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Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

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1

COURS ET EXERCICES D’ANALYSE

Pour économiste

Licence 1

Professeur : FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

UFR SEG, Université de Cocody


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AVANT-PROPOS

Ce document s’adresse en premier lieu aux Etudiants de la Licence

première année Economie-Gestion. IL se sera utile, d’autre part, aux élèves de

première année des classes préparatoires scientifiques, ainsi qu’aux étudiants

d’autres filières comportant un solide programme de mathématiques.

Le document est divisé en deux grandes parties : la première partie est

composée du cours d’analyse et la deuxième des exercices dont certains ont été

corrigés. La première partie comporte quatre chapitres. Le cours est composé des

définitions, théorèmes et propriétés nécessaires et suffisantes et de nombreux

exemples. Les termes utilisés sont accessibles à tout étudiant ayant fait au moins

la classe de Terminale.

Je remercie tous ceux qui m’ont aidé à concevoir ce document

Prof. FOADE Denis Joël Tongnivi, UFR-SEG, Université de Cocody-Abidjan,

[email protected]

mailto:[email protected]


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SOMMAIRE

Chapitre 1 : Suites numériques et raisonnement par récurrence

Chapitre 2 : Fonction numérique à une variable

Chapitre 3 : Formule de Taylor, développements limités et étude de quelques

fonctions usuelles

Chapitre 4 : Fonction de plusieurs variables et optimisation ; courbes de niveau

et calcul intégral.


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CHAPITRE 1 : SUITES NUMERIQUES et RAISONNEMENT PAR

RECURRENCE.

1.1-Suites numériques

1-Définition

Une suite réelle ou complexe est une application U d’une partie 𝚰 de ℕ vers R

ou ℂ. L’image U(n) de n, est notée 𝑼𝒏. La suite Un est alors notée (Un).

Généralement 𝚰 =ℕ ou 𝚰 =ℕ∗

2- Convergence et Limites

On dit que la suite (𝑈𝑛) tend vers une limite finie ℓ (réel ou complexe) lorsque

pour tout choix d’un nombre 𝜀 > 0 (aussi petit que l’on veut) à partir d’un certain

rang 𝑛0 (dépendant du choix de 𝜀) la valeur de tout 𝑈𝑛 est proche de ℓ de moins

𝜀.

Autrement dit :∀𝜀 > 0,𝑛0 ∕ 𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ |𝑈𝑛 − ℓ| < 𝜀 ou écrit alors 𝑈𝑛→ℓ ou

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ.

Une suite est convergente lorsqu’elle tend vers une limite finie. Une suite est

divergente lorsqu’elle ne tend pas vers une limite finie ou bien lorsqu’elle n’admet

pas de limite ou lorsqu’elle tend vers une limite infinie (+∞, 𝑜𝑢 −∞).


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-PROPRIETES

Soient (𝑈𝑛) et (𝑉𝑛) 2 suites réelles ou complexes.

i) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ et lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = ℓ′ alors lim

𝑛→∞( 𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = ℓ + ℓ

′

ii) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ et 𝛼 ∈ ℝ alors lim𝑛→∞

𝛼𝑈𝑛 = 𝛼ℓ

iii) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ avec 𝑈𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 et ℓ ≠ 0 alors lim𝑛→∞

1

𝑈𝑛=1

ℓ

iv) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ alors lim𝑛→∞

|𝑈𝑛| = |ℓ|

v) Soit 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑖𝑏𝑛 avec 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ∈ ℝ.

La suite(𝑈𝑛) converge ⇔ les suites (𝑎𝑛) et (𝑏𝑛) convergent. Dans

ce cas, lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 + 𝑖 lim𝑛→∞

𝑏𝑛

Théorème : Unicité de la limite

Lorsqu’une suite tend vers une limite alors cette limite est unique.

Preuve :

Supposons lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ et lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ′ avec ℓ ≠ ℓ′ 𝛼 = |ℓ − ℓ′| > 0

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ ⇒ ∀𝜀 > 0, ∃ 𝑛0(𝑛 ≥ 𝑛0) ⇒ |𝑈𝑛 − ℓ| < 𝜀,

En particulier pour 𝜀 =𝛼

4 et 𝓃 ≥ 𝑛0 ou |𝑈𝑛 − ℓ| <

𝛼

4

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ’⇒ ∀𝜀 > 0, ∃𝑛1 ∕ 𝓃 ≥ 𝑛1 ⇒ |𝑈𝑛 − ℓ′| < 𝜀

En particulier pour 𝜀 =𝛼

4 et 𝓃 ≥ 𝑛1 ⇒ |𝑈𝑛 − ℓ′| <

𝛼

4

𝛼 = |ℓ − ℓ′| = |ℓ − 𝑈𝑛 + 𝑈𝑛 − ℓ′| ≤ |ℓ − 𝑈𝑛| + |𝑈𝑛 − ℓ′|

𝛼 = |ℓ − ℓ′| ≤ |𝑈𝑛 − ℓ| + |𝑈𝑛 − ℓ′|

𝛼 <𝛼

4+𝛼

4=𝛼

2 ⇒

𝛼 <𝛼

2 (Absurde) d’où on ne peut avoir ℓ ≠ ℓ′


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3 - Sens de variations

Soit une suite (Un) définie sur Ι.

∗ La suite (𝑈𝑛) est croissante si et seulement si :

∀𝓃 ∈ Ι, 𝑈𝑛+1 ≥ 𝑈𝑛 ou (𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛) ≥ 0

∗ La suite (𝑈𝑛) est décroissante si et seulement si :

∀𝓃 ∈ Ι, 𝑈𝑛+1 ≤ 𝑈𝑛 ou (𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛) ≤ 0

∗ La suite (𝑈𝑛) est stationnaire si et seulement si :

∀𝓃 ∈ Ι, 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 = 0 ⇒ 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛

∗ Une suite croissante ou décroissante est dite monotone

4 - Suites bornées

La suite (𝑈𝑛) est majorée si et seulement si ∃ 𝑀 ∈ ℝ; tel que∀𝓃 ∈ Ι, 𝑈𝑛 ≤ 𝑀.

La suite (𝑈𝑛) est minorée si et seulement si ∃𝑚 ∈ ℝ; tel que∀𝓃 ∈ Ι, 𝑈𝑛 ≥ 𝑚.

La suite (𝑈𝑛) est bornée si elle est minorée et majorée

Théorème :

i) Toute suite croissante, majorée est convergente

ii) Toute suite décroissante minorée est convergente

iii) Toute suite monotone et non bornée est divergente

5 - Suites extraites-sous suites


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Soit une suite (𝑈𝑛) définie sur ℕ ou ℕ∗ : la suite (𝑈𝑛

′ ) définie sur une partie infinie

D de ℕ est telle que, 𝑈𝑛′=𝑈𝑛, ∀ℕ ∈ D, est appelée une suite extraite de (𝑈𝑛).

Exemple : 𝑈𝑛=𝑛+3

𝑛2+1 , 𝑛 ∈ ℕ

𝑈𝑛′=

𝑛+3

𝑛2+1 , 𝑛 ∈ {100,101,… }

(𝑈𝑛′ ) est une suite extraite de ( 𝑈𝑛).

Soit une suite (𝑈𝑛) définie sur ℕ et 𝜑 une application, 𝜑 croissante de ℕ dans ℕ.

La suite (𝑉𝑛) telle que 𝑉𝑛 = 𝑈𝜑(𝑛) est une sous suite de ( 𝑈𝑛).

Exemple : (𝑈𝑛) tel que 𝑈𝑛 =𝑛+1

𝑛+2 et 𝜑:ℕ ⟶ ℕ

𝓃 ⟶ 𝓃 + 3

Soit (𝑉𝑛), la suite telle que 𝑉𝑛 = 𝑈𝜑(𝑛) = 𝑈𝑛+3

𝑉𝑛 = 𝑈𝜑(𝑛) = 𝑈𝑛+3 =𝑛+4

𝑛+5

(𝑉𝑛) est une sous-suite de(𝑈𝑛).

6 - Suites adjacentes

Deux suites (𝑈𝑛)et (Vn)sont adjacentes si et seulement si l’une(𝑈𝑛)est

croissante et l’autre (Vn) décroissante et lim𝑛→∞

(𝑉𝑛 − 𝑈𝑛) = 0

Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Preuve :(𝑈𝑛) est croissante, (𝑉𝑛) est décroissantes et ( )UV nnn

−→

lim

Toute suite stationnaire est convergente.

Toute suite convergente est bornée :(𝑈𝑛)𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒→ ℓ

∀𝜀 ≥ 0, ∃𝑛0 ∈ ℕ; ∀𝑛 ∈ ℕ; 𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ |𝑈𝑛 − ℓ| ≤ 𝜀

𝑈𝑛 − ℓ ≤ 𝜀 ⇔ 𝑈𝑛 ≤ ℓ + 𝜀


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|𝑈𝑛| ≤ |ℓ + 𝜀| ⇒ |𝑈𝑛| ≤ |ℓ| + 𝜀

Si ℓ ≥ ′𝑈𝑛 pour 𝑛 < 𝑛0

∀𝑝 ∈ ℕ, |𝑈𝑝| ≤ 𝑠𝑢𝑝{|𝑈𝑛 + 𝜀, ℓ′|}

Exercice d’application

𝑊𝑛 = 𝑉𝑛 − 𝑈𝑛, (𝑊𝑛) = (𝑉𝑛) − (𝑈𝑛)

𝑊𝑛+1 −𝑊𝑛 = (𝑉𝑛+1 − 𝑈𝑛+1) − (𝑈𝑛 − 𝑈𝑛) ⇒ 𝑊𝑛+1 −𝑊𝑛 ≤ 0 ⇔ 𝑊𝑛¨+1 < 𝑤𝑛

d’où (𝑊𝑛 ) est décroissante.

7- Suites récurrentes

Une suite (𝑈𝑛) est dite récurrente lorsqu’elle est définie par la donnée de 1er

terme et par la relation 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛).

Théorème :

Si (𝑈𝑛) converge vers et si f est continue, alors ℓ = 𝑓(𝑒).

Preuve : 𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛), lim𝑛→∞

𝑈𝑛+1 = ℓ 𝑒𝑡 lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ ⇒ ℓ =

lim𝑛→∞

𝑈𝑛+1 = lim𝑛→∞

𝑓(𝑈𝑛)

= 𝑓 [ lim𝑛→∞

𝑈𝑛] = 𝑓(ℓ) puisque f est continue.

Exemple : étude de 𝑈𝑛 =1

2(𝑈𝑛−1 +

4

𝑈𝑛−1) , 𝑛 ≥ 2

Posons y=1

2(𝑥 +

4

𝑥) , 𝑥 > 0

𝑈𝑛−1 = 𝑥 , 𝑈𝑛 = 𝑦

x∈ ]0;+∞[


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𝑥 → 0 ,⇒ 𝑦 → ∞ , la droite d’équation 𝑥 = 0 est asymptote.

𝑥 → ∞ ,4

𝑥 , 𝑦 =

1

2𝑥 = 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒

𝑦 =1

2(1 −

4

𝑥2) =

1

2(𝑥2−4

𝑥2)

Tableau de variation

𝑈1 ≤ 𝑈2 ≤ ⋯ < 𝑈𝑛 ≤ 𝑉𝑛+1 ≤ 𝑉𝑛 ≤ ⋯ ≤ 𝑉1 ⇒ (𝑈𝑛) est croissante et majorée

par (𝑉𝑛) donc (𝑈𝑛) est convergente.

( 𝑉𝑛 ) est décroissante et minorée par 𝑈𝑛 ⇒ 𝑉𝑛 est convergente.


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Soit 𝑈𝑛 → ℓ, 𝑉𝑛 → ℓ′ ⇒ (𝑉𝑛 − 𝑈𝑛) = (ℓ − ℓ′)

or par hypothèse (𝑉𝑛 − 𝑈𝑛) → 0 ⇒ ℓ = ℓ′.

Exercice :

Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, 2𝑛 > 𝑛, en déduire que la suite (𝑈𝑛) définie par 𝑈𝑛 =1

2𝑛

est convergente.

Résolution

Si la relation est vraie pour𝑛 = 1; 𝑛 = 2et n = n on aura : 2𝑛 > 𝑛

Supposons, cette relation vraie jusqu’à l’ordre 𝑛 − 1.

( )

1

1

2, 2 1

2.2 2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

n

n n

n n

n n

avec n on a n n n n n n n

−

−

−

= − = −

+ + + −

2𝑛 > 2𝑛 − 2 > 𝑛

1

𝑛→ 0 ⇒

1

2𝑛→ 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑 𝑛 → ∞

⇒ 𝑈𝑛 → 0 𝑞𝑑 𝑛 → ∞

1.2- Raisonnement par récurrence

1- Définition : le raisonnement par récurrence est un procédé de démonstration

des propriétés dépendant des entiers naturels. Soit 𝑃𝑛 une propriété où n ∈ ℕ.

Pour démontrer que 𝑃𝑛est vraie par récurrence, on procède comme suit :

a) On vérifie que 𝑃0 est vrai.

b) On suppose que Pk est vraie pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

c) On déduit de b) appelé hypothèse de récurrence que Pn +1 est vraie.


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d) On conclut que 𝑃𝑛 est vraie ∀𝑛 ∈ ℕ

2- Exercices

i) Démontrer par récurrence sur * que l’on a :

𝑃𝑛 =∑ =𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑘=1

𝑎)∑𝑘 = 1 =1(1 + 1)

2

1

1

= 1 = 𝑃1⟹ 𝑃1 𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒

𝑏)𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑃𝑛 =∑𝑘 =𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑘=1

𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒 à l’ordre de n.

𝑐)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃𝑛+1𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒 ∀𝑛 ∈ ℕ∗

𝑃𝑛+1 =∑𝑘 + (𝑛 + 1) =

𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑘=1

+ (𝑛 + 1) =(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2

⟹ 𝑃𝑛+1𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒 ∀𝑛 ∈ ℕ

∗

ii) Démontrer que 𝑃𝑛+1 =∑(2𝑘 − 1) = 𝑛

2

𝑛

𝑘=1

, ∀𝑛 ∈ ℕ∗

𝑎) 𝑃1 =∑(2 × 1 − 1) = 2 − 1 = 12

1

1

⟹ 𝑃1 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒


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12

𝑏) 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑛 = ∑(2𝑘 − 1) = 𝑛2, ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎè𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑐𝑢𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒

𝑛

𝑘=1

:

𝑃𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒 à 𝑙

′𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑛

𝑃𝑛+1 =∑(2𝑘 − 1) =

𝑛

𝑘=1

∑(2𝑘 − 1) + [2(𝑛 + 1) − 1]

𝑛

𝑘=1

𝑃𝑛+1 = 𝑛

2 + 2𝑛 + 2 − 1 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2

⟹ 𝑃𝑛+1𝑒𝑠𝑡 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒, ∀ 𝑛 ∈ ℕ

∗

3- Propriétés sur les suites

1°) soit 𝑎 ∈ ℝ, on appelle constante, une suite dont le terme générale Un= 𝑎.

2°) Si 2 suites convergent vers 0 alors leur somme converge vers 0.

C′est − à − dire : lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0𝑒𝑡 lim𝑛→∞

: 𝑛 = 0

⟹ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = 0

Preuve : lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0 ⟺ ∀ 𝑛 ∈ ℝ+∗ , 𝑛1 ∈ ℕ / ∀ 𝑛 ≥ 𝑛1,

𝑜𝑛 𝑎|𝑈𝑛 − 0| = |𝑈𝑛| ≤ ℇ 2⁄

𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑚 𝑉𝑛 = 0 ⟺ ∀ > 0, 𝑛1 ∈ ℕ

|𝑉𝑛| ≤ ℇ 2⁄

Posons n= sup(𝑛1, 𝑛2)

|𝑈𝑛 + 𝑉𝑛| ≤ |𝑈𝑛| + |𝑉𝑛| ≤ ℇ 2⁄ +ℇ2⁄ +


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𝑑𝑜𝑛𝑐 lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = 0

3°) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0 ∀ 𝜆 ∈ ℝ, lim𝑛→∞

(𝜆 𝑈𝑛) = 0

4°) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0 et si la suite (𝑉𝑛) est bornée alors la suite

(𝑈𝑛 𝑉𝑛) converge vers zéro

Preuve :

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0 ⟺ ∀ ℇ > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑛⁄ ≥ ℕ, |𝑈𝑛| ≤ℇ

A (𝑉𝑛) bornée ⟺

∃A ∈ ℝ+∗ |𝑉𝑛|⁄ ≤ A , ∀𝑛 ∈ ℕ

Donc pour 𝑛 ≥ ℕ , on a ∶ |𝑈𝑛𝑉𝑛| = |𝑈𝑛| ∙ |𝑉𝑛| ≤ℇ

A∙ A = ℇ

⇒ ∀ ℇ > 0, ∃𝑛 ∈ ℕ tel que ∀𝑛 ≥ ℕ, |𝑈𝑛𝑉𝑛| ≤ ℇ ⇒ lim(𝑈𝑛𝑉𝑛) = 0

Remarque : une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. Exemple :

la suite de terme général 𝑈𝑛 = 1(−𝑖)𝑛 est bornée c'est-à-dire |𝑈𝑛| < 2 mais

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 n′existepas.

5) Critère de majoration

Si deux suites (𝑈𝑛) et (𝑉𝑛) sont telles que |𝑈𝑛| ≤ |𝑉𝑛|, ∀𝑛 alors lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = 0

⇒ lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0

6) Si les suites (𝑈𝑛) et (𝑉𝑛) convergent tel que lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 𝑙 et lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = 𝑙′


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et si ⋋∈ ℝ, on a :

i) lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = 𝑙 + 𝑙′

ii) lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 ∙ 𝑉𝑛) = 𝑙𝑙′

iii) lim𝑛→∞

(⋌ 𝑈𝑛) = ⋌ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛) =⋌ 𝑙

Preuve : montrons que |𝑈𝑛𝑉𝑛 − 𝑙𝑙′| = |𝑈𝑛𝑉𝑛 − 𝑙𝑉𝑛 + 𝑙𝑉𝑛 − 𝑙𝑙′|

|𝑈𝑛𝑉𝑛 − 𝑙𝑙′| = |𝑉𝑛(𝑈𝑛 − 𝑙) + 𝑙(𝑉𝑛 − 𝑙′)|

La suite (𝑉𝑛) converge donc (𝑉𝑛) est bornée et d′autrepart lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 − 𝑙) = 0

⇒ lim𝑛→∞

𝑉𝑛(𝑈𝑛 − 𝑙)

On a de même lim𝑛→∞

𝑙(𝑉𝑛 − 𝑙′) =0 ⇒ lim𝑛→∞

𝑈𝑛𝑉𝑛 = 𝑙𝑙′

7) Si limite d’une suite 𝑈𝑛 converge vers 𝑙 alors lim𝑛→∞

|𝑈𝑛| = |𝑙|

8) Soient (𝑈𝑛) , (𝑉𝑛) et (𝑊𝑛) trois suites définies telles que ∀𝑛 , 𝑈𝑛 ≤ 𝑉𝑛 ≤

𝑊𝑛.

Si les (𝑈𝑛) et (𝑊𝑛) sont convergentes vers 𝑙 alors la suite (𝑉𝑛) converge

également vers la même limite 𝑙.

Preuve : si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 𝑙 ⟺ ∀ ℇ > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ ∀𝑛⁄ > 𝑁 ⇒ |𝑈𝑛 − 𝑙| < ℇ

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ℓ ⇔ ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁′ 𝑡𝑞 ∀𝑛 > 𝑁|𝑈𝑛 − ℓ| ≤ 𝜀

b) lim𝑛→∞

𝑊𝑛 = ℓ ⇔ ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁′ ∈ ℕ 𝑡𝑞 ∀ 𝑛 > 𝑁′ ⇔ |𝑊𝑛 − ℓ| ≤ 𝜀 ⇔


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(𝑈𝑛) et (𝑊𝑛) se trouvent à l’intérieur de l’intervalle[ℓ − 𝜀; ℓ + 𝜀] ; ∀𝜀 > 0 la

double égalité 𝑈𝑛 ≤ 𝑉𝑛 ≤ 𝑊𝑛 entraine que les nombres finis de termes de la suite

(𝑉𝑛) sont à l’extérieur de {ℓ − 𝜀; ℓ + 𝜀} ce qui signifie que : ∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈

ℕ 𝑡𝑞 ∀𝑛 ≥ 𝑛0, |𝑉𝑛 − ℓ| ≤ 𝜀.

Proposition 7 : toute suite (𝑈𝑛) décroissante et minorée est convergente et admet

la borne inférieure des valeurs de la suite.

Exemple :

1) Démontrer que la suite (𝑈𝑛) 𝑛 ∈ ℕ tq 𝑈𝑛 =𝑛

2𝑛+1 est croissante et majorée.

2) Démontrer que la suite (𝑉𝑛), 𝑛 ∈ ℕ

𝑉𝑛 =𝑛

𝑛2+1 est décroissante et minorée ⇒ lim

𝑛→∞𝑉𝑛 = 0

1.3- Limites infinies

1. Définition

1) On dit qu’une suite (𝑈𝑛) tends vers +∞ 𝑠𝑖 ∀𝐴 ∈ ℝ, ∃ 𝑛0 ∈ ℕ ∀𝑛⁄ ≥

𝑛0 , 𝑈𝑛 ≥ 𝐴 𝑜𝑛 é𝑐𝑟𝑖𝑡: lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = +∞

2) On dit qu’une suite

(𝑈𝑛)𝑛 ∈ ℕ 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑠 −∞ 𝑠𝑖 ∀𝐴 ∈ ℝ, ∃𝑛0 ∈ ℕ ∀𝑛⁄ ≥ 𝑛0 ; 𝑈𝑛

≤ 𝐴 ; 𝑜𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = −∞.

2. Opérations

1) Si (𝑈𝑛) tends vers +∞ et si (𝑈𝑛)est minorée par𝜆𝜖ℝ , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 +

𝑉𝑛) = +∞


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Preuve : lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = +∞ ⇔ ∀𝐴 ∈ ℝ, ∃𝑛0 ∈ ℕ ∀𝑛⁄ > 𝑛0 , 𝑈𝑛 ≥

𝐴 𝑜𝑢 𝑈𝑛 ≥ 𝐴 − 𝜆 (1); (𝑉𝑛) est minorée par 𝜆 ⇔ ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑉𝑛 ≥ 𝜆 (2)

(1) Et (2) ⇒ ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝑜𝑛 𝑎 𝑈𝑛 + 𝑉𝑛 ≥ 𝐴 ⇔ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = ∞

2) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = ∞ 𝑒𝑡 lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = ∞ , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = +∞

3) Si lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = −∞ 𝑒𝑡 lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = −∞ ⇒ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = −∞.

Remarque :

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = +∞ 𝑒𝑡 lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = −∞ , on ne peut rien dire a priori si la limite de la

forme.

Exemples : si {𝑈𝑛 = 𝑛

2 + 𝑛𝑉𝑛 = −𝑛

; 𝑈𝑛 + 𝑉𝑛 = 𝑛2 ⇒ lim

𝑛→∞(𝑈𝑛) = +∞

lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = −∞ ⇒ lim𝑛→∞

𝑉𝑛 = −∞ ⇒ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) =

+∞ 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑖 𝑈𝑛 = 𝑛2 +

1

𝑛 𝑒𝑡 𝑉𝑛 = −𝑛

2 ⇒ lim𝑛→∞


𝑉𝑛 =

−∞ ⇒ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛 + 𝑉𝑛) = 0

On dit qu’on a une forme indéterminée.

4) Si lim𝑛→∞


= 𝛼 , 𝑜𝑛 𝑎 lim𝑛→∞

(𝑈𝑛𝑉𝑛) = +∞

5) Si lim𝑛→∞


𝑉𝑛 = 𝛼 < 0 ⇒ lim𝑛→∞

(𝑈𝑛𝑉𝑛) = −∞

4) Si lim𝑛→∞


𝑉𝑛 = +∞ ⇒ lim𝑛,→∞

(𝑈𝑛𝑉𝑛) = +∞, on ne peut

rien dire apriori sur la limite du produit.


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1. 4- Suites récurrentes

-Rappel : soit a∈ ℝ∗; 𝑈𝑛 = 𝑎𝑛

i) si |𝑎| < 1; 𝑈𝑛⟶ 0 𝑞𝑑 𝑛 ⟶ ∞

ii) si |𝑎| > 1 , 𝑈𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

iii)si 𝑎 = 1; 𝑜𝑛 𝑎 𝑈𝑛 = 1; ∀𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

iv)si𝑎 = −1 ⇒ 𝑈𝑛 = (−1)𝑛; 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

1- Définition

Soit 𝐴 ⊂ ℝ

Soit 𝑓: 𝐴 → ℝ

On dit qu’une suite (𝑈𝑛) est une suite récurrente associée à l’application𝑓 𝑠𝑖 (𝑈𝑛)

est définie par : ∀𝑛 ≥ 𝑝; 𝑈𝑛 = 𝑓(𝑈𝑛−𝑝 , 𝑈𝑛−𝑝+1 ; … ; 𝑈𝑛−1)

2-Exemples

i) Suite récurrente d’ordre un sans second membre

𝑈𝑛 = 𝑎𝑈𝑛−1 ; 𝑎 ≠ 0 ; 𝑈1 ≠ 0 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒

𝑈2 = 𝑎𝑈1

𝑈3 = 𝑎𝑈2 = 𝑎2𝑈1} ⇒ 𝑈𝑛 = 𝑎

𝑛−1𝑈1

Donc : si |𝑎| < 1; 𝑈𝑛 ⟶ 0 𝑞𝑑 𝑛 ⟶ ∞

Si |𝑎| > 1, (𝑈𝑛) est divergente

Si 𝑎 = 1 , 𝑈𝑛⟶𝑈1

Si 𝑎 = −1 ; (𝑈𝑛)est divergente

ii) Suite récurrente d’ordre un avec second membre


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𝑈𝑛 = 𝑎𝑈𝑛−1 + 𝑏 ;𝑎 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0; 𝑈1 ≠ 0

Posons 𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 + ℎ ⇒ 𝑡𝑞 𝑉𝑛 = 𝑎𝑉𝑛−1

𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 + ℎ = 𝑎(𝑉𝑛−1 + ℎ) + 𝑏

= 𝑎𝑉𝑛−1 + 𝑎ℎ + 𝑏

⇔ 𝑉𝑛 = 𝑎𝑉𝑛−1 𝑒𝑡 ℎ = 𝑎ℎ + 𝑏

⇒ ℎ =𝑏

1 − 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 1

⇒ 𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 ±𝑏

1 − 𝑎 ; 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑉𝑛 = 𝑎𝑉𝑛−1

𝑠𝑖 |𝑎| < 1 , (𝑉𝑛) 𝑒𝑡(𝑈𝑛) 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡; 𝑉𝑛⟶ 0 𝑒𝑡 𝑈𝑛⟶ ℎ 𝑞𝑑 𝑛 ⟶ ∞

si 𝑎 = 1; 𝑈2 = 𝑈1 + 𝑏; 𝑈3 = 𝑈2 + 𝑏

𝑈3 = 𝑈1 + 2𝑏 +⋯ ⇒ 𝑈𝑛 = 𝑈1(𝑛 − 1) ⇒ (𝑈𝑛) 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒

Si 𝑎 = −1,𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 + ℎ = 𝑎𝑉𝑛−1 + ℎ = 𝑎. 𝑎𝑛−2𝑉1 + ℎ

𝑈𝑛 = 𝑎𝑛−1(𝑈1 − ℎ) + ℎ

𝑈𝑛 = (−1)𝑛−1(𝑈1 − ℎ) + ℎ

Si 𝑈1 = ℎ =𝑏

1−𝑎 ; 𝑈𝑛⟶ ℎ =

𝑏

1−𝑎

Si 𝑈1 ≠ ℎ; (𝑈𝑛) diverge.

Si |𝑎| > 1 ; 𝑠𝑖 𝑈1 = ℎ ; 𝑈𝑛⟶ ℎ 𝑞𝑑 𝑛 ⟶ ∞

Si 𝑈1 ≠ ℎ , (𝑈𝑛) diverge

iii)Suites récurrentes de 2° dégrée sans second membre

𝑈𝑛 = 𝑎𝑈𝑛−1 + 𝑏𝑈𝑛−2; 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0; 𝑈1𝑒𝑡 𝑈2 𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠

𝑈𝑛 − 𝑎𝑈𝑛−1 − 𝑏𝑈𝑛−2 = 0 (1)

𝑟2 − 𝑎𝑟 − 𝑏 = 0 (2) ⇒ 𝑈𝑛 = 𝛼𝑟1𝑛 + 𝛽𝑟2

𝑛

𝑛 = 1 𝑒𝑡 𝑛 = 2 {𝛼𝑟1 + 𝛽𝑟2 = 𝑈1𝛼𝑟1

2 + 𝛽𝑟22 = 𝑈2

|𝑟1 𝑟2

𝑟12 𝑟2

2| ≠ 0


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𝛼 𝑒𝑡 𝛽 sont des inconnues ; 𝑟1 𝑒𝑡 𝑟2 connues ; 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈2 sont données

car 𝑟1 ≠ 0 ; 𝑟2 ≠ 0 ; 𝑟1 ≠ 𝑟2

Solution générale : 𝑈𝑛 = 𝛼𝑟1𝑛 + 𝛽𝑟2

𝑛


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CHAPITRE 2 : FONCTIONS NUMERIQUES

1. Définitions

On appelle fonction numérique toute application d’un ensemble non vide dans ℝ.

On note ℱ(𝐸;ℝ) qui est l’ensemble des fonctions numériques définies sur E.

Ou on appelle fonction numérique d’une variable réelle, une relation f de ℝ ou

d’une partie de ℝ vers ℝ qui à 𝑥 associe 𝑓(𝑥) au plus une image 𝑓(𝑥).

E ℝ

x→f(x)

2. Domaine de définition

f est définie au point 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 admet une image 𝑓(𝑥) :

la fonction 𝑓:𝑥⟶√3−𝑥ℝ⟶ℝ

Df=]−∞;3]

Exercice : Déterminer, le domaine de définition

Dg de la fonction 𝑔:(𝑥+2)√−2𝑥2+3𝑥−1

(2𝑥−3)2

ℝ⟶ℝ

-2𝑥2 + 3𝑥 − 1 ≥ 0

𝑥 =1

2

−(𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) = −(2𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥 + 1) = −(2𝑥2 − 3𝑥 + 1)


__________________________________________________________________________________

21

2𝑥 − 3 ≠ 0 ; 𝑥 ≠3

2 ⇒ 𝐷𝑔 = {𝑥 ∕ 𝑥 ∈ [1 2⁄ ; 1]}

3. Parité et périodicité

L’étude d’une fonction 𝑓(𝑥)est souvent limitée à un domaine Df.

Si 𝑓(𝑥) est paire i.e 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓

Si 𝑓(𝑥) est impaire i.e 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓

Si 𝑓(𝑥) est périodique de période T ; 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) ; ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓

4. Limites

Soit une fonction numérique f définie sur 𝐷 et un point 𝑥 𝑑𝑒 ℝ(𝑥0 ∈ 𝐷 𝑜𝑢 𝑛𝑜𝑛)

• Limite d’une fonction en un point

Définition

f a pour limite ℓ(∈ ℝ); quand 𝑥 tend vers 𝑥0 et on note :

lim𝑥→𝑥0

𝑓( 𝑥0) = ℓ 𝑠𝑖 ∀𝜀 > 0, ∃𝛼 ∕ ∀|𝑥 − 𝑥0| < 𝛼 ⇒ |𝑓(𝑥) − ℓ| < 𝜀

Remarque1 : si f est défini en 𝑥0 et si la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑥0, existe

alors lim𝑥→∞

𝑓( 𝑥) = 𝑓(𝑥0) ⇒ 𝑓 est continue en 𝑥0.

Remarque2 : |𝑥 − 𝑥0| < 𝛼 ⇒ −𝛼 < 𝑥 − 𝑥0 < 𝛼 ⇔ 𝑥0 − 𝛼 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛼

• Limite à droite en un point

f admet une limite 𝑓(𝑥) = ℓ à droite en 𝑥0 , on note :

lim𝑥→𝑥0

𝑓( 𝑥) = ℓ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 > 𝑥0 𝑜𝑢 lim𝑥→𝑥0

+𝑓( 𝑥) =ℓ


__________________________________________________________________________________

22

∀𝜀 > 0; ∃𝛼 𝑡𝑞 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛼 ⇒ |𝑓(𝑥) − ℓ| < 𝜀

• Limite à gauche en un point

f admet une limite à gauche en 𝑥0 et on note :

lim𝑥→𝑥0

𝑓( 𝑥) =ℓ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 < 𝑥0 𝑜𝑢 lim𝑥→𝑥0

−𝑓( 𝑥) =ℓ si

∀𝜀 > 0; ∃𝛼 𝑡𝑞 𝑥0 − 𝛼 < 𝑥 < 𝑥0 ⇒ |𝑓(𝑥) − ℓ| < 𝜀

Remarques :f admet une limite en un point 𝑥0 si et seulement si , elle admet une

limite à gauche en 𝑥0 ; une limite à droite en 𝑥0 et la limite à gauche est égale à la

limites à droite.

• Limites infinies en un point

1) Lim𝑥→𝑥0

𝑓( 𝑥) = ∞ ⇔ ∀ 𝐴 > 0, ∃𝛼 > 0 |𝑥 − 𝑥0|⁄ < 𝛼 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝐴

2) lim𝑥→𝑥0

𝑓( 𝑥) = −∞ ⇔ ∀𝐴 > 0, ∃𝛼 > 0 |𝑥 − 𝑥0|⁄ < 𝛼 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝐴

• Limites finies à l’infini

3) lim𝑥→∞

𝑓( 𝑥) = ℓ ⇔ ∀𝐴 > 0 ∕ 𝑥 > 𝐴 ⇒ |𝑓(𝑥) − ℓ| < 𝜀

4) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = ℓ ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝐴 > 0 ∕ 𝑥 > 𝐴 ⇒ |𝑓(𝑥) − ℓ| < 𝜀

• Limites infinies à l’infini

5) lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0, 𝑥 > B ⇒ 𝑓(𝑥) > A

6) lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = −∞ (∀A > 0, ∃B > 0, 𝑥 < −B ⇒ 𝑓(𝑥) < −A)

7) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) =∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0, 𝑥 < −B ⇒ 𝑓(𝑥) > A

8) lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞ ⇔ ∀A > 0, ∃B > 0, 𝑥 < −B ⇒ 𝑓(𝑥) < −A


__________________________________________________________________________________

23

5- Opérations sur les limites

Théorème :

Si lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) =ℓ1 et lim𝑥→𝑥0

g(𝑥) =ℓ2 alors ∶

i) lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥) + g(𝑥)] = ℓ1 + ℓ2

ii) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) ⋅ g(𝑥) = ℓ1 ⋅ ℓ2

iii) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

g(𝑥)=ℓ1ℓ2 avec ℓ2 ≠ 0

iv) lim𝑥→𝑥0

𝜆𝑓(𝑥) = 𝜆ℓ1, ∀𝜆 ∈ ℝ

v) lim𝑥→𝑥0

√𝑓(𝑥)𝑛

= √ℓ1𝑛 , ℓ1 ≥ 0 et 𝑓(𝑥) ≥ 0 , au voisinage de 𝑥0

Ces résultats sont aussi valables lorsque 𝑥 ⟶ ±∞ mais ℓ1 et ℓ2 sont connus.

6- Formes indéterminées

∞−∞; ±∞ × 0; ±∞

±∞ ;0

0

7- continuité

Définition : une fonction numérique 𝑓 est continu en 𝑥0 si 𝑓 est définie en 𝑥0 et

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

- 𝑓 est continu à droite en 𝑥0 si 𝑓 est définie en 𝑥0 et

lim𝑥→𝑥0

+𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

- 𝑓 est continu à gauche en 𝑥0 si 𝑓 est définie en 𝑥0 et

lim𝑥→𝑥0

−𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0)

Soit 𝑓 une fonction définie sur D ∙ 𝑓 est continue sur lorsqu’elle est

continue en tout point de .


__________________________________________________________________________________

24

Exemple : Montrer que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 est continue en 𝑥 = 1.

𝑓(1) = 8 (𝑓 definie en 1 point)

∀𝜀 > 0, cherchons 𝛼 > 0 tel que |𝑥 − 1| < 𝛼 ⇒ |𝑓(𝑥) − 8 | < 𝜀

⇔ |3𝑥 + 5 − 8 | = |3𝑥 − 3| = 3|𝑥 − 1|

|𝑓(𝑥) − 8 | < 𝜀 ⇔ |𝑥 − 1| <𝜀

3

il sufit de prendre 𝛼 =𝜀

3

8- Prolongement par continuité

Soit 𝑓, une fonction définie sur D et admettant une limite , en un point 𝑥0

n’appartenant pas à D.

La fonction g telle que g(𝑥0) = ℓ et g(𝑥) = 𝑓(𝑥)

∀𝑥 ∈ D la fonction g est définie sur D ∪ {𝑥0} et on l’appelle prolongement par

continuité de 𝑓 en 𝑥0.

La fonction g ainsi définie est unique.

8.1-Théorème des valeurs intermédiaires

Soit 𝑓 une fonction définie sur l’intervalle fermé [𝑎, 𝑏]. Pour tout 𝑦 ∈

[𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)], il existe 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] telque 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑓: [−2, 3] ⟶ [−1, 1]

𝑓(𝑥) = −1 si − 2 < 𝑥 < 0

𝑓(𝑥) = +1 si 0 < 𝑥 < 3

Si 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏] et si 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0, alors il existe 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] telque

𝑓(𝑥0) = 0

𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) sont de signes contraires.


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25

La fonction 𝑓 est définie sur [−2, 3] mais elle ne prend pas la valeur 0 qui est

compris entre -1 et 1. Cela est dû au fait que la fonction n’est pas continue en 0

de [−2, 3].

8-2.Théorème des fonctions continues bornées

Soit 𝑓 une fonction numérique, continue sur un intervalle fermé borné [𝑎, 𝑏]

de . 𝑓 est bornée et elle atteint ses bornes supérieures et inférieurs dans [𝑎, 𝑏].

Autrement dit : ∃M ≥ 0, tel que |𝑓(𝑥)| ≤ M, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] et ∃𝛼, 𝛽 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que

𝑓(𝛼) = sup𝑓(𝑥) et 𝑓(𝛽) = inf(𝑓(𝑥))

Remarque : L’hypothèse [𝑎, 𝑏] borné est nécessaire comme le montre l’exemple

suivant : 𝑓(𝑥) = 𝑥² n’est pas borné sur [0, +∞[ .

9)Continuité et composition des fonctions

Proposition : Soit 𝑓 et des fonctions continues alors g ∘ 𝑓 et 𝑓 ∘ g sont continues.

Preuve : soit 𝑥0 un point où g ∘ 𝑓 est définie.

Posons 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) ; lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) (𝑓 est continue)

lim𝑦→𝑦0

g(𝑦) = 𝑓(𝑥0) (g est continue)

lim𝑥→𝑥0

(g ∘ 𝑓)(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

g[𝑓(𝑥)] = lim𝑦→𝑦0

g(𝑦) = g(𝑦0)

= g[𝑓(𝑥0)] = (g ∘ 𝑓)(𝑥0)

9.1-Dérivées

Dérivé d’une fonction en un point

Définition : Soit 𝑓(𝑥), une fonction réelle définie dans un intervalle I de et 𝑥0

un point de I, On appelle dérivée de 𝑓(𝑥) au point 𝑥0, la limite, si elle existe

du rapport 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0 lorsque 𝑥 ⟶ 𝑥0

La dérivée de 𝑓(𝑥) au point 𝑥0 est notée


__________________________________________________________________________________

26

𝑓′(𝑥) =𝜕𝑓(𝑥0)

𝜕𝑥 .

On dit que 𝑓 est dérivable au point 𝑥0 , 𝑥 ⟶ 𝑥0 ⟺ 𝑥 − 𝑥0 ⟶ 0 ⟺ ℎ = 𝑥 − 𝑥0

Ainsi 𝑥 = 𝑥0 + ℎ et 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0=𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

Autrement dit 𝑓 est dérivable au point 𝑥0 si le rapport 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

admet une limite finie notée 𝑓′(𝑥0) quand ℎ ⟶ 0

Remarque : L’existence de la dérivée 𝑓′(𝑥0) entraîne la continuité de 𝑓 au point

𝑥0. En admet une dérivé au point 𝑥0 alors

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0 ⟶ 𝑓′(𝑥).

Si 𝑥 ⟶ 𝑥0 ,𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0− 𝑓′(𝑥0) ⟶ 0 et 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) − 𝑓

′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

Comme 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) ⟶ 0 , on a : 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) ⟶ 0

i.e. 𝑓(𝑥) ⟶ 𝑓(𝑥0), 𝑓 est donc continue en 𝑥0.

La réciproque est fausse ; il existe des fonctions continues qui ne sont pas

dérivables.

9.2-Fonction dérivées – Dérivées successives

La valeur de la dérivée en 𝑥0 dépend de 𝑥0. C’est donc une fonction de 𝑥0.

Cette fonction 𝑓′: 𝑥 ⟶ 𝑓′(𝑥) est appelée la fonction dérivée de 𝑓.

Si cette fonction 𝑓′ est aussi dérivable, sa dérivée s’appelle la dérivée seconde

de 𝑓 et est notée 𝑓′′ ou 𝜕²𝑓(𝑥0)

𝜕²𝑥

De proche en proche, on définirait la dérivée 𝑛𝑖è𝑚𝑒 de 𝑓(𝑥), notée

𝑓𝑛(𝑥) ou 𝜕²𝑓(𝑥0)

𝜕²𝑥

9-3.Dérivée à droite – Dérivée à gauche


__________________________________________________________________________________

27

∗ 𝑓 est dérivable à droite en 𝑥0 si la limite à droite de 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

en 𝑥0 existe. On la note 𝑓𝑑′(𝑥0).

∗ 𝑓 est dérivable à gauche en 𝑥0 si la limite à gauche de 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

en 𝑥0 existe. On la note 𝑓g′(𝑥0).

𝑓𝑑′(𝑥0) = lim𝑥→𝑥0

𝑥>𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

𝑓g′(𝑥0) = lim𝑥→𝑥0

𝑥


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28

I 𝑢 → I

𝑓 → I Jg = J𝑓 ∙ J𝑢

g = 𝑓 ∘ 𝑢 F(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑢)(𝑥) ⇒ F′(𝑥) = 𝑓′(𝑢). 𝑢′(𝑥)

ℝ² g → ℝ²

𝑓 → ℝ Jg = J𝑓 ∙ J𝑢

(𝑢, 𝑣) ⟶ 𝑔(𝑢, 𝑣) = (𝑥 = 𝑢 + 𝑣𝑦 = 𝑢 − 𝑣)𝑓

(𝑥, 𝑦) = ℎ = (𝑢, 𝑣)

ℎ = 𝑓 ∘ g

ℎ(𝑢, 𝑣) = (𝑓 ∘ g)

Jℎ = J𝑓 ∙ Jg

(ℎ′𝑢 , ℎ′𝑣 ) = (𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦

′ ) (1 11 −1

)

ℎ′𝑢 = 𝑓𝑥′ + 𝑓𝑦

′

ℎ′𝑣 = 𝑓𝑥′ − 𝑓𝑦

′

10) Différentielle

Soit 𝑓 une fonction définie sur un voisinage de 𝑥0 , √(𝑥0) et admettant une

dérivée en 𝑥0. Si 𝑓′(𝑥0) est la valeur qu’elle prend en ce point, on appelle

différentielle de 𝑓 en 𝑥0 , la fonction notée d𝑓 et définie par d𝑓(ℎ) =

𝑓′(𝑥0). ℎ , ℎ ∈ ℝ∙

d𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)d𝑥.

Remarque :

1) Voisinage d’un point de ℝ : si 𝑥0 ∈ ℝ, on appelle voisinage de 𝑥0, toute partie

V de tel que un intervalle ouvert, cependant 𝑥0 et inclus dans V. Exemple

V = [√2 , 3] sont voisinage de 2.

Car par exemple 2 ∈ ]3 2⁄ , 3[ et ]32⁄ , 3[ ⊂ V

2) Représentation graphique d’une fonction numérique : étant donné une fonction

𝑓:ℝ ⟶ ℝ. Le graphique de cette fonction est l’ensemble des couples (𝑥 , 𝑓(𝑥)).


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29

10-1.Variations des fonctions numériques

Fonctions constantes par intervalles

Définitions : une fonction 𝑓 est dite constante sur un ensemble E s’il existe 𝑎 fini

tel que ∀𝑥 ∈ E , 𝑓(𝑥) = 𝑎

Exemple : 𝑥 ⟶ 𝑓(𝑥) = constante Intervalles⁄

0 < 𝑥 ≤ 20 , 𝑓(𝑥) = 50

20 < 𝑥 ≤ 50 , 𝑓(𝑥) = 90

50 < 𝑥 ≤ 100 , 𝑓(𝑥) = 120

100 < 𝑥 ≤ 250 , 𝑓(𝑥) = 250

i) La fonction 𝑓 est croissante au sens large sur [𝑎 , 𝑏] si ∀𝑥1, ∀𝑥2 ∈ [𝑎 , 𝑏], 𝑥1 ≤

𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2)

ii) 𝑓 est décroissante sur [𝑎 , 𝑏] si ∀𝑥1, ∀𝑥2 ∈ [𝑎 , 𝑏], 𝑥1 ≤ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)

iii) 𝑓 est strictement croissante sur [𝑎 , 𝑏] si ∀𝑥1, ∀𝑥2 ∈ [𝑎 , 𝑏], 𝑥1 < 𝑥2 ⇒

𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

iv) 𝑓 est strictement décroissante sur [𝑎 , 𝑏] si ∀𝑥1, ∀𝑥2 ∈ [𝑎 , 𝑏], 𝑥1 < 𝑥2 ⇒

𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

La fonction 𝑓 est monotone dans un intervalle si sur cet intervalle, elle est

soit croissante soit décroissante, soit constante.

10-2.Dérivées de fonctions usuelles


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30

Fonction 𝑓 Fonction dérivée 𝜕𝑓

𝜕𝑥

C (constante) 0

𝑥 1

𝑥² 2𝑥

𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛−1

1

𝑥 (𝑥 ≠ 0) −

1

𝑥²

𝑢

𝑣

𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′

𝑣²

𝑢𝑣 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′

√𝑥 1

2√𝑥

𝑢𝑛 𝑛𝑢′𝑢𝑛−1

F = 𝑓 ∘ 𝑢 (𝑓′ ∘ 𝑢). 𝑢′

𝑓 + g 𝑓′ + g′

𝜆𝑓 𝜆𝑓′

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

(𝑐𝑥 + 𝑑)

𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

(𝑐𝑥 + 𝑑)²

10-3.Sens de variation des fonctions

Théorème : soit 𝑓 une fonction définie et dérivable sur un intervalle I

1) si 𝑓 admet sur I une fonction dérivée 𝑓′ > 0 pour toute valeur 𝑥 (ou nulle pour

des valeurs isolées de ℕ ,) la fonction 𝑓 est croissante sur I

2) si 𝑓 admet sur I une fonction dérivée 𝑓′ < 0 pour toute valeur 𝑥 (ou nulle pour

des valeurs isolées de 𝑥) la fonction 𝑓 est décroissante sur I

3) si 𝑓 admet sur I une fonction dérivée 𝑓′ = 0 pour toute valeur 𝑥, la fonction 𝑓

est constante sur I.


__________________________________________________________________________________

31

11) Maximum ou Minimum d’une fonction en un point

Une fonction 𝑓 admet un maximum au point 𝑥0 d’un intervalle sur lequel

elle est définie si pour tout 𝑥 puis sur cet intervalle et au voisinage de 𝑥0,

{𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥) = 0 et 𝑓′′(𝑥0) < 0

Une fonction 𝑓 admet un minimum au point 𝑥0 d’un intervalle sur lequel

elle est définie si pour tout 𝑥 puis sur cet intervalle et au voisinage de 𝑥0,

{𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0) 𝑜𝑢

𝑓′(𝑥) = 0 et 𝑓′′(𝑥0) > 0

Une fonction 𝑓 admet un extremum (Maximum ou Minimum) lorsque sa

dérivée s’annule et change de signe.

12) Plan d’étude de la variation d’une fonction.

Pour étudier une fonction numérique, quelle que soit sa forme, on peut suivre le

plan suivant :

1) Déterminer le domaine de définition D𝑓 de la fonction

2) S’il y a lieu, déterminer l’intervalle d’étude : si la fonction est paire ou impaire,

on l’étudie les valeurs positives ou nulles de la variable.

3) Déterminer la dérivée et étudier son signe

4) Rechercher pour quelles valeurs de la variable, la fonction présente un

extremum et calculer cet extremum

5) Dresser un tableau pour l’étude des limites de la fonction aux extrémités des

intervalles de définition

6) Compléter ce tableau par l’étude des limites de la fonction aux extrémités des

intervalles de définition.

7) Eventuellement, rechercher les asymptotes


__________________________________________________________________________________

32

si 𝑥 ⟶ ∞ , 𝑓(𝑥) ⟶ limite finie ℓ,la courbe représentant 𝑓 admet pour asymptote

la droite 𝑦 = ℓ

si 𝑥 ⟶ 𝑥0 (finie) , 𝑓(𝑥) ⟶ ∞,la courbe 𝑥 = 𝑥0 est asymptote à la courbe

représentant 𝑓

si 𝑥 ⟶ ∞ , 𝑓(𝑥) ⟶ ∞, il peut se faire que la courbe représentant 𝑓 admette une

asymptote oblique y=ax+b.


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33

CHAPITRE 3 : FORMULE DE TAYLOR, DEVELOPPEMENTS

LIMITES ET ETUDE DE QUELQUES FONCTIONS USUELLES.

3.1-Formule de Taylor, développement limité

La formule de Taylor est une généralisation de la formule des accroissements

finis.

a) Théorème de Rolle

a1) – Avant de donner ce théorème, énonçons le théorème de Rolle : Soit 𝑓 une

fonction numérique définie et continu sur l’intervalle [𝑎, 𝑏], dérivable sur

l’intervalle ouvert ]𝑎 , 𝑏[ et telle que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), alors il existe au moins un

point 𝑐 ∈ ]𝑎 , 𝑏[ tel que 𝑓′(𝑐) = 0

b) Théorème des accroissements finis

Soit 𝑓 une fonction numérique définie et continu sur l’intervalle [𝑎, 𝑏],

dérivable sur l’intervalle ouvert ]𝑎 , 𝑏[, alors il existe au moins un point 𝑐 ∈ ]𝑎 , 𝑏[

tel que 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) = (𝑏 − 𝑎)𝑓′(𝑐)

Si on pose 𝑎 = 𝑥 et b = 𝑥 + ℎ , 𝑐 = 𝑥 + 𝜃ℎ où 𝜃 ∈ ]0 , 1[

𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = ℎ𝑓′(𝑥 + 𝜃ℎ)

Formule de Taylor avec reste de Lagrange à l’ordre 𝑛 + 1

c) -Formule de Taylor avec reste de Young à l’ordre 𝒏 + 𝟏

Théorème : Soit une fonction numérique, définie dans un intervalle

[𝑎, 𝑏], admettant 𝑛 dérivées successives continues sur cet ensemble et telle

que 𝑓(𝑛+1) existe sur ]𝑎 , 𝑏[, alors il existe au moins un point 𝑐 ∈ ]𝑎 , 𝑏[ tel que

𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) +(𝑏 − 𝑎)

1!𝑓′(𝑎) +

(𝑏 − 𝑎)²

2!𝑓′′(𝑎) + ⋯+

(𝑏 − 𝑎)𝑛

𝑛!𝑓(𝑛)(𝑎)

+(𝑏 − 𝑎)𝑛+1

(𝑛 + 1)! 𝑓(𝑛+1)(𝑐)


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34

Le dernier terme est appelé reste de Lagrange.

d) Formule de Taylor avec reste de Young à l’ordre n+1

Soit 𝑓 une fonction, définie dans un intervalle [𝑎, 𝑏], admettant 𝑛 dérivées

successives continues sur cet intervalle telle que 𝑓(𝑛+1)(𝑎) existe ; alors il existe

une fonction 𝜀 définie pour 𝑥 ⋴ [𝑎 , 𝑏] tel que :

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) +(𝑥 − 𝑎)1

1!𝑓′(𝑎) +

(𝑥 − 𝑎)2

2!𝑓′′(𝑎) + ⋯+

(𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑛!𝑓(𝑛)

+(𝑥 − 𝑎)𝑛+1

(𝑛 + 1)!𝑓(𝑛+1)(𝑎) +

(𝑥 − 𝑎)𝑛+1

(𝑛 + 1)!𝜀(𝑥)

Avec 𝑙𝑖𝑚𝜀(𝑥) = 0 pour 𝑥 ⟶ 𝑎. Le dernier terme est appelé reste de Young.

e) Formule de marc laurin avec reste de young à l’ordre 𝒏 + 𝟏

Il s’agit de la formule de Taylor Young dans le cas où 𝑎 = 0. On obtient,

𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +𝑥

1!𝑓′(0) +

𝑥2

2!𝑓′′(0) + ⋯+

𝑥𝑛

𝑛!𝑓(𝑛)(0) +

𝑥𝑛+1

(𝑛 + 1)!𝑓(𝑛+1)(0)

+ 𝑥𝑛+1𝜀(𝑥)

Où 𝜀(𝑥) ⟶ 0 quand 𝑥 ⟶ 0.

Exemple : 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(1 + 𝑒𝑥). Ecrire la formule de Maclaurin à l’ordre 3,

appliquée a 𝑓.

𝑓 est dérivable ; indéfiniment sur , donc sur tout intervalle [0 , 𝑥], 𝑓(0) = ln 2

𝑓′(𝑥) =𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥 , 𝑓′(0) =

1

2

𝑓′′(𝑥) =𝑒𝑥

(1 + 𝑒𝑥)2 , 𝑓′′(0) =

1

4

𝑓3(𝑥) =𝑒𝑥(1 − 𝑒𝑥)

(1 + 𝑒𝑥)2 , 𝑓3(0) = 0


__________________________________________________________________________________

35

⇒ ln(1 + 𝑒𝑥) = ln 2 +𝑥

2+𝑥2

8+𝑥3

6𝑓3(𝜃𝑥)

Reste

= ln2 +𝑥

2+𝑥2

8+ 𝑥3 − 𝜀(𝑥)

2) 𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) +ℎ!

1!𝑓′(𝑎) +

ℎ²

2!𝑓′′(𝑎) + ⋯+

ℎ𝑛

𝑛!𝑓𝑛(𝑎)

+ℎ𝑛+1

(𝑛 + 1)!𝑓(𝑛+1)(𝑐)

Avec 𝑐 = 𝑎 + 𝜃ℎ , 0 < 𝜃 < 1

Maclaurin : on remplace 𝑎 = 0 et ℎ par 𝑥 dans (2)

𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +𝑥

1!𝑓′(0) +

𝑥²

2!𝑓′′(0) + ⋯+

𝑥𝑛

𝑛!𝑓𝑛(0) +

𝑥𝑛+1

(𝑛 + 1)!𝑓(𝑛+1)(𝑐)

Avec 𝑐 = 𝜃𝑥 , 𝜃 ∈ ]0 , 1[

f- Développement limités

Soit une fonction 𝑓 définie au voisinage de 0.

O, dit que 𝑓 admet un développement limité (d.l) d’ordre 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ) au voisinage

de 0 s’il existe un polynôme P𝑛 de degré ≤ 𝑛 et une fonction réelle 𝜀

vérifiant lim𝑥→0

𝜀(𝑥) = 0 tels que 𝑓(𝑥) = P𝑛(𝑥) + 𝑥𝑛𝜀(𝑥).

P𝑛(𝑥) s’appelle la partie régulière du d.l

𝑥𝑛𝜀(𝑥) s’appelle le reste d’ordre 𝑛.

Unicité : si une fonction admet un d.l d’ordre 𝑛 au voisinage de 0, celui-ci est

unique.

Preuve : Supposons qu’au voisinage de 0, on dit :

1) 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝜀1(𝑥) et lim

𝑥→0𝜀1(𝑥) = 0

2) 𝑓(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 +⋯+ 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝜀2(𝑥) , lim

𝑥→0𝜀2(𝑥) = 0


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36

1) − 2) ⇒ 3) 0

= (𝑎0 + 𝑏0) + (𝑎1 + 𝑏1)𝑥 +⋯+ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑥𝑛

+ 𝑥𝑛[𝜀1(𝑥) − 𝜀2(𝑥)]

𝜀(𝑥)

Si 𝑥 ⟶ 0 , on a ∶ 𝑎0 = 𝑏0

3) devient 0 = 𝑎1 − 𝑏1 +⋯+ (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1𝜀(𝑥)

𝑥 ⟶ 0 ⇒ 𝑎1 − 𝑏1 = 0 ⇔ 𝑎1 = 𝑏1

De proche en proche on montre que 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 , ∀𝑖 et 𝜀1 = 𝜀2

Exemple : écrire le d.l d’ordre 2 au voisinage 0 de ln(1 + 𝑒𝑥).

ln(1 + 𝑒𝑥) = ln 2 +𝑥

2+𝑥²

8+ 𝑓(3)(𝜃𝑥) (MacLaurin)

= ln2 +𝑥

2+𝑥²

8+ 𝑥² [

𝑥

6𝑓(3)(𝜃𝑥)]

posons 𝜀(𝑥) =𝑥

6𝑓(3)(𝜃𝑥) =

𝑥

6∙𝑒−𝜃𝑥(1 − 𝑒𝑥)

1 + 𝑒𝑥

lim𝑥→0𝜀(𝑥) = 0

D’où le d.l d’ordre 2 est :

ln(1 + 𝑒𝑥) = ln 2 +𝑥

2+𝑥²

8+ 𝑥²𝜀(𝑥)

3.2-Quelques développements limités

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥²

2!+𝑥3

3!+ 𝑥𝑛(𝜀(𝑥)) =∑

𝑥𝑛

𝑛!𝑛≥0

cos 𝑥 = 1 −𝑥²

2!+𝑥4

4!−𝑥6

6!+ ⋯+ (−1)𝑛

𝑥2𝑛

2𝑛!+ 𝑥𝑛𝜀(𝑥)

𝜀(𝑥) =𝑥²

(2𝑛 + 2)! ⟶ lim

𝑥→0𝜀(𝑥) = 0

cos 𝑥 =∑(−1)𝑛𝑥2𝑛

2𝑛!𝑛≥0


__________________________________________________________________________________

37

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+𝑥5

5!+ ⋯+ (−1)𝑛

𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!+ 𝑥2𝑛+1𝜀(𝑥)

=∑(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!𝑛≥0

(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝛼𝑥 +𝛼(𝛼 − 1)

2!𝑥² + ⋯+

𝛼(𝛼 − 1)⋯(𝛼 − 𝑛 + 1)

𝑛!𝑥𝑛

+ 𝑥𝑛𝜀(𝑥)

(1 + 𝑥)𝛼 = ∑ C𝛼𝑝𝑥𝛼

𝑝≤𝑚

√(1 + 𝑥) = (1 + 𝑥)12⁄ = 1 +

1

2𝑥 −

1

8𝑥² +

3

48𝑥3 + 𝑥3𝜀(𝑥)

1

√(1 + 𝑥)= 1 −

1

2𝑥 +

3

8𝑥² −

5

16𝑥3 + 𝑥3𝜀(𝑥)

1

1 − 𝑥= 1 + 𝑥 + 𝑥² +⋯+ 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝜀(𝑥) =∑𝑥𝑛

𝑛≥0

1

(1 − 𝑥)²= 1 + 2𝑥 + 3𝑥² +⋯+ 𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1𝜀(𝑥) =∑𝑛𝑥𝑛−1

𝑛≥1

1

(1 − 𝑥)3= 2 + 6𝑥 +⋯+ 𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−2𝜀(𝑥) =∑𝑛(𝑛 − 1)𝑥𝑛−2

𝑛≥2

ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −𝑥²

2+𝑥3

3+⋯+

(−1)𝑛𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑥𝑛+1𝜀(𝑥)

ln(1 + 𝑥) =∑(−1)𝑛𝑥𝑛+1

𝑛 + 1𝑛≥0

+ 𝑥𝑛+1𝜀(𝑥)

Arctg 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3+𝑥5

5+ ⋯+

(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

2𝑛 + 1+ 𝑥2𝑛+1𝜀(𝑥)

=∑(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

2𝑛 + 1𝑛≥0

; [(Arctg 𝑥)′ =1

1 + 𝑥²]

Arcsin 𝑥 = 𝑥 +𝑥3

6+3

40𝑥5 + 𝜀(𝑥)𝑥5


__________________________________________________________________________________

38

Or (Arcsin 𝑥)′ =1

√1 − 𝑥2= (1 − 𝑥2)

−12⁄

(Argsh 𝑥)′ =1

√1 + 𝑥2= (1 + 𝑥2)

−12⁄

Argsh 𝑥 = 𝑥 −1

6𝑥3 +

3

40𝑥5 + 𝜀(𝑥)𝑥5

ch 𝑥 =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2= 1 +

𝑥2

2!+𝑥4

4!+ ⋯+

𝑥2𝑛

(2𝑛)!+ 𝑥2𝑛𝜀(𝑥) =∑

𝑥2𝑛

2𝑛!𝑛≥0

sh 𝑥 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2= 𝑥 +

𝑥3

3!+𝑥5

5!+ ⋯+

𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!+ 𝑥2𝑛+1𝜀(𝑥) =∑

𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!𝑛≥0

chi 𝑥 = cos 𝑥

shi 𝑥 = 𝑖 sin 𝑥

cos 𝑥 =𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥

2

sin 𝑥 =𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥

2𝑖

1-Procédé permettant de trouver des développements limités.

a) Procédés de substitution

Pour obtenir le 𝑑. 𝑙 de 1

1 + 𝑥2 on remplace X par 𝑥2dans le 𝑑. 𝑙 de

1

1 + X

Or 1

X= 1 − X + X² − X3 +⋯+ (−1)𝑛X𝑛 + X𝑛𝜀(𝑥)

⇒ 1

1 + 𝑥²= 1 − 𝑥² + 𝑥4 + 𝑥6 +⋯+ (−1)𝑛𝑥2𝑛 + 𝑥2𝑛𝜀(𝑥)

b) Procédé d’intégration

Le développement limité de ln(1 + 𝑥) s’obtient particulièrement du d.l de

1

1 + 𝑥

1

1 + 𝑥= 1 − 𝑥 + 𝑥² +⋯+ (−1)𝑛𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝜀(𝑥)


__________________________________________________________________________________

39

ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −𝑥2

2+𝑥3

3+ ⋯+ (−1)𝑛−1

𝑥𝑛

𝑛+ 𝑥𝑛𝜀(𝑥)

c) Procédé de dérivation

(1

1 + 𝑥)′

=1

(1 − 𝑥)2

Or 1

1 + 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥² +⋯+ 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝜀(𝑥)

1

(1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥² +⋯+ 𝑛𝑥𝑛−1 + (𝑛 + 1)𝑥𝑛𝜀(𝑥)

d) Procédé de multiplication

Trouver le d.l d’ordre 4 de 𝑒𝑥 sin 𝑥 au voisinage de 0. Dans la

multiplication, on ne retient que les termes de degré ≤ 4

𝑒𝑥 = 1 +𝑥

1!+𝑥2

2!+𝑥3

3!+𝑥4

4!+ 𝑥4𝜀(𝑥)

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+𝑥5

5!+ 𝑥5𝜀(𝑥)

𝑒𝑥 sin 𝑥 = (1 + 𝑥 +𝑥2

2+𝑥3

6)(𝑥 −

𝑥3

6+ 𝑥5𝜀(𝑥))

e) Procédé de division

Trouver le d.l d’ordre 5 de tg𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

On effectue la division euclidienne suivante de puissance croissante de 𝑥 de

𝑥 −𝑥3

6+𝑥5

120 par 1 −

𝑥2

2+𝑥4

24

𝑥 −𝑥3

6+𝑥5

120 1 −

𝑥2

2+𝑥4

24

𝑥3

6−𝑥5

30 𝑥 +

𝑥3

3+2𝑥5

15


__________________________________________________________________________________

40

𝑥5

15

⇒ tg𝑥 = 𝑥 +𝑥3

3+2𝑥5

15+ 𝑥5𝜀(𝑥) ; lim

𝑥→0𝜀(𝑥)

f) Procédé de translation ou d.l au voisinage de 𝒂 ≠ 𝟎

Trouver le d.l d’ordre 2 au voisinage de 1 de 𝑒𝑥

On pose 𝑢 = 𝑥 − 1 , si 𝑥 ⟶ 1 ⇒ 𝑢 ⟶ 0 et o, sait que le d.l de 𝑒𝑥 au voisinage

de 0 est :

𝑒𝑥 = 𝑒𝑢+1 = 𝑒 ∙ 𝑒𝑢 = 𝑒 (1 + 𝑢 +𝑢

1!+𝑢2

2!+ 𝑢². 𝜀(𝑥))

= 𝑒 [1 + (𝑥 − 1) +(𝑥 − 1)²

2!+ (𝑥 − 1)² − 𝜀(𝑥)]

2-Application des développements limités

a) Etude au voisinage d’un point d’une courbe.

Soit C une courbe d’application 𝑦 = 𝑓(𝑥)

On suppose que la fonction 𝑓 est suffisamment dérivable (T) = tangente à (C)

au point M0 (𝑥0𝑦0)

équation de la tangente (T) 𝑦 = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝑓′(𝑥0) , 𝑝 ∈ (T)

M (𝑥𝑦) , tg 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Quelle est la position de la tangente (T) par rapport à la courbe (C) au point M0

Cela revient à étudier le signe de


__________________________________________________________________________________

41

PM(𝑃 et M ∈ ∆ drte)

PM = HM − HP (chasles)

= (𝑦M − 𝑦H) − (𝑦P − 𝑦H)

= (𝑦M − 0) − (𝑦P − 0) = 𝑦M − 𝑦P

= 𝑓(𝑥0 + ℎ) − [𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝑓′(𝑥0)]

PM = 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0) − ℎ𝑓′(𝑥0), ℎ = 𝑥 − 𝑥0

Or 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0) +ℎ

1!𝑓′(𝑥0) +

ℎ²

2!𝑓′′(𝑥0) +

ℎ3

3!𝑓(3)(𝑥0) + ℎ

3𝜀(𝑥)

avec 𝜀(𝑥) ⟶ℎ→0

0

On a donc ; PM =ℎ²

2!𝑓′′(𝑥0) +

ℎ3

3!𝑓(3)(𝑥0) + ℎ

3𝜀(𝑥)

lorsque ℎ ⟶ 0 ,ℎ3

3!𝑓(3)(𝑥0) + ℎ

3𝜀(𝑥) est négligeable par rappoprt à ℎ²

2!𝑓′′(𝑥0)

⇒ PM =ℎ²

2!𝑓′′(𝑥0)

Si 𝑓′′(𝑥0) > 0 ⇒ PM > 0 , 𝑦M > 𝑦P et la courbe (C) est au dessus de la tangente

(T).

On dit que la courbe (C) tourne sa concavité vers les 𝑦 positifs.

Si 𝑓′′(𝑥0) < 0 ⇒ PM < 0 P est en dessous de M ⇒ 𝑦P < 𝑦M et la tangente (T)

est au dessus de la courbe (C).

On dit que la courbe (C) tourne sa concavité vers les 𝑦 négatifs.

Si 𝑓′′(𝑥0) < 0, PM =ℎ3

3!𝑓(3)(𝑥0) + ℎ

3𝜀(𝑥)

et 𝑓′′′(𝑥0) ≠ 0, PM =ℎ3

3!𝑓(3)(𝑥0)

PM change de signe avec . La courbe traverse sa tangente au point M0. On dit

alors que M0 est un point d’inflexion.

Si 𝑓′′′(𝑥0) = 0 on poursuit la discussion en utilisant 𝑓(4)(𝑥0).


__________________________________________________________________________________

42

Exemple : soit la courbe (C) d’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥3 , 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2; 𝑦′′ = 6𝑥

et 𝑦′′′ = 6

Pour 𝑥 > 0 , 𝑓′′(𝑥) > 0, la concavité est tournée vers les 𝑦 positifs.

Pour 𝑥 < 0, 𝑓′′(𝑥) < 0 ⇒ concavité tournée vers les 𝑦 négatifs

Pour 𝑥 = 0, 𝑓′′(0) = 0 , 𝑓′′′(0) ≠ 0 l’origine 0(0 , 0) est un point d’inflexion.

b) Applications du dl aux calculs des limites

Soit à calculer lim𝑥→0

𝑒𝑥−𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝐿𝑜𝑔(1+𝑥)−2𝑥 = 0

0 forme indéterminée

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 𝜖(𝑥), 𝜖(𝑥) → 0 quand x ––> 0 d. l à l’ordre 1

Cos x = 1 + (𝑥) , d. l à l’ordre 1

Ln(1+ x) = x + 𝜀(1) , d. l à l’ordre 1

lim𝑥→0


𝑙𝑛(1+𝑥)−2𝑥 = lim𝑥→0

(1+𝑥)−1

𝑥−2𝑥 = -1

c)Règle de l’hôpital

Soient u(x) et v(x) deux fonctions dérivables à dérivées continues et s’annulant

simultanément en un point a. alors lim𝑥→𝑎

𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑢′(𝑥)

𝑣(′𝑥)

lim𝑥→0


𝐿𝑜𝑔(1+𝑥)−2𝑥 = lim𝑥→0

(𝑒𝑥−𝐶𝑜𝑠 𝑥)′

[𝐿𝑜𝑔(1+𝑥)−2𝑥] = -1

lim𝑥→0

𝑒𝑥−𝐶𝑜𝑠

𝐿𝑜𝑔(1+𝑥)−2𝑥 = lim

𝑥→0

𝑒𝑥−𝑆𝑖𝑛 𝑥 1

1+𝑥−2

= -1


__________________________________________________________________________________

43

d-Convexité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I IR et (C) sa courbe.

On dit que f est convexe si et seulement si ∇𝑎 ∈ 𝐼 , ∇b ∈ 𝐼 et t ∈ [0,1]

f [𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏] ≤ 𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)

géométriquement f est convexe si pour tout couple (A,B) de points de (C), l’arc

𝐴𝐵⏞ est situé au-dessous de la corde AB’.

f est convexe si la concavité est dirigée vers les y positifs

Une fonction f est dite concave lorsqu’elle n’est pas convexe

3.3 Fonctions usuelles

a- Fonctions logarithme

i-Fonctions logarithme népérienne

On appelle fonctions logarithme népérienne et on note x –––> ln x, la fonction

définie de 𝐼𝑅+∗ vers IR définie par :


__________________________________________________________________________________

44

ln 𝑥 = ∫𝑑𝑡

𝑡

𝑛

1

ii-Propriétés algébriques

𝑥 ∈ 𝐼𝑅+∗ , (𝑙𝑛𝑥)′ =

1

𝑥

𝑙𝑛1 = 0

𝑙𝑛𝑎𝑏 = 𝑙𝑛𝑎 + 𝑙𝑛𝑏

𝑙𝑛𝑎

𝑏= 𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏

ln (1

𝑏) = −𝑙𝑛𝑏

𝑙𝑛𝑎𝑟 = 𝑟𝑙𝑛𝑎

iii. Dérivées

(𝑙𝑛𝑥)′ =1

𝑥

(𝑙𝑛𝑥)′′ = −1

𝑥2< 0/𝑥𝜖𝐼𝑅+

∗

La concavité de la courbe est dirigée vers les y négatifs.

iv. Limites : lim𝑥→∞

ln(𝑥) = ∞ , lim𝑥→𝑜+

ln(𝑥) = −∞

lim𝑥→∞

𝑙𝑛1+𝑥

𝑥 = 1

On utilise le d ; l de ln x à l’ordre 1


__________________________________________________________________________________

45

v- Graphique

b- Fonction puissance

i-Définition, soit 𝛼 ∈ 𝐼𝑅. On appelle, fonction puissance x ––––> 𝑥𝛼, la fonction

de 𝐼𝑅+∗ vers IR définie par 𝑥𝛼 = 𝑒

ii- Propriétés algébriques

∇(x, y)𝜖𝐼𝑅+∗ , 𝑋 𝐼𝑅+

∗

𝑥𝛼𝑥𝛽 = 𝑥𝛼𝑥𝛽 ; 𝑥−𝛼 = 1

𝑥𝛼

(𝑥𝑦)𝛼 = 𝑥𝛼𝑥𝛼


__________________________________________________________________________________

46

iii. Dérivée :

(𝑥𝛼)′ = (𝑒𝛼𝑙𝑛𝑥)′ = (𝛼𝑙𝑛𝑥)𝑒1𝑥𝑙𝑛𝑥

(𝑥𝛼)′ =𝛼

𝑥𝑒2𝑙𝑛𝑥 =

𝛼

𝑥𝑥𝛼 = 𝛼𝑥

𝛼−1

iv)graphique

c) Croissance comparée des fonctions

(Exponentielles) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 ) et h(x) =𝑥2

(puissance)

i) L’exponentielle l’emporte sur la puissance

lim𝑥→∞

𝑎𝑥

𝑥𝛼 = et lim

𝑥→∞

𝑥𝛼

𝑎𝑥 = 0 {

𝑠𝑖 𝛼 ≥ 0𝑒𝑡 𝛼 > 1

lim𝑥→∞

𝑥𝛼

𝑒𝑥 = 0

ii) La puissance l’emporte sur le logarithme népérien

lim𝑥→∞

𝑥𝛼

𝑙𝑛𝑥= ∞ si α > 0 et lim

𝑥→∞

𝑙𝑛𝑥

𝑥𝛼= 0 ; lim

𝑥→0𝑥→0

𝑥𝛼𝑙𝑛𝑥 = 0


__________________________________________________________________________________

47

iii) L’exponentielle l’emporte sur le logarithme

∀𝑥 > 1 , lim𝑥→∞

𝑎𝑥

𝑙𝑛𝑥= ∞ et lim

𝑥→∞

𝑙𝑛𝑥

𝑎𝑥= 0

iv) Théorème lim𝑥→∞

(1 +𝑥

𝑛)𝑛= 𝑒𝑥

(1 +𝑥

𝑛)𝑛= 𝑒

𝑛′𝑛(1𝑥

𝑛)= 𝑒𝑛𝑙𝑛(1+𝑛)

avec 𝑛 =𝑥

𝑛

Quand → ∞ , 𝑢 → 0. Le DL de ln(1 + 𝑛) = 𝑢 (à l’ordre de 1)

𝑛[𝑙𝑛𝑢 + 𝜀(𝑢)]

lim𝑥→∞

(1 +𝑥

𝑛)𝑛= lim𝑥→∞

𝑒𝑛[𝑙𝑛𝑢+ 𝜀(𝑢)] = lim𝑥→∞

𝑒𝑥+𝜀(

𝑥

𝑛)= 𝑒𝑥


__________________________________________________________________________________

48

CHAPITRE 4 : FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

4.1- Définition et généralités

1- définition : on appelle fonction de plusieurs variables, une fonction deℝ𝑛 dans

ℝ.

Exemples : 𝑓: ℝ2 ℝ

(𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) =1

𝑥−𝑦

𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2𝑧

√1 − 𝑥2 − 𝑦2

𝑓(𝑥, 𝑦) est une fonction de deux variables et 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) est une fonction de trois

variables.

2 - Domaine de définition

Pour les fonctions f et g ci-dessus, on a :

𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/𝑥 ≠ 𝑦}

𝐷𝑔 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/1 − 𝑥2 ≠ 𝑦2 > 0}

Soit P le plan à 2 dimensions

𝑀0 = (𝑥0𝑦0) ∈ 𝑃 𝑒𝑡 𝑀 = (

𝑥𝑦) ∈ 𝑃; 𝑑(𝑀0, 𝑀) = √(𝑥 − 𝑥0)

2 + (𝑦 − 𝑦0)2 =

Distance entre 𝑀 𝑒𝑡 𝑀0

On appelle disque fermé de centre M0 et de rayon r, l'ensemble des points M du

plan P tels que d(M, M0) < r . On appelle disque ouvert de centre M0 et de rayon

r, l'ensemble des points M du plan P tels que d(M, M0) < r.


__________________________________________________________________________________

49

a)Définition : Un domaine D de R2 est dit ouvert (ou domaine ouvert) si pour tout

point M de D, il existe un disque ouvert de centre M et de rayon r, contenu dans

D.

3– Dérivées partielles

a) Dérivées partielles d’ordre 1

Soit 𝑓(𝑥, 𝑦) une fonction à deux variables définies sur un domaine ouvert de R2.

On appelle dérivée partielle de f par rapport à x en M0 la limite, lorsqu'elle existe

de 𝑓(𝑥0+ℎ,𝑦0)−𝑓(𝑥0,𝑦0)

ℎ lorsque h = x - x0 tend vers zéro. On la note

𝑓′(𝑥0, 𝑦0)𝑜𝑢 𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑥.

𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑥= limℎ⟶0

𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

ℎ 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑜𝑛 𝑎 ∶

𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑦= limℎ⟶0

𝑓(𝑥0, 𝑦0 + 𝑘) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝑘

𝐓𝐡é𝐨𝐫è𝐦𝐞 :𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑒𝑡𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦𝜕𝑥 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒

D deℝ2, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦=𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦𝜕𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑀0 = (

𝑥𝑦) ∈ 𝐷

Exercice : Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 des fonctions suivantes

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 3𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑦2𝑥𝑥

b) Dérivées partielles d’ordre 2

𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥 ,𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑀0.


__________________________________________________________________________________

50

𝜕2𝑓(𝑀0)

𝜕𝑥2=𝜕

𝜕𝑥[𝜕 .. 𝑓(𝑀0)

𝜕𝑥] ; 𝜕2𝑓(𝑀0)

𝜕𝑦𝜕𝑥=𝜕

𝜕𝑦[𝜕𝑓(𝑀0)

𝜕𝑥] =

𝜕

𝜕𝑥[𝜕𝑓(𝑀0)

𝜕𝑦] =

𝜕2𝑓(𝑀0)

𝜕𝑥𝜕𝑦

Exercice : Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 des fonctions précédentes

4- Dérivées d'une fonction composée

Théorème : Si u et v sont des fonctions réelles, à dérivées continues dans un

intervalle la, ]𝑎, 𝑏[de ℝ et si f admet des dérivées partielles premières contenues

dans un intervalle ouvert U deℝ contenant[𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)] pour ∈, ]𝑎, 𝑏[ , alors la

fonction composée𝑔(𝑡) = [𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)] admet une dérivée continue dans ]𝑎, 𝑏[

telle que 𝜕𝑔(𝑡)

𝜕𝑡=𝜕𝑓

𝜕𝑢 𝜕𝑢(𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝑓

𝜕𝑣 𝜕𝑣(𝑡)

𝜕𝑡

Exercice : Déterminer les dérivées partielles de la fonction composée

𝑔(𝑡) = 𝑒sin2𝑡+cos 𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 = sin 𝑡 𝑒𝑡 𝑦 = cos 𝑡

5-Différentielle d’une fonction

Soit f(x, y)une fonction à deux variables dont les dérivées premières 𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑒𝑡 𝜕𝑓

𝜕𝑦

sont définies et continues dans le domaine D. On appelle différentielle totale au

point 𝑀 = (𝑥𝑦), l’expression :

𝑑𝑓(𝑀) =𝜕𝑓 (𝑀)

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑓 (𝑀)

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑜ù 𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝑑𝑦 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎𝑟𝑏𝑟𝑖𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠.

Exercice : Déterminer la différentielle totale de la fonction f(x, y) = e3xy2

6- Fonctions homogènes

Définition : Une fonction f(x, y) est homogène de degré

𝜕 𝑠𝑖 ∀ 𝑡 ≥ 0, 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡𝛼𝑓(𝑥, 𝑦)


__________________________________________________________________________________

51

Exemple :

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 5𝑦2

𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = (𝑡𝑥)2 + (𝑡5𝑦)2 = 𝑡2𝑓(𝑥, 𝑦)

La fonction f est homogène de degré 2.

4.2 - Extremum d'une fonction de plusieurs variables sans contrainte

1- Fonctions de deux variables

Définition : On dit qu'une fonction f de deux variables (x, y) définie sur un

voisinage du point A (a, b) présente en ce point un maximum relatif

(respectivement minimum relatif) au sens large s'il existe un disque ouvert B de

centre A tel que :

Pour M (x, y) ∈ B, 𝑓(𝑀) ≤ 𝑓(𝐴) (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑓(𝑀) ≥ 𝑓(𝐴))

Théorème : Une condition nécessaire mais non suffisante pour qu'une fonction

de plusieurs variables pourvue de dérivées partielles atteigne un extremum un

point est que toutes les dérivées partielles du 1er ordre prennent en ce point la

valeur zéro.

En effet, si A est un maximum relatif : ∀x : M(x, b) ∈ B , on a : f(x, b) ≤ f(a, b).

La fonction f(x, b) de la seule variable x, atteint un maximum pour x = a. Sa

dérivée en ce point est nulle. Cette dérivée est par définition la dérivée partielle

par rapport à x de f(x, y) au point A (a, b). Donc :

𝜕𝑓 (𝑎, 𝑏)

𝜕𝑥= 0 𝑒𝑡

𝜕𝑓 (𝑎, 𝑏)

𝜕𝑦= 0.


__________________________________________________________________________________

52

Mais cette condition n'est pas suffisante : f(a, b) peut être à la fois un maximum

de f(x,b) et un minimum de f(a, y). Dans ce cas f(a, b) n'est ni un minimum ni un

maximum de f(x, y). Le point (a, b) est appelé un col ou un point selle.

2-Généralisation

La fonction 𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯𝑥𝑥,) admet un maximum (respectivement un minimum) au

point (A(𝑎1,𝑎2,⋯𝑎𝑛, s'il existe une boule ouverte B de Centre A.

telle que :∀ 𝑀 ∈ 𝐵: 𝑓(𝑀) ≤ 𝑓(𝐴) (respectivement 𝑓(𝑀) ≥ 𝑓(𝐴))

Condition nécessaire et non suffisante d'existence d'un extremum au point A :

𝑓𝑥𝑖′ (𝐴) = 0 , 𝑖 = 1,2… , 𝑛.

Ce qui peut s'écrire en notant 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗; le vecteur gradient de f au point A.

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 0

• Extremums d'une fonction de plusieurs variables libres, condition du

second ordre ou condition suffisante.

2.1-Fonctions de 2 variables

𝑓𝑥𝑖′ (𝐴) = 𝑓𝑥𝑖

′ (𝐴) = 0

Posons x = a + h et y = b + k

Si f(x,y) admet un développement de Taylor à l’ordre 2, nous pouvons écrire :

𝑓(𝑀) − 𝑓(𝐴)

= ℎ𝑓𝑥′(𝐴) + 𝑘𝑓𝑦

′(𝐴) +1

2[ℎ𝑓(𝐴) + 𝑘𝑓(𝐴)]2

+1

3![ℎ𝑓(𝑝) + 𝑘𝑓(𝑝)]3

Avec P un point de coodonnées (a + 𝜃ℎ, 𝑏 + 𝜃𝑘),0 < 𝜃 < 1.

Etant donné que :

ℎ𝑓𝑥′(𝐴) + 𝑘𝑓𝑦

′(𝐴) = 0 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 1

3![ℎ𝑓(𝑝) + 𝑘𝑓(𝑝)](3) est infiniment petit d’ordre

supérieur à1

2[ℎ𝑓(𝐴) + 𝑘𝑓(𝐴)](2) quand M tend A :


__________________________________________________________________________________

53

et ∀ 𝑀 ∈ 𝐵, 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝐴) 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 1

2[ℎ𝑓(𝐴) + 𝑘𝑓(𝐴)](2)

1

2[ℎ𝑓(𝐴) + 𝑘𝑓(𝐴)](2) =

1

2[ℎ2𝑓𝑥2

′′ + 2ℎ𝑘𝑓𝑥𝑦′′ (𝐴) + 𝑘2𝑓𝑦2

2 (𝐴)]

Posons 𝑓𝑥2′′ (𝐴) = 𝑟0 ; 𝑓𝑥𝑦

′′ (𝐴) = 𝑠0 𝑒𝑡 𝑓𝑥2′′ (𝐴) = 𝑡0

[ℎ𝑓(𝐴) + 𝑘𝑓(𝐴)](2) = ℎ2𝑟0 + 2ℎ𝑘𝑠0 + 𝑘2𝑡0

= 1

𝑟0[ℎ𝑟022 + 2ℎ𝑘𝑠0𝑟0 + 𝑘

2𝑡0𝑟0]

= 1

𝑟0[(ℎ𝑟0 + 𝑘𝑠0)

2 + 𝑘2𝑡0𝑟0 − 𝑘2𝑠𝑜2]

= 1

𝑟0[(ℎ𝑟0 + 𝑘𝑠0)

2] + (𝑡0𝑟0−𝑠02

𝑟0)𝑘2 (1)

a) si {. .𝑟0 0} ⟹ 𝑓

(𝑀) − 𝑓(𝐴) ≤ 0 ⟹ 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚,

∀𝑀 ∈ 𝐵

b) si {. .𝑟0>0

𝑟0𝑡0 − 𝑠02 > 0} ⟹ 𝑓

(𝑀) − 𝑓(𝐴) ≥ 0, ∀𝑀 ∈ 𝐵,

𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚,

c) si − 𝑠02 < 0, 𝑙𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙′é𝑔𝑎𝑙𝑖𝑡é(1)𝑛𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡∀𝑀 ∈ 𝐵 , 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑙.

d) si − 𝑠02 > 0, 𝑖𝑙 𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑑𝑙 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟 𝑗𝑢𝑠𝑞𝑢′à𝑙′𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒3.

𝑎𝑢 𝑚𝑜𝑖𝑛𝑠.

Règle pratique pour la recherche d'un extremum

❖ 1- On résout le système

𝑓𝑥′(𝑥, 𝑦) = 0

𝑓𝑦′(𝑥, 𝑦) = 0

On trouve en général une solution A (a ;b) au moins

❖ 2- On calcul 𝑟0, 𝑡0, 𝑠0 et (roto – s02)

Si roto – s02 = 0, il faut continuer le développement limité de Taylor


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54

𝑠𝑖 {

𝑟0 < 0𝑡0 < 0

𝑟0 𝑡0 − 𝑠02 > 0

⟹ 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚

𝑠𝑖 {

𝑟0 > 0𝑡0 > 0

𝑟0 𝑡0 − 𝑠02 > 0

⟹ 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

𝐄𝐱𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞 ∶ Etude des extremums de la fonction f(x, y) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦2

{𝑓𝑥′ = 2𝑥 + 𝑦 = 0

𝑓𝑦′ = 𝑥 + 4𝑦 = 0

=> {𝑥 = 0𝑦 = 0

𝑓𝑥2′′ (0,0) = 2 = 𝑟0 > 0;

𝑓𝑦2′′ (0,0) = 4 = 𝑡0 > 0;

𝑓𝑥𝑦′′ (0,0) = 1 = 𝑠0

roto – s02 = 8 − 1 = 7 > 0;

⟹ 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴(0,0)𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑛𝑖𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑖ù𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦)

2.2-Généralisation

Soit 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) un point 𝐴(𝑎1𝑎2, … 𝑎𝑛 tel que 𝑓𝑥𝑖(𝐴)′ = 0, 𝑖 = 1, 𝑛

Posons 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖 + ℎ𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛

Si f admet un d.l jusqu’à l’ordre par la formule de Taylor, il existe un point P de

coordonnées :

𝑎𝑖 + 𝜃ℎ𝑖 => {𝑖 = 1, 𝑛𝑜 < 𝜃 < 1

Tel que : 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝐻) = ∑ ℎ𝑖𝑓𝑥𝑖′ (𝐴) +

1

2![∑ ∑ ℎ𝑖ℎ𝑗𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗

′′𝑛𝑗=1

𝑛𝑖=1 (𝐴)]

𝑛𝑖=1 +

1

3![∑ ℎ𝑖𝑓(𝑃)𝑛𝑐=1 ]

(3)

Avec 1

3![∑ ℎ𝑖𝑓(𝑃)𝑛𝑐=1 ]

(3) est infiniment petit d’ordre supérieur à


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55

Q = 1

2[∑ ∑ ℎ𝑖ℎ𝑗𝑓𝑥𝑖𝑥𝑗

′′𝑛𝑗=1

𝑛𝑖=1 (𝐴)] quand M tend vers A . Il existe un voisinage de

le de A où 𝑓(𝑀) − 𝑓(𝐴) est du même signe que Q 𝑀𝜖𝐵 𝑙𝑒

Q est une forme quadratique

Appelons 𝐴1 la quantité 𝑓𝑥𝑖2′′ (𝐴) =

A2 = déterminant de (𝑓𝑥12′′ (𝐴)

𝑓𝑥1𝑥2′′ (𝐴)

𝑓𝑥1𝑥2′′ (𝐴)

𝑓𝑥22′′ (𝐴)

)

An = |

𝑓𝑥12′′ (𝐴)

𝑓𝑥2𝑥1′′ (𝐴)

𝑓𝑥𝑛𝑥1′′ (𝐴)

𝑓𝑥1𝑥2′′ (𝐴) …… 𝑓𝑥1𝑥𝑛

′′ (𝐴)

𝑓𝑥22′′ (𝐴) …… 𝑓𝑥2𝑥𝑛

′′ (𝐴)

𝑓𝑥𝑛𝑥2′′ (𝐴) …… 𝑓𝑥𝑛2

′′ (𝐴)

|

On démontre que :

𝑄 > 0,∀𝑀 ∈ 𝐵 ou si Ai > 0 , ∀𝑖 = 1, 2,… , 𝑛. donc A est un minimum

𝑄 < 0,∀𝑀 ∈ 𝐵 et donc A est un maximum ou

Si {𝐴𝑖 < 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝐴𝑖 > 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑖 𝑝𝑎𝑖𝑟

Si tous les Ai sont différents de zéro mais ne correspondent pas à un des cas

envisagés ci-dessus A est un col.

Si un des Ai est nul, cette méthode ne permet pas de conclure.

Remarque : An = déterminant hessien et les Ai sont les mineurs principaux.

Exemple : 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦2𝑍2 + 𝑥𝑦 + 𝑧𝑥

𝑓𝑥′ = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑓𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 = 0 => A (0, 0, 0)


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56

𝑓𝑧′ = 𝑥 + 2𝑧 = 0

Les dérivés seconds en ce point :

𝑓𝑥2′′ = 2 𝑓𝑦2

′′ = 2 𝑓𝑧2′′ = 2

𝑓𝑥𝑦′′ = 1 𝑓𝑥𝑧

′′ = 1 𝑓𝑦𝑧′′ = 0

𝐴1 = 2 > 0 𝐴2 = 3 > 0 => 𝐴3 = 4 > 0 =>

La fonction 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) atteint un minimum au point (0, 0, 0).

4.3- Extremums d’une fonction de plusieurs variables 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) liées par

une contrainte 𝒈(𝒙𝟏 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) = 0

On forme la fonction de lagrange ;

𝐿(𝑥1… , 𝑥𝑛, 𝛼) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) + 𝑑𝑔(𝑥1 𝑥2, … , 𝑥𝑛) d est une constante dont la

valeur ne reste pas fixée a priori, d est le multiplicateur de lagrande.

1) CN

{ 𝜕ℒ

𝜕𝑥𝑖= 0

𝑔(𝑥1𝑥2, … . , 𝑥𝑛) = 0 i = 1, …, n

2) CS : 2 m

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