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Teoria dos GrafosGrafos individuais

ContedoPginasIntroduo - Teoria dos Grafos 1

Sete pontes de Knigsberg 1Teoria dos grafos 2

Conceitos Bsicos e Definies 8Grafo 8Vrtice 9Aresta 11Aresta mltipla 12Ciclos em um grafo 12Clique 12O grau de um grafo 13Grafo bipartido 15Grafo bipartido completo 17Grafo caminho 19Grafo completo 20Grafo cbico 20Grafo Estrela 23Grafo nulo 24Grafo orientado 25Grafo simples 28Grafo valorado 28Homomorfismo de grafos 29Isomorfismo de grafos 30Lao 32Multigrafo 33Pseudografo 34Quiver 36Vrtice de corte (teoria dos grafos) 37Vizinhana 40

rvores 42rvores 42

rvore de extenso 43rvore de extenso mnima 44

Representao de Grafos 46Matriz de adjacncia 46Matriz de incidncia 48Lista de adjacncia 49

Automorfismo de grafos 52Automorfismo de grafos 52Grafo regular 55Grafo fortemente regular 57Grafo distncia-regular 60Grafo distncia-transitivo 63Grafo simtrico 65Grafo meio-transitivo 68Grafo semissimtrico 69Grafo aresta-transitivo 70Grafo vrtice-transitivo 71Grafo de Cayley 73Grafo antissimtrico 75Grafo assimtrico 77

Algoritmos em Grafos 79Busca em largura 79Busca em profundidade 86Caminho 88Caminho euleriano 89Caminho hamiltoniano 90Ordenao topolgica 92Algoritmo de Bellman-Ford 94Algoritmo A* 97Algoritmo de Floyd-Warshall 98Algoritmo de Johnson 100

Algoritmos para obter a rvore de extenso mnima 102Algoritmo de Kruskal 102Algoritmo de Prim 103Algoritmo de Dijkstra 109

Algoritmo de Boruvka 113

Grafos individuais 116Grafo de Biggs-Smith 116Grafo de Brouwer-Haemers 118Grafo de Desargues 119Grafo de Folkman 121Grafo de Foster 123Grafo de Frucht 125Grafo de Gray 126Grafo de Heawood 128Grafo de Higman-Sims 130Grafo de Hoffman-Singleton 132Grafo de Holt 133Grafo de Ljubljana 135Grafo de Nauru 137Grafo de Pappus 140Grafo de Petersen 142Grafo de Shrikhande 144Grafos de Chang 146

RefernciasFontes e Editores da Pgina 147Fontes, Licenas e Editores da Imagem 149

Licenas das pginasLicena 153

1Introduo - Teoria dos Grafos

Sete pontes de Knigsberg

Esquema de pontes.

Grafo estilizado das pontes.

Sete pontes de Knigsberg um famosoproblema histrico da matemtica resolvidopor Leonhard Euler em 1736, cuja soluooriginou a teoria dos grafos.[1]

O problema baseado na cidade deKnigsberg (territrio da Prssia at 1945,atual Kaliningrado), que cortada pelo RioPreglia, onde h duas grandes ilhas que,juntas, formam um complexo que na pocacontinha sete pontes, conforme mostra afigura ao lado. Das sete pontes originais,uma foi demolida e reconstruda em 1935,duas foram destrudas durante a SegundaGuerra Mundial e outras duas foramdemolidas para dar lugar a uma nica viaexpressa. Atualmente apenas duas pontesso da poca de Leonard Euler.

Discutia-se nas ruas da cidade apossibilidade de atravessar todas as pontessem repetir nenhuma. Havia-se tornado umalenda popular a possibilidade da faanhaquando Euler, em 1736, provou que noexistia caminho que possibilitasse taisrestries.Euler usou um raciocnio muito simples.Transformou os caminhos em retas e suas interseces em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo dahistria. Ento percebeu que s seria possvel atravessar o caminho inteiro passando uma nica vez em cada ponte sehouvesse exatamente zero ou dois pontos de onde sasse um nmero mpar de caminhos. A razo de tal coisa quede cada ponto deve haver um nmero par de caminhos, pois ser preciso um caminho para "entrar" e outro para"sair". Os dois pontos com caminhos mpares referem-se ao incio e ao final do percurso, pois estes no precisam deum para entrar e um para sair, respectivamente. Se no houver pontos com nmero mpar de caminhos, pode-se (edeve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmo ponto, podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso no possvelquando temos dois pontos com nmeros mpares de caminhos, sendo obrigatoriamente um o incio e outro o fim.

Duas das sete pontes originais da cidade foram destrudas durante do bombardeamento de Knigsberg em agosto de1944.[2]

[1] Leonhard Euler: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (http:/ / www. math. dartmouth. edu/ ~euler/ docs/ originals/ E053. pdf)

Teoria dos grafos 2

Teoria dos grafos

Grafo com 4 vrtices e 6 arestas. um grafocompleto, conexo e planar.

A teoria dos grafos um ramo da matemtica que estuda as relaesentre os objetos de um determinado conjunto. Para tal so empregadasestruturas chamadas de grafos, G(V,A), onde V um conjunto novazio de objetos denominados vrtices e A um conjunto de pares noordenados de V, chamado arestas.

Dependendo da aplicao, arestas podem ou no ter direo, pode serpermitido ou no arestas ligarem um vrtice a ele prprio e vrticese/ou arestas podem ter um peso (numrico) associado. Se as arestastm uma direo associada (indicada por uma seta na representaogrfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou digrafo. Umgrafo com um nico vrtice e sem arestas conhecido como o grafotrivial.

Estruturas que podem ser representadas por grafos esto em toda partee muitos problemas de interesse prtico podem ser formulados comoquestes sobre certos grafos. Por exemplo, a estrutura de links da Wikipedia pode ser representada por um dgrafo:os vrtices so os artigos da Wikipedia e existe uma aresta do artigo A para o artigo B se e somente se A contm umlink para B. Dgrafos so tambm usados para representar mquinas de estado finito. O desenvolvimento dealgoritmos para manipular grafos um importante tema da cincia da computao.

HistricoO artigo de Leonhard Euler, publicado em 1736, sobre o problema das sete pontes de Knigsberg, considerado oprimeiro resultado da teoria dos grafos.[] tambm considerado um dos primeiros resultados topolgicos nageometria; isto , no dependente de quaisquer medidas. Isso ilustra a profunda conexo entre a teoria dos grafos etopologia.

Definies de grafos e digrafosNa literatura, as definies bsicas da teoria dos grafos variam bastante. Aqui esto as convenes usadas nestaenciclopdia.Um grafo direcionado (tambm chamado digrafo ou quiver) consiste de um conjunto V de vrtices, um conjunto E de arestas e mapas s, t : E V, onde s(e) a fonte e t(e) o alvo da aresta direcionada e.Um grafo no direcionado (ou simplesmente grafo) dado por um conjunto V de vrtices, um conjunto E de arestas e uma funo w : E P(V) que associa a cada aresta um subconjunto de dois ou de um elemento de V, interpretado

como os pontos terminais da aresta.Em um grafo ou digrafo com pesos, uma funo adicional E R associa um valor a cada aresta, o que pode serconsiderado seu "custo"; tais grafos surgem em problemas de rota tima tais como o problema do caixeiro viajante.

Teoria dos grafos 3

Representao grfica (layout do grafo)Os grafos so geralmente representados graficamente da seguinte maneira: desenhado um crculo para cada vrtice,e para cada aresta desenhado um arco conectando suas extremidades. Se o grafo for direcionado, seu sentido indicado na aresta por uma seta.Note que essa representao grfica (o layout) no deve ser confundida com o grafo em si (a estrutura abstrata,no-grfica). Vrios diferentes layouts podem corresponder ao mesmo grafo.[1] O que importa quais vrtices estoconectados entre si por quantas arestas.

Glossrio dos conceitos bsicos de teoria dos grafos

Um grafo com 6 vrtices e 7 arestas

O grafo de exemplo exibido direita um grafo simples com oconjunto de vrtices V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e um conjunto de arestas E ={ {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6} } (com o mapeamentow sendo a identidade).

Uma aresta conecta dois vrtices; esses dois vrtices so ditos comoincidentes aresta. A valncia (ou grau) de um vrtice o nmero dearestas incidentes a ele, com loops contados duas vezes. No grafo deexemplo os vrtices 1 e 3 possuem uma valncia de 2, os vrtices 2, 4 e5 tm a valncia de 3 e o vrtice 6 tem a valncia de 1. Se E finito,ento a valncia total dos vrtices o dobro do nmero de arestas. Emum dgrafo, distingue-se o grau de sada (o nmero de arestas saindo de um vrtice) e o grau de entrada (o nmerode arestas entrando em um vrtice). O grau de um vrtice igual soma dos graus de sada e de entrada.

Dois vrtices so considerados adjacentes se uma aresta existe entre eles. No grafo acima, os vrtices 1 e 2 soadjacentes, mas os vrtices 2 e 4 no so. O conjunto de vizinhos de um vrtice consiste de todos os vrticesadjacentes a ele. No grafo-exemplo, o vrtice 1 possui 2 vizinhos: vrtice 2 e vrtice 5. Para um grafo simples, onmero de vizinhos de um vrtice igual sua valncia.Na computao, um grafo finito direcionado ou no-direcionado (com, digamos, n vrtices) geralmenterepresentado por sua matriz de adjacncia: uma matriz n-por-n cujo valor na linha i e coluna j fornece o nmero dearestas do i-simo ao j-simo vrtices.Se for possvel estabelecer um caminho de qualquer vrtice para qualquer outro vrtice de um grafo, diz-se que ografo conexo. Se for sempre possvel estabelecer um caminho de qualquer vrtice para qualquer outro vrticemesmo depois de remover k-1 vrtices, ento diz-se que o grafo est k-conexo. Note que um grafo est k-conexo se,e somente se, contm k caminhos independentes entre qualquer par de vrtices. O grafo de exemplo acima conexo(e portanto 1-conexo), mas no 2-conexo.Em um grafo genrico G, o corte associado a um conjunto X de vrtices o conjunto de todas as arestas que tmuma ponta em X e outra em V(G) - X, onde V(G) o conjunto de todos os vrtices pertencentes ao grafo G. Grafo simples um grafo no direcionado, sem laos e que existe no mximo uma aresta entre quaisquer dois

vrtices (sem arestas paralelas). No grafo de exemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) um caminho com comprimento 5, e (5, 2,1) um caminho simples de comprimento 2.

Grafo completo o grafo simples em que, para cada vrtice do grafo, existe uma aresta conectando este vrtice acada um dos demais. Ou seja, todos os vrtices do grafo possuem mesmo grau. O grafo completo de n vrtices frequentemente denotado por Kn. Ele tem n(n-1)/2 arestas (correspondendo a todas as possveis escolhas de paresde vrtices).

Grafo nulo o grafo cujo conjunto de vrtices vazio. Grafo vazio o grafo cujo conjunto de arestas vazio.

Teoria dos grafos 4

Grafo trivial o grafo que possui apenas um vertice e nenhuma aresta. Grafo regular um grafo em que todos os vrtices tem o mesmo grau. Multigrafo um grafo que permite mltiplas arestas ligando os mesmos vrtices (arestas paralelas). Lao (loop) num grafo ou num digrafo uma aresta e em E cujas terminaes esto no mesmo vrtice. Pseudografo um grafo que contm arestas paralelas e laos. Ciclo (ou circuito) um caminho que comea e acaba com o mesmo vrtice. Ciclos de comprimento 1 so laos.

No grafo de exemplo, (1, 2, 3, 4, 5, 2, 1) um ciclo de comprimento 6. Um ciclo simples um ciclo que tem umcomprimento pelo menos de 3 e no qual o vrtice inicial s aparece mais uma vez, como vrtice final, e os outrosvrtices aparecem s uma vez. No grafo acima, (1, 5, 2, 1) um ciclo simples. Um grafo chama-se acclico se nocontm ciclos simples.

Ponto de articulao ou Vrtice de corte um vrtice cuja remoo desliga um grafo. Uma ponte uma arestacuja remoo desliga um grafo. Um componente biconectado um conjunto mximo de arestas tal que qualquerpar de arestas do conjunto fazem parte de um ciclo simples comum. O contorno de um grafo o comprimento dociclo simples mais curto no grafo. O contorno de um grafo acclico , por definio, infinito.

rvore um grafo simples acclico e conexo. s vezes, um vrtice da rvore distinto e chamado de raiz.rvores so comumente usadas como estruturas de dados em informtica (veja estrutura de dados em rvore).

Floresta um conjunto de rvores; equivalentemente a uma floresta, em algum grafo acclico. Subgrafo de um grafo G um grafo cujo conjunto dos vrtices um subconjunto do conjunto de vrtices G, cujo

conjunto de arestas um subconjunto do conjunto de arestas de G, e cuja funo w uma restrio da funo deG

Subgrafo gerador aquele obtido pela remoo de uma ou mais arestas de um outro grafo, dizemos ento queeste novo grafo obtido gerador do primeiro,

Subgrafo induzido obtido pela remoo de vrtices e consequente das arestas relacionadas com ele de um outrografo, dizemos que este novo grafo um grafo induzido do original.

Grafo parcial de um grafo G um subgrafo com o mesmo conjunto de vrtices que G. Uma rvore parcial umgrafo parcial que rvore. Todo grafo tem pelo menos uma rvore parcial.

Clique em um grafo um subgrafo que tambm um grafo completo. No grafo do exemplo acima, os vrtices 1,2 e 5 formam um clique.

Conjunto independente em um grafo um conjunto de vrtices no adjacentes entre si. No exemplo acima, osvrtices 1, 3 e 6 formam um conjunto independente e 3, 5 e 6 so outro conjunto independente.

Grafo planar aquele que pode ser representado em um plano sem qualquer interseco entre arestas. O grafo doexemplo planar; o grafo completo de n vertices, para n> 4, no planar.

Caminho uma sequncia de vrtices tal que de cada um dos vrtices existe uma aresta para o vrtice seguinte.Um caminho chamado simples se nenhum dos vrtices no caminho se repete. O comprimento do caminho onmero de arestas que o caminho usa, contando-se arestas mltiplas mltiplas vezes. O custo de um caminhonum grafo balanceado a soma dos custos das arestas atravessadas. Dois caminhos so independentes se notiverem nenhum vrtice em comum, excepto o primeiro e o ltimo.

Caminho euleriano em um grafo o caminho que usa cada aresta exatamente uma vez. Se tal caminho existir, ografo chamado traversvel. Um ciclo euleriano um ciclo que usa cada aresta exatamente uma vez.

Caminho hamiltoniano em um grafo o caminho que visita cada vertice exatamente uma vez. Um ciclohamiltoniano um ciclo que visita cada vrtice uma s vez. O grafo do exemplo contm um caminhohamiltoniano. Enquanto determinar se um dado grafo contm um caminho ou ciclo euleriano trivial, o mesmoproblema para caminhos e ciclos hamiltonianos extremamente rduo.

Teoria dos grafos 5

Lema do aperto de mos diz que se os convidados de uma festa apertarem as mos quando se encontrarem pelaprimeira vez, o nmero de convidados que apertam a mo um nmero mpar de vezes par. Tambm em grafosno direcionados a soma dos graus de todos os vrtices igual ao dobro do nmero de arestas.

Grafo bipartido o grafo cujos vrtices podem ser divididos em dois conjuntos, nos quais no h arestas entrevrtices de um mesmo conjunto. Para um grafo ser bipartido ele no pode conter circuitos de comprimento mpar. 1. Se um grafo G bipartido, todo o circuito de G possui comprimento par.

Sejam V1 e V2 os dois conjuntos em que, de acordo com a definio de grafo bipartido, se particiona V(G).Toda a aresta de G conecta um vrtice em V1 com outro em V2. Assim sendo, se X for um vrtice de V1,para voltar a esse vrtice ter de se ir a V2 e voltar a V1 um nmero indeterminado de vezes, e de cadavez sero percorridas duas arestas, uma de um vrtice em V1 para um vrtice em V2 e outra de um vrticeem V2 para um vrtice em V1. Logo, o nmero de arestas a percorrer ser par, ou seja, o comprimento docircuito par.

2. Se todo o circuito de um grafo G possui comprimento par, ento o grafo bipartido. Seja G um grafo em que todo o circuito tem comprimento par, e seja X um vrtice de G. Denotemos por V1

o conjunto formado por X e por todos os vrtices cuja distncia a X par. Seja V2 = V(G)\V1 (isto , oconjunto formado pelos vrtices de G que no pertencem a V1). Pretende mostrar-se que no existequalquer aresta que conecte vrtices de V1 ou vrtices de V2. Suponhamos a existncia de tal aresta, isto ,suponhamos a existncia de dois vrtices em V1 (ou V2), digamos Xi e Xj, conectados por uma aresta. Oraexiste j um caminho de comprimento par entre Xi e Xj, j que existem caminhos, ambos de comprimentopar (ou mpar, no caso de Xi e Xj pertencerem a V2), entre Xi e X e entre X e Xj. Se a esse caminhojuntarmos a aresta {Xi;Xj} obtemos um circuito de comprimento mpar o que contraria a hiptese de apenasexistirem circuitos de comprimento par.

Grafo bipartido completo o grafo bipartido, cujo qualquer vrtice do primeiro conjunto adjacente a todosvrtices do segundo conjunto

Grafo k-partido ou grafo de k-colorao um grafo cujos vrtices podem ser particionados em k conjuntosdisjuntos, nos quais no h arestas entre vrtices de um mesmo conjunto. Um grafo 2-partido o mesmo quegrafo bipartido.

Emparelhamento de grafos consiste em partir o grafo em conjuntos de vrtices a qual no compartilhamnenhuma aresta entre eles.

Teorema das quatro cores baseado no problema das cores necessrias para se colorir um mapa sem que ospases vizinhos compartilhem da mesma cor. Transformando o mapa em um grafo pode-se provar que pode-serepresentar qualquer mapa (um grafo planar) com apenas 4 cores (4 parties).

Percurso rvores: Percorrimento sistemtico em todos os vrtices e arestas do grafo. Grafo pode ser dirigido ou no. O percurso em rvores o processo de visitar cada n da rvore exatamente uma vez. O percurso pode ser interpretado como colocar todos os ns em uma linha, no existe uma ordem para ser

seguida. Existem n percursos diferentes, quase todos caticos. Os bsicos so percurso em profundidade e percurso em largura Fila: busca em largura Pilha: busca em profundidade

Busca em extenso ou largura: (Breadth-First Search ou BFS).A propriedade especial est no fato de a rvore no possuir ciclos: dados dois vrtices quaisquer, existe exatamente 1caminho entre eles. Um percurso em extenso visitar cada n comeando do menor nvel e move-se para os nveismais altos nvel aps nvel, visitando cada n da esquerda para a direita. Sua implementao direta quando uma fila

Teoria dos grafos 6

utilizada. Depois que um n visitado, seus filhos, se houver algum, so colocados no final da fila e o n no incioda fila visitado. Assim, os ns do nvel n+1 sero visitados somente depois de ter visitados todos os ns do nvel n.Computa a menor distncia para todos os vrtices alcanaveis. O sub-grafo contendo os caminhos percorridos chamado de breadth-first tree. Busca em profundidade (Depth-first search ou DFS).Um algoritmo de busca em profundidade realiza uma busca no-informada que progride atravs da expanso doprimeiro n filho da rvore de busca, e se aprofunda cada vez mais, at que o alvo da busca seja encontrado ou atque ele se depare com um n que no possui filhos (n folha). Ento a busca retrocede (backtrack) e comea noprximo n. Numa implementao no-recursiva, todos os ns expandidos recentemente so adicionados a umapilha, para realizar a explorao. A complexidade espacial de um algoritmo de busca em profundidade muitomenor que a de um algoritmo de busca em largura. A complexidade temporal de ambos algoritmos so proporcionaisao nmero de vrtices somados ao nmero de arestas dos grafos aos quais eles atravessam. Quando ocorrem buscasem grafos muito grandes, que no podem ser armazenadas completamente na memria, a busca em profundidade notermina, em casos onde o comprimento de um caminho numa rvore de busca infinito. O simples artifcio de lembrar quais ns j foram visitados no funciona, porque pode no haver memria suficiente. Isso pode serresolvido estabelecendo-se um limite de aumento na profundidade da rvore.

Problemas que envolvem grafos Colorao de grafos: o Teorema das quatro cores Conjuntos de Grafos

Conjunto independente Clique

Problemas de roteamento: Sete pontes de Knigsberg rvore de extenso mnima Problema do caminho mnimo Problema da inspeo de rotas (tambm conhecido como o "Problema do carteiro chins") Problema do caixeiro viajante

Fluxos de rede: Teorema do mnimo corte-mximo fluxo

conjectura da reconstruo Problemas de Isomorfismo (casamento de grafos)

Rotulao cannica? Isomorfismo de subgrafos e monomorfismos. Mximo subgrafo comum

Teoria dos grafos 7

Algoritmos importantes algoritmo de Dijkstra algoritmo de Kruskal algoritmo do vizinho mais prximo algoritmo de Prim.

GeneralizaesNum hipergrafo uma aresta pode conectar mais que dois vrtices.Um grafo no-direcionado pode ser visto como um complexo simplicial consistindo de smplices de uma dimenso(as arestas) e smplices de dimenso zero (os vrtices). Ou seja, complexos so generalizaes de grafos quepermitem smplices de maiores dimenses.[1] Ver por exemplo, (http:/ / www. aisee. com/ gallery/ graph23. htm)

Ligaes externas

Em ingls Graph theory tutorial (http:/ / www. utm. edu/ departments/ math/ graph/ ) Graph theory algorithm presentation (http:/ / www. cs. wpi. edu/ ~dobrush/ cs507/ presentation/ 2001/ Project10/

ppframe. htm) Some graph theory algorithm animations (http:/ / students. ceid. upatras. gr/ ~papagel/ project/ contents. htm)

Step through the algorithm to understand it. The compendium of algorithm visualisation sites (http:/ / www2. hig. no/ ~algmet/ animate. html) A search site for finding algorithm implementations, explanations and animations (http:/ / www. spectster. com/ ) Graph Theory Software (http:/ / graphtheorysoftware. com/ )

Em portugus Material sobre grafos da USP So Carlos (http:/ / www. icmc. sc. usp. br/ manuals/ sce183/ grafos. html) Uma Introduo Sucinta Teoria dos Grafos (http:/ / www. ime. usp. br/ ~pf/ teoriadosgrafos/ texto/

TeoriaDosGrafos. pdf) Material com "Atlas de Grafos" da FINTEC (http:/ / www. fintec. edu. br/ peter/ relat04/ atlas1/ atlas_index. htm) Enumerao de caminhos - Algoritmo Grafos (http:/ / thiagoprocaci. blogspot. com/ 2009/ 10/

enumeracao-de-caminhos-algoritmo-grafos. html)

Ferramentas de grafos populares http:/ / www. graphviz. org/ (em Ingls) http:/ / www. absint. com/ aisee/ index_pt. htm (em Portugus) http:/ / www. aisee. com (em Ingls) http:/ / www. research. att. com/ sw/ tools/ graphviz/ (em Ingls) http:/ / www. cs. uni-sb. de/ RW/ users/ sander/ html/ gsvcg1. html (em Ingls) http:/ / www. tulip-software. org (em Ingls) http:/ / www. roxgt. org http:/ / planarity. net

8Conceitos Bsicos e Definies

Grafo

Um grafo com 6 vrtices e 7 arestas.

Em matemtica e cincia da computao, grafo o objeto bsico deestudo da teoria dos grafos. Tipicamente, um grafo representadocomo um conjunto de pontos (vrtices) ligados por retas (as arestas).Dependendo da aplicao, as arestas podem ser direcionadas, e sorepresentadas por "setas".

Os grafos so muito teis na representao de problemas da vida real,em vrios campos profissionais. Por exemplo, pode-se representar ummapa de estradas atravs dos grafos e usar algoritmos especficos paradeterminar o caminho mais curto entre dois pontos, ou o caminho maiseconmico. Assim, os grafos podem possuir tambm pesos (ou custo),quer nas arestas quer nos vrtices, e o custo total em estudo ser calculado a partir destes pesos.

Grafos podem ser utilizados tambm em redes PERT no mbito do planejamento de projetos. Neste caso, a cadaaresta est associado o custo de execuo, e as tarefas precedentes de uma outra sero suas afluentes.Outro exemplo o caso das redes de computadores, sendo cada terminal representado por um vrtice, o cabo de redepelas arestas e o custo associado a latncia, por exemplo, ou o nmero de mquinas que a comunicao atravessaentre os ns. nestes princpios que assenta todo o protocolo IP que torna possvel a Internet ser uma realidade.Grafos tm sido utilizados para representar o formalismo das redes complexas, onde o nmero de ns e de conexesentre esses ns muito alto e complexamente estabelecido.

IntroduoUma possvel definio para grafos: "O grafo propriamente dito uma representao grfica das relaes existentesentre elementos de dados. Ele pode ser descrito num espao euclidiano de n dimenses como sendo um conjunto Vde vrtices e um conjunto A de curvas contnuas (arestas)". Podemos avaliar um grafo atravs de seu tipo,propriedades e aplicaes[1].

Busca em grafoVrios problemas representados por um grafo podem ser resolvidos efetuando uma busca nesse grafo. A busca emgrafo consiste em explorar um grafo, de forma que obtenha um processo sistemtico de como caminhar por seusvrtices e arestas. s vezes preciso visitar todos os vrtices de um grafos, s vezes o problema pode ser resolvidovisitando somente um subconjunto dos vrtices.Se o grafo for uma rvore, esta questo se torna simples, podem utilizar as visitas em pr-ordem, ou ordem de nvel.

Grafo 9

Algoritmos de percursoExistem dois mtodos de percurso em grafos: percurso em profundidade (depth-first search DFS) e o percurso emlargura (breadth first search BFS).A ideia bsica do DFS buscar "mais a fundo" no grafo quando possvel. Assim, a partir de um vrtice v, as arestasainda no exploradas o so e, ao final, a busca retrocede.A ideia do BFS bastante simples: os vrtices do grafo so visitados nvel a nvel, ou seja, todos os vrtices a umadistncia k do vrtice inicial so visitados antes de qualquer vrtice a uma distncia k +1 do inicial.

Referncias http:/ / www. icmc. sc. usp. br/ manuals/ sce183/ gfbus. html Cormen. Thomas (2000); Leiserson, Charles.; Rivest, Ronald. Introduction to Algorithmics, McGraw-Hill. Algoritmos em Grafos - Paulo Feofiloff [1]

Referncias[1] http:/ / www. ime. usp. br/ ~pf/ algoritmos_em_grafos/ aulas/ grafos. html

Vrtice

Um grafo com 6 vrtices e 7 arestas onde ovrtice da extrema-direita um vrtice-folha ou

um vrtice-pendente.

Em teoria dos grafos, um vrtice (plural vrtices) ou nodo a unidadefundamental da qual os grafos so formados: um grafo no dirigidoconsiste de um conjunto de vrtices e um conjunto de arestas (pares devrtices no ordenados), enquanto um digrafo constitudo por umconjunto de vrtices e um conjunto de arcos (pares ordenados devrtices). Do ponto de vista da teoria dos grafos, vrtices so tratadoscomo objetos inexpressivos e indivisveis, embora possam ter umaestrutura adicional, dependendo da aplicao a partir da qual surge ografo; por exemplo, uma rede semntica um grafo no qual os vrticesrepresentam conceitos ou classes de objetos.

Os dois vrtices formando uma aresta so ditos suas extremidades e aaresta dita que incidente para com os vrtices.[] Um vrtice w dito ser adjacente a outro vrtice v se o grafocontm uma aresta (v,w).[] A adjacncia de um vrtice v um subgrafo induzido do grafo, formado por todos osvrtices adjacentes a v.

O grau de um vrtice em um grafo o nmero de arestas incidentes a ele.[] Um vrtice isolado um vrtice comgrau zero, isto , um vrtice que no um ponto final de toda a aresta. Um vrtice folha (tambm vrtice pendente) um vrtice de grau um. Em um grafo direcionado, pode-se distinguir o grau de sada (nmero de arestasdivergentes) do grau de entrada (nmero de arestas convergentes); uma fonte um vrtice com grau de entrada zero,enquanto um sumidouro (ou poo) um vrtice com grau de sada nulo[] .Um vrtice de corte um vrtice cuja remoo (juntamente com as arestas a ele conectadas) provoca um reduo na conexidade do grafo;[1] Um separador uma coleo de vrtices cuja remoo desconecta o grafo restante em pedaos pequenos.[2] Um grafo k-conexo um grfico em que a remoo de menos de k vrtices sempre deixa o grafo ainda conectado. Um conjunto independente um conjunto de vrtices tal que no existem dois vrtices adjacentes contido neste conjunto, e uma cobertura de vrtices um conjunto de vrtices, que inclui o ponto de extremidade de cada aresta do grafo. O espao de vrtices de um grafo um espao vetorial com um conjunto de

Vrtice 10

vetores de base correspondente aos vrtices do grfico.Um grafo vrtice-transitivo se ele tiver simetrias que mapeiam qualquer vrtice para qualquer outro vrtice. Nocontexto da enumerao de grafos e isomorfismo de grafos, importante fazer a distino entre vrtices rotulados evrtices sem rtulo. Um vrtice rotulado um vrtice que est associado com informao extra que possa odistinguir de outros vrtices rotulados; dois grafos podem ser considerados isomrficos somente se acorrespondncia entre seus vrtices emparelham vrtices com rtulos iguais. Um vrtice no marcado aquele quepode ser substitudo por qualquer outro vrtice com base apenas em suas adjacncias no grfico e no baseado emquaisquer informaes adicionais.Vrtices em grafos so anlogos, mas no o mesmo que, vrtices de poliedros: o esqueleto de um poliedro forma umgrafo, os vrtices do qual so vrtices do poliedro, mas os vrtices do poliedro tem uma estrutura adicional (sualocalizao geomtrica) que no se presume estar presente na teoria dos grafos. A Figura de vrtice de um vrtice deum poliedro anloga vizinhana de um vrtice em um grafo.Em um dgrafo, estrela frontal de um nodo definida como a suas arestas de sada. Em um grafo com umconjunto de vrtices e um conjunto de arestas , a estrela frontal de pode ser descrita como

[3]

[1] Grafos - UFSC (http:/ / www. inf. ufsc. br/ grafos/ definicoes/ definicao. html)[2] Algoritmos em Grafos - IME (http:/ / www. ime. usp. br/ ~pf/ algoritmos_em_grafos/ aulas/ two-flow. html)

Berge, Claude, Thorie des graphes et ses applications. Collection Universitaire de Mathmatiques, II Dunod,Paris 1958, viii+277 pp. (English edition, Wiley 1961; Methuen & Co, New York 1962; Russian, Moscow 1961;Spanish, Mexico 1962; Roumanian, Bucharest 1969; Chinese, Shanghai 1963; Second printing of the 1962 firstEnglish edition. Dover, New York 2001)

Chartrand, Gary. Introductory graph theory. New York:Dover, 1985. ISBN 0-486-24775-9 Biggs, Norman; Lloyd, E. H.; Wilson, Robin J.. Graph theory, 1736-1936. Oxford [Oxfordshire]:Clarendon

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0-12-324245-2

Aresta 11

Aresta

Tipos de arestas.

Em teoria dos grafos, uma aresta junto com os vrtices ou nodosformam as unidades fundamentais das quais os grafos soformados[]: um grafo no dirigido consiste de um conjunto devrtices e um conjunto de arestas (pares de vrtices noordenados), enquanto um digrafo constitudo por um conjunto devrtices e um conjunto de arcos (pares ordenados de vrtices). Asarestas so consideradas as unies entre os vrtices. Uma aresta dita incidente ao0s elementos de um par de vrtices que no sonecessariamente distintos[]. Normalmente as arestas denotam asrelaes entre os vrtices (vizinhanca, grau, herana, etc..)

Tipos de arestas

Uma aresta pode ser no-direcionada ou direcionada. No segundocaso, o par de vrtices ordenado e o vrtices so chamadosvrtice-incial e vrtice-final. Arestas com o mesmo vrtice-iniciale o mesmo vrtice final ( u, v ) so ditas paralelas[].

Relao de adjacncia

As arestas de um grafo ou digrafo G=(V, E) induzem uma relaochamada de relao de adjacncia[1]. Portanto um vrtice v adjacente a um vrtice w se e somente se v-w uma aresta quepertence ao conjunto E.

Aresta mltipla 12

Aresta mltiplaAresta mltipla ou aresta paralela so arestas que possuem os mesmos vrtices como extremidade.

Ciclos em um grafoUm ciclo em teoria de grafos "um passeio de comprimento mnimo trs, em que o primeiro e o ltimo vrticecoincidem, mas nenhum outro vrtice repetido" [1]. Um ciclo uma cadeia simples e fechada[][2]. Um ciclo umacadeia fechada[].O termo ciclo pode tambm ser usado para se referir ao grafo que contm os vrtices e arestas de um ciclo nadefinio acima[1].

Definio matemticaMatematicamente: Seja G um grafo. Um ciclo em G um caminho

{v1, v2, . . ., vk, vk+1}sendo

v1 = vk+1, 3 k[3]

Clique

Um grafo com 23 cliques de 1-vrtice (its vertices), 42 cliques de 2-vrtices (suasarestas), 19 cliques de 3-vrtices (os tringulos em azul claro), e 2 cliques de4-vrtices (azul escuro). Seis das arestas e 11 dos tringulos formam cliques

maximais. As duas 4-cliques em azul escuro so tanto mximas quanto maximais,e o nmero de clique do grafo 4.

Na rea da matemtica da teoria dos grafos,uma clique em um grafo no-orientado umsubconjunto de seus vrtices tais que cadadois vrtices do subconjunto so conectadospor uma aresta. Uma clique em um grafo G um subgrafo de G que completo. Elesrecebem a notao [1]. O tamanho deuma clique igual a cardinalidade de seuconjunto de vrtices. Por exemplo no grafoG(V,E) sendo V seu conjunto de vrtices eE o de arestas, temos que:

Se V={1,2,3,4,5} eE={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5)},o subgrafo induzido pelos vrtices (1,2,3,4) uma clique de tamanho 4.

Clique 13

Referncias

O grau de um grafo

Um grafo com vrtices rotulados por grau

Na teoria dos grafos, o grau (ou valncia) de um vrtice de um grafo o nmero de arestas incidentes para com o vrtice, com os laoscontados duas vezes. [1][] Ou de forma anloga, o nmero de vrticesadjacentes a ele.[]O grau de um vrtice denotado O graumximo de um grafo G, denotado por (G), e o grau mnimo de umgrafo, denotado por (G), so os graus mximos e mnimos de seusvrtices. No grafo direita, o grau mximo 3 e o mnimo 0. Em umgrafo regular, todos os graus so os mesmos, e assim podemos falar deo grau do grfico.

Lema do aperto de mosA frmula da soma dos graus afirma que, dado um grafo ,

A frmula implica que em qualquer grafo, o nmero de vrtices de grau mpar par. Esta afirmao (bem como afrmula de soma grau) conhecida como o Lema do aperto de mos (em ingls, handshaking lemma). O ltimonome vem de um problema matemtico popular, para provar que, em qualquer grupo de pessoas o nmero depessoas que apertam as mos com um nmero mpar de outras pessoas do grupo par.

Seqncia de graus

Dois grafos no isomorfos com a mesma seqncia degraus (3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1).

A seqncia de grau de um grafo no-direcionado a seqnciano crescente dos seus graus de vrtices; [2] para o grfico acima, (3, 3, 3, 2, 2, 1, 0). A seqncia de grau um grafo invarivel logografos isomorfos tm a mesma seqncia. No entanto, a seqnciade grau, em geral, no identifica unicamente um grafo; em algunscasos, os grafos no isomorfos tm o mesmo grau de seqncia.

O problema da seqncia de graus, o problema de encontraralguns ou todos os grafos com a seqncia de grau sendo umadada seqncia no crescente de nmeros inteiros positivos. Zerosfinais podem ser ignorados, uma vez que so trivialmenteefetuados pela adio de um nmero adequado de vrtices isoladosdo grafo.

O problema de encontrar ou estimar o nmero de grafos com umaseqncia de determinado grau um problema do campo daenumerao de grafos.

Como conseqncia da frmula da soma de graus, toda a seqncia com uma soma mpar, como (3, 3, 1), no podeser entendida como a seqncia de grau de um grafo. O inverso tambm verdadeiro: se uma seqncia tem umasoma par, a seqncia de grau de um grafo. A construo de um grafo como este simples: conecte vrticesmpares em pares, e preencha com laos (auto-loops).

O grau de um grafo 14

Freqentemente, se deseja procurar por grafos simples, tornando o problema da seqncia de graus mais desafiador.Obviamente, a seqncia (8,4) no a seqncia de grau de um grafo simples, pois teramos a contradio (G)>((nmero de vrtices;1). A seqncia (3,3,3,1) tambm no a seqncia de grau de um grafo simples, masneste caso o motivo menos bvio. Encontrar os critrios gerais de seqncias de grau de grafos simples umproblema clssico; solues tm sido oferecidas por Erds e Gallai (1960), V. J. Havel (1955) e S. L. Hakimi (1961)e S. A. Choudum.Por exemplo, o Teorema de Erds-Gallai afirma que a seqncia (di)i=1,...,n uma seqncia de grau de um grafosimples sse, a soma da seqncia par e

Havel e Hakimi provaram que (d1,d2,...,dn) uma seqncia de grau de um grafo simples sse (d21, d31, ...,dd1+11, dd1+2, dd1+3, ..., dn). Este fato leva a um algoritmo simples (o algoritmo Havel-Hakimi) para arealizao de um grafo simples, com uma seqncia de determinado grau de realizao: Comece com um grafo sembordas. Mantenha uma lista de vrtices cujo grau de exigncia no tenha ainda sido atingido em ordem no-crescentede exigncia de grau residual. Conecte o primeiro vrtice com os prximos d1 vrtices na lista, e depois remova-o dalista. Re-ordene a lista e repita at que todas as exigncias do grau estejam cumpridas.

Valores especiais

Um grafo no-direcionado com nodos-folha 4, 5,6, 7, 10, 11, e 12

Um vrtice com grau 0 chamado de vrtice isolado. Um vrtice com grau 1 chamado de vrtice folha e a aresta

conectada a este vrtice chamada de aresta pendente. No grafo direita, {3,5} uma aresta pendente. Esta terminologia comum noestudo de rvores em teoria dos grafos e em especial rvores comoestrutura de dados.

Propriedades globais

Se cada vrtice do grafo tem o mesmo grauk o grafo chamado deum grafo k-regular e o prprio grafo dito ter grauk.

Um grafo conexo, no-direcionado, tem um caminho euleriano se e somente se ele tem 0 ou 2 vrtices de graumpar. Se tem 0 vrtices de grau mpar, o caminho Euleriano um circuito Euleriano.

Um grafo direcionado uma pseudofloresta se e somente se se cada vrtice tem um grau de sada no mximo1.Um grafo funcional um caso especial de um pseudofloresta em que cada vrtice tem exatamente um grau desada1.

Pelo Teorema de Brooks, qualquer grafo que no seja um clique ou um ciclo mpar tem um nmero cromtico, deno mximo, e pelo Teorema de Vizing, um grafo tem um ndice cromtico de no mximo +1.

[1][1] .[2][2] Diestel p.278

Grafo bipartido 15

Grafo bipartido

Exemplo de um grafo bipartido

No campo da matemtica da teoria dos grafos, um grafo bipartidoou bigrafo um grafo cujos vrtices podem ser divididos em doisconjuntos disjuntos U e V tais que toda aresta conecta um vrticeem U a um vrtice em V;[1] ou seja, U e V so conjuntosindependentes. Equivalentemente, um grafo bipartido um grafoque no contm qualquer ciclo de comprimento mpar

Os dois conjuntos U e V podem ser pensados como uma coloraodo grafo com duas cores: se ns colorirmos todos os nodos em Ude azul, e todos os nodos em V de verde, cada aresta temterminaes de cores diferentes, como exigido no problema decolorao de grafos. Em contrapartida, tal colorao impossvelno caso de um grafo que no bipartido, como um tringulo:depois de um n ser colorido de cor azul e outro de verde, oterceiro vrtice do tringulo ligado a vrtices de ambas as cores,impedindo que seja atribuda qualquer cor.

Frequentemente se escreve G = (U, V, E) para denotar um grafo bipartido cuja partio tem as partes U e V. Se|U|=|V|, ou seja, se os dois subconjuntos tem igual cardinalidade, ento G chamado um grafo bipartido balanceado.

Exemplos Qualquer grafo sem ciclos mpares bipartido. Como consequncia disso:

Toda rvore bipartida. grafos ciclo com um nmero par de vrtices so bipartidos. Qualquer grafo planar onde todas as faces em sua representao planar consistem de um nmero par de arestas

bipartido. Casos especiais destes so grafos grelha e grafos quadrado, em que cada face interna compostapor 4 arestas.

Testando biparticidade

Encontrando uma bipartio usando paridade

Se um grafo bipartido conexo, a sua bipartio pode ser definida pelaparidade das distncias de qualquer vrtice escolhido arbitrariamente v:um subconjunto consiste dos vrtices a uma distncia par de v e o outrosubconjunto consiste dos vrtices a uma distncia mpar de v.

Assim, pode-se testar eficientemente se um grafo bipartido, usandoesta tcnica de paridade de se atribuir vrtices para os doissubconjuntos U e V, separadamente a cada componente conectado dografo e, em seguida, examinar cada aresta para verificar se ela temterminaes designadas para os diferentes subgrupos.

Grafo bipartido 16

AplicaesGrafos bipartidos so teis para a modelagem de problemas de acoplamento. Um exemplo de grafo bipartido umproblema de correspondncia de empregos. Suponha que temos um conjunto P de pessoas e um conjunto J de postosde trabalho, com nem todas as pessoas adequadas para todos os trabalhos. Podemos modelar isto como um grafobipartido (P, J, E). Se uma pessoa px adequada para um determinado trabalho jy existe uma aresta entre px e jy nografo. O teorema do casamento fornece uma caracterizao de grafos bipartidos que permitem acoplamentosperfeitos.Grafos bipartidos so usados extensivamente na moderna teoria dos cdigos, especialmente para decodificar palavrasde cdigo recebidas do canal. Grafos Fator e grafos Tanner so exemplos disso.Em cincia da computao, uma rede de Petri uma ferramenta de modelagem matemtica utilizada na anlise esimulao de sistemas concorrentes. Um sistema modelado como um grafo bipartido dirigido com dois conjuntosde ns: Um conjunto de nodos "lugar" que contm recursos, e um conjunto de nodos "evento" que geram e/ouconsomem recursos. Existem restries adicionais sobre os ns e arestas que condicionam o comportamento dosistema. Redes de Petri utilizam as propriedades de grafos bipartidos dirigidos e outras propriedades para permitirprovas matemticas do comportamento dos sistemas enquanto ao mesmo tempo, permitindo a fcil implementaode simulaes do sistema.Em geometria projetiva, grafos de Levi so uma forma de grafo bipartido usada para modelar as incidncias entre ospontos e linhas em uma configurao.

Modelagem de multigrafos e hipergrafosGrafos bipartidos podem modelar inteiramente o mais geral multigrafo. Dada um multigrafo M, tome U como oconjunto de vrtices de M e tome V como o conjunto de arestas de M. Ento junte-se um elemento de V paraprecisamente os dois elementos de U que so as extremidades da aresta em M. Assim, cada multigrafo descritocompletamente por um grafo bipartido, que unilateral regular de grau 2, e vice-versa.Da mesma forma, cada hipergrafo direcionado pode ser representado por um grafo bipartido. Tome U como oconjunto de vrtices no hipergrafo, e V como conjunto de arestas. para cada e , conecte u a v se aaresta do hipergrafo contm u como entrada, e conecte v a u se v contm u como sada.

Propriedades Um grafo bipartido se e somente se ele no contm um ciclo mpar. Portanto, um grafo bipartido no pode

conter uma clique de tamanho maior ou igual a 3. Um grafo bipartido se e somente se ele 2-colorvel, (i.e. seu nmero cromtico menor ou igual a 2). O tamanho da cobertura de vrtices mnima igual ao tamanho do acoplamento mximo (teorema de Knig). O tamanho do conjunto independente mximo mais o tamanho do acoplamento mximo igual ao nmero de

vrtices. Para um grafo bipartido conectado o tamanho da cobertura de arestas mnima igual ao tamanho do conjunto

independente mximo. Para um grafo bipartido conectado o tamanho da cobertura de arestas mnima mais o tamanho da cobertura de

vrtices mnima igual ao nmero de vrtices. Todo grafo bipartido um grafo perfeito. O espectro de um grafo simtrico se e somente se ele um grafo bipartido.

Grafo bipartido 17

Ligaes externas Sistema de informaes sobre incluses de classes de grafos [2]

grafo bipartido [3]

Referncias[2] http:/ / wwwteo. informatik. uni-rostock. de/ isgci/ index. html[3] http:/ / wwwteo. informatik. uni-rostock. de/ isgci/ classes/ gc_69. html

Grafo bipartido completo

Grafo bipartidocompleto

Um grafo bipartido completo com m = 5 n = 3vrtices n + m

arestas mn

Cintura 4

Automorfismos 2m!n! se m=n, caso contrrio m!n!

Nmerocromtico

2

ndicecromtico

max{m, n}

Notao

No campo da matemtica da teoria dos grafos, um grafo bipartido completo ou biclique um tipo especial de grafobipartido onde cada vrtice do primeiro conjunto est associado a cada vrtice do segundo conjunto.

DefinioUm grafo bipartido completo, G := (V1 + V2, E), um grafo bipartido tal que para quaisquer dois vrtices, v1 V1 ev2 V2, v1v2 uma aresta em G. O grafo bipartido completo com parties de tamanho |V1|=m e |V2|=n, denotadoKm,n.

Exemplos

Grafo bipartido completo 18

Os grafos estrela S3, S4, S5 e S6.

O grafo de utilidade K3,3

Para qualquer k, K1,k chamadouma estrela. Todos os grafosbipartidos completos que sorvores so estrelas.

O grafo K1,3 chamado uma garra,e usado para definir os grafos semgarra.

O grafo K3,3 chamado de grafo deutilidade. Esta prtica vem de umquebra-cabea matemticotradicional, no qual trs utilidadesdevem ser ligadas a cada trsedifcios; impossvel de resolversem cruzamentos, devido no-planaridade de K3,3.

Propriedades

Dado um grafo bipartido completo, ele possui dois autovalores simtricos (o ndice e o seu simtrico) e os demaisnulos.[1]

Dado um grafo bipartido, encontrar o seu subgrafo bipartido completo Km,n com o nmero mximo de arestas mn um problema NP-completo.

Um grafo planar no pode conter K3,3 como um menor; um grafo periplanar no pode conter K3,2 como ummenor (Estas no so condies suficientes de planaridade e planaridade exterior, mas necessrias).

Um grafo bipartido completo Kn,n um grafo de Moore e uma (n,4)-gaiola. Um grafo bipartido completo Kn,n ou Kn,n+1 um grafo de Turn. Um grafo bipartido completo Km,n tem um nmero de cobertura de vrtice do min{m,n} e um nmero de

cobertura de aresta de max{m,n}. Um grafo bipartido completo Km,n tem um conjunto independente mximo de tamanho max{m,n}. A matriz de adjacncia de um grafo bipartido completo Km,n tem autovalores (nm), (nm) e 0; com

multiplicidade 1, 1 e n+m2 respectivamente. A matriz laplaciana de um grafo bipartido completo Km,n tem autovalores n+m, n, m, e 0; com multiplicidade 1,

m1, n1 e 1 respectivamente. Um grafo bipartido completo Km,n tem m

n1 nm1 rvores de extenso. Um grafo bipartido completo Km,n tem um acoplamento mximo de tamanho min{m,n}. Um grafo bipartido completo Kn,n tem uma n-colorao-de-arestas correspondente ao quadrado latino. Os dois ltimos resultados so corolrios do teorema do casamento aplicado a um grafo bipartido k-regular.

Referncias

Grafo caminho 19

Grafo caminho

Grafo caminho

Um grafo caminho em 6 vrticesvrtices n

arestas n - 1

Raio n/2

Dimetro n - 1

Automorfismos 2

Nmerocromtico

2

ndice cromtico 2

Propriedades Distncia-unidadeGrafo bipartidorvore

Notao

No campo da matemtica da teoria dos grafos, um grafo caminho ou grafo linear um exemplo particularmentesimples de uma rvore, ou seja, uma rvore com dois ou mais vrtices que no tem ramificaes, ou seja, contmsomente vrtices de grau 2 e 1.[1] Em particular, ela tem dois vrtices terminais (vrtices que tm grau 1), enquantotodos os outros (se houver) tm grau 2.

Ligaes externas Eric W. Weisstein, Path Graph [2] em MathWorld.

Referncias[2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ PathGraph. html

Grafo completo 20

Grafo completoUm grafo completo um grafo simples em que todo vrtice adjacente a todos os outros vrtices. O grafo completode n vrtices frequentemente denotado por .

Nmero de arestas

O grafo tem arestas (correspondendo a todas as possveis escolhas de pares de vrtices).

PlanaridadeO teorema de Kuratowski tem como consequncia que um grafo grafo planar se e somente se .

Grafo cbico

O grafo de Petersen um grafo cbico.

O grafo bipartido completo um exemplo

de grafo bicbico

No campo da matemtica da teoria dos grafos, um grafo cbico umgrafo regular no qual todos os vrtices tem grau trs[1]. Em outraspalavras um grafo cbico um grafo 3-regular. Grafos cbicos sotambm chamados grafos trivalentes.

Um grafo bicbico um grafo bipartido cbico.

Simetria

Em 1932, Ronald M. Foster comeou a recolher exemplos de grafossimtricos cbicos, formando o incio do censo de Foster[2]. Muitosgrafos individuais conhecidos so cbicos e simtricos, incluindo ografo de Petersen, o grafo de Nauru, o grafo de Coxeter, o grafo deTutteCoxeter, o grafo de Dyck, o grafo de Foster e o grafo deBiggs-Smith.

W. T. Tutte classificou os grafos simtricos cbicos pelo menornmero inteiro s tal que cada dois caminhos orientados decomprimento s podem ser mapeados entre si por exatamente umasimetria do grafo. Ele mostrou que s no mximo 5, e deu exemplosde grafos com cada valor possvel de s de 1 a 5[3].

Grafoos cbicos semi-simtrico incluem o grafo de Gray ( o menorgrafo cbico semi-simtrico), o grafo de Ljubljana, e o gaiola-12 deTutte.

O grafo de Frucht o menor grafo cbico sem qualquer simetria:possui apenas um nico automorfismo de grafos, o automorfismoidentidade.

Grafo cbico 21

O grafo Frucht, o menor grafo cbicoassimtrico.

Colorao e conjuntos independentes

De acordo com o teorema de Brooks todo grafo cbico com exceodo grafo completo K4 pode ser colorido com no mximo trs cores.Portanto, todo grafo cbico diferente de K 4 tem um conjuntoindependente de pelo menos n/3 vrtices, onde n o nmero devrtices no grafo: por exemplo, a maior classe de cor em uma3-colorao tem pelo menos estes vrtices.

De acordo com o teorema de Vizing todo grafo cbico necessita trs ouquatro cores para uma colorao de arestas. Uma 3-aresta-colorao conhecida como uma colorao Tait, e fgorma uma partio das arestasdo grafo em trs acoplamentos perfeitos. Pelo teorema de colorao delinhas de Knig todo grafo bicbico tem uma colorao de Tait.

Os grafos cbicos sem ponte que no tem uma colorao de Tait so conhecidos como snarks. Eles incluem o grafode Petersen, grafo de Tietze, os snarks Blanua, o snark flor, o snark dupla-estrela, o snark Szekeres e o snarkWatkins.

Existe um nmero infinito de snarks distintos. [4]

Hamiltonicidade

Houve muita pesquisa sobre Hamiltonicidade de grafos cbicos. Em 1880, P.G. Tait conjecturou que todo grafospolidricos cbicos tem um circuito Hamiltoniano. William Thomas Tutte forneceu um contra-exemplo para aconjectura de Tait, o grafo de Tutte de 46 vrtices, em 1946. Em 1971, Tutte conjecturou que todos os grafosbicbicos so hamiltonianos. No entanto, Jos Horton proporcionou um contra-exemplo com 96 vrtices, o grafo deHorton[5]. Mais tarde Mark Ellingham, construu mais dois contra-exemplos: os grafos de Ellingham-Horton[6][7]. Aconjectura de Barnette, uma combinao de conjecturas de Tait e Tutte ainda aberta, afirma que todo grafo bicbicopolidrico hamiltoniano. Quando um grafo cbico hamiltoniano, a notao LCF permite que ele seja representadade forma concisa.

Se um grafo cbico escolhido aleatoriamente entre todos os grafos cbicos de n-vrtices, ento bem provvel queseja Hamiltoniano. a proporo de grafos cbicos de n-vrtices que so Hamiltonianos tende a um no limite a medidaque n vai para o infinito[8].David Eppstein conjecturou que todo grafo cbico de n-vrtices tem no mximo 2n/3 (aproximadamente 1260n)ciclos hamiltonianos distintos, e exemplificou com grafos cbicos com esta quantidade de ciclos[9]. O melhor limitesuperior que foi at agora comprovado no nmero de ciclos hamiltonianos distintos 1,276n.[10]

Grafo cbico 22

Outras propriedadesO comprimento do caminho de quaisquer grafo cbico de n-vrtices no mximo n/6. No entanto, o limite inferiormelhor conhecido no comprimento do caminho de grafos cbicos menor, 0.082n.[11]

Se segue do lema do aperto de mos, provado por Leonhard Euler em 1736 como parte do primeiro trabalho sobreteoria dos grafos, que todo grafo cbico tem um nmero par de vrtices.

Algoritmos e complexidadeVrios pesquisadores tm estudado a complexidade de tempo exponencial de algoritmos restritos a grafos cbicos.Por exemplo, atravs da aplicao de programao dinmica para a decomposio do caminho do grafo, Fomin eHie mostraram como encontrar os seus conjuntos independentes mximos em tempo O(nn/6+o(n)).[11]

Histria 1880: Peter Guthrie Tait conjeturou que cada grafo sem pontes cbico planar tem um circuito hamiltoniano.

William Thomas Tutte encontrou um contra-exemplo: un grafo de 46 vrtices (agora com o seu nome) em 1946. 1934: Ronald M. Foster comeou a colecionar exemplos de grafos simtricos cbicos, com o que iria iniciar o

Censo de Foster.[12]

1971: William Tutte conjetura que todos os grafos bicbicos so ciclos hamiltonianos. Entretanto, Hortonproporciona un grafo de contra-exemplo, com 96-vrtices.

2003: Petr Hlinn mostra que o problema de encontrar o nmero de cruzamento (o nmero mnimo de arestasque cruzam um dado grafo) de um grafo cbico NP-hard, apesar de terem um grau pequeno. Existem, noobstante, algoritmos de aproximaco prticos para encontrar o nmero de cruzamento de grafos cbicos[13].

[2] Foster, R. M. "Geometrical Circuits of Electrical Networks." Transactions of the American Institute of Electrical Engineers 51, 309-317,1932

[3][3] .[4][4] .[5][5] Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. Graph Theory with Applications. New York: North Holland, p. 240, 1976.[6][6] Ellingham, M. N. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Partite Graphs."Research Report No. 28, Dept. of Math., Univ. Melbourne,

Melbourne, 1981.[7][7] Ellingham, M. N. and Horton, J. D. "Non-Hamiltonian 3-Connected Cubic Bipartite Graphs." J. Combin. Th. Ser. B 34, 350-353, 1983.[8][8] .[10][10] .[11][11] .

Grafo Estrela 23

Grafo Estrela

Estrela

A estrela S7.vrtices k+1

arestas k

Dimetro 2

Cintura

Nmerocromtico

2

ndicecromtico

k

Propriedades aresta-transitivorvoreDistncia-unidadeBipartido

Notao Sk

Em teoria dos grafos, uma estrela Sk o grafo bipartido completo K1,k, uma rvore com um n interno e k folhas.Uma estrela com 3 arestas chamada uma garra[1].A estrela Sk aresta-elegante quando k par e no quando k mpar. Ela aresta-transitiva, unidade-distncia e tmdimtero 2, cintura , ndice cromtico k e nmero cromtico 2.Estrelas tambm podem ser descritas como os nicos grafos conectados em que no mximo um vrtice tem graumaior que um.

Relao com outras famlias de grafosGarras so notveis na definio de grafos sem garra, os grafos que no tem qualquer garra como subgrafoinduzido[2][3].Uma estrela um tipo especial de rvore. Como acontece com qualquer rvore, as estrelas podem ser codificados poruma sequncia Prfer; A sequncia Prfer para uma estrela K1,k consiste de k1 cpias do vrtice central

[4]. Umarvore pode ser vista como um conjunto de estrelas (pares ou mpares) ligadas pelos pontos centrais[5].Diversos grafos invariantes so definidos em termos de estrelas. Arboricidade de estrela o menor nmero deflorestas que um grafo pode ser particionado em tal modo que cada rvore em cada floresta uma estrela[6], e onmero cromtico de estrela de um grafo o menor nmero de cores necessrio para colorir seus vrtices de talforma que cada duas classes de colorao, juntas, formam um subgrafo em que todos os componentes conectados soestrelas[7]. Os grafos de comprimento de ramo 1 so exatamente os grafos em que cada componente conectado umaestrela[8].

Grafo Estrela 24

Os grafos estrela S3, S4, S5 e S6.

Outras aplicaesO conjunto de distncias entre os vrtices de uma garra fornece um exemplo de um espao mtrico finito, que nopode ser incorporado isometricamente em um espao euclideano de qualquer dimenso[9].A rede em estrela, uma rede de computadores modelado em um grafo de estrela, importante em computaodistribuda.[2][2] .[3][3] .

Grafo nulo

Grafonulo

vrtices 0

arestas 0

Automorfismos1

No campo da matemtica da teoria dos grafos, o grafo nulo ou o grafo vazio ou o grafo sem nenhum vrtice e(portanto) sem arestas, ou qualquer grafo sem arestas.O grafo nulo (no sentido original) o objeto inicial na categoria de grafos, de acordo com algumas definies decategoria de grafos. No tendo nenhum vrtice, o grafo nulo, portanto, tambm no tem componentes ligados.Assim, embora o grafo nulo seja uma floresta (um grafo sem ciclos), no uma rvore, uma vez que as rvores tmcomponente ligados.

Grafo sem arestas

Grafo nulo 25

Grafo semarestas

vrtices n

arestas 0

Automorfismos n!

Nmerocromtico

1

Propriedades IntegralSimtrico

Notao

Alguns autores entendem que um termo melhor para o ltimo sentido (V, { }) para qualquer conjunto V o maisexplcito grafo sem arestas. Assim se reserva o termo grafo nulo para o primeiro sentido: um grafo sem quaisquervrtices. Outros, ainda, fazem essa distino, aplicando o rtulo vazio para esses grafos sem arestas.O grafo sem arestas de n-vrtices o grafo complementar para o grafo completo , e por isso comumentedenotado como .Mesmo que esta definio forneca uma base slida para a definio de certas operaes sobre grafos (por exemplo:decomposio) considerando-se grafos como conjuntos de vrtices e arestas (V,E), esta definio levanta umproblema na singularidade do elemento nulo dos grafos.

Grafo orientado

Um grafo orientado (direcionado).

Um grafo orientado,[1] grafo dirigido,[2] grafo direcionado[3] ou digrafo umpar (algumas vezes )(edge) de:[][][4]

Um conjunto V, cujos elementos so chamados vrtices ou nodos, um conjunto A de pares ordenados de vrtices, chamados arcos, arestas

direcionadas, ou setas (e s vezes simplesmente arestas com o conjuntocorrespondente chamado E ao invs de A).

Ele difere de um grafo no-direcionado comum, em que o ltimo definido emtermos de pares no ordenados de vrtices, que so normalmente chamados arestas.

Por exemplo, ser possvel ir de um n A para um n B, mas no o contrrio atravs desse arco.s vezes, um digrafo chamado de um digrafo simples para distingu-lo de um multigrafo direcionado (oumultidigrafo ou ainda quiver), em que os arcos constituem um multiconjunto, ao invs de um conjunto, de paresordenados de vrtices. Alm disso, em um digrafo simples laos no so permitidos. Por outro lado, alguns textospermitem laos, arcos mltiplos, ou ambos em um digrafo.

Grafo orientado 26

Terminologia bsicaUm arco considerado ser direcionado de para ; chamado de cabea e chamado decauda do arco; dito ser um sucessor direto de , e dito ser um predecessor direto de . Se umcaminho composto por um ou mais arcos sucessivos leva de para , ento dito ser um successor de , e

dito ser um predecessor de . O arco chamado de arco invertido.Um grafo direcionado G chamado de simtrico se, para cada arco, que pertence G, o arco invertidocorrespondente tambm pertence G. Um grafo dirigido simtrico sem laos equivalente a um grafo no orientadocom os pares de arcos invertidos substitudo por arestas, assim o nmero de arestas igual ao nmero de arcos pelametade.A orientao de um grafo grafo no-direcionado simples obtida atravs da atribuio de um sentido para cadalado. Qualquer grafo direcionado construdo desta forma chamado de um grafo orientado. A distino entre umgrafo direcionado simples e um grafo orientado que se e so vrtices, um grafo direcionado simples permitetanto quanto como arestas, enquanto apenas uma permitida em um grafo orientado.[]

Um digrafo ponderado um digrafo com pesos atribudos a seus arcos, semelhana de um grafo ponderado.A matriz de adjacncia de um digrafo (com laos e arcos mltiplos) uma matriz inteira com linhas e colunascorrespondendo aos nodos do digrafo, onde uma entrada no-diagonal o nmero de arcos do n i para o n j, ea entrada diagonal o nmero de laos no n i. A matriz de adjacncia de um digrafo nica at as permutaesde linhas e colunas.Outra representao de matriz para um dgrafo sua matriz de incidncia.Veja glossrio para mais definies.

Graus de sada e graus de entrada

Um digrafo com vrtices rotulados (sada ouentrada)

Para um nodo, o nmero de pontos de extremidade adjacente cabeade um n chamado de grau de entrada do nodo e o nmero depontos de extremidade da cauda o seu grau de sada.

O grau de entrada denotado e o grau de sada como. Um vrtice com chamado de fonte,

uma vez que a origem de cada uma das suas arestas incidentes. Damesma forma, um vrtice com chamado desumidouro (ou poo).A frmula da soma dos graus afirma que, para um grafo direcionado

Se para cada nodo, v V, , o grafo chamado de digrafo balanceado.

Grafo orientado 27

Conectividade de digrafosUm digrafo G chamado de fracamente conectado (ou apenas conectado[]p.19) se o grafo subjacenteno-direcionado obtido atravs da substituio de todas as arestas de G por arestas no direcionadas um grafoconexo. Um digrafo fortemente conectado ou forte se ele contm um caminho orientado de u a v e um caminhoorientado de v a u para cada par de vrtices u,v. Os componentes fortes so os subgrafos mximo fortementeconectados.

Classes de digrafos

Um grafo direcionado acclico simples

Um digrafo acclico um grafo direcionado sem ciclos direcionados.Uma rvore enraizada naturalmente se define como um digrafo acclico, setodas as arestas da rvore subjacentes so dirigidas para longe da raiz.

um torneio com 4 vertices

Um torneio um grafo orientado obtido ao se escolher uma direo para cadaaresta em um grafo completo no-direcionado.

Na teoria dos grupos de Lie, um quiver Q um grafo direcionado servindocomo o domnio do e, portanto, caracterizando a forma de, umarepresentao V definida como um functor, mais especificamente um objetoda categoria functor FinVctK

F(Q) onde F(Q) a categoria livre em Qconstituda por caminhos em Q e FinVctK a categoria de espaos vetoriaisde dimenso finita sobre um campo K. Representaes de um quiver rtulamseus vrtices com espaos vetoriais e suas arestas (e, portanto, caminhos) demodo compatvel com transformaes lineares entre eles, e transformamatravs das transformaes naturais.

Referncias[1][1] .[2][2] .[4][4] .

Grafo simples 28

Grafo simplesEm teoria dos grafos, um grafo diz-se simples se entre cada par de vrtices distintos existir no mximo uma aresta ese, alm disso, no contiver lacetes nem arestas paralelas, ou seja existir uma aresta que conecta um vertice a elemesmo.Em grande parte dos textos o adjectivo simples (ou regular) omitido estando, no entanto, subentendido. Um grafoque no simples, diz-se um multigrafo.

Grafo valoradoUm grafo valorado ou grafo ponderado[1] um grafo que possui funes relacionando o conjunto de vrtices ou oconjunto de arestas a conjunto de nmeros.[2][]

O significado das funes depende do problema. Na maioria das aplicaes de grafos existem dados quantitativosassociados a pontos(vrtices) ou ligaes(arestas) relacionados ao problema[] . Na maioria das aplicaes de grafos aproblemas de engenharia, necessrio considerar-se grandezas tais como distncias, altitudes, capacidades, fluxos,etc., associadas a localidades, estradas, etc. que definem os vrtices e os arcos (ou arestas) do grafo.Em muitos problemas, no entanto, interessa apenas o inter-relacionamento dos vrtices - e no se definem funes,ou se pode considerar que elas so constantes. Diz-se ento que o grafo um grafo no-valorado.

RepresentaoEm um grafo valorado se pode usar as representaes usuais para grafos. A matriz de adjacncia comumenteconhecida como matriz de valores das ligaes ou simplesmente matriz de valores.[] Na lista de adjacncia cadalinha vem acompanhada de seus valores respectivos[] . A figura a seguir ilustra um exemplo:

Grafo valorado Matriz de valores

Homomorfismo de grafos 29

Homomorfismo de grafosNo campo da matemtica da teoria dos grafos um homomorfismo de grafos um mapeamento entre dois grafos querespeita suas estruturas. De forma mais concreta ele mapeia vrtices adjacentes a vrtices adjacentes.

DefinioUm homomorfismo de grafos de um grafo para um grafo , denotado por

, um mapeamento do conjunto de vrtices de para o conjunto de vrtices detal que sempre que .

A definio acima estendida para dgrafos (grafos com arestas dirigidas). Ento, para um homomorfismo, um arco (aresta dirigida) de se um arco de .

Se h um homomorfismo ns escreveremos , e caso contrrio. Se, dito ser homomrfico a ou -colorvel.

A composio de homomorfismos tambm um homomorfismo. Se o homomorfismo umabijeo cuja funo inversa tambm um homomorfismo de grafos, ento um isomorfismo de grafo.Determinar se h ou no um isomorfismo entre dois grafos um importante problema em complexidadecomputacional; veja o problema do isomorfismo de subgrafos.Dois grafos e so homomorficamente equivalentes se e .O resultado da retrao de um grafo um subgrafo de tal que existe um homomorfismo , chamado retrao com para todo vrtice de . Um ncleo um grafo que no se retrai a umsubgrafo prprio. Qualquer grafo homomorficamente equivalente a um nico ncleo.

GeneralizaoTome a seguinte definio de grafo:Um grafo uma estrutura

em que o conjunto de ns do grafo, , (uma funo parcial) e taisque:

se ; ou , caso contrrio.O conceito de homomorfismo de grafos pode ser generalizado (usando essa estrutura para grafos) de funes (entrens dos grafos) para relaes:

Sejam grafos. Uma bissimulao entre e uma relao tal que:Se h tal relao, ento e so chamados bissimilares (notao ). Se de fato uma funo(caso em que chamaremos uma bissimulao funcional) temos um homomorfismo de grafo, tal que inclui

, sendo uma ordenao de homomorfismos definida como:se , para algum homomorfismo

Os conceitos de bissimulao e ordenao de homomorfismos so bastante importantes na demonstrao deresultados sobre a confluncia de sistemas de reescrita de grafos.

Homomorfismo de grafos 30

Observaes Em termos de colorao de grafos, k-coloraes de so exatamente homomorfismos , em

que o grafo completo com ns. Como conseqncia se , o nmero cromtico (menornmero de cores necessrio para colorir um grafo) de no mximo o de : (onde

representa o nmero cromtico do grafo ). O homomorfismo de grafos preserva a conectividade. O produto tensorial de grafos o produto categorial para a categoria dos grafos e dos homomorfismos de grafos. O problema de deciso associado, isto , decidir se existe ou no um homomorfismo de um grafo para outro,

NP-completo.

Referncias Hell, Pavol; Jaroslav Neetil. Graphs and Homomorphisms (Oxford Lecture Series in Mathematics and Its

Applications). [S.l.]:Oxford University Press, 2004. ISBN 0-19-852817-5 Term Rewriting Systems, Terese, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 2003.

Veja tambm Reescrita de Grafos Teoria das categorias

Isomorfismo de grafosEm teoria dos grafos, um isomorfismo dos grafos G e H uma bijeo entre os conjuntos de vrtices de G e H

de tal forma que quaisquer dois vrtices u e v de G so adjacentes em G se e somente se (u) e (v) so adjacentes emH. Este tipo de bijeo comumente chamado de "bijeo com preservao de arestas", de acordo com a noo geralde isomorfismo sendo uma bijeo de preservao-de-estrutura.Na definio acima, os grafos so entendidos como grafos grafos no dirigidos, no-rotulados e no ponderados. Noentanto, a noo de isomorfismo pode ser aplicada a todas as outras variantes da noo de grafo, somando osrequisitos necessrios para preservar os elementos adicionais correspondentes da estrutura: as direes do arco, ospesos das arestas, etc, com a seguinte exceo. Quando se fala em rtulo com rtulos exclusivos, geralmente tiradosdo intervalo inteiro 1 ,...,n, onde n o nmero dos vrtices do grafo, dois grafos rotulados so ditos isomrficos se osgrafos subjacentes correspondentes no rotulados so isomrficos.Se um isomorfismo existe entre dois grafos, ento os grafos so chamados de isomorfos e ns denotamos por

. No caso, quando a bijeo um mapeamento de um grafo em si mesmo, ou seja, quando G e H so um eo mesmo grafo, a bijeo chamada de automorfismo de G.O isomorfismo de grafos uma relao de equivalncia em grafos e, como tal, particiona as classes de todos osgrafos em classes de equivalncia. Um conjunto de grafos isomorfos entre si chamado de classe de isomorfismode grafos.

Isomorfismo de grafos 31

ExemploOs dois grafos abaixo so isomorfos, apesar de suas representaes diferentes.

Grafo G Grafo H Umisomorfismoentre G e H

(a) = 1

(b) = 6

(c) = 8

(d) = 3

(g) = 5

(h) = 2

(i) = 4

(j) = 7

MotivaoA noo formal de "isomorfismo", por exemplo, de "isomorfismo grfico", captura a noo informal de que algunsobjetos tm "a mesma estrutura", se algum ignora distines individuais dos componentes de objetos "atmicos" emquesto, consulte o exemplo acima. Sempre que a individualidade dos componentes "atmicos" (vrtices e arestas,para grafos) importante para a correta representao do que modelado por grafos, o modelo refinado pelaimposio de restries adicionais sobre a estrutura, e outros objetos matemticos so utilizados: digrafos, grafosrotulados, grafos coloridos, rvores enraizadas e assim por diante. A relao de isomorfismo pode tambm serdefinida para todas essas generalizaes de grafos: o isomorfismo bijeo deve preservar os elementos da estruturaque define o tipo de objeto em questo: arcos, rtulos, cores de vrtices/arestas, a raiz da rvore de razes, etc.A noo de "isomorfismo de grafos" permite-nos distinguir as propriedades de grafos inerentes s estruturas dosprprios grafos das propriedades associadas com as representaes do grafo: desenho dos grafos, estruturas de dadospara grafos, rtulos de grafos, etc. Por exemplo, se um grafo tem exatamente um ciclo, em seguida, todos os grafosda sua classe de isomorfismo tambm tm exatamente um ciclo. Por outro lado, no caso comum quando os vrticesde um grafo so (representados por) inteiros 1, 2, ... N, ento a expresso

pode ser diferente para dois grafos isomorfos.

Reconhecimento de isomorfismo de grafos

Teorema de Whitney

A exceo do teorema de Whitney: estes dois grafosno so isomrficos, mas tem grafos de linha

isomrfica.

O teorema de isomorfismo de grafos de Whitney,[1] demonstradopor H. Whitney, afirma que dois grafos conexos so isomorfos se esomente se o seu grafos de linha so isomrficos, com uma nicaexceo: K3, o grafo completo em trs vrtices, e o grafo bipartidocompleto K1,3, que no so isomrficos, mas ambos tm K3 comoseu grafo de linha. O teorema de grafos de Whitney pode serestendido para hipergrafos.[2]

Isomorfismo de grafos 32

abordagem algortmicaEnquanto isomorfismos de grafos podem ser estudados de forma clssica da Matemtica, como exemplificado peloteorema de Whitney, reconhecido que um problema a ser enfrentado com uma abordagem algortmica. Oproblema computacional de determinar se dois grafos finitos so isomorfos chamado o problema do isomorfismode grafos.Suas aplicaes prticas incluem principalmente quimioinformtica, matemtica qumica (identificao decompostos qumicos), e automao de projeto eletrnico (verificao da equivalncia das diferentes representaesdo desenho de um Circuito eletrnicoCuriosamente, tambm um dos poucos problemas em teoria computacional da complexidade pertencente classeNP, mas no se sabe se pertence a nenhum de seus conhecidos subconjuntos (e, se P NP, disjuntos):P eNP-completo. um de apenas dois, dos 12 totais, problemas listados em Garey e Johnson (1979) cuja complexidadeest por se resolver.[3] Ou seja, eles no foram provados ser includos, nem excludos, das classes P ou NP-completo.Sua generalizao, o problema do isomorfismo de subgrafos, sabido ser NP-Completo.As principais reas de pesquisa para o problema o projeto de algoritmos rpidos, tanto para o problema geralquanto para classes especiais de grafos, e investigaes tericas de sua complexidade computacional.

Referncias[1] H. Whitney, "Congruent graphs and the connectivity of graphs", Am. J. Math., 54(1932) pp. 160-168.[2][2] Dirk L. Vertigan, Geoffrey P. Whittle: A 2-Isomorphism Theorem for Hypergraphs. J. Comb. Theory, Ser. B 71(2): 215-230. 1997.[3] The latest one resolved was minimum-weight triangulation, proved to be NP-complete in 2008. .

Lao

Um grafo com um lao no vrtice 1

Em teoria dos grafos, um lao ou auto-loop (em ingls: loop, self-loopou buckle) uma aresta que conecta um vrtice a ele mesmo. Umgrafo simples, no contm nenhum lao.

Dependendo do contexto, um grafo ou um multigrafo pode ser definidode forma a permitir ou proibir a presena de laos (muitas vezes emcombinao com a permisso ou proibio do uso de arestas mltiplasentre os mesmos vrtices:

Onde os grafos so definidos de modo a permitir laos e arestasmltiplas, um grafo sem laos muitas vezes chamado demultigrafo.[][][]

Onde os grafos so definidos de modo a no permitir laos e arestasmltiplas, um multigrafo ou pseudografo muitas vezes definidocomo um grafo que pode ter laos e arestas mltiplas.[][]

Lao 33

GrauPara um grafo no direcionado, o grau de um vrtice igual ao nmero de vrtices adjacentes.Um caso especial um lao, que acrescenta dois para o grau. Isso pode ser entendido se deixando cada conexo dacontagem de arestas do lao como seu prprio vrtice adjacente. Em outras palavras, um vrtice com um lao "v" asi mesmo como um vrtice adjacente de ambas as extremidades da aresta, assim, se soma dois e no um, para o grau.Para um grafo direcionado, um lao soma um ao grau de entrada e um ao grau de sada

Ligaes externas Grafos - Definies (UFSC) [1]

Referncias[1] http:/ / www. inf. ufsc. br/ grafos/ definicoes/ definicao. html

Multigrafo

Multigrafo com laos (azul) e arestas mltiplas(vermelho)

Multigrafo ou pseudografo um grafo no dirigido que podepossuir arestas mltiplas (ou paralelas), ou seja, arestas commesmos ns finais. Assim, dois vrtices podem estar conectadospor mais de uma aresta. Formalmente, um multigrafo G um parordenado , sendo

um conjunto de vrtices ou ns, um multiconjunto de pares no-ordenados de vrtices,

chamado arestas ou linhas.

Alguns autores tambm consideram multigrafos aqueles que tmlaos, isto , uma aresta que conecta um vrtice a ele mesmo[1];outros chamam estes de pseudografos, reservando o termomultigrafo para os casos em que no h laos[2].

Multigrafos podem ser usados, por exemplo, pra modelar aspossveis conexes de vo oferecidas por uma linha area. Nessecaso o pseudografo seria um grafo dirigido com pares de arestasparalelas dirigidas conectando cidades para mostrar que possvel voar para e a partir destas locaes.

Um multidgrafo um dgrafo (grafo com arestas dirigidas) em que pode-se ter arestas mltiplas. Um multidgrafo um par ordenado , sendo

um conjunto de vrtices ou ns, um multiconjunto de pares ordenados de vrtices, chamado arestas dirigidas, arcos ou flechas.

Um multigrafo misto pode ser definido do mesmo jeito que um grafo misto (com arestas quepodem ser dirigidas ou no).

Multigrafo 34

EtiquetasMultigrafos e multidgrafos podem suportar a noo de grafos etiquetados, de modo similar. Contudo no hconsenso na terminologia nesse caso.As definies de multigrafos e multidgrafos etiquetados so similares, e definiremos apenas o ltimo:Um multidgrafo etiquetado um grafo etiquetado com arcos etiquetados.Formalmente: Um multidgrafo etiquetado G um multigrafo com ns etiquetados e arcos. Formalmente uma8-tupla , em que: um conjunto de ns e um multiconjunto de arcos. e so alfabetos finitos de ns e etiquetas de arcos disponveis. e so duas funes indicando o n de origem e o de destino de um arco. e so duas funes descrevendo a etiquetagem dos ns e arestas.

Notas[1][1] Para exemplos, veja. Bollobas, p. 7 and Diestel, p. 25.[2] Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem, by Robert A. Wilson, 2002, ISBN 0198510624, p. 6 (http:/ / books. google. com/

books?id=iq0sSnIxJioC& pg=PA6& dq=pseudograph& lr=& ei=R-jrSKWoCJGgswOv0eiXBw&sig=ACfU3U20xuoH7jZDq-XGqSnfsmC0oE8KjQ)

Referncias http:/ / www. utm. edu/ departments/ math/ graph/ glossary. html#multigraph Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5.

Pseudografo

Multigrafo com laos (azul) e arestas mltiplas(vermelho)

Multigrafo ou pseudografo um grafo no dirigido que podepossuir arestas mltiplas (ou paralelas), ou seja, arestas commesmos ns finais. Assim, dois vrtices podem estar conectadospor mais de uma aresta. Formalmente, um multigrafo G um parordenado , sendo

um conjunto de vrtices ou ns, um multiconjunto de pares no-ordenados de vrtices,

chamado arestas ou linhas.

Alguns autores tambm consideram multigrafos aqueles que tmlaos, isto , uma aresta que conecta um vrtice a ele mesmo[1];outros chamam estes de pseudografos, reservando o termomultigrafo para os casos em que no h laos[2].

Multigrafos podem ser usados, por exemplo, pra modelar aspossveis conexes de vo oferecidas por uma linha area. Nessecaso o pseudografo seria um grafo dirigido com pares de arestasparalelas dirigidas conectando cidades para mostrar que possvel voar para e a partir destas locaes.

Um multidgrafo um dgrafo (grafo com arestas dirigidas) em que pode-se ter arestas mltiplas. Um multidgrafo um par ordenado , sendo

um conjunto de vrtices ou ns,

Pseudografo 35

um multiconjunto de pares ordenados de vrtices, chamado arestas dirigidas, arcos ou flechas.

Um multigrafo misto pode ser definido do mesmo jeito que um grafo misto (com arestas quepodem ser dirigidas ou no).

EtiquetasMultigrafos e multidgrafos podem suportar a noo de grafos etiquetados, de modo similar. Contudo no hconsenso na terminologia nesse caso.As definies de multigrafos e multidgrafos etiquetados so similares, e definiremos apenas o ltimo:Um multidgrafo etiquetado um grafo etiquetado com arcos etiquetados.Formalmente: Um multidgrafo etiquetado G um multigrafo com ns etiquetados e arcos. Formalmente uma8-tupla , em que: um conjunto de ns e um multiconjunto de arcos. e so alfabetos finitos de ns e etiquetas de arcos disponveis. e so duas funes indicando o n de origem e o de destino de um arco. e so duas funes descrevendo a etiquetagem dos ns e arestas.

Notas[1][1] Para exemplos, veja. Bollobas, p. 7 and Diestel, p. 25.[2] Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem, by Robert A. Wilson, 2002, ISBN 0198510624, p. 6 (http:/ / books. google. com/

books?id=iq0sSnIxJioC& pg=PA6& dq=pseudograph& lr=& ei=R-jrSKWoCJGgswOv0eiXBw&sig=ACfU3U20xuoH7jZDq-XGqSnfsmC0oE8KjQ)

Referncias http:/ / www. utm. edu/ departments/ math/ graph/ glossary. html#multigraph Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5.

Quiver 36

Quiver

Um digrafo.

Em matemtica, um quiver (ou digrafo) um grafo direcionado onde laos emltiplas setas entre dois vrtices so permitidos. Eles so comumente utilizadosem teoria da representao: uma representao, V, de um quiver atribui um espaovetorial V(x) para cada vrtice x do quiver e um mapa linear V(a) para cada seta a.

Representao de um quiver, consistindo de dois espaos vetoriais (V1, V2) e um morfismo f

Se K um corpo e um quiver, ento o quiver algbrico ou trilha algbrica K definido como se segue. Uma trilha em Q uma sequncia de setas a_1 a_2 a_3... a_n tal que a cabea de a_{i+1} = cauda de a_i, usando a conveno deconcatenar trilhas da direita para esquerda. Ento, a trilha algbrica um espao vetorial que tem todas as trilhas doquiver como base e a multiplicao dada pela concatenao de trilhas. Se duas trilhas no podem ser concatenadasporque o vrtice final da primeira no igual ao vrtice inicial da segunda, seu produto definido como zero. Istodefine uma lgebra associativa sobre K. Essa lgebra unitria se e somente se o quiver possui somente muitosvrtices finitos. Neste caso, os mdulos sobre K so naturalmente identificados com as representaes de .

Se o quiver possui muitos vrtices e setas finitos, e o vrtice final e o inicial de qualquer trilha so sempre distintos(isto , Q no tem ciclos orientados), ento K um anel hereditrio de dimenso finita sobre K.

Representaes de quiversUma representao de um quiver, Q, dita ser trivial se V(x)=0 para todos os vrtices x em Q.Um morfismo, f:V->V', entre representaes do quiver Q, uma coleo de mapas lineares

tal que para cada seta em Q de x para y , isto , todos osquadrados que f forma com as setas de V e V' se comutem. Um morfismo, f, um isomorfismo, se f(x) invertvelpara todos os vrtices x no quiver. Com estas definies, as representaes dum quiver formam uma categoria.Se V e W so representaes dum quiver Q, ento a soma direta destas representaes, , definida por

para todos os vrtices x em Q e a soma direta dosmapeamentos lineares V(a) e W(a).Uma representao dita ser decomponvel se ela isomrfica soma direta das representaes no-zero.Uma definio categrica duma representao de quiver pode tambm ser dada. O quiver em si pode ser consideradouma categoria, onde os vrtices so objetos e trilhas so morfismos. Ento, uma representao de Q apenas umfuntor covariante desta categoria para a categoria de espaos vetoriais de dimenses finitas.

Teorema de GabrielUm quiver dum tipo finito se possui muitas representaes finitas no-isomrficas indecomponveis. O teorema deGabriel classifica todas as representaes de quiver do tipo finito. Mais precisamente, declara que:1. Um quiver (conectado) de um tipo finito se e somente se o seu grafo subjacente (quando as direes das setas

so ignoradas) um dos seguintes diagramas de Dynkin: , , , , .2. As representaes indecomponveis esto numa correspondncia um-para-um com as razes positivas do sistema

de razes do diagrama de Dynkin.

Quiver 37

Ligaes externas Quiver Representations [1], Harm Derksen e Jerzy Weyman, AMS Notices Notas sobre representaes de quivers [2]

Finite-dimensional algebras and quivers [3], Alistair Savage, "Encyclopedia of Mathematical Physics", eds. J.-P.Franoise, G.L. Naber e Tsou S.T. Oxford: Elsevier, 2006, volume 2, pp. 313-320

Digrafo [4] em USP

Referncias[1] http:/ / www. ams. org/ notices/ 200502/ fea-weyman. pdf[2] http:/ / www. amsta. leeds. ac. uk/ ~pmtwc/ quivlecs. pdf[3] http:/ / www. arxiv. org/ pdf/ math/ 0505082[4] http:/ / www. icmc. sc. usp. br/ manuals/ sce183/ gfdig. html

Vrtice de corte (teoria dos grafos)

Um grafo no-dirigido com n=5vertices e n-2=3 vrtices de corte;os vrtices de corte (em vermelho)

so aqueles que no esto emambos as pontas

Em matemtica e cincia da computao, um vrtice de corte ou ponto dearticulao[1] um vrtice de um grafo tal que a remoo deste vrtice provocaum aumento no nmero de componentes conectados. Se o grafo era conectadoantes da remoo do vrtice, ele ser desconectado depois. Qualquer grafoconectado com um vrtice de corte tem uma conectividade de 1.

Embora bem definidos, mesmo para grafos dirigidos (digrafos), os vrtices de corteso utilizados principalmente em grafos no dirigidos. Em geral, um grafoconectado, no-dirigido, com n vrtices no pode ter mais do que n-2 vrtices decorte. Naturalmente, um grafo pode no ter nenhum vrtice de corte.

Uma ponte uma aresta anloga a um vrtice de corte, ou seja, a remoo de umaponte aumenta o nmero de componentes conectados do grafo.

Encontrando Vrtices de corte

Um algoritmo trivial como se segue:

Vrtice de corte (teoria dos grafos) 38

Um grafo no-dirigido semvrtices de corte

C = conjunto vazio (no final do algoritmo ele ir conter os vrtices de corte)

a = nmero de componentes em G (encontrado usando uma Busca em profundidade/Busca em largura)

para cada i em V com arestas incidentes

b = nmero de componentes em G com i removido

se b > a

i um vrtice de corte

C = C + {i}

fimse

fimpara

Um algoritmo com o tempo muito melhor execuo [2] conhecido usando uma Busca emprofundidade.

Algoritmo em C++#include

#include

#include

#include

#define MAX 100

using namespace std;

int n, time_s, visit[MAX];

vector ADJ[MAX];

int dfs(int u, set& ans){

int menor = visit[u] = time_s++;

int filhos = 0;

for(int i = 0; i

Vrtice de corte (teoria dos grafos) 39

}

}else{

menor = min(menor, visit[ADJ[u][i]]);

}

}

return menor;

}

set get_articulacoes(){

set ans;

time_s = 1;

memset(visit, 0, n*sizeof(int));

dfs(0,ans);

return ans;

}

Teste seu cdigo em: http:/ / br. spoj. pl/ problems/ MANUT/

Vrtices de corte em rvoresUm vrtice v de uma rvore G um vrtice de corte de G somente se o grau do vrtice maior que 1.[2] Slides apresentando o algoritmo O(n+m) (http:/ / www. eecs. wsu. edu/ ~holder/ courses/ CptS223/ spr08/ slides/ graphapps. pdf)

Ligaes externas Wolfram Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Cut-Vertex. html) "Cut-Vertex" Nirmala, K.; Ramachandra Rao, A. O nmero de vrtices de corte em um grafo regular. (em portugus), Cah.

Cent. tud. Rech. Opr. 17, 295-299 (1975).

Vizinhana 40

Vizinhana

Um grafo consistindo de 6 vrtices e 7 arestas

Em teoria dos grafos, um vrtice adjacente de um vrtice v em umGrafo um vrtice que est ligado a v por uma aresta.[][] A vizinhanaou adjacncia de um vrtice v em um grafo G um subgrafo induzidode G constitudo por todos os vrtices adjacentes a v e todas as arestasligando esses dois vrtices. Por exemplo, a imagem mostra um grficode 6 vrtices e 7 arestas. O vrtice 5 adjacente aos vrtices 1, 2 e 4,mas no adjacente aos vrtices 3 e 6. A vizinhana do vrtice 5 ografo com trs vrtices, 1, 2 e 4, e uma aresta conectando os vrtices 1e 2.

A vizinhana frequentemente denotada NG(v) ou (quando o grafo no ambguo) N(v). A mesma notao devizinhana tambm pode ser usada para se referir a um conjunto de vrtices adjacentes ao invs dos subgrafosinduzidos correspondentes. A adjacncia descrita acima no inclui v em si, e mais especificamente, a vizinhanaaberta de v; tambm possvel definir uma adjacncia na qual v est includo, chamada de vizinhana fechada edenotada por NG[v]. Quando no se afirma nada, a vizinhana considerada aberta.

Vizinhanas podem ser usadas para representar grafos em algoritmos de computador, atravs da representaes delista de adjacncia e matriz de adjacncia . Vizinhanas tambm so usadas no coeficiente de agrupamento de umgrafo, que uma medida da densidade mdia de suas adjacncias. Alm disso, muitas classes importantes de grafospodem ser definidas pelas propriedades de suas vizinhanas, ou por simetrias que relacionam vizinhanas umas comas outras.Um vrtice isolado no tem vrtices adjacentes. O grau de um vrtice igual ao nmero de vrtices adjacentes. Umcaso especial um lao que une um vrtice a ele prprio; se tal aresta existe, o vrtice pertence sua prpriavizinhana.

Propriedades locais em grafos

No grafo octadrico, a vizinhana de qualquervrtice um 4-ciclo.

Se todos os vrtices em G tem adjacncias que so isomorfas para omesmo grafo H,G dito ser localmente H, e se todos vrtices em Gtem adjacncias que pertencem a alguma famlia de grafosF, G ditoser localmente F(Hell 1978, Sedlacek, 1983). Por exemplo, no grafooctadrico mostrado na figura, cada vrtice tem uma adjacnciaisomorfa a um grafo cclico de quatro vrtices, de modo que o octaedro localmente C4.

Por exemplo: Qualquer grafo completo Kn localmente Kn-1. Os nicos grafos

que so localmente completos so unies disjuntas de grafoscompletos.

Um grafo de Turn T(rs,r) localmente T((r-1)s,r-1). Maisgenericamente qualquer grafo Turan localmente Turan.

Todo grafo planar localmente periplanar. No entanto, nem todos os grafos localmente periplanares so planares. Um grafo livre de tringulos sse localmente independente. Todo grafo k-cromtico localmente (k-1)-cromtico. Todo grafo localmente k-cromtico tem um nmero

cromtico .[]

Vizinhana 41

Se uma famlia de grafos F fechada sob a operao de tomar subgrafos induzidos, ento cada grafo em F tambm localmente F. Por exemplo, todos os grafos cordais so localmente cordais; cada grafo perfeito localmente perfeito; todos os grafos de comparabilidade so localmente comparveis.

Um grafo localmente cclico se cada vizinhana um ciclo. Por exemplo, o octaedro o nico grafo localmenteC4, o icosaedro o nico grafo localmente C5 e o grfico Paley de ordem 13 localmente C6.

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rvores

rvores

Uma rvore com 5 arestas e 6 vrtices.

Na teoria dos grafos, uma rvore um grafo conexo (existe caminhoentre quaisquer dois de seus vrtices) e acclico (no possuiciclos)[1][2]. Caso o grafo seja acclico mas no conexo, ele dito umafloresta. Uma floresta tambm definida como uma unio disjunta dervores.

Toda rvore um grafo, mas nem todo grafo uma rvore. Todarvore um grafo bipartido e planar. Todo grafo conexo possui pelomenos uma rvore de extenso associada, composta de todos os seusvrtices e algumas de suas arestas.

Propriedades

Seja G um grafo. G uma rvore se satisfaz as seguintes condies: G conexo e h exatamente um caminho entre dois vrtices

quaisquer. J em uma floresta, h no mximo um caminho entre doisvrtices, devido no-conectividade.

G acclico, e um simples ciclo formado se qualquer aresta for adicionada a G. G conexo, e deixa