thermomécanique des milieux continus · pdf filecomment écrire les lois de la...

THERMOMÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

(Transformations Finies)

L.R. Rakotomanana

Cours pour DEA Mécanique

2002 - 2003

THERMOMÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 1

TRANSFORMATIONS FINIES DES MILIEUX CONTINUS 7

Motivations 7

Problèmes : 7

Contexte de la mécanique classique 7

Hypothèses de continuité 8

Continuité de la matière 8Continuité de la transformation 8

Transformations - Déformations 9

Transformation de lignes 10Description en déplacement 11Tenseur de déformation 12Interprétation géométrique 13Décomposition spectrale de la déformation 15Racine d’un tenseur 16Décomposition polaire (Cauchy) 17Transformation de volumes 17Transformation de surface 18

Compatibilité de la déformation 19

Compatibilité en déformations infinitésimales (De SAINT-VENANT) 19Compatibilité de la déformation infinitésimale plane 20Compatibilité en grandes transformations 21

Cinématique des milieux en transformations finies 25

Mouvement des points 25Cinématique des fibres matérielles 27Cinématique des volumes matériels 28Cinématique des surfaces matérielles 30

Dérivée temporelle de grandeurs intégrales 31

Vitesse de transformation des quantités intégrales 31Surface de discontinuité et théorème de transport 32

Notes 33

Fonctions d’allongement (“Stretching functions”) 33

CONTRAINTES EN TRANSFORMATIONS FINIES 35

Lois de conservation 35

Vitesse - Accélération 35Conservation de la masse : Équation de continuité 35Equations dynamiques 36

Théorème de CAUCHY 37

Existence du tenseur de contrainte 37Exemples de contraintes 40Contraintes principales 41Contrainte normale - Contrainte tangentielle 43

Tenseurs de contraintes en tranformations finies 43

Contrainte nominale (PIOLA-KIRCHHOFF 1) 44Contrainte matérielle (PIOLA-KIRCHHOFF 2) 46Remarques 48

NOTIONS SUR LES LOIS DE COMPORTEMENT 49

Principe généraux des lois de comportement 49

Axiomes de NOLL 49Objectivité (indifférence matérielle) 50Contraintes 52Puissance de déformation 53

Quelques classes de matériaux 53

Solides élastiques 54Fluides visqueux 55Solides viscoélastiques 57Solides “non simples” 58

Exercices choisis 61

Exercice 1 61

Exercice 2 61

Exercice 3 61

Exercice 4 61

Exercice 5 62

Exercice 6 62

Exercice 7 63

Exercice 8 65

Exercice 9 65

Exercice 10 66

Thermomécanique des milieux continus Transformations finies des MC

TF - 7

TRANSFORMATIONS FINIES DES MILIEUX CONTINUS

Motivations

Les phénomènes relevant des transformations finies sont nombreux et la théorie des déformationsinfinitésimales linéarisées ne suffit pas.

Problèmes :

Quelles grandeurs utiliser pour décrire ces phénomènes (mouvement, défor-mation, contrainte, etc ...)?

Comment écrire les lois de la mécanique et thermomécanique qui gouvernent leurmouvement et déformation?

Contexte de la mécanique classique

Dans ce cours, nous considérons exclusivement des corps qui se déplacent à basse vitesse (sanseffet de relativité) dans un espace-temps de la mécanique classique.

-espace découplé du temps, temps comparable à un paramètre -existence d’un seul sytème de coordonnées cartésiennes pour tout l’espace -espace vectoriel euclidien pour l’espace.

Solides Fluides “épais”

Tous les calculs vectoriels dans les espaces tangents aux points matériels peuvent être ramenés àl’espace vectoriel de l’espace ambiant.

B


TF - 8

Hypothèses de continuité

Pour développer un modèle classique de milieu continu, on admet deux hypothèses de base :

-la continuité de la matière-la continuité de la transformation

Continuité de la matière

Un milieu continu est un modèle de matériaux (solides, fluides, ...) dans lesquels les propriétésphysiques sont supposées varier d’une façon continue d’un point à un autre. En particulier, la dis-tribution de la masse est supposée varier d’une façon continue.

Un élément de volume renferme une masse de matière avec la massevolumique variant de façon continue en fonction de la position du point .

Continuité de la transformation

L’hypothèse de la continuité de la transformation (forte) de la matière stipule que deux pointsinfiniment voisins à l’instant initial restent infiniment voisins à tout autre instantultérieur . Deux points infiniment voisins à un instant quelconque étaient infiniment voisins àtout autre instant antérieur. On définit le placement :

(T-F 1)

dans laquelle et sont respectivement les coordonnées du point matériel considéré aux instants et . La transformation est un homéomorphisme (de classe C1 avec aussi une inverse de classe

C1) sur tout le corps .

Conséquences de la continuité de la transformation :

(a) L’hypothèse de continuité de la matière a pour conséquence directe :

Effet d’échelle. Par exemple, la reconstruction d’un tissu osseux spongieux humain (vertèbre).Dimension caractéristique du cube de l’ordre de 20µm. Image obtenu par micro-scanner (in vitro).A l’échelle microscopique, cet échantillon n’est pas un modélisable par un milieu continu.A l’échelle millimétrique, ce tissu peut-être considéré comme un milieu continu (avec une densitépouvant varier de façon continue)

Réalité physique Modélisation continue

dV dm ρdV= ρ ρ X( )=X

X X', t0t t

x ϕ X t,( )= xi

xi

X1

X2

X3

t, , ,( )=

X xt0 t

B


TF - 9

(T-F 2)

(b) Des points matériels qui à l’instant initial forment un ensemble connexe(volume, surface ou courbe) forment encore un ensemble connexe (de même ordre)à tout autre instant ultérieur, et réciproquement.

(c) Les points matériels qui à l’instant initial se trouvent à l’intérieur d’une sur-face fermée restent à tout instant à l’intérieur de la surface transformée.

Conséquence 1 : La masse contenue dans une surface matérielle fermée reste con-stante au cours de la transformation.

Conséquence 2 : Les éléments matériels (points, courbes, surfaces) qui à l’instantinitial forment la frontière d’un milieu continu en forment encore la frontière àtout autre instant.

Transformations - Déformations

Nous considérons un corps, modélisé par un milieu continu, (par la suite nous dirons un milieucontinu tout court), avant et après déformation. La portion d’espace occupée par ce milieu estappelée configuration du milieu continu : configuration initiale, configuration finale (déformée).Une méthode classique en milieu continu soumis à des transformations finies est de considérer laconfiguration initiale avec un système de coordonnées (cartésiennes) induit par celui de l’espace

ϕ

Β ϕ(Β)

∂Β ϕ(∂Β)

0 J detX

I∂∂x

i

≡ ∞< <

t0

X’

X

xx’

Bϕ

ϕ(B)

ϕ−1

t0

t0


TF - 10

ambiant.

Transformation de lignes

La transformation (T-F 1) est en général non linéaire. Une analyse locale de la transformation,autour d’un point est possible en effectuant un développement limité au premier ordreautour de 1:

(T-F 3)

En définissant le gradient de la transformation :

(T-F 4)

on peut écrire la relation fondamentale de la déformation avec et :

(T-F 5)

Cette relation peut être interprétée comme la transformation des fibres ou lignes matérielles avantdéformation et après déformation . Le gradient de la transformation est aussi appelé transformation linéaire tangente.

(a) En effectuant analytiquement le développement limité, on aboutit à la forme encomposantes et en la formulation matricielle la relation (T-F 5) :

1. Le milieu continu est modélisé par une variété riemanienne . Les fibres sont des éléments des espacestangents dans la configuration initiale et déformée .

x ϕ B( )∈X B∈

BdX T XB∈ dx T xϕ B( )∈

x X dX+ t,( ) x X t,( ) ∇ϕ X t,( ) dX[ ] 0 dX( )+ +=

F ∇ϕ≡

dX T XB∈ dx T xϕ B( )∈

dx F dX( )=

dX dXIEI= dx dx

iei= F

dX dx

dxi

XI∂

∂xi

dXI

=

dx1

dx2

dx3

X1∂

∂x1

X2∂

∂x1

X3∂

∂x1

X1∂

∂x2

X2∂

∂x2

X3∂

∂x2

X1∂

∂x2

X2∂

∂x2

X3∂

∂x2

dX1

dX2

dX3

= ϕ∇[ ]

X1∂

∂x1

X2∂

∂x1

X3∂

∂x1

X1∂

∂x2

X2∂

∂x2

X3∂

∂x2

X1∂

∂x2

X2∂

∂x2

X3∂

∂x2

=


TF - 11

(b) Une étude plus poussée permet de réécrire (T-F 5) sous forme “tensorielle”.Tout d’abord, rappelons ce qu’est un produit tensoriel. Le produit tensoriel dedeux vecteurs et est un tenseur défini par :

(T-F 6)

Ce qui nous permet de définir une liste des tenseurs de bases sur lesquels on peutdécomposer le gradient de la transformation . On en déduit la forme tensorielledu gradient de la transformation (T-F 5) 1:

(T-F 7)

(c) relie les espaces tangents et

Description en déplacement

Le milieu continu est en mouvement dans un espace euclidien. On peut introduire un champ de

1. Le gradient d’un champ scalaire est une forme linéaire (élément de l’espace tangent dual ) dont ladécomposition est donnée par .

a b

a b⊗( )v b v⋅( )a≡ v∀

F

T XB( )∗Φ∇

XI∂

∂ΦE

I=

FX∂

∂xX∂∂ x

iei( )

XI∂

∂ xiei( ) E

I⊗= = =

FX

I∂∂x

i

ei EI⊗=

FX

1∂∂x

1

e1 E1⊗

X1∂

∂x2

e2 E1⊗

X1∂

∂x3

e3 E1⊗+ +=

X

2∂∂x

1

e1 E2⊗

X2∂

∂x2

e2 E2⊗

X2∂

∂x3

e3 E2⊗+ + +

X

3∂∂x

1

e1 E3⊗

X3∂

∂x2

e2 E3⊗

X3∂

∂x3

e3 E3⊗+ + +

F F X t,( )= T XB T xϕ B( )

u(X,t)

X x


TF - 12

vecteur déplacement. Le mouvement du milieu continu est alors décrit par le mouvement dechaque point par la transformation mais aussi par le vecteur déplacement de chaque point dumilieu continu défini par :

(T-F 8)

On en déduit le gradient du déplacement :

(T-F 9)

De même le gradient du déplacement s’écrit sous forme tensorielle :

(T-F 10)

Quelques propriétés :

(a) et ne sont en général pas symétriques.

(b) et ne sont pas des tenseurs au sens rigoureux du terme. Les deux indicesne sont pas associés à la même base vectorielle : est un vecteur de la configu-ration initiale (espace tangent ) tandis que est lié à la configurationdéformée (espace tangent ).

Tenseur de déformation

La déformation d’un vecteur convecté dans le milieu continu, c’est-à-dire se déformant totalementavec le milieu continu, est caractérisée par le changement de sa longueur durant la transformation.En utilisant le gradient de la transformation, on écrit 1:

(T-F 11)

On en déduit la définition de la déformation de GREEN-LAGRANGE, en posant le tenseur dedéformation de CAUCHY-GREEN :

(T-F 12)

Remarques :

(a) est un champ de tenseur du second ordre (2-covariant) défini surla configuration initiale avec .

(b) Les composantes du tenseur de déformation de GREEN-LAGRANGE dans labase matérielle (non déformée) s’écrivent dans la base :

1. Le tenseur transposé de , noté , est défini par : , . Un tenseur est symétriquesi et antisymétrique si .

X B∈

u X t,( ) ϕ X t,( ) ϕ X t0,( )– x X t,( ) X–= =

∇u F I–= F I ∇u+=

u∇X

I∂∂u

i

ei EI⊗=

F ∇u

F ∇udX

dX T XB∈ dxdx T xϕ B( )∈

S ST

S u( ) v⋅ u ST

v( )⋅≡ u v,( )∀S S

T= S ST–=

dx2

dX2

– dX FT

F I–( ) dX( )⋅=

C FT

F≡

E12--- C I–( )=

E E X t,( )=X B∈

EI

EJ⊗


TF - 13

(c) La déformation (T-F 12) est indépendante des rotations rigides et des transla-tions. Mouvement rigide : ,

, , d’où •

( orthogonal si , , et alors ).

(d) La déformation exprimée en termes de déplacement prend la forme :

(T-F 13)

Par exemple, les composantes cartésiennes de la déformation s’écrivent (les seconfondent avec les ) :

(e) Cas de déformations infinitésimales. Pour les matériaux solides usuels commel’acier, l’aluminium, l’os cortical, le céramique, la norme du gradient du déplace-ment reste faible , ce qui permet de proposer l’hypothèsedes déformations infinitésimales et remplacer le tenseur de GREEN-LAGRANGEpar le tenseur de déformation de CAUCHY :

(T-F 14)

Pour une rotation rigide finie du MC, on a cependant :

Ainsi, on ne doit pas utiliser la déformation de CAUCHY pour des rotations finiesmême si les déformations sont infinitésimales!!!

Interprétation géométrique

A partir de la formule de transformation de fibres, on peut déduire la notion de base convectée parla transformation dans le milieu continu :

EIJ12--- CIJ δIJ–( )=

x x0 Q t( ) X X0–( )+= u u0 Q t( ) X X0–( )+=

F Q t( )= u∇ Q I–= E 0=

Q Q u( ) Q v( )⋅ u v⋅= u v,( )∀ QT

Q I=

E12--- u∇ u

T∇ uT∇ u∇+ +( )=

iI

EIJ12---

XJ∂

∂uI

XI∂

∂uJ

XI∂

∂uK

XJ∂

∂uK

+ +

=

∇u tr ∇uT ∇u( )= 0∼

E12--- u∇ u

T∇+( )≈

E12--- Q Q

T+( ) I– 0≠=


TF - 14

(T-F 15)

La base convectée est la transformée de la base initiale “tracée” àpartir des directions d’un corps de référence, par exemple euclidien , dans le milieu àl’instant initial.

De l’hypothèse de continuité de la transformation, la transformée de la base initiale reste une basevectorielle au cours de la transformation. Elle peut être ni normée ni orthogonale!. La baseréciproque de la base convectée (formée par des 1-formes linéaires ) estdéfinie par la relation :

(T-F 16)

En utilisant la base convectée, une fibre matérielle infinitésimale garde les mêmes composantesmatérielles au cours de la transformation du milieu continu:

(T-F 17)

Remarque. La place des indices est importante dans la description des grandes transformations.La relation (T-F 17) sera utilisée pour écrire les équations de compatibilité. Noter que le produitscalaire de deux vecteurs de la base convectée s’écrit :

(T-F 18)

E1

E2

f1

f2

B(B)

f 1 F E1( )=

f 2 F E2( )=

f 3 F E3( )=

f I T xϕ B( )∈ EI T XB∈ ei E∈

fI

T xϕ B( )( )∗∈

fJ

f I( ) δIJ

=

E1

E2

f1

f2

f1

f2

f1

f2

base initiale base convectée base convectée réciproque

dX dXIEI= ⇒ dx F dX

IEI( ) dX

If I= =

CIJ f I f J⋅=


TF - 15

Ceci définit une matrice, celle du tenseur métrique projeté sur la base convectée :

(T-F 19)

Décomposition spectrale de la déformation

Un vecteur est vecteur propre de si il existe un scalaire , appelé valeur propre associée à, telle que :

(T-F 20)

(a) est appelé espace caractéristique associé à .

(b) est dite multiplicité de .

(c) l’ensemble des valeurs propres est le spectre de (déformationsprincipales)

Propriété : Les espaces caractéristiques d’un tenseur symétrique sont mutuellement orthogo-naux.

(Preuve) valeurs propres de , alors et

implique •

Théorème de la décomposition spectrale. symétrique, alors il existe une base orthonormée formée par les valeurs propres. Si est le spectre, alors on peut écrire

la décomposition spectrale du tenseur

(T-F 21)

Inversément, si l’on peut écrire (T-F 21) dans une base orthonormée , alors est le spectre de relatif à cette base.

Remarques :

(a) Les valeurs et directions propres définissent l’ellipsoide des dilatations.

(b) Les directions propres (axes principaux de la déformation) ne sont pas desfibres matérielles!

Pour la détermination des valeurs et vecteurs propres, soit un tenseur du 2ème ordre et unevaleur propre de , c-à-d ,

Alors avec

C[ ] CIJ[ ]=

N C ωN

C N( ) ωN=

V ω v C v( ) ωv=( )⁄ ≡ ω

dimV ω ω

ω1 ω2 …, , C

C

ω λ≠ C C u( ) ωu= C v( ) λv=

C u( ) v⋅ ωu v⋅ u CT

v( )⋅ u C v( )⋅ λu v⋅= = = =

ω λ≠ u v⋅ 0=

CN1 N2 N3, , ω1 ω2 ω3, ,

C ωI N I N I⊗i 1 3,=∑ ω1N1 N1⊗ ω2N2 N2⊗ ω3N3 N3⊗+ += =

N1 N2 N3, , ω1 ω2 ω3, , C

C ωC C ωI–( )v 0=

det C ωI–( ) ω3– I1ω2

I2ω– I3+ + 0= =


TF - 16

(T-F 22)

(T-F 23)

(T-F 24)

sont les invariants principaux du tenseur . Avec les valeurs propres, on a:

, ,

Racine d’un tenseur

tenseur défini positif, vérifiant donc , , alors chaque valeur propre est posi-tive:

(Preuve) valeur propre associée à , alors •

tenseur symétrique défini positif, alors il existe (un et un seul) tenseur symétrique, définipositif tel que :

(T-F 25)

Le tenseur est appelé racine de et est noté .

(Preuve) (Existence) De la décomposition spectrale , on peutdéfinir un tenseur qui vérifie:

.

(Unicité) Soient et avec et . Soient la valeur et vecteurpropres associés et . Posons , on a :

sinon est valeur propre (négative) de , ce qui est impossible.

D’où .

Similaire pour , on a

Puisque ceci est vrai pour tout vecteur donc pour chaque , on déduit•

I1 tr C( )=

I212--- tr

2C tr C

2( )–[ ]=

I3 det C( )=

I1 I2 I3, ,( ) C

I1 ω1 ω2 ω3+ += I2 ω1ω2 ω2ω3 ω3ω1+ += I3 ω1ω2ω3=

C v C v( )⋅ 0> v∀ ωI

ω N C N( ) ωN= N C N( )⋅ ω= 0>⇒

C U

U2

C=

U C U C=

C ωI N I N I⊗=U ωI N I N I⊗=

U2 ωI N I N I⊗( ) ωJ N J N J⊗( ) ωI N I N I⊗ C= = =

U V U2

C= V2

C=ω N λ ω=

C ωI–( )N U2 ωI–( )N U λI+( ) U λI–( )N 0= = =

U λI+( )v 0= ⇒ U v( ) λv–= ⇒ v 0= λ–U

U N( ) λN=

V V N( ) λN=

N N I

U V=


TF - 17

Décomposition polaire (Cauchy)

Soit un tenseur avec , alors il existe un tenseur (et ) défini positif et une rota-tion (tenseur orthogonale avec ) tel que:

(T-F 26)

Ces décompositions sont uniques et , .

(Preuve) et sont symétriques et sont définis positifs car :

et

(Unicité) Si la décomposition existe, alors , ilexiste un seul tenseur racine de . On en déduit également l’unicité de

. La démonstration est similaire pour .

(Existence) Soit un tenseur symétrique défini positif et , alors. De plus, , qui montre que

est une rotation. On a alors les relations:

•

Transformation de volumes

Pour une interprétation aisée, considérons la base initiale qui se transforme en labase convectée . Les éléments de volume engendrés par ces bases, avant et aprèsdéformation, s’écrivent :

(T-F 27)

(T-F 28)

Ce qui nous donne directement la formule de transformation d’un élément de volume dans unmilieu continu :

F det F( ) 0> U VR det R( ) 0>

F RU VR= =

U FT

F= V FFT

=

FT

F FFT

v FT

F v( )⋅ F v( ) F v( )⋅= 0> v FFT

v( )⋅ FT

v( ) FT

v( )⋅= 0>

F RU= FT

F URT

RU U2

= =U F

TF

R FU1–

= V

U R FU1–

=det R( ) det FU

1–( ) 0>= RT

R U1–F

TFU

1–I= = R

V RURT

= ⇒ VR RU F= =

E1

E2

E3

f1

f2

f3

E1 E2 E3, , f 1 f 2 f 3, ,

dV dX1E1 dX

2E2 dX

3E3, ,( ) E1 E2 E3, ,( )dX

1dX

2dX

3= =

dv dX1

f 1 dX2

f 2 dX3

f 3, ,( ) f 1 f 2 f 3, ,( )dX1dX

2dX

3= =


TF - 18

(T-F 29)

Une transformation finie isovolume satisfait localement la relation :

(T-F 30)

Cas des déformations infinitésimales. L’approximation des déformations infinitési-males donne (cf calcul tensoriel) :

Une transformation infinitésimale isovolume satisfait la relation :

. (T-F 31)

Transformation de surface

La connaissance de la transformée d’un élément de surface est essentielle pour l’études des con-traintes mécaniques. Considérons un élément de surface se transformant avec le milieu continu.

Un élément de surface multiplié scalairement par un vecteur donne un élément de volume dont la transformée est:

Pour un élément de longueur quelconque (non nul), on en déduit (Formule deNANSON):

(T-F 32)

Souvent, l’introduction d’un vecteur normal unité dans les deux configurations initiale etdéformée permet de réécrire (T-F 32) :

dvf 1 f 2 f 3, ,( )E1 E2 E3, ,( )

-----------------------------dV=

dv det F( )dV=

J 1– 0=

etFd det I u∇+( ) 1 tr u∇( ) 0 u∇ 2( )+ += =

etFd 1 divu 0 u∇ 2( )+ +=

div u( ) 0=

dS

ds

dV dS dL⋅=

dv ds dl⋅ ds F dL( )⋅ FT

ds( ) dL⋅ J dS dL⋅( )= = = =

ds JFT–

dS( )=


TF - 19

(T-F 33)

Compatibilité de la déformation

Etant donné un champ de déformation défini sur un milieu continu, l’objectif de ce para-graphe est de donner les conditions pour que ce champ dérive d’un champ de déplacement. Dansle cas général, les éléments déformés ne forment pas un milieu continu car il y a inévitablementdes micro-fissures ou des micro-trous dans volume. La compatibilité de la déformation consiste àrespecter l’hypothèse de continuité la transformation du milieu continu.

Compatibilité en déformations infinitésimales (De SAINT-VENANT)

(Ce paragraphe est un rappel). Sur la figure, nous avons un exemple d’incompatibilité endéformations infinitésimales (et rotations infinitésimales) pour des Matériaux Fragiles. Endéformations infinitésimales (et rotations infinitésimales), les coordonnées initiales (matérielles)et finales d’un même point matériel sont notées . La translation peut être finie.

Sur le plan mathématique, la compatibilité s‘écrit analytiquement sous-entendu que la défor-mation est connue et que les déplacements sont les inconnues :

nda JFT–

N( )dA=

Déformation d’un solide: Mouvement topologique ( 1: homéomorphisme) et non topologique ( 2: avecdes surfaces de glissement internes distribuées de manière continue dans le solide) .

1

2

E X( )

x1 x2 x3, ,

Traction de l’acier au carbone à très grande vitessede déformation - Micro-glissements internes “poin-tus”


TF - 20

(T-F 34)

Du point de vue mathématique, il y a trois composantes du déplacement et six composantes de ladéformations. Etant donné un champ de déformation, il y a donc six equations (T-F 34) pour cal-culer le déplacement, ce qui montre qu’il y a trois équations qui sont “superflues”. Les équationsde compatibilité sont obtenues en écrivant les dérivées secondes de la déformation :

(T-F 35)

(a) le premier terme est symétrique en , la multiplication avec1 doit êtrenulle:

Cette multiplication signifie que l’on peut permuter les indices sans changer lerésultat.

(b) Le second terme est symétrique en , la multiplication avec doit êtrenulle:

D’où la somme des deux termes (sommation sur les indices i, j, k et l) :

(T-F 36)

Les relations (T-F 36) sont appelées équations de compatibilité, elles se ramènent à six équationsindépendantes pour les indices:

(T-F 37)

Compatibilité de la déformation infinitésimale plane

La matrice du tenseur de déformation plane (par exemple dans le plan 12) est de la forme :

1. Le tenseur de permutation si est une permutation anti-circulaire de , sideux des indices sont égaux et si est une permutation circulaire de respectivement.

Eij12---

x j∂∂ui

xi∂∂u j+

=

2xk∂xl

2

∂∂ Eij

xk∂xl

2

∂∂

x j∂∂ui

xk∂xl

2

∂∂

xi∂∂u j

+=

jl ε j ln

εijk 1– 0 1, ,= i j k, , 1 2 3, , i j k, , 1 2 3, ,

ε j ln xk∂xl

2

∂∂

x j∂∂ui

0=

jl

ik εikm

εikm xk∂xl

2

∂∂

xi∂∂u j

0=

ε j ln εikm xk∂xl

2

∂∂ Eij 0=

mn 11 22 33 12 23 31, , , , ,=


TF - 21

(T-F 38)

Le nombre d’équations de compatibilité se ramenent à 9 :

(a) :

(b) :

(c) :

(d) :

(e) :

(f) :

(g) :

(h) :

(i) :

Compatibilité en grandes transformations

De même, considérons un exemple concret d’incompatibilité en transformations finies pour des

E[ ]E11 E12 0

E21 E22 0

0 0 0

=

m 1 n, 1= =x3∂x3

2

∂∂ E22 0=

m 1 n, 2= =x3∂x3

2

∂∂ E21 0=

m 1 n, 3= =x3∂x2

2

∂∂ E21

x3∂x1

2

∂∂ E22– 0=

m 2 n, 1= =x3∂x3

2

∂∂ E12 0=

m 2 n, 2= =x3∂x3

2

∂∂ E11 0=

m 2 n, 3= =x3∂x2

2

∂∂ E11–

x3∂x1

2

∂∂ E12+ 0=

m 3 n, 1= =x2∂x3

2

∂∂ E12

x1∂x3

2

∂∂ E22– 0=

m 3 n, 2= =x2∂x3

2

∂∂ E11–

x1∂x3

2

∂∂ E21+ 0=

m 3 n, 3= =x2∂x2

2

∂∂ E11

x2∂x1

2

∂∂ E12–

x1∂x2

2

∂∂ E21–

x1∂x1

2

∂∂ E22+ 0=


TF - 22

Matériaux Ductiles.

Remarque : En fait, les déformations au niveau mésoscopique sont rarement compatibles (micro-endommagement) même pour de faibles contraintes mais l’hypothèse de continuité de la transfor-mation est souvent “acceptée” en introduisant d’autres variables internes modélisant ces micro-fissures ou micro-vides.

De même qu’en petites déformations, le déplacement a trois composantes et les relationsdéformations-déplacement sont au nombre de six. Il y a un surplus d’équations. Pourtant laméthode habituelle est trop longue à mettre en oeuvre. Une méthode plus géométrique consiste àutiliser la méthode de RIEMANN-CHRISTOFFEL en considérant la permutation de dérivées sec-ondes d’un champ vectoriel.

Les équations d’incompatibilité sont développées en deux étapes pour les transformations finies.

Holonomie (Torsion nulle). En partant de la transformation finie (T-F 1), les coordonnées matéri-elles constituent également un système de coordonnées globales dans le milieucontinu en état déformé. Donc, est un différentiel exact. Son intégralle long d’une courbe fermée quelconque est donc nul :

L’application du théorème de STOKES nous donne (la surface entourée par la courbe estquelconque) :

(T-F 39)

La condition (T-F 39) traduit le fait que le système de coordonnées est holonome.En géométrie différentielle, les dérivées des bases curvilignes sont décomposées dans la mêmebase pour donner :

(T-F 40)

Les termes sont appelés coefficients de la connection entre les différents éléments de volumes

Traction d’alliage d’aluminium à grande vitesse dedéformation - Micro-vides internes “ronds”

X1

X2

X3, ,

dx F dXIEI( ) dX

If I= =

dXIf I

C∫ 0=

XJ∂

∂ f I

XI∂

∂ f J– 0=

X1

X2

X3, ,

XJ∂

∂ f I ΓIJK

f K≡

ΓIJK


TF - 23

infinitésimaux du milieu continu. Ce ne sont pas les composantes d’un tenseur. Ce qui nous donnela condition d’holonomie :

(T-F 41)

Explicitement, il suffit d’exprimer les coefficients de connection en termes de com-posantes du tenseur de déformations :

(T-F 42)

Courbure nulle. Considérons un champ de vecteur quelconque sur le milieu continu en grandestransformations et dérivons-le deux fois :

avec

On peut réécrire cette relation :

La dérivée seconde s’écrit :

ΓIJK ΓJI

K=

CIJ f I f J⋅=

XN∂

∂CIJ

XN∂

∂ f I f J⋅ f IX

N∂

∂ f J⋅+=

XJ∂

∂CIN

XJ∂

∂ f I f N⋅ f IX

J∂

∂ f N⋅+=

XI∂

∂CNJ

XI∂

∂ f N f J⋅ f NX

I∂

∂ f J⋅+=

ΓIJK 1

2---C

KN

XJ∂

∂CIN

XI∂

∂CNJ

XN∂

∂CIJ–+

=

u X( ) uL

X( ) f L X( )=

XM∂

∂u

XM∂

∂uL

f L uL

XM∂

∂ f L+X

M∂∂u

L

f L uLΓLM

Kf K+= =

XM∂

∂ f L ΓLMK

f K≡

XM∂

∂u

XM∂

∂uL

uKΓKM

L+

f L=


TF - 24

Tout développement fait, on trouve :

Considérons maintenant la dèrivée seconde croisée en indice MN :

avec :

En effectuant la différence entre ces deux dérivées secondes croisées, nous about-issons à la relation :

En partant d’un champ dont les dérivées secondes des composantes sont contin-ues, donc l’ordre des dérivations est indifférent, la condition pour que la différencedes dérivées secondes du champ vectoriel soit nulle est l’annullation des termes dela seconde ligne.

Ces termes représentent les composantes du tenseur de courbure de RIEMANN-CHRISTOFFEL.

(T-F 43)

L’introduction de (T-F 42) dans les relations de compatibilités (T-F 43) sachant

XN∂X

M

2

∂∂ u

XN∂

∂X

M∂∂u

L

uKΓKM

L+

f LX

M∂∂u

L

uKΓKM

L+

XN∂

∂ f L+=

XN∂X

M

2

∂∂ u

XN∂

∂X

M∂∂u

L

XN∂

∂uK

ΓKML

uK

XN∂

∂ΓKML

+ + f LX

M∂∂u

L

uKΓKM

L+

XN∂

∂ f L+=

XM∂X

N

2

∂∂ u

XM∂

∂X

N∂∂u

L

XM∂

∂uK

ΓKNL

uK

XM∂

∂ΓKNL

+ + f LX

N∂∂u

L

uKΓKN

L+

XM∂

∂ f L+=

XN∂

∂ f L ΓLNR

f R=X

M∂

∂ f L ΓLMR

f R=

XN∂X

M

2

∂∂ u

XM∂X

N

2

∂∂ u–

XN∂

∂X

M∂∂u

L

XM∂

∂X

N∂∂u

L

– f L=

uK

XN∂

∂ΓKML

XM∂

∂ΓKNL

ΓKMR ΓRN

L ΓKNR ΓRM

L–+ +

f L+

XN∂

∂ΓKML

XM∂

∂ΓKNL

– ΓKMR ΓRN

L ΓKNR ΓRM

L–+ 0=


TF - 25

que nous permet d’écrire les équations de compatibilité des

grandes transformations des milieux continus en termes de déformations deCAUCHY-GREEN, ou en termes de la déformaion de GREEN-LAGRANGE.

Le point le plus important dans ce processus est le fait de relier la notion de com-patibilité des déformations avec la maintenance de l’équivalence affine du milieucontinu avec l’espace euclidien lorsque les déformations sont compatibles. En casde non compatibilité, il y a ce que l’on appelle les dislocations de VOLTERRA.

Remarques :

(a) Pour relier les compatibilités de deSAINT-VENANT et de RIEMANN-CHRIST-OFFEL, on introduit le tenseur de courbure covariant :

Dans l’espace 3D (et seulement dans ce cas), ce tenseur totalement covariant seréduit à un tenseur du second ordre (tenseur d’EINSTEIN), dont les composantescontravariantes sont :

En petites déformations, on obtient :

L’annullation de cette relation donne (T-F 36). Ce développement a des pointscommuns à celui de la relativité générale.

(b) Les variables (T-F 41) (torsion) et (T-F 43) (courbure) peuvent être choisiescomme les grandeurs tensorielles qui mesurent les dislocations de translation etles dislocations de rotation.

Cinématique des milieux en transformations finies

Mouvement des points

Dans ce paragraphe, nous introduisons le facteur temps. Le mouvement (de classe avec uneinverse de classe également) de chaque point du milieu continu s’écrit:

CIJ 2EIJ δIJ+=

RJKMQ CQL RJKML

=

SAB 1

4---εAJK εBMQ

RJKMQ=

Sab εajkεblix

j∂xl

2

∂

∂ Eki–=

C1

C1

X B∈


TF - 26

(T-F 44)

En choisissant les coordonnées matérielles de chaque point et le temps comme variables indépendantes, on parle d’une description lagrangienne (description matérielle).Le champ de vitesse sur le milieu continu est défini par la vitesse de chaque point matériel :

(T-F 45)

Le champ d’accélération sur est défini par l’accélération de chaque point :

(T-F 46)

Remarque. En mécanique des fluides, on adopte une autre description, appelée description euleri-enne, qui considère non plus les coordonnées matérielles du point matériel comme variablesindépendantes mais les coordonnées du point de l’espace par lequel passe le point maté-riel à l’instant , et le temps .

Dans ce cas, le calcul du champ de vitesse eulerien doit tenir compte du fait les points matérielsqui passent par les points fixés de l’espace changent à chaque instant. Pour la vitesse etl’accélération, on a :

(T-F 47)

(T-F 48)

En termes de composantes, le gradient (spatial) du champ de vitesse s’écrit :

On en déduit :

(a) Forme matricielle du gradient spatial

x ϕ X t,( )= xi

xi

X1

X2

X3

t, , ,( )=

X X1

X2

X3, ,( )= t

B X

vt∂

∂ ϕ X t,( )= vi

t∂∂ x

iX

1X

2X

3t, , ,( )=

B X

at∂

∂v X t,( )= a

i

t∂∂

vi

X1

X2

X3

t, , ,( )=

x X t,( )X t t

f2

f1

e2

e1

base convectée (matérielle) base spatiale

Deux bases peuvent être définies sur le même continuum, la base matérielle ou base convectée par latransformation du solide et la base spatiale qui est dirigée par la base du système de coordonnées del’espace ambiant.

v x t,( ) v X t,( ) v ϕ 1–x t,( ) t,( )= =

a x t,( )td

dv x t,( )

t∂∂

v x t,( )x∂

∂v x t,( )

t∂∂

x X t,( )+t∂

∂vgrad v( ) v( )+= = =

v x t,( ) vi

x1

x2

x3

t, , ,( )ei=

x∂∂ v x t,( )

x∂∂ v

iei( )

xj∂

∂ viei( ) e

j⊗x

j∂∂v

i

ei ej⊗= = =


TF - 27

(b) Forme tensorielle avec la base :

N.B. Par la suite, nous nous intérésserons aux grandes transformations des solides, et utiliseronssauf exception, la description lagrangienne.

Cinématique des fibres matérielles

Considérons une fibre matérielle qui est la transformée de la fibre initiale. La dérivée temporelle de la fibre transformée s’écrit :

Pour une description matérielle qui considère la configuration initiale comme con-figuration de référence, , on a alors:

En utilisant la propriété des dérivations composées, nous avons:

Ainsi, la cinématique des fibres est définie par la relation suivante:

grad v( )[ ]

x1∂

∂v1

x2∂

∂v1

x3∂

∂v1

x1∂

∂v2

x2∂

∂v2

x3∂

∂v2

x1∂

∂v3

x2∂

∂v3

x3∂

∂v3

=

ei ej⊗

grad v( )x

1∂∂v

1

e1 e1⊗

x1∂

∂v2

e2 e1⊗

x1∂

∂v3

e3 e1⊗+ +=

x

2∂∂v

1

e1 e2⊗

x2∂

∂v2

e2 e2⊗

x2∂

∂v3

e3 e2⊗+ + +

x

3∂∂v

1

e1 e3⊗

x3∂

∂v2

e2 e3⊗

x3∂

∂v3

e3 e3⊗+ + +

dx T xϕ B( )∈dX T XB∈

dx FdX= ⇒ dx F dX( ) F dX( )+=

dX 0=

dx F dX( )t∂

∂F X t,( ) dX( )

X∂∂

t∂∂ ϕ X t,( ) dX( )

X∂∂

v X t,( ) dX( )= = = =

dxx∂

∂ v X x t,( ) t,[ ]X∂∂ x X t,( ) dX( )=


TF - 28

(T-F 49)

On peut se conformer à la décomposition de STOKES pour séparer le tenseur vitesse de défor-mation et le tenseur vitesse de rotation de la fibre :

(T-F 50)

Avec les tenseurs vitesse de déformation et vitesse de rotation:

(T-F 51)

Remarques :

(a) En prenant la relation , on trouve :

avec . Cette dernière relation montre que la vitesse de rotation de la fibrematérielle est constituée d’une rotation “rigide” correspondant à la décom-position polaire et d’une rotation due à la déformation (cette dernière est nulle lor-sque la fibre est alignée selon les ditections principales).

(b) La décomposition de la vitesse de déformation dans la base convectée s’écrit :

(T-F 52)

Ce qui montre que les composantes de la vitesse de déformation sur la base (maté-rielle) convectée sont égales aux dérivées temporelles des composantes du tenseurde déformation de GREEN-LAGRANGE.

Cinématique des volumes matériels

De nouveau considérons l’élément de volume après déformation, décrit par les vecteurs de la baseconvectée. Le changement d’un élément de volume peut être réécrit de la manière suivante1 :

1.

dx grad v( ) dx( )=

dx˙ 1

2--- gradv grad

Tv+( ) dx( ) 1

2--- gradv grad

Tv–( ) dx( )+=

D12--- gradv grad

Tv+( )=

W12--- gradv grad

Tv–( )=

grad v( ) FF1–

RU RU+( )U1–R

T= =

D12---R UU

1–U

1–U+( )R

T=

W Ω 12---R UU

1–U

1–U–( )R

T+=

Ω RRT≡

f I D f J( )⋅ f I12--- gradv grad

Tv+( ) f J( )⋅ 1

2--- f I f J⋅( )˙

EIJ= = =

det F( )f 1 f 2×( ) f 3⋅E1 E2×( ) E3⋅

----------------------------------=


TF - 29

(T-F 53)

Sa dérivée temporelle devient :

avec .

En utilisant l’invariance du produit mixte par une permutation circulaire, on a :

Rappelons la définition du produit vectoriel à partir du produit mixte:

On en déduit :

Finalement, la vitesse de déformation d’un élément de volume s’écrit:

en notant que

D’où la relation :

(T-F 54)

Autre démonstration. (b) Déterminant

dvf 1 f 2×( ) f 3⋅E1 E2×( ) E3⋅

----------------------------------dV=

dvf 1 f 2×( ) f 3⋅

∆E---------------------------------

f 1 f 2×( ) f 3⋅∆E

---------------------------------f 1 f 2×( ) f 3⋅

∆E---------------------------------+ +

dV=

∆E E1 E2×( ) E3⋅=

dvf 1 f 2 f 3×( )⋅

∆E---------------------------------

f 2 f 3 f 1×( )⋅∆E

---------------------------------f 3 f 1 f 2×( )⋅

∆E---------------------------------+ +

dV=

dvgradv f 1( ) f 2 f 3×( )⋅

∆E------------------------------------------------------

gradv f 2( ) f 3 f 1×( )⋅∆E

------------------------------------------------------gradv f 3( ) f 1 f 2×( )⋅

∆E------------------------------------------------------+ +

dV=

u v×( ) w( ) det u v w, ,( )≡ w∀

f 2 f 3× f 1 f 2 f 3, ,( ) f1

=

f 3 f 1× f 1 f 2 f 3, ,( ) f2

=

f 1 f 2× f 1 f 2 f 3, ,( ) f3

=

dv J gradv f 1( ) f1⋅ gradv f 2( ) f

2⋅ gradv f 3( ) f3⋅+ + dV=

J f 1 f 2×( ) f 3⋅[ ] E1 E2×( ) E3⋅[ ]⁄=

dv˙

tr gradv( )dv div v( )dv= =

I3 F( ) detF=


TF - 30

Il faut rappeler que , ce quinous donne pour :

Cinématique des surfaces matérielles

De la cinématique des fibres et des volumes, nous pouvons calculer la déformation et rotation deséléments de surface matérielle dans un milieu en transformations finies :

Or ce qui donne

Ce qui nous donne finalement la cinématique d’une surface matérielle :

(T-F 55)

La vitesse de transformation d’un élément de surface inclut un changement d’aireet une rotation rigide, égale à celle d’une fibre matérielle. On peut faire desremarques similaires que pour les fibres.

Autre démonstration :

Or de la réciprocité, on a :

Ce qui nous donne :

det F ωI–( ) ω3– I1 F( )ω2

I2 F( )ω– I3 F( )+ +=ω 1–=

det I A+( ) 1 I1 A( ) I2 A( ) I3 A( )+ + +=

I3 F ∇v+( ) I3 F I F1– ∇v+( )[ ] I3 F( )I3 I F

1– ∇v+( )= =

I3 F ∇v+( ) I3 F( ) 1 I1 F1– ∇v( ) 0 F

1– ∇v2

( )+ +[ ]=

DI 3 F( ) ∇v[ ] det F( )tr F1– ∇v( ) det F( )tr gradv( ) Jdiv v( )= = =

ds JFT–

dS( ) JFT–

dS( ) JFT–

dS( )+ +=

dsJJ-- ds( ) F

T–F

Tds( )+=

F gradv F( )= FT–

FT

gradT

v–=

ds˙

div v( )ds gradT

v ds( )–=

ds JFT–

dS( ) JdS I fI

= =

ds JdS I fI

JdS I f˙I

+=

f I fJ( ) δI

J= ⇒ f˙

Jgrad

Tv f

I( )–=


TF - 31

•

Dérivée temporelle de grandeurs intégrales

Vitesse de transformation des quantités intégrales

A l’aide des relations cinématiques (T-F 49), (T-F 54) et (T-F 55), on peut déduire les vitesses detransformations des quantités intégrales comme suivent :

(a) Quantité linéaire

(b) Quantité surfacique

(c) Quantité volumique

En utilisant le théorème de la divergence, on peut déduire :

(T-F 56)

ds div v( )ds gradT

v ds( )–=

Φ L t,( ) φ xdL∫=

tddΦ

tddφ

xd φgradv dx( )+

L∫ td

dφi φgradv+

dxL∫= =

Φ S t,( ) φ sdS∫=

tddΦ

tddφ

sd φdiv(v) sd φgradvT

sd( )–+

S∫ td

dφi φdiv(v)i φgradv

T–+

sdS∫= =

Φ V t,( ) φ vdV∫=

tddΦ

tddφ

vd φdiv(v) vd+

V∫=

tddΦ

t∂∂φ

iv φv( )d+ vd

V∫ t∂

∂φvd

V∫ φv sd⋅

∂V∫+= =


TF - 32

Surface de discontinuité et théorème de transport

Généralisons les formules cinématiques au cas où le milieu continu comporte une surface de dis-continuité (ondes de choc, ondes d’accélération,…). Tout le développement dans ce paragrapheconsidère le milieu continu avec une discontinuité à l’instant et le solide est dans son étatdéformé, on omet la transformation dans la notation pour ne pa alourdir les expressions. On note:

etc ...

Considérons la surface de discontinuité , se déplaçant à la vitesse . Le champ estde classe partout sauf sur la surface . En écrivant la vitesse de la quantité intégrale pourles deux sous-volumes séparés par cette surface de discontinuité, on a :

avec

On suppose que le mouvement de la surface de discontinuité s’effectue dans ladirection de la partie positive du milieu continu.

Ce qui nous donne, en introduisant de nouveau la frontière :

t

ϕ B( ) B→

Σ t( ) uΣ φ X t,( )C

1 Σ t( )

S+

S-

B+

B-Σ+

Σ-

Σ

tdd φ vd

B+∫ t∂

∂φvd

B+∫ φv sd⋅

∂B+∫+

t∂∂φ

vd

B+∫ φv sd⋅

S+∫ φuΣ sd⋅

Σ+∫+ += =

tdd φ vd

B+∫ t∂

∂φvd

B+∫ φv sd⋅

S+∫ φ+

uΣn ad

Σ+∫–+= ∂B

+S

+ Σ+∪=

B+

φv sd⋅S

+∫ φv sd⋅

∂B+

∫ φv sd⋅Σ+∫– ivd φv( ) vd

B+∫ φ+

vn ad

Σ+∫+= =

tdd φ vd

B+∫ t∂

∂φvd

B+∫ ivd φv( ) vd

B+∫ φ+

vn ad

Σ+∫ φ+

uΣn ad

Σ+∫–+ +=


TF - 33

On refait une démarche similaire pour la partie “négative” :

A la limite, les deux surfaces et vont se rejoindre en . Ceci nous donne lasommation sur les deux sous-volumes :

en posant le saut du champ en traversant la surface .

Ce qui donne la dérivée temporelle d’une quantité volumique avec une surface dediscontinuité:

(T-F 57)

Notes

Fonctions d’allongement (“Stretching functions”)

On considère la mouvement d’un milieu continu en transformations finies (Suivre la masse grisesur la figure).

1. Rappeler les relations qui relient les fibres matérielles, les surfaces (infinitésimales) matéri-elles et les volumes matérielles avant et après transfomation. On définit les deux grandeurs suivantes (respectivement changement de longueur d’une fibre et changement d’aire d’une facette) :

(T-F 58)

On définit les vecteurs unités fibre et facette dans la configuration initiale:

∂B-

S- Σ-∪=

tdd φ vd

B-∫ t∂

∂φvd

B-∫ ivd φv( ) vd

B-∫ φ-

vn ad

Σ-∫– φ-

uΣn ad

Σ-∫+ +=

Σ- Σ+ ΣB B

+B

-∪=

tdd φ vd

B∫ t∂

∂φvd

B∫ ivd φv( ) vd

B∫ φ[ ]vn ad⋅

Σ B∩∫ φ[ ]uΣn ad

Σ B∩∫–+ +=

φ[ ] φ+ φ-–= φ Σ

tdd φ vd

B∫ t∂

∂φiv φv( )d+ vd

B∫ φ[ ] vn uΣn–( ) ad

Σ B∩∫+=

initiale déformée

λ lim dX 0→ dxdX----------≡ η lim dX 0→

dsdS---------≡


TF - 34

(T-F 59)

Montrer les relations suivantes :

(T-F 60)

2. On définit les vecteurs unités fibre et facette dans la configuration déformée :

(T-F 61)

Montrer les relations :

(T-F 62)

3. Montrer les relations suivantes :

(T-F 63)

Note. Les deux premières dérivées sont appelées fonctions d’allongement, et sont souvement utilisées dans la théorie des mélanges des milieux continus en transformations finies et en mécaniques des fluides “épais”. En pratique, moyennant l’utilisation de Cauchy-Schwarz, on introduit des grandeurs adimensionnels :

(T-F 64)

M dXdX----------= N dS

dS---------=

λ M C M( )⋅= η N C1–

N( )⋅=

mdxdx--------= n

dsds--------=

m1λ--- F M( )= n

detFη

------------ FT–

N( )=

tdd λln( ) m D m( )⋅=

tdd ηln( ) div v( ) n D n( )⋅–=

tdd

Jln( ) div v( )=

eλ1

D:D---------------

tdd λln( )≡ eη

1

2D:D------------------

tdd ηln( )≡

Themomécanique de Milieux Continus Contraintes en transformations finies

C - 35

CONTRAINTES EN TRANSFORMATIONS FINIES

Lois de conservation

Les milieux continus forment une classe particulière des sytèmes matériels pour lesquels les loisde conservation doivent être précisées. La formulation de ces lois de conservation découle desprincipes généraux de la mécanique :

-la conservation de la MASSE -la conservation de la QUANTITÉ DE MOUVEMENT (moment linéaire) -la conservation du MOMENT CINÉTIQUE (moment angulaire).

Vitesse - Accélération

Considérons un milieu continu en mouvement par rapport à un corps de référence schématisé parun repère cartésien. Pour ce milieu continu dont le champ de déplacement est noté :

(C-1)

Les champs de vitesse et d’accélération sont respectivement définis par :

(C-2)

(C-3)

Dans ce cours, le vecteur-position correspond à la position du point matériel à l’instant initial.Dans ce cas, les dérivées totales dans (C-2) et (C-3) se réduisent à des dérivées partielles par rap-port au temps.

Conservation de la masse : Équation de continuité

Tout d’abord, le modèle de milieu continu admet une répartition continue de la masse à toutinstant:

(C-4)

La conservation de la masse a été déjà évoquée lors de l’hypothèse de continuité de la transforma-tion. Rappelons que l’hypothèse de continuité de la transformation implique que :

Les points matériels qui à l’instant se trouvent à l’intérieur d’une surface fremée res-tent à tout instant à l’intérieur de la surface transformée. En conséquence, le principe deCONSERVATION DE LA MASSE implique que la masse contenue dans toute surface matériellefermée quelconque reste constante au cours de la transformation.

Ceci s’exprime par la relation :

u X t,( ) x X t,( ) X–=

v X t,( )t∂

∂ u X t,( )≡

a X t,( )t∂

∂v X t,( )≡

X

m B t,( ) ρ x t,( ) v x t,( )dϕ B( )∫=

t0


C - 36

(C-5)

En effectuant un changement de variables pour le premier intégral, nous obtenons:

(C-6)

Localement, on a donc l’équation de conservation de masse :

(C-7)

Equations dynamiques

En mécanique classique, les équations du mouvement du milieu continu sont déduites des princi-pes fondamentaux de la dynamique:

(a) (Théorème de la quantité de mouvement) La variation de la quantité de mouvement dumilieu continu est égale à la somme de toutes les forces extérieures s’appliquant sur lemilieu continu.

(b) (Théorème du moment cinétique) La variation du moment cinétique du milieu continupar rapport à un point fixe de l’espace O (origine) est égale au moment de toutes lesforces extérieurs (et des moments extérieurs) appliquées sur le milieu continu.

.

L’élément de volume renferme une masse de matière . D’une part, la quantité demouvement et le moment cinétique du milieu continu à l’instant sont respectivement donnéspar:

(C-8)

(C-9)

D’autre part, on suppose que les forces extérieures s’appliquant sur un milieu continu peuvent être

ρ x t,( ) vd x t,( )ϕ B( )∫ ρ0 X( ) v0d X( )

B∫=

x x X t,( )=

ρ X t,( )J X t,( ) v0d X( )B∫ ρ0 X( ) v0d X( )

B∫= J X t,( ) det ∇ϕ X t,( )[ ]≡

ρ X t,( )J X t,( ) ρ0 X( )=

v

a

dv

O

nda

sn

dv dm ρdv=B t

l B t,( ) ρv vdϕ B( )∫≡

hO B t,( ) ρx v× vdϕ B( )∫≡


C - 37

modélisées par une force volumique sur et par une force de contact sur la frontière . Enchaque point :

(a) la force volumique est schématisée par dans laquelle est un champ continusur la fermeture , à tout instant.

(b) la force surfacique est schématisée par un champ de vecteur défini sur la fron-tière, continu sur et de classe C1 sur l’ouvert . Ce champ est appelé champ de vecteurcontrainte.

Les équations globales du mouvement du milieu continu s’écrivent :

(C-10)

(C-11)

Théorème de CAUCHY

Existence du tenseur de contrainte

Considérons un milieu continu en mouvement soumis aux forces de contact et volumiques. Faisons l’hypothèse que le vecteur contrainte dépend seulement du vecteur normal unité sor-

tant à la frontière du milieu (Hypothèse de CAUCHY)1. Les équations globales dumouvement sont satisfaites si et seulement si:

(a) Il existe un tenseur du deuxième ordre symétrique tel que

(b) satisfait à l’équation du mouvement

(C-12)

(Preuve) (Nécessité) Supposons satisfaites les équations globales du mouvement (C-10) et(C-11). Supprimons le temps pour ne pas alourdir l’exposé mais sans nuire à la général-ité des résultats.

(Etape 1) Considérons le trièdre autour du point , (formé par les vecteurs de base et le vecteur tel que .

Les forces volumiques sont d’ordre plus élevé que les forces surfaciques. Pour tout point intérieur à , le tétraèdre reste à l’intérieur pour une dimension caractéristique petite du tétraèdre. A tout instant est borné pour tout point intérieur à carchacune des fonctions , et est continue. De la relation (C-10), nous pouvons écrireque :

1. Elle ne dépend par exemple pas de la courbure de cette surface.

B ∂B

ρbdv bB

pndaB B

tdd ρv vd

ϕ B( )∫ pn ad

∂ϕ B( )∫ ρb vd

ϕ B( )∫+=

tdd ρx v× vd

ϕ B( )∫ x pn× ad

∂ϕ B( )∫ ρx b× vd

ϕ B( )∫+=

pnρb

pn pn n⟨ ⟩=

σ pn σ n( )=

σ

divσ ρb+ ρa=

t

ye1 e2 e3, , n n ei⋅ 0>

yB Λδ δ

ρ b a–( ) Bρ b a


C - 38

pour tout , avec indépendant de . Soit l’aire de la face inclinée, de nor-male proportionnelle à . Puisque est proportionnel à , nous déduisons dela relation précédente que :

(Interprétation mécanique) L’équilibre de ce tétraèdre infinitésimal est alors simplifié caron peut négliger les forces volumiques pour :

Or géométriquement nous avons : . Ce qui nous permetd’écrire:

(Etape 2). (Loi de l’action et de la réaction de Newton) Puisque la fonction estcontinue par hypothèse, il en est de même pour le second terme. La relation précédentereste ainsi valable en faisant tendre le vecteur vers n’importe quel vecteur de base

: . On en déduit :

(C-13)

(Etape 3) En combinant les résultats des étapes (1) et (2), nous déduisons :

e1

e2

e3

n

pn ad∂Λδ

∫ ρ b a–( ) vdΛδ

∫= κvol Λδ( )<

δ δ0≤ κ δ A δ( )n δ2

vol Λδ( ) δ3

limδ 0→1

A δ( )------------ pn ad

∂Λδ

∫ 0=

δ 0→

pn n⟨ ⟩da∂Λnδ

∫ pn e– 1⟨ ⟩da1∂Λ1δ

∫ pn e– 2⟨ ⟩da2∂Λ2δ

∫ pn e– 3⟨ ⟩da3∂Λ3δ

∫+ + + 0=

da i n ei,( )cos da n ei⋅( )da= =

pn n⟨ ⟩ n ei⋅( ) pn e– i⟨ ⟩i 1 3,=∑+ 0=

pn n⟨ ⟩

kn ei→ pn ei⟨ ⟩ pn ei–⟨ ⟩+ 0=

pn n⟨ ⟩ pn n–⟨ ⟩+ 0=

pn n⟨ ⟩ n ei⋅( ) pn ei⟨ ⟩i 1 3,=∑ pn ei⟨ ⟩ ei⊗ n( )

i 1 3,=∑= =


C - 39

Ce qui montre que le vecteur normal unité peut être mis en facteur et qu’un tenseur dusecond ordre, appelé tenseur des contraintes de CAUCHY, existe:

.

(Etape 4) En reprenant (C-10), on écrit :

D’où

(Etape 4). Pour la symétrie de , considérons le théorème du moment cinétique (C-11) etécrivons :

La multiplication par un vecteur uniforme quelconque donne :

Ecrivons :

(cf. exercice)

En utilisant l’équation d’équilibre en translation (C-10), on a :

pn n⟨ ⟩ pn ei⟨ ⟩ ei⊗ n( )i 1 3,=∑ σ n( )= =

tdd ρv vd

ϕ B( )∫ σ n( ) ad


ϕ B( )∫+ ivσd vd

ϕ B( )∫ ρb vd

ϕ B( )∫+= =

ivσd ρb+ ρa=

σ

tdd ρx v× vd

ϕ B( )∫ x σ n( )× ad

∂ϕ B( )∫ ρx b× vd

ϕ B( )∫+=

u0

ρ x a×( ) u0⋅ vdϕ B( )∫ x σ n( )×[ ] u0⋅ ad

∂ϕ B( )∫ ρ x b×( ) u0⋅ vd

ϕ B( )∫+=

u0 x×( ) σ n( )⋅ ad∂ϕ B( )

∫ σTu0 x×( ) n⋅ ad

∂ϕ B( )∫ ivd σT

u0 x×( )[ ] vd∂ϕ B( )

∫= =

ivd σTu0 x×( )[ ] vd

ϕ B( )∫ σ:grad u0 x×( ) u0 x×( ) divσ⋅+[ ] vd

ϕ B( )∫=

ivd σTu0 x×( )[ ] vd

ϕ B( )∫ σ:grad u0 x×( ) vd

ϕ B( )∫ u0 x divσ×( )⋅ vd

ϕ B( )∫+=

σ:grad u0 x×( ) vdϕ B( )∫ 0=


C - 40

d’où la symétrie de

•

Exemples de contraintes

De même que pour les déformations homogènes, on peut citer les exemples de contraintes :

(a) Traction/Extension simple :

Base orthonormée formé par

(b) Pression :

Dans la base orthonormée formé par , la matrice du tenseur devient :

u0 x×( )u02x3 u03x2–

u03x1 u01x3–

u01x2 u02x1–

= grad u0 x×( )0 u03– u02

u03 0 u01–

u02– u01 0

=

σ

σ σT=

σ σn n⊗=

n

n e2 e3, ,

σ[ ]σ 0 0

0 0 0

0 0 0

=

σ pI=

p

n e2 e3, ,


C - 41

(c) Cisaillement simple :

Remarque. Les exemples d’état de contrainte ci-dessus vérifient les équations d’équilibre:

Ces contraintes sont dites auto-équilibrées localement. Une étude particulière de ces contraintessera menée à la fin du chapitre.

Contraintes principales

Pour une contrainte donnée, on peut appliquer les deux décompositions :

(a) décompositions suivant les trois directions principales orthogonales (puisque estsymétrique)

(C-14)

sont appelées contraintes principales. Elles peuvent être exprimées en fonc-tions des invariants principaux du tenseur de contrainte.

Exemple 2D : Considérons la contrainte plane avec la matrice

σ[ ]p 0 0

0 p 0

0 0 p

=

σ τ m n⊗ n m⊗+( )=

m

n

σ[ ]0 τ 0

τ 0 0

0 0 0

=

divσ 0= σ σT=

σ

σ

σ σ1e1 e⊗ 1 σ2e2 e⊗ 2 σ3e3 e⊗ 3+ +=

σ1 σ2 σ3, ,

σ[ ]σ11 σ12

σ21 σ22

=


C - 42

L’équation caractéristique pour déterminer les valeurs propres s’écrit :

Les contraintes sont les racines de cette équation :

Les directions propres (orthogonales) sont définies par l’angle

Exemple : Pour une cisaillement simple, on peut extraire les contraintes principales

D’où les trois valeurs propres :

Les trois vecteurs propres associés sont respectivement:

.

(b) Décomposition suivant la pression et le cisaillement de von Mises (Cette décom-position est souvent utilisée dans les codes numériques).

(C-15)

Exemple. Considérons la contrainte définie par la matrice de contrainte:

λ2 λtrσ– detσ+ 0=

σ1

σ11 σ22+

2-----------------------

σ11 σ22–( )24σ12

2+

2----------------------------------------------------–= σ2

σ11 σ22+

2-----------------------

σ11 σ22–( )24σ12

2+

2----------------------------------------------------+=

θ

tg 2θ( )2σ12

σ11 σ22–----------------------=

0 τ 0

τ 0 0

0 0 0

λ1 0 0

0 1 0

0 0 1

–λ– τ 0

τ λ– 0

0 0 λ–

= detλ– τ 0

τ λ– 0

0 0 λ–

0=

λ1 τ–= λ2 0= λ3 τ=

e12

2------- m n–( )= e2 m n×= e3

22

------- n m+( )=

p13---tr σ( )=

σ' σ pI–= τoct σ'≡ tr σT σ( )=

σ[ ]σ11 σ12 0

σ21 σ22 0

0 0 σ33

=


C - 43

On a la pression et la contrainte déviatorique :

Contrainte normale - Contrainte tangentielle

Considérons un champ de contrainte . En appliquant les tenseurs de projection, le vecteurcontrainte sur une facette quelconque de normale peut être décomposé en une contrainte nor-male et une contrainte tangentielle :

On observe que la direction est une direction principale de la contrainte si et seulement

si la contrainte tangentielle associée est nulle. Par exemple, un fluide au repos n’est pascapable d’exercer une contrainte tangentielle quelle que soit la facette considérée autourd’un point.

Tenseurs de contraintes en tranformations finies

Les lois de conservation et par conséquence le théorème d’existence de la contrainte interne ontété développés dans la configuration déformée du milieu continu en tranformations finies. Leproblème principal est la méconnaissance de la configuration déformée. Le but du présent chapi-

p13--- σ11 σ22 σ33+ +( )=

σ'[ ]

13--- 2σ11 σ22– σ33–( ) σ12 0

σ2113--- σ11– 2σ22 σ33–+( ) 0

0 013--- σ11 σ22 σ33+ +( )–

=

σ x( )n

pnn n n⊗( ) pn( ) n n⊗( ) σ n( )[ ] n σ n( )⋅[ ]n σnnn= = = =

pnτ I n– n⊗( ) pn( ) I n– n⊗( ) σ n( )[ ] pn σnnn–= = =

sn

snn

sn

Π

n


C - 44

tre est de montrer comment on peut introduire d’autres mesures, autres que la contrainte deCAUCHY, pour évaluer les contraintes internes dans le solide.

Considérons la force de contact s’appliquant sur l’élément de surface matérielle dans laconfiguration déformée du milieu continu soumis é un tranformation finie. Le théorème deCAUCHY nous dit que cette force peut être exprimée en fonction de l’élément de surface et dutenseur de contrainte comme suit:

(C-16)

Contrainte nominale (PIOLA-KIRCHHOFF 1)

La relation théorique (C-16) est facile d’aspect mais difficile en mettre en oeuvre en pratiquepuisque la surface déformée fait partie de l’inconnue du problème. Pour éliminer la surfacedéformée, on introduit la formule de NANSON pour obtenir :

Pour garder une formulation analogue à (C-16), il est d’usage d’introduire la contrainte nominale:

(C-17)

qui permet d’écrire :

(C-18)

La contrainte nominale est aussi appelé contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 1, ou encore contraintede PIOLA-BOUSSINESQ. Elle relie la surface matérielle dans la configuration initiale à la force quis’exerce sur la même surface matérielle dans la configuration déformée. Avec la contrainte nomi-nale, on peut réécrire les équations d’équilibre. Pour la quantité de mouvement, on peut partir del’équation globale :

(C-19)

De nouveau, on effectue un changement de variable (possible grâce à l’hypothèse de

NdA

nda

dF

dfJFT–

df ds

df σ n( )da=

df σ n( )da σ JFT–

N( )[ ]dA JσFT–

N( )dA= = =

P JσFT–

=

df P N( )dA=

tdd ρv vd

ϕ B( )∫ pn ad


ϕ B( )∫+=

x X t,( ) X←


C - 45

continuité de la transformation). Faisons deux remarques:

(a) La masse est par hypothèse constante, ce qui nous donne :

(b) La force de contact élémentaire peut être exprimée avec la contrainte nominale. Le théorème de la divergence s’applique pour donner :

dans laquelle l’opérateur est la divergence dans la configuration initiale et quis’écrit pratiquement :

Moyennant ces deux remarques, on obtient l’équation dynamique locale en translation:

(C-20)

L’équation du moment cinétique, qui se traduit par la symétrie de la contrainte de CAUCHY donnela relation suivante:

(C-21)

Ce qui montre que la contrainte nominale n’est pas symétrique. De toute façon, la notion desymétrie pour cette contrainte n’a pas de sens puisqu’elle relie deux configurations différentes:l’initiale et la déformée.

Calculons de la puissance de déformation des forces de contact extérieures au milieu continu danssa configuration déformée :

En considérant le second terme, défini comme étant la puissance de déformation, explicitons entermes de composantes dans la base convectée dont la réciproque est :

ρ x t,( ) vd x t,( ) ρ0 X( ) Vd X( )=

sn adpn ad σ n( )da P N( )dA= =

pn ad∂ϕ B( )

∫ P N( )dA∂B∫ Div P( )dV

∂B∫= =

Div P( )

Div P( )X

1∂∂P

11

X2∂

∂P12

X3∂

∂P13

+ +

E1X

1∂∂P

21

X2∂

∂P22

X3∂

∂P23

+ +

E2+=

X

1∂∂P

31

X2∂

∂P32

X3∂

∂P33

+ +

E3+

ρ0 t∂∂v

Div P( ) ρ0b+=

σ σT= ⇒ PF

TFP

T=

Pe B t,( ) pn v⋅ ad∂ϕ B( )

∫ v σ n( )⋅ ad∂ϕ B( )

∫ div v σ⋅( ) vdϕ B( )∫= = =

Pe B t,( ) v divσ vd⋅ϕ B( )∫ σ:gradv vd

ϕ B( )∫+=

f 1 f 2 f 3, , f1

f2

f3, ,


C - 46

D’où la puissance de déformation :

(C-22)

Conjugaison. On dit que la contrainte nominale est la contrainte conjuguée au gradientde la transformation car elle permet de calculer la puissance de déformation par (C-22).

On peut vérifier que pour une rotation rigide du milieu continu, la vitesse étant de laforme , et , ce qui implique :

Ce qui équivaut à la conservation du moment cinétique (C-21) (symétrie de la contraintede CAUCHY).

Contrainte matérielle (PIOLA-KIRCHHOFF 2)

La contrainte nominale est la contrainte que l’on mesure expérimentalement, elle est la contraintela plus accessible expérimentalement (force actuelle par unité de surface initiale). De plus, ellepermet d’écrire simplement les équations d’équilibre en translation. Son premier défaut majeurest qu’elle n’est pas symétrique et son autre défaut (majeur) est que l’on ne peut pas exprimer uneloi de comportement entre la contrainte nominale et la mesure de déformation associée .

Le but est de trouver une mesure de contrainte symétrique qui soit conjuguée à la défor-

Pd B t,( ) σ:gradv vdϕ B( )∫ σ f

I( ) grad f I( )⋅ J VdB∫

I 1=

3

∑= =

P EI( ) F EI( )⋅ Vd

B∫

I 1=

3

∑=

Pd B t,( ) tr PT

F( ) VdB∫=

v c Ωx+= gradv Ω= F ΩF=

Pd B t,( ) tr PT

F( ) VdB∫ tr P

T ΩF( ) VdB∫ 0= = =

FPT

PFT

=

P F

E1

E2

f1

f2

f1

f2

E1

E2


C - 47

mation de GREEN-LAGRANGE afin d’exprimer la puissance de déformation entièrementavec des grandeurs définies dans la configuration initiale. Pour trouver une mesure decontrainte symétrique, définie dans la configuration initiale, nous repartons de la puis-sance de déformation (C-22):

(C-23)

Or on peut écrire de la définition de la déformation de GREEN-LAGRANGE :

La contrainte matérielle que nous cherchons doit satisfaire la relation de conjugaison :

Ce qui donne, moyennant les propriétés de la trace et la symétrie voulue de et puisquececi doit être valable quelque soit le champ de vitesse du milieu continu :

La contrainte est appelée seconde contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF et est reliée à lacontrainte de CAUCHY et de la première contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF par :

(C-24)

Les équations locales d’équilibre s’écrivent avec la contrainte matérielle :

Pd B t,( ) tr PT

F( ) VdB∫=

E12--- F

TF I–( )= E

12--- F

TF F

TF+( )=

S

Pd B t,( ) tr ST

E( ) VdB∫ tr P

TF( ) Vd

B∫= =

tr ST

E( ) VdB∫ 1

2--- tr S

TF

TF S

TF

TF+( ) Vd

B∫ tr P

TF( ) Vd

B∫= =

S

12--- tr SF

TF S

TF

TF+( ) Vd

B∫ tr P

TF( ) Vd

B∫= ⇒ P FS=

Sσ P

P FS= S F1–P= S JF

1– σFT–

=

Composantes du tenseur S


C - 48

(C-25)

Remarques

De la conservation de la masse, on a et on définit la contrainte de KIRCHHOFF enpondérant la contrainte de CAUCHY :

On en déduit :

(a) Les composantes de la contrainte de KIRCHHOFF dans la base mixte se confondentavec celles de la contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 1:

(b) Les composantes de la contrainte de KIRCHHOFF dans la base convectée se confondentavec celles de la contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 2:

Ces relations permettent une interprétation physique du tenseur de PIOLA-KIRCHHOFF 2.

Div FS( ) ρ0b+ ρ0 t∂∂v

= S ST

=

ρ0 ρJ=

τρ0-----

σρ---=

τiIe

i τ fI( )⋅ e

iJσ F

T–E

I( )[ ]⋅ ei

P EI( )⋅ P

iI= = = =

τIJf

I τ fJ( )⋅ F

T–E

I( ) Jσ FT–

EJ( )[ ]⋅ E

IS E

J( )⋅ SIJ

= = = =

Themomécanique de Milieux Continus Notions sur les lois de comportement

C - 49

NOTIONS SUR LES LOIS DE COMPORTEMENT

Principe généraux des lois de comportement

Axiomes de NOLL

Pour décrire un matériau, la physique des milieux continus fait appel à quelques principesgénéraux pour écrire les lois de comportement. Le principe de la séparation des causes et deseffets stipule le classement des variables géométriques, cinématiques et mécaniques en variablesprimaires et duales dans le tableau ci-dessous

D’une manière générale, les lois de comportement (ou lois constitutives) sont les relations quirelient les variables primales et les variables duales. Ces lois permettent de modéliser les réponsesdes matériaux soumis à des efforts ou à des mouvements imposés. Le développement modernedes lois de comportement repose sur trois axiomes, usuellement attribués à NOLL en 1958.

Déterminisme (NOLL 1) . La contrainte en un point matériel en à l’instant est déterminée parl’histoire du mouvement du milieu continu (c’est-à-dire de tous les points du milieu )jusqu’au temps :

(LC-1)

Action locale (NOLL 2) . Le mouvement des points situés à une distance finie du point dans laconfiguration actuelle peut être négligé pour calculer la contrainte en .

(LC-2)

Comme , la dépendance se limite à (LC-2).

Tableau 1: Variables en transformations finies

Variables

Primales (effets)

Gradient transformation

Déformation de CAUCHY-GREEN

Vitesse de déformation

Déformation de GREEN-LAGRANGE

Duales (causes) Conjugaison

Contrainte de CAUCHY

Contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 1

Contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 2

F F

C FT

F= C FT

F FT

F+=

2D v∇ vT∇+=

2E C I–( )= 2E C=

σ tr σTD( )

P JσFT–

= tr PT

F( )

S JF1– σF

T–= tr S

TE( ) tr S

TC 2⁄( )( )=

x tB B

t

σ x t,( ) ℑ ρ X t,( ) ϕ X' B∈ s t≤,( ),[ ]=

xx

σ x t,( ) ℑ ρ X t,( ) ϕ X s t≤,( ) F X s t≤,( ), ,[ ]=

ϕ X' s t≤,( ) ϕ X s t≤,( ) F X s t≤,( ) dX( )+=


C - 50

Pour les matériaux, dits simples, la contrainte est “seulement” fonction de l’histoire dugradient de la transformation en négligeant les développements au second ordre.

Pour le 3ème axiome, il faut noter que deux observateurs vont percevoir deux mouvements dif-férents d’un milieu continu en transformations finies (ceci n’est en général pas le cas en transfor-mations infinitésimales où la rotation est supposée a priori infinitésimale). Les deuxtransformations observées différeront par un mouvement rigide du milieu continu. Le mouvementrigide peut être interprété comme la combinaison d’une rotation et d’une translation après latransformation .

(LC-3)

Indifférence matérielle (NOLL 3) . La forme des lois de comportement doit être indépendante desobservateurs. Pour la contrainte, cet axiome s’applique :

(LC-4)

En d’autres termes, on a . Les matériaux dits simples, basés sur ces trois axi-omes, englobent presque toutes les classes de matériaux (cf. fin du chapitre). Il faut cal-culer comment se transforment les variables géométriques, cinématiques et mécaniquesen tranformations finies.

L’indépendance par rapport à la translation rigide et par rapport au choix de l’origine du tempspermet d’éliminer et la présence explicite de parmi les arguments des lois de com-portement. Les lois que nous étudierons par la suite auront la forme :

(LC-5)

Objectivité (indifférence matérielle)

Définition : Une variable (scalaire , vectorielle , tensorielle ) est objective si elle satisfait auxrelations de transformations suivantes suite à un mouvement rigide (LC-3):

(LC-6)

(LC-7)

(LC-8)

Vitesse . La vitesse s’écrit :

Le champ de vitesse n’est pas une grandeur objective.

Accélération . La dérivée de la vitesse donne :

x ϕ X t,( )=

x∗ x0 t( ) Q t( )x X t,( )+=

σ ℑ ρ X t,( ) ϕ X s t≤,( ) F X s t≤,( ), ,[ ]=

σ∗ ℑ ρ∗ X t,( ) ϕ∗ X s t≤,( ) F∗ X s t≤,( ), ,[ ]=

ℑ∗ ℑ=

ϕ X s t≤,( ) t

σ ℑ ρ X t,( ) F X s t≤,( ),[ ]=

θ u T

θ∗ θ=

u∗ Qu=

T∗ QTQT

=

v∗ x∗ x0˙ t( ) Q t( )x X t,( ) Q t( ) x X t,( )+ += =

v∗ v0 Qx Qv+ +=


C - 51

L’accélération n’est pas une grandeur objective.

Gradient de la transformation - Déformations. En description matérielle, on a directement les rela-tions suivantes:

(a) Transformation de fibre, volume et surface

(LC-9)

(b) Déformation de CAUCHY-GREEN

(LC-10)

On en déduit :

(LC-11)

Le tenseur de déformation de CAUCHY-GREEN et sa dérivée temporelle ne sontpas modifiés par un mouvement rigide du milieu continu. Ce sont des variablesmécaniques définies sur la configuration initiale.

Gradient de la vitesse - Vitesse de déformation - Vitesse de rotation . En description spatiale, nousavons la transformée du gradient de la vitesse.

(a) Gradient de la vitesse. On a les deux définitions du gradient dans les deux con-figurations déformée et déformée suivie d’un mouvement rigide :

et

Il en résulte :

(LC-12)

Ce qui montre que le gradient de la vitesse n’est pas un tenseur objectif. On peut effectuer

a∗ v∗ v0˙ Qx Q x Qv Qv+ + + += =

a∗ a0˙ Qx 2Qv Qa+ + +=

F∗ ϕ∗∇ ∇xϕ∗ x t,( )[ ] ϕ X t,( )∇[ ] Q t( )F X t,( )= = =

F∗ QF=

J∗ det QF( ) detQdetF J= = =

J∗F∗ T–J QF( ) T–

JQFT–

Q JFT–( )= = =

C∗ F∗TF∗ C= =

C∗˙ QF( )T˙QF QF( )T

QF˙

+ C= =

L grad v( )= L∗ grad* v∗( )=

grad v∗( ) grad* v∗( )grad x∗( ) L∗Q= =

grad v∗( ) grad v0 Qx Qv+ +[ ] QI Qgrad v( )+ Q QL+= = =

L∗ QLQT

QQT

+=


C - 52

la décomposition :

(LC-13)

(LC-14)

La vitesse de déformation est objective, la vitesse de rotation ne l’est pas.

Contraintes

Contrainte de CAUCHY . D’une part, durant le mouvement rigide, l’élément de surface devient :

D’autre part, on fait l’hypothèse (souvent implicite) que la force est un vecteur objectif(Hypothèse Fondamentale - TRUESDELL) pour écrire :

(LC-15)

La relation de CAUCHY donne alors :

Il en résulte :

(LC-16)

Contraintes de PIOLA-KIRCHHOFF . La transformation de ces contraintes est donnée par :

(a) PIOLA-KIRCHHOFF 1

La contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF se comporte comme un vecteur (force).

(b) PIOLA-KIRCHHOFF 2

.

La contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 2 n’est pas modifiée par un mouvement rigide.

D∗ 12--- L∗ L∗T

+( ) QLQT

= =

W∗ 12--- L∗ L∗T

–( ) QWQT

QQT

+= =

ds( )∗ detQQT–

ds( ) Qds= =

df( )∗ Q df( )=

df( )∗ σ∗ ds∗( ) σ∗ Q ds( )[ ]= =

df( )∗ Q df( ) Q σ ds( )[ ]= =

σ∗ QσQT

=

P∗ J∗σ∗F∗ T–=

P∗ JQσQT

QF( ) T–Q JF

T–( ) QP= = =

S∗ J∗F∗ 1– σ∗F∗ T–

=

S∗ J QF( ) 1–QσQ

T( ) QF( ) T–JF

1– σFT–

S= = =


C - 53

Puissance de déformation

On rappele les différentes expressions de la puissance de déformation et vérifier leur invariance:

(a) Puissance de déformation “nominale”

Ce qui montre que la puissance de déformation est une grandeur objective :

(b) Puissance de déformation “matérielle” (vérification)

(c) Puissance de déformation “spatiale”

Ce qui nous donne .

Indépendamment de la description, la puissance de déformation est une quantité objec-tive.

Quelques classes de matériaux

Les lois que nous nous proposons d’étudier dans ce cours seront de la forme (la contrainte dépendde l’histoire du gradient de la transformation) :

De même que pour la localisation, on peut effectuer un développement limité dans le temps :

Ce qui nous donne les lois du type :

P∗d B t,( ) tr P∗TF∗( ) Vd

B∫ tr QP( )T

QF( )˙( ) VdB∫= =

P∗d B t,( ) tr QP( )TQF QF+( )( ) Vd

B∫ tr QP( )T

QF QF+( )( ) VdB∫= =

tr PT

F( ) VdB∫ tr FP

TQ

TQ( )( ) Vd

B∫+=

P∗d B t,( ) Pd B t,( )=

P∗d B t,( ) tr S∗TE∗( ) Vd

B∫ tr S

TE( ) Vd

B∫ Pd B t,( )= = =

P∗d B t,( ) tr σ∗TL∗( ) Vd

B∫ tr QσQ( )T

QLQT

QQT

+( )( ) VdB∫= =

tr σTL( ) Vd

B∫ tr σT

QT

Q( ) VdB∫+=

P∗d B t,( ) Pd B t,( )=

σ ℑ ρ X t,( ) F X s t≤,( ),[ ]=

σ ℑ ρ X t,( ) F X t,( ) F X t,( ) t s–( ) …+ +,[ ]=


C - 54

Si besoin est, sans nuire à la généralité des résultats, on peut oublier l’argument densitécar :

Solides élastiques

Définition . Un solide élastique est un milieu continu dont le tenseur de contrainte est fonction dela valeur à l’état déformé du gradient de la transformation :

(LC-17)

Théorème. La réponse d’un milieu continu élastique soumis à des transformations finies est objec-tive (indépendante de l’observateur) si et seulement si :

(LC-18)

(Preuve). est l’ensemble des transformations à déterminant strictement positif. Laréponse est objective si la forme de la loi de comportement est indépendante du mouve-ment :

Or les deux variables se transforment comme suivent :

On peut vérifier que la condition est aussi suffisante•

Du fait que physiquement la réponse d’un matériau élastique doit toujours être indépendante del’observateur, l’équation (LC-18) doit toujours être vérifiée.

Lois de comportement réduites (NOLL) . Pour un solide élastique, l’objectivité implique l’exist-ence d’une fonction tensorielle telle que :

(LC-19)

(Preuve). En partant de l’objectivité, nous pouvons écrire pourtoute rotation . En posant où est la rotation dans la décompositionpolaire de :

(Relation de CELLERIER-RICHTER)

σ ℑ ρ X t,( ) F X t,( ) F X t,( ) …, , ,[ ]=

ρ∗J∗ ρ= ⇒ ρ∗ ρ=

σ σ ρ X t,( ) F X t,( ),[ ]=

σ QF( ) Qσ F( )QT

= Q O+∈∀ F Lin

+∉∀

Lin+

x∗ x0 t( ) Q t( )x X t,( )+=

σ∗ σ F∗( )=

σ σ F( )=

σ∗ QσQT

=

F∗ QF=

σ QF( )⇒ Qσ F( )QT

=

S C( )

σ F( ) FS C( )FT

=

σ QF( ) Qσ F( )QT

=Q t( ) Q R

T= R

F RU=

σ U( ) RT σ F( )R= σ F( ) Rσ U( )R

T=⇒


C - 55

En reintroduisant la décomposition polaire on a :

Comme , alors il existe telle que :

.

La réciproque est vraie car un mouvement rigide modifie le gradient de la transformationen et donne •

Remarque. Ainsi, une loi de comportement élastique en transformations finies est entièrementdéfinie par une fonction tensorielle entre la contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 2 et la déforma-tion de CAUCHY-GREEN, ou alternativement la déformation de GREEN-LAGRANGE.

Quelques exemples .

(a) Fluide parfait élastique.

(b) Matériaux élastiques de KIRCHHOFF-St VENANT (valable en déformationsmodérées, ou en rotations finies-déformations infinitésimales)

(c) Matériaux incompressibles de MOONEY-RIVLIN (transformations finies de certainsmatériaux caoutchouteux)

(d) (Sans démonstration) La loi de comportement la plus générale d’un matériau élastiqueisotrope peut toujours se mettre sous la forme (théorie des représentations des fonctionstensorielles) :

(LC-20)

dans laquelle les fonctions ont pour arguments des invariants du tenseur deCAUCHY-GREEN. L’identification expérimentale des matériaux élastiques non linéairespasse par la recherche des fonctions constitutives non linéaires de manière générale.Un développement en n’est souvent pas judicieux.

Fluides visqueux

Définition . Un fluide visqueux est un milieu continu dont la contrainte est définie par une relationdu type :

(LC-21)

σ F( ) FU1– σ U( ) FU

1–( )T

FU1– σ U( )U

1–F

T= =

U C= S C( ) C1–σ C( ) C

1–≡

σ F( ) FS C( )FT

=

F∗ QF= σ F∗( ) QFS C( )FT

QT

Qσ F( )QT

= =

σ p J( )I–= S Jp J( )F1–IF

T–– Jp J( )C

1––= =

S λtr E( )I 2µE+=

S JpC1–

– µ 12--- β+

I µ 12--- β–

C+ +=

S α 1– I1 I2 I3, ,( )C1– α0 I1 I2 I3, ,( )I α1 I1 I2 I3, ,( )C+ +=

αi I1 I2 I3, ,( )

αiC

n

σ σ ρ X t,( ) L X t,( ),[ ]=


C - 56

Lois de comportement réduites . Pour satisfaire à l’objectivité, la loi de comportement d’un fluidevisqueux prend nécessairement la forme :

(LC-22)

(Preuve). L’objectivité impose, moyennant l’équation (LC-12), :

avec quelconque. On choisit une rotation particulière à l’instant avec unevitesse , opposée à la vitesse de rotation :

On en déuit :

. La réciproque est vraie•

Exemple.

(a) Les fluides de REINER-RIVLIN sont les fluides “isotropes” les plus générales dont leslois de comportement sont de la forme :

(LC-23)

dans laquelle les fonctions scalaires ont pour arguments la densité et lesinvariants du tenseur vitesse de déformation, par exemple :

.

Un fluide linéaire (STOKES) prend la forme particulière :

.

(b) Fluide “lagrangien”. En suivant un autre chemin pour le développement, on peutégalement aboutir à la relation :

Cette loi peut être assimilée à une description lagrangienne d’un fluide visqueux.néanmoins, elle n’est pas toujours applicable (sauf à quelques applications parti-culières). Exemple du fluide parfait :

.

σ σ ρ L,( ) σ ρ D,( )= =

σ∗ σ ρ∗ L∗,( ) σ ρ QLQT

QQT

+,( )= =

σ∗ Qσ ρ L,( )QT

=

Q t( ) Q I= tQQ

TW–=

σ ρ L,( ) σ ρ L W–,( ) σ ρ D,( )= =

σ p ρ Di,( )I– α1 ρ Di,( )D α2 ρ Di,( )D2

+ +=

p α1 α2, ,( )

D1 tr D( )= D212--- tr

2D( ) tr D

2( )–[ ]= D3 det D( )=

σ pI– λtr D( )I 2µD+ +=

σ ρ L,( ) Rσ ρ UU1–,( )R

TFU

1– σ ρ UU1–,( )U

1–F

T= =

S Jp– C1–

= ⇔ σ pI–=


C - 57

Solides viscoélastiques

Définition . Un solide viscoélastique est un milieu continu dont la contrainte est fonction du gradi-ent de la transformation et de sa dérivée temporelle :

(LC-24)

Alternativement, puisque , on peut adopter la définition :

(LC-25)

Lois de comportement réduites . Pour un solide viscoélastique objectif, il existe une fonction ten-sorielle avec laquelle la contrainte s’écrit :

(LC-26)

(Preuve). En imposant l’objectivité de la loi de comportement, on a :

avec quelconque. Elle doit être aussi vérifiée pour la rotation particulière ,extraite de la décomposition polaire . Dans ce cas, on a :

Ce qui nous donne, moyennant la décomposition de en fonction des tenseurs , et :

Ce qui implique :

Finalement, en re-introduisant la décomposition polaire, on trouve :

De même que pour la loi élasticité, et la loi de comportement objective s’écritdonc :

•

Remarque . La loi de comportement d’un solide viscoélastique est entièrement définie par unerelation entre la contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 2 et le tenseur de CAUCHY-GREEN et sadérivée temporelle.

Exemple .

σ σ ρ F F, ,( )=

F LF=

σ σ ρ F L, ,( )=

S ρ C C, ,( )

σ ρ F L, ,( ) FS ρ C C, ,( )FT

=

σ∗ σ ρ∗ F∗ F∗, ,( ) σ ρ QF QLQT

QQT

+, ,( )= =

Q t( ) Q RT

=F RU=

QQT

RT

R RRT

– Ω–= = =

L U UR

σ∗ σ ρ U RT

LR Ω–, ,( ) σ ρ U UU1–, ,( )= =

RT σ ρ F L, ,( )R=

σ ρ F L, ,( ) Rσ ρ U UU1–, ,( )R

T=

σ ρ F L, ,( ) F U1– σ ρ U UU

1–, ,( )U1–

FT

=

U C=

σ ρ F L, ,( ) FS ρ C C, ,( )FT

=


C - 58

Pour les solides viscoélastiques, on peut isoler un comportement purement élastique :

Chacun des termes répresente la réponse élastique, la réponse visqueuse (effet mémoirecourte).

(a) Cas concret. Résultats expérimentaux bruts la contrainte de PIOLA-KIRCHHOFF 1est mesurée en fonction de la déformation avec des vitesses de déformations différentes.

(b) L’identification des lois constitutives qui satisfont ces courbes “au mieux” et qui neviolent pas la thermomécanique (suite du cours) donne des exemples de lois de comporte-ment de matériaux soumis à des transformations finies.

Loi de comportement élastique non linéaire (incompressible) après plusieurs tentatives

.

où et sont les constantes du matériau dans cette identification et La loide comportement visqueux associée est :

, est la constante visqueuse du matériau.

Solides “non simples”

Certaines matériaux, pour lesquels les effets d’échelles sont importantes, nécessitent une exten-sion du principe de l’action locale. Pour ces matériaux, les équations de compatibilité ne sont plusvérifiées et les variables primales incluent la torsion et la courbure (Par exemple : cas des matéri-aux “plastiques”).

Sans entrer dans le détail, différentes lois de comportement basées sur le non respect de lacompatibilité peuvent être proposées pour modéliser des milieux solides avec micro-fissu-ration interne ou des déformation plastiques (glissement internes).

(LC-27)

S Se C( ) Sv C C,( )+=

exp. 24%/stheor. 24%/sexp. 17%/stheor. 17%/sexp. 11%/stheor. 11%/sexp. 0.6%/stheor. 0.6%/s

Se pC1–

– αβ 2 β I1 3–( )[ ]exp I1–( )I αβC+ +=

α β I1 tr C( )=

Sv η' I1 3–( )C= η'

S S C ℵ ℜ, ,( )=


C - 59

dans laquelle des variables internes supplémentaires sont introduites pour décrire la dis-tribution de discontinuités dans le matériaux :

(tenseur torsion)

(tenseur courbure)

Dans ce genre de matériaux, les coefficients de connexion ne dérivent pas du tenseur deCAUCHY-GREEN (Milieux continus faiblement continus), mais constituent des variablesindépendantes.

ℵIJK ΓIJ

K ΓJIK

–=

ℜKMNL

XN∂

∂ΓKML

XM∂

∂ΓKNL

– ΓKMR ΓRN

L ΓKNR ΓRM

L–+=


C - 60

EXERCICES CHOISIS

Exercice 1

On considère un milieu continu assimilé à cube unité dans sa configuration initiale, avec . Le cube est transformé en un rhomboèdre de côté

unité avec l’angle entre les côtés au sommet O de . On remarque que cettedéformation est uniforme. Calculer les valeurs propres de la déformation de Cauchy-Green.Quelles sont les directions principales de cette déformation? Calculer les allongements prin-cipaux.

Exercice 2

On considère un milieu continu dont le champ de gradient de la transformation est noté Montrer que les tenseurs vitesse de déformation et vitesse de rotation peuvent s’écrire :

dans lesquelles est le tenseur d’allongement, la rotation associée à la décompositionpolaire de Cauchy et . On constate ainsi que la vitesse de rotation de la fibrematérielle est constituée d’une rotation “rigide” correspondant à la décomposition polaire etd’une rotation due à la déformation (cette dernière est nulle lorsque la fibre est alignée selonles directions principales).

Exercice 3

Considérer la transformation d’un milieu continu dont le champ de vitesse est noté . Soit un vecteur unitaire porté par une fibre matérielle dans la configuration déformée. En sup-

posant que reste unitaire au cours de la transformation, calculer sa dérivée temporelle. Lefait que la fibre reste unitaire modélise par exemple une inextensibilité dans sa direction.Utiliser le résultat pour calculer la dérivée temporelle des vecteurs propres de la vitesse dedéformation .

Exercice 4

On considère une transformation bi-dimensionnelle (c’est-à-dire que toute fibre selon la direc-tion 3, par exemple, ne se déforme pas). On note le tenseur de Cauchy-Green et letenseur d’allongement, . Rappel : Le tenseur d’allongement est symétrique et définipositif.

(a) En posant et , montrer la relation :

G10 G20 G30, , GI0 GJ0⋅ δIJ=G1 G2 G3, , α

F

D 12---R UU 1– U 1– U+( ) RT

=

W Ω 12---R UU 1– U 1– U–( )RT

+=

U RΩ RRT≡

vu

uu

D

C UU C=

IC trC≡ II C detC≡

U 1

IC 2 II C+-------------------------------- C II C I–( )= I 1 0

0 1=

Indication : Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton sur les matrices en 2D.

(b) La transformation d’un milieu continu est définie par la relation danslaquelle définit sa position actuelle et sa position initiale, les deux vecteurs par rapportà un seul repère de l’espace (base orthonormée directe).Soit un cylindre de rayonunité dont l’axe est dans la direction 3. Le cylindre se transforme selon:

Vérifier que cette transformation est bi-dimensionnelle. Déterminer le tenseur des allonge-ments . Calculer les allongements principaux (valeurs propres de ) et les directionsprincipales . Quelle est la transformée d’une section du cylindre? Décomposerla transformation tangente et en déduire la rotation .

Exercice 5

On considère le mouvement d’un milieu continu en transformations finies. Pour chaque point

matériel du milieu, la transformation est définie par la relation dans laquelle dé-

finit sa position à l’instant et sa position à l’instant initial , les deux vecteurs par rap-

port à un seul repère de l’espace (base orthonormée directe). On étudie le mouvement

particulier défini par :

(a) Calculer le gradient de la transformation (transformation linéaire tangente) . Endéduire le tenseur de Cauchy-Green et le tenseur de déformation de Green-Lagrange .

(b) Calculer la vitesse et l’accéleration en description matérielle. Endéduire la vitesse et l’accélération en description spatiale. Vérifier que :

(b) Calculer le tenseur vitesse de déformation . Un matériau visqueux est défini parla loi de comportement . calculer les composantesdu tenseur de Piola-Kirchhoff 2 correspondant.

Exercice 6

On considère la transformation d’un milieu continu, appelée glissement simple, définie par :

x ϕ X( )=x X

Oe1e2e3

x1

3 X1

X2

+=

x2

2 X2

=

x3

X3

=

U UN1 N2 N3, ,( )

F R

x ϕ X t,( )= x

t X t 0=

Oe1e2e3

x1

X1 1 t+( )=

x2

X2 1 t+( )2

=

x3

X3 1 t

2+( )=

F X t,( )C X t,( )

E X t,( )

v X t,( ) a X t,( )v x t,( ) a x t,( )

a x t,( )t∂

∂ v x t,( ) grad v x t,( ) v x t,( )[ ]+=

D x t,( )σ x t,( ) λ tr D x t,( )[ ] I 2µ D x t,( )+=

dans laquelle sont les coordonnées d’un point matériel quelconque dans un repère

orthonormé à l’instant initial . sont les coordonnées de

ce même point à l’instant . est une constante.

(a) Déterminer les transformées dans la configuration déformée des troisfibres matérielles initialement confondues avec dans la configuration nondéformée. En déduire les composantes du tenseur de Cauchy-Green . Calculer la dérivéetemporelle . Déterminer les valeurs propres et directions propres de la dérivée temporelle

dans le cas particulier où est infiniment petit.

(b) En partant de la vitesse des fibres matérielles , calculer les composantesdu tenseur vitesse de déformation dans la basetensorielle . Comparer avec les résultats de (a) sur la dérivée totale de .

(c) Déterminer les transformées des trois éléments de surface matérielles dontles vecteurs normaux sont dirigés initialement selon dans la configurationnon déformée.

(d) Pour une transformation quelconque du milieu continu (pas seulement glissement sim-ple), on considère une fibre matérielle unitaire de la configuration initiale etqui se transforme en un vecteur dont la direction (et sens) est selon le vecteur unitaire dans la configuration déformée. Pour une transformation quelconque du milieu continu,montrer que en notant le gradient de la transformation et dans laquelle

. Montrer que (taux d’allongement logarith-mique). Calculer le taux d’allongement logarithmique au cours d’un glisse-ment simple dans la direction . Comment évolue asymptotiquementce taux pour très grand?

Exercice 7

Le but de cet exercice est de comparer l’efficience de deux types de transformations finies

(écoulement de glissement et écoulement d’extension) dans un processus de mélange de milieux

continus immiscibles.

On considère le mouvement d’un milieu continu en transformations finies. Pour chaque point

matériel du milieu, la transformation est définie par la relation dans laquelle dé-

finit sa position à l’instant et sa position à l’instant initial , les deux vecteurs par rap-

port à un seul repère de l’espace (base orthonormée directe).

x1

X1 αtX

2+=

x2

X2

=

x3

X3

=

X1

X2

X3, ,( )

O G10 G20 G30, , , t 0= x1

x2

x3, ,( )

t α 0>

G1 G2 G3, , G10 G20 G30, ,

CC

C α

G1 G2 G3, , D x t,( ) 1

2--- grad v x t,( ) gradT

v x t,( )+[ ]=GI GJ⊗ C

G1 G2 G3, , G10 G20 G30, ,

M M 1=m

λm F M( )= Fλ M C M( )⋅= d λln( ) dt( )⁄ m D m( )⋅=

d λln( ) dt( )⁄M M

1G10 M2G20+=

t

x ϕ X t,( )= x

t X t 0=

Oe1e2e3

(a) Dans un premier temps, on considère les transformations dont le champ de vitesse est dela forme où le tenseur ne dépend pas de la position (le tenseur estmultiplié par le vecteur ). Ecrire les tenseurs vitesse de déformation et vitesse derotation en fonction de .

(b) Cas particulier 1 : (Transformations bi-dimensionnelles) où et sont deux constantes réelles. Dessiner le champ de vitesse pour les cas suivants :

(α) ; (β) ; (γ) .

(Pour cela, se limiter à représenter les champs de vitesse dans le plan , le long desdeux axes et ). A quoi correspondent ces mouvements?

Déterminer la vitesse en fonction de , et de . Esquisser les formes des trajectoiresdes points matériels pour :

(α) ; (β) ; (γ) .

(c) Cas particulier 2 : (Glissement) . On considère dans la configuration ini-tiale du milieu continu une fibre matérielle unitaire ,

. Exprimer en fonction de la constante , de et de . En déduire le gradientde transformation et le tenseur de Cauchy-Green .

On définit l’élongation au cours de la transformation de la fibre par .Exprimer la dérivée :

en fonction de , et . Calculer la limite (efficience asymptotique en élongation duglissement) :

Discuter sur l’orientation initiale de la fibre .

(d) Cas particulier 3 : (Extension) . On considèrede nouveau dans la configuration initiale une fibre matérielle unitaire , . Cal-culer le gradient de transformation et le tenseur de Cauchy-Green . On rappelle l’élon-

v L t( ) x[ ]= L x Lx D x t,( )

W x t,( ) L

L κ e1 e2⊗ εκ e2 e1⊗+=κ ε

ε 1–=ε 0=ε 1=

Oe1e2Oe1 Oe2

v L X t

κ 1–=κ 0=κ 1=

L κ e1 e2⊗=M M1e1 M2e2 M3e3+ +=

M 1= x κ X tF C

M λ M M⊗( ):C≡

tdd λ( )ln

κ M t

lim t ∞→ 1

D:D---------------

tdd λ( )ln

M

L κ e1 e1⊗ κ2--- e2 e2⊗–

κ2--- e3 e3⊗–=

M M 1=F C

gation . Calculer la limite (efficience asymptotique en élongation del’extension):

Comparer avec le cas du glissement. Discuter.

(e) (Question indépendante) On considère cette fois les transformations du milieu continudont le champ de vitesse est de la forme où le tenseur est constant. Exprimerles tenseurs vitesse de déformation et vitesse de rotation :

et l’accélération en fonction de , et .

Exercice 8

Deux observateurs vont percevoir deux mouvements différents d’un milieu continu en transfor-mations finies). Les deux transformations observées différeront par un mouvement rigide dumilieu continu. Le mouvement rigide peut être interprété comme la combinaison d’une rota-tion et d’une translation après la transformation .

(a) Montrer que le tenseur de déformation de Cauchy-Green et sa dérivée tempo-relle ne sont pas modifiés par un mouvement rigide du milieu continu.

(b) Montrer que la seconde contrainte de Piola-Kirchhoff n’est pas modifiée par unmouvement rigide.

Exercice 9

On considère un milieu continu cylindrique de section circulaire dont le rayon et la longueur

initiale sont et . Quand on lui applique sur ses deux bases deux forces opposées (répar-

ties uniformément sur ces bases) dirigées suivant son axe et sur sa surface latérale une pression

normale uniforme , son rayon et sa longueur deviennent et . On suppose que la direction

de son axe ne change pas et on suppose la déformation et la contrainte uniforme.

(a) Quand le rayon et la longueur varient avec la vitesse et , calculer la puissance dedéformation par unité de volume dans sa configuration actuelle. En déduire le tenseur decontrainte de Cauchy .

(b) Calculer le second tenseur de contrainte Piola-Kirchhoff . Quel est la puissance dedéformation par unité de volume dans sa configuration initiale? Déterminer le premier ten-seur de contrainte de Piola-Kirchhoff .

λ M M⊗( ):C≡

lim t ∞→ 1

D:D---------------

tdd λ( )ln

v K X[ ]= K

D x t,( ) 12--- grad v gradT

v+( )= W 12--- grad v gradT

v–( )=

a K x t

x ϕ X t,( )= x∗ x0 t( ) Q t( ) ϕ X t,( )[ ]+=

C X t,( )C X t,( )

S X t,( )

R H F

p r h

tddr

tddh

σ

S

P

Exercice 10

On considère un milieu continu soumis à une transformation finie.

(a) La transformation du milieu à partir de sa configuration initiale (de référence) est unedilatation isotrope (intensité ) suivie d’une rotation globale . Dans sa configurationactuelle, ce milieu continu est soumis à une pression isotrope . Déterminer les tenseurs decontrainte de Piola-Kirchhoff 1 et 2. Ecrire la puissance de déformation.

(b) La transformation d’un milieu continu à partir de sa configuration initiale (de référence)est une élongation unidimensionnelle (intensité et sans “respiration” dans les directionstransversales, selon une direction , étant unitaire) suivie d’une rotation globale . Onsuppose que la contrainte de Piola-Kirchhoff 2 est donnée en fonction de la déformation deGreen-Lagrange par la loi linéaire élastique . Déterminer les ten-seurs de contrainte , et . Exprimer la composante de la contrainte en fonction de

. Discuter.

(c) Considérer l’exemple (b) dans le cas où le matériau est incompressible (transformationisovolumique) donc peut “respirer” dans les directions orthogonales à .

α Qp

αb b Q

S λ tr E( ) I 2µ E+=S P σ Sbb

α

b

thermomécanique des milieux continus · pdf filecomment écrire les lois de la...

Documents