teoria do risco aula 5
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Teoria do Risco
Aula 5
Danilo Machado Pires
https://atuaria.github.io/portalhalley/index.html
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No contexto da teoria do Risco aplicada hΓ‘ questΓ΅es de importΓ’ncia central
e de grande implicΓ’ncia para um segurador, das quais destacam-se as
seguintes:
Qual é a melhor estimativa do valor total das indenizaçáes a serem pagas?
Qual o prΓͺmio que a seguradora deve emitir para cobrir os sinistros com uma dada
margem de segurança?
Modelos de Risco
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...A teoria do risco busca estabelecer um modelo de tarifação eficiente
para a seguradora frente aos sinistros.
Modelo de Risco Individual Anual.
Modelo de Risco Coletivo Anual
Modelos de Risco
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O modelo de Risco individual estabelece um modelo de probabilidade para o
valor total das indenizaçáes de uma carteira,
Baseado na soma das diferentes distribuiçáes dos sinistros individuais no intuito de
se obter uma distribuição de probabilidades para os danos agregados.
Modelo de Risco Individual
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Para fins de simplificação deste modelo é estabelecida as seguintes
premissas:
Em cada apólice ocorrerÑ somente um sinistro no ano de avaliação.
A ocorrΓͺncia de um sinistro nΓ£o influi em qualquer outro risco do
conjunto segurado.
Modelo de Risco Individual
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Este modelo considera que para π = 1,2,3, β¦ , π apΓ³lices, os sinistros
sob forma agregada serΓ£o denominados:
ππππ. = π1 + π2 + β―+ ππ =
π=1
π
ππ
πΊπππ . Valor total das indenizaçáes na carteira em 1 ano.
πΏππ V.a. associada ao sinistro da apΓ³lice π em 1 ano (montante de sinistro, sinistralidade da apΓ³lice i).
π NΓΊmero fixo de apΓ³lices independentes.
Modelo de Risco Individual
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ππππ. = π1 + π2 + β―+ ππ =
π=1
π
ππ
πΈ ππππ. = πΈ
π=1
π
ππ =
π=1
π
πΈ ππ
π£ππ ππππ. = π£ππ
π=1
π
ππ =
π=1
π
π£ππ ππ
Modelo de Risco Individual
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A relevΓ’ncia do modelo reside fundamentalmente no fato de que as apΓ³lices
tΓͺm abordagens independentes.
ππ A probabilidade de ocorrΓͺncia de um sinistro em um ano de vigΓͺncia
da apΓ³lice i.
π΅π VariΓ‘vel aleatΓ³ria relativa ao valor da indenização de cada apΓ³lice π.
Modelo de Risco Individual
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A fim de simplificar os conceitos, ππ serΓ‘ definido como:
ππ = πΌππ΅π
Em que πΌπ Γ© uma variΓ‘vel dicotΓ΄mica indicadora da ocorrΓͺncia de um
sinistro com distribuição π΅πππππ’πππ ππ .
πΌπ = α1, β ππ
0,β (1 β ππ)
A variΓ‘vel aleatΓ³ria π΅π Γ© definida por (Xi Ii = 1 .
πΈ πΌπ = ππ π£ππ πΌπ = ππ 1 β ππ
Modelo de Risco Individual
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Um seguro de veΓculos cuja cobertura Γ© apenas o furto ou o microsseguro
que cobre perdas de pequenos objetos em viagens como malas, mΓ‘quinas
fotogrΓ‘ficas entre outros, sΓ£o exemplos simples para o caso em que Bi
assume apenas um ΓΊnico valor.
Dessa forma também podem-se estabelecer outras relaçáes:
π π = π₯ = α0, 1 β ππ΅, π
πΈ π = π΅π π£ππ π = π΅2π(1 β π)
π π β€ π₯ = ΰ΅
0 (π₯ < 0)
1 β π 0 β€ π₯ < Ξ1 (π₯ β₯ Ξ)
Modelo de Risco Individual
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EXEMPLO 1
Calcule o valor do PrΓͺmio de Risco atravΓ©s do princΓpio do desvio
padrΓ£o de um seguro que paga $30000,00 caso o veΓculo seja furtado.
Considere a probabilidade de furto do veΓculo igual a 0,007 e o π½ = 0,7.
Nesse caso, o prΓͺmio Γ© calculado por meio de Ξ π = πΈ π + πππ½,
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Solução
πΈ π = 30000 0,007 = $ 210,00
π£ππ π = 300002 0,007 0,993 = $ 6255900,00
ππ = π£ππ π = $2501,18
β’ Logo
Ξ π = 210 + 2501,18 Γ 0,7 = $1960,83
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Pode-se estabelecer ππππ como:
ππππ =
π=1
π
πΌππ΅π
Sendo π πΌπ = 1 = ππ e π πΌπ = 0 = 1 β ππ .
Logo:
πΈ ππππ. = πΈ
π=1
π
ππ =
π=1
π
πΈ πΌππ΅π
π£ππ ππππ. = π£ππ
π=1
π
ππ =
π=1
π
π£ππ πΌππ΅π
Modelo de Risco Individual
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No modelo de risco individual, π serΓ‘ definido como:
π =
π=1
π
πΌπ
Logo :π~π΅πππππππ(π, π)
πΈ π = ππ
π£ππ π = ππ 1 β π
Modelos de risco Individual- A distribuição de π
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EXEMPLO 2
Seja uma carteira de seguros com 10000 apΓ³lices, onde cada
apΓ³lice possui uma probabilidade nΓ£o nula de sinistros de 0,01.
Calcular o nΓΊmero esperado de sinistros em 1 ano e o
respectivo desvio padrΓ£o.
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SOLUΓΓO
π~π΅πππππππ 10000; 0,01
πΈ π = 10000 Γ 0,01 = 100
ππ = 10000 Γ 0,01 Γ 0,99 β 9,94
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A aproximação da distribuição de π :
Distribuição de Poisson com parΓ’metro π = ππ ou
Normal com parΓ’metros πΈ(π) = ππ e π£ππ π = ππ(1 β π),
para o caso de π suficientemente grande.
Modelos de risco Individual- A distribuição de π
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EXEMPLO 3
Para os dados do exemplo anterior calcule a probabilidade de que em 10000
apΓ³lices verificadas ocorra no mΓ‘ximo 120 sinistros. Calcule utilizando o modelo binomial
e suas aproximaçáes pelo modelo de Poisson e Normal.
π βΌ π΅ π = 1000, π = 0,01
π π β€ 120 =
π=0
120100000
π0,01π 0,99 10000βπ β π, πππππππ
π βΌ ππ ππ = 100
π π β€ 120 =
π=0
120100keβ100
k!β π, πππππππ
π βΌ π ππ = 100, ππ 1 β π = 99
π π β€ 120 = ΰΆ±0
120 ππβ100 2
198
198πππ β π, πππππππ
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πΉπππ₯π = π ππ β€ π₯π =
π=0
1
π ππ β€ π₯π , πΌπ = π
Assim:
πΉπππ₯π = π ππ β€ π₯π|πΌ = 1 π πΌπ = 1 + π ππ β€ π₯π|πΌπ = 0 π(πΌπ = 0)
πΉπππ₯π = πΉπ΅π
π₯π ππ + 1 β ππ πΌ [0,β) π₯π
em que π₯π corresponde a um possΓvel valor de ππe representa o valor da indenização paga
em caso de ocorrΓͺncia do sinistro
Modelos de risco Individual βA distribuição de πΏπ
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EXEMPLO 4
Seja um seguro que cobre morte por qualquer causa com
indenização fixa de $10000,00 e invalidez total e permanente
com indenização fixa de $5000,00. As probabilidades anuais de
sinistros em cada cobertura sΓ£o de 0,001 e 0,0002 ,
respectivamente. Determinar os modelos probabilΓsticos de
πΌπ , π΅π π ππ .
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π = π1 + π2 + β―+ ππ
X1 = I1 Ξ1
$0,00 0,9988
$5000,00 0,0002
$10000,00 0,001
E X1 = 0 Γ 0,9988 + 5000 Γ 0,0002 + 10000 Γ 0,001 = $11,00
π£ππ(π1) = 02 Γ 0,9988 + 50002 Γ 0,0002 + 100002 Γ 0,001 β 11,002 = $2104879,00
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π = π1 + π2 + β―+ ππ
π1 = πΌ1 π£1
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012$10000,00 0,001
π£ππ(π1) = $2104879,00
πΈ π1 = $11,00 E πΌ1 = 0,0012
π£ππ πΌ1 = 0,0012 Γ 0,9988 = 0,001199
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π = π1 + π2 + β―+ ππ
πΏπ = π°π π©π = πΏπ|π°π = π
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012
0,0002
0,0012= 0,167
$10000,00 0,001 0,001
0,0012= 0,833
π£ππ(π1) = $2104879,00
E(π1) = $11,00 E(πΌ1) = 0,0012
π£ππ πΌ1 = 0,001199
E π΅1 = 0,833 $10000,00 + 0,167 R$5000,00 = $9166,67
π£ππ(π΅1) = 0,833 $10000,00 2 + 0,167 $5000,00 2 β $9166,672 = $23497768
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π = π1 + π2 + β―+ ππ
πΏπ = π°π ππ
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012
0,0002
0,0012= 0,167
$10000,00 0,001 0,001
0,0012= 0,833
π£ππ π1 = $2104879,00
E π1 = $11,00 E Iπ = 0,0012
πππ πΌ1 = 0,001199
E π΅1 = $9166,67
π£ππ π΅1 = $23497768
ππ1= $ 323,85 ππΌ1 = 0,034 ππ΅1
= $ 1870,232
πΆππ1= 29,44 πΆππΌ1 = 0,9991667 πΆππ΅1
= 0,2040252
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π = π1 + π2 + β―+ ππ
π1 = πΌ1 π£1
$0,00 0,9988 0 0,9988
$5000,00 0,0002
1 0,0012
$5000,00 0,0002
0,0012= 0,167
$10000,00 0,001 $10000,00 0,001
0,0012= 0,833
FXix =
0, se x < 00,9988 , se 0 β€ x < 5000
0,999, se 5000 β€ x < 100001, se x β₯ 10000.
FBix = α
0 , se x < 50000,167, se 5000 β€ x < 10000
1, se x β₯ 10000
πΉπππ₯π = πΉπ΅π
π₯π ππ + 1 β ππ πΌ [0,β) π₯π
FXix = α
0 , π π π₯ < 50000,167, π π 5000 β€ π₯ < 10000
1, π π π₯ β₯ 100000,0012 + 0,9988I (0,β] x
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EXEMPLO 5
Um seguro agrΓcola cobre toda a perda de uma plantação em caso
de geada e seca prolongada. Considerando que esses eventos ocorrem com
1% de probabilidade, e que o valor das indenizaçáes paga pela seguradora
seja modelado pela seguinte função de densidade:
ππππ₯π = α
0,99 π π π₯π = 0
0,002πβ0,2π₯π π π π₯π > 00 caso contrΓ‘rio
Encontre a distribuição de ππ , no caso da ocorrΓͺncia do sinistro
(em milhΓ΅es de reais). Encontre a função de distribuição de ππ , obtenha
tambΓ©m o modelo probabilΓstico de πΌπ .
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SOLUΓΓO
Observe que ππ = 0 se πΌπ = 0, o que implica que π ππ = 0 =π πΌ = 0 = 0,99, e de imediato temos que πΌπ βΌ π΅πππππ’πππ 0,01 .
A função acumulada então é definida por:
πΉπππ₯π = 0,99 + ΰΆ±
0
π₯π
0,002πβ0,2π§ππ§
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SOLUΓΓO
A função acumulada então é definida por:
πΉπππ₯π = 0,99 + ΰΆ±
0
π₯π
0,002πβ0,2π§ππ§
πΉπππ₯π = 0,99 + β
0,002
0,2πβ0,2π₯π β β
0,002
0,2πβ0,2Γ0
πΉπππ₯π = 1 β 0,01πβ0,2π₯π
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SOLUΓΓO
A partir das informaçáes dadas no enunciado do exemplo temos que:
πΞππ₯π = πππ|πΌπ=1 π₯π|πΌπ = 1 =
πππ,πΌπ=1 π₯π , πΌπ = 1
π πΌπ = 1
ππ£ππ₯π =
0,002πβ0,2π₯π
0,01= 0,2πβ0,2π₯π , π₯π > 0
Assim
πΉΞππ₯π = ΰΆ±
0
π₯π
0,2πβ0,2π§ππ§ = β0,2
0,2πβ0,2π₯π β β
0,2
0,2πβ0,2Γ0
πΉΞππ₯π = 1 β πβ0,2π₯π
π΅π βΌ πΈπ₯π 0,2
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SOLUΓΓO
π πΌ Ξ
πππ(π₯π) =
0,99 , π π π₯π = 0
0,002πβ0,2π₯π , π π π₯π > 00 , π. π.
π(πΌπ = 0) = 0,99 πΞπ(π₯) = 0,2πβ0,2π₯π , π₯π > 0
π(πΌπ = 1) = 0,01
πΈ(ππ) = 0,05 πΈ(πΌπ) = 0,01 πΈ(Ξπ) = 5
π£ππ(ππ) β 0,4950 π£ππ(πΌπ) = 0,0099 π£ππ(Ξπ) = 25
πΉππ(π₯π) = (1 β πβ0,2π₯π)0,01 + 0,99πΌ(0,β](π₯π)
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Γ fΓ‘cil perceber que:
ππππ₯π = α
(1 β ππ) , π π π₯π = 0
πππΞππ₯ , π π π₯π > 0 .
Pois,
ππππ₯π = α
0,99 ; 1 β 0,01 ; π π π₯π = 0
0,002πβ0,2π₯π ; 0,01 Γ 0,2πβ0,2π₯; π π π₯π > 00 π. π.
Modelos de risco Individual β A distribuição de πΏπ
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Bibliografia
β’ FERREIRA, P. P. Modelos de precificação e ruΓna para seguros decurto prazo. Rio de Janeiro: Funenseg, 2002.
β’ CENTENO, M. L. Teoria do risco na actividade seguradora. Oeiras:Celta, 2003
β’ PACHECO, R. MatemΓ‘tica Atuarial de Seguros de Danos. EditoraAtlas, 2014
β’ RODRIGUES, J. A. GestΓ£o de risco atuarial. SΓ£o Paulo: Saraiva,2008.
β’ PIRES,M.D.;COSTA,L.H.;FERREIRA,L.;MARQUES,R. Teoria do risco atuarial: Fundamentos e conceitos. Curitiba: CRV 2020.