R; ±∞± (±∞) = ±∞; x · (±∞) = ±∞ six > 0, x · (±∞) = ∓∞ si x < 0.

Observación 1.2. No se denen las operaciones 0 · (±∞) ni ±∞∓ (±∞).

Observación 1.3. Un buen modelo de la recta ampliada R se consigue identi-cando R con (−1, 1) con la función f(x) = arctag x, R con [−1,+1]. Los puntos±1 juegan el papel de ±∞.

Una aplicación µ con valores en R cuyo dominio es una clase D de subcon-juntos de X se denomina una función de conjunto (en X).

Denición 1.11. Una función de conjunto µ : D → R, D una clase de partesen X, se dice nitamente aditiva si cualesquiera que sean E1, . . . En ∈ D conE1 ∪ · · · ∪ En ∈ D y En ∩ Em = ∅ para n = m se satisface:

µ(∪nk=1Ek) =

n∑k=1

µ(Ek).

Se dice que µ es completamente aditiva si

µ(∪∞n=1En) =

∞∑n=1

µ(En),

siempre que Enn∈N sea una sucesión en D con ∪∞n=1En ∈ D cuyos elementos

son disjuntos dos a dos, es decir En ∩ Em = ∅ si n = m.

Ejemplo 1.4.

a) En el álgebra A del ejercicio 1.1.13,

A = A = ∪nk=1Jk : Jk = (ak, bk], Ji ∩ Jl = ∅ i = l,

−∞ ≤ ak < bk ≤ +∞, denimos la función longitud

µ(A) =

n∑k=1

λ(Jk), A = ∪nk=1Jk,

donde Jk = (ak, bk] y λ(Jk) = bk − ak siendo λ(Jk) = ∞ si el intervalo esinnito. µ es nitamente aditiva en A.


b) En el álgebra A del ejercicio 1.1.15,

A = A = ∪nk=1Jk : Jk = ak, bk × ck, dk, Ji ∩ Jl = ∅ i = l,

si dene análogamente

µ(A) =

n∑k=1

λ2(Jk),

donde λ2(Jk) = λ(ak, bk)λ(ck, dk) y asimismo λ(ak, bk) = bk − ak. µ esnitamente aditiva.

La denición importante es la siguiente.

Denición 1.12. Sean A una σ-álgebra y µ : A → [0,+∞] una función deconjunto. Se dice que µ una medida si µ(∅) = 0 y µ es completamente aditiva.

No es inmediato construir medidas no triviales. De ello tratamos en estecapítulo. El ejemplo anterior no vale porque A no es una σ-álgebra. Sin embargo,es la semilla que da lugar a la medida de Lebesgue (véases la Sección 1.4).

Denición 1.13. Sea µ una medida en X con dominio A. Se dice que µ esnita si µ(X) <∞. Se dice que µ es σ-nita si X = ∪∞

n=1En donde µ(En) <∞para cada n.

Teorema 1.14. Sea µ una medida en X y dominio A. Entonces:

i) E,F ∈ A, E ⊂ F ⇒ µ(E) ≤ µ(F ).

ii) E,F ∈ A, E ⊂ F, µ(F ) <∞ ⇒ µ(F \ E) = µ(F )− µ(E).

iii) Enn∈N implica

µ(lımEn) = lımµ(En).

iv) Enn∈N junto con la condición µ(En0) <∞ para algún n0 ∈ N impli-can que:

µ(lımEn) = lımµ(En). (1)

Observación 1.5.

a) La condición µ(F ) < ∞ en ii) es necesaria para prevenir el caso µ(E) =µ(F ) = ∞.

b) Que µ(En) sea nito para algún n en iv) es necesario para la validez de (1).En efecto, veremos que la medida de Lebesgue µ en R asigna a cada intervalosu longitud (nita o no). La sucesión En = (−∞,−n) da un contraejemplo a(1).

Teorema 1.15. Sea µ una medida en X con dominio en la σ-álgebra A. ParaEnn∈N una sucesión en A se cumplen:

1.3. MEDIDAS 9

i)

µ(∪∞n=1En) ≤

∞∑n=1

µ(En),

ii)µ(limEn) ≤ limµ(En).

iii) Si µ(∪∞n=1En) <∞ se tiene:

µ(limEn) ≥ limµ(En).

La siguiente denición recoge el concepto de familia sumable.

Denición 1.16. Sea f : X → [0,∞]. Se dene∑x∈X

f(x) = sup∑x∈F

f(x) : F ⊂ X, F nito.

Una curiosa observación.

Proposición 1.17. Si para f : X → [0,∞] el conjunto f(x) > 0 en nonumerable entonces ∑

x∈X

f(x) = ∞.

Ejemplos 1.6. En los ejemplos que siguen A = P(X)

a) Si para f : X → [0,∞] se dene

µ(E) =∑x∈E

f(x),

entonces µ dene una medida (ver más abajo).

b) Si en a) se toma f(x) = 1 para cada x la medida µ cuenta los elementos deE.

c) Si para x0 ∈ X, f(x0) = 1 y f(x) = 0 entonces µ se llama la medida de Dyrac(concentrada en el punto x0).

Demostración de la Prop. 1.17. Como

f > 0 = ∪nf >1

n :=

existe n tal que f > 1n es no numerable. Para todo F ⊂ f > 1

n nito∑F

f >card Fn

.

Como pueden encontrarse partes F de cardinal tal grande como se desee resulta∑x∈X

f(x) = ∞.


Observación 1.7. La proposición arma que, esencialmente, sólo podemos espe-rar sumas nitas cuando X es numerable. Ese es el caso de las series múltiples.

Si en la denición previa f : N → [0,∞], an := f(n), se tiene:

Proposición 1.18. ∑Nan =

∞∑n=1

an.

En el caso en que f : N2 → [0,∞], f(i, j) = aij ,∑N2

aij

es lo que se conoce como la suma de una serie doble (más propiedades un pocodespués).

Propiedad 1.19. Sean f : X → [0,∞], A ⊂ X. Se dene

µ(A) =∑A

f(x) µ(∅) = 0.

Entonces µ es una medida en P(X).

Demostración. En primer lugar, es evidente que µ es monótona.En segundo lugar, probamos que µ es nitamente aditiva para lo que toma-

mos A1, . . . , Am disjuntos. Si

F ⊂ A1 + · · ·+Am,

es nito,∑F

f =∑

(F∩A1)+···+(F∩Am)

f =∑

F∩A1

f + · · ·+∑

F∩Am

f ≤ µ(A1) + · · ·+ µ(Am).

Luegoµ(A1 + · · ·+Am) ≤ µ(A1) + · · ·+ µ(Am).

Para la desigualdad contraria basta con suponer que los µ(Ai) son todos nitos.En ese caso, dado ε > 0 existen Fi ⊂ Ai nitos tales que:

µ(Ai)−ε

m≤∑Fi

f

Asíµ(A1) + · · ·+ µ(Am)− ε ≤

∑F1+···+Fm

f ≤ µ(A1 + · · ·+Am).

Para probar que µ es completamente aditiva observamos que si A = ∪An,F ⊂ A nito, F ⊂ A1 + · · ·+Am para algún m con lo que∑

F

f ≤ µ(A1) + · · ·+ µ(Am) ≤∞∑

n=1

µ(An).

1.3. MEDIDAS 11

Con ello

µ(∪An) ≤∞∑

n=1

µ(An).

Para la desigualdad contraria nótese que:

A1 + · · ·+Am ⊂ ∪An,

por lo que

µ(A1) + · · ·+ µ(Am) = µ(A1 + · · ·+Am) ≤ µ(∪An),

es decir,∞∑

n=1

µ(An) ≤ µ(∪An).

Siguen algunas consecuencias para series y series dobles.

Proposición 1.20. Sean an ≥ 0, σ : N → N una biyección y Nn una parti-ción de N. A partir de an fabricamos:

bn = aσ(n) cn =∑k∈Nn

ak.

Entonces∞∑

n=1

an =

∞∑n=1

bn =

∞∑n=1

cn.

Proposición 1.21. Sean aij ≥ 0, Nn un partición de N2, cn =∑

Nnaij.

Entonces, ∑N2

aij =∞∑

n=1

cn.

En particular ∑N2

aij =

∞∑i=1

∞∑j=1

aij =

∞∑j=1

∞∑i=1

aij.

Observación 1.8. La última identidad es un teorema de Fubini para series dobles.

Proposición 1.22. Sean aij ≥ 0 y σ : N2 → N2 una biyección. Si bpq = aσ(p,q)entonces, ∑

N2

aij =∑N2

bpq.

Como es fácil comprobar se tiene en realidad una proposición más general.

Proposición 1.23. Sean f : X → [0,∞] y una biyección σ : Y → X. Llamandog = f σ: ∑

X

f =∑Y

g.


1.3.1. Medidas completas

Sea µ una medida en X con dominio una σ-álgebra A. Un conjunto nuloN ⊂ X es todo N ∈ A con µ(N) = 0. Se dice que µ es completa si todas laspartes F de un conjunto nulo arbitrario N son también elementos de A (portanto, conjuntos nulos de A).

Como veremos en la siguiente sección, las medidas inducidas por medidasexteriores µ∗ siempre son completas.

Como se establece a continuación, todas las medidas pueden completarse.

Teorema 1.24. Sea µ una medida en X con dominio una σ-álgebra A. Seintroduce la clase:

A = E ∪ F : E ∈ A y existe N ∈ A con µ(N) = 0 y F ⊂ N,

junto con la función de conjunto:

µ(E ∪ F ) = µ(E).

Entonces A es una σ-álgebra y µ es una medida completa. Más aún (A, µ) esla medida completa más pequeña que extiende a (A, µ). Es decir, si (A, µ) escompleta y extiende a (A, µ) entonces (A, µ) también extiende a (A, µ).

1.3.2. Ejercicios

B) Medidas.

1. Sea µ una función de conjunto en X con dominio en una cierta clase deconjuntos A y valores en R cumpliendo:

a) A es una σ-álgebra.

b) µ es no negativa.

c) µ es completamente aditiva.

Probar que si µ(E) <∞ para algún E ∈ A entonces µ(∅) = 0 (es decir, µes una medida).

2. SeaX un conjunto innito mientrasA es la clase de todos los subconjuntosdeX. Denimos µ(E) = 0 si E es nito, µ(E) = ∞ si E es inito. Pruébeseque µ es nitamente aditiva pero no completamente aditiva.

3. Si µ es una medida sobre una σ-álgebra A, E,F ∈ A, entonces:

µ(E) + µ(F ) = µ(E ∪ F ) + µ(E ∩ F ).

4. Sea µn una sucesión (nita o innita) de medidas denidas sobre lamisma σ-álgebra A. Defínase la suma

∑n µn de las medidas como:(∑

n

µn

)(E) =

∑n

µn(E) E ∈ A.

1.3. MEDIDAS 13

Demuéstrese que∑

n µn es una medida.

Indicación. Puede usarse la Proposición 1.21.

5. Supongamos que X está consitituido por la sucesión xn mientras pnes una sucesión de números no negativos. Para A ⊂ X defínase:

µ(A) =∑

xm∈A

pm.

Probar que µ es una medida σ-nita.

6. Constrúyase un ejemplo de medida µ y una sucesión decreciente En deA tal que µ(En) = ∞ para todo n mientras µ (lımEn) = 0.

C) Medidas completas.

7. Sea (X,A, µ) un e. m. y µ una medida nita. Pruébese que µ es completaequivale a la siguiente propiedad: ∀A,B ∈ A tales que A ⊂ B, µ(A) =µ(B) se cumple que todos los conjuntos intermedios C, A ⊂ C ⊂ B, sonmedibles y comparten por tanto la misma medida que A y B.

8. Sea µ una medida completa, N la clase formada por todos aquellos con-juntos con medida nula. Probar que N es un σ-anillo.

9. Sea (µ,A) una medida y (µ,A) su complección. Si denimos:

A∗ = E \N : E ∈ A, N ⊂ N1 ∈ A µ(N1) = 0.

Demostrar que A∗ = A.


1.4. Medidas Exteriores

Sea ν : D → R una función de conjunto cuyo dominio D es una clase desubconjuntos de X y toma valores en R. Se dice que ν es subaditiva si

ν(E ∪ F ) ≤ ν(E) + ν(F ),

para E,F ∈ D cualesquiera con E ∪ F ∈ D. Se dice análogamente que ν esnitamente subaditiva si:

ν(E1 ∪ · · ·En) ≤n∑

k=1

ν(Ek),

para E1, . . . , En ∈ D arbitrarios con E1 ∪ · · ·En ∈ D. Finalmente, ν es com-pletamente subaditiva si para Enn∈N arbitraria en D con ∪∞

n=1En ∈ D secumple:

ν(∪∞n=1En) ≤

∞∑n=1

ν(En).

Se dirá que ν es monótona si E,F ∈ D, E ⊂ F implican ν(E) ≤ ν(F ).

Denición 1.25. Una función de conjunto µ∗ : P(X) → [0,+∞] se denominauna medida exterior si:

i) µ∗(∅) = 0,

ii) µ∗ es completamente subaditiva,

iii) µ∗ es monótona: A ⊂ B implica µ∗(A) ≤ µ∗(B).

Observación 1.9. Obsérvese que el dominio de µ∗ comprende todos los subcon-juntos de X.

Ejemplo 1.10. El ejemplo más importante es la medida exterior de Lebesgueλ∗N en RN . Para A ⊂ RN ,

λ∗N (A) = ınf∑n∈N

λ(In),

donde el ínmo se extiende a todas las sucesiones In de intervalos abiertos

In = (an, bn) = (a1n, b1n)× · · · × (aNn, bNn),

con la propiedad de recubrir A:

A ⊂ ∪n∈NIn,

y dondeλ(an, bn) = (b1n − a1n) · · · (bNn − aNn).

1.4. MEDIDAS EXTERIORES 15

En efecto, para probar la subaditividad ii) se supone que∑λ∗N (An) < ∞ y se

quiere probar queλ∗N (∪An) ≤

∑λ∗N (An).

Dado ε > 0 existe Iknk∈N, recubrimiento de An por intervalos abiertos tal que∑k∈N

λ(Ikn) ≤ λ∗N (An) +ε

2n.

Ahora resulta que∪An ≤ ∪(n,k)∈N2Ikn,

luego

λ∗N (∪An) ≤∑

(n,k)∈N2

λ(Ikn) =

∞∑n=1

∞∑k=1

λ∗N (Ink) ≤∑

λ∗N (An) + ε.

Siendo esta desigualdad válida para todo ε se concluye ii).La construcción de la medida de Lebesgue se generaliza en la siguiente sec-

ción.

Denición 1.26. Se dice que un conjunto E ⊂ X es medible con respecto a µ∗

(µ∗-medible) siµ∗(A) = µ∗(A ∩ E) + µ∗(A \ E),

cualquiera que sea A ⊂ X.

La utilidad de la noción de medida exterior se pone de relieve en el siguienteresultado. El de las medidas exteriores es un camino natural en la construcciónde medidas en un conjunto X.

Teorema 1.27 (Carathéodory). Si µ∗ es una medida exterior en X y A de-signa la clase de sus conjuntos medibles entonces se satisfacen las siguientespropiedades:

i) A es una σ-álgebra.

ii) µ∗ dene una medida en A.

Demostración. En primer lugar, es fácil ver que ∅, X ∈ A y que Ec ∈ A siE ∈ A.

En segundo lugar vemos que E1 ∪ E2 ∈ A si E1, E2 ∈ A. Hay que ver que:

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)) + µ∗(A \ E1 \ E2).

Empezamos conµ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E1) + µ∗(A \ E1).

También:µ∗(A \ E1) ≥ µ∗(A \ E1 ∩ E2) + µ∗(A \ E1 \ E2).


Luego:

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E1) + µ∗(A ∩ (E2 \ E1)) + µ∗(A \ E1 \ E2),

y se concluye al observar que

µ∗(A ∩ E1) + µ∗(A ∩ (E2 \ E1)) ≥ µ∗(A ∩ (E1 ∪ E2)).

Por tanto A es un álgebra.Para probar que A es una σ-álgebra tomamos una sucesión disjunta En en

A y se muestra que S := ∪En ∈ A, es decir que

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ S) + µ∗(A \ S).

Notamos en primer lugar que Sn = ∪nk=1Ek ∈ A. Luego:

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ Sn) + µ∗(A \ Sn) ≥ µ∗(A ∩ Sn) + µ∗(A \ S). (1.1)

Se estable ahora que:

µ∗(A ∩ Sn) =∑k≤n

µ∗(A ∩ Ek). (1.2)

De aquí es claro que µ∗(A ∩ S) ≥∑∞

k=1 µ∗(A ∩ Ek) es decir que:

µ∗(A ∩ S) =∞∑k=1

µ∗(A ∩ Ek) = lımµ∗(A ∩ Sn).

El resultado deseado sale tomando límites en (1.1).Probamos (1.2) y notamos que la identidad es cierta para n = 1, 2. Si por

inducción admitimos el caso n y usamos que En+1 es medible tenemos:

µ∗(A ∩ Sn+1) = µ∗(A ∩ Sn+1 ∩ En+1) + µ∗(A ∩ Sn+1 \ En+1)

= µ∗(A ∩ En+1) + µ∗(A ∩ Sn) =∑

k≤n+1

µ∗(A ∩ Ek). (1.3)

Por tanto A es una σ-álgebra. Que µ∗ es una medida es evidente.

Observación 1.11.

a) Si µ∗(E) = 0 entonces E es medible.

b) Si µ∗(E) = 0 entonces todo A ⊂ E también es medible. Según se ha dichoesto quiere decir que las medidas exteriores dan lugar a medidas completas.

c) La σ-álgebra A de los conjuntos medibles con respecto a la medida exteriorde Lebesgue λ∗N se denota LN , sus miembros los conjuntos medibleLebesgue yla restricción de λ∗N a LN se denomina la medida de Lebesgue (Sección 1.5.1).


1.4.1. Construcción de medidas exteriores

La siguiente sección muestra la exibilidad de las medidas exteriores. Severá que es relativamente sencillo construirlas. Una noción importante es la quesigue. Se dice que una clase K en X es de recubrimiento numerable si:

i) ∅ ∈ K.

ii) Todo A ⊂ X se puede recubrir mediante una sucesión Enn∈N ⊂ K. Esdecir, existe Enn∈N ⊂ K tal que:

A ⊂ ∪∞n=1En.

Sea K una clase de recubrimiento numerable y λ una función de conjunto nonegativa, con dominio K, valores en [0,+∞] (es decir λ puede tomar el valor+∞) tal que λ(∅) = 0. Para A ⊂ X se dene:

µ∗(A) = ınf

∞∑n=1

λ(En) : Enn∈N ⊂ K, A ⊂ ∪∞n=1En

.

Se tiene el siguiente resultado.

Teorema 1.28. La función µ∗ dene una medida exterior en X.

Observación 1.12. El ejemplo fundamental de la asignatura, la medida exteriorde Lebesgue, se construye por este procedimiento (Sección 1.5.1).

Cuando un par (K, λ) de este tipo se usa para construir µ∗ no resulta fácildecidir qué conjuntos son medibles y cuál es su medida. Si (K, λ) es un parσ-álgebra-medida entonces (ver los Ejercicios 11-12) K ⊂ A, donde A son losconjuntos µ∗ − medibles, mientras λ = µ∗ en K. Por tanto (X,A, µ∗) es unaextensión (completa) de (X,K, µ).

Con una clase menos restrictiva (K, λ) se obtiene el mismo resultado.

Teorema 1.29 (Carathéodory). Sea (K, λ) una clase de recubrimiento nume-rable y λ : A → [0,∞] cumpliendo λ(∅) = 0. Supongamos que K es un álgebramientras:

λ(∪En) =∑

λ(En), (1.4)

donde En ⊂ A es una familia de elementos disjuntos dos a dos que satisface

∪En ∈ A.

Sea µ∗ la medida exterior generada por (K, λ). Entonces:i) µ∗(E) = λ(E) para E ∈ K.

ii) K ⊂ A donde A es la clase de los conjuntos µ∗-medibles.

Observación 1.13. Cuando λ satisface (1.4) se la denomina una premedida.


Demostración. Probamos ii) y para ello tomamos E ∈ K y un A ⊂ X cualquieracon µ∗(A) <∞ (¾por qué?). Se trata de comprobar que:

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩ E) + µ∗(A \ E).

Dado ε > 0 existe En ⊂ K con ∪nEn ⊃ A y

µ∗(A) + ε ≥∑n

λ(En).

Por otra parte:

A ∩ E ⊂ ∪n(En ∩ E) A \ E ⊂ ∪n(En \ E),

luegoµ∗(A ∩ E) ≤

∑n

λ(En ∩ E) µ∗(A \ E) ≤∑n

λ(En \ E).

Así

µ∗(A ∩ E) + µ∗(A \ E) ≤∑n

λ(En ∩ E) + λ(En \ E) =∑n

λ(En).

Esto prueba la desigualdad buscada.En cuanto a i) tomamos E ∈ K. Para ε > 0 existe En ⊂ K con ∪nEn ⊃ E

yµ∗(E) + ε ≥

∑n

λ(En).

Sin embargo E ⊂ ∪nEn = ∪nFn donde los Fn ∈ K, Fn ⊂ En y los Fn sondisjuntos dos a dos. Como

E = ∪n(Fn ∩ E),

resultaλ(E) =

∑n

λ(Fn ∩ E) ≤∑n

λ(En) ≤ µ∗(E) + ε.

De aquí se sigue que λ(E) ≤ µ∗(E)mientras la desigualdad contraria es evidente.Por tanto µ∗(E) = λ(E).

Ejemplo 1.14. En X = R consideramos el álgebra A = ∪nk=1Jk : Jk =

(ak, bk], Ji ∩ Jl = ∅ i = l ∪ (−∞, a] : a ∈ R ∪ (b,∞) : b ∈ R (Ejerci-co 13) sobre la que denimos:

λ(E) =n∑1

λ(Ik),

donde λ((a, b]) = b − a y toma el valor innito en los intervalos innitos. Lafunción λ constituye una premedida (lo cual no es inmedito) y genera una medidaexterior µ∗ cuyos conjuntos medibles A∗ contienen a S(A) = B1, es decir alos borelianos de R. Por el teorema precedente µ∗ = λ sobre A. No es difícildemostrar que µ∗ coincide con la medida exterior de Lebesgue (Sección 1.5.1),por tanto, que A∗ son los conjuntos medible Lebesgue.


1.4.2. Ejercicios

D) Medidas exteriores.

1. Defínase µ∗(E) como el número de elementos de E si tal conjunto es nito(µ∗(∅) = 0), µ∗(E) = ∞ si E es innito. Probar que µ∗ es una medidaexterior. Determinar los conjuntos medibles.

Solución. A = ℘(X).

2. Defínase µ∗(∅) = 0, µ∗(E) = 1 si E = ∅. Probar que µ∗ es una medidaexterior. Determinar los conjuntos medibles.

Solución. A = ∅, X.

3. Supóngase que X posee una cantidad no numerable de puntos. Si µ∗(E) =0 para E numerable, µ∗(E) = 1 si E es no numerable. Demostrar que µ∗

es una medida exterior. Determinar los conjuntos medibles.

Solución. A = E ⊂ X : E numerable ó Ec numerable.

4. Sea µ∗ una medida exterior y B ⊂ X un conjunto jado. Defínase ν∗(A) =µ∗(A∩B). Probar que ν∗ es una medida exterior determinando la relaciónentre los conjuntos medibles de µ∗ y los de ν∗.

5. Sea µ∗n una sucesión (nita o innita) de medidas exteriores. Defínase

la suma∑∗

n µn como:(∑n

µ∗n

)(A) =

∑n

µ∗n(A) A ⊂ X.

Demuéstrese que∑

n µ∗n es una medida exterior.

Indicación. Puede usarse la Proposición 1.21.

6. Demuéstrese que si una medida exterior es nitamente aditiva entonces esuna medida.

7. Se dice que una medida exterior µ∗ es regular si cualquier conjunto A ⊂ Xadmite una envolvente medible G ∈ A, A ⊂ G (A la σ-álgebra de losconjuntos µ∗ medibles) con µ∗(A) = µ∗(G). Pruébese que si Ann∈N escreciente y µ∗ es regular entonces:

µ∗(lımAn) = lımµ∗(An).

Indicación. Sean Gn, G las envolventes de An, A respectivamente conA = ∪An. Cambiando Gn por Gn ∩G podemos suponer que los Gn ⊂ G.Cambiando Gn por Gn ∩ Gn+1 ∩ · · · podemos suponer que los Gn soncrecientes. Como:

A ⊂ G∗ := ∪Gn ⊂ G,

G∗ es una envolvente de A. Ahora,

µ∗(lımAn) = µ∗(A) = µ∗(G∗) = lımµ∗(Gn) = lımµ∗(An).


C) Clases recubridoras numerables (referencia, Sequential covering classesen Foundations of Modern Analysis de A. Friedman [9]).

Si K es una clase de recubrimiento numerable en X y λ es una funciónde conjunto no negativa con dominio K y valores en R, se recuerda que lamedida exterior asociada a (K, λ) es:

µ∗(A) = ınf

∞∑n=1

λ(An) : A ⊂ ∪∞n=1An, An ⊂ K

. (1.5)

8. Supongamos que K consta de X, ∅ y los conjuntos con un elemento. Seaλ(X) = ∞, λ(∅) = 0, λ(E) = 1 si E = X, E = ∅. Describir µ∗.

9. Para X no numerable y K como en el problema anterior supongamos queλ(X) = 1, λ(E) = 0 si E = X. Descríbase µ∗.

10. Supongamos que (K, λ) cumple las condiciones previas que permiten cons-truir la medida exterior µ∗ como en (1.5). Probar que µ∗(E) ≤ λ(E) paratodo E ∈ K. Dése un ejemplo donde la desigualdad resulta estricta.

11. Si K es una σ-álgebra y λ es una medida sobre K, donde admitimos queK es una clase de recubrimiento numerable. Pruébese que µ∗(A) = λ(A)para todo A ∈ K.Indicación. Establecer que: µ∗(A) = ınfλ(E) : E ∈ K, A ⊂ E.

12. Si el par (K, λ) constituyen una σ-álgebra (con la propiedad de recubri-miento numerable) y una medida, pruébese que todos los elementos de Kson µ∗- medibles.

Nota. Los Ejercicios 11-12 arman que si (K, λ) es una σ-álgebra y unamedida, entonces µ∗ denida por (1) y observada como medida en la clasede sus conjuntos medibles, constiuye una extensión de la medida λ.

1.5. MEDIDAS DE LEBESGUE Y DE LEBESGUE-STIELTJES 21

1.5. Medidas de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes

1.5.1. Medida de Lebesgue

En RN se considera la clase K de los intervalos abiertos:

Ia,b = x ∈ RN : ai < x < bi, 1 ≤ N,

a = (a1, . . . , aN ), b = (b1, . . . , bN ), ai < bi para i ∈ 1, . . . , N (incluimos ∅ enK). La clase K es de recubrimiento numerable en RN . Se dene en K la funciónde conjunto λ como λ(∅) = 0 mientras:

λ(Ia,b) =

N∏i=1

(bi − ai).

La medida exterior µ∗ en RN asociada a (λ,K) se conoce como la medida exteriorde Lebesgue. La medida de Lebesgue en RN es la denida a través de µ∗. Loscorrespondientes conjuntos medibles se llaman conjuntos de Lebesgue.

Proposición 1.30. Designemos por µ∗ la medida exterior de Lebesgue en unadimensión. Entonces,

a) µ∗x = 0 para cada x ∈ R.b) Si A ⊂ R es numerable µ∗(A) = 0. Por lo tanto todo conjunto numerable esmedible Lebesgue.

c) Si I es cualquiera de los intervalos (a, b), [a, b], (a, b] ó [a, b) entonces µ∗(I) =b− a.

d) Para α, b ∈ R, α = 0, se dene T : R → R como T (x) = αx + b. Entoncesµ∗(T (A)) = |α|µ∗(A). Además A ⊂ R es medible Lebesgue si y sólo si T (A) esmedible Lebesgue.

Observación 1.15. Puede comprobarse que la medida exterior de Lebesgue enR coincide con la medida exterior introducida en el Ejemplo 1.14. El teoremade Carathéodory dice entonces que todos los borelianos son medible-Lebesgueen R. Usaremos otro camino para demostrar esto.

Demostración del la Proposición 1.30.

a), b) Son inmediatos.

c) Está claro que si I es de una clase cualquiera de los intervalos señalados setiene que:

µ∗(I) ≤ b− a.

Estudiamos I = [a, b]. Dado ε > 0 existen intervalos abiertos In querecubren I y cumplen ∑

λ(In) ≤ µ∗(I) + ε.


Por compacidad un número nito de los intervalos todavía recubre I y, supri-miendo intervalos si hiciera falta, podemos suponer que estos intervalos sonI1, . . . , Im y que todos cortan a I. Así pues:

m∑n=1

λ(In) ≤∑

λ(In) ≤ µ∗(I) + ε. (1.6)

Tomando c el mínimo de los extremos inferiores, d el máximo de los extremossuperiores de los intervalos In resulta claro que:

∪mn=1λ(In) = (c, d) ⊃ I.

Se tiene ahora la siguiente propiedad: si I1, . . . , Im son intervalos abiertos cuyaunión I1 ∪ · · · ∪ Im es un intervalo abierto, entonces se cumple que

λ(I1 ∪ · · · ∪ Im) ≤m∑

n=1

λ(In).

Esto se demuestra por inducción. Para dos intervalos la propiedad es evidente.El paso m a m+ 1 es así: si

I1 ∪ · · · ∪ Im ∪ Im+1

es un intervalo J entonces Im+1 ha de cortar a otro de los intervalos (de locontrario Im+1 se convertiría en una componente de J). Supongamos que eseotro intervalo es Im y que ponemos I ′m la unión de éste con aquél. Resulta:

λ(I1 ∪ · · · ∪ Im ∪ Im+1) = λ(I1 ∪ · · · ∪ I ′m)

≤ λ(I1) + · · ·+ λ(I ′m) ≤ λ(I1) + · · ·+ λ(Im) + λ(Im+1),

pues hemos usado la hipótesis de inducción y que λ(Im ∪ Im+1) ≤ λ(Im) +λ(Im+1).

Se concluye entonces de (1.6) que:

b− a ≤ c− d ≤ µ∗(I) + ε.

Por ello µ∗(I) = b− a. Que los otros intervalos comparten esa medida es ahoraevidente.

d) La demostración no ofrece dicultad.

Observación 1.16. Damos una demostarción de c) que puede extenderse a RN .Usando la misma notación concluimos:

(a, b) = I ′1 ∪ · · · ∪ I ′m I ′i = (a, b) ∩ Ii,

en donde no tenemos en cuenta las intersecciones vacías. La unión de extremosai, bi de los intervalos I ′i se escribe ordenadamente a = x0 < x1 < · · · < xp =b, se forman los intervalos parciales Jσ = (xσ−1, xσ), 1 ≤ σ ≤ p y se cumple:

λ(a, b) = λ(J1) + · · ·+ λ(Jp).


Armamos que cada Jσ ⊂ I ′i para algún i. Llamamos Λ = 1, . . . , p, Λi = σ ∈Λ : Jσ ⊂ I ′i, 1 ≤ i ≤ m.

Como puede ser que Λi ∩ Λs sea no vacío denotamos:

Λ′1 = Λ1, Λ′

i = Λi \ Λ1 ∪ · · · ∪ Λi−1.

Entonces (los Jσ son disjuntos):

λ(a, b) =∑σ∈Λ

λ(Jσ) =

m∑i=1

∑σ∈Λ′

i

λ(Jσ) ≤m∑i=1

λ(I ′i) ≤m∑i=1

λ(Ii),

que es lo que queríamos demostrar. Nótese que hemos usado la desigualdad:∑σ∈Λ′

i

λ(Jσ) ≤ λ(I ′i),

que está justicada porque los Js del primer miembro son disjuntos dos a dos.Probamos ahora la armación. Ésta es inmediata para (a, x1) y (xp−1, b).

Tomemos pues Jσ:a < xσ−1 < xσ < b.

Si xσ = bk, como xσ−1 ∈ (as, bs) y xσ−1 y xσ son extremos consecutivos, ha deser:

xσ ≤ bs ⇒ (xσ−1, xσ) ⊂ (as, bs).

Si xσ = ak con la misma notación que antes ahora habrá de ser xσ < bs y sesigue la misma conclusión.

En el caso de intervalos cerrados Ndimensionales [a, b], a = (ai), b = (bi) seescribe igualmente:

(a, b) = I ′1 ∪ · · · ∪ I ′m I ′i = (a, b) ∩ Ii,

se proyecta cada intervalo I ′i = (ai, bi), ai = (aik), bi = (bik) en el eje j para

obtener(aj , bj) = (a1j , b

1j ) ∪ · · · ∪ (amj , b

mj ).

Formamos la partición x0, . . . , xpj resultado de unir los extremos ∪sasj , bsjy para γ ∈ 1, . . . , pj formamos el γj-ésimo intervalo Ijγ = (xγj−1, xγj ) en laproyección j.

Denotamos γ = (γi) ∈ Λ donde Λ = 1, . . . , p1 × · · · × 1, . . . , pN y cons-truimos los intervalos parciales de la partición N -dimensional

Iγ =N∏j=1

Ijγ .

Se tiene entonces queλ(a, b) =

∑γ∈Λ

λ(Iγ).


Armamos ahora que para cada γ ∈ Λ existe i ∈ 1, . . . ,m tal que Iγ ⊂ I ′i. Enefecto, si x ∈ Iγ entonces existe i tal que x ∈ I ′i. Al proyectar en la dirección jresulta que:

xj ∈ πj(Iγ) = (xγj−1, xγj ) & xj ∈ πj(I′i) = (aij , b

ij).

Sin embargo se observa ahora que xγj−1 es el mayor xσ de los elementos de lapartición que cumple xσ < xj mientras xγj es el menor xσ′ de entre los de lapartición que cumple xσ′ > xj . Como aij , b

ij son elementos de la partición se

tiene que:

aij ≤ xγj−1 < xγj ≤ bij ⇒ (xγj−1, xγj ) ⊂ (aij , bij).

Siendo esto verdad para cada j se concluye que Iγ ⊂ I ′i.La idea original de esta demostración procede de SteinSakarchi ([17]).

Probaremos más tarde que abiertos y cerrados son siempre medible Lebesgue.

1.5.2. Medida de Lebesgue-Stieltjes

En teoría de probabilidades, las variables aleatorias inducen medidas de Bo-rel nitas, es decir, medidas µ cuyo dominio contiene a los borelianos B1 de Rque cumplen µ(R) <∞. Se llama a

f(a) := µ(−∞, a]

la función de distribución de la medida. La función f es creciente, continua porla derecha, f(a)− f(a−) = µa mientras µ(a, b] = f(b)− f(a).

Se considera ahora el proceso inverso. Se designa por K la clase de los inter-valos abiertos (a, b) de R (junto con ∅). Si f es una función creciente y continuapor la derecha se dene:

λ(a, b) = f(b)− f(a), (1.7)

junto con λ(∅) = 0.

Denición 1.31. La medida en R asociada a (λ,K), donde λ está denidamediante (1.7), se denomina de Lebesgue-Stieltjes.

Proposición 1.32. Sea f creciente y continua por la derecha y designemosµ∗f = µ∗. Entonces:

a) Para todo x ∈ R: µ∗x = f(x+) − f(x−) = f(x) − f(x−) con f(x±) =lımh→0+ f(x± h).

b) Si a < b entonces µ∗[a, b] = f(b+)−f(a−) = f(b)−f(a−), µ∗(a, b) = f(b−)−f(a+) = f(b−) − f(a), µ∗[a, b) = f(b−) − f(a−), µ∗(a, b] = f(b+) − f(a+) =f(b)− f(a).

Como en el caso de la medida de Lebesgue, comprobaremos que abiertos ycerrados cualesquiera son medibles para µ∗

f


1.5.3. Existencia de conjuntos no medible-Lebesgue

Construimos un conjunto F ⊂ [0, 1) no medible Lebesgue. Para ello desig-namos por [x] clase de x módulo Q: [x] = x+Q. Como la aplicación t 7→ t+ xes bicontinua, [x] es densa y corta a [0, 1). A cada clase [x] asignamos un únicor[x] ∈ [0, 1). Como las clases son disjuntas los r[x] asociados son distintos entresí, es decir, [x] = [y] lleva a r[x] = r[y]. Llamamos F ⊂ [0, 1) al conjunto de talesr[x]. Como primera observación resulta:

R =∪x∈R

[x] =∪r∈F

[r] =∪r∈F

r +Q =∪q∈Q

F + q.

Probamos la no medibilidad de F estableciendo que, de serlo, su medida habríade ser cero. Como F+q tiene entonces medida cero llegamos a una contradiccióna la vista de la última igualdad.

Que la medibilidad de F lleva a µ(F ) = 0 es consecuencia de que los con-juntos:

F +1

k⊂ [0, 2],

para k ∈ N, son disjuntos dos a dos. Se razona así:

mµ(F ) = µ

(m+1∪k=2

F +1

k

)≤ µ([0, 2]) = 2,

para m arbitrario. Por tanto µ(F ) = 0. En conclusión, F no puede ser medibleLebesgue.

A principios del XX, Vitali probó que todo conjunto A de la recta real, conmedida exterior de Lebesgue positiva contiene una parte M que no es medibleLebesgue. A efectos de tal construcción (cf. [5]) consideramos en I = [0, 1) elconjunto F que acabamos de denir: [x] 7→ r ∈ [0, 1) ∩ [x] asignando por tantor's distintos a clases distintas.

Introducimos en I = [0, 1) la suma ⊗ módulo 1: x⊗y = x+y−x+y (con· la parte entera). Observamos las siguientes propiedades:

1. Para q ∈ I, la aplicación fq, x 7→ q ⊗ x es biyectiva con inversa x 7→(1− q)⊗ x.

2. fq preserva los conjuntos medibleLebesgue.

3. fq preserva la medida exterior.

Denotamos ahora qn a los racionales en [0, 1) y ponemos Fn = qn ⊗ F =[(qn + F ) ∩ I] ∪ [(qn + F ) ∩ [1, 2) − 1]. Resulta entonces que Fn dene unapartición de [0, 1). En efecto, las clases son disjuntas pues:

q1 ⊗ F ∩ q2 ⊗ F = ∅ ⇒ q1 ⊗ r1 = q2 ⊗ r2 ⇒ r1 = r2.

Ésto último implica que q1 = q2 y las clases son disjuntas.


Por otra parte ∪qn⊗F = I. En efecto, como antes R = ∪q∈QF + q. Si x ∈ I,entonces x = q + f para algún q ∈ Q. Por tanto

−1 < q < 1.

Si q ∈ I = [0, 1), x = q ⊗ f . Si −1 < q < 0 entonces

x+ 1 = q + 1 + f q + 1 ∈ I.

De ahí x = (q + 1)⊗ f ∈ (q + 1)⊗ F y hemos terminado.Probamos ahora que todo conjunto E ⊂ [0, 1) con µ∗(E) > 0, contiene una

parte no medible M ⊂ E.En efecto, tomamos E = ∪nFn ∩E, En := Fn ∩E, y algún En tiene medida

positiva exterior positiva. Sin embargo no puede ser medible pues resultaríaEn = qn ⊗ M con M ⊂ F medible de medida positiva. Esto no puede serporque ∪nqn ⊗M sería una parte de [0, 1) con medida innita. Así, En es unsubconjunto no medible de E.

Para concluir consideramosA ⊂ R con µ∗(A) > 0. Al cortar con ∪m∈Z[m,m+1) algún Am = A ∪ [m,m + 1) tiene medida exterior positiva. Tomamos M ⊂Am − m ⊂ [0, 1) no medible y M + m ⊂ Am resulta ser la parte no mediblebuscada.

1.5.4. Ejercicios

E) Medida de Lebesgue.

Se recuerda que la medida exterior de Lebesgue en RN se construye me-diante la clase K de los intervalos abiertos

Ia,b = (a1, b1)× · · · (aN , bN ),

ai < bi, i = 1, . . . , N , y la función:

λ(Ia,b) =

N∏i=1

(bi − ai).

1. Los puntos de RN son medible-Lebesgue de medida cero. Asimismo losconjuntos numerables de RN son medible-Lebesgue y tienen medida cero.

2. La medida exterior de Lebesgue de un intervalo [a, b] ⊂ R es µ[a, b] =b− a. Probar que los intervalos (a, b), [a, b), (a, b] tienen la misma medidaexterior.

3. Considérese la transformación T : R → R, T (x) = αx + β, α = 0. De-mostrar que T aplica conjuntos E medible-Lebesgue sobre conjuntos T (E)medible-Lebesgue. Demuéstrese asimismo que:

a) Para cada E: µ∗(T (E)) = |α| µ∗(E).

b) E de Lebesgue si y sólo si T (E) de Lebesgue.

c) Si E es de Lebesgue entonces µ(T (E)) = |α| µ(E).

1.6. MEDIDAS EXTERIORES MÉTRICAS 27

1.6. Medidas exteriores métricas

Denición 1.33. Sea (X, d) un espacio métrico, µ∗ una medida exterior en X.Se dice que µ∗ es una medida exterior métrica si

µ∗(A ∪B) = µ∗(A) + µ∗(B),

siempre que d(A,B) = dist (A,B) > 0.

La denición está justicada a la luz de la siguiente propiedad, cuya demos-tración se deja como ejercicio (Ejercicio 3).

Proposición 1.34. Si (X, d) es un espacio métrico con una medida exteriorµ∗ para la que los abiertos son medibles entonces µ∗ es una medida exteriormétrica.

El recíproco de la propiedad es cierto. La demostración precisa un resultadopreparatorio.

Lema 1.35. Sea (X, d) un espacio métrico, µ∗ una medida exterior métrica enX, G ⊂ X un abierto de medida exterior nita: µ∗(A) < ∞. Si para A ⊂ G ycada n ∈ N denimos:

An = x ∈ A : dist (x,Gc) ≥ 1

n,

entonces:µ∗(A) = lımµ∗(An).

En un espacio métrico (X, d) la σ-álgebra generada por los abiertos (coin-cidente con la que generan los cerrados) se denomina la σ-álgebra B de losconjuntos de Borel (o borelianos).

Proposición 1.36. En un espacio métrico (X, d) en el que la medida exteriorµ∗ es métrica todos los abiertos son medibles y en consecuencia lo son todos losconjuntos de Borel.

Nos ocupamos de la construcción de medidas exteriores métricas. Suponga-mos que K es una clase de recubrimiento numerable con la propiedad de quecada una de las clases:

Kn = K ∈ K : d(K) = diam (K) ≤ 1

n

es también de recubrimiento numerable. Si λ : K → [0,+∞] podemos denirpara cada n la medida exterior:

µ∗n(A) = ınf

∞∑s=1

λ(Ks) : A ⊂ ∪∞s=1Ks , Kss∈N ⊂ Kn.

Como las clases Kn decrecen con n resulta que µ∗ ≤ µ∗n ≤ µ∗

n+1. Se tiene elsiguiente resultado.


Proposición 1.37. En las condiciones precedentes, la función de conjunto:

µ∗0(A) = lımµ∗

n(A) = supµ∗n(A),

dene una medida exterior métrica en X.

Demostración. Que µ∗0 es una medida exterior se sigue de la Proposición 1.21

(Ejercicio 5).Tomamos A,B con d(A,B) = d > 0 y µ∗

0(A+B) <∞ y se quiere ver que:

µ∗0(A+B) ≥ µ∗

0(A) + µ∗0(B).

Elegimos 1n0

< d. Fijado ε > 0 para todo n ≥ n0, ∃Ks ⊂ Kn t. q. A + B ⊂∪∞s=1Ks y

µ∗n(A+B) + ε ≥

∑Ks ≥

∑Ks∩(A+B)=∅

Ks =∑

Ks∩A=∅

Ks +∑

Ks∩B =∅

Ks

≥ µ∗n(A) + µ∗

n(B), (1.8)

de dondeµ∗0(A+B) + ε ≥ µ∗

n(A) + µ∗n(B),

lo que implica la desigualdad deseada al hacer n→ ∞ y después ε→ 0+.

La proposición anterior indica cómo construir medidas exteriores métricas.Las medidas exteriores de Lebesgue y Lebesgue-Stieltjes se fabricaron en térmi-nos de µ∗. Por otro lado:

µ∗ ≤ µ∗0.

Resulta por tanto de interés saber cuándo es métrica la propia medida exteriorµ∗. El problema se resuelve en el siguiente resultado donde se dan condicionesasegurando que µ∗ = µ∗

0.

Teorema 1.38. Sean (X, d) un espacio métrico, K una clase de recubrimientonumerable de forma que cada subclase Kn posee también dicha propiedad, λ :K → [0,+∞] una función de conjunto.

Si para todo n ∈ N, K ∈ K, ε > 0 existe Kss∈N ⊂ Kn tales que:

K ⊂ ∪∞s=1Ks,

∞∑s=1

λ(Ks) ≤ λ(K) + ε,

resulta entonces que µ∗ = µ∗0. En particular, µ∗ es una medida exterior métrica.

Demostración. Ya se sabe que µ∗ ≤ µ∗0. Tomamos A ⊂ X con µ∗(A) < ∞.

Dado ε > 0 existe Krr∈N ⊂ K tal que:

∞∑r=1

λ(Kr) ≤ µ∗(A) +ε

2.

1.6. MEDIDAS EXTERIORES MÉTRICAS 29

Ahora, para cada r existe Krss∈N ∈ Kn tal que Kr ⊂ ∪∞s=1Krs y

∞∑s=1

λ(Krs) ≤ λ(Kr) +1

2

ε

2r.

Como

A ⊂ ∪(r,s)Krs,

entonces

µ∗n(A) ≤

∑r

∑s

λ(Krs) ≤∞∑r=1

λ(Kr) +ε

2≤ µ∗(A) + ε,

de donde se deduce, al hacer n→ ∞ y después, ε→ 0 que µ∗0(A) ≤ µ∗(A).

En la sección de ejercicios se estable el siguiente resultado.

Teorema 1.39. La medida exterior de Lebesgue en RN es una medida exteriormétrica y por tanto los borelianos son medible-Lebesgue. La medida exterior deLebesgue-Stieltjes en R también dene una medida exterior métrica.

Demostración. Consideramos el caso de la medida de Lebesgue y N = 1. Toma-mos un intervalo (a, b) y para aplicar el Teorema 1.38 lo dividimos en M partes

x0 = a, . . . , xM = b de longitud ∆xi =b− a

My observamos que

λ(a, b) = λ(I1) + · · ·+ λ(IM ),

con Ii = (xi−1, xi) pero

I1 ∪ · · · ∪ IM = (a, b) \ x1, . . . , xM−1.

Para recubrir (a, b) cambiamos Ii por I ′i = (xi−1, xi+η

M). Ahora los I ′i recubren

(a, b) con

λ(I ′1) + · · ·+ λ(I ′M ) = λ(a, b) + η

Si nos damos ε > 0 y n ∈ N basta tomarb− a

M+

η

M<

1

ny η = ε.

Si por otra parte usamos el hecho de que f es continua por la derecha, lamisma idea sirve para demostrar que la medida exterior de Lebesgue-Stieltjes(Denición 1.31) es una medida exterior métrica.

Que la medida exterior de Lebesgue en RN es una medida exterior métricaen el caso n ≥ 2 se propone como ejercicio (véanse los Ejercicios 6, 7 y 8).


1.7. El conjunto ternario de Cantor

Que los conjuntos numerables son de medida nula es algo que ha quedadoclaro. Se construye ahora un conjunto nulo que no es numerable.

Consideramos un intervalo I = [a, b]. Se dene (cf. [13]):

I∗ =

[a, a+

l

3

]∪[a+

2

3l, b

]l = b− a,

es decir, el resultado de quitar a I el tercio medio. Partiendo de I = [0, 1],denimos A1 = I∗, . . . An+1 = A∗

n (la operación ∗ aplicada a una colecciónde intervalos actúa separadamente sobre cada uno de ellos). Resulta así que An

está formado por 2n intervalos disjuntos de longitud 1/3n cumpliendo que:

An+1 ⊂ An.

Se dene el conjunto de Cantor C como:

C = ∩∞n=1An.

C es cerrado y no vacío. De hecho, la generación n-ésima de intervalos es

An = [an1 , bn1 ] ∪ · · · ∪ [an2n , b

n2n ] = ∪2n

k=1[ank , b

nk ] = ∪2n

k=1Ink ,

donde Ink = [ank , bnk ]. Resulta que:

∪∞n=1∪2n

k=1ank , bnk ⊂ C,

pues los extremos de la generación n se convierten en extremos de la generaciónsiguiente. De hecho, el intervalo Ink da lugar a los dos intervalos In+1

2k−1 y In+12k−1

de forma que

an+12k−1 = ank , an+1

2k = ank +2

3n+1

mientras

bn+12k−1 = ank +

1

3n+1, bn+1

2k = bnk .

Por otro lado en la generación n, la sucesión de los 2n extremos ank es exacta-mente:

ank =n∑

l=0

xl3l

xl ∈ 0, 2.

Esto se prueba por inducción. La secuencia ordenada de tales extremos se re-presenta como la sucesión de dígitos que en base 3 tienen la forma 0.x1 . . . xncon los xs ∈ 0, 2.

Una primera conclusión es que todos los números de [0, 1] que en base tresse representan con 0's y 2's:

x =∞∑k=0

xk3k

xk ∈ 0, 2 (1)

1.7. EL CONJUNTO TERNARIO DE CANTOR 31

pertenecen al conjunto de Cantor. Recíprocamente, si x ∈ C, x ∈ An para todon,

0 ≤ x− ank ≤ 1

3n, k = k(n).

Esto prueba quex = lım

n→∞ank(n).

Por otro lado x ∈ Ink ∩In+1k′ donde k = k(n), k′ = k(n+1). Como todo intervalo

de la generación n+ 1 sólo corta a uno de la anterior entonces In+1k′ ⊂ Ink .

De ahí:

an+1k(n+1) =

ank(n)

ó

ank(n) +2

3n+1.

En cualquiera de los dos casos an+1k(n+1) y a

nk(n) comparten las n primeras cifras.

Llamamos ahora yn a la cifra nésima de ank(n) y ponemos

y =∑n

yn3n.

Se tiene:x− y = (x− ank(n))− (y − ank(n)).

Resulta evidente que éstas dos últimas cantidades tienden a cero.

Teorema 1.40. El conjunto de Cantor:

C = ∩∞n=1An = x =

∞∑k=0

xk3k

: xk ∈ 0, 2.

Por otra parte, la medida de Lebesgue de C es cero.

Demostración. Como C ⊂ An para todo n,

µ(C) ≤ µ(An) =

(2

3

)n

→ 0,

cuando n→ ∞.

El conjunto de Cantor C es no numerable. Esto se sigue de la siguientepropiedad.

Proposición 1.41. El conjunto C es biyectivo a 0, 2N.

Demostración. Se dene

f : 0, 2N −→ C(xi) 7−→

∑ixi

3

.


Basta probar que f es inyectiva. A tal efecto suponemos:

0.x1 . . . xn−1xn · · · = 0.y1 . . . yn−1yn . . .

y admitimos que la primera discrepancia de cifras está en el lugar n en dondexn < yn, luego xn = 0, yn = 2. Manipulando la identidad llegamos a

0.xnxn+1 · · · ≤ 0,0a2= 0,1 < 0,2 ≤ 0.ynyn+1 . . . ,

que por hipótesis no es posible.

Observaciones 1.17.

a) Del teorema se deduce que el cardinal de C es c el cardinal de R.b) Como C tiene medida cero todos sus subconjuntos son medible-Lebesgue.El cardinal de todas las partes de C es 2c que es un cardinal estrictamentemayor que la potencia del continuo c. Esto dice que hay una enorme cantidadde conjuntos medibles.

c) Se puede probar que el cardinal de la σ-álgebra de Borel BR es c (ver [8]). Debehaber entonces (muchos) conjuntos medibleLebesgue que no son borelianos.

1.8. Medidas de Hausdor

En RN y con s > 0 se dene la medida exterior:

µ∗s,δ(A) = ınf

∞∑n=1

d(En)s : A ⊂ ∪∞

n=1En, Enn∈N ⊂ Kδ,

donde Kδ son los conjuntos de RN de diámetro menor o igual que δ. Las µ∗s,δ

crecen cuando δ → 0+ y, según sabemos:

µ∗s(A) := lım

δ→0+µ∗s,δ(A) = sup

δ→0µ∗s,δ(A),

es una medida exterior métrica. La medida asociada se llama la medida deHausdor de orden s. Con un poco de cuidado se comprueba que los En de ladenición se pueden cambiar por abiertos de diámetro menor o igual que δ yse obtiene la misma medida exterior. La idea es que si B(A, ε) denota la bolacon centro A y radio ε entonces diam(B(A, ε)) → diam(A) cuando ε→ 0+. Sinembargo, en R podemos incluso cambiar abierto por intervalo abierto. Esto sesigue de que todo abierto se puede introducir en un intervalo abierto del mismodiámetro.

Por tanto, en una dimensión:

µ∗s,δ(A) = ınf

∞∑n=1

(bn − an)s : A ⊂

∪n

(an, bn), bn − an < δ,

1.8. MEDIDAS DE HAUSDORFF 33

deniéndose µ∗s como arriba. Se observa que µ∗

s es la medida de Lebesgue cuandos = 1.

En el caso s = 0 es costumbre denir la medida de Hausdor de orden ceroµ∗0 como la medida de contar, e. d., el cardinal si el conjunto es nito, innito

en caso contrario.

Proposición 1.42. Sea E ⊂ RN y supongamos que 0 ≤ s < t.

a) Si 0 ≤ µ∗s(E) <∞ entonces µ∗

t (E) = 0 ∀t > s.

b) Si 0 < µ∗t (E) ≤ ∞ entonces µ∗

s(E) = ∞ ∀s : 0 ≤ s < t.

Demostración. Debe notarse que si µ0(E) es nito, E es nito y µ∗s(E) = 0,

∀s > 0. Por otro lado, si µ∗s(E) > 0 entonces E es innito y µ∗

0(E) = ∞.Probamos a). Para un recubrimiento En de E con d(En) < ε ∀n, se tiene:∑

d(En)t ≤ εt−s

∑d(En)

s ⇒ µ∗t,ε(E) ≤ εt−sµ∗

s,ε(E).

Como µ∗s,ε(E) = O(1) cuando ε→ 0+ obtenemos el resultado. En el caso b),

1

εt−s

∑d(En)

t ≤∑

d(En)s ⇒ 1

εt−sµ∗t,ε(E) ≤ µ∗

s,ε(E),

donde no queda excluido que µ∗t,ε(E) = ∞. Al ser µ∗

t (E) > 0 se obtiene µ∗s(E) =

∞ cuando ε→ 0+.

Proposición 1.43. Si E ⊂ RN entonces µ∗s(E) = 0 para todo s > N

Demostración. Observamos que existe CN sólo dependiente de N tal que

d(Q)N ≤ CNvol(Q)

para todo cubo abierto.Se tiene que para todo E ⊂ RN

µ∗N,ε(E) ≤ λ∗N,ε(E)

puesto que los cubos son sólo una clase especial de abiertos. Luego:

µ∗N (E) ≤ CNλ

∗N (E),

donde λ∗N es la medida exterior de Lebesgue en RN .Ponemos E = ∪En donde los En tienen medida exterior λ∗N nita y resulta

que µ∗s(En) = 0 para s > N de lo que

µ∗s(E) ≤

∑µ∗s(En) = 0.

Teorema 1.44. Sea E ⊂ RN . Entonces

sH(E) := ınfs > 0 : µ∗s(E) = 0 = sups ≥ 0 : µ∗

s(E) = ∞ ≤ N.


Observación 1.18. El número sH(E) de la proposición se denomina la dimensiónde Hausdor de E.

Demostración del teorema. Llamamos s1 y s2 a los números que denen sH .Claramente s1 ≤ N junto con s1 ≥ s2 pues si s, s′ son números implicados ensendos conjuntos ha de ser s ≥ s′. Si s1 = 0, µ∗

0(E) puede ser tanto nito comoinnito. En el primer caso el segundo conjunto es vacío y en el segundo caso0, ésto último siendo coherente con la armación del teorema pues s2 = 0.

Si s1 > 0 ha de ser µ∗s(E) = ∞ para todo 0 ≤ s < s1 (caso contrario se

contradiría la denición de s1). Luego s1 = s2.

Proposición 1.45. Si G ⊂ RN es un abierto no vacío de RN resulta quesH(G) = N . En particular sH(RN ) = N y, como se havisto, las partes de RN

tienen dimensión de Hausdor no superior a N .

Proposición 1.46. El conjunto ternario de Cantor C tiene dimensión de Haus-dor sH(C) = log 2/ log 3. Además, para tal valor de s se tiene que µs(C) = 1.

1.8.1. Ejercicios

F) Medidas exteriores métricas.

1. Sea (X, ρ) un espacio métrico, A ⊂ X. Demostrar que si A es cerrado conx /∈ A entonces ρ(x,A) > 0.

2. Sea (X, ρ) un espacio métrico, A ⊂ X, x, y ∈ X. Si ρ(x,A) > α > β >ρ(y,A) pruébese que ρ(x, y) > α− β.

3. Demuéstrese que si (X, ρ) es un espacio métrico dotado de una medidaexterior µ∗ para la que los abiertos son conjuntos medibles, entonces µ∗

es una medida exterior métrica.

4. Sea µ una medida cuyo dominio es la σ-álgebra A. Para E,F ∈ A sedene:

ρ(E,F ) = µ ((E \ F ) ∪ (F \ E)) .

Pruébese que ρ satisface la desigualdad triangular en A, es decir:

ρ(E,G) ≤ ρ(E,F ) + ρ(F,G),

cualesquiera que sean E,F,G ∈ A.

5. Sea (X, ρ) un espacio métrico, xn una sucesión en X. Para E ⊂ X de-namos µ∗(E) como el número de puntos xn que pertenecen a E. Pruébeseque µ∗ es una medida exterior métrica.

G) La medida de Lebesgue en RN : propiedades más nas.


6. Sea K la clase de los intervalos abiertos Ia,b = (a1, b1)× · · · × (aN , bN ) enRN con

λ(Ia,b) =N∏i=1

(bi − ai).

Para ai ∈ R, δi > 0, ri ∈ N jamos bi = ai + riδi,

Iai,bi,γi = (ai + (γi − 1)δi, ai + γiδi) γi = 1, . . . , ri.

Introducimos a = (a1, . . . , aN ), b = (b1, . . . , bN ) mientras que para γ =(γ1, . . . , γN ) ∈ 1, . . . , r1 × · · · 1, . . . , rN denimos:

Ia,b,γ =

N∏i=1

Iai,bi,γi .

Probar que:λ(Ia,b) =

∑γ

λ(Ia,b,γ).

7. Sean ε > 0, a, b ∈ RN , ai < bi para cada i ∈ 1, . . . , N mientrasIa−ε,b+ε =

∏Ni=1(ai − ε, bi + ε). Demostrar que λ(Ia−ε,b+ε)− λ(Ia,b) < cε

con c = O(1) cuando ε→ 0+.

Nota. Resultará de mucha utilidad conocer cómo depende c de ε y de lasdiferencias bi − ai (los lados de Ia,b).

8. El objetivo del ejercicio es probar que los conjuntos de Borel de RN sonconjuntos de Lebesgue para lo cual demostraremos que la medida exteriorde Lebesgue es métrica. Pruébese a tal n que dados un intervalo Ia,b,ε > 0, m ∈ N arbitrarios, existen intervalos abiertos I1, . . . , IM , con

Ia,b ⊂ I1 ∪ · · · IM ,

con d(Ii) < 1/n para cada i (d(A) es el diámetro de A), de suerte que:

λ(I1) + · · ·+ λ(IM ) ≤ λ(Ia,b) + ε.

Indicación. Para cada n ∈ N fracciónese Ia,b usando hiperplanos xi =ai+γiδi, con los δi > 0 pequeños como para que d(Ia,b,γ) < 1/n para cadaγ. Usar después que:

λ(Ia,b) =∑γ

λ(Ia,b,γ).

9. Supóngase que Ick,ekmk=1 es un recubrimiento por intervalos abiertosde un intervalo cerrado Ia,b. Para r ∈ N arbitrario tomemos δi = bi −ai/r. Pruébese la existencia de un recubrimiento Iαk,βk

mk=1 de Ia,b porintervalos abiertos, αk = (αki), βk = (βki), con:

αki = ai + γ′iδi βki = ai + γ′′i δi,


γ′i, γ′′i ∈ Z,

Ick,ek ⊂ Iαk,βk,

y

λ(Iαk,βk) ≤ λ(Ick,ek) +

C

r,

donde C no depende de r.

Indicación. Para i jado, tómese αki el máximo ai+γδi ≤ ci,k, γ entero,βk,i el mínimo ai + γ′δi ≥ ek,i, γ′ entero.

10. Sea Ia,b un itervalo cerrado acotado. Pruébese que:

µ∗(Ia,b) = µ(Ia,b) = λ(Ia,b) =

n∏i=1

(bi − ai).

Indicación. Para una desigualdad usar que:

µ∗(Ia,b) ≤ µ∗(Ia−ε,b+ε) ≤ λ(Ia−ε,b+ε) ε > 0,

a n de concluir:

µ∗(Ia,b) ≤n∏

i=1

(bi − ai).

Para la desigualdad contraria pruébese que si E1, . . . , Em son intervalosabiertos cumpliendo:

Ia,b ⊂ ∪mk=1Ek

entonces para cualquier ε > 0 se satisface que:

n∏i=1

(bi − ai) ≤m∑

k=1

λ(Ek) + ε. (1)

Tal estimación y la arbitrariedad de ε y los Ek lleva a que:

n∏i=1

(bi − ai) ≤ µ∗(Ia,b).

A los efectos de probar (1) usamos el problema 48, construimos Iαk,βk⊃

Ek, k = 1, . . . ,m, con αik = ai + γiδi, βik = ai + γ′iδi, γi, γ′i ∈ Z, δi =

(bi − ai)/r, con r ∈ N sucientemente grande como para que Cm/r < ε,con C la constante del problema 48. Tenemos entones:

λ(Iαk,βk) =

∑γ∈Λk

λ(Ia,b,γ), λ(Ia,b) =∑γ∈Λ

λ(Ia,b,γ),

Λ = 1, . . . , rk, Λk ⊂ Zk, junto con:

Ia,b ⊂ ∪mk=1Iαk,βk

,


de donde:Λ ⊂ ∪m

k=1Λk.

Se concluye de ahí que

λ(Ia,b) =∑γ∈Λ

λ(Ia,b,γ) ≤m∑

k=1

∑γ∈Λk

λ(Ia,b,γ) =m∑

k=1

λ(Iαk,βk) ≤

m∑k=1

λ(Ek)+ε.

11. Sea Ia,b un intervalo abierto acotado de RN . Probar que:

µ(Ia,b) = µ∗(Ia,b) = µ∗(Ia,b) = λ(Ia,b) =

N∏i=1

(bi − ai).

12. Si F es medible-Lebesgue en RN con µ(F ) < ∞ probar que para cadaε > 0 existe un G ⊃ F abierto tal que µ(G) < µ(F ) + ε.

13. Sea F un conjunto medible-Lebesgue de Rn con µ(F ) < ∞ probar quepara cada ε > 0 existe un compacto K ⊃ F tal que µ(F )− ε < µ(K).

Indicación. Conviene empezar suponiendo que F está acotado, e. d.F ⊂ B donde B es una bola de RN . Si F c es el complementario de F en Bpruébese entonces que F = lımGn ∩ B con µ(F ) = lımµ(Gn ∩ B) dondeGn es una sucesión de abiertos. Extráigase de ahí la conclusión.

14. Si F es medible-Lebesgue en RN pruébese la existencia de un borelianoE ⊃ F que cumple µ(E \ F ) = 0. Conclusión: todo conjunto de Lebesguecontiene un conjunto de Borel del que diere en un conjunto de medidanula (en particular tienen la misma medida).

• El Ejercicio 14 arma que la σ-álgebra de los conjuntos medible-Lebesguees la completación en el sentido del Capítulo I de la σ-álgebra de losconjuntos de Borel.

15. Probar que una recta de RN (n ≥ 2) tiene medida de Lebesgue cero.Más generalmente, probar que un subespacio k dimensional de RN conk ≤ N − 1 tiene medida cero.

Indicación La propiedad es consecuencia del Ejercicio 11 si los planos sonparalelos a los hiperplanos coordenados xi = 0 (ver también el Ejercicio17).

16. Probar que el la esfera ∂B(0, R) tiene medida cero (B(0, R) = |x| < R).Indicación. Probar primero que µ(B(0, R)) = RNµ(B(0, 1)) (ver Ejer-cicio 17).

17. Sea T : RN → RN la transformación afí n Tx = Ax + k, A matrizN × N invertible k ∈ RN . Se demostrará más tarde que µ(T (Ia,b)) =|det A|λ(Ia,b). Pruébese que las armaciones del Ejercicio 3 se extiendenal caso de Rn para la aplicación T .


18. Para una función creciente f : R → R, continua por la derecha, la medidaexterior µ∗

f de Lebesgue-Stieltjes en R se dene a través de λ denida enla clase de los intervalos abiertos como:

λ(a, b) = f(b)− f(a).

Pruébese que:µ∗f (a, b] = f(b)− f(a).

Asimismo:µ∗f [a, b] = f(b)− f(a−).

19. Pruébese que la medida exterior de Lebesgue-Stieltjes es una medida ex-terior métrica.

20. Sea f(x) = 0 si x < 0, f(x) = 1 si x ≥ 0. Probar que:

µf(−1, 0) < f(0)− f(−1),

donde µf es la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a f .

1.9. MEDIDAS CON SIGNO: CARGAS 39

1.9. Medidas con signo: cargas

Una función de conjunto µ con dominio en una σ-álgebra A se dice unamedida con signo si:

a) µ(∅) = 0,

b) µ toma valores o bien en [−∞,∞) o bien en (−∞,+∞], es decir µ tomavalores en R, tanto positivos como negativos. Sin embargo, si µ alcanzael valor −∞ (respectivamente, ∞) ya no puede valer ∞ (respectivamente,−∞) en ningún otro conjunto de A.

c) µ es completamente aditiva.

El mejor ejemplo de medida con signo es:

µ = µ1 − µ2,

donde µ1, µ2 son medidas una de ellas nita.Un conjunto A ∈ A se dice positivo si µ(B) ≥ 0 para todo B ∈ A, B ⊂ A.

Equivalentemente, si µ(A ∩ C) ≥ 0 para todo C ∈ A. Los conjuntos negativosse denen de manera análoga.

Proposición 1.47. Si A ∈ A tiene medida nita |µ(A)| < ∞ todo B ⊂ Amedible tiene también medida nita: |µ(B)| <∞.

Teorema 1.48 (Teorema de descomposición de Hahn). Si µ es una medida consigno existe una partición de X en dos conjuntos medibles A,B ∈ A, A∪B = X,A ∩B = ∅, donde A es positivo y B negativo.

Corolario 1.49 (descomposición de Jordan de una medida con signo). Si µ esuna medida con signo existen medidas µ+, µ−, una de ellas nita, tales que:

µ = µ+ − µ+.

Demostración. Si A,B es una descomposición de Hahn basta tomar:

µ+(E) = µ(E ∩A) µ−(E) = −µ(E ∩B).

Nótese que aunque caben innitas descomposiciones de Hahn en X las medi-das µ+, µ− no dependen de tales descomposiciones. Esto se deja como ejercicio.Las medidas µ+, µ− se llaman, respectivamente, las variaciones positiva y ne-gativa de µ. La medida |µ| := µ+ + µ− se conoce como la variación total deµ.


1.9.1. Ejercicios

H) Medidas con signo.

1. Sea X = ∪∞n=1An, µ una medida con signo tal que: |µ(An)| < ∞ para

cada n. Demuéstres que µ+, µ− son σ-nitas.

2. Sea µ una medida con signo mientras En designa una sucesión monótonade conjuntos medibles (en la que se supone |µ(E1)| < ∞ en caso de lasucesión sea decreciente). Pruébese que:

µ(lımEn) = lımµ(En).

3. Dese un ejemplo de medida con signo para la que la descomposición deHahn no sea única.

4. Sean µ± los elementos de la descomposición de Jordan de una medida consigno µ asociada a una descomposición de Hahn X = A ∪B, a saber:

µ+(E) = µ(E ∩A) µ−(E) = −µ(E ∩B).

Pruébese que las medidas µ± no dependen de la descomposición de Hahn.Es decir si X = A′ ∪B′ dene una nueva descomposición, entonces:

µ+(E) = µ(E ∩A′) µ−(E) = −µ(E ∩B′).

5. Una medida compleja es por denición una función de conjunto µ : A → C,es decir con valores nitos, tal que i) A es una σ-álgebra, ii) µ es com-pletamente aditiva, iii) µ(∅) = 0. Pruébese que µ es una medida complejacon dominio en A si y sólo si existen medidas µi, 1 ≤ i ≤ 4, tales que:

µ = µ1 − µ2 + i(µ3 − µ4).

1.10. Soluciones a los Ejercicios del Capítulo 1

C) Medidas completas.

• Solución 9. Si A es una σ-álgebra y Ac = Ac : A ∈ A entonces Ac = A.Nótese que A∗ = Ac

.

D) Medidas exteriores

• Solución 8. µ∗(A) es el número de elementos de A si A es nito, µ∗(A) = ∞si A es innito.

• Solución 9. µ∗(A) = 0 si A es nito o numerable, µ∗(A) = 1 si A es nonumerable.

• Solución 10. Para el ejemplo basta tomar X numerable, K = x : x ∈X ∪ ∅, X, λ(X) = 1, λ = 0 en otro caso. µ∗(X) = 0.

1.10. SOLUCIONES 41

G) Medida de Lebesgue en RN .

• Solución 15. Basta probar que si V ⊂ RN es N − 1-dimensional entoncesµ(V ) = 0.

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que eN /∈ V .

Tomamos el cubo unidad I = [0, 1]N , Iγ = I + γ con γ ∈ ZN y resultaque:

V = ∪γVγ ,

donde Vγ = V ∩ Iγ . Demostramos que µ(Vγ) = 0. En efecto:

Vγ ⊂ Iγ,ε,

donde si J = Ia,b, Jε = Ia−(ε,...,ε),b+(ε,...,ε). Resulta obvio que:

Vm := Vγ +1

men ⊂ Iγ,ε,

para todo m ≥ m0, siendo los Vm disjuntos dos a dos. Como µ(Vm) =µ(Vk) = µ(Vγ) para k = m esto implica que µ(Vγ) = 0.

Capítulo 2

Funciones Medibles. Integralde Lebesgue

2.1. Funciones medibles

Se recuerda que un espacio de medida está denido por una terna (X,A, µ)en donde µ es una medida en X con dominio A. Siempre que no se advierta locontrario X designará un espacio de medida.

Se introduce a continuación la clase de funciones que se va a integrar.

Denición 2.1. Una función f : X → R se dice medible si f−1(G) es mediblecualquiera que sea el abierto G ⊂ R.

Más generalmente, se dice que una función f : X → Cm es medible si paratodo abierto G ⊂ Cn se cumple que f−1(G).

Observación 2.1. Si f : X → Y donde Y es un espacio de Banach separable,f se dice medible si f−1(G) es medible cuando G es cualquier abierto de Y .Más adelante se aclara el por qué de la condición de separabilidad de Y (ver laObservación 2.5).

La siguiente propiedad resulta de suma utilidad.

Propiedad 2.2. Sea (X,A, µ) un espacio medible y f : X → Y donde Y esmeramente un conjunto. La clase

Af := B ⊂ Y : f−1(B) ∈ A,

es una σ-álgebra en Y (la σ-álgebra pullback de f).

Observaciones 2.2.

a) Se sabe que cada una de las clases a, b de intervalos de la forma: a, b =(−∞, b), a, b = (a,+∞), a, b = (−∞, b], a, b = [a,+∞), a, b = (a, b),a, b = [a, b), a, b = (a, b] o a, b = [a, b] genera, separadamente la σ-álgebra

43

44 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE

de los borelianos de R. Por tanto, si f : X → R y para una clase cualquierade intervalos se tiene que f−1(I) es medible, donde I es un intervalo arbitrariode la clase, entonces f es medible. Más aún, para todo conjunto boreliano B secumple que f−1(B) es medible.

b) Si Y es un espacio de Banach, B ⊂ Y un boreliano y f : X → Y es medibleentonces f−1(B) es medible.

La noción de función medible se extiende al caso de funciones con valores en[−∞,∞].

Denición 2.3. Una función f : X → [−∞,∞] es medible si

i) f−1(−∞) y f−1(∞) son conjuntos medibles.

ii) f−1(G) es medible cualquiera que sea el abierto G ⊂ R.

Una consecuencia de las observaciones anteriores es la siguiente.

Proposición 2.4. Sea f : X → R = [−∞,∞] una función en donde X es unaespacio medible. Entonces f es medible si y sólo si:

a) f−1(−∞) y f−1(∞) son conjuntos medibles.

b) f−1(−∞, c) es medible para cada c ∈ R.

Observación 2.3. Si X0 es un subconjunto medible de X, todas las nocionesde función medible introducidas hasta el momento se extienden a funciones condominio X0. Es decir, funciones f : X0 → R, f : X0 → Cm, f : X0 → Yó f : X0 → [−∞,∞]. En todos los casos se requiere que para todo abierto G,f−1(G) sea una parte medible deX0 (añadiendo en el último caso que f−1(−∞),f−1(∞) sean medibles en X0). En realidad, estas deniciones están recogidasen las anteriores si observamos a X0 como el espacio de medida (X0,AX0 , µ0)donde AX0

= E ∩X0 : E ∈ A y µ0 = µ|AX0.

Uno de los ejemplos más sencillos de función medible es la función caracte-rística χA de un conjunto A ⊂ X (χA(x) = 1 si x ∈ A, χA(x) = 0 si x /∈ A). χA

es medible siempre que A lo sea.

Proposición 2.5. Sea fnn∈N una sucesión de funciones reales medibles enun espacio medible X, fn : X → [−∞,∞]. Entonces las funciones reales

f(x) = lim fn(x) = supn

ınfk≥n

fk(x),

yg(x) = lim fn(x) = ınf

nsupk≥n

fk(x),

son medibles. En particular, el límite puntual de una sucesión de funcionesmedibles es también una función medible.

Demostración. La idea principal es probar que el supremo h(x) = sup fn(x) defunciones medibles es medible. Nótese que h−1(−∞) = ∩nf

−1n (−∞), que

h−1(∞) = ∩N ∪n f−1n ([N,∞]), mientras h−1((−∞, c]) = ∩f−1

n ((−∞, c]).

2.1. FUNCIONES MEDIBLES 45

Proposición 2.6. Si f : X → R es medible, g : R → R continua entonces g fes medible. Si g : X → R es medible con g(x) = 0 para todo x ∈ X entonces 1/ges medible.

Proposición 2.7. Una función compleja f = u + iv es medible si y sólo si loson sus partes real e imaginaria u, v : X → R.

Este resultado es consecuencia de la siguiente proposición.

Proposición 2.8. Se considera f : X → RN , f(x) = (f1(x), . . . , fN (x)), dondeX es un espacio medible. Entonces, f es medible si y sólo si es medible cadauna de las componentes fi.

Proposición 2.9. Sean f, g : X → R funciones medibles. Entonces, el conjuntox : f(x) < g(x) es medible.

Demostración. Se puede escribir

x : f(x) < g(x) = ∪q∈Qf−1(−∞, q) ∩ g−1(q,∞),

de donde se deduce la armación.

Proposición 2.10. Sean f, g : X → [−∞,∞] funciones medibles tales quelos conjuntos f−1(∓∞) ∩ g−1(±∞) son vacíos, entonces f + g es medible.Análogamente, f − g es medible si f y −g cumplen las condiciones precedentes.

Proposición 2.11. Sean f, g : X → [−∞,∞] funciones medibles tales quef−1(±∞) ∩ g−1(0) y f−1(0) ∩ g−1(±∞) son vacíos. Entonces fg esmedible.

Demostración. Poniendo Y = X \|f(x)|+ |g(x)| = ∞ resulta de la propiedadde composición que fg es medible en Y . Como (fg)−1(−∞, c) ⊂ Y , tal conjuntoes medible en X.

Por otra parte fg−1(∞) = f−1∞∩ 0 < g ≤ ∞∪ f−1−∞∩−∞ ≤g < 0 ∪ g−1∞ ∩ 0 < f ≤ ∞ ∪ g−1−∞ ∩ −∞ ≤ f < 0 que es medible,y análogamente con (fg)−1(−∞).

Proposición 2.12. Sean f, g : X → R medibles y g(x) = 0 para todo x ∈ X.Entonces f/g es medible.

La siguiente noción juega un papel importante en la teoría de la integración.

Denición 2.13. Una función medible f : X → R se denomina simple si surango f(X) es nito.

Proposición 2.14. Si f : X → R es una función simple no nula entonces f sepuede representar en forma única como:

f(x) =

m∑i=1

αiχAi , (2.1)

donde los αi son distintos y los Ai son conjuntos disjuntos dos a dos.


Observación 2.4. La expresión (2.1) se llama la forma canónica de una funciónsimple.

Proposición 2.15. Toda función de la forma:

f(x) =m∑i=1

ciχEi(x),

donde ci ∈ R, Ei ∈ A para todo i ∈ 1, . . . ,m es simple.

Demostración. Es inmediato comprobar que el rango de f es nito.

Proposición 2.16. Si f : X → [0,∞] es una función medible entonces existeuna sucesión creciente gnn∈N de funciones simples tales que lım gn(x) = f(x)para cada x ∈ X. Asimismo, si f : X → [−∞,∞] es medible existe una sucesióngnn∈N de funciones simples tales que |gn| es creciente, |gn| ≤ |f | y aproximapuntualmente a f . En ambos casos si f es acotada la convergencia de gn haciaf es uniforme.

Observación 2.5. Si f : X → Y , Y un espacio de Banach separable, es unafunción medible en el sentido hecho preciso al principio del capítulo, entonces fse puede obtener como el límite puntual de una sucesión de funciones simples.Véase [1].

2.1.1. Ejercicios

1. Sea f : X → Y una aplicación Aii∈I una familia de subconjuntos de Y ,pruébese que:

a) f−1(∪iAi) = ∪if−1(Ai).

b) f−1(∩iAi) = ∩if−1(Ai).

c) Para A ⊂ Y , f−1(Ac) = [f−1(A)]c.

d) Para Bii∈I una familia de subconjuntos de X: f(∪iBi) = ∪if(Bi).

e) Para Bii∈I una familia de subconjuntos de X: f(∩iBi) ⊂ ∩if(Bi). Pón-gase un ejemplo para ilustrar la falsedad del contenido contrario.

2. Sea (X,A, µ) un espacio medible, Y ⊂ X, Y ∈ A. Sea AY = E ∈ A : E ⊂Y , µY (E) = µ(E) para E ∈ AY . Pruébese que (Y,AY , µY ) es un espaciomedible. Tal espacio es llamado un subespacio medible de (X,A, µ).

3. Sea Z ⊂ X y (Z,B, ν) un espacio medible. Pruébese que (X,A, µ) es unespacio medible donde A = E : E ∩ Z ∈ B, µ(E) = ν(E ∩ Z), E ∈ A.Pruébese también que (Z,AZ , µZ) es el propio espacio (Z,B, ν).

4. Sea (X,A, µ) un espacio medible, Y ∈ A y f : Y → R una función.Pruébese que f es medible si y sólo si es medible como función en Y conrespecto al subespacio (Y,AY , µY ).

2.1. FUNCIONES MEDIBLES 47

5. Si Y,X son conjuntos Y X se dene como el conjunto de las aplicacionesf : X → Y . Usando la idea de función característica ¾se te ocurre por qué2X suele designar al conjunto de todos los subconjuntos de X?.

6. Sea En una sucesión de conjuntos medibles y E∗ = limEn. Pruébeseque:

χE∗(x) = limχEn(x).

7. Se dene la parte positiva f+ de una función f como:

f+(x) =

f(x) f(x) > 0

0 f(x) ≤ 0,

mientras la parte negativa f− se dene como:

f−(x) =

0 f(x) > 0

−f(x) f(x) ≤ 0.

Pruébese que f es medible si y sólo si f+ y f− son medibles.

8. Si f es medible, entonces |f | y |f |2 son medibles.

9. Una función monótona denida en la recta real es medible-Lebesgue.

10. Pruébese que una función monótona tiene a lo más una cantidad numera-ble de discontinuidades.

11. Se dice que una función real f denida en un espacio métrico X es semi-continua superiormente (inferiormente) si para cada x ∈ X:

limy→x

f(y) ≤ f(x) [ f(x) ≤ limy→x

f(x) ].

Pruébese que si X está dotado de una medida exterior métrica y f essemicontinua inferior o superiormente entonces f es medible.

Indicación. Nótese que:

limy→x

f(y) = supδ→0+

ınfy∈B(x,δ)\x

f(y).

Demuéstrese que f es semicontinua inferiormente si y sólo si f−1(c,+∞)es abierto para cada c.

12. Sea f(x) una función medible y defínase:

g(x) =

1

f(x) f(x) = 0

0 f(x) = 0.

Pruébese que g es medible.


13. Se dene la clase de Baire n-ésima Cn de funciones f como: f ∈ Cn si f esel límite puntual de una sucesión de funciones fk ⊂ Cn−1, siendo C0 laclase de las funciones continuas. Pruébese que todas las funciones de Cnson medibles.

14. Pruébese que la función característica χQ de los racionales en R pertenecea C2.Indicación. Escríbase Q = qn y pruébese que si F = q1, . . . , qNentonces χF ∈ C1.

15. Sea f medible y defínase:

g(x) =

0 f(x) ∈ Q1 f(x) /∈ Q.

Pruébese que g es medible.

16. Sea G ⊂ RN un abierto. Pruébese que χG es el límite en en casi todopunto de una sucesión de funciones continuas.

2.2. Convergencia de funciones medibles. Teore-ma de Egoro. Convergencia en medida

Denición 2.17. Se dice que una propiedad P relativa a los elementos de unespacio de medida X es cierta en casi todo punto (abreviado en c.t. x ∈ X) sies satisfecha por todos los elementos de X \N , donde N tiene medida cero.

Observación 2.6. En otras palabras, el conjunto de puntos donde P no se cumplees subconjunto de un conjunto de medida cero N .

Si el espacio X es completo, P es válida si el conjunto donde P no se satisfacetiene medida cero.

Denición 2.18. Una función f : X → [−∞,∞] se dice casi medible ([1]) siexiste N ⊂ X de medida cero tal que f|Nc : N c → [−∞,∞] es medible.

El interés de la denición es la propiedad siguiente.

Proposición 2.19. Sea f : X → [−∞,∞] una función medible y g : X →[−∞,∞] una función que cumple g(x) = f(x) en c.t. x ∈ X. Entonces g es casimedible. En particular, g es medible si X es completo.

Demostración. Sea N un conjunto nulo tal que f = g en N c. Para G abierto

g−1(G) = g−1(G) ∩N c + g−1(G) ∩N = (f|Nc)−1(G) ∩N c + g−1(G) ∩N.

Como f = g en N c está claro que g es casi medible. En caso de que X seacompleto, el conjunto g−1(G) ∩N también es medible.

2.2. CONVERGENCIA 49

Observación 2.7. En muchos casos una función f se obtiene como límite en casitodo punto de una sucesión de funciones medibles. La siguiente denición esentonces útil.

Denición 2.20. Se dice que una función f : D ⊂ X → [−∞,∞] es casimedible si existe N nulo tal que N c ⊂ D y f|Nc : N c → [−∞,∞] es medible.

Observación 2.8. En este caso f no está denida en un conjunto Dc contenidoen otro de medida nula, luego la función está denida en casi todo punto. Si elespacio es completo el propio Dc es nulo.

Proposición 2.21. Si f : D ⊂ X → [−∞,∞] es casi medible, X es un espaciode medida completo y f es cualquier extensión de f a X entonces f es medible.

Proposición 2.22. Sean f, g funciones con dominios Df , Dg que toman valoresen [−∞,∞] y supongamos que f = g en casi todo punto, es decir, existe N nulo,N c ⊂ Df ∩Dg, tal que f = g en N c. Entonces g es casi medible si f lo es.

Denición 2.23. Se dice que una sucesión de funciones fn converge a f encasi todo punto, abreviadamente lım fn = f en c.t. x, si lım fn(x) = f(x) parac.t. x ∈ X.

Proposición 2.24. Sean fn : X → [−∞,∞] una sucesión de funciones medi-bles y f : X → [−∞,∞] tales que fn → f en casi todo punto, entonces f es casimedible. Más aún, f es medible si el espacio X es completo.

Demostración. Si Y es conjunto donde fn converge a f , f es medible en Y yf−1(G) ∩ Y es medible para todo abierto G. Siendo N = X \ Y tenemos quef−1(G) = f−1(G) ∩ Y + f−1(G) ∩N de donde f es medible.

Más generalmente se tiene lo siguiente.

Proposición 2.25. Sean fn : Dn → [−∞,∞] casi medibles, f : D → [−∞,∞]y fn → f en casi todo punto. Entonces f también es casi medible.

Demostración. Existe N nulo, N c ⊂ D∩Dn para todo n tal que fn → f en N c.Asimismo, fn es medible en N c

n luego todas las fn y por tanto f son mediblesen N c ∩ ∩nN

cn. Esto signica que f es casi medible.

Una función medible f : X → R se dice nita en c. t. x ∈ X si x : |f(x)| =∞ no excede un conjunto de medida cero.

Una sucesión de funciones fn converge uniformemente a una función f enen un conjunto E si tanto f como las fn son nitas en E y se satisface quelım supE |fn(x)− f(x)| = 0.

Denición 2.26. Una sucesión fn de funciones converge casi uniformementea una función f si para cada ε > 0 existe un conjunto E ⊂ X con µ(X \E) < εde suerte que fn → f uniformemente en E.

Observaciones 2.9.


a) Bajo las condiciones de la denición, para cada m existe Em con µ(Ecm) < 1

mtal que fn → f uniformemente en Em. Por tanto la sucesión fn → f puntual-mente en E = ∪Em y todas las fn y f son nitas en E. Nótese además queµ(Ec) = 0. Luego está implícito en la denición que f y fn son nitas en c. t.x ∈ X, y que fn → f en casi todo punto.

b) Se sigue de la denición que si las fn son medibles entonces f es una funcióncasi medible. De hecho medible si X es completo.

La siguiente proposición es fruto de estas reexiones

Proposición 2.27. Si una sucesión fn de funciones medibles converge casiuniformemente a una función f en X entonces fn converge a f en c. t. x ∈ X.En particular, f es casi medible.

Teorema 2.28 (Teorema de Egoro). Sean fn, f funciones medibles y y nitasen casi todo punto de un espacio X con medida nita. Si fn(x) → f(x) c. t.x ∈ Xentonces fn converge a f casi uniformemente en X.

Demostración. Sea Y la parte de X donde fn converge a f . Todos los conjuntosque ahora se denen son subconjuntos de Y . Para k ∈ N se introduce Ek

n =∩m≥n|fm(x)− f(x)| < 1/k. Resulta Ek

n creciente en n con lımnEkn = Y , por

tanto lımµ(Ekn)

c = 0 (el complementario relativo a Y ). Esto signica que paracada k existe nk con:

µ((Eknk)c) <

ε

2k.

El conjunto:F = ∩kE

knk,

es tal que µ(F c) < ε. Resulta obvio que fn converge a f uniformemente enF .

Observación 2.10. Sean fn : RN → R funciones continuas, A ⊂ RN de medidanita, fn(x) → f(x) en casi todo punto x ∈ A con f nita en casi todo punto.Se puede decir del límite f que para cada ε > 0 existe E ⊂ A, µ(A \ E) < εtal que f|E es continua, incluso que existe K ⊂ A compacto, µ(A \ K) < εsiendo f|K es continua. Esto signica que algo de la continuidad de las fn setransere al límite f ½a pesar de que la convergencia es incluso más débil que laconvergencia puntual!

Denición 2.29. Se dice que una sucesión fn de funciones medibles y nitasen casi todo punto converge en medida a una función medible f si para cadaε > 0 se tiene que

lımµx : |fn(x)− f(x)| ≥ ε = 0. (2.2)

Observaciones 2.11.

a) Se desprende de los conjuntos implicados en (2.2) que la propia deniciónrequiere la medibilidad previa de f .

2.2. CONVERGENCIA 51

b) f debe ser necesariamente nita en en casi todo punto. En efecto, para εjado y todo n: |f(x)| = ∞ ⊂ |fn(x) − f(x)| ≥ ε de donde se deduce laarmación.

c) El límite en medida de una sucesión de funciones medibles es único módulo unconjunto de medida cero. En efecto, si f y g son dos funciones medibles, resultadodel límite en medida de una misma sucesión de funciones medibles fn, entoncesf = g en casi todo punto. Obsérvese que f = g = ∪m|f(x)−g(x)| ≥ 1/m =∪mHm. Si Fn

m = |f(x) − fn(x)| ≥ 1/2m, Gnm = |g(x) − fn(x)| ≥ 1/2m

resulta que para cada n: Hm ⊂ Fnm ∪ Gn

m. Por tanto Hm tiene medida cero yf = g también tiene medida cero.

Las convergencias en casi todo punto y casi uniforme de una sucesión defunciones son esencialmente más fuertes que la convergencia en medida.

Proposición 2.30. Si una sucesión fn de funciones medibles converge casiuniformemente a una función medible f entonces fn converge a f en medida .

Demostración. Fijemos ε > 0. Dado k ∈ N existe Ek ⊂ X medible con µ(Eck) <

1/k y nk ∈ N tales que:

|fn(x)− f(x)| ≥ ε ⊂ Eck,

para n ≥ nk. De ahí se deduce el resultado.

Corolario 2.31. Sea X un espacio de medida nita y fn, f funciones mediblesy nitas en casi todo punto tales que lım fn(x) = f(x) para c. t. x ∈ X. Entoncesfn también converge a f en medida.

Denición 2.32. Una sucesión de funciones fn se dice de Cauchy en medidasi cada fn es medible y nita en casi todo punto, y para cada ε > 0

lımn,m→∞

µ|fn(x)− fm(x)| ≥ ε = 0.

Observación 2.12. Sin fn → f en medida entonces fn es de Cauchy en medidaporque:

|fn(x)− fm(x)| ≥ ε ⊂ |f(x)− fn(x)| ≥ ε/2 ∪ |f(x)− fm(x)| ≥ ε/2.

Nota. Para razonar en medida con frecuencia resulta conveniente recurrir alcontenido Bc ⊂ Ac para probar A ⊂ B.

El recíproco también es cierto, como se enuncia un poco más adelante.

Proposición 2.33. Toda sucesión sucesión de Cauchy en medida fn admiteuna subsucesión fn′ que converge casi uniformemente a una función medible f .

Demostración. Demostración Para cada k ∈ N existe nk ∈ N:

µ|fn(x)− fm(x)| ≥ 1

2k < 1

2kn ≥ m ≥ nk,


pudiéndose tomar la sucesión nk creciente. Consideramos el conjunto:

Fm = ∪k≥mEk,

con

Ek = |fnk+1(x)− fnk

(x)| ≥ 1

2k.

Resulta claro que:

µ(Fm) ≤ 1

2m−1.

En F cm para j > h ≥ m resulta:

|fnj (x)− fnh(x)| < 1

2h−1.

Por tanto fnkes de Cauchy uniformemente en F c

m y converge uniformementea una función medible f (m) en F c

m. Como esto sucede para todo m, las f (m)

denen una función medible f en Y := ∪mFcm. Deniendo f como cero en Y c

resulta entonces que fnk→ f en en casi todo punto y casi uniformemente en

X.

Proposición 2.34. Toda sucesión de de Cauchy en medida fn admite un límiteen medida f que es una función medible.

2.2.1. Ejercicios

N Teorema de Egoro

1. Sea R la recta real con la medida de Lebesgue, fn la función característicadel intervalo [n,∞). Probar que fn converge en casi todo x ∈ R pero noconverge casi-uniformemente.

2. Sea fn una sucesión de funciones medibles en un espacio de medida nitoX. Supóngase que el conjunto fn(x) es acotado para casi todo x ∈ X.Pruébese que para cada ε > 0 existe un c > 0 y un conjunto medibleE ⊂ X con µ(X \ E) < ε tal que |fn(x)| ≤ c para todo x ∈ E.

N Convergencia en medida

3. SeaX un espacio de medida µ(X) < +∞. Sea fn una sucesión de funcionesmedibles nitas para casi todo punto, que converge a una función f paracasi todo punto siendo f = 0, fn = 0 para cada n y en casi todo punto.Demostrar que para cada ε > 0 existe un b > 0 y un conjunto medible En

tales que |fn(x)| ≥ b en En y µ(Ecn) < ε.

Indicación. Demuéstrese primero la armación para la función f .

4. Sea X un espacio de medida nita. Sean fn, gn sucesiones de funcionesmedibles que son nitas para casi todo punto y que respectivamente con-vergen en medida a sendas funciones medibles f y g. Sean α, β númerosreales arbitrarios. Entonces:

2.3. INTEGRACIÓN 53

a) αfn + βgn converge en medida a αf + βg.

b) |fn| converge en medida a |f |.

c) fng converge en medida a fg.

d) fngn converge en medida a fg. [Indicación. Considérese primero el casof = g = 0.]

e) Si fn = 0 para casi todo punto y si f = 0 para casi todo punto entonces1/fn converge a 1/f en medida. [Indicación. Usar el problema 3].

5. Sea fn una sucesión de funciones medibles nitas para casi todo punto enun espacio de medida nita X. Para cada ε > 0, n ≥ 1 sea:

En(ε) = x : |fn(x)− f(x)| ≥ ε.

Demuéstrese que fn(x) → f(x) para casi todo x ∈ X si y sólo si:

lımn→∞

µ[∪∞m=nEm(ε)] = 0. (1)

Indicación. Sea F = x : fn(x) no converge a f(x). Entonces F =∪∞k=1 limEn(1/k). Demuéstrese que µ(F ) = 0 si y sólo si se satisface (1).

6. Sea X = N, A la clase de todos los subconjuntos de N, µ la medida enA que da el número de elementos. Demuéstrese que en este espacio laconvergencia en medida equivale a la convergencia uniforme.

7. En [0, 1) se denen las funciones fnm(x) como 1 si x ∈ [(m− 1)/n,m/n), 0en el resto. Enumérense las funciones para construir una sucesión φj queconverge en medida a cero pero que es tal que lımφj(x) no exise en ningúnx ∈ [0, 1).

8. Sea fn una sucesión de funciones medibles nitas para casi todo puntoen un espacio X de medida nita. Pruébese la existencia de una sucesiónλn > 0 tal que λ−1

n fn converge a cero para casi todo x ∈ X.

Indicación. Pruébese que |fn(x)| ≤ c = constante sobre un conjunto En

con µ(X \ En) < 2−n.

2.3. Integración de funciones simples

Denición 2.35. Se dice que la función simple

f =n∑

i=1

ciχEi ,

donde los Ei ∈ A son disjuntos dos a dos, ci ∈ R, es integrable si µ(Ei) < ∞siempre que ci = 0. Su integral se dene como:∫

f dµ =n∑

i=1

ciµ(Ei),


donde se toma ciµ(Ei) = 0 siempre que ci = 0 (aunque µ(Ei) = ∞). ParaE medible y f con la forma anterior, se dice que f integrable en E si fχE esintegrable poniendo:∫

E

f dµ =

∫fχE dµ =

n∑i=1

ciµ(Ei ∩ E). (2.3)

En particular, ∫E

dµ = µ(E),

si E tiene medida nita.

Observaciones 2.13. La representación de la función simple f podría contenercoecientes ci = 0 acompañados de funciones χEi con Ei de medida innita,pero éstos no se tienen en cuenta en el valor de la integral. Para evitar estaaclaración, se adopta el convenio de tomar

ciµ(Ei) = 0

en la denición (2.3) siempre que ci = 0 independientemente de si Ei tienemedida nita o no. Al n y al cabo, esto sólo reeja el hecho de que la integralde la función cero en Ei (es decir 0χEi) es cero. En particular la función simplecero es integrable en X con integral cero.

Proposición 2.36. Si f =∑n

i=1 ciχEi es una función integrable simple con losEi disjuntos dos a dos y

f =m∑j=1

djχFj ,

es otra representación de f en donde los Fj también son disjuntos dos a dos,entonces:

n∑i=1

ciµ(Ei) =m∑j=1

djµ(Fj).

En otras palabras∫f dµ no depende de la representación de f .

Demostración. Admitimos que todas las constantes ci y dj son no nulas. Así

∪iEi = ∪jFj .

En efecto si x ∈ Ei entonces f(x) = 0 y x ∈ Fj para algún j. La misma idea dael contenido inverso. Como los conjuntos son disjuntos dos a dos:

∪iEi = ∪i ∪j Ei ∩ Fj = ∪j ∪i Fj ∩ Ei = ∪jFj .

Así:∑i

ciµ(Ei) =∑i

∑j

ciµ(Ei ∩ Fj) =∑j

∑j

djµ(Fj ∩ Ei) =∑j

djµ(Fj).

2.3. INTEGRACIÓN 55

Observación 2.14. A los efectos del teorema siguiente conviene presentar unarepresentación adecuada de la suma de dos funciones simples. Si

f =n∑

i=1

ciχEi, g =

m∑j=1

djχFj,

son funciones simples, Ei, Fj disjuntos dos a dos, llamamos E = ∪Ei,F = ∪jFj y ponemos:

f =n∑

i=1

ciχEi\F +n∑

i=1

m∑j=1

ciχEi∩Fj +n∑

j=1

0χFj\E ,

que es otra escritura de f donde posiblemente algunos de los conjuntos impli-cados puede ser vacío y análogamente:

g =n∑

i=1

oχEi\F +n∑

i=1

m∑j=1

djχEi∩Fj +n∑

j=1

djχFj\E .

La suma se representa como:

f + g =

n∑i=1

ciχEi\F +

n∑i=1

m∑j=1

(ci + dj)χEi∩Fj +

n∑j=1

0χFj\E ,

y si f, g son integrables, f+g es integrable y de la representación se deduce que:∫(f + g) dµ =

∫f dµ+

∫g dµ.

Teorema 2.37. Supongamos que f y g son funciones integrables y simples,α, β ∈ R. Entonces,

a) [Linealidad]. αf + βg es integrable y∫(αf + βg) dµ = α

∫f dµ+ β

∫g dµ.

b) Si f ≥ 0 c. t. x ∈ Xentonces∫f dµ ≥ 0.

c) [Comparación]. Si f ≥ g c. t. x ∈ Xentonces∫f dµ ≥

∫g dµ.

d) |f | es integrable y

|∫f dµ| ≤

∫|f | dµ.

e)∫|f + g| dµ ≤

∫|f | dµ+

∫|g| dµ.

f) Si m ≤ f ≤ M en en casi todo punto de un conjunto medible E conµ(E) <∞ entonces:

mµ(E) ≤∫f dµ ≤Mµ(E).


g) [Monotonía en el dominio de integración]. f ≥ 0 c. t. x ∈ Xy E ⊂ Fmedibles implica: ∫

E

f ≤∫F

f.

h) [Aditividad completa en el dominio de integración]. Si Enn∈N es unafamilia de conjuntos medibles disjuntos dos a dos, E = ∪∞

n=1En:∫E

f =∞∑1

∫En

f.

Denición 2.38. Se dice que una sucesión fn de funciones simples e integrableses de Cauchy en media si ∫

|fn − fm| dµ→ 0,

cuando m,n→ ∞.

Proposición 2.39. Si fn es una sucesión de funciones simples e integrablesque es de Cauchy en media, fn converge en medida a una fución medible f quees nita en casi todo punto.

2.4. Integrabilidad de funciones. Integral de Le-besgue

Denición 2.40. Sea f : X → [−∞,∞] una función medible en un espaciode medida (X,A, µ). Se dice que f es integrable si existe una sucesión fn defunciones integrables simples tal que:

a) fn → f en c. t. x ∈ X.

b) fn es de Cauchy en media.

Proposición 2.41. Una función medible f : X → [−∞,∞] es integrable si ysólo si existe una sucesión fn de funciones integrables simples tal que:

a') fn → f en medida.


Observación 2.15.

i) Si f es integrable entonces f es nita en en casi todo punto.

ii) Si f es integrable y g es un función medible tal que f = g en en casi todopunto, entonces g es integrable. Más abajo denimos la noción de integral de f .Una consecuencia inmediata será que las integrales de f y g también coinciden.

2.4. INTEGRAL DE LEBESGUE 57

De la denición de integrabilidad de f resulta la existencia del límite:

I = lım

∫fn dµ,

pues: ∣∣∣∣∫ fn dµ−∫fm dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫ |fn − fm| dµ.

Tal límite se dene como la integral de f escribiéndose I =∫f dµ.

Observación 2.16. Nótese que la nueva noción de integral coincide en el caso defunciones simples con la que se ha dado para esta clase más restrictiva. Si f esuna tal función basta poner fn = f en la nueva denición de integral.

La coherencia de la dención requiere el siguiente resultado.

Teorema 2.42. Sean fn, gn dos sucesiones de funciones simples e integrablesque satisfacen las condiciones a), b) de la denición relativas a una funciónmedible dada f . Entonces:

lım

∫fn dµ = lım

∫gn dµ.

Observación 2.17. Ahora resulta inmediato que las integrales de f y g en lascondiciones de la observación 2.15-ii) coinciden.

La demostración del teorema requiere dos lemas.

Lema 2.43. Sea fn una sucesión de funciones simples e integrables que cumplelas propiedades a) y b) de la denición. Entonces:

λ(E) = lım

∫E

fn dµ,

dene una función completamente aditiva en A.

Lema 2.44. Si fn, gn son dos sucesiones de funciones simples e integrables quesatisfacen las condiciones a), b) de la denición de integrabilidad con respectoa una misma función medible f y

λ(E) = lım

∫E

fn dµ ν(E) = lım

∫E

gn dµ,

son las correspondientes funciones completamente aditivas asociadas, entonces:

λ(E) = ν(E),

para todo conjunto E σ-nito con respecto a µ.

Observación 2.18. Para demostrar el Teorema 2.42 como consecuencia del Lema2.44 hace falta demostrar que que para toda función integrable f el conjunto:

x : f(x) = 0

es σnito. Esto se relega a los ejercicios (Ejercicio 5).


Introducimos a continuación algunas deniciones.

Denición 2.45. Si f es medible en X y E ⊂ X es medible diremos que f esintegrable sobre E si fχE es integrable. En ese caso se dene:∫

E

f =

∫fχE dµ. (2.4)

Observación 2.19. Se sigue de la denición que si f es integrable, entonces lo essobre cada E siendo: ∫

E

f = lım

∫E

fn.

Es más, se deduce del Lema 2.43 que λ(E) =∫Ef dµ es completamente aditiva

y, como vamos a comprobar más tarde, una medida con signo (nita) en X.Por tanto, las funciones integrables son una fuente natural para esta clase demedidas. Por otra parte, el teorema de Radon-Nikodym ([9]) viene a decir queuna buena parte de éstas se representan de así.

Corolario 2.46. Si f es integrable entonces

λ(E) =

∫E

f dµ

es una función completamente aditiva. Dene por tanto una medida con signonita.

Demostración. Obsérvese que λ(E) siempre es nita.

Propiedad 2.47. Sea f : X → [−∞,∞] medible y E ⊂ X un conjunto demedida cero. Entonces f es integrable en E y∫

E

f dµ = 0.

Damos ahora la denición de integrable sobre E para funciones que enprincipio no están denidas fuera de E.

Denición 2.48. Sea f : E → [−∞,∞] una función medible en un conjuntoE ⊂ X, E ∈ A. Se dice que f es integrable si lo es observada en el espacio demedida (E,AE , µE) (Ejercicio 2). En ese caso también ponemos:∫

E

f dµ =

∫E

f dµE .

Observaciones 2.20.

a) No resulta difícil probar que f es integrable en E si y sólo si su extension fpor cero a X es integrable en X y además:∫

E

f dµ =

∫f dµ. (2.5)

2.4. INTEGRAL DE LEBESGUE 59

b) Si Ec tiene medida cero y f es integrable en E entonces la identidad (2.5) escierta no importa cómo se haya elegido la extensión f de f al espacio X.

Para terminar con esta plaga de deniciones consideramos ahora la integra-bilidad de funciones que sólo están denidas en casi todo punto. Por ejemplo, sif, g son integrables pretendemos denir la integrabilidad de f + g, función queno está denida en N = f = ±∞ ∩ g = ±∞, aunque µ(N) = 0.

Denición 2.49 (cf. [1]). Sea f : D ⊂ X → [−∞,∞] una función con dominioD. Se dice que f es integrable si existe un conjunto nulo N tal que N c ⊂ D yf : N c → [−∞,∞] es integrable. En ese caso se dene:∫

f dµ =

∫Nc

f dµ

Observaciones 2.21.

a) Está implícito en la denición que f ha de ser casimedible. Si el espacio fuesecompleto D sería medible, Dc de medida cero en X; por tanto f sería medibleen D y como D \ N c = D ∩ N tiene medida cero la integral de arriba sería laintegral en D. Más aún valdría

∫Xf dµ, con cualquier extensión de f de f a X.

a) La denición no depende del conjunto nulo N . Si N1 es otro conjunto en lasmismas condiciones resulta:∫

Nc1

f dµ =

∫Nc

1∩Nc

f dµ+

∫Nc

1∩N

f dµ =

∫Nc∩Nc

1

f dµ =

∫Nc

f dµ.

b) De acuerdo con la Observación 2.20 la integral de f vale∫f dµ =

∫f dµ

donde f es cualquier extensión de f a X (la discrepancia tendría efecto sobreN que es de medida cero).

c) Si f, g son integrables, más adelante nos plantearemos la posibilidad de que fgsea integrable y en ese caso fg sólo está denida en casi todo punto. De hechoen N c con N = f = 0 ∩ g = ±∞ ∪ f = ±∞ ∩ g = 0.

2.4.1. Ejercicios

N Integración de funciones simples

1. Pruébese que si f, g son simples e integrables, fg también lo es.

2. Una función medible f : R → R se dice escalonada si existen x0 < x1 <· · · < xm tales que f es constante sobre cada (xi−1, xi), 1 ≤ i ≤ m,siendo cero en el resto. Pruébese que la suma y el producto de funcionesescalonadas lo es.


3. Demuéstrese que una función integrable simple f es cero en casi todopunto si y sólo si

∫Ef dµ = 0 para todo conjunto medible E.

4. Sea f una función integrable y simple tal que f(x) ≥ 0 para casi todopunto. Probar que

∫f dµ = 0 implica f = 0 en casi todo punto.

5. Probar que si f es integrable, entonces N = x : |f(x)| = 0 es σ-nito.

2.5. Solución a los ejercicios

N Funciones medibles.

• Solución 16. G es unión disjunta de cubos diádicos Qn. La función χQ deun cubo es límite en casi todo punto de funciones continuas fk: tómese uncubo interior Q′ ⊂ Q a distancia 1/k de ∂Q, defínase fk con valor 1 enQ′ cero en Qc y por interpolación lineal en el resto. Resulta que fk → χQ

excepto en ∂Q que tiene medida cero. Como:

χG =∑n

χQn ,

tomando fk =∑

n f(n)k , f (n)k la función correspondiente a Qn, se tiene que

fk es continua y fk → χg en casi todo punto.

N Teorema de Egoro

• Solución 2. Sea Y el conjunto de puntos donde fn(x) está acotada. Porhipótesis

X = Y +N,

con µ(N) = 0. Para m ∈ N formamos el conjunto Em ⊂ Y :

Em = ∩∞n=1x : |fn(x)| ≤ m.

Los conjuntos Em son medibles, Em ⊂ Em+1 mientras lımEm = Y . Portanto

lımµ(Y \ Em) = 0.

Dado ε > 0 existe m tal que µ((Y \ Em) ∪N) < ε, mientras

Em = [(Y \ Em) ∪N ]c.

Esto da la solución al problema.

N Convergencia en medida

• Solución 3. En primer lugar

X \N = |f | > 0 = ∪n|f | >1

n, µ(N) = 0,

2.5. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS 61

al ser X de medida nita se tiene µ|f | ≤ 1n → 0. Así, dado ε > 0 existen

E ⊂ X, b > 0 con µ(Ec) < ε4 y

|f | > b x ∈ E.

Por el teorema de Egoro fn → f uniformemente en E0 ⊂ E con µ(E \E0) <

ε4 de donde existe n0 con

|fn| >b

2x ∈ E0,

para n ≥ n0 + 1. Existen además, En0 ⊂ · · · ⊂ E1 ⊂ E0, µ(Ei−1 \ Ei) <ε

2n0, i = 1, . . . , n0, y constantes positivas b1, . . . , bn0 tales que

|fi| > bi x ∈ Ei,

1 ≤ i ≤ n0. Tomando b el mínimo de las bi's y b2 tenemos

|fn| > b x ∈ En0 ,

para todo n mientras µ(Ecn0) < ε.

• Solución 4.

En el apartado c) observamos que µ(|g(x)| ≥ m) → 0 cuando m → ∞.Como:

|g(fn(x)− f)| ≥ ε ⊂ |g(fn(x)− f)| ≥ ε ∩ |gn(x)| ≥ m∪|g(fn(x)− f)| ≥ ε ∩ 0 < |gn(x)| < m ⊂

|gn(x)| ≥ m ∪ |fn(x)− f | ≥ 1

εm,

uno observa que, jado m, los dos últimos términos se pueden hacer tanpequeños como se desee para n grande.

Para d) basta probar el caso f = g = 0, es decir fngn → 0 en medida sifn → 0, gn → 0 en medida. En efecto:

gnfn − gf = (gn − g)fn + gfn − gf =

(gn − g)(fn − g) + (gn − g)g + g(fn − f),

y en virtud de c) y la armación gnfn − gf → 0 en medida.

Para probar la armación jamos M > 0 y observamos que:

|gnfn(x)| ≥ ε ⊂ |gnfn(x)| ≥ ε ∩ |gn(x)| ≥M∪|gnfn(x)| ≥ ε ∩ 0 < |gn(x)| < M ⊂

|gn(x)| ≥M ∪ |fn(x)| ≥1

εM.


Como los dos últimos términos tienden a cero cuando n → ∞, gnfn → 0en medida.

En el apartado e) nos hace falta el ejercicio 3. Dado η > 0 existen E,En

y b tales que

|f | ≥ b x ∈ E, |fn| ≥ b x ∈ En,

donde las medidas de Ec, Ecn no exceden η. Así,

|f−1(x)− f−1n (x)| ≥ ε := A = A ∩ Fn +A ∩ F c

n, Fn = En ∩ E,

El segundo término mide menos que 2η con independencia de η, el primero:

A ∩ Fn ⊂ |f(x)− fn(x)| ≥ b2ε,

que mide menos que η si n es grande. En total, la medida de A es arbi-trariamente pequeña si n es grande.

• Solución 8. Existe Y ⊂ X, Y c de medida cero, tal que todas las funcionesfn son nitas en Y .

Fijamos n y resulta

Y = ∪∞N=1x ∈ Y : |fn(x)| ≤ N,

con lo queµ[x ∈ Y : |fn(x)| ≤ Nc] → 0,

cuando N → ∞ (este razonamiento requiere que Y tenga medida nita).

Luego existe cn tal si En = x ∈ Y : |fn(x)| ≤ cn entonces µ(Ecn) < 2−n

(los complementarios con respecto a Y ).

Denimos

Fn = ∩∞k=nEk ⇒ µ(F c

n) ≤1

2n−1.

La sucesión es creciente, si F = ∪∞n=1Fn entonces F c tiene medida cero y

λ−1n fn con

λn =cnεn,

εn > 0, εn → 0, converge casi-uniformemente a cero en Y .

E) Integración de funciones simples

• Solución 5. Existe una suceción de funciones simples integrables fn talesque convergen a f en cada punto de Y y de suerte que f es nita en Y ,Y c un conjunto nulo.

Por otro lado, sop fn = x : fn(x) = 0 tiene medida nita.

Formamos M = ∪nsop fn, que es σnito.

2.5. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS 63

Al poner:X =M ∩ Y + Y c +M c ∩ Y,

observamos que f = 0 en M c ∩ Y luego:

sop f = x : f(x) = 0 ⊂M ∩ Y + Y c,

y el conjunto M ∩ Y + Y c es σnito.

Capítulo 3

Integral de Lebesgue:propiedades de convergencia

3.1. Propiedades básicas

Una propiedad fundamental.

Teorema 3.1. Sea f una función medible. Son equivalentes:

a) f es una función integrable.

b) |f | es integrable.

c) f+ y f− son funciones integrables.

Demostración. Empezamos con a) ⇒ b). Si fn son las funciones simples e inte-grables que aproximan a f resulta |fn| → |f | mientras∫

||fn| − |fm|| dµ ≤∫

|fn − fm| dµ.

Por tanto, |fn| es de Cauchy en media y

|∫f dµ| = | lım

∫f dµn| = lım |

∫f dµn| ≤ lım

∫|fn| dµ =

∫| dµf |.

Para b) ⇒ c) observamos que f+ = χf≥0|f |, f− = χf≤0|f |, por lo quef± son funciones integrables. Además:∫

|f | dµ =

∫f≤0

|f | dµ+

∫f≥0

|f | dµ

=

∫f− dµ+

∫f+ dµ.

65

66 CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA

Que c) ⇒ a) se sigue de un argumento directo. Si f±n son las funcionessimples integrables que aproximan a f± entonces f+n − f−n es simple integrable,aproxima a f y como sucesión, es de Cauchy en media.

Además,∫f dµ = lım

∫(f+n − f−n ) dµ =

lım

∫f+n dµ− lım

∫f−n dµ =

∫f+ dµ−

∫f− dµ.

Teorema 3.2. Sean f y g son funciones integrables, α, β ∈ R. Entonces,

a) αf + βg es integrable y∫(αf + βg) dµ = α

∫f dµ+ β

∫g dµ.

b) Si f ≥ 0 c. t. x ∈ Xentonces∫f dµ ≥ 0.

c) Si f ≥ g c. t. x ∈ Xentonces∫f dµ ≥

∫g dµ.

d) |f | es integrable (véase más atrás) y

|∫f dµ| ≤

∫|f | dµ.

e)∫|f + g| dµ ≤

∫|f | dµ+

∫|g| dµ.

f) Si m ≤ f ≤ M en en casi todo punto de un conjunto medible E conµ(E) <∞ entonces:

mµ(E) ≤∫f dµ ≤Mµ(E).

g) f ≥ 0 c. t. x ∈ Xy E ⊂ F medibles implica:∫E

f ≤∫F

f.

h) Si f(x) ≥ m > 0 sobre un conjunto medible E. Entonces

µ(E) <∞.

Más aún (desigualdad de Tchebychev):

mµ(E) ≤∫E

f dµ.

3.1. PROPIEDADES BÁSICAS 67

Demostración. a) La función f + g es casi medible con dominio D ⊃ N c dondeD = X \ x : f = ±∞ ó g = ±∞. La integral sobre X es, según se denió(Denición 2.49):∫

f + g dµ =

∫Nc

f + g dµ =

∫Nc

f dµ+

∫Nc

g dµ =

∫f dµ+

∫g dµ.

h) Y = f = 0 es σnito, f > m en casi todo punto de E signica queE′ = E \N ⊂ Y con µ(N) = 0. Resulta que E′ = lımE′

n con E′n una sucesión

creciente de conjuntos medibles de medida nita. Así

mµ(E′n) ≤

∫E′

n

f dµ ≤∫E′f dµ =

∫f dµ <∞.

Al tomar límites

mµ(E) = mµ(E′) ≤∫E

f dµ.

La propiedad h) del teorema nos permite concluir la siguiente proposición.

Observación 3.1. Si una función simple es integrable de acuerdo con la Denición2.35 lo es de acuerdo con la Denición 2.40.

Proposición 3.3. Sea f una función simple y no negativa:

f =n∑

i=1

ciχEi .

Si f es integrable de acuerdo a la Denición 2.40 entonces todos los conjuntosEi asociados a ci > 0 son de medida nita.

Demostración. Es consecuencia de h).

Otra denición es la siguiente.

Denición 3.4. Sea f ≥ 0 medible. Si f no es integrable denimos:∫f dµ = ∞

Más generalmente, si f es una función medible cualquiera denimos su integralcomo: ∫

f dµ =

∫f+ dµ−

∫f− dµ ∈ [−∞,∞]

siempre que sea integrable una de las funciones f+, f−, por tanto∫f dµ = ∞

si f+ no es integrable pero f− si, mientras∫f dµ = −∞ si f+ es integrable

pero f− no.


Observación 3.2. Las funciones simples f ≥ 0 que son no nulas sobre un conjuntode medida innita no se admitieron como funciones integrables. Según hemosvisto tampoco son integrables según la nueva denición y por ello tienen integralinnita: ∫

f dµ = ∞.

Esto podría haberse denido así desde un primer momento.

En consecuencia tenemos que∫g dµ = ∞

si g ≥ 0 es simple y no integrable.Para una función medible f ≥ 0 sea

S = g : X → R : g es simple y 0 ≤ g ≤ f.

Teorema 3.5. Sea f ≥ 0 una función medible. Entonces∫f dµ = sup

g∈S

∫g dµ. (3.1)

Demostración. Consideramos primero el caso f integrable. Probamos entoncesque para toda g ∈ S, g es integrable y∫

f dµ = supg∈S

∫g dµ.

Si g ∈ S el conjunto g = 0 ⊂ f(x) > m para algún m > 0. Luego g = 0tiene medida nita y g es integrable. Por otro lado la sucesión de funcionessimples fn del teorema de aproximación de funciones medibles se puede usarpara la denición de integral y∫

f dµ = lım

∫fn.

Esto prueba la igualdad propuesta.Suponemos ahora que f no es integrable. Habremos de probar que

supg∈S

∫g dµ = ∞.

Esta identidad es obvia si alguna de las g ∈ S es no integrable pues∫g dµ = ∞.

Suponemos entonces que todas las funciones de S son integrables. Si el supremode tales integrales es nito, apelamos a la aproximación de f por funcionessimples 0 ≤ fn ≤ f , fn creciente, y resulta que la sucesión∫

fn

está acotada superiormente. Se ve fácilmente que fn de Cauchy en media lo quea su vez implica que f es integrable, en contra de lo supuesto. El supremo hade ser entonces innito.


Observación 3.3. Se puede usar (3.1) como denición de integral de Lebesgue.En ese caso se admite desde un principio que las integrales de funciones simplesno negativas pueden tomar el valor innito (cf. [15]).

Teorema 3.6. Sean f una función medible y g ≥ 0 una función integrabletales que:

|f(x)| ≤ g(x),

en casi todo punto. Entonces f también es integrable.

Demostración. Basta probar que |f | es integrable y ello es consecuencia de que∫fn ≤

∫g dµ

para toda función simple 0 ≤ fn ≤ |f |. De ahí el supremo de tales integrales esnito.

Denición 3.7. Se dice que una función medible f está acotada esencialmenteen X si existe c ≥ 0 tal que

|f(x)| ≤ c

para c. t. x ∈ X. El ínmo de tales c se denomina el supremo esencial de f enX y se denota por

sup esenX f.

Observaciones 3.4.

a) Si f está acotada esencialmente y 0 ≤ c < sup esenX f entonces el conjunto

|f(x)| > c

tiene medida positiva.

b) Se puede comprobar que el ínmo esencial es también una cota esencial.

Corolario 3.8. Si f y g son funciones medibles, f es una función integrable-mientras g está esencialmente acotada entonces fg también es integrable.

Corolario 3.9. Toda función medible f que esté esencialmente acotada sobreun conjunto E de medida nita dene una función integrable sobre E.

Teorema 3.10. Sea f integrable tal que f(x) ≥ 0 en c. t. x ∈ X. Si∫f dµ = 0

entonces f = 0 en casi todo punto.

Demostración. Sea fn la sucesión de funciones simples de la Denición 2.40.Como:

f(x) = lım fn(x),

en casi todo punto, entonces:

f(x) = lım |fn(x)|,


en casi todo punto. Esto signica que podemos reemplazar fn por |fn| en ladenición de integral. Como ésta vale cero resulta entonces que:

lım

∫|fn| dµ = 0.

De aquí sale que fn → 0 en medida. Por tanto, f = 0 en casi todo punto.

Teorema 3.11. Sea f una función medible y E medible de medida cero. En-tonces f es integrable sobre E con integral

∫f dµ = 0.

Demostración. La integral coincide con la de la extesión f de f que vale 0 enEc. Como f = 0 en casi todo punto, dicha integral es cero.

Teorema 3.12. Sea f integrable con f(x) > 0 para todo x ∈ E. Si∫Ef dµ = 0

entonces µ(E) = 0.

El siguiente resultado es muy útil en Cálculo de Variaciones.

Teorema 3.13. Sea f una función integrable. Si∫Ef dµ = 0 para todo con-

junto medible E entonces f(x) = 0 para c. t. x ∈ X.

Demostración. Es inmediato ver que f+ y f− han de ser cero en casi todopunto, luego f = 0.

3.1.1. Algunos resultados de convergencia

Recordamos la denición de función integrable. Un función mediblef : X →[−∞,∞] es integrable si existe una sucesión fn de funciones integrables simplestal que:

a) fn → f en c. t. x ∈ X.


o alternativamente b) y

a') fn → f en medida.

Denición 3.14. Sean fn, f funciones integrables. Se dice que fn es de Cauchyen media si

lımn,m→∞

∫|fn − fm| dµ = 0.

Se dice asimismo que fn → f en media si

lım

∫|fn − f | dµ = 0.

Teorema 3.15. Sean fn, f funciones integrables. Si fn es de Cauchy en mediaentonces también es de Cauchy en medida. Análogamente si fn → f en mediaentonces fn → f en medida.


Proposición 3.16. Sea f una función integrable y fn la sucesión de funcionessimples que cumplen a) y b) (o a') y b)) en la denición de función integrable.Entonces

lım

∫|fn − f | dµ = 0.

Demostración. Se comprueba inmediatamente que si fm → f para c. t. x ∈ X(respectivamente, en medida) entonces, para n jado, |fm− fn| → |f − fn| parac. t. x ∈ X (r. en medida).

Teorema 3.17. Sean f una función medible y fn una sucesión de funcionesintegrables que cumplen las condiciones a) y b) (alternativamente a') y b)).Entonces f es integrable y ∫

f dµ = lım

∫fn dµ.

En el siguiente resultado se establece la completitud de los espacios de fun-ciones integrables que introduciremos después.

Teorema 3.18. Sea fn una sucesión de funciones integrables que satisface lacondición de Cauchy en media. Entonces fn converge en media a una funciónintegrable f .

Demostración. Si fn es de Cauchy en media lo es también en medida luegofn → f en medida para alguna función medible f , y por el teorema anterior, fes integrable con ∫

f dµ = lım

∫f dµn.

Bien, es inmediato ahora comprobar que |f − fn| → 0 en medida con |f − fn|de Cauchy en media. Por tanto, otra vez en virtud del teorema anterior se tieneque

0 = lım

∫|f − fn| dµ.

Se dice que una función medible f es una función nula si f(x) = 0 para casitodo punto. Se dice que dos funciones medibles f, g son equivalentes f ∼ g sif − g es nula. Denotemos por f la clase de f .

Denición 3.19. Se denota L1(X,µ) (abreviado L1(X) ó L1) el espacio de lasfunciones integrables. Asimismo L1(X,µ) (L1(X) ó L1) representa el conjuntode todas las clases f de funciones f ∈ L1.

Resulta ahora evidente (Teorema 3.18) que L1(X) es un espacio de Banachcon la norma:

∥f∥1 :=

∫f dµ,


con f ∈ f . Por razones prácticas se omitirá toda referencia a las clases deequivalencia.

Un capítulo importante de la integral de Lebesgue trata del teorema funda-mental del cálculo. Para una función integrable f en el intervalo (a, b) se denela integral indenida

g(x) =

∫(a,x)

f dµ.

Una primera propiedad que se estudia es la continuidad de esta función. Resultaser que g posee un grado de continuidad que excede el de la continuidad uniformeen (a, b).

Denición 3.20. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y λ una función de con-junto en X. Se dice que λ es absolutamente continua si para cada ε > 0 existeδ > 0 tal que |λ(E)| < ε cuando µ(E) < δ.

Las integrales indenidas son absolutamente continuas.

Teorema 3.21. Si f es una función integrable entonces la función de conjunto

λ(E) =

∫E

f dµ

constituye una función absolutamente continua.

Demostración. Basta aproximar f por una función fn integrable y simple, em-pleando después que fn está acotada.

Corolario 3.22. Si f es una función integrable y En es una sucesión deconjuntos medibles tales que lımEn = E con µ(E) = 0 entonces

lım

∫En

f dµ = 0.

Demostración. En primera impresión parece necesario usar que µ(En) → 0. Sinembargo, se tiene en cuenta que la integral indenida λ es una medida nitacon signo y que por tanto:

lımλ(En) = lım

∫En

f dµ = λ(E).

Si µ(E) = 0 la continuidad absoluta de λ implica que λ(E) = 0.

La siguientes deniciones están en principio desvinculadas de la teoría de lamedida.

Denición 3.23. Sea f una función real denida en un intervalo (a, b). Se diceque f es una función absolutamente continua si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA 73

que para toda sucesión disjunta de intervalos abiertos In en (a, b) se satisfaceque ∑

n

|∆fn| < ε

si∑λ(In) < δ donde In = (an, bn), λ(In) = bn − an y ∆fn = |f(bn)− f(an)|.

Observación 3.5. Una función absolutamente continua es uniformemente conti-nua en (a, b). Por ello, puede probarse que f admite una única extensión continuaa [a, b].

Una familia π = t0, . . . , tn ⊂ [a, b], t0 = a < t1 < · · · < tn = b, se llamauna partición de [a, b] mientras P designa el conjunto de las particiones de [a, b].

Si f : [a, b] → R es una función y π ∈ P, la variación de f con respecto a πse dene como:

V fπ =

n∑i=n

|∆fi| =n∑

i=n

|f(ti)− f(ti−1)|.

Denición 3.24. Se dice que f : [a, b] → R es una función de variación acotadasi existe M > 0 tal que:

V fπ ≤M

para toda π ∈ P. Se denomina al número:

V[a,b](f)

la variación total de f en [a, b].

La noción de función de variación acotada tiene que ver con la de curvarecticable. Una curva γ parametrizada por x = t, y = f(t) donde f : [a, b] → R,se dice que es recticable si

Λ = supπ

n∑i=1

|Pi − Pi−1| <∞,

donde Pi = (ti, f(ti)), ti ∈ π y π recorre las particiones P de [a, b]. Pues bien, γes recticable si y solamente si f es de variación acotada (Λ dene la longitudde γ).

Se estudian en los ejercicios las propiedades básicas de estas clases de fun-ciones. Entre éstas que la integral indenida de una función integrable en elintervalo (a, b) dene una función absolutamente continua.

3.2. Teorema de la convergencia dominada

Una de las imperfecciones de la integral de Riemann es su rigidez a la horade permutar la integral y el paso al límite. La siguiente colección de resultadosjustica la supremacía de la integral de Lebesgue sobre la de Riemann.


Teorema 3.25 (Teorema de la convergencia monótona). Sea fn una sucesiónno decreciente de funciones medibles no negativas:

fn(x) ≤ fn+1(x)

para todo n y para casi todo x ∈ X. Sea

f(x) = lım fn(x) = sup fn(x),

donde f está denida en casi todo punto. Entonces∫f dµ = lım

∫fn dµ = sup

∫fn dµ

y en particular, f es integrable si y solamente si

sup

∫fn dµ

es nito.

Observaciones 3.6.

a) Debe notarse que la expresión

sup

∫fn dµ

da el valor de∫f dµ tanto si f es integrable como si no. Este es el papel que

juega la hipótesis fn ≥ 0 en el enunciado.

b) El teorema es cierto sin las restricciones de signo que se han impuesto si lasfunciones son integrables.

Corolario 3.26. Sea fn una sucesión creciente de funciones integrables,

f(x) = lım fn(x) = sup fn(x),

entonces ∫f dµ = lım

∫fn dµ = sup

∫fn dµ

siendo f es integrable si y solamente si

sup

∫fn dµ

es nito.

Demostración. La función f es en principio medible. Además:

0 ≤ f− ≤ f−1 .

3.2. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA 75

Esto signica que ∫f dµ

está bien denida y es nita si f integrable e innito si no lo es.Por otro lado y del teorema anterior∫

(f − f1) dµ = sup

∫(fn − f1) dµ = sup

∫fn dµ−

∫f1 dµ.

Finalmente, f integrable si y sólo si f − f1 es integrable. En particular:∫f dµ = ∞ ⇔

∫(f − f1) dµ = ∞ sup

∫fn dµ = ∞.

Por tanto, tanto si f es integrable como si no,∫f dµ =

∫(f − f1) dµ−

∫f1 dµ.

Así: ∫f dµ = sup

∫fn dµ.

Teorema 3.27 (Lema de Fatou). Sea fn una familia de funciones integrablesy no negativas, mientras

f(x) = lim fn.

Entonces ∫f dµ ≤ lim

∫fn dµ.

En particular, f es integrable si el límite inferior del segundo miembro es nito.

Demostración. Si f = lim fn entonces

f = lım gn = sup gn,

congn(x) = ınf

k≥nfk(x).

Las funciones gn son integrables y∫gn dµ ≤ ınf

k≥n

∫fk dµ.

Del teorema de la convergencia monótona∫f dµ = lım

∫gn dµ = lım

∫gn dµ ≤ lim

∫fn dµ.


Observaciones 3.7.

a) La desigualdad ∫f dµ ≤ lim

∫fn dµ.

es consistente con que f no sea una función integrable. En ese caso, claro está,deberá ser

lim

∫fn dµ = ∞.

b) El carácter no negativo de las funciones fn es esencial en el enunciado. Comoilustración de ello tómese como ejemplo la suceción fn = χ[0,nπ](x) senx en elespacio X = (0,∞). Se tiene que∫

fn dµ =

0 n = 2

I n = 2 + 1,

donde I =∫(0,π)

sen dµt dt. Se tiene lim∫fn dµ = 0 mientras f = lim fn = senx

que no es integrable en (0,∞).

c) El teorema sigue siendo cierto si la condición fn ≥ 0 se reemplaza por laexistencia de una función integrable g tal que

fn(x) ≥ g(x)

para c. t. x ∈ X. En efecto, ∫f dµ

tiene sentido porquef− ≤ g−.

Por otro lado:∫f dµ =

∫(f − g) dµ+

∫g dµ ≤ lim

∫(fn − g) dµ+

∫g dµ = lim

∫fn dµ.

Nótese que para f medible, g integrable, f integrable si y solo si f−g integrable.

Teorema 3.28 (Teorema de la Convergencia Dominada). Sea fn una sucesiónde funciones integrables que converge en casi todo punto a una función mediblef (alternativamente que converge en medida a una función medible f) y tal que:

|fn(x)| ≤ g(x) para casi todo x ∈ X,

donde g es una función integrable. Entonces f es una función integrable,

lım

∫|fn − f | dµ = 0,

y en particular ∫f dµ = lım

∫fn dµ.

3.3. INTEGRALES QUE DEPENDEN DE PARÁMETROS 77

Demostración. El caso lım fn = f en medida es más delicado (ver [9]).Si f = lım fn en casi todo punto entonces |f | ≤ g y f es entonces integrable.Se tiene ahora que:

0 ≤ 2g − |f − fn|,

en casi todo punto. El lema de Fatou implica entonces que:∫2g dµ ≤

∫2g dµ− lim

∫|f − fn| dµ,

es decir:

lim

∫|f − fn| dµ = 0,

de donde se deducen las conclusiones del teorema.

Siguen a continuación algunas de las importantes aplicaciones del teoremade la convergencia dominada.

3.3. Integrales que dependen de parámetros

Remitimos a [1] y [11] para más información sobre el tema en un contextoaplicado.

Teorema 3.29. Sean Y un espacio métrico (típicamente Y = Q, Q abierto enRm) y

f : X × Y −→ R(x, y) 7−→ f(x, y)

una función que goza de las siguientes propiedades:

a) f(·, y) medible para todo y ∈ Y ,

b) f(x, ·) continua en Y para c. t. x ∈ X,

c) existe g ∈ L1(X) tal que |f(x, y)| ≤ g(x) para todo (x, y) ∈ X × Y .Entonces la función

F (y) =

∫X

f(x, y) dµ(x)

es continua en Y .

Observación 3.8. Una función con las propiedades a) y b) del teorema se conocecomo función de Carathéodory.

Teorema 3.30. Sean ahora Q un abierto en Rm y

f : X ×Q −→ R(x, y) 7−→ f(x, y)

una función que satisface:


a) f(·, y) medible para todo y ∈ Y ,

b) f(x, ·) es C1 en Q para c. t. x ∈ X,

c) Para todo 1 ≤ j ≤ m existe gj ∈ L1(X) tale que∣∣∣∣ ∂f∂yj (x, y)∣∣∣∣ ≤ gj(x)

para todos los puntos (x, y) ∈ X ×Q en los que esté denida la derivada.Entonces la función F del teorema anterior es de clase C1 en Q y además:

∂F

∂yj(y) =

∫X

∂f

∂yj(x, y) dµ(x).

Ejemplo 3.9. Un planeta Ω ⊂ Rn con densidad ρ ∈ L1(Ω) crea un campogravitatorio con intensidad de potencial

V (y) = G

∫Ω

ρ(x)

|y − x|dy.

La función V ∈ C∞(Rn \ Ω) y además:

∆V (y) = 0 y ∈ Rn \ Ω.

3.4. EJERCICIOS 79

3.4. Ejercicios

• Funciones integrables

1. Sean f, g funciones medibles, f integrable, f = g en casi todo punto.Pruébese que g es integrable con

∫g dµ =

∫f dµ.

2. Consideremos f : (N, µ) → R donde µ es la medida que asigna a cadaconjunto su número de elementos. Pruébese que f es integrable si y sólosi la serie

∑∞n=1 f(n) es absolutamente convergente con:∫

f dµ =

∞∑n=1

f(n).

3. Complementando el ejercicio anterior, f : (NN , µ) → R, f(α) = aα, dondeµ es la medida que asigna a cada conjunto de NN su número de elementos.Pruébese análogamente que f es integrable si y sólo si la familia sumable∑

α |aα| es convergente. Además:∫|f | dµ =

∞∑n=1

|aα|.

Como se denió la noción de familia sumable sólo para sucesiones (fami-lias) de términos aα ≥ 0, ¾qué sentido puede darse a∑

α∈NN

aα ?

4. Una función de la forma χ(a,b)φ con φ escalonada en R se dice escalona-da en el intervalo (a, b), y por tanto existen a = x0 < x1 · · · < xm = btales que φ es constante en cada intervalo (xi−1, xi), 1 ≤ i ≤ m. De-muéstrese que si f es integrable en el intervalo (a, b) existe una sucesiónde funciones escalonadas φm tales que

∫|f − φn| dµ → 0 con φn → f

para casi todo x ∈ (a, b).

Indicación. Probar el resultado en primer lugar para el caso más sencillode f simple. A tal n usar que si E medible, µ(E) = ınfµ(G) : E ⊂G, G ⊂ R abierto.

5. Sea f integrable en (a, b). Demostrar que para ε > 0, δ > 0 arbitrariosexisten E medible con µ(E) < δ y g ∈ C[a, b] tales que sup(a,b)\E |f(x)−g(x)| < ε.

6. Se dice que una función compleja f es simple si f =∑n

i=1 ciχEi don-de los Ei son medibles disjuntos y los ci ∈ C. Se dice que una tal fes integrable si µ(Ei) < ∞ siempre que ci = 0. Se dene la integral∫f dµ =

∑ni=1 ciµ(Ei). Como en el caso real, se dice que una función com-

pleja medible f es integrable si existe una sucesión fn de funciones simples


que es de Cauchy en media, es decir lımm,n→∞∫|fn − fm| dµ→ 0, mien-

tras lım fn(x) = f(x) para casi todo x ∈ X. Denuéstrese que una funcióncompleja f = f1 + if2 es integrable si y sólo si lo son f1 y f2, siendo∫f dµ =

∫f1 dµ+ i

∫f2 dµ.

• Propiedades elementales

7. Sean (X,A, µ1) y (X,A, µ2) espacios de medida, µ = µ1 + µ2. Probarque (X,A, µ) es un espacio de medida, que una función simple f es µi

integrable para i = 1, 2 si sólo si es µ integrable y∫f dµ =

∫f dµ1 +

∫f dµ2.

Finalmente, probar que una función medible f es µi integrable i = 1, 2 sisólo si es µ integrable y∫

f dµ =

∫f dµ1 +

∫f dµ2.

8. Sea f una función integrable. Demuéstrese que si∫Ef dµ ≥ 0 para todo

E medible entonces f ≥ 0 para casi todo punto. Asimismo, pruébese quesi µ(X) < +∞ y

∫Ef dµ ≤ µ(E) para todo conjunto medible E entonces

f ≤ 1 para casi todo punto.

9. Demostrar que f(x) = senx+ cosx no es integrable Lebesgue en R.

10. Demostrar que f(x) =senx

xno es integrable Lebesgue en (1,+∞).

11. Demostrar que f(x) =1

xno es integrable Lebesgue en (0, 1).

• Continuidad absoluta.

12. Sea g una función integrable en (a, b) mientras:

f(x) =

∫(a,x)

g dµ

(en sentido de Lebesgue). Probar que f es absolutamente continua.

13. Probar que f es de variación acotada si y sólo si f = g1 − g2 donde g1, g2son funciones crecientes. Probar que si f es continua, las g1, g2 se puedenelegir continuas.

Indicación. Ensayar como g1 la variación de a hasta x.

14. Probar que si f es absolutamente continua entonces es de variación aco-tada.

15. Demuéstrese que f(x) = x sen(1/x) es uniformemente continua pero node variación acotada en (0, 1).

3.4. EJERCICIOS 81

• Teorema de la convergencia dominada, aplicaciones

16. Sea fn(x) = n si 0 ≤ x ≤ 1/n, fn(x) = 0 si 1/n ≤ x ≤ 1. Probar quelım f = 0 para casi todo x ∈ [0, 1] mientras

∫[0,1]

fn dµ = 1 para cada n.Esto prueba que la condición de acotación del teorema de la convergenciadominada es fundamental.

17. Consideremos en N la medida del número de elementos con:

fn(k) =

1

n1 ≤ k ≤ n

0 k > n.

Demuéstrese que fn → 0 uniformemente mientras lım∫fn dµ =

∫f dµ

(contrastar con el teorema de la convergencia dominada).

18. En el espacio de medida del ejercicio anterior tomamos:

fn(k) =

1

k1 ≤ k ≤ n

0 k > n,

con f(k) = 1/k, k ∈ N. Probar que fn converge uniformemente a f mien-tras que f no es integrable.

19. Supongamos que µ(X) < +∞ mientras fn una sucesión de funciones me-dibles e integrables en X que converge uniformemente a una función f .Probar que f es integrable y lım

∫fn dµ =

∫f dµ.

20. Sean f, g funciones medibles. Probar que f, g son integrables si la función√f2 + g2 lo es. Probar que fg es integrable si f2, g2 lo son.

21. Sea µ(X) < +∞. Probar que una sucesión de funciones medibles fn → 0en medida si y sólo si:∫

|fn|1 + |fn|

dµ→ 0 n→ ∞.

22. Sea X un espacio de mediad nita. Para f , g ∈ L1(X) se dene:

d(f , g) =

∫ |f − g|

1 + |f − g|

dµ.

Demostrar que L1(X) es completo con esta métrica.

23. Sea f ≥ 0 medible en R con∫(0,∞)

f(x) dx <∞. Probar que:

g(t) =

∫(0,∞)

e−txf(x) dx (0 < t <∞),

es diferenciable y que:

g′(t) = −∫(0,∞)

xe−txf(x) dx.


24. Sea fn una sucesión de funciones integrables. Demuéstrese que si

∞∑n=1

∫|fn| dµ <∞

entonces la serie∑∞

n=1 fn converge en casi todo punto a una funciónintegrable f y: ∫

f dµ =

∞∑n=1

∫fn dµ.

25. Sea fn una sucesión de funciones integrables no negativas de la que sesabe que la serie

∑fn es una función integrable. Pruébese que:∑∫

fn dµ <∞.

26. Sean fn, f funciones integrables tales que 0 ≤ fn(x) ≤ f(x) para casi todo x ∈ X.Entonces:∫

lim fn dµ ≤ lim

∫fn dµ ≤ lim

∫fn dµ ≤

∫lim fn dµ.

Extiéndase el resultado al caso en que |fn(x)| ≤ f(x) para casi todo x ∈ X.

27. Sean X = ∪∞n=1En, En ⊂ En+1 para cada n y f ≥ 0 medible. Demuéstrese

que: ∫f dµ = lım

∫En

f dµ.

Nótese que en algunos casos el valor de la integral en el primer miembropodría ser ∞.

28. Sea f ≥ 0 medible y

fn(x) =

f(x) f(x) ≤ n

n f(x) > n.

Pruébese que∫f dµ = lım

∫fn dµ (la integral del primer miembro podría

ser ∞ en algunos casos).

29. Sean f1, . . . , fk funciones integrables. Probar que maxf1, . . . , fk es tam-bién integrable.

30. Dése un ejemplo donde se satisfaga el Lema de Fatou con la desigualdadestricta.

31. Sea f una función real denida en un espacio de medida nita. Defí nase:

sn =∞∑

k=−∞

k

2nµ[ x :

k

2n< f(x) ≤ k + 1

2n ] (n = 1, 2, . . . ).

3.4. EJERCICIOS 83

Si f es integrable cada serie es convergente y∫f dµ = lım

n→∞sn. (1)

Recíprocamente, si para algún n la serie sn converge absolutamente en-tonces f es integrable y se verica (1).

Indicación. Si f no negativa e integrable aplíquese el teorema de la con-vergencia monótona a la sucesión fn(x) = k/2n si:

k

2n≤ f(x) <

k + 1

2n(k = 0, 1, . . . ).

Si f ≥ 0 y una de las series, por ejemplo sn, es convergente, úsese entoncesla desigualdad f(x) ≤ fn(x) + 1/2n.

32. Denotemos por L∞(X,A, µ), más brevemente L∞(X) ó L∞, las clases deequivalencia f = g : X → R : medible, g = f para casi todo x ∈ Xdonde f es medible y esencialmente acotada. Demuéstrese que L∞(X) esun espacio métrico completo con la distancia:

d(f , g) = d(f, g) = sup esenx∈X |f(x)− g(x)|.

Capítulo 4

La integral de Riemann

4.1. La integral de Riemann en RPara el siguiente tema es muy recomendable disponer del capítulo de inte-

gración de Riemann y Riemann-Stieltjes del libro de T. M. Apostol, AnálisisMatemático, Editorial Reverté. En lo que sigue denotaremos la integral de Rie-mann como

∫ b

af(x) dx, designando

∫[a,b]

f(x) dx la integral de Lebesgue.Una partición π de [a, b] es una sucesión nita de puntos x0 . . . , xn tales

que a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Llamaremos P al conjunto de todas lasparticiones. La norma |π| de una patición denota |π| = max(xi − xi−1).

Si f : [a, b] → R es una función acotada y π ∈ P representamos por sπ, Sπ yσπ a las cantidades:

sπ =n∑

i=1

mi∆xi Sπ =n∑

i=1

mi∆xi,

donde mi = ınfIi f , Mi = supIi f , Ii = [xi−1, xi], ∆xi = xi − xi−1, mientras

σπ =

n∑i=1

f(ξi)∆xi

donde los ξi ∈ Ii. Los números sπ, Sπ se llaman sumas inferior y superior deRiemann (asociadas a π) mientras σπ es una suma de Riemann asociada a π.

Propiedad 4.1. Sea f una función acotada en [a, b], π, π′ ∈ P. Entonces:

a) sπ ≤ σπ ≤ Sπ,

b) π ⊂ π′ implica sπ ≤ sπ′ ≤ Sπ′ ≤ Sπ.

c) |sπ|, |σπ|, |Sπ| están acotados por M(b− a)

d) Dada una patición π0 ∈ P entonces:

supπ∈P

sπ = supπ∈P,π⊃π0

sπ,

85

86 CAPÍTULO 4. LA INTEGRAL DE RIEMANN

yınfπ∈P

Sπ = ınfπ∈P,π⊃π0

Sπ.

Denición 4.2. Se dice que f , una función acotada, es integrable Riemann en[a, b] si existe un número s ∈ R tal que para cada ε > 0 existe πε ∈ P tal que

|σπ − s| ≤ ε

para toda π ⊃ πe, donde σπ es cualquier suma de Riemann asociada a π. Alnúmero s se le denomina la integral de f en [a, b] y se representa como:

s =

∫ b

a

f(x) dx.

Denición 4.3. Si f es una función acotada en [a, b] se dene la integralinferior (de Riemann) de f como:

s = supπ∈P

sπ,

mientras la integral superior se dene como

s = ınfπ∈P

sπ,

Observación 4.1. Los números s, s siempre existen y cumplen:

m(b− a) ≤ s ≤ s ≤M(b− a),

donde m = ınf [a,b] f , M = sup[a,b] f .

Teorema 4.4. Sea f una función acotada en [a, b]. Las siguientes armacionesson equivalentes.

a) f es integrable Riemann en [a, b] con integral s.

b) Las integrales inferior y superior coinciden s = s.

c) Para todo ε > 0 existe πε ∈ P tal que:

0 ≤ Sπ − sπ ≤ ε

para toda π ⊃ πε.

Observaciones 4.2.

1) En el caso b), el valor s de la integral de Riemann es s = s = s.

2) Se dice que una función acotada f en [a, b] es integrable Darboux si s = s. Elteorema arma que la integrabilidad Darboux coincide con la integrabilidad ensentido de Riemann.

3) En la literatura se conoce a c) como el criterio de integrabilidad de Riemann([2]).

4.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R 87

La denición que hemos dado de integral de Riemann se expresa en el lengua-je de las redes (ver por ejemplo [18]). La que sigue es una variante equivalente.

Teorema 4.5. Sea f una función acotada en [a, b]. f es integrable Riemann siy sólo si existe s ∈ R tal que para toda sucesión πn en P cumpliendo |πn| → 0se tiene que:

lımσπn = s, (4.1)

en donde para cada n, σπn designa cualquier suma de Riemann asociada a πn.

Demostración. La condición (4.1) implica que

lım sπn = lımSπn = s,

para toda sucesión πn en P cumpliendo |πn| → 0. Si

s− ε ≤ sπn0≤ Sπn0

≤ s+ ε,

para algún n0, está claro que

s− ε ≤ sπ ≤ Sπ ≤ s+ ε,

para toda π ⊃ πn0. Por tanto s = s = s y f es integrable Riemann.

Supongamos ahora que f es integrable Riemann y probemos que se cumple(4.1). Por tanto sea πn cualquier sucesión de particiones cumpliendo |πn| → 0.Hemos de probar (4.1). Como f es integrable Riemann dado ε se tendrá

s− ε ≤ σπ ≤ s+ ε

para cualquier π ⊃ πε para cierta πε = y0, . . . , yN+1.Tomemos l = mın∆yj . Para cualquier πn = x0, . . . , xM+1 con |πn| < l se

tiene que en el grupo de intervalos I1, . . . , IN+1, hay exactamente N , denotadosJ1, . . . , JN , que cumplen

yk ∈ Jk.

Por tanto,

σπn =∑

f(t′i)∆x′i +∑

f(tj)λ(J+j ) + f(tj)λ(J

−j ),

donde la primera suma está extendida a los intervalos Ii que no cortan a πε yJ+j representa la parte de Jj donde yace tj .Por consiguiente:

σπn = σπn∪πε +∑

(f(tj)− f(yj))λ(J−j ).

Al estar f acotada y ser |σπn| → 0 resulta que

σπn = σπn∪πε + ζn,

con ζn → 0. Por tantolımσπn = s.


Observación 4.3. Algunas veces (4.1) se expresa escribiendo

lım|π|→0

σπ = s.

Denición 4.6. La oscilación ω de una función acotada f en [a, b] se denecomo:

ω =M −m = sup[a,b]

f − ınf[a,b]

f.

Proposición 4.7. La oscilación ω de una función acotada f en [a, b] se puederepresentar como:

ω = supy,z∈[a,b]

f(y)− f(z) = supy,z∈[a,b]

|f(y)− f(z)|.

Demostración. Se tiene que f(y)−f(z) ≤M−mmientras f(yn) →M , f(zn) →m para sucesiones yn, zn en el intervalo [a, b]. Por tanto

M −m = lım(f(yn)− f(zn)) ⇒ ω = supy,z∈[a,b]

f(y)− f(z).

Por otro lado:|f(y)− f(z)| ≤M −m,

mientras (M −m ≥ 0)

M −m = lım |f(yn)− f(zn)| ⇒ ω = supy,z∈[a,b]

|f(y)− f(z)|.

Denición 4.8. La oscilación ωf (x) de una función acotada f en un puntox ∈ [a, b] se dene como:

ωf (x) = lımδ→0+

ωf,Iδ(x) = ınfδ→0+

ωf,Iδ(x),

en donde Iδ(x) = [x−δ, x+δ] y ωf,Iδ(x) designa la oscilación de f en el intervaloIδ(x).

Observación 4.4. No es difícil comprobar que f es continua en un punto x si ysólo si ωf (x) = 0.

La propiedad que sigue es consecuencia inmediadta del criterio de Riemann.

Proposición 4.9. Sea f una función acotada en [a, b]. f es integrable Riemannsi y sólo si para cada ε > 0 existe una partición π ∈ P tal que:

n∑k=1

ωk∆xk ≤ ε,

donde ωk = Mk − mk es la oscilación de f en el intervalo [xk−1, xk] de lapartición π.

4.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R 89

El que sigue es un teorema de Vitali de 1903 (cf. [5]).

Teorema 4.10. Sea f una función acotada en [a, b] y sea D el conjunto de lospuntos donde f no es continua. Entonces f es integrable Riemann si y sólo siD tiene medida de Lebesgue cero.

Demostración. Para la necesidad escribimos D = ∪∞m=1Em donde Em es:

Em = x ∈ [a, b] : ωf (x) >1

m.

Dado ε > 0 existe πε tal que: ∑ωk∆xk ≤ ε.

Denotemos Ik = (xk−1, xk), 1 ≤ k ≤ n los interiores de los intervalos de lapartición. Notamos que:

λ∗(Em) = λ∗(Em ∩ (I1 ∪ · · · In)).

Si Ii1 , . . . , Iis son los intervalos que cortan a Em resulta que:

1

mλ∗(Em) ≤ 1

m(λ(Ii1) + · · ·+ λ(Iis)) ≤

∑ωk∆xk ≤ ε.

Luego λ∗(Em) = 0 y D tiene medida cero.Probamos ahora la integrabilidad de f cuando λ∗(D) = 0. En efecto D ⊂

∪In, donde los In son intervalos abiertos tales que:∑λ(In) < Aε.

Por otro lado, cada punto x de continuidad de f es centro de un intervalo abiertoI ′n en donde la oscilación ω de f cumple ω ≤ Bε. Como la familia In, I ′n cubre[a, b] admite un subrecubrimiento nito con el que formamos una partición deintervalos I ′′n .

Por tanto:∑k

ωk∆xk =∑k∈F1

ωk∆xk +∑k∈F2

ωk∆xk ≤ A(M −m)ε+B(b− a)ε,

donde F1 designa los índices de aquellos intervalos de la partición contenidos enalgún intervalo In de la primera familia, F2 designa los índices de los restantesintervalos. Tomando:

A =1

2(M −m)B =

1

2(b− a),

conseguimos: ∑k

ωk∆xk ≤ ε.

Por tanto, f es integrable en [a, b].


El siguiente resultado justica la inclusión del presente capítulo en la asig-natura.

Teorema 4.11. Sea f una función acotada en el intervalo [a, b]. Si f es inte-grable Riemann entonces f es integrable Lebesgue y las integrales coinciden:∫ b

a

f(x) dx =

∫[a,b]

f dµ,

en donde µ representa la medida de Lebesgue en R.

Demostración. En primer lugar, f es medible. Para G ⊂ R abierto:

f−1(G) = D ∩ f−1(G) + C ∩ f−1(G),

donde C = [a, b] \ D. El conjunto C es medible y como C ∩ f−1(G) es abierto enC,

C ∩ f−1(G) = G1 ∩ C,con G1 un abierto de R. Así, C ∩ f−1(G) también es medible y f es medible.

Asimismo, f es integrable Lebesgue por ser acotada. Dado ε:

s− ε ≤ sπ =

∫(a,b)

∑k

(mkχIk) dµ ≤∫(a,b)

f dµ

donde los Ik representan los intervalos abiertos de la partición πε para la que:∑ωk∆xk ≤ ε,

y s es la integral de Riemann de f . Por tanto:∫ b

a

f(x) dx ≤∫(a,b)

f dµ,

y la otra desigualdad se demuestra igual.

Observación 4.5. La integral de Riemann, a diferencia de la de Lebesgue, esuna integral orientada en el sentido que se integra desde a hasta b y cambiade signo cuando se integra en sentido contrario. Es decir, se dene:∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx

cuando b < a. Sin embargo, la integral de Lebesgue no es una integral orientada.Se integra simplemente en el intervalo [a, b].

Algunos resultados conocidos, como el que sigue, se demuestran muy fácil-mente dentro del marco de la integral de Lebesgue.

Teorema 4.12. Sea fn una sucesión de funciones acotadas que converge uni-formemente en [a, b] a una función f . Entonces f es integrable Riemann y∫ b

a

f(x) dx = lım

∫ b

a

fn(x) dx.

4.2. EL TEOREMA DE PEANO 91

4.2. El teorema de Peano

Vamos a usar las ideas del capítulo anterior para probar la siguiente versióndel teorema de Peano (véase [7]).

Teorema 4.13. Sea

f : [a, b]× R −→ R(t, y) 7−→ f(t, y)

continua y acotada, es decir|f(t, y)| ≤M

para todo (t, y) ∈ [a, b]×R. Supongamos además que f es creciente en la variabley, es decir

y1 ≤ y2 ⇒ f(t, y1) ≤ f(t, y2).

Entonces, para todo y0 ∈ R el problemay′ = f(t, y)

y(a) = y0

posee al menos una solución en [a, b].

Demostración. Tomando y = y0 −M(t− a), y = y0 +M(t− a) y deniendo

T : C[a, b] → C[a, b]

como

T [y](t) = y0 +

∫ t

a

f(s, y(s)) ds,

se tiene que:y ≤ T [y] ≤ T [y] ≤ y.

Formamos las sucesiones

yn+1 = T [yn] yn+1 = T [yn],

con y1 = y, y1 = y y observamos que yn es creciente, yn es decreciente y que

yn ≤ yn.

Usando el teorema de las convergencia monótona se concluye que si

y− = lım yn, y+ = lım yn,

entonces f(t, y−(t)) y f(t, y+(t)) son en primer lugar Lebesgue integrables con

y±(t) = y0 +

∫(a,t)

f(s, y±(s)) ds.

Como las y± son integrable Riemann el teorema fundamental del cálculo implicay± ∈ C1 mientras:

y± = T [y±].

Por tanto, resuelven el problema de valor inicial propuesto.


Observaciones 4.6.

a) Puede darse una prueba del Teorema 4.2 únicamente sostenida en la integralde Riemann. Argumentamos como sigue.

b) Las yn, yn son lipschitzianas de constante común M por tanto

|y±(t)− y±(s)| ≤M |t− s|,

y las y± son también lipschitzianas.

c) Como las yn, yn son sucesiones monótonas, la continuidad de sus respectivoslímites y un teorema de Dini ([14]) que enunciamos a continuación nos llevan aque las convergencias

yn → y+ yn → y−,

son uniformes.

d) Pasando al límite en las relaciones:

yn+1(t) = y0 +

∫ t

a

f(s, yn(s)) ds, yn+1(t) = y0 +

∫ t

a

f(s, yn(s)) ds,

concluimos:y± = T [y±].

Teorema 4.14. Sean X un espacio compacto y fn : X → R una sucesiónmonótona de funciones continuas tal que:

fn(x) → f(x),

para cada x ∈ X, donde f : X → R es también una función continua. Entoncesel límite precedente es además uniforme.

Demostración. Supongamos que fn es creciente. Dado ε > 0 la familia:

Gn = x : |f(x)− fn(x)| < ε,

constituye un recubrimiento abierto de X tal que Gn ⊂ Gn+1 para todo n ∈ N.Por tanto, existe nε tal que:

Gnε = Gn = X,

para n ≥ nε. Esto implica la convergencia uniforme.

4.3. Integral de Riemann n-dimensional

Los resultados sobre integración de Riemann para funciones de una variablese extienden a funciones acotadas f : [a, b] → R, donde [a, b] = [a1, b1] × · · · ×[aN , bN ] es un intervalo cerrado de RN . Las particiones π de [a, b] se denen

4.3. INTEGRAL DE RIEMANN N-DIMENSIONAL 93

como los productos π1 × · · · × πN de particiones de los intervalos [ai, bi]. Siπi = xi0, xi1, . . . , xini

, xi0 = ai, xini

= bi y el s-ésimo intervalo es

Iis = [xis−1, xis]

entonces [a, b] se descompone en un total de n1 × · · · × nN intervalos Iα, α =(α1, . . . , αN ) ∈ 1, . . . , n1 × · · · × 1, . . . , nN

Iα = I1α1× · · · × INαN

.

Las sumas inferior, superior y de Riemann se denen como en una variable:

sπ =∑α

mαλ(Iα) Sπ =∑α

Mαλ(Iα) σπ =∑α

f(tα)λ(Iα),

mα = ınfIα f , Mα = supIα f y tj ∈ Iα.Las caracterización de la integrabilidad Riemann en términos de sumas su-

periores e inferiores y de Riemann es idéntica a la del caso escalar. En particular,una función f es integrable en [a, b] si y sólo si el conjunto de sus discontinui-dades tiene medida de Lebesgue cero.

Asimismo, las funciones Riemann integrables son integrable Lebesgue y susintegrales coinciden.

Una cuestión más delicada es integrar funciones sobre un conjunto acotadoA ⊂ RN . Tales conjuntos forman una clase restringida en RN .

Denición 4.15 ([16]). Un conjunto acotado A de RN es medible en sentidode Jordan 1 si la función característica χA es integrable Riemann. En ese casoel contenido de A se dene como

c(A) =

∫I

χA dx,

donde I es cualquier intervalo cerrado I ⊃ A.

Observaciones 4.7.

a) La denición anterior no depende de I. En efecto, la medibilidad Jordan deA sólo depende de que la medida de Lebesgue de ∂A sea cero (ver un poco másadelante). En ese caso, si A ⊂ I ∩ I ′:∫

I

χA dx =

∫I

χA dλ =

∫I∩I′

χA dλ =

∫I′χA dλ =

∫I′χA dx,

donde dλ es la medida de Lebesgue.

b) Si A es medible Jordan, A es medible Lebesgue y c(A) = µ(A).

1En [16] se introducen la integral de Riemann y el contenido de Jordan en el marco másgeneral de los espacios métricos.


c) Si para una partición π denimos

Ji(π) =∑Iα⊂A

λ(Iα) Je(π) =∑

Iα∩A=∅

λ(Iα),

las cantidades:ci(A) = sup

πJi(π) ce(A) = ınf

πJe(π),

se llaman contenido interior y exterior, respectivamente, de A. Un conjunto esmedible Jordan si sus contenidos interior y exterior coinciden. De hecho, ci(A) esel supremo de las sumas inferiores de Riemann de χA. Se observa que ci(A) = 0

cuandoA= ∅. A este respecto conviene observar que un punto puede, en caso

extremo, considerarse el producto de intervalos cerrados degenerados.

d) Se comprueba que ci(A) = ci(A) y que ce(A) = ce(A). Por tanto las deni-

ciones de contenido exterior e interior de Jordan coinciden con las introducidasen [2]. Para comprobar la primera identidad, resulta obvio que ci(

A) ≤ ci(A),

mientras que la desigualdad contraria se prueba como sigue. Sea π una particiónarbitraria. Entonces

Ji(π,A) =∑Iα⊂A

λ(Iα) = lımε→0+

∑Iα⊂A

λ(Iα,ε)

donde Iα,ε se forma con los intervalos [aij−1+ε, aij−ε]. Construimos la partición

πε, superposición de π con los extremos de los intervalos Iα,ε. Éstos últimosestán integrados en πε, bien directamente, bien como unión de intervalos más

pequeños. Como Iα,ε ⊂A resulta:∑Iα⊂A

λ(Iα,ε) ≤ Ji(πε,A) ≤ ci(

A).

Esto prueba la desigualdad deseada.

Proposición 4.16. Sea A ⊂ RN un conjunto acotado. Son equivalentes

i) A es medible Jordan.

ii) λ(∂A) = 0, donde λ es la medida de Lebesgue N -dimensional.

iii) Para cada ε > 0 existe un número nito de intervalos abiertos I1, . . . , In,

∂A ⊂ ∪ni=1Ii,

yn∑

i=1

λ(Ii) < ε.

iv) c(∂A) = 0.

4.3. INTEGRAL DE RIEMANN N-DIMENSIONAL 95

Demostración. i) ⇔ ii) porque ∂A es el conjunto donde χA es discontinua.ii) ⇒ iii) porque al ser A acotado, ∂A es compacto y su carácter de conjuntonulo nos lleva a iii). De hecho ii) ⇔ iii) pues el recíproco es evidente.Para iii) ⇒ iv) notamos que:

ce(∂A) ≤ ce(∪ni=1Ii) = ce(∪n

i=1Ii) = λ(∪ni=1Ii) ≤

n∑i=1

λ(Ii) < ε,

en donde se ha usado que ∂(∪ni=1λ(Ii)) ⊂ ∪n

i=1∂(λ(Ii)) tiene medida cero. Luegoc(∂A) = 0. El recírpoco también es inmediato.

El contenido de Jordan es, entre otras propiedades, nitamente aditivo.

Proposición 4.17. Sean A,B conjuntos medibleJordan tales queA ∩

B= ∅.

Entonces:c(A ∪B) = c(A) + c(B).

Demostración. Es inmediato que la unión de conjuntos medibleJordan es medibleJordan. Al escribir integrales de Lebesgue:∫

χA∪B =

∫χ A+

∫χ B=

∫χA +

∫χB ,

pues A ∪ B =A ∪

B ∪N donde N es un conjunto de medida nula. Obsérvese

nalmente que la primera y las últimas integrales coinciden con integrales deRiemann.

Denición 4.18. Si A es un conjunto acotado de RN , f : A → R acotada, sedice que f es integrable Riemann sobre A si f , la extensión por 0 de f a RN , esintegrable Riemann en algún intervalo compacto I ⊃ A. En ese caso denimos∫

A

f dx =

∫I

f dx.

Observaciones 4.8.

a) Ni la integrabilidad de f ni el valor de su integral dependen del intervalo I.

b) Los conjuntos A candidatos a ser recintos de integración deberían ser talesque, por ejemplo, las funciones acotadas y continuas en A fuesen integrables enA. Al tomar f = 1 concluimos que A debe ser medible Jordan.

Se tiene la siguiente proposición.

Proposición 4.19. Sean A medible Jordan y f una función acotada en A. En-tonces f es integrable Riemann en A si y sólo si el conjunto de discontinuidadesde f tiene medida cero.


Demostración. Se trata de medir las discontinuidades de f en I. Llamamos D∗

el conjunto de las discontinuidades de f en I, D el de las discontinuidades de fen A. Tenemos D∗ ∩ (A)c = ∅. Así

D∗ = D∗ ∩ ∂A+D∗ ∩A = D∗ ∩ ∂A+D ∩

A

Resulta que:

µ(D∗) = µ(D∗ ∩A ) = µ(D ∩

A ) = µ(D).

4.4. Ejercicios

1. Demuéstrese que toda funión monótona y acotada f en un intervalo [a, b]es integrable Riemann.

2. Constrúyase una sucesión fn de funciones integrable Riemann en [0, 1]tales que 0 ≤ fn(x) ≤ 1 para cada x ∈ [0, 1] de forma que exista el límitepuntual fn(x) → f(x) pero que f(x) no sea integrable Riemann.

3. Sean f y fn funciones acotadas e integrables Riemann en el intervalo [0, 1]de suerte que |fn(x)| ≤ K para x ∈ [0, 1]. Pruébese que si fn → f paracasi todo punto x ∈ [0, 1] entonces:

lımn→∞

∫ 1

0

fn(x) dx =

∫ 1

0

f(x) dx.

4. Sea f una función acotada en el intervalo [a,∞) la integral de Riemannimpropia

∫∞af(x) dx se dene como:∫ ∞

a

f(x) dx = lımt→∞

∫ t

a

f(x) dx,

supuesto que el límite existe. Una tal función f se dice absolutamenteintegrable en [a,∞) si |f | es Riemann integrable en [a,∞) (en sentidoimpropio).

a) Pruébese que si f es absolutamente integrable también es integrable.

b) Pruébese que ∫ ∞

1

senx

xdx

existe en sentido impropio pero que senx/x no es absolutamente integrableen [a,∞).

4.4. EJERCICIOS 97

c) Demostrar que si si f es absolutamente integrable entonces f ∈ L1(a,∞)y las integrales coinciden:∫ ∞

a

f(x) dx =

∫(a,∞)

f(x) dx.

5. Se dice que f es integrable en R, en sentido impropio si f ∈ R[−n, n] paratodo n y existe el límite:

lımn→∞

∫ n

−n

f(x) dx :=

∫ ∞

−∞f(x) dx.

Pruébese que si |f | es integrable en R (en sentido impropio) entoncesf ∈ L1(R) y además: ∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫Rf(x) dx.

Como muestran los ejemplos de las funciones f(x) = x, senx/x, unafunción puede ser integrable pero no absolutamente integrable. En esecaso se escribe:

v. p.∫ ∞

−∞f(x) dx = lım

n→∞

∫ n

−n

f(x) dx,

en donde v. p. son las siglas de valor principal.

6. Sea f : [a, b) → R una función no necesariamente acotada tal que f ∈R[a, b− ε] para todo 0 < ε < ε0. f se dice integrable en el intervalo [a, b),en sentido impropio, si existe el límite:

lımε→0+

∫ b−ε

a

f(x) dx =:

∫ b

a

f(x) dx.

Si |f | es integrable en sentido impropio entonces se dice que f es absolu-tamente integrable.

a) Pruébese que si f es absolutamente integrable también es integrable.

b) Demostrar que si si f es absolutamente integrable en [a, b) entonces f ∈L1(a, b) y las integrales coinciden:∫ b

a

f(x) dx =

∫(a,b)

f(x) dx.

7. Sean R el rectángulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d y f una función acotada en R.Sean π1 una partición x0 ≤ · · · ≤ xn de [a, b], π2, y0 ≤ · · · ≤ ym unapartición de [c, d]. Defínanse:

Mij = supIi×Jj

f, mij = ınfIi×Jj

f


con Ii = [xi−1, xi], Jj = [yj−1, yj ], π = π1 × π2). Las sumas superior einferior se denen respectivamente como:

Sπ =∑i

∑j

Mij∆xi∆yj , sπ =∑i

∑j

mij∆xi∆yj .

Asimismo,

σπ =∑i

∑j

f(ξi, ηj)∆xi∆yj , (ξi, ηj) ∈ Ii × Jj ,

dene una suma de Riemann asociada a π.

La función f es integrable Darboux en R si s = s donde

s = supπsπ s = sup

πSπ.

Análogamente, se dice que f es integrable Riemann si existe s ∈ R tal que∀ε ∃πε con |s− σπ| < ε para toda π ⊃ πε, donde σπ es cualquier suma deRiemann asociada a π. En ese caso se pone:

s =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy.

a) Probar la equivalencia de las dos nociones de integral.

b) Demuéstrese que si f es integrable Riemann en R entonces es integrableLebesgue y las respectivas integrales coinciden.

8. [Integral de RiemannStieljes, [2]] Sea α : [a, b] → R una función continuay acotada que denominaremos el integrador. Si f : [a, b] → R es unafunción acotada y π = x0, . . . , xn ∈ P es una partición de [a, b], laexpresión:

σπ =∑i

f(ti)∆αi,

con ti ∈ Ii, Ii = [xi−1, xi], ∆αi = α(xi)− α(xi−1), se llama una suma deRiemann de f asociada a π. Se dice que f es RiemannStieltjes integrablecon respecto a α en [a, b] (abreviado, f ∈ R(α)) si existe s ∈ R tal que ∀ε,∃πε ∈ P cumpliendo |σπ − s| < ε para toda π ⊃ πε, donde σπ es cualquiersuma de Riemann asociada a π. En tal caso se escribe:

s =

∫ b

a

f(x) dα.

Obviamente, s se llama la integral de RiemannStieltjes de f .

Pruébense las siguientes armaciones:

4.4. EJERCICIOS 99

a) Si f, g ∈ R(α) entonces para constantes arbitrarias c1, c2 ∈ R, c1f + c2g ∈R(α) y se tiene:∫ b

a

(c1f + c2g) dα = c1

∫ b

a

f dα+ c2

∫ b

a

g dα.

b) Si α1, α2 son acotadas en [a, b], f ∈ R(αi), i = 1, 2, entonces para cons-tantes cualesquiera c1, c2 ∈ R, f ∈ R(c1α1 + c2α2) y se cumple:∫ b

a

f d(c1α1 + c2α2) = c1

∫ b

a

f dα1 + c2

∫ b

a

f dα2.

9. Por analogía con la integral de Darboux se introducen los siguientes con-ceptos asociados a la integral de Riemann-Stieltjes ([2]). Sea α monótonano decreciente y acotada. Para f acotada en [a, b] se denen las las sumassuperior e inferior asociadas a una partición π:

Sπ =∑i

Mi∆αi, sπ =∑i

mi∆αi,

Mi = supIi f , mi = ınfIi f , Ii = [xi−1, xi], ∆αi = α(xi) − α(xi−1). Lasintegrales superior e inferior son

s = ınfπSπ, s = sup

πSπ.

Admitiendo que α es monótona no decreciente, pruébese la equivalenciade las siguientes armaciones:

a) f ∈ R(α),

b) s = s,

c) (condición de Riemann) ∀ε > 0, ∃πε tal que

Sπε − sπε < ε.

10. Sea α : [a, b] → R una función de variación acotada. Demuéstrese que todafunción continua f ∈ C[a, b] satisface f ∈ R(α), es decir, es integrable ensentido de RiemannStieljes en [a, b] tomando α como integrador.

11. Sean, f continua y α de variación acotada en [a, b]. Demuéstrese que:∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dα(x)

∣∣∣∣∣ ≤ V (α) sup[a,b]

|f(x)|,

donde V (α) es la variación total de α sobre [a, b].

12. Sean f continua en [a, b], α monótona no decreciente en [a, b] y continuapor la derecha. Pruébese que:∫ b

a

f(x) dα =

∫(a,b]

f(x) dµα,

donde µα es la medida de Lebesgue-Stieltejes asociada a α.

Capítulo 5

Espacios Lp

5.1. Desigualdades

Denición 5.1. Se dice que una función φ : (a, b) → R es convexa si parax, y ∈ (a, b) arbitrarios:

φ((1− λ)x+ λy) ≤ (1− λ)φ(x) + λφ(y) (5.1)

para todo 0 ≤ λ ≤ 1.

Observaciones 5.1.

a) Si φ es convexa y x1, . . . , xn ⊂ (a, b),

φ(n∑

i=1

tixi) ≤n∑

i=1

tiφ(xi)

para ti ≥ 0 cualesquiera tales que∑n

i=1 ti = 1.

b) La función φ se dice estrictamente convexa si, en las condiciones de (5.1), secumple:

φ((1− λ)x+ λy) < (1− λ)φ(x) + λφ(y)

siempre que x = y y λ = 0, 1.

Propiedad 5.2. Las siguientes armaciones son equivalentes:

a) φ : (a, b) → R es convexa.

b) Para a < s < t < u < b cualesquiera:

φ(t)− φ(s)

t− s≤ φ(u)− φ(s)

u− s.

c) Para a < s < t < u < b cualesquiera:

φ(t)− φ(s)

t− s≤ φ(u)− φ(t)

u− t.

101

102 CAPÍTULO 5. ESPACIOS LP

d) Para a < s < t < u < b cualesquiera:

φ(u)− φ(s)

u− s≤ φ(u)− φ(t)

u− t.

Demostración. Escribimos

t = s+ λ(u− s) = (1− λ)s+ λu, (5.2)

conλ =

t− s

u− s.

Comoφ(t) ≤ (1− λ)φ(s) + λφ(u), (5.3)

entoncesφ(t)− φ(s) ≤ λ(φ(u)− φ(s)),

que es b).La relación (5.2) se escribe:

t = s+ λ(u− s) = µs+ (1− µ)u, (5.4)

conµ = 1− λ =

u− t

u− s.

Siendoφ(t) ≤ µφ(s) + (1− µ)φ(u),

entonces

φ(u)− φ(s) ≤ 1

µ(φ(u)− φ(t)),

de donde sale d).Finalmente, la relación (5.3) se escribe:

(1− λ)φ(t) + λφ(t) ≤ (1− λ)φ(s) + λφ(u),

por tanto

φ(t)− φ(s) ≤ λ

1− λ(φ(u)− φ(t)),

que implica c).

Proposición 5.3. Si φ : (a, b) → R es convexa entonces φ es continua.

Observaciones 5.2.

a) Es imprescindible en la propiedad anterior que φ esté denida en un intervaloabierto. En efecto φ : [0, 1] → R tomando el valor 0 en [0, 1) y 1 en x = 1 esconvexa y no es continua.

b) Probamos a continuación una propiedad más fuerte que la mera continuidad.

5.1. DESIGUALDADES 103

Proposición 5.4. Si φ : (a, b) → R es convexa entonces φ es derivable por laderecha y por la izquierda en cada t ∈ (a, b). Además

Dφ(t−) ≤ Dφ(t+)

en cada t siendo ambas funciones Dφ(t−) y Dφ(t+) crecientes.

Demostración. Elegimos:t < s < u′ < u

y se cumple que

φ(u)− φ(t)

u− t≥ φ(u′)− φ(t)

u′ − t≥ φ(t)− φ(s)

t− s.

Claramente

lımu→t+

φ(u)− φ(t)

u− t= ınf

u→t+

φ(u)− φ(t)

u− t≥ φ(t)− φ(s)

t− s.

Así pues:

Dφ(t+) ≥ φ(t)− φ(s)

t− s.

Si hacemos t→ s+ resulta

Dφ(t+) ≥ Dφ(s+),

si por contra s→ t−Dφ(t+) ≥ Dφ(t−),

pues la existencia de la derivada por la izquierda se sigue de un argumentosimilar.

Proposición 5.5 (Desigualdad de Jensen). Sea (X,A, µ) un espacio de medidanita, f una función real e integrable en X tal que −∞ ≤ a < f(x) < b ≤ ∞,mientras φ es convexa en (a, b). Entonces:

φ

(1

µ(X)

∫X

f dµ

)≤ 1

µ(X)

∫X

φ f dµ.

Observación 5.3. No se requiere en el enunciado la integrabilidad de φf porquese comprueba en el curso de la demostración que en caso de no integrabilidadha de ser: ∫

X

φ f dµ = ∞.

Demostración. Tomamos

t =1

µ(X)

∫X

f.

Sabemos queφ(t)− φ(s)

t− s≤ β s < t,


donde β = Dφ(t−). Como por otra parte Dφ(t+) ≥ β también se cumple

φ(s)− φ(t) ≥ β(s− t) s > t.

Concluimos entonces que

φ f(x) ≥ φ(t) + β(f(x)− t),

con lo que al ser φ f medible se tiene que o bien es integrable o bien tieneintegral innita. Integrando ambos miembros y dividiendo por µ(X) obtenemosla tesis.

Ejemplo 5.4. Si (X,A, µ) nito X = q1, . . . , qn con αi = µqi la desigualdadde Jensen no es más que:

φ(n∑

i=1

tixi) ≤n∑

i=1

tiφ(xi),

dondeti =

αi∑nj=1 αj

xi = f(qi).

Tomando por ejemplo φ = ex, xi = log yi concluimos:

(yα11 · · · yαn

n )1A ≤ 1

A

n∑i=1

αiyi A =n∑

i=1

αi.

Observación 5.5. Sean t1, . . . , tn no negativos con∑n

i=1 ti = 1, y1, . . . , yn nonegativos también, entonces:

yt11 . . . ytnn ≤ t1y1 + · · · tnyn.

Observación 5.6. Si x1, . . . , xn son no negativos, los números pi son positivos y

1

p1+ · · ·+ 1

pn= 1,

entonces (desigualdad de Young):

x1 . . . xn ≤ 1

p1xp1

1 + · · ·+ 1

pnxpnn .

5.1.1. Desigualdades de Hölder y de Minkowski

Denición 5.6. Se dice que dos números positivos p, q son (exponentes) con-jugados si

1

p+

1

q= 1.

Como caso límite se dice asimismo que p = 1 y q = ∞ son conjugados.

5.2. ESPACIOS LP 105

Teorema 5.7. Sean f, g : X → [0,∞] funciones medibles, 1 < p < q exponentesconjugados. Entonces:∫

fg dµ ≤(∫

fp dµ

)1/p(∫gq dµ

)1/q

,

y (∫|f + g|p dµ

)1/p

≤(∫

|f |p dµ)1/p

+

(∫|g|p dµ

)1/p

.

Observación 5.7. La primera desigualdad es la desigualdad de Hölder, la segundala de Minkowski.

Demostración. Comenzamos con la desigualdad de Hölder y suponemos que lasfunciones fp y gq son integrables (que es el caso relevante). Llamamos A =∫Xfp dµ, B =

∫Xgq dµ y obtenemos, de la desigualdad de Young:∫fg dµ =

∫(tf)(t−1g) dµ ≤ 1

ptpA+

1

qt−qB,

para todo t > 0. El segundo miembro alcanza un mínimo en tp+q = B/A siendoel valor del mínimo

Aq

p+qBp

p+q = A1/pB1/q.

En cuanto a la desigualdad de Minkowski escribimos:∫|f + g|p−1|f + g| dµ ≤ (|f |p + |g|p)|f + g|p−1

p ,

en donde suponemos que |f |p :=(∫

|f |p dµ)1/p

y |g|p son nitas y se observaque la potencia qésima de |f+g|p−1 es nita, donde q es el conjugado de Hölderde p.

5.2. Espacios Lp

Denición 5.8. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y f una función medible.Para 0 < p <∞ denimos

|f |p =

(∫|f |p dµ

)1/p

.

Denotamos Lp(X) o Lp(µ) el conjunto de las funciones medibles tales que |f |p <∞. Lp(RN ), Lp(G) denotarán respectivamente los correspondientes espacios enRN y en un abierto G de RN con respecto a la medida de Lebesgue.


Denición 5.9. Se dice queM ≥ 0 es una cota esencial de una función mediblef : X → [−∞,∞] si:

x : |f(x)| > M

tiene medida cero. Denimos el supremo esencial β de una función medible fcomo el ínmo de sus cotas esenciales. Lo denotamos por

|f |∞ = sup esenX f.

Denotamos L∞(X), L∞(µ) (respectivamente L∞(RN ), L∞(G) en el caso de RN

o un abierto G de RN con la medida de Lebesgue) el conjunto de las funcionesmedibles esencialmente acotadas.

Observación 5.8. El supremo esencial β es una cota esencial porque al ser:

|f(x)| > β = ∪n|f(x)| > β +1

n,

el primer miembro tiene medida cero. Por tanto β es ciertamente la menor delas cotas inferiores.

Proposición 5.10. Lp(X) es un espacio vectorial para 1 ≤ p ≤ ∞.

Demostración. Los casos p = 1,∞ son obvios. Que f + g ∈ Lp(X) si f, g ∈Lp(X) para p > 1 se sigue de la convexidad de φ(t) = |t|p para p ≥ 1. En efecto:(

|x|+ |y|2

)p

≤ 1

2|x|p + 1

2|y|p

de donde(|x|+ |y|)p ≤ 2p−1(|x|p + |y|p).

Observaciones 5.9.

a) Si f , g son funciones medibles tales que f(x) = g(x) en casi todo punto en-tonces |f |p = |g|p para todo 1 ≤ p ≤ ∞. En Lp(X), 1 ≤ p ≤ ∞, se dene larelación (de equivalencia) f ∼ g si f(x) = g(x) para c. t. x ∈ X. El corres-pondiente cociente Lp(X)/ ∼ será representado por Lp(X). Si [f ] es una clase,|[f ]|p se dene como |f |p. En virtud de la desigualdad de Minkowski se tieneque | · |p es una norma en Lp(X).

b) Lp(X) también es un espacio vectorial si 0 < p < 1 (Ejercicio 2). Sin embargo,el funcional | · |p no dene en este caso una norma (Ejercicios 5, 6 y [10]). Noobstante, Lp(X) es un espacio métrico completo si se le dota de la distancia:

d(f, g) =

∫|f − g|p dµ.

Nos remitimos al Ejercicio 7.

5.2. ESPACIOS LP 107

Teorema 5.11. (Lp(X), | · |p) es un espacio de Banach para 1 ≤ p <∞.

Demostración. Si fn es una sucesión de Cauchy en Lp(X) prescindimos de lanotación de las clases y trabajamos directamente con funciones es inmediatocomprobar que fn es de Cauchy en medida. Por tanto existe f medible tal quefn → f en medida. De fn extraemos una sucesión fnk

tal que que

fnk→ f

en en casi todo punto. Fijamos n y se tiene:

lim

∫|fnk

− fn|p dµ ≤ ε.

si n ≥ nε. El lema de Fatou arma entonces que∫|f − fn|p dµ =

∫lim |fnk

− fn|p dµ ≤ ε

si n ≥ nε. Esto signica que f−fn ∈ Lp(X) y por tanto que f ∈ Lp(X). Ademásque fn → f en Lp(X).

Teorema 5.12. (L∞(X), | · |∞) es un espacio de Banach.

Demostración. Sea fn una sucesión de Cauchy en L∞(X). Entonces, para todok existe nk ∈ N tal que el conjunto:

Fk = ∪m≥n≥nk|fm(x)− fn(x)| >

1

k

tiene medida cero. Ponemos F0 = ∪∞n=1|fn(x)| > |fn|∞ y denimos F =

F0 ∪ ∪∞k=1Fk. Resulta entonces que F tiene medida cero y jamos E = X \ F .

Si damos un k arbitrario se tiene entonces, por construcción, que E ⊂ F ck .

Por tanto:

supE

|fm − fn| ≤1

k

para m ≥ n ≥ nk. Por tanto fn → f uniformemente en E. La función f esmedible en E y su extensión por 0 a X también es medible en X. Ademásf acotada en E por ser límite uniforme de funciones acotadas E. En efectosupE |fn| ≤ |fn|∞. Como:

sup esenX |f | ≤ supE

|f |

pues el segundo miembro dene una cota esencial f , f ∈ L∞(X).Además

sup esenX |fn − f | ≤ supE

|fn − f |.

ya que el segundo miembro dene una cota esencial de fn − f . Así fn → f enL∞(X).


Observación 5.10. Se sigue de los enunciados precedentes que si fn → f enLp(X) entonces f es el límite en en casi todo punto y casi-uniformemente deuna subsucesión fnk

.Si fn → f en L∞(X) entonces fn → f uniformemente en el complemento

de un conjunto de medida cero.

5.3. Contenidos

En general, no se dan relaciones de contenido entre los Lp si µ(X) = ∞. Porcontra, si µ(X) < ∞ los espacios se hacen más pequeños a medida que p crece(p se convierte en una especie de medida de la regularidad de la función).

Para ilustrar la primera armación consideramos X = (1,∞). La función:

fα(x) =1

xα∈ Lp(1,∞) ⇔ pα > 1.

Si 1 ≤ q < p podemos encontrar α tal que:

q ≤ 1

α< p.

Así, en general, Lp(X) ⊂ Lq(X) si 1 ≤ q < p.Por otra parte tomamos:

gα =χ(1,2)

(x− 1)α,

gα ∈ Lp(1,∞) si y sólo si p < 1/α. Luego si p < q y siempre podemos elegir unα tal que:

p <1

α≤ q,

y gα ∈ Lp(1,∞) \ Lq(1,∞), luego Lp(X) ⊂ Lq(X) si p < q.Consideramos ahora dos resultados de contenido. Uno relativo al caso µ(X) <

∞, el otro para X general.

Teorema 5.13. Sea (X,A, µ) un espacio de medida con µ(X) <∞. Entonces

Lp(X) ⊂ Lq(X)

para 1 ≤ p < q ≤ ∞ con:

|f |p ≤ µ(X)1p−

1q |f |q,

para todo f ∈ Lq(X).

La prueba es consecuencia inmediata de la desigualdad de Hölder.

Teorema 5.14. Sean X de medida nita, f : X → [0,∞] medible. Entonces

lımp→∞

(1

µ(X)

∫fp dµ

)1/p

= lımp→∞

|f |p = sup esen f.

En particular, f está acotada esencialmente si y solamente si tal límite es nito.

5.4. DENSIDAD 109

Demostración. Como:

ap :=

(1

µ(X)

∫fp dµ

)1/p

es creciente en p existe A = lımp→∞ ap = sup ap. Siendo ap = fp/(µ(X)1/p),lım |f |p = A (A = ∞ no está descartado).

Supongamos A nito. De la desigualdad de Tchebyche resulta:

µ|f(x)| ≥ m ≤ µ(X)

(A

m

)p

,

para todo m > 0 y p ≥ 1. Por tanto el conjunto de la izquierda tiene medidacero para m > A. De aquí |f |∞ ≤ A. Asimismo, no puede ser |f |∞ ≤ A − εpues, como se comprueba fácilmente, esto implicaría que lım ap ≤ A− ε.

Finalmente, A = ∞ es incompatible con que f sea acotada.

Teorema 5.15. Supongamos que f ∈ Lp(X) ∩ Lq(X) con p < q. Entoncesf ∈ Lr(X) para todo p < r < q y además:

|f |rr ≤ |f |(1−θ)pp |f |θqq ,

donde r = (1− θ)p+ θq.

5.4. Densidad

Teorema 5.16 (De la convergencia dominada). Sea fn ∈ Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞una sucesión de funciones tales que:

|fn(x)| ≤ g(x)

para c. t. x ∈ X donde g ∈ Lp(Ω) mientras

fn(x) → f(x)

en casi todo punto siendo f una función medible. Entonces f ∈ Lp(Ω) y fn → fen Lp(Ω).

Demostración. Que f ∈ Lp se sigue de que |fn|p → |f |p para c. t. x ∈ X,mientras

|fn|p ≤ gp.

Esto prueba la integrabilidad de |f |p. Para la convergencia notamos que |fn −f | → 0 para c. t. x ∈ X, junto con

|fn − f |p ≤ 2pgp,

de donde∫|fn − f |p dµ→ 0.


Teorema 5.17 (Densidad de las funciones simples). Sea S(X) el espacio de lasfunciones simples e integrales en X. Entonces S(X) es denso en Lp(X) para1 ≤ p <∞.

Demostración. Tomamos f ∈ Lp(X) y suponemos primero que f ≥ 0. Entonces

f(x) = lım fn(x)

en c. t. x ∈ X, con 0 ≤ fn(x) ≤ f(x) siendo fn ∈ S(X).Ahora

0 ≤ f(x)− fn(x) = |f(x)− fn(x)| ≤ f.

Como f ∈ Lp(X) entonces f − fn → 0 en Lp(X).Para f general escribimos

f = f+ − f−,

observamos que f± ∈ Lp(X) y aplicamos la conclusión precedente.

Proposición 5.18. En RN considera la familia de intervalos F = ∪Fk donde

Fk = 2−k(γ1, . . . , γn) + 2−k[0, 1)n : γ = (γ1, . . . , γn) ∈ Zn,

0 = (0, . . . , 0), 1 = (1, . . . , 1). Entonces todo abierto G de RN se puede escribircomo una unión disjunta

G = ∪∞n=1In

de intervalos In de F .

Teorema 5.19. Para G ⊂ RN abierto, 1 ≤ p <∞, Lp(G) es separable.

Demostración. Probamos la armación en RN . Si E es medible con medidanita, para todo ε > 0 existe un abierto G ⊃ E tal que

|χE − χG|p ≤ ε.

De la proposición anterior, dado un abierto G y ε > 0 existe una familia nitaI1, . . . , In de intervalos de la familia F (Proposición 5.18) tal que

|χG − (χI1 + · · ·+ χIN )|p ≤ ε.

La conclusión nal es entonces que toda función simple en RN se puede apro-ximar por una combinación lineal, con coecientes racionales, de funciones χI

donde los I son los intervalos de la familia F . Es decir q1χI1 + · · · + qnχIN :qi ∈ Q, Ii ∈ F es densa en Lp(RN ).

Es inmediato comprobar que las restricciones de dichas funciones a cualquierabierto G de RN conforman un conjunto denso en Lp(G).

Observación 5.11. El espacio L∞(X) no es separable. Esto se prueba a conti-nuación para un abierto G de RN . La prueba procede de [4].

5.4. DENSIDAD 111

Proposición 5.20. Sea G ⊂ RN un abierto. El espacio L∞(G) no es separable.

Demostración. Para cada punto ξ ∈ G tomamos una bola Bξ = B(ξ, r) ⊂ G ydenimos fξ = χBξ

. Denimos asimismo Uξ = f ∈ L∞(G) : |f − fξ|∞ < 12.

Lo primero que se observa es que Uξ1 ∩ Uξ2 = ∅ si ξ1 = ξ2 (los conjuntosUξ son abiertos no vacíos de L∞(G)). Entonces Uξ constituye una familia nonumerable de abiertos no vacíos que son disjuntos dos a dos. Esto es incompatiblecon la separabilidad del espacio.

Denición 5.21. Para G ⊂ RN se dene Cc(G) el espacio de las funcionescontinuas con soporte compacto contenido en G.

Teorema 5.22. Para cada G ⊂ RN el espacio Cc(G) en denso en Lp(G) con1 ≤ p <∞.

Observación 5.12. Elteorema muestra que L1(G) es la complección de Cc(RN )con la norma de L1 expresada en términos de la integral de Riemann. Poreste procedimiento se puede introducir directamente la integral de Lebesgue sinapelar a la teoría de la medida.

Proposición 5.23 (Lema de Uryshon). Sea (X, d) un espacio métrico, A,B ⊂X dos cerrados disjuntos de X. Existe entonces una función cotinua φ : X →[0, 1] tal que φ = 1 en A, φ = 0 en B. Más exactamente φ = 1 = A yφ = 0 = B.

Demostración. Basta tomar:

φ(x) =d(x,B)

d(x,B) + d(x,A)

donde d(x,A) = dist(x,A). Resulta entonces que A = φ = 1, B = φ =0.

Demostración del Teorema 5.22. Comenzamos con el caso de RN . Si se procedecomo en la prueba del Teorema 5.19 vemos que es suciente con aproximar cadafunción χI con I de la familia F por una función de Cc(RN ).

Dado η > 0 y un intervalo I de la familia se consideran A = I, B = x ∈RN : dist(x, I) ≥ η. Se usa el Lema de Uryshon siendo φ ∈ Cc(RN ) la corres-pondiente función. Entonces

|χI − φ|p ≤ (µ0 < dist(x, I) < η)1/p → 0

cuando η → 0. Esto prueba el resultado en RN .En cuanto al caso de un abierto G, escribimos

G = ∪Gn

donde Gn es una sucesión de abiertos Gn ⊂ Gn ⊂ Gn+1, Gn compacto. Sif ∈ Lp(G) y fn = χGnf entonces fn → f en Lp(G) (teorema de la convergencia


dominada). Basta aproximar fn por funciones de Cc(G). Se extiende fn por cerofuera de G y para ε > 0 arbitrario existe φ ∈ Cc(RN ) tal que

|fn − φ|p,G ≤ |fn − φ|p,RN ≤ ε.

En particular|fn − φ|p,Gn + |φ|p,G\Gn

≤ ε.

Ahora se usa el lema de Uryson para tener η(x) continua, η = 1 en Gn, η = 0en RN \Gn+1. Claramente ηφ ∈ Cc(G) y

|fn − ηφ|p,G = |fn − φ|p,Gn + |ηφ|p,G\Gn≤ |fn − φ|p,Gn + |φ|p,G\Gn

≤ ε.

Por consiguiente, hemos terminado.

Observación 5.13. Argumentamos de otra forma. Si f ∈ Lp(Ω) a su extensiónpor cero fuera de G, f , que está en Lp(RN ), la aproximamos por φ continua enRN (de soporte compacto, de hecho), luego

|f − φ|p,G ≤ |f − φ|p,RN < ε.

Recurrimos ahora a la sucesión Gn y a la función ψn que es uno en Gn y cerofuera de Gn+1. Resulta obvio que:

|φn| ≤ |φ|, φn → φ.

donde φn = ψnφ ∈ Gc(G). Luego φn → φ en Lp(G). Esto signica que φn estápróxima a f en Lp(G) mientras que φn tiene soporte compacto.

Supongamos que f es medible en RN y para h ∈ RN denimos la función:

fh(x) = f(x+ h).

Es inmediato comprobar que el conjunto de puntos x donde fh(x) → f(x)cuando h → 0 es precisamente el conjunto donde f es continua. Sin embargo,como muestra en R la función χQ, dicho conjunto puede ser vacío (χQ es inclusointegrable). No obstante, si f ∈ Lp, con 1 ≤ p <∞ entonces fh → f en Lp(RN ).

Teorema 5.24. Sea f ∈ Lp(RN ), 1 ≤ p <∞. Entonces,

|fh − f |p → 0,

cuando h→ 0.

Demostración. Tomamos g ∈ Cc(RN ) y tenemos:

|fh − f |p ≤ C(2|f − g|p + |gh − g|p),

pues |gh − fh|p = |f − g|p. Se puede elegir g tal que |f − g|p < ε4C . Fijada esa

g resulta que los soportes de g y gh están en un intervalo I para |h| < h0. Dela continuidad uniforme de g se deduce que |gh − g|∞ < η para |h| < hη :=mınh0, δ. Luego

|gh − g|p < λn(I)1/pη.

Basta elegir η convenientemente para concluir que |fh − f |p < ε para |h| <hη.

5.5. EJERCICIOS 113

5.5. Ejercicios

1. ([10]) Sea φ : [a, b) → R no decreciente. Se dene:

Φ(x) =

∫ x

a

φ(t) dt.

Pruébese que Φ es convexa.

2. Demostrar que Lp(X) es un espacio vectorial si 0 < p < 1.

3. Estudiar bajo qué condiciones es cierto que

xy =xp

p+yq

q,

donde x, y son positivos y p, q son exponentes conjugados. Para f, g fun-ciones integrables no negativas caracterizar cuándo se da la igualdad en ladesigualdad de Hölder∫

fg dµ ≤(∫

fp dµ

)1/p(∫gq dµ

)1/q

.

4. Sean f , g funciones medibles y no negativas tales que (igualdad en ladesigualdad de Minkowski):(∫

|f + g|p dµ)1/p

=

(∫|f |p dµ

)1/p

+

(∫|g|p dµ

)1/p

.

¾Qué se puede decir de f y de g?

5. [Desigualdad de Höler inversa]. Para 0 < p < 1 se consideran funcionesmedibles y no negativas f, g tales que

∫fp dµ y

∫gq dµ son nitas, donde

1

p+

1

q= 1.

Nótese que q = qq−1 < 0. Se supone además que

∫gq dµ > 0. Demuéstrese

que: ∫fg dµ ≥

(∫fp dµ

)1/p(∫gq dµ

)1/q

.

Indicación. Escríbase fp = (fg)pg−p y utilícese la desigualdad de Höl-der.

6. Se supone 0 < p < 1 y se consideran funciones no negativas f, g ∈ Lp(X).Demuéstrese que:(∫

(f + g)p dµ

)1/p

≥(∫

fp dµ

)1/p

+

(∫gp dµ

)1/p

.


7. Probar que cuando 0 < p < 1, Lp(X) es un espacio métrico completo sise le dota de la distancia:

d(f, g) =

∫|f − g|p dµ.

8. ([10]) Constrúyase un ejemplo de f ∈ Lp(X) tal que f /∈ Lp+δ(X) paraδ > 0. Análogamente, dése un ejemplo de f ∈ Lp(X) tal que f /∈ Lp−δ(X)para δ > 0.

Indicación. Obsérvese que∑

2nδ

n2 diverge para δ > 0.

9. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y fi : X → [0,∞], i = 1, . . . ,m,funciones medibles, fi(x) = 0 en en casi todo punto. Si p1, . . . , pm > 0 sonexponentes conjugados:

1

p1+ · · ·+ 1

pm= 1,

pruébese que∫f1 . . . fm dµ ≤

(∫fp1 dµ

)1/p1

. . .

(∫fpm dµ

)1/pm

.

10. Probar la desigualdad de Hölder dicreta:

n∑i=1

xiyi ≤

(n∑

i=1

xpi

)1/p( n∑i=1

yqi

)1/q

siendo p, q > 1 exponentes conjugados, mientras los números xi, yi sontodos no negativos.

11. Probar la desigualdad de Minkowski dicreta:(n∑

i=1

(xi + yi)p

)1/p

≤

(n∑

i=1

xpi

)1/p

+

(n∑

i=1

ypi

)1/p

siendo no negativos los números xi, yi.

12. Sean f1, . . . , fm, g1, . . . , gm funciones de Lp(X). Pruébese que:(m∑i=1

∫|fi + gi|p dµ

)1/p

≤

(m∑i=1

∫|fi|p dµ

)1/p

+

(m∑i=1

∫|gi|p dµ

)1/p

.

Indicación. Usar el Teorema de Fubini.

13. Sean fn, gn sucesiones en Lp(X) y Lq(X) respectivamente, con 1p +

1q = 1,

tales que fn → f en Lp(X) y gn → g en Lq(X). Pruébese que fngn → fgen L1(X).

Capítulo 6

Medidas producto. Teoremade Fubini

6.1. Medidas producto

Se consideran dos espacios de medida (X,A, µ), (Y,B, ν). La clase de losrectángulos medibles en X × Y se dene como

A B = A×B : A ∈ A, B ∈ B.

La σ-álgebra producto de A y B denotada por A× B es la σ-álgebra generadapor la clase de los rectángulos A B, es decir

A× B = Sa(A B).

El objetivo de la presente sección es construir la medida producto µ × ν sobrela σ-álgebra A× B cuando µ y ν son σ-nitas.

A lo largo del capítulo denotamos por L(n), B(n) las clases de los conjuntosmedible Lebesgue y los borelianos de Rn respectivamente. Un resultado útil esel siguiente.

Proposición 6.1. Sean D1,D2 clases de conjuntos en X,Y , repectivamente, alas que pertenecen X e Y (X ∈ D1, Y ∈ D2). Entonces:

Sa(D1)× Sa(D2) = Sa(D1 ×D2).

Demostración. Como

Sa(D1)× Sa(D2) ⊃ Sa(D1) Sa(D2) ⊃ D1 ×D2,

entonces:Sa(D1)× Sa(D2) ⊃ Sa(D1 ×D2).

115

116 CAPÍTULO 6. MEDIDAS PRODUCTO

Para el otro contenido hemos de probar que:

Sa(D1) Sa(D2) ⊂ Sa(D1 ×D2).

Se razona así. Para D2 ∈ D2 jo denotamos

S1 = E ⊂ X : E ×D2 ∈ Sa(D1 ×D2).

Resulta que S1 ⊃ D1 es una σ-álgebra y por tanto Sa(D1) ⊂ S1, lo que signicaque E × D2 ∈ Sa(D1 × D2) para todo E ∈ Sa(D1). Para la comprobación deque S1 es σ-álgebra el paso clave es E ∈ S1 ⇒ Ec ∈ S1. A tal n se observa queG = (E ×D2)

c ∈ Sa(D1 ×D2) pero

G = Ec ×D2 +X ×Dc2 = Ec ×D2 + (X ×D2)

c.

Como (X ×D2)c ∈ Sa(D1 ×D2), resulta que Ec ∈ S1.

Ahora jamos E ∈ Sa(D1) y ponemos:

S2 = F ⊂ Y : E × F ∈ Sa(D1 ×D2).

Resulta igualmente que S2 ⊃ D2, es una σ-álgebra, luego Sa(D2) ⊂ S2 y hemosterminado.

Proposición 6.2. Si B(n) es la clase de los borelianos de Rn entonces:

B(m+ n) = B(m)× B(n).

Denición 6.3. Dado E ⊂ X × Y y los elementos x ∈ X, y ∈ Y , se denenlas secciones Ex, E

y de E como sigue:

Ex = y ∈ Y : (x, y) ∈ E, Ey = x ∈ X : (x, y) ∈ E.

Proposición 6.4. Sea E ⊂ X × Y un miembro de A× B. Entonces, Ex ∈ A,Ey ∈ B para elementos x ∈ X, y ∈ Y cualesquiera.

Proposición 6.5. Sean (X,A, µ) y (Y,B, ν) espacios de medida, E ⊂ X × Yun conjunto arbitrario. Se dene la clase

F = ∪ni=1Ei : Ei = Ai ×Bi ⊂ E,Ai ∈ A, Bi ∈ B, Ei ∩ Ej = ∅ para i = j,

es decir, la familia de las uniones nitas disjuntas de rectángulos de A × Bcontenidos en E (las guras elementales de E). Entonces, F es un anillo.

Proposición 6.6. Si las medidas µ y ν son σ-nitas entonces X × Y , y portanto cualquier subconjunto de X × Y , puede recubrirse mediante una familianumerable de rectángulos de A×B, que son disjuntos dos a dos y cuyos ladostienen medida nita.

6.1. MEDIDAS PRODUCTO 117

Denición 6.7. Una clase M de conjuntos de X se dice monótona si es ce-rrada mediante paso al límite sobre sucesiones monótonas. Es decir, si En esmonótona en M entonces lımEn ∈ M.

Observación 6.1. Se comprueba fácilmente que si un anillo R es clase monótonaentonces es un σanillo.

Como la intersección arbitraria de familias monótonas de X es de nuevo unafamilia monótona entonces, dada una clase cualquiera D de conjuntos de X,siempre existe la clase monótona M(D) generada por D que es aquella clasemonótona M tal que D ⊂ M y cumple que M ⊂ M′ para cualquier otra clasemonótona M′ ⊃ D.

Proposición 6.8. Si una clase monótona de X contiene a un anillo R entoncestambién contiene al σ-anillo S(R) generado por R.

Demostración. Sea M ⊃ R la clase monótona y M0 ⊂ M la clase monótonagenerada por R. Se demuestra que M0 es un anillo. Es decir, que si E ∈ M0

entonces para todo F ∈ M0, E \ F , F \ E y E ∪ F están en M0.Fijamos F y denimos KF = E ⊂ X : F \ E, E \ F, E ∪ F ∈ M0. Se

tienen entonces las observaciones siguientes:

a) KF es una clase monótona.

b) E ∈ KF ⇔ F ∈ KE .Ahora razonamos así. Si F ∈ R entonces R ⊂ KF luego M0 ⊂ KF . Así pues,

para todo E ∈ M0 y F ∈ R resulta F ∈ KE . Luego R ⊂ KE ⇒ M0 ⊂ KE .Que para E ∈ M0 arbitrario se tenga que M0 ⊂ KE quiere decir que M0

es un anillo.

Para uso inmediato jamos la siguiente notación. Si D es una clase de con-juntos de X y A ⊂ X es un subconjunto jado, denotamos:

D ∩A = E ∩A : E ∈ D.

Es decir D ∩A es la clase de todas las intersecciones de elmentos de D con A.

Lema 6.9. Sea D una clase de conjuntos de X y A ⊂ X un subconjuntocualquiera. Entonces:

S(D) ∩A = S(D ∩A).

Observación 6.2. Si D es una clase de conjuntos en X a la que pertenece Xentonces el σanillo y la σ-álgebra generados por D coinciden:

Sa(D) = S(D).

En efecto S(D) ⊂ Sa(D) porque todo σanillo es una σ-álgebra. Sin embargo, elpropio S(D) es una σ-álgebra, por tanto se cumple el contenido complementario.Como aplicación del Lema, si E = A×B es un rectángulo entonces:

A× B ∩ E = Sa(A B) ∩ E = S(A B) ∩ E = S(A B ∩ E).


Por otro lado A B ∩ E ⊂ FE luego S(A B ∩ E) ⊂ S(FE) mientras FE ⊂S(A B ∩ E). Es decir:

A× B ∩ E = S(FE).

Demostración del Lema.

Ahora siguen los teoremas fundamentales del capítulo.

Teorema 6.10. Sean (X,A, µ) y (Y,B, ν) espacios de medida σ-nitos y seaE ⊂ X × Y un elemento de A× B. Para x ∈ X se dene

f(x) = ν(Ex),

mientras que para y ∈ Y se introduce

g(y) = µ(Ey).

Entonces las funciones f y g son medibles en X e Y , respectivamente, y además∫X

f dµ =

∫Y

g dν. (6.1)

Observación 6.3. Se recuerda que toda función medible f ≥ 0 posee una integral.Cuando f no es integrable en el sentido en que tal concepto fue intoducido enel Capítulo II, se dene, con razón,∫

X

f = ∞.

Véanse detalles en el Capítulo III. En la identidad 6.7 cabe también la posibili-dad de que las integrales valgan ∞.

Introducimos nalmente la medida producto.

Teorema 6.11. Sean (X,A, µ), (Y,B, ν) espacios de medida σ-nitos. Sobre laσ-álgebra producto A× B se dene la función de conjunto λ:

λ(E) =

∫X

ν(Ex) dµ =

∫Y

µ(Ey) dν. (6.2)

Se tiene entonces que λ es una medida σ-nita sobre A × B. Más aún, es laúnica medida λ sobre A× B tal que

λ(A×B) = µ(A)ν(B),

sobre los rectángulos A×B de A× B.

Denición 6.12. Para (X,A, µ), (Y,B, ν) espacios de medida σ-nitos, la me-dida producto µ× ν sobre A× B se dene como

µ× ν(E) = λ(E),

donde λ está denida por (6.2).

6.2. EL TEOREMA DE FUBINI 119

Observación 6.4. Algunas veces µ× ν se denota como µ⊗ ν.

Se demuestra en la Proposición 6.35 del Anexo que las restricciones λm, λny λm+n de las medidas de Lebesgue a los borelianos Bm, Bn y Bm+n cumplen

λm+n(A×B) = λm(A)λn(B), A ∈ Bm, B ∈ Bn.

Por tanto,

λm+n(E) =

∫Rm

λn(Ex) dx =

∫Rn

λm(Ey) dy, (6.3)

siempre que E ∈ Bm+n, donde dx, dy representan las medidas de Lebesgue enlos espacios correspondientes.

6.2. El teorema de Fubini

Sea f una función denida en E ⊂ X × Y . Se denen las secciones fx y fy

de f como:fx(y) = f(x, y) y ∈ Ex,

fy(x) = f(x, y) x ∈ Ey.

Proposición 6.13. Sea f : X×Y → R una función medible en A×B. Entoncespara todo x ∈ X e y ∈ Y las secciones fx : Y → R y fy : X → R también sonmedibles.

Sea h una función medible en X × Y . Si hx es integrable o no negativa paratodo x ∈ X escribimos

f(x) =

∫Y

hx dν. (6.4)

Si f es integrable o medible y no negativa llamamos a∫Xf dµ una integral

iterada de h y escribimos∫X

f dµ =

∫X

∫Y

h dνdµ =

∫X

dµ

∫Y

h dν.

La otra integral iterada∫Yg dν se dene bajo condiciones análogas como∫

Y

g dν =

∫Y

∫X

h dµdν =

∫Y

dν

∫X

h dµ,

donde

g(y) =

∫X

hy dµ. (6.5)

Siguen a continuación tres versiones de lo que se conoce como el teorema deFubini.


Teorema 6.14 (Teorema de Fubini). Sea h una función no negativa y medibleen X × Y . Entonces las funciones f y g denidas mediante (6.4) y (6.5) sonmedibles y se tiene que∫

X×Y

h d(µ× ν) =

∫X

∫Y

h dνdµ =

∫Y

∫X

h dµdν. (6.6)

Otra versión del teorema de Fubini es la que sigue.

Teorema 6.15. Supongamos que h es una función integrable sobre X × Y .Entonces hx (respectivamente hy) es integrable para casi todo punto x ∈ X (r.para casi todo punto y ∈ Y ), la función f denida por (6.4) (r. la funcióng denida por (6.5)) es integrable en X (r. en Y ) y se satisface la identidad(6.25).

Finalmente, la variante más útil en las aplicaciones.

Teorema 6.16. Sea h una función medible en X ×Y y supongamos que o bien∫X

∫Y

|h| dνdµ <∞

o bien ∫Y

∫X

|h| dµdν <∞.

Entonces h es integrable en X × Y y se satisface la identidad (6.25).

Corolario 6.17. Un conjunto medible E ⊂ X × Y tiene medida cero si y sólosi Ex (respectivamente, Ey) es de medida cero para casi todo punto x ∈ X (r.para casi todo punto y ∈ Y ).

6.3. El principio de Cavalieri

La razón de ser de la sección es el hecho siguiente: si E ∈ L(m + n), laσ-álgebra de los conjuntos de Lebesgue en Rm+n, puede ocurrir que o bien Ex obien Ey sean no medibles en Rm o Rn. Como L(m)×L(n) ⊂ L(m+n) eso quieredecir que L(m+n) contiene estrictamente a L(m)×L(n) (se ve en el Anexo quela primera es la complección de la segunda). En consecuencia no podemos usardirectamente los resultados de las secciones anteriores para calcular λm+n(E)(E ∈ L(m + n)) ni para integrar funciones sobre un conjunto medible E deRm+n. Por ejemplo, la existencia de las integrales∫

X

ν(Ex) dµ,

∫Y

µ(Ey) dν,

que debería proporcionarnos el valor de λm+n(E), queda en entredicho al noestar bien denidos los integrandos. Sin embargo, como explicamos a continua-ción, todavía puede darse sentido a tales integrales pues resulta que las funcionesimplicadas son casi medibles (véanse los Capítulos II y III).

6.3. EL PRINCIPIO DE CAVALIERI 121

Recordamos la denición. Sea (X,A, µ) es un espacio de medida, se dicef : D → R es casi medible si f|Nc : N c → R es medible para cierto conjuntonulo N . Si además f|Nc : N c → R es integrable se dice que f es integrable conintegral: ∫

f dµ =

∫Nc

f dµ.

Se demuestra que la integral no depende del conjunto nulo N que aparece en ladenición. Por la misma razón se cumple que si M es cualquier otro conjuntonulo tal que f está denida en M c entonces∫

f dµ =

∫Mc

f dµ.

Los resultados fundamentales de convergencia del Capítulo III son válidos parafunciones integrables en este sentido. Por ejemplo, si f : Dn → R+

es unasucesión monótona de funciones casi medibles y no negativas:

0 ≤ fn(x) ≤ fn+1(x) x ∈ Dn ∩ Dn+1,

entonces ∫f dµ = lım

∫fn dµ

donde f = lım fn. En efecto, el límite existe y es medible en un conjunto de laforma M c con M de medida nula.

Teorema 6.18. Sea E ⊂ Rm+n un conjunto medible Lebesgue. Entonces

i) Ex ∈ L(n) para casi todo punto x ∈ X.

ii) La función x 7→ λn(Ex) es casi medible en Rm.

iii) Ey ∈ L(m) para casi todo punto y ∈ Y .

iv) La apicación y 7→ λm(Ey) es casi medible en Y , por tanto integrable en Y(aunque su integral pueda valer ∞).

vi) Se tiene la igualdad:

λm+n(E) =

∫Rm

λn(Ex) dλm(x) =

∫Rn

λm(Ey) dλn(y). (6.7)

Observación 6.5. En el anexo a este Capítulo damos una prueba del Teorema6.18 que es independiente de la construcción de la medida producto. Esto per-mite asimismo probar el Teorema de Fubini y resultados asociados en Rm+n

Sección 6.4 de manera independiente a la Sección 6.1.

Lema 6.19. Si N ∈ L(m + n) es un conjunto nulo entonces Nx y Ny sonconjuntos nulos en Rn y Rm para casi todo punto x ∈ Rm y para casi todopunto y ∈ Rn. Las funciones x 7→ λn(Nx) y y 7→ λm(Ny) son integrables conintegral nula.


Demostración. Se tiene N ⊂ G, G un boreliano de medida cero. Resultan Nx ⊂Gx, Ny ⊂ Gy para x, y cualequiera. Sin embargo λm+n(G) = 0, mientras lafórmula (6.3) implica que Gx y Gy son nulos para casi todo punto x ∈ Rm y∀ c. t. y ∈ Rn. Esto prueba el lema.

Demostración del Teorema 6.18. Si E ∈ L(m+ n) entonces:

E = G+N,

donde G es un boreliano y N es un conjunto nulo.Por tanto

Ex = Gx +Nx

y del lema se deduce que Ex ∈ L(n) para casi todo punto x ∈ Rm con lo que:

λn(Ex) = λn(Gx)

para casi todo punto x ∈ Rm. Como

λm ⊗ λn(G) =

∫Rm

λn(Gx) dλm(x) = λm+n(G),

pues se demuestra (Anexo) que λm+n es una extensión de λm ⊗ λn, entonces:

λm+n(E) =

∫Rm

λn(Ex) dλm(x).

Las cuentas simétricas prueban que:

λm+n(E) =

∫Rn

λm(Ey) dλn(y).

Siguen algunos corolarios.

Corolario 6.20. Si E ∈ L(m+n) tiene medida nita entonces ∀ c. t. x ∈ Rm

se tiene que λn(Ex) <∞ junto con λm(Ey) <∞ para casi todo punto y ∈ Rn.Además:

λm+n(E) =

∫Rm

λn(Ex) dλm(x) =

∫Rn

λm(Ey) dλn(y).

Corolario 6.21 (Principio de Cavalieri). Sean E,F ∈ L(m + n) tales que∀ c. t. x ∈ Rm (respectivamente, ∀ c. t. y ∈ Rn) se tiene λn(Ex) = λn(Fx)(λm(Ey) = λm(F y)). Entonces:

λm+n(E) = λm+n(F ).

6.3. EL PRINCIPIO DE CAVALIERI 123

Ejemplo 6.6. Sea B1(0) la bola unidad Euclídea en Rn. Entonces:

λn(B1(0)) =πn/2

Γ(n2 + 1

) ,donde Γ(p) =

∫∞0tp−1e−t dt es la función Gamma.

En efecto usando el principio de Cavalieri:

ωn = B

(1

2,n+ 1

2

)ωn−1 =

n∏i=1

B

(1

2,i+ 1

2

),

pues

ω1 = 2 = B

(1

2,2

2

)= B

(1

2, 1

).

Usando la relación:

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q),

se deduce que

ωn = πn/2 Γ(n+12

)· · ·Γ

(2+12

)Γ(1+12

)Γ(n+22

)Γ(n+12

)· · ·Γ

(2+12

) .Por tanto:

ωn =πn/2

Γ(n2 + 1

) .Observación 6.7. Ver también el Ejercicio 1.

Ejemplo 6.8. Interpretación geométrica de la integral. Sean E ∈ L(m), f : E →[0,∞) medible y consideramos en Rm+1 el conjunto:

G = (x, y) : x ∈ E, 0 ≤ y ≤ f(x).

Entonces G ∈ L(m+ 1) y

λm+1(G) =

∫E

f(x) dx,

donde dx representa λm.

Observación 6.9. Se prueba en el siguiente capítulo que si T ∈ L(Rn,Rn) lasaplicaciones lineales de Rn en sí mismo es invertible entonces T (E) ∈ L(n) síy sólo si E ∈ L(n) con

λn(T (E)) = |det T |λn(E).


Observación 6.10. Se dice que una función f : Rn → R es radial si f(x) = g(|x|)para todo x ∈ Rn y cierta función g : [0,∞) → R. Se puede probar que una talfunción f ∈ L1(Rn) si y solamente si tn−1g(t) ∈ L1(0,∞) y entonces se tieneque: ∫

Rn

f dµ = nωn

∫ ∞

0

tn−1g(t) dt.

De hecho, se demustra que nωn es el área de la esfera unidad ∂B(0, 1).

Ejemplo 6.11. Sea φ(x) = a + T (x) con T ∈ L(Rn,Rn) invertible, E ∈ L(n) yf ∈ L1(φ(E)), entonces f ∈ L1(E) y:∫

φ(E)

f(y) dy = |det T |∫E

f φ(x) dx.

En efecto basta aplicar el ejemplo anterior a los conjuntos:

G = (x, y) : x ∈ E , 0 ≤ y ≤ fφ(x), G′ = (x′, y′) : x′ ∈ φ(E) , 0 ≤ y′ ≤ f(x′)

donde G′ = H(G) y H(x, y) = (φ(x), y).

6.4. El teorema de Fubini en Rm+n

Como se ha dicho L(m+ n) no coincide con L(m) × L(n). No podemos enprincipio usar el Teorema de Fubini de la Sección 6.2 para reducir la integral defunciones de L1(G), donde G ⊂ Rm+n es un abierto, a integrales iteradas. Sinembargo, una adaptación en la línea de las ideas de la Sección 6.3 y el Anexopuede desarrollarse para probar una versión del teorema en Rm+n.

Teorema 6.22 (Tonelli). Sea f una función medible y no negativa. Entonces,

a) f(x, ·) es medible y no negativa en Rn p. c. t. x ∈ Rm,

b) la función∫Rn f(x, y) dy es casi medible en Rm,

c) se satisface la relación:∫Rm+n

f d(x, y) =

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx.

Simétricamente:

a') f(·, y) es medible y no negativa en Rm p. c. t. y ∈ Rn,

b') la función∫Rn f(x, y) dx es casi medible en Rn,

c') se satisface la relación:∫Rm+n

f d(x, y) =

∫Rn

(∫Rm

f(x, y) dx

)dy.

Se da una demostración de este resultado en la sección siguiente.

6.4. EL TEOREMA DE FUBINI EN RM+N 125

Corolario 6.23. Si f es una función medible y no negativa y se consideran lasintegrales∫

Rm+n

f d(x, y),

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx,

∫Rn

(∫Rm

f(x, y) dx

)dy,

entonces la nitud de una cualquiera de ellas implica la nitud de las otras dosy la coincidencia de los tres valores. Análogamente, la divergencia de una de lastres integrales implica la de las otras dos.

Corolario 6.24. Sea f una función medible en Rm+n tal que f = 0 en casitodo punto. Entonces:

i) Existe un conjunto nulo M tal que f(x, ·) = 0 en casi todo punto de Rn, paratodo x ∈M c.

ii) Existe un conjunto nulo N tal que f(·, y) = 0 en casi todo punto de Rm, paratodo y ∈ N c.

Demostración. Basta aplicar el Teorema de Tonelli a la función |f | y tener encuenta que ∫

Rm+n

|f | d(x, y) = 0.

Teorema 6.25 (Fubini). Sea f ∈ L1(Rm+n). Entonces,

a) f(x, ·) ∈ L1(Rn) p. c. t. x ∈ Rm,

b) la función∫Rn f(x, y) dy es casi medible e integrable en Rm,


f d(x, y) =

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx.

Simétricamente:

a') f(·, y) ∈ L1(Rm) p. c. t. y ∈ Rn,

b') la función∫Rn f(x, y) dx es casi medible e integrable en Rn,


f d(x, y) =

∫Rn

(∫Rm

f(x, y) dx

)dy.

Demostración. Como las funciones f± son integrables y no negativas, aplicandoel Teorema de Tonelli tenemos que:∫

Rm+n

f± d(x, y) =

∫Rm

(∫Rn

f±(x, y) dy

)dx =

∫Rn

(∫Rm

f±(x, y) dx

)dy.


Por tanto,∫Rm+n

f d(x, y) =

∫Rm+n

(f+ − f−) d(x, y) =∫Rm

(∫Rn

(f+(x, y)− f−(x, y)) dy

)dx =

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx.

Con la otra integral iterada se procede igual.

Observación 6.12. Para abreviar escribimos:∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx =

∫Rm

∫Rn

f(x, y) dydx.

Proposición 6.26. Sea f ∈ L1(Rm+n) y σ ∈ Σm+n una permutación. Entonces∫Rm+n

f dx =

∫. . .

∫f dxσ(1) . . . dxσ(m+n).

Demostración. Para simplicar ponemos p = m + n y observamos que en laintegral iterada integramos por orden de dentro hacia afuera.

Para θ ∈ Σp denimos la transformación L : Rp → Rp, L(y) = x dondex = yθ con xi = yθ(i). Resulta fácil probar que:∫

f dx =

∫f L dy.

Llamando σ = θ−1, y = xσ por ello∫Rp

f L dy =

∫. . .

∫f L dy1 . . . dyp =

∫. . .

∫f dxσ(1) . . . dxσ(p).

La versión útil del teorema de Fubini es la siguiente.

Teorema 6.27. Sea f una función medible en Rm+n. Si una de las integrales∫Rm+n

|f | d(x, y),∫Rm

∫Rn

|f(x, y)| dydx,∫Rn

∫Rm

|f(x, y)| dxdy,

es nita, lo son las otras dos, coinciden y nalmente f ∈ L1(Rm+n). En parti-cular, ∫

Rm+n

f d(x, y) =

∫Rm

∫Rn

f(x, y) dydx =

∫Rn

∫Rm

f(x, y) dxdy.

Corolario 6.28. Sea f medible en un abierto G ⊂ Rm+n. Si una de las inte-grales ∫

G

|f | d(x, y),∫G1

∫Gx

|f(x, y)| dydx,∫G2

∫Gy

|f(x, y)| dxdy,

6.4. EL TEOREMA DE FUBINI EN RM+N 127

es nita, donde G1, G2 son las proyecciones de G sobre Rm y Rn respectivamen-te, entonces lo son las otras dos, coinciden. En ese caso, f ∈ L1(G) y∫

G

f d(x, y) =

∫G1

∫Gx

f(x, y) dydx =

∫G2

∫Gy

f(x, y) dxdy,

Demostración. Debe observarse que∫G

f d(x, y) =

∫Rm+n

f d(x, y),

donde f es la extensión por cero de f . Finalmente, f(x, y) = χG1(x)χGx(y)f(x, y)y f(x, y) = χG2(y)χGy (x)f(x, y).

6.4.1. Ejercicios

1. Hallar la medida λn(∆n) del símplice unidad:

∆n = x ∈ Rn : xi ≥ 0,

n∑i=1

xi ≤ 1.

2. En Rn se considera el dominio Ω comprendido entre dos cilindros inscritosen el cubo [−a, a]n. Usando la observación 6.10 calcúlese la medida de Ωparticularizando su valor en el espacio (n = 3).

3. Probar que f(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)es integrable en Q = (0, 1)× (0, 1).

4. Estudiar la integrabilidad de f(x, y) = y/√x en el cuadrado unidad Q =

(0, 1)× (0, 1).

5. Demostrar que las dos integrales iteradas de la función f(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)2

en el cubo Q = (0, 1)× (0, 1) son distintas.

6. Probar que las dos integrales iteradas de la función f(x, y) =xy

(x2 + y2)2

si (x, y) = (0, 0), f(0, 0) = 0, en R2 son iguales y aún así la función noes integrable en R2. Por tanto, que existan las integrales iteradas de unafunción y que coincidan no implica su integrabilidad.

7. Estudiar la integrabilidad de f(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)3/2en el cuadrado unidad

Q = (0, 1)× (0, 1).

8. Estudiar la integrabilidad de f(x, y) =1

(1− xy)α, α > 0, en el cuadrado

unidad Q = (0, 1)× (0, 1).


6.5. El producto de convolución

El siguiente resultado permite denir con propiedad la operación

f ∗ g(x) :=∫Rn

f(x− y)g(y) dy (6.8)

entre funciones integrables en Rn.

Observación 6.13. En las aplicaciones el valor del producto de convolución en unpunto x representa la acción total de un sistema sobre dicho punto. La integralexpresa dicha acción como suma de la acciones individuales f(x − y)g(y) dyque los puntos y ejercen sobre x.

En el caso del potencial Newtoniano en R3 las funciones son f(x) = C|x| ,

g(x) = ρ(x) donde ρ es una función integrable y no negativa con soporte en unabierto Ω. La convolución tiene en este caso la forma:

f ∗ g(x) = C

∫Ω

ρ(y)

|x− y|dy.

Teorema 6.29. Sean f, g ∈ L1(Rn). Entonces:

i) La función f ∗ g en (6.8) está denida en casi todo punto x ∈ Rn.

ii) f ∗ g es integrable en Rn. Más aún

f ∗ g(x) = g ∗ f(x)

p. c. t. x ∈ Rn.

iii) Se satisface la relación|f ∗ g|1 ≤ |f |1|g|1.

Demostración. En primer lugar se tiene que h(x, y) = f(x−y)g(y) es medible enRn ×Rn pues existe una sucesión de funciones continuas con soporte compactoen Rn, fn, gn tales que fn → f , gn → g en casi todo punto. Armamos entoncesque h es el límite en casi todo punto de una sucesión de funciones continuas, dedonde h es medible. A tal efecto hay que probar que si N ⊂ Rn es un conjuntonulo, entonces N = (x, y) : x− y ∈ N es también un conjunto nulo. En efectoexiste Gk un sucesión decreciente de abiertos N ⊂ lımGk y λn(Gk) → 0. Sipara A ⊂ Rn cualquiera denimos A = (x, y) : x− y ∈ A entonces

N ⊂ lım Gk.

Si para M > 0 escribimos DM = Rn × |y| < M, como

N ∩DM ⊂ lım Gk ∩DM ,

para todo M , basta con que demostremos que

lımk→∞

λ2n(Gk ∩DM ) = 0.

6.5. EL PRODUCTO DE CONVOLUCIÓN 129

Ahora, usando el teorema de Fubini se comprueba que:

λ2n(Gk ∩DM ) = λn(Gk)λn(|y| < M).

Esto explica la validez del límite y, por tanto, que N es un conjunto nulo.En segundo lugar h ∈ L1(Rn × Rn). En efecto∫

Rn×Rn

|h| d(x, y) =∫Rn

∫Rn

|f(x−y)||g(y)| dxdy = |f |1∫Rn

|g(y)| dy = |f |1|g|1.

Por el teorema de Fubini:∫Rn×Rn

h d(x, y) =

∫Rn

(∫Rn

f(x− y)g(y) dy

)dx,

lo cual prueba que f ∗ g está denida en casi todo punto, es integrable y que∫Rn

f ∗ g(x) dx =

∫Rn×Rn

h d(x, y).

Finalmente, como

|f ∗ g(x)| ≤∫Rn

|f(x− y)||g(y)| dy,

entonces

|f ∗ g|1 ≤∫Rn×Rn

|h| d(x, y) = |f |1|g|1.

La conmutatividad de la operación ∗ es inmediata.

Denición 6.30. Si f, g ∈ L1(Rn) la función f ∗ g denida por (6.8) se llamael producto de convolución.

Observación 6.14. Una aplicación del producto de convolución es la observaciónde que f ∗ g es tan regular como g aunque f de hecho no lo sea. En efecto, sig ∈ C∞(Rn) ∩ Cc(Rn) entonces f ∗ g ∈ C∞(Rn). Por ejemplo,

∂αxif ∗ g(x) =

∫Rn

f(y)∂αxig(x− y) dy.

Esta idea se emplea para aproximar funciones de L1 o Lp mediante funcionesregulares cuando se g se reemplaza por una sucesión adecuada de funcionesregulares gε (núcleos regularizantes).

Para establecer la propiedad anterior basta con que f ∈ L1loc(Rn), es decir

f ∈ L1loc(K) para todo compacto K ⊂ Rn. En efecto, para |x− x0| < δ:

f ∗ g(x) =∫K

f(y)g(x− y) dy

donde K = x : d(x) ≤ δ+d(x0) donde d(x) = dist (x, sop g). De ahí se deduceque

∂αxif ∗ g(x) =

∫K

f(y)∂αxig(x− y) dy =

∫Rn

f(y)∂αxig(x− y) dy,

para todo α ∈ (N ∪ 0)n.


Denición 6.31. Una familia de funciones no negativas Kε ∈ L1(Rn) , ε > 0,se dice una sucesión de núcleos aproximantes si

i)∫Kε = 1 para todo ε,

ii) Para todo η > 0, lımε→0

∫|x|>ηKε = 0.

Ejemplo 6.15. Tomamos K(x) = c exp− 11−|x|2 si |x| < 1, K(x) = 0 en |x| ≥ 1,

donde c > 0 se elige de forma que ∫K = 1.

Entonces, la familia Kε(x) = ε−nK(x/ε) conforma una sucesión de núcleosaproximantes. Obsévese que las Kε son C∞ en Rn.

Se tiene la siguiente propiedad.

Proposición 6.32. Sea Kε una sucesión arbitraria de núcleos aproximantes yf ∈ L1(Rn). Entonces fε = Kε ∗ f → f en L1(Rn). Si en particular, la sucesiónKε es la del Ejemplo 6.15 entonces fε ∈ C∞

c (Rn). Esto signica que C∞c (Rn)

es denso en L1(Rn).

Demostración. Se tiene:

fε(x)− f(x) =

∫Rn

(f(y)− f(x))Kε(x− y) dy =∫Rn

(f(x− y)− f(x))Kε(y) dy,

de donde:∫Rn

|fε(x)− f(x)| dx ≤∫Rn

Kε(y)

∫Rn

|f(x− y)− f(x)| dx dy =∫|y|≤η

+

∫|y|≥η

Kε(y)

∫Rn

|f(x− y)− f(x)| dx dy ≤

sup|y|≤η

∥fy − f∥L1(Rn) + 2∥f∥L1(Rn)

∫|y|≥η

Kε(y) dy,

en donde fy(x) = f(x − y). El primer término es pequeño si η es pequeño y elsegundo tiende a cero cuando ε→ 0+.

Fijamos ahora Kε como en el Ejemplo 6.15.

Teorema 6.33. Si f ∈ Lp(Rn) con 1 ≤ p < ∞ entonces fε → f en Lp(Rn)cuando ε → 0. Más generalmente, si G es un abierto de Rn, f ∈ Lp(G), 1 ≤p <∞ y

fε(x) =

∫G

f(y)Kε(x− y) dy

6.6. TEOREMA DE CAUCHYPEANO, 2A NOTA 131

entonces fε → f en Lp(G) cuando ε → 0. Análogamente, si f ∈ C(Rn) (res-pectivamente C(G)) entonces fε → f en C(Rn) (C(G)) cuando ε → 0, dondeconvergencia en C(G) signica convergencia uniforme en cada subconjunto com-pacto K ⊂ G.

Demostración. La segunda armación es consecuencia de la primera porque sif es la extensión por cero fuera de G entonces la última integral no es sino laexpresión de f ∗Kε.

Para probar la primera escribimos:

|fε(x)− f(x)|p ≤ ∥Kε∥pLq(B(0,ε))

∫|y|≤ε

|f(x− y)− f(x)|p dy.

Ahora:

∥Kε∥pLq(B(0,ε)) ≤A

εn(q−1) pq

=A

εn,

donde A = ∥K∥pLq(B(0,1)). Por tanto:

∥fε − f∥pLp(Rn) ≤ Aωn sup|y|≤ε

∥fy − f∥pLp(Rn),

donde ωn = λn(B(0, 1)). Se sabe que el último término tiende a cero cuandoε→ 0+.

6.6. Teorema de CauchyPeano, 2a nota

Consideramos una función continua f : [a, b] × Rn ⊂ R × Rn → Rn quesatisface:

|f(t, y)| ≤M ∀(t, y) ∈ [a, b]× Rn, (6.9)

para cierta constante positiva M .

Teorema 6.34. Para todo y0 ∈ Rn el problema:y′ = f(t, y)

y(a) = y0,

posee al menos una solución y(t) denida en [a, b].

Demostración. Introducimos la regularización en y de la función f :

fε(t, y) =

∫Rn

Kε(y − z)f(t, z) dz,

donde los Kε son los núcleos regulares del Ejemplo 6.15. Entonces la función fεes C∞ con respecto a la variable y y, como f , está acotada en [a, b] × Rn porM . Por otro lado, al ser

∂yifε(t, y) =

∫Rn

∂yiKε(y − z)f(t, z) dz, 1 ≤ i ≤ n,


funciones acotadas en [a, b]×Rn, en virtud del teorema de PicardLindelö ([7]),el problema aproximado:

y′ = fε(t, y)

y(a) = y0,

admite una única solución yε(t) denida en [a, b]. Tal solución cumple:

yε(t) = y0 +

∫ t

a

fε(s, yε(s)) ds.

De aquí se deduce que la familia yε(t) está uniformemente acotada en [a, b].Además, las grácas de yε(t) yacen en el compacto K = [a, b] × y : |y −y0| ≤M. Asimismo, las derivadas y′ε(t) están uniformemente acotadas en [a, b]por M , luego la familia yε(t) es equicontinua en [a, b]. Existe por tanto unasubsucesión yεn(t) de yε(t), εn → 0, que converge uniformemente a una ciertay(t) continua en [a, b]. Como fεn → f uniformemente en K entonces:

fεn(t, yεn(t)) → f(t, y(t))

uniformemente en [a, b]. Pasando al límite en:

yεn(t) = y0 +

∫ t

a

fεn(s, yεn(s)) ds

obtenemos:

y(t) = y0 +

∫ t

a

f(s, y(s)) ds,

para t ∈ [a, b] que prueba que y(t) resuelve el problema:y′ = f(t, y)

y(a) = y0,

en [a, b].

6.7. Anexo

Desarrollamos una prueba independiente del Teorema 6.18.El primer paso es la siguiente propiedad.

Proposición 6.35. Sean E ∈ L(m), F ∈ L(n). Entoces E × F ∈ L(m+ n) y

λm+n(E × F ) = λm(E)λn(F ).

Demostración. Sabemos que E = B\M , F = B′\N donde B,B′ son borelianosy M,N son nulos.

Por tanto:

E × F = (B ×B′) ∩ (M c ×N c) = (B ×B′) \O,

6.7. ANEXO 133

dondeO = (M c ×N c)c =M × Rn +M c ×N

es un conjunto nulo de Rm+n, por tanto de L(m+ n) (Lema 6.37).Por otro lado sabemos que B × B′ es un boreliano de Rm+n (Proposición

6.2), con lo que E × F ∈ L(m+ n).Nos concentramos ahora en demostrar que

λm+n(E × F ) = λm(E)λn(F ).

Primeramente, en el caso de abiertos G,G′, G y G′ se escriben como unióndisjunta de intervalos diádicos Ir y Js respectivamente con lo que

λm+n(G×G′) = λm+n(∪r,sIr × Js) =∑r,s

λm+n(Ir × Js) =∑r,s

λm(Ir)λn(Js) = (∑r

λm(Ir))(∑s

λn(Js)).

La identidad es válida independientemente de si los abiertos tienen medida nitao no.

Suponemos ahora E × F acotados. Entonces

E × F = B ×B′ \O

donde

E = (lımGr) \M := B \M, F = (lımG′s) \N := B′ \N,

las sucesiones Gr, G′s son decrecientes, los Gr, G

′s son abiertos y los conjuntos

M,N son nulos; siendo nalmente

λm(E) = lımλm(Gr) λn(F ) = lımλn(G′s).

Como O es nulo:

λm+n(E × F ) = λm+n(B ×B′) = lımλm+n(Gr ×G′s) = lımλm(Gr)λn(G

′s).

Luegoλm+n(E × F ) = λm(E)λn(F ).

En el caso general E = lımEk, F = lımFk donde las sucesiones son crecientesy sus miembros acotados, luego

λm+n(E × F ) = lımλm+n(Ek × Fk) = lımλm(Ek)λn(Fk) = λm(E)λn(F ).

De la caracterización de la medida producto µ⊗ ν se sigue que:


Proposición 6.36. Si λm+n es la medida de Lebesgue en Rm+n entonces larestricción de λm+n a Lm × Ln es λm ⊗ λn:

λm+n|Lm×Ln= λm ⊗ λn.

Lema 6.37. SeaM ∈ L(m) un conjunto nulo y H ⊂ Rn un conjunto cualquiera.Entonces M ×H es un conjunto nulo y en particular

M ×H ∈ L(m+ n).

Demostración. Se puede escribir

M ×H = ∪nM ×Hn

donde Hn es acotado para cada n y es inmediato ver queM×Hn es un conjuntonulo.

Proposición 6.38. λm ⊗ λn no es completa.

Demostración. Si el conjunto H del lema cumple ahora que H /∈ Ln entoncesM×H /∈ Lm×Ln. Sin embargo existe B ⊃M×H, boreliano, con medida cero.Como B ∈ Lm ×Ln es λm+n nulo, luego λm ⊗ λn nulo, entonces λm ⊗ λn no escompleta.

Proposición 6.39. Lm+n es la complección de Lm × Ln.

Demostración. Sabemos que todo rectángulo E ∈ λmλn de medida nita (portanto, todo rectángulo), está en Bm+n. En efecto E = B \N donde B es un Gδ

y N es un conjunto nulo de Rm+n.La armación se sigue entonces de:

Bm+n ⊂ λm × λn = Sa(λm λn) ⊂ Bm+n,

tomando complecciones y observando que Bm+n = Lm+n.Por otro lado, si E ∈ Lm+n entonces E = F +H donde F ∈ Lm × Ln y H

es un conjunto nulo de Lebesgue en Rm+n. De ahí:

λm+n(E) = λm+n(F ) = λm ⊗ λn(F ).

De ahí λm+n es ciertamente la mínima extensión completa de λm ⊗ λn.

Demostración del Teorema 6.18. Denominamos C(m,n) el conjunto

C(m,n) = A ∈ L(m+ n) : A cumple a), b) y c)

con:

a) Ax ∈ L(n) para c. t. x ∈ Rm,

b) la función x 7→ λn(Ax) es casi medible,

6.7. ANEXO 135

c) se satisface que

λm+n(A) =

∫Rm

λn(Ax) dx. (6.10)

Se trata de probar C(m,n) = L(m+ n) y a tal efecto se procede por etapas([1]).

i) Según hemos visto

L(m) L(n) = E × F : E ∈ L(m), F ∈ L(n) ⊂ C(m,n).

En efecto λn(Ax) = λn(F )χE(x) para todo x ∈ Rm.

ii) Si Ak es una sucesión creciente en C(m,n) entonces

A = lımAk ∈ C(m,n).

Para probarlo se tiene que

Ax = ∪kAk,x = lımAk,x ∈ L(n)

p. c. t. x ∈ Rm.La función f(x) := λn(Ax) = lım fk(x) con fk(x) = λn(Ak,x), es casi medible

por serlo las fk. Del teorema de la convergencia monótona∫f(x) dx = lım

∫fk(x) = lımλm+n(Ak) = λm+n(A),

que es lo que queríamos demostrar.

iii) SiAk es una sucesión decreciente en C(m,n) tal que existe j0 con λm+n(Aj0) <∞ entonces

A = lımAk ∈ C(m,n).

Usando la notación de iii) notamos ahora que fk ≤ fk0 ∈ L1(Rm). Por eso∫f(x) dx = lım

∫fk(x) = lımλm+n(Ak) = λm+n(A),

con lo que ∫f(x) dx = λm+n(A).

iv) Si Ak es una familia en C(m,n) de elementos disjuntos dos a dos entonces

A = ∪kAk ∈ C(m,n).

En efecto A = lımBl donde Bl = A1+ · · ·+Al ∈ C(m,n) como es fácil compro-bar. Luego A ∈ C(m,n).v) Todo abierto G ⊂ Rm+n está en C(m,n). Esto se sigue de que G es la unióndisjunta de una familia de intervalos diádicos los cuales pertenecen todos aC(m,n).


vi) Todo Gδ acotado A ⊂ Rm+n A es un Gδ si es la intersección de una familianumerable de abiertos pertenece a C(m,n).

En efecto, si A es un Gδ acotado entonces A = lımGk donde Gk es unasucesión decreciente de abiertos acotados. Luego A ∈ C(m,n).vii) Todo conjunto nulo A de Rm+n pertenece a C(m,n). Como además se tiene∫

λn(Ax) dx = 0

se puede asegurar la existencia de un conjunto nulo M ⊂ Rm tal que

λn(Ax) = 0 x ∈M c.

En otras palabras, casi todas las secciones de un conjunto nulo tienen asimismomedida n-dimensional cero.

Para probar la armación de nulidad escribimos

A = ∪Aj Aj = A ∩B(0, j).

Como Aj es un conjunto nulo acotado, existe un Gδ, nulo y acotado Bj tal queAj ⊂ Bj . Asimismo, Bj ∈ C(m,n) luego

0 =

∫λn(Bj,x) dx ⇒ λn(Bj,x) = 0 x ∈M c

j .

Así0 = λn(∪Bj,x) ⊃ λn(∪Aj,x) = λn(Ax) x ∈M c = (∪Mj)

c.

Esto signica que Ax es un conjunto nulo p. c. t. x ∈ Rm lo cual prueba laarmación inicial.

viii) Probamos nalmente el Teorema 6.18. Cualquier E ∈ L(m+ n) es la unióndisjunta de una sucesión Ek ∈ L(m+ n) de elementos disjuntos y acotados.

Cada Ek satisface la relación:

Bk = Ek +Nk

donde Bk es un Gδ y Nk es un nulo (todos en Rm+n).De la identidad

Bk,x = Ek,x +Nk,x

se deduce Ek,x ∈ L(n) p. c. t. x. Además

λn(Bk,x) = λn(Ek,x)

p. c. t. x. Finalmente, λn(Ek,x) es integrable con

λm+n(Bk) =

∫λn(Bk,x) dx =

∫λn(Ek,x) dx = λm+n(Ek),

puesto que desde un principio λm+n(Bk) = λm+n(Ek).Como hemos probado que Ek ∈ C(m,n) entonces Bk ∈ C(m,n).

6.7. ANEXO 137

Observaciones 6.16.

a) Las armaciones del Teorema 6.18 referentes a las secciones y se demuestrande manera simétrica.

b) Nótese que el Corolario 6.20 es consecuencia directa del Teorema 6.18.

Ahora sigue un resultado técnico que se emplea para la prueba del Teoremade Fubini de la Sección 6.4.

Lema 6.40. Sea f ∈ L(Rm+n) una función integrable y simple. Entonces:

a) f(x, ·) es integrable y simple en Rn p. c. t. x ∈ Rm,

b) la función∫Rn f(x, y) dy es integrable en Rm,


f d(x, y) =

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx.

Simétricamente:

a') f(·, y) es integrable y simple en Rm p. c. t. y ∈ Rn,

b') la función∫Rm f(x, y) dx es integrable en Rn,


f d(x, y) =

∫Rn

(∫Rm

f(x, y) dx

)dy.

Demostración. Escribimos la función

f =N∑

k=1

αkχEk

y observamos que∫Rm+n

f(x, y) d(x, y) =

N∑k=1

αkλm+n(Ek) =

∫Rm

(N∑

k=1

αkλn(Ek,x)

)dx

pues el integrando es una combinación lineal de funciones casi medibles que sonintegrables.

Por otro lado:

f(x, ·) =N∑

k=1

αkχEk,x

de donde f(x, ·) es simple e integrable en Rn p. c. t. x y:∫Rn

f(x, y) dy =N∑

k=1

αkλn(Ek,x).


Esto prueba que la integral del primer miembro es una función casi mediblecuya integral ∫

Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx =

∫Rm+n

f(x, y) d(x, y),


Demostración del Teorema 6.22. Si f es medible no negativa entonces

f = lım fj

donde el límite es puntual y fj es una sucesión de funciones simples e integrablesen Rm+n. La integrabilidad es consecuencia del carácter σnito de Rm+n. Porconsiguiente, ∫

Rm+n

f d(x, y) = lım

∫Rm+n

fj d(x, y).

Nótese que en tal identidad la integral de f puede ser nita o innita.Asimismo, las funciones fj(x, ·) son medibles en Rn (Lema 6.40) y forman

una sucesión creciente para x ∈M c, donde M es un conjunto nulo. Además

lım fj(x, ·) = f(x, ·).

Por tanto f(x, ·) es medible en Rn para todo x ∈M c.El Lema 6.40 dice además que

Fj(x) =

∫Rn

fj(x, y) dy

es medible en M c. Por lo tanto también

F (x) =

∫Rn

f(x, y) dy

es medible en M c (F es casi medible en Rm) con integral (Teorema de la Con-vergencia Monótona):∫

Rm

F (x) dx =

∫Mc

F (x) dx = lım

∫Rm

Fj(x) dx.

Nótese que ∫Rm

F (x) dx =

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx.

Por otro lado

lım

∫Rm

Fj(x) dx = lım

∫Rm+n

fj d(x, y),

en virtud del Lema 6.40. Esto prueba la identidad:∫Rm+n

f(x, y) d(x, y) =

∫Rm

(∫Rn

f(x, y) dy

)dx.

Con la otra integral iterada se procede igual.

Capítulo 7

Integral de Lebesgue ydiferenciación

7.1. Teorema de diferenciación de Lebegue

Si f es una función continua en un intervalo [a, b] es conocido que:

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt

dene una función C1 en [a, b] y que su derivada vale:

F ′(x) = f(x) x ∈ [a, b].

De hecho esta es una de las versiones del teorema fundamental del cálculo.Uno de los objetivos del capítulo consiste en explorar la extensión de este

enunciado a integrandos más generales. En particular, cuando f es integrableLebesgue. Se tiene de hecho el siguiente resultado.

Teorema 7.1. Sea f ∈ L1(a, b). Entonces su primitiva:

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt

es derivable en en casi todo punto x ∈ (a, b) y de hecho:

F ′(x) = f(x)

para casi todo x ∈ (a, b).

Observación 7.1. Estudiamos en el Capítulo III la continuidad absoluta de lafunción F (x).

139

140 CAPÍTULO 7. DIFERENCIACIÓN

El Teorema 7.1, de gran interés entre otras áreas en el Cálculo de Variaciones,es consecuencia de una serie de resultados que establecemos a continuación. Amodo de presentación de éstos realizamos la siguiente observación.

Al escribir el cociente incremental de F hallamos fácilmente que

F (x+ h)− F (x)

h=

1

λ1(I)

∫I

f,

donde I = (x, x+ h) o I = (x+ h, x) dependiendo de si h es positivo o negativoy donde recordamos que F (x) =

∫(a,x)

f .

Esta reexión invita a considerar, para una función f ∈ L1(RN ), los prome-dios:

1

λn(B)

∫B

f(y) dy,

y estudiar su límite cuando las bolas abiertas B pasan por un punto jadox ∈ RN y su volumen (es decir su radio) tiende a cero.

Por el momento tendremos en mente que tratamos con bolas euclídeas aun-que más tarde consideramos conjuntos medibles ligeramente más generales.

Podemos enunciar una especie de extensión general del teorema fundamentaldel cálculo.

Teorema 7.2 (Teorema de diferenciación de Lebesgue). Sea f ∈ L1(RN ) en-tonces

lımλn(B) → 0x ∈ B

1

λn(B)

∫B

f(y) dy = f(x)

para casi todo x ∈ RN .

Una primera observación elemental es la siguiente.

Proposición 7.3. Si f ∈ L1(Rn) es continua en x entonces

lımλn(B) → 0x ∈ B

1

λn(B)

∫B

f(y) dy = f(x)

Demostración. Se tiene que

|f(y)− f(x)| < ε

si |x− y| < δ. Si B es cualquier bola (abierta) con radio rB ≤ δ2 que pasa por x

entonces B ⊂ B(x, δ), por eso:∣∣∣∣ 1

λn(B)

∫B

f(y) dy − f(x)

∣∣∣∣ ≤ 1

λn(B)

∫B

|f(y)− f(x)| dy < ε.

7.1. TEOREMA DE LEBESGUE 141

Para f ∈ L1(Rn) se dene la función maximal de Hardy-Littlewood f∗

asociada a f como

f∗(x) = supx∈B

1

λn(B)

∫B

|f(y)| dy,

donde el supremo se extiende a todas las bolas abiertas B que pasan por elpunto x.

Teorema 7.4. Sea f ∈ L1(Rn). Entonces:

i) f∗ es medible.

ii) f∗(x) <∞ para casi todo punto x ∈ Rn.

iii) Se cumple la estimación

λn(f∗ ≥ α) ≤ A

α|f |1, (7.1)

donde A = 3n.

Observación 7.2. La estimación 7.1 se llama una desigualdad débil. De hecho,es una especie de substituto de la desigualdad de Tchebychev la cual sería válidasi f∗ fuese integrable, hecho éste que no es cierto en general (Observación 7.4).Nótese por otro lado que, del Teorema 7.2 se sigue que |f | ≤ f∗ en casi todopunto.

Finalmente, ii) es consecuencia directa de iii).

La prueba de iii) requiere un resultado de recubrimiento.

Lema 7.5 ([17]). Sea B = B1, . . . , BN una colección de bolas abiertas de Rn.Entonces B admite una subfamilia disjunta Bi1 , . . . , Bik de forma que:

λn(∪iBi) ≤ 3nλn(∪kBik).

Observación 7.3. El lema arma que la fracción de masa recubierta por la sub-familia disjunta está acotada inferiormente por una constante (3−n) que nodepende del número ni del tamaño de las bolas de B.

Demostración. La base del argumento es la siguiente armación: siB = B(x,R),B′ = B(x′, R′) son dos bolas con B ∩B′ = ∅ y R ≥ R′ entonces

B′ ⊂ 3B := B(x, 3R).

En efecto si y ∈ B′:

d(y, x) ≤ d(y, x′) + d(x′, x) < R+ d(x′, z) + d(z, x) < 3R,

donde z es un punto de la intersección.Ahora procedemos como sigue. En B tomamos Bi1 una bola de radio máximo

y suprimimos de B dicha bola junto con todas aquellas a las que corta. Elresultado es una familia B′ de bolas con a lo sumo N −1 elementos. Si es que en


B′ quedan bolas, considero la de radio máximo Bi2 y la quito de B′ junto contodas las bolas de B′ a las que corta. Obtengo así una nueva familia de bolasB′′ con a lo sumo N − 2 elementos. Tras como mucho N pasos se sacan todaslas bolas de B para formar una subfamilia Bi1 , . . . , Bim de bolas disjuntas.Además, toda bola Bk de B o bien es una Bij o bien corta a una Bij . En losdos casos:

Bk ⊂ 3Bij .

Por consiguiente∪kBk ⊂ ∪j3Bij .

De aquí:

λn(∪kBk) ≤∑j

λn(3Bij ) = 3n∑j

λn(Bij ) = 3nλn(∪jBij ).

La siguiente armación se propuso en su momento como ejercicio (CapítuloI, Ejercicio 13)

Lema 7.6. Sea E ∈ L(n). Entonces

λn(E) = supλn(K) : K ⊂ E, K compacto.

Demostración. Supongamos que E es un conjunto acotado. Entonces E ⊂ I, Iun intervalo compacto. Además, existe Gk, una sucesión decreciente de abiertostales que

I − E ⊂ lımGk ∩ I λn(I − E) = lımλn(Gk ∩ I).

Por tanto

E ⊃ lım I−(Gk∩I) lımλn(I−(Gk∩I)) = λn(I)− lımλn(Gk∩I) = λn(E).

Como I − (Gk ∩ I) = I −Gk es un compacto de E podemos concluir que

λn(E) = supλn(K) : K ⊂ E, K compacto.

Si E es un medible general, E es la unión creciente de una sucesión de acotadosEj . Dado ε > 0 existe un compacto Kj ⊂ Ej tal que

λn(Ej)− ε < λn(Kj) ≤ supλn(K) : K ⊂ E, K compacto.

Tomando límites en j

λn(E)− ε ≤ supλn(K) : K ⊂ E, K compacto.

Esto prueba la armación.

Hemos probado la siguiente propiedad.


Propiedad 7.7. Todo conjunto E de L(n) se puede representar en la forma:

E = K +N

donde N es un conjunto nulo y K es un σ-compacto, es decir una unión nume-rable de compactos.

Demostración. El conjunto E = ∪Ej donde los Ej son acotados. Basta pues,demostrar la armación para conjuntos acotados E ∈ L(n). Si Ks ⊂ E es uncompacto tal que

λn(E)− 1

s< λn(Ks),

entonces K = ∪sKs es un σ-compacto que cumple λn(K) = λn(E). Esto pruebala propiedad.

Demostración del Teorema 7.4. Para probar i) notamos que si x ∈ f∗ > α,

1

λn(B)

∫B

|f | > α,

para alguna bola abierta B con x ∈ B. Esto signica que f∗(x′) > α para todox′ ∈ B, luego f∗ > α no sólo es medible sino que es abierto. Hemos probadode hecho que f∗ es semicontinua inferiormente.

Asimismo, para cada x ∈ f∗ > α existe una bola abierta Bx que cumple:

αλn(Bx) ≤∫Bx

|f |.

Entonces, todo compacto K ⊂ f∗ > α está recubierto por un número nito detales bolas B1, . . . , BN a las que aplicando el lema de recubrimiento permitenencontrar la subfamilia disjunta Bi1 , . . . , Bim. Así:

K ⊂ ∪s3Bis .

Luego:

λn(K) ≤ 3n∑s

λn(Bis) ≤3n

α

∑s

∫Bis

|f |.

Usando el carácter disjunto de las bolas resulta

λn(K) ≤ 3n

α

∑s

∫Rn

|f |.

Esto prueba iii).

Observación 7.4. Si f ∈ L1(Rn) no es idénticamente nula, la función f∗ no esintegrable.


En efecto∫Br0

|f | > 0 para algún r0 > 0 (Br = B(0, r)). Para |x| ≥ r0resulta que

f∗(x) ≥ 1

ωn2n|x|n

∫B2|x|

|f | ≥

(1

2nωn

∫Br0

|f |

)1

|x|n.

Esto prueba la no integrabilidad de f∗.

Observación 7.5. La estimación en iii) del Teorema 7.4 es óptima. Tomemos fcon soporte en B1 e integral: ∫

B1

|f | = 1.

Entonces, para |x| > 1:

f∗(x) ≥ 1

λn(B(0, |x|)).

Para obtener la desigualdad tomamos B(0, |x|+ ε) y hacemos ε→ 0+.Por tanto:

f∗(x) ≥ 1

ωn|x|n

para |x| > 1. Esto dice que:

x : 1 < |x| < 1

(ωα)1/n ⊂ f∗(x) > α

Observamos ahora que la medida λn del conjunto de la izquierda es equivalentea 1/α cuando α→ 0+. Por tanto:

λnf∗(x) > α ≥ c

α,

para α → 0+ con c tan próximo a 1 como se desee (con tal de que se tome αpequeño). Por otra parte, nótese que iii) implica:

λnf∗(x) > α ≤ 3n

α,

para todo α.

Demostración del Teorema 7.2, [17]. Basta con demostrar que para α > 0 cual-quiera el conjunto:

Eα := x : limλn(B) → 0x ∈ B

| 1

λn(B)

∫B

f(y) dy − f(x)| > α

tiene medida cero.


A tal efecto tomamos g ∈ Cc(Rn) y observamos que:

1

λn(B)

∫B

f(y) dy − f(x) =1

λn(B)

∫B

(f(y)− g(y)) dy+

1

λn(B)

∫B

(g(y)− g(x)) + |g(x)− f(x)|.

Por tanto

limλn(B) → 0x ∈ B

| 1

λn(B)

∫B

f(y) dy − f(x)| ≤ (f − g)∗(x) + |f(x)− g(x)|.

Denotando

Fα = (f − g)∗(x) >α

2 Gα = |f(x)− g(x)| > α

2

resulta que Eα ⊂ Fα∪Gα (F cα∩Gc

α ⊂ Ecα). Usando la desigualdad de Tchebychev

y el Teorema 7.4 tenemos que:

λn(Fα) + λn(Gα) ≤ 23n + 1

α|f − g|1.

Sin embargo, en virtud de los resultados del Capítulo V, g puede escogerse deforma que |f − g|1 sea tan pequeña como se quiera. De ahí, λn(Eα) = 0

Denición 7.8. Sea f una función medible en Rn. Se dice que f ∈ L1loc(Rn) si

f ∈ L1(K) para todo compacto K de Rn.

Corolario 7.9. La conclusión del Teorema 7.2 es cierta si f ∈ L1loc(Rn).

Demostración. Tomamos B2N = B(0, 2N). Para todo x ∈ BN = B(0, N) ytoda bola B con x ∈ BN y radio rB < N

2 se tiene

B ⊂ B2N .

Si f = χB2N f entonces

lımλn(B)→0

1

λn(B)

∫B

f = f(x)

para todo x ∈ Rn \M , λn(M) = 0. Fijado entonces x ∈ BN \M y dado ε > 0se tiene entonces que

| 1

λn(B)

∫B

f − f(x)| < ε

para toda B con x ∈ B y rB < δ. En particular, para toda bola B con x ∈ B yrB < mınδ, N2 . Sin embargo, esto signica que B ⊂ B2N luego

| 1

λn(B)

∫B

f − f(x)| < ε,



Se dice que x ∈ Rn es un punto de Lebesgue de f ∈ L1loc(Rn) si

lımλn(B)→0

1

λn(B)

∫B

|f(y)− f(x)| dy = 0

en donde las bolas B referidas en el límite pasan por el punto x.

Teorema 7.10. Casi todos los x ∈ Rn son puntos de Lebesgue de una funciónf ∈ L1

loc(Rn).

Demostración [17]. Para todo q ∈ Q se cumple que f − q ∈ L1loc(Rn) (½pero

f − q ∈ L1(Rn) aunque f ∈ L1(Rn)!).Por eso

lımx∈B

λn(B)→0

1

λn(B)

∫B

|f(y)− q| dy = |f(x)− q|,

para todo x ∈M cq , Mq un conjunto nulo. Tomamos M = ∪qMq que es también

un conjunto nulo.Por tanto

limx∈B

λn(B)→0

1

λn(B)

∫B

|f(y)− f(x)| dy ≤

lımx∈B

λn(B)→0

1

λn(B)

∫B

|f − q| dy + |f(x)− q| = 2|f(x)− q|,

para todo x ∈ M c y todo q ∈ Q. Haciendo q → f(x) alcanzamos la conclusióndeseada.

Podemos nalmente probar el Teorema 7.1.

Demostración del Teorema 7.1. Para x ∈ (a, b) tenemos

∣∣∣∣F (x+ h)− F (x)

h− f(x)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1

λ1(I)

∫I

(f(y)− f(x)) dy

∣∣∣∣ ≤1

λ1(I)

∫I

|f(y)− f(x)| dy ≤ 2

λ1(2I)

∫2I

|f(y)− f(x)| dy,

donde 2I es el intervalo de extremos x ± h (h sucientemente pequeño). Deaquí se deduce, vía el Teorema 7.10 que F ′(x) = f(x) para casi todo puntox ∈ (a, b).

7.2. TEOREMA DE RADON-NIKODYM 147

7.2. Teorema de Radon-Nikodym

Ahora nos ocupamos de la segunda versión del teorema fundamental delcálculo en el formato de la integral de Lebesgue. Para una función F denidaen el intervalo [a, b] se trata de saber cuándo es cierto que:

F (x) = F (a) +

∫ x

a

F ′(t) dt, (7.2)

para x ∈ [a, b]. La validez de la identidad requiere en principio lo siguiente.

i) Existe F ′(x) al menos en casi todo punto de (a, b).

ii) F ′ ∈ L1(a, b).

iii) Se da la identidad (7.2) en [a, b].

Bajo estas condiciones se observa que una condición necesaria que debe satisfacerF es que F ∈ AC[a, b].

Se trata por tanto de indagar, dentro de la clase AC[a, b], cuáles son lasfunciones F que cumplen (7.2). En la sección precedente hemos encontradofunciones para las que dicha relcación es cierta, a saber:

F (x) = c+

∫ x

a

f(t) dt,

con f ∈ L1(a, b), pues c = F (a) y F es derivable en casi todo punto con F ′ = f .El siguiente resultado establece que la totalidad de AC[a, b] está conformadapor funciones que se pueden representar de esta forma.

Teorema 7.11. Las siguientes propiedades son equivalentes:

a) F ∈ AC[a, b].

b) Existe f ∈ L1(a, b) tal que:

F (x) = F (a) +

∫ x

a

f(t) dt,

c) F es derivable en casi todo punto F ′ ∈ L1(a, b) y se satisface

F (x) = F (a) +

∫ x

a

F ′(t) dt,

para x ∈ [a, b].

Observación 7.6. Debe notarse que la existencia de F ′ en casi todo punto juntocon F ′ ∈ L1(a, b) e incluso la continuidad de F en [a, b] no bastan para garantizarla validez de (7.2). Aclaramos este extremo en la Sección 7.2.1.


7.2.1. Función de Cantor

La función de Cantor φ : [0, 1] → [0, 1] (I = [0, 1]) es un ejemplo de funcióncontinua no decreciente que cumple:

1. φ(0) = 0, φ(1) = 1,

2. φ es derivable en casi todo punto con derivada φ′ = 0.

La función φ no puede, por tanto, satisfacer la identidad (7.2).Para construir φ se usa el conjunto de Cantor C (Sección 1.7):

C = ∩An,

donde An = ∪Ink es la generación nésima de intervalos, Ink = [ank , bnk ]. Se tiene:

φ = lımφn,

donde:

i) φn es continua en I, φn(0) = 0, φn(1) = 1,

ii) φn es creciente y de la forma αx+ β sobre cada Ink ,

iii) φn(Ink ) =

[k − 1

2n,k

2n

],

iv) φn es constante en [bnk , ank+1], k = 1, . . . , 2n.

En resumen, para denir φn se divide primero la imagen I en intervalos diádicos[k − 1

2n,k

2n

], k = 1, . . . , 2n, después se aplican ordenadamente los Ink sobre

dichos intervalos mientras φn se toma constante en cada uno de los intervalosabiertos que conforman Gn = I \An.

En base a esta información:

φn(ank ) =

k − 1

2nφn(b

nk ) =

k

2n⇒ ∆φn =

1

2n.

De acuerdo con esto:φn+1 = φn x ∈ Gn.

Como Gn es creciente, se tiene entonces que:

φn+h = φn x ∈ Gn ∀h.

Para probar la armación precedente se tiene que un intervalo de Gn es Jnk :=

(bnk , ank+1) donde φn =

k

2n. Éste intervalo coincide con

Jn+12k = (bn+1

2k , an+12k+1)


donde φn+1 =2k

2n+1, luego φn+1 = φn.

Esto signica que las discrepancias entre φn+1 y φn ocurren solamente en

los intervalos Ink . Es inmediato comprobar que |φn+1(x)−φn(x)| ≤1

2nen cada

uno de tales intervalos. Como

∥φn+1 − φn∥∞ ≤ 1

2n

se tiene que φn → φ uniformemente y que φ = φn en cada uno de los intervalosde Gn. Así pues:

φ′ = 0 x ∈ ∪Gn = I \ C.

Llamamos ahora G = ∪Gn = ∪n∪2n−1k=1 (el paso de la etapa n a la n+1 pro-

duce 2n intervalos abiertos nuevos Jn+1k ). Vamos a construir un homeomorsmo

g : I → I con propiedades especiales. Tomamos:

g(x) =1

2(x+ φ(x)).

g es creciente (estrictamente) y continua. Como los Jnk son disjuntos es inmediato

comprobar que g(G) es una unión disjunta de intervalos luego:

λ1(g(G)) =1

2⇒ λ1(g(C)) =

1

2.

Como existe un conjunto Q ⊂ g(C) que es no medible (Capítulo I), al tomarE = g−1(Q), la aplicación g transforma un conjunto medible E en otro que nolo es.

Finalmente C, que es un boreliano no nulo, ha de tener partes no borelianas.De otro modo, todas las partes de g(C) lo serían.

Listamos las últimas conclusiones:

a) La σ-álgebra B1 no es completa (C es boreliano).

b) g transforma un conjunto nulo en otro de medida positiva.

c) Existe un homeomorsmo g : I → I que transforma un conjunto medibleE en otro que no lo es.

Volveremos a la transformación de conjuntos medibles en el Capítulo 8.

7.2.2. Teorema de RadónNikodym

En el Capítulo III se denieron las funciones y medidas absolutamente con-tinuas. Se introduce a continuación una denición diferente, en principio, demedida absolutamente continua.

Denición 7.12. Sean (X,A, µ) un espacio de medida y ν una medida consigno sobre A. Se dice que ν es absolutamente continua con respecto a µ, deno-tado ν ≪ µ, si ν(E) = 0 siempre que µ(E) = 0.


Observación 7.7. Para una medida con signo µ los conjuntos N satisfaciendo|µ|(N) = 0 están caracterizados por ser µ(N ′) = 0 para cada N ′ ⊂ N medible.Tienen el papel equivalente de los conjuntos nulos para una medida positiva.Consecuentemente, la denición precedente se puede extender a medidas consigno µ reformulándola como sigue: ν(E) = 0 cuando |µ|(E) = 0 ([9]).

Proposición 7.13. Sea ν una medida con signo. Las siguientes propiedadesson equivalentes:

i) ν ≪ µ.

ii) ν+ ≪ µ y ν− ≪ µ.

iii) |ν| ≪ µ donde |ν| = ν+ + ν−.

Establecemos ahora la relación entre las dos nociones de continuidad absolutapara medidas.

Proposición 7.14. Sea ν una medida positiva nita. Entonces ν ≪ µ si y sólosi para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ν(E) < ε cuando µ(E) < δ.

Demostración. Probamos el ⇒. Si existe ε0 tal que para todo n existe En conµ(En) <

12n tal que

ν(En) ≥ ε0.

TomandoE = limEn,

se comprueba directamente que µ(E) = 0 pues

µ(∪∞k=nEk) ≤

1

2n−1.

Por otro lado:ν(E) = ν(limEn) ≥ lim ν(En) ≥ ε0,

que contradice la nueva denición de continuidad absoluta.

Una consecuencia inmediata es la siguiente:

Proposición 7.15. Sea ν una medida con signo nita. Entonces ν ≪ µ si paratodo ε > 0 existe δ > 0 tal que |ν|(E) < ε cuando µ(E) < δ.

Se vió en su momento que si f ∈ L1(X) entonces

ν(E) =

∫E

f dµ

es una medida con signo (nita) que cumple ν ≪ µ. El teorema de Radón-Nikodym, que ahora enunciamos, constituye en espacios de medida σnita elrecíproco de esta propiedad.

El resultado, que establecemos en forma ligeramente más general, requierela siguiente denición.


Denición 7.16. Se dice que dos medidas con signo λ, µ son mutuamente sin-gulares, denotado λ⊥µ, si existen Y, Z medibles disjuntos X = Y + Z tales que|λ|(Z) = |µ|(Y ) = 0.

Observaciones 7.8.

a) Si δ es la delta de Dyrac, λ1 = dx y δ son mutuamente singulares en R. Porcierto, obsérvese que δ no es absolutamente continua con respecto a dx.

b) Si ν es una medida con signo entonces ν+⊥ν−.c) En las condiciones de la denición, el soporte de λ es Y y el de µ es Z en elsentido de que:

λ(A) = λ(A ∩ Y ), µ(A) = µ(A ∩ Z),

para cualquier A medible. Luego tomando ν := λ+µ, ν = λ en X, ν = µ en Y .

Proposición 7.17. Sean λ una medida con signo, µ una medida tales que λ⊥µy λ≪ µ. Entonces:

λ = 0.

Demostración. Para todo E se tiene que:

λ(E) = λ(E ∩ Y ), µ(Y ) = 0 ⇒ µ(E ∩ Y ) = 0,

por tanto λ(E) = 0.

Teorema 7.18 (RadónNikodym). Sean µ una medida (positiva) σnita y νuna medida con signo nita. Existen entonces medidas con signo λ, ρ tales que:

a) λ⊥µ.b) ρ << µ, más aún ρ = f dµ para cierta f ∈ L1(X,µ).

c) ν = λ+ ρ = λ+ f dµ.En particular, si además es ν ≪ µ se tiene que λ = 0 y se tiene la represen-

tación:

ν(E) =

∫E

f dµ.

Observación 7.9. En el último supuesto del teorema se suele denotar:

∂ν

∂µ= f.

La función f está unívocamente determinada módulo discrepancias en un con-junto de medida cero.

La demostración del Teorema de RadónNikodym requiere el siguiente re-sultado auxiliar.

Lema 7.19. Sean λ, µ medidas positivas nitas. Se cumple entonces una de lassiguientes opciones: o bien λ⊥µ o bien existen ε > 0 y E medible con medidapositiva µ(E) > 0 tal que E es positivo para la medida (con signo) λ− εµ.


Demostración. Para cada n consideramos la medida con signo

λ− 1

nµ.

Le corresponde una descomposición de Hahn:

X = Pn +Nn

donde Pn y Nn son positivo, respectivamente. Poniendo P = ∪Pn, P c = ∩Nn :=N . Como N es negativo para todas las medidas λ − 1

nµ resulta que λ(N) = 0.Ahora se tiene que, o bien µ(P ) = 0, que signica λ⊥µ, o bien µ(P ) > 0 queimplica

µ(Pn0) > 0

para algún n0, y E = Pn0 es positivo para:

λ− 1

n0µ.

Demostración del Teorema 7.18. Probamos el teorema en el caso en que ν esuna medida positiva y µ es nita. Si el teorema se satisface bajo estas condicionesentonces tiene que ser f ≥ 0 mientras∫

E

f dµ ≤ ν(E)

para todo E ∈ A. Es por ello que introducimos la clase:

F = f : X → [0,∞) medible :∫E

f dµ ≤ ν(E) ∀E ∈ A

donde se considera el problema variacional:

a = supf∈F

∫X

f dµ.

(F es no vacía pues 0 ∈ F). Armamos que el supremo se alcanza en una funciónf0 de F . En efecto, se tiene primeramente que f, g ∈ F implica maxf, g ∈ Fpues si E = f > g, F = Ec entonces:∫

A

maxf, g dµ =

∫A∩E

maxf, g dµ+

∫A∩F

maxf, g dµ ≤∫A∩E

f dµ+

∫A∩F

g dµ ≤ ν(A)

para todo A ∈ A. Por otro lado si∫X

fn dµ→ a ⇒∫X

gn dµ→ a,


donde g = maxf1, . . . , fn ∈ F . Del teorema de la convergencia monótona sededuce que gn → f0, función en la que

a =

∫X

f0 dµ.

Consideramos ahora la medida positiva:

λ = ν − f0dµ.

Armamos que λ⊥µ pues en caso contrario existen E0 de medida positiva y ε0de forma que E0 es positivo para la medida λ− ε0µ. De aquí se sigue fácilmenteque

f0 + ε0χE0 ∈ F .Pero esto no es posible porque:∫

X

(f0 + ε0χE0) dµ = a+ ε0µ(E0).

Ahora probamos el teorema en el caso ν medida positiva y µ σnita. El espacioX = ∪Xn, Xn de medida nita. Si νn(E) = ν(E ∩Xn) entonces:

νn = λn + fn dµ

en el espacio de medida nita (Xn, µ). Si denimos la medida λn en X comoλn(E) = λn(E ∩ Xn) y fn es la extensión por cero fuera de Xn notamos quepara E ⊂ X: ∫

E

fn dµ =

∫E∩Xn

fn dµ.

De aquí:

ν(X) =∑n

νn(X) =∑n

λn(X) +∑n

∫X

fn dµ ≥∑n

∫X

fn dµ.

Esto basta (ν(X) <∞) para escribir:

f =∑n

fn ∈ L1(X)

junto con ∫E

f dµ =∑n

∫E

fn dµ.

Por tantoν = λ+ f dµ, λ =

∑n

λn.

En el caso general, ν = ν+− ν−, ν± = λ±+ f± dµ y resulta λ = λ+−λ− juntocon f = f+ − f−. Para demostrar λ⊥µ conviene observar que si X = A+B esla descomposición de Hahn de ν entonces λ+ vive en A y λ− vive en B.

Finalmente, si ν ≪ µ entonces λ = ν − f dµ también cumple que λ ≪ µ,por tanto y según se dijo λ = 0.


7.2.3. Demostración del Teorema 7.11

Comenzamos con dos lemas.

Lema 7.20. Sean F ∈ AC(R) creciente y acotada en R y ν = dF la medida deLebesgue-Stieltjes asociada. Entonces dF ≪ dx donde dx representa la medidade Lebesgue en R.

Lema 7.21. Sea F ∈ AC[a, b]. Entonces F = F1 − F2, donde las F1, F2 soncrecientes y absolutamente continuas en [a, b].

Demostración del Teorema 7.11. La implicación b) ⇒ c) es el teorema de di-ferenciación de Lebesgue, mientras que c) ⇒ a) se conoce desde el CapítuloIII.

Nos concentramos en a) ⇒ b) y comenzamos por el caso F ∈ AC[a, b] cre-ciente.

Extendemos F a R como F (x) = F (a), F (x) = F (b) para x < a y x >b respectivamente. Aplicando el lema precedente tenemos que dF es nita yabsolutamente continua en R. Del teorema de Radón-Nikodym existe f ∈ L1(R)tal que

dF = f dx.

Esto signica que para a < x arbitrarios en R,

F (x)− F (a) = dF(x, a) =

∫(a,x)

f(t) dt =

∫ x

a

f(t) dt.

En particular para x ∈ [a, b]. Esto prueba el teorema en el caso F creciente.En el caso general y de acuerdo al Lema 7.21, F = F1 − F2, donde las F1, F2

son crecientes y absolutamente continuas en [a, b]. Aplicando separadamente elargumento precedente a F1 y F2 concluimos la prueba.

Demostración del Lema 7.20. Hemos de probar que si λ1(E) = 0 entonces ν(E) =0. Suponemos sin pérdida de generalidad que E es acotado. Por ello, dado δ > 0existe G ⊃ E abierto acotado tal que λ1(G) < δ. Como G = ∪In, donde los Inson intervalos abiertos disjuntos,

∑λ1(In) < δ.

Usamos ahora que F es absolutamente continua. Dado ε > 0 elegimos δ > 0el asociado a la denición y tendremos que:

ν∗(E) ≤∑

∆nF < ε,

con lo que a la postre, ν(E) = 0.

Demostración del Lema 7.21. En las cuentas que siguen está implícito (ver ob-servación nal) el que una función absolutamente continua es de variación aco-tada en [a, b]. Para x ∈ [a, b] se dene:

V (x) := V [a, x] := supm∑

k=1

|∆Fk|


donde el supremo se extiende a todas las particiones π = x0 = a ≤ · · · ≤xn = x del intervalo [a, x] y ∆Fk = F (xk) − F (xk−1). Es consecuencia de laobservación precedente que V (x) es nita. Además se tiene que para x < y

V (y) = V (x) + V [x, y].

En efecto, si π, π′ son particiones de [a, x] y [x, y] respectivamente, π′′ := π∪π′

es una partición de [a, y]:∑π

|∆Fk|+∑π′

|∆Fk| =∑π′′

|∆Fk| ≤ V (y).

Tomando supremos en π:

V (x) +∑π′

|∆Fk| ≤ V (y),

tomando supremos en π′ se sigue V (x) + V [x, y] ≤ V (y).Por otro lado si π′′ es cualquier partición de [a, y]∑

π′′

|∆Fk| ≤∑

π′′∪x

|∆Fk| =∑π

|∆Fk|+∑π′

|∆Fk| ≤ V (x) + V [x, y],

donde π = (π′′ ∪ x) ∩ [a, x], π′ = (π′′ ∪ x) ∩ [x, y].Una consecuencia de todos estos cálculos es que V es creciente. Probamos

ahora que V es absolutamente continua en [a, b]. En efecto, dado ε > 0 existe δtal que ∑

n

|∆Fn| <ε

2,

para toda familia In = (an, bn) de intervalos disjuntos con∑

n λ1(In) < δ.Ahora notamos que ∆Vn = V (bn)− V (an) = V [an, bn] por lo que para cada

n existe una partición πn de [an, bn] tal que

∆Vn ≤∑πn

|∆Fk|+ε

2n.

Por tanto: ∑n

∆Vn ≤∑n

∑πn

|∆Fk|+ε

2< ε,

porque: ∑n

∑πn

|∆Fk| =∑n,k

|∆Fn,k|,

corresponde a la familia de intervalos In,k, In,k el késimo intervalo generadopor la partición πn y ∑

n

∑πn

λ1(In,k) =∑n

λ1(In) < δ.


Por tanto V ∈ AC[a, b].Como penúltimo paso escribimos:

F (x) = V (x)− (V (x)− F (x)) := F1(x)− F2(x).

Las funciones F1, F2 son absolutamente continuas mientras F2 es creciente. Estose sigue de:

F (y)− F (x) ≤ |F (y)− F (x)| ≤ V [x, y] = V (y)− V (x),

para x < y. Así,la prueba está completa .

Observación 7.10. Si F ∈ AC[a, b] entonces F es de variación acotada (para lasdeniciones nos remitimos al Capítulo III). En efecto, dado ε0 existe δ0 con∑

n

|∆Fn| < ε0,

para toda familia In = (an, bn) de intervalos disjuntos con∑

n λ1(In) < δ0.Tomamos una partición π0 de [a, b] con l intervalos que tienen longitud menorque δ0. Si π es cualquier partición de [a, b]:

∑π

|∆Fk| ≤∑π∪π0

|∆Fk| =l∑

s=1

∑πs

|∆Fk| ≤ lε0,

siendo πs = (π ∪ π0) ∩ Is donde Is es el s-ésimo intervalo de π0. Esto pruebaque F es de variación acotada.

Capítulo 8

Teorema del cambio devariable

Se ha visto que para construir un conjunto no medible se requiere el axiomade elección. Parece esto sugerir que no debería ser complicado transformar con-juntos medibles. Sin embargo, se vió en el Capítulo 7 que en general, ni siquieraun homeomorsmo preserva los conjuntos medibles. En la siguiente sección pro-bamos que el que una función continua transforme medibles en medibles esequivalente a que dicha función preserve los conjuntos nulos.

8.1. Transformación de conjuntos medibles

Nuestro primer objetivo es el resultado siguiente.

Teorema 8.1. Sea G ⊂ Rn un abierto y f : G→ Rm con m ≥ n una aplicaciónlocalmente Lipschitziana en G. Entonces f(E) ∈ Lm si E ∈ Ln.

La demostración se apoya en la siguiente proposición.

Proposición 8.2. Sea N ⊂ Rn un conjunto nulo y f : N → Rm, m ≥ n, unaaplicación localmente Lipschitziana. Entonces f(N) es un conjunto nulo en Rm.

Demostración. Supongamos para empezar que f es Lipschitz global en N y que:

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|,

para x, y ∈ N , | · | representa la norma innito. Dado ε > 0 existe una sucesiónde cubos abiertos Ik, Ik = xk + akQ, Q = (−1, 1)n, que recubren N y cumplen∑

λn(Ik) < ε.

Resulta entonces que si x, x0 ∈ N ∩ Ik entonces |f(x) − f(x0)| ≤ akL luegof(N ∩ Ik) ⊂ I ′k donde I ′k es un cubo de arista 2Lak. Por tanto:

λ∗m(f(N)) ≤∑

λn(I′k) < Lmε.

157

158 CAPÍTULO 8. CAMBIO DE VARIABLE

Esto prueba que f(N) es un conjunto nulo.En el caso general, cada punto x ∈ N posee un entorno Ux donde f es

Lipschitziana y por tanto f(Ux) es un conjunto nulo. Como N ⊂ Rn, N es unespacio Lindelöf y N = ∪Uxk

luego f(N) = ∪f(Uxk) y f(N) es un conjunto

nulo.

Demostración del Teorema 8.1. Si E ⊂ Rn es medible, E = F + N , donde Nes nulo y F σ-compacto (Propiedad 7.7). Luego f(E) = f(F ) + f(N) es unconjunto medible.

8.2. Fórmula del cambio de variables para apli-caciones lineales

Teorema 8.3. Sea f : Rn → Rn una aplicación lineal. Entonces:

λn(f(E)) = | det f | λn(E) ∀E ∈ Ln. (8.1)

Demostración. Nos podemos concentrar en el caso en que det f = 0, de otraforma la armación es trivial porque f(Rn) tiene medida cero.

Se trata ahora de factorizar f en acciones sencillas f1, . . . , fM que cumplanla fórmula:

λn(fi(E)) = | det fi| λn(E)

para todo E ∈ Ln, 1 ≤ i ≤ M . Esto prueba el caso general. Tales fi consis-ten en realidad en operaciones elementales la. En términos de matrices, lasoperaciones elementales básicas son:

i) Sumar la la uno a la la dos.

ii) Intercambiar las las i y j.

iii) Multiplicar la la uno por una constante.

Si A es una matriz n×n, Ei es el resultado de aplicar una de estas operacionesa la matriz identidad I, entonces:

Ai = EiA

es el resultado de aplicar la operación a A. Asimismo, las operaciones elemen-tales se codican como las aplicaciones que tienen matriz asociada (en la basecanónica) la de la correspondiente operación. Por ejemplo ii) se corresponde conla aplicación fi denida por:

e1, i). . ., ei,j−i). . . , ej , . . . , en → e1, i). . ., ej ,

j−i). . . , ei, . . . , en.

Por otro lado, el método de eliminación de Gauss permite reducir toda matrizinvertible A a la identidad, mediante operaciones elementales. Es decir:

I = E1 . . . EMA ⇔ A = E−1M . . . E−1

1 .

8.3. CASO GENERAL 159

Las E−1j son directamente una de las operaciones elementales i), ii), iii) o com-

binación de éstas. Es decir, lo de arriba es combinación, quizás un poco máslarga, de operaciones elementales. Llamando fi a la aplicación asociada a E−1

i

tenemos entonces:f = f1 · · · fM .

Ahora armamos que todas las fi cumplen (8.1). Esto es evidente en los casosde ii), iii). Comprobamos la validez para la operación i). Usando la operación ii)consideramos que f corresponde a sumar la la dos a la la uno. Si Q = (0, 1)n

medimos f(Q). Las ecuaciones de f son:

y1 = x1 + x2 y′ = x′ x′ = (x2, . . . , xn).

Luego:

f(Q) = (y1, y′) : y′ ∈ Q′ := (0, 1)n−1, y2 ≤ y1 ≤ y2 + 1.

Usando los resultados del Capítulo 6 (ver Observación) es inmediato comprobarque λn(f(Q)) = λn(Q) = 1. Más aún, las ecuaciones de f−1 son las de f cam-biando x2 → −x2. Como f−1 se obtiene usando las operaciones i) y iii) tambiénf−1 cumple (8.1). Finalmente, si E tiene medida nita (basta comprobar estecaso) dado ε existe una sucesión de cubos abiertos Ik con E ⊂ ∪Ik y∑

λn(Ik) ≤ λn(E)+ ε ⇒∑

λn(f(Ik)) ≤ λn(E)+ ε ⇒ λ(f(E)) ≤ λn(E)+ ε.

Por tanto λn(f(E)) ≤ λn(E). Como el resultado se puede aplicar a f−1 se tieneque f cumple (8.1).

Observación 8.1. Por un medio más elemental. Escribimos f(Q) = A+B dondeA = y2 < y1 < 1, B = 1 ≤ y1 < y2 + 1. Si B − e1 = 0 ≤ y1 < y2,observamos que λn(B − e1) = λn(B1) donde B1 = 0 < y1 ≤ y2. Concluimos:

λn(f(Q)) = λn(A) + λn(B) = λn(A) + λn(B1) = λn(Q),

que es lo que se quería probar.

8.3. Caso general

Consideremos f : (X,A, µ) → (Y,B, ν) una aplicación biyectiva entre losespacios de medida señalados. Supongamos que f(A) ⊂ B (es decir, f−1 esmedible). La medida pullback f∗(ν) (f∗ν) de ν (cf. [1]) en X se dene como:

f∗ν(E) = ν(f(E)).

En la sección anterior se demostró que para f un isomorsmo de Rn se tieneque:

f∗λn(E) = det(f)λn(E).


Lema 8.4. Sean Ω, Q abiertos de Rn y J = [a, b) ⊂ [a, b] ⊂ Ω un intervalo deextremos racionales a, b ∈ Qn. Si f ∈ C1(Ω, Q) es un difeomorsmo, entonces

λn(f(J)) ≤∫J

| det(f ′)| dx.

Posponemos la demostración del lema para más adelante. El siguiente nosviene bien.

Lema 8.5. Sea (X,A, µ) un espacio de medida, f : X → [0,∞] una funciónmedible. Entonces,

ν(E) =

∫E

f dµ

es una medida.Si f : X → [0,∞] es una función medible se tiene:∫

g dµ dν =

∫g dµf dµ.

Finalmente, si f > 0 en casi todo punto entonces ν es completa si µ lo es.

Demostración. La armación es cierta si f es simple. En el caso general f =lım fn donde las fn son simples. Las funciones:

ν(E) =

∫E

f dµ

son medidas y ν(E) = lım νn(E) = sup νn(E). Se concluye inmediatamente queν es una medida. En efecto, si Ekk∈N es una familia disjunta y E = ∪∞

k=1Ek:

νn(E) =∑k

νn(Ek) ≤∑k

ν(Ek) ⇒ ν(E) ≤∑k

ν(Ek).

Por otro lado, para N jo:

N∑k=1

ν(Ek) =N∑

k=1

lımn→∞

νn(Ek) = lımn→∞

N∑k=1

νn(Ek) =

lımn→∞

νn(∪Nk=1Ek) = ν(∪N

k=1Ek) ≤ ν(E).

En cuanto a la segunda armación, ésta es inmediata si g es simple y engeneral g = lım gn con gn una sucesión monótona de funciones simples. Portanto: ∫

g dµ dν = lım

∫g dµn dν = lım

∫g dµnf dµ =

∫g dµf dµ.

8.3. CASO GENERAL 161

Proposición 8.6. Sea f ∈ C1(Ω, Q) un difeomorsmo. Entonces, para todoconjunto medible E ⊂ Ω se tiene que

λn(f(E)) =

∫E

|det(f ′)| dx. (8.2)

Demostración. Para empezar se tiene que

ν(E) =

∫E

| det(f ′)| dx

es una medida completa en Ω. Queremos ver que λn(f(E)) = ν(E) para todoE. Comenzamos comprobando que:

λn(f(E)) ≤ ν(E), (8.3)

para todo E.Como todo abierto G ⊂ Ω se escribe como G = ∪Qk donde los Qk son cubos

diádicos:λn(f(G)) =

∑λn(f(Qk)) ≤

∑ν(Qk) = ν(G).

Suponemos ahora que E ⊂ Ω es acotado y dist(E, ∂Ω) > 0. Entonces E ⊂ B =lımGk donde Gk ⊂ Gk ⊂ Ω es una sucesión decreciente de abiertos. Finalmente,λn(B) = λn(E). Entonces:

λn(f(E)) ≤ λn(f(B)) = lımλn(f(Gk)) ≤ lımµ(Gk) = ν(B) = ν(E).

Si E ⊂ Ω es cualquier conjunto medible, E = lımEk donde los Ek están en lascondiciones precedentes y forman una sucesión creciente. Así:

λn(f(E)) = lımλn(f(Ek)) ≤ lımµ(Ek) = ν(E),

por teorema de la convergencia monótona. La desigualdad (8.3) ha sido demos-trada.

Ahora observamos que (8.3) se puede escribir como:∫Q

χf(E)(y) dy ≤∫Ω

χf(E) f(x)|det(f ′)(x)| dx =

∫Ω

χf(E) f dν.

Por tanto la desigualdad:∫Q

g(y) dy ≤∫Ω

g f(x)| det(f ′)(x)| dx =

∫Ω

g f dν,

es cierta para funciones simples no negativas y de ahí, por paso al límite yconvergencia monótona, para funciones medibles g : Q→ [0,∞].

Intercambiando ahora los papeles de Ω y Q, usando f−1 en lugar de f setiene:∫Ω

gf(x)| det(f ′)(x)| dx ≤∫Q

gf f−1(y)| det(f ′)(f−1(y))||det(f−1)′(y)| dy,


de donde: ∫Ω

g f(x)| det(f ′)(x)| dx ≤∫Q

g(y) dy.

Hemos concluido entonces que para toda función medible g : Q → [0,∞] secumple ∫

Q

g(y) dy =

∫Ω

g f(x)| det(f ′)(x)| dx. (8.4)

La relación (8.2) se sigue inmediatamente de (8.4).

Teorema 8.7. En las condiciones precedentes, g ∈ L1(Q) si y solamente sig f |det f ′(·)| ∈ L1(Ω) y se cumple la relación (8.4).

Observación 8.2. Supongamos que f : (X,A, µ) → (Y,B, ν) es biyectiva y cum-ple f−1(F ) ∈ A, para todo E ∈ B. Entonces:

f∗ : M(Y ) −→ M(X)g 7−→ f∗(g) = g f,

donde M representa la clase de las funciones medibles, está bien denido. f∗ sedenomina el operador pullback asociado a f .

Corolario 8.8. Para Ω, Q y f en las condiciones precedentes y g ∈ L1(Q) setiene: ∫

Q

g dy =

∫Ω

f∗(g) d(f∗λn),

donde d(f∗λn) es la medida pullback de λn vía f .

Demostración del Lema 8.4 ([1]). En primer lugar se observa que J se pudeponer como una unión disjunta J = ∪N

k=1Jk de cubos semiabiertos [ak, bk) dediámetro tan pequeño como se quiera.

Usamos ahora la norma innito |x|∞ = max |xi|. Un cubo Q de arista r ycentro x0 se escribe como Q = [x0 − r

21, x0 +r21). λn(Q) = rN . Por otro lado:

f(Q) ⊂ B

(f(x0),

Kr

2

)⇒ λn(f(Q)) ≤ Knrn = Knλn(J),

donde K = supQ |f ′|.Usando la descomposición de J tenemos:

λn(f(J)) =∑k

λn(f(Jk)).

Elegimos xk ∈ Jk tal que |det f ′(xk)| = mınJk| det f ′| y ponemos Tk = f ′(xk).

Así:

λn(f(J)) =∑k

λn(Tk T−1k f(Jk)) =

∑k

λn(T−1k f(Jk))| detTk| ≤

∑k

supJk

|T−1k f ′|nλn(Jk))| detTk| ≤ α

∫J

| det f ′(x)| dx,

8.4. COORDENADAS ESFÉRICAS 163

donde α = maxksupJk|T−1

k f ′|n.Para estimar α ponemos:

T−1k f ′(x) = I + T−1

k (f ′(x)− f ′(xk)),

luego, tomando β = supJ |(f−1)′|,

|T−1k f ′(x)| ≤ 1 + β sup

Jk

|f ′(x)− f ′(xk) ≤ 1 + ε,

supuesto que el diámetro de los Jk se ha tomado sucientemente pequeño comopara que la oscilación de f ′(x) sea menor que ε/β en cada uno de ellos. Portanto,

λn(f(J)) ≤ (1 + ε)n∫J

| det f ′(x)| dx,

para todo ε > 0. Por tanto, hemos terminado.

8.4. Coordenadas esféricas

En Rn tomamos (n ≥ 2):

H = Re1 ⊕ Re3 ⊕ · · · ⊕ Ren,

y la función:

F : R+ × (0, 2π)× (0, π)×n−2)· · · ×(0, π) −→ Rn \H

(r, φ, θ) 7−→ x = F (r, φ, θ) = rΦ(φ, θ),

denida como:

x1 = r cosφ sen θ1 · · · sen θn−3 sen θn−2

x2 = r senφ sen θ1 · · · sen θn−3 sen θn−2

x3 = r cos θ1 · · · sen θn−3 sen θn−2

.... . .

......

xn−1 = · · · r cos θn−3 sen θn−2

xn = · · · r cos θn−2,

siendo r = |x|. Se prueba por inducción que F es biyectiva. Esto vale para n = 2y probado para n tomamos x ∈ Rn+1 \Hn+1. Entonces x′ ∈ Rn \Hn (para esose dene H), donde x′ es la proyección ortogonal de x en Rn ×0. Escribimos:

x = (x′, 0) + xn+1en+1,

conxn+1 = r cos θn−1 θn−1 ∈ (0, π).

Entonces |x′| = r sen θn−1. De ahí:x′ = r sen θn−1Φ(φ, θ)

xn+1 = r cos θn−1.

Esto prueba la construcción de F y la armación de biyectividad.

Bibliografía

[1] Amann H., Escher J., Analysis III, Birkhäuser, Basel, 2009.

[2] Apostol T. M., Análisis Matemático, Reverté, Barcelona, 1982.

[3] Apostol T. M., Calculus (2 Vols.), Reverté, Barcelona, 19**.

[4] Brezis, H., Análisis Funcional. Alianza, Madrid, 1983.

[5] Cerdá J., Análisis Real, Edicions Universitat de Barcelona, Barcelona,2000.

[6] Choquet G., Topología, Toray-Masson, Zaragoza, 1971.

[7] Coppel, W. A., Stability and asymptotic behavior of dierential equations,D. C. Heath and Company, Boston, 1965.

[8] Folland G. B., Real Analysis, Wiley, NY, 1999.

[9] Friedman A., Foundations of Modern Analysis, Dover, NY, 1982.

[10] Hewit E., Stromberg K., Real and abstract analysis, Springer, NewYork, 1965.

[11] Mijáilov V. P., Ecuaciones en Derivadas Parciales, Mir, Moscú, 1978.

[12] Kline M., Pensamientos matemáicos desde la antiguedad hasta nuestrosdías (3 Vols.), Alianza Universidad, Madrid, 1990.

[13] Margalef J., Outerelo E., Pinilla J., Topología, Vol. I, Alhambra,Madrid, 1980.

[14] Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw Hill, New York,1976.

[15] Rudin W., Real and Complex Analysis, McGraw Hill, New York, 1987.

[16] Shilov, G. E., Elementary Real and Complex Analysis, Dover, New York,1973.

[17] Stein E., Shakarchi R., Real Analysis, Princenton University Press,Princenton, 2005.

165

166 BIBLIOGRAFÍA

[18] Willard S., General Topology, Addison-Wesley, Massachussets, 1970.

Índice alfabético

función de Cantor, 148

teorema de RadónNikodym, 151teorema fundamental del cálculo, 147

167

teoría de la medida curso de introducción de la medida/curso_teoria... · se recogen en las...

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