Statika I 1. Uvod

1. UVOD

1.1. Predmet izu~avanja

Prilikom projektovanja objekata, zadatak gra|evinskih in`enjera je da osmisle -projektuju konstrukciju koja }e osigurati funkcionalnost objekta pri djelovanju o~ekivanih vanjskih uticaja na objekat. Drugim rije~ima, zadatak konstruktera je da odabere dimenzije i raspored svih konstruktivnih elemenata, kao i materijal od kojih }e se ti konstruktivni elementi napraviti.

Jedini na~in da se do|e do optimalnih dimenzija konstruktivnih elemenata je da se prora~unaju naprezanja i pomjeranja konstrukcije uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Dakle, potrebno je prvo sagledati sve uticaje koji djeluju na konstrukciju i brojno ih izraziti. Taj dio prora~una se naziva analiza optere}enja. Nakon toga, se osmisli konstrukcija koja to optere}enje mo`e prenijeti na tlo, a potom je potrebno matemati~ki provjeriti i dokazati da ne}e do}i do prevelikih naprezanja ili pomjeranja te konstrukcije. Pri tome je potrebno usvojiti niz pretpostavki, pomo}u kojih se realna konstrukcija zamjenjuje matemati~kim modelom koji je mogu}e matemati~ki analizirati. Ovaj dio prora~una se naziva modeliranje konstrukcije. Kori{tenjem fizi~kih zakona, a na osnovu usvojenih pretpostavki i konstruktivnog modela vr{i se prora~un naprezanja unutar konstrukcije i prora~un pomjeranja svih ta~aka konstrukcije. Na osnovu dobivenih rezultata vr{i se dimenzioniranje konstruktivnih elemenata.

Savremena analiza konstruktivnih sistema podrazumijeva upotrebu ra~unara i

odgovaraju}ih softvera za prora~un i dimenzioniranje konstrukcija. To zna~i da se sada zadatak in`injera konstruktera sastoji u tome da napravi analizu optere}enja, osmisli model konstrukcije (sve ~e{}e trodimenzionalni) i unese ga u memoriju ra~unara. Nakon toga, dobivaju se rezultati prora~una na kompletnom modelu: presje~ne sile, pomjeranja, deformacije, naponi, a ukoliko to `elimo i dimenzije popre~nih presjeka, odnosno koli~ine i raspored armature. Obzirom da su moderni softverski paketi za analizu konstrukcija opremljeni modulima pomo}u kojih se unos podataka obavlja grafi~ki na prili~no jednostavan na~in, ~ini se da je cijeli proces analize konstrukcije prili~no jednostavan i nije zahtijevan sa aspekta poznavanja teorije na kojoj se zasniva analiza konstrukcija.

Me|utim, u opisanom procesu analize konstrukcije mogu se dobiti pogre{ni rezultati, koji mogu biti posljedica gre{ke u analizi optere}enja, gre{ke u modeliranju (naj~e{}e) ili gre{ke u prora~unu. Obzirom da je za ta~nost rezultata prora~una uvijek odgovoran isklju~ivo projektant, pred njega se postavlja jako zahtijevan zadatak da provjeri ta~nost prora~una. Uz upotrebu ra~unara ovaj zadatak postaje jo{ te`i, jer je sam prora~un van kontrole projektanta. To zna~i da projektant mora biti sposoban procijeniti ta~nost rezultata koji su dati na kompletnom (~esto i vrlo slo`enom) modelu, a samo na osnovu ulaznih podataka. Jasno je da je za ovakav zadatak potrebno bolje razumijevanje pona{anja konstrukcije u odnosu na tradicionalni pristup gdje se slo`ena konstrukcija rastavljala na niz jednostavnijih sistema koji su se ra~unali odvojeno.

Dakle, konstrukcije projektuju i analiziraju projektanti - konstrukteri, a ra~unari su sredstvo da se analiza sprovede kvalitetnije, jer je omogu}ena analiza vi{e varijanti konstruktivnih rje{enja i analiza uticaja pojedinih korekcija konstruktivnog sistema na rezultate prora~una. Pri tome, ovakva kvalitetna analiza podrazumijeva da projektant u

1

Statika I 1. Uvod

potpunosti razumije pona{anje konstrukcije pod raznim uticajima i da u potpunosti vlada metodama koje se koriste u svim fazama analize.

U okviru predmeta Statika I i Statika II prou~avaju se teoretske osnove i metode analize linijskih i najjednostavnijih povr{inskih nosa~a kao deformabilnih sistema. Pod pojmom linijski nosa~ podrazumijeva se konstruktuvni element ~ije se dvije dimenzije mogu zanemariti (stubovi i grede), a povr{inski nosa~i se elementi kod kojih se zanemaruje jedna dimenzija (plo~e, zidovi i ljuske).

Tradicionalno, svi linijski nosa~i se dijele na stati~ki odre|ene i stati~ki neodre|ene nosa~e. Za prora~un presje~nih sila i napona stati~ki odre|enih linijskih nosa~a, koji su dijelom izu~avani u okviru predmeta Otpornost materijala I, uvjeti ravnote`e su dovoljni, tako da nema potrebe uzimati deformabilnost nosa~a u obzir. Drugim rije~ima, takvi linijski sistemi se tretiraju kao skup krutih tijela me|usobno povezanih krutim ili zglobnim vezama.

Naravno, ukoliko `elimo izra~unati pomjeranja stati~ki odre|enih nosa~a potrebno je {tapove takvog sistema tretirati kao deformabilna tijela. U okviru predmeta Statika 1 zadatak }e biti prou~avanje metoda za odre|ivanje presje~nih sila, pomjeranja i deformacija stati~ki odre|enih nosa~a.

1.2. Osnovne jedna~ine mehanike Osnovni zadatak u mehanici jeste da se izra~unaju pomjeranja nekog

deformabilnog sistema uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Vanjski uticaji mogu biti: optere}enja, zadata pomjeranja pojedinih ta~aka ili temperaturne promjene. Svi ovi uticaji su mjerljivi i smatraju se poznatim prije po~etka prora~una. Pomjeranja sistema su nepoznate veli~ine i zadatak je da se za date rubne uvjete izra~unaju pomjeranja. Direktna veza izme|u vanjskih uticaja i rezultiraju}ih pomjeranja ne postoji, pa se uspostavlja posredna veza uvo|enjem novih nepoznatih veli~ina: napona i deformacija. Svaki mehani~ki problem se matematski mo`e opisati pomo}u tri seta diferencijalnih jedna~ina kojima se uspostavlja veza izme|u poznatih vanjskih uticaja i nepoznatih napona, deformacija i pomjeranja. U ovom dijelu }e se pokazati oblik tih jedna~ina za op{ti problem u mehanici, bez izvo|enja. Sve ove jedna~ine kao i kori{teni pojmovi su detaljno obja{njeni u predmetima Otpornost materijala I i II.

Jasno, da bi se diferencijalne jedna~ine rije{ile, potrebno je zadati i rubne uvjete. Pod rubnim uvjetima se podrazumijevaju unaprijed zadate vrijednosti pomjeranja ili napona u pojedinim ta~kama sistema. Stoga se ~esto u literaturi mehani~ki problemi nazivaju i problemi rubnih vrijednosti u mehanici.

JEDNA^INE RAVNOTE@E

Diferencijalne jedna~ine ravnote`e se dobivaju iz uvjeta da je vektorski zbir svih sila koje djeluju na infinitezimalni segment (kvadar) nekog tijela jednak nuli.

+ = b 0 (1.1) ili u razvijenom obliku:

2

Statika I 1. Uvod

0

0

0

xyx xzx

xy xy yzy

yzxz zz

bx y z

bx y z

bx y z

+ + + =

+ + + =

+ + + =

gdje je b vektor zapreminskih sila koje djeluju na infinitezimalni kvadar.

Uvjet ravnote`e se mo`e postaviti i u integralnom obliku, pomo}u principa virtualnih radova (Mehanika II) ili na osnovu razmatranja energetskih uvjeta ravnote`e, {to }e, za {tapne elemente, biti pokazano kasnije.

KONSTITUTIVNE JEDNA^INE

Konstitutivnim jedna~inama se uspostavlja veza izme|u napona i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u napona i deformacija se predstavlja jedna~inom:

( )o= C (1.2) U gornjoj jedna~ini je tenzor napona, je ukupni tenzor deformacija, je

tenzor tzv. po~etnih deformacija i C je konstitutivni tenzor. Konstitutivnim tenzorom se definiraju fizi~ke osobine materijala. U najop{tijem slu~aju, ovo je tenzor ~etvrtog reda, definiran 81 parametrom, jer tenzori napona i deformacija imaju po 9 parametara. Me|utim, uvo|enjem pretpostavke da je materijal homogen, izotropan i linearno elasti~an, broj potrebnih parametara za definiranje ovog tenzora se definira na dva. Po{to su tenzori napona i deformacija simetri~ni, mogu se prikazati kao vektori sa {est ~lanova a, u skladu s tim, konstitutivni tenzor kao matrica dimenzija 6x6. Parametri kojima se definira tenzor mogu biti:

o

E i - Young-ov modul elasti~nosti i Poisson-ov koeficijent

K i G - zapreminski i smi~u}i modul

i - Lame-ovi koeficijenti

Me|usobne veze izme|u ovih koeficijenata su date u Tabeli 1.1.

3

Statika I 1. Uvod

K,G E, ,

K= K ( )3 1 2E

23 +

G= G ( )2 1E

+

E= 93KG

K G+ E ( )3 2 +

+

= ( )33 22 K G

K G+

( )2 +

= 23K G ( )( )1 1 2E

+

= G ( )2 1E

+

Tabela 1.1. - Zavisnost uobi~ajenih parametara elasti~nosti

Prema tome veza izme|u napona i deformacija za linearno elasti~no pona{anje, ukoliko nema po~etnih deformacija, se mo`e napisati kao:

( )( ) 12

1212

1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 00 0 0 1 2 0 01 1 20 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2

x x

y y

z z

xy xy

xz xz

yz yz

E

= +

(1.3)

Pojam po~etnih deformacija je vezan za one deformacija koje se javljaju bez pojave napona. Tipi~an uzrok pojave ovakvih deformacija jeste promjena temperature, gdje se naponi javljaju jedino ako je deformacija sprije~ena. Na slici 1.1a) uslijed ravnomjernog zagrijavanja ta~ka B }e se pomjeriti udesno i svaka ta~ka {tapa }e imati aksijalnu deformaciju, a naponi }e, prema jedna~ini (1.2) biti jednaki nuli. Ukoliko se pomjeranje ta~ke B sprije~i, uslijed ravnomjernog zagrijavanja }e se pojaviti aksijalni naponi pritiska, a deformacija }e biti jednaka nuli.

a) t>0, =o, =0

b) t>0, =0, =-Eo

Slika 1.1. Deformacije i naponi uslijed ravnomjerne promjene temperature

4

Statika I 1. Uvod

GEOMETRIJSKE JEDNA^INE

Geometrijske jedna~ine predstavljaju vezu izme|u pomjeranja i deformacija. U op{tem slu~aju veza izme|u pomjeranja i deformacija je data slijede}om jedna~inom:

(12T= + u u ) (1.4)

gdje je:

u u ux y z

v v vx y z

w w wx y z

=

u ;

u, v i w su komp