61

Chương 2

LÔGIC MỜ

2.1. Các mệnh ñề mờ

Nhìn chung ñối tượng nghiên cứu của lôgic là các mệnh ñề cùng với

giá trị chân lý của chúng. Trong chương này chúng ta nghiên cứu các mệnh ñề

mờ và việc ñịnh giá giá trị chân lý của chúng.

Mệnh ñề mờ chứa những khái niệm không chính xác, không chắc chắn

và do ñó không có ñủ thông tin ñể ñịnh giá giá trị chân lý là “tuyệt ñối ñúng” I

hay “tuyệt ñối sai” O, giá trị chân lý ñúng, sai theo nghĩa kinh ñiển. Vì giá trị

chân lý của các mệnh ñề mờ có thể nằm trong ñoạn [0;1].

Sau ñây chúng ta sẽ khảo sát 4 loại mệnh ñề mờ và việc ñịnh giá giá trị

chân lý của chúng.

2.1.1. Mệnh ñề mờ không ñiều kiện và không bị giới hạn

Trước hết ta làm sáng tỏ cụm từ “giới hạn” (qualified). Một mệnh ñề

bao giờ cũng có giá trị chân lý. Vấn ñề là chúng ta có “tuyên bố” một cách rõ

ràng giá trị chân lý của nó hay không. Nếu chúng ta tuyên bố rõ giá trị chân lý

của nó, tức là chúng ta ñã “giới hạn” giá trị chân lý của nó vào một giá trị cụ

thể nào ñấy, nếu không ta nói mệnh ñề ñó không bị giới hạn. Còn mệnh ñề

ñiều kiện là mệnh ñề nếu-thì, nếu không như vậy mệnh ñề ñó ñược gọi là

mệnh ñề không ñiều kiện.

Mệnh ñề mờ không ñiều kiện và không giới hạn là mệnh ñề dạng sau:

p : X là A, (1*)

trong ñó X là biến với miền tham chiếu U, A là tập mờ trên U biểu thị ngữ

nghĩa của giá trị ngôn ngữ như trẻ, rất cao, nhanh nhẹn, … ðể ñơn giản ta ký

hiệu hàm thuộc của tập mờ A là A(u).

Câu hỏi ñặt ra là nếu X nhận giá trị cụ thể u ∈ U thì giá trị chân lý của

mệnh ñề p ñược cho bởi (1*) là bao nhiêu. Trong trường hợp cụ thể như vậy,

(1*) trờ thành u là A (2*)

62

Như chúng ta ñã biết (2*) ñược hiểu là u là phần tử của tập mờ A với

ñộ thuộc A(u) hay có thể hiểu A(u) là giá trị chân lý của mệnh ñề (2*) và ta ký

hiệu tv(p) = A(u), u ∈ U. (3*)

Chẳng hạn, ta xét O là một cộng ñồng dân cư, biến X chỉ chiều cao của

các cá thể trong cộng ñồng nhận giá trị trong miền tham chiếu U = [0, 220]

tính theo ñơn vị cm và A là tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của từ cao, mô tả chiều

cao của các cá thể trong cộng ñồng. Khi ñó, mệnh ñề (1*) ñược cụ thể hóa

thành

p : Chiều cao (X) là cao (A) (4*)

Nếu X nhận giá trị 170 thì giá trị chân lý của mệnh ñề (4*) là tv(p) =

0,85 ∈ [0, 1], nếu X nhận giá trị u ≤ 150 thì tv(p) = 0,0.

Trong thực tế người ta thường chỉ chiều cao của một ñối tượng hay một

cá thể cụ thể o ∈ O, và (1*) khi ñó ñược viết cụ thể như sau:

p : X(o) là A

Chẳng hạn, X chỉ biến tuổi Age và A

là tập mờ biểu thị khái niệm “trẻ” và

o là một cá thể thì ta thường viết

p : Age(o) là trẻ

trong ñó Age(o) chỉ tuổi tính theo

năm của cá thể o. Giá trị chân lý của

p khi ñó là

tv(p) = trẻ(Age(o)).

2.1.2. Mệnh ñề mờ không ñiều kiện có giới hạn chân lý (qualified)

Thường một mệnh ñề trong cuộc sống thực tiễn hàng ngày của chúng ta

ñều có một ñộ tin cậy hay một mức ñộ ñúng hay sai nhất ñịnh. Chẳng hạn ta

có mệnh ñề khẳng ñịnh “Ngày mai chắc trời nắng” trong khi hôm nay trời

ñang u ám. Nếu khẳng ñịnh này ñược một dân làng nói thì ñộ tin cậy không

bằng khẳng ñịnh như vậy của cơ quan dự báo thời tiết có uy tín. Một chuyên

gia y tế khẳng ñịnh “Cháu bé ñau ruột thừa” có ñộ tin cậy hay tính ñúng chân

lý cao hơn là khẳng ñịnh ñó ñược nhận từ một sinh viên y khoa. Như vậy, một

cao

Rất cao

90 220

Hình 2.1: Tập mờ cao chỉ chiều cao của các cá thể

150 195 170

0,85 1,00

63

nhu cầu tự nhiên là chúng ta cần biểu thị một mệnh ñề mờ cùng với giá trị

chân lý của nó.

Một mệnh ñề mờ không ñiều kiện và giới hạn ñược biểu thị ở dạng

chuẩn sau p : “X là A” là τ (5*), trong ñó X và A là các ñại lượng

giống như trường hợp trên, còn τ là phép giới hạn chân lý mờ (fuzzy truth

qualifier) và nó là tập mờ trên tập U = [0;1].

Chẳng hạn, ta lấy ví dụ một mệnh ñề dạng (i) “Kết quả học tập của sinh

viên Nam là giỏi là rất ñúng”, hay (ii) “Trình ñộ ñội tuyển Olympic Toán của

Việt Nam là giỏi là khá ñúng”.

Câu hỏi ñược ñặt ra là với một cá thể cụ thể o và một giá trị u ∈ U của

biến cơ sở của A, giá trị chân lý của mệnh ñề p ở dạng (5*) là bao nhiêu. Ý

tưởng ñịnh giá giá trị chân lý này như sau:

Xét mệnh ñề (i) với khái niệm “giỏi” ñược biểu diễn bằng tập mờ trong

Hình 2.3 và khái niệm chân lý “rất ñúng” ñược cho trong Hình 2.2. Giả sử Kết

quả(Nam) = 7. Khi ñó, tv(Kết quả(Nam) là giỏi) = giỏi(7) = 0,75. Vì giá trị

chân lý của mệnh ñề “Kết quả(Nam) là giỏi” là rất ñúng với hàm thuộc ñược

cho trong Hình 2.2, nên giá trị chân lý của mệnh ñề p sẽ bằng ñộ thuộc của giá

trị 0,75 vào tập mờ biểu diễn khái niệm chân lý rất ñúng.

tv(p) = rất ñúng(0,75) = 0,30.

Bây giờ chúng ta vẫn xét mệnh ñề này với một sự thay ñổi giá trị chân

lý rất ñúng của nó thành khá ñúng ta có mệnh ñề “Kết quả học tập của sinh

viên Nam là giỏi là khá ñúng” và ta kí hiệu là mệnh ñề p’. Khi ñó, ta có

tv(p’) = khá ñúng(0,75) = 0,87.

hay tv(p) < tv(p’). Chúng ta hãy tự giải thích xem như vậy có hợp lý không?

Giỏi

0 10

Hình 2.3: Tập mờ giỏi

7 5

0,75

1,00

Hình 2.2

ñúng Khá ñúng

Rấtñúng

0 1 0,75

0,30

0,87

1

64

Trong trường hợp tổng quát, với mệnh ñề giới hạn chân lý p trong (5*) và với

mỗi phần tử u ∈ U, giá trị chân lý tv(p) của mệnh ñề p ñược ñịnh giá bằng

công thức

tv(p) = τ(A(u)) (6*)

Dựa trên (6*), nếu τ là hàm ñồng nhất, τ(t) = t, với t ∈ [0;1], ta sẽ có lại ñược

công thức ñịnh giá chân lý (3*) của mệnh ñề không giới hạn chân lý. ðiều này

chỉ ra rằng mệnh ñề không giới hạn chân lý có thể xem như là mệnh ñề giới

hạn chân lý với τ = true mà hàm thuộc của nó là hàm ñồng nhất. Lưu ý rằng

không phải trong bất kỳ bài toán nào giá trị chân lý ngôn ngữ cũng ñược biểu

thị ngữ nghĩa bằng hàm ñồng nhất.

2.1.3. Mệnh ñề ñiều kiện không giới hạn chân lý

Mệnh ñề ñiều kiện không giới hạn chân lý (conditional and unqualified

proposition) là mệnh ñề có dạng sau

p : Nếu X là A, thì Y là B (7*)

trong ñó X và Y là các biến nhận các giá trị tương ứng trong miền cơ sở U và

V, còn A và B là các tập mờ tương ứng trên miền U và V.

Như chúng ta ñã dề cập trong Mục 1.4 chương 1 về quan hệ mờ và tri

thực dạng luật nếu-thì, mệnh ñề (7*) xác ñịnh một quan hệ mờ R giữa hai ñại

lượng X và Y . R là tập mờ trên tích ðề-các U × V. Khi ñó, (7*) có thể ñược

hiểu là mệnh ñề sau:

p : (X,Y) là R, (8*)

trong ñó, như trong Mục 1.4 chương 1, quan hệ mờ R ñược xác ñịnh qua các

tập mờ A và B và một phép kéo theo Imp, với A(u) và B(v) là các hàm thuộc

tương ứng của A và B, ta có

R(u, v) = Imp(A(u), B(v)).

Nếu ký hiệu Imp là *

→ , thì biểu thức trên có dạng quen nhìn hơn là

R(u, v) = A(u) *

→ B(v).

2.1.4. Mệnh ñề ñiều kiện và giới hạn chân lý

Mệnh ñề ñiều kiện có giới hạn chân lý là mệnh ñề có dạng sau

65

p : “Nếu X là A, thì Y là B” là τ (9*)

với τ là giá trị chân lý ngôn ngữ biểu thị bằng hàm thuộc τ(t), t ∈ [0;1]. (9*)

sẽ xác ñịnh một quan hệ mờ R* với hàm thuộc R*(u, v) ñược ñịnh nghĩa như

sau:

Như trên, mệnh ñề “Nếu X là A, thì Y là B” sẽ xác ñịnh một quan

hệ mờ R trên tích ðề-các U × V, với ñộ thuộc R(u, v) ∈ [0;1]. Vì vậy, chúng ta

có thể ñịnh nghĩa hàm thuộc

R*(u, v) = τ(R(u, v)).

2.2. Phép kéo theo mờ

Trong Mục 1.4 chương 1 khi ñề cập về quan hệ mờ và việc biểu diễn tri

thức dạng luật “Nếu p, thì q”, chúng ta ñã thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa

ngữ nghĩa của mệnh ñề mờ dạng nếu-thì và các loại phép kéo theo lôgic s → t,

s, t ∈ [0;1]. Có thể với lý do ñó, các phép kéo theo như vậy ñược gọi là các

phép kéo theo mờ.

Vì tri thức dạng luật là một yếu tố quan trọng trong biểu diễn tri thức và

trong lập luận xấp xỉ, nên việc nghiên cứu các phép kéo theo mờ có vị trí quan

trọng. Sau ñây chúng ta tìm hiểu một số kiến thức cơ bản về loại phép tính

này.

Một cách tổng quát, phép kéo theo mờ là một hàm 2-ngôi J : [0;1]2 →

[0;1] với ý nghĩa nói rằng với giá trị chân lý s và t tương ứng của hai mệnh ñề

p và q, J(s, t) sẽ cho ta giá trị chân lý của mệnh ñề “Nếu p, thì q”. Nó ñược

xem như là một sự mở rộng của phép kéo theo kinh ñiển khi hạn chế giá trị

chân lý vào tập {0, 1}. Trong Mục 1.4 chương 1 chúng ta ñã ñưa ra một số ví

dụ về các phép kéo theo này, tuy không gọi là phép kéo theo mờ.

Có nhiều cách tiếp cận ñể xác ñịnh phép kéo theo mờ, mặc dù về

nguyên tắc không có một ràng buộc cứng nhắc việc ñịnh nghĩa này. Ta sẽ ñưa

ra một số ñịnh nghĩa khác nhau sau ñể làm ví dụ:

- ðịnh nghĩa dựa trên sự khái quát phép kéo theo 2-trị: Phép kéo theo

Kleene-Dienes

66

Jb(s, t) = – s ∨ t, ∀s, t ∈ [0;1] và – s = 1 – t, ở ñây chỉ số b có nghĩa là

binary.

- Khi nghiên cứu phương pháp lập luận xấp xỉ ñể ứng dụng vào ñiều

khiển quá trình tôi luyện thép, Mamdani ñã ñưa ra ñịnh nghĩa sau:

J(s, t) = min(s, t).

- Một cách khái quát tương tự, giả sử N là hàm phủ ñịnh và S là phép

hợp, chẳng hạn S là t-conorm, ta có thể ñịnh nghĩa

J(s, t) = S(N(s), t).

Mặt khác, trong lôgic kinh ñiển biểu thức Boole (– s ∨ t) tương ñương

với các biểu thức sau:

– s ∨ (s ∧ t) và (– s ∧ – t) ∨ t

và do ñó ta có công thức khái quát sang miền trị chân lý [0;1], với T là phép t-

norm, như sau:

J(s, t) = S(N(s), T(s, t)) và S(T(N(s), N(t)), t).

- Nếu xem tổng ñại số như là phép hợp mờ, ta có phép kéo theo

Reichenbach: Jr(s, t) = 1− s + s.t.

- Nếu ta chọn phép hợp mờ là phép tổng giới nội S(s, t) = min {1, s +

t}, ta có phép kéo theo Lukasiewicz: Ja(s, t) = min {1, 1 – s + t}.

- Phép kéo theo của Goguen ñưa ra năm 1969:

JGoguen(s, t) = min

s

t,1 .

- Phép kéo theo Gaines-Rescher

Jg-r(s, t) =

>

≤

tsnêu

tsnêu

0

1

- Nếu chọn phép giao chuẩn, phép ∧, ta có phép kéo theo Goedel

Jg(s, t) = sup {x : s ∧ x ≤ t} =

>

≤

tsnêut

tsnêu1

- Nếu chọn phép giao t-norm T(s, t) = s.t, ta có phép kéo theo Goguen

J∆(s, t) = sup {x : s . x ≤ t} =

>

≤

tsnêust

tsnêu

/

1

67

- Phép kéo theo Wu

Jwu(s, t) =

>−

≤

tsnêuts

tsnêu

},1min{

1

Tuy nhiên, trong lôgic kinh ñiển và không kinh ñiển (chẳng hạn lôgic

trực giác) một loại phép kéo theo ñược ñịnh nghĩa thông qua phép hội. Cụ thể,

ta có : J(s, t) = max {u ∈ {0, 1} : s ∧ u ≤ t} (10*)

Có thể thấy phép kéo theo trong lôgic mệnh ñề và lôgic vị từ thỏa biểu

thức (10*).

Bây giờ ta trình bày phép kéo theo mờ ñược khái quát hóa từ ñịnh

nghĩa (10*) và khảo sát các tính chất của loại phép kéo theo này.

2.2.1. Cách tiếp cận qua phép t-norm

Tổng quát hóa công thức (10*) ở trên bằng cách mở rộng giá trị chân lý

trong miền 2-trị {0, 1} sang ñoạn [0;1] và thay thế phép hội ∧ bằng phép t-

norm T, ta có công thức tính sau

JT(s, t) = sup {u ∈ [0, 1] : T(s, u) ≤ t} (11*)

ðịnh lý 2.1. Phép kéo theo JT có các tính chất sau

(i) T(s, u) ≤ t nếu và chỉ nếu JT(s, t) ≥ u;

(ii) JT(JT(s, t), t) ≥ s;

(iii) JT(T(s, t), u) = JT(s, JT(t, u));

(iv) s ≤ t ⇒ JT(s, u) ≥ JT(t, u) và JT(u, s) ≤ JT(u, t);

(v) T(JT(s, t), JT(t, u)) ≤ JT(s, u);

(vi) JT(infj∈J sj, t) ≥ supj∈J JT(sj, t);

(vii) JT(supj∈J sj, t) = infj∈J JT(sj, t);

(viii) JT(t, supj∈J sj) ≥ supj∈J JT(t, sj);

(ix) JT(t, infj∈J sj) = infj∈J JT(t, sj);

(x) T(s, JT(s, t)) ≤ t

Chứng minh: Chúng ta sẽ chững minh một số tính chất phát biểu trong

ñịnh lý trên.

68

(i) Nếu T(s, u) ≤ t thì u ∈ {x : T(s, x) ≤ t}. Do vậy, theo ñịnh nghĩa, u ≤

sup{x : T(s, x) ≤ t} = Jsup(s, t). Ngược lại, nếu u ≤ Jsup(s, t) thì, theo tính ñơn

ñiệu của phép t-norm,

T(s, u) ≤ T(s, Jsup(s, t)) = T(s, sup{x : T(s, x) ≤ t}).

Do tính liên tục của phép t-norm T ta có,

T(s, sup{x : T(s, x) ≤ t}) = sup{T(s, x) : x ∈ {x : T(s, x) ≤ t}} ≤ t.

(ii) Ta có, Jsup(s, t) = sup{x : T(s, x) ≤ t} và do ñó, cùng với tính liên

tục của T, ta có : JT(JT(s, t), t) = sup{y : T(JT(s, t), y) ≤ t} = sup{y : T(sup{x :

T(s, x) ≤ t}, y) ≤ t} = sup{y : sup{T(x, y) : x ∈ {x : T(s, x) ≤ t}} ≤ t}

(iii) Ta chứng minh JT(T(s, t), u) = JT(s, JT(t, u)). Theo ñịnh nghĩa

JT(s, JT(t, u)) = sup{x : T(s, x) ≤ JT(t, u)}

Ta thấy, T(s, x) ≤ JT(t, u) ⇔ T(t, T(s, x)) ≤ u ⇔ T(T(s, t), x) ≤ u (do

tính kết hợp của T) ⇔ x ≤ JT(T(s, t), u). Do vậy,

JT(s, JT(t, u)) = sup{x ≤ JT(T(s, t), u)} = JT(T(s, t), u).

(iv) Giả sử s ≤ t. Do tính ñơn ñiệu của T, ta có T(s, x) ≤ T(t, x) và do ñó

sup{x : T(s, x) ≤ u} ≥ sup{x : T(t, x) ≤ u} hay JT(s, u) ≥ JT(t, u).

Một cách tương tự ta chứng minh bất ñẳng thức còn lại.

(v) Theo ñịnh nghĩa

T(JT(s, t), JT(t, u)) = T(sup{x : T(s, x) ≤ t}, sup{y : T(t, y) ≤ u})

Theo tính liên tục của T và do T(s, x) ≤ t & T(t, y) ≤ u ⇒ T(s, T(x, y))

≤ u. ta suy ra

T(JT(s, t), JT(t, u)) = supx{T(x, sup{y : T(t, y) ≤ u}) : T(s, x) ≤ t}

= supxsupy{T(x, y) : T(s, x) ≤ t & T(t, y) ≤ u}

≤ supxsupy{T(x, y) : T(s, T(x, y)) ≤ u}

= supxsupy{T(x, y) : T(x, y) ≤ JT(s, u)}

= JT(s, u).

(vi) Lưu ý rằng {x: infj∈J T(sj, x) ≤ t} ⊇ {x: supj∈J T(sj, x) ≤ t}. Do ñó,

ta có JT(infj∈J sj, t) = supx{x: T(infj∈J sj, x) ≤ t} = supx{x: infj∈J T(sj, x) ≤ t}

≥ supx{x: supj∈J T(sj, x) ≤ t} = supj∈J supx{x: T(sj, x) ≤ t}= supj∈J JT(sj, t).

69

(vii) ðặt s0 = supj∈J aj. Khi ñó, s0 ≥ aj và, do tính chất (iv) ñã chứng

minh, ta có JT(s0, t) ≤ JT(sj, t), với mọi j∈J. Do vậy, JT(s0, t) ≤ infj∈J JT(sj, t).

Mặt khác, do u = infj∈J JT(sj, t) ≤ JT(si, t) với mọi i∈J, từ tính chất (i) ta suy ra

T(si, infj∈J JT(sj, t)) ≤ t, với mọi i∈J. Vậy, từ tính liên tục của T, ta suy ra T(s0,

infj∈J JT(sj, t)) = supi∈J T(si, infj∈J JT(sj, t)) ≤ t. Nhờ tính chất (i) ta suy tiếp ra

JT(s0, t) ≥ infj∈J JT(sj, t). Kết hợp các kết quả lại ta có

JT(supj∈J aj, t) = JT(s0, t) = infj∈J JT(sj, t).

(viii) Với lưu ý rằng {x : T(t, x) ≤ supj∈J sj} ⊇ {x : T(t, x) ≤ sj}, với mọi

j∈J, ta có JT(t, supj∈J sj) = supx {x : T(t, x) ≤ supj∈J sj} ≥ supx {x : T(t, x) ≤ sj}

= JT(t, sj), với mọi j∈J. Do vậy, ta rút ra tính chất (viii).

(x) Do tính liên tục của T, ta có

T(s, JT(s, t)) = T(s, supx {x: T(s, x) ≤ t}) = supx {T(s, x) : T(s, x) ≤ t} ≤ t,

ñó là ñiều ta cần chứng minh.

2.2.2 Cách tiếp cận tiên ñề

Trong cách tiếp cận tiên ñề chúng ta sẽ ñưa ra các yêu cầu về tính chất

của các phép kéo theo mờ và xem chúng là các tiên ñề của phép kéo theo mờ.

Bản chất ngư nghĩa kép theo mờ trong ngôn ngữ tự nhiên hay trong lập luận

của con người rất phức tạp, khó có một hệ tiên ñề chung cho mọi tình huống.

Vì vậy, những tiên ñề sau ñây không nhất thiết bắt buộc mọi phép kéo theo

mờ phải thỏa mãn. Chỉ có ứng dụng thực tiễn là tiêu chuẩn cuối cùng chứng

minh tính phù hợp của một ñịnh nghĩa phép kéo theo mờ. Một số tiên ñề là sự

khái quát của phép kéo theo kinh ñiển.

Tiên ñề 1. s ≤ s’ ⇒ J(s, t) ≤ J(s’, t) (Tính ñơn ñiệu tăng ñối với biến

thứ nhất).

Tiên ñề 2. t ≤ t’ ⇒ J(s, t) ≤ J(s, t’) (Tính ñơn ñiệu tăng ñối với biến thứ

hai).

Tiên ñề 3. J(0, t) = 1 (Tính chi phối của giá trị chân lý sai).

Tiên ñề này có nghĩa nếu giá trị chân lý của phần tiền tố là sai thì nó chi phối

giá trị chân lý của cả mệnh ñề nếu-thì.

Tiên ñề 4. J(1, t) = t (Tính trung tính của giá trị chân lý ñúng).

70

ðiều này nói rằng giá trị chân lý ñúng của phần tiền tố không ñóng góp

ñược bất kỳ sự thay ñổi giá trị chân lý của phần hậu tố còn lại.

Tiên ñề 5. J(s, s) = 1 (Tính ñồng nhất).

Tiên ñề 6. J(s, J(t, u)) = J(t, J(s, u)) (tính chất hoán ñổi).

Tiên ñề 7. J(s, t) = 1 nếu và chỉ nếu s ≤ t (Tính chất về ñiều kiện giới

nội).

ðiều này nói rằng giá trị chân lý của mệnh ñề nếu-thì là ñúng nếu và

chỉ nếu giá trị chân lý của phần tiền tố bị chặn bởi giá trị chân lý của phần hậu

tố.

Tiên ñề 8. J(s, t) = J(N(t), N(s)), trong ñó N là hàm phủ ñịnh.

Tiên ñề 8 là sự khái quát hóa tính chất của phép kéo theo kinh ñiển nói

rằng p → q ≅¬q → ¬p.

Tiên ñề 9. J là hàm liên tục theo cả hai biến.

Mặc dù, trên một góc nhì nào ñó, Tiên ñề 9 là một ñòi hỏi tự nhiên

nhưng nhiều phép kéo theo trong các ví dụ ñược trình bày ở ñầu tiết không

thỏa tính liên tục, chẳng hạn phép kéo theo Goedel hay Goguen. Vì vậy, cần

nhấn mạnh một lần nữa rằng không nhất thiết bắt buộc mỗi phép kéo theo mờ

phải thỏa mãn mọi tiên ñề nêu trên, ñồng thời ta cũng có quyền ñặt ra các yêu

cầu về một tính chất nào ñó khác mà một phéo kéo theo cần phải có.

Một câu hỏi nẩy sinh là liệu có tồn tại một phép kéo theo mờ thỏa mãn

tất cả 9 ñòi hỏi trên? Câu trả lời ñược phát biểu trong mệnh ñề sau.

ðịnh lý 2.2. Một hàm 2-biến J : [0;1]2 → [0;1] thỏa các Tiên ñề 1 – 9 về phép

kéo theo mờ nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục ñơn ñiệu tăng thực sự f

: [0;1] → [0;+∞) sao cho f(0) = 0 và J(s, t) = f−1(f(1) – f(s) + f(t)), với ∀s, t ∈

[0;1], và N(s) = f−1(f(1) – f(s)), với ∀s ∈ [0;1].

Trong các ví dụ ñã ñề cập ở trên, chỉ có phép kêó theo Lukasiewicz

thỏa mãn cả 9 tiên ñề, với hàm phủ ñịnh mở chuẩn, t.l. N(s) = 1 – s, nghĩa là

nó thỏa ðịnh lý 2.2. với hàm f là hàm ñồng nhất.

Một ví dụ khác về loại phép kéo theo mờ thỏa ñịnh lý trên với hàm f

ñược cho như sau:

71

f(s) = ln(1 + s) với hàm tựa ngược là f−1(s) =

≤<

≤≤−

12ln1

2ln01

snêu

snêues

và hàm phủ ñịnh ñi cùng với f là N(s) = s

s

+−

1

1, s ∈ [0;1].

Khi ñó phép kéo theo mờ ñược xác ñịnh là

J(s, t) = min

=+−s

ts

1

21,1 , với mọi s, t ∈ [0;1].

Ta mở rộng ví dụ này bằng việc thay hàm f ở trên bằng hàm f’ = ln(1 + λs),

với λ là tham số dương. Khi ñó,

f−1(s) =

≤<

+≤≤−

12ln1

)1ln(01

snêu

snêue s

λλ

và hàm phủ ñịnh trong trường hợp này là hàm Sugeno

Nλ(s) = s

s

λ+−

1

1 , s ∈ [0;1].

Phép kéo theo mờ khí ñó ñược xác ñịnh là

Jλ(s, t) =

+++−s

tts

λλ

1

1,1min .

2.3. Lượng từ mờ

Trong lôgic vị từ chúng ta có khái niệm lượng hóa tồn tại và lượng hóa

khái quát. Tương tự như vậy, trong lôgic mờ chúng ta cũng có những khái

niệm mang hàm ý như vậy như khoảng 10 học sinh thi tốt nghiệp giỏi; nhiều

hơn nhiều 100 có thể voọc mũi hếch ñang sinh sống trong khu bảo tồn quốc

gia; ít nhất là 7 sinh viên ñang làm thực tập tốt nghiệp ở Công ty Microsoft

Việt Nam; hầu hết nữ sinh viên khóa 2005 ñều có nguyện vọng theo học khoa

CNTT, khoảng một nửa số sinh viên trong khóa 2006 là nữ, … Những từ in

nghiêng trong các ví dụ trên ñều thể hiện ngữ nghĩa không chính xác, mờ về

số lượng và ñược gọi là các lượng hóa mờ.

Theo L.A. Zadeh, có hai loại lượng hóa mờ: (i) Lượng hóa tuyệt ñối với

ngữ nghĩa mờ ñược ấn ñịnh liên quan ñến một giá trị (tuyệt ñối) cụ thể trong

tập các số thực không âm, chẳng hạn, như trong 3 ví dụ ñầu nêu trên; (ii)

72

Lượng hóa tương ñối, xác ñịnh trên tập [0;1], chỉ tỷ lệ mờ số phần tử thỏa một

ñiều kiện hay mệnh ñề nào ñó, ví dụ như trong hai ví dụ sau cùng ñề cập ở

trên. Chẳng hạn hầu hết chỉ có một số tỷ lệ mờ số phận tử thỏa một mệnh ñề

mờ nào ñó. Cũng tương tự như vậy ta hiểu cụm từ lượng hóa mờ khoảng một

nửa.

Lượng hóa tuyệt ñối Q ñược cho bời một

tập mờ trên tập các số thực dương R+. Chẳng

hạn Q là lượng hóa mờ khoảng 10 sẽ là tập mờ

Q cho trong Hình 2.4. Lượng hóa tương ñối

ñược xác ñịnh dựa trên tính tỷ số giữa bản số

của tập mờ và bản số của tập mờ giới hạn phạm

vi các cá thể ñược ñề cập. Ví dụ, trong mệnh ñề

“hầu hết nữ sinh viên khóa 2005 ñều có nguyện vọng học khoa CNTT” phạm

vi ñược ñề cập là tập các nữ sinh viên khóa 2005. Phạm vi cũng có thể là tập

mờ, chẳng hạn trong mệnh ñề “hầu hết nữ sinh viên học giỏi khóa 2005 ñều

có nguyện vọng học khoa CNTT” phạm vi là tập mờ “các nữ sinh viên học

giỏi khóa 2005”. Khi ñó, lượng hóa tương ñối ñược hiểu là một tập mờ trên

ñoạn [0;1]. Chẳng hạn, tập mờ Q* trong Hình 2.4 biểu thị phép lượng hóa hầu

hết.

Một cách tổng quát, mệnh ñề chứa phép lượng hóa mờ bất kỳ Q có

dạng cơ bản sau:

p : Có Q cá thể o trong O sao cho X(o) là A (12*),

trong ñó Q là lượng hóa mờ bất kỳ, X là biến và mỗi cá thể o ∈ O, X(o) nhận

giá trị trong miền tham chiếu của tập mờ A.

Ví dụ một mệnh ñề như vậy là “Có khoảng 10 sinh viên nói tiếng Anh

tốt”, trong ñó Q là “khoảng 10”, O là một tập sinh viên trong một lớp học

chẳng hạn, X là biến nhận giá trị chỉ trình ñộ nói trôi chảy tiếng Anh của sinh

viên trong lớp còn A là tập mờ xác ñịnh trên tập các giá trị của biến X biểu thị

khái niệm tốt.

ðể ñơn giản hóa cách viết của (12*), nếu ta ký hiệu giá trị chân lý của

mệnh ñề “cá thể o trong O sao cho X(o) là A” là P(o), P(o) = A(X(o)), thì P sẽ

là một tập mờ trên O và mệnh ñề (12*) trở thành mệnh ñề:

Giỏi

0 10

Hình 2.4: Tập mờ Q và Q*

7 10

0,26

1,00

Q*: hầu hết Q : khoảng 10

73

p’ : Có Q các cá thể o có tính chất P(o) (13*)

Nếu P là tập kinh ñiển thì số lượng các cá thể o thỏa P(o) chính là số lượng

các phần tử của tập P. Trong trường hợp như trên P là tập mờ, số lượng của P

chính là bản số của tập mờ P. Khi ñó, giá trị chân lý của mệnh ñề (13*) ñược

xác ñịnh bởi ñộ tương thích của bản số C của tập mờ P với phép lượng hóa

mờ Q, hay nó ñược xác ñịnh bởi mệnh ñề sau, với biến C nhận giá trị trên R+,

p’ : C là Q (14*)

Nếu Q là lượng hóa tuyệt ñối, nó là một tập mờ trên R+, thì giá trị C ñược tính

theo bản số vô hướng, tức là C(P) = count(P) và giá trị chân lý của (14*) hay

cũng là của (13*) là Q(C).

Ví dụ, chúng ta xét mệnh ñề p : “Có khoảng 10 sinh viên nói tiếng Anh

tốt” với O = {Nam, Hoa, Chính, Hùng, Nga}. X là biến chỉ mức ñộ nói tốt

tiếng Anh và giả sử ñiểm của các sinh viên này ñược cho như sau: X(Nam) =

6,5; X(Hoa) = 9,0; X(Chính) = 8,5; X(Hùng) = 7,0 và X(Nga) = 9,5. Như

vậy, tập mờ P ñược xác ñịnh như sau (xem Hình 2.5)

P = ∑ ∈Ootốt(X(o))/o = 0,35/Nam + 1,0/Hoa + 0,5/Hùng + 0,82/Chính +

1,0/Nga

Khi ñó,

C(P) = count(P) = 3,67

Do ñó, gí trị chân lý của mệnh ñề p, với Q

ñược cho trong Hình 2.4 sẽ là

tv(p) = Q(3,67) = 0,26.

Một biến tướng của mệnh ñề (14*) có dạng sau

p : Có Q cá thể o trong O sao cho X1(o) là A1 và X2(o) là A2 (15*)

Một ví dụ về mệnh ñề dàng này là “Có khoảng 10 sinh viên nói tiếng Anh tốt

có dáng người khá cao”. Như vậy biến X1 chỉ trình ñộ nói tiếng Anh nhận giá

tốt

0 10

Hình 2.5: Tập mờ “tốt”

7 6,5

0,82

1,00

0,5

8,5 9,5 9

0,35

74

trị trong miền ñiểm [0;10], còn biến X2 chỉ dáng người theo chiều cao trong

miền [0;200] tính theo cm. A1 là tập mờ biểu thị khái niệm tốt, A2 là tập mờ

biểu thị khái niệm khá cao.

Cũng như trong trường hợp mệnh ñề dạng (12*), khi ñặt

P1(o) = = A1(X1(o)) và P2(o) = = A2(X2(o)) (16*)

ta có thể chuyển mệnh ñề p về mệnh ñề p’ sau

p’ : Có Q các cá thể o có tính chất (P1(o) và P2(o)),

hay, tương tự như mệnh ñề (14*), ta thu ñược dạng mệnh ñề của p’ như sau

p’ : C là Q (17*), trong ñó C là bản số của tập mờ (P1(o) và P2(o)).

Với Q là phép lượng hóa tuyệt ñối, C sẽ là bản số vô hướng của tập mờ

(P1(o) và P2(o)) và ñược tính bằng công thức

C(P1 ∩ P2) = ∑ ∈Oomin{A1(X1(o)), A2(X2(o))}

và giá trị chân lý của mệnh ñề (15*) sẽ là tv(p) = tv(p’) = Q(C(P1 ∩ P2))

Trong trường hợp Q là phép lượng hóa tương ñối, ta tính tỷ số của các

bản số các tập mờ. Ví dụ, ñối với mệnh ñề “Hầu hết sinh viên nói tiếng Anh

tốt có dáng người khá cao” tỷ lệ này sẽ là (lưu ý là P2 là tập con của tập P1)

prC(P1 ∩ P2) = C(P1 ∩ P2)/C(P1)

= (∑ ∈Oomin{A1(X1(o)), A2(X2(o))}) / ∑ ∈Oo

A1(X1(o))

và giá trị chân lý của mệnh ñề (15*) hay (17*) sẽ ñược tính bằng công thức

Q(prC(P1 ∩ P2)).

2.4. Lập luận xấp xỉ ñơn ñiều kiện

Thuật ngữ lập luận xấp xỉ ñược L.A. Zadeh sử dụng lần ñầu tiên và

ñược nghiên cứu nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu. Zadeh xuất

phát từ ví dụ sau về phương pháp lập luận của con người:

Tiền ñề 1: Nếu vỏ của quả cà chua là ñỏ, thì quả cà chua là chín

Tiền ñề 2: Vỏ của quả cà chua c là rất ñỏ . (18*)

Kết luận: quả cà chua c là rất chín

75

Tiền ñề thứ nhất thể hiện tri thức, sự hiểu biết của chúng ta, tiền ñề thứ

hai là dữ kiện hay sự kiện (fact) và kết luận ñược rút ra từ hai Tiền ñề 1 và 2.

(18*) ñược gọi là một lược ñồ lập luận xấp xỉ ñơn ñiều kiện, vì chỉ có một tiền

ñề có dạng luật nếu-thì.

Chúng ta thường hay gặp kiểu lập luận xấp xỉ như vậy trong suy luận

của chúng ta bằng ngôn ngữ tự nhiên. Câu hỏi ñặt ra là liệu chúng ta có thể có

một cách tiếp cận tính toán ñể mô phỏng phương pháp lập luận nêu trên?

2.4.1. Quy tắc suy luận hợp thành

Một cách tổng quát, lược ñồ lập luận (18*) ñược biểu thị như sau với A,

A’, B và B’ là các tập mờ tương ứng trên các không gian tham chiếu U của X

và V của Y,

Tiền ñề 1: Nếu X là A, thì Y là B

Tiền ñề 2: X là A’ . (19*)

Kết luận: Y là B’

Tiền ñề 1 biểu thị mối quan hệ giữa hai ñại lượng X và Y, với X nhận

giá trị trong U và Y nhận giá trị trong V. Lược ñồ lập luận (19*) ñược gọi là

quy tắc cắt ñuôi tổng quát hóa (generalized modus ponens). Nó khác quy tắc

cắt ñuôi kinh ñiển ở chỗ sự kiện “X là A’ ” trong Tiền ñề 2 không trùng với

sự kiện trong phần “nếu” hay tiền tố của Tiền ñề 1.

Chúng ta thiết lập quy tắc suy luận hợp thành ñể áp dụng vào lược ñồ

lập luận (19*) dựa trên quan sát các trường hợp sau.

1) Trường hợp X và Y có quan hệ hàm số, tức là v = f(u), v ∈ V và u

∈ U. Khi ñó, nếu ta có sự kiện “X là u’ ” thì ta suy ra v’ = f(u’), nhờ tri thức

X xác ñịnh hàm Y. Nếu ta có sự kiện “X là A’”, trong ñó A’ là tập con của U,

thì ta suy ra ñược tập B’ = {v’ ∈ V: v’ = f(u’) và u’ ∈ U} ⊆ V.

2) Trường hợp X và Y có quan hệ ñược cho bởi quan hệ 2-ngôi kinh

ñiển R ⊆ U × V. Khi ñó, nếu ta có sự kiện “X là u’” thì ta suy ra ñược tập B =

{v’ ∈ V: (u’, v’) ∈ R}. Tương tự, nếu ta có sự kiện “X là A’”, trong ñó A’ là

tập con của U, thì ta suy ra ñược tập

76

B’ = {v’ ∈ V: (u’, v’) ∈ R và u’ ∈ A’} ⊆ V

Sử dụng thuật ngữ hàm ñặc trưng, với ϕA’, ϕB’ và ϕR là các hàm ñặc

trưng tương ứng của các tập A’, B’ và R, công thức tính B’ ở trên có thể viết

dưới dạng sau

ϕB’(v’) = ∨u’∈ U [ϕA’(u’) ∧ ϕR(u’, v’)], ∀v’ ∈ V (20*)

3) Trường hợp X và Y có quan hệ ñược cho bởi quan hệ mờ 2-ngôi R

trên U × V. Như chúng ta biết, ngữ nghĩa của mệnh ñề nếu-thì trong (19*) có

thể ñược biểu thị bằng một quan hệ mờ R trên U × V. Nó ñược xác ñịnh dựa

trên tập mờ A trên U và tập mờ B trên V, và dựa trên ngữ nghĩa của phép kép

theo mờ ñã ñược nghiên cứu, tức là,

R = Impl(A, B) = A *

→ B, hay µR(u, v) = J(µA(u), µB(v)) (21*)

Sự khác biệt của trường hợp này so với trường hợp ñã ñề cập trong 2)

là thay vì các hàm ñặc trưng chúng ta có các hàm thuộc µA’, µB’ và µR. Vì vậy,

nếu ta có sự kiện “X là A’” với A’ là tập mờ trên U, thì chúng ta có thể suy

luận ra tập mờ B’ ñược tính bằng công thức ñược khái quát hóa từ (20*) như

sau: µB’(v’) = ∨u’∈ U [µA’(u’) ∧ µR(u’, v’)], ∀v’ ∈ V (22*)

Như chúng ta ñã nghiên cứu trong Mục trước, công thức (22*) có thể ñược

biểu diễn ở dạng ma trận: B’ = A’ o R (23*)

trong ñó o là phép hợp thành max-min (max-min composition). Chính vì B’

ñược suy luận ra từ công thức (23*) nên phương pháp lập luận xấp xỉ này

ñược gọi là quy tắc suy luận hợp thành.

Nếu ta thay phép min ∧ bằng một phép t-norm T nào ñó trong (22*) và

(23*), ta có quy tắc suy luận hợp thành max-T ñược ký hiệu là oT, cụ thể ta có

µB’(v’) = ∨u’∈ U T(µA’(u’), µR(u’, v’)), ∀v’ ∈ V (22*.1)

và B’ = A’ T

o R (23*.1)

77

Ví dụ, xét lược ñồ suy luận (19*) với U = {u1, u2, u3} và V = {v1, v2}, A =

0,5/u1 + 1,0/u2 + 0,6/u3 và B = 1,0/v1 + 0,4/v2. Cho sự kiện “X là A’” với A’ =

0,6/u1 + 0,9/u2 + 0,7/u3. Chúng ta sẽ suy luận dựa theo quy tắc suy luận cắt

ñuôi tổng quát và vì vậy trước hết chúng ta tính quan hệ mờ R = A *

→ B dựa

vào phép kéo mờ theo Lukasiewicz s L

→ t = 1 ∧ (1 – s + t). Như vậy, µR(u, v)

= µA(u) L

→ µB(v) = 1 ∧ (1 – µA(u) + µB(v)), u ∈ U và v ∈ V. Với các dữ liệu

của bài toán, quan hệ mờ R có dạng ma trận sau :

=

8,00,1

4,00,1

9,00,1

R và do ñó B’ = A’ o R = (0,6 0,9 0,7)

8,00,1

4,00,1

9,00,1

o = (0,9 0,7)

Như vậy, ta suy ra B’ = 0,9/v1 + 0,7/v2.

Quy tắc suy luận hợp thành cũng có thể ứng dụng cho quy tắc modus tollens

tổng quát hóa có dạng lược ñồ lập luận sau:

Tiền ñề 1: Nếu X là A, thì Y là B

Tiền ñề 2: Y là B’. (24*)

Kết luận: X là A’

Lưu ý rằng nói chung B’ ≠ B. Khác với quan hệ hàm số, quan hệ mờ R

có tính ñối xứng giữa hai biến X và Y, cho nên sử dụng phép hợp thành trên

các quan hệ mờ, việc suy luận ra A’ có thể ñược tính theo công thức sau với

B’ là vectơ cột : A’ = R o B’ (25*)

Chúng ta xét một ví dụ với các dữ kiện giống như trong ví dụ vừa xem

xét ở trên, trừ việc ta không có sự kiện “X là A’” mà ở ñây ta lại so sự kiện “Y

là B’” với B’ ñược cho là B’ = 0,9/v1 + 0,7/v2, nghĩa là nó chính là kết luận

trong ví dụ trên. Khi ñó, quan hệ mờ R vẫn như ñã ñược tính trong ví dụ trên

và kết luận A’ ñược tính theo (25*) như sau:

A’ = R o B’ =

7,0

9,0

8,00,1

4,00,1

9,00,1

o = (0,9 0,9 0,9)

78

Như vậy, ta ña suy ra ñược kết luận A’ = 0,9/u1 + 0,9/u2 + 0,9/u3.

Như chúng ta thấy, phép kép theo có vị trí quan trọng trong lập luận. Trong

môi trường thông tin không chắc chắn, chúng ta có nhiều cách biểu diễn ngữ

nghĩa của phép kép theo. Trong Mục trước chúng ta ñã nghiên cứu về phép

kéo theo mờ ñể làm cơ sở ñịnh nghĩa ngữ nghĩa của các mệnh ñề ñiều kiện

nếu-thì hay các luật mờ và chúng ta ñã liệt kê một danh sách các phép kéo

theo. ðể dễ ñáp ứng với thực tiễn ña dạng và phức tạp, về nguyên tắc, danh

sách như vậy càng dài càng tốt. Vì vậy, sau ñây chúng ta trình bày một số ý

tưởng ñịnh nghĩa các phép kéo theo mờ ñể “thâu tóm” ngữ nghĩa của luật.

ðể cho gọn và dễ hiểu, trước hết chúng ta trình bày về việc biểu diễn

ngữ nghĩa của luật mờ bằng biểu thức của ñại số của quan hệ mờ nêu trong

Bảng 2.1 dưới ñây, trong ñó một số phép kéo theo ñã liệt kê trong Mục trước.

Tuy nhiên, cần lưu ý là, do tính phong phú của các biểu thức giải tích, không

phải biểu thức giải tích nào của phép kéo theo cũng viết ñược dưới dạng biểu

thức ñại số tập hợp.

Bảng 2.1. Biểu thức ñại số của quan hệ biểu thị ngữ nghĩa của luật

Phép kéo theo Biểu thức giải tích Jb(A(u),

B(v))

Biểu thức ñại số của R

Kleen-Dienes max[1 – A(u), B(v)] CA × V ∪ U × B

Mamdani min(A(u), B(v)) (A × V) ∩ (U × B)

Zadeh 1973 max[min(A(u), B(v)), 1 –

A(u)]

((A × V) ∩ (U × B)) ∪ CA

Reichenbach 1 – A(u) + A(u)B(v) CA ⊕ B

Bây giờ ta trình bày một số ý tưởng trực quan về sự “thâu tóm” ngữ nghĩa

của phép kéo theo trong ngôn ngữ tự nhiên.

(1) Khi ta khẳng ñịnh A là ñúng thì mệnh ñề phủ ñịnh ¬A cũng cung

cấp một lượng thông tin nhất ñịnh.

79

Trong lôgic kinh ñiển ñiều này là hiển nhiên, hay từ giá trị chân lý của

A ta suy ra giá trị chân lý của ¬A. ðiều này không luôn luôn ñúng trong lôgic

mờ. Tuy nhiên, chúng ta có thể tận dụng ý nghĩa trực quan này ñể bổ sung vào

ñịnh nghĩa của phép kéo theo hay quan hệ mờ. Chẳng hạn ta có thể ñịnh nghĩa

quan hệ mờ R như sau:

- Quan hệ R dựa trên phép kéo theo Mamdani không có thông tin liên

quan ñến ¬A, khi thêm thông tin này ta có quan hệ ñược Zadeh ñịnh nghĩa

năm 1973 cho trong Bảng 2.1.

- Quan hệ R xác ñịnh dựa trên phép kéo theo “tích” ñược cho như sau

R(u, v) = Jproduct(A(u), B(v)) = A(u) . B(v).

ðể bổ sung thông tin liên quan ñến ¬A ta có thể thiết lập quan hệ sau:

R(u, v) = max [A(u) . B(v), 1− A(u)]

(2) Một khẳng ñịnh A → B bao giờ cũng cho ta một thông tin nào ñó về

khẳng ñịnh ¬A → ¬B. Chẳng hạn, khi ta khẳng ñịnh “Người trẻ thì chạy

nhanh” thường kéo theo một khẳng ñịnh “Người già thì chạy chậm” ở mức ñộ

tin cậy nào ñó. Nhận xét trực quan này gợi ý cho ta một cách bổ sung thông

tin vào ñịnh nghĩa phép kéo theo như sau: Nếu R ñược ñịnh ngĩa dựa trên một

phép kéo theo J(A(u), B(v)) nào ñó, thì ta có thể sinh một ñịnh nghĩa khác như

sau:

R(u, v) = max [J(A(u), B(v)), J((¬A)(u), (¬B)(v))],

hay, ở dạng biểu thức ñại số, trong ñó ℑ

→ ký hiệu phép kéo theo J,

R = (A × V ℑ

→ U × B) ∪ (¬A × V)ℑ

→ (U × ¬B).

Chẳng hạn, nếu J là phép kéo theo Goedel, hay Rg = A × V g

→ U × B, thì ta

có một ñịnh nghĩa khác là

Rgg = (A × V g

→ U × B) ∪ (¬A × V)g

→ (U × ¬B);

Nếu J là phép kéo theo Zadeh, hay Rz = A × V z

→ U × B, thì ta có một ñịnh

nghĩa khác là

Rzz = (A × V z

→ U × B) ∪ (¬A × V)z

→ (U × ¬B).

80

Cũng với ý tưởng trực quan này nhưng không nhất thiết hai phép kéo

theo là giống nhau, chẳng hạn ta có thể ñịnh nghĩa quan hệ sau ñể biểu diễn

luật:

Rzg = (A × V z

→ U × B) ∪ (¬A × V)g

→ (U × ¬B),

hay

Rgz = (A × V g

→ U × B) ∪ (¬A × V)z

→ (U × ¬B).

2.4.2. Việc lựa chọn phép kéo theo mờ cho phương pháp lập luận xấp xỉ

2.4.2.1. ðối với quy tắc cắt ñuối tổng quát hóa

ðể thấy rõ vai trò của phép kéo theo mờ, dựa vào (22*.1) công thức

(23*.1) có thể viết cụ thể như sau, trong ñó B’(v), A(u) và R(u, v) là các hàm

thuộc tương ứng của các tập mờ B’, A và R,

B’(v) = ∨u’∈ U T[A’(u’), J(A(u’), B(v))], ∀v ∈ V (26*)

Một câu hỏi ñặt ra là một phương pháp lập luận khi nào ñược xem là tốt

hay phù hợp. Một tiêu chuẩn ñánh giá mức ñộ phù hợp là khi quay trở về lập

luận kinh ñiển, tức là khi A’ = A thì ta cần có B’ = B, hay ta cần có

B(v) = ∨u’∈ U T[A(u’), J(A(u’), B(v))], ∀v ∈ V (27*)

ðể trả lời cho câu hỏi này, ta có ñịnh lý sau

ðịnh lý 2.3. Giả sử rằng phép t-norm T là hàm liên tục, phép kéo theo mờ

ñược chọn là phép JT, t.l. JT(s, t) = supu {u : T(s, u) ≤ t}. Khi ñó, nếu A là tập

mờ chuẩn thì phương pháp lập luận xấp xỉ thỏa ñiều kiện (27*).

Chứng minh: Theo ñịnh nghĩa của phép JT(s, t), ta có T(s, JT(s, t)) ≤ t. Với s =

A(u) và t = B(v) ta thu ñược biểu thức T(A(u), JT(A(u), B(v))) ≤ B(v), với mọi u

∈ U và v ∈ V. Mặt khác, do A là tập mờ chuẩn, t.l. tồn tại u0 ∈ U sao cho

A(u0) = 1, ta suy ra T(A(u0), JT(A(u0), B(v))) = JT(1, B(v))) = B(v) và ñiều này

chứng tỏ phép kéo theo mờ JT thỏa (27*).

ðịnh lý 2.4. Nếu tập mờ A có miền trị phủ toàn ñoạn [0,1], thì các phép kéo

theo mờ sau thỏa ñiều kiện (27*) ñối với bất kỳ phép t-norm T nào:

81

(i) Phép kéo theo Gaines-Rescher Jg-r;

(ii) Phép kéo theo Goedel Jg;

(iii) Phép kéo theo Wu Jwu.

Chứng minh: Trước hết chúng ta chứng minh trường hợp khó hơn trước.

(iii) Với mỗi v ∈ V, ta tính biểu thức sau và nhớ rằng miền trị của A

phủ toàn bộ ñoạn [0;1]:

supu∈U T(A(u), Jwu(A(u), B(v))) = sups∈[0, 1] T(s, Jwu(s, B(v)))

= max{sups ≤ B(v)T(s, Jwu(s, B(v))), sups > B(v)T(s, Jwu(s, B(v)))}

= max{sups ≤ B(v)T(s, 1), sups > B(v)T(s, min(1-s, B(v))}

= max{B(v), sups > B(v)T(s, min(1-s, B(v))}= B(v),

vì, do T ñơn ñiệu tăng theo từng biến, T(s, min(1-s, B(v)) ≤ T(1, B(v)) = B(v).

ðều này nói rằng (27*) ñúng ñối với phép kéo theo mờ Wu.

ðối với trường hợp (i) và (ii) ta chứng minh hoàn toàn tương tự nhưng

việc tính toán ñơn giản hơn. Chẳng hạn, ñối với trường hợp (i), ta thấy

supu∈U T(A(u), Jg-r(A(u), B(v))) = sups∈[0, 1] T(s, Jg-r(s, B(v)))

= max{sups ≤ B(v)T(s, Jg-r(s, B(v))), sups > B(v)T(s, Jg-r(s, B(v)))}

= max{sups ≤ B(v)T(s, 1), sups > B(v)T(s, 0)}

= max{B(v), 0} = B(v), vì, T(s, 0) ≤ T(1, 0) = 0.

ðể dễ so sánh, chúng ta cho các kết quả nghiên cứu về vấn ñề này ñối

với các phép kéo theo ñã ñề cập ở trên trong Bảng 2.1.

Bảng 2.2. Quy tắc cắt ñuôi tổng quát hóa

Tên

phép kéo

theo

t-norm

min

t-norm

tích ñại số

t-norm

hiệu giới

nội

t-norm

giao

chặt

Gaines-Rescher B B B B

Goedel (Jg) B B B B

Goguen (J∆) B1/2 B B B

Kleene-Dienes max{1/2, B} max{1/4, B} B B

82

Lukasiewicz

(Ja) )1(2

1 B+ 241 )1( B+ B B

Reichenbach

(Jr) B−2

1 max{B,

)2/1,min(44

1

B−} B B

Wu (Jwu) B B B B

2.4.2.2. ðối với quy tắc modus tollens tổng quát hóa

Tương tự như ñối với trường hợp nghiên cứu về việc lựa chọn phép kéo

theo mờ ñối với phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên quy tắc suy luận cắt

ñuối tổng quát hóa ở trên, một tiêu chuẩn lựa chọn phép kéo theo mờ là khi sự

kiện ñầu vào B’ := ¬B thì kết luận hay ñầu ra của quy tắc suy luận phải là A’

= ¬A1, hay chúng ta phải có:

N(A(u)) = supv∈V T(N(B(v)), J(A(u), B(v))) (28*)

Tương tự như việc nghiên cứu ñối với quy tắc cắt ñuôi tổng quát hóa ở

trên, kết quả lập luận A’ khi sử dụng quy tắc modus tollens tổng quát hóa với

giá trị ñầu vào B’ = B ñược cho trong Bảng 2.2.

2.4.2.3. Xây dựng phương pháp lập luận dựa trên phương trình quan hệ

mờ

Trong hai Mục trước chúng ta ñã trình tiêu chuẩn lựa chọn phép kéo

theo mờ J ñể xác ñịnh quan hệ R sao cho nó thỏa biểu thức

B = A o R (29*)

ñối với quy tắc cắt ñuôi tổng quát hóa, và thỏa biểu thức

N(A) = R o N(B) (30*)

ñối với quy tắc modus tollens tổng quát hóa.

Như vậy, bản chất của việc tìm một phương pháp lập luận xấp xỉ là việc

xác ñịnh quan hệ mờ R một cách phù hợp. Tuy nhiên, khi quan sát hai biểu

thức (29*) và (30*), chúng ta có thể coi chúng như là các phương trình quan

1 Xem chú thích ngay trước.

83

hệ mờ và bài toán xây dựng một phương pháp lập luận xấp xỉ trở thành việc

giải phương trình quan hệ mờ (29*) hay (30*) ñển tìm lời giải R khi cho biết

các “quan hệ mờ” A và B.

Bây giờ chúng ta ñi nghiên cứu một số phương pháp giải các phương

trình quan hệ ở hai dạng nếu trên.

Bảng 2.3. Quy tắc modus tollens tổng quát hóa

Tên

phép kéo

theo

t-norm min t-norm

tích

ñại số

t-norm

hiệu giới

nội

t-norm

giao chặt

Gaines-Rescher ¬A ¬A ¬A ¬A

Goedel (Jg) max{1/2, ¬A} max{1/4, ¬A} ¬A ¬A

Goguen (J∆) A−1

1 max{1/(4A), ¬A} ¬A ¬A

Kleene-Dienes max{1/2, ¬A} max{1/4, ¬A} ¬A ¬A

Lukasiewicz

(Ja) )1( 2

1 A− 241 )2( −A ¬A ¬A

Reichenbach

(Jr) A+1

1

<¬

≥

21

21

)())((

)()(4

1

uAuA

uAuA

¬A ¬A

Wu (Jwu) ¬A ¬A ¬A ¬A

1) Phương trình quan hệ mờ

Cho các quan hệ mờ 2-ngôi P(u, v), Q(v, w) và R(u, w), với u ∈ U, v ∈

V và w ∈ W. ðối với việc nghiên cứu phương trình quan hệ, chúng ta giới hạn

việc xét các quan hệ mờ rời rạc, U, V và W là các tập hữu hạn

U = {ui : i = 1, …, n}, V = {vj : j = 1, …, m} và W = {wk : k = 1, …, l}

Khi ñó các quan hệ mờ có thể biểu thị ở dạng ma trận.

Xét phương trình quan hệ mờ

84

R = P T

o Q (31*)

Giả sử rằng các quan hệ R và Q là các dữ kiện cho trước. Bài toán ñặt ra là tìm

quan hệ mờ P sao cho nó thỏa phương trình quan hệ (31*). Vì phép T

o không

giao hoán, một bài toán tương tự là, cho trước R và P, tìm quan hệ Q sao cho

nó thỏa phương trình (21*).

Công thức (31*) cũng có thể ñược xem như là một sự phân tích quan hệ

R thành quan hệ Q khi cho trước P, hoặc một sự phân tích quan hệ R thành

quan hệ P khi cho trước quan hệ Q.

Vì các quan hệ có thể biểu thị ở dạng ma trận, như chúng ta ñã biết,

phép hợp thành “T

o ” ứng với phép t-norm T sẽ là phép tích ma trận tương tự

như phép tích ma trận thông thường, với phép nhân là phép t-norm T và phép

cộng là phép lấy max. Vì vậy chúng ta có thể sử dụng công cụ ma trận ñể giải

phương trình (31*).

Một cách tổng quát, các quan hệ trong (31*) có thể suy biến thành các

các ma trận một hàng hay một cột. Chẳng hạn, R và P có thể suy biên thành

hai vectơ hàng, hoặc R và Q là hai vectơ cột.

Vấn ñề phân hoạch bài toán

Trước hết ta xét bài toán cho trước ma trận R và Q, hãy xác ñịnh tập

các ma trận S(Q, R) thỏa phương trình (31*), xác ñịnh tập lời giải của phương

trình (31*)

S(Q, R) = {P : P o Q = R} (32*)

trong ñó, phép hợp thành o ñược giới hạn là phép hợp thành max-min.

Không mất tính chất tổng quát có thể thấy dễ dàng và tự nhiên rằng bài toán

này sẽ ñược phân tách thành tập các bài toán biểu thị bằng phương trình ma

trận sau:

pi o Q = ri (33*)

trong ñó i = 1, …, n, và các vectơ hàng pi = (pij : j = 1, …, m) và ri = (rik : k =

1, …, l). Công thức (33*) có nghĩa,

rik = max1≤j≤m min(pij, qjk) (34*)

85

Ký hiệu tập các lời giải của phương trình (33*) là

Si(Q, ri) = {pi : pi o Q = ri} (35*)

với i = 1, …, n. Khi ñó lời giải của phương trình (31*) sẽ là vectơ cột

P =

np

p

p

.

.

.2

1

, với pi ∈ Si(Q, ri) với mọi i = 1, …, n.

Một câu hỏi ñặt ra là khi nào phương trình ma trận (33*) có nghiệm hay

không có nghiệm, hay khi nào Si(Q, ri) ≠ ∅?

Từ công thức (34*) co thể thấy ngay là nếu

max1≤j≤m qjk < max1≤i≤n rik (36*)

với một chỉ số k nào ñó, thì Si(Q, ri) = ∅, nghĩa là không có một ma trận P

nào thỏa mãn phương trình ma trận (31*).

Ví dụ 2.1. Xét phương trình ma trận dạng (31*) sau

=

0,12,0

3,06,0

4,00,1

8,07,0

5,09,0

232221

131211o

ppp

ppp,

với ma trận thứ nhất P là ẩn số. Bài toán ñặt ra là xác ñịnh tập nghiệm S(Q,

R). Như chúng ta ñã trình bày ở trên, bài toán này ñược phân hoạch thành một

tập các bài toán con dạng (33*) sau

( ) ( )3,06,0

4,00,1

8,07,0

5,09,0

131211 =

oppp

và

( ) ( )0,12,0

4,00,1

8,07,0

5,09,0

232221 =

oppp .

Tuy nhiên, với k = 2, i = 2, ta có r22 = 1,0 và chúng ta kiểm chứng thấy

86

max1≤j≤m qjk = max(0,5 0,8 0,4) < 1,0 = r22.

Vậy, phương trình ma trân ñã cho không có nghiệm, S(Q, R) = ∅.

Sau ñây chúng ta nghiên cứu phương pháp giải phương trình (31*) hoặc

(33*), kể cả phương pháp giải xấp xỉ trong trường hợp S(Q, R) = ∅.

Phương pháp giải phương trình ma trận với phép hợp thành max-min

Xét phương trình quan hệ p o Q = r (37*)

của một phân hoạch nào ñó, ta bỏ qua chỉ số phân hoạch i trong phương trình

(33*). Trước hết, chúng ta khảo sát cấu trúc của tập lời giải của phương trình

(37*), S(Q, r) = {p : p o Q = r}.

Gọi P = {p = (p1, …, pm) : pj ∈ [0, 1], j = 1, …, m}, p là tập mờ trên

không gian V. Trên P ta ñịnh nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên các vectơ, p

≤ p’ nếu và chỉ nếu pj ≤ p’j, với mọi j = 1, …, m. Với bây kỳ 2 phần tử p và p’,

với p ≤ p’, ta ñịnh nghĩa ñoạn

[p, p’] = {p’’: p ≤ p’’ ≤ p’}.

Chúng ta biết rằng tập [p, p’] sẽ tạo thành một dàn (lattice).

Dựa trên cấu trúc P ta ñịnh nghĩa một số khái niệm sau.

Xét tập lời giải hay tập nghiệm S(Q, r). Phần tử p* của S(Q, r) ñược gọi là

nghiệm tối ñại nếu với mọi p ∈ S(Q, r), ta có p ≥ p* ⇒ p = p*, không tồn tại

một nghiệm của (37*) nào thực sự lớn hơn p*. Nghiệm p* ñược gọi là lớn

nhất nếu p* ≥ p, với ∀p ∈ S(Q, r).

Một cách tương tự, p* ∈ S(Q, r) ñược gọi là nghiệm tối tiểu nếu với

mọi p ∈ S(Q, r), ta có p ≤ p* ⇒ p = p*, t.l. không tồn tại một nghiệm của

(37*) nào thực sự nhỏ hơn p*. Nghiệm pv ñược

gọi là nhỏ nhất nếu pv ≤ p, với ∀p ∈ S(Q, r).

Người ta ñã xác ñịnh ñược cấu trúc của tập

nghiệm S(Q, r) như sau:

- Tập S(Q, r) luôn tồn tại nghiệm lớn nhất

p*;

p* nghiệm lớn nhất

1pv nghiệm

tối tiểu 2pv nghiệm tối

tiểu nghiệm tpv

tối tiểu . . . .

Hình 2.6. Cấu trúc tập S(Q, r)

87

- Tập S(Q, r) chứa nhiều nghiệm tối tiểu, nhìn chung phương trình (37*)

không có nghiệm nhỏ nhất;

- Với p’ là một nghiệm tối tiểu và p* là nghiệm lớn nhất của (37*), ta có

[p’, p*] ⊆ S(Q, r). Nói khác ñi, khi ký hiệu Smin = Smin(Q, r) là tập các nghiệm

tối tiểu của S(Q, r), ta có

S(Q, r) = U**

],[ **Sp

pp∈

Trên Hình 2.6 chúng ta thây hình ảnh cấu trúc tập nghiệm S(Q, r) với

chỉ một nghiệm lớn nhất và một số nghiệm tối tiểu còn tập [lpv, p*] biểu thị

bằng hình chiếc lá.

Bây giờ ta xem xét phương pháp hay thủ tục xác ñịnh cấu trúc S(Q, r).

(i) Xác ñịnh nghiệm lớn nhất: Người ta cũng chứng tỏ rằng nếu S(Q, r) ≠

∅ thì nghiệm lớn nhất p* = ( *jp : j = 1, …, m) ñược xác ñịnh như sau:

*jp = min1≤ k ≤ l ϕ(qjk, rk), với ϕ(qjk, rk) =

>

otherwise

rqifr kjkk

1 (38*)

và nếu p* không thỏa mãn phương trình (37*) thì S(Q, r) = ∅, nghĩa là việc

tồn tại nghiệm lớn nhất ñược xác ñịnh bởi (38*) là ñiều kiện cần và ñủ ñể

S(Q, r) ≠ ∅.

(ii) Xác ñịnh tập nghiệm tối tiểu Smin(Q, r): ðể xác ñịnh ñược cấu trúc

của tập S(Q, r), tiếp theo ta chỉ cần xác ñịnh tập Smin(Q, r), ta giải bài toán tìm

trong các phần tử p ≤ p*, tất cả các nghiệm tối tiểu của (37*). Không mất tính

tổng quát giả thiết rằng r1 ≥ … ≥ rs > 0, với s ≥ l, nghĩa là giả thiết này kéo

theo việc ta chỉ xét phương trình (37*) với việc rút gọn vectơ r xuống còn s

thành phần. Thực vậy, nếu các thành phần của vectơ hàng r không phải là dãy

số ñơn ñiệu không tăng, ta chỉ cần thực hiện một phép hoán vị thích hợp các

vị trí của chúng. Ta có quyền làm ñược ñiều mày vì tập chỉ số của vectơ r

tương ứng với các phần tử của không gian W mà các phần tử của nó không bị

buộc phải ñược xắp thứ tự. Sau ñó, ñể không làm thay ñổi phương trình ma

88

trận (37*) chúng ta thực hiện chính phép hoán vị ñó ñối với các chỉ số cột của

ma trận Q (lưu ý rằng chỉ số cột của Q trùng với chỉ số các thành phần của r).

Ngoài ra, với thành phần rk = 0, k > s, ta có thể loại bỏ thành phần này của

vectơ r và cột thứ k của Q, vì nếu p là nghiệm của phương trình (37*) ñã ñược

rút gọn thì ta cũng có max1≤j ≤m min{pj, qjk} = rk = 0. Thực vậy, vì p* là

nghiệm nên ta phải có

max1≤j ≤m min{ *jp , qjk} = rk = 0. (39*)

Từ ñây ta suy ra nếu qjk ≠ 0 thì *jp = 0 và nếu qjk = 0 thì *

jp có thể nhận

giá trị tùy ý trong [0, 1] mà ta vẫn có ñẳng thức (39*). Vì p ≤ p*, nên ta có pj

= 0 ñối với j mà qjk ≠ 0 và do ñó p thỏa mãn (39*). Như vậy mọi nghiệm của

phương trình (37*) rút gọn ñều là nghiệm của phương trình gốc.

Bây giờ ta chỉ ra rằng ta có thể rút gọn tiếp phương trình (37*) bỏ các

dữ liệu liên quan ñến các chỉ số j mà *jp = 0. Cụ thể ñối với những chỉ số j này

ta loại bỏ thành phần *jp của vectơ p* và hàng thứ j của ma trận Q. Khi ñó,

nếu p là nghiệm của pgương trình (37*) rút gọn, thì khi khôi phục lại thành

phần thứ j ñã loại với giá trị bằng 0 ta sẽ thu ñược nghiệm của phương trình

gốc, việc p ñược khôi phục như vậy sẽ thỏa phương trình gốc.

Như vậy, chúng ta có thể giả thiết rằng mọi thành phần của vectơ

nghiệm lớn nhất p* và vectơ r ñều khác 0, *jp ≠ 0, với j = 1, …, m, và rk ≠ 0,

với k = 1, …, l. Khi ñó, cho trước Q, r và p* thỏa mãn các ñiều kiện trên, tập

nghiệm tối tiểu của phương trình rút gọn (37*) ñược xác ñịnh bằng một thủ

tục.

ðể tránh việc trình bày các kỹ thuật phức tạp chúng ta sẽ không chứng

minh tính ñúng ñắn của thủ tục này. Nhưng ñể nắm ñược ý tưởng của thủ tục

ta nêu ra một số nhận xét trực quan.

Ta viết lại công thức (34*) ñể xem xét, với lưu ý rằng ta bỏ qua chỉ số i

trong công thức này vì ta ñang xét bài toán của một phân hoạch với phương

trình (37*):

rk = max1≤j≤m min(pj, qjk), (*)

89

trong ñó pj là thành phần của một vectơ nghiệm tối tiểu nào ñó. Như vậy, phải

có những chỉ số j ñể min(pj, qjk) = rk, với mọi k. Vì p là tối tiểu nên, ñối với

những chỉ số j như vậy, ta phải có pj = rk. ðối với những chỉ số j’ khác, giá trị

pj’ của vectơ p không ảnh hưởng ñến kết quả của công thức (*), vì min(pj’, qjk)

< rk. Vì vậy, vì p là tối tiểu nên pj’ = 0. Vì vậy, các bước chính của thủ tục xác

ñịnh tập Smin(Q, r) bao gồm:

1. Xác ñịnh các tập Jk(p*) = {j: 1 ≤ j ≤ m, min( *jp , qjk) = rk}, k = 1, …, l.

Thiết lập tich ðề-các J(p*) = J1(p*) × J2(p*) × … × Jl(p*).

Ký hiệu các phần tử của J(p*) là β = (βk : k = 1, …, l).

2. ðối với mỗi β ∈ J(p*) và mỗi chỉ số j, 1 ≤ j ≤ m, ta xác ñịnh tập sau

K(β, j) = {k : 1 ≤ k ≤ l, βk = j}.

3. Với mỗi phần tử β ∈ J(p*), ta sinh các vectơ sau g(β) = (gj(β): j = 1,

…, m), trong ñó :

gj(β) =

∅≠∈

otherwise

jKifrkjKk

0

,),(max ),( ββ

.

4. Lựa chọn trong các vectơ m-chiều ñược sinh ra trong Bước 3 những

phần tử tối tiểu theo quan hệ thứ tự một phần trong P. Các phần tử như vậy

tồn tại vì số các phần tử g(β) là hữu hạn và chúng là tập tất cả các nghiệm tối

tiểu.

Ví dụ 2.2. Cho trước quan hệ Q và r như sau:

Q =

0,06,03,01,0

0,05,00,18,0

0,02,07,09,0

1,05,04,01,0

và r = ( )0,05,07,08,0

Hãy xác ñịnh tập tất cả các nghiệm S(Q, r) của (37*).

(i) Trước hết ta xác ñịnh nghiệm lớn nhất p* dựa vào công thức (38*).

Ta có,

90

*1p = min(1,0 1,0 1,0 0,0) = 0,0

*2p = min(0,8 1,0 1,0 1,0) = 0,8

*3p = min(1,0 0,7 1,0 1,0) = 0,7

*4p = min(1,0 1,0 0,5 1,0) = 0,5

và p* = (0,0 0,8 0,7 0,5). Chúng ta có thể kiểm chứng rằng p* là nghiệm và

do ñó S(Q, r) ≠ ∅.

(ii) Xác ñịnh các nghiệm tối tiểu: Do *1p = 0,0 và r4 = 0,0 ta có phương

trình ma trận rút gọn sau:

( ) ( )5,07,08,0

6,03,01,0

5,00,18,0

2,07,09,0

432 =

oppp .

Bây giờ ta thức hiện thủ tục 4 bước ñã trình bày ở trên.

1. Với p* = (0,8 0,7 0,5), ta có J1(p*) = {2}, J2(p*) = {2, 3} và J3(p*)

= {3, 4}. Vậy, J(p*) = {2} × {2, 3} × {3, 4}. (Lưu ý rằng, sau khi rút gọn, j =

2, 3, 4 còn k = 1, 2, 3).

2. Tập K(β, j) và các vectơ g(β), β ∈ J(p*) = {2} × {2, 3} × {3, 4},

ñược xác ñịnh và liệt kê trong Bảng 2.4 sau:

Bảng 2.4. Kết quả Bước 2 và 3 trong Ví dụ 2.2

K(β, j)

j :=

2 3 4

g(β)

j := 2 3 4

β = 2 2 3

2 2 4

2 3 3

2 3 4

{1, 2} {3} ∅

{1, 2} ∅

{3}

{1} {2, 3} ∅

{1} {2}

{3}

(0,8 0,5 0,0)

(0,8 0,0 0,5)

(0,8 0,7 0,0)

(0,8 0,7 0,5)

91

3. ðối với mỗi β ∈ J(p*), ta sinh các vectơ g(β) ñược cho trong cột

cuối của Bảng 2.4.

4. Dựa trên quan hệ thứ tự trên P, ta thấy có hai vectơ tối tiểu là (0,8

0,5 0,0) và (0,8 0,0 0,5) và chúng là lập thành tất cả các nghiệm tối tiểu của

phương trình ma trận ñã cho. Quay về phương trình gốc chưa rút gọn, nghiệm

tối tiểu thu ñược bằng việc thêm thành phần *1p = 0,0 và, do ñó, ta thu ñược

S*(Q, r) = {(0,0 0,8 0,5 0,0), (0,0 0,8 0,0 0,5)}.

2.4.2.4. Lập luận với phương trình quan hệ dựa trên các phép hợp thành

sup-T

Xét phương trình ma trận

P T

o Q = R (40*)

trong ñó, thay vì phép hợp thành max-min, oT ở ñây là phép hợp thành sup-T

với phép t-norm T, còn các ký hiệu liên quan ñến các quan hệ P, Q và R hoàn

toàn giữ nguyên như trong mục trên. Tương tự như trong Mục trước, bài toán

ñặt ra là cho trước các ma trận Q và R, hãy tìm nghiệm ma trận P. Ta sẽ sử

dụng cùng các ký pháp như trong mục trước, chẳng hạn S(Q, R) là tập tất cả

các nghiệm của (40*), p* là nghiệm lớn nhất, nó là phần tử lớn nhất của S(Q,

R) trong tập sắp thứ tự một phần P.

Như ta biết, phương trình (40*) biểu thị một tập các phương trình có dạng

sup1≤j≤m T(pij, qjk) = rik (41*)

với mọi i = 1, …, n và k = 1, …, l, và T là một phép t-norm cho trước.

ðể giải bài toán này, chúng ta nghiên cứu hai loại phép tính hợp thành

ñược gọi là phép hợp thành sup-T (hay max-T, trong trường hợp hữu hạn) và

phép hợp thành infIT.

1) Phép hợp thành sup-T trên các quan hệ mờ

Khái quát hóa của phép hợp thành sup-min, hay max-min trong trường

hợp hữu hạn, là phép hợp thành sup-T, ký hiệu là T

o , ñược ñịnh nghĩa như sau:

(P T

o Q)(u, w) = supv ∈ V T(P(u, v), Q(v, w)) (42*)

92

với ∀u ∈ U và ∀w ∈ W. Như vậy nó trở về phép hợp thành sup-min khi thay

phép t-norm T bằng phép t-norm min (∧).

Giả sử P, Pj là các quan hệ mờ trên U × V, Q và Qj là các quan hệ mờ

xác dịnh trên U × W và R là quan hệ mờ xác ñịnh trên W × Z, trong ñó chỉ số j

∈ J. Khi ñó, chúng ta có thể kiểm chứng tính ñúng ñắn của các tính chất sau:

(i) (P T

o Q) T

o R = P T

o (Q T

o R), (tính chất kết hợp của phép

oT)

(ii) P T

o )(U Jj jQ∈

= )(U oJj jQP

T

∈,

(iii) P T

o )()( II oJj jJj j QPQ

T

∈∈⊆ ,

(iv) )(U Jj jP∈

T

o Q = )(U oJj j QP

T

∈,

(v) )()( II ooJj

T

j

T

Jj j QPQP∈∈

⊆ ,

(vi) (P T

o Q)t = Qt T

o Pt, trong ñó phép “t” là phép chuyển vị

ma trận hàng thành cột hay, một cách

tương ñương, chuyển cột thành hàng;

(vii) Q1 ⊆ Q2 ⇒ (P T

o Q1 ⊆ P T

o Q2) & (Q1 T

o P ⊆ Q2 T

o P).

Bây giờ ta chỉ xét trường hợp mà tất cả các quan hệ mờ 2-ngôi ñều xác ñịnh

trên không gian U × U, hay gọi ñơn giản là các quan hệ 2-ngôi trên U. Tập tất

cả các quan hệ như vậy ñược kí hiệu là R(U). Tương tự như trong Mục trước,

ở ñây ta có khái niệm T-bắc cầu: Quan hệ 2-ngôi R trên U là T-bắc cầu nếu

và chỉ nếu R T

o R ⊆ R.

Nếu R không phải là T-bắc cầu ta ñịnh nghĩa bao ñóng T-bắc cầu của

nó, ký hiệu là RT, là quan hệ T-bắc cầu nhỏ nhất chứa R. ðể nghiên cứu bao

ñóng T-bắc cầu của quan hệ R, ta ñưa ra ký pháp sau: Ký hiệu R2(T) = R, R2(T)

= R T

o R và, bởi quy nạp, ta ñịnh nghĩa Rk(T) = Rk-1(T) T

o R. Nếu không có gì

nhầm lẫn, ñể cho gọn, ta loại bỏ kí hiệu (T) ở số mũ, thay vì viết Rk(T) ta viết

Rk. Theo tính chất kết hợp của oT, ta có Rk T

o Rl = Rk+l.

93

Theo ñịnh nghĩa của phép T

o , ta có thể thấy rằng

Rk(u, v) = )),(),...,,(),,((sup 1211,..., 11vzRzzRzuRT kzz k −−

(43*)

ðịnh lý 2.5. Với mọi quan hệ 2-ngôi trên U, bao ñóng T-bắc cầu của R ñược

tính theo công thức sau:

RT = U ∞<≤n

nR1

(44*)

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh quan hệ S = U ∞<≤n

nR1

thỏa tính chất

bắc cầu. Thực vậy, theo tính chất (iv) và (ii), ta thấy

S T

o S = U ∞<≤n

nR1

T

o U ∞<≤m

mR1

= U Uo∞<≤ ∞<≤n m

mT

n RR1 1

)(

= U U o∞<≤ ∞<≤n m

mT

n RR1 1

)( = U ∞<≤

+

mn

mnR,1

⊆ U ∞<≤n

nR1

= S,

nghĩa là, theo ñịnh nghĩa, S là quan hệ T-bắc cầu.

Rõ ràng ta có R ⊆ S và do ñó ta chỉ còn cần chứng minh là S là nhỏ nhất trong

các quan hệ T-bắc cầu chứa R. Giả sử Q là quan hệ T-bắc cầu bất kỳ chứa R.

Khi ñó, ta có R2 = R T

o R ⊆ Q T

o Q ⊆ Q.

Bằng quy nạp, giả sử Rn ⊆ Q, ta suy ra Rn+1 = R T

o Rn ⊆ Q T

o Q ⊆ Q. Do

vậy, với mọi n, ta thu ñược Rn ⊆ Q. ðiều này kéo theo kết luận S = U ∞<≤n

nR1

⊆

Q, S là nhỏ nhất trong những quan hệ mờ Q như vậy và do ñó, theo ñịnh

nghĩa, S = RT.

ðịnh lý 2.6. Giả sử R là quan hệ mờ phản xạ trên tập U hữu hạn n phần tử, n ≥

2. Khi ñó, ta có RT = Rn-1.

94

Chứng minh: Vì R là phản xạ, ta có E ⊆ R, trong ñó E là ma trận ñơn vị. Khi

ñó, R = E T

o R ⊆ R T

o R = R2. Từ ñó suy ra rằng Rn ⊆ Rn+1, với mọi số

nguyên n.

Trước khi chứng minh tiếp, ñể dễ hiểu ta nhắc lại một tính chất của các

phép t-norm T. Do tính chất kết hợp của T ta có thể viết T(a1, T(a2, a3)) = T(a1,

a2, a3) và do ñó, theo quy nạp, ta cũng có T(a1, a2, …, am) = T(a1, T(a2, a3, …,

am)), ai ∈ [0, 1]. Dựa vào các tính chất của t-norm ta có thể thấy rằng

T(a1, …, ai-1, ai, ai+1, …, am) ≤ T(a1, …, ai-1, ai+1, …, am), (45*)

tức là khi bỏ bớt một toán hạng thì hàm T không giảm. Thực vậy, do tính ñơn

ñiệu của T, tính chất T(a, 1) = a và tính giao hoán, ta có

T(a1, …, ai-1, ai, ai+1, …, am) ≤ T(a1, …, ai-1, 1, ai+1, …, am)

= T(a1, …, ai-1, ai+1, …, am, 1)

= T(T(a1, …, ai-1, ai+1, …, am),1)

= T(a1, …, ai-1, ai+1, …, am),

ta thu ñược công thức (45*).

Bây giờ ta chứng tỏ rằng Rn = Rn-1 hay Rn(u, v) = Rn-1(u, v), với ∀u, v ∈ U, ở

ñây n = |U|. Với u = v, ta có 1 ≤ Rn-1(u, u) ≤ Rn(u, u) ≤ 1, hay Rn(u, u) = Rn-1(u,

u). Giả sử rẳng u ≠ v. Theo công thức (43*) ta có:

Rn(u, v) = )),(),...,,(),,((sup 1211,..., 11vzRzzRzuRT nzz n −−

.

Do n = |U|, dãy các phần tử u = z0, z1, z2, …, zn-1, zn = v phải có hai phần tử

bằng nhau, chẳng hạn zi = zj, với 0 ≤ i < j ≤ n. Khi ñó, dựa vào (45*) và (43*),

ta thu ñược:

)),(),...,,(),...,,(),...,,(( 1111 vzRzzRzzRzuRT njjii −+−

≤ )),(),...,,(),,(),...,,(( 1111 vzRzzRzzRzuRT njjii −+−

≤ Rk(u, v) (với k ≤ n − 1)

≤ Rn-1(u, v).

Từ bất ñẳng thức này và (43*), ta suy ra Rn(u, v) ≤ Rn-1(u, v), với ∀u, v ∈ U,

ta có Rn ⊆ Rn-1. Như vậy, ta ñã chứng minh rằng Rn = Rn-1. ðiều này kéo theo

ñẳng thức Rm = Rn-1, với mọi m ≥ n. Vậy, (44*) dẫn ñến ñẳng thức RT = Rn-1.

95

2) Phép hợp thành Tℑ

inf trên các quan hệ mờ

Cho phép t-norm T, phép kéo theo liên kết với T, JT, ñược ñịnh nghĩa

trong Mục trước là:

JT(s, t) = sup {u ∈ [0, 1] : T(s, u) ≤ t} (46*)

Giả sử P và Q là hai quan hệ mờ xác ñịnh tương ứng trên U × V và V ×

W. Phép hợp thành Tℑ

inf , ký hiệu là Tℑ

o , trên các quan hệ mờ 2-ngôi ñược ñịnh

nghĩa như sau

(P Tℑ

o Q)(u, w) = inf v ∈ V JT(P(u, v), Q(v, w)) (47*)

với mọi (u, w) ∈ U × W.

Phép hợp thành Tℑ

o có các tính chất sau:

ðịnh lý 2.7. Cho các quan hệ mờ P(U, V), Q(V, W), R(U, W) và S(W, Z). Khi

ñó,

(i) Các khẳng ñịnh sau là tương ñương

P T

o Q ⊆ R ; (48*)

Q ⊆ Pt Tℑ

o R ; (49*)

P ⊆ (Q Tℑ

o Rt)t ; (50*)

(ii) Ta có: P Tℑ

o (Q Tℑ

o S) = (P T

o Q) Tℑ

o S. (51*)

Chứng minh: (i) Theo ðịnh lý 2.6, ta có

T(P(u, v), Q(v, w)) ≤ R(u, w) nếu và chỉ nếu JT(P(u, v), R(u, w)) ≥

Q(v, w), với mọi u ∈ U, v ∈ V và w ∈ W. Từ ñây ta suy ra

supv ∈ VT(P(u, v), Q(v, w)) ≤ R(u, w) nếu và chỉ nếu supu ∈ UT(Pt(v, u),

R(u, w)) ≥ Q(v, w). Nghĩa là, (48*) và (49*) là tương ñương.

ðể chứng minh (50*), ta hãy viết lại (48*) theo từng ñiểm (u, w), u ∈

U, w ∈ W, như sau: supv ∈ VT(P(u, v), Q(v, w)) ≤ R(u, w).

96

Biểu thức này tương ñương với supv ∈ VT(Qt(w, v), Pt(v, u)) ≤ Rt(w, u),

ta có : Qt Tℑ

o Pt ⊆ Rt. (52*)

Áp dụng sự tương ñương giữa (48*) và (49*), ta suy ra (52*) tương

ñương với (50*) và do ñó (50*) tương ñương với (48*).

(ii) là hệ quả trực tiếp của khẳng ñịnh (iii), ðịnh lý 2.6, nói rằng JT(T(s,

t), u) = JT(s, JT(t, u)), với mọi s, t, u ∈ [0, 1].

ðịnh lý 2.8. Cho các quan hệ mờ P(U, V), Pj(U, V), Q(V, W) và Qj(V, W), với

j ∈ J. Khi ñó,

QPJj j

T

U o∈

ℑ

)( = )( QPT

Jj j

ℑ

∈oI , (53*)

QPT

Jj j

ℑ

∈oI )( ⊇ )( QP

Jj j

T

U o∈

ℑ

, (54*)

IoJj jQP

T

∈

ℑ

)( = )( jJjQP

Tℑ

∈oI , (55*)

UoJj jQP

T

∈

ℑ

)( ⊇ )( jJjQP

T

U o∈

ℑ

. (56*)

Chứng minh: Các khẳng ñịnh tương ứng ñược suy ra trực tiếp từ các khẳng

ñịnh (vii), (vi), (ix) và (viii) trong ðịnh lý 2.6.

Sau ñây ta phát biểu ñịnh lý về tính ñơn ñiệu của phép hợp thành Tℑ

o .

ðịnh lý 2.9. Cho các quan hệ mờ P(U, V), Q1(V, W), Q2(V, W) và R(U, W).

Khi ñó, nếu Q1 ⊆ Q2, thì

P Tℑ

o Q1 ⊆ P Tℑ

o Q2 và Q1 Tℑ

o R ⊇ Q2 Tℑ

o R.

Chứng minh: Do Q1 ⊆ Q2, ta có Q1 ∩ Q2 = Q1 và Q1 ∪ Q2 = Q2. Áp dụng

(55*) ta thu ñược

(P Tℑ

o Q1) ∩ (P Tℑ

o Q2) = P Tℑ

o (Q1 ∩ Q2) = P Tℑ

o Q1.

ðẳng thức này chứng minh tính ñúng ñắn của bao hàm thứ nhất phát biểu

trong ñịnh lý. Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh bao hàm thức thứ hai

dựa vào (53*).

97

Các ñịnh lý về phép hợp thành Tℑ

o là cơ sở ñể chứng minh ñịnh lý sau

mà sẽ có vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình quan hệ.

ðịnh lý 2.10. Cho các quan hệ mờ P(U, V), Q(V, W) và R(U, W). Khi ñó, ta

có: Pt T

o ( P Tℑ

o Q) ⊆ Q, (57*)

R ⊆ P Tℑ

o (Pt T

oR), (58*)

P ⊆ (P Tℑ

o Q) Tℑ

o Qt, (59*)

R ⊆ (R Tℑ

o Qt) Tℑ

o Q . (60*)

Chứng minh: Một cách hiển nhiên ta có P Tℑ

o Q ⊆ (Pt)t Tℑ

o Q. Thiết lập

tương ứng các biểu thức con của biểu thức này với công thức (49*) và chuyển

về dạng công thức tương ñương (48*) ta thu ñược (57*). Một cách tương tự,

từ công thức hiển nhiên ñúng Pt T

o R ⊆ Pt T

oR, khi thiết lập tương ứng với

công thức (48*) và áp dụng công thức (49*) tương ñương với nó, ta thu ñược

(58*).

Bây giờ ta lấy chuyển vị ma trận của (57*) ta thu ñược [Pt T

o ( P Tℑ

o Q)]t

⊆ Qt. Do (R T

o S)t = St T

o Rt, với mọi quan hệ R và S, ta có ( P Tℑ

o Q)t T

o P ⊆

Qt. Lại thiết lập công thức con của công thức này tương ứng với công thức

con của (48*) và thay thế vào cônt thức tương ñương (49*) ta thu ñược (59*).

Công thức (60*) rõ ràng suy ra trực tiếp từ (59*).

Ta có nhận xét là nếu các dấu bao hàm trong (57*) và (58*) là dấu ñẳng

thức thì có thể xem hai phép hợp thành sup-T và inf-T là ñối của nhau. Tuy

nhiên, ở ñây chúng ta chỉ có dấu bao hàm nhưng chúng cũng thể hiện mối liên

hệ giữa hai phép hợp thành. Vì vậy, ta có thể xem chúng là ñối của nhau theo

nghĩa “yếu” như vậy.

Bây giờ ta trở lại việc giải phương trình (40*), P T

o Q = R, khi cho trước

các quan hệ Q và R.

ðịnh lý 2.11. Nếu ñối với phương trình (40*) ta có S(Q, R) ≠ ∅, thì P* = (Q Tℑ

o Rt)t là lớn nhất trong S(Q, R).

98

Chứng minh: Lấy một nghiệm P’ ∈ S(Q, R), P’ T

o Q = R. Theo sự tương

ñương của công thức (48*) và (50*) ta có: P’ ⊆ (Q Tℑ

o Rt)t = P*.

Vấn ñề còn lại là chứng minh P* ∈ S(Q, R). ðặt S = (Q Tℑ

o Rt)t T

o Q = P* T

o

Q và, do ñó, St = Qt T

o (Q Tℑ

o Rt). Theo (57*) của ðịnh lý 2.10, ta thu ñược St

⊆ Rt hay S ⊆ R. Mặt khác, S = P* T

o Q ⊇ P’ T

o Q = R và do ñó S = P* T

o Q = R, nghĩa là P* là nghiệm của phương trình (40*).

Từ ñịnh lý trên ta thấy ñể phương trình (40*) có nghiệm hay ñiều kiện

cần và ñủ là: (Q Tℑ

o Rt)t T

o Q = R.

Ví dụ 2.3. Xét phương trình (3.6-38) với phép t-norm T là phép nhân số học

và Q và R ñược cho như sau:

Q =

3,0

2,0

1,0

và R =

27,0

18,0

12,0

Khi ñó,

(P*)t = Q Tℑ

o Rt =

3,0

2,0

1,0Tℑ

o (0,12 0,18 0,27) =

9,06,04,0

0,19,06,0

0,10,10,1

Hay, P* =

9,00,10,1

6,09,00,1

4,06,00,1

.

Kiểm chứng ta thấy P* T

o Q =

9,00,10,1

6,09,00,1

4,06,00,1

T

o

3,0

2,0

1,0

=

27,0

18,0

12,0

,

nghĩa là S(Q, R) ≠ ∅ và P* là nghiệm lớn nhất.

ðịnh lý 2.12. Giả sử P’, P” ∈ S(Q, R). Khi ñó,

(i) ðiều kiện P’ ⊆ P ⊆ P” kéo theo P ∈ S(Q, R);

(ii) P’ ∪ P” ∈ S(Q, R), trong ñó ∪ là phép hợp ứng với t-conorm max.

99

Chứng minh: (i) Do R = P’ T

o Q ⊆ P T

o Q ⊆ P” T

o Q = R, ta suy ra P” T

o

Q = R, P ∈ S(Q, R).

(ii) Theo tính chất (iv) của phép hợp thành sup-T, )(U Jj jP∈

T

o Q =

)(U oJj j QP

T

∈, ta có (P’ ∪ P”)

T

o Q = (P’ T

o Q) ∪ (P” T

o Q) = R ∪ R = R.

ðiều này chứng tỏ P’ ∪ P” ∈ S(Q, R).

3.6.4.5. Lập luận với phương trình quan hệ dựa trên các phép hợp thành

infI-T

Xét phương trình quan hệ : P Tℑ

o Q = R (61*)

trong ñó phép hợp thành sup-T ñược thay bằng phép hợp thành infI-T liên kết

với phép t-norm T và P, Q và R là các quan hệ mờ xác ñịnh trên các không

gian hữu hạn, nghĩa là chúng ñược biểu diễn dưới dạng ma trận.

Tương tự như ñối với mục trên, cho trước P và R, ta ký hiệu S(Q, R) là

tập tất cả các nghiệm P của phương trình (61*). Cho ñến nay chưa có phương

pháp nào xác ñịnh ñược tất cả các nghiệm tối tiểu, nhưng nghiệm tối ñại ñược

xác ñịnh bởi ñịnh lý sau:

ðịnh lý 2.13. Nếu S(Q, R) ≠ ∅, thì P* = R Tℑ

o Qt là nghiệm lớn nhất trong

S(Q, R).

Chứng minh: Lấy một nghiệm bất kỳ P ∈ S(Q, R), P Tℑ

o Q = R. Xét biểu

thức R Tℑ

o Qt và dựa vào công thức (59*), ñối với mọi P và Q, ta có:

P* = R Tℑ

o Qt = (P Tℑ

o Q) Tℑ

o Qt ⊇ P. (62*)

Theo công thức (60*) và kết hợp ðịnh lý 2.9 về tính ñơn ñiệu của Tℑ

o với

(62*), ta thu ñược

R ⊆ (R Tℑ

o Qt) Tℑ

o Q ⊆ P Tℑ

o Q = R.

Do vậy, P* Tℑ

o Q = (R Tℑ

o Qt) Tℑ

o Q = R, nghĩa là P* là nghiệm lớn nhất

trong S(Q, R).

100

Nhận xét: Như là một hệ quả của ñịnh lý trên, phương trình (61*) có nghiệm

nếu và chỉ nếu ta có (R Tℑ

o Qt) Tℑ

o Q = R.

Ví dụ 2.4. Giả sử phép t-norm T trong (61*) là phép nhân số học và hai quan

hệ mờ Q và R ñược cho như sau:

Q =

9,08,0

6,01,0 và R =

0,125,0

0,120,0.

Khi ñó,

P* = R Tℑ

o Qt =

0,125,0

0,120,0

Tℑ

o

9,06,0

8,01,0 =

9,04,0

9,05,0

Kiểm chứng bằng việc thay P* vào phương trình (61*) ta thấy

9,04,0

9,05,0

Tℑ

o

9,06,0

8,01,0 =

0,125,0

0,120,0,

nghĩa là P* là nghiệm và là nghiệm lớn nhất của S(Q, R).

Do (P Tℑ

o Q)t ≠ Qt Tℑ

o Pt, bài toán tìm nghiệm P của phương trình (61*) không

thể chuyển trực tiếp về bài toán tìm nghiệm Q khi cho trước P và R. Ký hiệu

S(P, R) là tập tất cả các nghiệm của bài toán sau, khi ñó nghiệm tối tiểu trong

S(P, R) ñược xác ñịnh bởi ñịnh lý sau. Tiếc là cho ñến nay chúng ta chưa có

phương pháp tìm các nghiệm tối ñại trong S(Q, R).

ðịnh lý 2.14. Nếu S(P, R) ≠ ∅, thì Q* = Pt T

o R là nghiệm nhỏ nhất trong

S(P, R).

Chứng minh: Lấy nghiệm tùy ý Q ∈ S(P, R), t.l. P Tℑ

o Q = R. Xét biểu thức

Pt T

o R và dựa vào (3.6-55), ñối với mọi quan hệ P và Q, ta có

Q* = Pt T

o R = Pt T

o (P Tℑ

o Q) ⊆ Q (63*)

Mặt khác, theo công thức (58*) và ðịnh lý 2.9 về tính ñơn ñiệu của Tℑ

o ,

từ (63*) ta thu dược

R ⊆ P Tℑ

o (Pt T

o R) = P Tℑ

o Q* ⊆ P Tℑ

o Q = R.

Do vậy, P Tℑ

o Q* = R và, do (53*) nghiệm Q* là nhỏ nhất.

101

Tương tự như ñối với tập nghiệm S(Q, R), ta cũng dễ dàng chứng minh

các tính chất tương tự ñối với tập S(P, R) như sau:

1) Nếu Q’, Q” ∈ S(P, R), thì ñiều kiện Q’ ⊆ Q ⊆ Q” kéo theo Q ∈

S(P, R);

2) Nếu Q’, Q” ∈ S(P, R), thì Q’ ∩ Q” ∈ S(P, R).

Ví dụ 2.5. Giả sử phép t-norm T trong phương trình (61*) là phép nhân số học

và hai quan hệ P và R ñược cho như sau

P =

9,04,0

9,05,0 và R =

0,125,0

0,120,0.

Nhớ rằng P ở ñấy chính là nghiệm của bài toán trong ví dụ trước.

Khi ñó,

Q* = Pt T

o R =

9,09,0

4,05,0

T

o

0,125,0

0,120,0 =

9,0225,0

5,0100,0.

Thay Q* vào phương trình (61*), ta có

P Tℑ

o Q =

9,09,0

4,05,0

Tℑ

o

9,0225,0

5,0100,0 =

0,125,0

0,120,0.

Vậy, Q* là nghiệm nhỏ nhất trong S(P, R) của phương trình (61*).

2.4.2.6. Nghiệm xấp xỉ của phương trình quan hệ

Xét phương trình quan hệ

P T

o Q = R (64*)

Nhìn chung, với Q và R cho trước, (64*) không có nghiệm và, do ñó,

bài toán ñặt ra là hãy nghiên cứu vấn ñề nghiệm xấp xỉ của phương trình trên.

Ý tưởng về nghiệm xấp xỉ như sau.

Giả sử phương trình (64*) không có nghiệm. Khi ñó, ta biến ñổi một

chút các quan hệ mờ Q và R thành quan hệ Q’ và R’ sao cho phương trình

102

P T

o Q’ = R’ (65*)

trở nên có nghiệm. Một cách tự nhiên, chúng ta xem các nghiệm của (65*) là

các nghiệm xấp xỉ của (64*) nếu chúng thỏa mãn một số ñiều kiện hợp lý nào

ñó. Ý tưởng này gợi ý cho chúng ta ñưa ra ñịnh nghĩa sau ñây:

ðịnh nghĩa 2.1. Một quan hệ mờ P~ ñược gọi là nghiệm xấp xỉ của (64*) nếu

các ñiều kiện sau thỏa mãn:

(i) Tồn tại các quan hệ Q’ ⊇ Q và R’ ⊆ R sao cho

P~ T

o Q’ = R’ . (66*)

(ii) Nếu có những quan hệ P”, Q” và R” sao cho Q ⊆ Q” ⊆ Q’, R’ ⊆

R” ⊆ R và P” T

o Q” = R”, thì Q” = Q’ và R” = R’.

ðể hiểu ý nghĩa của ñịnh nghĩa này, ta hãy viết phương trình quan hệ

(64*) theo ñiểm như sau, supv ∈ VT(P(u, v), Q(v, w)) = R(u, w) (67*)

Khi ñó, có thể thấy ý nghĩa của ñiều kiện (i) là: Vì phương trình (64*)

không có nghiệm, nghĩa là có những ñiểm tại ñó dấu ñẳng thức trong (67*)

phải thay bằng dấu nhỏ hơn ‘<’, và do ñó muốn phương trình quan hệ có

nghiệm thì hoặc là phải thay thế Q bằng quan hệ lớn hơn, hoặc phải thay thế R

bằng quan hệ nhỏ hơn, hoặc cả hai trường hợp. Ý nghĩa của (ii) ró ràng hơn:

R’ và Q’ tương ứng phải gần R và Q nhất nếu chúng tồn tại.ðể làm sáng tỏ, ta

ñưa ra ví dụ sau.

Ví dụ 2.6. Xét phương trình

P T

o

4,02,0

3,01,0 = ( )6,05,0 . (68*)

trong ñó T

o là phép hợp thành sup-tích ñại số. Ta tính quan hệ

P* = (Q Tℑ

o Rt)t =

t

T

ℑ

6,0

5,0

4,02,0

3,01,0o = ( )0,10,1 .

Do

P* T

o

4,02,0

3,01,0 = ( )0,10,1

T

o

4,02,0

3,01,0 = ( )4,02,0 ≠ ( )0,10,1 ,

103

theo ðịnh lý 2.11, ta suy ra phương trình quan hệ (68*) ñã cho không có

nghiệm.

Bây giờ cúng ta ñi tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (68*). Giả sử ta

giảm R thành R’ = (0,2 0,4). Khi ñó, nếu phương trình thu ñược có nghiệm

thì nó phải có dạng P~ = (Q Tℑ

o R’t)t và có thể kiểm chứng thấy ta cũng có P~ =

(1,0 1,0), và

P~ T

o

4,02,0

3,01,0 = ( )0,10,1

T

o

4,02,0

3,01,0 = ( )4,02,0 ,

nghĩa là P~ là nghiệm của (68*). Giả sử có R” = (r1 r2) sao cho R’ ⊆ R” ⊆ R

và phương trình sau

P* T

o

4,02,0

3,01,0 = R”

có nghiệm P” = (p1 p2). Khí ñó, ta có hệ phương trình

max{0,1p1, 0,2p2} = r1,

max{0,3p1, 0,4p2} = r2.

Hệ này chỉ có nghiệm chỉ khi r1 ≤ 0,2 và r2 ≤ 0,4, nghĩa là chỉ khi R” ⊆ R’.

Vậy R” = R’, và, theo ñịnh nghĩa, P~ là nghiệm xấp xỉ của phương trình (68*).

Hơn nữa, có thể kiểm chứng là bất kỳ quan hệ (a 1,0), với a ∈ [0, 1], ñều là

nghiệm xấp xỉ của (68*) và do ñó nghiệm xấp xỉ không duy nhất.

Bây giờ ta tìm nghiệm xấp xỉ khi tăng Q thành Q’ =

6,05,0

3,01,0. Khi ñó,

dạng nghiệm của phương trình P’ T

o Q’ = R là

P’~ = (Q’ Tℑ

o Rt)t =

t

T

ℑ

6,0

5,0

6,05,0

3,01,0o = ( )0,10,1 .

Kiểm chứng ta thấy

P’~ T

o

6,05,0

3,01,0 = ( )0,10,1

T

o

6,05,0

3,01,0 = ( )6,05,0 ,

104

nghĩa là P’~ ñúng là nghiệm của phương trình P’ T

o Q’ = R. Giả sử có quan hệ

Q” = (qjk) sao cho Q ⊆ Q” ⊆ Q’ và có tồn tại nghiệm P” = (p1 p2) của

phương trình mới P T

o Q” = R. Từ hệ thức Q ⊆ Q” ⊆ Q’ ta suy ra q11 = 0,1,

q12 = 0,3, 0,2 ≤ q21 ≤ 0,5 và 0,4 ≤ q22 ≤ 0,6. Thay vào phương trình ta có

(p1 p2) T

o

2221

3,01,0

qq = ( )6,05,0 ,

hay chúng ta có

max{0,1p1, q21p2} = 0,5,

max{0,3p1, q22p2} = 0,5.

Suy ra, q21p2 = 0,5 và q22p2 = 0,6 và do ñó ta phải có q21 ≥ 0,5 và q22 ≥ 0,6.

ðiều này chứng tỏ Q” ⊇ Q’, và ta thu ñược Q” = Q’. Theo ðịnh nghĩa 2.1,

P’~ = (1,0 1,0) là nghiệm xấp xỉ của (68*).

Từ ví dụ này ta thấy không chỉ nghiệm xấp xỉ của một phương trình

quan hệ là không duy nhất mà cả các quan hệ bị biến ñổi R’ và Q’ cũng không

duy nhất.

Một câu hỏi ñặt ra là nghiệm xấp xỉ về sự tồn tại của một phương trình

quan hệ bất kỳ?

ðịnh lý 2.15. Phương trình quan hệ (64*) luôn luôn có nghiệm xấp xỉ và P~ =

(Q Tℑ

o Rt)t là nghiệm xấp xỉ lớn nhất.

Chứng minh: Trước hết chúng ta chứng tỏ rằng P~ = (Q Tℑ

o Rt)t thỏa các ñiều

kiện của ðịnh nghĩa 2.1.. Chọn Q’ = Q và R’ = (Q Tℑ

o Rt)t T

o Q. Khi ñó, hiển

nhiên ta có P~ T

o Q = R’. Ta còn cần kiểm tra xem liệu R ⊆ R’. Từ hệ thức

(57*) ta suy ra

R’ = (Q Tℑ

o Rt)t T

o Q = [Qt T

o (Q Tℑ

o Rt)]t ⊆ (Rt)t = R, (69*)

nghĩa là ñiều kiện (i) thỏa mãn.

Bây giờ ta kiểm tra ñiều kiện (ii). Giả sử rằng có tồn tại Q”, R” và P” sao cho

Q ⊆ Q” ⊆ Q’, R’ ⊆ R” ⊆ R và P” T

o Q” = R”. Vì Q’ = Q, ta có P” T

o Q = R”,

nghĩa là phương trình P T

o Q = R” có nghiệm. Theo ðịnh lý 2.11, P* = (Q Tℑ

o

105

R”t)t là nghiệm và là phần tử lớn nhất trong S(Q, R”). Vì nó là nghiệm nên ta

có (Q Tℑ

o R”t)t T

o Q = R”. Do R’ ⊆ R” ⊆ R, ta có hệ thức

Q Tℑ

o R’t ⊆ Q Tℑ

o R”t ⊆ Q Tℑ

o Rt. (70*)

Mặt khác, ñể ý ñến vế trái của bao hàm thức trong (69*) và hệ thức (58*), ta

có :

Q Tℑ

o R’t = Q Tℑ

o [Qt T

o (Q Tℑ

o Rt)] ⊇ Q Tℑ

o Rt.

Kết hợp với (70*) ta thu ñược Q Tℑ

o R”t = Q Tℑ

o Rt và, do ñó, ta có

R” = (Q Tℑ

o R”t)t T

o Q = (Q Tℑ

o Rt)t T

o Q = R’.

Như vậy, ta ñã chứng tỏ rằng ñiều kiện (ii) thỏa mãn và P~ là nghiệm

xấp xỉ của (64*).

Ta còn cần chứng tỏ rằng P~ là nghiệm lớn nhất. Thực vậy, giả sử P’ là

một nghiệm xấp xỉ của (64*), nghĩa là có tồn tại Q’, R’ sao cho Q ⊆ Q’, R’ ⊆

R và P’ T

o Q = R’. Khi ñó, theo ðịnh lý 2.11, P’ ⊆ (Q’ Tℑ

o R’t)t và, do tính

ñơn ñiệu (giảm theo biến thứ nhất, tăng theo biến thứ hai) của Tℑ

o , ta có (Q’ Tℑ

o

R’t)t ⊆ (Q Tℑ

o Rt)t = P~. Nghĩa là, P’ ⊆ P~.

2.5. Lập luận xấp xỉ ña ñiều kiện

Nhìn chung ý tưởng của phương pháp lập luận xấp xỉ là thiết lập cách

tính kết luận từ một tập các tri thức dạng luật (mệnh ñề nếu-thì) và các sự

kiện, dựa trên lý thuyết tập mờ. Tri thức càng ñầy ñủ thì kết luận ñược tính

càng phù hợp với thực tiễn hơn. Trong các quy tắc lập luận trình bày trong các

phần trước, tiền ñề chỉ chứa một luật và vì vậy ñôi khi chúng ta gọi là phương

pháp lập luận mờ ñơn ñiều kiện (fuzzy single conditional reasoning method).

Trong mục này chúng ta nghiên cứu phương pháp lập luận dựa vào nhiều luật

và ñược gọi là phương pháp lập luận mờ ña ñiều liện (fuzzy multiple

conditional reasoning method). Từ “mờ” trong thuật ngữ này ñôi khi ñược bỏ

qua cho gọn.

Phương pháp lập luận ña ñiều kiện ñược mô tả bằng lược ñồ sau:

106

Tiền ñề 1: Nếu X là A1, thì Y là B1

Tiền ñề 1: Nếu X là A2, thì Y là B2

. . . . . . . . . . . (71*)

Tiền ñề n: Nếu Y là An, thì Y là Bn

Sự kiện: X là A’, .

Kết luận: Y là B’

trong ñó, X và Y là các biến ngôn ngữ với các không gian tham chiếu hay

không gian cơ sở tương ứng là U và V, còn Ai, Bi, A’ và B’, với i = 1, 2, …, n,

là những nhãn ngôn ngữ của các tập mờ xác ñịnh trên các không gian tham

chiếu U hoặc V. Tập n luật phát biểu trong các tiền ñề trên ñược gọi là mô

hình mờ vì nó mô tả hay mô hình hóa mối quan hệ giữa hai ñại lượng ñược

mô tả bằng các biến X và Y bằng các tập mờ.

Bất kỳ phương pháp nào cho phép tính kết luận B’ từ các tiền ñề và sự

kiện trong (71*) ñược gọi là một phương pháp lập luận xấp xỉ ña ñiều kiện.

Vì chúng ta ñang nằm trong môi trường thông tin không chắc chắn, mờ,

nên sẽ không có một phương pháp lập luận chính xác và duy nhất. Mối

phương pháp sẽ xuất phát từ một quan sát trực quan nào ñó. Vì vậy, nhìn

chung chúng ta sẽ có một số cách giải bài toán lập luận xấp xỉ.

Bây giờ chúng ta nghiên cứu một số phương pháp lập luận xấp xỉ ña

ñiều kiện.

2.5.1. Phương pháp dựa trên quy tắc modus ponens

Phương pháp này dựa trên ý tưởng xem n luật trong mô hình mờ ñược

liên kết với nhau bằng phép tuyển (disjuctive) hoặc phép hội (conjunctive).

Như vậy ta có thể áp dụng quy tắc modus ponens cho từng luật sau ñó kết

nhập (aggregate) các kết luận thu ñược ñối với từng luật.

2.5.1.1. Mô hình mờ ñược coi là tuyển của các luật

Phương pháp này bao gồm các bước sau:

Bước 1: Chọn một phương pháp thống nhất tính quan hệ mờ Rj(u, v) =

J(Aj(u), Bj(v)) ñể biểu thị ngữ nghĩa của các luật trong (71*). Khi ñó, với dữ

107

liệu ñầu vào A’ và với mỗi luật thứ j, j = 1, 2, …, n, kết luận trung gian B’j

ñược tính theo quy tắc modus ponens tổng quát

B’j = A’ T

o R, hay B’j(v) = supu∈U T(A’(u), J(Aj(u), Bj(v))).

Bước 2: Biểu thị phép hội liên kết các luật bằng phép t-norm chuẩn,

phép hợp tập mờ, ta tính kết luận B’ theo công thức

B’ = U nj jB≤≤1

' , hay

B’(v) = max1≤j≤n supu∈U T(A’(u), J(Aj(u), Bj(v))), v ∈ V. (72*)

Trong trường hợp phép kéo theo ñược ñịnh nghĩa bởi Mamdani,

J(Aj(u), Bj(v)) = min{Aj(u), Bj(v)}, và T là phép t-norm chuẩn, phép min, công

thức trên sẽ trở thành

B’(v) = max1≤j≤n supu∈U min{A’(u), min[Aj(u), Bj(v)]}

= max1≤j≤n supu∈U min{min[A’(u), Aj(u)], Bj(v))}

= max1≤j≤n min{supu∈U min[A’(u), Aj(u)], Bj(v))}

= max1≤j≤n min{high(A’ ∩ Aj), Bj(v))} (73*)

trong ñó high(.) là chiều cao của một tập mờ. Giá trị high(A’ ∩ Aj) có thể

ñược xem là ñộ tương hợp của dữ liệu ñầu vào A’ với tiền tố Aj của luật thứ j.

Với những giả thiết giới hạn như trên, từ công thức (73*) ta thu ñược

một phương pháp lập luận ñơn giản hơn như sau:

Bước 1: Vì các luật trong (71*) là các “ñiểm tựa” tri thức ñể chúng ta

suy luận, nên với giá trị ñầu vào A’ ta hãy tính ñộ tương hợp giữa A’ và các

tiền tố Aj của luật thứ j, j = 1, 2, …, n, bằng công thức:

rj(A’) = high(A’ ∩ Aj) = supu∈U min{A’(x), Aj(x)}.

Bước 2: Vì ñộ tương hợp là rj(A’), kết luận suy ra ñược dựa vào luật

thứ j sẽ là B’j = min{rj(A’), Bj}, B’j là tập mờ Bj bị cắt ngọn sao cho chiều cao

của phần còn lại là rj(A’).

Bước 3: Vì sự liên kết các luật trong (71*) ñã ñược xem như là phép

tuyển, kết luận suy ra ñược từ n luật sẽ ñược tính bằng công thức

B’ = U nj jB≤≤1

'

Giới hạn các tập mờ hình tam giác, phương pháp lập luận xấp xỉ như

vậy có thể ñược biểu thị trong Hình 2.7, trong ñó mô hình mờ chỉ chứa 2 luật.

108

2.5.1.2. Mô hình mờ ñược coi là hội của các luật

Phương pháp lập luận trong trường hợp này hoàn toàn tương tự như

trên, chỉ khác biệt ở Bước 2 như sau:

Bước 2’: Vì mô hình mờ ñược xem là hội của các luật nên kết luận B’

ñược tính bằng giao của các kết luận trung gian B’j như sau B’ = I nj jB≤≤1

' ,

hay

B’(v) = min1≤j≤n supu∈U T(A’(u), J(Aj(u), Bj(v))), v ∈ V. (74*)

Giới hạn phép kéo theo ñược xác ñịnh bởi Mamdani và T là phép t-

norm chuẩn, phép min, ta có công thức tính B’ như sau:

B’(v) = min1≤j≤n supu∈U min{A’(u), min[Aj(u), Bj(v)]}

1

A1 A’ U

1

B1 V

r1(A’)

Luật 1

1

A2 A’ U

1

B2 V

r2(A’)

Luật 2

1

A’ U

1

B’1 ∪ B’2 V

Luật 3

Hình 2.7

109

= min1≤j≤n supu∈U min{min[A’(u), Aj(u)], Bj(v))}

= min1≤j≤n min{supu∈U min[A’(u), Aj(u)], Bj(v))}

= min1≤j≤n min{high(A’ ∩ Aj), Bj(v))} (75*)

2.5.2. Phương pháp lập luận dựa vào việc mô hình hóa toán học của mô

hình mờ

Mô hình mờ (71*) biểu thị tri thức chuyên gia trong một lĩnh vực ứng

dụng nào ñó. Khi xem nó như là một ñối tượng chung, không tách rời, ta có

nhu cầu mô hình hóa nó bằng một ñối tượng toán học, cụ thể là bằng một

quan hệ mờ. Với cách nhìn ñó, ta xây dựng một phương pháp lập luận như

sau:

Bước 1: Tương tự như Bước 1 trong Mục trước, mỗi luật trong mô hình

mờ ñược biểu thị bằng một quan hệ Rj(u, v) = J(Aj(u), Bj(v)). ðể xác ñịnh quan

hệ mờ biểu diễn mô hình mờ (71*), chúng ta thực hiện việc kết nhập

(aggregate) các quan hệ Rj(u, v) bằng phép t-conorm chuẩn hay phép hợp các

tập mờ:

R(u, v) = ),(1

vuRnj jU ≤≤

. (76*)

Bước 2: Hình 2.8 thể hiện mô hình mờ

(71*) ñược biểu thị bằng quan hệ mờ R và,

tương tự như trường hợp quy tắc modus

ponens, kết luận B’ ñược tính theo qua tắc suy

luận hợp thành:

B’ = A’ T

o R.

Nhìn chung có sự khác biệt lớn giữa phương pháp lập luận xấp xỉ ở ñây

với phương pháp ñược trình bày trong Mục 2.5.1. Tuy nhiên, trong những

ñiều kiện hạn chế chúng lại ñồng nhất với nhau. Thực vậy, cũng như trên, ta

giả thiết phép kéo theo ñược xác ñịnh là Mamdani, phép T

o là phép hợp thành

sup-min, kết luận B’ ñược tính như sau

B’(v) = supu∈U min{A’(u), R(u, v)}

= supu∈U min{A’(u), max1≤j≤n min[Aj(u), Bj(v)]}

= max1≤j≤n supu∈U min{A’(u), min[Aj(u), Bj(v)]}

R(u, v) Mô hình toán học

của (71*)

A’ B’ =

A’ T

o R

Hình 2.8

110

= max1≤j≤n supu∈U min{min[A’(u), Aj(u)], Bj(v)]}

= max1≤j≤n min{supu∈U min[A’(u), Aj(u)], Bj(v))}

= max1≤j≤n min{high(A’ ∩ Aj), Bj(v))}

= max1≤j≤n B’j(v)

Vậy, B’ = A’ o R = U nj jB≤≤1

'

trong ñó B’j là phần tập mờ Bj bị cắt ngọn với chiều cao còn lại là high(A’ ∩

Aj). ðiều này chứng tỏ B’ cũng tính ñược từ phương pháp lập luận dựa trên

quy tắc modus ponens.

Chú ý: Trong trường hợp chúng ta xem các luật của mô hình mờ ñược liên kết

bằng phép hội, quan hệ mờ R trong công thức (76*) sẽ ñược tính theo công

thức sau

R(u, v) = I nj j vuR≤≤1

),( . (77*)

Nhìn chung, cho ñến nay, cho một mô hình mờ (71*) và một cách biểu

thị ngữ nghĩa J(Aj(u), Bj(v)) của các luật trong mô hình, chúng ta có 4 cách

tính kết luận ñầu ra B’ như sau:

(1) )(''11 Uo

nj j

T

RAB≤≤

= (2) )(''12 Io

nj j

T

RAB≤≤

=

(3) U onj j

T

RAB≤≤

=13 '' (4) I o

nj j

T

RAB≤≤

=14 ''

Trong trường hợp phép t-norm T của phép hợp thành T

o là phép min, mối quan

hệ giữa 4 phương pháp lập luận như vậy ñược thiết lập trong ñịnh lý sau:

ðịnh lý 2.16. Nếu phép hợp thành T

o là sup-min, ta có 2B’ ⊆ 4B’ ⊆ 1B’ = 3B’.

Chứng minh: Xét công thức tính 4B’:

4B’(v) = min 1≤ j ≤n (A’ o Rj)(v)

= min 1≤ j ≤n supu∈U min [A’(u), Rj(u, v)]

≥ supu∈U min 1≤ j ≤n min [A’(u), Rj(u, v)]

= supu∈U min [A’(u), min 1≤ j ≤n Rj(u, v)]

= supu∈U min [A’(u), (I nj jR≤≤1

)(u, v)]

= ( )('1Io

nj j

T

RA≤≤

)(v) = 2B’(v).

111

Như vậy chúng ta ñã chứng tỏ rằng 2B’ ⊆ 4B’.

Tiếp theo, ta thấy rằng A’ o Rj ⊆ )('1Uo

nj j

T

RA≤≤

, với mọi j: 1 ≤ j ≤ n. Do vậy,

I onj j

T

RAB≤≤

=14 '' ⊆ )('

1Uonj j

T

RA≤≤

= 1B’.

Cuối cùng, ta xét 1B’:

1B’(v) = supu∈U min [A’(u), ),(1

vuRnj jU ≤≤

]

= supu∈U max 1≤ j ≤n min [A’(u), Rj(u, v)]

= max 1≤ j ≤n supu∈U min [A’(u), Rj(u, v)]

= ))('(1

vRAnj j

T

U o≤≤

= 3B’(v).

Như vậy, ñịnh lý ñã ñược hoàn toàn chứng minh.

Ví dụ 2.7. Xét mối quan hệ giữa hai biến ngôn ngữ áp suất AS và nhiệt ñộ Nð

trong hệ thống ñiều khiển phân phối chất lỏng trong một nhà máy. Giả sử

nhiệt ñộ nằm trong giới hạn [400;1000] theo ñơn vị psi và nhiệt ñộ trong giới

hạn [130;140] ñộ F.

Giả thiết rằng quan hệ giữa hai ñại lượng này tuân theo các luật của mô

hình mờ sau:

Nếu Nð := rất cao thì AS := cao

(78*)

Nếu Nð := thấp thì AS := khá thấp

Tập mờ biểu thị ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ của hai biến ngôn

ngữ ñược ñặc trưng bởi các hàm thuộc sau:

Nhiệt ñộ rất cao = 0,0/134 + 0,0/135 + 0,2/136 + 0,4/137 + 0,7/138 +

1,0/139

Nhiệt ñộ thấp = 1,0/134 + 0,8/135 + 0,6/136 + 0,4/137 + 0,2/138 +

0,0/139

Áp suất cao = 0,0/400 + 0,2/600 + 0,4/700 + 0,6/800 + 0,8/900 +

1,0/1000

112

Áp suất khá thấp = 1,0/400 + 0,9/600 + 0,8/700 + 0,6/800 + 0,4/900 +

0,0/1000

1) Câu hỏi ñặt ra là hãy tính áp suất của chất lỏng tương ứng với nhiệt

ñộ là cao ñược ñặc trưng bởi hàm thuộc sau:

Nhiệt ñộ cao = 0,0/134 + 0,2/135 + 0,4/136 + 0,6/137 + 0,8/138 +

1,0/139

Giải: Ta sẽ tính áp suất ứng với nhiệt ñộ ñầu vào A’ = cao bằng 4 phương

pháp trên:

Trước hết chúng ta tính các quan hệ mờ biểu thị hai luật trong (78*).

Giả sử rằng quan hệ mờ Ri, i = 1, 2, ñược tính dựa theo phép kéo theo

Zadeh, R(u, v) = max{min[A(u), B(v)], 1 – A(u)} và T

o là phép hợp thành sup-

min. Khi ñó,

R1(u, v) =

0,18,06,04,02,00,0

7,07,06,04,03,03,0

6,06,06,06,06,06,0

8,08,08,08,08,08,0

0,10,10,10,10,10,1

0,10,10,10,10,10,1

; R2(u, v) =

0,10,10,10,10,10,1

8,08,08,08,08,08,0

6,06,06,06,06,06,0

4,04,06,06,06,06,0

2,04,06,08,08,08,0

0,04,06,08,09,00,1

.

)(''12 Io

nj j

T

RAB≤≤

= = (0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0) o

0,18,06,04,02,00,0

7,07,06,04,03,03,0

6,06,06,06,06,06,0

4,04,06,06,06,06,0

2,04,06,08,08,08,0

0,04,06,08,09,00,1

= (0,6 0,6 0,6 0,6 0,8 1,0)

ðối với 4B’, ta tính

113

A’ o R1 = (0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0) o

0,18,06,04,02,00,0

7,07,06,04,03,03,0

6,06,06,06,06,06,0

8,08,08,08,08,08,0

0,10,10,10,10,10,1

0,10,10,10,10,10,1

= (0,6 0,6 0,6 0,6 0,8 1,0)

và A’ o R2 = (0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0) o

0,10,10,10,10,10,1

8,08,08,08,08,08,0

6,06,06,06,06,06,0

4,04,06,06,06,06,0

2,04,06,08,08,08,0

0,04,06,08,09,00,1

= (1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0)

Vậy, I onj j

T

RAB≤≤

=14 '' = (0,6 0,6 0,6 0,6 0,8 1,0)

Bây giờ ta tính 1B’ = 3B’:

)(''11 Uo

nj j

T

RAB≤≤

= = (0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0) o

0,10,10,10,10,10,1

8,08,08,08,08,08,0

6,06,06,06,06,06,0

8,08,08,08,08,08,0

0,10,10,10,10,10,1

0,10,10,10,10,10,1

= (1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0)

2) Xét dữ liệu ñầu vào nhiệt ñộ là thấp ñược ñặc trưng bởi hàm thuộc

sau:

114

Nhiệt ñộ thấp = 1,0/134 + 0,8/135 + 0,6/136 + 0,4/137 + 0,2/138 +

0,0/139

Tương tự như trên, ta tính

)(''12 Io

nj j

T

RAB≤≤

= = (1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0) o

0,18,06,04,02,00,0

7,07,06,04,03,03,0

6,06,06,06,06,06,0

4,04,06,06,06,06,0

2,04,06,08,08,08,0

0,04,06,08,09,00,1

= (1,0 0,9 0,8 0,6 0,4 0,4)

ðối với 4B’, ta tính:

A’ o R1 = (1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0) o

0,18,06,04,02,00,0

7,07,06,04,03,03,0

6,06,06,06,06,06,0

8,08,08,08,08,08,0

0,10,10,10,10,10,1

0,10,10,10,10,10,1

= (1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0)

và A’ o R2 = (1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0) o

0,10,10,10,10,10,1

8,08,08,08,08,08,0

6,06,06,06,06,06,0

4,04,06,06,06,06,0

2,04,06,08,08,08,0

0,04,06,08,09,00,1

= (1,0 0,9 0,8 0,6 0,4 0,4)

115

Vậy, I onj j

T

RAB≤≤

=14 '' = (1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0) ∩ (1,0 0,9 0,8 0,6

0,4 0,4)

= (1,0 0,9 0,8 0,6 0,4 0,4).

Bây giờ ta tính 1B’ = 3B’:

)(''11 Uo

nj j

T

RAB≤≤

= = (1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0) o

0,10,10,10,10,10,1

8,08,08,08,08,08,0

6,06,06,06,06,06,0

8,08,08,08,08,08,0

0,10,10,10,10,10,1

0,10,10,10,10,10,1

= (1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0)

Lưu ý: Trong nhiều bài toán, chúng ta ñòi hỏi dữ liệu ñầu ra là giá trị thực nên

chúng ta cần áp dụng một phương pháp khử mờ nào ñó ñể chuyển dữ liệu ñầu

ra là tập mờ về giá trị thực. Trong ví dụ trên, nếu cần thiết ta có thể biến ñổi

tập mờ của dữ liệu ñầu ra thành giá trị thực thuộc miền tham chiếu [134;140]

của biến ngôn ngữ áp suất bằng một phương pháp khử mờ ñược trình bày

trong Mục 3.3.10.

2.5.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ ña ñiều kiện, nhiều biến

Trong mục các trên chúng ta ñã nghiên cứu các phương pháp lập luạn

xấp xỉ trong ñó phần tiền tố của luật (mệnh ñề nếu-thì) chí có một biến ngôn

ngữ. Trong mục này chúng ta sẽ ñề cập ñến phương pháp lập luận trên các

luật mà phần tiền tố có nhiều biến ngôn ngữ tham gia và chúng ñược liên kết

lôgic bằng các phép VÀ hay HOẶC. Như vậy, chúng ta có thể có các trường

hợp sau:

Dạng tiền tố hội: NẾU X1 là A1 VÀ … VÀ Xm là Am THÌ Y là B

116

Phương pháp lập luận ñối với dạng này ta có thể ñược xây dựng bằng

việc ñưa về phương pháp ñối với trường hợp tiền tố chỉ có một biến, nhờ thay

tiền tố nhiều biến bằng mệnh ñề X* là A*, với

A* = A*1 ∩ A*2 ∩ … ∩ A*m (79*)

trong ñó, A*i là mở rộng hình trụ của tập mờ Ai trong tích ðề-các U1 × … ×

Um, nghĩa là A*i là một tích ðề-các chỉ có riêng thành phần thứ i là Ai còn các

thành phần còn lại là toàn không gian Uj, j ≠ i, và hàm thuộc của nó là

A*(u1, u2, …, um) = min{A1(u1), A2(u2), …, Am(um)}.

Dạng tiền tố tuyển: NẾU X1 là A1 HOẶC … HOẶC Xm là Am THÌ Y

là B .

Tương tự như trên, nhưng A* ñược tính theo công thức

A* = A*1 ∪ A*2 ∪ … ∪ A*m (80*)

với hàm thuộc là A*(u1, u2, …, um) = max{A1(u1), A2(u2), …, Am(um)}.

Mệnh ñề với NẾU KHÔNG và TRỪ KHI

Những mệnh ñề ñiều kiện có chứa NẾU KHÔNG hay TRỪ KHI có cấu

trúc lôgic cho phép chuyển về dạng quen biết và do ñó chúng ta có thể sử

dụng các phương pháp lập luận xấp xỉ ñã trình bày ở trên.

(1) Mệnh ñề

NẾU X là A THÌ (Y là B1 NẾU KHÔNG B2)

có thể phân tách thành các mệnh ñề ñiều kiện quen biết ñược liên kết với

nhau bằng HOẶC như sau:

NẾU X là A THÌ Y là B1

HOẶC

NẾU X là KHÔNG A THÌ Y là B2

(2) Mệnh ñề

NẾU X là A1 THÌ Y là B TRỪ KHI X là A2

117

cũng như trên, có thể phân tách thành các mệnh ñề ñiều kiện quen biết ñược

liên kết với nhau bằng HOẶC như sau:

NẾU X là A1 THÌ Y là B

HOẶC

NẾU X là A2 THÌ Y là KHÔNG B

(3) Mệnh ñề

NẾU X1 là A1 THÌ Y là B NẾU KHÔNG (NẾU X2 là A2 THÌ

Y là B2)

có thể phân tách thành

NẾU X là A1 THÌ Y là B

HOẶC

NẾU X là KHÔNG A1 VÀ X2 là A2 THÌ Y là B2

Dạng mệnh ñề ñiều kiện kết tổ

Trong thực tế ta cũng thường gặp các mệnh ñề dạng sau

NẾU X1 là A1 THÌ (NẾU X2 là A2 THÌ Y là B)

có thể viết thành mệnh ñề dạng sau

NẾU X1 là A1 VÀ X2 là A2 THÌ Y là B

2.5.4. Phương pháp lập luận xấp xỉ bằng ñồ thị

Phương pháp lập luận bằng ñồ thị không có ý nghĩa trong tính toán máy

tính nhưng nó có ý nghĩa cho việc chúng ta trực tiếp tính toán bằng tay trong

việc thiết lập các ví dụ ñể kiểm tra tính ñúng ñắn của lôgic chương trình máy

tính và cho chính việc trình bày và lĩnh hội nội dung của giáo trình này.

Xét một mô hình mờ nhiều biến hay còn gọi là một hệ luật sau (ñể ñơn

giản trong trình bày chúng ta giới hạn chỉ 2 biến ñầu vào):

NẾU X1j là A1j VÀ X2j là A2j THÌ Y là Bj, j = 1, 2, …, n. (81*)

Chúng ta giới hạn phương pháp lập luận ñồ thị với những giả thiết sau:

- Các tập mờ ñều ở dạng tam giác hay hình thang;

118

- Các luật trong (81*) liên kết bằng phép tuyển hoặc hội;

- Quan hệ mờ ñược ñịnh nghĩa dựa trên phép kéo theo Mamdani;

- Phép hợp thành là sup-min.

Với những giả thiết trên ta có thể xây dựng một phương pháp lập luận

ñồ thị khá ñơn giản và dễ dàng thực hiện tính toán trực tiếp bằng tay.

Trước hết, chúng ta hãy thiết lập công thức tính tập mờ kết luận khi cho

biết tập mờ ñầu vào A1’ và A2’.

Với phép hợp thành sup-min:

B’(v) = (A1’ × A2’) o R(u1, u2, v)

= supu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A2’(u2)], max1≤j≤n Rj(u1, u2, v)}

= supu1∈U1, u2∈U2 max1≤j≤n min{min[A1’(u1), A2’(u2)], Rj(u1, u2, v)}

= max1≤j≤n supu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A2’(u2)], Rj(u1, u2, v)}

= max1≤j≤n (A1’ × A2’) o Rj(u1, u2, v) = max1≤j≤n B’j (82*)

Công thức (82*) chứng tỏ rằng, với những ñiều kiện phép hợp thành là

sup-min và liên kết các luật là tuyển, thì kết luận B’ có thể ñược tính theo kết

quả lập luận ñối với từng luật: B’j = (A1’ × A2’) o Rj(u1, u2, v), trong ñó Rj(u1,

u2, v) là quan hệ mờ biểu diễn ngữ nghĩa của luật thứ j.

Ta hãy viết tường minh biểu thức giải tích của (82*) với Rj tính theo

Mamdani:

B’(v) = max1≤j≤n supu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A2’(u2)], min[A1j(u1),

A2j(u2), Bj(v)]}

= max1≤j≤nsupu1∈U1, u2∈U2 min{min[A1’(u1), A1j(u1)], min[A2’(u2),

A2j(u2)], Bj(v)}

= max1≤j≤n min{supu1∈U1 min[A1’(u1), A1j(u1)], sup u2∈U2 min[A2’(u2),

A2j(u2)], Bj(v)} (83*)

Phân tích biểu thức chứa sup trong vế phải của ñẳng thức cuối cùng

trong (82*) ta thấy, biểu thức supu1∈U1min[A1’(u1), A1j(u1)] xác ñịnh chiều cao

của tập mờ A1’∩A1j, high(A1’∩A1j). Một cách tương tự, supu2∈U2 min[A2’(u2),

119

A2j(u2)] xác ñịnh chiều cao high(A2’∩A2j) của tập mờ A2’∩A2j. Do vậy, (83*)

trở thành biểu thức sau:

B’(v) = max1≤j≤n min{min[high(A1’∩A1j), high(A2’∩A2j)], Bj(v)} (84*)

Ký hiệu hj = min[high(A1’∩A1j), high(A2’∩A2j)], biểu thức min[hj, Bj(v)], với

∀v ∈ V, xác ñịnh phần của tập mờ Bj, Bj, bị cắt cụt ngọn, có chiều cao còn lại

là hj. Vậy, B’ ñược tính theo công thức sau

B’ = B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn (85*)

Vì các tập mờ ở dạng tam giác hay hình thang, biểu thức (85*) cho ta

một phương pháp lập luận bằng ñồ thị có thể tính trực tiếp bằng tay như sau:

Bước 1. Với mỗi j = 1, …, n,

(i) Tính chiều cao của các hình tam giác hay hình thang A1’∩A1j và

A2’∩A2j. Lấy hj là chiều cao thấp nhất trong các chiều cao ñã tính.

(ii) Cắt phần ngọn của hình tam giác hay hình thang Bj sao cho phần

còn lại Bj của nó có chiều cao là hj.

Bước 2. Lấy hợp của các tập hợp Bj, j = 1, …, n, ta thu ñược tập mờ kết

luận B’.

A11 A’1

A12 A’2 B1

min

A21 A’1 A22 A’2

B2

min

B1 B2

Hình 2.9

h1

h2

120

Hình 2.9 là một ví dụ giải tích cách tính tập mờ kết quả dựa trên phương pháp

lập luận ñồ thị. Ở ví dụ này, hệ luật (81*) có 2 luật và dữ liệu ñầu vào của hệ

là cặp tập mờ tam giác (A’1, A’2). Ứng với Bước 1, ñối với j = 1, ta lấy giao

của hai tam giác A11 và A’1 và giao của A12 và A’2, và min của chiều cao của

hai tam giác thu ñược là h1. Cắt ngọn tam giác B1 ta thu ñược hình thang có

chiều cao là h1 ñược tô bằng các ñường gạch song song với hai ñáy. Một cách

tương tự, ñối với j = 2, ta thu ñược hình thang với chiều cao là h2 bằng cách

cắt ngọn tam giác B2. Hợp của hai hình thang kết quả là hình ñược ñánh dấu

bằng các ñường gạch song song với cạnh ñáy. Nếu cần thiết biến ñổi tập mờ

kết quả về giá trị thức, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp khử mờ

ñược trình bày ở phần sau.

Chú ý: Trong trường hợp dữ liệu ñầu vào là các tam giác (A’1, A’2) suy biến

thành các giá trị thực, hàm thuộc của chúng là hàm ñặc trưng chỉ khác không

tại giá trị thực ñó thì các bước của phương pháp lập luận ñồ thị vẫn vận dụng

ñược ñúng ñắn.