The History of the Fast

Fourier Transform

翟旭平 整理

2009.6

The application of DFT

Discrete Fourier Transform (DFT) 离散傅立叶变换 特点：获取频谱、频率成分，以及使离散卷积和相关计算更容易。

Applications Spectral analysis 信号频谱分析

Data compression 数据压缩

Partial differential equations 计算偏微分方程

Polynomial multiplication 多项式乘积Joseph Fourier (1768 –1830)

FFT 的提出DFT 最大的缺陷：计算复杂度太大 Fast Fourier Transform (FFT)

是一种高效地计算 DFT的方法。 军事上，工程上都需要这种高效性。

J. W. Cooley and J. W. Tukey,

An algorithm for machine calculation of complex Fourier series,1965

FFT 开始大规模应用于数字信号处理，数值分析等领域 比较：使用 DFT 计算需要 N2次计算，而使用 FFT仅仅需要 N*logN。 For example: In 1969, the 2048 point analysis of a seismic trace took

13 ½ hours. Using the FFT, the same task on the same machine took

2.4 seconds!

高效计算 DFT 的根源

H. H. GOLDSTINE, 1977

A History of Numerical Analysis from the 16th Through the 19th Century ，

考究高效计算 DFT 的根源可追溯到：

CARL FRIEDRICH GAUSS,

提出了一种类似于 FFT 的快速计算傅立叶级数系数的算法， 1805 年。 但当时没有公开出版，只是在手稿中发现。

比人们之前了解的，提出高效傅立叶级数计算的时间提早 100 多年。

高斯理论的背景（一）

LEONHARD EULER (1707--1783)

历史上最伟大的数学家之一。

欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种

参数的表达式的人，例如： y = f(x) 。 他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。

给出了一个用实变量函数表示傅立叶级数系数的方程；

用三角级数来描述离散声音在弹性媒介中传播，

发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。

高斯理论的背景（二）

Joseph Louis Lagrange （ 1736 –1813 ）

法国籍意大利裔数学家和天文学家

著名的拉格朗日中值定理

拉格朗日力学等

值得一提的是，欧拉十分看重这位数学家

他主要关注于轨道力学的计算与检测，

使用内插理论来判断行星轨迹。

内插是数学领域数值分析中的通过已知的

离散数据求未知数据的过程或方法。

An interpolation approach to orbit determination使用内插法检测行星轨道

一个偶数周期的函数 f(x) ，可以用有限的三角级数描述为

问题是要从 N 的值求出系数 {ak}

解决：令 f(x) 等于在横坐标 {xn} 上观察到的值， 那么系数 {ak} 可以通过观察到的 f(x) 的 DFT

求得。

1

0

( ) cos 2 , 0 1.N

kk

f x a kx

x

关于 Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

A German mathematician and scientist who contributed significantly to many fields, including number theory （数学理论） statistics （统计学） , analysis （解析学 ), differential geometry （微分几何学） , geodesy( 大地测量学） , electrostatics （静电学） , astronomy （天文学） and optics （光学） .

1+2+…+100 的故事Gauss 的作品不是很多，因为对出版十分慎重。也就是他所追求的“ few, but ripe” 。 其实这些手稿里面含有许多重要的发现，包括高效的傅立叶变换计算等。Mathematical historian Eric Temple Bell estimated that had Gauss timely published all of his discoveries, Gauss would have advanced mathematics by fifty years.

The research of Gauss

在某种情况下，天文学计算（也是现在 FFT 应用的领域之一）与等距观察的有限集中的行星轨道的内插值有关。

由于当时计算都是靠手工，所以产生一种快速算法的迫切需要。

而且，更少的计算量同时也代表着错误的机会更少， 正确性更高。高斯发现，一个富氏级数有宽度 N=N1*N2，可以分成几

个部分。计算 N2 子样本 DFT 的 N1 长度和 N1子样本 DFT的 N2 长度。

Dating of Gauss' Work on the FFT Theoria

April, 1777 出生于 Brunswick

September,1795 在哥丁根学习，读到拉格朗日的著作

November,1796 读到方程的插值法

December,1796 读到三角函数公式序列

September,1798 完成大学学业，回到 Brunswick

December,1804 与贝塞尔通信，共同关注插值法问题

March,1805致信天文学家奥耳贝斯，证明 Jono 小行星的轨道的偏心率，最早与 FFT 相关的内容

November,1805 更多关于插值法的研究，但并未出版

July,1806给出 0.2549441 的偏心率值，故关于 FFT 的专著完成时间应该早于这个时间

June,1816一学生致信高斯，有关于其插值法的手稿，希望出版，但高斯并未如此做

G. C. Danielson and Cornelius Lanczos

Some Improvements in Practical Fourier Analysis and their Application to X-ray Scattering from Liquids (1942).

X-ray 晶体学，也是当今 FFT 应用的一个重要领域。 他们提出的 Doubling Trick 显示，怎样通过额外计算，将 2N 点的 DFT减少为 N 点

的 2 个 DFT 。计算 N 点的 DFT 需要的时间大致为 0.37*NlogN ，时间大大节省。 举例来说， 10 分钟计算 8 个系数， 25 分钟 16 个系数。

FFT 的正式提出

直到 1965 年， Cooley 和 Tukey 在《计算机科学 》发表著名的《机器计算傅立叶级数的一种算法》论文，FFT 才开始大规模应用。

那个年代，有个肯尼迪总统科学咨询委员会。其中有项研究主题是，对苏联核测试进行检测， Tukey 就是其中一员。

美国 /苏联核测试提案的批准，主要取决于不实地访问核测试设施而做出检测的方法的发展。

其中一个想法是，分析离海岸的地震计情况，这种计算需要快速算法来计算 DFT 。其它应用是国家安全，如用声学探测远距离的核潜艇。

所以在军事上，迫切需要一种快速的傅立叶变换算法， 这也促进了 FFT 的正式提出。

FFT 的继续改进

之后，桑德（ G.Sand ） -图基等快速算法相继出现，几经改进，很快形成了一套高效运算方法，这就是现在的快速傅立叶变换（ FFT ）。这种算法使 DFT 的运算效率提高 1 到 2 个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了良好的条件，大大推进了数学信号处理技术。 1984年，法国的杜哈梅（ P.Dohame

l ）和霍尔曼（ H.Hollamann ）提出的分裂基块快速算法，使运算效率进一步提高。

Advanced FFT is still developing…

Principal Discoveries of Efficient Methods of Computing the DFT （部分）

研究者 时间 序列长度 DFT 值的数目 应用

GAUSS 1805 任意整数 All 天文学插值计算

CARLINI 1828 12 7 大气压谐波分析

EVERETT 1860 12 5 地下温度建模

DANIELSON & LANCZOS

1942 2n All X-ray 晶体衍射

COOLEY

& TUKEY1965

一定条件下的任意整数 All 函数谐波分析

WINOGRAD 1976任意混合整数

All 谐波分析复杂理论

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