the hydrogen atom quantum number -...

The Hydrogen Atom—Quantum Number

Hydrogen-atom wave function

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )lmr R r R r Y\ T I T I T I 4 )

Depend on r only Depend on zenith and azimuth angle only

n = 1,2,3,4,… ไดม้าจากการแกส้มการเพื่อหาR(r)l = 0,1,2,3,…,n-1 ไดม้าจากการแกส้มการเพื่อหาΘ(θ)ml = -l, -l+1,…,0,1,…,l-1,l ไดม้าจากการแกส้มการเพื่อหาΦ(φ)

ในบางคร้ังจะใชต้วัอกัษรแทนตวัเลขในการแทนคา่ ll = 0 1 2 3 4 5 6 …

s p d f g h i

Note: อิเลกตรอนที่อยู่ในสภาวะ l จะมีขนาดของ orbital angular momentum เท่ากับ

และมี orbital angular momentum ในแกน z เท่ากับ

การเรียก shell และ subshell

Shell: n = 1 2 3 4 5 6 ...

Subshell: l = 0 1 2 3 4 …

s p d f g …

บางสภาวะจะเป็นไปไม่ได ้เช่น สภาวะ 2d (จะไดเ้รียนรายละเอยีดในหน้าถดัไป)

name Allowed Value จ ำนวนค่ำprinciple quantum number, n 1,2,3,….. ค่ำใดๆOrbital quantum number, l 0,1,2,3,….n-1 nOrbital magnetic quantum number, ml -l,-l+1,……., l-1, l 2l+1spin, m -1/2, +1/2 2s

Orbital angular momentum

spin

ตวัอยา่ง orbital states ของ hydrogen atom ท่ีมี principle quantum number n=1, 2 และ 3n = 1,2,3,4,… Integer, n>0l = 0,1,2,3,…,n-1 Integer, number Æ n, 0 ≤ l < nml = -l, -l+1,…,0,1,…,l-1,l Integer, number Æ2l+1, |ml|≤ l

n l ml

1 0 0 1s

2 0 0 2s

1 -1 2p

0

1

3 0 0 3s

1 -1 3p

0

1

2 -2 3d

-1

0

1

2

The Hydrogen Atom—Wave function

( , , ) ( ) ( ) ( )r R r\ T I T I 4 )n l ml Φ(φ) Θ(θ) R(r) ψ(r, φ, θ)

1 0 0

2 0 0

1 0

1

3 0 0

1 0

1

2 0

2

2

1r

1r

1r

2r

12121212121212121212

i

i

i

i

e

e

e

e

I

I

I

I

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

r

r

r

r

2

2

12

126 cos

23 sin

2126 cos

23 sin

210 (3cos 1)415 sin cos215 sin4

T

T

T

T

T

T T

T

�

0

0

0

0

0

0

0

0

0

/3/2

/3/2

0

/23/2

0

/23/2

02

/223/2

0 0

/33/2

0 0

/33/2

0 02

/323/2

02

/323/2

02

3/2

2

1 (2 )2 2

12 6

12 6

1 (27 18 2 )81 3

4 (6 )81 6

4 (6 )81 6

481 30

481 30

481 30

r a

r a

r a

r a

r a

r a

r a

r a

r a

ea

r eaa

r eaar eaa

r r ea aa

r r ea aar r ea aa

r eaar eaar

a

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

�

�

0/32

0

r aea

�

0

0

0

0

0

0

0

/3/20

/23/2

00

/23/2

00

/23/2

002

/323/2

0 00

/33/2

0 00

/33/2

0 002

23/200

1

1 (2 )4 2

1 cos4 2

1 sin8

1 (27 18 2 )81 3

2 (6 ) cos81

1 (6 ) sin81

181 6

r a

r a

r a

r a i

r a

r a

r a i

ea

r eaa

r eaar e eaa

r r ea aa

r r ea aar r e ea aa

r eaa

I

I

S

S

TS

TS

S

TS

TS

S

�

�

�

� r

�

�

� r

�

�

� �

�

�

0

0

0

/3 2

2/3

23/2002

/3 223/200

(3cos 1)

1 sin cos81

1 sin81

r a

r a i

r a i

r e eaar e eaa

I

I

T

T TS

TS

� r

� r

�

The Wave Function of Hydrogen

ถ้าเราไม่ค านึงถึง electron spin แลว้ wave function ของไฮโดรเจนอะตอม(H-atom) ในสภาวะ 1s (สภาวะพืน้, ground state) คอื

0

30

11)( a

r

s ea

r�

S

\

เมื่อ a0 คอื Bohr radius

ค่า เมื่อ และจะเป็นค่า normalized01 os\ for

ค่า จะขึน้กบัค่า r หรือว่ามลีกัษณะเป็น spherical symmetry ซึง่เป็นจริงส าหรบัทุก s-state

s1\

ส าหรบัโอกาสทีจ่ะพบ electron ในบริเวณใดๆจะมค่ีาเท่ากบั probability density ที ่ณ.บริเวณนัน้ ส าหรบัค่า probability density ส าหรบั 1s-state คอื

2\

0

2

30

21

1 ar

s ea

�

S

\

โอกาสทีแ่ทจ้ริงในการทีจ่ะพบ electron ในปริมาตร dV คอื dV2\

เพื่อความง่ายเราจะใช ้radial probability density function P(r) (คอื โอกาสต่อหน่วยของรศัมทีีจ่ะพบ electron ใน shell (เปลอืกบางๆ) ทีม่รีศัม ีr และความหนา dr ซึง่ปริมาตรของเปลอืกบางๆน้ีมค่ีาเท่ากบัพืน้ทีผ่ิว 4Sr2 คณูกบัความหนาแน่น r นัน่เอง

drrdVdrrP 222 4)( S\\

r เปลอืกหนา dr

เมื่อแทนค่าสมการทีแ่ลว้ลงในสมการน้ีกจ็ะได ้radial probability density function

ส าหรบั H-atom ที ่ground state นัน่คอื

224)( \SrrP ดงันัน้ radial probability density function คอื

0

2

30

2

14)( a

r

s earrP

�

¸̧¹

·¨̈©

§

ถ้า plot P1s(r) เป็น function กบั r จะไดก้ราฟดงัรูป

P1s

ra0=0.0529 nm

ซึง่โอกาสของการทีจ่ะพบ electron มากทีสุ่ด คอื ที ่r=ao และมลีกัษณะการกระจายตวัของ electron ในลกัษณะทีเ่ป็น spherical symmetry (สมมาตรในลกัษณะทรงกลม) และมลีกัษณะเสมอืนกลุ่มหมอก electron cloud

วธิีค านวณmost probable value of r ส าหรบั electron ใน ground state ของ H-atom

โอกาสทีจ่ะพบ electron มากทีสุ่ด คอื ที่ peak ของ P(r) ที ่plot เป็น function กบั r นัน่คอื slope ที ่ณ.ต าแหน่งน้ีมค่ีาเป็นศนูย ์ ดงันัน้เราสามารถที่จะหาต าแหน่งของ r ทีจ่ะมโีอกาสพบ electron มากทีสุ่ดโดยการพจิารณาค่าที ่dP/dr =0 นัน่คอื

040

2

30

2

»»¼

º

««¬

ª¸̧¹

·¨̈©

§

�ar

ear

drd

drdP

000

22

22

¸¸

¹

·

¨¨

©

§�

��ar

ar

edrdr

drdre

022 00

2

0

22

¸̧¹

·¨̈©

§��

��ar

ar

ea

rre

012 0

2

0

»¼

º«¬

ª¸̧¹

·¨̈©

§�

�ar

earr

010

�ar

0ar

เราต้องการค านวณ

Ex จงค านวณหาโอกาสทีจ่ะพบ electron ใน ground state ของ H ที ่ณ. ต าแหน่ง 0ar ²

³³f �f

0

0

0

22

30

14)(

a

ar

as drer

adrrPP

0

2arz

เราสามารถท าให ้integral น้ีไม่มมีติิไดโ้ดยการเปลีย่นค่าตวัแปร r เป็น z โดยให้

จะไดว่้า 2 z0ar และที่

dzadr ¸¹·

¨©§ 20

ดงันัน้ f�f

� �� ³ 22

22 )22(21

21 zz ezzdzezP

667.05 2 �e หรือ 67%

กรณีของ 2s state (n=2 และ l=0)

จะขึน้กบั r โดยม ีspherical symmetry และมพีลงังาน

1st excited state ของ hydrogen

eVE 401.34606.13

2 � �

ต่อมาเราจะมาดลูกัษณะการกระจายตวัของ electron ทีเ่ป็น function กบัรศัมี

02

0

23

02 21

241)( a

r

s ear

ar

�

¸̧¹

·¨̈©

§�¸̧

¹

·¨̈©

§

S\


Ground state: 1s-No node for probability density-The peak is at Bohr radius a0

Excited state: 2s-One node -The peak is extended for higher r

Excited state: 2p-No node (again)-Compare to 1s state-Look like the atom is swollen

Excited state: 3s-Two nodes

Excited state: 3p-One node

Excited state: 3d-No node


n=1 1s s คร้ังแรก Æ 0 node

n=2 2s s คร้ังท่ีสอง Æ 1 node

2p p คร้ังแรก Æ 0 node

n=3 3s s คร้ังท่ีสาม Æ 2 nodes

3p p คร้ังท่ีสอง Æ 1 node

3d d คร้ังแรก Æ 0 node

จะจ าอยา่งไร

Peak is lower than 1s and athigher r

1s

Peak is even lower than 2p and at higher r

2s

2p

High peak at Bohr radius

Two peaks, second peakis higher

3s

3p

3d

Peak is lower than and thelast peak is at the highest

เปรียบเทียบ Wave function

1s

2s3s 4s

2p

3p4p

3d4d

เม่ือน าทุกสภาวะทางควนัตมัมาวาดเปรียบเทียบกนั จะได้ radial wave function แบบน้ีแต่อยา่ลืมว่า wave function ของ Hydrogen มี 3 มิติ รูปขา้งๆน้ีมีเพียงมิติเดียว

l Letter

Max electrons

Shape Name

0 s 2 sphere sharp

1 p 6 two dumbbells principal

2 d 10 four dumbbells

diffuse

3 f 14 eight dumbbells

fundamental

4 g 18

5 h 22

6 i 26

The Hydrogen Atom—Atomic orbitals

n l ml=0 ml=-1 ml=1

1 0

2 0

2 1

The Hydrogen Atom—Atomic orbitals

n l ml=0 ml=-1 ml=1 ml=-2 ml=2

3 0

3 1

3 2

The spin magnetic quantum number

ส าหรบักรณี n=2 เราจะไดว่้าจะม ี4 quantum states มาเกีย่วขอ้ง แต่ในความเป็นจริงแลว้จะมถีึง 8 สถานะมาเกีย่วขอ้งเพราะจะม ีquantum number ตวัที ่4 มาเกีย่วขอ้งนัน่คอื “spin magnetic quantum number” (ms)

การคน้พบน้ีเกดิมาจากการทีส่งัเกตเหน็ doublet peak ใน spectrum ของ Na vapor

(ที ่589.0 และ 589.6 nm) แทนทีจ่ะเป็น singlet ซึง่ spin magnetic number น้ีสามารถทีจ่ะอธิบายไดอ้ย่างง่ายๆ (แต่ไม่ถูกต้องนกัในเชงิของทฤษฏี) ไดเ้สมอืนว่า elctron มกีาร spin ไปรอบๆแกนของตวัเองในขณะทีเ่คลื่อนทีไ่ปรอบๆนิวเครียสซึง่การ spin น้ีอาจจะอยู่ในลกัษณะ

spin up: ms=1/2 spin down: ms=-1/2

ซึง่ภายใต้สนามแม่เหลก็จะมผีลท าใหร้ะดบัพลงังานของทัง้สองสถานะมค่ีาต่างกนัเลก็น้อย ซึง่มผีลท าใหส้งัเกตเหน็ปรากฏการ doublet

ใหเ้ราเขา้ใจว่าภาพทีเ่ราเสนอน้ีไม่ถูกต้องตามทฤษฏีแต่เพยีงแค่ช่วยให้เราเขา้ใจปรากฏการต่างๆไดด้ขีึน้ ซึง่ Paul Dirac (1902-1984) ไดแ้สดงใหเ้หน็ว่า quantum

number ค่าทีส่ีน้ี่มคีวามเกีย่วขอ้งกบั relativistic properties ของ electron

สรุปไดว่้า shell ที ่n จะสามารถบรรจุอเิลกตรอนได ้ 2n ตวั2

ตวัอย่ำงในกรณีของ H-atom จงค านวณหา allowed states ของกรณีทีม่ ีprinciple

quantum number n=2

n=2

l=0

l=1

ml=0

ml=0

ml=-1

ml=+1

ms=-1/2

ms=1/2ms=-1/2

ms=1/2ms=-1/2

ms=1/2ms=-1/2

ms=1/2

เน่ืองจากทัง้ 4 สถานะน้ีมค่ีา principle quantum number เดยีวกนั ซึง่ท ัง้หมดน้ีกจ็ะมค่ีาพลงังานเดยีวกนันัน่คอื

eVE 401.32606.1322 � �

ตำรำงธำตุ (Periodic Table)

ภาพประกอบจาก: http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_table

ตารางธาตุสามารถถูกแบ่งเป็น block ตามระดบัชัน้พลงังานย่อย (subshell หรือ quantum number l)ของอเิลกตรอนตวัสุดทา้ย ตวัอย่างเช่น

การเรียงระดบัพลงังานจากต ่าไปสงู: 1s,

2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s , ...



คุณสมบติัของธำตุโดยประมำณ

the hydrogen atom quantum number -...

Documents