teorie topologiche 2+1 dimensionali con bordo in …...una teoria di campo di chern-simons abeliana...

Universita degli Studi di Genova

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Teorie topologiche 2+1 dimensionalicon bordo

in fisica della materia condensata

Tesi di Laurea Specialistica in Fisica

Sessione di laurea: 22 Marzo 2012Anno Accademico 2010-2011

Candidato: Giacomo Caruso

Relatori:Prof. Nicola MaggioreProf. Nicodemo Magnoli

Correlatore:Prof. Alberto Blasi

Indice

Introduzione 5

1 L’effetto Hall quantistico 111.1 L’effetto Hall classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 L’effetto Hall quantistico intero . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Elettrone in un campo magnetico e livelli di Landau . . . . . . 141.4 Stati di bordo dell’effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Presenza di disordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 L’effetto Hall quantistico frazionario . . . . . . . . . . . . . . . 211.7 L’esperimento ideale di Laughlin . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Quantum Spin Hall e isolanti topologici 252.1 Dal Quantum Hall al Quantum Spin Hall . . . . . . . . . . . . 252.2 Isolanti topologici 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Modello per gli isolanti topologici 2D in quantum wells di

HgTe/CdTe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali . . . . . . . . . . . . 342.5 Proprieta degli stati di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1 Time-reversal e protezione topologica degli stati di bordo 382.5.2 Principio “olografico” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Separazione spin-carica nel bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico 453.1 Teoria di campo efficace per gli stati di bulk dell’effetto Hall

quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 L’azione di Chern-Simons abeliana e le sue proprieta . . . . . 483.3 Simmetrie dell’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Introduzione del bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7 Correnti conservate e algebra sul bordo . . . . . . . . . . . . . 57

3

4 INDICE

4 Teoria efficace per il Quantum Spin Hall 614.1 Teoria di campo efficace per gli stati di bulk del Quantum Spin

Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Relazione fra teoria di Chern-Simons e teoria BF . . . . . . . 624.3 Correnti conservate nel bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 L’azione BF abeliana e le sue proprieta . . . . . . . . . . . . . 664.5 Simmetrie dell’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.6 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.7 Introduzione del bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.9 Soluzioni fisiche per i parametri di bordo . . . . . . . . . . . . 744.10 Correnti conservate e algebra sul bordo . . . . . . . . . . . . . 76

Conclusioni 83

A Proprieta dell’operatore time-reversal 85

B Calcoli espliciti per i parametri di bordo per la teoria BFabeliana in 2+1 dimensioni 89

C Soluzioni non fisiche per i parametri di bordo per la teoriaBF abeliana in 2+1 dimensioni 93C.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

C.1.1 Soluzioni con tre campi nulli . . . . . . . . . . . . . . . 93C.1.2 Soluzioni con due campi nulli . . . . . . . . . . . . . . 94

C.2 Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96C.2.1 Soluzioni con algebre contraddittorie . . . . . . . . . . 96C.2.2 Soluzioni coerenti che rompono la simmetria TR . . . . 98

Bibliografia 99

Introduzione

Nella fisica della materia condensata, gli atomi e i loro elettroni possonoformare diversi stati della materia, come solidi cristallini, magneti o super-conduttori. E di fondamentale interesse lo studio di quali meccanismi ci sianodietro questi diversi stati della materia e soprattutto cosa li distingue tra diloro. Tali stati sono generalmente distinti secondo la struttura dei loro ato-mi o delle loro particelle costituenti, ovvero dal loro ordine interno. Nellamaggior parte dei casi, queste fasi ordinate della materia condensata possonoessere classificate utilizzando il concetto di rottura spontanea di simmetria[1]. La rottura spontanea di simmetria e un fenomeno presente in mecca-nica classica, che non trova pero riscontro in meccanica quantistica, mentretorna a valere in teoria dei campi. In meccanica classica tale fenomeno siverifica allorche l’hamiltoniana di un sistema e invariante rispetto a datatrasformazione, ma tale simmetria non resta valida a livello delle soluzionidelle equazioni di moto. Un esempio semplice in meccanica classica si ottieneconsiderando un potenziale con la tipica forma “a cappello messicano”. Altriesempi possono essere i solidi cristallini che rompono la simmetria traslazio-nale, i magneti che rompono la simmetria rotazionale o i superconduttori cherompono la simmetria di gauge.Il concetto di rottura di una simmetria porta alla presenza di un unico pa-rametro d’ordine, che assume un valore non nullo solo nella fase ordinata.Attorno a questo parametro d’ordine puo essere costruita una teoria efficace,generalmente chiamata teoria di Ginzburg-Landau [2], determinata da pro-prieta generali come la dimensionalita o la simmetria del parametro d’ordine,e che fornisce una descrizione universale degli stati della materia.

Per lungo tempo si e pensato che ogni stato della materia e ogni possibi-le transizione di fase continua potessero essere descritti secondo il principiodi rottura di una simmetria, fino alla scoperta del fenomeno dell’effetto Hallquantistico. L’effetto Hall quantistico (Quantum Hall, QH), sperimental-

5

6 Introduzione

mente osservato per la prima volta nel 1980 [3], rappresenta il primo esempiodi uno stato quantistico senza rottura spontanea di una simmetria, e perciocompletamente diverso da ogni stato della materia conosciuto fino ad allora.Nel QH, il bulk di un campione bidimensionale, soggetto a un forte campomagnetico perpendicolare, e completamente isolante. La corrente elettricae trasportata solamente lungo i bordi del campione e la sua direzione suogni bordo e fissata dalla direzione del campo magnetico agente sul sistema.La quantizzazione della conduttanza Hall, che puo solo avere valori interiin unita di e2/h, puo essere spiegata solo attraverso il fatto che tale statodella materia e topologicamente invariante, e non dipende dai dettagli delmateriale. Il comportamento di questo stato della materia dipende quindisolo dalla sua topologia e non dalla sua specifica geometria.

Matematicamente si introduce il concetto di invarianza topologica per clas-sificare diversi oggetti in classi. La superficie di una sfera e topologicamenteequivalente alla superficie di un ellissoide, in quanto le due superfici possonoessere deformate l’una nell’altra con continuita. Allo stesso modo la superficiedi una sfera non e topologicamente equivalente a quella di un toro. Un altroesempio intuitivo di oggetti topologicamente distinti sono la superficie di unnastro ordinario e un nastro di Mobius (figura 1). Non possiamo infatti defor-mare l’uno nell’altro. La classificazione topologica tralascia le proprieta localie si focalizza sulle proprieta globali, riguardando la fondamentale distinzionetra le forme.

Figura 1: Confronto tra la forma di un nastro ordinario e quella di un nastro di Mobius.Essi sono topologicamente distini, l’uno non puo essere deformato nell’altro.

In fisica, quantita come la conduttanza Hall hanno un’origine topologica, erimangono invariate sotto piccole modifiche geometriche del campione. Ilconcetto astratto di classificazione topologica puo essere applicato intuitiva-mente a sistemi di materia condensata dotati di gap energetico, in cui e cor-rettamente definito il concetto di deformazione regolare [4]. In matematica,si considera una deformazione regolare quando essa avviene senza l’opera-zione discontinua della creazione di un buco. Tale deformazione raggruppa

Introduzione 7

le varieta geometriche in classi di equivalenza topologiche. In fisica, si puoconsiderare un’Hamiltoniana di un sistema di piu particelle, caratterizzatada un gap di energia che separa lo stato fondamentale da quelli eccitati. Inquesto caso, un deformazione regolare puo essere definita come una modificadell’Hamiltoniana che non annulla il gap di energia. Questo concetto topolo-gico puo essere correttamente applicato a stati fisici dotati di gap energetici,come isolanti o semiconduttori.

Per una descrizione delle proprieta di bassa energia di questi sistemi, e ne-cessario percio un nuovo tipo di descrizione teorica, in termini di teorie dicampo topologiche. Tali teorie hanno la fondamentale proprieta di essere in-dipendenti dalla metrica spazio-temporale e quindi le osservabili topologichesono di natura globale e non locale. Gli invarianti topologici possono essereutilizzati come parametri d’ordine topologici, che determinano univocamentela natura dello stato quantistico descritto. I parametri d’ordine topologici ele teorie di campo topologiche assumono, in questo caso, rispettivamente lostesso ruolo dei convenzionali parametri d’ordine di rottura di una simmetriae delle teorie efficaci del tipo di Ginzburg-Landau.Il piu noto esempio di teoria di campo topologica e proprio la descrizionedell’effetto Hall quantistico attraverso la teoria di Chern-Simons, che rappre-senta uno degli argomenti centrali di questa tesi. Questa teoria racchiudeil carattere topologico delle proprieta del QH in un’unica teoria di campoefficace.

Gi stati dell’effetto Hall quantistico appartengono a una classe topologicache rompe esplicitamente la simmetria di time-reversal (TR) con la presenzadi un campo magnetico. Fino a una decina di anni fa, si credeva impossibilerealizzare stati della materia di natura topologica che non rompessero la sim-metria TR. Con l’obiettivo di costruire stati topologici invarianti per TR, sisono cercati stati della materia in cui qualcos’altro potesse sostituire il ruo-lo del campo magnetico, la cui introduzione viola apertamente la simmetriaTR. Per fare cio si e studiato l’effetto spin Hall quantistico (Quantum SpinHall, QSH), in cui l’accoppiamento spin-orbita sostituisce l’azione del campomagnetico, generando stati topologici che rispettano la simmetria TR. Talistati della materia sono denominati Isolanti Topologici e hanno caratteristi-che simili a quelle del QH, ma sono dotati di simmetria TR.

Questa nuova assunzione porto Kane e Mele nel 2005 [5] a studiare il QSHnel grafene, un materiale scoperto lo stesso anno. Sfortunatamente i gapenergetici causati dall’accoppiamento spin-orbita nel grafene risultano insi-gnificanti [6], circa 3 o 4 ordini di grandezza piu piccoli dei gap che si possono

8 Introduzione

riscontrare in un qualsiasi semiconduttore ordinario. Lavorando indipenden-temente, Bernevig e Zhang [7] studiarono il QSH in semiconduttori deformatigeometricamente, in cui l’accoppiamento spin-orbita generava livelli di Lan-dau simili al caso del QH, ma senza rompere la simmetria TR. Anche questapossibilita, pero, si rivelo fisicamente irrealizzabile.. Nonostante nessuno diquesti due modelli sia mai stato realizzato sperimentalmente, essi hanno gio-cato un ruolo fondamentale nello sviluppo della teoria.

Nel 2006, finalmente, Bernevig e Zhang [7] predirono con successo l’esistenzadel primo isolante topologico in 2 dimensioni, realizzato poi sperimentalmen-te nel 2007 nei Quantum Wells di HgTe/CdTe [9, 10]. Tale scoperta e daconsiderarsi tra le piu importanti degli ultimi dieci anni in fisica della materiacondensata e ha suscitato immediatamente un enorme interesse. Gli isolantitopologici rappresentano la prima classe di stati topologici invarianti per TR,in cui l’accoppiamento spin-orbita gioca un ruolo fondamentale. Il bulk diun isolante topologico e completamente isolante e i risultati sperimentali [9]mostrano come la conduttanza longitudinale sia quantizzata secondo 2e2/h esu ogni bordo sia presente una coppia di stati di conduzione la cui direzionedi propagazione e legata allo spin. Il carattere topologico di un sistema QSHsta nel fatto che gli stati di bordo di conduzione, che si trovano all’internodel gap energetico presente nel bulk, non possono essere eliminati con unadeformazione regolare dell’Hamiltoniana. In pratica, un isolante topologiconon puo essere deformato in un isolante ordinario senza stati di bordo.

Lo scopo di questa tesi e quello di descrivere i sistemi QH e QSH in 2+1dimensioni secondo due teorie di campo efficaci topologiche. Per 2+1 dimen-sioni si intende 2 dimensioni spaziali e una temporale. Per il QH studieremouna teoria di campo di Chern-Simons abeliana in 2+1 dimensioni, mentreper il QSH studieremo una teoria denominata BF, limitandoci sempre al ca-so abeliano e alle 2+1 dimensioni. In entrambi i casi, inizieremo la nostratrattazione presentando la teoria di bulk, per poi soffermarci con piu atten-zione sugli stati di bordo delle due teorie.

Il problema di introdurre un bordo in una teoria di campo risulta crucia-le e di non semplice soluzione. In particolare, ci si ritrova di fronte allanecessita di stabilire o derivare particolari condizioni di bordo per i campi digauge, per poter descrivere la fisica sul bordo della teoria. L’argomento e sta-to diffusamente affrontato in letteratura [11, 12, 13], ma spesso le condizionisono derivate da assunzioni fatte ad hoc, come ad esempio l’annullamento deicampi o delle loro derivate sul bordo. La soluzione presentata in questo lavo-ro, invece, segue l’approccio proposto da K. Symanzik [14]. L’idea centrale

Introduzione 9

di Symanzik consiste nella richiesta che la teoria sia separabile, ovvero che ipropagatori della teoria siano nulli se calcolati tra punti appartenenti a latiopposti del bordo. Nel nostro caso, in particolare, abbiamo usato una tecnicache ci consente di non calcolare direttamente i propagatori, pur mantenendola condizione di separabilita. L’evidente vantaggio del metodo illustrato inquesta tesi consiste nella possibilita di trattare il bordo nelle teorie di campoanche nei casi in cui il calcolo dei propagatori sia molto difficile.

Questo lavoro di tesi e strutturato come segue. Nel Capitolo 1 e presenta-ta la fenomenologia dell’effetto Hall. Partiamo con la descrizione dell’effettoHall classico per poi passare alla trattazione dell’effetto Hall quantistico inte-ro e frazionario. In particolare, studiamo il comportamento quantistico di ungas bidimensionale di elettroni in un campo magnetico. Ci soffermiamo poisulla descrizione degli stati di bordo per l’effetto Hall intero e presentiamouna breve trattazione riguardo alle eccitazioni presenti nel sistema.Nel Capitolo 2 e descritta la fenomenologia del Quantum Spin Hall. Sonosottolineate le analogie e le differenze con il QH ed e presentato il model-lo di Bernevig, Hughes e Zhang (BHZ) [8] per gli isolanti topologici 2D inquantum wells di HgTe/CdTe. Ci soffermiamo poi sulle caratteristiche deglistati di bordo, sull’importanza del ruolo giocato dalla simmetria TR, e sulladescrizione delle eccitazioni presenti nel sistema, caratterizzate da una sepa-razione spin-carica.Nel Capitolo 3 e presentata una teoria di campo efficace per l’effetto Hallquantistico. Il punto di partenza e la teoria di campo efficace proposta daWen [12, 13] per gli stati di bulk dell’effetto Hall quantistico. Essa e strut-turata secondo una teoria di Chern-Simons abeliana in 2+1 dimensioni. Ilpasso successivo e quello di introdurre i termini di bordo nella teoria, uti-lizzando l’approccio di Symanzik. Calcoliamo le equazioni del moto rottedalla presenza del bordo e ricaviamo le condizioni al contorno per i campi digauge. La simmetria di gauge della teoria e espressa in un’identita di Wardlocale, anche dopo l’introduzione del bordo. Osserviamo infine la presenzadi correnti chirali conservate legate da un’algebra di Kac-Moody.Nel Capitolo 4 e presentata una teoria di campo efficace per il Quantum SpinHall. Come per il Capitolo 3, iniziamo la trattazione con la teoria di bulk,descritta dall’azione BF abeliana in 2+1 dimensioni. Anche in questo ca-so, introduciamo un bordo nella teoria, utilizzando l’approccio di Symanzik,calcolando le equazioni del moto rotte e ricavando le condizioni al contornoper i campi di gauge. Questa volta, la simmetria di gauge residua e espressada due identita di Ward locali, anziche una, come nel caso di Chern-Simons.Infine, ricaviamo le correnti chirali conservate che soddisfano una sommadiretta di algebre di Kac-Moody.

10 Introduzione

Capitolo 1

L’effetto Hall quantistico

1.1 L’effetto Hall classico

L’effetto Hall classico fu studiato per la prima volta da E.H.Hall nel 1879 [15,16]. Egli studio un sottile piatto metallico sul piano xy soggetto a un campomagnetico Bz perpendicolare al piano. Applicando una corrente lungo ladirezione x, egli osservo una resistenza longitudinale indipendente dal campomagnetico e una differenza di potenziale trasversa che definisce una resistenzatrasversa, denominata resistenza Hall, lineare in B secondo la relazione:

RH =B

nec, (1.1)

dove n rappresenta la densita degli elettroni nel sistema, mentre e e c sonorispettivamente la carica degli elettroni e la velocita della luce.

Il sistema e schematizzato in figura 1.1. Un campo elettrico esterno Eest

induce una densita di corrente J parallela ad esso. Il campo B ha l’effetto dideviare il moto degli elettroni tramite la forza di Lorentz FB e di creare unaccumulo di carica sul bordo superiore. Lo sbilanciamento di carica generauna differenza di potenziale lungo la direzione y e una conseguente forza FE,che a regime controbilancia FB. In regime stazionario, l’unica componentedella densita di corrente risulta essere lungo la direzione x. I risultati speri-mentali possono essere spiegati utilizzando la teoria del trasporto di Drude[17, 18]. In particolare si giunge a ricavare il tensore resistivita del sistema

11

12 1. L’effetto Hall quantistico

Figura 1.1: Rappresentazione di una barretta Hall. Il campo elettrico esterno E e direttolungo l’asse x e genera una densita di corrente parallela ad esso. Il campomagnetico B e diretto lungo l’asse z e genera la forza di Lorentz FB . Laforza elettrostatica FE , generata dall’accumulo di carica sul bordo superiore,a regime controbilancia FB .

ρ, definito dalla relazione tensoriale:

E = ρJ , (1.2)

ρ =

(ρxx ρxyρyx ρyy

)=

(mne2τ

Bnec

− Bnec

mne2τ

), (1.3)

dove τ e il tempo di rilassamento tra un urto e l’altro dovuto allo scatteringdegli elettroni. Va notato come, data la bidimensionalita del sistema, resi-stenza e resistivita hanno le stesse dimensioni e pertanto lo stessa quantitapuo essere indicata sia con l’uno che con l’altro termine. I risultati sperimen-tali sono in perfetto accordo con quelli teorici sulla dipendenza lineare dellaresistenza Hall dal campo magnetico.

1.2 L’effetto Hall quantistico intero

L’effetto Hall quantistico intero (Integer Quantum Hall Effect, IQHE) e statoosservato sperimentalmente per la prima volta da K. von Klitzing nel 1980 [3].Egli noto come un gas di elettroni bidimensionale raffreddato a temperatureinferiori a 1 K e sottoposto a un forte campo magnetico (' 10 T) mostri delledeviazioni rispetto al comportamento previsto dalla teoria classica. In primo

1.2 L’effetto Hall quantistico intero 13

luogo, la resistenza Hall in tali condizioni non e piu una funzione lineare delcampo magnetico ma rimane costante in corrispondenza di alcuni intervallidel valore del campo. In secondo luogo, la resistenza longitudinale si annullain corrispondenza degli stessi intervalli del valore del campo. Pertanto ilsistema elettronico si comporta come se fosse un superconduttore in quantosupporta un flusso di corrente non dissipativo. L’andamento della resistenzaHall riscontrato e riportato in figura 1.2 e i valori dei plateau sono descrittidalla relazione:

RH =1

i

h

e2, i ∈ N . (1.4)

Figura 1.2: Andamento di ρxx e ρxy in funzione del campo magnetico per gli stati dell’ef-fetto Hall quantistico intero. Si noti l’andamento a plateau della resistenzaHall ρxy e l’annullamento della resistenza longitudinale ρxx in corrispondenzadei plateau di ρxy. Tratta da [3].

Dalla figura si puo inoltre notare che, come gia detto, il valore della resistenzalongitudinale si annulla in corrispondenza dei plateau della resistenza Hall.


1.3 Elettrone in un campo magnetico e livelli

di Landau

Cerchiamo ora di dare una spiegazione di questo fenomeno dal punto di vistadella meccanica quantistica. Per fare cio consideriamo l’Hamiltoniana di unelettrone in una barra bidimensionale di area A = LxLy, soggetto a un campomagnetico B diretto lungo la direzione z:

H =1

2m

(p + e

A

c

)2

. (1.5)

A e l’usuale potenziale vettore elettromagnetico, che risulta legato al campomagnetico B come segue:

B = ∇∧A . (1.6)

L’Hamiltoniana in questione e gauge invariante e lo stesso vale per il campoB, il cui valore non e modificato da una trasformazione del potenziale vettoredella forma

A→ A +∇Λ , (1.7)

essendo Λ una funzione scalare arbitraria. Le proprieta fisiche del sistemanon dipendono quindi dalla scelta di gauge ed e percio conveniente introdurrela gauge di Landau (caso particolare della gauge di Coulomb, dove si ha∇A = 0). Una conveniente scelta di A, compatibile con la scelta di gaugefatta, e la seguente:

A = (−By, 0, 0) . (1.8)

L’Hamiltoniana (1.5) assumera pertanto la forma:

H =1

2m

(px −

eB

cy

)2

+p2y

2m. (1.9)

L’operatore px commuta con l’Hamiltoniana (essendo assente, a causa dellscelta di gauge, un termine dipendente da x) e percio puo essere sostituitoda ~kx. L’Hamiltoniana puo essere infine riscritta molto piu semplicementenella seguente maniera:

H =1

2mω2

c (y − kx`2) +p2y

2m, (1.10)

1.3 Elettrone in un campo magnetico e livelli di Landau 15

introducendo le grandezze ωc e ` che rappresentano rispettivamente la fre-quenza di ciclotrone e la lunghezza magnetica. La frequenza di ciclotrone edefinita come la frequenza di rotazione di un elettrone soggetto a un campomagnetico perpendicolare al piano del suo moto:

ωc =eB

mc, (1.11)

mentre la lunghezza magnetica rappresenta il raggio del cerchio attraversatoda un quanto elementare di flusso φ0 = hc

e:

` =

√~ceB

, (1.12)

φ0 = 2π`2B . (1.13)

L’Hamiltoniana cosı ottenuta e esattamente quella di un oscillatore armonicounidimensionale sull’asse y centrato in y0 ≡ kx`

2. Lo spettro energetico delsistema e dato pertanto da

En = ~ωc(n+

1

2

), n ∈ N . (1.14)

Tali livelli energetici prendono il nome di livelli di Landau. L’energia nondipende dal numero quantico kx, percio si avra una degenerazione degli au-tostati dell’energia. A questo punto e possibile ricavare una soluzione per lefunzioni d’onda del sistema risolvendo l’equazione di Schrodinger:

Hψn(x, y) = Enψn(x, y) . (1.15)

Dato che x e una coordinata ciclica, la funzione d’onda puo essere fattoriz-zata nel prodotto di autostati del momento nella direzione x e di autostatidell’oscillatore armonico nella direzione y, shiftato di y0:

ψn(x, y) =1

2πeikxxφn(y − y0) . (1.16)

Lo stato del sistema risulta quindi definito dai due numeri quantici n e kx. In-serendo le funzioni d’onda (1.16) nella (1.15), si possono ricavare le soluzioniper le φn(y − y0):

φn(y − y0) = e−(y−y0)2

2`2 Hn

(y − y0

`

), (1.17)

dove le Hn sono i polinomi di Hermite. Le soluzioni si comportano come ondepiane lungo la direzione x, mentre risultano localizzate intorno a y0 lungo la


direzione y.

Gli effetti dei livelli di Landau si osservano solo quando l’energia termicamedia e molto piu piccola della separazione dei livelli energetici (kT ~ωc),ossia per temperature molto piccole e campi magnetici particolarmente in-tensi, condizioni per le quali si verifica sperimentalmente proprio l’esistenzadell’effetto Hall quantistico.

L’energia dei livelli di Landau dipende solo dal numero quantico n. Ognilivello e degenere a causa degli infiniti valori che kx puo assumere. La dege-nerazione non e pero infinita, essendo il campione limitato dalle dimensioniLx e Ly. Assumendo condizioni al contorno periodiche sulla x, si ottiene lasolita quantizzazione del numero d’onda:

kx =2π

LxN ′ , N ′ ∈ Z . (1.18)

I possibili valori di N ′ sono ulteriormente definiti dalla condizione che ilcentro dell’oscillatore armonico y0 si trovi all’interno del campione:

0 ≤ y0 ≤ Ly . (1.19)

Da cio si ricava che il range possibile per N ′ e:

0 ≤ N ′ ≤ LxLy2π`2

. (1.20)

Il valore massimo possibile per N e N ′max = LxLy2π`2

e, come si puo vedere dalla(1.13), e il rapporto fra l’area del campione e quella che si associa al quantoelementare di flusso. N ′max puo anche essere considerato come il rapporto trail flusso del campo B che attraversa il campione e il quanto fondamentale diflusso φ0, ossia il numero di quanti elementari che attraversano il campione:

N ′max =LxLy2π`2

=LxLyB

2π`2B=

φ

φ0

. (1.21)

Se il numero delle particelle nel sistema e N , introduciamo una nuova varia-bile che risultera molto importante, denominata filling factor e solitamenteindicata con ν. Il filling factor e definito come il rapporto tra il numerodi particelle del sistema e il numero di quanti di flusso che attraversano ilsistema stesso:

ν =N

N ′max=nhc

eB. (1.22)

1.4 Stati di bordo dell’effetto Hall 17

Per ν < 1 gli elettroni si trovano tutti nel primo livello di Landau, non com-pletamente pieno. Per valori interi di ν si hanno uno o piu livelli di Landaucompletamente pieni. Per poter aggiungere ulteriormente un elettrone oc-corre occupare un nuovo livello inizialmente vuoto fornendo un’energia parial salto fra i livelli energetici ~ωc. Riscrivendo il valore del campo magneticoB in funzione del filling factor, utilizzando la (1.22) e sostituendo tale valorenella (1.1) si ottiene una resistenza Hall

RH =1

ν

h

e2, (1.23)

che per ν = i, con i ∈ N, e in perfetto accordo con la (1.4).

1.4 Stati di bordo dell’effetto Hall

Come visto nel paragrafo precedente, gli stati di bulk del QH sono carat-terizzati da un gap energetico, costituito dalla separazione tra due livelli diLandau consecutivi. Quando pero il sistema risulta confinato in una regionefinita del piano, e interessante studiare le caratteristiche degli stati presentisul bordo del campione, i quali sono, come vedremo, gapless. Per studia-re tali stati e necessario introdurre nell’Hamiltoniana (1.5) un potenziale diconfinamento V (y), che vincola il sistema lungo la direzione y. La trattazio-ne seguita da questa tesi e solamente qualitativa ma, per alcune forme delpotenziale V (y), il problema puo essere risolto esattamente. Noi scegliamoun potenziale generico dato da:

V (y)

= 0 − w

2< y < w

2

6= 0 y < −w2; y > w

2

(1.24)

dove w rappresenta la larghezza di confinamento lungo la direzione y. Pergarantire la condizione di adiabaticita, il potenziale di confinamento dovraessere lentamente variabile sui bordi, in particolare rispetto alla scala dellalunghezza magnetica:

|∂yV (y)| ωc`. (1.25)

Risolviamo nuovamente l’equazione di Schrodinger nella gauge di Landau,con la nuova Hamiltoniana data da:

H =1

2m

(px −

eB

cy

)2

+p2y

2m+ V (y) . (1.26)


Lavorando sempre per separazione di variabili, le autofunzioni potranno dinuovo essere scritte come:

ψn(x, y) =1

2πeikxxφn(y − y0) . (1.27)

Dato che le soluzioni risultano localizzate intorno a y0, utilizzando la condi-zione di adiabaticita possiamo approssimare il potenziale V (y) con il valoreV (y0). Lo spettro energetico sara percio semplicemente dato da:

En = ~ωc(n+

1

2

)+ V (y0) , n ∈ N . (1.28)

Si puo facilmente riscontrare come nel bulk del sistema, dove il potenzialedi confinamento e nullo, si ottiene il consueto spettro energetico gappato coilivelli di Landau separati da un’energia di ~ωc. Sui bordi del sistema doveV (y0) 6= 0, invece, e presente uno spettro variabile con eccitazioni gapless.Questo effetto, causato dall’inserimento del potenziale di confinamento, ge-nera il fenomeno del piegamento della bande ai bordi, riportato in figura 1.3a. Nel caso che l’energia di Fermi sia compresa fra due livelli di Landau, leuniche eccitazioni di bassa energia sono quelle del bordo.

Figura 1.3: (a) Descrizione qualitativa della deformazione dei livelli energetici En

(espressi in unita di ωc) dopo l’introduzione del potenziale di confinamento.Se l’energia di Fermi si trova a meta strada tra due livelli, le uniche ecci-tazioni possibili sono quelle sul bordo. (b) Visione qualitativa di una barraHall, caratterizzata dal moto chirale degli stati di bordo.

Un’altra fondamentale caratteristica di questi stati di bordo e che essi risul-tano chirali. Considerando infatti i pacchetti d’onda dei singoli elettroni, lavelocita di gruppo sara data da:

v(k) =1

~∂En(k)

∂k. (1.29)

1.5 Presenza di disordine 19

I pacchetti sono centrati intorno al valore y0 e quindi si potra scrivere:

v(k) =1

~∂En(k)

∂y0

∂y0

∂k, (1.30)

da cui si vede che nel passare da un bordo all’altro si ha un cambiamentodel segno della velocita, la cui direzione su ciascuno dei bordi risulta fissatadal campo magnetico agente sul sistema. Un esempio di moto chirale dellecariche sui due bordi del campione e rappresentato in figura 1.3 b. Per questimotivi quando ci si riferisce a sistemi QH si parla di liquido di Fermi chirale.

1.5 Presenza di disordine

I ragionamenti fatti finora non danno pero una giustificazione dell’andamen-to a plateau della resistenza Hall. Per spiegare cio e necessario tenere contodella presenza di disordine, ossia di impurezze o difetti reticolari, che rompo-no l’invarianza traslazionale del sistema. Per una trattazione piu sistematicasi rimanda a [19].Innanzi tutto si puo notare come la presenza di disordine alteri la densitadegli stati del sistema. La densita degli stati di un gas bidimensionale di elet-troni soggetti a un campo magnetico ha la tipica forma deltiforme, centratasui picchi corrispondenti ai livelli di Landau. Lo scattering con eventuali im-purezze presenti nel sistema modifica la forma della densita degli stati. Senzaentrare nel dettaglio specifico dei conti, che va oltre le finalita di questa tesi,si puo riscontrare che la struttura deltiforme tipica dei livelli di Landau si de-forma e, al posto dei picchi, si hanno bande a forma di semi-ellisse centrate inEn, la cui larghezza dipende dalla densita di impurezze presenti nel sistema.Si puo inoltre dimostrare che, in presenza di disordine, gli stati accessibili sidividono in due famiglie: alcuni stati sono localizzati in una regione ristrettarispetto alle dimensioni del campione, mentre altri risultano estesi a tuttoil campione [20]. I primi si trovano sempre nelle code delle bande, mentrei secondi si trovano al centro di esse. Stati appartenenti alle due diversefamiglie non possono occupare lo stesso livello di energia, essendo tra di loroortogonali. Si puo dimostrare che in un sistema 2D soggetto a impurezzesono presenti solo stati localizzati. La presenza del campo magnetico fa sıche si formino anche degli stati estesi. Solo gli stati estesi contribuisconoalle proprieta di conduzione del campione, percio quando l’energia di Fermiattraversa gli stati localizzati la proprieta di trasporto del sistema restanoimmutate. Percio le caratteristiche di conduzione del sistema dipendono solo


dagli stati estesi, che si trovano al centro dei livelli di Landau, e non da quellilocalizzati, che si trovano ai bordi dei livelli di Landau. Le funzioni d’ondahanno un decadimento esponenziale con scala di lunghezza ξ, che prende ilnome di lunghezza di localizzazione. Le proprieta di localizzazione degli statidel QH sono state ampiamente studiate in letteratura [21] e risultati numericidimostrano come la lunghezza di localizzazione dipenda dall’energia con unandamento a potenza del tipo:

ξ(E) ∝ |E − En|γ , (1.31)

con γ > 4/3. Quando la lunghezza di localizzazione supera le dimensionidel campione, si hanno gli stati estesi, che contribuiscono alla conduzione delsistema e pertanto l’andamento di ρxx e ρxy e legato proprio ad essi. All’au-mentare del campo magnetico la degenerazione dei livelli di Landau aumentae conseguentemente il livello di Fermi si sposta. La resistenza longitudinaledipende solo dagli stati che si trovano all’energia di Fermi, percio, come mo-strato in figura 1.4, quando l’energia di Fermi si trova in una regione di statilocalizzati essa si annulla, mentre in caso contrario risulta ρxx 6= 0. La resi-stenza Hall, invece, dipende da tutti gli stati sotto il livello di Fermi, e quindirisulta costante fino a che non si incontrano gli stati estesi appartenenti allivello di Landau superiore.

Figura 1.4: Andamento di ρxx e ρxy all’aumentare del campo magnetico e, di conse-guenza, del livello di Fermi. ρxx risulta 6= 0 solo in corrispondenza degli statiestesi, al centro delle bande dei livelli di Landau. ρxy rimane costante nellazone corrispondenti agli stati localizzati, mentre il passaggio a una regionedi stati estesi la porta al valore previsto per il plateau successivo.

1.6 L’effetto Hall quantistico frazionario 21

1.6 L’effetto Hall quantistico frazionario

Nel 1982 D.Tsui e H.Stormer osservarono per la prima volta il cosiddettoeffetto Hall quantistico frazionario (Fractional Quantum Hall Effect, FQHE)[22]. In questo caso fu constatato come il filling factor dell’effetto Hall possaassumere anche valori frazionari

ν = 1, 2, 3, ...︸︷︷︸IQHE

,1

3,2

3,2

5,3

7, ...︸︷︷︸

FQHE

(1.32)

Tale effetto puo essere facilmente osservato in figura 1.5.

Figura 1.5: Andamento della resitenza Hall (RH) e della resistenza longitudinale (R) infunzione del campo magnetico per gli stati dell’effetto Hall quantistico fra-zionario. L’andamento e analogo a quello dell’effetto Hall quantistico intero,ma i valori del campo mangnetico interessanti sono maggiori del caso prece-dente. I valori frazionari indicati in figura rappresentano il corrispondentefilling factor ν. Tratta da [23].


Il FQHE puo essere spiegato considerando gli effetti di interazione coulom-biana tra gli elettroni del gas bidimensionale.Per una trattazione piu specifica degli stati dell’effetto Hall quantistico interoe frazionario si rimanda alla letteratura [22, 23, 24, 25].

1.7 L’esperimento ideale di Laughlin

In questo paragrafo ripercorreremo l’esperimento ideale proposto da Laughlin[24] per mostrare come la quantizzazione della resistenza in un sistema QHporti all’esistenza di eccitazioni elementari con carica frazionaria.Laughlin introdusse un flusso fittizio Φ0 = hc/e (oppure 2π nel sistema con~ = c = e = 1) attraverso un sistema QH, corrispondente a un quantofondamentale di flusso. L’esperimento di Laughlin e schematizzato in figura1.6. Il flusso introdotto induce, per la legge di Faraday, un campo elettrico,su una generica curva Γ attorno al flusso, secondo la relazione:∮

Γ

dl · E = −1

c

dφ

dt. (1.33)

Figura 1.6: Rappresentazione schematica dell’esperimento ideale di Laughlin. Il flussoΦ(t) induce un campo elettrico E(t) e quindi una densita di corrente radialeJ(t). Per ogni quanto di flusso aggiunto, una carica uguale a −νe entraall’interno della regione delimitata da Γ.

1.7 L’esperimento ideale di Laughlin 23

Il principio di Aharonov-Bohm [26] garantisce che, se il processo e avvenutoin modo adiabatico, l’Hamiltoniana del sistema e invariante sotto l’aggiuntadi un flusso che sia un multiplo intero di Φ0 = hc/e. Gli elettroni infattiacquistano una fase banale data da

eiehc

∮Γ δAdl = e±i2π = 1 , (1.34)

dove δA e la variazione del potenziale vettore dovuta all’introduzione delquanto di flusso. Quello a cui si giunge alla fine del processo e pertanto unautostato dell’Hamiltoniana iniziale.

In presenza di un plateau del QH sara presente un flusso di corrente radialeJ legato ad E nel seguente modo:

E = ρxyJ× z . (1.35)

Sostituendo la (1.35) nella (1.33) si ottiene:

ρxy

∮Γ

dl · (J× z) = −1

c

dφ

dt. (1.36)

Il primo termine della (1.36) rappresenta la quantita di corrente che entraall’interno della regione delimitata dalla curva Γ. Per la conservazione dellacorrente, la (1.36) potra essere anche scritta come:

ρxydQ

dt= −1

c

dφ

dt, (1.37)

dove dQ rappresenta la carica infinitesima che entra all’interno della regionedelimitata da Γ nel tempo dt. Tale relazione, integrata nel tempo in cuiavviene il processo adiabatico, porta a una carica di:

Q = −σxyh

e, (1.38)

dove σxy e la conduttanza Hall del sistema, definita semplicemente come l’in-verso della resistenza Hall. Sostituendo i valori quantizzati della conduttanzaHall (σxy = ν e

2

h) nella (1.38) si ottiene:

Q = −νe , (1.39)

che, per valori frazionari di ν, rappresenta una quasi-particella con caricafrazionaria.Negli ultimi anni diversi esperimenti basati sull’effetto tunnel hanno mostra-to l’esistenza di queste eccitazioni con carica frazionaria e, in particolare,l’esistenza di quasi-particelle con carica e/3 ed e/5 [27].

Capitolo 2

Quantum Spin Hall e isolantitopologici

2.1 Dal Quantum Hall al Quantum Spin Hall

Topologicamente distinti da ogni altro stato della materia conosciuto, inclusoil QH, gli stati 2D del QSH furono teorizzati per la prima volta da Bernevige Zhang nel 2006 [7].Tali sistemi sono isolanti nel bulk, ossia possiedono un gap di energia chesepara la banda di valenza da quella di conduzione, ma sul bordo possiedonostati gapless che permettono il fluire della corrente. Da qui deriva il nome diIsolanti topologici. La conduttanza longitudinale nel regime di QSH risultaquantizzata secondo numeri interi di 2e2/h, indipendentemente dallo spes-sore del campione. In particolare si riscontra, per ogni bordo, l’esistenza diuna coppia di stati di bordo con spin opposto che si propagano in direzio-ne opposta. Per questa ragione, essi sono anche chiamati stati elicoidali, inquanto lo spin e legato alla direzione del moto [7]. Tali stati si organizzanoin doppietti di Kramer.La vera novita rispetto al QH sta nel fatto che gli stati del QSH rispettano lasimmetria TR, esplicitamente rotta dall’introduzione dal campo magneticonel caso del QH. Nel QSH e l’accoppiamento spin-orbita ad assumere il ruolodel campo magnetico.

Gli stati del QSH 2D possono essere approssimativamente visti come una

25

26 2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici

coppia di stati del QH, dove stati con spin opposto si propagano sui bordi.Per capire meglio la differenza tra il QH e il QSH ci riferiamo alla figura 2.1.In un sistema 1D ci sono due possibili direzioni di propagazione: avanti e in-dietro. Il QH fa sı che gli elettroni viaggino solo lungo il bordo del campionee che i due flussi di corrente siano separati in due diverse linee che si trovanosul bordo superiore e inferiore del campione. Comparato con un sistema 1D,il bordo superiore di una barra Hall possiede solo la meta dei gradi di li-berta. Questa separazione spaziale e illustrata in figura 2.1 a e rappresentatadall’equazione simbolica “2 = 1 (propagazione in avanti) + 1 (propagazioneindietro)” ed e la ragione chiave per cui il QH e topologicamente robusto,ossia le sue proprieta non variano quando il sistema e sottoposto a una pic-cola deformazione. Quando uno di questi elettroni che viaggiano sul bordoincontra un’impurezza, il suo moto subisce una leggera deviazione ma la par-ticella gira intorno all’impurezza e continua a scorrere nella stessa direzione,perche, su un determinato bordo del campione, la direzione di propagazionerisulta fissata dal campo magnetico. Questo meccanismo di trasporto po-trebbe essere estremamente utile nel campo dei dispositivi a semiconduttore.Purtroppo, la richiesta di un grande campo magnetico e di temperature mol-to piccole limita notevolmente il campo di utilizzo del QH. Il QSH supera

Figura 2.1: Analogia tra il QH e il QSH. (a) Stati di bordo del QH comparati con unsistema 1D senza spin con direzioni di propagazione avanti e indietro. Ilsistema possiede 2 = 1 + 1 gradi di liberta. Da notare come il camminodi una particella che incontra un’impurezza venga solamente leggermentedeviato ma non riflesso. (b) Stati di bordo del QSH comparati con un sistema1D con spin e direzioni di propagazione avanti e indietro. Il sistema possiede4 = 2 + 2 gradi di liberta. Tratta da [28].

questo inconveniente. In un sistema 1D con particelle di spin up o down che

2.1 Dal Quantum Hall al Quantum Spin Hall 27

si propagano nelle due direzioni abbiamo 4 canali di propagazione, come epossibile vedere dalla figura 2.1 b. Il QSH separa questi canali di propagazio-ne in modo da avere gli elettroni spin up che si propagano in avanti e quellispin down che si propagano all’indietro sul bordo superiore del campione egli altri due canali sul bordo inferiore. I canali di propagazione sono divisi inmodo che il sistema sia TR-invariante, senza l’utilizzo di un campo magne-tico, come mostrato in figura dall’equazione simbolica “4 = 2 + 2”.

Il cammino degli elettroni del QSH puo essere riflesso da un’impurezza, edifferenti cammini possono interferire tra di loro. Come mostrato in figura2.2, un elettrone con spin up che si propaga in avanti puo ruotare intornoall’impurezza in senso orario o in senso antiorario. Solo gli elettroni con spindown possono propagarsi all’indietro e percio lo spin dell’elettrone ruota diπ o di −π fino a raggiungere la direzione opposta. I due possibili cammini,legati dalla simmetria TR, differiscono di un’intera rotazione di spin di 2π.La funzione d’onda di una particella di spin 1/2 ottiene un segno - dopouna completa rotazione di 2π, quindi i due cammini interferiscono distrut-tivamente, dando luogo a una trasmissione totale. Se l’impurezza porta uncampo magnetico, la simmetria TR e rotta e i due cammini riflessi non in-terferiscono piu distruttivamente. In questo senso si dice che la robustezzadegli stati di bordo del QSH e protetta dalla simmetria TR.

Figura 2.2: Due possibili cammini di un elettrone sul bordo di un sistema QSH quandoincontra un’impurezza che non porta campo magnetico. Lo spin dell’elettro-ne ruota in senso orario e quindi di π nella curva blu, mentre ruota in sensoantiorario e quindi di −π nella curva rossa. L’impurezza non magnetica con-serva la simmetria TR e porta a un’interferenza distruttiva, in quanto i duecammini differiscono di un’intera rotazione di 2π. Tratta da [28].

Il ragionamento appena fatto puo essere applicato solo al caso di una singolacoppia di stati di bordo del QSH. Se invece, ad esempio, sono presenti duecanali di propagazione in avanti e due indietro per ogni bordo, con entram-bi gli stati di spin, l’elettrone puo essere riflesso senza cambiare il suo spine quindi senza interferenza distruttiva, e cio porta a effetti di dissipazione.Conseguentemente, perche lo stato del QSH sia robusto, gli stati di bordo


devono consistere in un numero dispari di coppie di canali di propagazione.Questo effetto, caratterizzato da un numero quantico topologico legato algruppo Z2 [5], e alla base del QSH ed e uno dei motivi per cui i materialicaratterizzati da questo effetto sono denominati isolanti topologici. Gli iso-lanti topologici si dividono quindi in due classi ben distinte, legate appuntodal numero quantico topologico di Z2. Gli stati topologicamente non banalisono dotati di un gap nel bulk e stati di bordo formati da un numero disparidi canali che si propagano in una direzione e un numero dispari di canali chesi propagano nell’altra.

2.2 Isolanti topologici 2D

Come gia detto, il cuore del QSH sta nell’accoppiamento spin-orbita. Nono-stante questa interazione sia presente in tutti i materiali, solo pochi di essisono isolanti topologici. Questo perche lo spin-orbita fa sentire maggiormen-te il suo contributo solo negli elementi piu pesanti.

Gli isolanti topologici sono stati osservati per la prima volta nei quantumwells di HgTe/CdTe. Si realizza il quantum well posizionando uno stratoHgTe dello spessore nell’ordine dei nanometri tra due strati di CdTe, otte-nendo un confinamento delle particelle in una regione planare.Secondo il modello proposto da Bernevig, Hughes e Zhang [8], i quantumwells di HgTe/CdTe sono caratterizzati da una transizione di fase in funzio-ne dello spessore dQW del quantum well. In particolare il quantum well risultaessere un convenzionale isolante per dQW < dc, e un isolante topologico conuna coppia di stati elicoidali al bordo per dQW > dc, dove dc e uno spessorecritico. La coppia di stati di bordo possiede entrambi gli stati di spin e sitrova all’interno del gap tra la banda di valenza e quella di conduzione. Lasimmetria TR garantisce l’incrocio delle curve di dispersione in particolaripunti della zona di Brillouin e fa sı che lo spettro del QSH non possa esseredeformato adiabaticamente in un isolante topologicamente banale senza statielicoidali al bordo.

Il meccanismo che sta dietro a tutto cio e quello dell’inversione delle bande,secondo cui l’usuale ordine delle bande di valenza e di conduzione e invertitodall’accoppiamento spin-orbita.Nei piu comuni semiconduttori, la banda di conduzione e formata da elettro-ni in orbitali di tipo s, mentre la banda di valenza e formata da elettroni in

2.2 Isolanti topologici 2D 29

orbitali di tipo p. In alcuni elementi particolarmente pesanti, quali appuntoil mercurio, l’accoppiamento spin-orbita e cosı forte che la banda di tipo p espinta sotto la banda di tipo s e percio le bande di valenza e di conduzionesono invertite.

Sia per il HgTe che per il CdTe, le bande rilevanti vicino al livello di Fermihanno un andamento vicino al punto Γ (k = 0) della zona di Brillouin comein figura 2.3 a. Sono presenti le bande di tipo s (Γ6) e quelle di tipo p splittate

Figura 2.3: (a) Struttura a bande del HgTe (a sinistra) e del CdTe (a destra). (b) Rap-presentazione schematica della geometria dei quantum wells con spessore in-feriore e superiore allo spesso critico dc. Da notare il fenomeno dell’inversionedelle bande. Tratta da [29].

dall’accoppiamento spin-orbita in una banda con J = 3/2 (Γ8), doppiamentedegenere, e una con J = 1/2 (Γ7). Il CdTe ha il tipico ordinamento delle


bande che si riscontra nei piu comuni semiconduttori, con la banda di tipo s(Γ6) a fungere da banda di conduzione e le bande di valenza di tipo p (Γ8,Γ7) che sono separate dalla banda di conduzione da un grande gap di energia(∼ 1, 6 eV). Nel HgTe, a causa del forte accoppiamento spin-orbita presentenel mercurio che e molto pesante, le bande sono invertite: il gap energeticonegativo di -300 eV che si vede in figura indica che la banda Γ8, che solita-mente rappresenta la banda di valenza, questa volta si trova sopra la bandaΓ6. La banda Γ8 cosiddetta light-hole (Jz = ±1/2) diventa quindi la bandadi conduzione mentre la banda Γ8 heavy-hole (Jz = ±3/2) diventa la primabanda di valenza. La banda di tipo s Γ6 e spinta sotto il livello di Fermi esi trova tra la Γ8 heavy-hole e la Γ7. A causa della degenerazione tre le duebande Γ8 nel punto Γ della zona di Brillouin, il HgTe e un semiconduttorecon gap zero.

Nei quantum wells di HgTe/CdTe, quello che si ottiene e che per quantumwells particolarmente spessi la struttura a bande resta quella “invertita” delHgTe. Diminuendo lo spessore dQW sotto un certo valore critico dc, le bandetorneranno ad avere il tipico ordinamento di un comune semiconduttore. Ilfenomeno puo essere spiegato nel seguente modo: per quantum wells sottili lastruttura prevalente e quella del CdTe col normale allineamento delle bande,ma quando dQW viene aumentato il materiale si comporta in modo molto piusimile al HgTe, che ha le bande invertite (figura 2.3 b).Lo shift di energia in un quantum well puo essere visto nella figura 2.4, do-ve gli Hn sono stati derivati dalla banda Γ8 heavy-hole, mentre gli stati Enrisultano combinazioni della Γ8 light-hole e della Γ6. Queste ultime bande

Figura 2.4: Livelli energetici del quantum well in funzione dello spessore. Tratta da [10].

2.2 Isolanti topologici 2D 31

danno luogo anche ad altri stati, denominati Ln, il cui contributo puo peroessere trascurato, in quanto si trovano a un livello di energia piu basso. Lostesso discorso puo essere fatto per la banda Γ7. Il fenomeno rilevante e quel-lo dell’inversione tra le bande E1 e H1, che avviene quando si raggiunge unospessore critico dQW = dc ∼ 6,3 nm , ricavato sperimentalmente.

La prima conferma sperimentale dell’esistenza del QSH nei quantum wells diHgTe/CdTe fu proposta nel 2007 [9, 10]. I risultati di questi lavori possonoessere osservati in figura 2.5, dove sono riportati i valori sperimentali dellaresistenza lomgitudinale di QW con spessore superiore o inferiore a dc, infunzione del voltaggio applicato in modo da modificare il livello di Fermi.Si nota immediatamente che nel regime di energia corrispondente al gap delbulk per QW sottili (d < dc) si osserva una resistenza di diversi MΩ, cheporta a una conduttanza praticamente nulla, e quindi il materiale puo essereconsiderato un isolante. Per QW piu spessi (d > dc) si osserva l’esistenzadi un plateau a R = h/2e2, il cui valore e indipendente dalla temperatura edalle caratteristiche geometriche del materiale.

Figura 2.5: Andamento sperimentale della resistenza longitudinale per QW di diversospessore, in funzione della differenza di potenziale applicata. (a) Confrontotra l’andamento della resistenza longitudinale per un QW di spessore 4,5 nm(linea nera) e uno con spessore 8 nm (linea rossa), in funzione del potenzialeapplicato. Il primo, che si trova nel regime di bande non invertite, risultaisolante, mentre il secondo, nel regime di bande invertite, ha una resistenzafinita. La resistenza riportata in figura (≈ 100 kΩ) e nettamente piu altadi quella attesa (h/2e2 ≈ 12,9 kΩ) e cio e dovuto ad effetti di scatteringanelastico. In (b) sono state ridotte le dimensioni del campione, in mododa annullare il piu possibile gli effetti di scattering anelastico. In questocaso infatti si osserva il corretto valore della resistenza quantizzata (R =h/2e2 ≈ 12,9 kΩ). Tale valore non cambia al variare della temperaturae delle dimensioni del campione (purche si rimanga nel regime di bandeinvertito). Adattata da [9].


2.3 Modello per gli isolanti topologici 2D in

quantum wells di HgTe/CdTe

In questo paragrafo cercheremo di riassumere il procedimento seguito da Ber-nevig, Hughes e Zhang nel 2006 [8] per spiegare in che modo i quantum wellsdi HgTe/CdTe con dQW > dc costituiscano un isolante topologico 2D constati di bordo protetti dalla simmetria TR.

In questo modello si considerano solo le bande E1 e H1 e si assume cheil sistema sia simmetrico per inversione. Le due bande devono essere dop-piamente degeneri, per via dalla simmetria TR. Esprimiamo quindi gli statinella base |E1+〉,|H1+〉,|E1−〉,|H1−〉. Gli stati |E1±〉 e |H1±〉 hanno pa-rita opposta e percio gli elementi dell’Hamiltoniana che li connettono devonoessere dispari per inversione di parita. Di conseguenza, all’ordine piu basso,le coppie |E1+〉, |H1+〉 e |E1−〉, |H1−〉 saranno rispettivamente accoppiateda termini lineari in k. Lo stato |H1+〉 e formato da orbitali p accoppiaticon lo spin orbita del tipo |px + ipy, ↑〉, mentre lo stato |H1−〉 e formato daorbitali p del tipo |−px − ipy, ↓〉. Pertanto, per preservare la simmetria rota-zionale intorno all’asse z, gli elementi della matrice Hamiltoniana dovrannoessere proporzionali a k± = kx ± iky. Gli unici termini ammessi negli ele-menti diagonali sono formati da potenze pari non negative di k. Ogni bandadeve essere doppiamente degenere per ogni k, percio non ci puo essere nessunelemento di matrice tra lo stato + e lo stato - della stessa banda. Infine seci fossero elementi di matrice tra le coppie |E1+〉, |H1−〉 e |E1−〉, |H1+〉essi indurrebbero un processo di ordine superiore che accoppierebbe stati +e - della stessa banda, eliminando la degenerazione. Per questo motivo, an-che tali elementi sono soppressi. Tramite queste semplici considerazioni puoessere scritta la matrice Hamiltoniana come segue:

H =

(h(k) 0

0 h∗(−k)

), (2.1)

h(k) = ε(k)I2×2 + di(k)σi , (2.2)

dove I2×2 e la matrice identia 2× 2, le σi sono le usuali matrici di Pauli, e

ε(k) = C −D(k2x + k2

y) , (2.3)

d = (Akx,−Aky,M(k)) , (2.4)

M(k) = M −B(k2x + k2

y) , (2.5)

2.3 Modello per gli isolanti topologici 2D in quantum wells diHgTe/CdTe 33

dove A,B,C,D,M sono parametri del materiale che dipendono dalla geome-tria del quantum well. Abbiamo scelto lo zero dell’energia sul bordo dellabanda di valenza del HgTe a k = 0 (figura 2.3).

Diagonalizzando la matrice Hamiltoniana, si ottiene le spettro del modelloBHZ. I livelli di energia ottenuti, doppiamente degeneri, sono:

E± = C −D(k2x + k2

y)±√A2(k2

x + k2y) + [M −B(k2

x + k2y)]

2 . (2.6)

La fisica degli stati di bordo dipende solo dalla parte sotto radice.Per B = 0, il modello si riduce a due copie di elettroni massivi di Diracin 2+1 dimensioni. La massa M corrisponde alla differenza di energia trai livelli E1 e H1 nel punto Γ della zona di Brillouin. La massa M cambiasperimentalmente segno quando si raggiunge lo spessore critico dc, dove E1

e H1 diventano degeneri tra di loro. Al punto critico, il sistema e descrittoda due copie di elettroni di Dirac senza massa, uno per ogni spin.

Per dQW > dc, al punto Γ la banda E1 scende sotto alla H1 e la massaM diventa negativa. Un modello di Dirac massivo non si differenzia sullabase di un massa positiva o negativa, in quanto il termine in M compare alquadrato. Da questo momento in poi, denomineremo M massa di Dirac e Bmassa Newtoniana. Quest’ultima infatti descrive l’usuale termine di massanon relativistico con relazione di dispersione quadratica. Mostreremo in se-guito come il segno relativo delle masse M e B sia cruciale per determinarecome il modello possa descrivere o meno il comportamento di un isolantetopologico 2D.La seguente tabella riassume alcuni valori sperimentali per i parametri delmodello al variare di dQW :

d(A) A(eV·A) B(eV·A2) D(eV) M(eV)

55 3,87 -48,0 -30,6 0,00961 3,78 -55,3 -37,8 0,0001570 3,65 -68,6 -51,2 -0,010


2.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali

Gli stati di bordo della teoria possono essere ottenuti risolvendo il modelloappena proposto con un’opportuna condizione al contorno. Consideriamol’Hamiltoniana (2.1) nel semipiano xy con x > 0. Si puo dividere l’Ha-miltoniana in due parti, una dipendente da kx e l’altra dipendente da ky:

H = H0(kx) +H1(ky) , (2.7)

H0(kx) = ε(kx) +

M(kx) Akx 0 0

Akx −M(kx) 0 0

0 0 M(kx) −Akx0 0 Akx −M(kx)

, (2.8)

H1(ky) = −Dk2y +

−Bk2

y iAky 0 0−iAky −Bk2

y 0 00 0 −Bk2

y iAky0 0 −iAky Bk2

y

, (2.9)

con ε(kx) = C−Dk2x e M(kx) = M −Bk2

x. La simmetria traslazionale lungoy e preservata, percio ky puo essere considerato un buon numero quantico,mentre kx deve essere sostituito dall’operatore −i∂x. Iniziamo col risolvere ilsistema per ky = 0, che porta a H1 = 0. La parte con ky sara poi aggiunta inseguito come perturbazione. Questo procedimento puo essere svolto perchequello che ci interessa e l’andamento delle bande vicino al punto Γ, che e ilpunto della zona di Brillouin con k = 0.

L’equazione di Schrodinger per la funzione d’onda del sistema e la seguente:

H0(kx → −i∂x)Ψ(x) = EΨ(x) . (2.10)

Essendo H0 diagonale a blocchi, gli autostati assumeranno la forma:

Ψ↑(x) =

(ψ0

0

),Ψ↓(x) =

(0ψ0

), (2.11)

2.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali 35

dove 0 e ψ0 sono vettori a due componenti. Ψ↑(x) e Ψ↓(x) sono legati tra diloro da una simmetria TR. La funzione d’onda ψ0(x) e localizzata al bordoe soddisfa l’equazione agli autovalori 2× 2:[

ε(−i∂x) +

(M(−i∂x) −iA∂x−iA∂x −M(−i∂x)

)]ψ0(x) = Eψ0(x) , (2.12)

che puo essere risolta analiticamente utilizzando differenti metodi. Avendocome obbiettivo quello di dimostrare l’esistenza di stati di bordo e di trovarele regioni nelle quali tali stati sono presenti, trascuriamo per semplicita ε.

Trascurando ε, il sistema ha una simmetria particella-buca, percio ci aspet-tiamo che esista almeno uno stato infra-gap con E = 0. Studiamo le carat-teristiche di questo stato. Innanzi tutto supponiamo che ψ0 sia una combi-nazione lineare di stati del tipo φeλx e risolviamo l’equazione agli autovaloricon E = 0:(

M +B∂2x −iA∂x

−iA∂x −M −B∂2x

)φeλx =

(00

). (2.13)

Questa equazione matriciale puo essere semplificata facendo agire le ∂x sullafunzione d’onda:(

M + λ2B 00 −M − λ2B

)φ =

(0 iAλiAλ 0

)φ . (2.14)

Utilizzando le matrici di Pauli, puo essere riscritta in forma compatta:

(M + λ2B)σzφ = iAσxφ , (2.15)

e, moltiplicando entrambi i fattori a sinistra per σx e ricordando che σiσj =iεijkσk + δijI, si ottiene:

(M + λ2B)σyφ = −Aλφ . (2.16)

Percio il vettore a due componenti φ dovra essere un autostato della matricedi Pauli σy. Definiamo quindi gli spinori a due componenti φ+ e φ− in modoche siano autovettori della matrice di Pauli σy con autovalori rispettivamente1 e -1:

σyφ± = ±φ± . (2.17)

L’equazione (2.16) si riduce in questo modo a una coppia di equazioni qua-dratiche in λ:

(M + λ2B)φ± = ∓Aλφ± . (2.18)


Si puo notare facilmente che se λ e una soluzione per φ+, allora −λ e unasoluzione per φ−, di conseguenza, trovata la soluzione ad esempio per φ+, sipuo ricavare quella per φ− mandando λ→ −λ.Partiamo dalle soluzione per φ−:

λ2B − Aλ+M = 0⇒ λ1,2 =A±√A2 − 4MB

2B. (2.19)

La soluzione generale per ψ0 sara quindi del tipo:

ψ0 = (aeλ1x + beλ2x)φ− + (ce−λ1x + de−λ2x)φ+ . (2.20)

I coefficienti a, b, c e d possono essere ricavati imponendo la condizione alcontorno ψ0(0) = 0 e la normalizzazione della funzione d’onda nella regionecon x > 0. La prima condizione porta a a = −b e c = −d, mentre persoddisfare la seconda e necessario imporre che gli esponenziali presenti nellafunzione d’onda non divergano mai. Per far sı che questo accada occorre che:

<λ1,2 < 0 se c = d = 0<λ1,2 > 0 se a = b = 0

(2.21)

dove < sta per parte reale. Per semplicita definiamo le nuove variabili α ≡ A2B

e γ ≡ MB

. Ricordando che il segno di B negli esperimenti risulta semprenegativo, α e γ assumono quindi sempre rispettivamente il segno oppostorispetto a quello di A e M . Le λ saranno riscritte nelle nuove variabili come:

λ1,2 = α±√α2 − γ . (2.22)

Valutiamo per quali valori di α e γ le condizioni (2.21) sono verificate (eimportante che in ognuno dei due casi la parte reale di λ1 e λ2 abbia lo stessosegno). Valutiamo prima il caso in cui la parte sotto radice sia positiva,quindi α2 − γ > 0:

se α > 0, γ > 0⇒ λ1,2 > 0se α > 0, γ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 < 0se α < 0, γ > 0⇒ λ1,2 < 0se α > 0, γ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 > 0

(2.23)

Il secondo e il quarto caso non soddisfanno nessuna delle condizioni date da(2.21), avendo i due λ con segni diversi, e percio non danno luogo a statidi bordo. Gli altri due casi invece soddisfano le condizioni desiderate per la

2.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali 37

presenza di stati di bordo.Nel caso in cui la parte sotto radice sia negativa, invece, si deve avere α2−γ <0 e pertanto γ e > 0, dovendo essere piu grande di un numero al quadrato.Risulta quindi, come ci si attendeva, che gli stati di bordo esistono solo perγ > 0, ossia M < 0, cioe nel regime invertito, sopra lo spessore critico dc.

In conclusione, la funzione d’onda per gli stati di bordo al punto Γ e datada:

ψ0 =

a(eλ1x − eλ2x)φ−, con A/B < 0c(e−λ1x − e−λ2x)φ+, con A/B > 0 .

(2.24)

Il segno di A/B determina la polarizzazione di spin degli stati di bordo, che efondamentale per determinare l’elicita degli stati topologici di bordo dell’Ha-miltoniana studiata. Un’altra importante quantita che caratterizza gli statidi bordo e la lunghezza di decadimento, definita come lc = max|< λ1,2|−1.

Il modello completo per gli stati di bordo puo essere ottenuto proiettandol’Hamiltoniana del bulk sugli stati di bordo Ψ↑ e Ψ↓ definiti in (2.11). Questoprocesso porta a un’Hamiltoniana di bordo 2× 2 definita come:

Hαβedge = 〈Ψα|H0 +H1 |Ψβ〉 . (2.25)

All’ordine dominante in ky (considarando Bky Aky), H1(ky) = −Akyσy epertanto si giunge all’Hamiltoniana efficace per gli stati di bordo:

Hedge = Akyσz , (2.26)

da cui si puo vedere come la direzione di propagazione sulla y sia legata alvalore dello spin. Per i quantum wells di HgTe/CdTe si ha A ∼ 3,6 eV A.

I risultati appena ottenuti possono essere confermati dalla diagonalizzazionenumerica della matrice Hamiltoniana (2.1) su una striscia di spessore finito,che include anche il contributo di ε(k), che e stato trascurato finora (figu-ra 2.6). La lunghezza finita di decadimento degli stati elicoidali nel bulkdetermina l’ampiezza di tunneling tra un bordo e l’altro.


Figura 2.6: Spettro energetico dell’Hamiltioniana (2.2). Nei quantum wells sottili (a),c’e un gap tra la banda di valenza e quella di conduzione. Nei quantum wellspiu spessi (b), sono presenti stati gapless sui bordi del campione (linea rossae linea blu). Tratta da [29].

2.5 Proprieta degli stati di bordo

2.5.1 Time-reversal e protezione topologica degli statidi bordo

Dai risultati ottenuti nel paragrafo 2.4, e evidente la definizione di stati dibordo elicoidali. Essa si riferisce al fatto che stati con spin opposto si propa-gano in direzioni opposte su un dato bordo. Questa situazione e in contrastocon l’idea degli stati chirali riscontrati nel QH, dove gli stati di bordo si pro-pagano solo in una determinata direzione. Come gia spiegato, e la presenzadella simmetria TR a garantire la robustezza degli stati di bordo del QSH.

Per comprendere meglio queste proprieta, e necessario riferirsi ad alcune im-portanti caratteristiche della simmetria TR, trattate approfonditamente inappendice A, ed in particolare alla sua antiunitarieta. L’operatore antiuni-tario T assume forme diverse a seconda che si trattino casi con spin intero osemi-intero. Per spin semi-intero cio che accade e che T 2 = −1 e cio implica,per il teorema di Kramer, che ogni autostato di singola particella dell’Hamil-toniana deve essere almeno doppiamente degenere. Nel QSH, come si puovedere dalla figura 2.6b, le due branche di dispersione su un determinatobordo si incrociano nel punto TR-invariante con k = 0. In questo punto lebue branche soddisfano perfettamente il teorema di Kramer. Se aggiungia-mo una perturbazione TR-invariante all’Hamiltoniana, possiamo muovere ilpunto in su o in giu in energia ma non possiamo mai eliminare la degenera-

2.5 Proprieta degli stati di bordo 39

zione. Proprio per questo motivo si dice che gli stati di bordo elicoidali sonotopologicamente protetti dalla simmetria TR.

Se la simmetria TR non fosse presente, potrebbe essere aggiunto all’Hamil-toniana un termine di massa, che aprirebbe un gap nello spettro energetico:

Hm = m

∫dk

2π(a†k+ak− + h.c.) , (2.27)

dove h.c. sta a indicare l’Hermitiano coniugato, mentre a†k± e ak± sono glioperatori di creazione e di distruzione degli elettroni sul bordo con momen-to k e spin ±. L’azione della simmetria TR sugli operatori di creazione edistruzione e data da:

Tak+T−1 = a−k− , Tak−T

−1 = −a−k+ , (2.28)

che implica che:

THmT−1 = −Hm , (2.29)

e percio Hm puo essere considerata come una perturbazione che rompe lasimmetria TR. Inoltre, la simmetria TR permette solo un backscattering ri-guardante 2n particelle, descritto ad esempio, per n = 1, da operatori deltipo a†k+ak′+a

†p−ap′−, mentre la perturbazione di ordine dominante a†k+ak′− e

proibita dalla presenza della simmetria TR, essenziale per la stabilita topo-logica degli stati di bordo. Questi stati risultano appartenenti a una classedi teorie 1D, denominata liquido elicoidale [7], in analogia con la definizionedi liquido chirale per il QH.

Considerando invece una teoria con due flavour di stati elicoidali di bordo,ossia nel caso di un sistema 1D con due portatori in avanti e due portatoriall’indietro, la situazione e differente. In questo caso puo essere aggiunto untermine di massa del tipo:

Hm = m

∫dk

2π(a†k1+ak2− − a†k1−ak2+ + h.c.) . (2.30)

Questo termine apre un gap nello spettro energetico ma, a differenza del casoa un solo flavour, risulta anche invariante per TR. In pratica, due coppiedel liquido elicoidale formano una teoria topologicamente banale. Piu ingenerale, uno stato di bordo con simmetria TR e un liquido elicoidale nonbanale quando c’e un numero dispari di portatori in avanti (indietro) e unostato banale quando invece ve ne e un numero pari. Per questo, come giaaccennato precedentemente, i sistemi QSH sono caratterizzati da un numeroquantico topologico Z2.


2.5.2 Principio “olografico”

Esiste un’altra maniera per comprendere qualitativamente la differenza traun numero pari e un numero dispari di stati di bordo. Essa si basa su unteorema denominato fermion doubling. Questo teorema afferma che c’e sem-pre un numero pari di coppie di Kramer all’energia di Fermi per un sistemainvariante per TR. Una singola coppia di stati elicoidali puo esistere solo“olograficamente”, ossia quando il sistema 1D e il bordo di un sistema 2D. Ilteorema fermion doubling e la generalizzazione TR-invariante del teorema diNielsen-Ninomiya per fermioni chirali su un reticolo [31]. Per fermioni senzaspin, c’e sempre un numero uguale di portatori nelle due direzioni al livellodi Fermi. Per un sistema invariante per TR con spin semi-intero, il teoremadi Kramer assicura che ogni autostato dell’Hamiltoniana deve essere accom-pagnato dalla sua copia ottenuta per TR e percio i canali sono raddoppiati.Una coppia di autostati a k = 0 si deve ricombinare quando k va da 0 a π e2π, per la periodicita del sistema, e dunque il livello di Fermi e attraversato4n volte (figura 2.7 a).

Figura 2.7: (a) Relazione di dispersione di un sistema 1D invariante per TR. La degene-razione di Kramer e presente a k = 0 e k = π e percio lo spettro energeticoincrocia il livello di fermi εF 4n volte. (b) Relazione di dispersione di unostato elicoidale di bordo di un sistema QSH. La degenerazione di Kramer esempre presente a k = 0, mentre a k = π gli stati sono assorbiti nel bulk eincontrano una coppia di stati dell’altro bordo (linee tratteggiate). Trattada [10].

C’e pero un eccezione a questa teorema, analogo al motivo per cui si parladi liquido chirale nel QH. Un liquido elicoidale con un numero dispari dibranche fermioniche puo esistere se esso appare “olograficamente” al bordodi un sistema 2D. In questo caso gli stati di bordo sono una coppia di Kramer

2.6 Separazione spin-carica nel bulk 41

a k = 0, ma si assorbono nel bulk per un certo kc finito, in modo da nondoversi ricombinare a k = π (figura 2.7b). In poche parole, gli stati di bordodiventano stati di bulk per k > kc.

2.6 Separazione spin-carica nel bulk

In questo paragrafo presenteremo un un discorso intuitivo che prevede l’esi-stenza di una separazione tra spin e carica nel bulk degli stati del QSH. Gliargomenti utilizzati sono validi solo nel caso sia almeno presente una simme-tria rotazionale U(1)s, ossia quando Sz e conservato. In questo caso, il QSHe semplicemente definito come due copie del QH, con opposte conduttanzeHall di ±e2/h per opposte orientazioni di spin.Il procedimento seguito sara del tutto analogo a quello descritto per l’espe-rimento ideale di Laughlin per il QH nel paragrafo 1.7.Questa volta la simmetria TR fa sı che l’Hamiltoniana del sistema sia inva-riante con l’inserimento di un flusso elettromagnetico di φ↑ = φ↓ = hc/2e,o semplicemente π in un sistema con ~ = c = e = 1. Il flusso agisce suentrambe le orientazioni di spin e conserva la simmetria TR. Consideriamoφ↑(t) e φ↓(t), dipendenti dal tempo, e un processo adiabatico, con t che va da0 a 1, dove φ↑(0) = φ↓(0) = 0, e φ↑(1) = φ↓(1) = ±π. Siccome il flusso π eequivalente al flusso −π, ci sono quattro diversi processi adiabatici, che rag-giungono tutti la stessa configurazione finale. Questi processi sono illustratiin figura 2.8. Nel processo (a), φ↑(t) = −φ↓(t) e φ↑(1) = π. Nel processo (b),φ↑(t) = −φ↓(t) e φ↑(1) = −π. Nel processo (c), φ↑(t) = φ↓(t) e φ↑(1) = π.Nel processo (d), φ↑(t) = φ↓(t) e φ↑(1) = −π. I processi (a) e (b) conservanola simmetria TR in tutti i punti intermedi del cammino adiabatico, mentre iprocessi (c) e (d) la conservano solo negli stati iniziali e finali.

Considerando un anello intorno al flusso e riferendoci al processo (a), nonappena il flusso φ↑(t) e acceso adiabaticamente, la legge dell’induttanza diFaraday induce sull’anello un campo elettrico tangenziale E↑, perpendicolareal flusso. La conduttanza quantizzata implica una corrente radiale j↑ =e2

hz× E↑, che risulta in un flusso di carica ∆Q↑:

∆Q↑ =

∫ 1

0

dt

∮dn · j↑ =

e2

h

∫ 1

0

dt

∮dl · E↑ =

= − e2

hc

∫ 1

0

dt∂φ

∂t= − e

2

hc

hc

2e= −e

2. (2.31)


Figura 2.8: Quattro differenti processi adiabatici da φ↑ = φ↓ = 0 a φ↑ = φ↓ = ±π. Lecurve rosse (blu) si riferiscono rispettivamente a φ↑(↓). I simboli

⊙(⊗

)rappresentano rispettivamente il flusso uscente (entrante), mentre le frecceindicano la corrente entrante o uscente dal loop. I processi con φ↑(t) =−φ↓(t) generano stati dotati di carica ma senza spin (oloni o anti-oloni),mentre quelli con φ↑(t) = φ↓(t) generano stati senza carica ma dotati di spin(spinoni). Tratta da [32].

dove, per i passaggi intermedi, sono state utilizzate la legge di conservazionedella carica elettrica e la legge di Faraday, come nel caso dell’esperimento diLaughlin nel paragrafo 1.7.

Un discorso del tutto analogo puo essere fatto per la componente down del-lo spin che porta a un flusso di carica ∆Q↓ = − e

2. Percio questo processo

adiabatico crea uno stato, denominato olone, con ∆Q = ∆Q↑ + ∆Q↓ = −e,e ∆Sz = ∆Q↑ − ∆Q↓ = 0. Applicando lo stesso ragionamento per il pro-cesso (b) si ottiene ∆Q↑ = ∆Q↓ = e

2, ossia un anti-olone, con ∆Q = e e

∆Sz = 0. I processi (c) e (d) danno rispettivamente ∆Q↑ = −∆Q↓ = e2

e∆Q↑ = −∆Q↓ = − e

2, stati denominati spinoni con ∆Q = 0 e ∆Sz = ±1

2.

L’Hamiltoniana H(t) in presenza del flusso π e la stessa per t = 0 e t = 1,ma differisce negli stati intermedi del processo adiabatico. Assumendo chelo stato di vuoto sia unico a t = 0, otteniamo quattro stati finali a t = 1, che

2.6 Separazione spin-carica nel bulk 43

sono l’olone, l’anti-olone e i due spinoni.

Quando la simmetria rotazionale e rotta ma la simmetria TR e ancora pre-sente, il concetto di separazione spin-carica e ancora correttamente definito[32]. Uno spinone puo essere definito come un doppietto di Kramer con ca-rica nulla, mentre un olone o un anti-olone come un singoletto che portarispettivamente una carica ∓e.

Capitolo 3

Teoria efficace per l’effetto Hallquantistico

In questo capitolo cercheremo di ricavare una teoria di campo efficace perl’effetto Hall quantistico. Prima di tutto, cominceremo la trattazione intro-ducendo la teoria di Wen per gli stati di bulk, per poi proseguire il discorso in-troducendo un bordo planare nella teoria, al fine di studiare le caratteristichedegli stati di bordo del sistema.

3.1 Teoria di campo efficace per gli stati di

bulk dell’effetto Hall quantistico

In questo paragrafo ripercorreremo il percorso seguito da Wen nel 1995 [12,13] per ottenere una teoria di campo efficace per l’effetto Hall quantisticofrazionario. Prima di passare alla trattazione sistematica, occorre elencarequali debbano essere le caratteristiche della teoria che andremo a studiare.

Il sistema e 2+1 dimensionale, ossia due dimensioni spaziali, che rap-presentano il piano su cui si trovano gli elettroni, e una dimensionetemporale.

45

46 3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico

Deve essere presente una densita di corrente Jµ conservata, cioe devevalere la relazione:

∂µJµ = 0 (3.1)

dove µ assume il valore 0 per la componente temporale, e i valori 1 e 2per le componenti spaziali.

Solo le proprieta di bassa energia del sistema sono importanti, percionon ci soffermeremo sulle caratteristiche microscopiche del sistema inesame.

Si studia una teoria locale, descritta in termini di una densita Lagran-giana.

La simmetria TR deve essere rotta dalla presenza di un campo magne-tico.

Consideriamo un sistema bidimensionale di N elettroni in un campo magne-tico. La densita di Lagrangiana del sistema ha la seguente forma:

L = AµJµ +K , (3.2)

dove A rappresenta l’usuale potenziale vettore legato al campo elettroma-gnetico che agisce sugli elettroni del sistema in questione e con K abbiamoindicato la parte cinetica e le interazioni fermioniche, contributi che non trat-teremo nel seguito, in quanto disaccoppiati col campo A. La densita di caricae la corrente delle N particelle situate nelle posizioni xi sono:

J0(x) = −eN∑i=1

δ(x− xi) , (3.3)

J(x) = −eN∑i=1

viδ(x− xi) , (3.4)

dove (xi,vi) sono la posizione e la velocita della iesima particella, di carica−e.

Per l’effetto Hall quantistico, la relazione che lega la corrente Jµ al campoelettromagnetico esterno e la seguente:

Jµ = −σ12εµνρ∂νAρ , (3.5)

3.1 Teoria di campo efficace per gli stati di bulk dell’effetto Hallquantistico 47

dove εµνρ e il tensore completamente antisimmetrico in 2+1 dimensioni e σ12

indica la conduttanza Hall, che vale:

σ12 = νe2

2π, (3.6)

ottenuta semplicemente come l’inverso della (1.23), nel sistema di unita dimisura con ~ = c = 1. Esplicitando le componenti temporale e spaziali dellacorrente si ottiene:

J0

−e=

1

eσ12(∂1A2 − ∂2A1) = ν

e

2πB , (3.7)

J i

−e=

1

eσ12ε

ij(∂jA0 − ∂0Aj) = ν

e

2πεijE

j . (3.8)

L’obiettivo e quindi quello di ricavare una teoria efficace che riproduca laproprieta del FQHE e che sia consistente con la (3.5). Per fare cio intro-duciamo un campo di gauge Aµ ed esprimiamo la corrente Jµ in termini diquesto nuovo campo. In particolare se scriviamo:

Jµ = − e

2πεµνρ∂νAρ . (3.9)

Si verifica facilmente che:

∂µJµ = 0 , (3.10)

ossia che Jµ e una corrente conservata. La densita Lagrangiana (3.2) puoessere riscritta in termini del nuovo campo di gauge Aµ e del campo esterno

Aµ. Tale densita Lagrangiana, per produrre come equazione del moto la (3.5)deve avere la seguente forma:

L =1

4πνεµνρAµ∂νAρ −

e

2πεµνρAµ∂νAρ . (3.11)

Questa e la densita di Lagrangiana di Chern-Simons per un sistema 2+1dimensionale accoppiata con un campo esterno Aµ. Essa e una teoria dicampo topologica per il campo di gauge Aµ. Si nota immediatamente come

la corrente accoppiata col campo esterno Aµ sia proprio quella definita in(3.9). Ricavando le equazioni del moto da questa densita Lagrangiana

δLδAµ− ∂ν

δLδ∂νAµ

= 0 , (3.12)


si ottengono proprio le relazioni viste in (3.5) e (3.6). Questa densita La-grangiana e manifestamente non invariante sotto le trasformazioni di gauge

Aµ → Aµ + ∂µΛ , (3.13)

Aµ → Aµ + ∂µΘ , (3.14)

ma lo e invece la sua azione, ottenuta integrando sulle variabili spaziali etemporali. L’azione puo essere infatti scritta come una derivata totale, se siconsiderano i campi nulli all’infinito.

3.2 L’azione di Chern-Simons abeliana e le

sue proprieta

Consideriamo ora l’azione di Chern-Simons abeliana in 2+1 dimensioni, de-rivante dalla densita Lagrangiana (3.11), escludendo per il momento il l’ac-coppiamento col campo esterno. Tale azione, nello spazio di Minkowski, puoessere scritta come:

SCS =k

2

∫d3x εµνρAµ∂νAρ , (3.15)

dove x ≡ (t, x, y). Gli integrali sono estesi nell’intervallo (−∞,+∞). Inquesto caso abbiamo, per comodita, rinominato 1

2πν≡ k. Dato che l’obiet-

tivo sara quello di descrivere il modello in presenza di un bordo planare, econveniente riscrivere l’azione (3.15) nelle coordinate cono-luce [33], definitecome:

u = yz = 1√

2(t+ x)

z = 1√2(t− x)

∂u = ∂y∂ = 1√

2(∂t + ∂x)

∂ = 1√2(∂t − ∂x)

(3.16)

dove ∂u ≡ ∂∂u

, ∂ ≡ ∂∂z

, ∂ ≡ ∂∂z

. Il campo A e l’azione (3.15) nelle nuovecoordinate diventano:

Au = AyAz ≡ A = 1√

2(At + Ax)

Az ≡ A = 1√2(At − Ax)

(3.17)

3.3 Simmetrie dell’azione 49

SCS = k

∫d3x (A∂Au + A∂uA+ Au∂A) , (3.18)

dove x ≡ (u, z, z). E necessario ora introdurre un termine di gauge-fixing deltipo:

Sgf =

∫d3xAub , (3.19)

con b moltiplicatore di Lagrange. Questo termine corrisponde alla scelta delgauge-fixing assiale [34]:

Au = 0 . (3.20)

L’azione completa puo essere scritta come:

S = SCS + Sgf + Sext , (3.21)

dove in Sext si accoppiano sorgenti esterne Jφ ai campi Φ = Au, A, A, b:

Sext =

∫d3x

∑Φ

JΦΦ =

∫d3x (JA+ JA+ JuAu + Jbb) . (3.22)

Siccome l’azione deve essere adimensionale e l’integrazione porta una dimen-sione di massa = −3, mentre le derivate portano una dimensione 1, si possonofacilmente ricavare le dimensioni dei campi e delle sorgenti:

[Au] = [A] = [A] = (3− 1)/2 = 1 (3.23)

[b] = 3− 1 = 2 (3.24)

[J ] = [J ] = [Ju] = 3− 1 = 2 (3.25)

[Jb] = 3− 2 = 1 (3.26)

3.3 Simmetrie dell’azione

Il termine di gauge-fixing rompe l’invarianza di Lorentz della teoria, ma no-nostante cio l’azione S rimane invariante sotto una trasformazione di Lorentz


bidimensionale sul piano u = costante. Puo essere quindi associato alle va-riabili in gioco un numero quantico denominato elicita (h) [34] nel seguentemodo:

h(z) = −1h(z) = 1h(u) = 0

. (3.27)

Le dimensioni di massa e le elicita sono riassunte nella seguente tabella:

Au A A b Ju J J Jb u z z ∂u ∂ ∂dimensione 1 1 1 2 2 2 2 1 -1 -1 -1 1 1 1

elicita 0 1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 1 -1

In questo modo ogni termine dell’azione (3.21) ha dimensione di massa edelicita nulle.La scelta del gauge-fixing assiale (3.20) non fissa completamente la gauge, ri-mane infatti un’invarianza di gauge residua [35], che e espressa dalla seguenteidentita di Ward locale:

∂J + ∂J + ∂uJu + ∂ub = 0 , (3.28)

che integrata da:

∫du (∂J + ∂J) = 0 . (3.29)

3.4 Equazioni del moto 51

L’azione e inoltre invariante sotto la simmetria discreta che denomineremoparita (P), come in [33]:

u→ −uz ↔ zAu → −AuA↔ Ab→ −bJu → −JuJ ↔ JJb → −Jb

(3.30)

L’azione e invece manifestamente non invariante per qualsiasi tipo di simme-tria TR. Qualsiasi sia infatti l’effetto di tale simmetria sul campo A, l’azionesulle variabili e fissata, dovendo il tempo cambiare segno e le variabili spazialirimanere fissate. Nelle nuove variabili, una simmetria TR deve avere:

u→ uz ↔ −z (3.31)

ed e facile verificare che nessuna trasformazione di questo tipo lascia invariatal’azione (3.21).

3.4 Equazioni del moto

Le equazioni del moto generate dall’azione (3.21) sono:

FA = k(∂Au − ∂uA) + J = 0 (3.32)

FA = k(∂uA− ∂Au) + J = 0 (3.33)

FAu = k(∂A− ∂A) + b+ Ju = 0 (3.34)

Fb = Au + Jb = 0 , (3.35)

dove FΦ indica l’equazione del moto riferita al generico campo Φ, calcolatacome la derivata funzionale dell’azione rispetto al campo Φ:

FΦ =δSδΦ

= 0 . (3.36)


Essendo derivate dall’azione completa S, ogni simmetria dell’azione si riflet-te sulle equazioni del moto appena ricavate. Come gia detto, l’invarianzasotto una trasformazione di Lorentz bidimensionale sul piano u = costante erappresentata dall’introduzione dell’elicita, che dev’essere conservata. Si puoinfatti notare che ogni equazione del moto ha un valore fissato di h. L’iden-tita di Ward locale (3.28) puo essere ricavata derivando ogni equazione delmoto per la variabile del campo a cui e riferita e successivamente sommando:

∂FA + ∂FA + ∂uFAu = ∂J + ∂J + ∂uJu + ∂ub = 0 . (3.37)

Infine l’effetto della trasformazione di parita (3.30) sulle equazioni del motoe il seguente:

(3.32)↔ (3.33)(3.34)→ −(3.34)(3.35)→ −(3.35)

. (3.38)

Cio implica, come ci si aspettava, che le equazioni del moto continuano avalere anche dopo una trasformazione di parita.

3.5 Introduzione del bordo

A questo punto, ricavata una teoria per gli stati di bulk dell’effetto Hall,l’obbiettivo diventa quello di descrivere gli stati al bordo di un sistema Hall.Per fare cio, introduciamo nella teoria di Chern-Simons appena ricavata unbordo planare rappresentato dal piano u = 0. All’azione (3.21) dovra quindiessere aggiunto un termine di bordo. Un modo semplice e diretto e quello diintrodurre i termini di bordo direttamente nelle equazioni del moto (3.32)-(3.35). Cio che faremo e rompere le equazioni del moto aggiungendo deigenerici termini di bordo, le cui forma deve pero soddisfare alcune particolaricondizioni:

Localita: i termini di bordo devono essere locali, ossia proporzionalialla delta di Dirac o alle sue derivate.

3.5 Introduzione del bordo 53

Separabilita: cio significa che le funzioni di Green della teoria devonoseguire la condizione di disaccoppiamento di Symanzik [14], che implicala decomposizione dei funzionali generatori delle funzioni di Green:

W =W+ +W−. (3.39)

I propagatori prenderanno percio la seguente forma:

∆φ,φ′(x, x′) = 〈T (φ(x)φ′(x′)〉 = θ(u)θ(u′)∆+ + θ(−u)θ(−u′)∆−(x, x′)

(3.40)

dove con ± si indica il valore delle quantita per u → 0± e θ(x) e ladistribuzione a gradino definita come:

θ(x) =

0 x < 0;1 x > 0

(3.41)

Questa condizione fa sı che il propagatore tra due punti che si trovanoai lati opposti del bordo sia 0.

Linearita: richiediamo che la rottura delle equazioni del moto dovutaai termini di bordo sia lineare. In teoria dei campi un teorema assicurache queste rotture lineari sono presenti solo a livello classico, e nonacquisiscono correzioni quantistiche [36].

Conservazione dell’elicita: ogni termine di bordo deve avere lastessa elicita dell’equazione del moto a cui e aggiunto [34].

Conteggio di potenze: analogamente, ogni termine di bordo deveavere la stessa dimensione di massa dell’equazione del moto a cui eaggiunto.

Le piu generali equazioni del moto rotte, compatibili con le suddette condi-zioni, sono del tipo:

k(∂Au − ∂uA) + J = δ(u)(c+1 A+ + c−1 A−) (3.42)

k(∂uA− ∂Au) + J = δ(u)(c+2 A+ + c−2 A−) (3.43)

k(∂A− ∂A) + b+ Ju = δ(u)(c+3 Au+ + c−3 Au−) (3.44)

Au + Jb = 0 , (3.45)


dove c±i sono parametri costanti, e A±(Z), A±(Z), Au±(Z) sono i campirispettivamente sul lato superiore e inferiore del bordo:

A±(Z) = limu→0±

A(x) (3.46)

A±(Z) = limu→0±

A(x) (3.47)

Au±(Z) = limu→0±

Au(x) , (3.48)

con Z = (z, z). Sotto una trasformazione di parita (3.30) i campi al bordodiventano:

A± ↔ A∓Au± → −Au∓

. (3.49)

Essendo la teoria invariante per parita, cio che dobbiamo imporre adesso eche le equazioni del moto continuino a valere anche sotto una trasformazionedi parita (3.30),(3.49). Le equazioni del moto sotto una trasformazione diparita diventano:

k(−∂Au + ∂uA) + J = δ(−u)(c+1 A− + c−1 A+) (3.50)

k(−∂uA+ ∂Au) + J = δ(−u)(c+2 A− + c−2 A+) (3.51)

k(∂A− ∂A)− b− Ju = δ(−u)(−c+3 Au− − c−3 Au+) (3.52)

−Au − Jb = 0 . (3.53)

Percio bisogna imporre che:

δ(u)(c+1 A+ + c−1 A−) = δ(−u)(c+

2 A− + c−2 A+) (3.54)

δ(u)(c+2 A+ + c−2 A−) = δ(−u)(c+

1 A− + c−1 A+) (3.55)

δ(u)(c+3 Au+ + c−3 Au−) = δ(−u)(c+

3 Au− + c−3 Au+) , (3.56)

che implica che:

c±1 = c∓2 (3.57)

c+3 = c−3 ≡ c3 . (3.58)

Inoltre, le equazioni del moto rotte devono soddisfare una condizione chia-mata compatibilita, che non e altro che la proprieta di commutazione a cui

3.6 Condizioni al contorno 55

le equazioni del moto in generale obbediscono. In pratica cio che dobbiamoimporre e che:

δS

δφ′(x′)δφ(x)=

δS

δφ(x′)δφ′(x), (3.59)

dove φ e φ′ sono due campi generici. x e x′ sono invece due punti genericidello spazio, che pero considero dallo stesso lato rispetto al bordo, con u e u′

entrambi positivi. Quest’ultima imposizione elimina i termini con A−,A− eAu− dalle equazioni del moto. Utilizzando la (3.59) si ottiene:

δ2S

δA(x′)δA(x)= −k∂uδ3(x− x′)− δ(u)c+

1 δ3(x− x′) (3.60)

δ2S

δA(x)δA(x′)= k∂u′δ

3(x− x′)− δ(u′)c−1 δ3(x− x′) =

= −k∂uδ3(x − x′) − δ(u′)c−1 δ3(x − x′) , (3.61)

ed uguagliando le due equazioni precedenti si ottiene:

c+1 = c−1 ≡ c . (3.62)

E facile dimostrare che si sarebbe arrivati allo stesso risultato anche se sifossero considerati i due punti nello spazio dal lato con u < 0.

In conclusione, le equazioni del moto rotte in presenza di un bordo planareu = 0, che rispettano l’invarianza per parita e la compatibilita sono:

k(∂Au − ∂uA) + J = cδ(u)(A+ + A−) (3.63)

k(∂uA− ∂Au) + J = cδ(u)(A+ + A−) (3.64)

k(∂A− ∂A) + b+ Ju = c3δ(u)(Au+ + Au−) (3.65)

Au + Jb = 0 . (3.66)

3.6 Condizioni al contorno

Un punto cruciale nelle teorie di campo con bordo, sono le condizioni alcontorno per i campi. Spesso queste condizioni vengono introdotte a manoper poi studiarne le conseguenze. Nell’approccio di Symanzik, utilizzato in


questa tesi, invece, l’unica imposizione esterna e la condizione di disaccoppia-mento vista in (3.39),(3.40). Tali condizioni agiscono pero sulle funzioni diGreen e sui propagatori della teoria, ma non direttamente su campi stessi. Lecondizioni al contorno sui campi, quindi, piu che essere imposte dall’esterno,devono essere dedotte come conseguenza della condizione di separabilita del-la teoria. La difficolta di tale approccio e che questo procedimento richiedeun calcolo esplicito dei propagatori, che spesso in presenza di un bordo puoessere particolarmente complicato. In questa tesi pero si utilizza un metodoin grado di ottenere le condizioni al contorno per i campi senza passare peril calcolo esplicito dei propagatori.

Ritornando alle equazioni del moto ricavate nel capitolo precedente, dopoaver posto le sorgenti a 0, integriamo la (3.63) e la (3.64) rispetto alla variabileu tra −ε e ε, dove ε e una variabile infinitesima > 0. Facendo poi tendere εa 0 si ottiene:

−k(A+ − A−) = c(A+ + A−)k(A+ − A−) = c(A+ + A−)

⇒

(k + c)A+ = (k − c)A−(k − c)A+ = (k + c)A−

(3.67)

A causa della condizione di disaccoppiamento tra i campi ai due lati oppo-sti del bordo, ogni termine delle equazioni appena trovate deve annullarsiindipendentemente, dando luogo a quattro diverse identita:

(k + c)A+ = 0 (3.68)

(k − c)A− = 0 (3.69)

(k − c)A+ = 0 (3.70)

(k + c)A− = 0 . (3.71)

Le soluzioni non banali, che soddisfino le precedenti identita, sono:

c = k ⇒ A+ = A− = 0 (3.72)

c = −k ⇒ A− = A+ = 0 . (3.73)

Risulta evidente che le due soluzioni (3.72) e (3.73) descrivano la stessa fisica,in quanto sono legate da una trasformazione di parita. Da questo momento inpoi sceglieremo di utilizzare la soluzione (3.72), tenendo a mente l’esistenzadi soluzioni speculari legate ad esse da una trasformazione di parita.

3.7 Correnti conservate e algebra sul bordo 57

Le equazioni del moto percio diverranno:

k(∂Au − ∂uA) + J = kδ(u)A− (3.74)

k(∂uA− ∂Au) + J = kδ(u)A+ (3.75)

k(∂A− ∂A) + b+ Ju = c3δ(u)(Au+ + Au−) (3.76)

Au + Jb = 0 . (3.77)

Ad esse sara legata una corrispondente identita di Ward, che acquisira ri-spetto alla (3.28) un termine di bordo:

∂J+ ∂J+∂uJu+∂ub = kδ(u)(∂A+ +∂A−)+∂u[c3δ(u)(Au+−Au−)] , (3.78)

che, considerando i campi e il moltiplicatore di Lagrange nulli all’infinito,porta all’identita di Ward integrata:

1

k

∫du (∂J + ∂J) = ∂A+ + ∂A− . (3.79)

3.7 Correnti conservate e algebra sul bordo

In questo paragrafo verificheremo come l’identita di Ward (3.79) implichil’esistenza di un’algebra di correnti conservate sul bordo. Possiamo riscriverel’identita di Ward (3.79) nel seguente modo:

1

k

∫du [∂J(x) + ∂J(x)] = ∂

δW+

δJ(x)

∣∣∣∣u=0+

+ ∂δW−δJ(x)

∣∣∣∣u=0−

. (3.80)

Ora differenziamo l’identita precedente rispetto a J(x′), dove x′ e un puntoche si trova vicino al bordo dal lato destro dello spazio ossia con u′ → 0+, esuccessivamente poniamo tutte le sorgenti a 0 ottenendo:

1

k

∫du ∂δ3(x− x′) =

(∂

δ2W+

δJ(x′)δJ(x)

∣∣∣∣u,u′=0+

)∣∣∣∣∣Jφ=0

+

+

(∂

δ2W−δJ(x′)δJ(x)

∣∣∣∣u=0−,u′=0+

)∣∣∣∣∣Jφ=0

. (3.81)

Ricordando cheW± sono i generatori delle funzioni di Green connesse rispet-tivamente per u > 0 e u < 0, si puo notare come il lato destro dell’espressione


appena scritta riguarda i propagatori della teoria, il secondo dei quali deveessere 0 per via della condizione di disaccoppiamento citata precedentemente.

Percio, dopo aver integrato la delta rispetto alla variabile u, possiamo riscri-vere l’identita nella seguente maniera:

1

k∂δ2(Z − Z ′) = ∂ 〈T (A+(Z ′)A+(Z)))〉 , (3.82)

avendo utilizzato l’espressione del prodotto T-ordinato del prodotto dei cam-pi per il propagatore della teoria. Va pero specificato il ruolo della variabi-le tempo nella coordinate cono-luce finora utilizzate. Un modo semplice equello di identificare come tempo la variabile z. Possiamo quindi calcolareesplicitamente il secondo termine dell’equazione (3.82):

∂ 〈T (A+(Z ′)A+(Z)))〉 =

= ∂ 〈θ(z′ − z)A+(Z ′)A+(Z) + θ(z − z′)A+(Z)A+(Z ′)〉 =

=⟨−δ(z′ − z))A+(Z ′)A+(Z) + θ(z′ − z)A+(Z ′)∂A+(Z)

⟩+

+⟨δ(z − z′))A+(Z)A+(Z ′) + θ(z − z′)∂A+(Z)A+(Z ′)

⟩=

=⟨θ(z′ − z)A+(Z ′)∂A+(Z) + θ(z − z′)∂A+(Z)A+(Z ′)

⟩+

+ δ(z − z′) 〈[A+(Z), A+(Z ′)]〉 . (3.83)

.

Inoltre l’identita di Ward (3.79) con le sorgenti poste a 0 e la condizione didisaccoppiamento portano alla cosiddetta condizione di chiralita:

∂A+ + ∂A− = 0 (3.84)

⇒ ∂A+ = 0⇒ A+ = A+(z) (3.85)

⇒ ∂A− = 0⇒ A− = A−(z) . (3.86)

Utilizzando la (3.83) e la (3.85), si puo riscrivere la (3.82) nel seguente modo:

1

k∂δ2(Z−Z ′) =

1

kδ(z−z′) 〈∂δ(z − z′)〉 = δ(z−z′) 〈[A+(Z), A+(Z ′)]〉 , (3.87)

che porta infine alla relazione di commutazione fra i campi:

[A+(z), A+(z′)] =1

k∂δ(z − z′) . (3.88)


Si tratta del limite abeliano di un’algebra di Kac-Moody [37, 38, 39] di cor-renti chirali conservate, dove 1/k, dipendente dal valore del filling factor ν,rappresenta la carica centrale dell’algebra.E immediato verificare che la simmetria di parita (3.30) porta all’algebraspeculare:

[A−(z), A−(z′)] =1

k∂δ(z − z′) (3.89)

dall’altro lato del bordo planare.

La condizione (3.72) secondo cui A+ = 0 fa sı che, tornando alla coordinated’origine, si possa identificare At con Ax. Infatti, ricordando la definizionedi A:

A =1√2

(At − Ax) , (3.90)

risulta evidente che se A+ = 0 allora At+ = Ax+. L’algebra puo essereriscritta in funzione dei soli campi At+ o Ax+:

[At+(z), At+(z′)] =1

2k∂δ(z − z′) (3.91)

[Ax+(z), Ax+(z′)] =1

2k∂δ(z − z′) . (3.92)

At+ e Ax+ sono legati alla densita di carica e di corrente sul bordo del sistemaHall, vediamo in che modo.Dalla (3.9) si ha:

J0 = − e

2π(∂xAy − ∂yAx) (3.93)

Jx = − e

2π(∂yAt − ∂tAy) . (3.94)

La densita di particelle sul bordo e rappresentata dall’integrale della (3.93)lungo la direzione y su uno spessore infinitesimo, che faremo poi tendere a 0,divisa per la carica −e di un elettrone:

ρ =1

−elimε→0

[− e

2π

∫ ε

−εdy (∂xAy − ∂yAx)

]. (3.95)

Si ha:

limε→0

∫ ε

−εdy ∂xAy ≈ lim

ε→02ε∂xAy = 0 (3.96)

limε→0

∫ ε

−εdy ∂yAx = Ax+ − Ax− , (3.97)


e percio:

ρ = − 1

2π(Ax+ − Ax−) . (3.98)

Se ci posizioniamo sul bordo superiore del sistema, il termine Ax− puo esseretralasciato e la densita risulta proporzionale al campo Ax+.La stessa cosa puo essere fatta per la densita di corrente di numero diparticelle nella direzione x sul bordo:

j =1

−elimε→0

[− e

2π

∫ ε

−εdy (∂yAt − ∂tAy)

]=

1

2π(At+ − At−) . (3.99)

j e una densita di corrente unidimensionale che viaggia nella direzione xsul bordo y = 0. Sfruttando la condizione di chiralita, puo anche esserescritta una relazione che risulta proprio essere la solita equazione di continuitariguardante la densita di carica ρ e la densita di corrente j:

∂tρ+ ∂xj = 0 . (3.100)

La (3.91) puo essere quindi definitivamente riscritta in funzione di quantitafisiche. Sostituendo a k il suo corretto valore in dipendenza dal filling factorν si ottiene:

[ρ(z), ρ(z′)] =ν

4π∂δ(z − z′) (3.101)

[j(z), j(z′)] =ν

4π∂δ(z − z′) . (3.102)

Tali risultati sono in perfetto accordo con quelli riscontrabili in lavori prece-denti [40, 41]

Come gia detto, la parte del sistema inferiore al bordo rappresenta una copiadello stesso sistema appena studiato, legata a quella superiore da una tra-sformazione di parita.

Il risultato ottenuto e stato quello di dimostrare come la teoria Chern-Simonsabeliana in 2+1 dimensioni sia un ottimo modello per descrivere gli stati del-l’effetto Hall quantistico. La teoria di campo topologica studiata ha acqui-sito delle variabili locali una volta introdotto il bordo. Tali osservabili sonocorrenti chirali conservate legate da un’algebra di Kac-Moody.

Capitolo 4

Teoria efficace per il QuantumSpin Hall

L’obiettivo di questo capitolo e quello di ricavare una teoria di campo efficaceper il QSH in 2 dimensioni, cosı come fatto per l’effetto Hall quantisticonel capitolo precedente. Anche in questo caso, inizieremo con una brevetrattazione sulla teoria di bulk, per poi soffermarci sulla parte piu interessantee originale di questa tesi, ossia la trattazione di una teoria efficace per gli statidi bordo elicoidali del QSH.

4.1 Teoria di campo efficace per gli stati di

bulk del Quantum Spin Hall

Occorre nuovamente elencare quali debbano essere le caratteristiche dellateoria che andremo a studiare.

Il sistema e 2+1 dimensionale.

Devono essere presenti delle densita di corrente conservate.

Solo le proprieta di bassa energia del sistema sono importanti.

Si studia una teoria locale, descritta in termini di una densita Lagran-giana.

61

62 4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall

Il sistema deve essere invariante sotto la simmetria TR.

Come si puo vedere, le caratteristiche richieste per la nostra teoria sono pres-soche le stesse del caso precedente, se non per una fondamentale differenza:questa volta il sistema deve essere invariante per TR. Questo fa sı che il si-stema QSH non possa essere descritto da una teoria di Chern-Simons comevaleva per il QH.

G.Y. Cho e J.E. Moore [42] hanno descritto un sistema QSH in 2+1 dimen-sioni secondo una teoria BF abeliana. Essi, nel loro lavoro, mostrano comegli effetti dell’introduzione di un flusso π all’interno del sistema siano fonda-mentali per riconoscere i caratteri principali della teoria. L’introduzione diun flusso π induce una separazione spin-carica nel bulk di un sistema QSH,come gia ampiamente trattato nel paragrafo 2.6 di questa tesi. Siccome sitratta di una proprieta topologica del sistema, la risposta a un flusso π puoessere utilizzata per distinguere gli isolanti topologici reali da stati banali,senza riferirsi al comportamento degli stati di bordo.Tali argomenti portarono Cho e Moore a ricavare la forma della teoria BFin 2+1 dimensioni, descritta dalla seguente densita Lagrangiana (nel sistemacon ~ = c = 1):

LBF =p

πεµνρBµ∂νAρ −

e

πεµνρAµ∂νAρ −

s

πεµνρBµ∂νBρ , (4.1)

dove il primo termine e denominato proprio termine BF (perche include ilcampo di guage Bµ e il tensore elettromagnetico Fνρ riferito al campo digauge Aµ), mentre gli altri due termini sono accoppiamenti con campi esternidi cui spiegheremo le caratteristiche in seguito, cosı come per il significatodelle costanti di accoppiamento p, e ed s.

4.2 Relazione fra teoria di Chern-Simons e

teoria BF

Come gia detto, il nostro obiettivo e quello di dimostrare che la teoria BF euna teoria efficace per il QSH, similmente a quanto affermato per la teoriadi Chern-Simons per il QH. Innanzi tutto, e interessante riassumere alcuneanalogie e differenze fra le due teorie. La teoria BF e una generalizzazionedella teoria di Chern-Simons, ed entrambe sono teorie topologiche. In parti-colare BF e caratterizzata dalla presenza di due campi di gauge, invece che

4.2 Relazione fra teoria di Chern-Simons e teoria BF 63

uno, e puo essere definita in un numero arbitrario di dimensioni. In 2+1dimensioni, unico caso trattato in questa tesi, la relazione tra le due teoriee abbastanza semplice da descrivere. Tale relazione risulta l’analogo tra lecaratteristiche microscopiche del QH (o meglio, due copie del QH) e il QSH.E immediato verificare che l’azione BF risulta la combinazione di due azionidi tipo Chern-Simons con chiralita opposta e costante col segno invertito.Consideriamo infatti, tralasciando per il momento l’accoppiamento con uncampo esterno, la seguente densita Lagrangiana:

L1 =k

8εµνρA↑µ∂νA

↑ρ −

k

8εµνρA↓µ∂νA

↓ρ , (4.2)

dove A+µ e A−µ sono due campi di gauge con chiralita opposta. Quella appena

scritta e una densita Lagrangiana formata da due termini di tipo Chern-Simons, con una generica costante k

8. Definendo due nuovi campi:

Bµ = 1

2(A↑µ + A↓µ)

Aµ = 12(A↑µ − A↓µ)

, (4.3)

e riscrivendo la densita Lagrangiana (4.2) in funzione dei nuovi campi, otte-niamo:

L1 =k

4εµνρ(Bµ∂νAρ + Aµ∂νBρ) . (4.4)

Andando a scrivere l’azione

S1 =

∫d3xL1 , (4.5)

e considerando i campi nulli all’infinito, possiamo integrare per parti il se-condo termine dell’azione, andando a ottenere un termine identico al primo:

k

4

∫d3x εµνρAµ∂νBρ = −k

4

∫d3x εµνρBρ∂νAµ =

=k

4

∫d3x ερνµBρ∂νAµ =

4

2

∫d3x εµνρBµ∂νAρ , (4.6)

dove nel penultimo passaggio abbiamo cambiato segno invertendo due indicidi ε, mentre nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente rinominato gliindici sommati. Si otterra cosı un’azione totale data da:

S1 =k

2

∫d3x εµνρBµ∂νAρ , (4.7)


che e proprio un’azione di tipo BF, con costante di accoppiamento quadruplarispetto a quella dei due termini di Chern-Simons. Questo risultato e inaccordo con l’idea secondo cui un sistema QSH in 2 dimensioni possa essererealizzato unendo due copie di un sistema QH con chiralita e costante diaccoppiamento opposta.

Le principali differenze tra la teoria di Chern-Simons e la teoria BF riguar-dano il ruolo delle simmetrie. Una caratteristica fondamentale della teoriaBF e che risulta invariante per TR, simmetria invece non conservata in unateoria con solo termine di Chern-Simons. Per far sı che il primo termine della(4.1) sia invariante per TR, i campi Aµ e Bµ devono trasformare in manieradifferente sotto tale simmetria. Le scelte possibili sono due, corrispondentiallo scambio di Aµ con Bµ. Il caso da noi scelto e quello che lascerebbe l’a-zione invariante anche nel caso non abeliano, in cui e presente un terminenon simmetrico per lo scambio di Aµ con Bµ [43]. L’effetto della simmetriaTR sui campi e percio il seguente:

At → −AtAx → AxAy → Ay

Bt → Bt

Bx → −Bx

By → −By

. (4.8)

I campi esterni dovranno invece trasformarsi in maniera opposta rispetto alcampo a cui sono accoppiati:

At → AtAx → −AxAy → −Ay

Bt → −Bt

Bx → Bx

By → By

. (4.9)

4.3 Correnti conservate nel bulk

Cerchiamo ora di seguire la stessa strada di quanto fatto nel paragrafo 3.1con la teoria di Chern-Simons. In questo caso pero abbiamo due campi, Aµe Bµ, con differenti simmetrie, che accoppiano con due campi esterni diversi.

Il campo Aµ rappresenta l’usuale campo di gauge U(1) elettromagnetico ac-coppiato con la carica elettrica; esso infatti mantiene le usuali trasformazionisotto la simmetria TR del potenziale vettore elettromagnetico. Il campo Bµ

4.3 Correnti conservate nel bulk 65

invece e il campo di gauge U(1) che accoppia con la conservazione della pro-iezione dello spin lungo un asse di quantizzazione. Quest’ultimo campo edenominato anche campo di time-reversal, in quanto la sua presenza garan-tisce la conservazione della simmetria TR, nonostante sia un campo fittizioe non fisico. Per riassumere, nella descrizione della teoria BF ci sono duecorrenti, una delle quali e accoppiata direttamente con il campo elettroma-gnetico esterno, mentre l’altra accoppia con le eccitazioni di spin del sistema.Seguendo lo schema del paragrafo 3.1 scriviamo la forma delle due correnticonservate [44]:

JµA = − eπεµνρ∂νAρ (4.10)

JµB = − sπεµνρ∂νBρ , (4.11)

delle quali, come al solito, e immediato verificare che:

∂µJµA = ∂µJ

µB = 0 , (4.12)

e la cui trasformazione sotto TR e:

J tA → J tAJxA → −JxAJyA → −J

yA

J tB → −J tBJxB → JxBJyB → JyB

. (4.13)

Da come agisce la simmetria di TR sulle due correnti, e immediato associareJµA alla corrente elettromagnetica e JµB alla corrente di spin.Le equazioni del moto, rispettivamente per i campi di gauge Aµ e Bµ, portanoalle relazioni:

p

πεµνρ∂νBρ =

e

πεµνρ∂νAρ (4.14)

p

πεµνρ∂νAρ =

s

πεµνρ∂νBρ , (4.15)

che fanno sı che si possano riscrivere le correnti come:

JµA = − sepπεµνρ∂νBρ (4.16)

JµB = − sepπεµνρ∂νAρ . (4.17)

Il modo in cui le correnti sono legate ai campi esterni rispecchia il compor-tamento dell’effetto spin Hall [45], secondo cui una densita di carica generauna corrente di spin e viceversa una densita di spin genera una corrente dicarica.


4.4 L’azione BF abeliana e le sue proprieta

Valutiamo ora alcune peculiari caratteristiche dell’azione BF. Consideriamola teoria BF abeliana in 2+1 dimensioni. La sua azione dipende da due campidi gauge abeliani, Aµ e Bµ, e nello spazio di Minkowski puo essere scrittacome:

SBF =k

4

∫d3x εµνρFµνBρ , (4.18)

dove, come nel caso precedente, Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ, x ≡ (t, x, y) e per ora siutilizza una generica costante k che, confrontando la (4.18) con la (4.1), vale2pπ

. Gli integrali sono estesi nell’intervallo (−∞,+∞). In questo capitoloseguiremo un procedimento pressoche identico a quello seguito nel capitoloprecedente per la teoria di Chern-Simons. Detto cio, si possono mantenerele stesse notazioni e giungere a conclusioni del tutto analoghe.

Utilizziamo nuovamente le coordinate cono-luce, di cui ricordiamo la defini-zione:

u = yz = 1√

2(t+ x)

z = 1√2(t− x)

∂u = ∂y∂ = 1√

2(∂t + ∂x)

∂ = 1√2(∂t − ∂x)

(4.19)

dove ∂u ≡ ∂∂u

, ∂ ≡ ∂∂z

, ∂ ≡ ∂∂z

. I campi A e B e l’azione (4.18) nelle nuovecoordinate diventano:

Au = AyAz ≡ A = 1√

2(At + Ax)

Az ≡ A = 1√2(At − Ax)

Bu = By

Bz ≡ B = 1√2(Bt +Bx)

Bz ≡ B = 1√2(Bt −Bx)

(4.20)

SBF = k

∫d3x [B(∂Au − ∂uA) + B(∂uA− ∂Au) +Bu(∂A− ∂A)] , (4.21)

dove x ≡ (u, z, z). Manteniano la scelta del gauge-fixing assiale:

Au = 0 (4.22)

Bu = 0 . (4.23)

4.5 Simmetrie dell’azione 67

Il termine introdotto sara quindi del tipo:

Sgf =

∫d3x (bAAu + bBBu) , (4.24)

con bA e bB moltiplicatori di Lagrange riferiti rispettivamente ai campi A eB. L’azione completa puo essere scritta come:

S = SBF + Sgf + Sext , (4.25)

dove in Sext si accoppiano sorgenti esterne Jφ ai campi Φ = Au,A,A,bA,Bu,B,B,bB:

Sext =

∫d3x

∑Φ

JΦΦ =

=

∫d3x JA+ JA+ JuAu + JbbA + KB +KB +KuBu +KbbB .

(4.26)

Con considerazioni dimensionali analoghe al caso precendete, si ottengonofacilmente le dimensioni dei campi e delle sorgenti:

[Au] = [A] = [A] = [Bu] = [B] = [B] = (3− 1)2 = 1 (4.27)

[bA] = [bB] = 3− 1 = 2 (4.28)

[J ] = [J ] = [Ju] = [K] = [K] = [Ku] = 3− 1 = 2 (4.29)

[Jb] = [Kb] = 3− 2 = 1 (4.30)

4.5 Simmetrie dell’azione

Anche in questo caso, dopo l’introduzione del termine di gauge-fixing l’azioneS rimane invariante sotto una trasformazione di Lorentz bidimensionale sulpiano u = costante. Introducendo nuovamente il numero quantico elicita, sipossono riassumere le dimensioni di massa e le elicita nella seguente tabella:


Au A A bA Ju J J JB u z zdimensione 1 1 1 2 2 2 2 1 -1 -1 -1

elicita 0 1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1

Bu B B bB Ku K K KB ∂u ∂ ∂dimensione 1 1 1 2 2 2 2 1 -1 -1 -1

elicita 0 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1

In questo caso, l’invarianza di gauge residua e espressa dalle seguenti identitadi Ward locali:

∂J + ∂J + ∂uJu + ∂ubA = 0 (4.31)

∂K + ∂K + ∂uKu + ∂ubB = 0 , (4.32)

che integrate danno:∫du (∂J + ∂J) = 0 (4.33)∫du (∂K + ∂K) = 0 . (4.34)

L’azione e sempre invariante per parita (P), la cui trasformazione di simme-tria in questo caso e definita nel modo seguente, come in [46]:

u→ −uz ↔ zAu → −AuA↔ AbA → −bAJu → −JuJ ↔ JJb → −JbBu → −Bu

B ↔ BbB → −bBKu → −Ku

K ↔ KKb → −Kb

. (4.35)

4.6 Equazioni del moto 69

Ma l’azione risulta invariante anche per una trasformazione di TR che, inaccordo con la (4.8), e cosı definita:

u→ uz ↔ −zAu → AuA↔ −AbA → bAJu → JuJ ↔ −JJb → JbBu → −Bu

B ↔ BbB → −bBKu → −Ku

K ↔ KKb → −Kb

. (4.36)

4.6 Equazioni del moto

Le equazioni del moto per la teoria BF generate dall’azione (4.25) sono:

FA = k(∂Bu − ∂uB) + J = 0 (4.37)

FA = k(∂uB − ∂Bu) + J = 0 (4.38)

FAu = k(∂B − ∂B) + bA + Ju = 0 (4.39)

FbA = Au + Jb = 0 (4.40)

FB = k(∂Au − ∂uA) + K = 0 (4.41)

FB = k(∂uA− ∂Au) +K = 0 (4.42)

FBu = k(∂A− ∂A) + bB +Ku = 0 (4.43)

FbB = Bu +Kb = 0 , (4.44)

dove, come al solito, FΦ indica l’equazione del moto riferita al generico campoΦ, calcolata come la derivata funzionale dell’azione rispetto al campo Φ:

FΦ =δSδΦ

= 0 . (4.45)


Anche in questo caso, ogni simmetria dell’azione si riflette sulle equazionidel moto appena ricavate. Ogni equazione del moto ha infatti un valorefissato dell’elicita, che si conserva, in rappresentazione dell’invarianza sottouna trasformazione di Lorentz bidimensionale sul piano u = costante.

L’effetto della trasformazione di parita (4.35) sulle equazioni del moto e ilseguente:

(4.37)↔ (4.38)(4.39)→ −(4.39)(4.40)→ −(4.40)(4.41)↔ (4.42)(4.43)→ −(4.43)(4.44)→ −(4.44)

. (4.46)

Mentre sotto una trasformazione di time-reversal :

(4.37)↔ −(4.38)(4.39)→ (4.39)(4.40)→ (4.40)(4.41)↔ (4.42)(4.43)→ −(4.43)(4.44)→ −(4.44)

. (4.47)

Cio implica, come ci si aspettava, le equazioni del moto continuano a valereanche dopo una trasformazione di parita o di time-reversal.

4.7 Introduzione del bordo

A questo punto l’obiettivo diventa quello di studiare gli stati di bordo delQSH. Per fare cio, introduciamo nella teoria BF un bordo planare rappre-sentato dal piano u = 0. Come nel caso di Chern-Simons, si introducono itermini di bordo direttamente nelle equazioni del moto ricavate precedente-mente. Naturalmente, la rottura della equazioni del moto deve soddisfare lecondizioni di localita, separabilita, linearita e conservazione dell’elicita e delconteggio di potenza, gia discusse nel capitolo precedente.

4.7 Introduzione del bordo 71

Le piu generali equazioni del moto rotte, compatibili con le suddette condi-zioni, sono del tipo:

k(∂Bu − ∂uB) + J = δ(u)(c+1 A+ + c−1 A− + d+

1 B+ + d−1 B−) (4.48)

k(∂uB − ∂Bu) + J = δ(u)(c+2 A+ + c−2 A− + d+

2 B+ + d−2 B−) (4.49)

k(∂B − ∂B) + bA + Ju = δ(u)(c+3 Au+ + c−3 Au− + d+

3 Bu+ + d−3 Bu−)(4.50)

Au + Jb = 0 (4.51)

k(∂Au − ∂uA) + K = δ(u)(e+1 A+ + e−1 A− + f+

1 B+ + f−1 B−) (4.52)

k(∂uA− ∂Au) +K = δ(−u)(e+2 A− + e−2 A+ + f+

2 B− + f−2 B+) (4.53)

k(∂A− ∂A) + bB +Ku = δ(u)(e+3 Au+ + e−3 Au− + f+

3 Bu+ + f−3 Bu−)(4.54)

Bu +Kb = 0 , (4.55)

dove abbiamo introdotto 24 parametri costanti (alcuni dei quali saranno de-terminati in seguito) e dove i campi A±(Z), A±(Z), Au±(Z), B±(Z), B±(Z),Bu±(Z), rappresentano i campi A e B ai due lati del bordo planare e sonodefiniti come segue:

A±(Z) = limu→0±

A(x) (4.56)

A±(Z) = limu→0±

A(x) (4.57)

Au±(Z) = limu→0±

Au(x) (4.58)

B±(Z) = limu→0±

B(x) (4.59)

B±(Z) = limu→0±

B(x) (4.60)

Bu±(Z) = limu→0±

Bu(x) , (4.61)

con Z = (z, z). Sotto una trasformazione di parita (4.35) i campi al bordodiventano:

A± ↔ A∓Au± → −Au∓B± ↔ B∓Bu± → −Bu∓

. (4.62)

Analogamente al caso della teoria di Chern-Simons, andremo a imporre l’in-varianza per parita e la condizione di compatibilita. I conti sono piuttostolunghi e laboriosi, e sono presentati esplicitamente in appendice B.


L’invarianza per parita porta alle seguenti condizioni:

c±1 = c∓2 (4.63)

d±1 = d∓2 (4.64)

c+3 = c−3 ≡ c3 (4.65)

d+3 = d−3 ≡ d3 (4.66)

e±1 = e∓2 (4.67)

f±1 = f∓2 (4.68)

e+3 = e−3 ≡ e3 (4.69)

f+3 = f−3 ≡ f3 , (4.70)

mentre, per soddisfare la condizione di compatibilita, occorre che:

c+1 = c−1 ≡ α1 (4.71)

d+1 = e−1 ≡ α2 (4.72)

d−1 = e+1 ≡ α3 (4.73)

f+1 = f−1 ≡ α4 (4.74)

d3 = e3 . (4.75)

Possiamo definitivamente riscrivere le equazioni del moto:

k(∂Bu − ∂uB) + J = δ(u)[α1(A+ + A−) + α2B+ + α3B−] (4.76)

k(∂uB − ∂Bu) + J = δ(u)[α1(A+ + A−) + α3B+ + α2B−] (4.77)

k(∂B − ∂B) + bA + Ju = δ(u)[c3(Au+ + Au−) + d3(Bu+ +Bu−)](4.78)

Au + Jb = 0 (4.79)

k(∂Au − ∂uA) + K = δ(u)[α3A+ + α2A− + α4(B+ + B−)] (4.80)

k(∂uA− ∂Au) +K = δ(u)[α2A− + α3A+ + α4(B− +B+)] (4.81)

k(∂A− ∂A) + bB +Ku = δ(u)[d3(Au+ + Au−) + f3(Bu+ +Bu−)](4.82)

Bu +Kb = 0 . (4.83)

4.8 Condizioni al contorno

Cerchiamo ora di ricavare la condizioni al contorno della teoria, utilizzandosempre l’approccio di Symanzik, gia descritto nel capitolo precedente. Dopo

4.8 Condizioni al contorno 73

aver posto le sorgenti a 0, integriamo le equazioni (4.76),(4.77),(4.80),(4.81)rispetto alla variabile u tra −ε e ε, dove ε e una variabile infinitesima > 0.Facendo tendere ε a 0 si ottiene:

−k(B+ − B−) = α1(A+ + A−) + α2B+ + α3B−k(B+ −B−) = α1(A+ + A−) + α3B+ + α2B−−k(A+ − A−) = α3A+ + α2A− + α4(B+ + B−)k(A+ − A−) = α2A+ + α3A− + α4(B+ +B−)

. (4.84)

Da questo momento in poi, per semplificare i conti, considereremo i campisolo dalla parte del bordo con u > 0, tenendo presente che tutti i risultatiottenuti possono essere generalizzati anche per il lato opposto dello spazio,effettuando una trasformazione di parita. Il sistema precedente assumeraquindi la seguente forma:

α1A+ + (α2 + k)B+ = 0α1A+ + (α3 − k)B+ = 0α4B+ + (α3 + k)A+ = 0α4B+ + (α2 − k)A+ = 0

. (4.85)

Si tratta di due sistemi di equazioni separati nelle variabili A,B e A, B. Lasoluzione di tali sistemi risulta molto piu complicata rispetto al caso dell’a-zione di Chern-Simons, trattata nel precedente capitolo. L’insieme di tuttele soluzioni del sistema sara trattato nel prossimo paragrafo. Nel frattempovalutiamo come si modificano le identita di Ward (4.31) e (4.32) in presenzadei termini di bordo. Esse saranno riscritte come:

∂J + ∂J + ∂uJu + ∂ubA =

= δ(u)[α1(∂A+ + ∂A+)+α2∂B+ +α3∂B+)]+∂u[δ(u)c3Au+ +d3Bu+] ,(4.86)

∂K + ∂K + ∂uKu + ∂ubB =

= δ(u)[α3∂A+ +α2∂A+ +α4(∂B+ + ∂B+)]+∂u[δ(u)d3Au+ +f3Bu+] .(4.87)


Ricordando che ci stiamo limitando solo al semipiano positivo, le identita diWard integrate, sempre considerando i campi e i moltiplicatori di Lagrangenulli all’infinito, diventano:∫

du (∂J + ∂J) = α1(∂A+ + ∂A+) + α2∂B+ + α3∂B+ (4.88)∫du (∂K + ∂K) = α3∂A+ + α2∂A+ + α4(∂B+ + ∂B+) . (4.89)

Le identita di Ward, una per ciascun campo di gauge A e B, esprimonoun’invarianza di gauge residua. Infatti, come gia detto, la scelta della gaugeassiale non fissa completamente la gauge.

4.9 Soluzioni fisiche per i parametri di bordo

A questo punto e necessario trovare i possibili valori per i paramentri di bordodella teoria, compatibili con il sistema (4.85), che per comodita riscriviamo:

α1A+ + (α2 + k)B+ = 0α4B+ + (α3 + k)A+ = 0

(4.90)α1A+ + (α3 − k)B+ = 0α4B+ + (α2 − k)A+ = 0

. (4.91)

Dove, questa volta, abbiamo sottolineato come si tratti in realta di due siste-mi separati, uno nelle variabili A e B, e l’altro nelle variabili A e B. Cio checi interessa e ricavare tutti i possibili valori delle variabili di bordo e tuttele possibili relazioni tra i campi in gioco, compatibili coi sistemi. Esclusa lasoluzione banale (quella con tutti i campi nulli), le soluzioni possono esseresuddivise in tre categorie diverse: le soluzioni con tre campi nulli, quelle condue campi nulli, e quelle con tutti i campi 6= 0. Sono proprio queste ultimesoluzioni quelle da prendere in considerazione nella nostra teoria, in quantosono le uniche a garantire la conservazione della simmetria TR e a fornireun’algebra di correnti conservate coerente. Ci concentreremo quindi solo suquesto tipo di soluzioni, che sono due:

A+ A+ B+ B+ α1 α2 α3 α4

Soluzione 1 ∀ ∀ 2kα4A+ − 2k

α4A+

(k+α2)(k−α2)α4

6= k* −α2 6= 0

Soluzione 2 ∀ ∀ α1

2kA+ −α1

2kA+ 6= 0* k −k 0

4.9 Soluzioni fisiche per i parametri di bordo 75

Dove ∀ sta a indicare che la variabile puo assumere qualsiasi valore mentre* sta a indicare che quella particolare condizione e stata imposta per fare inmodo di non avere divergenze nelle identita di Ward. Abbiamo cercato dirisolvere il sistema in funzione del parametro α2 e dei campi A+ e A+.Tutte le altre soluzioni e le motivazioni per cui sono state escluse dalla nostratrattazione sono elencate in appendice C.Le identita di Ward, per le due soluzioni trattate, diventano:Soluzione 1:∫

du (∂J + ∂J) =k(k − α2)

α4

(∂A+ + ∂A+) , (4.92)∫du (∂K + ∂K) =

α4k

k − α2

(∂B+ + ∂B+) ; (4.93)

Soluzione 2:∫du (∂J + ∂J) =

α1

2(∂A+ + ∂A+) , (4.94)∫

du (∂K + ∂K) =2k2

α1

(∂B+ + ∂B+) . (4.95)

E importante notare che le due soluzioni annullano i determinanti dei duesistemi:

α1α4 − (α3 + k)(α2 + k) = 0α1α4 − (α3 − k)(α2 − k) = 0

⇒α3 = −α2

α1α4 + α22 − k2 = 0

. (4.96)

La condizione α3 = −α2 risulta fondamentale in quanto e facile verificare chegarantisce che l’invarianza per TR delle equazioni del moto.E percio interes-sante notare che l’invarianza per TR della teoria viene dedotta direttamentedai conti e non imposta a priori come e stato fatto invece per l’invarianzaper parita. Sostituendo si potra scrivere:

α1A+ + (α2 + k)B+ = 0α1A+ − (α2 + k)B+ = 0α4B+ + (k − α2)A+ = 0α4B+ + (α2 − k)A+ = 0

. (4.97)


4.10 Correnti conservate e algebra sul bordo

In questo paragrafo cercheremo di verificare l’esistenza di un algebra dicorrenti chirali conservate sul bordo. Occorre come prima cosa verificarel’esistenza di correnti conservate. Introduciamo quindi i campi:

R ≡ 1

k[(k − α2)A+ α4B] (4.98)

R ≡ 1

k[(k − α2)A+ α4B] (4.99)

S ≡ 1

k[(α2 − k)A+ α4B] (4.100)

S ≡ 1

k[(α2 − k)A+ α4B] , (4.101)

che, in accordo con il sistema (4.97), soddisfano le condizioni di bordo:

R+ = S+ = 0 . (4.102)

I campi originali saranno riscritti in funzione dei nuovi campi nella seguentemaniera:

A =k

2(k − α2)(R− S) (4.103)

B =k

2α4

(R + S) (4.104)

A =k

2(k − α2)(R− S) (4.105)

B =k

2α4

(R + S) . (4.106)

Per una ridefinizione delle sorgenti occorre tornare alla parte dell’azione checoinvolge i campi e le sorgenti, cioe la (4.26), che, riscritta secondo i nuovicampi, assume la forma:

Sext(AB) =

∫d3x [(

k

2(k − α2)J +

k

2α4

K)R + (− k

2(k − α2)J +

1

2α4

K)S+

+(k

2(k − α2)J +

1

2α4

K)R + (− k

2(k − α2)J +

1

2α4

K)S .

(4.107)

In Sext(AB) sono stati inclusi solo i termini che ci interessano, ossia quelli cheriguardano i campi A,B, A, B. Si ricava in questo modo l’espressione per le


sorgenti dei campi R, S, R, S:

JR ≡k

2(k − α2)J +

k

2α4

K (4.108)

JS ≡ −k

2(k − α2)J +

k

2α4

K (4.109)

JR ≡k

2(k − α2)J +

k

2α4

K (4.110)

JS ≡ −k

2(k − α2)J +

k

2α4

K . (4.111)

In termini delle nuove variabili e utilizzando la seconda equazione del sistema(4.96) e la (4.102), le identita di Ward (4.88) e (4.89) diventano :

∫du (∂JR − ∂JS + ∂JR − ∂JS) =

k3

2α4(k − α2)(∂R+ − ∂S+) (4.112)∫

du (∂JR + ∂JS + ∂JR + ∂JS) =k3

2α4(k − α2)(∂R+ + ∂S+) . (4.113)

Risulta evidente che con questa scelta la soluzione 2 e da escludere. Essainfatti prevede α2 = k, che porterebbe a delle divergenze nelle due identitadi Ward appena scritte.Sommandole e sottraendole tra di loro, le identita di Ward disaccoppiano:∫

du (∂JR + ∂JR) =k3

α4(k − α2)∂R+ (4.114)∫

du (∂JS + ∂JS) =k3

α4(k − α2)∂S+ . (4.115)

Ponendo le sorgenti a 0, si puo finalmente ottenere la condizione di chiralita:

∂R+ = ∂S+ = 0⇒ R+ = R+(z) (4.116)

⇒ S+ = S+(z) . (4.117)

Possiamo quindi riscrivere la (4.114) in funzione dei funzionali generatori:

α4(k − α2)

k3

∫du [∂JR(x) + ∂JR(x)] = ∂

δW+

δJR(x)

∣∣∣∣u=0+

(4.118)


e differenziarla rispetto a JR(x′), dove x′ e un punto che si trova vicino albordo con u′ → 0+. Ponendo le sorgenti a 0 si ottiene:

α4(k − α2)

k3

∫du ∂δ3(x− x′) =

(∂

δ2W+

δJR(x′)δJR(x)

∣∣∣∣u,u′=0+

)∣∣∣∣∣JR=0

. (4.119)

E infine integrendo rispetto alla variabile u:

α4(k − α2)

k3∂δ2(Z − Z ′) = ∂ 〈T (R+(z′)R+(z))〉 , (4.120)

avendo utilizzato l’espressione del prodotto T-ordinato dei campi per il pro-pagatore della teoria.

Interpretando la z come variabile tempo, si puo calcolare esplicitamente ilsecondo termine della (4.120):

∂ 〈T (R+(z′)R+(z)))〉 =

= ∂ 〈θ(z′ − z)R+(z′)R+(z) + θ(z − z′)R+(z)R+(z′)〉 =

= 〈−δ(z′ − z))R+(z′)R+(z)〉+ 〈δ(z − z′))R+(z)R+(z′)〉 =

= δ(z − z′) 〈[R+(z), R+(z′)]〉 , (4.121)

che, sostituito nella (4.120) porta alla relazione di commutazione fra i campi:

[R+(z), R+(z′)] =α4(k − α2)

k3∂δ(z − z′) . (4.122)

La relazione di commutazione fra le S+ puo essere ottenuta con lo stesso pro-cedimento, oppure applicando direttamente alla (4.122) una trasformazionedi TR:[

S+(z), S+(z′)]

=α4(k − α2)

k3∂δ(z − z′) . (4.123)

Si ha inoltre, differenziando la (4.118) rispetto a JS(x′), la seguente commu-tazione:[

R+(z), S+(z′)]

= 0 , (4.124)

che garantisce il disaccoppiamento delle due correnti.


R+ e S+ sono quindi due correnti conservate chirali disaccoppiate e connesseda una simmetria TR. La carica centrale non e completamente fissata, inquanto dipende dai parametri di bordo α2 e α4, i cui valori sono arbitrari.Richiamando la definizione delle due correnti:

R =1

k[(k − α2)A+ α4B] (4.125)

S =1

k[(α2 − k)A+ α4B] , (4.126)

si puo notare come entrambe siano scritte come una somma di due termini,di cui uno (dato da B+ o B+) con le solite proprieta di trasformazione sottoTR di un campo elettromagnetico e l’altro (dato da A+ o A+) che trasformacome una densita di spin, come in [42].

Agendo con una trasformazione di parita sulle relazioni di commutazio-ne (4.122),(4.123) e (4.124), si ottengono le relazioni di commutazione percorrenti chirali conservate dall’altro lato del bordo planare:

[R−(z), R−(z′)

]=α4(k − α2)

k3∂δ(z − z′) (4.127)

[S−(z), S−(z′)] =α4(k − α2)

k3∂δ(z − z′) (4.128)[

R−(z), S−(z′)]

= 0 . (4.129)

Risulta interessante notare i risultati che si ottengono imponendo ai para-menti di bordo i valori α2 = 0 e α4 = k. La forma dei campi e dell’algebraal bordo diviene:

R = A+B (4.130)

R = A+ B (4.131)

S = B − A (4.132)

S = B − A , (4.133)

[R+(z), R+(z′)] =1

k∂δ(z − z′) , (4.134)[

S+(z), S+(z′)]

=1

k∂δ(z − z′) , (4.135)[

R+(z), S+(z′)]

= 0 . (4.136)

Possiamo quindi identificare Rµ e Sµ rispettivamente con i campi A↑µ e A↓µdi cui avevamo trattato precedentemente nella (4.2) e nella (4.3). Questorisultato e in perfetto accordo con l’idea che la teoria BF abeliana in 2+1


dimensioni sia equivalente a due teorie di Chern-Simons con chiralita opposte.Come fatto nel capitolo precedente, richiamiamo la densita di carica e dicorrente presenti del sistema andando a valutare le componenti della (4.10)e della (4.11):

JA0 = − eπ

(∂xAy − ∂yAx) (4.137)

JAx = − eπ

(∂yAt − ∂tAy) (4.138)

JB0 = − sπ

(∂xBy − ∂yBx) (4.139)

JBx = − sπ

(∂yBt − ∂tBy) . (4.140)

e, integrandole su uno spessore infinitesimo lungo la y, calcoliamo le densitadi particelle e di corrente di numero sul bordo:

ρA = − 1

πAx+ = − 1

2π(Rx+ − Sx+) (4.141)

jA =1

πAt+ =

1

2π(Rt+ − St+) (4.142)

ρB =1

πBx+ = − 1

2π(Rx+ + Sx+) (4.143)

jB = − 1

πBt+ =

1

2π(Rt+ + St+) , (4.144)

considerando tutto i campi nulli dalla parte inferiore del bordo. Risultaquindi evidente, anche in questo caso, identificare le correnti conservate conquantita fisiche, legate alle densita di carica e di corrente elettriche e di spin.In particolare definiamo le nuove densita e correnti:

ρ↑ ≡ ρA + ρB = − 1

πRx+ (4.145)

ρ↓ ≡ ρB − ρA = − 1

πSx+ (4.146)

j↑ ≡ jA + jB =1

πRt+ (4.147)

j↓ ≡ jB − jA =1

πSt+ . (4.148)

Utilizzando la condizione di chiralita vista in (4.116) e (4.117) e ricordando


che k = 2pπ

, possiamo scrivere le algebre riferite alle nuove densita e correnti:

[ρ↑(z), ρ↑(z′)

]=

1

4πp∂δ(z − z′) (4.149)[

j↑(z), j↑(z′)]

=1

4πp∂δ(z − z′) (4.150)[

ρ↓(z), ρ↓(z′)]

=1

4πp∂δ(z − z′) (4.151)[

j↓(z), j↓(z′)]

=1

4πp∂δ(z − z′) (4.152)[

ρ↑(z), ρ↓(z′)]

= 0 (4.153)[j↑(z), j↓(z′)

]= 0 (4.154)

In questo caso possiamo notare la presenza due tipi di correnti chirali cherappresentano i due diversi canali di propagazione del QSH e che sono legatetra di loro da una simmetria di TR. La presenza della costante di accop-piamento p permette la generalizzazione del modello anche a casi di naturafrazionaria

Il risultato ottenuto e stato quello di dimostrare come la teoria BF abelianain 2+1 dimensioni sia un’ottima teoria efficace per la descrizione dell’effettoQSH e degli isolanti topologici in 2 dimensioni spaziali.

Conclusioni

In questo lavoro di tesi abbiamo studiato la fisica dell’effetto Hall quantisticoe del Quantum Spin Hall in termini di teorie di campo efficaci topologiche.Abbiamo utilizzato la teoria di Chern-Simons e la teoria BF, in entrambi icasi limitandoci alle 2+1 dimensioni e al caso abeliano.

L’aspetto piu rilevante e stato quello riguardante lo studio degli stati dibordo delle due teorie, intrapreso utilizzando l’approccio di Symanzik. Taleapproccio ci ha permesso di ricavare le condizioni al contorno per i campidi gauge per le due teorie di campo, senza nessun altro vincolo se non lalocalita e la condizione di separabilita di Symanzik, ovvero la semplice eovvia richiesta che i propagatori tra punti opposti del bordo si annullino.Un’ulteriore semplificazione del procedimento e stata quella di imporre lacondizione di separabilita direttamente nelle equazioni del moto delle dueteorie, rotte dalla presenza di un generico termine di bordo, senza calcolareesplicitamente i propagatori, fatto particolarmente rilevante nel caso in cui ilcalcolo dei propagatori della teoria in presenza del bordo sia molto difficile.

Nel Capitolo 3 abbiamo mostrato come la teoria di Chern-Simons abeliana in2+1 dimensioni sia un’ottima teoria di campo efficace volta a descrivere la fe-nomenologia dell’effetto Hall quantistico. Abbiamo dimostrato l’esistenza sulbordo di correnti chirali conservate che soddisfano un’algebra di Kac-Moody.La carica centrale dell’algebra dipende dalla costante di accoppiamento del-la teoria di Chern-Simons k, a sua volta dipendente dal filling factor ν deilivelli di Landau dell’effetto Hall quantistico frazionario. Siamo successiva-mente riusciti a legare le correnti conservate a quantita fisiche quali la densitadi carica e di corrente presenti sul bordo di un sistema Hall, verificando lacompatibilita con la teoria di Wen presentata precedentemente. Va notatocome la presenza del filling factor ν nelle relazioni di commutazione dia lapossibilita di generalizzare la teoria anche al caso dell’effetto Hall quantistico

83

84 Conclusioni

frazionario, piu difficilmente trattabile quantisticamente, in quanto necessital’introduzione di un sistema di elettroni interagenti.

Nel capitolo 4 abbiamo studiato la teoria BF abeliana in 2+1 dimensioni,come teoria efficace per descrivere gli stati del QSH bidimensionale. Anchein questo caso, abbiamo ricavato la forma di una coppia correnti chirali con-servate sul bordo, che soddisfano un’algebra di Kac-Moody. Un’importantedifferenza tra la teoria BF e la teoria di Chern-Simons, entrambe topologiche,e la presenza nel BF della simmetria di inversione temporale (TR), crucialeper la nostra trattazione. Va notato come entrambe le correnti conservate ri-cavate possano essere scritte in funzione di due campi, uno che segue l’usualetrasformazione del campo elettromagnetico sotto TR, l’altro che si trasformacome una densita di spin. Nel caso abeliano, i parametri da cui dipendono lecariche centrali dell’algebra di Kac-Moody soddisfatta dalle correnti chiraliconservate possono essere fissati da una normalizzazione delle correnti elet-tromagnetiche e di spin della teoria in assenza di bordo. Il modo in cui talicorrenti sono legate al campo elettromagnetico e al campo di spin rispecchial’andamento previsto per l’effetto spin Hall. La nostra trattazione rende fisi-camente evidente l’equivalenza tra la teoria BF abeliana in 2+1 dimensioni euna teoria in 2+1 dimensioni costituita da due termini di tipo Chern-Simonscon costante di accoppiamento opposta.

Una immediata generalizzazione e l’estensione della nostra trattazione al ca-so non abeliano, sia nel caso di Chern-Simons per l’effetto Hall quantisticofrazionario, sia nel caso del BF per il quantum spin Hall. Inoltre, poiche lateoria BF, a differenza della teoria di Chern-Simons, puo essere definita inun numero arbitrario di dimensioni, recentemente un grande interesse e sortoattorno alla teoria BF in 3+1 dimensioni, in vista di una trattazione analogaa quella presentata in questa tesi, per la descrizione di isolanti topologici in3 dimensioni spaziali.

Un’ulteriore campo di possibili studi futuri sono le soluzioni che romponoesplicitamente la simmetria TR. Queste soluzioni sono state discusse alla fi-ne dell’Appendice C. Esse non sono evidentemente adatte a descrivere glistati del quantum spin Hall, in quanto, come gia detto, rompono la simme-tria TR, e percio sono state escluse. Il motivo della loro esclusione e statotuttavia fenomenologico, ma, dal punto di vista della teoria dei campi, sonoperfettamente legittime. Molto recentemente pero questo questo impedimen-to fenomenologico e venuto meno, e queste soluzioni che non rispettano TRsono particolarmente interessanti e meritano un’analisi approfondita.

Appendice A

Proprieta dell’operatoretime-reversal

Per proseguire la trattazione e necessario specificare alcune fondamentaliproprieta della simmetria TR. Seguiremo gli argomenti di [30]. L’operatoreriferio alla simmetria TR e definito come:

T : t→ −t . (A.1)

Consideriamo il TR come una simmetria del sistema:

[H,T ] = 0 , (A.2)

che implica che se |ψ〉 e un autostato del sistema, lo e automaticamenteanche T |ψ〉. L’operatore T cambia il segno del tempo e percio l’operatoreposizione x rimane invariato, mentre cambia il segno del momento p, essendoesso dipendente dalla velocita, che e la derivata rispetto al tempo di unaquantita TR-invariante:

T xT−1 = x , T pT−1 = −p . (A.3)

Un interessante proprieta dell’operatore T puo essere ottenuta facendolo agiresul commutatore di x con p:

T [x, p]T−1 = Ti~T−1 = T (xp− px)T−1 =

= T xT−1T pT−1 − T pT−1T xT−1 = −[x, p] = −i~ , (A.4)

85

86 A. Proprieta dell’operatore time-reversal

che porta immediatamente all’equazione:

TiT−1 = −i . (A.5)

Da questa espressione risulta chiaro che T deve essere proporzionale all’o-peratore di coniugazione complessa. Gli operatori con questa caratteristicasono denominati operatori antiunitari. Per una particella senza spin l’argo-mentazione e molto semplice, in quanto lo spazio di Hilbert puo essere fattosolo di quantita scalari, e percio:

T = K , (A.6)

dove K rappresenta l’operatore di coniugazione complessa. In generale l’o-peratore TR puo essere rappresentato come:

T = UK , (A.7)

dove U e una matrice unitaria. Di conseguenza cio che otteniamo e:

T 2 = UKUK = UU∗ = U(UT )−1 = φ , (A.8)

dove φ rappresenta una matrice diagonale di fasi. Cio che abbiamo dimo-strato e che l’operatore T , fatto agire due volte, ci riporta allo stato iniziale,a meno di un fattore di fase. Percio abbiamo che:

U = φUT , UT = Uφ ⇒ U = φUT = φUφ . (A.9)

Questo puo accadere solo se φ = ±1 e dunque T 2 = ±1. Questa caratteristicae una diretta conseguenza del fatto che l’operatore T e antiunitario, in quantogli operatori unitari possono invece avere qualsiasi fase.

Per particelle senza spin, la simmetria TR lascia gli operatori di creazione edistruzione invariati nella posizione, mentre se si passa in Fourier e facilmentedimostrabile che:

TakT−1 = a−k . (A.10)

Questa proprieta risulta immediata ricordando l’effetto che la simmetria TRha sull’operatore momento, e risulta ancora piu immediato affermare che perun sistema TR-invariante se ψk e un autostato dell’Hamiltoniana di momen-to k, allora Tψk sara un autostato dell’Hamiltoniana di momento −k. Glistati ψk e Tψk non sono in generale ortogonali tra di loro, infatti puo essere

87

dimostrato, in alcuni punti nello spazio del momento (ad esempio per k = 0),che:

〈ψ0|Tψ0〉 6= 0 . (A.11)

Questa e una diretta conseguenza del fatto che, per particelle senza spin,T 2 = KK = 1.

Nel caso di particelle con spin il discorso diventa piu interessante. Poiche ilmomento angolare e esso stesso un momento, e dispari sotto TR:

T ST−1 = −S . (A.12)

Questo implica che lo spin cambia direzione sotto TR. Tale azione puo essererappresentata da una rotazione di π intorno a un qualsiasi asse. Convenzio-nalmente si sceglie di ruotare lo spin di π intorno all’asse y. L’operatore TRdeve ruotare lo spin e nello stesso tempo essere proporzionale all’operatoredi coniugazione complessa, in quanto la sua azione sull’operatore momento pdeve rimanere la stessa in entrambi i casi di particella con o senza spin. Conla scelta della rotazione intorno all’asse y, l’operatore TR risulta fissato:

T = e−iπSyK . (A.13)

Ora vogliamo vedere cosa succede se facciamo agire T due volte e voglia-mo ricavare la forma di T−1. Nella rappresentazione standard, che ha Syimmaginario puro, abbiamo:

T · T = e−iπSyKe−iπSyK = e−iπSy(Ke−iπSyK) =

= e−iπSy(e−iπSy)∗ = e−iπSyeiπS∗y = e−iπSye−iπSy = e−2iπSy . (A.14)

Dunque agire due volte con l’operatore TR su una particella con spin e comeruotare lo spin di 2π. Per le particelle con spin intero questa rotazionecorrisponde all’identita, mentre per particelle con spin semi-intero essa portaun fattore -1. Di conseguenza, per particelle con spin semi-intero, T 2 = −1e T−1 = −T .

Il fatto che T 2 = −1 per spin semi-intero, porta a un importante teorema de-nominato teorema di Kramer, che noi valuteremo per uno spettro di singolaparticella. Tale teorema asserisce che in un sistema con un numero dispari diparticelle con spin semi-intero ogni livello di energia e almeno doppiamentedegenere, ossia devono esistere almeno due stati per ogni livello di energiadel sistema.

88 A. Proprieta dell’operatore time-reversal

Consideriamo un autostato di singola particella |ψ〉 con energia E. Se abbia-mo un’Hamiltoniana simmetrica per TR, anche lo stato T |ψ〉 sara autostatodell’Hamiltoniana con energia E. Cio che vogliamo dimostrare e che questidue stati sono ortogonali, mostrando cosı la doppia degenerazione dello spet-tro del sistema a energia E. Per fare cio ricordiamo la forma dell’operatoreT = UK, dove U e una matrice unitaria che, nel caso di T 2 = −1, soddisfala relazione U = −UT . Percio l’operatore U e antisimmetrico e unitario.Calcoliamo il braket tra |ψ〉 e T |ψ〉:

〈ψ|Tψ〉 =∑m,n

ψ∗mUmnKψn =∑m,n

ψ∗mUmnψ∗n =

∑m,n

ψ∗nUmnKψm =

=∑m,n

ψ∗n(−Unm)Kψm = −∑m,n

ψ∗nUnmKψm = −〈ψ|Tψ〉 = 0 , (A.15)

dove e importante notare che T 2 = −1 e necessario per la dimostrazione diquesto teorema.Si puo inoltre dimostrare che la probabilita di scattering dello stato |ψ〉 inT |ψ〉 per un’Hamiltoniana invariante per TR e nulla:

〈Tψ|H|ψ〉 = 0 . (A.16)

Se invece abbiamo n stati e vogliamo calcolare la probabilita che n particelleche si muovono, ad esempio, verso sinistra siano scatterate indietro in n par-ticelle che si muovono verso destra, cio che si ottiene, dopo laboriosi calcoli,e per un numero pari di particelle, il processo di scattering tra le coppie diKramer non va a 0.Questi stessi risultati si sarebbero potuti ottenere notando la seguente pro-prieta, che vale per due autostati |ψ〉 e |φ〉:

〈Tφ|Tψ〉 = 〈ψ|φ〉 . (A.17)

Tale proprieta e indipendente dal fatto che T 2 sia 1 o -1, ma deriva solodall’antiuniteriata di T .

Appendice B

Calcoli espliciti per i parametridi bordo per la teoria BFabeliana in 2+1 dimensioni

In questa appendice presenteremo i calcoli espliciti che abbiamo utilizzato nelparagrafo 4.7 per ottenere le relazioni tra i parametri di bordo della teoria,imponendo l’invarianza per parita e la condizione di compatibilita.

Riscriviamo le piu generiche equazioni del moto rotte dalla presenza di unbordo planare:

k(∂Bu − ∂uB) + J = δ(u)(c+1 A+ + c−1 A− + d+

1 B+ + d−1 B−) (B.1)

k(∂uB − ∂Bu) + J = δ(u)(c+2 A+ + c−2 A− + d+

2 B+ + d−2 B−) (B.2)

k(∂B − ∂B) + bA + Ju = δ(u)(c+3 Au+ + c−3 Au− + d+

3 Bu+ + d−3 Bu−)(B.3)

Au + Jb = 0 (B.4)

k(∂Au − ∂uA) + K = δ(u)(e+1 A+ + e−1 A− + f+

1 B+ + f−1 B−) (B.5)

k(∂uA− ∂Au) +K = δ(u)(e+2 A− + e−2 A+ + f+

2 B− + f−2 B+) (B.6)

k(∂A− ∂A) + bB +Ku = δ(u)(e+3 Au+ + e−3 Au− + f+

3 Bu+ + f−3 Bu−)(B.7)

Bu +Kb = 0 . (B.8)

Le equazioni del moto sotto una trasformazione di parita (4.35) assumono la

89

90B. Calcoli espliciti per i parametri di bordo per la teoria BF

abeliana in 2+1 dimensioni

forma seguente:

k(−∂Bu + ∂uB) + J = δ(−u)(c+1 A− + c−1 A+ + d+

1 B− + d−1 B+) (B.9)

k(−∂uB + ∂Bu) + J = δ(−u)(c+2 A− + c−2 A+ + d+

2 B− + d−2 B+) (B.10)

k(−∂B + ∂B)− bA − Ju = −δ(−u)(c+3 Au− + c−3 Au+ + d+

3 Bu− + d−3 Bu+)(B.11)

−Au − Jb = 0 (B.12)

k(−∂Au + ∂uA) +K = δ(−u)(e+1 A− + e−1 A+ + f+

1 B− + f−1 B+)(B.13)

k(−∂uA+ ∂Au) + K = δ(−u)(e+2 A− + e−2 A+ + f+

2 B− + f−2 B+)(B.14)

k(−∂A+ ∂A)− bB −Ku = −δ(−u)(e+3 Au− + e−3 Au+ + f+

3 Bu− + f−3 Bu+)(B.15)

−Bu −Kb = 0 . (B.16)

Perche la teoria sia invariante per parita, bisogna quindi imporre che:

δ(u)(c+1 A+ + c−1 A− + d+

1 B+ + d−1 B−) =

= δ(−u)(c+2 A− + c−2 A+ + d+

2 B− + d−2 B+) (B.17)

δ(u)(c+2 A+ + c−2 A− + d+

2 B+ + d−2 B−) =

= δ(−u)(c+1 A− + c−1 A+ + d+

1 B− + d−1 B+) (B.18)

δ(u)(c+3 Au+ + c−3 Au− + d+

3 Bu+ + d−3 Bu−) =

= δ(−u)(c+3 Au− + c−3 Au+ + d+

3 Bu− + d−3 Bu+) (B.19)

δ(u)(e+1 A+ + e−1 A− + f+

1 B+ + f−1 B−) =

= δ(−u)(e+2 A− + e−2 A+ + f+

2 B− + f−2 B+) (B.20)

δ(−u)(e+2 A− + e−2 A+ + f+

2 B− + f−2 B+) =

= δ(−u)(e+2 A− + e−2 A+ + f+

2 B− + f−2 B+) (B.21)

δ(u)(e+3 Au+ + e−3 Au− + f+

3 Bu+ + f−3 Bu−) =

= δ(−u)(e+3 Au− + e−3 Au+ + f+

3 Bu− + f−3 Bu+) . (B.22)

91

Dalle precedenti identita si ricava che:

c±1 = c∓2 (B.23)

d±1 = d∓2 (B.24)

c+3 = c−3 ≡ c3 (B.25)

d+3 = d−3 ≡ d3 (B.26)

e±1 = e∓2 (B.27)

f±1 = f∓2 (B.28)

e+3 = e−3 ≡ e3 (B.29)

f+3 = f−3 ≡ f3 . (B.30)

A questo punto imponiamo la condizione di compatibilita, gia menzionata nelcapitolo riguardante la teoria di Chern-Simons. Anche in questo caso l’azionedeve obbedire alla (3.59), percio, ricordando che i due punti x e x′ si trovanoentrambi dal lato del bordo planare con u > 0:

δ2S

δA(x′)δA(x)= −δ(u)c+

1 δ3(x− x′) (B.31)

δ2S

δA(x)δA(x′)= −δ(u′)c−1 δ3(x− x′) (B.32)

⇒ c+1 = c−1 ≡ α1 . (B.33)

δ2S

δB(x′)δA(x)= −k∂uδ(x− x′)− δ(u)d+

1 δ3(x− x′) (B.34)

δ2S

δA(x)δB(x′)= k∂u′δ(x− x′)− δ(u′)e−1 δ3(x− x′) =

= −k∂uδ(x− x′)− δ(u′)e−1 δ3(x− x′)(B.35)

⇒ d+1 = e−1 ≡ α2 . (B.36)

92B. Calcoli espliciti per i parametri di bordo per la teoria BF


δ2S

δB(x′)δA(x)= k∂uδ(x− x′)− δ(u)d−1 δ

3(x− x′) (B.37)

δ2S

δA(x)δB(x′)= −k∂u′δ(x− x′)− δ(u′)e+

1 δ3(x− x′) =

= k∂uδ(x− x′)− δ(u′)e+1 δ

3(x− x′)(B.38)

⇒ d−1 = e+1 ≡ α3 . (B.39)

δ2S

δB(x′)δB(x)= −δ(u)f+

1 δ3(x− x′) (B.40)

δ2S

δB(x)δB(x′)= −δ(u′)f−1 δ3(x− x′) (B.41)

⇒ f+1 = f−1 ≡ α4 . (B.42)

δ2S

δBu(x′)δAu(x)= −δ(u)d3δ

3(x− x′) (B.43)

δ2S

δAu(x)δBu(x′)= −δ(u′)e3δ

3(x− x′) (B.44)

⇒ d3 = e3 . (B.45)

Possiamo definitivamente riscrivere le equazioni del moto:

k(∂Bu − ∂uB) + J = δ(u)[α1(A+ + A−) + α2B+ + α3B−] (B.46)

k(∂uB − ∂Bu) + J = δ(u)[α1(A+ + A−) + α3B+ + α2B−] (B.47)

k(∂B − ∂B) + bA + Ju = δ(u)[c3(Au+ + Au−) + d3(Bu+ +Bu−)](B.48)

Au + Jb = 0 (B.49)

k(∂Au − ∂uA) + K = δ(u)[α3A+ + α2A− + α4(B+ + B−)] (B.50)

k(∂uA− ∂Au) +K = δ(u)[α2A− + α3A+ + α4(B− +B+)] (B.51)

k(∂A− ∂A) + bB +Ku = δ(u)[d3(Au+ + Au−) + f3(Bu+ +Bu−)](B.52)

Bu +Kb = 0 . (B.53)

Appendice C

Soluzioni non fisiche per iparametri di bordo per la teoriaBF abeliana in 2+1 dimensioni

In questa appendice sono elencati, per ogni soluzione del sistema (4.85), ivalori assunti dalle variabili, le relazioni tra i campi e la forma assunta dalleidentita di Ward rotte e sono esposte le motivazioni che hanno portato all’e-sclusione di tutte le soluzioni non fisiche. Escludiamo in questa trattazionele due soluzioni fisiche, trattate approfonditamente nel capitolo 4.

C.1 Soluzioni

C.1.1 Soluzioni con tre campi nulli

Le soluzioni con un solo campo 6= 0 e tutti gli altri nulli sono riassunte nellaseguente tabella:

93

94C. Soluzioni non fisiche per i parametri di bordo per la teoria BF


A+ A+ B+ B+ α1 α2 α3 α4

Soluzione 3 ∀ 0 0 0 0 k ∀ ∀Soluzione 4 0 ∀ 0 0 0 ∀ −k ∀Soluzione 5 0 0 ∀ 0 ∀ ∀ k 0Soluzione 6 0 0 0 ∀ ∀ −k ∀ 0

Dove ∀ sta a indicare che la variabile puo assumere qualsiasi valore.

Identita di Ward:Soluzione 3:∫

du (∂J + ∂J) = 0 ,

∫du (∂K + ∂K) = k∂A+ ; (C.1)

Soluzione 4:

∫du (∂J + ∂J) = 0 ,

∫du (∂K + ∂K) = −k∂A+ ; (C.2)

Soluzione 5:∫du (∂J + ∂J) = k∂B+ ,

∫du (∂K + ∂K) = 0 ; (C.3)

Soluzione 6:∫du (∂J + ∂J) = −k∂B+ ,

∫du (∂K + ∂K) = 0 . (C.4)

C.1.2 Soluzioni con due campi nulli

Le soluzioni con due campi nulli sono piu numerose:

C.1 Soluzioni 95

A+ A+ B+ B+ α1 α2 α3 α4

Soluzione 7 ∀ ∀ 0 0 0 k −k ∀Soluzione 8 0 0 ∀ ∀ ∀ −k k 0

Soluzione 9 ∀ 0 k−α2

α4A+ 0 0 6= k* k 6= 0

Soluzione 10 ∀ 0 α1

k−α3A+ 0 6= 0* k − α1α4

k−α36= k ∀

Soluzione 11 0 ∀ 0 −k+α3

α4A+ 0 −k 6= −k* 6= 0

Soluzione 12 0 ∀ 0 − α1

k+α2A+ 6= 0* 6= −k −k + α1α4

k+α2∀ 0

Soluzione 13 ∀ 0 ∀ 0 0 k k 0Soluzione 14 0 ∀ 0 ∀ 0 −k −k 0

Dove * sta a indicare che quella particolare condizione e stata imposta perfare in modo di non avere divergenze nelle identia di Ward. Si e cercato dirisolvere il sistema, dove possibile, sempre in funzione dei campi A+ e A+ edei parametri α1 e α4.


du (∂J + ∂J) = 0 ,

∫du (∂K + ∂K) = k(∂A+ − ∂A+) ; (C.5)

Soluzione 8:∫du (∂J + ∂J) = k(∂B+ − ∂B+) ,

∫du (∂K + ∂K) = 0 ; (C.6)


k(k − α2)

α4

∂A+ ,

∫du (∂K + ∂K) =

α4k

k − α2

∂B+ ;

(C.7)


α1k

k − α3

∂A+ ,

∫du (∂K + ∂K) =

k(k − α3)

α1

∂B+ ;

(C.8)


k(k + α3)k

α4

∂A+ ,

∫du (∂K + ∂K) =

α4k

k + α3

∂B+ ;

(C.9)




α1k

k + α3

∂A+ ,

∫du (∂K + ∂K) =

k(k + α2)

α1

∂B+ ;

(C.10)

Soluzione 13:∫du (∂J + ∂J) = k∂B+ ,

∫du (∂K + ∂K) = k∂A+ ; (C.11)


∫du (∂K + ∂K) = −k∂A+ . (C.12)

C.2 Algebre

C.2.1 Soluzioni con algebre contraddittorie

Escludiamo a priori le soluzioni dalla 3 alla 6, in quanto non portano all’e-sistenza di nessuna algebra di correnti conservate. Le soluzioni dalla 7 alla12, invece portano ad algebre contraddittorie. Andiamo a dimostrare questofatto per una sola soluzione, essendo i conti ed i ragionamenti da seguire deltutto analoghi, quando si vanno a trattare le rimanenti soluzioni.Scegliamo la soluzione 9. Riscriviamo i valori dei campi e delle variabili e leidentita di Ward rotte:

A+ = B+ = 0B+ = k−α2

α4A+

α2 6= kα3 = k

, (C.13)

∫du (∂J + ∂J) =

k(k − α2)

α4

∂A+ (C.14)∫du (∂K + ∂K) =

α4k

k − α2

∂B+ . (C.15)

C.2 Algebre 97

Come si puo vedere, esse sono disaccoppiate nei due campi A+ e B+. Ricor-dando che in questo caso ci stiamo restringendo solo al semipiano positivo, la(C.14) e uguale all’identita di Ward integrata (3.79), ricavata nel caso della

teoria di Chern-Simons, con la sola sostituzione di k con k(k−α2)α4

. Seguen-do lo stesso ragionamento fatto nel precedente capitolo, si puo arrivare adaffermare che A+ e una corrente chirale conservata:

∂A+ = 0⇒ A+ = A+(z) , (C.16)

e, di conseguenza, a ricavare l’algebra:

[A+(z), A+(z′)] =α4

k(k − α2)∂δ(z − z′) . (C.17)

Applicando lo stesso procedimento all’identia di Ward (C.15), o semplice-mente sostituendo il valore di B+ nella (C.17), si ottiene l’algebra per B+:

[B+(z), B+(z′)] =(k − α2)

α4k∂δ(z − z′) . (C.18)

Riscrivendo la (C.14) in funzione dei funzionali generatori:

α4

k(k − α2)

∫du [∂J(x) + ∂J(x)] = ∂

δW+

δJ(x)

∣∣∣∣u=0+

+ ∂δW−δJ(x)

∣∣∣∣u=0−

, (C.19)

e, differenziando rispetto a K(x′), dove x′ e un punto che si trova vicinoal bordo dal lato destro dello spazio ossia con u′ → 0+, e successivamenteponendo tutte le sorgenti a 0, si ottiene facilmente:

[A+(z), B+(z′)] = 0 , (C.20)

ma, ricordando che B+ = k−α2

α4A+, vale anche:

[A+(z), A+(z′)] = 0 , (C.21)

che e in netta contrapposizione con la (C.17), ricordando che, per tale solu-zione, α2 6= k e α4 6= 0.Come gia accennato, tali argomenti possono essere portati avanti facilmen-te per tutte le soluzioni dalla 7 alla 12. Questo porta ad escludere anchesoluzioni dalla nostra trattazione.



C.2.2 Soluzioni coerenti che rompono la simmetria TR

Un discorso a parte va fatto per le soluzioni 13 e 14:

A+ A+ B+ B+ α1 α2 α3 α4

Soluzione 13 ∀ 0 ∀ 0 0 k k 0Soluzione 14 0 ∀ 0 ∀ 0 −k −k 0


du (∂J + ∂J) = k∂B+ ,

∫du (∂K + ∂K) = k∂A+ ; (C.22)


∫du (∂K + ∂K) = −k∂A+ . (C.23)

Le identita di Ward scritte in questa maniera portano solo all’esistenza diun’algebra mista. Ad esempio per la 13 si ha che:

[B+(z), A+(z′)] =1

k∂δ(z − z′) . (C.24)

Quest’algebra e coerente, infatti puo essere ricavata da entrambe le identitadi Ward, senza contraddizioni. Un discorso simile vale per la 14 per cuiabbiamo che:

[B+(z), A+(z′)] = −1

k∂δ(z − z′) . (C.25)

La motivazione che porta a escludere queste soluzioni e un’altra: entrambele soluzioni rompono la simmetria TR. Risulta quindi evidente che esse nonsono adatte alla descrizione di un sistema QSH in 2+1 dimensioni, tra i cuirequisiti fondamentali e indispensabile l’invarianza per TR.Queste due ultime soluzioni, pero, non sono contraddittorie e percio possonoavere un significato fisico. L’approfondimento di questa trattazione va benoltre gli scopi di questa tesi, ma lo studio del significato fisico delle soluzioni13 e 14 puo essere argomento di studi futuri.

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