tesis carlos de castro - weebly · 4.1. algunos aspectos sobre la enseñanza de los números...

Departamento de Didáctica de la Matemática

Facultad de Ciencias de la Educación

Universidad de Granada

Tesis Doctoral

ESTIMACIÓN EN CÁLCULO CON NÚMEROSDECIMALES: DIFICULTAD DE LAS TAREAS YANÁLISIS DE ESTRATEGIAS Y ERRORES CON

MAESTROS EN FORMACIÓN

Carlos de Castro Hernández

GRANADA, 2012

Departamento de Didáctica de la MatemáticaFacultad de Ciencias de la Educación

Universidad de Granada

ESTIMACIÓN EN CÁLCULO CON NÚMEROSDECIMALES: DIFICULTAD DE LAS TAREAS YANÁLISIS DE ESTRATEGIAS Y ERRORES CON

MAESTROS EN FORMACIÓN

Tesis Doctoral que presentaCARLOS DE CASTRO HERNÁNDEZ

Fdo.: Carlos de Castro Hernández

Vo B

o del director V

o B

o del director

Fdo.: Dr. D. Enrique Castro Martínez Fdo.: Dr. D. Isidoro Segovia Álex

GRANADA, 2012

Este trabajo de tesis doctoral ha sido realizado dentro del proyecto

EDU2009-11337 "Modelización y representaciones en educación

matemática'', financiado por el Plan Nacional de I+D+I del Ministerio de

Ciencia e Innovación (España) y cofinanciado con fondos FEDER de la

Comunidad Europea.

El estudio se enmarca en el seno del grupo de investigación Didáctica de

la Matemática. Pensamiento Numérico de la Universidad de Granada, del

Plan Andaluz de Investigación de la Junta de Andalucía (FQM0193).

A Marisa, la de siempre

A mis padres, Jesús y Aurora

Y a Lourdes, mi hija

AGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOS

Quiero expresar mi agradecimiento al Dr. Enrique Castro Martínez y al Dr.

Isidoro Segovia Álex, directores de la presente tesis doctoral, por su paciencia

en el seguimiento de un largo proceso de formación investigadora y de

culminación del trabajo de investigación. Su disponibilidad siempre que hacía

falta, su apoyo, aliento, su comprensión y sus orientaciones me han mantenido

en el esfuerzo. Sus investigaciones sobre problemas de estructura multiplicativa

y sobre estimación inspiraron la mía a partes iguales.

Gracias a todos los miembros del Grupo de Pensamiento Numérico Algebraico

(PNA), perteneciente a la Sociedad Española de Investigación en Educación

Matemática (SEIEM). Las investigaciones que se han desarrollado en el seno de

dicho grupo han contribuido decisivamente en mi formación investigadora a lo

largo de los últimos años. Las distintas reuniones del Grupo PNA, desde

Palencia (2001), en la que realicé mi primera presentación, previa a la lectura

de la memoria de tercer ciclo, hasta la última, celebrada en Granada (2011),

han posibilitado el debate y el progresivo afinamiento de muchas de las ideas

que se aportan en esta tesis.

Gracias a todos los profesores del Departamento de Didáctica de las

Matemáticas de la Universidad de Granada, por la formación que me han dado.

Mirando atrás, ir a Granada a estudiar fue el mayor acierto. Los méritos que

pueda tener el presente trabajo de investigación, así como los futuros, deberán

atribuirse en gran medida a los que han sido (y seguirán siendo) mis maestros.

A María Paz Bujanda Jáuregui, gracias a la cual me incliné por la Especialidad

de Didáctica de las Matemáticas, cuando estudiaba la Licenciatura en

Matemáticas, y a D. Miguel de Guzmán Ozámiz, que me recomendó realizar el

doctorado en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad

de Granada. Las opciones fundamentales que tomé, orientado por ellos, han

sido decisivas en mi vida.

Al Doctor D. Leopoldo Gonzalo, sin cuyo apoyo y amistad, seguramente no

hubiese tenido ocasión de dedicarme a la enseñanza universitaria, ni se me

hubiera ocurrido hacer un doctorado.

A mis padres, Jesús y Aurora, que siempre han confiado en mí, me han

apoyado y ayudado en todo, a los que tanto tengo que agradecer…

Y, finalmente (que significa aquí ‘hasta el final’), un agradecimiento que no

acabe nunca para Marisa y para Lourdes -“Papá está haciendo tesis”-, las más

perjudicadas por el tiempo dedicado durante tantos años a la investigación

hasta ver concluido este trabajo. Espero saber recompensarlas con acierto por

su generosidad, y por todos los sacrificios que han hecho por mí. Como en el

cuento de la Oveja Selma, si alguien me pregunta alguna vez qué es el amor, y

no sé darle una respuesta teórica, tendré que contarle la historia de Marisa.

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1. Planteamiento del problema.............................................................1

1. Introducción: Origen y delimitación del problema a investigar.............2

1.1. Un problema docente en el inicio..............................................2

1.2. Del problema docente al problema inicial de investigación... .5

1.3. El problema de investigación definitivo....................................6

2. La estimación en cálculo: aspectos fundamentales para la investigación

...............................................................................................................7

2.1. La estimación como campo de estudio......................................7

2.2. Estimación y resolución de problemas......................................8

2.3. Justificación del interés de la investigación.............................10

2.4. Estimación y aproximación......................................................15

2.5. La estimación y el valor matemático del control....................17

2.6. Procesos, destrezas y estrategias en la estimación...................18

2.7. Modelo cognitivo-metacognitivo para la estimación..............21

3. Objetivos de la investigación..................................................................27

Capítulo 2. Fundamentos teóricos........................................................................29

1. Estrategias en Matemáticas.....................................................................29

1.1. Procedimientos en Matemáticas: Destrezas, algoritmos,

heurísticos y estrategias............................................................30

1.1.1. Procedimientos..............................................................30

1.1.2. Destrezas........................................................................31

1.1.3. Algoritmos.....................................................................32

1.1.4. Heurísticos.....................................................................35

1.1.5. Estrategias......................................................................36

1.1.6. Nivel de generalidad en la consideración de las

estrategias......................................................................38

2. El error en el aprendizaje de las Matemáticas........................................38

2.1. Significados, términos afines, y metáforas para el error.........39

2.2. Error e incertidumbre...............................................................41

2.3. Error e ignorancia.....................................................................42

2.4. Algunas cuestiones sobre el error desde la epistemología......43

2.5. Aspectos cognitivos del error...................................................48

2.5.1. Mecanismos productores de errores..............................48

2.6. ‘Misconceptions’ y errores........................................................50

2.7. El error como resultado de un ‘tipo’ de pensamiento.............52

2.7.1. Procepto, pensamiento proceptual y cristalización... .54

2.7.2. La división proceptual...................................................56

2.7.3. Implicaciones didácticas del modelo y propuestas para

abordar el problema......................................................56

2.8. El error resultado de un obstáculo...........................................58

2.9. El error en la escuela.................................................................60

2.9.1. Error, culpa y atribución de responsabilidad...............60

2.9.2. Error y evaluación.........................................................63

2.10. Enfoques en Didáctica de las Matemáticas para aprender de

los errores..................................................................................64

2.10.1. Un modelo de enseñanza a partir del error: La

enseñanza diagnóstica...................................................65

2.10.2. La investigación matemática a partir del error: El

trabajo de Raffaella Borasi............................................67

2.10.3. El error dentro de los “organizadores del currículo”. .69

2.11. Algunas investigaciones sobre errores.....................................70

2.12. Algunas ideas sobre el error provenientes del ámbito del

cálculo........................................................................................76

2.12.1. Presencia en trabajos clásicos de errores con decimales

y fracciones....................................................................76

3. Dificultad y dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas.............79

3.1. La concepción psicométrica de la dificultad...........................80

3.2. La dificultad como complejidad...............................................81

3.3. La dificultad en el encuentro del alumno con la tarea...........84

3.4. Dificultad en PISA (2003)........................................................86

3.5. Conclusiones sobre la dificultad en matemáticas....................87

4. Algunos resultados sobre números decimales........................................88

4.1. Algunos aspectos sobre la enseñanza de los números

decimales...................................................................................89

4.2. Los trabajos de la década 1980-1990 sobre números decimales

en la resolución de problemas..................................................92

4.3. Ideas equivocadas de maestros en formación sobre

multiplicación y división con decimales.................................93

4.4. El sentido numérico, el efecto de la alteración de los datos en

el resultado de una operación y la estimación en cálculo.......99

4.5. Relaciones entre el conocimiento conceptual y procedimental

en tareas de estimación en cálculo.........................................104

Capítulo 3. La estimación en cálculo: Revisión de la literatura........................109

1. La estimación en cálculo, antes de 1976...............................................111

2. El periodo ‘dorado’ en la investigación sobre estimación en cálculo

(1976-1994): Los trabajos de Reys, Sowder y Schoen....................117

2.1. La habilidad de estimar y los factores relacionados con el

rendimiento en estimación.....................................................117

2.2. Estrategias y procesos de estimación.....................................122

2.3. Enseñanza de la estimación en cálculo..................................128

2.4. Evaluación de la estimación...................................................141

2.5. Desarrollo de conceptos y destrezas de la estimación...........145

2.6. La habilidad de estimar de los maestros en formación.........148

2.7. Dificultad de los ítems en pruebas de estimación en función

del tipo de número..................................................................150

2.8. Estimación de multiplicaciones y divisiones con números

decimales menores que uno...................................................152

3. Las aportaciones desde la Psicología a la investigación sobre estimación

en cálculo (1992-2011): Los trabajos de Dowker, Lemaire, Siegler y

Hogan................................................................................................157

3.1. Los trabajos de Dowker y colaboradores...............................158

3.2. Los trabajos de Lemaire y colaboradores...............................159

3.3. Los trabajos de Siegler y colaboradores.................................163

3.4. Los trabajos de Hogan y colaboradores..................................168

3.5. Resumen del enfoque psicológico en la investigación sobre

estimación...............................................................................172

4. La investigación sobre estimación en el periodo (1994-2011) dentro de

la Educación Matemática.................................................................174

4.1. La investigación sobre estimación en lengua española.........195

Capítulo 4. Marco metodológico y diseño de la investigación.........................199

1. Marco metodológico..............................................................................199

1.1. Informes verbales....................................................................199

1.1.1. Aspectos didácticos de los informes verbales............203

1.1.2. La opción elegida sobre los informes verbales en esta

investigación................................................................204

1.2. Estudios de réplica..................................................................207

2. Diseño de la investigación.....................................................................212

2.1. Caracterización de la investigación.......................................212

2.2. Hipótesis de la investigación..................................................215

2.3. Participantes............................................................................216

2.3.1. El periodo de instrucción sobre estimación...............218

2.4. Variables de la investigación..................................................221

2.4.1. Variables independientes............................................221

2.4.2. Variables dependientes...............................................222

2.4.3. Variables controladas..................................................224

2.5. Instrumentos...........................................................................224

2.5.1. La prueba de estimación.............................................225

2.5.2. Composición de la prueba..........................................226

2.5.3. Procedimiento de aplicación......................................228

2.5.4. Fiabilidad.....................................................................229

2.5.5. Validez.........................................................................234

2.6. Las entrevistas.........................................................................236

2.6.1. Materiales utilizados en la entrevista.........................236

2.6.2. Selección de sujetos para la entrevista.......................236

2.6.3. Forma de conducir la entrevista.................................237

2.6.4. Fiabilidad de la codificación de los datos de la

entrevista.....................................................................237

Capítulo 5. Análisis de datos cuantitativos: La prueba de estimación..............241

1. Introducción...........................................................................................241

1.1. Algunos resultados generales de la aplicación de la prueba de

estimación...............................................................................241

1.2. Técnicas estadísticas empleadas.............................................244

1.3. Hipótesis estadísticas..............................................................245

1.4. Comprobación de los supuestos del análisis..........................246

2. Resultados generales del análisis de varianza para la variable

dependiente puntuación..................................................................250

3. Estudio de la influencia del factor operación sobre la variable

dependiente puntuación..................................................................257

3.1. Influencia de la operación sobre la puntuación en función del

curso........................................................................................259

3.2. Influencia de la operación sobre la puntuación en función de

la variable mitad......................................................................262

3.3. Influencia del “tipo de operación” sobre la “puntuación”, en

función del “tipo de número”.................................................265

3.3.1. Interacción entre las variables operación y número en

función del curso.........................................................271

3.3.2. Interacción entre las variables operación y número en

función de la mitad de la prueba................................276

4. Estudio del efecto del factor número sobre la variable dependiente

puntuación........................................................................................279

4.1. Influencia de la variable número sobre la puntuación en

función del curso....................................................................281

4.2. Influencia de la variable número sobre la puntuación en

función de la variable mitad...................................................283

4.3. Influencia del “tipo de número” sobre la “puntuación”, en

función del “tipo de operación”.............................................287

4.3.1. Interacción entre las variables número y operación en

función del curso.........................................................291

4.3.2. Interacción entre las variables número y operación en

función de la mitad de la prueba de estimación........294

4.3.3. Interacción entre las variables número y curso en

función de la mitad de la prueba de estimación........295

5. Estudio de la influencia de otros factores sobre la puntuación...........298

5.1. Influencia de la variable curso sobre la puntuación.............298

5.2. Fiabilidad de la prueba: Influencia de la variable mitad sobre

la puntuación...........................................................................301

5.3. Análisis individual de los ítems de la prueba de estimación 303

6. Resultados del análisis de varianza para la variable dependiente tiempo

de respuesta.......................................................................................306

6.1. Resultados generales del análisis de varianza para la variable

dependiente tiempo de respuesta...........................................308

6.2. Estudio de la influencia del factor operación sobre la variable

dependiente tiempo de respuesta...........................................309

6.3. Estudio de la influencia del factor tipo de número sobre la

variable dependiente tiempo de respuesta............................311

6.4. Estudio de la influencia de la interacción entre los factores

operación y número sobre la variable dependiente tiempo de

respuesta..................................................................................313

6.5. Estudio de la influencia del factor ‘Curso’ sobre la variable

dependiente ‘Tiempo de respuesta’........................................315

6.6. Relación entre la puntuación media de los sujetos y su tiempo

medio de respuesta..................................................................318

6.7. Relación entre la puntuación media de los ítems y su tiempo

medio de respuesta..................................................................318

Capítulo 6. Análisis de destrezas, conocimientos y procesos metacognitivos y

estrategias.......................................................................................321

1. Destrezas implicadas en los procesos de estimación............................322

1.1. Cifras significativas y orden de magnitud de un número.....323

1.2. Modo de determinar las cifras del resultado.........................324

1.2.1. Hechos Numéricos (HN).............................................324

1.2.2. Algoritmo (ALG).........................................................326

1.2.3. Fracciones (FRA).........................................................327

1.2.4. Algoritmo Alternativo (ALT).....................................328

1.3. Modo de operar la coma decimal...........................................329

1.3.1. Multiplicación por potencias de diez (Coma 1).........330

1.3.2. Aplicación de una destreza de aproximación (Coma 2)

......................................................................................333

1.3.3. Sustitución de un decimal por una fracción (Coma 3)

......................................................................................334

2. Resultados del análisis de conocimientos y procesos metacognitivos 336

2.1. Conocimiento metacognitivo.................................................336

2.1.1. Conocimiento metacognitivo de persona (MKP)......336

2.1.2. Conocimiento metacognitivo de persona y tarea

(MKPT) .......................................................................337

2.1.3. Conocimiento metacognitivo de tarea (MKT)...........339

2.1.4. Conocimiento metacognitivo de tarea y estrategia

(MKTS) .......................................................................340

2.2. Control metacognitivo: Monitorización..................................341

2.2.1. Pensar que hay un error en la representación del

problema (MMER)......................................................342

2.2.2. Pensar que hay un error en la ejecución de una

estrategia (MMES).......................................................343

2.2.3. Pensar que se ha cometido un error en la estimación

final (MMEG)..............................................................345

2.2.4. Evaluación del estado actual de la persona (MMP)...346

2.2.5. Evaluación de la aplicación de una estrategia (MMS)

......................................................................................347

2.3. Control metacognitivo: Regulación.......................................350

2.3.1. Cambio en la destreza de aproximación (MRC1)......351

2.3.2. Cambio en el grado de aproximación (MRC2) .........353

2.3.3. Cambio en la forma de operar la coma decimal (MRC3)

......................................................................................354

2.3.4. Cambio en el modo de determinar las cifras del

resultado (MRC4)........................................................356

2.3.5. Cambio de orden en la operación (MRC5) ...............357

2.3.6. Repetición de los números que intervienen en un

cálculo (MRRN)..........................................................358

2.3.7. Repetición de un cálculo (MRRC).............................359

2.3.8. Repetición del ajuste del valor posicional (MRRA). .360

2.3.9. Repetición global de todo el proceso de estimación

empleando el mismo enfoque (MRRG).....................362

3. Análisis de estrategias de estimación ...................................................364

3.1. Estrategias 'básicas' de estimación.........................................368

3.1.1. Primeros dígitos..........................................................368

3.1.2. Fracciones....................................................................375

3.1.3. Algoritmo alternativo.................................................378

3.2. Configuraciones de las redes sistémicas que no corresponden a

estrategias de estimación........................................................382

3.2.1. La imitación del algoritmo escrito.............................383

3.2.2. Adivinación (no educada)...........................................388

3.2.3. La renuncia a resolver.................................................392

3.3. Las frecuencias en el uso de las estrategias............................393

Capítulo 7. Análisis de errores e imprecisiones.................................................395

1. Un esquema para la clasificación de los errores en tareas de estimación

...........................................................................................................395

1.1. Marco teórico de Hiebert y Wearne (1986) para las

operaciones con números decimales......................................396

1.2. Relación del marco para el análisis de errores con el modelo

RTC..........................................................................................397

2. Resultados del análisis de errores..........................................................400

2.1. Errores en la fase de interpretación.......................................401

2.1.1. Error en la sustitución (SU)........................................401

2.1.2. Imprecisión en la destreza de aproximación (IA).....405

2.1.3. Estimación con datos u operación diferentes de los

propuestos (DI)............................................................407

2.1.4. Error en la traducción por cambio de operación (TO)

......................................................................................410

2.1.5. Error en la traducción por cambio de orden en los

datos (TD) ...................................................................412

2.1.6. Error en el sentido de la compensación previa al

cálculo (CO).................................................................413

2.1.7. Imprecisión en la intensidad de la compensación

previa al cálculo (CI)...................................................415

1.1. Errores en la fase de ejecución...............................................416

1.1.1. Error en la imitación del algoritmo escrito (IA)........417

1.1.2. Error en la recuperación de un hecho numérico (HN)

......................................................................................420

1.1.3. Error en el conteo de los ceros (PV1) .......................422

1.1.4. Omisión de los ceros en el ajuste del valor posicional

(PV2)............................................................................425

1.1.5. Error de falta de recuperación de la coma decimal

(PV3) ...........................................................................426

1.1.6. Error por falta de coordinación entre la destreza de

aproximación y las reglas para operar el punto decimal

(PV4) ...........................................................................427

1.1.7. Recuperación impropia de la coma decimal en la

división (PV5)..............................................................429

1.1.8. Error de operar la coma decimal en la división como en

la multiplicación (PV6) ..............................................432

1.1.9. Error en la determinación del valor posicional de la

primera cifra del cociente (PV7)................................433

1.1.10. Error de 0,0 en lugar de 0, en la división (PV8) .......435

1.2. Errores en la fase de evaluación.............................................437

1.2.1. Otros errores, imprecisiones, y 'fallos' (OT) .............440

1.3. Resumen sobre los errores encontrados en este trabajo.......444

1.4. Cálculo de κ, como medida de concordancia entre los dos

codificadores...........................................................................447

Capítulo 8. Conclusiones e implicaciones..........................................................453

1. Conclusiones sobre el análisis de datos cuantitativos..........................454

1.1. Dificultad de las tareas de estimación según el tipo de

operación.................................................................................454

1.2. Dificultad de las tareas de estimación según el tipo de número

.................................................................................................458

2. Valoración del modelo de estrategias...................................................460

3. Valoración del modelo de errores en estimación en comparación con

investigaciones anteriores................................................................464

3.1. Un trabajo pionero sobre errores en estimación: Levine (1980)

.................................................................................................465

3.1.1. Ausencia de consideración de errores en la fase de

evaluación....................................................................479

3.2. Los errores en estimación en Pañellas (2004).......................481

3.2.1. Análisis de tipos de errores en Pañellas.....................483

3.2.2. Análisis de las categorías de error en Pañellas (2004)

......................................................................................488

3.3. Errores en estimación versus errores en cálculo mental: El

trabajo de Gómez (1995).........................................................494

3.4. Errores en estimación y cálculo mental en otras

investigaciones........................................................................498

4. Implicaciones para la investigación......................................................501

4.1. La evaluación de la estimación...............................................501

4.2. Las dificultades en estimación y las 'redes de dificultades'...506

5. Sugerencias finales e implicaciones para la docencia..........................512

5.1. Sugerencias finales para la docencia......................................512

5.2. Implicaciones para la docencia...............................................517

Referencias .........................................................................................................521

Apéndice A: Tablas de datos de la prueba de estimación.................................555

Apéndice B: Programas de las asignaturas.........................................................581

Apéndice C: Tablas de datos de la entrevista.....................................................591

Apéndice D: Transcripción de las entrevistas....................................................595

1.Transcripción..........................................................................................595

Apéndice E: Análisis individual de los ítems de la prueba de estimación.......657

Apéndice F: Análisis de dificultades semióticas................................................701

1.1. Aspectos semióticos de los procesos de estimación...............702

1.2. Un ejemplo de análisis semiótico...........................................705

1.3. Resultados del análisis de dificultades semióticas.................707

1.3.1. Dificultad semiótica 1: Producción de expresiones que

mezclan registros como resultado de una conversión

incompleta...................................................................707

1.3.2. Dificultad semiótica 2: Confusión de “dividir un

número por una fracción” con “aplicar la fracción

como operador al número”.........................................709

1.3.3. Dificultad semiótica 3: Particularización del significado

de un paso del algoritmo de la división......................711

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Aspecto de una pantalla del programa de estimación......................3

Figura 1.2. Pantalla de evaluación del programa de estimación........................4

Figura 1.3. La metacognición como conocimiento y control metacognitivos 24

Figura 2.1. Fuentes de dificultades y errores en matemáticas (Cockburn, 1999)

...........................................................................................................83

Figura 3.1. Comparación de estimaciones (Star y Rittle-Johnson, 2009, p. 413)

.........................................................................................................194

Figura 5.1. Puntuaciones medias por tipo de operación.................................258

Figura 5.2. Puntuación en función del tipo de operación y curso.................260

Figura 5.3. Puntuación en función del tipo de operación y curso: diagrama de

barras..............................................................................................261

Figura 5.4. Puntuación en función del tipo de operación y mitad del test.. .264

Figura 5.5. Puntuación en función del tipo de operación y mitad del test:

Diagrama de barras........................................................................264

Figura 5.6. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número.

.........................................................................................................266

Figura 5.7. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número.

.........................................................................................................268

Figura 5.8. Puntuación en función del tipo de operación y tipo de número:

Curso 1............................................................................................274


Curso 2............................................................................................274


Curso 3............................................................................................275


Curso 4............................................................................................275


Curso 5............................................................................................276


Ítems impares.................................................................................278


Ítems pares......................................................................................278

Figura 5.15. Puntuación media en función del tipo de número......................280

Figura 5.16. Puntuación en función del tipo de número y curso: Diagrama de

barras..............................................................................................282

Figura 5.17. Puntuación en función del tipo de número y curso....................283

Figura 5.18. Puntuación en función del tipo de número y de la mitad de la

prueba.............................................................................................285

Figura 5.19. Puntuación en función del tipo de número y de la mitad de la

prueba: Diagrama de barras...........................................................286

Figura 5.20. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación:

Diagrama de barras........................................................................288

Figura 5.21. Puntuación en función del tipo de número y tipo de operación.

.........................................................................................................288


Curso 1............................................................................................291


Curso 2............................................................................................292


Curso 3............................................................................................292


Curso 4............................................................................................293


Curso 5............................................................................................293


Ítems impares.................................................................................294


Ítems pares......................................................................................295

Figura 5.29. Puntuación en función del tipo de número y curso: Ítems impares.

.........................................................................................................297

Figura 5.30. Puntuación en función del tipo de número y curso: Ítems pares.

.........................................................................................................297

Figura 5.31. Puntuación media en la prueba de estimación por curso............299

Figura 5.32. Puntuación media en función del curso y de la mitad del test.. .301

Figura 5.33. Puntuación media para cada ítem de la prueba de estimación....304

Figura 5.34. Medias de los tiempos de respuesta para cada ítem de la prueba.

.........................................................................................................308

Figura 5.35. Medias de los tiempos de respuesta para cada tipo de operación.

.........................................................................................................310

Figura 5.36. Medias de los tiempos de respuesta para cada tipo de número.. .312

Figura 5.37. Tiempo medio de respuesta en función del tipo de operación y

número...........................................................................................314

Figura 5.38. Tiempo medio de respuesta en función del tipo de número y

operación........................................................................................314

Figura 5.39. Medias de los tiempos de respuesta según el tipo de operación y el

curso................................................................................................316

Figura 5.40. Medias de los tiempos de respuesta según el tipo de número y el

curso................................................................................................317

Figura 5.41. Gráfico de nube de puntos correspondiente a las puntuaciones

medias de cada alumno y a sus tiempos medios de respuesta......318

Figura 5.42. Gráfico de nube de puntos correspondiente a las puntuaciones

medias de los ítems y a los tiempos medios de respuesta de cada

ítem.................................................................................................319

Figura 6.1. Operación de la coma decimal multiplicando por potencias de

diez..................................................................................................331

Figura 6.2. Operación de la coma decimal aplicando destrezas de

aproximación..................................................................................334

Figura 6.3. Operación de la coma decimal sustituyendo por fracciones.......334

Figura 6.4. Forma de operar la coma decimal.................................................335

Figura 6.5. Red sistémica para las estrategias de estimación..........................367

Figura 6.6. Configuración para la estrategia de “primeros dígitos”................369

Figura 6.7. Ejemplo, en un libro de texto, de la estrategia “primeros dígitos”,

sin sustitución................................................................................372

Figura 6.8. Aplicación de la estrategia en una situación diferente................372

Figura 6.9. Configuración para la estrategia de “fracciones”..........................378

Figura 6.10. Configuración para la estrategia de “algoritmo alternativo”.......381

Figura 6.11. Configuración correspondiente a la “imitación del algoritmo

escrito”............................................................................................383

Figura 6.12. Configuración correspondiente a una “adivinación”...................391

Figura 6.13. Configuración correspondiente a una “renuncia a resolver”.......393

Figura 7.1. Red sistémica para los procesos de estimación, adaptada para los

errores.............................................................................................399

Figura 7.2. Ejecución incorrecta (izquierda) y correcta (derecha) del

algoritmo........................................................................................418

Figura 7.3. Error en el algoritmo de la división..............................................419

Figura 7.4. Red sistémica para el análisis de errores con categorías de errores.

.........................................................................................................447

Figura 8.1. Representación de la operación ¾ ÷ 1/6 con sectores circulares.

.........................................................................................................516

Figura E.1. Estimaciones para el ítem 1...........................................................659


Figura E.3. Ejecuciones correcta e incorrecta del algoritmo de 968 ÷ 24......662


Figura E.5. Algoritmos correcto e incorrecto para 354 ÷ 88...........................664


Figura E.7. Algoritmo de 86 ÷ 222...................................................................666


Figura E.9. Algoritmo de 36 ÷ 258...................................................................668




Figura E.13. Algoritmo de 85,9 ÷ 3,32...............................................................673



Figura E.16. Estimaciones para el ítem 10.........................................................675

Figura E.17. Algoritmo de 9,88 ÷ 25,6. .............................................................676






Figura E.23. Algoritmo de 0,962 ÷ 0,25.............................................................683


















Figura 7.1. Registros de algoritmos..................................................................705

Figura 7.2. Análisis semiótico de un fragmento de transcripción de De Castro

y otros (2002).................................................................................706

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1. Traducciones de ‘misconceptions’ en NCTM (2003).....................51

Tabla 2.2. Obstáculos pensamiento vs. Obstáculos contenido (Bachelard,

1938).................................................................................................59

Tabla 2.3. Taxonomía de usos de errores como trampolines para la

indagación........................................................................................68

Tabla 2.4. Los dos algoritmos y sus características correlativas......................75

Tabla 2.5. Orientaciones para la enseñanza de los números decimales en

Educación Primaria (Adaptadas de Empson y Levi, 2011, pp. 174-

179)...................................................................................................91

Tabla 3.1. Ejemplos de ítems emparejados de estimación y cálculo.............178

Tabla 4.1. Aspectos de réplica en el origen de la investigación....................209

Tabla 4.2. Características de los cursos participantes....................................217

Tabla 4.3. Prueba de estimación.....................................................................225

Tabla 4.4. Tareas de estimación clasificadas por tipo de operación y tipo de

número...........................................................................................225

Tabla 4.5. Análisis de las tareas de estimación empleadas en la prueba.......230

Tabla 5.1. Puntuaciones para cada ítem de la prueba de estimación...........242

Tabla 5.2. Respuestas acabadas en cero para cada ítem de la prueba...........242

Tabla 5.3. Medias de los tiempos de respuesta, y tiempos mínimo y máximo

(en segundos), para los ítems de la prueba de estimación............243

Tabla 5.4. Pruebas de normalidad..................................................................246

Tabla 5.5. Prueba de esfericidad de Mauchly................................................247

Tabla 5.6. Estadísticos descriptivos para puntuaciones correspondientes a

cada ítem de la prueba...................................................................248

Tabla 5.7. Prueba de Box sobre la igualdad de las matrices de covarianza. .249

Tabla 5.8. Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas error.....249

Tabla 5.9. Análisis de varianza. Pruebas de efectos intra-sujetos.................251

Tabla 5.10. Contrastes multivariados para la prueba de estimación...............252

Tabla 5.11. Pruebas de los efectos inter-sujetos..............................................253

Tabla 5.12. Prueba de contrastes intrasujetos (comparación de cada nivel con

el último)........................................................................................254

Tabla 5.13. Prueba de contrastes intrasujetos (comparación de cada nivel con

el siguiente)....................................................................................256

Tabla 5.14. Medias de las puntuaciones por tipo de operación......................258

Tabla 5.15. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “tipo de

operación”.......................................................................................258

Tabla 5.16. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según el tipo de

operación y el curso.......................................................................259

Tabla 5.17. Comparaciones por pares para los niveles de la variable

“operación” para cada curso..........................................................262

Tabla 5.18. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según la

variable ‘mitad’ (ítems pares o impares).......................................263


operación” para cada mitad de la prueba (ítems pares o impares)

.........................................................................................................265

Tabla 5.20. Medias de las puntuaciones según el tipo de operación y el tipo de

número...........................................................................................266

Tabla 5.21. Comparaciones por pares para los niveles de la variable ‘tipo de

operación’ para cada ‘tipo de número’..........................................266

Tabla 5.22. Medias para las combinaciones de niveles de las variables Número

por Operación para cada Curso.....................................................271

Tabla 5.23. Medias de las puntuaciones según el tipo de número, el tipo de

operación y la mitad del test (ítems pares o impares)..................277

Tabla 5.24. Medias de las puntuaciones por tipo de número..........................279


número”..........................................................................................280

Tabla 5.26. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según el tipo de

número y el curso..........................................................................282


número” para cada curso...............................................................284

Tabla 5.28. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación

correspondientes a cada mitad de la prueba de estimación (ítems

pares o impares).............................................................................285


número” para cada mitad de la prueba (ítems pares o impares). .287

Tabla 5.30. Comparaciones por pares para los niveles de la variable “número”

para cada operación.......................................................................289

Tabla 5.31. Medias de las puntuaciones según el tipo de operación, el tipo de

número y la mitad del test (ítems pares o impares).....................294

Tabla 5.32. Puntuación media para la variable Número, para cada Curso y

Mitad del test..................................................................................296

Tabla 5.33. Características de los cursos participantes....................................298

Tabla 5.34. Media de las puntuaciones por curso............................................299

Tabla 5.35. Comparaciones por pares para las medias de la variable ‘Curso’.300

Tabla 5.36. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según la mitad

del test (ítems pares o impares) para cada curso...........................300

Tabla 5.37. Estadísticos descriptivos de la variable puntuación según la mitad

del test (ítems pares o impares).....................................................302

Tabla 5.38. Comparaciones por pares para las medias de la variable Mitad. .302

Tabla 5.39. Medias de las puntuaciones para cada ítem de la prueba de

estimación.......................................................................................303

Tabla 5.40. Prueba de contrastes intrasujetos..................................................305

Tabla 5.41. Medias de los tiempos de respuesta para cada ítem de la prueba de

estimación.......................................................................................307

Tabla 5.42. Análisis de varianza correspondiente a la variable dependiente

“tiempo de respuesta” para la prueba de estimación....................309

Tabla 5.43. Medias de los tiempos de respuesta por tipo de operación..........310


operación”.......................................................................................311

Tabla 5.45. Medias de los tiempos de respuesta por tipo de número.............311


número”..........................................................................................312

Tabla 5.47. Medias de los tiempos de respuesta según el tipo de operación y el

tipo de número...............................................................................313

Tabla 5.48. Medias de los tiempos de respuesta por curso..............................315

Tabla 5.49. Estadísticos descriptivos de la variable Tiempo de respuesta según

el tipo de operación y el curso.......................................................316

Tabla 5.50. Estadísticos descriptivos de la variable Tiempo de respuesta según

el tipo de número y el curso..........................................................317

Tabla 6.1. Diferentes niveles de generalidad para las estrategias de

estimación.......................................................................................366

Tabla 7.1. Resumen de los errores en estimación..........................................444

Tabla 7.2. Matriz de confusión para dos codificadores.................................449

Tabla 8.1. Diferentes niveles de generalidad para las estrategias de

estimación.......................................................................................461

Tabla 8.2. Análisis de estimaciones puntuadas con un cero en la prueba....503

Tabla A.1. Estimaciones de los estudiantes para las tareas de estimación de la

prueba.............................................................................................556

Tabla A.2. Puntuaciones de los estudiantes para las tareas de estimación de la

prueba.............................................................................................562

Tabla A.3. Puntuaciones medias empleadas para el análisis de varianza......565

Tabla A.4. Tiempos de respuesta en segundos para las tareas de estimación de

la prueba.........................................................................................568

Tabla A.5. Medias de los tiempos de respuesta en segundos del análisis de

varianza con el tiempo de respuesta como variable dependiente

.........................................................................................................574

Tabla A.6. Órdenes en que han aparecido las tareas de estimación a cada

sujeto en la prueba de estimación.................................................577

Tabla C.1. Estimaciones de los alumnos en los ítems empleados en la

entrevista: Ítems impares...............................................................591

Tabla C.2. Estimaciones de los alumnos en los ítems empleados en la

entrevista: Ítems pares...................................................................592

Tabla C.3. Tiempos de respuesta en segundos para los ítems impares

empleados en la entrevista............................................................592

Tabla C.4. Tiempos de respuesta en segundos para los ítems pares empleados

en la entrevista...............................................................................593

Tabla C.5. Orden de administración de los ítems impares empleados en la

entrevista........................................................................................593

Tabla C.6. Orden de administración de los ítems pares empleados en la

entrevista........................................................................................594

Tabla E.1. Análisis previo del ítem 1..............................................................658









Tabla E.10. Análisis previo del ítem 10............................................................674















RESUMEN

Estudio transversal con una parte cuantitativa (diseño factorial de medidas

repetidas) en que se analiza la dificultad relativa de tareas de estimación en

cálculo, dependiendo de la operación -multiplicación, división A (dividendo

mayor que divisor), y división B (dividendo menor que divisor)- y número

(naturales, decimales mayores que 1, decimales menores que 1 pero mayores

que 0,1, y decimales menores que 0,1). En la parte cualitativa, con entrevista

semiestructurada, se analizan conocimientos y procesos metacognitivos,

estrategias y errores al estimar.

Participan 131 estudiantes de magisterio; 108 del CSEU La Salle (Universidad

Autónoma de Madrid) y 23 de la Facultad de Educación (Universidad de

Granada). Se administra una prueba de estimación a los participantes.

Resultados: tareas con decimales menores que 0,1 son significativamente más

difíciles que las demás; con decimales menores que 1, más difíciles que con

naturales o decimales mayores que 1; las divisiones B, más difíciles que las

divisiones A.

El estudio cualitativo, a través de entrevistas, muestra en la estimación tres

estrategias básicas: Primeros dígitos, fracciones, y algoritmo alternativo;

actuaciones no consideradas estrategias: Imitación del algoritmo escrito,

adivinación, y renuncia a resolver; y 17 tipos de error: 6 en fase de

interpretación, 10 en la ejecución (8 ajustando el valor posicional), y uno en

fase de evaluación.

Como conclusión, la dificultad fundamental al estimar con decimales radica en

los propios decimales. Entre los errores al estimar, destacan los producidos al

operar la coma decimal. Como campo para futuras investigaciones, se propone

la evaluación de la estimación.

PRESENTACIÓNPRESENTACIÓNPRESENTACIÓNPRESENTACIÓN

El trabajo que aquí se presenta es la Memoria de TESIS DOCTORAL realizada

por Carlos de Castro Hernández para optar al grado de Doctor en Matemáticas

con especialidad en Didáctica de la Matemática, bajo la dirección de los

doctores Enrique Castro Martínez e Isidoro Segovia Álex, del Departamento de

Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

El contenido del trabajo, resumido en el apartado anterior, está organizado en

capítulos como se indica a continuación. En el capítulo 1 se explica el origen y

la evolución que ha seguido el problema de investigación hasta su definitivo

planteamiento. Después, se tratan algunos aspectos de la estimación que

resultarán importantes para abordar el problema de investigación, como el

grado de aproximación o la precisión de las estimaciones. Se justifica el interés

de la investigación haciendo referencia a documentos curriculares. El capítulo

concluye con los objetivos de la investigación.

El capítulo 2, dedicado a los fundamentos teóricos, está centrado en detallar las

opciones que se han tomado acerca de los términos clave en la presente

investigación. Así, se dedica un espacio considerable a las estrategias en

matemáticas, al error en el aprendizaje de las matemáticas, a las dificultades y,

finalmente, al aprendizaje de los decimales.

El capítulo 3 está dedicado a hacer una completa revisión sobre investigaciones

en estimación dividida en tres periodos: La estimación, antes de 1976, el

periodo ‘dorado’ de investigación sobre estimación (1976-1994), y el periodo

posterior (1994-2011).

El capítulo 4 presenta el marco metodológico y el diseño de la investigación.

En él se caracteriza la investigación, se proponen las hipótesis, se describe el

método, con los participantes, el periodo de instrucción sobre estimación, y los

instrumentos (prueba de estimación y entrevistas), así como el modo de

administración de los mismos y detalles relativos a fiabilidad y validez.

El capítulo 5 constituye la parte cuantitativa del estudio. En él se describen,

analizan e interpretan los resultados de la aplicación de la prueba de

estimación. Tras el planteamiento de las técnicas estadísticas, con sus hipótesis

estadísticas y la comprobación de los supuestos del análisis, se estudia primero

la influencia de los factores ‘tipo de operación’, ‘tipo de número’, y ‘curso’ sobre

la variable dependiente ‘puntuación’, así como sus posibles interacciones. El

último apartado del capítulo está dedicado al estudio de la variable dependiente

‘tiempo de respuesta’.

El capítulo 6 comienza la parte cualitativa de la investigación. Está dividido en

tres partes que tratan, respectivamente, el estudio de las destrezas de

estimación, los conocimientos y procesos metacognitivos y, finalmente,

basándonos en estos elementos anteriores, se pasa al estudio de las estrategias

de estimación. En el capítulo 7 se realiza el análisis de errores e imprecisiones

en la estimación, que completa el análisis cualitativo de la tesis y complementa

los resultados descritos en el capítulo 5 de la prueba de estimación.

El capítulo 8, con las conclusiones e implicaciones, cierra el cuerpo del

presente trabajo, realizando una revisión global sobre el proceso de

investigación. Tras las conclusiones, se proponen dos temas de investigación

que han ido surgiendo a lo largo del trabajo y ofrecen interés de cara a estudios

futuros: Las redes de dificultades y errores, y la evaluación de la estimación. El

capítulo finaliza con una reflexión sobre las implicaciones para la docencia.

Para finalizar, tras el preceptivo apartado de referencias, seis apéndices

completan el trabajo: El Apéndice A incluye las tablas de datos de la prueba de

estimación, con las estimaciones dadas por los participantes para cada ítem de

la prueba, sus correspondientes puntuaciones y tiempos de respuesta, y los

órdenes en que aparecieron los ítems al administrar la prueba a cada

estudiante. El Apéndice B recoge los programas de las asignaturas que cursaron

algunos de los cinco grupos de alumnos participantes (en particular, todos los

alumnos seleccionados para las entrevistas). Dentro de dichas asignaturas, se

desarrolló el periodo de instrucción sobre estimación que siguieron una parte

de los participantes. Los Apéndices C y D están dedicados a suministrar toda la

información relativa a las entrevistas, con los datos (estimaciones, tiempos de

respuesta, órdenes) correspondientes a las respuestas de los alumnos y las

transcripciones completas de las entrevistas que incluyen los protocolos de

pensar en voz alta de los participantes al realizar sus estimaciones. En cuanto al

Apéndice E, podría haber constituido otro capítulo de la tesis, pero se ha

optado finalmente por introducirlo como material complementario. En él

aparece un análisis de cada uno de los ítems de la prueba de estimación,

estudiando las estimaciones dadas por los alumnos e incluyendo reflexiones

importantes sobre el uso del porcentaje de error para evaluar la estimación, e

incluso para decidir sobre la precisión de las estimaciones. El análisis individual

de cada ítem ofrece ideas interesantes para formular nuevas hipótesis de cara a

futuros estudios; en especial, sobre la evaluación de la estimación.

Por último, el apéndice F está dedicado al análisis de las dificultades semióticas.

Este aspecto de las dificultades queda abierto para futuras investigaciones, al

igual que el tema de las redes de dificultades y errores.

CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO DEL

PROBLEMA

El trabajo de investigación que aquí se presenta tiene por título “Estimación en

cálculo con números decimales: Dificultad de las tareas y análisis de estrategias

y errores con maestros en formación”. Este primer capítulo comienza con una

reseña sobre el nacimiento, evolución, y progresivo refinamiento que ha

experimentado el problema de investigación hasta llegar a su definición final.

A continuación, se procede a revisar algunos aspectos relacionados con la

estimación, que tienen especial interés para el trabajo de investigación que aquí

se desarrolla. Comenzaré con la idea de estimación, en sus diversas variantes,

considerando la estimación dentro del campo de la resolución de problemas y

del sentido numérico, y justificando el interés de investigar en este campo.

Después me centraré en dos aspectos clave: la relación que se establece entre la

estimación y el valor matemático del control, relación que se materializa a

través del porcentaje de error de una estimación y, por otra parte, en aquellas

destrezas (como las de aproximación, con sus diferentes grados de

aproximación y las de ajuste del valor posicional) que resultan clave para

entender los procesos metacognitivos y las estrategias que serán estudiados en

el capítulo 6 de este trabajo. La revisión que se hace sobre la estimación no es

exhaustiva. En este sentido, se remite al lector interesado en revisar otros

aspectos de la estimación a los trabajos: De Castro (2002a), D’Hainaut (1978),

Segovia, Castro, Castro y Rico (1989) o Schoen y Zweng (1986). Este primer

capítulo concluirá con la exposición de los objetivos de la investigación.

Estimación en cálculo con números decimales

1. INTRODUCCIÓN: ORIGEN Y DELIMITACIÓN DEL

PROBLEMA A INVESTIGAR

El problema de investigación surge dentro de los cursos de doctorado del

Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

Posteriormente, ha ido evolucionando dentro del ámbito del Grupo de

Pensamiento Numérico y Algebraico (PNA), perteneciente a la Sociedad

Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM).

1.1. 1.1. 1.1. 1.1. Un problema docente en el inicioUn problema docente en el inicioUn problema docente en el inicioUn problema docente en el inicio

En principio, la opción por el campo de la estimación en cálculo, surge del

descubrimiento de la estimación, como contenido matemático1 para la

enseñanza de las matemáticas en la Educación Primaria y, en consecuencia,

como contenido de la formación inicial matemático-didáctica de los maestros.

La lectura de los trabajos de Segovia (1986), Segovia (1996), Segovia (1997), y

Segovia, Castro, Castro y Rico (1989), realizada durante los cursos de doctorado

en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de

Granada, fue canalizando mi interés hacia el ámbito de la estimación.

En aquel momento, se me planteaba un problema docente2: ¿Cómo incluir la

enseñanza de la estimación dentro de la asignatura de ‘Matemáticas y su

Didáctica’? El problema, planteado en términos ingenuos, era: Supuesto que los

alumnos tienden a estudiar menos (o a no estudiar) aquellos contenidos que

1Como estudiante, nunca había estudiado estimación, y desconocía que la estimación estuviese

incluida en el currículo de matemáticas de la Educación Primaria.

2 Dado que simultaneaba los cursos de doctorado con mi trabajo como profesor de las

asignaturas de Didáctica de las Matemáticas, en las titulaciones de Magisterio que se imparten

en el Centro Superior de Estudios Universitarios La Salle (Centro privado adscrito a la

Universidad Autónoma de Madrid).

Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada

2

Capítulo 1. Planteamiento del problema

saben que no se evalúan, ¿cómo puedo hacer para evaluar la estimación, de

modo que pueda incluirla, y sea estudiada por los alumnos, en la asignatura de

Matemáticas y su Didáctica?

La respuesta a aquel problema docente consistió en la elaboración de un

programa de ordenador para la evaluación de la estimación3 (Figuras 1.1 y 1.2).

Los alumnos podían llevarse el programa4 a casa y trabajar con él. El programa

solicitaba 20 estimaciones y contenía 5 multiplicaciones, 5 divisiones, 2 sumas

de 4 números cada una, un problema de paso de euros a pesetas, otro de paso de

pesetas a euros, 3 problemas de porcentajes y 3 problemas de regla de tres (ver

ejemplos de tareas en la Figura 1.2). Cada vez que se ejecutaba el programa, los

números que aparecen en las operaciones y las cantidades de los problemas

variaban aleatoriamente, dentro de ciertos márgenes, mientras que el texto de

los problemas se mantenía inalterado.

Figura 1.1. Aspecto de una pantalla del programa de estimación

Después de haber contestado las 20 preguntas, aparecía una pantalla de

evaluación que permitía a los alumnos disponer de: los problemas propuestos,

sus propias estimaciones, el porcentaje de error de cada estimación, la

3 Dicho programa, diseñado con Excel, está descrito en De Castro (2002), en el apéndice E (pp.

307-310).

4Al estar elaborado con Excel el programa de estimación, prácticamente todos los alumnos

podían utilizarlo en su casa o practicar con él en el aula de ordenadores del Centro.


3


puntuación correspondiente a la estimación5, el tiempo de respuesta en

segundos, y las calificaciones en aproximación, rapidez y la calificación media,

que trataba de valorar globalmente su destreza en la estimación (Figura 1.2).

Figura 1.2. Pantalla de evaluación del programa de estimación

La calificación media que se daba a los alumnos en la prueba era una media

ponderada que tenía en cuenta la rapidez y la precisión de la estimación. Los

alumnos, a través de la práctica con el programa, tendían a buscar un buen

equilibrio entre estos dos aspectos, con la información que les daba la prueba

de estimación.

Después de practicar con el programa de estimación fuera del aula, los alumnos

realizaban una (o varias pruebas) con el mismo programa en el aula de

5 Siguiendo el sistema de puntuación de Levine (1982): tres puntos, si el porcentaje de error es

menor o igual que el 10%; dos puntos, si el porcentaje de error es mayor que el 10% y menor o

igual que el 20%; un punto, si el porcentaje de error estaba entre el 20% y el 30%; cero puntos,

si el porcentaje de error era superior al 30%.


4


ordenadores del Centro. Los alumnos podían repetir su prueba cuantas veces

quisieran. Al final recibían como calificación en estimación la mediana de las

diferentes calificaciones obtenidas en las pruebas realizadas.

La calificación en estimación era tenida en cuenta como una de las notas de la

asignatura que, junto a las de los exámenes (parcial y final), y las de otros

trabajos propuestos, configuraban la evaluación de la asignatura.

1.2. 1.2. 1.2. 1.2. Del problema docente al problema inicial de investigaciónDel problema docente al problema inicial de investigaciónDel problema docente al problema inicial de investigaciónDel problema docente al problema inicial de investigación

La preceptiva elaboración de la Memoria de Tercer Ciclo (De Castro, 2002),

dentro de los cursos de doctorado, supuso la transformación del problema

docente en un problema de investigación. En ese momento, junto con los

trabajos de estimación citados en el apartado anterior, resultaron especialmente

relevantes las investigaciones del profesor Enrique Castro Martínez sobre

problemas de estructura multiplicativa (Castro, 1991; Castro, 1995; y Castro y

Castro, 1996). Algunos de los resultados, descritos en la revisión de la literatura

en estos dos trabajos, hacían referencia a las dificultades que experimentaban

alumnos de distintas edades, en el ámbito de la resolución de problemas,

cuando en éstos aparecían números decimales menores que uno. Esta

problemática había sido también descrita en trabajos sobre estimación en

cálculo (Levine, 1980 y 1982; Markovits y Sowder, 1994; y Morgan, 1989 y

1990). En esta situación, el objetivo principal de la Memoria de tercer ciclo fue

“estudiar la dificultad relativa de tareas de estimación de multiplicación y

división en función del tipo de número (natural, decimal mayor que uno, o

decimal menor que uno) que en ellas aparecía” (De Castro, 2002). En este

estudio piloto se utiliza el Test de Levine (1980, 1982) y se confirma la

hipótesis inicial de que estimar con números decimales menores que uno es

significativamente más difícil que estimar con decimales mayores que uno o

con números naturales.


5


1.3. 1.3. 1.3. 1.3. El problema de investigación definitivoEl problema de investigación definitivoEl problema de investigación definitivoEl problema de investigación definitivo

Los resultados obtenidos en el estudio piloto (De Castro, 2002) sugirieron

profundizar en esa línea de investigación, diseñando una prueba de estimación

específica6 para abordar los nuevos objetivos del estudio. En este momento de

la evolución del problema de investigación, se añadieron dos distinciones que

prometían ofrecer importantes resultados: En primer lugar, se diferencia entre

la división de un número por otro menor, y la división de un número por otro

mayor, siendo esta última más difícil de conceptualizar, según la revisión de la

literatura efectuada. En segundo lugar, se distingue, dentro de los decimales

menores que uno, entre los mayores y los menores de 0,1. Los decimales

menores que 0,1, podían producir una dificultad añadida por no resultar tan

'familiares', por aumentar la complejidad de los cálculos, etc.

Además de estas distinciones que guiaron el diseño del test definitivo, en De

Castro (2002) se había realizado un análisis de estrategias de estimación. Para

completar el estudio actual, pareció interesante profundizar en el análisis de las

estrategias de estimación, incorporando previamente a estas el análisis de

conocimientos y procesos metacognitivos y, además, añadir el análisis de

errores en estimación, que proporcionara una visión complementaria a la

puesta de manifiesto por el análisis estadístico sobre la dificultad de las tareas

de estimación en función del tipo de operación y del tipo de número. También

se decidió incluir un análisis de dificultades semióticas para ejemplificar con

ellas la diferencia teórica establecida aquí entre la dificultad y el error. Todos

estos aspectos tratados en la investigación aparecen detallados al final del

presente capítulo, en los objetivos de la investigación.

6 Como se ha comentado, en De Castro (2002) se utiliza el Test de Levine (1980, 1982). Esta

prueba contiene todos los tipos de número y de operaciones de interés para una primera

aproximación al problema, pero no estaba diseñada a propósito para el mismo.


6


2. LA ESTIMACIÓN EN CÁLCULO: ASPECTOS

FUNDAMENTALES PARA LA INVESTIGACIÓN

Voy a comenzar por delimitar el ámbito de estudio de la estimación y a

considerar su inclusión dentro de la intersección de dos campos de

investigación: la resolución de problemas y el sentido numérico. Después se

justificará el interés actual de realizar una investigación sobre estimación,

haciendo referencia a varios documentos curriculares de actualidad y con gran

relevancia internacional. Luego, introduciré la distinción clave entre

estimación y aproximación, para después considerar los procesos de estimación,

y las destrezas que intervienen en la estimación como los 'ingredientes' de las

estrategias. Se finalizará con la exposición acerca del modelo cognitivo-

metacognitivo, basado en las fases de resolución de problemas y en el modelo

RTC de Reys y otros (1982), como base para el análisis cualitativo que se

realizará en los capítulos 6 y 7.

2.1. 2.1. 2.1. 2.1. La estimación como campo de estudioLa estimación como campo de estudioLa estimación como campo de estudioLa estimación como campo de estudio

La definición general de estimación que asumo como punto de partida es la de

Segovia, Castro, Rico y Castro (1989): "Juicio sobre el valor del resultado de una

operación numérica o de la medida de una cantidad, en función de

circunstancias individuales del que lo emite" (p. 18). Dentro de la estimación,

Segovia (1997, p. 18) y Segovia y otros (1989, p. 15) diferencian entre la

estimación en cálculo, referida a "las operaciones aritméticas y a los juicios que

pueden establecerse sobre sus resultados" y a la estimación en medida, referida

a su vez a "los juicios que pueden establecerse sobre el valor de una

determinada cantidad o bien la valoración que puede hacerse sobre el resultado

de una medida". Segovia (1997) distingue, dentro de la estimación en medida,


7


para el caso de las magnitudes discretas, la estimación de la numerosidad de

cantidades discretas, aspecto sobre el cual versa su investigación. Parece haber

acuerdo en esta división dentro de la estimación. Hogan y Brezinski (2003)

elaboraron pruebas para medir la habilidad en estos tres tipos de estimación y

encontraron una correlación positiva entre las puntuaciones de la estimación

en medida (de cantidades continuas) y la estimación de numerosidades y, por

otro lado, y sin correlación positiva con ellas, la habilidad de estimar resultados

de cálculos, que sí mostraba correlación positiva con el razonamiento

cuantitativo y la habilidad en el manejo de números.

En esta investigación, centrada en la estimación en cálculo, considero esta

dentro del campo de la resolución de problemas y fuertemente vinculada al

sentido numérico (De Castro, 2002; Segovia y otros, 1989), como se verá en el

próximo apartado.

2.2. 2.2. 2.2. 2.2. Estimación y resolución de problemasEstimación y resolución de problemasEstimación y resolución de problemasEstimación y resolución de problemas

En la investigación que se presenta, se trata de estudiar la actuación de

estudiantes de magisterio ante tareas de estimación del tipo: 9,88 ÷ 25,6. En el

momento de buscar un marco apropiado para considerar este tipo de tareas,

podría optarse en principio por considerar las tareas de estimación dentro del

ámbito del estudio de algoritmos del cálculo o dentro de un marco más amplio.

Al ser las operaciones planteadas para estimar, multiplicaciones y divisiones de

números, fuera de cualquier contexto práctico, podría parecer más correcto

enfocar la estimación dentro del ámbito de los algoritmos. Sin embargo, la

revisión de la literatura sobre estimación hace apuntar lo contrario: Considerar

la estimación dentro del campo de la resolución de problemas. En este sentido,

Markovits (1987) indica que, incluso cuando una aproximación por medio de

algoritmos es la más adecuada para dar una estimación, “podría haber varios

algoritmos diferentes apropiados para resolver problemas aparentemente


8


similares […] y la elección del algoritmo requiere juicio y decisión” (p. 94).

Por otra parte, la relación entre la estimación en cálculo y la resolución de

problemas ha sido puesta de manifiesto por varios investigadores en el campo

de la Educación Matemática (Rubenstein, 1982). Por ejemplo, O’Daffer7 (1979)

y Polya (1965)8 piensan que tratar de dar una estimación para la solución de un

problema puede servir de motivación a los alumnos para buscar la respuesta

exacta. La estimación también aparece en el modelo de

tesis carlos de castro - weebly · 4.1. algunos aspectos sobre la enseñanza de los números...

Documents