MODULO ICONJUNTO: ES LA COLECCIÓN O AGREGADO DE IDEAS U OBJETOS DE CUALQUIER ESPECIE, SIEMPRE Y CUANDO ESTAS IDEAS U OBJETOS ESTEN TAN CLAROS Y DEFINIDOS COMO PARA DECIDIR SI PERTENECEN O NO AL CONJUNTO.

ELEMENTOS DEL CONJUNTO: IDEAS U OBJETOS QUE FORMAN EL CONJUNTO.

NOTACION: GENERALMENTE SE USAN LETRAS MAYUSCULAS PARA DENOTAR CONJUNTOS Y LETRAS MINUSCULAS PARA LOS ELEMENTOS.PARA INDICAR QUE UN OBJETO ES ELEMENTO DE UN CONJUNTO ESCRIBIMOS:X E A Y SE LEE: “ X ES ELEMENTO DEL CONJUNTO A”PARA INDICAR QUE NO ES ELEMENTO O NO PERTENECE AL CONJUNTO ESCRIBIMOS:X E A Y SE LEE: “ X NO ES ELEMENTO DEL CONJUNTO A” , “ X NO PERTENECE AL CONJ. A”

FORMA ENUMERATIVA O DE EXTENSION: SE ESCRIBEN TODOS LOS NOMBRES DE LOS ELEMENTOS QUE FORMAN EL CONJUNTO ENTRE LLAVES O CORCHETES, SEPARADOS POR COMAS, O BIEN SE ESCRIBEN LOS PRIMEROS ELEMENTOS Y PUNTOS SUSPENSIVOS PARA INDICAR QUE AUN FALTAN OTROS ELEMENTOS.S= { DOMINGO, LUNES, MARTES } P = { 2,4,6,8,10 . . . }

FOMRA DESCRIPTIVA O DE COMPRENSION: SE ENCIERRA ENTRE LLAVES O CORCHETES LA CONDICION PARA PERTENECER AL CONJUNTO O LA DESCRIPCION DE LOS ELEMENTOS QUE LO FORMAN. S= {CONJUNTO DE LOS 3 PRIMEROS DIAS DE LA SEMANA } P= { PARES < 10}

ORACIONES ABIERTAS, VARIABLES, CONJUNTOS DE REEMPLAZAMIENTO Y CONJUNTO DE VERDAD.

ORACION ABIERTA: LA QUE TIENE UNA VARIABLE O INCOGNITA Y NO SE PUEDE SABER DE INMEDIATO SU VALOR VERDAD (VERDADERA O FALSA), Y PARA SUSTITUIR LA VARIABLE O INCOGNITA SE REQUIERE QUE SE PROPORCIONE O SE CUENTE CON UN CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO. CADA UNO DE LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO QUE HAGAN VERDAD LA ORACION ABIERTA PASARAN A FORMAR PARTE DEL CONJUNTO VERDAD.

VALOR VERDAD: CALIFICACION DE VERDADERO O FALSO RESPECTO DE UNA ORACION SIMPLE.

CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO: CONJUNTO DE ELEMENTOS QUE SE UTILIZARAN PARA SUSTITUIR O REEMPLAZAR LA VARIABLE DE LA ORACION ABIERTA.

CONJUNTO VERDAD: SE FORMA CON AQUELLOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO QUE HACEN VERDADERA LA ORACION ABIERTA AL SUSTITUIRSE CADA UNO DE ELLOS POR LA VARIABLE DE DICHA ORACION.CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO CONJUNTO VERDAD

1

OTRA NOTACION O FORMA DE EXPRESAR LOS CONJUNTOS ES UNA VARIACION DE LA FORMA LLAMADA POR DESCRIPCION QUE LLAMAREMOS “NOTACION PARA CONSTRUIR CONJUNTOS”, ÉSTA NOS PERMITIRIA MAS ADELANTE ABREVIAR LA REPRESENTACION DE LOS CONJUNTOS O ENUMERAR LOS ELEMENTOS QUE LOS FORMAN. EJEMPLO:

E = {X I X SEA UNA DE LAS ESTACIONES DEL AÑO} Y SE LEE: E ES IGUAL AL CONJUNTO FORMADO POR EL ELEMENTO X TAL QUE “X” SEA UNA DE LAS ESTACIONES DEL AÑO

( I SIGNIFICA “TAL QUE”)

LA LETRA X REPRESENTA CUALQUIER ELEMENTO QUE SATISFAGA LA CONDIFICION DADA (PRIMAVERA, VERANO, ETC.) Y COMO PUEDE VARIAR ES POR ESO QUE LA “X” SE LLAMA VARIABLE O INCOGNITA.

LA ORACION QUE SE FORMA CON CADA UNO DE LOS ELEMENTOS QUE SATISFAGAN LA CONDICION SE LLAMARA ORACION SIMPLE, YA QUE DE INMEDIATO SE PUEDE SABER SU VALOR VERDAD, ES DECIR, SI ES VERDADERA O FALSA.

2

P= {X E A I X SEA UN NUMERO}COJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO = BB= { BOTON, 3, PAPEL, 2 }CONJUNTO VERDAD. V= {3,2}

E = {X I X SEA UNA ESTACION DEL AÑO}CONJUNTO REEMPLAZAMIENTO: AA= { OTOÑO, SOL, LUNA, VERANO }CONJUNTO VERDAD = {OTOÑO, VERANO }

AUTOEVALUACION:1. COMPLETAR LOS ESPACIOS SIGUIENTES CON LA APALABRA ADECUADA.A) A UN CONJUNTO DE JUGADORES DE BEISBOL SE LE LLAMA_________B) A UN CONJUNTO FORMADO POR TRES GUITARRISTAS SE LLAMA_________C) A UN CONJUNTO DE MONEDAS ANTIGUAS SE LLAMA_________D) A LOS ALUMNOS EGRESADOS DE SU CARRERA PROFESIONAL SE LLAMA__________E) A UNA SALA QUE REUNE VARIOS LIBROS SE LLAMA_______F) A LA REUNION DE SOLDADOS DE UN PIS SE LLAMA_______

2. ESCRIBA SI O NO SEGÚN PERTENEZCA O NO AL COBNJUNTO “F”A) ¿ES MARGARITA ELEMENTO DE F?____B) ¿ES CLAVEL ELEMENTO DE F?_______C) ¿ES PERFUME ELEMENTO DE F?_____D) ¿ES HERMOSAELEMENTODE F?_____E) ¿ESTA BIEN DEFINIDO EL CONJUNTO F?__________

3.- EXPLIQUE POR QUE CONSIDERA QUE EL CONJUNTO “F” ESTA BIEN DEFINIDO:__________________________________________________________________________________

4.-SEA J= {X I X SEA UNA FLOR }A) ¿ES A E J? ________B) ¿ES AROMA E J? ________

C) ¿ES GARDENIA E J? ________D) ¿ES MARGARITA E J? ________

E) ¿ESTA BIEN DEFINIDO EL CONJUNTO J? _____

5.- SEA EL CONJUNTO R EL CONJUNTO DE LOS MESES QUE TIENEN EN SU NOMBRE LETRA “R”. MARQUE LA CASILLA QUE INDIQUE LA RESPUESTA CORRECTA.A) MAYO E R _____B) ABRIL E R ____

C) DICIEMBRE E R _____D) AGOSTO E R ____

6.- SEA M= {1,2,3,4,5,6 } EL CONJUNTO DE REEMPLAZAMIENTO. DETERMINE EL CONJUNTO VERDAD QUE CORRESPONDA A CADA CONJUTNO QUE SE DA EN LA NOTACION PARA CONSTRUIR CONJUNTOS O DESCRIPCION USE LA FORMA ENUMERATIVA.

A) S ={ X E M I X ES MENOR QUE 5 } S= { }

B) L ={ X E M I X + 1 IGUAL QUE 5 } L= { }

C) T ={ X E M I X + 1 MAYOR QUE 4 } T= { }

D) U ={ X E M I X ES DIFERENTE DE 2 } U= { }

7.- EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SE DAN CONJUNTOS USANDO LA FORMA ENUMERATIVA, CAMBIELOS A LA FORMA DESCRIPTIVA USANDO SUS PALABRAS PARA LA CONDICION. FORMA ENUMERATIVA FORMA DESCRIPTIVA . A) M= { COLIMA, CAMPECHE, COAHUILA } M= { }B) N = { 1,2,3,4,5,6 } N = { }

3

MODULO IICARDINALIDAD: ESTA DETERMINADA POR EL NUMERO DE ELEMENTOS CONTENIDOS EN UN CONJUNTO. EJEMPLO: V0 {A,E,I,O U } CARDINALIDAD 5 Y SE EXPRESA DE LA SIGUIENTE MANERA n(V) = 5 Y SE LEE: LA CARDINALIDAD DE “V” ES CINCO.CONJUNTO FINITO: CUANDO SEA POSIBLE DEERMINAR EL NUMERO DE LEMENTOS DE UN CONJUNTO. EJEMPLO: NUMERO DE ASTROS DEL SISTEMA SOLAR, LAS ARENAS DEL MAR, AUNQUE NOSOTROS NO LOS PODAMOS CONTAR, EXISTEN YA EN UN NUMERO CONCRETO Y PERCISO, NO OBSTANTE QUE SE A DESCONOCIDO PARA NOSOTROS.

CONJUNTO INFINITO. AQUEL CUYOS ELEMENTOS NO SE PUEDAN CONTAR PORQUE NUNCA TERMINAN. EJEM.: LOS NUMEROS NATRUALES, ES DECIR LOS QUE SIRVEN PARA CONTAR. ES INFINITO ESTE ELEMENTO PORQUE ES IMPOSIBLE TERMINAR DE ENUMERARLOS PUESTO QUE SIEMPRE PODREMOS AÑADIR UN NUMERO MAS. OTRO EJEMPLO SON LAS FRACCIONES EN QUE SE PUEDE DIVIDIR LA UNIDAD, YQ EUE POR MAS PEQUEÑA QUE SEA, CADA PARTE SE PUEDE VOLVER A DIVIDIR UNA VEZ MAS.ESTOS CONJUNTOS GENERALMENTE SE MENCIONAN USANDO ORACIONES ABIERTAS ( EN FORMA DESCRIPTIVA) Y PARA PRESENTARLOS EN FORMA ENUMERATIVA ESCRIBIMOS UNICAMENTE ALUNOS DE SUS PRIMEROS ELEMENTOS Y A CONTINUACION PUNTOS SUSPENSIVOS QUE DEBEMOS ENTENDER COCMO LA SUCESION DE ELEMENTOS QUE CUMPLEN EL MODELO DE LOS PRIMEROS.

EJEMPLOS: A= {1,3,5,7 . . . }A= {NUMEROS NATURALES IMPARES }

SI SE DA EL CONJUNTO B= 5,10, 15 . . .} SE HA QUERIDO EXPRESAR UNA SERIE ORDENADO DE NUMEROS QUE AUMENTAN DE CINCO EN CINCO A PARTIR DEL CINCO Y EL CUAL TAMBIEN ES UN CONJUNTO INFINITO. EN CONCLUSION: LOS PUNTOS SUPENSIVOS ESCRITOS DESPUES DE ALGUNOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO REPRESENTAN LA CONTINUACION CON UN MISMO PATRON O MODELO HASTA EL INFINITO.

CONJUNTO UNIVERSAL: LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS CONSIDERADOS PARA DETERMINADA OPERACIÓN.

CONJUNTOS NULOS ó VACIOS: AQUELLOS PARA LOS CUALES NINGUN ELEMENTO SATISFACE LA CONDICION DADA Y SE REPRESENTAN POR UN CERO ATRAVESADO 0 O POR UNOS PARENTESIS VACIOS { } , UNO U OTRO, PERO NO POR AMBOS.

CONJUNTOS EQUIVALENTE: CUANDO TIDENEN EL MISMO NUMERO DE ELEMENTOS, ES DECIR MISMA CARDINALIDAD.. EN ESTE CASO EXISTE CORRESPONDENCIA DE UNO A UNO ENTRE LOS ELEMENTOS DE AMBOS CONJUNTOS CONOCIDA TAMBIEN COMO CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA. SON EQUIVALENTES EL CONJUNTO DE SILLAS DE UN SALON Y EL NUMERO DE ALUMNOS, PERO SIEMPRE Y CUANDO QUE ESTEN OCUPADAS TODAS LAS SILLAS. Y NO HAYA NINGUN ALUMNO DE PIE.

C = {VERDE, BLANCO, ROJO}. Y {VERDE, BLANCO, ROJO } M = {1,2,3, } SON EQUIVALENTES

{ 1, 2, 3 }

4

CONJUNTOS IGUALES: CUANDO LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO SON A LA VEZ LOS ELEMENTOS DE OTRO Y VICEVERSA Y SE SIMBOLIZA A = B

L= { LUIS, MARIO, PEPE, SARA }V= { SARA, PEPE, MARIO, LUIS }L= V.

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS IGUALES Y CONJUNTOS EQUIVALENTES: EQUIVALENTES: DIFERENTES ELEMENTOS PERO MISMA CARDINALIDAD.IGUALES: MISMOS ELEMENTOS Y MISMA CARDINALIDAD.

AUTOEVALUACION1.- SI LLAMAMOS “N” AL CONJUNTO DE NUMEROS NATURALESA. ¿ES N UN CONJUNTO INFINITO? ______¿ POR QUÉ? __________________________________

B. SI P= (X E N l X ES MENOR QUE 9 ¿ES P UN CONJUTNO FINITO?_____ ¿POR QUÉ? ____________________________________________________________________

C. LA CARDINALIDAD DE P SERA n(P) =

2.- PARA CADA CONJUNTO QUE SE NOMBRA MARQUE CON UN X SEGÚN SEA FINITO O INFINITO. FINITO INFINITOA. LOS PUNTOS DE UNA RECTA ______ _______B. LAS ISLASDE TODO EL MUNDO ______ _______

LOS PELOS DE UN GATO ______ ______C. CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS IMPARES MAYORES DE 5 ______ ______D. CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS ______ _______

3.- SEA R= (1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10) EXPRESE EN FORMA ENUMERATIVA LOS ELEMENTOS DE LOS CONJUNTOS QUE SE PROPONEN A CONTINUACION.A. SEA M= (X E R l X MENOR QUE 1 ) = _________________________________B. S= (X E R l X . X = 64 ) =_____________________________________________C. T= (X E R l X + 7 = 25 ) =____________________________________________D. V= (X E R l X +3 = 7) =______________________________________________

4.- SEÑALE EN EL ESPACIO CORRESPONDIENTE SI EL CONJUNTO PROPUESTO ES O NO VACIO.A. EL CONJ. DE LOS NUM. IMPARES QUE TERMINAN EN 2. VACIO NO VACIOB. CONJ. DE LOS NUMEROS PARES. ______ _______C. (X E R l 7 . X = 12 ) ______ _______D. (A, E, I, O ,U) ______ _______E. (0) ______ _______F. EL CONJUNTO O ______ _______

5.-MENCIONE LA CARDINALDAD DE LOS SIGUIENTES CONJUN TOS COMPLETANDO LOS ESPACIOS.1. A= (2,3,6,5 ) n (A) =_______________2. B= (11,12) n (B) =_______________3. C= ( O ) n (C) =_______________4. D= ( 0 ) n (D) =_______________5. E= ( ) n (E) =_______________

6.- CONSIDERANDO QUE A= 81,2,3 ), B= (2,3,5) Y C= (3,2,1) COMPLETE LA ORACION COLOCANDO EL SIMBOLO CORRECTO ESCOGIENDO ENTRE =, = (IGUAL, DIFERENTE).

5

A) A ______ BB) B ______ C

C) (2,5,3) _____ AD) B _______ (5,2,3)

E) C ______ A

6

MODULO IIISUBCONJUNTOS.

SUBCONJUNTO: DADOS DOS CONJUNTOS A Y B EN QUE TODOS LOS ELEMENTOS DE A PERTENECEN AL CONJUNTO B, ENTONCES DECIMOS QUE EL CONJUNTO A ES SUBCONJUNTO DE B. SIMBOLO:

SUBCONJUNTO PROPIO. DADOS DOS CONJUNTOS A Y B, DECIMOS QUE A ES SUBCONJUNTO PROPIO DE B, SA ES SUBCONJUNTO DE B Y EXISTE A LO MENOS UN ELEMENTO DE B QUE NO PERTENECE AL CONJUNTO A. POR LO TANTO SIEMPRE VAN A TENER DIFERENTE CARDINALIDAD, EL SUBCONJUNTO PROPIO TENDRA MENOR CARDINALIDAD QUE EL CONJUNTO.SIMBOLO:

AL CONJUNTO R QUE ESTA FORMADO POR ELEMENTOS QUE TAMBIEN PERTENECEN AL CONJUNTO P SE LE LLAMA SUBCONJUNTO DE P.

CUANDO DECIMOS QUE UN CONJUNTO ES SUBCONJUNTO DE OTRO, ESTAMOS DANDO LA IDEA DE PERTENENCIA O TAMBIEN LA DE PARTICIÓN, POR EJEMPLO: A B SIGNIFICA QUE A ES SUBCONJUNTO DE B O TAMBIEN A PERTENECE A B ; A ESTA INCLUIDA EN B. EN CONCLUSION, SI UN ELEMENTO PERTENECE AL CONJUNTO A DEBE, POR ESA RAZON PERTENECER AL CONJUNTO B . PUEDE CONSIDERARSE TAMBIEN QUE TODO CONJUNTO ES UN SUBCONJUNTO DE SI MISMO, E IGUALMENTE EL CONJUNTO VACIO SERA UN SUBCONJUNTO DE CUALQUIER OTRO CONJUNTO. A A, O A

OTRO EJEMPLO: V= VOCALES DEL ALFABETO Y A= TODAS LAS LETRAS DEL ALFABETOPODEMOS DECIR QUE V A , YA QUE CUALQUIER VOCAL ES ELEMENTO DEL ALFABETO, Y POR LO TANTO,TIENEN DIFERENTE CARDINALIDAD, EL SUBCONJUNTO V TENDRA MENOR CARDINALIDAD QUE EL CONJUNTO A.

PERO A V PORQUE EN EL ALFABETO HAY LETRAS QUE NO SON VOCALES Y POR TANTO NO SON ELEMENTOS DE V. Y POR ELLO ES MAS APROPIADO UTILIZAR EL SIMBOLO QUE NO LLEVA LA LINEA ABAJO: A VPOR LO TANTO,TIENEN DIFERENTE CARDINALIDAD, EL SUBCONJUNTO TENDRA MENOR CARDINALIDAD QUE EL CONJUNTO. n ( V ) n( A ) ó n ( A ) n ( V ) .

COJUNTO DE NUMEROS NATURALES: HEMOS DEFINIDO AL CONJUNTODE NUMEROS ANTURLES ”N” COMO EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS QUE NOS SIRVEN PARA CONTAR. A PARTIR D AQUÍ USAREMOS LA LETRA “N” EXCLUSIAMENTE PARA DESIGNAR A ESTE CONJUNTO. N= 1, 2, 3, 4, 5, . . .

ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE N:

NUMEROS MULTIPLOS DE K:SI K PERTENCE A N ENTONCES M= K, 2K, 3K, 4K, . . .EJEMPLO: EL CONJUNTO DE LOS MULTIPLOS DE 7 SERA: 7, 14, 21, 28, . . .

SE DICE QUE UN NUMERO ES DIVISIBLE ENTRTE OTRO CUANDO SU COCIENTE ES UN NUMERO ENTERO Y EL RESIDUO ES 0. SIEMPRE QUE UN N UMERO ES MULTIPLO DE OTRO, ES DVISIBLE ENTRE ÉSTE; 15 ES UN MULTIPLO DE 3 Y DE 5, POR LO TANTO ES DIVISIBLE ENTRE 3 Y ENTRE 5.

NUMEROS PRIMOS: SON LOS QUE O TIENEN MAS DIVISORES QUE ELLOS MISMOS Y LA UNIDAD. DEBEMOS OBSERVAR QE EL NUMERO 1 NO SE DEFINE COMO NUMERO PRIMO, PARA EVITAR TENER QUE HACER EXCECIONES EN ESTUDIOS MATEMATICOS DE MAS ALTO NIVEL.

NUMEROS COMPUESTOS: ESTE CONJUNTO ESTA FORMADO POR LOS NUMEROS QUE NO SON PRIMOS A EXCEPCION DEL UNO. LOS NUMEROS COMPUESTO SON MULTIPLOS DE AQUELLOS QUE SON SUS FACTORES; ASI, 12 ES UN MULTIPLO DE 2, DE 3, DE 4 Y DE 6, YA QUE ESTOS NUMEROS ESTAN CONTENIDOS EXACTAMENTE EN 12, COMO PODEMOS OBSERVAR EN LA FIGURA.

A LA INVERSA, TAMBIEN PODEMOS DECIR QUE 2,3,4 Y 6 SON FACTORES DE 12. SE DICE QUE SE FACTORIZA UN NUMERO, CUANDO SE EXPRESA COMO PRODUCTO DE SUS FACTORES. UNA FACTORIZACION SE CONSIDERA COMPLETA SOLO CUANDO TENEMOS FACTORES PRIMOS EN SU FACTORIZACION.FACTORIZACION INCOMPLETA DE 12: 6 Y 2, YA QUE EL SEIS TODAVIA ACEPTA MAS DIVISIONES, YA SEA ENTRE 3 O ENTRE 2.EN CAMBIO LA FACTORIZACION COMPLETA DE 12 ES: 2, 2 Y 3. YA QUE AL MULTIPLICARSE ENTE SI DAN DOCE Y ADEMAS YA NO PERMITEN MAS DIVISION, A EXCEPCION DE LOA UNIDAD Y SI MISMOS.

EN CAMBIO 5, 7, 8, 9 NO SON FACTORES DE 12 YA QUE NINGUNO D3 ELLOS ESTA CONTENIDO UN NUMERO EXACTO DE VECES EN EL NUMERO 12.

VARIABLECONJUNTO VERDADORIACION ABIERTADIAGRAMA DE VENN

MODULO IVOPERACIONES CON CONJUNTOS

DEFINICION DE LA OPERACIÓN

EXPRESIONES EN LENGUAJE DE CONJUNTOS

EXPRESION GRAFICA(DIAGRAMA DE VENN)

1. UNION : ( U ) ES LA REU-NION DE LOS ELE-MENTOS DE DOS O MAS CONJUNTOS OBTENIENDO ASI UN CONJUNTO DIFERENTE A LOS CON JUNTOS REUNIDOS.

NOTAS: NO PORQUE ALGUNOS ELEMENTOS SE REPITAN EN AMBOS CONJUNTOS SE PON-DRAN DOS VECES. (SOLO UNA)

LA UNION SE REFIERE A LO SOMBREADO YA SEA CON UNA.LINEA

Ó CON 2 LÍNEAS

1. FORMA ENUMERATIVA O DE EXTENSION:M= ( 2,4,6,8,10)N= (4,8,12, 16 )

2. FORMA DESCRIPTIVA O DE COMPRENSION:M= (NUMEROS PARES ME -NORES O IGUALES A 10 )

N= ( NUMEROS MULTIPLOS DE 4 MENORES O IGUALES A 16)

RESULTADO:M U N = ( 2, 4, 6, 8,10, 12, 16 )

CONJUNTO M CONJUNTO NPARES MENORES MULTIPLOS DE 4O IGUALES A 10 MENORES O IGUA LES A 16PARES 10 MULTIPLOS DE 4 16

M U N =

RESULTADO: ( TODO )

Ó

2, 4, 6,8, 10

4, 8, 12, 16

2, 4, 6, 8, 10, 12, 16

2, 6, , 10

12, 16

48

3. INTERSECCION:

( )

SELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS QUE SE REPITEN O PERTENECEN SIMULTANEAMENTE A DOS CON-JUNTOS DADOS. NOTA:

LA INTERSECCION SE REFIERE SOLAMENTE A LO SOMBREADO CON DOS LINEAS.

1. FORMA ENUMERATIVA O DE EXTENSION:A= ( 1,3,5,7)B= (5,10, 15 )

2. FORMA DESCRIPTIVA O DE COMPRENSION:A= (NUMEROS IMPARES ME NORES QUE 8 )

A= ( NUMEROS MULTIPLOS DE 5 MENORES O IGUALES A 15)

RESULTADOM N = ( 2, 4, 6, 8,10, 12, 16 )

CONJUNTO A CONJUNTO BIMPARES MENORES MULTIPLOS DE 4A 8 MENORES O IGUA LES A 15PARES 10 MULTIPLOS DE 5 15

M N =

RESULTADO: (CUADRICULA)

Ó

5

1, 3, 5,7

5, 10, 15

1, 3, 5,7

10 15

5

DEFINICION DE LA OPERACIÓN

EXPRESIONES EN LENGUAJE DE CONJUNTOS

EXPRESION GRAFICA(DIAGRAMA DE VENN)

4. CONJUNTO COM -

PLEMENTO: ( ‘ ) TODOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO UNIVER-SO QUE NO ESTAN COMPRENDIDOS EN EL CONJUNTO DADO.

ES DECIR, TODO LO QUE NO ES EL CONJUNTO DADO.LO QUE SOBRA EN EL CONJUNTO UNIVERSO DESPUES DE TOMAR EL CONJUNTO DADO.

SE PUEDE COMBI-NAR EL CONJUNTO COMPLEMENTO CON LA UNION Y LA INTERSECCION.

PARA INDICAR QUE SE PIDE CONJUNTO COMPLEMENTO DE MAS DE UN CONJUNTO ES PRECISO QUE SE ENCIERREN ENTRE PARENTESIS O DE LO CONTRARIO SOLO SE DARA EL CONJUNTO COMPLEMENTO DE LA LETRA QUE TENGA LA APÓSTROFE A LA DERECHA ( ‘ )EJEMPLO:(X U Z) ‘ = COMPLE-MENTO DE LA UNION DE AMBOS CON-JUNTOS.X U Z’ = SE REFIERE A LA UNION DE X CON EL COMPLE-MENTO DE Z

1. FORMA ENUMERATIVA O DE EXTENSION:U= CONJUNTO UNIVERSO

U=( ) A= ( ) B= ( )

2. FORMA DESCRIPTIVA O DE COMPRENSION:A= (FIGURAS GEOMETRICAS DE 3 LADOS )B= ( FIGURAS GEOMETRICAS DE 4 LADOS)COMPLEMENTO DE A:TODO LO QUE NO ES A.A’ = ( )

COMPLEMENTO DE B:TODO LO QUE NO ES BB’= ( )

COMPLEMENTO DE A U B:TODO LO QUE NO ES A Y B JUNTOS(A U B )’= ( )

COMPLEMENTO DE A B:TODO LO QUE NO ES LO REPETIDO EN A CON B.

(A B )’= ( )

“A” UNIDA AL “COMPLEMENTE DE B” (A U B’) :A=B’=UNION DE A CON B’, ES DECIR:

A U B’= ( )

“A” INTERSECCION CON EL “COMPLEMENTO DE B”: A B’:

TODO LO QUE SE REPITE EN A Y EN B’A B’= ( )

CONJUNTO A CONJUNTO BFIGURAS DE 3 FIGURAS DE 4LADOS LADOS.

A’

B’

(A U B ) ’

(A B )’

A U B’

A B’

U

U

U

A B

B

U

A

A

A

B

B

U

U

BA

A

UNIDAD VINDUCCION Y DEDUCCION

MODULO VIPROPOSICIONES COMPUESTAS.

MODULO VIINEGACION

MODULO VIIIIMPLICACION. EQUIVALENCIA LOGICA.

MODULO IXSISTEMA MATEMATICO Y OPERACIONES BINARIAS. “R” REALES “D” RACIONALES: A/ B, A, B, Є E, B ≠ 0 (COCIENTE DE 2 ENTEROS) “E” ENTEROS: -2, -1, 0 , 1, 2, 3 . . . “C” NO NEGATIVOS: 0, 1, 2, . . . “N” NATURALES :SIRVEN PARA CONTAR (POSITIVOS).

ENTEROS NATURALES (POSITIVOS)

-2, -1.5, -1, -½, -¼, 0, ½, 1, 2, 2.5, 3... N E G A T I V O S N O N E G A T I V O S

N U M E R O S R A C I O N A L E S

- ENTEROS “E” - NO NEGATIVOS “C” - NATURALES “N”

- CERO

- RACIONALES“D” - NEGATIVOS

- FRACCIONESREALES “R”

- IRRACIONALES D’

POSTULADOS DE IGUALDAD:

POSTULADO 3 –1. PROPIEDAD REFLEXIVA: TODO NUMERO ES IGUAL A SÍ MISMO m = m 7 = 7

P. 3 –2. PROPIEDAD DE SIMETRIA: SI UN NUMERO ES IGUAL A OTRO, ENTONCES EL ULTIMO ES IGUAL AL PRIMERO. 32 = 9 9 =

32

P. 3 –3. PROPIEDAD TRANSITIVA: SI UN NUMERO ES IGUAL A UN SEGUNDO, Y ESTE ES IGUAL A UN TERCERO ENTONCES EL PRIMERO ES IGUAL AL TERCERO. 16/4 = 4 = 8/2 16/4 = 8/2

P. 3 –4. PROPIEDAD DE SUSTITUCION:

R

DE

CN

SI UN NUMERO ES IGUAL A OTRO EN CUALQUIER EXPRESION EN QUE APAREZCA EL PRIMERO PUEDE REEMPLAZARSE POR EL SEGUNDO SIN ALTERAR EL VALOR DE LA EXPRESION. SI A = B Y AMBOS E A LOS REALES, ENTONCES “B” PUEDE SUSTITUIR A “A”.24 = 2X ENTONCES 25 + Z = 2X +Z

P. 3 –5. PROPIEDAD ADITIVA O DE SUMA: SI A, B, C Y D SON NUMEROS REALES Y a = b Y c = d ENTONCES a + c = b + d. 3Y = 9 Y 2 = 4/2 ENTONCES 3Y + 2 = 9 +4/2

11 11 P. 3 –6. PROPIEDAD MULTIPLICATIVA: SI A, B, C Y D SON NUMEROS REALES Ya = b Y c = d ENTONCES ac = bd (recordemos que 2 literales juntas indican multiplicación )8 = 4Z Y 21 = 33 ENTONCES 8.21 = 4Z.33

MODULO XPOSTULADOS DE CAMPO:

POSTULADO 3 –7. CERRADURA:

PARA LA SUMA : SI A Y B SON ELEMENTOS DE R (NUMEROS REALES) ENTONCES LA SUMA O RESULTADO TAMBIEN ES ELEMENTO DE R Y A LOS NUMEROS A Y B SE LES LLAMA SUMANDOS. SI A Y B E R A+B E R . 2 Y 23 E R 25 E R.

PARA LA MULTIPLICACION: SI A Y B SON ELMENTOS DE R ENCONCES EL RESULTADO O PRODUCTO TAMBIEN ES ELEMENTO DE R Y A LOS NUMEROS A Y B SE LLES LLAMA FACTORES. SI A Y B E A R A ° B E R. SI 14 Y 2 E R 28 E R. SI 3 Y 2Z E R 6Z E R. (SIMBOLO DE LA MULTIPLICACION = PUNTO A MEDIA ALTURA ).

POSTULADO 3 –8. CONMUTATIVO: PARA LA SUMA : SI A Y B SON NUMEROS REALES EL ORDEN DE LOS SUMANDOS NO

AFECTA EL RESULTADO. A +B = B + A. 8 + 4 = 4 + 8 PARA LA MULTIPLICACION: SI A Y B E R EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL

PRODUCTO. A ° B = B ° A. 3 ° 9 = 9 ° 3

POSTULADO 3 –9. ASOCIATIVO: PARA LA SUMA: SI A, B Y C SON NUMEROS REALES, ES IGUAL QUE A LA SUMA DE A Y B SE LE SUME EL VALOR DE C ó QUE A L VALOR DE A SE LE SUME LA SUMA DE B Y C. ( A + B ) + C = A + ( B + C). ( 4 + 3) + 5 = 4 + (3 + 5)PARA LA MULTIPLICACION: SI A, B Y C SON ELEMENTOS DE R, ES IGUAL QUE EL PRODUCTO DE A POR B SE MULTIPLIQUE CON C ó QUE LA A SE MULTIPLIQUE POR EL PRODUCTO DE C POR C. ( 5 ° 2 ) 1 = 5 ( 2 ° 1 )

POSTULADO 3 –10. DISTRIBUTIVO:A LA IZQUIERDA: SI A, B, Y C E R ENTONCES A (B + C ) = A ° B + A ° C M (5+3) = M ° 5 + M ° 3 ALA DERECHA: SI A, B, Y C E R ENTONCES (A +B ) C = A ° C + B ° C (5+3) X = 5 ° X + 3 ° X

POSTULADO 3 –11. IDENTIDAD:

PARA LA SUMA : LA SUMA DE CUALQUIER ELEMENTO DE R Y EL CERO ES EL MISMO ELEMENTO POR LO QUE AL NUMERO CERO LE LLAMAMOS EL ELEMENTO DE IDENTIDAD PARA LA SUMA. A+ 0 = A 234 + 0 = 234PARA LA MULTIPLICACION: EL PRODUCTO DE CUALQUIER ELEMENTO DE R Y EL UNO ES EL MISMO ELEMENTO, ENTONCES EL NUMERO UNO ES EL ELEMENTO DE IDENTIDAD PARA LA MULTIPLICACION: A ° 1 = A XY ° 1 = XY 3M ° 1 = 3M

POSTULADO 3 –12. INVERSOS:PARA LA SUMA : PARA TODA “A “ QUE PERTENECE A LOS REALES EXISTE OTRO ELEMENTO DE R: (-A), LLAMADO INVERSO PARA LA SUMA, DE MODO QUE LA SUMA DE LOS DOS ES CERO. A + (-A) = 0 -A + (+A) = 0 6 + (-6) = 0 -6 + (+6) = 0

PARA LA MULTIPLICACION : PARA TODA “A” QUE PERTENECE A LOS R, SIENDO DIFERENTE A CERO, EXISTE OTRO ELEMENTO DE R LLAMADO INVERSO MULTIPLICATIVO O MEJOR COCNOCIDO COMO RECIPROCO, DE MODO QUE EL PRODUCTO DE LOS DOS ES UNO. RECIPROCO DE A = 1 ENTONCES A ° 1 = 1 ó 1 ° A = 1

A A A

8 = 1 ENTONCES 8 ° 1 = 1 ó 1 ° 8 = 1 8 8 8

XY = 1 ENTONCES XY ° 1 = 1 ó 1 ° XY = 1 XY XY XY

TEOREMAS IMPORTANTES:

TEOREMA 3-7: LEY DE CANCELACION PARA LA SUMA X + Z = Y + Z X= Y AB + 4 = 8 + 4 AB = 8.

TEOREMA 3-8: LEY DE CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION X ° Z = Y ° Z X= Y , SIEMPRES QUE Z SEA DIRERENTE QUE CERO. 9 ° 4 = 3 2 ° 4 9= 3 2

TEOREMA 3-9: X = Y -X = -Y ó VICEVERSA 8 = (2.4) -8 = -(2.4) ó -8 = -(2.4) 8 = (2.4)

TEOREMA 3-10: X = Y 1 = 1, SIENDO X, Y DIFERENTE A CERO. X Y

16 = 4 2 1 = 1, W = 25 1 = 1, 16 42 W 25

MODULO XI

TEOREMA 3-11: EL INVERSO ADITIVO DEL NUMERO CERO ES EL MISMO CERO.

TEOREMA 3-12: (-A) B = - (AB) (-9) 2 = - (9 ° 2) (-X) Y = - (XY)

TEOREMA 3-13: (-A) (-B) = AB (-5) (-4) = 5 ° 4 (-3) (-6) = 18

TEOREMA 3-14: - (A+B) = (-A) + (-B) - (2Y+3Y) = (-2Y) + (-3Y) - (12+7) = (-12) + (-7)

TEOREMA 3-15 : OPERACIÓN BINARIA QUE ASOCIA DOS NUMEROS REALES (MINUENDO Y SUSTRAENDO) CON OTRO NUMERO REAL UNICO LLAMADO LA RESTA O DIFERENCIA. LA OPERACIÓN DE RESTAR UN NUMERO** EQUIVALE A SUMAR EL INVERSO DE ESE NUMERO. (A) – (B)** = (A) + (-B) = R (RESTA) ( 10) – (4) = (10) + (-4) = 6

TEOREMA 3-16: A ( B – C) = A ° B - A.C M ( 8 – 3) = M ° 8 - M ° 3 4 ( X – Y) = 4X - 4Y

LEYES DE LOS SIGNOS

PARA SUMA Y RESTA:

A)- AL UNIR SIGNOS IGUALES, SE SUMAN. RESULTADO CON EL MISMO SIGNO 9 Y 3 = 12 +4 Y +15 = +19 -9 Y -21 = -30

B)- AL UNIR SIGNOS DIFERENTES, SE RESTAN. EL RESULTADO LLEVARA EL SIGNO DEL NUMERO MAYOR: -7 Y 6 = -1 +4 Y -21 = -17 50 Y -71 = -21

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

PARA MULTIPLICACION Y DIVISION:

A) SIGNOS IGUALES, RESULTADO TENDRA SIGNO POSITIVO (SIGNOS IGUALES DAN ( + ) -12 ° -3 = 36 +4 ° +15 = 60 -3 ° -21 = 63

-21 / -3 = 7 +40 / +5 = 8 -48 / -6 = 8

B) SIGNOS DIFERENTES, RESULTADO TENDRA SIGNO NEGATIVO.

(SIGNOS DIFERENTES DAN ( - ) -20 ° 3 = -60 +4 ° -5 = -20 -3 5 ° +2 = -70

-80 / +10 = -8 +24 / -8 = -3 -16 / +2 = -8

MODULO XIITEOREMA 3-17: LA DIVISION ES UNA OPERACIÓN BINARIA QUE ASOCIA DOS NUMEROS REALES (DIVIDENDO Y DIVISOR) CON OTRO NUMERO REAL UNICO LLAMADO COCIENTE ( C ). LA OPERACIÓN DE DIVIDIR DOS NUMEROS REALES ES IGUAL QUE MULTIPLICAR EL NUMERADOR (DIVIDENDO) POR EL RECIPROCO DEL DENOMINADOR,

DEBIDNDO SER B DIFERENTE DE CERO. A = A° 1 4 = 4 ° 1 8 = 8° 1AB = AB° 1

B B 2 2 Z Z X X

COMPROBACION: 4 = 4 4 ° 1 = 4 8 = 8 = 8 ° 1 = 8 1 1 2 2 1 1 Z Z

TEOREMAS SOBRE FRACCIONES:

TEOREMA 3-18: X ° Z = XZ Y, W DIFERENTES DE CERO. 8 ° 3 = 24 A° 4 = 4A Y W YW X Y XY 4 X 4X

TEOREMA 3-19: X = X Z Y, Z DIFERENTES DE CERO. 8 = 8 Z AC = AC X Y YZ B BZ 4 4 X

TEOREMA 3-20: A = C AD = BC. B,D DIFERENTES DE CERO. 6 = (2.3) 6Y = (2.3) Z

B D Z Y

TEOREMA 3-21: 1 = B A,B DIFERENTES DE CERO. 1 = 4 9 = 9.2 3 = 6 A A 7 7 4 4 8 8 B 4 2 2

MODULO XIII

A LAS COMBINACIONS DE NUMEROS , VARIABLES Y SIGNOS DE OPERACIONES, SE LES LLAMA EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y A LAS PARTES QUE LAS FORMAN Y ESTAN SEPARADAS POR LOS SIGNOS DE SUMAR O RESTAR SE LES LLAMA TERMINOS. EJEMPLO:

-2X +2AB – A(B-C) TIENE 3 TERMINOS. - 8Z (4XY ° 5XY2Z ) TIENE UN TERMINO. (X-Z) Y + 2XY TIENE DOS TERMINO.

AHORA BIEN, CADA TERMINO ESTA FORMADO POR:COEFICIENTE: ES EL NUMERO QUE ANTECEDE A LA VARIABLE.VARIABLE O LITERAL: SON LAS LETRAS QUE ESTAN ENSEGUIDA DEL COEFICIENTE. SE TRATARA DE COLOCAR PRIMERO EL COEFICIENTE Y DESPUES LA LITERAL.

EJEMPLO. –2X TIENE COEFICIENTE MENOS DOS.

3AB TIENE COEFICIENTE TRES.MN TIENE COEFICIENTE UNO-XY TIENE COEFICIENTE MENOS UNO.SE DICE QUE DOS O MAS TERMINOS SON SEMEJANTES CUANDO DIFIEREN UNICAMENTE EN EL COEFICIENTE, EL RESTO DE LOS FACTORES O VARIABLES DEBEN SER IDENTICOS EN CADA TERMINO PARA QUE SEAN SEMEJANTE.

LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS RECIBEN EL NOMBRE DE:A) MONOMIO: CUANDO TIENEN UN SOLO TERMINO.B) MULTINOMIO O POLINOMIO CUANDO TIENEN DOS O MAS TERMINOS, PERO EN FORMA

ESPECIFICA SE DENOMINAN:C) BINOMIO: CUANDO TIENE DOS TERMINOSD) TRINOMIO. CUANDO TIENE TRES TERMINOS.E) CUATRINOMIO: CUANDO TIENE CUATRO TERMINOS.

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:SI CONSIDERAMOS QUE LAS LITERALES DE NUESTRAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS REPRESENTAN NUMEROS REALES, ENTONCES, CADA EXPRESION ALGEBRAICA REPRESENTA A SU VEZ UN NUMERO REAL Y POR ESA RAZON DEBE CUMPLIR COMO TODO NUMERO REAL CON LOS POSTULADOS Y TEOREMAS VISTOS HASTA AQUÍ.

A LA SUMA Y RESTA TAMBIEN SE LES LLAMA REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES, APLICANDO LOS POSTULADOS ASOCIATIVO, CONMUTATIVO Y DISTRIBUTIVO.

REGLAS PARA LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA:

1° ELIMINAR TODOS LOS PARTENTESIS ó SIMBOLOS DE ASOCIACION APLICANDO LOS TEOREMAS SOBRE INVERSOS QUE CORRESPONDA.

2° IDENTIFICAR LOS TERMINOS SEMEJANTES Y ASOCIARLOS APLICANDO EL POSTULADO CONMUTATIVO CUANDO SEA NECESARIO.3° OPERAR SOLO CON LOS COEFICIENTES DE LOS TERMINOS SEMEJANTES EN EL

POSTULADO DISTRIBUTIVO.

MODULO XIV

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y EXPONENTES.

SE LLAMA POTENCIA A LA REPRESENTACION DE UN PRODUCTO DE FACTORES IGUALES, AL FACTOR QUE SE REPITE LE ESCRIBIMOS EL NUMERO DE VECES QUE SE DEBE REPETIR EN LA PARTE SUPERIOR DERECHA A3 = A.A.A (“A “ A LA TERCERA POTENCIA.)

AL FACTOR LO LLAMAMOS LA BASE DE LA POTENCIA Y AL NUMERO QUE INDICA LAS VECES QUE SE REPITE LO LLAMAMOS EXPONENTE. CUANDO EL EXPONENTE ES LA UNIDAD NO SE ESCRIBE DICHA POTENCIA, SINO QUE SE SOBREENTIENDE QUE LA BASE SIN EXPONENETE ESTA ELEVADA A LA PRIMERA POTENCIA A O A LA POTENCIA UNO.

MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TEOREMA a m . a n = a m+ n EJEMPLOS: 82 . 83 = 82+3 = 85 Z5. Z7= Z5+7 = Z12

X2 . X3 = ( X . X) ( X . X . X ) = X 5 33. 34 =37= (3. 3. 3) = 27 y (3. 3. 3. 3)= 81 27. 81 = 2187

TEOREMA (a m ) n = a m . n a mn EJEMPLOS: (102)3 = 102.3 = 106 (R5) 2 = R5 . 2 = R10

(Y 2)3 = (Y2) (Y2 ) (Y2) = (Y. Y) (Y. Y) (Y. Y) = Y6 (43)2 = (43 ) (43) = (4.4.4) (4.4.4.) = 46

TEOREMA (a b) m = a m . b m EJEMPLOS: (10 . 2 )7 = 107 . 27 (XY )5 = X5 . Y5

( CD)2 = C2 .D2 (A3 B)4 = (A3 )4 . B4 (16 )6 = 86 . 26

(25 ) = 5 . 5 (si no tiene exponente el ejemplo dado, susfactores en que se descompone tampoco llevarán exponente)

MULTIPLICACION DE MULTINOMIO POR BINOMIO O TRINOMINOSE MULTIPLICA EL PRIMER TERMINO DEL BINOMIO POR CADA TERMINO DEL MULTINOMIO Y SE VA COLOCANDO DEBAJO DE LA LINEA, LUEGO SE MULTIPLICA EL SEGUNDO TERMINO DEL BINOMIO POR CADA UNO DE LOS TERMINOS DEL MULTINOMIO Y SE COLOCA UN REGLON ABAJO DE LOS RESULTADOS ANTERIORES, PERO CUIDANDO QUE SI EL PRODUCTO OBTENIDO TIENE LAS MISMAS LITERALES QUE ALGUNO DE LOS PRODUCTOS OBTENIDOS EN LA PRIMERA LINEA SE ALINEAN EN FORMA VERTICAL PARA PODERLOS SUMAR.

(X2 +2XY +3Y 2 ) (X – 2Y) (2X2 +XY -Y2 ) (3X + Y) = X3 –XY2 - 6Y3 = 6X3+ 3X2 Y – XY 2 + XY - Y

X2 +2XY + 3Y2 2X2 + XY -Y2

X – 2Y . 3X + Y .X3 + 2X2 Y +3XY2 6X3 +3X2 Y –3XY2

-2X 2 Y - 4XY 2 -6Y +2XY 2 + XY - Y X3 +0X2 Y –XY2 - 6Y3 6X3+ 3X2 Y – XY 2 + XY - Y REDUCCION DE LOS TERMINOS

TEOREMAS DE LA DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. TEOREMA : a m a) Si m > n : am-nEJEMPLO: R m = Rm - n 8 5 = 85-3 = 82

an Rn 83

b) Si m < n : 1 EJEMPLO: X 2 = 1 = 1 . 9 7 = 1. = 1 . an - m X5 X5 – 2 X3 99 99-7 92

c) Si m = n: 1 EJEMPLO: W 5 = w0 = 1 ( 5x) 3 = (5x)0 = 1 W5 ( 5x)3

NOTA: CUALQUIER BASE ELEVADA A LA CERO POTENCIA ES IGUAL A LA UNIDAD. 8 2 = 8.8 = 64 =1 Z 9 = Z0 = 1 3 3 = 3.3.3 = 27 27 ENTRE 27 = 1 82 8.8 64 Z9 33 3.3.3 27

2. TEOREMA: a + b = a + b EJEMPLO: 8 + 2 = 8 + 2 c c c 4 4 4

DIVISION DE UN MULTINOMIO ENTRE UN MONOMIO

(6X3 - 9X4Y + 12XY2) ENTRE (3XY ) = 2X 2 - 3X3 +4Y

COMPROBACION:6X 3 - 9X 4 Y + 12XY 2 = 6 X 3 - 9 X 4 Y + 12 XY 2 =

3XY 3XY 3XY 3XY

2 X 2 - 3X3 + 4Y Y

12X4Y3 + 36X3Y4 – 24X2Y ENTRE 3X2Y2 = 4 X2 Y + 12 XY2 - 8

COMPROBACION: Y12X 4 Y 3 + 36X 3 Y 4 – 24X 2 Y = 12X 4 Y 3 + 36X 3 Y 4 - 24X 2 Y = 3 . 4 X 4 Y 3 + 3 . 12 X 3 Y 4 - 3. 8 X 2 Y

3X2Y2 3X2Y2 3X2Y2 3X2Y2 3X2Y2 3 X2Y2 3 X2Y2

= 4 X2 Y + 12 XY2 - 8 YDIVISION DE UN MULTINOMIO ENTRE UN BINOMIO

6X3 + X 2Y - 12XY2- 6Y3 ENTRE 2X- 3Y

-3X2 - 4XY - 12Y2

2X - 3Y _ 6X3 + X2Y _ 12XY2 - 6Y3

_ 6X3 _ 9x2 Y cambiaron de signo porque se restan

_8X2Y _12XY2

_ 8X2Y _12XY2 cambiaron de signo porque se restan

_24XY2 _6Y3

_ + 24XY2 _ 36Y3 cambiaron de signo porque se restan

_ 42Y3

MODULO XV

PRODUCTOS NOTABLES1. MULTIPLICACION POR INSPECCION2. DIFERENCIA DE CUADRADOS 3. CUADRADO DE UN BINOMIO4. CUBO DE UN BINOMIO (*)5. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS(*)

FACTORIZACION1. FACTOR COMUN 2. DIFERENCIA DE CUADRADOS3. TRINOMIOS4. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS(*).5. FACTORIZACION POR AGRUPACION.

PRODUCTOS NOTABLES

1. MULTIPLICACION POR INSPECCION

(ax + b ) (cx + d ) = acx 2 + (bcx +adx) + bd (2a + 3) ( 3a - 5 )

= 6a2 + ( -10a +9a) - 15 =6a2 + (-10 +9 ) a - 15

= 6a2 + (-1) a - 15 = 6a2 + -1 a - 15

Nota: (bcx+ adx) = ( bc + ad) x.

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 (xy + 3x) (xy - 3x) = (xy)2 - (3x)2 = x2 y2 –9x2

COMPROBACION:(xy + 3x) (xy - 3x) = x2 y2 +( -3x2 y +3x2 y) – 9x2

= x2 y2 +( -3x2 +3x2) y – 9x2

= x2 y2 (0x2) y – 9x2

= x2 y2 – 9x2

3. CUADRADO DE UN BINOMIO (a + b)2 = a 2 + 2 a b + b 2 Ó TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(2a - 3 )2 = (2a)2 - 2(2a) (3) + (3)2

= 4a2 - 4a (3) + 9 = 4a2 - 12a + 9

( X + y )2 = x 2 + 2 x y + y2

4. CUBO DE UN BINOMIO (a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

(2x + y )3 = (2x )3 + 3(2x) 2 (y) + 3(2x) (y) 2 + y 3

(a – 3b)3 = a3 _ 3 a 2 (3b+ 3 a (3b) 2 + (3b)3

5. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS (a + b) (a2 -+ a b + b 2 ) = a 3 + b 3 (a + 2 ) (a2 - 2 a + (2)2 ) = a 3 + (2)3 = a 3 + 8

(x _ 3 ) ( x2 + 3 x + 9 ) = x3 _ (3)3 = x3 _ 27

FACTORIZACION

1. FACTOR COMUN2. DIFERENCIA DE CUADRADOS3. TRINOMIOS4. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS.5. FACTORIZACION POR AGRUPACION