teorie relativity

Teorie relativityTeorie relativity

VŠCHT Praha, FCHT, Ústav skla a keramiky

Motivace:

• Elektrony jsou již u relativně malých energií relativistické (10 keV). U primárních svazků s energiemi nad 10 keV - relativistické korekce

• Elektrony na vnitřních slupkách jsou relativistické

• Existence spinu je relativistickým důsledkem

• Fermi-Diracova a Bose-Einsteinova statistika jsou relativistické důsledky

•Spin-orbitální interakce a spin-spinová interakce jsou relativistické důsledky

http://www.vscht.cz/obsah/index.html


2

2

0

2

41

rZe

rmv

rmvn

Bohrův model:

18

0

2

ms10444

ZZev

Elektronová mikroskopie:

11

1

2

2

200

cv

cmE-ET cET

Ecv 78.012

0

0

keV511;keV300 0 ET


Spin elektronu:

BSBμ meH s

Spin-orbitální interakce:

LSAH SO

Relativistické korekce spekter:

• Posuny spektrálních čar

• Štěpení spektrálních čar

• Změny intensity spektrálních čar


Principy teorie relativity:

• c = konst. (konečné číslo)

• Ekvivalence soustav STR - inerciální

• OTR - neinerciální

• Linearita STR

OTR – lokální

• Princip ekvivalence (OTR)

00

1

c



Stav před TR

i) Rychlost světla je nezávislá na IS

ii) Elekrodynamika popsána Maxwellovými rovnicemi

iii) Maxwellovy rovnice nejsou invariantní vůči Galileiho transformaci

iv) Lorentz objevil „správné“ rovnice transformace bez správné interpretace

v) Poincaré zjišťuje, že transformace tvoří grupu a formuluje požadavek invariantnosti všech rovnic



Galileiho transformaceyy

x = x´

v

ttvtxx

Skládání rychlostí: uvw

Newtonova mechanika: dtdm paF

i) Dokonale ověřená

ii) Invariantní vůči Galileiho transformaci



Elektrodynamika

0

2

jEB

t

c

0

E

t

BE

0 B

vlnová rovnice02

2

002

tEE

(tok uzavřenou plochou) = 0

(integrál E přes smyčku) = -d/dt (tok B smyčkou)

(tok uzavřenou plochou) = (náboj uvnitř plochy)/0

c2 (integrál B přes smyčku) = d/dt(tok E smyčkou)+(proud smyčkou) /0

00

1

c



Michelsonův experiment

v=30km/sZ1

Z2l

l



2

2

2

2221 12

1

122cv

cl

cvc

lvc

clvc

lvc

lt

2

2

2

2222 2112

1

122cv

cl

cvc

l

vc

lt

2

2

211

cv

ctt

Pro l =15 m je c= 1,5.10-7 = 0,15 m

Žluté světlo 0,6 m



Einstenovo východisko: vytvořit systém, která by zachoval ekvivalenci souřadných soustav (mechanika) a pozorování v elektrodynamice (c=const.):

2cvxtt

vtxx

2cxvtt

tvxx

yy

x = x´

v

21

2

2

1

cv


Konstantní rychlost světla

Konstantní rychlost světla


Odvození Lorentzových transformací

V čase t = 0 vyšleme světelný signál podél osy x0

ctxctx

0 tcx Invariantnost c

ctxtcx V čase t = 0 vyšleme světelný signál proti ose x

ctxtcx


Vzájemný pohyb soustav

Vzájemný pohyb soustav


bxacttcbctaxx

2

2

b

a

Pro počátek čárkované soustavy K’ je 0x

abcvt

abcxbctax 0


Invariantnost

Invariantnost


Mějme tyč o jednotkové délce:

xax 1

Z pohledu K ( t = 0 ), tyč je v K’

Z pohledu K’ ( t’ = 0 )

Tyč je v K

21

2

2

1

cva

xcvax

2

2

1

xbtact 0

al 1

2

2

1cval



Závislost relativistického koeficientu na rychlosti

0

1

2

3

4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Rychlost [106 m/s]

21

2

2

1

cv



0

200

400

600

800

1000

1200

0.0 1.0 2.0 3.0

v [106 m/s]

/m

0(

m0/h

)Závislost normované vlnové délky na rychlosti pro elektron

;0vm

hmvh



Vlastnosti Lorenzových transformací:

00 tt

GLcv ;1;

i) Čas a prostor nejsou nezávislé

ii) G transformace jsou aproximací L

iii) Kauzalita se zachovává

iv) Nezachová se současnost

v) Nezachová se soumístnost

00 tt

00 xx

2cvxtt

vtxx


22 1cvut

ctvutt

Kontrakce délek:

Kauzalita:

0x

xx

Hodiny v K

0 tt

Soumístné měření:

Dilatace času:

Tyč v K´ 0t Současné měření:


Skládání rychlostí:

22 1cvu

u

cxvt

ytyw y

y

c

cvwvwu

21 Inverzní transformace: vvwu ;

txu

221

cvuvu

cxvt

tvxtxw

Změna kolmých složek = distorze


Časoprostor

2,121

212

212

212 szzyyxx

Euklidův prostor

Minkowského prostor

2,121

212

212

212

212 szzyyxxttc

2,12,1 ss invariant: nezávisí na volbě souř. systému

02,1 s pro dvě kauzálně spojené události



ct

A.B.

A.M.

A.B. – absolutní budoucnost

A.M. – absolutní minulost

022,1 s Časupodobný interval

0t

022,1 s Časupodobný interval

0t

P.

P. – počátek, místo, v němž se nacházímesvětočára

B.S.

B.S.

B.S. – bez kauzálních souvislostí

022,1 s Prostorupodobný interval

022,1 s Světelný interval

R3

Světelný

kužel



ictx 1Zavedeme-li

2,121

242

41

232

31

222

21

212

11 sxxxxxxxx

Máme euklidovskou metriku v komplexním prostoru

x,,,, 4321 ictxxxx

Bod v Minkowského prostoru = událost v časoprostoru

čtyřvektor

2,121

212

212

212

212 szzyyxxttc

Máme „neeuklidovskou“ metriku v reálném prostoru

x,,,, 4321 ctxxxx

Zavedeme-li



cvi

sin

cos

Geometrická interpretace:

Rotace kolem souřadných soustav

cossinsincos

212

211

xxxxxx

ictxcvitic

ictcvixx

44332211 babababa ba

44332211 babababa ba

Otočení v rovině

Skalární součin

V „neeuklidovské“ metrice


Čtyřvektorová algebra:

i) Všechny rovnice musí být zapsány čtyřvektorově

ii) Všechny rovnice musí být invariantní vůči Lorentzově transformaci

Zákon zachování hybnosti:

částice

ívystupujícčásticevstupující

pp

220

22222

1 cmpppEc zyx pp

cEp 1

Platí pro foton->

Platí pro všechno



Dynamika:

Energie

420

420

22420

222 cmvmccmpcE

kk EcmmcEEE 20

20

Klasická (nerelativistická) částice:

200 cmEEk

Příklad: elektron:

proton: MeVE 9250

keVE 5110



Pro v<<c:

...43

211

14

4

2

22

0

2

2

202

cv

cvcm

cv

cmmcE

20

20 2

1 vmcmE E0 – klidová energie

m0 – klidová hmotnost


Příklad odvození:

20

22 cmmdmcmvdvdmv

vmvddsdt

dmvFdsA

mvdvdmvdmc

dvvmdmvcm

cmmvcmm

22

222

20

22220

22

;022

;;



Co je skutečným přínosem TR:

i) Platnost rovnic může být omezená, i když jsou dlouhou dobu experimentálně ověřeny

ii) Kritériem správnosti idejí je experiment

iii) Hledání symetrie zákonů

teorie relativity

Documents