teorico frenos y embragues

Frenos, Acoplamientos y Embragues -- Pág. 1 de 27

República Argentina

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

67.12 - MECANISMOS “B”

TEORÍA DE FRENOS, EMBRAGUES Y ACOPLAMIENTOS

Prof. Ing. MAYER, Omar E.

[email protected]

MAYO 2 008

Agradezco la colaboración prestada por mi actual ayudante alumno Sr. Di IORIO José María, quien ha sabido denunciar errores cometidos en la versión anterior de este tema y que consecuentemente con ello hizo posible esta nueva edición ‘corregida’.


FRENOS Y EMBRAGUES DEFINICIÓN: Grupos de elementos mecánicos asociados generalmente a movimientos rotatorios y que tienen la función de almacenar y / o transferir y atendiendo a tales movimientos, energía cinética de rotación.

La FIGURA 01 IZQUIERDA anterior esquematiza dos mazas de momentos de inercia polar Ip1 e Ip2, girando a velocidades angulares ω1 y ω2 respectivamente e iguales o distintas (en el caso de los frenos una de ellas es permanentemente nula) y a ser acopladas entre sí. Una vez producido el acoplamiento entre ambas (por fricción) como indica la FIGURA 01 DERECHA anterior, al cabo de un cierto tiempo ambas masas giran a la misma velocidad (cero en el caso de los frenos) produciéndose calor durante el acoplamiento (mazas rotando a distinta velocidad) por el rozamiento entre ambos elementos y que será necesario disipar adecuadamente.

Siendo el elemento 1 el elemento motor, el momento torsor que se transmite al elemento conducido (elemento 2) (una vez acoplados los mismos) se relaciona y como más adelante se demuestra, con: a) La fuerza ( F en el esquema ) que presiona ambos elementos b) El coeficiente de fricción entre los materiales actuantes y en contacto c) La configuración del sistema

Previo a tratar el tema, se repasará brevemente coeficiente y ángulo de fricción (función de los materiales en contacto y de la velocidad relativa entre los mismos y a no diferenciar atendiendo a dichas cuestiones).


La FIGURA 02 IZQUIERDA inmediatamente anterior representa un cuerpo, en estado de reposo, o de movimiento, frente a una superficie horizontal sobre la cual se apoya. Considerando aceleración nula sobre el cuerpo, a efectos de iniciar o mantener el movimiento del cuerpo respecto a dicha superficie, se hace necesario ejercer cierta fuerza F, normal al peso W del cuerpo y sobre el mismo y que resulta de la siguiente expresión:

F = μ * W

donde μ = Coeficiente máximo de fricción entre los materiales en contacto La FIGURA 02 DERECHA inmediatamente anterior representa el mismo cuerpo en equilibrio estático sobre la misma superficie, pero inclinada el ángulo de fricción ϕ = arctg(μ) respecto a la horizontal. En estas condiciones, se dice que el cuerpo está en equilibrio “indiferente” o “indistinto”, puesto que el mismo puede desplazarse por su propio peso y libremente sobre la superficie, en función de que la componente Wt de su peso W resulta ser igual a μ * Wn (resistencia al movimiento), como se demuestra a continuación.

Wt = W * sen ( ϕ ) ⎫

⎬ Wt = Wn * tg ( ϕ ) Wn = W * cos ( ϕ ) ⎭

Wt = Wn * tg ( ϕ ) ⎫

⎬ μ = tg ( ϕ ) Wt = μ * Wn ⎭

El ángulo ϕ, así definido, resulta ser el ángulo que formado por la superficie de deslizamiento y la horizontal, divide el campo angular (0º a 90º) dentro del cual el cuerpo puede desplazarse sobre la superficie por la acción de su propio peso o no.

μ * W

W

F

Wt

Wϕ

μ * Wn

Wn

Wt

ϕ

FIGURA O2 IZQUIERDA

FIGURA O2 DERECHA


FRENO A ZAPATA DE FRICCIÓN ‘PUNTUAL’ Y ARTICULADA

Sea el mecanismo de la FIGURA 03 inmediatamente anterior en donde lo que se coloca en análisis es la fricción (en este caso puntual) entre la zapata y el cuerpo en movimiento, independientemente de lo que sucede entre el mismo y la superficie (guía) sobre la cual se desliza; o en otras palabras, entre el cuerpo y dicha superficie se supone que el rozamiento entre los mismos es “absolutamente nulo”.

Siendo:

N = Fuerza normal al cuerpo y actuante entre el mismo y la zapata.

F = Fuerza actuante exterior.

Rx = Reacción de vínculo impuesta por la articulación (no solidaria a la superficie en movimiento) de la zapata, en la dirección del eje X.

Ry = Reacción de vínculo impuesta por la articulación de la zapata, en la dirección del eje Y.

μ = Coeficiente de fricción entre el material de la zapata y el del cuerpo, conforme sea la velocidad del mismo y otros factores que puedan resultar de aplicación.

μ * N = Fuerza que debe ejercer el cuerpo para vencer la resistencia impuesta por la fricción entre el mismo y la zapata.

Tomando a la articulación de la zapata como centro de momentos (punto fijo), se verifica:

∑ Momentos = F * b -- N * b + μ * N * a = 0

luego F * b = N * b -- μ * N * a = N * (b -- μ * a)

F

Figura 03

b

a

N

μ * NZapata

Articulacion

Rx

Ry

SuperficieC

uerp

o


⎡ b -- μ * a ⎤F = N * ⎢ --------------- ⎥ ⎣ b ⎦

De esta última expresión: a) sí (b -- μ * a) ≤ 0 el mecanismo es llamado autotrabante en función de

que para que el cuerpo pueda deslizarse es necesario que F cambie su sentido ( F ≤ 0 ) respecto al dibujado, esto es, “debe levantar” la zapata.

b) si b -- μ * a ---------------

b ≤ 1

El mecanismo es llamado autoaplicante o autofrenante en función de que siendo F ≤ N, es suficiente ejercer una fuerza menor o igual que N para frenar el cuerpo.

De este análisis, surge que resulta:

necesario: b -- μ * a ≥ 0 ⇒ b ≥ μ * a

conveniente: b -- μ * a ≤ b ⇒ 0 ≤ μ * a ⇒ 0 ≤ a

De donde entonces, a efectos el dispositivo funcione como elemento frenante y que su funcionamiento sea ventajoso, el mismo resulta condicionado conforme su configuración, por las siguientes relaciones:

b

b ≥ μ * a ≥ 0 ⇒ --- ≥ a ≥ 0 μ

Respecto a las reacciones de vínculo, las mismas resultan en:

de ∑ Fx = μ * N -- Rx = 0 ⇒ Rx = μ * N

de ∑ Fy = F -- N + Ry = 0 ⇒ Ry = N -- F Siendo que físicamente no es posible la aplicación de fuerzas puntuales por no ser posible la transmisión de presiones a través de un punto, la zapata puntual constituye mas bien un dispositivo matemático que físico, por lo que se analizará una zapata plana articulada, la cual si es posible físicamente.

FRENO A ZAPATA PLANA ARTICULADA DE CORTA LONGITUD El esquema de la FIGURA 04 inmediatamente posterior representa una zapata plana articulada, en donde se incluye material especial de alta fricción adherido a la zapata, formando así parte integrante de la misma, por lo que se entenderá como zapata a la estructura de la misma como así también el material de fricción que posee adherido.


Admitiendo que la acción exterior F se encuentra uniformemente distribuida a lo largo del área de contacto entre la zapata y el cuerpo en movimiento como así también que la presión p existente entre los mismos a lo largo de la misma área es constante (zapata de corta longitud L) y siendo que la sumatoria de momentos respecto a la articulación (punto fijo) es nula, considerando un diferencial dA de área de contacto, se tiene

⌠ N ⌠ N ⌠ N

⎮ μ * a * dN + ⎮ b * dF -- ⎮ b * dN = 0 ⌡ 0 ⌡ 0 ⌡ 0

F

Siendo dN = p * dA ,,, dF = --- * dA resulta A

⌠ A ⌠ A ⎡ F * b * dA ⎤ ⌠ A

⎮ μ * a * p * dA + ⎮ ⎢ ------------- ⎥ -- ⎮ p * b * dA = 0⌡ 0 ⌡ 0 ⎣ A ⎦ ⌡ 0

⌠ A ⌠ A ⎡ F ⎤

⎮ μ * a * p * dA + ⎮ ⎢ --- -- p ⎥ * b * dA = 0⌡ 0 ⌡ 0 ⎣ A ⎦

Siendo b = c + x, dA = e * dx, con e = ancho o espesor del área de contacto (en profundidad en el dibujo) y de valor uniforme a lo largo de L, integrando se obtiene:

dL

Superficie

dF

X

Cue

rpo

dN

bc

μ * dN

Zapata

aArticulacion

dRx

dRy

Figura 04


L ⎡ F ⎤ ⎡ x^2 ⎤ L

[μ * a * p * e * x] + ⎢ --- -- p ⎥ * e * ⎢ c * x + ---- ⎥ = 0 0 ⎣ A ⎦ ⎣ 2 ⎦ 0

⎡ F ⎤ ⎡ L^2 ⎤

[μ * a * p * e * L] + ⎢ --- -- p ⎥ * e * ⎢ c * L + ---- ⎥ = 0 ⎣ A ⎦ ⎣ 2 ⎦

⎡ F -- p * A ⎤ ⎡ 2 * c + L ⎤

[μ * a * p * e * L] + ⎢ ------------ ⎥ * e * L * ⎢ ----------- ⎥ = 0 ⎣ A ⎦ ⎣ 2 ⎦

⎡ F -- p * A ⎤ ⎡ 2 * c + L ⎤

⎢ ------------ ⎥ * e * L * ⎢ ----------- ⎥ = -- (μ * a * p * e * L)⎣ A ⎦ ⎣ 2 ⎦

e * L * (F -- p * A) * (2 * c + L)

---------------------------------------- = -- (μ * a * p * e * L) 2 * A

e * L * (F -- p * A) * (2 * c + L) = -- (2 * A * μ * a * p * e * L)

2 * A * μ * a * p * e * L F -- p * A = -- -----------------------------

e * L * (2 * c + L)

2 * A * μ * a * pF = p * A -- -------------------- 2 * c + L

⎡ 2 * μ * a ⎤ F = p * A * ⎢ 1 -- ----------- ⎥ ⎣ 2 * c + L ⎦

⎡ (2 * c + L) -- 2 * μ * a ⎤ F = p * A * ⎢ ---------------------------- ⎥ ⎣ 2 * c + L ⎦

⎡ (2 * c + d -- c) -- 2 * μ * a ⎤siendo (L = d -- c): F = p * A * ⎢ --------------------------------- ⎥

⎣ 2 * c + d -- c ⎦

⎡ (c + d) -- 2 * μ * a ⎤ F = p * A * ⎢ ------------------------- ⎥ ⎣ c + d ⎦


a) si: (c + d) -- (2 * μ * a) ≤ 0

El mecanismo resulta autotrabante en función de que para que el cuerpo pueda deslizarse es necesario que F cambie su sentido ( F ≤ 0 ) respecto al dibujado, esto es, “debe levantar” la zapata.

(c + d) -- 2 * μ * a

b) si: ------------------------- ≤ 1 c + d

El mecanismo resulta autoaplicante o autofrenante en función de que siendo así F ≤ p * A, es suficiente ejercer una fuerza menor o igual que p * A para frenar el cuerpo.

De este análisis, surge que resulta:

necesario: (c + d) -- (2 * μ * a) ≥ 0 ⇒ c + d ≥ 2 * μ * a

conveniente: (c + d) -- (2 *μ * a) ≤ c + d ⇒ 2 * μ * a ≥ 0

De donde entonces, a efectos el dispositivo funcione como elemento frenante y que su funcionamiento sea ventajoso, el mismo resulta condicionado conforme su configuración, por las siguientes relaciones:

c + d c + d

------ ≥ μ * a ≥ 0 ⇒ ------ ≥ a ≥ 0 2 2 * μ

FRENO DE TAMBOR A ZAPATA INTERIOR “DE ENTRADA”

Estando representado el sistema en la FIGURA 05 inmediatamente anterior y siendo ahora la zapata relativamente extensa y de otra configuración, no puede

FIGURA 05ARTICULACION

ZAPATA

TAMBOR

ZAPATA θ

MATERIAL de FRICCIONROTACIONTAMBOR

F

Frenos, Acoplamientos y Embragues -- Pág. 9 de 27 asegurarse que la presión actuante entre la misma y el tambor sea constante a lo largo de la zona de contacto entre ambas y en particular, en la articulación (no solidaria al tambor) resulta nula y en el caso de la figura, en el punto de aplicación de la fuerza exterior F, máxima. Supuesta la siguiente ley de variación de la presión actuante con pmx = presión máxima:

pθ pmx sen (θ) --------- = -------------- ⇒ pθ = pmx * -------------- sen (θ) sen (θpmx) sen (θpmx)

en θ = 0, pθ = 0 y de existir zapata en el intervalo 0º ≤ θ ≤ 180º, en θ = 90º resulta pθ = pmx por ser sen (90º) = 1 y máximo, (de existir dudas, constrúyanse diagramas con distintos valores para θpmx y en el intervalo 0 -- 180º). Resultando conveniente construir la zapata como indica la FIGURA 06 inmediatamente siguiente, esto es, con 180º ≥ θ2 > 90º (θpmx = 90º) y con 90º > θ1 > 0 (aprovechamiento del lugar donde se puede producir la máxima presión y economía de material de fricción donde no hay presión); en la misma figura se muestran las fuerzas actuantes sobre la zapata cuando la misma tiende a frenar el tambor. En la misma:

F = Fuerza que se aplica al extremo libre de la zapata para frenar el tambor.

Rx = Reacción de vínculo en la articulación en la dirección X.

Ry = Reacción de vínculo en la articulación en la dirección Y.

dN = Reacción normal del tambor sobre el tambor aplicada a la altura del ángulo genérico θ y sobre el arco diferencial de longitud R * dθ, descompuesta en las direcciones X e Y.

μ * dN = Fuerza de fricción que debe ejercer el tambor para vencer la acción frenante de la zapata, aplicada a la altura del ángulo genérico θ y sobre el arco diferencial de longitud R * dθ, descompuesta en las direcciones X e Y.

Siendo b = espesor de la zapata (el mismo resulta perpendicular a los esquemas dibujados, el valor de dN resulta en:

dN = pθ * b * R * dθ

sen (θ)

dN = b * R * pmx * --------------- * dθ sen (θpmx)


Tomando momentos respecto a la articulación (punto fijo) e integrando entre θ2 y θ1, esto es “a como el tambor encuentra al material de fricción”, los mismos resultan en:

Mf = Momento de las fuerzas de fricción:

⌠ N Mf = ⎮ μ * dN * { R -- a * cos (θ) }

⌡ 0

μ * b * R * pmx ⌠ θ1

Mf = -------------------- * ⎮ sen (θ) * {R -- a * cos (θ)} * dθ sen (θpmx) ⌡ θ2

Mn = Momento de las fuerzas normales:

ROTA

CION

TAM

BOR

μ*dN*sen (θ)

Rx

dN * cos (θ)

RyR

a * sen (θ)FIGURA 06

θ2

c

F

θ

a

θ1

μ * dN

μ*dN

*cos

(θ)

dN

dN *

sen

(θ)

R -- a * cos (θ)


⌠ N Mn = ⎮ dN * { a * sen (θ) }

⌡ 0

b * R * pmx * a ⌠ θ1

Mn = ------------------------ * ⎮ { (sen (θ))^2 } * dθ sen (θpmx) ⌡ θ2

Siendo que la fuerza F actúa equilibrando la suma de ambos momentos, resulta:

F * c = Mn -- Mf ⇒ F * c + Mf = Mn Sí Mn ≤ Mf ⇒ Mn – Mf ≤ 0 ⇒ F * c ≤ 0 ⇒ F ≤ 0 el mecanismo

resulta autotrabante, por lo que es necesario F > 0, luego el mecanismo debe cumplir: Mn > Mf, por lo que, para estas condiciones ( ver desarrollo en Anexo A ) se requiere:

⎡ sen(2 * θ) -- 2 * θ ⎤ θ2μ < a * ⎢ -------------------------------------------- ⎥

⎣ 4 * R * cos(θ) + 2* a * (sen(θ))^2 ⎦ θ1 Esta última expresión expresa entonces la condición que deben cumplir entre sí las dimensiones a, R, θ1 y θ2 y el coeficiente de fricción máxima μ, a efectos el dispositivo no sea autotrabante con al menos 90º > θ1 > 0, conforme las hipótesis establecidas.

MOMENTO TORSOR Mt A APLICAR AL TAMBOR PARA VENCER LA FRICCIÓN

Siendo μ * dN la fuerza tangencial que hay que ejercer sobre el elemento dθ del tambor para vencer la fricción existente entre zapata y tambor, el valor del momento torsor Mt que debe poseer el tambor para vencer la fricción total, resulta en:

⌠ θ1 μ * b * R^2 * pmx ⌠ θ1 Mt = ⎮ μ * dN * R = ----------------------- ⎮ sen (θ) * dθ

⌡ θ2 sen (θpmx) ⌡ θ2

μ * b * R^2 * pmx ⎡ ⎤ θ2 Mt = ---------------------------- ⎢ cos (θ) ⎥

sen (θpmx) ⎣ ⎦ θ1

REACCIONES EN LA ARTICULACIÓN

⌠ N ⌠ N

Rx = ⎮ dN * cos (θ) -- Fx -- ⎮ μ * dN * sen (θ) ⌡ 0 ⌡ 0


⎧ ⌠ θ1

⎮ + ⎮ sen (θ) * cos (θ) * dθ b * R * pmx ⎮ ⌡ θ2

Rx = -- Fx + --------------- * ⎨

sen (θpmx) ⎮ ⌠ θ1

⎮ -- ⎮ μ * (sen (θ))^2 * dθ ⎩ ⌡ θ2

Atendiendo a las soluciones ya vistas para las integrales en cuestión, resulta:

b * R * pmx ⎡ + (sen (θ))^2 ⎤ θ1Rx = -- Fx + ----------------- * ⎢ ⎥

2*sen(θpmx) ⎣ -- μ * {θ--[(sen(2θ))/2]} ⎦ θ2

⌠ θ1 ⌠ θ1

Ry = ⎮ dN * sen (θ) -- Fy + ⎮ μ * dN * cos (θ) ⌡ θ2 ⌡ θ2

⎧ ⌠ θ1

⎪ + ⎮ (sen (θ))^2 * dθ b * R * pmx ⎪ ⌡ θ2

Ry = -- Fy + --------------- * ⎨

sen (θpmx) ⎪ ⌠ θ1

⎪ + ⎮ μ * sen(θ) * cos(θ) * dθ ⎩ ⌡ θ2

b * R * pmx ⎡ + {θ -- [(sen(2θ)) / 2]} ⎤ θ1Ry = -- Fy + ------------------- * ⎢ ⎥

2 * sen(θpmx) ⎣ + μ * (sen (θ))^2 ⎦ θ2 Nota 01: Rotando la zapata de manera contraria a la supuesta en el esquema tratado, resulta el Freno de Tambor de Zapata Interior “de Salida”. Nota 02: Existiendo los Frenos de Zapata Interior “de Entrada” y “de Salida”, resultan los frenos de dos Zapatas con las siguientes combinaciones posibles: A) una “de Entrada” y una “de Salida”; B) las dos “de Entrada” y C) las dos “de Salida”. Los frenos con zapatas de entrada pueden resultar autotrabantes, los con zapatas de salida, no.

FRENO DE TAMBOR A ZAPATA EXTERIOR Se plantea el esquema correspondiente en la FIGURA 07 inmediatamente siguiente sin hacer otro comentario sobre el particular, en cuanto el proceso de resolución del sistema adquiere las mismas características que el caso de la zapata interior.


FRENO DE TAMBOR A ZAPATA EXTERIOR SIMÉTRICA

En este caso la articulación (a efectos de ejercer la fuerza F necesaria para frenar el tambor, la articulación es dispuesta sobre un “carro” guiado) resulta simétrica respecto a la zapata, por lo que sí se relacionan adecuadamente los valores de a y θm, resulta nulo el momento de las fuerzas de fricción referido a dicha articulación, como puede deducirse de la FIGURA 08 a siguiente en donde es representado el dispositivo y del análisis que sigue. Es conveniente en esta situación que el material de fricción se desgaste de manera tal que dicho material en la zona de contacto con el tambor y debido al desgaste, permanezca cilíndrico y con el radio exterior del tambor, de donde entonces el desgaste uniforme del material de fricción se convierte en hipótesis del problema.

Lo expuesto implica que el desgaste ΔX resulte constante e independiente del ángulo genérico θ y que el desgaste radial ΔR resulte como muestra la FIGURA 08 b siguiente en:

ΔR = ΔX * cos (θ)

Siendo que si en θ = 90º existiría material de fricción, la presión p en dicho punto entre material de fricción y tambor resulta nula por en dicho punto resultar el desplazamiento de la zapata con la misma dirección que la tangente al tambor, la siguiente hipótesis para la presión al menos se verifica en los puntos extremos de contacto:

p = p(θ = 0) * cos (θ) con pmáxima = pmx = p(θ = 0)

F

Ry

FIGURA 07

ARTICULACION ZAPATA

ωTAMBOR

θ2 θ1

MATERIAL de FRICCIONZAPATA

Rx


Figura 08 a

Tambor

θ1

θ2

Articulacion Zapata

dN * sen (θ)

Zapata

a * cos (θ) -- R

a

θ

dN * cos (θ)

dN F

µ * dN * cos (θ)

µ * dN * sen (θ)

µ * dN

R

X

Figura 08 b

R

R

ΔR

θΔX

Siendo dN = p * b * R * dθ resulta dN = pmx * b * R * cos (θ) * dθ

Siendo simétrica la zapata respecto a la articulación y si a y θ1 = θ2 = θm están adecuadamente relacionados entre sí, el momento de las fuerzas de fricción respecto a dicha articulación puede resultar nulo. Tal condición resulta, considerando cada semizapata, de:

⌠ N

Mf = ⎮ μ * dN * ( a * cos (θ) -- R ) = 0 ⌡ 0

siendo dN = pmx * b * R * cos (θ) * dθ


⌠ θm

⎮ cos (θ) * ( a * cos (θ)) -- R ) * dθ = 0⌡ 0

⌠ ⌠

a * ⎮ (cos (θ))^2 * dθ -- R * ⎮ cos (θ) * dθ = 0 ⌡ ⌡

⌠ θm θm sen (2 * θm) Siendo ⎮ (sen (θ))^2 * dθ = --- -- ----------------

⌡ 0 2 4

y (cos (θ))^2 = 1 -- (sen (θ))^2

⌠ θm θm sen (2 * θm) resulta ⎮ (cos (θ))^2 * dθ = ---- + ----------------

⌡ 0 2 4

⌠ θm

y siendo ⎮ cos (θ) * dθ = sen (θm) ;;;;; resulta ⌡ 0

⎡ θm sen (2 * θm) ⎤

a * ⎢ ---- + ----------------- ⎥ -- R * sen (θm) = 0 ⎣ 2 4 ⎦

⎡ θm sen (2 * θm) ⎤

a * ⎢ ---- + --------------- ⎥ = R * sen (θm) ⎣ 2 4 ⎦

a * [2 * θm + sen (2 * θm)] = 4 * R * sen (θm)

4 * R * sen (θm) a = --------------------------------- 2 * θm + sen (2 * θm)

Esta última igualdad deberá ser satisfecha entonces por las variables correspondientes, a efectos el momento de las fuerzas de fricción respecto a la articulación sea nulo.

La fuerza F que hay que ejercer sobre la zapata a efectos de frenar el tambor y siendo la zapata simétrica respecto al eje X, teniendo en cuenta ambas semizapatas y que sobre cada semizapata actúa una µ * dN * sen(θ) opuesta a otra igual en la otra semizapata, resulta en:


⌠ N

F = 2 * ⎮ dN * cos (θ) ⌡ 0

Siendo dN = pmx * b * R * cos (θ) * dθ:

⌠ θm

F = 2 * pmx * b * R * ⎮ (cos (θ))^2 * dθ ⌡ 0

pmx * b * R

F = --------------- * (2 * θm + sen (2 * θm)) 2

Teniendo en cuenta que en cada semizapata actúa una fuerza dN * sen (θ) igual y opuesta a otra que actúa en la otra semizapata, la reacción de vínculo Ry resulta en:

⌠ N

Ry = 2 * μ * ⎮ dN * cos (θ) ⌡ 0

Siendo dN = pmx * b * R * cos (θ) * dθ:

⌠ θm

Ry = 2 * μ * pmx * b * R * ⎮ (cos (θ))^2 * dθ ⌡ 0

μ * pmx * b * R

Ry = ------------------- * (2 * θm + sen (2 * θm)) 2

El momento torsor Mt que deberá ejercer el tambor para vencer la acción de frenado, estará dado por:

⌠ N

Mt = 2 * μ * R * ⎮ dN ⌡ 0

⌠ θm

Mt = 2 * μ * R * pmx * b * R * ⎮ cos (θ) * dθ ⌡ 0

Mt = 2 * μ * R * pmx * b * R * sen (θm)


Hipótesis generales empleadas para todos los frenos a zapatas tratados Habiéndose especificado en cada caso particular la hipótesis correspondiente a la ley de distribución de presiones, no se han considerado las siguientes cuestiones: a) El efecto de la fuerza centrípeta. En el caso de los frenos su valor es cero

por no verificar la zapata rotación alguna; no resulta así en el caso de los embragues, pues en los mismos, una vez producido el acoplamiento entre zapata y tambor, ambos rotan a la misma velocidad.

b) La deformación de la zapata. Debiéndose producir la misma dentro de su límite

elástico, modifica las presiones supuestas. c) La modificación del coeficiente de fricción conforme sea la velocidad, la presión

entre zapata y tambor, la temperatura desarrollada durante el acoplamiento, el desgaste habido durante el uso (empaste del material de fricción) y las condiciones ambientales (temperatura y humedad) circundantes.

d) Sentidos de rotación opuestos a los tratados. El sentido de rotación modifica

las relaciones entre las variables y las condiciones de autotrabamiento en los sistemas con posibilidades tales. En los mismos, si la rotación es opuesta a la tratada, la posibilidad de autotrabamiento desaparece,

Pudiéndose presentar el inconveniente de que no sea conocida la presión máxima que se desarrolla entre zapata y tambor, debe tenerse presente que la misma no puede sobrepasar el valor admisible correspondiente al material de fricción que se utilice y a proporcionar por el respectivo fabricante en base, con seguridad, a normas que se establezcan sobre el particular.

FRENOS DE TAMBOR A CINTA O BANDA

Estando este dispositivo esquematizado en la FIGURA 09 inmediatamente anterior,

T1 T2

Figura 09

ω

θ

Rp

Qx

αε X

Y

Qy

Frenos, Acoplamientos y Embragues -- Pág. 18 de 27 el mismo se resuelve como si se tratase de la polea motora de una transmisión de potencia mecánica por correas sin consideración de fuerza centrípeta alguna, en función de no verificarse las acciones correspondientes sobre la correa pues la misma permanece estática, esto es, sin rotar, al contrario de lo que sucede en las transmisiones de potencia mecánica.

Aplicando entonces lo tratado en transmisión de potencia mecánica por correas, resulta:

a) Las reacciones de vínculo Qy y Qx:

Qx = (T1 -- T2) * sen (θ) Qy = (T1 + T2) * cos (θ) b) La recta de fricción:

T1 = T2 * e^(µ’ * αr)

c) los esfuerzos T1 y T2 en función del momento torsor Mt a frenar

(T1 -- T2) * Rp = Mt

Mt Mt * e^(µ’ * αr) T2 = -------------------------- ;;;;;; T1 = --------------------------

(e^(µ’ * αr) -- 1) * Rp Rp * (e^(µ’ * αr) -- 1) d) la presión actuante entre correa y polea la cual deberá resultar menor a la que la correa admite

dF Tε * dε T2 * e^(µ’ * εr) pε = ---- = ------------------ = --------------------

dA esp * Rp * dε esp * Rp

T2 T1

pmn = -------------- ;;;;;; pmx = ------------- ≤ padm esp * Rp esp * Rp

EMBRAGUES Y FRENOS CÓNICOS de CONO ENTERO La FIGURA 10 siguiente muestra en un corte longitudinal un embrague (freno) cónico de cono entero, donde la campana se encuentra conectada a uno de los árboles en forma solidaria y el cono, deslizable solamente en forma longitudinal sobre el otro árbol, rotativamente se encuentra solidariamente unido al mismo, como lo puede ser con una chaveta solidaria al cono. El material de fricción se interpone entre ambos elementos de manera solidaria a uno de ellos y el resorte mantiene los mismos en contacto a través del material de fricción.

Pudiendo al menos el material de fricción ser un CONO PARCIAL como muestra la FIGURA 11 siguiente, se tratará el tema de dicha manera por resultar solución general y existiendo las hipótesis del desgaste uniforme y de la presión uniforme, serán tratadas ambas.

Frenos, Acoplamientos y Embragues -- Pág. 19 de 27 Habiéndose esquematizado únicamente el material de fricción, el mismo de ‘longitud angular’ θ (si de cono ‘entero’ se trata: θ = 360º) y siendo p la presión actuante sobre un elemento diferencial de área dA, p * dA resulta el diferencial de fuerza normal a dA.

Así las cosas y a través de las correspondientes integraciones, p * dA * sen(α) resulta igual a la fuerza de embragado (frenado) F, originando ambas un momento (flector) que flexiona los ejes tanto del cono como de la campana y p * dA * cos(α) * cos(β) resulta en Ry, flexionado a los ejes del cono y de la campana.

Material de friccion

F

ChavetaFArbol

Resorte de compresion

F

α

F

Cono

Campana

Figura 10

Ri

Figura 11

p * dA * sen(α)

P * dA

p * dA

p *

dA *

cos

(α)

α

p*dA

*cos

(α)*

cos(β)

p * d

A * c

os(α

)

p * d

A * c

os(α

)

Re

R

α

Ry

p*dA*cos(α)*sen(β)p*dA*cos(α)*sen(β)

βθ

β

Ri ReF

Ry

dR

dR / sen(α)


p * dA * cos(α) * sen(β) encuentra una igual y opuesta, por lo que no resulta ningún efecto por las mismas y los momentos flectores mencionados en el párrafo anterior y Ry (integral de p * dA * cos(α) * cos(β)), resultan nulos si el cono resulta entero.

HIPÓTESIS del DESGASTE UNIFORME

Considerado uniforme el desgaste (fricción uniforme); la hipótesis, utilizando el concepto de que el desgaste es proporcional al diferencial de fuerza (fuerza normal a la superficie en contacto) p * dA aplicada ( μ * p * dA = cte), implica la constancia de dicho diferencial.

Siendo dA = (R * dβ) * (dR / sen(α))

R * dβ * dR

p * dA = constante ⇒ p * ------------------ = constante sen (α)

Resultando p inversamente proporcional a R, pmáxima = pmx se verifica en el radio más pequeño, esto es en Ri, luego:

Ri

p = pmx * --- ;;;; p = pmx en Ri R

⌠ A ⌠ θr ⌠ Re p * R * dβ * dR * sen(α)F = ⎮ p * dA * sen(α) = ⎮ ⎮ -------------------------------- ⌡ 0 ⌡ 0 ⌡ Ri sen(α)

⌠ θr ⌠ Re ⎡ pmx * Ri ⎤

F = ⎮ ⎮ ⎢ ------------ ⎥ * R * dβ * dR ⌡ 0 ⌡ Ri ⎣ R ⎦

⌠ θr

F = ⎮ pmx * Ri * (Re – Ri) * dβ ⌡ 0

F = pmx * Ri * (Re – Ri) * θr

⌠ A

Mt = ⎮ R * μ * p * dA ⌡ 0

⌠ θr ⌠ Re pmx * Ri R * dβ * dRMt = ⎮ ⎮ R * μ * ------------- * -------------------

⌡ 0 ⌡ Ri R sen (α)


⌠ θr μ * pmx * Ri ⌠ Re

Mt = ⎮ -------------------- * dβ ⎮ R * dR ⌡ 0 sen (α) ⌡ Ri

μ * pmx * Ri ⌠ θr (Re^2 -- Ri^2)

Mt = -------------------- * ⎮ ---------------------- * dβ sen (α) ⌡ 0 2

μ * pmx * Ri * (Re^2 -- Ri^2) * θr Mt = ---------------------------------------------------

2 * sen (α)

Mt μ * (Re^2 -- Ri^2) μ * (Re + Ri) * (Re -- Ri)---- = -------------------------------- = -------------------------------------- F 2 * sen (α) * (Re – Ri) 2 * sen (α) * (Re – Ri)

Mt μ * (Re + Ri)---- = --------------------F 2 * sen (α)

HIPÓTESIS de la PRESIÓN UNIFORME (p = Constante)

R * dβ * dR directamente p * dA = p * ------------------ =

sen (α) proporcional a R

⌠ A

F = ⎮ p * dA * sen (α) ⌡ 0

⌠ θr ⌠ Re R * dβ * dR

F = ⎮ ⎮ p * ------------------ * sen (α) ⌡ 0 ⌡ Ri sen (α)

⌠ θr ⌠ Re

F = ⎮ p * dβ ⎮ R * dR ⌡ 0 ⌡ Ri

⌠ θr (Re^2 -- Ri^2)

F = p * ⎮ --------------------- * dβ ⌡ 0 2


p * θr * (Re^2 -- Ri^2) F = ----------------------------------- 2

⌠ A

Mt = ⎮ μ * R * p * dA ⌡ 0

⌠ θr ⌠ Re R * dβ * dR Mt = μ * p ⎮ ⎮ R * -------------------

⌡ 0 ⌡ Ri sen (α)

μ * p ⌠ θr ⌠ Re

Mt = --------- ⎮ dβ * ⎮ R^2 * dR sen (α) ⌡ 0 ⌡ Ri

μ * p ⌠ θr (Re^3 -- Ri^3)

Mt = --------- ⎮ --------------------- * dβ sen (α) ⌡ 0 3

μ * p * ( Re^3 -- Ri^3) * θr Mt = -----------------------------------------

3 * sen (α)

Mt 2 * μ * ( Re^3 -- Ri^3) ---- = ---------------------------------------- F 3 * sen (α) * (Re^2 -- Ri^2)

COMPARACIÓN HIPÓTESIS DESGASTE UNIFORME – PRESIÓN UNIFORME

Ante una misma F (o mismo momento torsor Mt) aplicada a un embrague (freno) a presión constante, respecto a un embrague a desgaste constante, manteniéndose en ambas situaciones el mismo coeficiente de fricción y los mismos diámetros exterior e interior, ambas teorías relacionan el momento torsor Mt (o la fuerza de embragado (frenado) F) respectivo como sigue:

Misma Mt presión uniforme 4 * ( Re^3 -- Ri^3) F ⇒ ---------------------------- = ----------------------------------------- Mt desgaste uniforme 3 * (Re^2 -- Ri^2) * (Re + Ri)

Mismo F desgaste uniforme 4 * ( Re^3 -- Ri^3) Mt ⇒ --------------------------- = -----------------------------------------

F presión uniforme 3 * (Re^2 -- Ri^2) * (Re + Ri)

Demostrándose como sigue que:


Mt presión uniforme Ante una misma F ⇒ ------------------------------ ≥ 1

Mt desgaste uniforme

F desgaste uniforme Ante un mismo Mt ⇒ ------------------------------ ≥ 1

F presión uniforme

4 * ( Re^3 -- Ri^3) * ( Re -- Ri )

resulta: ----------------------------------------------- ≥ 1 3 * ( Re^2 -- Ri^2 )^2

4 * ( Re^3 -- Ri^3 ) * ( Re -- Ri ) ≥ 3 * ( Re^2 -- Ri^2 )^2

Operando, se obtiene:

Re^4 -- 4 * Ri * Re^3 + 6 * Ri^2 * Re^2 – 4 * Ri^3 * Re + Ri^4 ≥ 0

El término de la izquierda, resulta ser el desarrollo de la cuarta potencia de la diferencia lineal de ambos radios, luego:

( Re -- Ri )^4 = ( Ri -- Re )^4 ≥ 0

Siendo cierta esta última desigualdad por tratarse de una potencia par, conforme se enunció, resulta cierto que:

Mt presión uniforme

Ante una misma F ⇒ ------------------------------- ≥ 1 Mt desgaste uniforme

F desgaste uniforme

Ante un mismo Mt ⇒ ------------------------------ ≥ 1 F presión uniforme

Atendiendo a estos resultados, resulta “más confiable” la hipótesis del desgaste uniforme, en cuanto a un mismo momento torsor Mt a transmitir (frenar) requiere mayor fuerza de embragado (frenado) F, o ante una misma fuerza de embragado (frenado), transmite (frena) menor momento torsor.

En cuanto al ángulo α cabe entender que el mismo debe ser mayor que el ángulo de fricción correspondiente al contacto material de fricción con la campana o con el cono, conforme sea donde está adherido, en función de que para “despegar” la campana del cono, se debe ejercer una fuerza adicional en tal sentido, si la mayoría expuesta no se verifica. Variando solamente el ángulo α posible, comparando dos embragues (frenos) de distinto α y siendo entre ambos, α1 < α2 ⇒ (sen (α1) < sen (α2)), resulta:


Ante una misma fuerza F

Ante un mismo

momento torsor Mt

Mt1 sen (α2) F1 sen (α1)

---- = ----------- > 1 ---- = ----------- < 1Mt2 sen (α1) F2 sen (α2)

De esta manera, el embrague cónico con el menor ángulo α posible, resulta el de mayor rendimiento.

EMBRAGUES Y FRENOS CÓNICOS de CONO ENTERO

Se resuelven con las expresiones anteriores haciendo θr = 2 * Nºπ

EMBRAGUE PLANO de DISCO ENTERO Los embragues (frenos) planos de disco entero resultan ser un caso particular o extremo de los cónicos de cono entero. Los mismos se resuelven con las expresiones de los cónicos de cono entero, valga la redundancia, con α = 90º ( sen (α) = 1 ). Los embragues de los automóviles se suelen hacer planos a pesar de resultar los de menor rendimiento. Resulta una ventaja funcional la de no poseer posibilidad alguna de enclavamiento o acuñamiento por tal circunstancia.

FRENO PLANO de DISCO PARCIAL o de “PASTILLA”

La FIGURA 12 inmediatamente anterior representa el elemento frenante (pastilla), el cual se constituye así en un disco parcial frente al de disco entero, siendo el principio de funcionamiento idéntico a este último.

θPastilla

Disco

Disco

Pas

tilla

Pas

tilla

F

Antes del acople

Despues del acople

F

Pas

tilla

Pas

tilla

Figura 12

ReRi

O

Frenos, Acoplamientos y Embragues -- Pág. 25 de 27 Se resuelven con las expresiones de los cónicos de cono parcial y con α = 90º ( sen (α) = 1 ). Siendo utilizado este sistema como freno en los automotores, la utilización del mismo como embrague implica la consideración del efecto centrípeto resultante al cual se encuentra sometida la pastilla, una vez efectuado el contacto entre las partes involucradas.

ANEXO “A”

Mn > Mf

b * R * pmx * a ⌠ θ1

--------------------- * ⎮ { sen (θ))^2 } * dθ > sen (θpmx) ⌡ θ2

μ * b * R * pmx ⌠ θ1

> --------------------- * ⎮ sen (θ) * { R -- a * cos (θ) } * dθ sen (θpmx) ⌡ θ2

⌠ θ1 ⌠ θ1

a * ⎮ {(sen(θ))^2} * dθ > μ * ⎮ sen(θ) * {R--a*cos(θ)} * dθ ⌡ θ2 ⌡ θ2

⌠ θ1

⎧ + μ * R * ⎮ sen (θ) * dθ ⌠ θ1 ⎪ ⌡ θ2

a * ⎮ {(sen(θ))^2} * dθ > ⎨

⌡ θ2 ⎪ ⌠ θ1

⎩ -- μ * a * ⎮ sen(θ)*cos(θ) * dθ ⌡ θ2

Siendo sen (θ) * cos (θ) * dθ = sen (θ) * d ( sen (θ) ) resulta

⌠ θ1

⎧ + μ * R * ⎮ sen(θ) * dθ ⌠ θ1 ⎪ ⌡ θ2

a * ⎮ {(sen(θ))^2} * dθ > ⎨

⌡ θ2 ⎪ ⌠ θ1

⎩ -- μ * a * ⎮ sen(θ) * d(sen(θ)) ⌡ θ2


⌠ θ1 ⎡ -- R * cos (θ) ⎤ θ1a * ⎮ {(sen(θ))^2} * dθ > μ * ⎜ ⎟

⌡ θ2 ⎣ -- (a / 2) * (sen (θ))^2 ⎦ θ2

(sen (θ))^2 = 1 -- (cos(θ))^2 siendo

cos (2 * θ) = (cos (θ))^2 -- (sen (θ))^2

resulta: (cos(θ))^2 = cos (2 * θ) + (sen (θ))^2

(sen (θ))^2 = 1 -- cos (2 * θ) -- (sen (θ))^2

1 -- cos(2 * θ)2 * (sen(θ))^2 = 1 -- cos (2 * θ) ⇒ (sen (θ))^2 = ------------------

2 luego

⌠ θ1 1 ⌠ θ1 1 ⌠ θ1

⎮ (sen(θ))^2 * dθ = -- * ⎮ dθ -- -- * ⎮ cos(2*θ) * dθ⌡ θ2 2 ⌡ θ2 2 ⌡ θ2

⌠ θ1 ⎡ θ ⌠ cos (2 * θ) d (2 * θ) ⎤ θ1⎮ (sen (θ))^2 * dθ = ⎢ --- -- ⎮ --------------- * ------------ ⎥

⌡ θ2 ⎣ 2 ⌡ 2 2 ⎦ θ2

⌠ θ1 ⎡ θ sen (2 * θ) ⎤ θ1 ⎮ (sen (θ))^2 * dθ = ⎢ --- - --------------- ⎥

⌡ θ2 ⎣ 2 4 ⎦ θ2

luego

⎡ θ sen(2*θ) ⎞ θ1 ⎡ -- R * cos (θ) ⎤ θ1a * ⎢ --- -- ---------- ⎟ > μ * ⎢ ⎥

⎣ 2 4 ⎠ θ2 ⎣ -- (a/2) * (sen(θ))^2 ⎦ θ2

Operando y permutando los límites de integración del término de la derecha:

⎡ θ sen (2*θ) ⎤ θ1 ⎫

⎢ --- -- ------------ ⎥ ⎪

⎢ 2 4 ⎥ ⎪ ⎡ ⎤ θ2a * ⎢ ⎥ ⎬ > μ * R * ⎢ cos(θ) ⎥ ⎢ μ * (sen(θ))^2 ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ θ1 ⎢ + ----------------- ⎥ ⎪

⎣ 2 ⎦ θ2 ⎭


Permutando los límites de integración del término de la izquierda:

a ⎡ sen(2*θ) ⎤ θ2 ⎡ ⎤ θ2-- * ⎢ ----------- -- θ -- μ*(sen(θ))^2 ⎥ > μ * R * ⎢ cos(θ) ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ θ1 ⎣ ⎦ θ1

θ2 θ2a * [sen(2*θ) – 2 * θ -- 2 * μ * (sen(θ))^2] > 4 * μ * R * [cos(θ)]

θ1 θ1

⎡ a * [sen(2 * θ) -- 2 * θ -- 2 * μ * (sen(θ))^2] ⎤ θ2

⎢ ----------------------------------------------------------- ⎥ > 1⎣ 4 * μ * R * cos(θ) ⎦ θ1

a ⎡ sen(2*θ) 2 * θ 2 * (sen(θ))^2 ⎤ θ2

------ * ⎢ ------------ -- ------------ -- ------------------ ⎥ > 14 * R ⎣ μ * cos(θ) μ * cos(θ) cos(θ) ⎦ θ1

⎡ sen(2*θ) 2 * θ ⎤ θ2 4 * R ⎡ 2 * (sen(θ))^2 ⎤ θ2⎢ ------------ -- ------------ ⎥ > ------ + ⎢ ------------------ ⎥

⎣ μ * cos(θ) μ * cos(θ) ⎦ θ1 a ⎣ cos(θ) ⎦ θ1

⎡ sen(2*θ) 2*θ ⎤ θ2 ⎡ 4*R*cos(θ) + 2*a*(sen(θ))^2 ⎤ θ2⎢ ----------- -- ---- ⎥ > ⎢ ------------------------------------- ⎥

⎣ μ μ ⎦ θ1 ⎣ a ⎦ θ1

⎡ sen(2 * θ) -- 2 * θ ⎤ θ2 μ < a * ⎢ --------------------------------------------- ⎥

⎣ 4 * R * cos(θ) + 2* a * (sen(θ))^2 ⎦ θ1

teorico frenos y embragues

Documents