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Desarrollo del pensamiento

lógico-matemático y su

didáctica I

Ángela Barella Vega m3

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO-MATEMÁTICO Y SU DIDÁCTICA

Profesor: Juan Miguel Belmonte

Despacho: 3518

Tutorías: Martes de 10.30 a 14.00

Jueves de 11.30 a 14.00

NO ASISTENCIA! NO LISTA! NO DESCANSO!

Hay examen parcial de sus dos temas. Si lo apruebas no te examinas de esa parte en Febrero.

Jueves prácticas: Grupo C.

SISTEMA DIDÁCTICO

SABER

Transp. didáctica. Epistemología del prof. Teorías de aprendizaje. Obstáculos.

PROFESOR ALUMNO

Contrato didáctico

Las matemáticas son:

Fijas, inmutables, externas, intratables, irreales.

Abstractas y no relacionadas con la realidad.

Un misterio accesible a pocos.

Una ofensa al sentido común en algunas cosas que asegura,

Un área en la que se harán juicios, no sólo sobre el intelecto, sino sobre la valía

personal.

Una asignatura en la que las opiniones y puntos de vista personales no tienen

importancia. (mentira)

Una colección de reglas y hechos que deben ser recordadas.

Se refiere sobre todo al cálculo.

Están llenos de “x” e “y” y fórmulas incomprensibles.

Aspectos formativos de las matemáticas

Actividad creadora

Uso de rigor lógico

Poder de abstracción

Facilidad para comprender y resolver situaciones problemáticas

Adquisición de automatismos mentales

Cultivo de la intuición espacial

Desarrollo de actitudes críticas

Relaciones entre el saber y el alumno:

Dos enfoques teóricos

TEORÍAS DE LA ABTRACCIÓN, CONDUCTISTA…

TEORÍAS DEL DESARROLLO COGNITIVO, CONTSTRUCTIVISTAS…

El conocimiento de imprime en la mente desde el exterior

El conocimiento de elabora desde dentro, no es una acumulación de datos simples, lleva consigo comprensión

El aprendizaje es el proceso de interiorización o copia de información

El aprendizaje es la construcción del conocimiento desde dentro interaccionando con el medio

La técnica es la repetición de tareas La técnica es la resolución de problemas, observación de indicios, investigación…

El que sabe es aquel que posee mucha información memorizada y de ágil recuerdo

El que sabe es alguien que comprende, sabe explicar lo que hace y por qué, posee medios para resolver situaciones o problemas nuevos

Se desarrolla por asociación: E-R Aprendizaje significativo

Pasivo y receptivo, no creativo. “La práctica conduce a la perfección”

Acumulativo en la ampliación del almacén de datos y técnicas

Las relaciones son las claves básicas: La esencia del conocimiento es la estructura

Más memorización y más asociaciones La memoria no es fotográfica

Unión de hábitos sencillos para lograr otros complejos

Cambios cuantitativos y cualitativos: Modificación de la forma en que se estructura el pensamiento

Control externo Regulación interna

Eficaz y uniforme (programable) Es lento y no uniforme

TEORÑIA PIAGETIANA DE LA EQUILIBRACIÓN

Factores que intervienen en el desarrollo:

La maduración y el desarrollo del sistema nervioso

La experiencia del individuo con los objetos

La transmisión social

La equilibración

EQUILIBRIO DESARROLLO

La fuente del progreso en el desarrollo del conocimiento hay que buscarla en los

desequilibrios, que obligan al individuo a superar su estado actual buscando en nuevas

direcciones. Esto es lo que Piaget llama “La equilibración de las estructuras cognitivas”

La formación del conocimiento se rige por un proceso de equilibración que pasa de ciertos

estados de equilibrio aproximado a otros cualitativamente diferentes, pasando por múltiples

desequilibrios y reequilibrios. La equilibración es el ajuste progresivo entre dos polos

fundamentales De la actividad del sujeto: la asimilación y la acomodación.

Asimilación: Incorporación de un elemento exterior (objeto, suceso, etc.…) o datos

exteriores al sujeto, en un esquema o concepto que este ya poseía. Es entender algo.

Los que producen tracción son voluntariamente dejados de lado, en tanto no

encuentren un marco conceptual adaptado.

Acomodación: Necesidad de tener en cuenta las particularidades propias de los

elementos a asimilar. El sujeto trata de integrar las informaciones que ha dejado de lao

intentando superar las contradicciones precedentes. Como ya lo has entendido y

asimilado, lo haces bien desde el principio.

La acomodación está siempre subordinada a la asimilación, pues siempre se acomoda en

esquema de asimilación.

ACOMODACIÓN ASIMILACIÓN

TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES

Una aproximación psicológica y didáctica de la formación de los conceptos matemáticos

conduce a considerar un concepto como un conjunto de invariantes utilizables en la acción. La

definición pragmática de un concepto supone un conjunto de situaciones que constituyen la

referencia de sus propiedades y un conjunto de esquemas utilizados por los sujetos en estas

situaciones.

C=(S,I,L)

S: Conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (la referencia).

I: Conjunto de invariantes sobre las que reposa la operacionalidad de los esquemas (el

significado)

L: Conjunto de formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente e

concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento (el

significante).

Un campo conceptual está constituido:

Desde un punto de vista práctico, por el conjunto de las situaciones cuyo dominio

progresivo requiere la utilización de una variedad de procedimientos, de conceptos y

de representaciones simbólicas que están en estrecha conexión.

Desde un punto de vista teórico, por el conjunto de conceptos y de teoremas que

contribuyen al dominio de estas situaciones, aunque sea de forma implícita.

Un concepto no se puede reducir a su definición, al menos si lo que nos ocupa es su enseñanza

y su aprendizaje.

Esquema: es la organización variante de la conducta para una clase de situaciones dadas.

Concepto en acto/teorema en acto son los conocimientos en los esquemas: Invariantes

operatorias.

TEORÍA DE LOS REGISTROS SEMIÓTICOS DE R.DUVAL

“La actividad matemática pone de manifiesto procesos cognitivos del sujeto humano. Implica a

este respecto a una movilización de registros de representación semiótica. Puede decirse que

esto se manifiesta más en el caso de las matemáticas que en otros dominios de concepto,

como las ciencias naturales por ejemplo, ya que no hay acceso (perceptivo o instrumental) a

los objetos sin utilizar sistemas semióticos. Y esto es evidente en el caso del aprendizaje de las

matemáticas ya que este aprendizaje requiere un desarrollo del funcionamiento cognitivo en

el sentido que nosotros hemos llamado una diferenciación funcional de los registros de

representación.”

Características típicas de la actividad cognitiva en el aprendizaje de las matemáticas:

Los objetos matemáticos no son accesibles por la percepción, lo que no ocurre en

otras disciplinas.

Se dispone siempre, no solo de uno, sino de varios sistemas de signos que funcionan

como registros de representación con la función de tratamiento y objetivación.

Es necesaria la coordinación entre estos registros

“Una parte del estudiante no sabe que está aprendiendo signos en lugar de conceptos y que

en cambio lo que debería aprender son conceptos; y de otra parte, si el profesor no ha

reflexionado sobre este punto, creerá que el estudiante está aprendiendo conceptos, mientas

que en realidad lo que está aprendiendo es a hacer uso de los signos.” D’Amore, 2005.

¿Cómo se aprende a no

confundir el objeto con su

representación?

¿Cómo se aprende a

cambiar el registro?

Existen dos tipos de registros semióticos:

Polivalentes: Que permiten una importante variedad de funciones en sus actividades

de tratamiento, como el lenguaje natural o el dibujo. Su utilización en matemáticas

suele exigir un entrenamiento específico, ya que se suele privilegiar algunas funciones.

Los razonamientos discursivos en matemáticas a partir del lenguaje natural, no suele

ser practicado en actividades de lengua fuera de la actividad matemática. Las

construcciones gráficas a partir de ciertos instrumentos también hacen necesario un

trabajo más específico que el que proporcionan las actividades de dibujo.

Registros monofuncionales: Estos registros han sido diseñados para un mejor

tratamiento de las informaciones, y se les suele dar prioridad desde el punto de vista

matemático, cuando además sus condiciones de aprendizaje no son las mismas que las

de los otros registros polivalentes multifuncionales. La utilización casi exclusiva de

estos registros monofuncionales suele provocar en los alumnos dificultades en la

adquisición del sentido de los conocimientos.

Existen dos tipos de transformaciones en los registros semióticos:

Los que operan dentro del mismo registro, que son en definitiva tratamientos de la

información.

Los que exigen conversiones entre distintos registros.

La actividad matemática combina generalmente ambas transformaciones, los tratamientos

y las conversiones, lo que va a ocasionar una importante fuente de dificultades en el

aprendizaje.

Dentro las acciones en los registros de representación, Duval sitúa a la conversión en un

lugar central debido a:

La conversión provoca fenómenos de no congruencia que constituyen una de las

fuentes más estables de errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.

La conversión, cuando no hay congruencia, exige una coordinación de los dos registros

semióticos puestos en juego, lo que no se produce espontáneamente y, desde luego,

nunca al inicio de la representación.

La congruencia entre registros:

El conjunto de puntos cuya abscisa es superior a la ordenada: x>y

El conjunto de puntos que tenga una abscisa positiva: x>0

El conjunto de puntos cuya abscisa y ordenada tienen el mismo signo: x.y>0

El cambio de registro se produce espontáneamente en las situaciones en las que hay

congruencia entre las representaciones de inicio y llegada.

Cuando no hay congruencia, la conversión exige la capacidad de discriminar las

unidades de significado pertinentes tanto en el registro inicial como en el final, cuando

además no existe correspondencia directa entre ellas.

Es necesario distinguir en la actividad matemática las tareas propiamente matemáticas y las

tareas cognitivas. Ambas no son separables, pero no tienen por qué discurrir paralelamente.

OBSTÁCULOS

Noción de obstáculo:

Es un conocimiento

Permite dar respuestas correctas a ciertos problemas

Provoca errores en otro tipo de problemas

Es resistente a toda modificación o transformación, siendo además recurrente

Su rechazo puede provocar e, aprendizaje de otro nuevo conocimiento

Tipos de obstáculos:

Ontogénicos: Se deben a la falta de desarrollo madurativo y cognitivo.

Culturales: cuando la practica cultural contradice lo que las matemáticas dicen.

Didácticos: La culpa/responsabilidad a causa de los obstáculos no viene de fuera de la

clase sino de dentro

Epistemológicos: no se deben a ninguna causa ajena al conocimiento. Son obstáculos

propios del conocimiento.

Características de los espacios epistemológicos:

Un obstáculo es un conocimiento, una concepción, no una dificultad o una falta de

conocimiento.

Este conocimiento produce respuestas adaptadas a un cierto contexto reencontrado

con frecuencia.

Engendra respuestas falsas fuera de este contexto.

Este conocimiento resiste a las contradicciones a las que se confronta ya al

establecimiento de un conocimiento mejor y más universal.

A pesar de que el individuo toma conciencia de su inexactitud, continúa

manifestándose de manera intempestiva e inopinada.

Nuestras hipótesis cognitivas

Numerosos conocimientos (saberes, concepciones, representaciones) se construyen y toman sentido a través de las acciones que permiten resolver un problema o responder a una pregunta, en situaciones que el sujeto ha podido “apropiarse”.

Los conocimientos no se almacenan y acumulan, ni se construyen a partir de la nada,

su elaboración está sometida a rupturas y reestructuraciones. Se aprende a partir de,

pero también en contra de lo que se sabe.

Rara vez se aprende de una vez. Aprender es recomenzar, entrenarse, volver hacia

atrás, y por tanto repetir, pero repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se

hace.

Un conocimiento no es plenamente operatorio hasta que puede ser movilizado en

situaciones diferentes a aquellas que dieron lugar a su nacimiento.

Aprender se hace en un contexto de interacciones sociales

A modo de conclusión…

Los conocimientos no se acumulan, no se almacenan. El conocimiento no es

simplemente empírico (constataciones sobre el medio), ni preformado (estructuras

innatas), sino el resultado de una interacción sujeto/medio.

La actividad matemática consiste a menudo en la elaboración de una estrategia, de un

procedimiento que permita anticipar un resultado; requiere por tanto de la acción.

Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema a resolver. Es la

resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse a ella, a cuestionar o

percibir los límites de sus conocimientos antiguos y a elaborar nuevos útiles (conflicto

cognitivo).

Las producciones de los alumnos son una información sobre el "estado de su saber".

Ciertos errores corresponden así, más que a una ausencia de saber, a una manera de

conocer contra la que debe construirse el nuevo conocimiento (preconceptos).

Los conceptos matemáticos no están aislados. Es necesario hablar de campos

conceptuales, y de ahí que haya que proponer a los alumnos campos de problemas

que permitan la construcción de una red conceptual.

La interacción social es un elemento muy importante del aprendizaje. Las actividades

de formulación (decir, describir, expresar...), de validación (convencer, contestar...) o

de cooperación (ayuda, trabajo conjunto...), utilizan las relaciones maestro-alumno y

alumnos-alumnos para provocar conflictos socio-cognitivos.

CARACTERÍSTICAS DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

Las situaciones deben permitir modificar el estado de los conocimientos del alumno: o Utilizando conocimientos anteriores y sometiéndolos a revisión. o Modificándolos y completándolos. o Rechazándolos, si fuera preciso, para construir concepciones nuevas.

Las situaciones deben provocar un deseo de implicarse por parte del alumno, y ello exige:

o La posibilidad de emplear conocimientos anteriores o La percepción de una dificultad que se desea resolver o Un campo de búsqueda adaptado a sus posibilidades, ni muy pequeño, ni muy

amplio.

Las situaciones deben permitir una evolución de las interacciones alumno-situación y alumno-alumno. Para ellos, los alumnos podrán:

o Establecer intercambios constantes con la situación, sin la interpretación o sanción del maestro.

o Poner a prueba todos sus recursos

CONTRATO DIDÁCTICO Existen una serie de reglas que pueden condicionar el aprendizaje. El contrato didáctico es el conjunto de reglas que rigen el juego en la situación didáctica: El conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno y el conjunto de comportamientos que el alumno espera del profesor. Características del contrato didáctico

El objetivo es la adquisición del saber por parte del alumno

Se negocia constantemente

Depende de las concepciones del aprendizaje, de las matemáticas…

Tipos de reglas

Unilaterales/Negociadas

Externas/Internas

Espontáneas/Preexistentes

Explícitas/Tácitas/Implícitas

Efectos del contrato didáctico

Efecto Topaze: El profesor toma a su cargo las dificultades que encuentra el alumno en

su aprendizaje, suplantándole en el trabajo de búsqueda. Se buscan preguntas cada

vez más fáciles, hasta que el alumno encuentra la respuesta.

Efecto Jourdain: El comportamiento banal del alumno es interpretado por el profesor

como manifestación de un saber sabio, se sustituye la problemática verdadera por una

metáfora que no da sentido a la situación.

Deslizamiento metacognitivo: Tomar una técnica, una representación útil para resolver

un problema, como objeto de estudio, perdiendo de vista el verdadero saber a

desarrollar. El medio se convierte en objeto de enseñanza.

Efecto analogía: Reemplazar el estudio de una noción compleja por el de otra análoga.

Los alumnos obtienen la solución oír lectura de las indicaciones didácticas.

LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

Es el conjunto de transformaciones que sufre un saber para ser enseñado

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Relación

didáctica

Saber sabio Transposición didáctica Saber

enseñado

Despersonalizado

Destemporalizado

Descontextualizado

Personalizado

Temporalizado

Contextualizado

Objetos de

investigación

Papel del

matemático

Redacción de manuales,

preparación de secuencias

Saber sabio

Objetos a

enseñar

Saber

enseñar

Saber escolar

Saber enseñado

Saber del

alumno

Papel de la

noosfera

Expertos y puesta

a punto de los

programas

Objetos a enseñar

Numerosos factores intervienen en la selección:

Tipo de sociedad, administración

Desarrollo tecnológico

Sistema educativo

Formación de profesores

Epistemología dominante

Noosfera

Conjunto de lugares, de instancias donde se establecen los cambios entre el sistema educativo

y su entorno.

Asociaciones de especialistas

Comisiones sobre la enseñanza

Administraciones educativas

…

Intervienen especialistas en matemáticas, en la enseñanza, psicólogos, pedagogos, fuerzas

políticas, sindicales, empresariales…

Saber enseñar

Se estructura en disciplinas

Aparecen objetos de enseñanza objetos sin referencia en el saber sabio

Se ordena en el tiempo (tiempo legal de aprendizaje)

Progresa según una estructura lógica

Saber escolar

Es un útil de referencia para el trabajo de los alumnos, temporaliza el programa y contextualiza

los saberes a enseñar.

Saber enseñado

Depende de múltiples decisiones del maestro

Recontextualizado y repersonalizado

Su tiempo es uniforme y programado (tiempo de aprendizaje)

Saber del alumno

El alumno debe redescontextualizar y redespersonalizar el saber. Su tiempo no es continuo ni

uniforme ni coincide con la lógica del saber matemático.

El tiempo de enseñanza no coincide con el tiempo de aprendizaje.

SITUACIÓN DIDÁCTICA

Situación didáctica

Alumno

Profesor

Medio

Situación a-didáctica

Condiciones para que sea una situación a-didáctica

El alumno debe poder dar una propuesta inicial – procedimiento de base – que no

coincide con lo que se quiere enseñar. Si la respuesta fuera ya conocida, entonces no

se trataría de una situación de aprendizaje

El procedimiento de base debe revelarse rápidamente como insuficiente o ineficaz

para el alumno, que debe verse así obligado a hacer acomodaciones, modificaciones

en su sistema de conocimientos

Exista un medio para la validación

Otras condiciones:

o Que exista incertidumbre en el alumno en cuanto a las decisiones a tomar

o Que el medio permita retroacciones

o Que el juego sea repetible

o Que el conocimiento buscado deba necesitarse como requisito, de forma

lógica, para pasar de la estrategia de base a la estrategia optimal.

HIPÓTESIS EPISTEMOLÓGICA

Para todo saber existe una familia de situaciones susceptible de darle un sentido correcto

SITUACION FUNDAMENTAL

Una situación fundamental de un conocimiento es una modelización de una familia de

situaciones específicas de un saber determinado.

Tipos de situaciones

Acción:

o El alumno actúa sobre el medio, formula, prevé, y explica la situación.

o Organiza las estrategias a fin de construir una representación de la situación

que les sirva de modelo y le ayude a tomar decisiones.

o Las retroacciones proporcionadas por el medio y funcionan como sanciones de

sus acciones.

o Movilización y creación de modelos implícitos.

o Condiciones para que se produzca una situación a-didáctica:

Que exista un procedimiento de base insuficiente.

Que haya incertidumbre del alumno en cuanto a las decisiones a

tomar.

Que el medio permita retroacciones y que el juego sea repetible.

Que se requiera, de forma lógica, el conocimiento buscado para pasar

de la estrategia de base a la estrategia optimal.

Formulación:

o El alumno intercambia con una o varias personas informaciones.

o La comunicación puede llevar a conllevar asimilaciones y también

contradicciones.

o Las interacciones entre emisor y receptor pueden producirse a través de

acciones sin codificación, o bien a través de un lenguaje. El fracaso de un

mensaje obliga a su revisión.

o Se crea un modelo explicito que pueda ser formulado con ayuda de signos y

reglas, conocidas o nuevas.

o Condiciones para que se produzca una situación a-didáctica:

Que haya necesidad de comunicación entre alumnos cooperantes.

Que las posiciones de los alumnos sean asimétricas respecto a los

medios de acción sobre el medio o las informaciones.

Que el medio permita retroacciones con el mismo medio para la

acción, y con el receptor del mensaje.

El medio debe forzar al alumno a utilizar sus conocimientos para

producir formulaciones.

Validación:

o El alumno debe hacer declaraciones que se someterán a juicio de su

interlocutor.

o El interlocutor debe protestar, rechazar una justificación que él considere

falsa, probando sus afirmaciones

o La discusión no debe desligarse de la situación, para evitar que el discurso se

aleje de la lógica y la eficacia de las pruebas.

"En matemáticas el "por qué" no puede ser aprendido por referencia a la autoridad del

adulto. La verdad no puede ser la conformidad a la regla, a la convención social, como

lo "bello" o lo "bueno". Exige una adhesión, una convicción personal, una

interiorización que por esencia no puede ser recibida de otro sin perder justamente su

valor. Pensamos que empieza a construirse en una génesis, de la que Piaget ha

mostrado lo esencial, pero que implica también relaciones específicas con el medio, en

particular con la escolaridad. Consideramos, pues, que hacer matemáticas es, en

primer lugar, para el niño, una actividad social y no únicamente individual.”

o Condiciones para que se produzca una situación a-didáctica:

Que haya necesidad de comunicación entre alumnos oponentes.

Que las posiciones de los alumnos sean simétricas respecto a los

medios de acción sobre el medio y las informaciones.

Que el medio permita retroacciones a través de la acción (mensajes), y

con el juicio del interlocutor.

Las interacciones con el medio son los mensajes intercambiados:

afirmaciones, teoremas, demostraciones, etc.

Institucionalización:

o Las respuestas encontradas al problema planteado deben ser transformadas

(redescontextualización y redespersonalización) para que los conocimientos

puedan ser convertidos en saberes (saber enseñar).

o El profesor tiene la responsabilidad de cambiar el estatuto de los

conocimientos construidos.

o Paso de la relación personal con un saber personal a una relación personal con

un saber institucional.

" El saber es el producto cultural de una institución que tiene por objeto

localizar, analizar y organizar los conocimientos, a efectos de facilitar su

comunicación, su uso bajo forma de conocimientos o saber, y la producción de

nuevos saberes.(...) La manipulación social de los saberes en las relaciones

sociales, exige conocimientos personales por parte del actor (alumno), pero el

producto de esta actividad es una explicación de ciertos conocimientos que se

han convertidos en públicos, y después en institucionalizados. La referencia

cultural y el análisis del uso que se hará de los conocimientos, los convertirá en

saber cultural."

"La institucionalización es el cambio de régimen de los conocimientos que se

instituyen como saberes. Importa determinar en qué‚ medida, por qué

beneficio, en términos de saber, el alumno será actor de esta transformación.

El objetivo, para él, es la entrada en una cultura matemática que sería una

cultura con la cual y en la cual, él ha podido jugar".