„termodinamika i. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra”
DESCRIPTION
„Termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra”. Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Kar Környezetmérnöki Tanszék Energiatudatos tervezés. Dr. Tóth Péter PhD egyetemi docens. A termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
„Termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre és konvekcióra”
Széchenyi István EgyetemMűszaki Tudományi KarKörnyezetmérnöki TanszékEnergiatudatos tervezés
Dr. Tóth Péter PhDegyetemi docens
A termodinamika I. főtételének megfogalmazása hővezetésre
Az energiamegmaradás tétele szerint:
Mi lehet a változás oka?
A rendszerbe belépő hőáram sűrűségösszege eltér a kilépő hőáramsűrűség összegétől. A rendszer belső energiája nő, ha több energia lép be, mint ki.
Az egyenlet jobb oldalára alkalmazva a Gauss-Osztogradszkij tételt:
A V
dA div dV
0
V A V
du dudV qdA q dV
d dt
0
V V A
dudV q dV qdA
d
Egy térfogati integrálba írva az egészet:
Tetszőleges térfogatra, illetve zárt felületre igaz kell hogy legyen:
Ha elmozdulás is van, akkor totális derivált kell!
0
V
du q divq dV 0
dt
0
d udivq q
d
Szilárd testre az energiaegyenlet
Ez az I. főtétel megfogalmazása hővezetésre. Ebből tudunk elindulni, hogy a hőmérséklet eloszlást leíró diff. egyenletet meg tudjuk határozni.
Ismerni kell továbbá, hogy a rendszer belső energiája hogyan függ a hőmérséklettől.
Lokális egyensúly:
Vdu c d
0
udivq q
Kinetikai egyenlet:
Ezek behelyettesítésével kapjuk a hőmérséklet eloszlás egyenletét:
q0 : térfogati hőforrás sűrűsége
Parciális inhomogén, nem lineáris differenciál egyenlet.
Alakítsuk át ezt az egyenletet úgy, hogy a div műveletet elvégezzük.
q q gradTq gradT
0
cTdiv gradT q
2 0
T dc T divgradT gradT q
dT
Nabla operátor
Laplace operátor
Az anyagjellemzőket (δ,ρ,c) vegyük úgy, hogy nem függenek a hőmérséklettől.
Ekkor írható:
2divgrad
:
:2 2 2
22 2 2
T T TT
x y z
20
Tc T q
q0 : térfogati hőforrás
Bevezetve a már megismert hőmérsékletvezetési együttható tényezőt, írható:
Lineáris, inhomogén differenciál egyenlet, ez a hővezetés differenciál egyenletének legismertebb alakja.
2 0qTa T
c
2 2m ma ,
c h sec
Nézzük meg ezt különböző esetekre:
1. Nincs térfogati hőforrás sűrűség: q0 = 0 Ekkor a Fourier-féle differenciál egyenletet kapjuk:
Hővezetés diff. egyenlete
2. Egy térdimenziós esetre:
Parabolikus típusú diff. egyenlet
2Ta T
2
2
T Ta
x
FOURIER FÉLE DIFFERENCIÁL EGYENLETEK
ALKALMAZÁSA INSTACIONER FOLYAMATOKRA
A Q hőmennyiség, amely t idő alatt áramlik a rúdon (ha nincsenek oldalirányú veszteségek), egyenesen arányos a t időtartammal, az A keresztmetszettel és a hosszegységre eső hőmérsékletváltozással ,
stacionárius hővezetésnél fennáll
ahol: :az időegység alatt átáramló hőmennyiség,
hőáram [W]
:hőáram sűrűség
l
TT 21
Q0
t
qA
2
W
m
1 2T TQA
t l
Az előbbi egyenlet általánosabb, differenciális alakban is megfogalmazható. Alkalmazva egy homogén és izotróp test belsejében képzelt kis ΔA keresztmetszetű és ΔX magasságú hengerre
amelynek véglapjai a vizsgált időpontban, időpillanatban:
T1=T és T2= T+ΔT
„egyenlő hőmérsékletűfelületek” vagy „izotermák” részei
A ΔA keresztmetszeten igen kis Δt idő alatt az X irányban átáramló
hőmennyiség legyen ΔQ. Ekkor a -nek a hőmérséklet
esés felel meg, amely a csökkenő hőmérséklet irányában pozitív.
Ez az egyenlet a hővezetés alaptörvénye, amely időben változó
hőáramra, azaz instacioner hővezetésre is érvényes.
Ez a Fourier-Kirchoff egyenlet. (Fourier, 1822)
l
TT 21 T
x
Q Q TA
t x
q gradT
q gradT
NEM STACIONÁRIUS EGYDIMENZIÓS HŐVEZETÉS
A T hőmérséklet nem csak a helytől és az x koordinátától, hanem a τ
időtől is függ.
T= T(x, τ )
A test belsejében egy ΔA(dy*dz) keresztmetszetű és Δx magasságú
hengert vagy rudat tekintve
Az 1. illetve a 2. véglapokon igen kis Δτ idő alatt az x irányban
hőmennyiség megy át, ahol a a hőmérsékletesés az 1. illetve
a 2.véglapnál. A rúdban felhalmozódott hő(sorfejtés alkalmazásával):
azaz
,1 2
T
x
11
TQ A
x
22
TQ A
x
1 22 1
T T TQ Q Q A A x
x x x x
2
2
TQ A x
x
Ez a hőmennyiség a ρ sűrűségű tömegű henger hőmérsékletét (az állandó nyomáson vett) c fajhő definíciója szerint
akkora ΔT-vel növeli, amelyre nézve
A határátmenet figyelembevételével –
egydimenziós esetre – a hővezetés differenciálegyenlete:
m A x
Q c A x T
T T
2 2
2 2
T T Ta
c x x
Háromdimenziós esetre:
Ha ismeretes a testben a hőmérséklet eloszlás, a τ=0 pillanatban (kezdeti feltétel) továbbá a test határfelületén a környezettel való hőcsere mértéke (határfeltétel) akkor ennek az egyenletnek a megoldása szolgáltatja a hőmérséklet eloszlást bármely későbbi időpillanatban.
A hőmérséklet időbeli és térbeli változásaira speciálisan pl. a hőmérséklet kiegyenlítődés gyorsaságára az
hőmérsékletvezetési tényező a mérvadó, nem pedig a hővezetési tényező, ugyanis míg a fémek -ja sokkal nagyobb a gázokénál, addig az
tényezők közel egyenlőek, azaz a hőmérsékletek a gázokban és a fémekben azonos sebességgel egyenlítődnek ki.
2 2 2
2 2 2
T T T Ta
x y z
2ma
c h
ac
Ilyen esettel a gyakorlatban nehéz találkozni. Nézzük a speciális esetek alaptulajdonságait!
STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT – HŐVEZETÉS
DIFFERENCIÁL EGYENLETE a. Van hőforrás, de nincs időbeli hőmérsékletváltozás
Stacioner, hőforrásos hővezetés differenciál
egyenlete, ún. Poisson egyenlet
b. Hőforrásmentes, időbeli hőmérsékletváltozás nincs. Laplace differenciál egyenlet
(elliptikus diff. egyenlet)
Síkbeli esetre:
2 0qa T 0
c
2T 0
2 2
2 2
T T0
x y
2 0qT
EGY DIMENZIÓS, STACIONÁRIUS – IDŐBEN ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT, HŐFORRÁSMENTES ESET
0
50
100
1.n.év
3.n.év
Kelet
Dél
Észak
Matematikailag ez egy egyenes egyenlete,
mivel a görbülete 0.
Hogy néz ki ez a gyakorlatban?
Hőmérséklet eloszlás a falban:
geometriailag is értelmezhető, mint a hőmérséklet hely szerinti változásának az iránytangense, gradiense.
2
2
T0
x
1 2t tq
Mi lenne ha lenne?
Ekkor a hőmérséklet eloszlás a falban:
2
2
Táll.
x
Pl. félvezető szalag
egyenárammal fűtve.
Állandó hőforrás
sűrűség esete.
PEREMFELTÉTELEK
A vizsgált tartomány szélén mit ismerünk?Osztályozás:
I. fajú peremfeltétel
T=T[L(x,y,z)] Nem a tér minden pontjában, hanem csak a felületen ismerjük a hőmérséklet eloszlást
pl. T1, T2 ismert
II. fajú peremfeltétel
Matematikai értelemben: ismert a vizsgált tartomány felületén, peremén a függvény első diff. hányadosa
Hőtanilag: ismert a vizsgált tartomány peremén a hőáramsűrűség
q q L x, y, z 1 2T Tq gradT
x
, a hőmérséklet hely szerinti változásának iránytangense (gradiens)
Előírt értékű hőáramsűrűség lép be a falba, a test belsejében vezetés van.
Hőmérséklet lefutási görbe érintője.
1 2T Tqtg
x
W
Tq
x
W
T q
x
III. fajú peremfeltétel
Matematikai értelemben: a vizsgált tartomány peremén a keresett függvény értéke és a derivált hányadosa adott.
Hőtanilag: a tartomány peremén az α hőátadási tényező adott.
α= α[L(x,y,z)]
A szilárd test peremén a közegnek átadott hőmennyiség:
, hőátadás
Wq T T
q T
(felületnél az iránymenti derivált)
TW: fal hőmérséklete
T∞: külső hűtőközeg
hőmérséklete
III. fajú peremfeltétel
W
Tq
n
WW
TT T
n
W
W
T T
Tn
Egydimenziós hőtranszport szemléltetése:
W
W
T TT
x
KONVEKCIÓ A hő terjedésének folyadékokban és gázokban előforduló módja,
amelynél a hőt a közeg részecskéi viszik magukkal a melegebb helyekről a hidegebbek felé.
A hővezetés és a konvekció (és gyakran a hősugárzás) együttesen játszanak szerepet pl. egy T hőmérsékletű A felületű szilárd test, fal, és az ettől távolabb már T1 hőmérsékletű gáz (levegő) hőcseréjénél. A hőtechnikában ennek a fontos, de részleteiben igen bonyolult jelenségnek a közelítő jellemzésénél
egyenletet veszik alapul, melyben ΔQ a fal felületén (ΔA) Δτ idő alatt
átadott hőmennyiség, 0 a megfelelő hőáram,
α pedig a hőátadási tényező
1
QA T T
2
W
m K
Modell → labor mérések → vizsgált jelenséget befolyásoló méretek, anyagjellemzők és mennyiségek kiválasztása → ezekből mértékegység nélküli „számok” ún. „hasonlóság számok” képzése
Reynolds-szám:
Prandtl-szám:
Grashof-szám:
Nu=f(Re, Pr)Nu=f(Re, Gr)
Nusselt- szám:
e
vdR
3 2
R 2
L g TG
K1 0 1T T T T e
r
cP
u
LN
Egy szabadban álló, környezeténél melegebb test lehűlésekor a testhőmérsékletének időbeli változását megadó T=T(τ)függvény bizonyosmegközelítéssel a
egyenlet alapján határozható meg.
A C hőkapacitású testnél , tehát
Ez a Newton-féle lehűlési törvény, T1 a környezetállandónak feltételezett hőmérséklete. (T∞)
1
QA T T
Q cm T c T
1
C T AA T T K
C
1
dTK T T
d
Ha a τ=0-nál a test hőmérséklete T0 , akkor a
megoldás
Ez azt jelenti, hogy a test és a környezete közt (T-T1)
hőmérsékletkülönbség (T0-T1)-ről exponenciálisan
csökken zérusra.
K1 0 1T T T T e
Köszönöm a figyelmet!