la variedad abeliana de kuga-satake en el caso p-adico
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La Variedad abeliana de Kuga- Satake en el caso p-ádico
Jesús Rogelio Pérez Buendía Seminario de Geometría Algebraica
CIMAT
Definición:Una superficie K3 sorbe un campo K es una superficie propia y suave tal que su
gavilla canónica ωX ≃ ΘX
es trivial y tal que :
H1(X, ΘX)=0.
¿Y qué con las K3?
Variedades de Calabi-Yau de dimensión 2
Variedades de CY de dimensión 1 son Curvas Eleípticas.
Superficies K3 juegan un papel importante en la clasificación de superficies:
Enriques-Castelnuovo
Dimensión de Kodaira 0 - Superficies abelianas
- Superficies K3
-Superficies bielípticas
Ejemplos
Cuárticas en ℙ3.
Intersección completa de una cuádrica y una cúbica en ℙ4.
Intersección completa de tres cuádricas en ℙ5.
Superficies de Kummer
A una variedad abeliana.
[2]: A →A; σ: A → A, x ⟼ -x la involución
A’
A
A’ / 〈σ’〉 := Kum(A)
Cohomología de superficies K3 complejas
Los grupos de cohomología singular son libres con números de Betti: 1, 0 , 22, 0, 1
Definición:
Sea Λ0 el “retículo K3” definido como (Λ0, φ0) = U3 ⊕ (-E8)2
con U el retículo hiperbólico
y E8 el “retículo raíz asociado a el diagrama:
Proposición: Si X es una superficie K3 compleja, se tiene un isomorfismo de retículos (espacios cuadráticos): (H2(X, ℤ), ∪) ≃ (Λ0 , φ0).
Supongamos ahora que tenemos en X una polarización, ℒ, ℒ ∪ ℒ = 2d para alguna d > 0 y que no tiene raíces en el grupo de Picard.
Consideremos el espacio ortogonal PH2(X, ℤ) a la clase de ℒ con respecto al producto cup.
La restricción de la forma a PH2(X, ℤ) induce también un pareo.
Si e1, f1 son una base estándar para la primera copia de U en el retículo K3, entonces tenemos un sobretítulo (Λd, φd) = 〈e1-df1〉⊕ U2 ⊕ (-E8) .
Estructuras de Hodge y el teorema de Riemann.
A-Estructuras de Hodge de peso n.
A⊂ℝ un subanillo
V un A-mod de tipo finito.
Vℂ= ⊕ Vp,q con p+q=n, tal que Vp,q es conjugado de Vq,p.
Estructuras de Hodge como representaciones de 𝒮
Teorema: A-Estructuras de Hodge de peso n en V es equivalente a dar una representación homogénea de peso n del toro de Deligne: h: 𝒮 →GL(Vℝ).
Definición:
Una polarización de una estructura de Hodge de peso n es un morfismo de estructuras de hodge : ρ: H ⊗ H → ℤ(-n) tal que en Hℝ , la forma bilineal (2πi)nρ(x, h(i)y) es simétrica y positiva definida.
Teorema de RiemannVariedades Abelianas
polarizadas
Estructuras de Hodge polarizadas
de peso 1 y tipo (1,0), (0,1)
Toros complejosEstructuras de Hodge enteras
de peso 1
A H1(A, ℤ)
La variedad de Kuga-Satake
Se busca asociarle a una superficie K3 una estructura de Hodge de peso 1, que esté relacionada con la estructura de Hodge de peso 2 de la superficie K3
Algebras de Clifford
Sea V un A-módulo y Q una forma cuadrática en V
C(V):= T(V) / (x ⊗ x - Q(v))
C(V) = C+(V) ⊕ C-(V)
La parte “par”
La representación spin: C+(V)spestá dada por multiplicación por la izquierda, es decir: CSpin(V) × C+(V) → C+(V); x ▪︎sp v = x ∙v.
La representación adjunta: C+(V)ad está dada por la conjugación, es decir: CSpin(V) × C+(V) → C+(V); x ▪︎ad v = x ∙v∙x-1.
Representaciones en C+(V)
Teorema
Hay un isomorfismo de ℚ-álgebras y representaciones:
C+(V)ad = EndC (C+(V)sp) en donde C = C+(V)op.
Teorema
Sea V = H2(X, ℤ) (o PH2(X, ℤ)) con su estructura de Hodge polarizada. Se puede dotar a C+(V) con dos estructuras de Hodge:
(C+(V), hsp) que es una estructura de Hodge de peso 0.
C+(V), had) que es una estructura de Hodge de peso 1.
Observaciones:Kuga-Satake en Familias. La construcción anterior se puede realizar en el caso relativo usando variaciones de estructuras de Hodge.
Kuga-Satake en para superficies K3 definidas sobre sucampos de ℂ.: Se demuestra que la variedad de KS asociada a una superficie K3 sobre un subcampo K del os complejos, puede ser definida sobre una extensión finita de K.
Rizov (2005) demuestra que de hecho existe un mapeo entre los espacios móduli (que son espacios algebraicos): KS: P ➞ 𝓐 de superficies K3 al de variedades abelianas (con ciertos requerimientos).
Si X está definida sobre un campo finito, entonces X se puede levantar a una superficie K3 sobre un campo de característica cero (campo local) a la que se le puede asociar su variedad de Kuga-Satake con la propiedad de que esta tiene potencialmente buena reducción lo que nos permite asociarle a X una variedad abeliana sobre un campo finito. A