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Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)

Licence de Mathématiques L3

UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2

Année 2011–12

Théorie de la Mesure et Intégration

Amaury Lambert 1

1. Responsable des deux UE. Mél : [email protected]

Table des matières

I LM364 – Intégration 1 5

1 Suites, ensembles et suites d’ensembles 61.1 La droite achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Rappels sur les suites et séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Opérations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Suites de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Fonctions et fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Théorie des cardinaux 122.1 Cardinaux, équipotence, dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Cardinaux classiques et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Tribus de parties d’un ensemble 173.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Tribu engendrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Tribus image et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Fonctions mesurables 214.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Exemples et opérations stables pour la mesurabilité . . . . . . . . . . . . 214.3 Fonctions étagées, en escalier, réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Le cas borélien 265.1 (Rappels de) Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Tribu borélienne et fonctions boréliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 L’ensemble triadique de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Une partie de R non borélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Mesures 346.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2 Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Autres définitions et autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

TABLE DES MATIÈRES 3

7 Intégrale des fonctions positives 417.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Intégrale des fonctions de signe quelconque 498.1 Intégrale des fonctions mesurables de signe quelconque . . . . . . . . . . 498.2 Les grands théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.3 Intégrale des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9 Applications 569.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 569.2 Dérivées et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.3 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.4.1 Dérivation sous la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.4.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.4.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10 Inégalités et espaces L p 6310.1 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.2.1 Semi-normes L p, p ∈ [1,+∞] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.2.2 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.2.3 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.3 Espace L p et espace Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

II LM365 – Intégration 2 69

11 Construction d’une mesure 7011.1 Quelques rappels et nouvelles définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7011.1.2 Définitions utiles dans le cadre de l’unicité des mesures . . . . . . 7011.1.3 Définitions utiles dans le cadre de l’existence des mesures . . . . . 72

11.2 Unicité d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.2.1 Théorème de la classe monotone et corollaires . . . . . . . . . . . 7211.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.3 Existence d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.3.1 Théorème de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

12 Tribu produit et mesure produit 8012.1 Tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12.1.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8012.1.2 Le cas borélien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

TABLE DES MATIÈRES 4

12.1.3 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8412.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8512.3 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12.3.1 Théorème de Fubini–Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8712.3.2 Théorème de Fubini–Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

13 Mesure image et changement de variable 9013.1 Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9013.2 Formule du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

14 Les espaces Lp 9614.1 Les espaces de Banach Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

14.1.1 Convergence dans Lp et convergence simple . . . . . . . . . . . . 9614.1.2 Complétude des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

14.2 L’espace L2 et les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.2.1 L’espace de Hilbert L2(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9914.2.2 Théorème de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10014.2.3 Lemme de Riesz–Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

14.3 Théorème de Radon–Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10314.4 Dualité Lp–Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

15 Régularité et théorèmes de densité 10915.1 Régularité d’une mesure sur un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . 10915.2 Théorèmes de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

16 Produit de convolution 11416.1 Convolution de mesures et de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . 11416.2 Convolution de fonctions boréliennes de signe quelconque . . . . . . . . . 116

17 Transformée de Fourier 11917.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11917.2 Injectivité de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Première partie

LM364 – Intégration 1

5

Chapitre 1

Suites, ensembles et suites d’ensembles

1.1 La droite achevée

Définition 1.1 On appelle droite achevée l’ensemble R := R ∪ −∞ ∪ +∞.

On considérera toujours la droite achevée comme l’espace métrique associé à l’une desdistances du type d(x, y) := |f(x) − f(y)| où f(x) = x√

x2+1si x ∈ R et f(±∞) = ±1.

Autrement dit, R est muni de la topologie usuelle de R, complétée avec les notionsusuelles de convergence vers +∞ et vers −∞.La droite achevée est munie d’un ordre total que le lecteur aura deviné : pour tousx ≤ y ∈ R,

−∞ < x ≤ y < +∞.

La droite achevée est également munie des opérations algébriques usuelles, avec lesconventions suivantes :

+∞+∞ = +∞, −∞−∞ = −∞, a+∞ = +∞, a−∞ = −∞,

pour tout a ∈ R, ainsi que0×∞ = 0,

eta ∈]0,∞] ⇒ a×∞ = +∞, a ∈ [−∞, 0[ ⇒ a×∞ = −∞.

Remarque 1.2 Tout au long de ce cours, il faudra acquérir le réflexe de NE JAMAISÉCRIRE aucune des opérations interdites suivantes : (+∞)− (+∞), ainsi que (−∞)−(−∞), et encore (±∞)/(±∞).

Une suite numérique est une suite à valeurs dans R ou dans R.

1.2 Rappels sur les suites et séries numériques

Définition 1.3 On dit que a ∈ R est une valeur d’adhérence de la suite (un) s’il existeune suite extraite (uϕ(n)) qui converge vers a.

6

CHAPITRE 1. SUITES, ENSEMBLES ET SUITES D’ENSEMBLES 7

Exemple 1.4 Les valeurs d’adhérence de la suite (cos(πn/2)) sont −1, 0 et 1. Celles dela suite ((−1)n + 1

n) sont −1 et +1.

Notation 1.5 (importante) Lorsqu’une suite (un) est croissante (resp. décroissante),on notera souvent limn ↑ un (resp. limn ↓ un) sa limite, pour rappeler que la suite estmonotone, et surtout pour indiquer que cette limite existe donc toujours (dans R).

Définition 1.6 La borne supérieure (∈ R) de l’ensemble des valeurs d’adhérence de lasuite (un) est aussi une valeur d’adhérence de (un). On la note limn→∞ un ou lim supn→∞ un.C’est donc la plus grande valeur d’adhérence de (un) et elle vérifie

limnun = lim

n↓ (sup

k≥nuk) = inf

n(supk≥n

uk).

De façon analogue, la plus petite valeur d’adhérence de (un) est notée limn→∞ un oulim infn→∞ un...

Définition 1.7 On dit que la série de terme général (un) est absolument convergente sila suite des sommes partielles (

∑nk=0 |uk|)n converge dans R, ce que l’on note également∑

n |un| <∞.

Théorème 1.8 Si la série de terme général (un) est absolument convergente, alors elleest convergente, c’est-à-dire que la suite des sommes partielles (

∑nk=0 uk)n converge dans

R.

Proposition 1.9 La somme de la série de terme général un ≥ 0 (c’est-à-dire la limitede la suite des sommes partielles, qui existe toujours dans R+) ne dépend pas de l’ordrede sommation.

Démonstration. Soit une bijection ϕ : N −→ N. On veut montrer que la suite S ′n :=∑nk=0 uϕ(k) a même limite dans R+ que Sn :=

∑nk=0 uk.

Soit n ≥ 0 et N := maxϕ(0), . . . , ϕ(n). Alors S ′n = uϕ(0) + · · ·+ uϕ(n) ≤∑N

j=0 uj =SN , donc S ′n ≤ SN ≤ S∞. Faisant tendre n → ∞ on obtient que S ′∞ ≤ S∞. L’inégalitéopposée s’obtient par symétrie. 2

1.3 Ensembles

1.3.1 Terminologie

Soit E un ensemble. Mettons-nous d’accord sur un peu de terminologie.– A ⊆ E sera appelé sous-ensemble ou partie de E ;– P(E) := parties de E ;– A ⊆ P(E) sera appelé famille de parties de E ou classe de parties de E plutôtqu’ensemble de sous ensembles de E ou partie de P(E) ;

– dans quelques rares cas, nous serons amenés à considérer des ensembles de famillesde parties, que l’on appellera alors collections de familles de parties de E.


1.3.2 Opérations classiques

Recensons quelques opérations classiques sur les parties d’un ensemble E. Soient A1

et A2 deux parties de E.– La réunion de A1 et A2, notée A1 ∪ A2 : ∀x ∈ E,

x ∈ A1 ∪ A2 ⇔ ∃i ∈ 1, 2, x ∈ Ai– L’intersection de A1 et A2, notée A1 ∩ A2 : ∀x ∈ E,

x ∈ A1 ∩ A2 ⇔ ∀i ∈ 1, 2, x ∈ Ai– Le complémentaire de A1, noté cA1 : ∀x ∈ E,

x ∈ cA1 ⇔ x /∈ A1

– La différence de A1 avec A2, notée A1 \A2 et dite différence propre dans le cas oùA2 ⊆ A1 : ∀x ∈ E,

x ∈ A1 \ A2 ⇔ x ∈ A1 et x /∈ A2

– La différence symétrique de A1 et A2, notée A1∆A2 : ∀x ∈ E,

x ∈ A1∆A2 ⇔ x ∈ A1 ∪ A2 et x /∈ A1 ∩ A2.

Remarque 1.10 Remarquer l’association de la réunion avec le quantificateur « ∃ », del’intersection avec le quantificateur « ∀ », ainsi que l’association du passage au complé-mentaire avec la négation et de l’inclusion avec l’implication : A1 ⊆ A2 ssi ∀x ∈ E,

x ∈ A1 ⇒ x ∈ A2.

Exercice 1.11 Montrer les identités suivantes : @c(A1 ∪ A2) = cA1 ∩ cA2

c(A1 ∩ A2) = cA1 ∪ cA2

A1 \ A2 = A1 ∩ cA2

A1∆A2 = (A1 ∪ A2) \ (A1 ∩ A2) = (A1 \ A2) ∪ (A2 \ A1).

1.3.3 Suites de parties d’un ensemble

Nous allons définir ici les notions de limite, limite supérieure et limite inférieure d’unesuite de parties. Soit (An) une suite de parties de E.

Définition 1.12 On rappelle que la suite (An) est dite croissante (resp. décroissante)lorsque pour tout entier n, An ⊆ An+1 (resp. An+1 ⊆ An). Dans ce cas, la limite de lasuite (An) est définie naturellement comme la réunion (resp. l’ intersection) de tous lesAn :

limn→∞

An :=⋃n

An (resp.⋂n

An).

Par analogie avec le cas réel, on notera cette limite lim ↑ (resp. lim ↓) pour faire réfé-rence au fait que la suite (An) est croissante et que la limite est donc la réunion (resp.l’intersection) de tous ses éléments.


Définition 1.13 On définit les deux parties de E suivantes :

lim supn→∞

An(ou limn→∞

An) := limn→∞

↓⋃k≥n

Ak =⋂n

⋃k≥n

Ak,

où la notation lim ↓ fait référence au fait que la suite(⋃

k≥nAk)nest décroissante, si

bien que sa limite existe toujours (et est l’intersection de tous ses éléments, ce qu’indiquela dernière égalité) ;

lim infn→∞

An(ou limn→∞

An) := limn→∞

↑⋂k≥n

Ak =⋃n

⋂k≥n

Ak,

où la notation lim ↑ fait référence au fait que la suite(⋂

k≥nAk)nest croissante, si bien

que sa limite existe toujours (et est la réunion de tous ses éléments, ce qu’indique ladernière égalité).

Remarque 1.14 On peut aussi caractériser la limite supérieure et la limite inférieurepar les assertions suivantes : pour tout x ∈ E,

x ∈ lim supn→∞

An ⇔ ∀n ∃k ≥ n, x ∈ Ak

⇔ n : x ∈ An est infini.x ∈ lim inf

n→∞An ⇔ ∃n ∀k ≥ n, x ∈ Ak

⇔ n : x /∈ An est fini.

Noter que lim infnAn ⊆ lim supnAn.

Définition 1.15 On dit que la suite (An) converge si lim infnAn = lim supnAn. Lorsquec’est le cas on définit limnAn := lim infnAn = lim supnAn.

Remarque 1.16 Soit A la limite d’une suite (An) qui converge. Alors A est caractériséepar :

∀x ∈ A ∃n0 ∀n ≥ n0 x ∈ An∀x /∈ A ∃n1 ∀n ≥ n1 x /∈ An.

Exercice 1.17 Montrer les deux égalités suivantes @

lim supn

cAn = c(lim infn

An)

lim infn

cAn = c(lim supn

An).

1.3.4 Fonctions et fonctions indicatrices

Définition 1.18 On appelle indicatrice ou fonction indicatrice de la partie A, et l’onnote 1A, la fonction


1A : E −→ 0, 1

x 7−→

0 si x /∈ A1 si x ∈ A.

Remarque 1.19 Noter que 1cA = 1− 1A.

Proposition 1.20 Au sens de la convergence simple,

limn1An = 1limn An

etlimn1An = 1limn An

Dém. Pour tout x ∈ E,

limn1An(x) = 1 ⇔ ∀n ∃k ≥ n, 1Ak(x) = 1

⇔ ∀n ∃k ≥ n, x ∈ Ak⇔ x ∈ lim

nAn

⇔ 1limn An(x) = 1.

L’autre assertion se démontre de la même manière, ou alors en se servant de l’assertionprécédente :

limn1An = lim

n(1 − 1cAn) = 1 − lim

n1cAn = 1 − 1limn

cAn= 1 − 1c(limn An) = 1limn An

,

ce qui achève la démonstration. 2

Remarque 1.21 Conséquence de cette proposition : la suite de parties (An) converge ssila suite de fonctions (1An) converge simplement (et lorsque c’est le cas, la convergencea lieu vers 1limn An).

Définition 1.22 Soient E,F deux ensembles et f : E −→ F .– pour tout A ⊆ E, on note f(A) l’ image directe de A par f :

f(A) := y ∈ F : ∃x ∈ A, f(x) = y.

– pour tout B ⊆ F , on note f−1(B) l’ image réciproque de B par f :

f−1(B) := x ∈ E : f(x) ∈ B.

Remarque 1.23 La notation f−1 ne fera que très rarement, sinon jamais, référence àl’application inverse ou réciproque de l’application f dans les cas où elle serait par hasardbijective. Néanmoins, noter la cohérence de ces notations, au sens où si f est bijective,alors on a bien égalité entre l’image réciproque f−1(B) de B par f et l’image directef−1(B) de B par l’inverse f−1 de f .


Exercice 1.24 Montrer les formules de Hausdorff(cf feuille de TD). Pour tous I et J @ensembles d’indices non vides, pour toute famille (Ai)i∈I de parties de E et pour toutefamille (Bj)j∈J de parties de F , pour toute fonction f : E −→ F ,

f

(⋃i

Ai

)=⋃i

f(Ai),

f

(⋂i

Ai

)⊆⋂i

f(Ai)

avec égalité si f est injective ;

f−1

(⋃j

Bj

)=⋃j

f−1(Bj),

f−1

(⋂j

Bj

)=⋂j

f−1(Bj),

et pour tout B ⊆ F ,c(f−1(B)

)= f−1 (cB) .

Chapitre 2

Théorie des cardinaux

2.1 Cardinaux, équipotence, dénombrabilité

Définition 2.1 Deux ensembles E et F sont dits équipotents, ou avoir même cardinal,ou encore même puissance, s’il existe une bijection de l’un sur l’autre. On note alorsCard(E) = Card(F ).

Définition 2.2 On notera Card(E) ≤ Card(F ) s’il existe une injection de E dans F ,c’est-à-dire si E a même puissance qu’une partie de F . Si de plus E et F n’ont pas mêmepuissance, on notera Card(E) < Card(F ).

Exemple 2.3 Quelques exemples d’équipotences :– Les ensembles P(E) et 0, 1E (= ensemble des applications : E −→ 0, 1) sontéquipotents car l’application A 7→ 1A est une bijection de l’un sur l’autre ;

– les ensembles N et 2N (entiers pairs) sont équipotents car l’application n 7→ 2n estune bijection de l’un sur l’autre ;

– les ensembles N et N×N sont équipotents car on peut bien énumérer de manière in-jective les couples d’entiers (par exemple en suivant les points des droites d’équationy = −x+ c, lorsque c croît dans N) ;

– par récurrence, N est équipotent avec tous les produits cartésiens du type Np (p ∈N?). @

Théorème 2.4 (théorème de Cantor–Bernstein, admis) Si Card(E1) ≤ Card(E2)et Card(E2) ≤ Card(E1), alors Card(E1) = Card(E2).

Remarque 2.5 La relation ≤ est une relation d’ordre. En effet elle est1. réflexive : il existe une injection de E dans E (l’injection canonique, c’est-à-dire

ici l’identité), donc Card(E) ≤ Card(E) ;2. antisymétrique, grâce au théorème de Cantor–Bernstein ;3. transitive : si Card(E1) ≤ Card(E2) et Card(E2) ≤ Card(E3), alors il existe une

injection f1 : E1 −→ E2 et une injection f2 : E2 −→ E3, donc il existe une injectionf3 : E1 −→ E3 qui n’est autre que... f2 f1, par conséquent Card(E1) ≤ Card(E3). @

12

CHAPITRE 2. THÉORIE DES CARDINAUX 13

Remarque 2.6 Ces énoncés ne sont pas des évidences, car il faut bien garder à l’espritque les cardinaux ne sont pas des nombres réels (sauf pour le cas très particulier desensembles finis).

La proposition suivante, dont la démonstration est très jolie, assure en particulierqu’il existe une suite infinie strictement croissante de cardinaux :

Card(E) < Card(P(E)) < Card(P(P(E))) < · · ·

Proposition 2.7 Card(E) < Card(P(E)).

Dém. Soit f : E → P(E). Montrons que f ne peut être surjective (et donc ne peutêtre bijective). Soit

Ω := x ∈ E : x /∈ f(x).

Montrons que par l’absurde que Ω ne peut avoir d’antécédent par f . Si ∃z ∈ E tel quef(z) = Ω alors

– soit z ∈ Ω alors z /∈ f(z), c’est-à-dire z /∈ Ω ;– soit z /∈ Ω alors z ∈ f(z), c’est-à-dire z ∈ Ω,

ce qui constitue une contradiction. D’autre part il existe clairement une injection de Edans P(E), par exemple celle qui à x associe x. 2

Définition 2.8 On définit les notions d’infini et de dénombrable comme suit :– E est dit infini s’il existe x0 ∈ E et une injection de E dans E \ x0, et est ditfini sinon ;

– E est dit dénombrable si Card(E) ≤ Card(N) ;– E est dit infini dénombrable si Card(E) = Card(N) ;– E est dit (infini) non dénombrable si Card(E) > Card(N) ;– une partie A de E est dite cofinie si cA est fini.

Remarque 2.9 L’ensemble N est (bien !) infini car par exemple l’application

f : N −→ N?

n 7−→ n+ 1

est bien une injection.

Définition 2.10 Card(N) est souvent noté ℵ0 (« aleph zéro »).

La proposition suivante, laissée en exercice (indication : montrer par récurrence surn ∈ N? qu’il existe n éléments distincts x1, . . . , xn de E et une injection in : E →E \x1, . . . , xn), assure que les ensembles équipotents à N sont les plus petits ensemblesinfinis au sens des cardinaux.

Proposition 2.11 E est infini ssi Card(E) ≥ Card(N). @


2.2 Cardinaux classiques et propriétés

Proposition 2.12 Les ensembles Z, Np (p ∈ N?) et Q sont dénombrables.

Dém. On a déjà vu que Np était équipotent à N. Pour ce qui est de Z, la fonction

f : Z −→ N

n 7−→−2n si n ≤ 02n− 1 si n > 0

est une bijection.Enfin, rappelons que pour tout x ∈ Q?, ∃!(p, q) ∈ Z?×N? tel que x = p/q et p∧q = 1.

Ainsi la fonction qui à 0 associe (0, 1) et qui est définie sur Q? par

f : Q? −→ Z× N?

p/q 7−→ (p, q)

est une injection de Q dans Z × N?, donc Card(Q) ≤ Card(Z × N?). Or il existe uneinjection g : Z → N, donc l’application qui à (x, y) associe (g(x), y) est une injectionde Z × N? dans N2, ce qui montre que Card(Z × N?) ≤ Card(N2) = Card(N), doncCard(Q) ≤ Card(N). 2

Proposition 2.13 Toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénom-brable.

Dém. Soit E =⋃n∈NEn, où pour tout n ∈ N, En est dénombrable. Alors par définition,

pour tout n ∈ N il existe une injection ϕn : En → N. Pour tout x ∈ E on définit alors

N(x) := minn ≥ 0 : x ∈ En <∞.

Alors la fonction

φ : E −→ N2

x 7−→ (N(x), ϕN(x)(x))

est une injection car pour tous x, y ∈ E tels que φ(x) = φ(y), on aN(x) = N(y) =: n puisϕN(x)(x) = ϕN(y)(y), c’est-à-dire ϕn(x) = ϕn(y), donc x = y, puisque ϕn est injective.Par conséquent, Card(E) ≤ Card(N2) = Card(N). 2

Proposition 2.14 Tout produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.

Dém. Pour i = 1, . . . , n, soit Ei dénombrable et une injection ϕi : Ei → N. Alors lafonction

φ : Πni=1Ei −→ Nn

(x1, . . . , xn) 7−→ (ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn))

est clairement injective donc Card(ΠiEi) ≤ Card(Nn) = Card(N). 2


Proposition 2.15 Tout produit cartésien infini dénombrable d’ensembles non vides (mêmefinis) est non-dénombrable pourvu qu’une infinité d’entre eux ne soient pas réduits à unsingleton.

Dém. Admettons pour simplifier que pour tout i ∈ N, Card(Ei) ≥ 2. Alors pour touti, il existe une injection ϕi : 0, 1 → Ei. Donc l’application

φ : 0, 1N −→ E0 × E1 × · · ·(x0, x1, . . .) 7−→ (ϕ0(x0), ϕ1(x1), . . .)

est injective, donc Card(ΠiEi) ≥ Card(0, 1N) = CardP(N) > Card(N). 2

Théorème 2.16 Les ensembles R et P(N) sont équipotents.

Définition 2.17 On dit d’un ensemble équipotent à R qu’il a la puissance du continu.

Dém. Première étape : montrons que toute partie de R contenant un intervalle ouverta la puissance du continu. Soit A ⊆ R contenant un intervalle I qu’on écrira sous laforme I =]b− a, b + a[, alors A s’injecte bien sûr dans R, mais R s’injecte aussi dans Apar exemple par l’application

φ : R −→ A

x 7−→ ax√x2 + 1

+ b

.Deuxième étape : montrons que Card(P(N)) ≤ Card([0, 1/2]) dont on sait d’après

l’étape précédente que ce cardinal vaut Card(R). Soit l’application

φ : 0, 1N −→ [0, 1/2]

x = (xn) 7−→∑n≥0

xn3n+1

.

Montrons que φ est bien injective. Pour tous x 6= y, soit n := mink ≥ 0 : xk 6= yk <∞.Alors

|φ(x)− φ(y)| =

∣∣∣∣∣xn − yn3n+1+∑k≥n+1

xk − yk3k+1

∣∣∣∣∣≥ |xn − yn|

3n+1−

∣∣∣∣∣ ∑k≥n+1

yk − xk3k+1

∣∣∣∣∣≥ 1

3n+1−∑k≥n+1

1

3k+1

=1

3n+1− 1

3n+2

1

1− 1/3=

1

2 · 3n+1> 0,


ce qui prouve que φ(x) 6= φ(y).Troisième et dernière étape : montrons que Card(0, 1N) ≥ Card([0, 1[), ce qui équi-

vaut à Card(P(N)) ≥ Card(R). Soit ψ : [0, 1[→ 0, 1N l’application qui à x ∈ [0, 1[associe son développement dyadique propre, c’est-à-dire la suite (xn) de 0 et de 1 définierécursivement par x0 := [2x], et

xn :=

[2n+1

(x−

n−1∑k=0

xk2k+1

)].

Alors comme x =∑

k≥0xk

2k+1 , ψ est clairement injective (car si ψ(x) = ψ(y), x = y). 2

Chapitre 3

Tribus de parties d’un ensemble

3.1 Définitions et exemples

Définition 3.1 Une classe A de parties d’un ensemble E est appelée tribu ou σ-algèbresi

(i) elle contient E : E ∈ A ;(ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A ⊆ E, A ∈ A ⇔ cA ∈

A ;(iii) elle est stable par réunion dénombrable : si (An) est une famille dénombrabled’éléments de A , alors ∪nAn ∈ A .

On dit alors que (E,A ) est un espace mesurable.

Remarque 3.2 Cette définition a quelques conséquences immédiates :– ∅ ∈ A car ∅ = cE ;– stabilité par intersection dénombrable car ∩nAn = c(∪ncAn) ;– stabilité par différence car A \B = A ∩ cB ;– stabilité par différence symétrique car A∆B = (A \B) ∪ (B \ A) ;– stabilité par limite supérieure car limnAn = ∩n ∪k≥n Ak ;– stabilité par limite inférieure...

Exercice 3.3 Il aurait été équivalent de définir une tribu comme une classe A de partiesde E vérifiant (par exemple) les propriétés suivantes : A contient ∅, est stable parpassage au complémentaire et est stable par intersection dénombrable.

Exemple 3.4 Quelques exemples de tribus :– ∅, E est une tribu (parfois appelée la tribu grossière) ;– P(E) est bien sûr une tribu (parfois appelée la tribu triviale) ;– si (An)n∈N est une partition de E dénombrable (finie ou infinie), alors

A := ∪i∈IAi : I ⊆ N

est une tribu sur E ;– si A ⊆ E, la plus petite (voir section suivante) tribu contenant A est ∅, E,A, cA ;

17

CHAPITRE 3. TRIBUS DE PARTIES D’UN ENSEMBLE 18

– enfin,A := A ⊆ E : A ou cA est dénombrable

est une tribu, ce que nous démontrons ci-dessous.

Dém. Nous démontrerons uniquement la stabilité par réunion dénombrable. Soient (An)n ∈A . De deux choses l’une :

– soit pour tout n, An est dénombrable et alors ∪nAn est dénombrable ;– soit ∃n0 tel que An0 est non dénombrable, et alors cAn0 est dénombrable, donc∩ncAn ⊆ cAn0 est dénombrable, et par conséquent ∪nAn est de complémentairedénombrable (car égal à ∩ncAn) ;

Dans les deux cas ∪nAn ∈ A . 2

3.2 Tribu engendrée

Proposition 3.5 (et définition) a) l’intersection d’une collection non vide quelconque 1

de tribus de parties de E est elle-même une tribu ; @b) pour toute classe C de parties de E, l’intersection de toutes les tribus contenant 2

C est (donc 3) une tribu : elle est (appelée) la plus petite tribu contenant C , ou tribuengendrée par C , et notée σ(C ) :

σ(C ) :=⋂

A tribu,C⊆A

A .

Remarque 3.6 – On rappelle que le terme collection désigne un ensemble de famillede parties, c’est-à-dire un ensemble d’ensembles de sous-ensembles de E... ;

– je ne devrais pas préciser, mais il faut garder à l’esprit que si A et B sont desfamilles de parties de E alors C ∈ A ∩B ssi C ∈ A et C ∈ B (on n’intersectepas ici les parties de E) ;

– le terme de plus petite tribu n’a de sens qu’à la lumière de la définition précédente,car il n’existe pas d’ordre total sur les tribus.

Remarque 3.7 – pour toute classe B de parties de E, B ⊆ σ(B), par définition ;– si C est une classe de parties de E et A est une tribu de parties de E telle que

C ⊆ A , alors A est élément de la collection des tribus contenant C , donc contientson intersection σ(C ), autrement dit σ(C ) ⊆ A ;

– première conséquence, si A est une tribu de parties de E, alors σ(A ) = A ;– deuxième conséquence, si C ⊆ B alors B ⊆ σ(B) implique C ⊆ σ(B), et comme

B est une tribu, σ(C ) ⊆ σ(B).

Remarque 3.8 (méthodologie) – Si A est une tribu, pour montrer que A =σ(C ), on montre que A ⊆ σ(C ) et que C ⊆ A ;

1. quelconque au sens de « pas forcément dénombrable »2. au sens de l’inclusion3. cette collection est non vide car un de ses éléments est P(E)


– pour montrer que σ(C1) = σ(C2), on montre que C1 ⊆ σ(C2) et que C2 ⊆ σ(C1).

Définition 3.9 On note B(R), ou Bor(R), et on appelle tribu de Borel sur R la tribuengendrée par les intervalles ouverts. La tribu de Borel sur R est l’ensemble des parties deR prenant l’une des formes A, A∪+∞, A∪−∞ ou A∪−∞,+∞, où A ∈ Bor(R).

Proposition 3.10 Soit S une partie dense de la droite réelle 4. Alors Bor(R) est latribu engendréee par les intervalles du type

a) [a,+∞[, a ∈ S; b) ]b,+∞[, b ∈ S; c) ]−∞, c[, c ∈ S; d) ]−∞, d], d ∈ S.

Il en est de même pour Bor(R) avec les intervalles du type [a,+∞],...

Dém. [de a)] Soit IS l’ensemble des intervalles de la forme [a,+∞[ pour a ∈ S. Toutd’abord, B(R) contient tous les intervalles fermés de R car est stable par passage aucomplémentaire donc on a l’inclusion σ(IS) ⊆ B(R). Soit maintenant a ∈ [−∞,+∞[.Comme S est dense, il existe une suite décroissante (an) d’éléments de S tels que an 6= a @pour tout n, et limn ↓ an = a. Comme [an,+∞[∈ IS, on a [an,+∞[∈ σ(IS), donc parstabilité par réunion dénombrable de la tribu σ(IS),

]a,+∞[= ∪n[an,+∞[∈ σ(IS).

On démontre avec une suite croissante que [a,+∞[∈ σ(IS). Maintenant pour tousa, b ∈ [−∞,+∞[, l’intervalle ]a, b[ s’écrit ]a,+∞[\[b,+∞[∈ σ(IS). Par conséquentI ⊆ σ(IS), où I est l’ensemble des intervalles ouverts de R et B(R) = σ(I ) ⊆ σ(IS).2

3.3 Tribus image et image réciproque

Soit f : E1 −→ E2.

Proposition 3.11 Si A2 est une tribu sur E2,

f−1(A2) := f−1(Y ), Y ∈ A2

est une tribu sur E1, appelée tribu image réciproque (de A2 par f).

Dém. Par les formules de Hausdorff :i) f−1(E2) = E1 ∈ f−1(A2) ;ii) pour tout Y ∈ A2, c(f−1(Y )) = f−1(cY ) ∈ f−1(A2) ;iii) pour toute suite (Yn) ∈ A2, ∪nf−1(Yn) = f−1(∪nYn) ∈ f−1(A2) car ∪nYn ∈ A2.2

Proposition 3.12 Si A1 est une tribu sur E1,

B = Y ⊆ E2 : f−1(Y ) ∈ A1

est une tribu sur E2, appelée tribu image (de A1 par f).

Remarque 3.13 La tribu image n’est PAS f(A1) qui n’est en général pas une tribu.

4. c’est-à-dire telle que tout nombre réel est limite d’une suite à valeurs dans S ; par exemple S = Q


Dém. Par les formules de Hausdorff également. 2 @

Définition 3.14 (et proposition) Soit (E,A ) un ensemble mesurable et X une partiede E. La classe C = A∩X : A ∈ A de parties de X est une tribu sur X appelée tributrace de A sur X.

Remarque 3.15 Cette définition a surtout de l’intérêt dans le cas où X /∈ A .

Dém. La classe C est la tribu image réciproque de A par l’injection canonique i : X →E : en effet pour tout A ∈ A , i−1(A) = A ∩X. 2

Théorème 3.16 (lemme de transport) Soit f : E1 −→ E2 et C une classe de partiesde E2. Alors σ(f−1(C )) = f−1(σ(C )).

Dém. Montrons l’inclusion ⊆. Tout d’abord C ⊆ σ(C ), donc f−1(C ) ⊆ f−1(σ(C )).Mais f−1(σ(C )) est une tribu donc σ(f−1(C )) ⊆ σ(f−1(σ(C ))) = f−1(σ(C )).

Montrons maintenant l’inclusion ⊇. Soit B la tribu image de σ(f−1(C )) par f , c’est-à-dire

B := Y ⊆ E2 : f−1(Y ) ∈ σ(f−1(C )).

Alors C ⊆ B, et comme B est une tribu, σ(C ) ⊆ B, puis f−1(σ(C )) ⊆ f−1(B). Maispar définition de B, f−1(B) ⊆ σ(f−1(C )) donc f−1(σ(C )) ⊆ σ(f−1(C )). 2

Chapitre 4

Fonctions mesurables

4.1 Définitions

Notation 4.1 Soit f : E1 −→ E2 et B ⊆ E2. On utilise très fréquemment la notationf ∈ B à la place de f−1(B), ce qui peut se voir comme une écriture condensée dex : f(x) ∈ B. Par exemple, dans le cas où E2 = R et B = [a,+∞[, on écrira f−1(B)sous la forme f ≥ a.

Définition 4.2 Une fonction f : (E1,A1) −→ (E2,A2) est dite mesurable 1 si f−1(A2) ⊆A1 (c’est-a-dire : pour tout B ∈ A2, f−1(B) ∈ A1).

Notation 4.3 On notera F (A1,A2) l’ensemble des fonctions mesurables : (E1,A1) →(E2,A2).

Remarque 4.4 Si on ne se donne que la tribu A1, alors la tribu image de A1 par f estla plus grande tribu sur E2 qui rende f mesurable.

Si on ne se donne que A2, alors la tribu image réciproque de A2 par f est la pluspetite tribu sur E1 qui rende f mesurable. On note aussi cette tribu σ(f).

Remarque 4.5 Une fonction indicatrice 1A : (E,A ) −→ (0, 1,P(0, 1)) est mesu-rable ssi A ∈ A , ce que l’on dira aussi « A est mesurable » 2.

4.2 Exemples et opérations stables pour la mesurabilité

La proposition suivante est une conséquence du lemme de transport.

Proposition 4.6 Soit C une classe de parties de F et B := σ(C ). Alors f : (E,A )→(F,B) est mesurable ssi f−1(C ) ⊆ A .

Dém. L’application f est mesurable ssi f−1(B) ⊆ A , mais f−1(B) = f−1(σ(C )) =σ(f−1(C )) et σ(f−1(C )) ⊆ A ssi f−1(C ) ⊆ A . 2

1. sous-entendu par rapport aux deux tribus A1 et A2

2. toujours en référence sous-entendue à la tribu A

21

CHAPITRE 4. FONCTIONS MESURABLES 22

Application. Soit S une partie dense de R. Alors la fonction f : (E,A )→ (R,B(R))est mesurable ssi f ≥ a ∈ A pour tout a ∈ S (et l’on peut bien sûr remplacer f ≥ apar f > a, f ≤ a ou f < a).

Proposition 4.7 Soient f1 : (E1,A1) → (E2,A2) et f2 : (E2,A2) → (E3,A3). Si f1 etf2 sont mesurables, alors f2 f1 : (E1,A1)→ (E3,A3) est aussi mesurable.

Dém. Pour tout élément A3 de A3, on vérifie que (f2 f1)−1(A3) = f−11 (f−1

2 (A3)). @Comme f2 est mesurable, f−1

2 (A3) ∈ A2. De plus, comme f1 est mesurable f−11 (f−1

2 (A3)) ∈A1. 2

Proposition 4.8 Soit une suite (fn) de F (A ,Bor(R)). Alorsa) supn fn et infn fn sont mesurables ;b) lim supn fn et lim infn fn sont mesurables ;c) Si (fn) converge simplement vers une fonction f (dans R), alors f est mesurable.

Dém. a) Pour tout a ∈ R, supn fn ≤ a = ∩nfn ≤ a ∈ A et infn fn ≥ a =∩nfn ≥ a ∈ A .

b) D’après a), pour tout n ∈ N, la fonction supk≥n fk est mesurable, donc la fonctionlim supn fn = infn supk≥n fk est mesurable. De même pour lim infn fn.

c) Si fn → f , alors f = lim supn fn, qui est mesurable d’après b). 2

On peut raffiner le résultat sur la mesurabilité de la limite d’une suite de fonctionsmesurables de la manière suivante 3.

Théorème 4.9 Soit C := x ∈ E : la suite (fn(x))n converge dans R. Alors (C ∈ Aet) si C désigne la tribu trace de A sur C alors la fonction f := limn fn : (C,C ) →(R,B(R)) est mesurable.

Dém. On note f ↓ := lim infn fn et f ↑ := lim supn fn. Alors C est mesurable car

C = cf ↑ 6= f ↓ = c(∪r∈Qf ↑ > r ∩ f ↓ < r).

Rappelons que la mesurabilité de C n’est pas nécessaire pour définir la tribu trace C .Néanmoins, pour tout borélien B de R, f−1(B) = C∩(f ↑)−1(B) ∈ C . En effet, f−1(B) =x ∈ E : f ↓(x) = f ↑(x) et f ↑(x) ∈ B. 2

4.3 Fonctions étagées, en escalier, réglées

Définition 4.10 Une fonction f ∈ F (A ,Bor(R)) est dite étagée si elle ne prend qu’unnombre fini de valeurs. Alors il existe une partition finie (Ai, i ∈ I) de E, A -mesurable 4,et des nombres réels (αi, i ∈ I) tels que f =

∑i∈I αi1Ai.

3. Ce résultat est hors de la portée stricte du cours, mais la question à laquelle il répond est tellementnaturelle...

4. au sens où Ai ∈ A pour tout i ∈ I


Notation 4.11 On note E (A ) l’ensemble des fonctions étagées : (E,A )→ (R,B(R)).

Remarque 4.12 Il existe une représentation canonique de f sous la forme∑

i∈I αi1Aioù les αi sont deux à deux distincts et Ai = f = αi. On notera qu’une fonctionindicatrice est bien sûr étagée car 1A = 1 · 1A + 0 · 1cA.

Proposition 4.13 Pour toutes fonctions étagées f, g et pour tout λ ∈ R, λf + g estétagée (autrement dit E (A ) est un espace vectoriel), ainsi que fg, f ∧ g et f ∨ g. 5

Dém. On écrit f et g sous la forme f =∑

i∈I αi1Ai et g =∑

j∈J βj1Bj . Alors (Ai ∩Bj; (i, j) ∈ I×J) est une partition finie de E et on peut écrire λf+g =

∑(i,j)∈I×J(λαi+

βj)1Ai∩Bj , fg = αiβj1Ai∩Bj , etc. 2

Théorème 4.14 (lemme fondamental d’approximation) Pour toute f ∈ F (A ,B(R)),il existe une suite (fn) de fonctions étagées convergeant simplement vers f 6. De plus,

a) si f est positive, on peut choisir la suite (fn) positive et croissante 7 ;b) si f est bornée, on peut choisir (fn) de sorte que la convergence soit uniforme 8.

Dém. Commençons par le cas où f est positive. On définit alors

fn :=n2n∑k=1

k − 1

2n1(k−1)2−n<f≤k2−n + n1f>n.

Alors pour tout x ∈ E, la suite (fn(x))n est bien (positive et) croissante et converge vers @f(x), en effet : si f(x) = +∞, alors fn(x) = n→∞ ; sinon il existe n0 tel que f(x) < n0,ce qui implique que pour tout n ≥ n0, |fn(x)− f(x)| ≤ 2−n → 0.

Si f est bornée et positive, alors il existe n0 tel que pour tout x ∈ E, f(x) < n0, doncpour tout x ∈ E, pour tout n ≥ n0, |fn(x)− f(x)| ≤ 2−n → 0, ce qui n’est autre qu’uneconvergence uniforme.

Si f est de signe quelconque, on écrit f sous la forme f = f+ − f−, où

f+ := f1f>0 et f− := −f1f<0.

La somme f+ − f− n’est jamais indéterminée, car pour tout x ∈ E, au moins un desdeux termes f+(x) ou f−(x) est nul. On notera également que f+ (et f−, par un mêmeraisonnement) est mesurable car pour tout a ≥ 0, f+ ≥ a = f ≥ a et pour touta < 0, f+ ≥ a = E. À présent, comme f+ et f− sont positives, il existe deux suitescroissantes (un) et (vn) de fonctions étagées positives convergeant resp. vers f+ et f−.De plus, si l’on utilise la construction de ces suites proposée plus haut, on a unvn = 0,de sorte que l’on peut toujours définir fn := un − vn, qui définit une suite de fonctionsétagées convergeant vers f+ − f− = f .

5. a ∧ b est une notation alternative pour min(a, b), et a ∨ b pour max(a, b)6. autrement dit (rappel...) : ∀x ∈ E, fn(x)→ f(x) lorsque n→∞7. autrement dit : ∀x ∈ E, ∀n ∈ N, 0 ≤ fn(x) ≤ fn+1(x) – rien à voir avec des fonctions croissantes, ce qui

n’aurait d’ailleurs pas de sens ici...8. autrement dit (rappel...) : supx∈E |fn(x)− f(x)| → 0 lorsque n→∞


Si f est de signe quelconque mais bornée, f+ et f− sont bornées, donc on peutchoisir les suites (un) et (vn) pour que les convergences vers f+ et f− soient toutes deuxuniformes. Alors la suite (un − vn) converge uniformément vers f . 2

Définition 4.15 Une fonction f : [a, b] −→ R est dite en escalier s’il existe une subdi-vision finie a = a0 < a1 < · · · < an = b de l’intervalle [a, b] telle que f soit constante surchaque intervalle ]ai, ai+1[.

Remarque 4.16 Les valeurs prises exactement en chaque point a0, a1, . . . , an sont sansimportance.

Remarque 4.17 Une fonction en escalier a toujours pour espace de départ un inter-valle compact de R, ce qui en fait un objet beaucoup moins général qu’une fonction étagée.D’ailleurs, une fonction en escalier est toujours un cas particulier de fonction étagée, ausens où elle est un élément de E (Bor([a, b])), car elle ne prend qu’un nombre fini devaleurs et elle est mesurable, en effet : les parties de [a, b] sur lesquelles f est constantesont des intervalles (les singletons sont bien sûr des intervalles) ou des réunions d’inter-valles, donc des boréliens, donc l’image réciproque de toute partie de R est toujours unborélien de [a, b].

Le contre-exemple classique de la réciproque est 1Q, qui est étagée mais n’est en es-calier sur aucun intervalle de R (non réduit à un point).

Remarque 4.18 L’intégrale de Riemann est définie par approximation à partir de l’in-tégrale des fonctions en escalier, tandis que celle que nous étudions dans ce cours (par-fois dite de Lebesgue) est construite à partir des fonctions étagées. Dans le premier cas,on approche l’intégrale d’une fonction quelconque par celle d’une fonction en escalier,c’est-à-dire en découpant l’espace de départ (un intervalle) en petits morceaux (les sub-divisions), tandis que dans le second cas, c’est l’espace d’arrivée (qui est toujours R ouR) qui est découpé. Cette différence est fondamentale car la première approche ne peutse généraliser facilement à des fonctions ayant un autre espace de départ que R. Maissurtout les espaces de fonctions mesurables (celles qui admettront une intégrale au sensde Lebesgue) sont beaucoup plus grands que celui des fonctions Riemann-intégrables etils sont stables sous l’action de multiples opérations comme le passage à la limite. Enfin,nous allons définir dans ce cours l’intégrale par rapport à une mesure quelconque, et passeulement l’intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue (celle qui a ceci de communavec l’intégrale de Riemann qu’elle donne un sens mathématique à la notion physique devolume).

Définition 4.19 Une fonction f : [a, b] −→ R est dite réglée si elle est limite uniformede fonctions en escalier.

Remarque 4.20 Toute fonction réglée est mesurable (on dira ici borélienne car les tribusde départ et d’arrivée sont des tribus de Borel) car limite de fonctions mesurables (etmême étagées) que sont les fonctions en escalier.

Théorème 4.21 (admis) Une fonction f est réglée ssi elle admet une limite à gaucheen tout point de ]a, b] et une limite à droite en tout point de [a, b[.


Corollaire 4.22 Toute fonction f : R −→ R monotone est réglée.

Remarque 4.23 Toute fonction monotone est borélienne, car réglée. Mais cela peut sevoir directement : toute fonction monotone est borélienne car pour tout a ∈ R, f ≥ aest une demie-droite, en effet : si m(a) := infx : f(x) ≥ a, alors dans le cas où f estcroissante par exemple, f ≥ a coïncide soit avec [m(a),+∞[, soit avec ]m(a),+∞[.

Chapitre 5

Le cas borélien

5.1 (Rappels de) Topologie

Définition 5.1 Une famille O(E) de parties d’un ensemble E est appelée topologie, etses éléments des ouverts, si

i) elle contient ∅ et E : ∅ ∈ O(E) et E ∈ O(E) ;ii) elle est stable par intersections finies : ∀U, V ∈ O(E), U ∩ V ∈ O(E) ;iii) elle est stable par réunion quelconque 1 : pour tout I ensemble d’indices et pour

toute famille d’ouverts (Oi, i ∈ I), ∪i∈IOi est un ouvert.Les complémentaires des ouverts sont appelés des fermés.

Remarque 5.2 Les ouverts ∅ et E sont aussi des fermés ; les fermés sont stables parréunions finies et par intersections quelconques.

Définition 5.3 On appelle voisinage de x ∈ E toute partie V de E telle qu’il existe unouvert O pour lequel x ∈ O ⊆ V. Tout ouvert est donc voisinage de chacun de ses points.

Définition 5.4 Dans un espace métrique (E, d), la topologie dite relative à la distanced est constituée des réunions quelconques de parties du type

B(x, r) := y ∈ E : d(x, y) < r

appelée boule ouverte de centre x et de rayon r.

Remarque 5.5 Une partie O de l’espace métrique (E, d) est ouverte ssi ∀x ∈ O, ∃r >0, B(x, r) ⊆ O (un ouvert O d’un espace métrique est la réunion des boules ouvertescontenues dans O).

Une partie A de l’espace métrique (E, d) est fermée ssi pour toute suite (xn) à valeursdans A et convergeant vers une limite x, x ∈ A.

Remarque 5.6 La topologie de R relative à la distance usuelle est donc constituée desréunions quelconques d’intervalles ouverts.

1. au sens où l’on ne fait pas d’hypothèse sur le cardinal de I

26

CHAPITRE 5. LE CAS BORÉLIEN 27

Définition 5.7 (et proposition) Le plus grand ouvert contenu dans A ⊆ E, c’est-à-dire la réunion de tous les ouverts contenus dans A, est noté A et appelé intérieur de A,ou ensemble des points intérieurs à A. En particulier, A est ouvert ssi A = A.

Dans le cas métrique, un point x ∈ E est intérieur à A ssi ∃ε > 0 tel que B(x, ε) ⊆ A.

Définition 5.8 (et proposition) Le plus petit fermé contenant A ⊆ E, c’est-à-direl’intersection de tous les fermés contenant A, est noté A et appelé adhérence de A, ouensemble des points adhérents à A. En particulier, A est fermé ssi A = A.

Dans le cas métrique, un point x ∈ E est adhérent à A ssi il existe une suite (xn) àvaleurs dans A telle que limn xn = x.

Remarque 5.9 Pour tout A ⊆ E, l’intérieur de cA est le complémentaire de A et l’adhé-rence de cA est le complémentaire de A.

Définition 5.10 La frontière de A est le fermé ∂A := A \ A.

Définition 5.11 Soient E et F deux espaces topologiques. Une fonction f : E −→ Fest dite continue si l’image réciproque par f de tout ouvert est un ouvert (ce qui estéquivalent à dire que l’image réciproque par f de tout fermé est un fermé).

Proposition 5.12 Soient E et F deux espaces métriques. Une fonction f : E −→ Fest dite continue ssi pour toute suite (xn) de E convergeant vers x, la suite (f(xn)) estaussi convergente et limn f(xn) = f(x).

Définition 5.13 Soit X ⊆ E. La topologie trace 2 de O(E) sur X est constituée desintersections des ouverts de E avec X. Dans le cas métrique, la topologie trace est latopologie relative à la restriction de la distance à X ×X.

Définition 5.14 La topologie produit de E×F est constituée des réunions quelconquesde rectangles à côtés ouverts :

O(E × F ) := ∪i∈IUi × Vi, Ui ∈ O(E), Vi ∈ O(F ), I ensemble d’indices quelconque.

Proposition 5.15 La topologie produit est aussi la plus petite topologie qui rendent lesprojections canoniques πE et πF continues :

πE : E × F −→ E

(x, y) 7−→ x

et

πF : E × F −→ F

(x, y) 7−→ y

2. dite aussi topologie induite


Dans le cas métrique, la topologie produit est la topologie relative à toute distance clas-sique du type

d((x, y), (x′, y′)) := dE(x, x′) + dF (y, y′)

OU√dE(x, x′)2 + dF (y, y′)2

OU dE(x, x′) ∨ dF (y, y′).

Définition 5.16 On dit qu’une famille dénombrable d’ouverts (ωn)n∈N de E est une basedénombrable d’ouverts si tout ouvert de E s’écrit comme réunion d’éléments de cettefamille, autrement dit : ∀O ∈ O(E), ∃I ⊆ N : O = ∪i∈Iωi ; ou de manière équivalente :∀O ∈ O(E), ∀x ∈ O, ∃n ∈ N : x ∈ ωn ⊆ O.

Proposition 5.17 Un espace métrique (E, d) est à base dénombrable d’ouverts ssi ilcontient une suite dense 3. On dit alors que E est séparable.

Dém. Sens ⇒ : soit (xn) une suite de E telle que pour tout n, xn ∈ ωn. Alors lasuite (xn) est dense, en effet : pour tout x ∈ E, l’ouvert B(x, 1/n) s’écrit commeréunion d’ouverts du type ωi, donc ∃i(n) tel que ωi(n) ⊆ B(x, 1/n). Soit yn := xi(n),alors d(yn, x) ≤ 1/n, donc yn → x.

Sens ⇐ : si (xn) est une suite dense, alors la famille B(xn, r), n ∈ N, r ∈ Q?+ est

une base dénombrable d’ouverts car elle s’injecte dans N × Q (qui est dénombrable) etpour tout O ∈ O(E),

O =⋃

n,r:B(xn,r)⊆O

B(xn, r),


Remarque 5.18 Rd est séparable car Qd est une suite dense. Les pavés ouverts (produitsd’intervalles ouverts) à extrémités rationnelles forment une base dénombrable d’ouvertsde Rd.

Définition 5.19 (Borel-Lebesgue) Une partie A d’un espace topologique E est ditecompacte si de tout recouvrement ouvert de A on peut extraire un sous-recouvrementfini, autrement dit pour toute famille (Ωi)i∈I d’ouverts de E telle que A ⊆ ∪i∈IΩi, ∃Jfini ⊆ I tel que A ⊆ ∪j∈JΩj.

Théorème 5.20 (Bolzano-Weierstrass) Une partie A d’un espace métrique E estcompacte ssi toute suite à valeurs dans A admet au moins une valeur d’adhérence dansA 4.

Corollaire 5.21 Tout compact est fermé. De plus, toute partie compacte d’un espacevectoriel normé 5 est bornée.

3. autrement dit : il existe un ensemble dénombrable (une suite, quoi) A tel que A = E (A est alors dit densedans E)

4. autrement dit : admet au moins une sous-suite convergente de limite ∈ A5. un espace vectoriel normé est un espace métrique, donc topologique


Théorème 5.22 Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, un fermé est com-pact ssi il est borné.

Proposition 5.23 Un fermé contenu dans un compact est compact. L’image d’un com-pact par une fonction continue est compacte.

Remarque 5.24 On rappelle que la topologie de R est la topologie relative à la distanced définie par d(x, y) = |f(x) − f(y)| pour tous x, y ∈ R, où f(x) = x/

√x2 + 1 et

f(±∞) = ±1. En particulier, R est compact et [x,+∞] est un compact de R.

5.2 Tribu borélienne et fonctions boréliennes

Définition 5.25 Si E est un espace topologique, on note Bor(E) ou B(E) et on appelletribu de Borel ou tribu borélienne, la tribu engendrée par les ouverts de E, autrementdit, B(E) := σ(O(E)). Les éléments de B(E) sont appelés parties boréliennes de E, ouplus simplement boréliens de E.

Remarque 5.26 La tribu de Borel est aussi la tribu engendrée par la classe C des fermésde E, en effet : C ⊆ B(E) (donc σ(C ) ⊆ B(E)) car tout fermé est le complémentaired’un ouvert, qui appartient à B(E), donc appartient aussi à B(E) ; O(E) ⊆ σ(C ) (doncσ(O(E)) ⊆ σ(C )) car tout ouvert est le complémentaire d’un fermé, qui appartient àσ(C ), donc appartient aussi à σ(C ) (même raisonnement).

Remarque 5.27 Il existe des parties de R non boréliennes (voir dernière section de cechapitre). En revanche, si E est dénombrable, muni de la topologie discrète : toute partieest ouverte (et fermée), donc borélienne : B(E) = P(E).

Proposition 5.28 Si E admet une base dénombrable d’ouverts (ωn)n∈N, alors Bor(E) =σ(ωn;n ∈ N).

Dém. Par double inclusion : ωn;n ∈ N ⊆ O(E) ⊆ B(E), donc σ(ωn;n ∈ N) ⊆B(E). Dans l’autre sens, on sait que tout ouvert O s’écrit comme réunion d’éléments deωn;n ∈ N. Comme une telle réunion est forcément dénombrable, O est un élément deσ(ωn;n ∈ N). On a donc O(E) ⊆ σ(ωn;n ∈ N), ce qui implique B(E) ⊆ σ(ωn;n ∈N). 2

Corollaire 5.29 La tribu Bor(Rd) est la tribu engendrée par la classe des pavés ou-verts 6, mais est aussi la tribu engendrée par les pavés ouverts à extrémités à coordonnéesdans Q ou dans toute autre partie dense de R.

Proposition 5.30 La tribu trace de Bor(E) sur une partie X de E est la tribu engen-drée par la topologie trace de X.

6. pavé = produit d’intervalles ; pavé ouvert = produit d’intervalles ouverts


Dém. Soit i : X → E l’injection canonique. La tribu trace est i−1(B(E)) = i−1(σ(O(E)) =σ(i−1(O(E)), par le lemme de transport. Mais i−1(O(E) n’est autre que la topologietrace, c’est-à-dire A ∩X,A ∈ O(E). 2

Définition 5.31 (terminologie) Si E1 et E2 sont des espaces topologiques, en notantAi := Bor(Ei), les éléments de F (A1,A2) sont appelés fonctions boréliennes.

Proposition 5.32 Soit f : (E,A ) → (F,B). Si F est topologique et B = Bor(F ),alors f est mesurable ssi pour tout ouvert O de F , f−1(O) ∈ A .

Dém. Lemme de transport : f−1(σ(O(F ))) = σ(f−1(O(F ))), or f est mesurable ssif−1(B(F )) ⊆ A , donc ssi σ(f−1(O(F ))) ⊆ A , c’est-à-dire ssi f−1(O(F )) ⊆ A . 2

Corollaire 5.33 Si E et F sont topologiques, alors toute fonction continue est boré-lienne.

Proposition 5.34 Soit

f : (E,A ) −→ (R2,B(R2))

x 7−→ (f1(x), f2(x))

Alors f est mesurable ssi fi ∈ F (A ,B(R)) pour tout i = 1, 2.

Remarque 5.35 Si C est identifié à R2, une fonction complexe f est mesurable ssi <(f)et =(f) le sont.

Dém. Sens ⇒ : pour tout i = 1, 2, la projection canonique πi : R2 → R est continuepar définition de la topologie produit, donc borélienne, ainsi comme f est mesurable,fi = πi f est mesurable.

Sens ⇐ : on sait que Bor(R2) est engendrée (par exemple) par les pavés ouverts.Donc par le lemme de transport, f est mesurable ssi pour tous intervalles ouverts U etV , f−1(U × V ) ∈ A . Or f−1(U × V ) = f1 ∈ U ∩ f2 ∈ V . Mais par hypothèsef1 ∈ U ∈ A et f2 ∈ V ∈ A , donc leur intersection est aussi dans A . 2

Applications. Pour toutes fonctions f, g ∈ F (A ,B(R)) et pour tout λ ∈ R, λf+g estmesurable (autrement dit, F (A ,B(R)) est un espace vectoriel), ainsi que les fonctionssuivantes : fg, f ∧g, f ∨g, f+, f−, |f |, |f |p,... Il suffit pour le voir d’utiliser la continuitédes applications qui à (x, y) associent λx + y, xy, x ∧ y, etc. ainsi que le fait que lacomposée de deux applications mesurables est mesurable.

5.3 L’ensemble triadique de Cantor

L’ensemble triadique de Cantor est un sous-ensemble de l’intervalle [0, 1]. C’est unexemple de partie de R qui ne contient aucun point isolé mais ne contient pas non plusd’intervalle ouvert. Il est défini comme la limite d’une suite décroissante de réunions


finies d’intervalles fermés, ce qui en fait un fermé (comme intersection de fermés). Plusprécisément, soit A0 l’intervalle [0, 1], A1 la réunion de l’intervalle [0, 1/3] et de l’intervalle[2/3, 1], et plus généralementAn+1 la partie deAn obtenue en divisant chaque composanteconnexe de An en trois sous-intervalles de tailles égales et en lui en ôtant le sous-intervallecentral. Plus rigoureusement, An+1 := 1

3An ∪ 1

3(2 + An).

Définition 5.36 Le fermé K := limn ↓ An est appelé ensemble triadique de Cantor.

Dans la proposition suivante, on appelle (provisoirement sans précautions mathéma-tiques) « mesure de Lebesgue » d’une partie de R, sa longueur totale. L’objet ultérieurde ce cours sera en partie de donner une définition rigoureuse de ce concept...

Proposition 5.37 L’ensemble triadique de Cantor peut s’écrire sous la forme

K =

∑n≥1

xn3n, xn ∈ 0, 2

.

Il est compact, d’intérieur vide, équipotent à R, de mesure de Lebesgue nulle.

Remarque 5.38 Tout ensemble dénombrable est de mesure de Lebesgue nulle, commeréunion dénombrable d’ensembles de mesure nulle (les singletons le constituant). On voitici que la réciproque est fausse : K est un exemple d’ensemble de mesure de Lebesguenulle mais non dénombrable.

Dém. K est fermé borné dans R donc compact. Par une récurrence immédiate, on voit @que les composantes connexes de An qui sont des intervalles fermés de longueur 3−n dontles extrémités sont les nombres réels de la forme

∑nk=1

x(n)k

3n+ εn

3n, où x

(n)k ∈ 0, 2 et

εn ∈ 0, 1 : pour chaque intervalle, εn = 0 correspond à l’extrémité gauche, et εn = 1correspond à l’extrémité droite. Montrons l’égalité annoncée par double inclusion :⊇ : pour toute suite (xk) à valeurs dans 0, 2, pour tout entier n,

∑nk=1

xk3n∈ An ⊆ K,

donc comme K est fermé, la limite∑∞

k=1xk3n∈ K.

⊆ : soit x ∈ K et soit x(n) l’extrémité gauche de la composante connexe de An quicontient x. En particulier |x(n) − x| ≤ 3−n. Cherchons une relation entre x(n) et x(n+1).Lorsqu’on passe de An à An+1, soit x est dans le sous-intervalle de gauche, auquel casx(n+1) = x(n), soit x est dans le sous-intervalle de droite, auquel cas x(n+1) = x(n) + 2

3n+1 .On peut donc écrire x(n+1) = x(n) + xn+1

3n+1 , où xn+1 ∈ 0, 2, et comme x(0) = 0, cela donnex(n) =

∑nk=1

xk3k, qui converge en croissant vers y :=

∑∞k=1

xk3k. Or |x(n) − x| ≤ 3−n donc

la suite (x(n)) converge vers x, ce qui implique y = x.Montrons que K = ∅. Soit x ∈ K et ε > 0. La boule B(x, ε) intersecte cAn pour tout

n dès que 3−n < ε. Donc B(x, ε) intersecte ∪ncAn, qui n’est autre que le complémentairede ∩nAn = K. Ainsi, K ne contient aucune boule ouverte centrée sur x, c’est-à-dire quex n’est pas intérieur à K.


Montrons que K a la puissance du continu. L’application

f : 0, 2N? −→ K

(xn) 7−→∑n≥1

xn3n

est une injection donc Card(K) ≥ Card(0, 2N?) = Card(R). D’autre part Card(R) ≤ @Card(K) puisque K ⊆ R.

Enfin K est de mesure de Lebesgue nulle car K = limn ↓ An donc 7 λ(K) = limn ↓λ(An) = limn ↓

(23

)n= 0. 2

5.4 Une partie de R non borélienne

Les tribus sont des familles de parties qui sont destinées à être mesurées. Pour pouvoirmesurer des parties suffisamment compliquées comme celles qui ne peuvent être définiesque par des passages à la limite (comme l’ensemble triadique de Cantor), les tribusdoivent être assez fines pour être stables par des opérations relativement générales commele passage au complémentaire, les réunions et intersections dénombrables. Néanmoins,elles ne doivent pas être si fines qu’elles contiennent des parties non mesurables, commel’exemple qui va suivre.

On définit la relation d’équivalence ∼ sur R :

x ∼ y ⇔ x− y ∈ Q.

En se servant de l’axiome du choix, on peut supposer l’existence d’une partie A de ]0, 1[qui contient exactement un représentant et un seul de chaque classe d’équivalence de larelation ∼. En particulier, A n’est pas dénombrable, mais surtout nous allons montrerque A ne peut admettre de mesure de Lebesgue. Cette assertion implique (mais est plusforte que) l’assertion suivante : A n’est pas borélienne. En effet, nous verrons (plus tard)que tout borélien admet une mesure de Lebesgue.

Montrons par l’absurde que A ne peut admettre de mesure de Lebesgue : soit λ(A) ∈[0,+∞] la mesure de A (nous verrons que λ est la notation usuelle de la mesure deLebesgue). Soit

L :=⋃

r∈Q∩]−1,1[

(r + A),

où r + A = r + x, x ∈ A. Comme A admet une mesure, alors chaque partie r + A enadmet une aussi, qui vaut d’ailleurs λ(A) par invariance par translation de la mesure deLebesgue. Comme L est réunion dénombrable de parties admettant une mesure, ce doitêtre également son cas.

Montrons que ]0, 1[⊆ L. Pour tout x ∈]0, 1[, désignons par a = a(x) le représentant desa classe d’équivalence contenu dans A. Alors en particulier, x−a ∈ Q, et x−a ∈]−1, 1[,

7. Propriété de continuité de la mesure pour les suites décroissantes dont un élément est de mesure finie, ceque nous verrons bientôt...


donc r := x− a ∈ Q∩]− 1, 1[, et comme x ∈ r+A, x ∈ L. On a aussi L ⊆]− 1, 2[, doncon en déduit

1 ≤ λ(L) ≤ 3.

Montrons que les parties r + A (r ∈ Q) sont deux à deux disjointes. Soient r, s ∈ Q.Si (r + A) ∩ (s + A) 6= ∅, alors il existe a, b ∈ A tels que z = r + a = s + b, doncb − a = r − s ∈ Q. Par conséquent a ∼ b, mais comme a, b ∈ A qui ne contient qu’unreprésentant de chaque classe d’équivalence, a = b, donc r = s.

Par σ-additivité, nous en déduisons

λ(L) = λ(∪r(r + A)) =∑r

λ(r + A) =∑r

λ(A).

Cette somme ne peut être qu’infinie (si λ(A) 6= 0) ou nulle (si λ(A) = 0), ce qui contreditl’inégalité 1 ≤ λ(L) ≤ 3. 2

Chapitre 6

Mesures

6.1 Définitions et propriétés

Définition 6.1 Une mesure 1 sur l’espace mesurable (E,A ) est une application µ : A →[0,+∞] qui :

(i) associe la valeur 0 à l’ensemble vide : µ(∅) = 0 ;(ii) est σ-additive : pour toute suite (An) d’éléments de A deux à deux disjoints,

µ(∪nAn) =∑n

µ(An).

On dit que (E,A , µ) est un espace mesuré, et pour tout A ∈ A , on appelle µ(A) lamesure de A.

Remarque 6.2 On a besoin de la σ-additivité pour pouvoir calculer la mesure de partiescompliquées construites comme limites d’ensembles plus simples que l’on sait mesurer.

Remarque 6.3 Dans l’égalité µ(∪nAn) =∑

n µ(An), on remarque que l’ordre de som-mation (membre de droite) n’intervient pas car la série est à termes positifs, ce qui estcohérent avec le membre de gauche.

On remarquera également que la σ-additivité implique l’additivité finie grâce à (i) :si l’on définit Ai = ∅ pour tout i ≥ n+ 1, alors µ(∪ni=1Ai) = µ(∪∞i=1Ai) =

∑i≥1 µ(Ai) =∑n

i=1 µ(Ai).

Proposition 6.4 Une mesure µ sur un (E,A ) vérifie pour tous A,B ∈ A :(i) Additivité finie : µ(A) = µ(A \B) + µ(A ∩B) ;(ii) Additivité forte : µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B) ;(iii) Sous-additivité : µ(A ∪B) ≤ µ(A) + µ(B) ;(iv) Croissance : si A ⊆ B, µ(A) ≤ µ(B).

Remarque 6.5 En (ii), prendre garde de ne pas écrire µ(A∪B) = µ(A)+µ(B)−µ(A∩B), qui pourrait être une forme indéterminée, si µ(A ∩B) = +∞.

1. Il est sous-entendu que nous ne considérons dans ce cours que des mesures positives

34

CHAPITRE 6. MESURES 35

Dém. (i) A \B et A ∩B sont disjoints et leur réunion est A.(ii) A \B, A ∩B et B \ A sont disjoints et leur réunion est A ∪B, donc

µ(A \B) + µ(A ∩B) + µ(B \ A) = µ(A ∪B),

donc en ajoutant µ(A ∩B) à chaque membre on obtient

µ(A \B) + µ(A ∩B) + µ(B \ A) + µ(A ∩B) = µ(A ∪B) + µ(A ∩B),

mais dans le premier membre, grâce à (i), la somme des deux premiers termes vaut µ(A)et la somme des deux derniers termes vaut µ(B).

(iii) Si µ(A) + µ(B) = +∞, l’assertion est évidente, tandis que dans le cas contraire,grâce à (ii), µ(A∪B)+µ(A∩B) <∞, donc en particulier µ(A∩B) <∞. Par conséquenton peut retrancher µ(A ∩B) à l’égalité (ii), ce qui donne

µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)− µ(A ∩B) ≤ µ(A) + µ(B).

(iv) D’après (ii) si A ⊆ B, alors

µ(B) = µ(B \ A) + µ(B ∩ A) = µ(B \ A) + µ(A) ≥ µ(A),

qui est l’inégalité souhaitée. 2

Proposition 6.6 Une application µ : A → [0,+∞] est une mesure ssi :(i) µ(∅) = 0 ;(ii) µ est finiment additive : pour tous éléments Ai (i ∈ I) deux à deux disjoints dela tribu A , si I est fini, alors µ(∪i∈IAi) =

∑i∈I µ(Ai).

(iii) µ est continue à gauche 2 : pour toute suite croissante (An)n∈N d’éléments deA ,

µ(limn↑ An) = lim

n↑ µ(An).

Remarque 6.7 On se rappellera qu’ici, la suite (An)n∈N étant croissante, limn ↑ Ann’est autre que ∪nAn.

Dém. Montrons d’abord le sens ⇒ et supposons donc que µ est une mesure. On adéjà vu que (i) et (ii) sont vraies. Montrons la continuité à gauche. Soit (An) une suitecroissante de parties mesurables et soient B0 := A0, et pour tout entier naturel non nuln, Bn := An \ An−1. Alors les (Bn) sont des éléments de A deux à deux disjoints, donc

µ(∪nBn) =∑n

µ(Bn).

Mais d’une part, ∪nBn = ∪nAn = limn ↑ An et d’autre part,∑n

µ(Bn) = limn

n∑k=0

µ(Bk) = limnµ(∪nk=0Bk) = lim

nµ(An).

2. il s’agit d’une expression figurée qui signifie ‘continue pour les suites croissantes’ et est utilisée par analogieavec les fonctions : R→ R pour qui ces deux expressions sont synonymes


Montrons maintenant ⇐. Soit donc µ vérifiant les trois propriétés de la proposition.Il nous suffit de montrer que µ est bien σ-additive. Soient (An) mesurables et deux àdeux disjointes. Soit Bn := ∪nk=0Ak, alors (Bn) est une suite croissante donc µ(∪nBn) =limn µ(Bn). Mais d’une part µ(∪nBn) = µ(∪n ∪nk=0 Ak) = µ(∪nAn), et d’autre part,comme µ est finiment additive, µ(Bn) = µ(∪nk=0Ak) =

∑nk=0 µ(Ak). Ainsi

µ(∪nAn) = µ(∪nBn) = limnµ(Bn) = lim

n

n∑k=0

µ(Ak) =∑n

µ(An),

ce qui montre la σ-additivité de µ. 2

Corollaire 6.8 Toute mesure µ est sous σ-additive, au sens où pour toute suite (An)d’éléments de A , µ(∪nAn) ≤

∑n µ(An).

Dém. Soit Bn := ∪nk=0Ak. Par sous-additivité, µ(Bn) ≤∑n

k=0 µ(Ak). Mais comme lasuite (Bn) croît et converge vers ∪nAn, en passant à la limite dans l’inégalité précédente,on obtient

µ(∪nAn) = µ(∪nBn) = limnµ(Bn) ≤ lim

n

n∑k=0

µ(Ak) =∑n

µ(An),

où la deuxième égalité est due à la continuité à gauche des mesures. 2

Exemple 6.9 Quelques exemples de mesures :– la mesure nulle est définie sur P(E) (et donc sur toute autre tribu) par µ(A) := 0pour tout A ⊆ E ;

– la mesure grossière sur P(E) : µ(A) := +∞ dès que A 6= ∅ (et µ(∅) = 0) ;– pour tout a ∈ E, la mesure de Dirac au point a est définie pour tout A ∈ P(E)par

µ(A) :=

1 si a ∈ A0 sinon.

Cette mesure est souvent notée δa ;– la mesure de comptage sur P(E) :

µ(A) :=

Card(A) si A est fini

+∞ sinon,

où Card(A) désigne ici le nombre d’éléments de l’ensemble A.– soit un espace mesuré (E,A , µ) et X une partie de E. SI X ∈ A , alors on peutdéfinir la mesure trace µX de µ sur X par µX(A) := µ(A ∩X) pour tout A ∈ A .

Exercice 6.10 Démontrer que la mesure de comptage est bien une mesure en prouvantqu’elle vérifie les trois propriétés de la Proposition 6.6 : elle prend la valeur 0 en ∅, elleest finiment additive et elle est continue à gauche.


6.2 Mesure de Lebesgue

La mesure de Lebesgue est une mesure définie sur la tribu de Borel de Rd. Elle donneun sens mathématique à la notion physique de volume (de surface si d = 2, de longueursi d = 1). Rappelons que cette mesure n’est pas définie sur tout P(Rd), ce que nousavons démontré au chapitre précédent dans le cas d = 1 à l’aide de l’axiome du choix.

Théorème 6.11 Il existe une unique mesure sur les boréliens de Rd telle que la mesurede tout pavé

∏di=1]ai, bi[ soit égale au produit

∏di=1(bi − ai). Cette mesure est appelée

mesure de Lebesgue et est ordinairement notée λd, voire λ s’il n’y a pas d’ambiguïté surla dimension.

Remarque 6.12 Montrer qu’il existe une unique mesure qui vérifie certaines propriétésse dit « construire une mesure ». Le théorème dont on se sert pour montrer l’unicité s’ap-pelle théorème de la classe monotone, et celui dont on se sert pour l’existence s’appellethéorème de Caratheodory. Nous énoncerons ces théorèmes au second semestre (Inté-gration II) et démontrerons même le premier. Pour le moment le théorème qui précèdereste admis.

Exercice 6.13 Montrer que si A est un borélien de Rd alors tous les translatés de Asont des boréliens (se servir du fait qu’une translation est une application bijective etcontinue).

Proposition 6.14 Soit µ une mesure sur Bor(Rd) qui vérifie les deux propriétés sui-vantes :

(i) invariance par translation : pour tout borélien A et toute translation f , µ(f(A)) =µ(A) ;

(ii) le pavé unité est de mesure 1 : µ([0, 1]d

)= 1.

Alors µ est la mesure de Lebesgue.

Dém. Nous ne détaillons ici que le cas d = 1. Le cas général est laissé au lecteur. @a) Nous montrons d’abord par l’absurde que µ est nulle sur les singletons. S’il existe

x ∈ R tel que µ(x) = ε > 0, alors par invariance par translation, µ(y) = ε pourtout y ∈ R. Par conséquent, µ(Q ∩ [0, 1]) =

∑y∈Q∩[0,1] ε = +∞, ce qui constitue une

contradiction puisque µ(Q ∩ [0, 1]) ≤ µ([0, 1]) = 1.b) D’après ce qui précède, pour tout entier naturel n ≥ 1,

1 = µ([0, 1]) =n∑k=1

µ

(]k − 1

n,k

n

[)=

n∑k=1

µ

(]0,

1

n

[)= nµ

(]0,

1

n

[),

d’où µ(]0, 1/n[) = 1/n. De plus, pour tous entiers k1 ≤ k2,

µ

(]k1

n,k2

n

[)=

k2∑j=k1+1

µ

(]j − 1

n,j

n

[)=

k2∑j=k1+1

µ

(]0,

1

n

[)=k2 − k1

n.


c) Soient r < r′ deux rationnels, que l’on peut écrire sous la forme r = p/q etr′ = p′/q′, où p, p′, q, q′ sont des entiers. Alors d’après ce qui précède,

µ (]r, r′[) = µ

(]p

q,p′

q′

[)= µ

(]pq′

qq′,p′q

qq′

[)=p′q − pq′

qq′= r′ − r.

d) Passons maintenant à la limite sur les rationnels. Soient a < b deux nombres réels.Alors il existe une suite décroissante (an) et une suite croissante (bn), toutes deux consti-tuées de nombres rationnels, dont les limites sont resp. a et b. Alors la suite d’intervalles(]an, bn[) est une suite croissante qui converge vers ]a, b[, donc par continuité à gauchedes mesures,

µ(]a, b[) = µ(limn↑]an, bn[) = lim

n↑ µ(]an, bn[) = lim

n↑ (bn − an) = b− a,

ce qui montre que la mesure de tout intervalle est sa longueur, et garantit ainsi que µest la mesure de Lebesgue sur R. 2

6.3 Autres définitions et autres propriétés

Définition 6.15 Une mesure µ sur un espace mesurable (E,A ) :– est dite finie, ou bornée, si µ(E) < ∞ (ce qui équivaut à : µ(A) < ∞ pour toutA ∈ A ). Le nombre réel µ(E) est alors appelé masse totale de µ ;

– est appelée (mesure de) probabilité si sa masse totale vaut 1 ;– est dite σ-finie s’il existe une suite (En) de parties mesurables de E telles queµ(En) <∞ et ∪nEn = E ;

– est appelée mesure de Borel 3 si E est topologique, localement compact 4 et sépa-rable 5, que A est la tribu borélienne de E et que µ est finie sur les compacts :µ(K) <∞ pour tout compact K de E 6.

Remarque 6.16 Si µ est une mesure de Borel alors elle est σ-finie car E étant loca-lement compact et séparable, il peut s’écrire comme réunion dénombrable de compacts(on dit qu’il est σ-compact) : E = ∪n∈NEn où tous les En sont compacts donc vérifientµ(En) <∞.

En revanche la réciproque est fausse. Soit µ la mesure sur R définie par µ =∑

n αnδxn(voir Corollaire 6.21) où

∑n αn =∞ et (xn) est une suite de réels deux à deux distincts

et de limite x finie. Alors µ est une mesure σ-finie (prendre En = R \ xk; k ≥ n) maiselle n’est pas de Borel car tout voisinage compact de x est de mesure infinie.

Proposition 6.17 (Continuité pour les suites décroissantes de mesure finie) Si(An) est une suite décroissante de A telle que µ(An) < ∞ à partir d’un certain rang,

3. ou parfois mesure de Radon. En fait, le terme « mesure de Radon » fait référence à une forme linéairepositive sur un espace de fonction continues à support compact. Le théorème de représentation de Riesz assureque toute mesure de Radon est en fait une intégrale par rapport à une mesure de Borel

4. autrement dit : pour tout point x ∈ E, il existe un ouvert contenant x et inclus dans un compact de E5. rappel : admettant une suite dense6. rappel : un compact est fermé donc borélien


alorslimn↓ µ(An) = µ(lim

n↓ An),

qui n’est autre que µ(∩nAn).

Remarque 6.18 Un corollaire immédiat de la proposition précédente est que les mesuresfinies sont continues à droite. La mesure de Lebesgue est un exemple de mesure noncontinue à droite : si An := [n,+∞[, alors (An) est une suite décroissante de limite ∅,mais comme (λ(An)) est identiquement égale à +∞, elle converge vers +∞, et non pasvers λ(∅) = 0.

Dém. Par hypothèse, il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0, µ(An) < ∞. Soit alorsBn := An0 \ An. La suite (Bn) est croissante et converge vers An0 \ ∩nAn, donc

µ(An0)−µ(∩nAn) = µ(limn↑ Bn) = lim

n↑ µ(Bn) = lim

n↑ (µ(An0)−µ(An)) = µ(An0)−lim

n↓ µ(An),

ce qui donne bien µ(∩nAn) = limn ↓ µ(An). 2

Proposition 6.19 Pour toute suite (An) d’éléments de la tribu A , si µ est une mesurefinie (ou s’il existe B de mesure finie tel que An ⊆ B à partir d’un certain rang), alors

µ(

lim infn

An

)≤ lim inf

nµ(An) ≤ lim sup

nµ(An) ≤ µ

(lim sup

nAn

).

La première inégalité reste valable sans les hypothèses qui précèdent.

Dém. SoitBn := ∩k≥nAk. Alors (Bn) est une suite croissante qui converge vers lim infnAn,donc µ(lim infnAn) = limn ↑ µ(Bn). Or Bn ⊆ An donc µ(Bn) ≤ µ(An) et par conséquentlimn µ(Bn) = lim infn µ(Bn) ≤ lim infn µ(An), ce qui assure la première inégalité.

Concernant les limites supérieures, supposons que µ est finie (mais sous l’hypothèseplus faible de l’énoncé, la démonstration est la même). Alors @

µ

(lim sup

nAn

)= µ(E)− µ

(lim inf

n

cAn

)≥ µ(E)− lim inf

nµ(cAn)

= µ(E)− lim infn

(µ(E)− µ(An)) = lim supn

µ(An),

où l’inégalité est due à la conclusion précédente. 2

Terminons ce chapitre par la

Proposition 6.20 a) Si (µn) est une suite croissante de mesures, au sens où pour toutA ∈ A , µn(A) ≤ µn+1(A), alors l’égalité µ(A) := limn ↑ µn(A) ∈ [0,+∞] définit unemesure µ sur A .

b) Tout combinaison linéaire dénombrable, à coefficients positifs, de mesures, est unemesure.


Dém. Pour b), il suffit de montrer qu’une combinaison linéaire finie, à coefficientspositifs, de mesures, soit

∑nk=0 αkµk, est toujours une mesure, car alors a) impliquera b).

En effet, une combinaison linéaire à coefficients positifs dénombrable est simplement lalimite croissante d’une suite de sommes partielles. La démonstration se fait (par exemple)sur le même modèle que celle qui suit. @

Démontrons a) grâce à la Proposition 6.6.(i) comme µn(∅) = 0, µ(∅) = limn µn(∅) = 0.(ii) pour tout ensemble d’indices fini I, pour toutes parties mesurables (Ai)i∈I deux

à deux disjointes, l’additivité finie de chaque µn s’écrit

µn (∪i∈IAi) =∑i∈I

µn(Ai).

L’additivité finie de µ s’obtient en faisant tendre n → ∞ dans chaque membre (car lemembre de droite est une somme finie).

(iii) soit maintenant une suite croissante (Ak) d’éléments de la tribu A . La suitedoublement indicée (µn(Ak)) est croissante en k ET en n, ce qui garantit que l’on peut @intervertir les limites en n et en k, d’où :

µ(

limk↑ Ak

)= lim

n↑ µn

(limk↑ Ak

)= lim

n↑ lim

k↑ µn(Ak) = lim

k↑ lim

n↑ µn(Ak) = lim

k↑ µ(Ak),

où la deuxième égalité est due à la continuité à gauche de chaque mesure µn. 2

Corollaire 6.21 Pour toute suite (xn) d’éléments d’un ensemble E, pour toute suite(αn) de nombre réels positifs,

∑n αnδxn est une mesure sur P(E).

Remarque 6.22 Le résultat précédent montre que l’on peut définir sur n’importe quelespace des mesures qui sont un peu moins élémentaires que les exemples généraux donnésdans la première section.

Chapitre 7

Intégrale par rapport à une mesure desfonctions mesurables positives

7.1 Intégrale des fonctions étagées positives

Notation 7.1 Pour tout espace mesurable (E,A ), on notera E+(A ) l’ensemble des élé-ments de E (A ) (fonctions étagées) à valeurs positives.

Définition 7.2 Pour toute fonction f ∈ E+(A ), on appelle intégrale de f par rapport àune mesure µ sur (E,A ), et l’on note

∫Efdµ l’élément de [0,+∞]∫

E

f dµ :=∑

α∈f(E)

αµ(f = α),

avec la convention habituelle 0×∞ = 0.

Remarque 7.3 La définition précédente ne dépend (heureusement) pas de la représen- @tation de f sous la forme f =

∑i∈I αi1Ai, car on a toujours l’égalité∫E

f dµ =∑i∈I

αiµ(Ai).

Notation 7.4 On notera indifféremment l’intégrale de f par rapport à la mesure µ sousune des formes suivantes∫

E

f dµ,

∫E

f(x) dµ(x),

∫E

f(x)µ(dx),

voire en omettant l’indice E du signe intégral.

Proposition 7.5 Pour tout f ∈ E+(A ),∫E

f dµ <∞⇔ µ(f 6= 0) <∞.

41

CHAPITRE 7. INTÉGRALE DES FONCTIONS POSITIVES 42

Dém. Soit f =∑

i∈I αi1Ai . Alors∑i∈I

αiµ(Ai) <∞ ⇐⇒ ∀i ∈ I (αi 6= 0⇒ µ(Ai) <∞)

⇐⇒∑

i∈I:αi 6=0

µ(Ai) <∞

⇐⇒ µ

( ⋃i∈I:αi 6=0

Ai

)<∞,

ce qui achève la démonstration, car⋃i∈I:αi 6=0 Ai = f 6= 0. 2

Exemple 7.6 Si f est nulle alors∫Ef dµ = 0.

Si µ = δa, alors ∫E

f dµ =∑

α∈f(E)

αµ(f = α) = f(a).

Si µ est la mesure de Lebesgue sur R,∫R1Q dλ = λ(Q) = 0.

Proposition 7.7 L’application f 7→∫Ef dµ du cône E+(A ) dans R+ jouit des proprié-

tés suivantes :(i) additivité :

∫(f + g) dµ =

∫f dµ+

∫g dµ ;

(ii) positive homogénéité : pour tout réel positif a,∫

(af) dµ = a∫f dµ ;

(iii) croissance : pour tous f, g ∈ E+(A ), f ≤ g ⇒∫f dµ ≤

∫g dµ.

Dém. Soient f =∑

i∈I αi1Ai et g =∑

j∈J βj1Bj , où les αi, βj sont des réels positifs ounuls, et (Ai)i∈I , (Bj)j∈J sont des partitions finies de E.

(i) Remarquons que (Ai ∩Bj)(i,j)∈I×J est une partition finie de E et que

f + g =∑

(i,j)∈I×J

(αi + βj)1Ai∩Bj .

Par conséquent,∫E

(f + g) dµ =∑i,j

(αi + βj)µ(Ai ∩Bj)

=∑i,j

αiµ(Ai ∩Bj) +∑i,j

βjµ(Ai ∩Bj)

=∑i∈I

αi∑j∈J

µ(Ai ∩Bj) +∑j∈J

βj∑i∈I

µ(Ai ∩Bj)

=∑i∈I

αiµ(Ai) +∑j∈J

βjµ(Bj)

=

∫E

f dµ+

∫E

g dµ.


(ii) Pour tout a ≥ 0, af =∑

i∈I aαi1Ai , d’où∫E

(af) dµ =∑i∈I

aαiµ(Ai) = a∑i∈I

αiµ(Ai) = a

∫E

f dµ.

(iii) En écrivant g = f + (g − f), où g − f est étagée positive, d’après (i),∫g dµ =∫

f dµ+∫

(g − f) dµ, donc∫g dµ ≥

∫f dµ. 2

7.2 Intégrale des fonctions mesurables positives

Notation 7.8 Pour tout espace mesurable (E,A ), on notera F+(A ) l’ensemble desélémnets de F (A ,Bor(R)) (fonctions mesurables à valeurs dans R) à valeurs positives.

Définition 7.9 Pour tout f ∈ F+(A ), on appelle intégrale de f par rapport à µ, et l’onnote 1

∫Ef dµ l’élément de [0,+∞]∫

E

f dµ := sup

∫E

g dµ : g ∈ E+(A ), g ≤ f

.

Si∫Ef dµ <∞, on dira que f est intégrable.

Proposition 7.10 (croissance de l’intégrale) Pour toutes f, g ∈ F+(A ), si f ≤ g,alors

∫Ef dµ ≤

∫Eg dµ.

Dém. Si ϕ ∈ E+(A ) est telle que ϕ ≤ f alors ϕ ≤ g donc

sup

∫E

ϕdµ : ϕ ∈ E+(A ), ϕ ≤ f

≤ sup

∫E

ϕdµ : ϕ ∈ E+(A ), ϕ ≤ g

ce qui est l’inégalité recherchée. 2

Théorème 7.11 (Théorème de Beppo Levi, ou de convergence monotone) Si (fn)est une suite croissante de F+(A ), alors nous savons que f := limn ↑ fn ∈ F+(A ),mais surtout ∫

E

f dµ = limn↑∫E

fn dµ.

Corollaire 7.12 L’intégrale∫Ef dµ est la limite des intégrales

∫Efn dµ, où (fn) est une

suite arbitraire de fonctions étagées positives croissant vers f .

Remarque 7.13 Le corollaire précédent assure qu’on aurait pu définir∫Ef dµ comme la

limite (et non la borne supérieure etc.) des intégrales de toute suite de fonctions étagéespositives croissant vers f , mais l’inconvénient est qu’il aurait fallu auparavant montrerque cette limite ne dépend effectivement pas de la suite de fonctions choisie.

1. la même notation est encore utilisée, car il s’agit d’un prolongement de l’intégrale initialement définie pourles fonctions étagées positives, aux fonctions mesurables positives


Dém. du théorème de Beppo Levi. Montrons d’abord l’inégalité ≥. Comme pour toutentier n, on a fn ≤ fn+1 ≤ f , par croissance de l’intégrale on a également∫

E

fn dµ ≤∫E

fn+1 dµ ≤∫E

f dµ,

ce qui prouve en passant à la limite que limn ↑∫Efn dµ ≤

∫Ef dµ.

Montrons maintenant l’autre inégalité. Par définition de l’intégrale de f , il suffit demontrer que pour toute fonction étagée positive ϕ telle que ϕ ≤ f , on a

∫ϕdµ ≤

limn ↑∫Efn dµ. Soit alors a ∈ [0, 1[ et En := aϕ ≤ fn. Comme ϕ ≤ f , on a l’égalité

E = ∪nEn, en effet :– sur f = 0, fn = ϕ = 0 pour tout entier n, donc f = 0 ⊆ En et par conséquentf = 0 ⊆ ∪nEn ;

– sur f > 0, aϕ < f car ϕ ne prend que des valeurs finies. Donc pour toutx ∈ f > 0, il existe un rang N(x) tel que pour tout n ≥ N(x), aϕ(x) ≤ fn(x),autrement dit x ∈ En, et par conséquent x ∈ ∪nEn.

En conclusion, E = f = 0 ∪ f > 0 ⊆ ∪nEn. Or en notant ϕ =∑

i∈I αi1Ai ,∫E

aϕ1En dµ = a

∫E

∑i∈I

αi1Ai∩En dµ =∑i∈I

aαiµ(Ai ∩ En).

Ainsi comme les En croissent vers E, par continuité à gauche de la mesure, limn ↑µ(Ai ∩ En) = µ(Ai) pour tout i ∈ I, ce qui s’écrit, I étant fini,

limn↑∫E

aϕ1En dµ =∑i∈I

aαiµ(Ai) = a

∫E

ϕdµ.

D’autre part En = aϕ ≤ fn, donc aϕ1En ≤ fn, d’où∫E

aϕ1En dµ ≤∫E

fn dµ ≤ limn↑∫E

fn dµ.

En se servant des deux équations qui précédent et notamment en passant à la limite dansla dernière inégalité, on trouve

a

∫E

ϕdµ ≤ limn↑∫E

fn dµ.

L’inégalité cherchée est donc prouvée, car a est arbitrairement proche de 1. 2

Proposition 7.14 (Lemme de Fatou) Pour toute suite (fn) de F+(A ), nous savonsque lim infn fn ∈ F+(A ), mais surtout∫

E

lim infn

fn dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ.

Remarque 7.15 Pour fn = 1An où An ∈ A , le lemme de Fatou se traduit par uneinégalité que nous connaissions déjà @

µ(

lim infn

An

)≤ lim inf

nµ(An).


Dém. Soit gn := infk≥n fk et g := lim infn fn = limn ↑ gn. Comme g est la limite de lasuite croissante (gn), le théorème de Beppo Levi assure que∫

E

g dµ = limn↑∫E

gn dµ.

D’autre part, gn ≤ fn donc par croissance de l’intégrale,∫Egn dµ ≤

∫Efn dµ et

lim infn

∫E

gn dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ.

Mais d’après ce qui précède, lim infn∫Egn dµ = limn

∫Egn dµ =

∫Eg dµ, ce qui fournit

l’inégalité souhaitée. 2

Proposition 7.16 Les propriétés de positive homogénéité et d’additivité passent (commecelle de croissance) aux intégrales de fonctions mesurables positives. En d’autres termespour tout a ≥ 0 et pour tout f ∈ F+(A ),∫

E

(af) dµ = a

∫E

f dµ et∫E

(f + g) dµ =

∫E

f dµ+

∫E

g dµ.

Dém. Comme f et g sont mesurables et positives, il existe d’après le lemme fondamentald’approximation des suites croissantes (fn) et (gn) de fonctions étagées positives croissantvers f et g respectivement. La proposition se prouve en écrivant les propriétés de positivehomogénéité et d’additivité pour ces fonctions étagées et en appliquant à chaque suited’intégrales le théorème de Beppo Levi. 2 @

Proposition 7.17 Pour toute suite (fn) de F+(A ), nous savons que∑

n fn ∈ F+(A ),mais surtout ∫

E

(∑n

fn

)dµ =

∑n

∫E

fn dµ.

Dém. Il suffit de poser gn :=∑n

k=0 fk, d’utiliser l’additivité de l’intégrale et d’appliquerle théorème de Beppo Levi à la suite croissante (gn). 2 @

Corollaire 7.18 Pour tout f ∈ F+(A ), l’application

ν : A −→ [0,+∞]

A 7−→∫E

f1A dµ

est une mesure sur (E,A ) appelée mesure de densité f par rapport à µ.

Notation 7.19 On note souvent∫Af dµ à la place 2 de

∫Ef1A dµ.

2. ce qui d’ailleurs est cohérent avec le cas trivial A = E...


Dém. Vérifions les deux propriétés caractérisant les mesures. Tout d’abord ν(∅) = 0car f1∅ est la fonction étagée nulle partout. Montrons à présent que ν est σ-additive.Soient (An) une suite d’éléments de A deux à deux disjoints. D’après la proposition quiprécède le corollaire, nous pouvons échanger sommation et intégrale de sorte que

ν (∪nAn) =

∫E

f1∪nAn dµ =

∫E

f∑n

1An dµ

=

∫E

∑n

f1An dµ =∑n

∫E

f1An dµ =∑n

ν(An),


Proposition 7.20 Si µ est finie alors pour tout f ∈ F+(A ),

f bornée =⇒ f intégrable.

Dém. Si f est bornée, il existe un nombre réel positif a tel que f ≤ a1E, donc∫Ef dµ ≤

aµ(E) <∞, car par hypothèse µ est finie. 2

Proposition 7.21 (Inégalité de Markov) Pour tout f ∈ F+(A ), pour tout a > 0,

µ (f ≥ a) ≤ 1

a

∫E

f dµ.

Dém. Comme f ≥ a1f≥a, par croissance∫Ef dµ ≥ aµ(f ≥ a). 2

Proposition 7.22 Pour tout f ∈ F+(A ),∫E

f dµ = 0⇐⇒ µ(f 6= 0) = 0.

Dém. Pour le sens ⇒, soit An := f ≥ 1/n. Par l’inégalité de Markov, µ(An) ≤n∫Anf dµ, donc comme

∫Ef dµ = 0, µ(An) = 0. Or A := f 6= 0 = limn ↑ An, donc

par continuité à gauche de µ, µ(A) = limn ↑ µ(An) = 0. Traitons maintenant le sens ⇐.Par additivité ∫

E

f dµ =

∫A

f dµ+

∫cA

f dµ =

∫A

f dµ,

car f est nulle sur cA, donc si µ(A) = 0 on a bien∫Ef dµ = 0.

On pouvait aussi procéder de la manière suivante, qui est un peu moins simple, maispeut servir d’entraînement. On commence par montrer la proposition pour une fonctionétagée positive ϕ :∫

E

ϕdµ = 0⇔∑i∈I

αiµ(Ai) = 0⇔∑i:αi 6=0

αiµ(Ai) = 0

⇔∑i:αi 6=0

µ(Ai) = 0⇔ µ (∪i:αi 6=0Ai) = 0⇔ µ(ϕ 6= 0) = 0.


Maintenant soit f ∈ F+(A ) et (fn) une suite croissante d’éléments de E+(A ) conver-geant vers f . Montrons la double implication en commençant par ⇒. Supposons doncque

∫Ef dµ = 0. Pour tout entier n, comme 0 ≤ fn ≤ f , on a également

∫Efn dµ = 0.

D’après ce qui précède, on a donc µ(fn 6= 0) = 0. Si nous montrons que la suitefn 6= 0 converge en croissant vers f 6= 0, alors la continuité à gauche de µ impli-quera µ(f 6= 0) = 0. La croissance de cette suite de parties est due à la croissancede la suite (fn), en effet si fn(x) 6= 0 alors fn+1(x) 6= 0 car fn+1(x) ≥ fn(x). Montronsque la limite A de cette suite, qui n’est autre que sa réunion, est f 6= 0 par doubleinclusion. Si x ∈ A, il existe n tel que fn(x) 6= 0, mais comme f(x) ≥ fn(x), on a aussif(x) 6= 0. Réciproquement, si f(x) 6= 0 alors comme f(x) est la limite de la suite réelle(fn(x))n, à partir d’un certain rang fn(x) 6= 0.

Montrons enfin l’inégalité opposée. Si µ(f 6= 0) = 0, alors comme fn 6= 0 ⊆ f 6=0 pour tout n, on a aussi µ(fn 6= 0) = 0, ce qui implique

∫Efn dµ = 0. Le théorème

de Beppo Levi permet de conclure que∫Ef dµ = 0. 2

Remarque 7.23 Noter que le raisonnement qui permet de montrer que la suite fn 6= 0converge vers f 6= 0 ne tient plus si la suite (fn) converge vers f sans croître, en effetavec fn(x) = xn sur l’intervalle [0, 1] : on a fn 6= 0 =]0, 1] pour tout n, donc la limite decette suite est ]0, 1], alors que si f désigne la limite de la suite (fn) alors f 6= 0 = 1.

Notation 7.24 (importante) Au lieu d’écrire µ(f 6= 0) = 0, on notera souvent

f = 0 µ-presque partout ou f = 0 µ-p.p.

De manière générale, soit N ∈ A tel que µ(N) = 0, et une certaine propriété P (x) quidépend de x ∈ E. Si x ∈ E : P (x) est fausse ⊆ N , on dira que P (x) est vraie « pourµ-presque tout x », ou « µ(dx)-presque partout », ou que P est vraie µ-p.p.

L’ensemble N est appelé ensemble négligeable, ou µ-négligeable. Les ensembles dé-nombrables, l’ensemble triadique de Cantor, sont des ensembles λ-négligeables.

Dans certains contextes, une partie de E sera dite négligeable même si elle n’est pasmesurable mais si elle est incluse dans une partie mesurable de mesure nulle.

Proposition 7.25 Pour tous f, g ∈ F+(A ),

f = g µ-p.p.⇒∫E

f dµ =

∫E

g dµ.

Dém. On pose

h :=

max(f, g)−min(f, g) sur min(f, g) <∞

0 sur f = g =∞.

Comme f = g = h = 0, par passage au complémentaire h 6= 0 = f 6= g doncµ(h 6= 0) = 0 (ce qui s’écrit aussi h = 0 µ-p.p.), par conséquent

∫Eh dµ = 0 (par la

Proposition 7.22). Mais comme max(f, g) = min(f, g) + h, par additivité on a∫E

max(f, g) dµ =

∫E

min(f, g) dµ+

∫E

h dµ =

∫E

min(f, g) dµ.


Et comme f ∧ g ≤ f ≤ f ∨ g et f ∧ g ≤ g ≤ f ∨ g, par croissance on a∫E

max(f, g) dµ =

∫E

min(f, g) dµ =

∫E

f dµ =

∫E

g dµ,


Proposition 7.26 Pour tout f ∈ F+(A ),∫E

f dµ < +∞ =⇒ µ(f = +∞) = 0.

Dém. Soit A := f = +∞. Par contraposée, si µ(A) 6= 0, alors∫Ef dµ ≥

∫Af dµ =

(+∞)µ(A) = +∞.Autre possibilité (pour l’entraînement...) : se servir de l’inégalité de Markov. Soit

An := f ≥ n, alors A = limn ↓ An. Or par l’inégalité de Markov, µ(A1) ≤∫Ef dµ <

+∞. Or comme toute mesure, µ est continue pour les suites décroissantes (on dit aussicontinue à droite) dont un des termes est de mesure finie, donc µ(A) = limn ↓ µ(An).Mais par l’inégalité de Markov à nouveau, µ(An) ≤ n−1

∫Ef dµ −→ 0 quand n→∞. 2

Corollaire 7.27 (Lemme de Borel–Cantelli) Soit (An) une suite d’éléments de A .Alors ∑

n≥0

µ(An) < +∞ =⇒ µ

(lim sup

nAn

)= 0.

Dém. Soit f :=∑

n 1An . Par hypothèse,∑

n µ(An) =∫Ef dµ < ∞. Donc par le

résultat précédent, µ(f = +∞) = 0. Montrons que lim supnAn = f = +∞.∑n

1An(x) <∞⇔ 1An(x) = 0 à partir d’un certain rang n0

⇔ ∃n0, ∀n ≥ n0, x ∈ cAn ⇔ x ∈ lim infn

cAn ⇔ x 6∈ lim supn

An.

Exemple 7.28 (mesure de comptage) L’intégration par rapport à la mesure de comp-tage sur N est tout simplement la sommation de série. En effet u ∈ F+(P(N)) est toutsimplement une suite (un) de réels positifs et pour tout N ∈ N, la suite ϕN := (un1n≤N)est une fonction étagée positive qui converge en croissant vers u. Donc si m désigne lamesure de comptage sur (N,P(N)), alors∫

Nu dm = lim

N→∞

∫NϕN dm = lim

N→∞

N∑n=0

unm(n) = limN→∞

N∑n=0

un =∑n

un.

Chapitre 8

Intégrale des fonctions mesurables designe quelconque et l’espace L 1(µ)

8.1 Intégrale des fonctions mesurables de signe quelconque

On rappelle que F (A ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables : (E,A ) →(R,Bor(R)).

Définition 8.1 Pour tout f ∈ F (A ), on dira que f admet une intégrale si∫Ef+ dµ <

∞ ou∫Ef− dµ <∞, et l’on définit alors l’intégrale de f par rapport à µ, notée 1

∫Ef dµ,

l’élément de R suivant ∫E

f dµ =

∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ.

Si les deux intégrales∫Ef+ dµ et

∫Ef− dµ sont finies, autrement dit

∫E| f | dµ < ∞,

ou encore dit | f | est µ-intégrable, alors on dira (un peu) plus simplement que f estµ-intégrable. En particulier, ∣∣∣∣∫

E

f dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫E

| f | dµ.

Dém. de l’inégalité. Par définition,∫E

f dµ =

∫E

f+ dµ−∫E

f− dµ ≤∫E

f+ dµ+

∫E

f− dµ =

∫E

| f | dµ,

par additivité. De même, on démontre que −∫Ef dµ ≤

∫E| f | dµ. 2

Proposition 8.2 Soient g, h ∈ F+(A ) tels que∫Eg dµ < ∞ ou

∫Eh dµ < ∞. Alors

min(g, h) <∞ µ-p.p. et f := (g − h)1min(g,h)<∞ qui est bien définie (et vaut d’ailleursg − h µ-p.p.) admet une intégrale∫

E

f dµ =

∫E

g dµ−∫E

h dµ.

1. encore !

49

CHAPITRE 8. INTÉGRALE DES FONCTIONS DE SIGNE QUELCONQUE 50

Dém. Supposons que∫Eh dµ <∞ (la démonstration est identique si c’est

∫Eg dµ qui

est finie), alors h < ∞ µ-p.p. par la Proposition 7.26 (donc min(g, h) < ∞ µ-p.p.).Ensuite par définition de f , on a f− ≤ h, donc f− est µ-intégrable. Enfin, comme @f+ + h = f− + g, par additivité∫

E

f+ dµ+

∫E

h dµ =

∫E

f− dµ+

∫E

g dµ,

égalité à laquelle on peut retrancher les deux intégrales de f− et de h, qui sont finies, cequi donne ∫

E

f+ dµ−∫E

f− dµ =

∫E

g dµ−∫E

h dµ,

qui est bien défini dans ]−∞,+∞], ce qui implique que f admet bien une intégrale égaleà∫Eg dµ−

∫Eh dµ. 2

Définition 8.3 (et proposition) L’espace L 1(E ,A , µ), noté aussi L 1(µ), des fonc-tions µ-intégrables, est un espace vectoriel et l’application f 7→

∫Ef dµ est une forme

linéaire positive donc croissante.

Remarque 8.4 Bien noter L 1 car la notation L1 fera plus tard référence à un autreespace.

Dém. Pour tous f, g ∈ L 1(µ), pour tout λ ∈ R, |λf + g | ≤ |λ |.| f |+ | g | donc λf + gest intégrable par additivité. De plus, en se servant des égalités du type f = f+ − f−appliquées à f , g et f + g, on obtient f + g = (f + g)+ − (f + g)− = f+ − f− + g+ − g−et par conséquent

(f + g)+ + f− + g− = (f + g)− + f+ + g+,

d’où en passant aux intégrales,∫E

(f + g)+ dµ+

∫E

f− dµ+

∫E

g− dµ =

∫E

(f + g)− dµ+

∫E

f+ dµ+

∫E

g+ dµ.

Comme toutes ces quantités sont finies, on peut les retrancher à loisir ce qui donne∫E

(f + g)+ dµ−∫E

(f + g)− dµ =

∫E

f dµ+

∫E

g dµ,

autrement dit∫E

(f + g) dµ =∫Ef dµ +

∫Eg dµ. De même, en utilisant les égalités

(λf)+ = λf+, (λf)− = λf− lorsque λ > 0 et (λf)+ = −λf−, (λf)− = −λf+ lorsqueλ < 0, et en utilisant la positive homogénéité de l’intégrale sur F+, on obtient :

a) dans le cas λ > 0,∫E

(λf) dµ =

∫E

(λf+) dµ−∫E

(λf−) dµ = λ

∫E

f+ dµ− λ∫E

f− dµ = λ

∫E

f dµ,

b) dans le cas λ < 0,∫E

(λf) dµ =

∫E

(−λf−) dµ−∫E

(−λf+) dµ = (−λ)

∫E

f− dµ−(−λ)

∫E

f+ dµ = λ

∫E

f dµ.


L’intégrale est donc bien une forme linéaire. Elle est positive car si f ≥ 0, alors f = f+

et par définition∫Ef dµ =

∫Ef+ dµ ≥ 0. Elle est donc croissante car si g ≥ h, alors grâce

à la Proposition 8.2, (g − h)1min(g,h)<∞ est positive et son intégrale, qui est positived’après ce qui précède, vaut

∫Eg dµ−

∫Eh dµ ≥ 0, ce qui montre que

∫Eg dµ ≥

∫Eh dµ.

2

Remarque 8.5 Si m est la mesure de comptage sur N alors L 1(m) est l’ensemble,souvent noté `1, des suites dont la série est absolument convergente.

Lemme 8.6 Si f = g µ-p.p., alors f est intégrable (resp. admet une intégrale) ssi g estintégrable (resp. admet une intégrale).

Dém. Comme f = g µ-p.p., on voit facilement que f+ = g+ µ-p.p. et que f− = g− µ- @p.p. Il suffit donc de montrer que pour tous f, g positives, si f = g µ-p.p. alors

∫f dµ <∞

ssi∫g dµ <∞. En fait on a déjà montré mieux (Corollaire 7.25) : si f et g sont positives

et que f = g µ-p.p. alors on a l’égalité∫f dµ =

∫g dµ dans R+. 2

8.2 Les grands théorèmes de convergence

Nous allons maintenant donner une version plus générale du théorème de conver-gence monotone et de ses corollaires, auquel nous ajouterons un dernier théorème deconvergence, dit de convergence dominée.

Théorème 8.7 Soit g ∈ L 1(µ) et (fn) une suite d’éléments de F (A ) telle que pourtout entier n, fn+1 ≥ fn ≥ g µ-p.p. Alors limn ↑ fn est définie µ-p.p. et toute fonction fµ-p.p. égale 2 à limn fn admet une intégrale et vérifie∫

E

f dµ = lim ↑∫E

fn dµ.

Corollaire 8.8 Soit (ϕn) une suite d’éléments de F (A ) telle que pour tout entier n,ϕn ≥ 0 µ-p.p. Alors

∑n ϕn admet une intégrale et∫

E

(∑n

ϕn

)dµ =

∑n

∫E

ϕn dµ.

Dém. du corollaire. On prend bien sûr fn =∑n

k=0 ϕk qui est positive µ-p.p. car positivesur ∩kϕk ≥ 0, partie mesurable dont le complémentaire est de mesure inférieure ouégale à

∑k µ(ϕk < 0) = 0. En particulier la fonction

∑n ϕn est définie µ-p.p. et vaut∑

n ϕ+n µ-p.p. donc admet une intégrale. Le corollaire découle du théorème qui précède

et de l’additivité de l’intégrale 2 @

2. comme par exemple f = lim infn fn si l’on veut


Dém. du théorème. On prend d’abord g ≡ 0 et on définit A := ∩n≥0fn+1 ≥ fn ≥ g.Alors A est mesurable, avec

µ(cA) = µ

(⋃n≥0

cfn+1 ≥ fn ≥ g

)≤∑n≥0

µ (cfn+1 ≥ fn ≥ g) = 0,

et (fn1A) est une suite croissante de fonctions mesurables positives. Soit h sa limite, etftelle que h = f µ-p.p. Alors d’après le théorème de convergence monotone,∫

E

f dµ =

∫E

h dµ = limn↑∫E

fn1A dµ = limn↑∫E

fn dµ,

puisque µ(cA) = 0 (en particulier fn admet bien une intégrale, car fn = f+n µ-p.p.).

Maintenant si g 6≡ 0, on applique bien sûr ce qu’on vient d’obtenir à gn := fn − g ≥ 0µ-p.p. Comme fn = g+ gn = g+− g−+ g+

n − g−n = (g+ + g+n )− (g−n + g−), et que g−n = 0

µ-p.p., on a∫

(g−n + g−) dµ <∞, donc fn admet une intégrale. De plus,∫E

fn dµ =

∫E

g+ dµ+

∫E

g+n dµ−

∫E

g− dµ =

∫E

g dµ+

∫E

gn dµ,

qui converge en croissant vers∫Eg dµ +

∫E

(limn ↑ gn) dµ. Or gn = fn − g, donc limn ↑gn = (limn fn) − g, et comme g ∈ L 1, la suite (

∫Efn dµ) converge en croissant vers∫

Eg dµ+

∫E

((limn fn)− g) dµ =∫E

(limn fn) dµ. 2

Donnons une version plus générale du lemme de Fatou.

Proposition 8.9 Soit g ∈ L 1(µ) et (fn) une suite d’éléments de F (A ). Alorsa) fn ≥ g µ-p.p. pour tout n =⇒

∫(lim infn fn) dµ ≤ lim infn

∫fn dµ

etb) fn ≤ g µ-p.p. pour tout n =⇒

∫(lim supn fn) dµ ≥ lim supn

∫fn dµ.

Dém. Remarquons que a)⇒ b) en remplaçant fn par −fn et en multipliant les deuxmembres de l’inégalité par −1. Montrons a) avec g ≡ 0. Il faut bien sûr vérifier que fnadmet une intégrale pour tout n et que lim infn fn également admet une intégrale.

Si fn ≥ 0 µ-p.p. alors f−n = 0 µ-p.p. et∫nf−n dµ = 0 donc fn admet une intégrale.

Soit alors A := ∪nfn < 0, alors A (est mesurable et) µ(A) ≤∑

n µ(fn < 0) = 0,donc

lim infn

fn = 1A lim inf fn + lim inf(fn1cA),

où dans le membre de droite, le premier terme vaut 0 µ-p.p. et le deuxième terme estpositif, donc lim infn fn admet une intégrale, et d’après la première version du lemme deFatou, ∫

E

(lim inf

nfn1cA

)dµ ≤ lim inf

n

(∫E

fn1cA dµ

).

Or comme µ(A) = 0, on a∫E

(1A lim infn fn) dµ = 0 et∫Efn1A dµ = 0. En ajoutant ces

deux dernières quantités (nulles !) à l’inégalité précédente, on obtient l’inégalité voulue. @


Si g 6≡ 0, on applique bien sûr ce que l’on vient de faire à gn := fn − g qui estpositive µ-p.p. Comme dans la démonstration du théorème précédent, on voit que fnadmet une intégrale et que

∫Egn dµ =

∫Efn dµ−

∫Eg dµ, ainsi que

∫E

(lim infn gn) dµ =∫E

(lim infn fn) dµ−∫Eg dµ, ce qui donne le résultat.

On aurait également pu appliquer à notre deuxième version du théorème de conver-gence monotone, la méthode utilisée pour déduire la première version lemme de Fatoude la première version du théorème de convergence monotone... 2 @

Nous pouvons maintenant énoncer un autre des résultats majeurs de ce cours.

Théorème 8.10 (Théorème de Lebesgue, ou de convergence dominée) Si (fn)est une suite d’éléments de L 1(µ) convergeant 3 µ-p.p. vers une fonction f et qu’il existeg ∈ L 1(µ) telle que pour tout n ∈ N, | fn | ≤ g µ-p.p., alors f ∈ L 1(µ) et

a) limn→∞

∫E

| f − fn | dµ = 0

etb) lim

n→∞

∫E

fn dµ =

∫E

f dµ.

Dém. Soit A := x ∈ E : limn fn(x) = f(x) ∩ ∩n| fn | ≤ g. Alors A est de com-plémentaire négligeable et pour tout x ∈ A, | fn(x) | ≤ g(x), donc | f(x) | ≤ g(x). Parconséquent, ayant | f | ≤ g µ-p.p., nous avons

∫| f | dµ ≤

∫g dµ, donc

∫| f | dµ <∞.

Comme fn ≥ −g µ-p.p. et que −g ∈ L 1(µ), d’après le lemme de Fatou,∫E

f dµ =

∫E

(lim infn

fn) dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ.

De même, comme fn ≤ g µ-p.p. et que g ∈ L 1(µ), d’après le lemme de Fatou,∫E

f dµ =

∫E

(lim supn

fn) dµ ≥ lim supn

∫E

fn dµ.

On a donclim sup

n

∫E

fn dµ ≤∫E

f dµ ≤ lim infn

∫E

fn dµ,

ce qui implique∫Ef dµ = limn

∫Efn dµ, autrement dit b). Pour obtenir a), on applique

le lemme de Fatou à | f − fn | ≤ | f |+ | fn | ≤ 2g ∈ L 1(µ). Donc∫E

(lim sup

n| f − fn |

)dµ ≥ lim sup

n

∫E

| f − fn | dµ,

ce qui implique lim supn∫E| f − fn | dµ = 0, autrement dit a). 2

3. simplement


8.3 Intégrale des fonctions à valeurs complexes

Définition 8.11 Une fonction f : (E,A ) → (C,Bor(C)) est dite µ-intégrable si fest mesurable et | f | est intégrable. Ceci entraîne que <(f) et =(f) sont intégrables etl’intégrale de f par rapport à µ est définie comme le nombre complexe∫

E

f dµ =

∫E

<(f) dµ+ i

∫E

=(f) dµ.

Théorème 8.12 L’ensemble L 1C(E,A , µ) des fonctions complexes µ-intégrables est un

espace vectoriel sur C. L’application f 7→∫Ef dµ est une C-forme linéaire et pour tout

f ∈ L 1C(µ), ∣∣∣∣∫

E

f dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫E

| f | dµ.

Il suffit de montrer la dernière inégalité, car le reste découle facilement de la linéarité del’intégrale réelle et de la définition.

Il existe z ∈ C tel que z∫f dµ est réel et | z | = 1, donc∣∣∣∣ ∫ f dµ

∣∣∣∣ = | z |∣∣∣∣ ∫ f dµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ z ∫ f dµ

∣∣∣∣ .Or par linéarité de l’intégrale complexe,

z

∫f dµ =

∫(zf) dµ =

∫E

<(zf) dµ+ i

∫E

=(zf) dµ.

Or on a choisi z pour que z∫f dµ soit réel donc

∫E=(zf) dµ = 0. De plus, | <(zf) | ≤

| zf | = | f |, donc comme∣∣∣∣ ∫E

<(zf) dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫E

| <(zf) | dµ ≤∫E

| f |dµ,

on a ∣∣∣∣ ∫E

f dµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ z ∫E

f dµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∫E

<(zf) dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫E

| f |dµ,

ce qui constitue l’inégalité souhaitée. 2

Proposition 8.13 Soit (ϕn) une suite de fonctions mesurables à valeurs dans R ou C.Si la série de terme général

∫E|ϕn | dµ est convergente, alors la fonction

∑n |ϕn | est

intégrable ainsi que la fonction définie µ-p.p.∑

n ϕn et∫E

(∑n

ϕn

)dµ =

∑n

(∫E

ϕn dµ

).


Dém. Soit g :=∑

n |ϕn | < ∞ µ-p.p. car∫Eg dµ < ∞ par le corollaire du théorème

de convergence monotone sur les séries. Donc il existe une partie mesurable A de E,de complémentaire µ-négligeable, telle que g(x) < ∞ pour tout x ∈ A. Autrement dit,pour tout x ∈ A, la série de terme général ϕn(x) est absolument convergente, doncconvergente. Si fn :=

∑k≤n ϕk, on a donc la convergence sur A de la suite (fn) vers une

fonction f :=∑

n ϕn, assortie de la domination des | fn | par g, donc par le théorème deconvergence dominée,∫

E

f dµ = limn→∞

∫E

fn dµ = limn→∞

n∑k=0

∫E

ϕk dµ =∑n

∫E

ϕn dµ,


Chapitre 9

Applications

9.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann

Définition 9.1 Une fonction f : [a, b] → R est dite Riemann-intégrable si pour toutε > 0 il existe une fonction φε en escalier sur [a, b] et une fonction ψε positive et enescalier sur [a, b] telles que

|f − φε| ≤ ψε et∫ b

a

ψε ≤ ε, (9.1)

où l’ intégrale de Riemann d’une fonction en escalier ϕ, notée∫ baϕ, est définie 1 comme∑

i αi(ai − ai−1) si ϕ vaut αi sur ]ai−1, ai[.De plus, pour tous φε, ψε vérifiant (9.1), la limite lorsque ε→ 0 de

∫ baφε est toujours

la même, et est égale, par définition, au nombre réel noté 2∫ baf et appelé 3 intégrale de

Riemann de f .

Remarque 9.2 Toute fonction Riemann-intégrable est bornée (car φε et ψε le sont).

Remarque 9.3 Toute fonction réglée est Riemann-intégrable, car limite uniforme defonctions en escalier : il suffit de prendre ψε = ε/(b− a).

Théorème 9.4 Pour tout f Riemann-intégrable sur [a, b], il existe g ∈ L 1([a, b],Bor([a, b]), λ)tel que

a) f = g µ-p.p.

b)∫ b

a

f =

∫[a,b]

g dλ .

Remarque 9.5 D’un point de vue pratique, si f est borélienne, alors on peut prendreg = f .

1. cette définition ne dépend bien sûr pas de la subdivision choisie a < a1 < · · · < b pour représenter ϕ2. aussi...3. encore...

56

CHAPITRE 9. APPLICATIONS 57

Dém. Pour tout n il existe φn, ψn en escalier telles que |f − φn| ≤ ψn et∫ baψn ≤ 1/n.

Rappelons déjà que par définition,∫ b

a

f = limn→∞

∫ b

a

φn.

Soit alorsαn := φn − ψn et βn := φn + ψn.

Comme |f − φn| ≤ ψn, on a φn − f ≤ ψn et f − φn ≤ ψn, c’est-à-dire αn ≤ f ≤ βn.D’autre part, comme βn − αn = 2ψn, on a

limn

∫ b

a

(βn − αn) = 0,

et donc ∫ b

a

f = limn

∫ b

a

αn = limn

∫ b

a

βn.

Soient à présent

αn := max(α1, . . . , αn) et βn := min(β1, . . . , βn).

On obtient alors l’encadrement

αn ≤ αn ≤ f ≤ βn ≤ βn.

On définit encoreα := lim

n↑ αn et β := lim

n↓ βn,

ce qui donneα ≤ f ≤ β.

De plus, comme une fonction en escalier est étagée, pour tout n, φn et ψn sont étagéesdonc boréliennes, ainsi que αn, βn, puis αn, βn par stabilité de la mesurabilité par passageà la borne supérieure ou inférieure, et enfin α, β sont boréliennes par stabilité de lamesurabilité par passage à la limite.

Il est clair par la définition donnée plus haut que pour les fonctions en escalier (doncétagées), intégrales de Riemann et de Lebesgue (i.e., par rapport à la mesure de Lebesgue)coïncident, donc pour tout n∫ b

a

αn =

∫[a,b]

αn dλ et∫ b

a

βn =

∫[a,b]

βn dλ,

d’où∫ b

a

αn =

∫[a,b]

αn dλ ≤∫

[a,b]

αn dλ ≤∫

[a,b]

α dλ ≤∫

[a,b]

β dλ ≤∫

[a,b]

βn dλ ≤∫

[a,b]

βn dλ =

∫ b

a

βn.


En passant à la limite, comme∫ baαn et

∫ baβn convergent toutes deux vers

∫ baf , on en

déduit que ∫[a,b]

α dλ =

∫[a,b]

β dλ =

∫ b

a

f.

Remarquons que α1 ≤ α ≤ β ≤ β1, si bien que α et β sont bornées. Ainsi ces deuxfonctions sont λ-intégrables sur [a, b], la fonction γ := β − α est bien définie, et∫

[a,b]

γ dλ =

∫[a,b]

α dλ−∫

[a,b]

β dλ = 0.

Comme γ ≥ 0, ceci implique que γ = 0 λ-p.p. Mais α ≤ f ≤ β, donc α = f sur γ = 0et si g := f1γ=0, alors g = α1γ=0 et∫

[a,b]

g dλ =

∫[a,b]

α1γ=0 dλ =

∫[a,b]

α dλ =

∫ b

a

f,

ce qui donne bien l’égalité entre l’intégrale de Riemann de f et l’intégrale de Lebesgued’une certaine fonction g égale à f λ-p.p. 2

9.2 Dérivées et primitives

Proposition 9.6 Soit a ∈ R et f : [a,+∞[→ R borélienne. Si f est λ-localementintégrable, au sens où pour tout b > a, f1[a,b] ∈ L 1(λ) alors la fonction F : x 7→

∫[a,x]

f dλ

est continue.

Dém. Soit x ≥ a et une suite (xn) convergeant vers x en croissant, et telle que xn 6= xpour tout n. Alors les fonctions f1[a,xn] convergent vers f1[a,x[ tout en étant dominéespar | f |1[a,x] qui est λ-intégrable par hypothèse. Donc par convergence dominée,

limnF (xn) = lim

n

∫f1[a,xn] dλ =

∫f1[a,x[ dλ =

∫f1[a,x] dλ = F (x).

Ceci prouve que F est continue à gauche. La démonstration est identique lorsque (xn)est décroissante, ce qui prouve que F est aussi continue à droite. 2 @

Théorème 9.7 Soit [a, b] un intervalle compact de R et f : [a, b] → R une fonctiondérivable de dérivée f ′ bornée. Alors f ′ est mesurable et l’intégrale de f ′ par rapport àλ est égale à sa primitive f au sens où∫

[a,b]

f ′ dλ = f(b)− f(a).


Dém. Soit

gn(x) :=

n(f(x+ 1

n

)− f (x)

)si x ∈ [a, b− 1/n]

0 si x ∈ ]b− 1/n, b].

Alors pour tout x ∈ [a, b[, limn gn(x) = f ′(x), ce qui montre que f ′1[a,b[ est mesurablecomme limite de fonctions mesurables, et donc f ′1[a,b] est mesurable. Par l’inégalité desaccroissements finis, pour tous n ∈ N et x ∈ [a, b], | gn(x) | ≤ M := sup[a,b] | f ′ | qui estfini par hypothèse. Or M1[a,b] ∈ L 1(λ) donc par convergence dominée,

limn→∞

∫[a,b]

gn dλ =

∫[a,b[

f ′ dλ =

∫[a,b]

f ′ dλ.

Montrons à présent que l’on a également

limn→∞

∫[a,b]

gn dλ = f(b)− f(a).

Dans les égalités suivantes, nous utilisons la linéarité des intégrales de Lebesgue et deRiemann, ainsi que l’égalité entre ces intégrales due à la continuité de f :∫

[a,b]

gn(x) dλ(x) = n

∫[a,b−1/n]

(f

(x+

1

n

)− f (x)

)dλ(x)

= n

(∫ b−1/n

a

f

(·+ 1

n

)−∫ b−1/n

a

f

)

= n

(∫ b

a+1/n

f −∫ b−1/n

a

f

)

= n

(∫ b

b−1/n

f −∫ a+1/n

a

f

)= n

∫[b−1/n,b]

f dλ− n∫

[a,a+1/n]

f dλ.

Ces passages entre intégrale de Riemann et de Lebesgue servent uniquement à justifierle changement de variable (translation, troisième égalité) que nous ne connaissons pas(encore) dans le cas de l’intégrale de Lebesgue.

Il ne reste plus qu’à montrer que le second terme de la dernière différence tend versf(a) quand n→∞, et la même méthode s’appliquera pour montrer que le premier termetend vers f(b). Soit αn := inf [a,a+1/n] f et βn := sup[a,a+1/n] f . Alors

αn = n

∫[a,a+1/n]

αn dλ ≤ n

∫[a,a+1/n]

f dλ ≤ n

∫[a,a+1/n]

βn dλ = βn,

mais comme f est continue, limn αn = limn βn = f(a), ce qui achève la démonstration.2


Remarque 9.8 Le théorème précédent serait faux si l’on ne faisait pas l’hypothèse quef ′ est bornée, comme on peut le voir sur le contre-exemple suivant :

fn(x) :=

(3

2

)n ∫[0,x]

1An dλ x ≥ 0,

où An est le n-ième élément de la suite qui converge vers l’ensemble triadique de Cantor.En effet, la limite f de la suite (fn), appelée fonction de Lebesgue, ou « escalier dudiable », est continue, dérivable λ-p.p. avec pour dérivée f ′ = 0 λ-p.p. (mais non bornée),donc

∫[0,1]

f ′ dλ = 0. Pourtant f(1)− f(0) = 1− 0 = 1.

9.3 Intégrales dépendant d’un paramètre

Théorème 9.9 Soit f : I ×E → R, où I est un intervalle de R tel que pour tout t ∈ I,f(t, ·) : (E,A )→ (R,B(R) est mesurable. Alors

a) S’il existe t0 ∈ I tel que

pour µ-presque tout x, t 7→ f(t, x) est continue en t0,

et s’il existe g : (E,A )→ (R,B(R) intégrable telle que

pour µ-presque tout x, pour tout t ∈ I, | f(t, x) | ≤ g(x),

alors la fonction h : t 7→∫Ef(t, x) dµ(x) est bien définie et elle est continue en t0.

b) Si pour tout t ∈ I, f(t, ·) est intégrable 4, si

pour µ-presque tout x, t 7→ f(t, x) est dérivable sur tout l’intervalle I,

et s’il existe g1 : (E,A )→ (R,B(R) intégrable telle que

pour µ-presque tout x, pour tout t ∈ I,∣∣∣∣ ∂f∂t (t, x)

∣∣∣∣ ≤ g1(x),

alors la fonction h est bien définie et est dérivable sur tout I, de dérivée

h′(t) =

∫E

∂f

∂t(t, x) dµ(x) t ∈ I.

Remarque 9.10 Les hypothèses commençant par « pour µ-presque tout x » peuventtoutes (sauf une, voir plus bas) être affaiblies en échangeant les quantificateurs. Pourvoir la différence, à titre d’exemple, l’assertion

pour µ-presque tout x, pour tout t ∈ I, | f(t, x) | ≤ g(x),

signifie qu’il existe un élément A de la tribu A de complémentaire négligeable, tel quepour tout x ∈ A, pour tout t ∈ I, | f(t, x) | ≤ g(x). D’autre part, l’assertion

pour tout t ∈ I, pour µ-presque tout x, | f(t, x) | ≤ g(x),

4. pour que h soit bien définie


signifie que pour tout t ∈ I il existe un élément At de la tribu A , dépendant de t,de complémentaire négligeable, tel que pour tout x ∈ At, | f(t, x) | ≤ g(x). Si I étaitdénombrable les deux assertions seraient équivalentes, quitte à définir A, dans la premièreassertion, comme l’intersection de tous les ensembles At de la seconde assertion. Ici Iest un intervalle, donc la seconde assertion peut inclure strictement la première. Lorsquenous n’utilisons dans la démonstration que des suites à valeurs dans I, cette distinctionest sans conséquence. En revanche, la domination des dérivées partielles doit être énoncéetelle quelle, pour avoir une inégalité des accroissements finis vraie p.p.

Dém. a) Pour tout t ∈ I, la domination p.p. de f(t, ·) par la fonction intégrable ggarantit que f(t, ·) est intégrable et donc que h est bien définie. Soit une suite (sn) de I delimite t0. Montrons que limn h(sn) = h(t0). Soit fn(x) := f(sn, x). De la continuité pourp.t. x de la fonction f(·, x) en t0, on déduit la convergence p.p. de fn vers f(t0, ·). Commela suite (fn) est dominée p.p. par la fonction intégrable g, le théorème de convergencedominée assure que

limnh(sn) = lim

n

∫E

fn dµ =

∫E

f(t0, x) dµ(x) = h(t0),

ce qui est la limite souhaitée.b) Soit t ∈ I et (sn) une suite de I convergeant vers t telle que sn 6= t pour tout n.

Soit fn : (E,A )→ (R,B(R)) la fonction intégrable suivante

fn(x) :=f(sn, x)− f(t, x)

sn − tx ∈ E.

Alors pour p.t. x, la suite (fn) converge vers ∂f/∂t(t, x), ce qui fait de cette dérivéepartielle une fonction mesurable de x. L’hypothèse de domination p.p. de cette fonctionmesurable par la fonction intégrable g1 garantit que

∫E∂f/∂t(t, x) dµ(x) est bien définie

pour tout t ∈ I. De plus, par l’intégrabilité de fn∫E

fn dµ =1

sn − t

(∫E

f(sn, ·) dµ−∫E

f(t, ·) dµ)

=h(sn)− h(t)

sn − t.

Or par l’inégalité des accroissements finis, pour µ-presque tout x,

| fn(x) | ≤ sups∈I

∣∣∣∣ ∂f∂t (s, x)

∣∣∣∣ ≤ g1(x),

et comme g1 est intégrable, on obtient

limn

h(sn)− h(t)

sn − t= lim

n

∫E

fn dµ =

∫E

∂f

∂t(t, x) dµ(x)

par le théorème de convergence dominée. 2


9.4 Applications

9.4.1 Dérivation sous la somme

Soit (un) une suite de fonctions dérivables sur un intervalle I de R telle que(i) pour tout t ∈ I,

∑n |un(t) | converge ;

(ii) pour tout t ∈ I, |u′n(t) | ≤ wn pour une suite (wn) telle que∑

nwn <∞.Alors S(t) :=

∑n un(t) est bien définie et est dérivable en tout t ∈ I, avec S ′(t) =∑

n u′n(t).

9.4.2 Convolution

Soit f ∈ L 1(R,B(R), λ) et ϕ dérivable de dérivée bornée. Alors la fonction f ? ϕdéfinie par

f ? ϕ(t) :=

∫Rϕ(t− x) f(x) dλ(x) t ∈ R,

est bien définie et dérivable sur R de dérivée

(f ? ϕ)′(t) =

∫Rϕ(t− x) f(x) dλ(x) = f ? ϕ′(t).

9.4.3 Transformée de Fourier

Soit f : R→ R λ-intégrable et F (t) :=∫R e

itx f(x) dλ(x). Si x 7→ xf(x) est intégrable,alors F est dérivable sur R et

F ′(t) = i

∫Reitx xf(x) dλ(x).

Chapitre 10

Inégalités et espaces L p

10.1 Inégalité de Jensen

Proposition 10.1 Si µ est une probabilité sur (E,A ) et f ∈ L 1(E,A , µ) est à valeursdans un intervalle I de R, alors pour toute fonction convexe ϕ : I → R, on a

∫Ef dµ ∈ I,∫

Eϕ(f) dµ existe dans ]−∞,+∞] et∫

E

ϕ(f) dµ ≥ ϕ

(∫E

f dµ

).

Dém. Soient a := inf(I) et b := sup(I). Ayant −∞ ≤ a ≤ f ≤ b ≤ +∞, comme µ estune probabilité,

a =

∫E

a dµ ≤∫E

f dµ ≤∫E

b dµ = b,

donc m :=∫Ef dµ ∈ I. Comme ϕ est convexe, il existe au moins une droite située

en-dessous du graphe de ϕ et passant par (m,ϕ(m)), d’équation y = α(x−m) + ϕ(m).Ceci se traduit par

ϕ(u) ≥ α(u−m) + ϕ(m) u ∈ I,

et donc pour tout x ∈ E,

ϕ f(x) ≥ α(f(x)−m) + ϕ(m).

La fonction ϕ f étant minorée par une fonction intégrable, elle admet une intégrale(qui ne peut être égale à −∞) et∫

E

ϕ f dµ ≥ α

∫E

(f −m) dµ+

∫E

ϕ(m) dµ = 0 + ϕ(m),

par linéarité, et parce que µ est une probabilité. 2

63

CHAPITRE 10. INÉGALITÉS ET ESPACES L P 64

10.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski

10.2.1 Semi-normes L p, p ∈ [1,+∞]

Définition 10.2 ( p ∈ [1,+∞[ ) On note L p(E,A , µ), ou L p(µ), l’ensemble de toutesles fonctions mesurables à valeurs dans R telles que | f |p est µ-intégrable. Pour toutf ∈ L p(µ), on pose

‖ f ‖p :=

(∫E

| f |p dµ) 1

p

,

qu’on appelle 1 norme L p de f .

Définition 10.3 ( p =∞ ) On note L∞(E,A , µ), ou L∞(µ), l’ensemble de toutes lesfonctions mesurables f à valeurs dans R qui sont µ-essentiellement bornées, c’est-à-diretelles qu’il existe a > 0 pour lequel µ(| f | ≥ a) = 0. Si f ∈ L∞(µ), on pose

‖ f ‖∞ := infa > 0 : µ(| f | ≥ a) = 0 ∈ [0,+∞[,

qu’on appelle 2 supremum essentiel de f .

10.2.2 Inégalité de Hölder

Proposition 10.4 (Inégalité de Hölder) Pour tous p, q ∈ [1,+∞] tels que1

p+

1

q= 1

–on dit que ces nombres sont conjugués 3– alors si f ∈ L p et g ∈ L q, fg ∈ L 1 et

‖ fg ‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖ g ‖q.

Dém. Premier cas : p ou q vaut +∞. Supposons q = +∞, et donc p = 1. Alors pardéfinition du supremum essentiel, g ≤ ‖ g ‖∞ µ-p.p., donc | fg | ≤ | f | ‖ g ‖∞ µ-p.p. Parconséquent

‖ fg ‖1 =

∫E

| fg | dµ ≤ ‖ g ‖∞∫E

| f | dµ = ‖ g ‖∞ ‖ f ‖1.

Deuxième cas : p et q sont finis. L’inégalité de Hölder est évidente si ‖ f ‖p = 0 ou‖ g ‖q = 0. En effet si par exemple ‖ f ‖p = 0 alors | f | = 0 µ-p.p. donc | fg | = 0 µ-p.p. et par conséquent ‖ fg ‖1 = 0. Nous supposons donc maintenant que ‖ f ‖p 6= 0 et‖ g ‖q 6= 0.

Rappelons la concavité du logarithme :

∀α ∈ [0, 1], ∀x, y > 0, ln (αx+ (1− α)y) ≥ α ln(x) + (1− α) ln(y).

En posant α = 1/p, et donc 1− α = 1/q, ainsi que x = | a |p et y = | b |q, on obtient

ln

(| a |p

p+| b |q

q

)≥ 1

pln (| a |p) +

1

qln (| b |q) = ln (| ab |) ,

1. mais dont nous verrons qu’il ne s’agit en fait que d’une semi-norme2. mais on devrait dire µ-supremum essentiel3. typiquement p = q = 2 ou p = 1 et q = +∞


et donc par croissance de l’exponentielle,

| a |p

p+| b |q

q≥ | ab |.

Ainsi aveca :=

| f(x) |‖ f ‖p

et b :=| g(x) |‖ g ‖q

,

on obtient| fg(x) |‖ f ‖p ‖ g ‖q

≤ 1

p

| f(x) |p

‖ f ‖pp+

1

q

| g(x) |q

‖ g ‖qq.

En intégrant chaque membre, la croissance de l’intégrale implique

‖ fg ‖1

‖ f ‖p ‖ g ‖q≤ 1

p+

1

q= 1,

ce qui est l’inégalité attendue. 2

10.2.3 Inégalité de Minkowski

Proposition 10.5 Pour tout p ∈ [1,+∞], si f, g ∈ L p, alors f + g ∈ L p et

‖ f + g ‖p ≤ ‖ f ‖p + ‖ g ‖p.

Dém. Premier cas : p = 1. Par l’inégalité triangulaire | f + g | ≤ | f | + | g |, doncf + g ∈ L 1 et par croissance de l’intégrale,

‖ f + g ‖1 ≤∫E

| f | dµ+

∫E

| g | dµ = ‖ f ‖1 + ‖ g ‖1.

Deuxième cas : p = +∞. Par définition du supremum essentiel, | f | ≤ ‖ f ‖∞ et| g | ≤ ‖ g ‖∞ µ-p.p. donc par l’inégalité triangulaire, | f + g | ≤ ‖ f ‖∞ + ‖ g ‖∞ µ-p.p. Mais par définition du supremum essentiel à nouveau, pour tout A ≥ 0 tel queµ (| f + g | > A) = 0, on a ‖ f + g ‖∞ ≤ A, donc ici ‖ f + g ‖∞ ≤ ‖ f ‖∞ + ‖ g ‖∞.

Troisième cas : p ∈]1,+∞[. Notons h := | f+g |. Alors h ∈ L p car pour tous x, y ≥ 0,

(x+ y)p ≤ 2p(

max(x, y))p

= 2p max(xp, yp

)≤ 2p

(xp + yp

),

ce qui implique que∫hp dµ ≤ 2p

( ∫| f |p dµ+

∫| g |p dµ

)<∞. Soit q le nombre conjugué

de p. Comme h ∈ L p, hp−1 ∈ L q puisque q(p − 1) = p. Donc grâce à l’inégalité deHölder appliquée à hp−1 ∈ L q et f ∈ L p,∫

E

| f |hp−1 dµ = ‖ fhp−1 ‖1 ≤ ‖ f ‖p ‖hp−1 ‖q.

De même, ∫E

| g |hp−1 dµ ≤ ‖ g ‖p ‖hp−1 ‖q.


Orhp = | f + g |hp−1 ≤ | f |hp−1 + | g |hp−1,

donc∫E

hp dµ ≤ ‖ f ‖p ‖hp−1 ‖q + ‖ g ‖p ‖hp−1 ‖q = (‖ f ‖p + ‖ g ‖p)(∫

E

hq(p−1) dµ

) 1q

,

autrement dit‖h ‖pp ≤ (‖ f ‖p + ‖ g ‖p) ‖h ‖

pqp .

On peut supposer que ‖h ‖p 6= 0, faute de quoi l’inégalité de Minkowski devient triviale,donc en divisant chaque membre par ‖h ‖p/qp , on obtient

‖h ‖p ≤ ‖ f ‖p + ‖ g ‖p,

qui est l’inégalité souhaitée. 2

10.3 Espace L p et espace Lp

On rappelle la notion de norme sur un espace vectoriel F .

Définition 10.6 Une fonction N : F → R+ est appelée norme si(i) pour tout v ∈ F , N(v) = 0 ssi v = 0(ii) [homogénéité] pour tous a ∈ R et v ∈ F , N(av) = | a | N(v)(iii) [inégalité triangulaire] pour tous u, v ∈ F , N(u+ v) ≤ N(u) +N(v).

Si (i) est remplacé par la propriété plus faible (i’) : N(0) = 0, alors N est appelée unesemi-norme.

Remarque 10.7 On rappelle qu’une norme N sur un e.v. F induit une topologie surF , la topologie relative à la distance d(u, v) := N(u− v).

Proposition 10.8 Pour tout p ∈ [1,+∞], (L p, ‖ · ‖p) est un espace vectoriel semi-normé.

Dém. Soient f, g ∈ L p et a ∈ R?.(i’) Si f = 0, alors | f |p = 0, dont l’intégrale est nulle, donc ‖ f ‖p = 0.(ii) évident par linéarité de l’intégrale si p <∞. Si p = +∞, @

‖ af ‖∞ = infm > 0 : µ(| af | ≥ m) = 0= | a | infm′ > 0 : µ(| af | ≥ | a |m′) = 0

= | a | infm′ > 0 : µ(| f | ≥ m′) = 0 = | a | ‖ f ‖∞.

(iii) Inégalité de Minkowski. 2

Si N est une semi-norme sur un e.v. F , il existe un procédé classique consistant àmodifier F pour que N devienne une norme, et qui consiste à identifier u et v ∈ F dès


que N(u − v) = 0. Rigoureusement, il s’agit de définir l’espace quotient de F par larelation d’équivalence

u ∼ v ⇐⇒ N(u− v) = 0,

c’est-à-dire l’ensemble constitué des classes d’équivalence de ∼. Ici, quel que soit p ∈[1,+∞], pour tous f, g ∈ L p,

‖ f − g ‖p = 0⇔ µ(f 6= g) = 0⇔ f = g µ-p.p.

La relation d’équivalence associée à chaque semi-norme ‖ · ‖p ne dépend donc pas de pet est la même pour tous les espaces L p :

f ∼ g ⇐⇒ f = g µ-p.p.

Définition 10.9 Pour p ∈ [1,+∞], on note Lp(E,A , µ), ou Lp(µ), l’ensemble desclasses d’équivalence des éléments de L p(µ) par la relation d’équivalence définie parl’égalité µ-p.p.

Soit f := g : g = f µ-p.p. la classe d’équivalence de f . Les opérations classiquess’étendent aux classes d’équivalence, avec af = af et f + g = f + g.

On peut également définir ‖ · ‖p sur Lp(µ) par ‖ f ‖p = ‖ f ‖p, qui ne dépend pas dureprésentant choisi, car f = g µ-p.p. implique ‖ f ‖p = ‖ g ‖p.

Remarque 10.10 On fera systématiquement l’abus de notation qui consiste à ne pasdifférencier fonctions et classes d’équivalences, c’est-à-dire à utiliser le même symbolepour une fonction f et pour sa classe d’équivalence f .

On a alors immédiatement ce que l’on cherchait.

Théorème 10.11 L’ensemble (Lp(µ), ‖ · ‖p) est un espace vectoriel normé.

Exemple 10.12 On note `p l’espace L p(N,P(N),m), où m est la mesure de comptage.Soit u ∈ `p. Si p <∞, alors

‖u ‖p =

(∑n

|un |p) 1

p

,

tandis que si p = +∞,‖u ‖∞ = sup

n|un |.

Il n’est pas besoin ici de quotienter L p car ‖u ‖p = 0 implique u = 0.

Proposition 10.13 a) pour tous p ≤ q, on a l’inclusion `p ⊆ `q.b) Si µ est finie, alors pour tous p ≤ q, on a l’inclusion Lp(µ) ⊇ Lq(µ).


Dém. En exercice. 2 @

Remarque 10.14 Si µ n’est pas finie, il n’y a pas d’inclusion générale, comme en attestele contre-exemple suivant avec (E,A , µ) = (R,B(R), λ) : avec

f(x) =1√x1]0,1](x) et g(x) =

1√x2 + 1

,

on voit facilement que f est dans L 1 mais pas dans L 2, et que g est dans L 2 mais pasdans L 1.

Deuxième partie

LM365 – Intégration 2

69

Chapitre 11

Construction d’une mesure : existenceet unicité

11.1 Quelques rappels et nouvelles définitions

11.1.1 Rappels

Définition 11.1 Une classe A de parties d’un ensemble E est appelée tribu ou σ-algèbre si

(i) elle contient E : E ∈ A ;(ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A ⊆ E, A ∈ A ⇔ cA ∈

A ;(iii) elle est stable par réunion dénombrable : si (An) est une famille dénombrabled’éléments de A , alors ∪nAn ∈ A .

Définition 11.2 Une mesure sur l’espace mesurable (E,A ) est une application µ : A →[0,+∞] qui :

(i) associe la valeur 0 à l’ensemble vide : µ(∅) = 0 ;(ii) est σ-additive : pour toute suite (An) d’éléments de A deux à deux disjoints,

µ(∪nAn) =∑n

µ(An).

11.1.2 Définitions utiles dans le cadre de l’unicité des mesures

Définition 11.3 Une classe Λ de parties d’un ensemble E est appelée λ-système si(i) elle contient ∅ : ∅ ∈ Λ ;(ii) elle est stable par différence propre : pour tous A,B ∈ Λ, A ⊆ B ⇒ B \ A ∈ Λ ;(iii) elle est stable par réunion dénombrable croissante : si (An) est une suite crois-sante d’éléments de Λ, alors ∪nAn ∈ Λ.

Remarque 11.4 Dans la définition précédente de λ-système, la propriété (i) est seule-ment là pour rappeler que Λ est non vide car c’est une conséquence de (ii).

70

CHAPITRE 11. CONSTRUCTION D’UNE MESURE 71

Remarque 11.5 Une tribu est un λ-système, et donc en particulier P(E) en est un.

Définition 11.6 Un λ-système qui contient E est appelé classe monotone. Une défi-nition de classe monotone peut donc être obtenue par la modification suivante de ladéfinition de λ-système : en changeant (i) pour (i’) : E ∈ Λ.

Proposition 11.7 a) L’intersection d’une collection quelconque non vide de λ-systèmesest un λ-système.

b) Pour toute classe C de parties de E, l’intersection 1 de tous les λ-systèmes conte-nant tous les éléments de C est donc un λ-système, noté Λ(C ), et appelé λ-systèmeengendré par C ou plus petit λ-système contenant C .

Remarque 11.8 On rappelle que l’on définit de la même manière la tribu σ(C ) engen-drée par C . La démonstration de la proposition précédente est laissée en exercice. @

Proposition 11.9 Si Λ est une classe monotone stable par intersections finies, alors Λest une tribu.

Dém. Vérifions une par une les trois propriétés caractéristiques des tribus.(i) E ∈ Λ puisque Λ est une classe monotone.(ii) Comme E ∈ Λ, pour tout A ∈ Λ, le complémentaire de A est la différence propre

E \ A, donc cA ∈ Λ.(iii) Soir (An) une suite d’éléments de Λ. Pour tout entier n, soit Bn := ∪nk=0Ak.

Comme ∪nAn = ∪nBn et que (Bn) est une suite croissante, la propriété (iii) des classesmonotones implique qu’il suffit de montrer que Bn ∈ Λ pour tout n. Autrement dit, ilsuffit de montrer que Λ est stable par réunions finies. Or on se souvient que Λ est stablepar passage au complémentaire et, par hypothèse, stable par intersections finies, doncpour tous A,B ∈ Λ, A ∪B = c(cA ∩ cB) ∈ Λ, ce qui achève la démonstration. 2

Définition 11.10 Une classe C de parties de E est appelée π-système si(i) elle contient E : E ∈ C ;(ii) elle est stable par intersections finies : pour tous A,B ∈ C , A ∩B ∈ C .

Remarque 11.11 Avec cette définition, la proposition qui précède peut s’énoncer ainsi :si A est à la fois un λ-système et un π-système, alors A est une tribu.

Remarque 11.12 Dans Rd, l’ensemble des pavés (produits cartésiens d’intervalles),l’ensemble des pavés ouverts (produits cartésiens d’intervalles ouverts) forment chacunun π-système. @

1. non vide puisque P(E) est un λ-système


11.1.3 Définitions utiles dans le cadre de l’existence des mesures

Définition 11.13 Une classe B de parties d’un ensemble E est appelée algèbre ou al-gèbre de Boole si

(i) elle contient E : E ∈ B ;(ii) elle est stable par passage au complémentaire : pour tout A ⊆ E, A ∈ B ⇔ cA ∈

B ;(iii) elle est stable par réunions finies : pour tous A,B ∈ B, A ∪B ∈ B.

Remarque 11.14 Une tribu est donc une algèbre de Boole stable par réunion dénom-brable, d’où le nom de σ-algèbre.

Remarque 11.15 Dans Rd, l’ensemble des réunions finies de pavés forment une algèbre,ainsi que l’ensemble des réunions finies de pavés disjoints. @

11.2 Unicité d’une mesure

11.2.1 Théorème de la classe monotone et corollaires

Théorème 11.16 (Théorème de la classe monotone) Pour tout π-système C , Λ(C ) =σ(C ). En particulier, le plus petit λ-système Λ(C ) contenant C est donc une tribu.

Dém. Supposons que Λ(C ) est une tribu et montrons qu’alors Λ(C ) = σ(C ). De ma-nière générale, comme σ(C ) est une tribu contenant C , c’est un λ-système contenantC , donc on a toujours Λ(C ) ⊆ σ(C ) (puisque Λ(C ) est le plus petit λ-système conte-nant C ). De plus, d’après l’assertion qui précède, Λ(C ) est une tribu contenant C , doncσ(C ) ⊆ Λ(C ) (puisque σ(C ) est la plus petite tribu contenant C ).

Montrons à présent que Λ(C ) est une tribu. D’après la proposition qui précède, ilsuffit de montrer que Λ(C ) contient E et est stable par intersections finies. Il est évidentque E ∈ Λ(C ) car E ∈ C (C est un π-système) et C ⊆ Λ(C ). En particulier Λ(C )est une classe monotone. Montrons donc que Λ(C ) est stable par intersections finies, enutilisant le fait que C l’est.

Pour tout C ⊆ E fixé, on définit

ΛC := A ∈ Λ(C ) : A ∩ C ∈ Λ(C ).

Nous allons montrer que ΛC est toujours un λ-système.(i) comme A := ∅ ∈ Λ(C ) (qui est une classe monotone) et que A ∩ C = ∅ ∈ Λ(C )

(toujours...), on a bien que ∅ ∈ ΛC .(ii) Pour tous A,B ∈ ΛC tels que A ⊆ B, on a A,B ∈ Λ(C ) avec A ∩ C et B ∩ C

éléments de Λ(C ). Par stabilité par différence propre de Λ(C ), comme A ∩ C ⊆ B ∩ C,on a (B ∩C) \ (A∩C) ∈ Λ(C ), mais (B ∩C) \ (A∩C) = (B \A)∩C, donc B \A ∈ ΛC .

(iii) Soit (An) une suite croissante d’éléments de ΛC , de sorte que pour tout entier n,An ∈ Λ(C ) et An∩C ∈ Λ(C ). Or (An∩C) est croissante, donc comme Λ(C ) est stable parréunion dénombrable croissante, on a ∪n(An∩C) ∈ Λ(C ). Mais ∪n(An∩C) = (∪nAn)∩C,donc ∪nAn ∈ ΛC .


En conclusion, ΛC est bien un λ-système. Supposons maintenant que C ∈ C . AlorsΛC contient tous les éléments de C , en effet pour tout A ∈ C , comme C ∈ C et que Cest stable par intersections finies, A∩C ∈ C , donc A∩C ∈ Λ(C ), de sorte que A ∈ ΛC .Par conséquent, ΛC est un λ-système contenant C , et comme par définition ΛC ⊆ Λ(C ),qui est le plus petit λ-système contenant C , ΛC = Λ(C ). Comme C est arbitraire, onpeut donc écrire

∀C ∈ C , ∀A ∈ Λ(C ), A ∩ C ∈ Λ(C ).

On voudrait maintenant remplacer la première occurrence de C par Λ(C ) de manièreà obtenir la stabilité par intersections finies de Λ(C ). Soit A ∈ Λ(C ). D’après ce quiprécède, pour tout C ∈ C , A ∩ C ∈ Λ(C ), autrement dit C ⊆ ΛA ⊆ Λ(C ). Comme ΛA

est un λ-système, ΛA = Λ(C ). Ceci s’écrit

∀A ∈ Λ(C ), ∀B ∈ Λ(C ), B ∩ A ∈ Λ(C ),

ce qui n’est autre que la stabilité de Λ(C ) par intersections finies. 2

On en déduit les deux résultats d’unicité suivants :

Corollaire 11.17 Soient µ et ν deux mesures finies sur un espace mesurable (E,A ) quicoïncident 2 sur un π-système C ⊆ A qui engendre 3 A , alors µ et ν coïncident sur A .

Corollaire 11.18 Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur un espace mesurable (E,A )telles que :

a) il existe une suite mesurable croissante (En) telle que ∪nEn = E ;b) pour tout entier n, µ(En) = ν(En) <∞ ;c) µ et ν coïncident sur un π-système C engendrant A et contenant chaque En.Alors µ et ν coïncident sur A .

Remarque 11.19 Le fait que µ et ν sont σ-finies pourrait ne pas être mentionné dansl’énoncé qui précède, car c’est en fait une conséquence des conditions (a) et (b).

Démonstration du Corollaire 11.17. Soit Λ := A ∈ A : µ(A) = ν(A). Alors Λ estun λ-système car :

(i) Λ contient l’ensemble vide, puisque µ(∅) = 0 = ν(∅) ;(ii) pour tous éléments A,B de Λ, si A ⊆ B, alors comme µ et ν sont finies,

µ(B \ A) = µ(B)− µ(A) = ν(B)− ν(A) = ν(B \ A).

(iii) pour toute suite croissante (An) d’éléments de Λ, par continuité à gauche de lamesure,

µ(∪nAn) = limn↑ µ(An) = lim

n↑ ν(An) = ν(∪nAn).

Comme Λ contient C , Λ(C ) ⊆ Λ ⊆ A . Mais d’après le théorème de la classe monotone,comme C est un π-système, σ(C ) = Λ(C ). Enfin par hypothèse, A = σ(C ), doncA = σ(C ) = Λ(C ) ⊆ Λ ⊆ A , ce qui montre bien que A = Λ. 2

2. c’est-à-dire que pour tout A ∈ C , µ(A) = ν(A)3. c’est-à-dire que A = σ(C )


Démonstration du Corollaire 11.18. On applique le corollaire 11.17 aux mesurestraces µn := µ(· ∩ En) et νn := ν(· ∩ En) qui sont finies grâce à l’hypothèse (b). Ellescoïncident bien sur C par l’hypothèse (c), car pour tout C ∈ C , comme C ∩ En ∈ C(car En ∈ C et C est stable par intersection),

µn(C) = µ(C ∩ En) = ν(C ∩ En) = νn(C).

Donc µn et νn coïncident sur A . Maintenant l’hypothèse (a) permet de conclure enutilisant la continuité à gauche de la mesure, car pour tout A ∈ A ,

µ(A) = µ(∪nEn ∩ A) = µ(limn↑ (En ∩ A)) = lim

n↑ µ(En ∩ A) = lim

n↑ µn(A),

et de même pour ν. Or µn(A) = νn(A), donc

µ(A) = limn↑ µn(A) = lim

n↑ νn(A) = ν(A),

ce qui montre que µ et ν coïncident sur A . 2

11.2.2 Applications

Unicité de la mesure de Lebesgue

Supposons qu’il existe deux mesures µ et ν sur B(Rd) telles que pour tout pavéouvert R =

∏dk=1 Ik, où chaque Ik =]ak, bk[ est un intervalle (ouvert, mais cela est sans

importance ici) éventuellement infini de R,

µ(R) =d∏

k=1

(bk − ak) = ν(R),

avec la convention habituelle 0×∞ = 0. Montrons qu’alors µ et ν coïncident sur B(Rd).Ceci prouvera l’unicité de la mesure de Lebesgue (dont nous montrerons l’existence à lasection suivante).

Soit C l’ensemble des pavés ouverts de Rd (produits d’intervalles ouverts pouvantêtre infinis, donc en particulier pouvant être égaux à R tout entier, ce qui garantit queRd ∈ C ). En particulier C est un π-système et l’on sait que la tribu engendrée par C est @B(Rd). Soit En le produit des intervalles ]−n, n[, c’est-à-dire En :=

∏dk=1]−n, n[. Alors

les propriétés du corollaire 11.18 sont bien vérifiées : a) ∪nEn = Rd ; b) pour tout entiern, µ(En) = ν(En) = (2n)d <∞ ; c) En ∈ C , et σ(C ) = B(Rd), où C est un π-système.On peut donc conclure que µ et ν coïncident sur B(Rd).

Caractérisation d’une mesure par sa fonction de répartition

Définition 11.20 Si µ est une mesure finie sur (R,B(R)), on appelle fonction de ré-partition de µ la fonction F : R→ R+ définie par F (x) := µ(]−∞, x]).


Proposition 11.21 La fonction de répartition F d’une mesure finie est continue àdroite, croissante, et vérifie

limx→−∞

F (x) = 0 et limx→+∞

F (x) = µ(R).

De plus, pour tous réels a < b

i) µ(]a, b]) = F (b)− F (a) ii) µ([a, b]) = F (b)− F (a−)iii) µ(]a, b[) = F (b−)− F (a) iv) µ([a, b[) = F (b−)− F (a−).

Dém. À faire en exercice. 2 @

Exemple 11.22 Si µ = δa, alors F (x) = 1[a,+∞[. Si µ =∑

n αnδxn, alors F est discon-tinue en tout point xn tel que αn > 0 et continue partout ailleurs

F (x) =∑n

αn1[xn,+∞[.

Définition 11.23 Si µ est une mesure de Borel 4 sur (R,B(R)), on appelle fonction derépartition généralisée de µ la fonction G : R→ R définie par

G(x) =

−µ(]x, 0]) si x < 0µ(]0, x]) si x > 0

0 si x = 0.

Proposition 11.24 La fonction de répartition G d’une mesure de Borel est continue àdroite, croissante, et vérifie

limx→−∞

G(x) = −µ(R−) et limx→+∞

F (x) = µ(R?+).

De plus, pour tous réels a < b, G vérifie les quatre propriétés énoncées à la propositionprécédente pour les mesures finies.

Dém. À faire en exercice. 2 @

Exemple 11.25 Si µ est la mesure de Lebesgue sur R, alors G(x) = x.

Théorème 11.26 Si µ et ν sont deux mesures finies (resp. de Borel) sur (R,B(R)),et qu’elles ont la même fonction de répartition F (resp. la même fonction de répartitiongénéralisée G), alors elles sont égales.

4. c’est-à-dire une mesure finie sur les compacts


Dém. Traitons d’abord le cas où µ et ν sont finies. Soit alors

C := ]−∞, x] : x ∈ R ∪ R.

On voit facilement que C est un π-système engendrant B(R) sur lequel µ et ν coïncident,car µ(]−∞, x]) = F (x) = ν(]−∞, x]) (l’égalité µ(R) = ν(R) s’obtient par passage à lalimite). Le corollaire 11.17 permet de conclure que µ et ν coïncident sur B(R).

Dans le cas où µ et ν sont seulement finies sur les compacts, on définit

C := ]x, y] : −∞ < x ≤ y < +∞ ∪ R,

et En :=]− n, n]. Alors En ∈ C , ∪nEn = R et C est un π-système engendrant B(R) surlequel µ et ν coïncident, car µ(]x, y]) = G(y) − G(x) = ν(]x, y]) (les égalités µ(R−) =ν(R−) et µ(R?

+) = µ(R?+) s’obtiennent pas passages à la limite, et impliquent µ(R) =

ν(R)). Comme on a µ(En) = ν(En) < ∞, le corollaire 11.18 permet de conclure que µet ν coïncident sur B(R). 2

11.3 Existence d’une mesure

11.3.1 Théorème de Caratheodory

Définition 11.27 Soit B une algèbre de Boole sur un ensemble E. Une mesure d’al-gèbre sur (E,B) est une application m : B → [0,+∞] qui :

(i) associe la valeur 0 à l’ensemble vide : m(∅) = 0 ;(ii) est finiment additive : pour tous A,B ∈ B tels que A ∩ B = ∅, m(A ∪ B) =m(A) +m(B) ;

(iii) satisfait la popriété suivante : il existe une suite croissante (En) d’éléments deB convergeant vers E telle que m(En) <∞ pour chaque entier n et telle que pourtout A ∈ B, limn ↑ m(A ∩ En) = m(A) ;

(iv) satisfait la propriété de Caratheodory : pour toute suite décroissante (An) d’élé-ments de B convergeant vers ∅ et telle que m(A0) <∞, limn ↓ m(An) = 0.

Proposition 11.28 Une mesure d’algèbre m sur (E,B) vérifie pour tous A,B ∈ B :(i) Additivité finie : m(A) = m(A \B) +m(A ∩B) ;(ii) Additivité forte : m(A ∪B) +m(A ∩B) = m(A) +m(B) ;(iii) Sous-additivité : m(A ∪B) ≤ m(A) +m(B) ;(iv) Croissance : si A ⊆ B, m(A) ≤ m(B).

Théorème 11.29 (de prolongement de Caratheodory) Soit B une algèbre de Boolesur un ensemble E. Si m est une mesure d’algèbre sur (E,B), alors il existe une mesureµ sur la tribu σ(B) qui coïncide 5 avec m sur B.

Remarque 11.30 On dit alors que µ est un prolongement de la mesure (d’algèbre) m,qui elle est seulement définie sur l’algèbre B, à la tribu σ(B). Ce théorème de prolon-gement est admis.

5. c’est-à-dire que pour tout B ∈ B, µ(B) = m(B)


Remarque 11.31 En fait on aurait directement pu dire dans le théorème qu’il existe ununique tel prolongement. En effet, si µ et ν sont deux prolongements d’une même mesured’algèbre B, alors µ et ν coïncident sur B, qui est aussi un π-système, et comme il existeune suite mesurable (En) convergeant vers E telle que µ(En) = ν(En) < ∞, alors µ etν coïncident sur σ(B) d’après le corollaire 11.18.

11.3.2 Applications

Existence de la mesure de Lebesgue

Montrons l’existence d’une mesure sur Bor(Rd) telle que la mesure d’un pavé R =∏dk=1 Ik, où chaque Ik est un intervalle de R d’extrémité gauche ak ≥ −∞ et d’extrémité

droite bk ≤ +∞ (les extrémités pouvant être fermées ou ouvertes), vaut∏d

k=1(bk − ak).On définit B l’ensemble des réunions finies de pavés deux à deux disjoints. Alors pourtout A ∈ B, A s’écrit de manière unique sous la forme A = ∪ji=1Ri, où les (Ri) sont despavés deux à deux disjoints, et l’on peut définir sans ambiguïté la mesure d’algèbre msur B par m(A) =

∑ji=1m(Ri), où la mesure d’un pavé a été définie précédemment. On

peut alors vérifier que B est une algèbre et que m est une mesure d’algèbre sur (E,B) @avec En définie comme le produit des intervalles ] − n, n[ (pour montrer la propriétéde Caratheodory, on s’inspirera de l’application suivante). Comme σ(B) = Bor(Rd),le théorème de Caratheodory permet bien de déduire l’existence d’une mesure, appeléemesure de Lebesgue, prolongeant la mesure m à tous les boréliens de Rd.

Définition d’une mesure par sa fonction de répartition

Théorème 11.32 Si F : R→ R+ est une fonction croissante, bornée, continue à droiteet telle que limx→−∞ F (x) = 0 alors il existe une (unique) mesure µ sur Bor(R) quiadmet F pour fonction de répartition.

Théorème 11.33 Si G : R → R est une fonction croissante, continue à droite et telleque G(0) = 0, alors il existe une (unique) mesure µ de Borel sur Bor(R) qui admet Gpour fonction de répartition généralisée.

Remarque 11.34 L’existence de la mesure de Lebesgue sur R peut également se déduiredu théorème précédent en prenant G(x) = x.

Dém. du théorème 11.33. Soit B l’ensemble de toutes les réunions finies d’intervallesdisjoints, qui est une algèbre. Pour tous −∞ ≤ x ≤ y ≤ ∞, on définit alors (avec @G(−∞) = limx→−∞G(x) et G(∞−) = limx→∞G(x))

m(]x, y[) := G(y−)−G(x) et m(x) = G(x)−G(x−),

ce qui définit m sur tout intervalle de R, et pour tout A = ∪ij=1Ij ∈ B, où les (Ij) sontdes intervalles disjoints, m(A) :=

∑ij=1m(Ij). Montrons que les quatre propriétés du

théorème de prolongement de Caratheodory sont satisfaites. Le résultat découlera alorsde ce théorème car σ(B) = Bor(R).


Il est immédiat de vérifier que c’est bien le cas des propriétés (i) et (ii). Pour (iii),définissons En :=] − n, n] et fixons A ∈ B. En distinguant suivant que A contient unintervalle infini ou non, on montre alors que limn ↑ m(A ∩ En) = m(A). D’après ladéfinition de la mesure d’algèbre m, on peut toujours se ramener au cas où A est un seulintervalle. Si par exemple A =]x,+∞[, où x est fini, alors à partir d’un certain rang,A ∩ En =]x, n] et limnm(A ∩ En) = limnG(n) − G(x) = G(∞−) − G(x) = m(A). Lesautres cas se démontrent de la même manière.

Le plus difficile reste à faire, à savoir montrer que la propriété (iv), dite de Cara-theodory, est satisfaite. Soit donc une suite décroissante (An) d’éléments de B telle quem(A0) <∞. On peut donc écrire An de manière unique sous la forme

An =Kn⋃k=1

Ik,n,

où les Kn intervalles (Ik,n)k sont disjoints. On fixe alors ε et l’on cherche à définir unesuite de compacts (A′n) telle que A′n ⊆ An et m(An \ A′n) ≤ ε2−n. Il suffit pour celad’exhiber des intervalles compacts I ′k,n ⊆ Ik,n suffisamment grands pour que

m(Ik,n \ I ′k,n

)≤ ε

Kn2nn ≥ 0, 1 ≤ k ≤ Kn.

En effet, en définissant

A′n :=Kn⋃k=1

I ′k,n,

on aura alors An ⊆ A′n et An \ A′n = ∪Knk=1

(Ik,n \ I ′k,n

), si bien que

m (An \ A′n) =Kn∑k=1

m(Ik,n \ I ′k,n

)≤

Kn∑k=1

ε

Kn2n=

ε

2n.

Remarquons d’abord que pour tous −∞ ≤ x ≤ y ≤ +∞ tels que m(]x, y[) < ∞,pour toute suite décroissante (xn) convergeant vers x et pour toute suite croissante (yn)convergeant vers y,

m(]x, y[\[xn, yn]) = m(]x, xn[) +m(]yn, y[) = G(xn−)−G(x) +G(y−)−G(yn) −→ 0,

lorsque n → ∞, car G est continue à droite (avec des limites à gauche, car croissante)et l’on a supposé que G(y−) et G(x) sont finis. En conclusion, pour tout α > 0 et toutintervalle I =]x, y[ de R (resp. I = [x, y[, resp. I =]x, y]) tel que m(I) <∞, il existe unintervalle compact I ′ = [x′, y′] (resp. I ′ = [x, y′], resp. I ′ = [x′, y]) inclus dans I tel quem(I ′ \ I) < α. Puisque m(A0) <∞, on peut donc bien trouver des intervalles compactsI ′k,n vérifiant la propriété demandée. Supposons qu’il existe x ∈ ∩nA′n. Alors pour toutentier n, x ∈ A′n, donc x ∈ An puisque A′n ⊆ An. Par conséquent, x ∈ ∩nAn, ce quicontredit ∩nAn = ∅, ce qui prouve que ∩nA′n = ∅. Or chaque A′n est compact (commeréunion finie de compacts) donc il existe un entier N tel que ∩Nn=0A

′n = ∅. Or @

CHAPITRE 11. CONSTRUCTION D’UNE MESURE 79(N⋂n=0

An

)∩ c

(N⋃n=0

An \ A′n

)=

(N⋂n=0

An

)∩

(N⋂n=0

(cAn ∪ A′n)

)

=N⋂n=0

An ∩ (cAn ∪ A′n) =N⋂n=0

An ∩ A′n =N⋂n=0

A′n = ∅.

De cette intersection vide, on déduit que

AN =N⋂n=0

An ⊆N⋃n=0

(An \ A′n) .

Mais comme une mesure d’algèbre est croissante et sous-additive, pour tout entier k ≥ N , @

m(Ak) ≤ m(AN) ≤ m

(N⋃n=0

(An \ A′n)

)≤

N∑n=0

m (An \ A′n) ≤N∑n=0

ε2−n ≤ 2ε.

En conclusion, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout k ≥ N , m(Ak) ≤2ε, ce qui n’est autre que la propriété de Caratheodory. 2

Chapitre 12

Tribu produit, mesure produit et« intégrales multiples »

12.1 Tribu produit

12.1.1 Cas général

Soient (E1,A1) et (E2,A2) deux espaces mesurables.

Définition 12.1 On appelle tribu produit sur E1 × E2, et l’on note A1 ⊗ A2, la pluspetite tribu contenant les rectangles à côtés mesurables :

A1 ⊗A2 := σ (A1 ×A2) ,

où l’on a notéA1 ×A2 := A1 × A2 : A1 ∈ A1, A2 ∈ A2.

Le couple (E1 × E2,A1 ⊗A2) est appelé espace mesurable produit.

Remarque 12.2 Bien entendu, la famille A1 × A2 des rectangles à côtés mesurablesn’est en général pas une tribu.

Proposition 12.3 La tribu A1 ⊗ A2 est aussi la tribu engendrée par les projectionscanoniques π1 et π2, c’est-à-dire la plus petite tribu sur E1 × E2 qui rende π1 et π2

mesurables 1.

Dém. Soit B la tribu engendrée par π1 et π2. Par définition, B est la plus petite tribucontenant les parties de E1 × E2 de la forme π−1

1 (A1) et π−12 (A2) où Ai ∈ Ai, i = 1, 2.

Or π−11 (A1) = A1 × E2 et π−1

2 (A2) = E1 × A2, donc B est aussi la plus petite tribu quicontient les parties de E1×E2 de la forme (A1×E2)∩ (E1×A2) = A1×A2, c’est-à-direσ(A1 ×A2). 2

1. On rappelle que π1 et π2 sont définies par : π1(x, y) = x et que π2(x, y) = y

80

CHAPITRE 12. TRIBU PRODUIT ET MESURE PRODUIT 81

Proposition 12.4 Soit

f : (X,T ) −→ (E1 × E2,A1 ⊗A2)

x 7−→ f(x) = (f1(x), f2(x))

Alors la fonction f est mesurable ssi f1 et f2 sont mesurables 2.

Dém. Sens direct de l’équivalence : si f est mesurable alors pour tout i = 1, 2, fi = πifest mesurable comme composée de fonctions mesurables.

Autre sens : supposons que f1 et f2 sont mesurables. Alors pour tous A1 ∈ A1 etA2 ∈ A2,

f−1(A1×A2) = x ∈ X : f(x) ∈ A1×A2 = x ∈ X : f1(x) ∈ A1, f2(x) ∈ A2 = f−11 (A1)∩f−1

2 (A2).

Par hypothèse f−11 (A1) ∈ T et f−1

2 (A2) ∈ T , donc f−1(A1 × A2) ∈ T par stabilité destribus par intersection. En conclusion, f−1(A1 ×A2) ⊆ T , donc

f−1(A1 ⊗A2) = σ(f−1(A1 ×A2)

)⊆ T ,

où la première égalité est une application du lemme de transport, et l’inclusion n’estautre que la mesurabilité de f . 2

Remarque 12.5 Ce qui précède peut bien sûr s’énoncer de manière similaire pour toutproduit cartésien fini d’ensembles. Si ((Ei,Ai))1≤i≤d sont d espaces mesurables, alors ondéfinit A1 ⊗ · · · ⊗ Ad comme la plus petite tribu sur E1 × · · · × Ed contenant tous lesrectangles de la forme A1 × · · · × Ad, où Ai ∈ Ai pour tous i = 1, . . . , d ; c’est aussi latribu engendrée par les projections canoniques

πi :d∏j=1

Ej −→ Ei

(x1, . . . , xd) 7−→ xi

pour i parcourant 1, . . . , d.

Proposition 12.6 (associativité de ⊗) On a l’égalité suivante entre tribus

(A1 ⊗ · · · ⊗Aj)⊗ (Aj+1 ⊗ · · · ⊗Ad) = A1 ⊗ · · · ⊗Ad,

où l’on a bien sûr identifié (E1 × · · · × Ej)× (Ej+1 × · · · × Ed) et E1 × · · · × Ed.

2. comme fonctions de (X,T ) vers (E1,A1) et (E2,A2) respectivement


Dém. Montrons la proposition dans le cas où j = 2 et d = 3.Première démonstration possible. La tribu (A1⊗A2)⊗A3 est la plus petite tribu qui

rende mesurables les applications

f1,2 : E1 × E2 × E3 −→ (E1 × E2,A1 ⊗A2)

((x1, x2), x3) 7−→ (x1, x2)

et

f3 : E1 × E2 × E3 −→ (E3,A3)

((x1, x2), x3) 7−→ x3

Or f1,2 est mesurable ssi ses applications coordonnées le sont. Par conséquent, ces deuxapplications sont mesurables ssi les trois applications (x1, x2, x3) 7→ xi, pour i = 1, 2, 3,sont mesurables. Donc (A1 ⊗A2)⊗A3 est la tribu engendrée par ces trois applications,c’est donc A1 ⊗A2 ⊗A3.

Deuxième démonstration possible, par double inclusion. Cette démonstration est pluscompliquée, mais constitue un bon exercice. Démontrons d’abord l’inclusion A1 ⊗A2 ⊗A3 ⊆ (A1 ⊗A2)⊗A3. Pour tous Ai ∈ Ai, (i = 1, 2, 3), A1 × A2 ∈ A1 ⊗A2, donc

A1 × A2 × A3 ∈ (A1 ⊗A2)×A3 ⊆ (A1 ⊗A2)⊗A3,

donc (A1 ⊗A2)⊗A3 contient les rectangles à côtés mesurables de E1 × E2 × E3, donccontient tous les éléments de la tribu qu’ils engendrent, ce qui est l’inclusion annoncée.

Montrons l’inclusion inverse. Fixons A3 ∈ A3 et définissons

T := B ∈ A1 ⊗A2 : B × A3 ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3.

On veut montrer que T est une tribu : si T est une tribu, alors comme T contient lesrectangles de E1×E2 à côtés mesurables, T contient tous les éléments de la tribu B :=A1⊗A2 qu’ils engendrent. Ceci implique que pour tout B ∈ B, B×A3 ∈ A1⊗A2⊗A3,où A3 est un élément arbitraire de A3. Autrement dit, B ×A3 ⊆ A1 ⊗A2 ⊗A3 et donc

B ⊗A3 = σ(B ×A3) ⊆ A1 ⊗A2 ⊗A3,

qui est l’inclusion annoncée. Vérifions donc que T est une tribu :i) ∅ ∈ T car ∅× A3 = ∅ ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3.ii) pour tout B ∈ T , cB ∈ T car

cB × A3 = (E1 × E2 × A3) ∩ c(B × A3)

qui est bien élément de T car E1×E2×A3 ∈ A1⊗A2⊗A3 et B×A3 ∈ A1⊗A2⊗A3,qui est une tribu, donc stable par passage au complémentaire et intersection.

iii) pour toute suite (Bn) d’éléments de T ,

(∪nBn)× A3 = ∪n(Bn × A3),

qui est bien élément de T car pour tout n, Bn ×A3 ∈ A1 ⊗A2 ⊗A3, qui est une tribu,donc stable par réunion dénombrable. 2


12.1.2 Le cas borélien

Lorsque E1 et E2 sont des espaces topologiques, nous disposons déjà d’une tribu surE1 × E2 qui est la tribu borélienne Bor(E1 × E2), ou tribu engendrée par la topologieproduit, dont on rappelle que les éléments sont les réunions (quelconques) de produitsd’ouverts (dits aussi rectangles à côtés ouverts).

Proposition 12.7 a) On a toujours l’inclusion

Bor(E1)⊗Bor(E2) ⊆ Bor(E1 × E2).

b) Si E1 et E2 sont tous deux à bases dénombrable d’ouverts (en particulier si E1 et E2

sont des espaces métriques séparables), alors l’inclusion précédente devient une égalité.

Dém. a) Par définition de la topologie produit, πi : E1 × E2 → Ei est continue pouri = 1, 2 (i = 1 : si O1 est un ouvert de E1, π−1

1 (O1) = O1×E2 est un ouvert de E1×E2),et par conséquent πi est borélienne 3. Or la plus petite tribu qui rende mesurable π1 etπ2 est Bor(E1)⊗Bor(E2), d’où le résultat.

b) Pour tout i = 1, 2, soit Ui = (U(i)n )n∈N une base dénombrable d’ouverts de Ei,

c’est-à-dire que tout ouvert de Ei peut s’écrire comme réunion (forcément dénombrable,donc) d’éléments de Ui. Par définition de la topologie produit, tout ouvert Ω de E1×E2

est une réunion (quelconque, cette fois) de produits d’ouverts

Ω =⋃j∈J

O(1)j ×O

(2)j ,

où J est un ensemble d’indices quelconque et pour tous i, j, O(i)j est un ouvert de Ei.

Comme O(i)j est un ouvert de Ei, O

(i)j s’écrit comme réunion d’éléments de Ui, c’est-à-dire

qu’il existe une partie K(i)j de N telle que

O(i)j =

⋃h∈K(i)

j

U(i)h ,

et ainsi

O(1)j ×O

(2)j =

⋃h∈K(1)

j

U(1)h

× ⋃k∈K(2)

j

U(2)k

=⋃

(h,k)∈K(1)j ×K

(2)j

U(1)h × U

(2)k .

En conclusion,Ω =

⋃(h,k)∈∪j∈JK

(1)j ×K

(2)j

U(1)h × U

(2)k ,

3. sans ambiguïté : l’espace d’arrivée Ei est muni de sa tribu borélienne Bor(Ei) et l’espace de départ E1×E2

est muni de sa tribu borélienne Bor(E1 × E2)


qui est une réunion dénombrable de produits d’ouverts car ∪j∈JK(1)j ×K

(2)j ⊆ N2. Comme

un produit d’ouverts est élément de Bor(E1) ⊗Bor(E2), c’est le cas également de Ω,par stabilité des tribus par réunion dénombrable. Ainsi les ouverts de E1 × E2 sont deséléments de la tribu Bor(E1)⊗Bor(E2), et par conséquent la plus petite tribu contenantles ouverts de E1 ×E2, à savoir Bor(E1 ×E2), est incluse dans Bor(E1)⊗Bor(E2). 2

Corollaire 12.8 Comme R est un espace métrique séparable, Bor(R) ⊗ Bor(R) =Bor(R2) et plus généralement, pour tout entier d ≥ 2,

Bor(R)⊗d = Bor(Rd).

Ce corollaire permet, par exemple, de voir rapidement pourquoi, si f, g : R → R sontdeux fonctions boréliennes, alors f + g et fg sont aussi boréliennes. En effet, on sait quel’application somme S

S : (R2,Bor(R2)) −→ (R,Bor(R))

(x, y) 7−→ x+ y

et l’application produit P

P : (R2,Bor(R2)) −→ (R,Bor(R))

(x, y) 7−→ xy

sont boréliennes car continues. De plus, on sait que l’application

C : (R,Bor(R)) −→ (R2,Bor(R)⊗Bor(R))

x 7−→ (f(x), g(x))

est mesurable, car les deux applications coordonnées f et g sont mesurables. Ayantl’égalité entre Bor(R2) et Bor(R)⊗Bor(R), on a donc la mesurabilité de f + g = S Cet de fg = P C.

12.1.3 Sections

Définition 12.9 Si C ∈ A1 ⊗A2, pour tous x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2, on note

Cx1 := y2 ∈ E2 : (x1, y2) ∈ C et Cx2 := y1 ∈ E1 : (y1, x2) ∈ C,

que l’on appelle sections de C.

Proposition 12.10 Soit f ∈ F (A1 ⊗A2,Bor(R)). Alors pour tout x1 ∈ E1, l’applica-tion partielle

fx1 : (E2,A2) −→ (R,Bor(R))

x2 7−→ f(x1, x2)

est mesurable.

Remarque 12.11 Attention, la réciproque est fausse : le fait que toutes les applicationspartielles soient mesurables n’implique pas forcément que f soit mesurable.


Dém. L’application

gx1 : (E2,A2) −→ (E1 × E2,A1 ⊗A2)

x2 7−→ (x1, x2)

est mesurable car chacune des applications coordonnées l’est de façon évidente. Doncfx1 = f gx1 est mesurable. 2

Proposition 12.12 Les sections d’éléments de la tribu produit sont mesurables. Autre-ment dit, pour tout C ∈ A1 ⊗ A2 et pour tous x1 ∈ E1 et x2 ∈ E2 : Cx1 ∈ A2 etCx2 ∈ A1.

Dém. Il suffit d’appliquer la proposition précédente à la fonction f = 1C , qui estmesurable par hypothèse. On obtient donc que fx1 est mesurable, mais fx1 = 1Cx1

, doncCx1 ∈ A2. 2

12.2 Mesure produit

Soient µ1 et µ2 deux mesures σ-finies, sur (E1,A1) et (E2,A2) respectivement.

Lemme 12.13 Pour tout C ∈ A1 ⊗A2, l’application

hC : (E1,A1) −→ (R+,Bor(R+))

x1 7−→ µ2(Cx1)

est mesurable.

Dém. Supposons d’abord que µ2 est finie. Soit

Λ := C ∈ A1 ⊗A2 : hC est mesurable.

Montrons que Λ est une classe monotone.i) C = E1 × E2 ∈ Λ car Cx1 = E2 pour tout x1 ∈ E1, et hC est donc la fonction

constante à µ2(E2), qui est toujours mesurable.ii) Soient C ⊆ D tous deux éléments de Λ. Alors hC et hD sont mesurables, et

hD\C = hD − hC , car (D \ C)x1 = Dx1 \ Cx1 , avec Cx1 ⊆ Dx1 . Donc hD\C est mesurable,et D \ C ∈ Λ.

iii) Soit (C(n))n une suite croissante d’éléments de Λ et C sa limite. Alors la suite(C

(n)x1 ) est croissante, donc par continuité à gauche de la mesure µ2,

hC(x1) = µ2((∪nC(n))x1) = µ2(∪nC(n)x1

) = µ2(limn↑ C(n)

x1) = lim

n↑ µ2(C(n)

x1) = lim

nhCn ,

qui est bien mesurable, comme limite de fonctions mesurables.


En conclusion, Λ est bien une classe monotone. Montrons que Λ contient le π-systèmeA1 ×A2. En effet, pour tout C = A1 × A2 ∈ A1 ×A2,

Cx1 =

A2 si x1 ∈ A1

∅ sinon,

donc hC = µ2(A2)1A1 , qui est mesurable car étagée. Le théorème de la classe monotoneassure alors que Λ contient σ(A1 ×A2) = A1 ⊗A2. La proposition est donc démontréedans le cas où µ2 est finie.

Si µ2 est seulement σ-finie, alors par définition, il existe une suite croissante (E(n)2 )n

d’éléments de A2 convergeant vers E2 telle que µ2(E(n)2 ) < ∞ pour tout entier n. En

particulier, pour tout A2 ∈ A2, µ2(A2) = limn ↑ µ2(A2 ∩ E(n)2 ). En appliquant ce qui

précède à la mesure trace de µ2 sur E(n)2 , on obtient que l’application hn : x1 7→ µ2(Cx1 ∩

E(n)2 ) est mesurable, et par conséquent l’application hC est également mesurable, comme

limite (croissante) de la suite de fonctions (hn). 2

Théorème 12.14 Il existe une unique mesure m sur l’espace produit (E1×E2,A1⊗A2)vérifiant

m(A1 × A2) = µ1(A1)µ2(A2)

pour tous A1 ∈ A1 et A2 ∈ A2. Cette mesure est σ-finie et est appelée mesure produit.On la note m = µ1 ⊗ µ2. De plus, pour tout C ∈ A1 ⊗A2,∫

E1

µ2(Cx1) dµ1(x1) = µ1 ⊗ µ2(C) =

∫E2

µ1(Cx2) dµ2(x2).

Remarque 12.15 On pourrait énoncer un résultat qui assure que le produit de mesures⊗ est associatif, et le démontrer en utilisant la coïncidence des différents produits de me-sures possibles sur les rectangles à côtés mesurables. Une conséquence de cette remarque @est la proposition suivante.

Proposition 12.16 La mesure de Lebesgue λd sur (Rd,Bor(Rd)) est aussi la mesureproduit λ⊗d1 .

Remarque 12.17 Le théorème 12.14 est faux lorsque µ1 ou µ2 n’est pas σ-finie commeon le voit en prenant par exemple la mesure de Lebesgue sur R pour µ1 (qui est bienσ-finie) mais la mesure de comptage sur R pour µ2 (qui n’est pas σ-finie). En prenantpar exemple (E1,A1) = (R,Bor(R)), (E2,A2) = (R,P(R)), et C = (x, x) : x ∈ R lapremière bissectrice de R2, alors Cx1 = x1 et Cx2 = x2, donc µ1(Cx2) = 0, tandisque µ2(Cx1) = 1. Par conséquent,∫

E1

µ2(Cx1) dµ1(x1) = µ1(E1) = +∞ 6= 0 =

∫E2

µ1(Cx2) dµ2(x2).


Dém. du théorème 12.14. a) Unicité. Si m et m′ vérifient la propriété du théorème,c’est qu’elles coïncident sur le π-système A1×A2 qui engendre A1⊗A2. De plus, commeµ1 et µ2 sont toutes deux σ-finies, alors pour i = 1, 2, il existe une suite croissante (E

(n)i )

d’éléments de Ai convergeant vers Ei et tels que µi(E(n)i ) < ∞. Alors si l’on définit

Cn = E(n)1 ×E

(n)2 , m(Cn) = m′(Cn) = µ1(E

(n)1 )µ2(E

(n)2 ) <∞ et ∪nCn = E1 ×E2, ce qui

permet de conclure que m = m′ par le corollaire 11.18.b) Existence. On définit m1 : A1 ⊗A2 → R+ par

m1(C) :=

∫E1

µ2(Cx1) dµ1(x1).

Montrons que m1 est une mesure.i) m1(∅) = 0 car toutes les sections de l’ensemble vide sont vides.ii) Soit (C(n)) une suite d’éléments de A1⊗A2 deux à deux disjoints. Alors pour tout

x1 ∈ E1, les sections (C(n)x1 ) sont deux à deux disjointes et

(∪nC(n)

)x1

= ∪nC(n)x1 , si bien

que, par le théorème de Beppo Levi,

m1

(∪nC(n)

)=

∫E1

(∑n

µ2

(C(n)x1

))dµ1(x1) =

∑n

∫E1

µ2

(C(n)x1

)dµ1(x1) =

∑n

m1

(C(n)

),

ce qui prouve la σ-additivité de m1. De plus, pour tous A1 ∈ A1 et A2 ∈ A2, et pourtout x1 ∈ E1, la section (A1 × A2)x1 vaut A2 si x1 ∈ A1 et est vide sinon. Ainsi,

m1(A1 × A2) =

∫A1

µ2(A2) dµ1(x1) = µ1(A1)µ2(A2).

Il existe donc bien une mesure m = m1 satisfaisant m(A1×A2) = µ1(A1)µ2(A2) et cettemesure vérifie

m(C) :=

∫E1

µ2(Cx1) dµ1(x1).

De même, on définit la mesure m2 par

m2(C) :=

∫E2

µ1(Cx2) dµ2(x2),

et l’on montre que m2 est une mesure qui coïncide avec m sur A1 ×A2, donc est égaleà m (cf. a)). On se reportera aussi à a) pour voir que m est σ-finie. 2

12.3 Théorèmes de Fubini

12.3.1 Théorème de Fubini–Tonelli

Théorème 12.18 (de Fubini–Tonelli) Si f : (E1 × E2,A1 ⊗ A2) → (R+,Bor(R+))est mesurable, alors les fonctions φ et ψ définies resp. sur E1 et E2 par

φ(x1) :=

∫E2

f(x1, x2) dµ2(x2) et ψ(x2) :=

∫E1

f(x1, x2) dµ1(x1)


sont toutes deux mesurables et l’on a la double égalité dans R+∫E1

φ dµ1 =

∫E1×E2

f d(µ1 ⊗ µ2) =

∫E2

ψ dµ2. (12.1)

Dém. Si f = 1C pour C ∈ A1 ⊗ A2, alors φ(x1) = µ2(Cx1) et ψ(x2) = µ1(Cx2), etdonc d’après le lemme 12.13 assure que φ et ψ sont mesurables et les trois termes del’équation (12.1) sont égaux à µ1⊗ µ2(C) par le théorème 12.14. Cette assertion s’étendaux fonctions étagées positives pas linéarité de l’intégrale, puis aux fonctions mesurablespositives par le lemme fondamental d’approximation et le théorème de Beppo Levi. 2

12.3.2 Théorème de Fubini–Lebesgue

Théorème 12.19 (de Fubini–Lebesgue) Soit f comme dans le théorème de Fubini–Tonelli mais de signe quelconque. Alors si f est µ1 ⊗ µ2-intégrable 4, alors les fonctionsφ et ψ du théorème sont resp. définies µ1-p.p. et µ2-p.p., sont resp. µ1-intégrables etµ2-intégrables, et vérifient la double égalité (12.1).

Dém. On définitφ+(x1) =

∫E2

f+(x1, x2) dµ2(x2),

ainsi que de manière évidente, φ−, ψ+ et ψ−. D’après le théorème de Fubini–Tonelli,∫E1

φ+ dµ1 =

∫E1×E2

f+ d(µ1 ⊗ µ2) =

∫E2

ψ+ dµ2,

qui est un nombre réel fini par hypothèse (se référer au terme du milieu). Par conséquent,φ+ est finie µ1-p.p. et ψ+ est finie µ2-p.p., ainsi que φ− et ψ− respectivement. Donc lafonction φ est définie µ1-p.p. (comme différence de deux fonctions finies p.p.) et l’intégralede |φ | est finie car égale à la somme des intégrales de φ+ et de φ−, qui sont toutes deuxfinies. Le résultat analogue se démontre de la même manière pour ψ, et ainsi l’égalité(12.1) s’obtient en faisant la différence de deux quantités finies. 2

Remarque 12.20 Si f est positive, le théorème de Fubini–Tonelli assure que l’intégralede f par rapport à µ1⊗µ2 peut toujours se calculer en faisant deux intégrales « simples »successives dans l’ordre que l’on souhaite. Si f est de signe quelconque, il faut, pour ap-pliquer le théorème de Fubini-Lebesgue, d’abord vérifier l’intégrabilité de | f | par rapportà µ1 ⊗ µ2 en utilisant le théorème de Fubini–Tonelli (il suffit de vérifier que l’une desintégrales« doubles » est finie).

Remarque 12.21 Par convention d’écriture, on écrira invariablement :∫E1×E2

f d(µ1 ⊗ µ2) =

∫E1

dµ1(x1)

∫E2

dµ2(x2) f(x1, x2)

=

∫E2

dµ2(x2)

∫E1

dµ1(x1) f(x1, x2) =

∫E1

∫E2

dµ1(x1)dµ2(dx2) f(x1, x2),

4. ce qui se vérifie grâce au théorème de Fubini–Tonelli...


mais on évitera en général d’écrire des intégrales « multiples » comme∫E

· · ·∫E

f(x1, . . . , xn) dµ(x1) · · · dµ(xn),

auquel on préférera ∫Enf dµ⊗n.

Remarque 12.22 Si (an,m) est une suite doublement indicée de nombres réels positifset si µ est la mesure de comptage sur (N,P(N)), alors l’interversion suivante∑

n

∑m

an,m =∑m

∑n

an,m

peut être vue comme une application du théorème de Beppo Levi, car∑

m an,m =∫N an,m dµ(m),

comme du théorème de Fubini–Tonelli, car les termes de l’équation sont tous deux égauxà∫N×N an,mdµ

⊗2(n,m).

Chapitre 13

Mesure image et changement devariable

13.1 Mesure image

Soient (E1,A1) et (E2,A2) deux espaces mesurables, µ une mesure sur (E1,A1) eth ∈ F (A1,A2).

Définition 13.1 (et proposition) L’égalité

ν(A2) := µ(h−1(A2)

)A2 ∈ A2

définit une mesure ν sur (E2,A2) appelée mesure image et notée µ h−1, ou h(µ), ouencore µh.

Dém. i) ν(∅) = µ(h−1(∅)) = µ(∅) = 0.ii) Soit (Bn) une suite d’éléments de A2 deux à deux disjoints, alors d’après les

formules de Hausdorff, pour tous i 6= j,

h−1(Bi) ∩ h−1(Bj) = h−1(Bi ∩Bj) = h−1(∅) = ∅,

et ainsi

ν (∪nBn) = µ(h−1(Bn)

)= µ

(∪nh−1(Bn)

)=∑n

µ(h−1(Bn)

)=∑n

ν(Bn),

par σ-additivité de µ. 2

Théorème 13.2 Soit f ∈ F (A2,Bor(R)). Si f est positive µh-p.p. alors on a l’égalitésuivante dans R+ ∫

E2

f dµh =

∫E1

f h dµ. (13.1)

De même, f est µh-intégrable ssi f h est µ-intégrable, et si c’est le cas, on a l’égalité(13.1) dans R.

90

CHAPITRE 13. MESURE IMAGE ET CHANGEMENT DE VARIABLE 91

Dém. Si f = 1B, où B ∈ A2, alors∫E1

f h dµ =

∫E1

1B h dµ =

∫E1

1h−1(B) dµ = µ(h−1(B)

)= µh(B) =

∫E2

f dµh.

La linéarité de l’intégrale, le lemme fondamental d’approximation et le théorème deBeppo Levi impliquent (13.1) dès que f est positive µh-p.p. L’extension aux fonctions me-surables de signe quelconque et l’équivalence des intégrabilités se déduisent classiquement @de la décomposition f = f+ − f−. 2

Application. Soit h ∈ F (A ,A ) telle que µh = µ. Alors∫E

f dµ =

∫E

f h dµ

pour toute fonction positive µ-p.p. ou µ-intégrable. En particulier, si µ est la mesure deLebesgue sur Rd et h = τa est la translation de vecteur a ∈ Rd, alors µh = µ et donc∫

Rdf(x+ a) dλ(x) =

∫Rdf dλ.

À partir de maintenant on supposera que µ = λd, que l’on notera λ s’il n’y a pasd’ambiguïté.

Proposition 13.3 Soit A ∈ GLd(R) et b ∈ Rd. Soit h l’application affine définie parh(x) = Ax+ b. Alors

h(λ) = | detA |−1 λ.

En particulier, pour tout f positive ou λ-intégrable, on a∫Rdf h dλ =

1

| detA |

∫Rdf dλ.

Application (vue en détail en TD) : calcul du volume de la boule unité. Soit Bn(r)la boule (centrée sur l’origine) de rayon r dans Rn muni de la norme euclidienne. Alorspar la proposition précédente, si h est l’homothétie de paramètre r−1,

Vol(Bn(r)) = λ(h−1(Bn(1))) = | det(h) |−1 λ(Bn(1)) = rn λ(Bn(1)).

D’autre part si cn := Vol(Bn(1)), alors

cn =

∫ 1

−1

dx1

∫x22+···+x2n≤1−x21

dx2 · · · dxn =

∫ 1

−1

dx1Vol(Bn−1

(√1− x2

1

))= cn−1In−1,

où l’on a défini

In :=

∫ 1

−1

(1− x2

)n/2dx.


Une intégration par parties permet de voir que In = nIn−2/(n + 1), ce qui indiquepourquoi le résultat dépend de la parité de n. En effet, après calculs, on obtient pourtout entier k

c2k =πk

k!,

tandis que

c2k+1 =2k+1πk

1 · 3 · 5 · · · (2k + 1).

On retrouve ainsi que c1 = 2, c2 = π et c3 = 4π/3.

Dém. de la proposition. Montrons qu’on peut supposer que b = 0. Admettons laproposition dans le cas où b = 0, c’est-à-dire que λ A−1 = | detA |−1λ. Maintenant sih(x) = Ax+ b, c’est-à-dire h = τb A, on a

λ h−1 = λ (τb A)−1 = λ A−1 τ−1b = | detA |−1λ τ−1

b = | detA |−1λ.

On peut donc supposer dorénavant que b = 0. Soit ν := A(λ). Il faut montrer queν = | detA |−1λ. Montrons d’abord que ν est invariante par translation. En effet, commepour tout c ∈ Rd, A−1 τ−1

c (x) = A−1(x− c) = A−1(x)− A−1(c) = τ−A−1(c) A−1(x),

ν τ−1c = λ A−1 τ−1

c = λ τ−A−1(c) A−1 = λ A−1 = ν.

Soit Cd le pavé unité [0, 1]d. Montrons que ν(Cd) > 0. Comme Rd ⊆ ∪x∈Zd(x+ Cd), parinvariance par translation de ν,

ν(Rd)≤∑x∈Zd

ν(x+ Cd) =∑x∈Zd

ν(Cd),

donc si ν(Cd) = 0, ν(Rd)

= 0, ce qui n’est pas possible car ν(Rd)

= λ A−1(Rd)

=

λ(Rd)

= +∞. Montrons que ν(Cd) <∞. L’application A−1 est linéaire, donc continue,donc l’image C ′d du compact Cd par A−1 est également compacte. Comme λ est finie surles compacts, ν(Cd) = λ(C ′d) <∞.

Soit c = c(A) = λ A−1([0, 1]d

). D’après ce qui précède, c ∈]0,∞[ et ν ′ = c−1ν est

une mesure invariante par translation telle que ν ′([0, 1]d

)= 1, donc ν ′ est la mesure de

Lebesgue sur Rd. Il suffit donc de montrer que c(A) = | detA |−1. Montrons que c estun morphisme. Si ϕ1 et ϕ2 sont deux endomorphismes inversibles de Rd, alors d’après cequi précède,

λ (ϕ1 ϕ2)−1 = c(ϕ1 ϕ2)λ,

mais également

λ (ϕ1 ϕ2)−1 = λ ϕ−12 ϕ−1

1 = c(ϕ2)λ ϕ−11 = c(ϕ2) c(ϕ1)λ,

ce qui implique effectivement que c(ϕ1 ϕ2) = c(ϕ1) c(ϕ2). Comme tout endomorphismeinversible Φ de Rd s’écrit comme produit fini d’endomorphismes du type ϕ1, ϕ2, ϕ3, où(en écrivant ei le i-ème vecteur de la base canonique)

ϕ1(ei) = eσ(i) pour σ une permutation de 1, . . . , d,


ϕ2(e1) = αe1 et ϕ2(ej) = ej ∀j 6= 1 (avec α 6= 0),

ϕ3(e1) = e1 + e2, et ϕ3(ej) = ej ∀j 6= 1,

il suffit de montrer que c(ϕ) = | detϕ |−1 pour chacune de ces trois (sortes d’)applications.En effet, ceci étant démontré, nous aurons pour Φ = Πn

i=1φi, où les φi sont du type ci-avant (et où le produit est un produit matriciel, c’est à-dire une composition),

c(Φ) = c (Πni=1φi) = Πn

i=1c(φi) =(Πni=1| detφi |−1

)= |Πn

i=1 detφi |−1 = | det Φ |−1.

Le pavé unité Cd est invariant par ϕ1 donc c(ϕ1) = λ(Cd) = 1 = | detϕ1 |−1. Dans le casde ϕ2,

ϕ−12 (Cd) = Iα × Cd−1,

où Iα = [0, 1/α] si α > 0 et Iα = [1/α, 0] si α < 0. Par conséquent c(ϕ2) = λ1(Iα)λd−1(Cd−1) =|α |−1 = | detϕ2 |−1. Enfin,

ϕ−13 (Cd) = P2 × Cd−2,

où P2 est un losange du plan d’aire 1, donc c(ϕ3) = λ2(P2)λd−2(Cd−2) = 1 = | detϕ3 |−1,ce qui achève la démonstration. 2

13.2 Formule du changement de variable

Soient U et V deux ouverts de Rd et φ un C1-difféomorphisme entre U et V , c’est-à-dire une bijection φ : U → V telle que φ est de classe C1 sur U et φ−1 est de classe C1

sur V . Pour tout u ∈ U , on note φ′(u) la matrice carrée d×d des dérivées partielles de φévaluées en u, autrement dit la matrice représentative de l’application linéaire tangenteà φ en u, appelée matrice jacobienne de φ en u. On note Jφ(u) le déterminant de φ′(u),appelé jacobien de φ en u. Nous allons montrer que l’image par φ de la mesure de densité| Jφ | par rapport à λ (sur U) est λ (sur V ), et que l’image par φ de λ (sur U) est lamesure de densité | Jφ−1 | par rapport à λ (sur V ).

Théorème 13.4 (formule de changement de variable) Soit f une fonction boré-lienne sur V . Si f est positive ou λ-intégrable, alors∫

V

f dλ =

∫U

f φ | Jφ | dλ.

De manière équivalente, si f est positive ou que f φ est λ-intégrable, alors∫U

f φ dλ =

∫V

f | Jφ−1 | dλ.

Remarque 13.5 En dimension 1, si φ :]α, β[−→]a, b[ est un C1-difféomorphisme, alorsφ′ ne peut pas s’annuler et en particulier, φ est de signe constant. Avec les notations del’intégrale de Riemann, si l’on applique la formule de changement de variable apprise aulycée, on retombe bien entendu sur la formule du théorème précédent. Si φ′ > 0, alors∫ b

a

f(x) dx =

∫ φ−1(b)

φ−1(a)

f φ(u)φ′(u) du =

∫ β

α

f φ(u) |φ′(u) | du.


Si φ′ < 0, alors∫ b

a

f(x) dx =

∫ φ−1(b)

φ−1(a)

f φ(u)φ′(u) du = −∫ β

α

f φ(u)φ′(u) du =

∫ β

α

f φ(u) |φ′(u) | du.

Corollaire 13.6 Si µ est la mesure de densité f par rapport à λ et si φ : Rd → Rd

est un C1-difféomorphisme, alors la mesure image de µ par φ admet une densité g parrapport à λ, et g est donnée par

g(x) = f φ−1(x) | Jφ−1(x) | x ∈ Rd.

Dém. Pour toute fonction borélienne positive h, en se servant du théorème précédent,∫h dµφ =

∫h φ f dλ =

∫h φ f φ−1 φ dλ =

∫h f φ−1 | Jφ−1 | dλ,

ce qui prouve le corollaire (prendre tout simplement une indicatrice pour h). 2

Remarque 13.7 Pour vérifier que φ est un C1-difféomorphisme, on applique ordinai-rement le théorème d’inversion locale : soit U un ouvert de Rd et φ : U → Rd. SoitV := φ(U). Alors φ est un C1-difféomorphisme ssi

i) φ est injective ;ii) φ est de classe C1 ;iii) pour tout u ∈ U , Jφ(u) 6= 0.Sous ces conditions, V est un ouvert et pour tout x ∈ V , (φ−1)

′(x) = (φ′ φ−1(x))

−1.

Exemple 13.8 (coordonnées polaires) Par le théorème d’inversion locale, la fonc-tion

φ : ]0,∞[×]0, 2π[ −→ R2 \ ([0,∞[×0)(ρ, θ) 7−→ (ρ cos θ, ρ sin θ)

est un C1-difféomorphisme, avec

φ′(ρ, θ) =

(cos θ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

)et Jφ(ρ, θ) = ρ. Ainsi pour toute fonction borélienne f λ2-intégrable,∫

R2

f(x, y) dx dy =

∫R2\([0,∞[×0)

f(x, y) dx dy

=

∫]0,∞[×]0,2π[

f φ(ρ, θ) Jφ(ρ, θ) dρ dθ =

∫[0,∞[×[0,2π]

f φ(ρ, θ) ρ dρ dθ.

En particulier, l’intégrale I =∫R e−x2 dx peut se calculer comme suit, grâce à deux ap-

plications du théorème de Fubini–Tonelli :

I2 =

∫R2

e−(x2+y2)dx dy =

∫[0,∞[×[0,2π]

e−ρ2

ρ dρ dθ = 2π

∫[0,∞[

e−ρ2

ρ dρ dθ = π,

d’où l’égalité bien connue I =√π.


La démonstration de la formule du changement de variable est plutôt technique. Nousrenvoyons le lecteur à la démonstration par récurrence p.64 du cours de Jean Jacod, ouà la démonstration p.242 du livre de Marc Briane et Gilles Pagès. Nous donnons ci-aprèsl’idée de cette dernière. On recouvre l’ouvert U par une réunion dénombrable d’hyper-cubes semi-ouverts (Ci) deux à deux disjoints et de mesure de Lebesgue arbitrairementpetite fixée. On note ui le centre de Ci. Comme φ est bijective, V = φ(U) s’écrit à sontour comme réunion disjointe des φ(Ci), donc pour toute fonction borélienne f positive,∫

V

f dλ =∑i

∫φ(Ci)

f dλ ≈∑i

f(φ(ui))λ(φ(Ci)).

Mais localement, φ peut être approchée par son application linéaire tangente φ′(ui),aussi comme λ(φ(Ci)) est la mesure de Ci par la mesure image de λ par φ−1, ayantφ−1(x) ≈ Ax+ b, avec A = (φ−1)′ (et b = φ−1(ui)− Aui), on a

λ(φ(Ci)) ≈ | detA |−1λ(Ci) = | detφ′(ui) |λ(Ci).

Ainsi, ∫V

f dλ ≈∑i

f(φ(ui)) | Jφ(ui) |λ(Ci)

≈∑i

∫Ci

f φ(u) | Jφ(u) | dλ(u)

=

∫U

f φ | Jφ | dλ,

ce qui achève cette esquisse de démonstration.

Chapitre 14

Les espaces Lp

Dans tout ce chapitre, on se place sur un espace mesuré (E,A , µ) et pour toutp ∈ R+, on abrégera Lp(E,A , µ) en Lp(µ), voire en Lp. On désignera par (fn) une suitede fonctions mesurables à valeurs dans R muni de sa tribu borélienne.

14.1 Les espaces de Banach Lp

14.1.1 Convergence dans Lp et convergence simple

Rappelons que la topologie usuelle d’un espace vectoriel normé est la topologie relativeà la distance d(f, g) = ‖ f − g ‖. Ainsi on dira que la suite (fn) converge dans Lp si

a) pour tout n ∈ N, fn ∈ Lp et f ∈ Lp ;b) limn ‖ f − fn ‖p = 0.

On rappelle que la suite (fn) converge simplement vers f si limn fn(x) = f(x) pourµ-presque tout x.

Proposition 14.1 Soit p ∈ [1,+∞[.a) [convergence Lp-dominée] Si fn → f µ-p.p. et qu’il existe g ∈ Lp tel que | fn | ≤ g

pour tout entier n, alors fnLp→ f .

b) i) Si fnLp→ f , alors il existe une suite extraite de (fn) qui converge vers f µ-p.p.

b) ii) Si fnL∞→ f , alors fn → f uniformément en dehors d’un ensemble négligeable,

donc fn → f µ-p.p.

Remarque 14.2 Dans le cas de l’espace `p (pour p < ∞), une suite (de fonctions,aussi appelées suites ici...) (u(n)) converge vers la fonction u ∈ `p si

∑k |u

(n)k |p <∞, si∑

k |uk |p <∞ et silimn

∑k

|u(n)k − uk |

p = 0.

Ceci implique en particulier que u(n)k −→ uk lorsque n→∞. En conclusion, dans l’espace

`p (vrai aussi si p = +∞ par b)ii)),

fn`p→ f =⇒ fn → f simplement (partout).

96

CHAPITRE 14. LES ESPACES LP 97

Évidemment, on n’a pas la réciproque, comme on peut le voir sur le contre-exempleu(n) = 1n. Alors la suite (u(n)) converge simplement vers la fonction nulle car u(n)

k = 0

pour tout k > n. Néanmoins pour tout n, la fonction u(n) est à distance 1 de la fonctionnulle : ‖u(n)−0 ‖p = (

∑k |u

(n)k |p)1/p = 1 pour tout p (même p =∞), et donc ne converge

pas vers la suite nulle dans `p. En effet, ici la plus petite fonction dominant la suite (u(n))est la fonction v constante à 1. Pour p < ∞, cette fonction n’est pas dans `p, donc onne peut pas appliquer a). De plus, v ∈ `∞, ce qui montre aussi que a) n’est pas vrai engénéral pour p =∞.

Dém. a) On applique le théorème de convergence dominée. En effet, | fn−f |p ≤ (| fn |+| f |)p ≤ 2p| g |p µ-p.p., et par hypothèse | g |p est intégrable, donc comme | fn− f |p → 0,µ-p.p., on a la convergence vers 0 de

∫| fn − f |p dµ.

b)i) On applique le lemme de Borel–Cantelli. Construisons une suite extraite (fϕ(n))par récurrence. Soit ϕ(0) = 0 et

ϕ(n+ 1) := mink > ϕ(n) : ‖ f − fk ‖p ≤ 2−(n+1),qui est toujours un nombre fini puisque ‖ f − fn ‖p → 0. On a donc ‖ f − fϕ(n) ‖p ≤ 2−n

et pour tout ε > 0,

µ(| f − fn | ≥ ε) = µ(| f − fn |p ≥ εp) ≤ ε−p‖ f − fn ‖pp,par l’inégalité de Markov. Par conséquent, avec An(ε) := | f − fϕ(n) | ≥ ε,∑

n

µ(An(ε)) ≤∑n

ε−p‖ f − fϕ(n) ‖pp ≤∑n

ε−p2−np <∞,

et le lemme de Borel–Cantelli assure donc que µ(lim supnAn(ε)) = 0. Définissons alors

Bε := lim supn

An(ε) et B := ∪ε>0Bε.

Remarquons que B est bien mesurable puisque B = limk∈N? ↑ B1/k et que µ(B) ≤∑k µ(B1/k) = 0. Concluons en remarquant que pour tout x ∈ cB, fϕ(n)(x) → f(x). En

effet, pour tout ε, x ∈ cBε = lim infncAn(ε), donc il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0,

x ∈ cAn(ε), c’est-à-dire | f − fϕ(n) |(x) < ε.

b)ii) Dire que fn → f dans L∞, c’est dire qu’il existe une partie mesurable Ω decomplémentaire négligeable telle que supx∈Ω | fn− f |(x)→ 0. En effet, par définition dusupremum essentiel, pour tout entier n il existe une partie mesurable Ωn de complémen-taire négligeable telle que | fn − f |(x) ≤ ‖ fn − f ‖∞. Si l’on définit Ω := ∩nΩn, Ω estbien de complémentaire négligeable et

supx∈Ω| fn − f |(x) ≤ ‖ fn − f ‖∞ → 0.

La suite (fn) converge donc uniformément vers f sur Ω, donc elle converge simplementsur Ω. 2

Corollaire 14.3 Soit p ∈ [1,+∞]. Si l’on a la convergence de la suite (fn) vers f dansLp et vers g µ-p.p. alors f et g sont égales µ-p.p.


Dém. On sait qu’il existe une suite extraite (fϕ(n)) qui converge µ-p.p. vers f . Or lasuite (fn) converge µ-p.p. vers g, donc la sous-suite (fϕ(n)) également. Ainsi f = g µ-p.p.2

14.1.2 Complétude des espaces Lp

Lemme 14.4 Soit (H, ‖ · ‖) un e.v. normé. Si toute série de terme général (un) telleque

∑n ‖un ‖ <∞ est convergente 1, alors (H, ‖ · ‖) est complet.

Dém. Soit (xn) une suite de Cauchy à valeurs dans (H, ‖ · ‖). On définit alors parrécurrence une injection croissante ϕ de N, par ϕ(0) = 0, et

ϕ(n+ 1) := mink > ϕ(n) : ∀j, ` ≥ k, ‖xj − x` ‖ ≤ 2−(n+1),

qui est un nombre fini puisque (xn) est de Cauchy. Soit alors un := xϕ(n+1)−xϕ(n). Alorsxϕ(n) = x0 +

∑n−1k=0 uk et

‖un ‖ = ‖xϕ(n+1) − xϕ(n) ‖ ≤ 2−n,

donc∑

n ‖un ‖ <∞. Par hypothèse, la suite des sommes partielles (∑n

k=0 uk) convergedonc dans H, et par conséquent, la suite (xϕ(n)) également. En conclusion, (xn) est unesuite de Cauchy dont une suite extraite converge, c’est donc une suite convergente. 2

Théorème 14.5 (de Riesz–Fisher) Pour tout p ∈ [1,+∞], Lp(µ) est un espace deBanach 2.

Dém. Nous allons montrer que Lp(µ) vérifie les hypothèses du lemme précédent. Soit(un) une suite de Lp telle que

∑n ‖un ‖p =: a < ∞ et soit fn :=

∑nk=0 uk la n-ième

somme partielle. Il nous suffit donc de montrer que la suite (fn) converge dans Lp. Soitalors

hn :=n∑k=0

|uk |.

La suite (hn) est une suite croissante, qui converge donc simplement vers la fonctionpositive h := limn ↑ hn. Montrons d’abord que h ∈ Lp avec ‖h ‖p ≤ a en différenciantsuivant que p est fini ou infini. Si p = ∞, il existe une partie négligeable N de E telleque pour tout x ∈ cN , |un(x) | ≤ ‖un ‖∞, et donc

hn(x) ≤n∑k=0

|uk(x) | ≤n∑k=0

‖uk ‖∞ ≤ a.

Par conséquent pour tout x ∈ cN , h(x) = limn hn(x) ≤ a, et h ∈ L∞ avec ‖h ‖∞ ≤ a.Si p < ∞, l’inégalité triangulaire implique que ‖hn ‖p ≤

∑nk=0 ‖un ‖p ≤ a, donc par le

1. au sens où la suite des sommes partielles converge dans H muni de sa norme ‖ · ‖2. c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet


théorème de convergence monotone,∫E

hp dµ = limn

∫E

hpn dµ = limn‖hn ‖pp ≤ ap.

Par conséquent, ‖h ‖p ≤ a ici encore.Il existe donc une partie négligeable N de E telle que pour tout x ∈ cN , h(x) =∑n |un(x) | < ∞. Autrement dit, pour tout x ∈ cN , la série de terme général un(x)

est absolument convergente (dans R) et est donc convergente. Autrement dit la suite(fn) converge µ-p.p., vers une certaine fonction f . D’après l’inégalité triangulaire de R,| fn(x) | ≤ hn(x) ≤ h(x), donc | f | ≤ h µ-p.p., et par conséquent, ‖ f ‖p ≤ ‖h ‖p ≤ a, cequi s’écrit

‖∑k≥0

uk ‖p ≤∑k≥0

‖uk ‖p.

Si l’on applique cette inégalité à la suite u′ = (un+k+1)k, ayant f − fn =∑

k u′k, on

obtient‖ f − fn ‖p ≤

∑k≥n+1

‖uk ‖p,

qui tend vers 0 lorsque n → ∞, ce qui revient à dire que la suite (fn) converge vers fdans Lp. 2

14.2 L’espace L2 et les espaces de Hilbert

14.2.1 L’espace de Hilbert L2(µ)

Définition 14.6 (et proposition) Soit H un e.v. réel et

〈·, ·〉 : H ×H −→ R(u, v) 7−→ 〈u, v〉

une forme bilinéaire symétrique positive, c’est-à-dire telle quei) positivité : 〈u, u〉 ≥ 0 pour tout u ∈ H ;ii) symétrie : 〈u, v〉 = 〈v, u〉 pour tous u, v ∈ H ;iii) bilinéarité : pour tout v ∈ H, l’application u 7→ 〈u, v〉 est linéaire.

Si de plus on a l’implication [〈u, u〉 = 0 ⇒ u = 0], alors on parle de forme bilinéairesymétrique strictement positive, ou définie positive, ou plus simplement de produit sca-laire. Lorsque c’est le cas, on vérifie facilement que ‖u ‖ :=

√〈u, u〉 définit une norme @

sur H, que l’on appelle alors espace préhilbertien. Si de plus H est complet, on dit queH est un espace de Hilbert.

Théorème 14.7 L’application

〈·, ·〉 : L2(µ)× L2(µ) −→ R

(f, g) 7−→ 〈f, g〉 :=

∫E

fg dµ


est un produit scalaire. D’après le théorème de Riesz–Fisher, l’espace L2 muni de ceproduit scalaire est donc un espace de Hilbert.

Remarque 14.8 L’inégalité de Cauchy-Schwarz des espaces préhilbertiens est ici l’in-égalité de Hölder (avec p = q = 1/2), qui assure d’ailleurs que cette application est biendéfinie sur L2 :

|〈f, g〉| ≤ ‖ f ‖2 ‖ g ‖2.

La démonstration du théorème est laissée au lecteur. @

Remarque 14.9 Dans le cas complexe, on parle de forme sesquilinéaire, et la propriétéii) doit être remplacée par ii’) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, ce qui oblige à définir 〈f, g〉 dans L2

C(µ)par

〈f, g〉 =

∫E

f g dµ.

14.2.2 Théorème de projection

Soit C une partie fermée et convexe 3 d’un espace de Hilbert (H, 〈, ·, 〉).

Théorème 14.10 Pour tout x ∈ H, il existe un unique élément z de C, appelé projec-tion orthogonale de x sur C, tel que

‖x− z ‖ = infy∈C‖x− y ‖.

Dém. Le théorème repose sur l’identité du parallélogramme : pour tous u, v ∈ H,

‖u+ v ‖2 + ‖u− v ‖2 = 2‖u ‖2 + 2‖ v ‖2,

qui est une conséquence immédiate de la bilinéarité du produit scalaire. @Soit d := infy∈C ‖x− y ‖ la distance de x à C. Par définition de la borne inférieure,

il existe une suite (yn) de C telle que limn ‖x − yn ‖ = d. Nous allons nous servir del’identité du parallélogramme pour montrer qu’une telle suite est de Cauchy, en posantu = 1

2(yn − x) et v = 1

2(ym − x) pour m,n deux entiers quelconques. On obtient alors

‖ 1

2(yn + ym)− x ‖2 +

1

4‖ yn − ym ‖2 =

1

2‖ yn − x ‖2 +

1

2‖ ym − x ‖2.

Or C est convexe, donc 12(yn + ym) ∈ C et par conséquent ‖ 1

2(yn + ym)− x ‖ ≥ d. Ceci

donne‖ yn − ym ‖2 ≤ 2‖ yn − x ‖2 + 2‖ ym − x ‖2 − 4d2.

Soit ε > 0. Comme limn ‖x− yn ‖2 = d2, il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N ,‖x − yn ‖2 < d2 + ε2

4. Grâce à l’inégalité obtenue précédemment, pour tous n,m ≥ N ,

‖ yn − ym ‖ < ε, autrement dit la suite (yn) est de Cauchy. Comme H est complet, cette

3. c’est-à-dire que pour tous x, y ∈ C et pour tout λ ∈ [0, 1], la ‘combinaison convexe’ λx + (1 − λ)y esttoujours dans C, autrement dit C contient tous les segments joignant deux de ses éléments


suite converge vers un certain z qui doit appartenir à C, puisque C est fermé. Ayantlimn ‖x− yn ‖ = d, par continuité de la norme, ‖x− z ‖ = d.

Il ne reste plus à montrer que z est unique. Soit z′ ∈ C tel que ‖x − z′ ‖ = d. Ondéfinit une nouvelle suite (yn) à valeurs dans C par yn = z si n est pair et yn = z′ si nest impair. Alors ‖x− yn ‖ = d, donc par le même raisonnement que précédemment (yn)converge, ce qui implique que ‖ z′ − z ‖ = 0, c’est-à-dire z′ = z. 2

Proposition 14.11 Soit F est un sous-espace vectoriel fermé 4 de H. Alors pour toutx ∈ H, la projection orthogonale pF (x) de x sur F vérifie

〈x− pF (x), y〉 = 0 pour tout y ∈ F.

Dém. Soient y ∈ F et t ∈ R. On note z = pF (x) comme dans le théorème de projectionet u = x− z. Comme z + ty ∈ F et que z minimise la distance de x à F ,

‖u ‖2 = ‖x− z ‖2 ≤ ‖x− (z + ty) ‖2 = ‖u− ty ‖2 = ‖u ‖2 − 2t〈u, y〉+ t2‖ y ‖2.

Donc −2t〈u, y〉+ t2‖ y ‖2 ≥ 0 pour tout réel t, ce qui implique que 〈u, y〉 = 0. 2

Corollaire 14.12 Si F est un sous-espace vectoriel fermé de H, alors H se décomposeen somme directe suivant F ⊕ F⊥, où

F⊥ := u ∈ H : ∀y ∈ F, 〈u, y〉 = 0.

Dém. Soit x ∈ H. En notant comme précédemment u = x − pF (x), on peut écrire xsous la forme d’une somme u+pF (x), où pF (x) ∈ F , et d’après la proposition précédenteu ∈ F⊥. D’autre part F ∩F⊥ est bien réduit au singleton 0 car pour tout x ∈ F ∩F⊥,〈x, x〉 = 0, donc x = 0. 2

Remarque 14.13 Un développement très intéressant de cette section d’algèbre bili-néaire, que nous avons pourtant choisi de ne pas suivre, concerne les parties totales et lesbases orthonormales de H. On dit qu’une partie K de H est totale si le sous-espace vec-toriel fermé engendré par K, c’est-à-dire l’adhérence du sous-espace vectoriel engendrépar K 5 est H tout entier. On appelle système orthonormal une partie de H dont tous leséléments sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux ; on appelle base orthonormale unsystème orthonormal total. On peut démontrer que K est totale ssi K⊥ = 0. De plus, siHu est l’espace vectoriel fermé engendré par un système orthonormal dénombrable (un),alors l’application qui à une suite (an) de `2 associe

∑n anun ∈ Hu est un isomorphisme

d’espaces de Hilbert (préserve le produit scalaire). Enfin, si µ est une mesure σ-finie,alors l’espace de Hilbert L2(µ) admet une base orthonormale dénombrable.

4. un sous-espace vectoriel est toujours convexe car une combinaison convexe est un cas particulier de com-binaison linéaire ; un sous-espace vectoriel n’est forcément fermé que si H est de dimension finie

5. qui n’est lui-même que l’ensemble des combinaisons linéaires finies d’éléments de K


14.2.3 Lemme de Riesz–Fisher

Nous allons appliquer les résultats de la section précédente à l’espace de HilbertH = L2(E,A , µ).

Définition 14.14 Soit H un K-espace vectoriel (K = R ou C). On rappelle qu’uneforme linéaire sur H est une application linéaire Φ : H −→ K et que le dual topologiqueH ′ de H est l’espace vectoriel des formes linéaires continues sur H, muni de la normeusuelle des espaces vectoriels d’applications linéaires.

Exemple 14.15 (très important) Soit g ∈ L2(µ) et Φg l’application définie par

Φg : L2(µ) −→ R

f 7−→∫E

fg dµ.

Grâce à l’inégalité de Hölder, |Φg(f) | ≤ ‖ g ‖2 ‖ f ‖2, si bien que non seulement Φg

est bien définie sur L2(µ), mais également Φg est ‖ g ‖2-lipschitzienne, donc continue. Lalinéarité de l’intégrale assure aussi que Φg est linéaire, et ainsi Φg est un élément du dualtopologique de L2(µ). Le lemme de Riesz–Fisher établit la réciproque de cet exemple. Onremarquera également que si Φg n’est pas nulle, c’est-à-dire si g n’est pas nulle, alors sil’on choisit f = g/‖ g ‖2, on a Φg(f) = ‖ g ‖2, et donc ‖Φg ‖ = ‖ g ‖2.

Théorème 14.16 (Lemme de Riesz–Fisher) Soit Φ : L2(µ) −→ R une forme li-néaire continue. Alors ∃!ϕ ∈ L2(µ) tel que

pour tout f ∈ L2(µ), Φ(f) =

∫E

fϕ dµ.

Remarque 14.17 Le même énoncé est vrai dans C.

Remarque 14.18 D’après le lemme de Riesz–Fisher, si l’on note H = L2(µ), l’appli-cation

I : H −→ H ′

g 7−→ Φg

est un isomorphisme (et même une isométrie d’après l’exemple qui précède l’énoncé dulemme). Ainsi L2(µ) est isomorphe (isométriquement) à son dual topologique. On parlede dualité L2–L2.

Dém. Montrons d’abord l’unicité. Si ϕ1 et ϕ2 sont deux éléments de L2(µ) tels queΦ(f) = 〈f, ϕ1〉 = 〈f, ϕ2〉, alors 〈f, ϕ1 − ϕ2〉 = 0. Si l’on choisit f = ϕ1 − ϕ2 ∈ L2(µ), onobtient ‖ϕ1 − ϕ2 ‖2 = 0, autrement dit ϕ1 = ϕ2.

Montrons à présent l’existence. Soit F := ker Φ. Comme Φ est continue, F = Φ−1(0)est un fermé, c’est donc un sous-espace vectoriel fermé de L2(µ). On sait donc d’après ledernier corollaire que L2(µ) = F ⊕ F⊥.


Premier cas : F⊥ = 0. Alors F = L2(µ), ce qui signifie que Φ est la forme linéairenulle et le choix de la fonction nulle pour ϕ convient.

Deuxième cas : F⊥ 6= 0. Nous allons voir que F⊥ est une droite vectorielle et queϕ est un élément de cette droite. Soit g un élément non nul de F⊥ et ϕ = cg, où

c :=Φ(g)

‖ g ‖22

∈ R.

Comme g est non nul et que g ∈ F⊥, g 6∈ F et par conséquent Φ(g) 6= 0. Alors pour toutf ∈ L2(µ), avec λ = Φ(f)/Φ(g) ∈ R, f − λg ∈ F , car Φ(f − λg) = Φ(f) − λΦ(g) = 0.Par conséquent, puisque g ∈ F⊥, 〈f − λg, g〉 = 0, ce qui s’écrit

λ =〈f, g〉‖ g ‖2

2

,

doncΦ(f) = λΦ(g) =

〈f, g〉‖ g ‖2

2

Φ(g) = c〈f, g〉 = 〈f, ϕ〉,


14.3 Théorème de Radon–Nikodym

Définition 14.19 Soient µ et ν deux mesures sur un espace mesurable (E,A ). On ditque ν est absolument continue par rapport à µ, et on note ν µ, si pour tout A ∈ A ,

µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = 0.

Exemple 14.20 (très important) Si f : (E,A )→ (R+,B(R+)) est mesurable, alorsla mesure ν de densité f par rapport à µ, définie par

ν(A) =

∫E

1A f dµ A ∈ A ,

est absolument continue par rapport à µ. On note souvent f = dνdµ

et on l’appelle dérivéede Radon–Nikodym, en référence au théorème qui établit la réciproque de cet exemplesous la condition que µ et ν sont toutes deux σ-finies. Voici en effet un contre-exempleavec la mesure de Lebesgue λ sur [0, 1] et m la mesure de comptage. On voit que λ mcar si m(A) = 0 alors A = ∅ et par conséquent λ(A) = 0. Pourtant dλ

dmn’existe pas,

comme nous allons le montrer par l’absurde. Supposons que f = dλdm

existe et notonsD = f 6= 0. Alors

∫[0,1]

f dm = λ([0, 1]) = 1, et pour tout ε > 0,

1 ≥∫

[0,1]

f1f≥ε dm ≥ εm(f ≥ ε),

ce qui implique que f ≥ ε est fini. En particulier D = ∪n≥1f ≥ 1/n est dénombrableet donc λ(D) = 0. On a donc

1 = λ(f = 0) =

∫[0,1]

1f=0 f dm = 0,

ce qui est la contradiction annoncée.


Théorème 14.21 (de Radon–Nikodym) Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur(E,A ) telle que ν µ. Alors il existe une fonction mesurable f : (E,A )→ (R+,B(R+)),unique à un ensemble µ-négligeable près, telle que pour tout A ∈ A ,

ν(A) =

∫E

1A f dµ.

Dém. La démonstration se fait en 4 étapes : 1) µ et ν finies, ν ≤ µ ; 2) µ et ν finies ;3) µ et ν σ-finies ; 4) unicité.

Étape 1. On suppose ici que µ et ν sont finies et que ν ≤ µ, autrement dit pourtout A ∈ A , ν(A) ≤ µ(A). Il est équivalent de supposer (par le lemme fondamentald’approximation et le théorème de convergence monotone) que pour toute fonction me-surable positive g,

∫g dν ≤

∫g dµ. Remarquer que ceci implique l’absolue continuité

ν µ. Soit alors la fonction Φ définie par

Φ : L2(µ) −→ R

g 7−→∫E

g dν

qui est bien définie car L2(µ) ⊆ L1(ν). En effet, comme ν ≤ µ, on a L2(µ) ⊆ L2(ν), etL2(ν) ⊆ L1(ν) puisque ν est finie. La fonction Φ est donc une forme linéaire sur L2(µ).De plus, grâce à l’inégalité de Hölder,

|Φ(g) | ≤∫E

| g | dν =

∫E

| g |.1 dν ≤ ‖ g ‖2 ‖ 1 ‖2,

autrement dit Φ est√ν(E)-lipschitzienne, et est donc continue. Nous pouvons donc

appliquer le lemme de Riesz-Fisher à la forme linéaire continue Φ sur L2(µ), et exhiberun élément ϕ de L2(µ) tel que pour tout g ∈ L2(µ), Φ(g) =

∫Egϕ dµ. Notons aussi que

ϕ ∈ L1(µ), car L2(µ) ⊆ L1(µ). De plus, puisque µ est finie, toute fonction indicatriceg = 1A est dans L2(µ) et ainsi

ν(A) =

∫E

1A dν =

∫E

1Aϕdµ.

Montrons que ϕ ∈ [0, 1] µ-p.p. Soit ε > 0.

0 ≤ ν(ϕ ≤ −ε) =

∫ϕ≤ε

ϕdµ ≤ −εµ(ϕ ≤ −ε) ≤ 0,

ce qui implique que µ(ϕ ≤ −ε) = ν(ϕ ≤ −ε) = 0. De même, comme ν ≤ µ,

ν(ϕ ≥ 1 + ε) =

∫ϕ≥1+ε

ϕdµ ≥ (1 + ε)µ(ϕ ≥ 1 + ε) ≥ (1 + ε)ν(ϕ ≥ 1 + ε),

ce qui implique que ν(ϕ ≥ 1+ε) = µ(ϕ ≥ 1+ε) = 0. Ainsi pour tout ε > 0, µ(ϕ 6∈[−ε, 1 + ε]) = 0. Comme ϕ 6∈ [0, 1] = ∪n≥1ϕ 6∈ [−1/n, 1 + 1/n], µ(ϕ 6∈ [0, 1]) = 0.


Conclusion : il existe ϕ ∈ L1(µ) prenant ses valeurs dans [0, 1] µ-p.p. tel que pour toutA ∈ A , ν(A) =

∫Aϕdµ.

Étape 2. On traite ici le cas de deux mesures µ et ν finies telles que ν µ. Onapplique alors l’étape 1 au couple (ν, ν+µ), puisque µ+ν est une mesure finie qui vérifieν ≤ µ + ν. Il existe donc ϕ ∈ L1(µ + ν) prenant ses valeurs dans [0, 1] (µ + ν)-p.p.,donc µ-p.p. et ν-p.p., tel que pour tout A ∈ A , ν(A) =

∫Aϕdµ+

∫Aϕdν. Ceci implique

que pour tout A ∈ A ,∫A

(1 − ϕ) dν =∫Aϕdµ, puis par approximation et convergence

monotone, que pour toute fonction g mesurable positive,∫E

(1− ϕ)g dν =

∫E

ϕg dµ. (14.1)

Si N := ϕ = 1, alors avec g = 1N ,∫E

(1− ϕ)1N dν = 0 =

∫E

ϕ1N dµ = µ(N).

Comme de plus ν µ, on a ν(N) = 0. Donc pour tout A ∈ A , comme 1 − ϕ 6= 0 surcN , on peut définir g = 1cA∩N/(1− ϕ), et avec ce choix de g, on obtient alors∫

E

(1− ϕ)1A∩cN

1− ϕdν = ν(A ∩ cN) = ν(A) =

∫E

ϕ1A∩cN

1− ϕdµ =

∫A

ϕ1cN

1− ϕdµ.

On définit alors la fonction µ-p.p. positive f par

f :=ϕ

1− ϕ1cN ,

ce qui assure que pour tout A ∈ A , ν(A) =∫Af dµ, où il suffit de prendre A = E pour

voir que f ∈ L1(µ).

Étape 3. Extension au cas σ-fini. Il existe donc deux partitions de E dénombrables etA -mesurables (Fn) et (Gn) telles que µ(Fn) <∞ et ν(Gn) <∞. De ces deux partitionson peut tirer une partition de E dénombrable et A -mesurable (En) telle que µ(En) <∞et ν(En) <∞, par exemple en considérant toutes les intersections Fj ∩Gk et en utilisantune bijection allant de N2 dans N. Pour n fixé, soient µn et νn les mesures traces de µet ν respectivement, sur En. Alors µn et νn sont des mesures finies et puisque ν µ,νn µn, donc il existe une fonction positive fn ∈ L1(µn) telle que pour tout A ∈ A ,

νn(A) =

∫A

fn dµn =

∫A

fn1En dµ.

Soit maintenant f :=∑

n fn1En . Alors pour tout A ∈ A ,∫A

f dµ =

∫A

∑n

fn1En dµ =∑n

∫A

fn1En dµ =∑n

νn(A) =∑n

ν(A ∩ En) = ν(A).


Étape 4.Montrons l’unicité de la dérivée de Radon–Nikodym. Supposons qu’il existedeux fonctions mesurables positives f et g telles que pour tout A ∈ A ,

ν(A) =

∫A

f dµ =

∫A

g dµ.

Ainsi avec A = f ≥ g + ε ∩ En, où ε un nombre réel positif quelconque,

ν(A) =

∫A

f dµ =

∫A

g dµ.

Comme ν(A∩En) <∞,∫Ag dµ <∞, et l’on peut donc retrancher ce terme à la dernière

égalité, de manière à obtenir

0 =

∫f≥g+ε∩En

(f − g) dµ ≥ εµ(f ≥ g + ε ∩ En).

Par conséquent, µ(f ≥ g + ε ∩ En) = 0, et en passant à la limite n → ∞, on obtientµ(f ≥ g+ ε) = 0, puis en passant à la limite ε→ 0 (le long d’une suite dénombrable),on obtient µ(f > g) = 0. Par symétrie, on obtient µ(f < g) = 0, et en conclusionµ(f 6= g) = 0. 2

14.4 Dualité Lp–Lq

Le lemme de Riesz–Fisher montre que le dual topologique de L2(µ) est isomorpheà L2(µ), ce que l’on a appelé la dualité L2–L2. Nous allons énoncer ici une extensionde cette propriété, qui est la dualité Lp–Lq, où p et q sont deux éléments conjugués de[1,+∞], c’est-à-dire tels que 1

p+ 1

q= 1. Comme dans l’exemple 14.15, nous pouvons

démontrer que pour tout g ∈ Lq(µ), l’application

Φg : Lp(µ) −→ R

f 7−→∫E

fg dµ

est une forme linéaire continue, et que si g ≥ 0 µ-p.p., alors Φg est positive, au sens oùsi f ≥ 0 µ-p.p., alors Φg(f) ≥ 0.

Théorème 14.22 (dualité Lp–Lq) Soit µ une mesure σ-finie sur un espace mesurable(E,A ) et p ∈ [1,+∞[. Soit Φ une forme linéaire continue sur Lp(µ). Alors ∃!ϕ ∈ Lq(µ)tel que

pour tout f ∈ Lp(µ), Φ(f) =

∫E

fϕ dµ.

Remarque 14.23 Le précédent théorème reste vrai lorsque µ n’est pas σ-finie pourvuque 1 < p <∞.


Dém. Nous allons seulement donner une esquisse de la démonstration, et uniquementdans le cas où l’on suppose que Φ est aussi positive (et alors ϕ ≥ 0 µ-p.p.).

1) Soit une partition dénombrable A -mesurable (En) de E telle que µ(En) <∞ pourtout n. On définit alors l’application νn : A → R+ par

νn(A) := Φ (1A∩En) A ∈ A .

Alors νn est une mesure (finie). D’abord, νn(∅) = Φ(0) = 0. Ensuite pour toute suite(Ak) d’éléments de A deux à deux disjoints, si l’on note fk := 1∪kj=0Aj∩En =

∑kj=0 1Aj∩En ,

alors (fk) converge simplement vers f := 1A∩En , où A = ∪kAk. De plus fk ≤ 1En ∈ Lpcar ‖1En ‖p = µ(En)1/p < ∞, donc par convergence Lp-dominée, la suite (fk) tend versf dans Lp. Par conséquent, comme Φ est continue,

νn (∪kAk) = Φ(

limk→∞

fk

)= lim

k→∞Φ(fk) = lim

k→∞

k∑j=0

Φ(1Ak∩En) =∑k

νn(Ak).

2) Appliquer le théorème de Radon–Nikodym à νn et µ. Comme Φ est linéaire et continue,elle est ‖Φ ‖-lipschitzienne, et donc pour tout A ∈ A tel que µ(A) = 0,

νn(A) = Φ(1A∩En) ≤ ‖Φ ‖ . ‖1A∩En ‖p = ‖Φ ‖ µ(A ∩ En)1/p = 0.

Ainsi νn µ et il existe donc une application mesurable positive ϕn ∈ L1(µ) (car νn estfinie) telle que pour tout A ∈ A , νn(A) =

∫Aϕn dµ. De plus, quitte à remplacer ϕn par

ϕn1En , on peut supposer que ϕn est nulle sur cEn.3) Soit ϕ :=

∑n ϕn. Il s’agit ici de montrer que pour tout f ∈ Lp(µ),

Φ(f) =

∫E

fϕ dµ.

Pour f ≥ 0 élément de Lp(µ), la suite (∑n

j=0 f1Ej) converge simplement vers f et estdominée par f ∈ Lp, donc par convergence Lp-dominée, converge vers f dans Lp, ainsipar continuité de Φ,

Φ(f) = Φ

(limn

n∑j=0

f1Ej

)= lim

nΦ

(n∑j=0

f1Ej

)= lim

n

n∑j=0

Φ(f1Ej

)= lim

n

n∑j=0

∫E

f dνj.

Mais par le lemme fondamental d’approximation et le théorème de convergence mo-notone, il est facile de voir que

∫Ef dνj =

∫Efϕj dµ, de sorte que par convergence

monotone à nouveau, Φ(f) =∑

n

∫Efϕn dµ =

∫Efϕ dµ. L’extension aux fonctions de

signe quelconque est classique.4) Montrer que ϕ ∈ Lq(µ), en distinguant suivant que p > 1 ou p = 1. Dans la suite

on suppose que ϕ ≥ 0 partout, quitte à remplacer ϕ par ϕ1ϕ>0 (car ϕ ≥ 0 µ-p.p.).Supposons d’abord que p > 1 (et ainsi q <∞). Soit

fm,n := ϕq−11Fn∩ϕ≤m,


où Fn = ∪nk=0Ek est une suite croissante d’éléments de A convergeant vers E. Montronsque fm,n ∈ Lp(µ). En effet,

‖ fm,n ‖pp =

∫Fn

ϕp(q−1)1ϕ≤m dµ =

∫Fn

ϕq1ϕ≤m dµ,

car p(q − 1) = q et donc ‖ fm,n ‖pp ≤ mqµ(Fn) <∞. De plus,

Φ(fm,n) =

∫Fn

ϕq1ϕ≤m dµ ≤ ‖Φ ‖ . ‖ fm,n ‖p = ‖Φ ‖(∫

Fn

ϕq1ϕ≤m dµ

)1/p

.

Ceci implique que (∫Fn

ϕq1ϕ≤m dµ

)1/q

≤ ‖Φ ‖,

et ainsi par une double application du théorème de convergence monotone, que ‖ϕ ‖q ≤‖Φ ‖ <∞, ce qui assure que ϕ ∈ Lq(µ).

Supposons maintenant que p = 1 (et donc q = ∞). Alors pour tout A ∈ A tel queµ(A) <∞, ∫

A

ϕdµ = Φ(1A) ≤ ‖Φ ‖ µ(A),

donc∫A

(ϕ − ‖Φ ‖) dµ ≤ 0 et ce pour A quelconque de mesure finie, donc ϕ ≤ ‖Φ ‖ @µ-p.p., ce qui assure que ϕ ∈ L∞(µ).

5) Unicité de ϕ (à un ensemble négligeable près). Soient ϕ1 et ϕ2 telles que pour toutA ∈ A ,

Φ(1A∩En) =

∫A

ϕ11En dµ =

∫A

ϕ21En dµ.

Comme ces trois termes sont finis, avec A = ϕ1 > ϕ2∫A

(ϕ1 − ϕ2)1En dµ = 0,

ce qui implique que (ϕ1 − ϕ2)1A∩En = 0 µ-p.p. et ainsi µ(A) = 0. On conclut par unargument de symétrie. 2

Chapitre 15

Régularité d’une mesure et théorèmesde densité

15.1 Régularité d’une mesure sur un espace métrique

Soit µ une mesure sur un espace métrique E muni de sa tribu borélienne B(E).

Définition 15.1 On dit que µ esta) extérieurement régulière si pour tout A ∈ B(E),

µ(A) = infµ(O), O ouvert, O ⊇ A;

b) intérieurement régulière si pour tout A ∈ B(E),

µ(A) = supµ(K), K compact, K ⊆ A;

c) régulière, si elle est à la fois extérieurement et intérieurement régulière.

Proposition 15.2 Si µ est finie, alors elle est extérieurement régulière et pour toutA ∈ B(E),

µ(A) = supµ(F ), F fermé, F ⊆ A.

Dém. Il suffit de montrer que pour tout A ∈ B(E),

∀ε > 0, il existe un ouvert O ⊇ A et un fermé F ⊆ A tels que µ(O \ F ) < ε. (15.1)

Soit T := A ∈ B(E) vérifiant (15.1). Montrons que T est une tribu contenantO(E), et par conséquent égale à B(E).

Montrons que T contient bien les ouverts. Si A est ouvert, il suffit de prendre O = A.Pour F , définissons

Fn := x ∈ A : d(x, cA) ≥ 1

n.

Comme la fonction x 7→ d(x, cA) est continue, Fn est fermé. De plus cA est fermé doncpour tout x ∈ A, d(x, cA) 6= 0. En effet, d(x, cA) = 0 ssi x est dans l’adhérence de cA, qui

109

CHAPITRE 15. RÉGULARITÉ ET THÉORÈMES DE DENSITÉ 110

n’est autre que le complémentaire de l’intérieur de A, c’est-à-dire le complémentaire deA. Ainsi, A = limn ↑ Fn et donc µ(A \ Fn) ↓ µ(∅) = 0 car µ est finie donc continue àdroite.

Montrons que T est une tribu.i) E ∈ T , car il suffit alors de prendre O = F = E.ii) Passage au complémentaire. Soit A ∈ T et ε > 0. Alors il existe F ⊆ A ⊆ O tels

que µ(O \ F ) < ε, où O est ouvert et F fermé. Avec O′ = cF et F ′ = cO, O′ est ouvert,F ′ est fermé, et F ′ ⊆ A ⊆ O′. De plus, O′ \ F ′ = O′ ∩ cF ′ = cF ∩ O = O \ F , doncµ(O \ F ) < ε.

iii) Réunion dénombrable. Soit (An) une suite d’éléments de T et ε > 0. Alors pourchaque entier n, il existe un ouvert On et un fermé Fn tels que Fn ⊆ An ⊆ On et

µ(On \ Fn) ≤ ε

2n+1.

Comme (∪k≤nFk)n est une suite croissante de limite ∪nFn, µ(∪k≤nFk) converge versµ(∪nFn). Comme µ(∪nFn) <∞, il existe un entier nε tel que

µ(∪k≤nεFk) ≥ µ(∪nFn)− ε

2.

Soient maintenant l’ouvert O′ = ∪nOn (réunion d’ouverts) et le fermé F ′ = ∪k≤nεFk(réunion finie de fermés). On a alors

F ′ = ∪k≤nεFk ⊆ ∪nFn ⊆ ∪nAn ⊆ ∪nOn = O′,

et de plus

µ(O′ \ F ′) = µ (∪nOn)− µ (∪k≤nεFk)= µ (∪nOn)− µ (∪nFn) + µ (∪nFn)− µ (∪k≤nεFk)= µ (∪nOn \ ∪kFk) + µ (∪nFn)− µ (∪k≤nεFk)≤ µ ((∪nOn) ∩ (∩kcFk)) +

ε

2

= µ (∪n ∩k (On ∩ cFk)) +ε

2

≤ µ (∪n(On ∩ cFn) +ε

2

≤∑n

µ (On \ Fn) +ε

2≤∑n

ε

2n+1+ε

2≤ ε,


Théorème 15.3 Toute mesure de Borel sur un espace localement compact séparable estrégulière.


Dém. On utilise le fait qu’un tel espace est σ-compact, c’est-à-dire qu’il existe unesuite croissante (En) de compacts dont la limite ∪nEn est égale à E. En fait, nous allonsutiliser le résultat plus fort que E = ∪nEn, où l’on rappelle que En désigne l’intérieur deEn.

Régularité intérieure. Soit ε > 0 et A ∈ B(E). Soit µn la mesure trace de µ sur En.Comme µn est finie, d’après la proposition précédente, il existe un fermé Fn ⊆ A tel que

µ(A ∩ En) ≤ µ(Fn ∩ En) +ε

2.

Soit le compactKn = Fn∩En (intersection d’un fermé et d’un compact). Comme Fn ⊆ A,on a Kn ⊆ A et l’on réécrit l’équation précédente

µ(A ∩ En) ≤ µ(Kn) +ε

2. (15.2)

Observons que limn µ(A ∩ En) = µ(A). Si µ(A) =∞, alors d’après (15.2) limn µ(Kn) =+∞, autrement dit limn µ(Kn) = µ(A). Si µ(A) <∞, alors il existe un entier n tel que

µ(A) ≤ µ(A ∩ En) +ε

2≤ µ(Kn) + ε,

ce qui nous permet de conclure que µ est régulière intérieurement.

Régularité extérieure. Soit ε > 0 et A ∈ B(E). Soit µn la mesure trace de µ sur En.Comme µn est finie, d’après la proposition précédente, elle est régulière extérieurement.Ainsi il existe un ouvert On tel que On ⊇ A et

µ(A ∩ En) ≥ µ(On ∩ En)− ε

2n. (15.3)

Montrons que O := ∪n(On ∩ En) vérifie µ(A) ≥ µ(O)− ε. Comme A∩ En ⊆ On ∩ En, ona A = ∪n(A ∩ En) ⊆ O, ce qui donnera le résultat car O est ouvert (c’est une réuniond’ouverts). Soit Un := ∪k≤n(Ok ∩ Ek). Nous allons montrer par récurrence sur n ≥ 1 que

µ(Un) ≤ µ(A ∩ En) +∑

1≤k≤n

ε

2k.

L’égalité est vraie pour n = 1 car elle se réduit à (15.3). En se servant de (15.3),

µ (Un+1) = µ(Un) + µ(On+1 ∩ En+1)− µ(Un ∩On+1 ∩ En+1)

≤ µ(A ∩ En) +∑k≤n

ε

2k+ µ(A ∩ En+1) +

ε

2n+1− µ(Un ∩On+1 ∩ En+1)

= µ(A ∩ En+1) +∑k≤n+1

ε

2k+ an,

oùan := µ(A ∩ En)− µ(Un ∩On+1 ∩ En+1) ≤ 0,


car A ∩ En ⊆ Un ∩ On+1 ∩ En+1. En effet, d’une part A ⊆ On+1 et En ⊆ En+1 doncA∩ En ⊆ On+1 ∩ En+1 ; d’autre part, A ⊆ On, donc A∩ En ⊆ On ∩ En ⊆ Un. On a doncbien

µ (Un+1) ≤ µ(A ∩ En+1) +∑k≤n+1

ε

2k.

Ainsi, comme (Un) est une suite croissante de limite O, on obtient l’inégalité souhaitéeen passant à la limite en n. 2

15.2 Théorèmes de densité

Proposition 15.4 Pour tout p ∈ [1,+∞[, l’ensemble des (représentants des) fonctionsétagées intégrables est dense dans Lp(µ).

Dém. Soit f ∈ Lp. Quitte à raisonner sur f+ et f−, nous pouvons supposer que fest positive. Par le lemme fondamental d’approximation, il existe une suite croissante(ϕn) de fonctions étagées positives convergeant simplement vers f . Il nous suffit alors demontrer que ϕn ∈ L1(µ)∩Lp(µ) pour tout n et que la convergence a aussi lieu dans Lp(µ).Comme f ∈ Lp(µ) et que 0 ≤ ϕn ≤ f , on a bien ϕn ∈ Lp(µ). Mais une fonction étagéepositive ϕ de Lp(µ) est aussi élément de L1(µ), en effet, pour tout y ∈ ϕ(E), si y 6= 0alors µ(ϕ = y) < ∞ car

∫ϕp dµ =

∑y∈ϕ(E),y 6=0 y

pµ(ϕ = y) < ∞. Mais comme ϕ(E) estfini,

∫ϕdµ =

∑y∈ϕ(E) yµ(ϕ = y) < ∞. Enfin, f − ϕn est dominée par f ∈ Lp(µ), donc

par convergence Lp-dominée, la suite (ϕn) converge vers f dans Lp(µ). 2

Théorème 15.5 Soit µ une mesure de Borel sur Rd. Alors pour tout p ∈ [1,+∞[,l’espace vectoriel C∞K (Rd,R) des fonctions réelles à support compact indéfiniment diffé-rentiables est dense dans Lp(µ).

Dém. D’après la proposition précédente, il suffit de montrer que l’espace C∞K est densedans l’espace des fonctions étagées intégrables 1, c’est-à-dire les fonctions de la forme∑n

i=1 αi1Ai où pour tout i, αiµ(Ai) < ∞. Par linéarité, il suffit de montrer que pourtout A ∈ B(Rd) de mesure finie, la fonction indicatrice de A est limite dans Lp(µ) d’unesuite d’éléments de C∞K .

Soit ε > 0. Comme µ est une mesure de Borel, elle est extérieurement régulière, doncA étant de mesure finie, il existe un ouvertO ⊇ A tel que µ(O\A) < (ε/3)p, autrement dit‖1O − 1A ‖p < ε/3. Comme O est la réunion (dénombrable) des pavés ouverts et bornésà extrémités rationnelles qu’il contient, et que µ(O) < ∞, par continuité à gauche dela mesure, il existe une famille finie (et disjointe) de pavés bornés et ouverts contenusdans O dont la réunion Ω est telle que µ(O \Ω) < (ε/3)p, autrement dit ‖1O − 1Ω ‖p <ε/3. Observons ici que pour tout intervalle ouvert ]a, b[, il est aisé de construire une @suite croissante (ψ

(a,b)n ) de fonctions indéfiniment différentiables dominées par 1]a,b[ et

convergeant simplement vers 1]a,b[. Ainsi pour tout pavé ouvert R =∏d

i=1]ai, bi[, les

1. en effet, un résultat classique de topologie assure que si A est dense dans B et B est dense dans C, alorsA est dense dans C


fonctions ϕRn :=∏d

i=1 ψ(ai,bi)n sont dominées par 1R et convergent simplement vers 1R. À

présent, rappelons-nous que Ω est réunion finie et disjointe de pavés ouverts bornés, soitΩ = ∪jRj. En définissant φn =

∑j ϕ

Rjn , on obtient une suite de fonctions indéfiniment

différentiables dominées par 1Ω et convergeant simplement vers 1Ω. Comme Ω est borné,ces fonctions sont à support compact, et comme µ(Ω) <∞, par convergence Lp-dominée,la convergence a également lieu dans Lp. On peut donc trouver une fonction indéfinimentdifférentiable à support compact φ telle que ‖1Ω − φ ‖p < ε/3. L’inégalité triangulairenous permet de conclure que ‖1A − φ ‖p < ε. 2

Chapitre 16

Produit de convolution

16.1 Convolution de mesures et de fonctions positives

Nous allons définir une nouvelle opération sur les mesures, qui seront toujours sup-posées ici définies sur B(Rd) et σ-finies.

Définition 16.1 Soient µ et ν deux mesures σ-finies sur B(Rd). On appelle produit deconvolution, et l’on note µ ? ν, l’image de µ⊗ ν par l’application (x, y) 7→ x+ y.

Remarque 16.2 Par le théorème de Fubini–Tonelli, pour tout borélien A,

µ ? ν(A) =

∫1A(x+ y) d(µ⊗ ν)(x, y)

=

∫dµ(x)

∫dν(y)1A(x+ y) =

∫dν(y)

∫dµ(x)1A(x+ y)

=

∫dµ(x) ν(A− x) =

∫dν(y)µ(A− y).

En particulier, µ?ν(Rd) = µ(Rd)ν(Rd), et donc si µ et ν sont des probabilités alors µ?νen est également une.

Proposition 16.3 le produit de convolution est commutatif, associatif et possède unélément neutre qui est δ0.

Remarque 16.4 Avant de convoler µ?ν avec une troisième mesure, il faut tout d’abordvérifier que µ?ν est elle-même σ-finie, car ce n’est pas toujours le cas, comme on peut levoir avec le contre-exemple λ?λ. En effet λ?λ(A) =

∫dλ(x)λ(A−x) =

∫dλ(x)λ(A) =

λ(Rd)λ(A), qui vaut +∞ dès que A est de mesure de Lebesgue non nulle.

Dém. La démonstration est immédiate grâce à la commutativité et à l’associativité de @l’addition sur Rd et du produit ⊗ de mesures. 2

114

CHAPITRE 16. PRODUIT DE CONVOLUTION 115

Proposition 16.5 Si ν admet une densité g par rapport à la mesure de Lebesgue, alorsµ ? ν admet également une densité, (encore) notée µ ? g, où

µ ? g(x) :=

∫dµ(y) g(x− y) x ∈ Rd.

Dém. Par le théorème de Fubini–Tonelli, µ? g est borélienne car l’application (x, y) 7→g(x− y) est borélienne (voir chapitre sur les tribus produits). De plus, par la formule duchangement de variable puis par Fubini–Tonelli,

µ ? ν(A) =

∫dµ(y)

∫dν(x)1A(x+ y)

=

∫dµ(y)

∫dλ(x) g(x)1A(x+ y)

=

∫dµ(y)

∫dλ(u) g(u− y)1A(u)

=

∫dλ(u)1A(u)

∫dµ(y) g(u− y),

qui n’est autre que∫dλ(u)1A(u)µ ? g(u). 2

Corollaire 16.6 Si µ (resp. ν) admet une densité f (resp. g) par rapport à la mesurede Lebesgue, alors µ ? ν admet également une densité, (encore !) notée f ? g, où

f ? g(x) :=

∫dλ(y) f(y) g(x− y) =

∫dλ(y) g(y) f(x− y) x ∈ Rd.

Proposition 16.7 Le produit de convolution f ?g défini pour tout couple (f, g) de fonc-tions boréliennes positives sur Rd est commutatif et associatif. De plus, f ?g est borélienneet positive, f ? g 6= 0 ⊆ f 6= 0+ g 6= 0, et∫

Rdf ? g dλ =

(∫f dλ

).

(∫g dλ

).

Exemple 16.8 La fonction f ? 1Rd est la fonction constante égale à∫f dλ.

Dém. La commutativité est déjà visible dans l’équation du dernier corollaire. En ce quiconcerne l’associativité, si f , g et h sont trois fonctions boréliennes positives, alors

(f ? g) ? h(x) =

∫dz h(z) f ? g(x− z)

=

∫dz h(z)

∫dy f(y) g(x− z − y)

=

∫dy f(y)

∫dz h(z) g(x− z − y)

=

∫dy f(y) g ? h(x− y)


qui n’est autre que f ? (g ? h)(x).En désignant par µ la mesure de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue,

comme f ? g = µ ? g, la proposition précédente donne la mesurabilité de f ? g.Soit x ∈ Rd tel que x 6∈ f 6= 0 + g 6= 0. Alors pour tout y ∈ Rd, g(y) = 0 ou

f(x−y) = 0 (sans quoi y ∈ g 6= 0 et x−y ∈ f 6= 0, et alors x = y+(x−y) appartientà la somme). Par conséquent g(y)f(x− y) = 0 pour tout y, si bien que f ? g(x) = 0.

En désignant par ν la mesure de densité g par rapport à la mesure de Lebesgue,∫f ? g dλ = µ ? ν(Rd) = µ(Rd)ν(Rd) =

(∫f dλ

).(∫

g dλ). 2

16.2 Convolution de fonctions boréliennes de signe quelconque

Définition 16.9 Soient deux fonctions boréliennes f, g : Rd → R. Pour tout x ∈ Rd telque | f | ? | g |(x) <∞, on définit le nombre réel

f ? g(x) :=

∫Rddλ(y) f(y) g(x− y),

que l’on appelle convolée, ou produit de convolution de f et g au point x.

Proposition 16.10 Le produit de convolution des fonctions boréliennes jouit des pro-priétés suivantes :

a) dès que l’un des deux nombres f ? g(x) ou g ? f(x) est bien défini, ils sont égaux,et

| f ? g(x) | ≤ | f | ? | g |(x).

b) Si pour tout x ∈ Rd, | f | ? | g |(x) <∞, alors la fonction f ? g est borélienne.c) f ? g 6= 0 ⊆ f 6= 0+ g 6= 0.d) Si f1 = f2 λ-p.p. et g1 = g2 λ-p.p. alors pour tout x ∈ Rd, | f1 | ? | g1 |(x) =

| f2 | ? | g2 |(x), et si ce nombre est fini, f1 ? g1(x) = f2 ? g2(x).

Remarque 16.11 Le produit de convolution des fonctions boréliennes de signe quel-conque n’est pas associatif en général.

Dém. a) L’égalité s’obtient par un changement de variable affine et l’inégalité parcroissance de l’intégrale.

b) Par croissance de l’intégrale, toutes les fonctions f± ? g± sont bien définies et parlinéarité

f ? g = f+ ? g+ − f+ ? g− − f− ? g+ + f− ? g−,

et tous les termes de cette somme sont des fonctions boréliennes (voir section précédente),d’où le résultat.

c) Par l’inégalité | f ? g | ≤ | f | ? | g |, on a | f ? g | 6= 0 ⊆ | f | ? | g | 6= 0, d’où

f?g 6= 0 = | f?g | 6= 0 ⊆ | f |?| g | 6= 0 ⊆ | f | 6= 0+| g | 6= 0 ⊆ f 6= 0+g 6= 0.

d) Pour tout x ∈ Rd, si l’on définit le borélien A(x) par @


A(x) := y ∈ Rd : f1(x− y) g1(y) 6= f2(x− y) g2(y),

on a alors

A(x) ⊆ y ∈ Rd : f1(x−y) 6= f2(x−y)∪ y ∈ Rd : g1(y) 6= g2(y) = (x− f1 6= f2)∪g1 6= g2,

si bien queλ(A(x)) ≤ λ (f1 6= f2) + λ (g1 6= g2) = 0.

Par conséquent,

| f1 | ? | g1 |(x) =

∫| f1(x− y) |.| g1(y) |1cA(x)(y) dy

=

∫| f2(x− y) |.| g2(y) |1cA(x)(y) dy = | f2 | ? | g2 |(x).

Si cette quantité est finie, on fait le même raisonnement avec f1 ? g1 et f2 ? g2. 2

On souhaite à présent exhiber des conditions suffisantes d’existence partout ou λ-presque partout de f ? g.

Proposition 16.12 1) f ? g(x) existe pour tout x ∈ Rd si l’une des deux conditionssuivantes est réalisée :

a) f est localement intégrable 1 et g est essentiellement bornée et à support compact ;b) il existe p et q conjugués 2 tels que f ∈ L p(λ) et g ∈ L q(λ).

2) f ?g(x) existe pour λ-presque tout x ∈ Rd dès que f ∈ L 1(λ) et g ∈ L p(λ) (pourp ∈ [1,+∞]). Dans ce cas, f ? g ∈ Lp(λ) et de plus ‖ f ? g ‖p ≤ ‖ f ‖1 ‖ g ‖p.

Dém. 1) Il nous faut montrer que dans les deux cas | f |? | g |(x) <∞ pour tout x ∈ Rd.Cas a :

| f | ? | g |(x) =

∫| f(x− y) |.| g(y) |1| g |≤‖ g ‖∞ 1| g |6=0 dy

≤ ‖ g ‖∞∫| f(x− y) |1| g |6=0 dy

= ‖ g ‖∞∫x−| g |6=0

| f | dλ,

qui est fini car x− | g | 6= 0 est borné. Passons au cas b. Par l’inégalité de Hölder,

| f | ? | g |(x) ≤(∫| f(x− y) |p dy

)1/p(∫| g(y) |q dy

)1/q

= ‖ f ‖p ‖ g ‖q.

2) Soit f ∈ L 1(λ) et g ∈ L p(λ). Le cas où p = ∞ est un cas particulier de ce quiprécède, aussi nous pouvons supposer que p <∞. En notant µ la mesure de probabilité de

1. autrement dit∫K| f | dλ <∞ pour tout compact K de Rd

2. p, q ∈ [1,+∞] tels que p−1 + q−1 = 1


densité | f |/‖ f ‖1 (le cas où ‖ f ‖1 = 0 étant trivial) par rapport à la mesure de Lebesgueet en lui appliquant l’inégalité de Jensen avec l’application convexe R+ : x 7→ xp,∫

(| f | ? | g |)p (x) dx =

∫dx

(∫| f(y) |.| g(x− y) | dy

)p= ‖ f ‖p1

(∫| g(x− y) | dµ(y)

)p≤ ‖ f ‖p1

∫| g(x− y) |p dµ(y)

= ‖ f ‖p−11

∫dx

∫dy | f(y) |.| g(x− y) |p

= ‖ f ‖p−11

∫dy | f(y) |

∫dx | g(x− y) |p

= ‖ f ‖p1 ‖ g ‖pp,

ce qui donne l’inégalité ‖ | f |?| g | ‖p ≤ ‖ f ‖1 ‖ g ‖p. Ainsi | f |?| g |(x) <∞ pour λ-presquetout x, donc f ? g(x) est défini pour λ-presque tout x et ‖ f ? g ‖p ≤ ‖ | f | ? | g | ‖p ≤‖ f ‖1‖ g ‖p. 2

Chapitre 17

Transformée de Fourier

17.1 Définition et premières propriétés

Définition 17.1 a) Soit µ une mesure finie sur Bor(Rd). On définit la transformée deFourier de µ, et l’on note µ, la fonction µ : Rd → C définie par

µ(u) =

∫Rde−i〈u,x〉 dµ(x) u ∈ Rd,

où l’on rappelle que 〈·, ·〉 désigne le produit scalaire canonique de Rd.b) Soit f : Rd → C un élément de L1

C(λ). On définit également la transformée deFourier de f , et l’on note (encore) f , la fonction f : Rd → C définie par

f(u) =

∫Rde−i〈u,x〉f(x) dλ(x) u ∈ Rd.

Remarque 17.2 Si f est positive, alors en désignant par µ la mesure de densité f parrapport λ, on a par définition f = µ.

Proposition 17.3 a) La transformée de Fourier d’une mesure finie ou d’une fonctionintégrable est toujours continue.

b) Les applications µ 7→ µ et f 7→ f sont linéaires, et pour tout u ∈ Rd,

| µ(u) | ≤ µ(Rd), | f(u) | ≤∫| f | dλ.

c) La transformée de Fourier est un morphisme de groupes pour le produit de convo-lution, au sens où

µ ? ν = µν, µ ? f = µf , f ? g = f g.

Dém. a) En notant g(u, x) = e−i〈u,x〉f(x), on voit que pour tout x l’application u 7→g(u, x) est continue et dominée par | f(x) | qui par hypothèse est λ-intégrable en x, doncl’application f : u 7→

∫g(u, x) dλ(x) est continue (et la démonstration est bien sûr la

même pour µ).

119

CHAPITRE 17. TRANSFORMÉE DE FOURIER 120

b) évident. @c) Calculons la transformée de Fourier de µ ? ν :

µ ? ν =

∫e−i〈u,x〉 d(µ ? ν)(x) =

∫ ∫e−i〈u,x+y〉 dµ(x) dν(y)

=

∫e−i〈u,x〉 dµ(x)

∫e−i〈u,y〉 dν(y)

par le théorème de Fubini–Lebesgue, et cette dernière expression n’est autre que µ(u) ν(u)(la démonstration est bien sûr la même pour µ ? f et f ? g). 2

Remarque 17.4 Soit f ;Rd → C une fonction λ-intégrable. On pourra montrer en exer-cice les égalités suivantes. @

– Si g est définie par g(x) = f(−x) alors g(u) = f(−u) ;– si g est définie par g(x) = f(x) (complexe conjugué), alors g(u) = f(−u) ;– si g est définie par g(x) = f(x/a) (où a est un réel non nul quelconque), alorsg(u) = ad f(au).

17.2 Injectivité de la transformée de Fourier

Nous allons à présent montrer que la transformée de Fourier d’une mesure finie lacaractérise, en nous servant de la fonction g : Rd → R définie par

g(x) := (2π)−d/2 exp

(−‖x ‖

2

2

),

où ‖ · ‖ désigne la norme euclidienne usuelle de Rd.

Lemme 17.5 La fonction positive g est une densité 1 de probabilité sur Rd et

g(u) = exp

(−‖u ‖

2

2

).

Dém. On sait que∫R e−x2/2 dx =

√2π. Par Fubini–Tonelli, en notant xi la i-ème com-

posante de x ∈ Rd, on a∫g dλ = (2π)−d/2

∫Rde−

12

∑di=1 x

2i dλd(x) =

((2π)−1/2

∫Re−x

2/2 dλ1(x)

)d= 1d = 1.

1. sous-entendu : par rapport à la mesure de Lebesgue


Calculons à présent la transformée de Fourier de g :

g(u) = (2π)−d/2∫Rddλd(x) e−i〈u,x〉 e−

12〈x,x〉

= (2π)−d/2∫Rddλd(x) e−

12〈x+iu,x+iu〉 e−

12〈u,u〉

= (2π)−d/2e−12‖u ‖2

∫Rddλd(x) e−

12

∑dj=1(x+iuj)

2

= e−12‖u ‖2

d∏j=1

(2π)−1/2

∫Rdλ1(x) e−

12

(xj+iuj)2

,

par Fubini–Lebesgue. Il suffit donc de montrer que pour tout u ∈ R,

(2π)−1/2

∫Rdλ1(x) e−

12

(x+iu)2 = 1.

SoitF (u) :=

∫Rdλ1(x) e−

12

(x+iu)2 u ∈ R.

Soit R > 0. Comme l’application u 7→ e−12

(x+iu)2 est dérivable sur [−R,R] et que sadérivée −i(x+ iu) e−

12

(x+iu)2 est dominée sur [−R,R] par CR(|x |+R) e−12x2 (où CR est

une constante qui dépend seulement de R), qui est intégrable en x sur R, F est dérivablesur [−R,R] et sa dérivée vaut

F ′(u) = −i∫Rdλ1(x) (x+ iu) e−

12

(x+iu)2 .

En décomposant l’intégrand suivant sa partie réelle et sa partie imaginaire, il n’est pasdifficile de montrer que cette intégrale est nulle. Ainsi, comme R est arbitraire, F est déri- @vable en tout point de R et de dérivée nulle, donc est constante sur R égale à F (0) =

√2π,


Pour tout σ > 0, définissons à présent

gσ(x) := σ−d g(xσ

)=(σ√

2π)−d

e−‖ x ‖2

2σ2 .

On sait alors que

gσ(u) = σ−d(σdg(σu)

)= e−

σ2‖u ‖22 .

Lemme 17.6 Soit µ une mesure finie sur Bor(Rd).a) On a l’égalité

gσ ? µ(x) = (2π)−d∫Rddλ(u) µ(u) ei〈u,x〉−

σ2

2‖u ‖2 .

b) Pour toute fonction h : Rd → R continue bornée,∫Rdh dµ = lim

σ↓0

∫Rdgσ ? µ(x)h(x) dλ(x).


Dém. a) Calculons gσ ? µ(x) :

gσ ? µ(x) =

∫gσ(x− y) dµ(y)

=(σ√

2π)−d ∫

e−‖ x−y ‖2

2 dµ(y)

=(σ√

2π)−d ∫

dµ(y)g 1σ(y − x)

=(σ√

2π)−d ∫

dµ(y)

∫dλ(z) g 1

σ(z) e−i〈y−x,z〉.

Par le théorème de Fubini-Lebesgue (µ est finie),

gσ ? µ(x) =(σ√

2π)−d ∫

dλ(u) g 1σ(u)

∫dµ(y) e−i〈y−x,u〉

=(σ√

2π)−d ∫

dλ(u) ei〈x,u〉 g 1σ(u) µ(u)

=(σ√

2π)−d ∫

dλ(u) ei〈x,u〉

(√2π

σ

)−de−

σ2‖u ‖22 µ(u)

= (2π)−d∫dλ(u) ei〈u,x〉−

σ2‖u ‖22 µ(u).

b) Soit

Iσ :=

∫Rdgσ ? µ(x)h(x) dλ(x)

=

∫Rddλ(x)h(x)

∫Rddµ(y) gσ(x− y),

double intégrale à laquelle nous allons appliquer le théorème de Fubini–Lebesgue. Eneffet, comme h est bornée (par une certaine constante C)∫Rddµ(y)

∫Rddλ(x) |h(x) |.| gσ(x−y) | ≤ C

∫Rddµ(y)

∫Rddλ(x) gσ(x−y) = C µ(Rd) <∞,

en faisant le changement de variable u = (x − y)/σ, car on se souvient que g est unedensité de probabilité. Nous en déduisons donc, grâce au même changement de variable,

Iσ =

∫Rddµ(y)

∫Rddλ(x)h(x) gσ(x− y)

=

∫Rddµ(y)

∫Rddλ(u)σd h(y + σu) gσ(σu)

=

∫Rddµ(y)

∫Rddλ(u)h(y + σu) g(u).


Comme la fonction y 7→∫Rd dλ(u)h(y + σu) g(u) est dominée par C

∫g dλ = C, et que

les fonctions constantes sont µ-intégrables, le théorème de convergence dominée nouspermet de conclure

limσ↓0

Iσ =

∫Rddµ(y) lim

σ↓0

∫Rddλ(u)h(y + σu) g(u).

Il suffit alors de voir que la limite dans l’intégrale est égale à h(y), par une autre appli-cation du théorème de convergence dominée. En effet, l’interversion de la limite et del’intégrale est permise car l’intégrand est dominé par Cg qui est λ-intégrable. Enfin, parcontinuité de h, limσ↓0 h(y+σx) = h(y) et g est une densité de probabilité, ce qui permetde voir que

limσ↓0

∫Rddλ(u)h(y + σu) g(u) = h(y).

2

Lemme 17.7 Soit (E,A , µ) un espace mesuré quelconque. Soient f, g : (E,A ) →(R,B(R)) deux fonctions mesurables.

a) Si f et g sont µ-intégrables et que∫Af dµ =

∫Ag dµ pour tout A ∈ C , où C est

un π-système engendrant 2 A , alors f = g µ-p.p.b) Si C est seulement stable par intersections finies, mais qu’il existe une suite

croissante (En) d’éléments de A et convergeant vers E, telle que∫Enf dµ < ∞ et∫

Eng dµ <∞ pour tout n, et que

∫A∩En f dµ =

∫A∩En g dµ pour tout A ∈ C , alors f = g

µ-p.p.

Dém. a) On définit les mesures µ+, µ−, ν+ et ν− comme les mesures de densitésrespectives f+, f−, g+ et g− par rapport à µ. Comme f et g sont µ-intégrables, ces quatremesures sont finies et par hypothèse, pour tout A ∈ C , µ+(A)−µ−(A) = ν+(A)−ν−(A),ce que nous pouvons également écrire

µ+(A) + ν−(A) = ν+(A) + µ−(A).

En d’autres termes les mesures µ++ν− et ν++µ− coïncident sur un π-système engendrantA , donc coïncident sur A . L’égalité précédente est donc toujours satisfaite pour A ∈ Aet comme les quatres termes sont finis, on peut écrire µ+(A)−µ−(A) = ν+(A)− ν−(A),autrement dit ∫

A

f dµ =

∫A

g dµ A ∈ A .

Il est ensuite classique de voir pourquoi ceci implique que f = g µ-p.p., en prenantA = f > g puis en raisonnant par symétrie sur f et g.

b) Il suffit d’appliquer la méthode précédente aux mesures traces de µ et ν sur Enet au π-système C ∪ E. On obtient alors que pour tout n f1En = g1En µ-p.p., ce quiimplique l’égalité µ-p.p. entre f et g. 2

2. au sens où σ(C ) = A


Théorème 17.8 (injectivité de la transformée de Fourier) a) Si µ et ν sont deuxmesures finies sur B(Rd) telles que µ = ν, alors µ = ν.

b) Si f et g sont deux fonctions complexes λ-intégrables sur Rd telles que f = g, alorsf = g λ-p.p.

Dém. a) D’après le Lemme 17.6 a), si µ = ν, alors pour tout σ > 0, gσ ? µ = gσ ? ν,ce qui implique, d’après le Lemme 17.6 b), que pour toute fonction h continue bornée,∫h dµ =

∫h dν. Ceci implique que µ = ν. En effet, si C est la classe des pavés de

la forme A =∏d

j=1] −∞, aj[ (où aj peut éventuellement être égal à +∞), alors il estfacile de construire une sute (hn) de fonctions continues, toutes bornées par 1Rd , tellesque limn→∞ hn = 1A. Alors par convergence dominée, limn

∫hn dµ = µ(A), et comme∫

hn dµ =∫hn dν, on a l’égalité µ(A) = ν(A). Comme C est un π-système engendrant

B(Rd), µ et ν coïncident sur B(Rd).b) On pourrait montrer une version du lemme 17.6 où l’on a remplacé µ par f.λ, où @

f ∈ L 1C(λ) (d’abord pour f ≥ 0, puis par linéarité...). Donc si f = g, par les mêmes

arguments que a), on peut montrer que∫Af dλ =

∫Ag dλ pour tout A ∈ C , ce qui

prouve, grâce au lemme 17.7 a) appliqué aux parties réelles et imaginaires de f et g, quef = g λ-p.p. 2

Remarque 17.9 En fait, grâce au Lemme 17.6, on a montré que pour toute fonction hcontinue bornée,∫

h dµ = limσ↓0

(2π)−d∫dλ(x)h(x)

∫dλ(u) µ(u) ei〈u,x〉−

σ2

2‖u ‖2 ,

ce qui constitue une formule d’inversion pour les mesures finies, comme le précise lethéorème qui suit.

Théorème 17.10 a) Si µ est une mesure finie dont la transformée de Fourier µ estλ-intégrable, alors elle admet une densité continue et bornée g par rapport à λ donnéepar

g(x) = (2π)−d∫Rdei〈u,x〉 µ(u) dλ(u) x ∈ Rd.

b) Si f ∈ L 1C(λ) est telle que f ∈ L 1

C(λ), alors pour λ-presque tout x,

f(x) = (2π)−d∫Rdei〈u,x〉 µ(u) dλ(u).

Remarque 17.11 On ne peut bien sûr pas espérer s’affranchir de l’égalité presque par-tout dans b), puisque le membre de droite est une fonction continue et bornée, ce quin’est pas forcément le cas de f .


Dém. a) Soit g définie comme dans l’énoncé du théorème. Comme µ est intégrable, gest bornée. De la remarque qui précède l’énoncé, pour toute fonction h continue bornée,∫

h dµ = limσ↓0

(2π)−d∫dλ(x)h(x)


σ2

2‖u ‖2 .

Si h est à support compact, on peut appliquer deux fois le théorème de convergencedominée pour obtenir l’égalité

∫h dµ =

∫hg dλ. En effet, tout d’abord, la fonction x 7→

h(x)∫dλ(u) µ(u) ei〈u,x〉−

σ2

2‖u ‖2 est dominée en module par C |h |, qui est λ-intégrable

(car µ est supposée intégrable et h à support compact), donc∫h dµ = (2π)−d

∫dλ(x)h(x) lim

σ↓0


σ2

2‖u ‖2 .

Ensuite, la fonction u 7→ µ(u) ei〈u,x〉−σ2

2‖u ‖2 est dominée en module par | µ |, qui est

intégrable par hypothèse, donc

limσ↓0

∫µ(u) ei〈u,x〉−

σ2

2‖u ‖2 = g(x).

Par la même méthode que précédemment, avec C la famille des pavés de la forme∏dj=1]aj, bj], où les aj et bj sont finis, on obtient l’égalité µ(A) =

∫Ag dλ pour tout A ∈ C .

Comme C est stable par intersections finies, et que la suite des pavés ]−n, n]d est une suited’éléments de C qui converge vers Rd, on applique le lemme 17.7 b) à la fonction nulle et àla partie imaginaire de g, pour voir que l’égalité µ(A) =

∫g dλ =

∫A<(g) dλ+i

∫A=(g) dλ

pour tout A ∈ C , implique que∫A=(g) dλ = 0 et donc que =(g) = 0 λ-p.p. (on vérifie

que =(g) est localement intégrable car elle est bornée). Donc g est réelle λ-p.p., maiscomme g est continue, g est réelle partout. Soient alors

ν+(A) :=

∫A

g+ dλ , ν−(A) :=

∫A

g− dλ.

Comme g est bornée, ν+ et ν− sont finies sur C , et pour tout A ∈ C , µ(A) = ν+(A)−ν−(A), ce qui implique que µ+ ν− et ν+ coïncident sur C , et donc sur B(Rd).

Or pour tout N ∈ B(Rd) de λ-mesure nulle, ν+(N) =∫Ng+ dλ = 0 et de la même

manière ν−(N) = 0. L’égalité µ + ν− = ν+ implique alors que µ(N) = 0, c’est-à-direque µ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Comme µ et λsont σ-finies, le théorème de Radon–Nikodym assure qu’il existe une fonction positiveϕ ∈ L 1(λ) telle que pour tout A ∈ B(Rd), µ(A) =

∫Aϕdλ. Et si A ∈ C , ceci peut

s’écrire∫Ag dλ =

∫Aϕdλ, car g est bornée. Donc d’après le lemme 17.7 b), ϕ = g λ-p.p.,

et en particulier g est positive λ-p.p., mais comme g est continue, g est en fait positivepartout. Enfin, l’égalité ϕ = g λ-p.p. implique que g ∈ L 1(λ), puis que

µ(A) =

∫A

ϕdλ =

∫A

g dλ A ∈ B(Rd).

b) Si f ≥ 0, on applique a) à la mesure µ de densité f par rapport à λ (car alorsµ = f). On peut alors conclure que µ admet une densité g par rapport à λ (où g estdonnée par la formule d’inversion), ce qui implique que f = g λ-p.p. Le cas général setraite en décomposant f suivant f = <(f)+ −<(f)− + i=(f)+ − i=(f)−. 2


Remarque 17.12 On pourra lire avec avantage les trois dernières pages du polycopiéde Jean Jacod concernant la transformée de Fourier dans L2.

théoriedelamesureetintégration...lm364–intégration1 5 chapitre 1...

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