thecapitalassetpricing model - aau€¦ · 2 kapitel1. indledning på baggrund af dette frembringes...

The Capital Asset PricingModelPorteføljeteori

P4-projektG3-117

Aalborg UniversitetInstitut for Matematiske Fag

Copyright c© Aalborg Universitet 2015

Det Teknisk-Naturvidenskabelige FakultetInstitut for Matematiske Fag

Fredrik Bajers Vej 7GTelefon 96 35 97 31

Fax 98 13 63 93http://tnb.aau.dk

Titel:Capital Asset Pricing Model

Tema:Porteføljeteori

Projektperiode:Forårssemesteret 2016

Projektgruppe:G3-117

Deltagere:Kristina EliasenPernille BrathPernille Krog PoulsenSebastian StrandbergSilke Cecilie Fich Fisker

Vejledere:Esben Høg

Oplagstal: 7

Sidetal: 62

Afleveringsdato:23. maj 2016

Synopsis:

Dette projekt omhandler teori, udled-ning og analyse af The Capital AssetPricing model (CAPM) og ydermere re-degøres for Mean-variance modellen.Projektet redegør for det væsentligesandsynlighedsteori til at udlede CAPMog forstå de økonomiske termer.CAPM benyttes til at vurdere, risikoi forhold til forventet afkast, hvorforder redegøres for investeringsteori, her-under porteføljeteori og Mean-varianceanalysen.Koden udarbejdet i projektet estimererbeta- og alfaværdier for valgte aktiver,for derefter at vurdere om CAPM er an-vendelig. Dette gøres, i dette projekt,ved at se på alfa-værdien eller ved atanvende Fama-MacBeth. Slutteligt kandet konkluderes, om CAPM kan god-kendes eller afvises.

Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efteraftale med forfatterne.

http://tnb.aau.dk

Indhold

Forord vii

1 Indledning 11.1 Problemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Problemafgrænsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Problemformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Sandsynlighedsregning 32.1 Diskret stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Kontinuert stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Varians, standardafvigelse, kovarians og korrelation . . . . . . . . . . . 6

3 Regression med en uafhængig variabel 113.1 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Investeringsteori 154.1 Porteføljeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Mean-variance analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 CAPM 255.1 Kapitalmarkedslinjen og tangentporteføljen . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Udledning af CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 CAPM regression 336.1 CAPM og regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Analyse af data 357.1 Analyse af estimater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Diskussion af problemer ved CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Konklusion 41

Litteratur 43

v

vi Indhold

Appendix 45

Bilag A Kovarians 47

Bilag B Udregning til middelværdi-standardafvigelsesdiagram 49B.1 To positive vægte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49B.2 En positiv og en negativ vægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bilag C Grafer over empiriske data 51

Bilag D CAPM-kode 59

Bilag E Fama-MacBeth regressions kode 61

Forord

Denne rapport er udarbejdet på 4. semester af gruppe G3-117 i perioden 03.02.2016til 23.05.2016. Rapportens tema er porteføljeteori og The Capital Asset Pricing Model(CAPM). I rapporten benyttes Chicago-metoden til at angive referencer. I rapportenafsluttes beviser med � og eksempler med C. Rapporten er frembragt på baggrundaf kurserne Finansielle markeder og Sandsynlighedsregning for Matematik-Økonomipå Aalborg Universitet, samt selektiv informationssøgning på internettet. Ligeledeshar Esben Høg ageret vejleder for det endelige produkt. Til vejleder skal lyde en stortak.

Aalborg Universitet, 23. maj 2016

Kristina Eliasen<[email protected]>

Pernille Brath<[email protected]>

Pernille Krog Poulsen<[email protected]>

Sebastian Strandberg<[email protected]>

Silke Cecilie Fich Fisker<[email protected]>

vii

Kapitel 1

Indledning

Inden for aktiemarkedet søger investorer at optimere deres investeringer, hvorforøkonomer og matematikere har udviklet investeringsteorier til at forudsige forventetafkast. Harry Markowitz formulerede i 1952 Mean-variance analysen, [Perold, 2004],som beregner et aktivs forventede afkast givet risiko. Modellen bygger på, at inve-storer skal kompenseres for at påtage sig mere risiko i form af højere afkast. CAPMer en udvidelse af Mean-variance analysen. Modellen blev frembragt i 1960’erne afWilliam Sharpe, Jack Treynor, John Lintner og Jan Mossin, [Perold, 2004]. Idéenbag CAPM er, at aktivers risiko kan diversificeres. CAPM har til formål at beregne,hvor meget en investor skal kompenseres ved en given risiko.

CAPM udregner det forventede afkast, som beskrives analytisk givet et risikofyldtaktiv og et risikomål. Fordelen ved modellens matematiske tilgang er, at resultaterneer præcise og objektivt korrekte givet modellens forudsætninger. Den matematiskeklarhed giver også indsigt i komplicerede spørgsmål, som en kvalitativ tilgang ikkenødvendigvis muliggør.

1.1 Problemanalyse

Projektet tager udgangspunkt i porteføljeteori og CAPM, som er teorien om, hvordanforventet afkast optimeres for en given risiko og omvendt. Specielt tager projektetudgangspunkt i udledning og empirisk analyse af CAPM, hvorfor der redegøres forden nødvendige sandsynlighedsregning og regression.

Ud fra teorien i sandsynlighedsregning er det muligt at estimere nøgletal i CAPM tilat analysere data. Regression anvendes til at estimere risiko i CAPM, hvilket er ho-vedelementet i den empiriske analyse. Førend en gennemgang af CAPM redegøres forteorien bag Mean-variance analysen, da denne beregner risiko for en given portefølje.

1

2 Kapitel 1. Indledning

På baggrund af dette frembringes en kode til afprøvning af CAPM med empiriskedata.

1.2 Problemafgrænsning

Projektet vil beskue allerede eksisterende teori for porteføljeteori, Mean-varianceanalysen og CAPM.

Ydermere er der fokus på forventet afkast og risiko, og ingen andre former for spe-kulationer i forhold til investering i aktiver.

Matematikken, der indgår i projektet, er den sandsynlighedsteori, der er aktuel forden økonomiske teori i projektet. Endvidere indgår basal regression med en uafhængigvariabel.

CAPM vil blive afprøvet gennem en kode, der bliver programmeret i R. Programme-ringsteori vil ikke blive gennemgået. Metoden Ordinary Least Squares (OLS) anven-des til den empiriske del. Desuden benyttes 20 års data fra danske virksomheder ogmarkedsporteføljen udgøres af OMX Copenhagen Stock exchange (OMXC20).

1.3 Problemformulering

Hvilken teori er væsentlig for en relevant beskrivelse af CAPM, og hvad er afgørendefor, om CAPM er virkelighedsnær eller ej? Hvordan estimeres risikoen og kan dennebeskrives ved en lineær sammenhæng?

Kapitel 2

Sandsynlighedsregning

Dette Kapitel er baseret på [Olofsson and Andersson, 2012, s.76-84].

De finansielle aspekter i dette projekt bygger på sandsynlighedsteori. Derfor vil be-greberne varians, standardafvigelse, kovarians og korrelationer blive beskrevet ud fraet sandsynlighedsteoretisk synspunkt. Det antages, at basal teori vedrørende sand-synlighedsregning er kendt.

Før disse begreber vil blive beskrevet, introduceres først stokastiske variable, såvelsom diskrete og kontinuerte stokastiske variable.

Definition 2.1 (Stokastisk variabel)En stokastisk variabel X er en arbitrær variabel, som beskriver et tilfældigt eks-periment, hvor udfaldet ikke er kendt.

En stokastisk variabel X har ikke en værdi forud for et eksperiment, men først eftereksperimentets udførsel. Forinden beskues udfaldsrummet af X såvel som sandsyn-lighederne for hvert enkelt udfald. Der skelnes mellem om de stokastiske variable hartællelige- eller overtællelige udfaldsrum. Det tællelige tilfælde kaldes for en diskretstokastisk variabel.

2.1 Diskret stokastisk variabel

Definition 2.2 (Diskret stokastisk variabel)Hvis udfaldsrummet for X er tælleligt, siges X at være en diskret stokastiskvariabel.

3

4 Kapitel 2. Sandsynlighedsregning

For en diskret stokastisk variabel X beregnes sandsynligheder af typen P (X = xk)for forskellige værdier af xk i udfaldsrummet af X. Når xk varieres, ændres sand-synligheden P (X = xk). Derfor betragtes P (X = xk) som en funktion af xk, dennekaldes sandsynlighedsfunktionen og defineres følgeligt.

Definition 2.3 (Sandsynlighedsfunktion)Lad X være en diskret stokastisk variabel med udfaldsrum {x1, x2, . . . }.Funktionen

p(xk) = P (X = xk), k = 1, 2, . . .

siges at være sandsynlighedsfunktionen af X.

Proposition 2.4En funktion p er en mulig sandsynlighedsfunktion af en diskret stokastisk variabelfor udfaldsrummet {x1, x2, . . . }, hvis og kun hvis

1. p(xk) ≥ 0 for k = 1, 2, . . .2.

∞∑k=1

p(xk) = 1.

Definition 2.3 og Proposition 2.4 omhandler endelige udfaldsrum af X, hvor X an-tager en given k-værdi, X = k. Inden for sandsynlighedsregning beskues ligeledeshændelser af typen {X ≤ k}. Dette kaldes en fordelingsfunktion og defineres følge-ligt.

Definition 2.5 (Fordelingsfunktion)Lad X være en stokastisk variabel. Funktionen

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ R

siges at være fordelingsfunktionen af X.

Bemærk, at fordelingsfunktionen gælder for både det diskrete og kontinuerte tilfælde.

Yderligere defineres middelværdi, da dette spiller en essentiel rolle inden for de økono-miske aspekter af dette projekt. Definitionen er baseret på [Olofsson and Andersson,2012, s.95-98].

2.2. Kontinuert stokastisk variabel 5

Definition 2.6 (Middelværdi)Lad X være en diskret stokastisk variabel med udfaldsrum {x1, x2, . . . } og sand-synlighedsfunktion p. Middelværdi af X defineres

E[X] =∞∑k=1

xkp(xk)

og benævnes µ.

Bemærk at E[X] er et tal, som beskriver et vægtet gennemsnit. I økonomiske sam-menhænge kan middelværdi eksempelvis være forventet afkast, hvor den stokastiskevariabel angiver afkastet.For information vedrørende variationen af X introduceres begrebet varians i Afsnit2.3, når det kontinuerte tilfælde er blevet beskrevet.

2.2 Kontinuert stokastisk variabel

I forrige afsnit blev der introduceret en diskret stokastisk variabel, som var tællelig.Modsat denne er en kontinuert stokastisk variabel overtællelig. Dette kan illustreresved et eksempel. Lad levetiden af en lyspære være en stokastisk variabel X, hvor ud-faldsrummet er givet ved intervallet [0,∞[. Da levetiden af en lyspære er overtællelig,må den stokastiske variabel være kontinuert. Det vil sige, at punktsandsynlighederneer lig 0. Variablen har i stedet udfald i intervaller. Ud fra Definition 2.5, defineres enkontinuert stokastisk variabel som følgende.

Definition 2.7 (Kontinuert stokastisk variabel)Hvis fordelingsfunktionen er en kontinuert funktion, så siges X at være en kon-tinuert stokastisk variabel.

Den primære forskel mellem diskrete- og kontinuerte stokastiske variable er, at diskre-te stokastiske variable defineres ud fra det tilhørende udfaldsrum og sandsynligheds-funktionen, hvorimod kontinuerte stokastiske variable defineres ud fra deres forde-lingsfunktion eller tæthedsfunktion. Tæthedsfunktionen er beskrevet i Definition 2.8.

I det diskrete tilfælde bruges sandsynlighedsfunktionen til at måle afstanden mel-lem sandsynlighederne i fordelingsfunktionen. Da denne afstand er uendeligt lille idet kontinuerte tilfælde, beskues hældningen derimod, hvilket fordrer til at defineretæthedsfunktionen.


Definition 2.8 (Tæthedsfunktion)Funktionen f(x) = F ′(x) siges at være tæthedsfunktion af X.Dette gælder kun for de værdier af x, hvor F er differentiabel.

I Afsnit 2.1 er middelværdien for en diskret stokastisk variabel beskrevet. Ligeledesdefineres middelværdien for det kontinuerte tilfælde og er baseret på [Olofsson andAndersson, 2012, s.95-98].

Definition 2.9 (Middelværdi)Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f . Middelvær-dien af X defineres

E[X] =∫ ∞−∞

xf(x)dx

og benævnes µ.

Bemærk at integralet er defineret i intervallet ] −∞,∞[, men i realiteten afhængergrænserne af udfaldsrummet for X.

2.3 Varians, standardafvigelse, kovarians og korrelation

Dette afsnit er baseret på [Olofsson and Andersson, 2012, s.104-106].

I dette afsnit introduceres varians, standardafvigelse, kovarians og korrelationer. Dis-se begreber gælder både for diskrete og kontinuerte stokastiske variable, dog er be-viserne forskellige.

Varians beskriver, hvor meget X varierer omkring middelværdien, µ. Varians define-res følgeligt.

Definition 2.10 (Varians)Lad X være en stokastisk variabel med middelværdi µ. Variansen af X er defi-neret som

V ar[X] = E[(X − µ)2]og benævnes σ2.

Bemærk at (X − µ)2 ≥ 0, så variansen er altid ikke-negativ. Da µ = E[X] kanDefinition 2.10 omskrives til følgende Korollar.

2.3. Varians, standardafvigelse, kovarians og korrelation 7

Korollar 2.11 (Varians)

V ar[X] = E[X2]− (E[X])2.

Korollar 2.11 bevises, men først introduceres en proposition, som vil blive benyt-tet i beviset. Denne proposition vil ikke blive bevist. For bevis, se [Olofsson andAndersson, 2012, side 102].

Proposition 2.12Lad X være en stokastisk variabel med tæthedsfunktion fX , og lad g : R→ R. Sågælder

E[g(X)] =∫ ∞−∞

g(x)fX(x)dx, hvis X er kontinuert.

Beviset for Korollar 2.11 følger.Bevis

Der vil kun blive bevist det kontinuerte tilfælde. Der gøres brug af Proposition 2.12.

V ar[X] = E[(X − µ)2]

=∫ ∞−∞

(x− µ)2f(x)dx

=∫ ∞−∞

(x2 − 2xµ+ µ2)f(x)dx

=∫ ∞−∞

x2f(x)dx− 2µ∫ ∞−∞

xf(x)dx+ µ2∫ ∞−∞

f(x)dx

= E[X2]− 2µE[X] + µ2

= E[X2]− (E[X])2

�

Tilsvarende kan variansen for flere variable beregnes således.


Definition 2.13 (Varians af flere variable)Lad X1, X2, ..., Xn være stokastiske variable og lad w1, w2, ..., wn være konstanter,så gælder

V ar

n∑i=1

wiXi

=n∑i=1

w2i V ar(Xi) + 2

∑∑i<j

wiwjCov(Xi, Xj)

=n∑i=1

n∑j=1

wiwjCov(Xi, Xj).

Et andet relevant begreb er standardafvigelse, også kaldet spredning. Denne defineressåledes.

Definition 2.14 (Standardafvigelse)Lad X være en stokastisk variabel med varians σ2 = V ar[X]. Standardafvigelsenaf X er da defineret som følgende

σ =√V ar[X].

Varians og standardafvigelse er begge mål for, hvordan en stokastisk variabel forde-ler sig i forhold til middelværdien. Det skal nævnes, at standardafvigelsen måles, imodsætning til variansen, i samme enhed som den stokastiske variabel.

For afhængige stokastiske variable, introduceres et begreb, kovarians, til at beregnehvordan og hvorledes disse variable afhænger af hinanden. Altså om de afhængerpositivt eller negativt af hinanden og hvor meget de kovarierer.

Kovariansen mellem to afhængige stokastiske variable X og Y udtrykker, hvilkensamvariation, der er mellem X og Y . Dette kan illustreres med et eksempel med toaktiver A og B. Hvis afkastet på aktiv A stiger, stiger afkastet på aktiv B også. Detvil sige, at aktiverne har en tendens til at bevæge sig i samme retning og da sigeskovariansen mellem aktiverne at være positiv. Kovariansen er derimod negativ, hvisafkastet på aktiv B falder, når afkastet på aktiv A stiger. Hvis kovariansen er

• > 0, kovarierer X og Y positivt.

• < 0, kovarierer X og Y negativt.

Kovariansen mellem to stokastiske variable beskrives ud fra følgende definition.

2.3. Varians, standardafvigelse, kovarians og korrelation 9

Definition 2.15 (Kovarians)Kovariansen for X og Y er defineret som

Cov[X,Y ] = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])

].

Til at beregne kovariansen omskrives Definition 2.15 til følgende.

Cov[X,Y ] = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])

]= E

[XY −XE[Y ]− Y E[X] + E[X]E[Y ]

]= E[XY ]− E[XE[Y ]]− E[Y E[X]] + E[E[X]E[Y ]]= E[XY ]− E[X]E[Y ]− E[Y ]E[X] + E[X]E[Y ]= E[XY ]− E[X]E[Y ].

Dette giver følgende korollar.

Korollar 2.16 (Kovarians)

Cov[X,Y ] = E[XY ]− E[X]E[Y ].

Hvis de stokastiske variable X og Y er uafhængige, gælder følgende korollar.

Korollar 2.17Hvis X og Y er uafhængige, så er Cov[X,Y ] = 0.

Bemærk, at Korollar 2.17 ikke gælder omvendt. Hvis Cov[X,Y ] = 0 kan X og Ystadig være afhængige. Et eksempel herpå findes i Bilag A.

Korrelationen er en dimensionsløs udgave af kovariansen, det vil sige, at den ikkeafhænger af enhederne af X og Y .

Definition 2.18 (Korrelation)Korrelationen mellem X og Y er defineret som

ρ(X,Y ) = Cov[X,Y ]√V ar[X]V ar[Y ]

.


Hvis ρ(X,Y ) = 1 siges X og Y at være perfekt korreleret. Er ρ(X,Y ) = −1 siges Xog Y at være perfekt negativt korreleret. Det vil sige, at X og Y er præcist lineærtforbundet.

Kapitel 3

Regression med en uafhængigvariabel

Dette Kapitel er baseret på [Høg and Juhl, 1994, s.5-17].

I dette projekt arbejdes med lineære modeller, da analysen og tolkningen af resultateroftest giver en tilstrækkelig god beskrivelse. Ydermere er den lineære sammenhænglettere at påvise end for en ikke-lineær model.

Det antages, at modellerne enten er lineære i alle parametre eller kan blive detgennem transformationer. Jævnfør denne antagelse og kendte data kan en estimeretsammenhæng mellem de ukendte parametre findes. Med udgangspunkt i den lineærelinje y = β0 + β1x vurderes gyldigheden af den estimerede sammenhæng. Det kanhænde, at dette estimat kun er gyldigt på en del af intervallet. Derfor tilføjes etfejlled, ε, som repræsenterer den del af estimatet, der ikke beskrives af tendenslinjen.Dette giver y = β0 + β1x+ ε.

Den simple lineære regressionsmodel skrives da som følgende.

yi = β0 + β1xi + εi, i = 1, . . . , n, (3.1)

hvor n er antal observationer.

Om fejlleddene i modellen gælder nogle forudsætninger om middelværdi, varians ogfordelingstype.

• E[εi] = 0 for i = 1, . . . , n.

• V ar[εi] = σ2 for i = 1, . . . , n.

• ρ(εi, εj) = 0 for i 6= j.

Ligeledes antages det, at modellen er lineær i β0 og β1.

11

12 Kapitel 3. Regression med en uafhængig variabel

Figur 3.1: Residualen mellem det sande punkt A og det estimerede punkt B, figuren er fra [Høgand Juhl, 1994, s.12]

3.1 Estimation

Til estimation af β0, β1 og σ2 kan metoden OLS anvendes. I denne metode indlæggesen tendenslinje, som udgør et estimat for den ukendte linje y = β0 + β1x. Denestimerede linje benævnes y = β0 + β1x, hvor β0 og β1 er estimater for β0 og β1.

Betragt Figur 3.1. Størrelsen af den vertikale afstand mellem det sande punkt (xi, yi),A, og det estimerede punkt (xi, yi), B, benævnes ei = yi − yi, hvor ei er det i’teresidual. Kvadreres og summeres residualerne fås en størrelse SSR =

∑ni=1 e

2i , som

måler punkternes afvigelse fra linjen. Det vil sige, at desto mindre spredningen afpunkterne er omkring den estimerede linje, desto mindre er SSR og omvendt. I OLS-metoden vælges β0 og β1 til at være et minimumspunkt for SSR. Derfor er de partieltafledede af SSR med hensyn til β0 og β1 nul.

∂SSR

∂β0(β0, β1) = 0 (3.2)

∂SSR

∂β1(β0, β1) = 0. (3.3)

Til at løse disse to ligninger gælder:

SSR(β0, β1) =n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − yi)2 =n∑i=1

(yi − β0 − β1xi)2. (3.4)

3.1. Estimation 13

Der anvendes partiel differentiation på ligning (3.4), hvorved der fås følgende.

∂SSR(β0, β1)∂β0

= −2n∑i=1

(yi − β0 − β1xi) = 0 (3.5)

∂SSR(β0, β1)∂β1

= −2n∑i=1

xi(yi − β0 − β1xi) = 0. (3.6)

Derefter omskrives og reduceres udtrykkene med henblik på at isolere β0 og β1.∑ni=1 yi = nβ0 + β1

∑ni=1 xi

⇓y = β0 + xβ1

⇓β0 = y − β1x (3.7)

Omskrivning af ligning (3.6) giver:∑ni=1 xiyi = β0

∑ni=1 xi + β1

∑ni=1 x

2i

⇓∑ni=1 xiyi = nβ0x+ β1

∑ni=1 x

2i . (3.8)

Ligning (3.7) substitueres ind i ligning (3.8) og β1 isoleres.

β1 = (∑ni=1 xiyi − nxy)/(

∑ni=1 x

2i − nx2)

= (∑ni=1(xi − x)(yi − y))/(

∑ni=1(xi − x)2

= (∑ni=1(xi − x)yi)/(

∑ni=1(xi − x)2). (3.9)

Bemærk, at Hesse-matricen skal være positiv definit for, at ovennævnte kan definereet minimumspunkt.Ud fra parametrene i β0 og β1 kan der findes en lineær linje.

Den hidtil gennemgåede matematiske teori muliggør gennemgangen af følgende in-vesteringsteori.

Kapitel 4

Investeringsteori

Introduktionen er baseret på [Hillier et al., 2012, s.4].

Finansiering bygger på et trade-off mellem nutid og fremtid. Tankegangen bag eninvestering er, at en investor opgiver noget i dag for at opnå noget i fremtiden. Eninvestering sker på aktiemarkedet, som er et samlingssted, hvor der handles medværdipapirer. I dette projekt omhandler aktiemarkedet handlen med aktier, som fin-der sted på en børs, eksempelvis Københavns Fondsbørs. En aktiekurs fortæller, hvormeget man skal betale for én aktie. Kursen på aktier kan svinge, da den kan påvirkesaf eksogene og endogene faktorer. Kursen fastsættes dagligt på fondsbørsen på bag-grund af udbud og efterspørgsel efter aktien. Samtidig er der en risiko ved at handlepå aktiemarkedet, da afkastet kan ændre sig, hvilket kan medføre et tab i investerin-gen. Derfor er det relevant at undersøge, hvordan der kan sammensættes forskelligeaktier, således afkastet optimeres. Desuden er det interessant at se, hvordan der kanestimeres et forventet afkast. Følgeligt beskrives, hvorledes aktier sammensættes i enportefølje på baggrund af afkast og risiko. I dette projekt vil aktiver betyde aktier,obligationer og lignende.

De følgende Afsnit 4.1 og Afsnit 4.2 er baseret på [Hillier et al., 2012, s. kapitel 4],[Hillier et al., 2012, s.121-127] og [Luenberger, 2009, s. kapitel 6].

4.1 Porteføljeteori

En portefølje består af en beholdning af aktiver, som er en kombination af investe-ringer. Disse investeringer vælges med henblik på, at porteføljen giver størst muligtafkast til mindst mulig risiko. Et aktiv, hvori der er risiko, siges at være et risikofyldtaktiv. Risikoen kan sænkes gennem diversifikation, hvilket betyder, at porteføljenholder mange forskellige aktiver. Når der tilføjes flere aktiver til porteføljen, vil deekstra aktiver diversificere porteføljen, hvis disse nye aktiver ikke stammer fra samme

15

16 Kapitel 4. Investeringsteori

branche, som de øvrige aktiver i porteføljen. Hermed forstås, at en portefølje bestå-ende af aktiver fra forskellige geografiske områder og industrier har en lavere samletrisiko end en portefølje bestående af aktiver fra samme branche. Dette beskrives ek-sempelvis som korrelationen mellem to aktiver. Dette skyldes, at aktiver fra sammeregion, har en tendens til at opføre sig harmonisk, idet de til en hvis grad afhængeraf hinanden.

Det antages i porteføljeteori, at investorerne opfører sig rationelt og derved optimererporteføljer. Til dette foretager investorerne en Mean-variance analyse af forskelligeaktiver for at vurdere, hvorvidt disse skal tilføjes til en given portefølje. Ligeledeskan en sådan analyse også benyttes på selve porteføljen. Mean-variance analysen vilblive gennemgået i Afsnit 4.2.

De forskellige aktiver i enhver portefølje har en vægt, som beskriver, hvor stor en delet givet aktiv udgør af porteføljen. Disse vægte beregnes med følgende formel.

wj = Penge beholdning i aktie jHele porteføljens pengeværdi ,

hvor wj er vægten af det j’te aktiv. Alle vægte i en portefølje summerer til 1.

Porteføljevægte kan også være negative. Dette hænder, når investorer sælger lånteaktiver. Dette kaldes også at gå kort. Disse aktiver lånes til en pris X og tid 0, X0.Aktiverne tilbagebetales til et senere tidspunkt, tid 1 med pris X1, hvor investorensprofit eller tab er givet ved X1 − X0. Ligeledes er et aktivs afkast givet ved rj =(X1−X0)/X0. At gå kort betragtes som risikabelt, da der er stort potentiale for tab.Investorer med stor risikovillighed vælger at gå kort, da der ligeledes er potentialefor en stor gevinst. Modsat at gå kort, siges det at gå langt, hvis investorerne sælgerejede aktiver. I dette tilfælde er vægtene for porteføljen positive.

Mængden af mulige porteføljer, såvel som afkastet for en portefølje forklares i detfølgende. Antag, at der kun kan investeres i to aktier, eksempelvis Apple og Microsoft.Enhver kombination af investeringer i de to selskaber, således at porteføljevægtenesummerer til 1, er en brugbar portefølje. Dette kan udvides til et større antal selskaberpå markedet. Så længe vægtene af de n aktiver i en given portefølje summerer til 1,er der tale om en mulig portefølje. En porteføljes forventede afkast måles i procentog beregnes ved følgende formel.

Rp =n∑j=1

wj rj , (4.1)

hvor p er en given portefølje og rj er det j’te aktivs forventede afkast. Da det ikkealtid er muligt at kende afkastet for et aktiv, er det væsentligt at introducere et målfor det forventede afkast. Et sådant mål formuleres ved at tage gennemsnittet afforrige års afkast for det givne aktiv. Typisk benyttes minimum fem års data til atberegne det forventede afkast. Hvorvidt et sådant mål er pålideligt, svinger meget i

4.2. Mean-variance analyse 17

og med, at der ikke er nogle parametre, som tager højde for potentielle kriser. Detforventede afkast opfører sig lineært, hvilket fordrer til følgende beregning af detforventede afkast for en portefølje, som tager udgangspunkt i to aktiver.

E(Rp) = E(w1r1 + w2r2) = w1E(r1) + w2E(r2) (4.2)

Som tidligere nævnt benytter investorerne Mean-variance analysen til portefølje op-timering. Denne beskrives i det følgende afsnit.

4.2 Mean-variance analyse

Mean-variance analysen er en matematisk analyse, som beskriver hvorledes et aktivsrisiko påvirker afkastet for en portefølje. Analysen benyttes til at se på trade-offmellem det forventede afkast og variansen af afkastet i en portefølje.

Teorien bag Mean-variance analysen forklares ud fra Kapitel 2 og Afsnit 4.1.

Antagelserne bag modellen er, at det finansielle marked er friktionsløst, det vil sige,at der ikke er nogle transaktionsomkostninger, regulationer eller skattemæssige følgerved handel. Desuden antages det, at investorerne er Mean-variance optimerende, somforklares følgeligt.

Initialt estimeres det forventede afkast for et aktiv, hvorefter dette aktivs indflydelsepå porteføljens risiko beskues for at vurdere, hvorvidt investeringen skal gennemføreseller ej, idet investorernes risikovillighed er forskellige. Risiko og forventet afkasthænger sammen i og med, at et højere forventet afkast øger porteføljens risiko. Tilat måle denne risiko beregnes variansen ud fra følgende formel.

V ar[(r − r)] = E[(r − r)2]− (E[(r − r)])2,

hvor r er afkastet og r er det forventede afkast.

Variansen for en portefølje er summen af alle enkelte investeringers varians multipli-ceret med deres vægt og beskrives ud fra følgende formel.

σ2p =

n∑i=1

n∑j=1

wiwjσij , (4.3)

hvor σij er kovariansen mellem aktiv i og j, og n = 1, 2, . . . . Kovariansen mellem toaktivers afkast er givet ved

σ12 = E[(r1 − r1)(r2 − r2)],

og skrives også som Cov(r1, r2), hvor r1 er afkastet for det første aktiv og r2 erafkastet for det andet aktiv. Korrelationen anvendes til at vurdere, om en portefølje


Figur 4.1: Middelværdi-standardafvigelses diagram, figuren er fra [Luenberger, 2009, s.149]

er diversificeret. For en portefølje, kan en varians-kovarians matrix opstilles. Detteer en symmetrisk matrix, som beskriver kovariansen mellem porteføljens aktiver.Denne matrix illustreres ved et eksempel med tre aktiver, A, B og C. Varianserneog kovarianserne for de tre aktiver vælges vilkårligt.

Eksempel 4.1

A B C

A 0, 53 0, 2 0, 26B 0, 2 0, 12 0, 08C 0, 26 0, 08 0, 28

Det ses, at matricen er symmetrisk, hvor varians af de tre aktiver er på diagonalen,og de øvrige indgange beskriver kovariansen mellem aktiverne.

Antallet af kovarianser, uden multiplicitet, i en portefølje beregnes ved n(n+ 1)/2. Idette tilfælde har porteføljen 3(3 + 1)/2 = 6 kovarianser.

C

Investorerne benytter Mean-variance analysen til at optimere forholdet mellem afkastog risiko, det vil sige, at investorerne er Mean-variance optimerende.

Ud fra den beskrevne teori kan der laves et diagram, som illustrerer trade-off mellemforventet afkast og standardafvigelse, dette kaldes et middelværdi-standardafvigel-sesdiagram og ses i Figur 4.1. Aktiver er repræsenteret som punkter i diagrammet,hvor x-aksen beskriver standardafvigelsen og y-aksen det forventede afkast.

Modsat et risikofyldt aktiv, findes også et risikofrit aktiv, rf . Ved det risikofrie ak-tiv er standardafvigelsen lig 0, det vil sige, at investoreren er sikret afkast. Figur4.2 illustrerer et middelværdi-standardafvigelsesdiagram for en portefølje, der bådeindeholder et risikofrit aktiv A og et risikofyldt aktiv B. Det antages, at begge po-rteføljevægte er positive. Porteføljen udgøres af det linjestykke, der forbinder de to


Figur 4.2: Middelværdi-standardafvigelses diagram, figuren er fra [Hillier et al., 2012, s.106]

aktiver i diagrammet. Aktiv C illustrerer et aktiv med negativ vægt. En porteføljebestående af et risikofrit aktiv A og et risikofyldt aktiv C er afbildet ved linjestykketAC. Beregningen af den rette linje for et aktiv med positiv henholdsvis negativ vægtses i Bilag B.

Den brugbare mængde for en portefølje er den mængde kombinationer af portefølje-vægtene, som summerer til én. Dette illustreres i Figur 4.3, som viser den brugbaremængde for en portefølje med fire aktiver, hvoraf ingen er risikofrie. Figuren dannesud fra middelværdi, varians og korrelationer. I figuren beskriver det farvede områdeden brugbare mængde. I denne figur vil den optimale portefølje for en given risikobefinde sig på randen. Dette kaldes en Mean-variance efficient portefølje og siges atvære den efficiente rand og vil blive beskrevet i det følgende.

Bemærk at der findes to definitioner af den brugbare mængde, hvor der i den enetillades at gå kort og i den anden tillades det ikke.

4.2.1 Minimumsvariansmængden og den efficiente rand

Som nævnt tidligere, ligger de optimale porteføljer på den efficiente rand. På randenhar porteføljer den laveste varians for et givet afkast, derfor kaldes denne også forminimumsvariansmængden. Den venstre grænse er dannet ved at tage ethvert for-ventet afkast og dets tilsvarende mindst mulige standardafvigelse, hvilket betyder, atkurven får form som en liggende parabel. Kurven har “toppunkt” i det punkt, hvorder er mindst varians, dette kaldes for minimumsvarianspunktet og er illustreret iFigur 4.3 ved V .

Antag, at en investors valg af porteføljer er begrænset til de mulige punkter på engiven horisontal linje i σ, r-planen. Alle porteføljer på denne linje har det sammeforventede afkast, men forskellige standardafvigelser. Da vil investorerne foretrækkeen portefølje i det punkt V , som er længst til venstre på linjen, dvs. punktet med


Figur 4.3: Minimumsvariance, figuren er fra [Hillier et al., 2012, s.124]

det forventede afkast, som har den mindste standardafvigelse. En investor, som fo-retrækker dette, siges at være risikoavers, da risikoen ønskes minimeret. Det vil sige,at investoren skal kompenseres, før der påtages en risiko. En investor som modsatvælger et andet punkt, frem for det med den mindste standardafvigelse, siges atforetrække risiko.

Tilsvarende kan porteføljer betragtes som punkter på en lodret linje. Her vil stan-dardafvigelsen være den samme for hver portefølje, mens det forventede afkast erforskelligt. Da vil investorerne foretrække punktet, der befinder sig højest på linjen,dvs. at investorerne vælger den portefølje med det største forventede afkast for engiven risiko. Denne egenskab betegnes som, at en investor er umættelig. Det vil sige,at investorerne altid forsøger at opnå et højere afkast. Investorer, som opfylder detteog er risikoavers, vil kun have interesse i den øvre del af minimumsvariansmængden,som kaldes den efficiente rand og illustreres i Figur 4.3.

Den efficiente rand kaldes også den hellige gral [Hillier et al., 2012, side 125], da deter på denne, at investorerne opnår en efficient portefølje. Derfor fokuseres nu på denefficiente rand. Følgende afsnit beskriver, hvorledes punkter på den efficiente randberegnes.

4.2.2 One- og Two-fund separation og det matematiske problem

For at kunne lave den efficiente rand, benyttes two-fund separations sætningen.

Sætning 4.2 (Two-fund separation)Den efficiente rand kan konstrueres ud fra to punkter på randen.


Dette følger af, at hvis et aktiv har samme vægt i to porteføljer på randen, har detsamme vægt i alle porteføljer på randen. Bemærk, at two-fund separations sætningenfinder randen ud fra to risikofyldte porteføljer. One-fund separations sætningen finderderimod den rette linje med skæring i (0, rf ) ud fra ét risikofyldt- og ét risikofrit aktiv.Denne sætning defineres som følgende.

Sætning 4.3 (One-fund separation)Den efficiente linje kan konstrueres ud fra ét punkt på randen og ét risikofritaktiv, rf .

Jævnfør One-fund sætningen vides det, at alle investorer blot investerer i et risikofyldtaktiv. Derudover har de mulighed for ind- og udlån til en risikofri rente. Yderligeregiver antagelserne, at alle investorer investerer i det samme risikofyldte aktiv.

I praksis er tangentporteføljen skæringen mellem den efficiente rand og den efficientelinje. Tangentporteføljen vil blive beskrevet i Afsnit 5.1.

I Afsnit 4.2.1 blev det beskrevet, hvorledes den efficiente rand findes, hvorfor mini-mumsvariansporteføljer kan beskrives som et matematisk problem.

Det antages, at der er n aktiver, hvor det forventede afkast er r1, r2, . . . , rn og kova-riansen er σij , for i, j = 1, 2, . . . , n. En portefølje er defineret ved en mængde af nvægte wi, i = 1, 2, . . . , n, som summerer til én. Der tillades negative vægte, såledesdet er muligt at gå kort.

For at finde en minimumsvariansportefølje fastholdes det forventede afkast som envilkårlig værdi r. Derved findes den mulige portefølje af minimumsvarians, som hardet forventede afkast. Problemet kan da formuleres som et minimeringsproblem medto bibetingelser.

Minimer = 12

n∑i,j=1

wiwjσij

Bibetingelser =n∑i=1

wiri = r

=n∑i=1

wi = 1.

Mean-variance problemet er grundlæggende for investeringsteorien for en enkelt peri-ode. Problemet beskriver eksplicit trade-off mellem det forventede afkast og variansenaf afkastet i en portefølje. I følgende afsnit vil problemet løses.


4.2.3 Løsning til minimeringsproblemet

Betingelserne for løsningen til problemet kan findes ved at benytte Lagrange multi-plikatorerne λ og µ. Dette giver Lagrange-ligning

L = 12

n∑i,j=1

wiwjσij − λ

n∑i=1

wiri − r

− µ n∑i=1

wi − 1

. (4.4)

Ligningen differentieres med hensyn til hver variabel w1, . . . , wn og de afledte sætteslig nul. Ligning (4.4) omskrives til en ligning med to variable, da den så er lettere atdifferentiere.

L = 12(w2

1σ21 + w1w2σ12 + w2w1σ21 + w2

2σ22

)− λ (r1w1 + r2w2 − r)− µ (w1 + w2 − 1) .

Herefter differentieres ligningen.∂L

∂w1= 1

2(2σ21w1 + σ12w2 + σ21w2)− λr1 − µ

∂L

∂w2= 1

2(σ12w1 + σ21w1 + 2σ22w2)− λr2 − µ.

Da σ12 = σ21 og de afledte sættes lig 0, fås følgende.

σ21w1 + σ12w2 − λr1 − µ = 0σ21w1 + σ2

2w2 − λr2 − µ = 0.

Disse to ligninger sammen med de to begrænsninger, giver fire ligninger, som kanløses for de fire ubekendte w1, w2, λ og µ.

Den generelle form for n variable, kan skrives som en generalisering af formen for tovariable.

Ligninger for den efficiente mængdeFor en efficient portefølje med n porteføljevægte wi for i = 1, 2, . . . , n og de toLagrange multiplikatorer λ og µ har det forventede afkast r, som opfylder

n∑j=1

σijwj − λri − µ = 0 for i = 1, 2, . . . , n (4.5)

n∑i=1

wiri = r (4.6)

n∑i=1

wi = 1 (4.7)


Der er n+2 ligninger og samme antal ubekendte, wi’erne, λ og µ. Løsningen til disseligninger giver vægtene for en minimumsvariansportefølje med forventet afkast r.

Kapitel 5

CAPM

Dette Kapitel er baseret på [Hillier et al., 2012, s. kapitel 5], [Luenberger, 2009, s.kapitel 7], [Ruppert, 2011] og [Bork, 2016].

CAPM er en model, som benyttes til at beskrive forholdet mellem risiko og afkast. Ipraksis betyder dette, at investorerne skal kompenseres i form af et højere forventetafkast, når der investeres i et aktiv med høj risiko. Ligeledes vil et aktiv med lavrisiko give et lavt forventet afkast.

Prisen på et aktiv bestemmes ved CAPM og implicit ved markedsligevægt. I markeds-ligevægt antages det, at alle investorerne er Mean-variance optimerende og homogene.Det antages ligeledes, at markedet er friktionsløst og at der findes en risikofri rentefor ind- og udlån. Dette kan vises ved et ligevægtsargument. Det forventede afkastfor et aktiv er udregnet ud fra den initiale pris og den endelige pris. Enhver investorudregner, ud fra de tilgængelige parametre, den optimale portefølje, og investererheri. Hvis udbud er forskellig fra efterspørgsel, reevalueres prisen på aktivet. Nårprisen på et aktiv ændres, foretager investorer en ny analyse. Dette gentages indtil,der er markedsligevægt.

Forinden CAPM udledes, redegøres for den tilhørende teori.

5.1 Kapitalmarkedslinjen og tangentporteføljen

Når der tilføjes aktiver til en mængde af investeringer, som kan holdes i en portefølje,udvides den brugbare mængde af et middelværdi-standardafvigelses-diagram. Tilføjeset risikofrit aktiv til den brugbare mængde, ændrer den efficiente rand udseende fraen hyperbolsk kurve til en lineær linje med skæring i det risikofrie aktiv (0, rf ),hvilket ses i Figur 5.1(A).

25

26 Kapitel 5. CAPM

Figur 5.1: Relationen mellem middelværdi-standardafvigelsesdiagram og middelværdi-betadiagram, figuren er taget fra [Hillier et al., 2012, s.136]

Denne linje kaldes kapitalmarkedslinjen og repræsenterer de porteføljer, der optimaltkombinerer alle investeringer. I denne sammenhæng er tangentporteføljen den porte-følje, hvor kapitalmarkedslinjen tangerer den hyperbolske kurve. Jævnfør antagelseri Mean-variance analysen og antagelsen om eksistens af et risikofrit aktiv, vil alleinvestorer vælge en portefølje på kapitalmarkedslinjen. Risikoaverse investorer vilvælge en portefølje tæt på det risikofrie aktiv. Modsat vil risikovillige investorer væl-ge en portefølje langt ude på kapitalmarkedslinjen, muligvis over tangentporteføljen,hvis investorerne vil gå kort i det risikofrie aktiv. Kapitalmarkedslinjen beskrives vedfølgende ligning

Rp = rf + RT − rfσT

σp, (5.1)

hvor RT er forventet afkast for tangensporteføljen og σT er standardafvigelse fortangentporteføljens afkast. Hældningen for kapitalmarkedslinjen er givet ved (RT −rf )/σT , hvilket er et mål for trade-off mellem risiko og forventet afkast. En størrehældning giver et større afkast for en given stigning i risiko og omvendt. I det følgendevil ligningen for kapitalmarkedslinjen (5.1) udledes. Der tages udgangspunkt i enportefølje, hvor en andel, w, udgøres af aktiver fra tangentporteføljen og (1 − w)udgøres af et risikofrit aktiv. Derved fås følgende ligning.

Rp = wRT + (1− w)rf = rf + w(R− rf ) (5.2)

Ud fra ligning (5.2) findes standardafvigelsen af porteføljen.

σp = wσT

5.1. Kapitalmarkedslinjen og tangentporteføljen 27

Dette kan omskrives til følgende.

w = σpσT

(5.3)

Substitueres ligning (5.3) ind i ligning (5.2) fås kapitalmarkedslinjen:

Rp = rf + σpσT

(RT − rf ).

Beta og security markedslinjen

Beta er et risikomål, som måler volatiliteten af et aktiv eller en portefølje i forholdtil tangentporteføljen. I CAPM benyttes beta til at udregne forventet afkast for etaktiv. Beta udregnes ved

βi = Cov(ri, rT )σ2T

. (5.4)

Beta-notationen anvendes, da beta ligeledes er hældningskoefficienten i den lineæreregressionsligning (3.1).

I en portefølje findes beta for hele porteføljen som et vægtet gennemsnit af betaernefor dens individuelle aktiver, dette udregnes

βp = Cov(rp, rT )var(rT ) =

Cov

(n∑i=1

wiri, rT

)var(rT ) =

n∑i=1

wiβi.

Til at forklare sammenhængen mellem de to risikomål; standardafvigelse og betaintroduceres security markedslinjen. Security markedslinjen er en ret linje, der visersammenhængen mellem et aktivs forventede afkast og risikoen for tangentporteføljen.Linjen kombinerer kapitalmarkedslinjen og risikomålet beta. I Figur 5.1 illustrereskapitalmarkedslinjen overfor security markedslinjen.

Figur 5.1(A) viser kapitalmarkedslinjen, den efficiente rand og tangentporteføljenmed standardafvigelsen som risikomål. Ligeledes ses en skitsering af de forskelligeaktivers beta-værdier. Figur 5.1(B) viser security markedslinjen og hvorledes akti-verne fordeler sig efter deres beta-værdi. Tangentporteføljen har en beta-værdi påβ = 1, da den kovarierer med sig selv. Modsat har det risikofrie aktiv β = 0, fordidet har det samme afkast uafhængigt af, hvor meget markedet varierer.

Bemærk, at security markedslinjen adskiller sig fra kapitalmarkedslinjen ved, atsecurity markedslinjen gælder for alle aktiver, hvorimod kapitalmarkedslinjen kungælder for efficiente porteføljer.

28 Kapitel 5. CAPM

5.1.1 Udledning af security markedslinjen

Betragt en portefølje p med et risikofrit aktiv i med vægt wi og en tangentporteføljemed vægt (1− wi). Det forventede afkast af porteføljen er da

Rp = wiRi + (1− wi)RT , (5.5)

hvor risikoen er givet ved

σp =√w2i σ

2i + (1− wi)2σ2

T + 2wi(1− wi)σi,T . (5.6)

Ved at differentiere ligning (5.5) og (5.6) med hensyn til wi fås følgende to udtryk

dRpdwi

= Ri − RT

og

dσpdwi

= 12σ−1p {2wiσ2

i − 2(1− wi)σ2T + 2(1− 2wi)σi,T }.

Dette kan omskrives til følgende

dRpdσp

= dRp/dwidσp/dwi

= (Ri − RT )σpwiσ2

i − σ2T + wiσ2

T + σi,T − 2wiσi,T.

Derefter haves

dRpdσp

wi=0

= (Ri − RT )σTσi,T − σ2

T

(5.7)

Det vides, at wi = 0 er tangentporteføljen, som er tangent til kapitalmarkedslinjen.Derved må ligning (5.7) være lig hældningen af kapitalmarkedslinjen, som er (RT −rf )/σT . Ergo er

(Ri − RT )σTσi,T − σ2

T

= RT − rfσT

.

Ved isolering fås security markedslinjen

Ri − rf = σi,Tσ2T

(RT − rf ) = βi(RT − rf ).

Da der er redegjort for den tilhørende teori til CAPM, kan modellen udledes.

5.2. Udledning af CAPM 29

5.2 Udledning af CAPM

CAPM er en ligevægtsmodel for det forventede afkast. I Afsnit 4.2 blev det vist,hvordan en portefølje udvælges givet det forventede afkast og afkastets kovarians.Til at estimere afkastet anvendes CAPM, som defineres som følgende.

Betragt en økonomi med n risikofyldte aktiver og et risikofrit aktiv. Lad ri benævnedet forventede afkast på det i’te risikofyldte aktiv og lad rf benævne afkastet af detrisikofrie aktiv. Det antages, at rf er strengt mindre end afkastet fra minimumsvari-ansporteføljen V . Givet et risikofrit aktiv, kan det forventede afkast for ethvert aktiveller enhver portefølje, udtrykkes som en funktion af dens beta med hensyn til enefficient portefølje. Da tangentporteføljen er en sådan portefølje haves

E(ri)− rf = βi,T (E(rT )− rf ), (5.8)

hvor beta er defineret som i ligning (5.4).

Det vigtigste i udledningen af CAPM er at identificere tangentporteføljen som mar-kedsporteføljen. Denne defineres således. Antag at begyndelsesmængden af risiko-fyldte aktiver j til tid 0 har værdi P j0 . Da er markedsporteføljens aktivers vægtegivet ved

wj = P j0n∑i=1

P i0

Hvis alle agenter er Mean-variance optimerende, giver teorien fra Afsnit 4.2, samtantagelsen om eksistensen af et risikofrit aktiv, at disse agenter har investeret i enkombination af tangentporteføljen og det risikofrie aktiv. Det vil sige, at alle agenterholder den samme kombination af risikofyldte aktiver som for tangentporteføljen.I ligevægt betyder dette, at markedsporteføljen vil have den samme kombinationaf aktiver som tangentporteføljen. Dette kan beskrives matematisk. Lad φi væremængden af agent i’s rigdom, som er investeret i tangentporteføljen. Ved at summeover alle agenter fås

Totalværdi af aktiv j =K∑i=1

φiVi(0)wT (j)

= wT (j) · Totalværdi af alle risikofyldte aktiver,

hvor Vi(0) er rigdommen tilgængelig til investering og K er antallet af agenter påmarkedet. Ligeledes antages det, at alle agenterne skal holde de risikofyldte aktiver.Den primære økonomiske antagelse er at two-fund separation sætningen gælder. Der-for kan markedsporteføljen skrives som i ligning (5.8). Dette er CAPM, som giverdet forventede afkast for et givet aktiv:

E(ri)− rf = βi,M (E(rM )− rf ), (5.9)

30 Kapitel 5. CAPM

hvor βi,M er defineret ved brug af markedsporteføljen i stedet for tangentporteføljen.Dette giver sætning 5.1.

Sætning 5.1 (CAPM)Hvis markedsporteføljenM er efficient, opfylder det forventede afkast ri af ethvertaktiv i følgende

ri − rf = βi(rM − rf ), (5.10)

hvor

βi = σi,Mσ2M

.

Bevis

Betragt for ethvert α porteføljen bestående af en mængde α investeret i aktiv i ogen mængde (1 − α) investeret i markedsporteføljen M . Der tillades at gå kort i detrisikofrie aktiv, det vil sige α < 0. Det forventede afkast af denne portefølje er

rα = αri + (1− α)rM (5.11)

og standardafvigelsen af det forventede afkast er

σα =[α2σ2

i + 2α(1− α)σi,M + (1− α)2σ2M

]1/2. (5.12)

Når α varieres, vil disse værdier give den efficiente rand og α = 0 svarer til mar-kedsporteføljen M .

I Afsnit 5.1 blev det udledt, at tangentporteføljen var lig markedsporteføljen. Det erdenne information, som bliver benyttet til at udlede ligning (5.10). Først differentieresligning (5.11) og (5.12) med hensyn til α.

drαdα

= ri − rM

dσαdα

= ασ2i + (1− 2α)σi,M + (α− 1)σ2

M

σα.

Dermed,

dσαdα

α=0

= σi,M − σ2M

σM.

Derefter anvendes relationendrαdσα

= drα/dα

dσα/dα

5.2. Udledning af CAPM 31

for at få

drαdσα

α=0

= (ri − rM )σMσi,M − σ2

M

= rM − rfσM

.

Slutteligt isoleres ri for at få CAPM ligningen

ri = rf +(rM − rfσ2M

)σi,M

= rf + βi(rM − rf ).

Dette konkluderer beviset.

�

Givet antagelserne i CAPM og antagelsen om eksistensen af et risikofrit aktiv, vilalle investorer holde en kombination af markedsporteføljen og det risikofrie aktiv.

Kapitel 6

CAPM regression

Dette kapitel er baseret på [Pasquariello, 1999] og [Bork, 2016].

6.1 CAPM og regression

I dette kapitel beskrives, hvordan CAPM afprøves empirisk og hvordan lineær re-gression anvendes. Ved afprøvning findes β0 og β1 ved at benytte OLS-metoden, somer beskrevet i Kapitel 3. Regressionsligningen for CAPM er givet ved

ri,t = αi + βi,t · rM,t + εi,t, (6.1)

som svarer til ligning (3.1), hvor β0 = αi og β1 = βi,t. I regressionsligning (6.1) erden del af ri,t, som er forklaret af markedspræmien, givet ved βi,t · rM,t. Dette er etudtryk for aktivets systematiske risiko. Aktivets usystematiske risiko er givet ved εi,som er den del af ri,t, der ikke er forklaret af markedsafkastet.

Parameteren α er en konstant. Ligeledes er α et risikojusteret mål af afkastet, sommåler forholdet mellem et aktivs egentlige afkast og aktivets forventede afkast.

Regressionsanalysen af CAPM foretages gennem en kode i R med empiriske data,som står i Bilag D.

6.1.1 Fama-MacBeth, tidsserie- og tværsnitsregression

Fama-MacBeth formulerede teori vedrørende empirisk validering af CAPM’s impli-kationer.

Til beskrivelse af denne metode introduceres tidsserie- og tværsnitsregression kort. Itidsserieregression er de enkelte observationer ordnet efter tid. I tværsnitsregression

33

34 Kapitel 6. CAPM regression

er observationerne derimod målt på eksempelvis personer, lande eller som i dettetilfælde aktier.

Fama-MacBeth metoden består af to faste trin. Først anvendes tidsserieregression påde valgte data, hernæst foretages tværsnitsregression af de gennemsnitlige afkast, ri,og de estimerede beta-værdier, βi.

I litteraturen er der uenighed om, hvorvidt der er et tredje trin, som i så fald vilbestå af en analyse af de fundne resultater. I dette projekt tages der udgangspunkti en tre-trins Fama-MacBeth metode.

Til at teste de empiriske data beskrives følgende stokastiske model for afkastet af nvirksomheder:

ri,t = αi + βi · rM,t + εi,t, i = 1, . . . , n. (6.2)

Det ses, at ligning (6.2) har form som ligning (3.1).

Denne model bruges i det første trin, first pass, som giver estimerede beta-, βi, ogalfa-værdier, αi. Tages gennemsnittet over tiden af ligning (6.2) fås

ri = αi + βi · rM + εi (6.3)

Dernæst anvendes trin to, second pass, hvor der benyttes estimerede beta-værdier,da βi ikke er kendt, samt en teoretisk fællesværdi for alfa i stedet for n forskellige.Det ønskes, at alfa er lig nul. Ligning (6.3) er da givet som

ri = α+ ψ · βi + νi. (6.4)

Bemærk, at Ligning (6.4) har samme form som ligning (3.1), hvor yi = ri, xi = βi,β0 = α og β1 = ψ samt at νi er et fejled. Regressionen tester, om hypotesen ψ = rMholder.

Fama-MacBeth tre-trinsmetode

1. (First pass) Ligning (6.2) benyttes for hvert aktiv i og der foretages entidsserieregression.

2. (Second pass) Ligning (6.4) benytter de estimerede beta-værdier fra trin 1samt de gennemsnitlige afkast og foretager en tværsnitsregression.

3. Der foretages en analyse af de estimerede resultater.

Det tredje trin foretages manuelt i dette projekt, og kan ses i Afsnit 7.1.3. Fama-MacBeth koden kan ses i Bilag E.

Denne hypotesetest vurderer, ved hjælp af p-værdien, hvorvidt ψ = rM . Hvis p-værdien er mindre end 5% afvises hypotesen og hvis p-værdien er større end 5%godtages hypotesen. Bemærk, at dette er udenfor projektets rammer.

Kapitel 7

Analyse af data

CAPM afprøves empirisk ved at anvende data fra Datastream, som er en infobase afThomson Reuters i 2009. Til afprøvning af data er der udvalgt ti danske virksomhederfra fire grupper, OMXC20 index, Large Cap, Mid Cap og Small Cap. Markedsporte-føljen er Copenhagen Stock exchange (OMXC20). De ti danske virksomheder er,

• OMXC20: Jyske Bank, A.P. Møller Mærsk A (Mærsk A), A.P. Møller MærskB (Mærsk B) og Novo Nordisk B.

• Large CAP: Topdanmark og Carlsberg B.

• Mid CAP: Alm. Brand og Bang & Olufsen B.

• Small Cap: Dantax og Gyldendal B.

Virksomhedernes lukkepris uden udbytte er illustreret grafisk i Bilag C, hvor detses at aktiverne generelt har en tendens til at stige i værdi. Modsat ses det, at denrisikofrie rente har en tendens til at aftage i værdi. Der anvendes data for en 20-årigperiode, som strækker sig fra 19/5-1996 til 19/5-2016. Der benyttes en 3 månedersrente fra Denmark Interbank som den risikofrie rente. Data for virksomhederne erde månedlige lukkepriser i Danske Kroner, hvorimod data for markedsporteføljen erdet månedlige Price index i Danske Kroner. Til den risikofrie rente anvendes OfferedRate, som er satsen, der tilbydes ved lån. Dog vil der ved Offered Rate altid være enrisiko.

Virksomhedernes beta-værdier estimeres, da disse beskriver hvor følsomme virksom-heder er overfor ændringer i markedet. En virksomhed med β > 1 vil være økonomiskfølsom overfor ændringer i markedet og benævnes som et aggressivt aktiv, hvorimoden virksomhed med β < 1 vil være mindre følsom. Dette aktiv benævnes som etdefensivt aktiv. Bemærk at for β = 0 er der tale om et neutralt aktiv. Ud fra detteundersøges, hvilken kategori virksomhedernes beta-værdier tilhører.

35

36 Kapitel 7. Analyse af data

7.1 Analyse af estimater

CAPM-koden, som ses i Bilag D, er benyttet på det totale afkast for de ti virksom-heder, hvormed resultaterne fra koden er gengivet i Tabel 7.1. Bemærk, at det kuner de væsentligste resultater der kommenteres på.

Data i tabellen kommer fra en OLS estimation af ligning (6.1).

Aktie α σα β σβA.P. Møller Mærsk A 0,002414 0,00437 1,257 0,0731A.P. Møller Mærsk B 0,002567 0,00441 1,257 0,0738Jyske Bank -0,001047 0,004667 0,812 0,0784Novo Nordisk B 0,004563 0,003829 0,749 0,0645Topdanmark -0,000092 0,004049 0,593 0,0682Carlsberg B -0,005544 0,004587 0,828 0,0771Alm. Brand Bank -0,004582 0,00585 0,958 0,0983Bang og Olufsen -0,001570 0,008002 1,088 0,1350Dantax -0,014296 0,005484 0,359 0,0905Gyldendal B -0,015446 0,005388 0,222 0,0891

Tabel 7.1: Estimation af data

7.1.1 Beta-estimater

Mærsk A og Mærsk B har beta-værdier på 1, 257, hvilket indikerer, at begge eraggressive aktiver. Dette betyder, at de er meget følsomme overfor ændringer i mar-kedet, dog er σβ = 0, 0731 og σβ = 0, 0738 for henholdsvis Mærsk A og Mærsk B.Det vil sige, at Mærsk B er mere risikoavers end Mærsk A.

Gyldendal B har en beta-værdi på 0, 222, og er derfor et defensivt aktiv med σβ =0, 0891. Novo Nordisk B er, med en beta-værdi på 0, 749, ligeledes defensiv. NovoNordisk B har σβ = 0, 0645. Dette betyder, at Novo Nordisk B og Gyldendal B ermindre følsomme overfor ændringer i markedet.

Beta-estimaterne for de ti virksomheder viser, at virksomhedernes følsomhed overforændringer i markedet varierer. Det skal dog nævnes, at der er en vis usikkerhedved beta-værdierne, idet disse er estimerede ved OLS, så derfor har de en statistiskusikkerhed målt ved deres standardafvigelse.

Efterfølgende vil CAPM blive testet gennem tidsserieregression og tværssnitsregres-sion.

7.1. Analyse af estimater 37

7.1.2 Alfa-estimater

Der er i Fama-MacBeth koden udregnet alfa-værdier for de ti virksomheder. Disseværdier samt standardafvigelsen anvendes til at teste hvorledes, det kan antagesom α = 0. Dette benyttes til at evaluere gyldigheden af CAPM ligningen (6.1).Tillades α 6= 0, er der mulighed for en fejlvurdering, hvilket betyder, at CAPM ikkenødvendigvis er anvendelig.

Aktie α σα IntervalA.P. Møller Mærsk A 0, 002414 0, 004370 [−0, 0062; 0, 0110]A.P. Møller Mærsk B 0, 002567 0, 004410 [−0, 0061; 0, 0112]Jyske Bank −0, 001047 0, 004667 [−0, 0102; 0, 0081]Novo Nordisk B 0, 004563 0, 003829 [−0, 0029; 0, 0121]Topdanmark −0, 000092 0, 004049 [−0, 0080; 0, 0078]Carlsberg B 0, 005544 0, 004587 [−0, 0145; 0, 0034]Alm. Brand Bank −0, 004582 0, 005850 [−0, 0160; 0, 0069]Bang og Olufsen −0, 001570 0, 008002 [−0, 0172; 0, 0141]Dantax −0, 014296 0, 005484 [−0, 0250;−0, 0035]Gyldendal B −0, 015446 0, 005388 [−0, 0260;−0, 0049]

Tabel 7.2: Analyse af alfa

Til at antage at α = 0, anvendes et såkaldt 95% konfidensinterval for alfa givet ved[α ± 1, 96 · σα]. Hvis nul er i dette interval, kan der med 95% sikkerhed siges, atden sande alfa-værdi er i intervallet. Omvendt hvis intervallet ikke indeholder nul, såafvises, at den sande alfa-værdi er i intervallet.

I Tabel 7.2 ses det i kolonnen med intervaller for de ti virksomheder, at det kun erDantax og Gyldendal B, hvor nul ikke er i intervallet. Det kan derfor konkluderes,at for de otte andre virksomheder er α = 0, hvorimod at for Dantax og Gyldendal Ber α 6= 0.

Da der er to virksomheder, hvor α 6= 0, kan der argumenteres for, at CAPM ikkeholder, da alle virksomheder ikke opfylder hypotesen om α = 0.

7.1.3 Test af CAPM ved Fama-MacBeth

CAPM testes yderligere ved tværsnitsregression, som er beskrevet i Afsnit 6.1.1.Fama-MacBeth koden anvendt til at foretage tværssnitsregression ses i Bilag E. Gen-nem Fama-MacBeth koden er beta og gennemsnitlig merafkast illustreret grafisk iFigur 7.1.

38 Kapitel 7. Analyse af data

Figur 7.1: Plot over beta-estimaterne i forhold til deres gennemsnitlige merafkast.

Da der i Figur 7.1 ikke er en lineær sammenhæng, er resultaterne upålidelige. Dennemanglende sammenhæng kan blandt andet, men ikke udelukkende forklares ved, atder ikke anvendes tilstrækkeligt mange virksomheder.

I Fama-MacBeth testes om ψ = rM ved brug af p-værdien. Hvis p-værdien er mindreend 5% afvises hypotesen og hvis p-værdien er større end 5% godtages hypotesen.

Der fås, at ψ = −0, 0157 og p-værdien for ψ bliver 1, 86%. Dermed holder CAPMikke.

Bemærk, at de statistiske metoder der anvendes i Afsnit 7.1.3 og 7.1.2 er udenforrammerne i projektet.

7.2 Diskussion af problemer ved CAPM

Dette afsnit er baseret på [Verbeek, 2003, s.24-25] og Afsnit 7.1.1, 7.1.2 og 7.1.3.

Når CAPM afprøves empirisk opstår en række problemer. Første problem beståri, at det er muligt at proxierne for markedsporteføljen ikke afspejler alle relevanterisikofaktorer i økonomien. Ifølge dette er karakteristika for virksomheder, såsomstørrelse og nøgletal, korreleret med aktivers følsomhed overfor risiko, som ikke erafspejlet af proxien for markedsporteføljen. Eksempelvis er humankapital en vigtig

7.2. Diskussion af problemer ved CAPM 39

komponent for markedsporteføljen, som ikke er inkluderet i de forskellige markeds-proxies. Da investorer vil forsikre sig mod at blive arbejdsløse, er de villige til atacceptere et lavere forventet afkast på de aktiver, der klarer sig relativt godt. Imodsætning til antagelsen i CAPM om, at investorer er homogene, agerer de udfra egne holdninger. Spekulationer omkring løn og arbejdsløshed ser CAPM bortfra, hvilket medvirker, at det er svært at afspejle den virkelige markedsportefølje.Endnu et eksempel på at investorer ikke opfører sig homogent er, at de udelukkendefokuserer på deres interesseområder.

CAPM tager yderligere ikke højde for virksomheder med sæsonarbejde, og vil fordisse få misvisende beta-værdier.

Virksomheder med lave nøgletal skal, for at tiltrække investorer, have et højt forven-tet afkast. Eksempelvis, vil virksomheder med lave nøgletal betragtes som havenderinge fremtidsudsigter, da markedsværdien er lav i forhold til den bogførte værdi.Derimod betragtes virksomheder med høje nøgletal som havende gode fremtidsud-sigter.

Ydermere haves et økonometrisk problem, som omhandler, at der ikke betragtessande beta-værdier, men derimod estimater, som indeholder måleusikkerhed. Det-te påvirker gyldigheden af OLS estimationen og standardfejlene herved. Der opstårdesuden fejlvarians, da fejleddene mellem aktiver er korrelerede og variansen af for-ventet afkast derved afviger. Årsagen til at der opstår fejlvarians kan være, at der ervariation i kvalitet af data samt at gennemsnittet varierer.

CAPM’s empiriske resultater afhænger af, hvilke data der anvendes og om der anven-des daglig, ugentlig eller månedlig data. Ydermere påvirkes resultaterne af mængdenaf data. En længere periode giver mere data og derved opnås et mere præcist re-sultat. Tværsnitsregressionen antager, at βi er konstant, men over tid vil dette ikkenødvendigvis være sandt.

Det skal desuden nævnes, at estimaterne er stærkt afhængige af gyldigheden afCAPM antagelserne, eksempelvis homogene investorer og et friktionsløst marked.Det vil sige, at CAPM kun virker teoretisk. Modellen kan dog anvendes til at approk-simere de sande beta-værdier, hvorfor modellen anvendes på trods af dens urealistiskeantagelser.

Kapitel 8

Konklusion

Initialt blev diskrete og kontinuerte stokastiske variable beskrevet, såvel som essen-tielle sandsynlighedsteoretiske termer. Dette med henblik på at danne fundamentetfor metoden til at løse og analysere projektets problemstillinger. For at fremme ef-fektiviteten af analysen blev regression beskrevet, nævnlig Fama MacBeth, herundertidsserie- og tværsnitsregression. Denne teori ligger til grundlag for de frembragteR-koder til at estimere og teste CAPM teorien. Heri begrænsede projektet sig ved atfokusere på en uafhængig variabel, da dette relaterer direkte til CAPM.

Med udgangspunkt i kapitlet om sandsynlighedsregning, relateres de herfra gennem-gåede termer til projektets økonomiske aspekt. Dette gøres i gennemgangen af por-teføljeteori, hvor der er fokus på forventet afkast og risiko, som relaterer direkte tilviden om de beta-værdier, der bliver trukket på i analysen af CAPM-koden. Yder-ligere beskues Mean-variance analysen, hvori det essentielle er antagelserne om, atinvestorerne er homogene samt at markedet er friktionsløst.

Forinden redegørelsen og udledningen af CAPM, beskrives tangentporteføljen, ogderunder kapitalmarkedslinjen, da denne indgår i CAPM ligningen. Et resultat herafer, at tangentporteføljen er markedsporteføljen. Dette leder over til udledningen afCAPM, som trækker på teori fra både Kapitel 2 og 4. Essentielt for udledningen afCAPM er de føromtalte antagelser.

CAPM-koden introduceres i Kapitel 6, og sættes i relation til den beskrevne teori omregression. Yderligere analyseres data for de ti virksomheder, efter koden er anvendtpå disse.

CAPM afprøves empirisk med data for en periode af 20 år fra ti forskellige danskevirksomheder, hvor der estimeres beta-værdier, der både er agressive og defensive.Et resultat i analysen af dette er, at trods to aktiver har samme beta-værdi, har deikke nødvendigvis samme standardafvigelse. CAPM testes ved henholdsvis tidsserie-regression og tværsnitsregression. I tidsserieregression konkluderes det, at α 6= 0 og

41

42 Kapitel 8. Konklusion

i tværsnitsregression fås en p-værdi på 1, 86%, hvorved CAPM i begge tilfælde kanafvises. Dette betyder, at der ikke er en lineær sammenhæng mellem beta-værdierne.

I projektet beskues hvilke faktorer, der har indflydelse på modellen og hvorledesresultaterne påvirkes, herunder; at der ikke benyttes en tilstrækkelig mængde dataog at der anvendes estimerede beta-værdier frem for sande. Ydermere er det ikkemuligt at medtage alle økonomiske risikofaktorer i markedsporteføljen. Ud fra dettekonkluderes det, at CAPM virker teoretisk, men ikke empirisk.

Litteratur

Bork, L. (2016). Lektion 2: Mean variance og capm. Disse noterer oprindeligt forfattet af Hans Sommerfeldt, men efterfølgende modifice-ret. Url:https://www.moodle.aau.dk/pluginfile.php/706025/mod_resource/content/0/GTkap5new.pdf.

Hillier, D., Grinblatt, M., and Titman, S. (2012). FINANCIAL MARKETS ANDCORPORATE STRATEGY. McGraw-Hill Education, second european editionedition. s. Kapitel 4, Kapitel5, 4, 105-107, 121-127, og 136.

Høg, E. and Juhl, H. J. (1994). REGRESSIONSMODELLER. Systime, 4. udgaveedition. s. 5-17.

Luenberger, D. G. (2009). INVESTMENT SCIENCE. Oxford University Press ,Inc., international edition edition. s. Kapitel 6, Kapitel 7 og 149.

Olofsson, P. and Andersson, M. (2012). PROBABILITY STATISTICS AND STO-CHASTIC PROCESSES. John Wiley & Sons, Inc., second edition edition. s.76-84,95-98, 104-106 og 203.

Pasquariello, P. (1999). The fama-macbeth approach revisited. New York University,Stern School of Business. s. 2-4.

Perold, A. F. (2004). The capital asset pricing model. Journal of Economic Per-spectives, 18(3). s. 3-4.

Ruppert, D. (2011). Statistics and Data Analysis for Financial Engineering. Springer.s. Kapitel 16.

Verbeek, M. (2003). The empirics of financial markets ii: Mean variance efficiencyand the capm. Erasmus University Rotterdam. s.24-25.

43

https://www.moodle.aau.dk/pluginfile.php/706025/mod_resource/content/0/GTkap5new.pdf

https://www.moodle.aau.dk/pluginfile.php/706025/mod_resource/content/0/GTkap5new.pdf

Appendix

45

Bilag A

Kovarians

Dette Bilag er baseret på [Olofsson and Andersson, 2012, s.203]

Det følgende er et eksempel på, at ukorrelerethed ikke er det samme som uafhængig-hed. Vælg et punkt (X,Y ), som er uniformt på en enhedscirkel {x2 + y2 ≤ 1} medarealet π. Da punktet er uniformt, må det også være kontinuert. Da punktet (X,Y )ikke er i et rektangulært område, men i en enhedscirkel, må X og Y være afhængige.

Figur A.1: Enhedscirklen

Den simultane tæthedsfunktinen er f(x, y) = 1/π. Enhedscirklen benævnes D for atopnå følgende.

E[XY ] = 1π

∫∫D

xy dx dy,

som må være lig 0 ved symmetri. Ydermere fås ved symmetri, at E[X] = E[Y ] = 0,dermed må Cov[X,Y ] = 0, selvom de er afhængige.

47

Bilag B

Udregning til middelværdi-standardafvigelsesdiagram

Dette Bilag er baseret på [Hillier et al., 2012, s.105-107].

B.1 To positive vægte

I denne udregning vil det risikofrie aktiv A, benævnes som aktiv 1 og det risikofyldteaktiv B som aktiv 2.Ved at sammensætte ligningerne for middelværdi og standardafvigelse, så kan detforventede afkast af en portefølje af et risikofrit henholdsvis et risikofyldt aktiv ud-trykkes som en funktion af den tilhørende standardafvigelse.

Rp = w1rf + w2r2

σp = w2σ2

Når der gås langt i aktiv B, som er det risikofyldte aktiv, så kan standardafvigelsenomskrives til følgende.

w2 = σpσ2,

som betyder, at

w1 = 1− σpσ2.

49

50 Bilag B. Udregning til middelværdi-standardafvigelsesdiagram

Ved at substituere udtrykket for w1 og w2 ind i ligningen for det forventede afkastfås følgende.

Rp = rf + r2 − rfσ2

σp. (B.1)

Ligning (B.1) er en lineær linje i Figur 4.2, der går fra aktiv A, som repræsentererdet risikofrie aktiv, til det punkt, som repræsenterer det risikofyldte aktiv, σp = σ2.Denne linje har skæring i rf og hældning (r2 − rf )/σ2.

B.2 En positiv og en negativ vægt

I denne udregning vil det risikofrie aktiv A, benævnes som aktiv 1 og det risikofyldteaktiv C som aktiv 2.Hvis det risikofyldte aktiv i stedet har negativ vægt og det risikofrie aktiv har positivvægt, så vil porteføljen gå kort i det risikofyldte aktiv. Da bliver standardafvigelsenfølgende.

Rp = w1rf + w2r2

σp = −w2σ2,

som kan omskrives til

w2 = −σpσ2.

Da porteføljevægten skal summere til 1, må der gælde

w1 = 1 + σpσ2.

Ved at substituere udtrykket for w1 og w2 ind i ligningen for det forventede fåsfølgende.

Rp = rf −r2 − rfσ2

σp. (B.2)

Ligningen er en lineær linje, som er repræsenteret ved linjestykket AC i Figur 4.2.Denne linje har skæring rf og hældning −(r2− rf )/σ2. Da det risikofyldte aktiv haren negativ vægt og linjestykket AC har et forventet afkast for det risikofyldte aktiv,som er større end afkastet for det risikofrie aktiv, så vil hældningen være negativ.Det vil sige, at hvis man går mere kort i det risikofyldte aktiv for at forhøje detforventede afkast, så vil det forventede portefølje afkast blive lavere, og derigennembliver porteføljens standardafvigelse større.

Bilag C

Grafer over empiriske data

I det følgende vil total return være i Danske Kroner og forventet afkast i procent.

Figur C.1: Graf over den risikofrie rente med udvikling over 240 måneder.

51

52 Bilag C. Grafer over empiriske data

Figur C.2: Graf over den valgte markedsportefølje for dens total return udvikling over 240 måneder.

Figur C.3: Graf over to virksomheder fra OMXC20 for deres total returns udvikling over 240måneder.

53

Figur C.4: Graf over to virksomheder fra OMXC20 for deres total returns udvikling over 240måneder.

Figur C.5: Graf over to virksomheder fra OMXC20 for deres forventede afkasts udvikling over 240måneder.


Figur C.6: Graf over to virksomheder fra OMXC20 for deres forventede afkasts udvikling over 240måneder.

Figur C.7: Graf over to virksomheder fra Large Cap for deres total returns udvikling over 240måneder.

55

Figur C.8: Graf over to virksomheder fra Large Cap for deres forventede afkasts udvikling over 240måneder.

Figur C.9: Graf over to virksomheder fra Mid Cap for deres total returns udvikling over 240måneder.


Figur C.10: Graf over to virksomheder fra Mid Cap for deres forventede afkasts udvikling over 240måneder.

Figur C.11: Graf over to virksomheder fra Small Cap for deres total returns udvikling over 240måneder.

57

Figur C.12: Graf over to virksomheder fra Small Cap for deres forventede afkast udvikling over240 måneder.

Bilag D

CAPM-kode

data <− read . csv2 ( "C: /Users/Pe r n i l l e /Desktop/Lukkepris . csv " , header=TRUE)s tock s = data [ , c (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 1 2 ) ]m = dim( s t o ck s ) [ 1 ]data2=as .matrix (cbind (data [ ( 2 :m) , 1 3 ]/365 ,100∗ ( s t o ck s [ 2 :m, ] / s t o ck s [ 1 : (m−1) , ]−1)))names( data2 ) = " t r ea su ry "r i s k_f r e e = data2 [ , 1 ]merafkast = data2 [ , 2 : 1 2 ] − r i s k_f r e eMarkedspraemien = merafkast [ , 1 1 ]ak t i emera fka s t = merafkast [ , 1 : 1 0 ]

f i t_reg = lm( ak t i emera fka s t ~ Markedspraemien )options ( d i g i t s = 3)summary( f i t_reg )r e s = residuals ( f i t_reg )pairs ( r e s )

options ( d i g i t s = 3)betas = f i t_reg$ c o e f f [ 2 , ]betasoptions ( d i g i t s = 3)alpha = f i t_reg$ c o e f f [ 2 , ]alpha

59

Bilag E

Fama-MacBeth regressions kode

fama <− read . csv2 ( "C: /Users/Pe r n i l l e /Desktop/Merafkast ␣fama . csv " , header=TRUE)

indeks <− 1while ( indeks < 11)

{ indeks <− indeks+1fama . tmp <− data . frame ( y=as .numeric ( fama [ , indeks ] ) ,

Markedspr=as .numeric ( fama$Markedspraemien ) , navn=names( fama ) [ indeks ] ,dato=fama$Dato )

i f ( indeks==2){famadata <− fama . tmp} else{ famadata <− rbind ( famadata , fama . tmp)}

}

f i t s <− lapply ( as . l i s t (names( fama ) [ 2 : 1 1 ] ) , function (yname){ fama . tmp <−data . frame ( y=fama [ [ paste (yname ) ] ] , Markedspraemien=fama$Markedspraemien )lm( y ~ Markedspraemien , data=fama . tmp)})names( f i t s ) <− names( fama ) [ 2 : 1 1 ]e s t imate r <− sapply ( f i t s , coef )beta <− e s t imate r [ 2 , ]betaMarkedspraemien = fama [ , 1 2 ]MarkedspraemienMaerskA = fama [ , 2 ]MaerskB = fama [ , 3 ]NovoNordisk = fama [ , 4 ]JyskeBank = fama [ , 5 ]Topdanmark = fama [ , 6 ]Car l sberg = fama [ , 7 ]AlmBrand = fama [ , 8 ]BangOlufsen = fama [ , 9 ]

61

62 Bilag E. Fama-MacBeth regressions kode

Dantax = fama [ , 1 0 ]Gyldendal = fama [ , 1 1 ]

summary(lm(MaerskA ~ Markedspraemien ) )summary(lm(MaerskB ~ Markedspraemien ) )summary(lm( NovoNordisk ~ Markedspraemien ) )summary(lm( JyskeBank ~ Markedspraemien ) )summary(lm(Topdanmark ~ Markedspraemien ) )summary(lm( Car l sberg ~ Markedspraemien ) )summary(lm(AlmBrand ~ Markedspraemien ) )summary(lm( BangOlufsen ~ Markedspraemien ) )summary(lm(Dantax ~ Markedspraemien ) )summary(lm( Gyldendal ~ Markedspraemien ) )

Gns_merafkast <− tapply ( famadata$y , famadata$navn ,mean)Gns_merafkastplot (beta , Gns_merafkast )

pass2reg <− lm(Gns_merafkast~beta )summary( pass2reg )p s i <− coef ( pass2reg )p s i 2 <− p s i [ " beta " ]Gns_markedspr <− ave ( famadata$Markedspr ) [ 1 ]s t d e r rb e t a <− coef (summary( pass2reg ) ) [ , 2 ] [ 2 ]t t e s t <− ( ps i2−Gns_markedspr )/ s td e r rb e t at t e s t pva l u e <− 2∗pt ( t t e s t , 8 , lower=FALSE)print ( t t e s t pva l u e )

thecapitalassetpricing model - aau€¦ · 2 kapitel1. indledning på baggrund af dette frembringes...

Documents