teoria do risco aula 5

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Teoria do Risco Aula 5 Danilo Machado Pires [email protected] https://atuaria.github.io/portalhalley/index.html

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Page 1: Teoria do Risco Aula 5

Teoria do Risco

Aula 5

Danilo Machado Pires

[email protected]

https://atuaria.github.io/portalhalley/index.html

Page 2: Teoria do Risco Aula 5

No contexto da teoria do Risco aplicada hΓ‘ questΓ΅es de importΓ’ncia central

e de grande implicΓ’ncia para um segurador, das quais destacam-se as

seguintes:

Qual é a melhor estimativa do valor total das indenizaçáes a serem pagas?

Qual o prΓͺmio que a seguradora deve emitir para cobrir os sinistros com uma dada

margem de segurança?

Modelos de Risco

Page 3: Teoria do Risco Aula 5

...A teoria do risco busca estabelecer um modelo de tarifação eficiente

para a seguradora frente aos sinistros.

Modelo de Risco Individual Anual.

Modelo de Risco Coletivo Anual

Modelos de Risco

Page 4: Teoria do Risco Aula 5

O modelo de Risco individual estabelece um modelo de probabilidade para o

valor total das indenizaçáes de uma carteira,

Baseado na soma das diferentes distribuiçáes dos sinistros individuais no intuito de

se obter uma distribuição de probabilidades para os danos agregados.

Modelo de Risco Individual

Page 5: Teoria do Risco Aula 5

Para fins de simplificação deste modelo é estabelecida as seguintes

premissas:

Em cada apólice ocorrerÑ somente um sinistro no ano de avaliação.

A ocorrΓͺncia de um sinistro nΓ£o influi em qualquer outro risco do

conjunto segurado.

Modelo de Risco Individual

Page 6: Teoria do Risco Aula 5

Este modelo considera que para 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 apΓ³lices, os sinistros

sob forma agregada serΓ£o denominados:

𝑆𝑖𝑛𝑑. = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛 =

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖

π‘Ίπ’Šπ’π’…. Valor total das indenizaçáes na carteira em 1 ano.

π‘Ώπ’Šπ’” V.a. associada ao sinistro da apΓ³lice 𝑖 em 1 ano (montante de sinistro, sinistralidade da apΓ³lice i).

𝒏 NΓΊmero fixo de apΓ³lices independentes.

Modelo de Risco Individual

Page 7: Teoria do Risco Aula 5

𝑆𝑖𝑛𝑑. = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛 =

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖

𝐸 𝑆𝑖𝑛𝑑. = 𝐸

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝐸 𝑋𝑖

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑆𝑖𝑛𝑑. = π‘£π‘Žπ‘Ÿ

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 =

𝑖=1

𝑛

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑋𝑖

Modelo de Risco Individual

Page 8: Teoria do Risco Aula 5

A relevΓ’ncia do modelo reside fundamentalmente no fato de que as apΓ³lices

tΓͺm abordagens independentes.

π‘žπ‘– A probabilidade de ocorrΓͺncia de um sinistro em um ano de vigΓͺncia

da apΓ³lice i.

𝐡𝑖 VariΓ‘vel aleatΓ³ria relativa ao valor da indenização de cada apΓ³lice 𝑖.

Modelo de Risco Individual

Page 9: Teoria do Risco Aula 5

A fim de simplificar os conceitos, 𝑋𝑖 serΓ‘ definido como:

𝑋𝑖 = 𝐼𝑖𝐡𝑖

Em que 𝐼𝑖 Γ© uma variΓ‘vel dicotΓ΄mica indicadora da ocorrΓͺncia de um

sinistro com distribuição π΅π‘’π‘Ÿπ‘›π‘œπ‘’π‘™π‘™π‘– π‘žπ‘– .

𝐼𝑖 = ቐ1, β†’ π‘žπ‘–

0,β†’ (1 βˆ’ π‘žπ‘–)

A variΓ‘vel aleatΓ³ria 𝐡𝑖 Γ© definida por (Xi Ii = 1 .

𝐸 𝐼𝑖 = π‘žπ‘– π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝐼𝑖 = π‘žπ‘– 1 βˆ’ π‘žπ‘–

Modelo de Risco Individual

Page 10: Teoria do Risco Aula 5

Um seguro de veΓ­culos cuja cobertura Γ© apenas o furto ou o microsseguro

que cobre perdas de pequenos objetos em viagens como malas, mΓ‘quinas

fotogrΓ‘ficas entre outros, sΓ£o exemplos simples para o caso em que Bi

assume apenas um ΓΊnico valor.

Dessa forma também podem-se estabelecer outras relaçáes:

𝑃 𝑋 = π‘₯ = α‰Š0, 1 βˆ’ π‘žπ΅, π‘ž

𝐸 𝑋 = π΅π‘ž π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑋 = 𝐡2π‘ž(1 βˆ’ π‘ž)

𝑃 𝑋 ≀ π‘₯ = ࡞

0 (π‘₯ < 0)

1 βˆ’ π‘ž 0 ≀ π‘₯ < Ξ’1 (π‘₯ β‰₯ Ξ’)

Modelo de Risco Individual

Page 11: Teoria do Risco Aula 5

EXEMPLO 1

Calcule o valor do PrΓͺmio de Risco atravΓ©s do princΓ­pio do desvio

padrΓ£o de um seguro que paga $30000,00 caso o veΓ­culo seja furtado.

Considere a probabilidade de furto do veΓ­culo igual a 0,007 e o 𝛽 = 0,7.

Nesse caso, o prΓͺmio Γ© calculado por meio de Π𝑋 = 𝐸 𝑋 + πœŽπ‘‹π›½,

Page 12: Teoria do Risco Aula 5

Solução

𝐸 𝑋 = 30000 0,007 = $ 210,00

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑋 = 300002 0,007 0,993 = $ 6255900,00

πœŽπ‘‹ = π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑋 = $2501,18

β€’ Logo

Π𝑋 = 210 + 2501,18 Γ— 0,7 = $1960,83

Page 13: Teoria do Risco Aula 5

Pode-se estabelecer 𝑆𝑖𝑛𝑑 como:

𝑆𝑖𝑛𝑑 =

𝑖=1

𝑛

𝐼𝑖𝐡𝑖

Sendo 𝑃 𝐼𝑖 = 1 = π‘žπ‘– e 𝑃 𝐼𝑖 = 0 = 1 βˆ’ π‘žπ‘– .

Logo:

𝐸 𝑆𝑖𝑛𝑑. = 𝐸

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝐸 𝐼𝑖𝐡𝑖

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑆𝑖𝑛𝑑. = π‘£π‘Žπ‘Ÿ

𝑖=1

𝑛

𝑋𝑖 =

𝑖=1

𝑛

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝐼𝑖𝐡𝑖

Modelo de Risco Individual

Page 14: Teoria do Risco Aula 5

No modelo de risco individual, 𝑁 serΓ‘ definido como:

𝑁 =

𝑖=1

𝑛

𝐼𝑖

Logo :𝑁~π΅π‘–π‘›π‘œπ‘šπ‘–π‘Žπ‘™(𝑛, π‘ž)

𝐸 𝑁 = π‘›π‘ž

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑁 = π‘›π‘ž 1 βˆ’ π‘ž

Modelos de risco Individual- A distribuição de 𝑁

Page 15: Teoria do Risco Aula 5

EXEMPLO 2

Seja uma carteira de seguros com 10000 apΓ³lices, onde cada

apΓ³lice possui uma probabilidade nΓ£o nula de sinistros de 0,01.

Calcular o nΓΊmero esperado de sinistros em 1 ano e o

respectivo desvio padrΓ£o.

Page 16: Teoria do Risco Aula 5

SOLUÇÃO

𝑁~π΅π‘–π‘›π‘œπ‘šπ‘–π‘Žπ‘™ 10000; 0,01

𝐸 𝑁 = 10000 Γ— 0,01 = 100

πœŽπ‘ = 10000 Γ— 0,01 Γ— 0,99 β‰ˆ 9,94

Page 17: Teoria do Risco Aula 5

A aproximação da distribuição de 𝑁 :

Distribuição de Poisson com parΓ’metro πœ† = π‘›π‘ž ou

Normal com parΓ’metros 𝐸(𝑁) = π‘›π‘ž e π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑁 = π‘›π‘ž(1 βˆ’ π‘ž),

para o caso de 𝑛 suficientemente grande.

Modelos de risco Individual- A distribuição de 𝑁

Page 18: Teoria do Risco Aula 5

EXEMPLO 3

Para os dados do exemplo anterior calcule a probabilidade de que em 10000

apΓ³lices verificadas ocorra no mΓ‘ximo 120 sinistros. Calcule utilizando o modelo binomial

e suas aproximaçáes pelo modelo de Poisson e Normal.

𝑁 ∼ 𝐡 𝑛 = 1000, π‘ž = 0,01

𝑃 𝑁 ≀ 120 =

π‘˜=0

120100000

π‘˜0,01π‘˜ 0,99 10000βˆ’π‘˜ β‰ˆ 𝟎, πŸ—πŸ•πŸ•πŸ–πŸ–πŸ“πŸ“

𝑁 ∼ π‘ƒπ‘œ π‘›π‘ž = 100

𝑃 𝑁 ≀ 120 =

π‘˜=0

120100keβˆ’100

k!β‰ˆ 𝟎, πŸ—πŸ•πŸ•πŸ‘πŸ‘πŸŽπŸ•

𝑁 ∼ 𝑁 π‘›π‘ž = 100, π‘›π‘ž 1 βˆ’ π‘ž = 99

𝑃 𝑁 ≀ 120 = ΰΆ±0

120 π‘’π‘›βˆ’100 2

198

198πœ‹π‘‘π‘› β‰ˆ 𝟎, πŸ—πŸ•πŸ•πŸ•πŸ–πŸ–πŸ’

Page 19: Teoria do Risco Aula 5

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 𝑃 𝑋𝑖 ≀ π‘₯𝑖 =

π‘˜=0

1

𝑃 𝑋𝑖 ≀ π‘₯𝑖 , 𝐼𝑖 = π‘˜

Assim:

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 𝑃 𝑋𝑖 ≀ π‘₯𝑖|𝐼 = 1 𝑃 𝐼𝑖 = 1 + 𝑃 𝑋𝑖 ≀ π‘₯𝑖|𝐼𝑖 = 0 𝑃(𝐼𝑖 = 0)

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 𝐹𝐡𝑖

π‘₯𝑖 π‘žπ‘– + 1 βˆ’ π‘žπ‘– 𝐼 [0,∞) π‘₯𝑖

em que π‘₯𝑖 corresponde a um possΓ­vel valor de 𝑋𝑖e representa o valor da indenização paga

em caso de ocorrΓͺncia do sinistro

Modelos de risco Individual –A distribuição de π‘Ώπ’Š

Page 20: Teoria do Risco Aula 5

EXEMPLO 4

Seja um seguro que cobre morte por qualquer causa com

indenização fixa de $10000,00 e invalidez total e permanente

com indenização fixa de $5000,00. As probabilidades anuais de

sinistros em cada cobertura sΓ£o de 0,001 e 0,0002 ,

respectivamente. Determinar os modelos probabilΓ­sticos de

𝐼𝑖 , 𝐡𝑖 𝑒 𝑋𝑖 .

Page 21: Teoria do Risco Aula 5

𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛

X1 = I1 Ξ’1

$0,00 0,9988

$5000,00 0,0002

$10000,00 0,001

E X1 = 0 Γ— 0,9988 + 5000 Γ— 0,0002 + 10000 Γ— 0,001 = $11,00

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋1) = 02 Γ— 0,9988 + 50002 Γ— 0,0002 + 100002 Γ— 0,001 βˆ’ 11,002 = $2104879,00

Page 22: Teoria do Risco Aula 5

𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛

𝑋1 = 𝐼1 𝛣1

$0,00 0,9988 0 0,9988

$5000,00 0,0002

1 0,0012$10000,00 0,001

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋1) = $2104879,00

𝐸 𝑋1 = $11,00 E 𝐼1 = 0,0012

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝐼1 = 0,0012 Γ— 0,9988 = 0,001199

Page 23: Teoria do Risco Aula 5

𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛

π‘ΏπŸ = π‘°πŸ 𝚩𝟏 = π‘ΏπŸ|π‘°πŸ = 𝟏

$0,00 0,9988 0 0,9988

$5000,00 0,0002

1 0,0012

0,0002

0,0012= 0,167

$10000,00 0,001 0,001

0,0012= 0,833

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋1) = $2104879,00

E(𝑋1) = $11,00 E(𝐼1) = 0,0012

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝐼1 = 0,001199

E 𝐡1 = 0,833 $10000,00 + 0,167 R$5000,00 = $9166,67

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝐡1) = 0,833 $10000,00 2 + 0,167 $5000,00 2 βˆ’ $9166,672 = $23497768

Page 24: Teoria do Risco Aula 5

𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛

π‘ΏπŸ = π‘°πŸ 𝜝𝟏

$0,00 0,9988 0 0,9988

$5000,00 0,0002

1 0,0012

0,0002

0,0012= 0,167

$10000,00 0,001 0,001

0,0012= 0,833

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝑋1 = $2104879,00

E 𝑋1 = $11,00 E I𝟏 = 0,0012

π’—π‘Žπ‘Ÿ 𝐼1 = 0,001199

E 𝐡1 = $9166,67

π‘£π‘Žπ‘Ÿ 𝐡1 = $23497768

πœŽπ‘‹1= $ 323,85 𝜎𝐼1 = 0,034 𝜎𝐡1

= $ 1870,232

𝐢𝑉𝑋1= 29,44 𝐢𝑉𝐼1 = 0,9991667 𝐢𝑉𝐡1

= 0,2040252

Page 25: Teoria do Risco Aula 5

𝑆 = 𝑋1 + 𝑋2 + β‹―+ 𝑋𝑛

𝑋1 = 𝐼1 𝛣1

$0,00 0,9988 0 0,9988

$5000,00 0,0002

1 0,0012

$5000,00 0,0002

0,0012= 0,167

$10000,00 0,001 $10000,00 0,001

0,0012= 0,833

FXix =

0, se x < 00,9988 , se 0 ≀ x < 5000

0,999, se 5000 ≀ x < 100001, se x β‰₯ 10000.

FBix = ቐ

0 , se x < 50000,167, se 5000 ≀ x < 10000

1, se x β‰₯ 10000

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 𝐹𝐡𝑖

π‘₯𝑖 π‘žπ‘– + 1 βˆ’ π‘žπ‘– 𝐼 [0,∞) π‘₯𝑖

FXix = ቐ

0 , 𝑠𝑒 π‘₯ < 50000,167, 𝑠𝑒 5000 ≀ π‘₯ < 10000

1, 𝑠𝑒 π‘₯ β‰₯ 100000,0012 + 0,9988I (0,∞] x

Page 26: Teoria do Risco Aula 5

EXEMPLO 5

Um seguro agrícola cobre toda a perda de uma plantação em caso

de geada e seca prolongada. Considerando que esses eventos ocorrem com

1% de probabilidade, e que o valor das indenizaçáes paga pela seguradora

seja modelado pela seguinte função de densidade:

𝑓𝑋𝑖π‘₯𝑖 = ቐ

0,99 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 = 0

0,002π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 > 00 caso contrΓ‘rio

Encontre a distribuição de 𝑋𝑖 , no caso da ocorrΓͺncia do sinistro

(em milhΓ΅es de reais). Encontre a função de distribuição de 𝑋𝑖 , obtenha

tambΓ©m o modelo probabilΓ­stico de 𝐼𝑖 .

Page 27: Teoria do Risco Aula 5

SOLUÇÃO

Observe que 𝑋𝑖 = 0 se 𝐼𝑖 = 0, o que implica que 𝑃 𝑋𝑖 = 0 =𝑃 𝐼 = 0 = 0,99, e de imediato temos que 𝐼𝑖 ∼ π΅π‘’π‘Ÿπ‘›π‘œπ‘’π‘™π‘™π‘– 0,01 .

A função acumulada então é definida por:

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 0,99 + ΰΆ±

0

π‘₯𝑖

0,002π‘’βˆ’0,2𝑧𝑑𝑧

Page 28: Teoria do Risco Aula 5

SOLUÇÃO

A função acumulada então é definida por:

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 0,99 + ΰΆ±

0

π‘₯𝑖

0,002π‘’βˆ’0,2𝑧𝑑𝑧

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 0,99 + βˆ’

0,002

0,2π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 βˆ’ βˆ’

0,002

0,2π‘’βˆ’0,2Γ—0

𝐹𝑋𝑖π‘₯𝑖 = 1 βˆ’ 0,01π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖

Page 29: Teoria do Risco Aula 5

SOLUÇÃO

A partir das informaçáes dadas no enunciado do exemplo temos que:

𝑓Β𝑖π‘₯𝑖 = 𝑓𝑋𝑖|𝐼𝑖=1 π‘₯𝑖|𝐼𝑖 = 1 =

𝑓𝑋𝑖,𝐼𝑖=1 π‘₯𝑖 , 𝐼𝑖 = 1

𝑃 𝐼𝑖 = 1

𝑓𝛣𝑖π‘₯𝑖 =

0,002π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖

0,01= 0,2π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 , π‘₯𝑖 > 0

Assim

𝐹Β𝑖π‘₯𝑖 = ΰΆ±

0

π‘₯𝑖

0,2π‘’βˆ’0,2𝑧𝑑𝑧 = βˆ’0,2

0,2π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 βˆ’ βˆ’

0,2

0,2π‘’βˆ’0,2Γ—0

𝐹Β𝑖π‘₯𝑖 = 1 βˆ’ π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖

𝐡𝑖 ∼ 𝐸π‘₯𝑝 0,2

Page 30: Teoria do Risco Aula 5

SOLUÇÃO

𝑋 𝐼 Ξ’

𝑓𝑋𝑖(π‘₯𝑖) =

0,99 , 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 = 0

0,002π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 , 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 > 00 , 𝑐. 𝑐.

𝑃(𝐼𝑖 = 0) = 0,99 𝑓Β𝑖(π‘₯) = 0,2π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 , π‘₯𝑖 > 0

𝑃(𝐼𝑖 = 1) = 0,01

𝐸(𝑋𝑖) = 0,05 𝐸(𝐼𝑖) = 0,01 𝐸(Β𝑖) = 5

π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝑋𝑖) β‰ˆ 0,4950 π‘£π‘Žπ‘Ÿ(𝐼𝑖) = 0,0099 π‘£π‘Žπ‘Ÿ(Β𝑖) = 25

𝐹𝑋𝑖(π‘₯𝑖) = (1 βˆ’ π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖)0,01 + 0,99𝐼(0,∞](π‘₯𝑖)

Page 31: Teoria do Risco Aula 5

Γ‰ fΓ‘cil perceber que:

𝑓𝑋𝑖π‘₯𝑖 = ቐ

(1 βˆ’ π‘žπ‘–) , 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 = 0

π‘žπ‘–π‘“Ξ’π‘–π‘₯ , 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 > 0 .

Pois,

𝑓𝑋𝑖π‘₯𝑖 = ቐ

0,99 ; 1 βˆ’ 0,01 ; 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 = 0

0,002π‘’βˆ’0,2π‘₯𝑖 ; 0,01 Γ— 0,2π‘’βˆ’0,2π‘₯; 𝑠𝑒 π‘₯𝑖 > 00 𝑐. 𝑐.

Modelos de risco Individual – A distribuição de π‘Ώπ’Š

Page 32: Teoria do Risco Aula 5

Bibliografia

β€’ FERREIRA, P. P. Modelos de precificação e ruΓ­na para seguros decurto prazo. Rio de Janeiro: Funenseg, 2002.

β€’ CENTENO, M. L. Teoria do risco na actividade seguradora. Oeiras:Celta, 2003

β€’ PACHECO, R. MatemΓ‘tica Atuarial de Seguros de Danos. EditoraAtlas, 2014

β€’ RODRIGUES, J. A. GestΓ£o de risco atuarial. SΓ£o Paulo: Saraiva,2008.

β€’ PIRES,M.D.;COSTA,L.H.;FERREIRA,L.;MARQUES,R. Teoria do risco atuarial: Fundamentos e conceitos. Curitiba: CRV 2020.