thpt quốc gia 2015 - daythem.edu.vn gia sư thành Được 2 Áp dụng công thức: ° ¯ ° ®...
TRANSCRIPT
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
1
THPT Quốc Gia_2016
1) Giải phương trình
0log19log).22(log2)22(log3
2
3
1
2
3
3
1
2
3
xxxxxx (*)
ĐK: 20
0
2
2
0
09
02
02
3
x
x
x
x
x
x
x
x
Áp dụng công thức:
yxyx
xnx
xn
x
aa
aaa
a
n
a
aa
n
n
n
loglog).(log
loglog
log1
log
1
(*) 0log1log9log).22(log2)22(log32
3
2
333
2
3 11 xxxxxx
0log1
11log23log).22(log
1
2)22(log3
2
33
2
33
2
3
xxxxxx
0log1log23log2).22(log2)22(log32
3333
2
3 xxxxxx
0log1log22).22(log2)22(log32
333
2
3 xxxxxx
0log1log1).22(log4)22(log32
333
2
3 xxxxxx (**)
Đặt
xb
xxa
3
3
log1
)22(log
(**) 0.43 22 baba
Cách 1:
Tính ' 2222234.32 bbbbb
3
)2(
3
)2(
bba
bba
3
2
3
2
bba
bba
3
ba
ba
ba
ba
3
Cách 2: thêm bớt
0.33 22 bbaaba 0)()(3 babbaa 03)( baba
03
0
ba
ba
ba
ba
3
TH1: a=b )22(log3 xx = x3log1
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
2
Áp dụng công thức:
yxyx
yxyx
a
aa
aaa
a
loglog
).(logloglog
log1
)22(log3 xx = x33 log3log
)22(log3 xx = )3(log3 x
xx 22 =3x
22
322 xxx
Áp dụng bababa .22
292.2222 xxxxx
49)2)(2(2 2 xxx
49)4(4 22 xx
Áp dụng:
2
0
BA
BBA
222
2
49)4(4
049
xx
x
06881
3
2
3
2
24 xx
xx
81
68
0
3
2
3
2
2
2
x
x
xx
9
172
9
172
0
3
2
3
2
x
x
x
xx
9
172
9
172
x
x
so với đk 20 x ta được nghiệm 9
172x
TH2: 3a=b )22(log3 3 xx = x3log1
3
3 )22(log xx = x33 log3log
3
3 )22(log xx = )3(log3 x
3)22( xx = x3 (***)
Đặt f(x)= xx 22 ( 20 x )
f’(x)= xx
2
1
2
1
Cho f’(x)=0xx
2
1
2
1=0
02222022 xxxxxxx (loại)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
3
Bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
f’(x) + 0 -
f(x) 22
2
2 f(x) 22
333 22)(2 xf
216)(8 3 xf
20 x 3x6
)(3 xf <3x 3)22( xx < x3
pt (***) vô nghiệm
Kết luận pt đã cho có nghiệm 9
172x
THPT Quốc Gia_2015
2) Giải phương trình :2
2
x 2x 8x 1 x 2 2
x 2x 3( )( )
trên tập số thực
Giải:
ĐK: 202
0322
x
x
xx
Ta nhẫm nghiệm x=2 thế vào vế trái=vế phải nên ta thêm bớt có dạng x-2
Pt đã cho
22
22221
32
8422
2
x
xxx
xx
xxx
22
221
32
)2(4)2( 2
2
x
xx
xx
xxx
022
)2)(1(
32
)4)(2(2
x
xx
xx
xx
022
1
32
4)2(
2
x
x
xx
xx
022
1
32
4
02
2x
x
xx
x
x
22
1
32
4
2
2x
x
xx
x
x
Giải pt:22
1
32
42
x
x
xx
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
4
22
21
2)1(
222
x
x
x
x
Đặt a= 2x ; b=x-1
Pt 2
2
2
22
2
a
b
b
a
)2)(2()2)(2( 22 bbaa
422422 2323 bbbaaa (*)
Xét hàm số f(t)= 422 23 ttt
f’(t)=3t2+4t+2
f’(t)>0 t R (vì 3t2+4t+2= 0
3
8
3
23
3
44
3
23
22
tt )
f(t) đồng biến trên R
Do đó (*) )()( bfaf a=b 2x =x-1
2)1(2
01
xx
x
013
1
2 xx
x
)(2
133
)(2
133
1
nhânx
loaix
x
2
133 x
Đối chiếu với đk ta được nghiệm đúng của phương trình là x=2; 2
133x
Đại học khối A_năm 2014
3)
)2(2218
)1(121212
3
2
yxx
xyyx Ryx ,
ĐS:
3
3
y
x
Hướng dẫn:
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức: 2
.22 ba
ba
0, ba
Dấu “=” xảy ra a=b
Ta có
2
12
2
1212
22
2yxyx
yx
(*)
Mặt khác 2
1212
22 xy
xy
(**)
Cộng (*) và (**) ta được 2
12
2
121212
222 xyyx
xyyx
121212 2 xyyx
Dấu “=” xảy ra
)3(12
0
2xy
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
5
Thay (3) vào pt (2) ta được: 212218 23 xxx
23 10218 xxx
Nhẫm nghiệm ta thấy x=3 thế vào pt thì Vế trái=Vế phải=2 nên ta thêm bớt có dạng x-3
Cần thêm bớt về dạng axaxx 23 10218
Tìm a=? biết 0102 2 ax và nghiệm x=3
Thế x=3 vào ta được 03102 2 a a=-2
2102218 23 xxx
110238 23 xxx
110
11011023933
2
22223
x
xxxxxxx
110
11023)3(3)3(
2
222
x
xxxxxx
110
9213)3(
2
22
x
xxxx
0
110
9213)3(
2
22
x
xxxx
0
110
9213)3(
2
22
x
xxxx
0
110
33213)3(
2
2
x
xxxxx
0110
3213)3(
2
2
x
xxxx
0110
3213
03
2
2
x
xxx
x
)0110
32130(0
110
3213
3
2
2
2
2
x
xxxnênxvìnghiêmVô
x
xxx
x
3 x
so với đk x0 nên ta nhận x=3 là nghiệm
thế x=3 vào (3) ta được y=12-32=3
Kết luận hệ có nghiệm
3
3
y
x
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 2222 dbcacdab
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
6
Dấu “=” xảy ra d
c
b
a
12121212121212 2222 yyxxyxyxxyyx
Dấu “=” xảy ra y
x
y
x 212
12
21212 xyyx
yxyxyx 22 1212144
222 1212144
0
yxyxyx
yx
2
0
BA
BBA
222 1212144
0
yxyxyx
x
212
0
xy
x tới đây thì tương tự cách 1
Cách 3: Đặt a= y12 , a 0 y = 12 – a2
(1) 2 2xa (12 a )(12 x ) 12
2 2 2 2 212 12x 12a x a 12 xa
222222 12121212
012
xaaxax
xa
2 2 2 2 2 2 2 2
xa 12
12 12x 12a x a 12 2.12.xa x a
2 2
xa 12
12x 2.12xa 12a 0
2
xa 12
(x a) 0
Ta có (x – a)2 = 0 x = 12 y
yx
x
12
0
2
212
0
xy
x
tới đây thì tương tự cách 1
Cách 4: Đặt 212, xxa , yyb ,12
Lưu ý: a =(a1;a2); b =(b1;b2) Nếu ba
22
11
ba
ba; Nếu
2211 ... bababa
1212 22 xxa
1212 yyb
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
7
Ta có ba. = 21212 xyyx
Mặt khác 122
1212
2
22
ba
bababa
ba
02
.12
22
yx
yx
212
12
212
0
xy
x
tới đây thì tương tự cách 1
Đại học khối B_năm 2014
4)
)2(354221632
)1(121
2 yxyxyxy
yyxxyxy Ryx ,
Giải:
Đk:
0354
02
0
0
yx
yx
y
yx
354
2
0
yx
yx
y
yx
354
2
0
yx
yx
y
(*)
Đặt
yxb
ya (a,b0)
yxb
ya
2
2
222 abybx
Pt (1) abbaba 121 2222
01111 2222 abbaba
0)1)(1()1(1 222 ababa
0)1)(1()1(1 22 abba
0)1)(1)(1()1)(1(1 abbbaa
0)11)(1(1 baba
0)2)(1(1 baba
)020,0(02
101
101
babavìnghiêmvôba
bb
aa
Trường hợp 1: a=1 1y y=1
y=1 thế vào đk (*) ta được 2
354
2
01
x
x
x
y=1 thế vào (2) ta được
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
8
31.541.2211.631.2 2 xxx
35422163.2 xxx
842239 xxx
84)2(239 2 xxx
)2(4)2(439 xxx
039 x
3x so với đk 2x ta nhận x=3
Trường hợp 2: b=1 1 yx 21 yx 1 xy
Thế 1 xy vào đk (*) ta được
3)1(54
)1(2
01
xx
xx
x
3554
22
1
xx
xx
x
2
1
x
x 21 x
Thế 1 xy vào (2) ta được
3)1(54)1(221)1(63)1(2 2 xxxxxxx
35542221663)12(2 2 xxxxxxxx
22253)12(2 2 xxxxx
253242 2 xxxx
322 2 xxx
2
0
BA
BBA
Cách 1
22
2
)32(2
032
xxx
xx
3..23.2.2.2.23)2(2
2
31
222222 xxxxxxx
xx
xxxxxx
xx
6124942
2
31
2324
0771144
2
31
234 xxxx
xx
0777444
2
31
2234 xxxxx
xx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
9
0)1(7)1(4
2
31
222 xxxxx
xx
0)74)(1(
2
31
22 xxx
xx
074
01
2
31
2
2
x
xx
xx
2
7
2
7
2
51
2
51
2
31
x
x
x
x
xx
2
7
2
51
2
51
x
x
x
So với đk 21 x ta được 2
51x
2
151
2
51
yy
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm
2
51
2
51
1
3
y
x
y
x
làm ngoài nháp nè Hướng dẫn cách phân tích
771144 234 xxxx = )(4 22 dcxxbaxx
bdxbcadxacdbxcaxxxxx )()4()4(4771144 232234
7
7
114
44
bd
bcad
acdb
ca
TH1: b=1 d=7
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
10
77
11281
44
ca
ac
ca
)3(77
)2(40
)1(44
ca
ac
ca
Từ (1), (3)
27
35
27
32
c
a
thế vào (2) ta thấy không thỏa
TH1: b=7 d=1
77
1147
44
ca
ac
ca
)3(77
)2(0
)1(44
ca
ac
ca
Từ (1), (3)
3
11
3
56
c
a
thế vào (2) không thỏa
TH3: b=-1 d=-7
77
11281
44
ca
ac
ca
)3(77
)2(18
)1(44
ca
ac
ca
Từ (1), (3)
9
7
9
8
c
a
thế vào (2) ta thấy không thỏa
TH4: b=-7 d=-1
77
1147
44
ca
ac
ca
)3(77
)2(0
)1(44
ca
ac
ca
Từ (1), (3)
1
0
c
a thế vào (2) ta thấy thỏa
Vậy a=0, b=-7, c=-1, d=-1
771144 234 xxxx = )(4 22 dcxxbaxx
771144 234 xxxx = )1(74 22 xxx
= )1(7)1(4 222 xxxxx = 777444 2234 xxxxx = 771144 234 xxxx
Nhờ vậy mà biết ghi ngược lại
Lưu ý nếu cả 4 trường hợp trên cũng không ra thì ta phân tích như sau
771144 234 xxxx = )2(2 22 dcxxbaxx
Rồi làm 4 trường hợp như trên nữa, cũng hên là nó ra rồi
Cách 2: khi giải cách 1 ta biết được nhân tử chung là x2-x-1 thì dễ dàng ta thêm bớt như sau
322 2 xxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
11
22212 2 xxxx
)1(2)1(2 2 xxxx BA
BABA
2
)1(2)1(2
)1(2 22
xx
xx
xx
)1(212
1 22
xx
xx
xx
012
1)1(2
22
xx
xxxx
012
1)1(2
22
xx
xxxx
012
12)1( 2
xxxx
Vì đk 21 x nên 12
12
xx>0
12 xx =0
2
51
2
51
x
x
So với đk 21 x 2
51x
2
151
2
51
yy
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm
2
51
2
51
1
3
y
x
y
x
Đại học khối D_năm 2014
5) Giải bất pt 1277621 2 xxxxxx (*)
Giải:
Cách 1:
Điều kiện: 27
2
07
02
x
x
x
x
x
Ta thấy x=2 thì vế trái=vế phải nên ta đặt a=x-2x=a+2
2x 4a
(*) (a+2+1) 4a +(a+2+6) 72 a (a+2)2+7(a+2)+12
12147449843 2 aaaaaaa
30119843 2 aaaaaa
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
12
)3(2)8(33011)8(398)3(243 2 aaaaaaaaaa
aaaaaa 6398243 2
0639
398
24
243 2
22
aa
a
aa
a
aa
0639
824
3 2
aaa
aa
a
aa
0639
8
24
3
a
a
a
a
aa (**)
Vì )6(39
8
24
146
39
8
24
3
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
=24
1
2
84
39
8
24
4
a
aa
a
a
a
a
=24
1
2
8
39
8
2
4
24
4
a
a
a
aa
a
a0 (vì a 4 )
(**) 0 a
02 x
2 x
Giao với đk 2x ta được nghiệm 22 x
Cách 2: 1277621 2 xxxxxx (*)
Điều kiện: 27
2
07
02
x
x
x
x
x
(*) )6(312127)6(3761221 2 xxxxxxxxxx
Làm sao ta biết được thêm bớt
Ta nhẫm nghiệm x=2 thì vế trái=vế phải
Khi x=2 thì 2222 x nên ta biết thêm bớt )1(2 x
Khi x=2 thì 3727 x nên ta biết thêm bớt )6(3 x
82376221 2 xxxxxx
Bấm máy 822 xx =0 thì ta được 2 nghiệm x=2; x=-4
Áp dụng ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
822 xx =1.(x-2)(x+4)
)4)(2(37
376
22
221
22
xx
x
xx
x
xx
0)4)(2(37
26
22
21
xx
x
xx
x
xx
0)4)(2(37
26
22
21
xx
x
xx
x
xx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
13
0)4(37
6
22
12
x
x
x
x
xx (**)
Khi ta cho 1 giá trị x bất kỳ thỏa đk x -2 vào )4(37
6
22
1
x
x
x
x
x thì ta thấy nó luôn âm
nên ta cần chứng minh nó âm
Vì 437
6
22
1
x
x
x
x
x
=2
62
37
6
22
12
xx
x
x
x
x
= 022
1
2
6
37
6
2
2
22
2
x
x
x
xx
x
x
Vì x -2 thì ta có
022
1
02
6
37
6
02
2
22
2
x
x
x
x
x
x
x
(**)x-2 0 x2
Giao với đk 2x ta được nghiệm 22 x
Đại học khối A_năm 2013
6) Ryxyyyxx
yyxx
,
)2(016)1(2
)1(211
22
44
Hướng dẫn
Đặt 4 1 xu 11 44 uxxu 0u
(1) yyuu 211 44
yyuu 22 44 (3)
(2) 0412)1(2 22 yyyyxx
yyyxx 4)1()1(2 22
yyx 412
0y
Xét f(t)= tt 24 0t
f’(t)= 12
24
3
t
t>0 0t
f(t) đồng biến trên ;0
(3) 111)()( 444 yxyxyxyuyfuf (4)
Thay x=y4+1 vào (2) ta được
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
14
016)1(121 2424 yyyyy
016)1(212 24548 yyyyyyy
042 258 yyyy
0)42( 47 yyyy
042
1100
47
4)4(
yyy
xy
Cách 1: giải pt 042 47 yyy
Xét hàm f(y)= 42 47 yyy ( 0y )
f’(y)=7y6+8y
3+1>0 0y
f(y) đồng biến 0y
Nên nếu f(y)=0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy g(1)= 04121411.21 47 y=1 là nghiệm
Với y=1 thế vào (4) ta được x= 2114
Kết luận hệ pt đã cho có hai nghiệm:
1
2
0
1
y
x
y
x
Cách 2: giải pt 042 47 yyy
Vì ta nhẫm y=1 là nghiệm nên ta thêm bớt có dạng y-1
044333333 22334455667 yyyyyyyyyyyyy
044333333 22334455667 yyyyyyyyyyyyy
0)1(4)1(3)1(3)1(3)1()1()1( 23456 yyyyyyyyyyyyy
0)4333)(1( 23456 yyyyyyy
Nếu không biết thêm bớt thì ta chia horne
Hệ số Mũ 7 Mũ 6 Mũ 5 Mũ 4 Mũ 3 Mũ 2 Mũ 1 Hằng số
Nghiệm 1 0 0 2 0 0 1 -4
1 1 1 1 3 3 3 4 0
04333004333
211101
2345623456
4)4(
yyyyyynênyvìnghiêmVôyyyyyy
xyy
Kết luận hệ pt đã cho có hai nghiệm:
1
2
0
1
y
x
y
x
Đại học khối B_năm 2013
7)
)2(4244
)1(012332
22
22
yxyxxyx
yxxyyx Ryx ,
ĐS:
2
1
1
0
y
x
y
x
Hướng dẫn
Cách 1:
x +
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
15
Điều kiện:
04
02
yx
yx
(1) 012332 22 yyxxyx
012)33(2 22 yyxyx
= 222222)1(1281689189)12.(2.433 yyyyyyyyyy
2
1
4
22
2.2
)1(33
14
44
2.2
133
yyyyx
yyyy
x
12
1
xy
xy
Cách 2:
Cần tìm nhân tử y=ax+b
Cho y=1 )1(
011.21332 22 xxx 22x =0 x=0 A(0,1)
Cho y=0 )1(
0132 2 xx
2
1
1
x
x
B1(-1,0); B2
0;
2
1
A(0,1) y=ax+b 1=b
B1(-1,0) y=ax+b 0= ba a=b=1
y=x+1 x-y+1=0
Bây giờ ta thêm bớt có dạng x-y-1
(1) 012332 22 yyxxyx
01222 22 yxyyxyxxyx
01)1()1(2 yxyxyyxx
0)12)(1( yxyx
012
01
yx
yx
12
1
xy
xy
Trường hợp 1: 1 xy (3)
Thế (3) vào điều kiện ta được
0)1(4
012
xx
xx
045
013
x
x
5
4
3
1
x
x
3
1x
Thế (3) vào (2) ta được
)1(4124)1(4 22 xxxxxxx
45134124 22 xxxxxx
451333 2 xxxx
Nhận xét
Ta thấy x=0 thì Vế trái=Vế phải=3 có nhân tử chung là x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
16
Mặt khác x=1 thì Vế trái=Vế phải=5 có nhân tử chung là x-1
có nhân tử chung là x(x-1)=x2-x
Làm ngoài nháp như sau:
Ta tìm 13 x +ax+b=0
Cho x=0 b=-1
Cho x=1 2+a+b=0a=-1
Vậy phải thêm bớt 13 x -x-1
Ta tìm 45 x +cx+d=0
Cho x=0 2+d=0 d=-2
Cho x=1 3+c+d=0c=-1
Vậy phải thêm bớt 13 x -x-2
2451132133 2 xxxxxxxx
)2(45)1(1333 2 xxxxxx
245
)2(45
113
)1(1333
222
xx
xx
xx
xxxx
245
4445
113
121333
222
xx
xxx
xx
xxxxx
245113
)(322
2
xx
xx
xx
xxxx
0245113
)(322
2
xx
xx
xx
xxxx
0245113
)(322
2
xx
xx
xx
xxxx
0245
1
113
13)( 2
xxxxxx
)(0245
1
113
13
2111
11000
)3(
)3(
2
nghiêmvôxxxx
yx
yxxx
(So với đk 3
1x ta nhận nghiệm x=0; x=1)
Vì 3
1x thì
245
1
113
13
xxxx>0
Trường hợp 1: 12 xy (4)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
17
Thế (4) vào điều kiện ta được 4
1
9
4
4
1
049
014
0)12(4
0122
x
x
x
x
x
xx
xx
Thế (4) vào (2) ta được )12(41224)12(4 22 xxxxxxx
491441444 22 xxxxxx
491433 xxx
Nhận xét ta thấy x=0 thì vế trái=vế phải=3
Ta tìm 14 x +a=0
Cho x=0 a=-1
Phải thêm bớt 114 x
Ta tìm 49 x +b=0
Cho x=0 b=-2
Phải thêm bớt 249 x
2491142133 xxx
249
249
114
1143
22
x
x
x
xx
03249
9
114
4
x
x
x
x
x
03249
9
114
4
xxx
Vì 3249
9
114
4
xx>0
0 x thế vào (4) ta được y=1
Kết luận hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
2
1
1
0
y
x
y
x
Đại học khối D_năm 2013
8) 22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Cách 1:
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
18
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
112)(log
2
1
1.
2
11loglog 2
22
2
2 xxxx
1)1(log1loglog 2
22
2
2 xxx 1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx 2
2 1 1 1 (*)
x x x
Đặt 1 t x tx 1 2)1( tx (0< t < 1)
(*) 4 2 4 3 21 1 5 6 5 1 0 t t t t t t t
Pt có dạng 0234 abxcxbxax
Cách giải:
Chia hai vế cho x2
01
.1
2
2 x
ax
bcbxax
011
2
2
c
xxb
xxa (*)
Đặt x
xt1
đk 22 tt
2
22 11..2
xxxxt 2
1 2
2
2 tx
x
(*) 0)2( 2 cbtta ….
2
2
1 15 6 0 (**)
t t
t t
Đặt 1
2 u t ut
lưu ý vì t>0 nên ta không ghi t 2 và t<1 t 1 nên u 2 nên không
ghi 2u
2
2
2
22 12
11..2
tt
ttttu 2
1 2
2
2 ut
t
(**) 06522 uu 2 5 4 0 4 u u u (vì u>2)
Vậy 21
4 4 1 0 2 3 t t t tt
vì (0 < t < 1)
Nghĩa là 1 2 3 3 1 4 2 3x x x
Cách 2:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
19
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
)22(log
2
1
1.
2
11loglog 22
2
2 xxxx
)22(log1loglog 22
2
2 xxxx
)22(1loglog 2
2
2 xxxx
)22(12 xxxx
)1(212 xxxx
22 )1(21 xxxx
211
2
2
x
x
x
x
0211
2
2
x
x
x
x
Đặt t=x
x
1 (t>0)
Pt t2-t-2=0
nhânt
loait
2
1
21
2
x
xt xx 22 xx 22 xx 24
324
324
324
2
048
2
24
02
22
x
loaix
nhânx
x
xx
x
xx
x
So với đk 0< x < 1 ta nhân nghiệm 324x
Cách 3:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
20
112)(log
2
1
1.
2
11loglog 2
22
2
2 xxxx
1)1(log1loglog 2
22
2
2 xxx
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
2
2 1 1 1 (*)
x x x
Đặt 1 t x tx 1 2)1( tx (0< t < 1)
(*) 4 2 4 3 21 1 5 6 5 1 0 t t t t t t t (**)
Phân tích ))((1565 22234 dcttbatttttt
bdtbcadtacdbtcattttt )()()(1565 234234
1
5
6
5
bd
bcad
acdb
ca
Cho b=1d=1
5
611
5
ca
ac
ca
045
5
4)5(
5
4
52 aa
ac
aa
ac
ac
ca
4
1
5
a
a
ac
Ta chọn a= 1 c= 4
Lưu ý nếu ta cho b=1d=1 mà giải vô nghiệm thì ta cho b= 1 d= 1 rồi giải lại tìm a, c
Vậy ta được )14)(1(1565 22234 tttttttt
(**) 0)14)(1( 22 tttt
32
32014
)(01
2
2
t
ttt
nghiêmVôtt
So với đk 0<t<1 ta nhận 32t
1 2 3 3 1 4 2 3x x x
Cách 4:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
21
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
112)(log
2
1
1.
2
11loglog 2
22
2
2 xxxx
1)1(log1loglog 2
22
2
2 xxx
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
2
2 1 1 1 (*)
x x x
Đặt 1 t x tx 1 2)1( tx (0< t < 1)
(*) 4 2 4 3 21 1 5 6 5 1 0 t t t t t t t
01444 223234 tttttttt
01)1(4)1( 2222 tttttttt
0)14)(1( 22 tttt
32
32014
)(01
2
2
t
ttt
nghiêmVôtt
So với đk 0<t<1 ta nhận 32t
1 2 3 3 1 4 2 3x x x
Cách 5:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0 0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
112)(log
2
1
1.
2
11loglog 2
22
2
2 xxxx
1)1(log1loglog 2
22
2
2 xxx
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
22
1)1(1loglog 2
2
2
2 xxx
2
2 1 1 1 (*)
x x x
Đặt 1 t x tx 1 2)1( tx (0< t < 1)
(*) 4 2 4 3 21 1 5 6 5 1 0 t t t t t t t
01444 223234 tttttttt
014)14()14( 2222 tttttttt
0)1)(14( 22 tttt
32
32014
)(01
2
2
t
ttt
nghiêmVôtt
So với đk 0<t<1 ta nhận 32t
1 2 3 3 1 4 2 3x x x
Cách 6:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
)22(log
2
1
1.
2
11loglog 22
2
2 xxxx
)22(log1loglog 22
2
2 xxxx
)22(1loglog 2
2
2 xxxx
)22(12 xxxx
Đặt t= x x=t2 0<t<1
(*) )22)(1( 24 tttt
tttttt 2222 2324
0243 234 tttt (**)
Phân tích ))((243 22234 dcttbatttttt
bdtbcadtacdbtcattttt )()()(243 234234
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
23
2
4
3
1
bd
bcad
acdb
ca
TH1: b=1d= 2
42
321
1
ca
ac
ca
)3(42
)2(2
)1(1
ca
ac
ca
Từ (1), (2)
2
1
c
a thế vào (2) ta thấy thỏa
Lưu ý: Nếu không có nghiệm (thế a=…; c=… vào (2) không thỏa)
thì ta làm TH2: 1b 2 d rồi giải lại như trên
(**) 0243 234 tttt
0221 22 tttt
31
31022
01
2
2
t
ttt
nghiêmVôtt
so với đk 0<t<1 ta được nghiệm 31t 31 x
231 x = 324 so với đk 0<x<1 ta nhận x= 324
Cách 7:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
)22(log
2
1
1.
2
11loglog 22
2
2 xxxx
)22(log1loglog 22
2
2 xxxx
)22(1loglog 2
2
2 xxxx
)22(12 xxxx
Đặt t= x x=t2 0<t<1
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
24
(*) )22)(1( 24 tttt
tttttt 2222 2324
0243 234 tttt
0222222 223234 tttttttt
0)1(2)1(2)1( 2222 tttttttt
0221 22 tttt
31
31022
01
2
2
t
ttt
nghiêmVôtt
so với đk 0<t<1 ta được nghiệm 31t 31 x
231 x = 324 so với đk 0<x<1 ta nhận x= 324
Cách 8:
22log2
11loglog2
2
2
12 xxxx
Đk :
0
1
0
0
01
0
x
x
x
x
x
x
0< x < 1
Pt 22log2
11loglog2
2
11
222 xxxx
)22(log
2
1
1.
2
11loglog 22
2
2 xxxx
)22(log1loglog 22
2
2 xxxx
)22(1loglog 2
2
2 xxxx
)22(12 xxxx
Đặt t= x x=t2 0<t<1
(*) )22)(1( 24 tttt
tttttt 2222 2324
0243 234 tttt
0222222 223234 tttttttt
022)22()22( 2222 tttttttt
0122 22 tttt
31
31022
01
2
2
t
ttt
nghiêmVôtt
so với đk 0<t<1 ta được nghiệm 31t 31 x
231 x = 324 so với đk 0<x<1 ta nhận x= 324
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
25
Đại học khối A_năm 2012
9) Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
(x, y R).
Giải:
Cách 1
Hệ pt
12
1
2
1
12121331212133
22
2223
yx
yyyyxxxx
)2(12
1
2
1
)1()1(12)1()1(12)1(
22
33
yx
yyxx
Từ (2)
12
1
12
1
2
2
y
x
12
11
12
11
y
x
2
11
2
11
2
11
2
11
y
x
2
1
2
3
2
3
2
1
y
x
12
111
2
3
12
311
2
1
y
x
2
31
2
1
2
11
2
3
y
x
Xét hàm số: f(t)=t3-12t trên
2
3;
2
3
f’(t)= 123 2 t = )4(3 2 t <0 f(t) nghịch biến
(1) )1()1( yfxf 11 yx 2 xy (3)
Thay (3) vào (2) ta được
12
12
2
122
xx
12
3
2
122
xx 1
4
93
4
1 22 xxxx
012
542 2 xx 0
2
342 2 xx
2
12
2
3
2
3
2
32
2
1
2
1
)3(
)3(
yx
yx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
26
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm:
2
1
2
3
2
3
2
1
y
x
y
x
Cách 2: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
(x, y R).
Đặt ty
Hệ pt
2
1)(
)(9)(3)(2293
22
2323
txtx
tttxxx
2
1)(
932293
22
2323
txtx
tttxxx
2
1)(
0229933
22
2233
txtx
txtxtx
2
1)(
022)(9)(3
22
2233
txtx
txtxtx
Đặt
txP
txS
.
PStx
PSStx
2
3
222
333
Hệ pt
2
12
0229)2(33
2
23
SPS
SPSPSS
1242
0229633
2
23
SPS
SPSPSS
)2(4
122
)1(0229633
2
23
SSP
SPSPSS
Thế (2) vào (1) ta được
02294
12263
4
1223
22
23
S
SSSS
SSS
08836612121212234 2223 SSSSSSSS
082483664 233 SSSSS
0824562 23 SSS
Bấm máy ta được nghiệm =2 nên ta chia horne
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
27
-2 6 -45 82
2 -2 2 -41 0
0)4122)(2( 2 SSS
)(04122
202
2 nghiêmVôSS
SS
Thế S=2 vào (2) ta được 4
3
4
12.22.2 2
P
4
3
2
xtP
txS
x,t là nghiệm của pt X2-SX+P=0 X
2-2X+ 0
4
3
2
1
2
3
2
1
X
X
2
3
2
1
2
1
2
3
t
x
t
x
2
3
2
1
2
1
2
3
y
x
y
x
Kết luận hệ pt đã cho có 2 nghiệm:
2
3
2
1
2
1
2
3
y
x
y
x
Đại học khối B_năm 2012
10) Giải bất phương trình 21 4 1 3 .x x x x (*)
ĐS: 0 1
4x hay x 4.
Giải:
ĐK:
0
3232
0
0142
x
xx
x
xx 320 x v 32 x
xét x=0 ta thấy là nghiệm của pt
Với x>0, ta chia hai vế của bpt cho x
(*) 3141 2
x
xx
xx
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
28
3141 2
x
xx
xx
31
41
x
xx
x
3411
x
xx
x (**)
Bước 4: Đặt t=x
x1
x
xxx
xxt1
211
.2)(
2
22
2
1 2 tx
x
(**) 3422 tt tt 362
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
22
2
)3(6
03
06
03
tt
t
t
t
22 696
3
66
3
ttt
t
tt
t
156
3
3
t
t
t
2
5
3
3
t
t
t
2
5 t
2
51
xx (***)
Đặt a= x xa 2 (a>0)
(***)2
51
aa vì (a>0) nên aa
2
512 01
2
52 aa 22
1 aa
22
1 xx 2
22
2
1 xx 4
4
1 xx
Giao với đk 320 x v 32 x ta được 4
10 x 4 x là nghiệm của bất phương trình
Cách 2: 21 4 1 3 .x x x x (*)
Đặt t= x 2tx (t0)
(*) tttt 3141 242
01413 242 tttt
0142262 242 tttt
0142252 242 ttttt
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
29
04164252 242 ttttt
04164
4164252
24
2242
ttt
ttttt 0
4164
4174252
24
242
ttt
tttt
04164
41041025104104252
24
2232342
ttt
tttttttttt
04164
)252(2)252(10)252(2252
24
22222
ttt
tttttttttt
04164
21021252
24
22
ttt
tttt
Vì t0 ttt
tt
4164
21021
24
2
>0 0252 2 tt 22
1 tt
22
1 xx 2
22
2
1 xx 4
4
1 xx
Giao với đk 320 x v 32 x ta được 4
10 x 4 x là nghiệm của bất phương trình
Đại học khối D_năm 2012
11) Giải hệ phương trình:
)2(022
)1(02
2223 yxyyxyxx
xxy (x, y R)
ĐS: 1
1
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
Giải:
Cách 1:
Phân tích yxyyxyxx 22 2223 )( 2exdycbyax
yxyyxyxx 22 2223 cdyadxybdycexybexaex 2223
1
2
1
1
1
2
cd
ad
bd
ce
be
ae
Chọn a=1 )1( e=2
)2( b=2
1
)4(2d
)5(1a
Lưu ý: 2 số này phải
giống nhau
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
30
)3(
2
1c
)6(
2
1c
yxyyxyxx 22 2223 )22(2
1
2
1 2xyyx
)(12 2xyyx
Lưu ý: Nếu chọn e=2 thì làm vẫn ra
(2) 012 2 xyyx
0
012
2xy
yx
)4(
)3(12
2xy
xy
Trường hợp 1: y=2x+1 (3)
Thế (3) vào (1) ta được: 02)12( xxx 0222 2 xx
52
51
52
51
)3(
)3(
yx
yx
Trường hợp 2: )4(2xy
Thế (4) vào (1) ta được: 02. 2 xxx 023 xx
Bấm máy ta được nghiệm =1 nên ta chia horne
1 0 1 2
1 1 1 2 0
)(02
11010)2)(1(
2
)4(
2
nghiêmVôxx
yxxxxx
Kết luận hệ pt đã cho có 3 nghiệm: 1
1
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
Cách 2:
)2(022
)1(02
2223 yxyyxyxx
xxy
(2) 0)12()12(2 xyyyxx
0)12()12(2 yxyyxx
0))(12( 2 yxyx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
31
012 2 yxyx
0
012
2 yx
yx
)4(
)3(12
2xy
xy
Trường hợp 1: y=2x+1 (3)
Thế (3) vào (1) ta được: 02)12( xxx 0222 2 xx
52
51
52
51
)3(
)3(
yx
yx
Trường hợp 2: )4(2xy
Thế (4) vào (1) ta được: 02. 2 xxx 023 xx
022223 xxxxx
0)1(2)1()1(2 xxxxx
)(02
11010)2)(1(
2
)4(
2
nghiêmVôxx
yxxxxx
Kết luận hệ pt đã cho có 3 nghiệm: 1
1
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
Cách 3:
)2(022
)1(02
2223 yxyyxyxx
xxy
(2) 022 2223 yxyyxxyx
0)(2 222 yxyxyyxx
0)12)(( 2 yxyx
0
012
2 yx
yx
)4(
)3(12
2xy
xy
Trường hợp 1: y=2x+1 (3)
Thế (3) vào (1) ta được: 02)12( xxx 0222 2 xx
52
51
52
51
)3(
)3(
yx
yx
Trường hợp 2: )4(2xy
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
32
Thế (4) vào (1) ta được: 02. 2 xxx 023 xx
022223 xxxxx
0)1(2)1()1(2 xxxxx
)(02
11010)2)(1(
2
)4(
2
nghiêmVôxx
yxxxxx
Kết luận hệ pt đã cho có 3 nghiệm: 1
1
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
Cách 4:
)2(022
)1(02
2223 yxyyxyxx
xxy
Ta thấy x=0 không là nghiệm của pt(1) vì 020.0 y 02 là vô lí
x 0 nên từ (1)x
xy
2 (3)
Thay (3) vào (2) ta được: 022
222
2
2
223
x
x
x
xx
x
xx
x
xxx
022
2442
22
2223
x
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
022.244.)2(..2 222223 xxxxxxxxxxxxxx
022244)2(2 22435 xxxxxxxxxx
02244422 23224435 xxxxxxxxxx
046222 245 xxxx
023245 xxxx
Nhẫm nghiệm ta thấy x=1 là nghiệm của pt vì 041.61.21.21.2 245 là đúng
Nên ta chia horne
1 1 0 -1 -3 2
1 1 2 2 1 -2 0
0)222)(1( 234 xxxxx
)4(0222
1101
234
)3(
xxxx
yxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
33
Giải pt 0222 234 xxxx
Phân tích
222 234 xxxx bdxbcadxacdbxcaxdcxxbaxx )()()())(( 23422
2
1
2
2
bd
bcad
acdb
ca
TH1: b=1d 2
)3(12
)2(3
)1(2
ca
ac
ca
Từ (1) và (2)
3
5
3
1
c
a
thế vào (2) ta thấy không thỏa
TH2: b=-1d=2
)3(12
)2(1
)1(2
ca
ac
ca
Từ (1) và (2)
1
1
c
a thế vào (2) ta thấy thỏa
(4) 021 22 xxxx
)(02
52
51
52
51
01
2
)3(
)3(
2
VNxx
yx
yx
xx
Kết luận hệ pt đã cho có 3 nghiệm: 1
1
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
hay
1 5
2
5
x
y
Đại học khối A_năm 2011
12) Giải hệ phương trình:
)2(2)(
)1(0)(2345
222
322
yxyxxy
yxyxyyx (x, y R).
Giải:
Cách 1:
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
34
Đặt
yxS
xyP
(2) 22 2)2( SPSP 222 22 SPPS 0)1(2 222 PSPS
0)1)(1(2)1(2 PPPS 0)1(2)1( 2 PSP
022
01
2 PS
P
022
1
2 PS
P
TH1: P=1 1 xyx
y1
(3)
Thế (3) vào (1) ta được 01
21
.31
.41
.5
32
2
xx
xxx
xx
02
234
53
x
xxx
x 022345 2424 xxxx 0363 24 xx 12 x
11
11
11
11
)3(
)3(
yx
yx
TH2: 202022 22222 yxyxPS (4)
(2) 0)(24233 2232 yxxyyxyyx 0)(242)(3 2222 yxxyyxyxy
(5)
Thay (4) vào (5) ta được 0)(2422.3 22 yxxyyxy 022426 22 yxxyyxy
04242 22 yxxyyx 04)12(22 22 yxyyx
222422422 1214481444.212' yyyyyyyyy
yy
yyx
yy
yyx
22
)12(12
1
2
)12(12
22
22
yx
xy
2
1
Với xy=1 đã giải TH1 rồi
Với yx 2 (6)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
35
Thay (6) vào (4) ta được: 22 22 yy 24 22 yy 25 2 y
5
102
5
10
5
102
5
10
)6(
)6(
xy
xy
Kết luận hệ pt đã cho có 4 nghiệm
5
10
5
102
5
10
5
102
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
)2(2)(
)1(0)(2345
222
322
yxyxxy
yxyxyyx (x, y R).
Cách 2:
(2) xyyxyxxy 22)( 2222 022)()( 2222 xyyxyxxy
0)1(2)1(22 xyxyyx 021 22 yxxy
2
1
02
01
2222 yx
xy
yx
xy
TH1: P=1 1 xyx
y1
(3)
Thế (3) vào (1) ta được 01
21
.31
.41
.5
32
2
xx
xxx
xx
02
234
53
x
xxx
x 022345 2424 xxxx 0363 24 xx 12 x
11
11
11
11
)3(
)3(
yx
yx
TH2: 222 yx (4)
(2) 0)(24233 2232 yxxyyxyyx 0)(242)(3 2222 yxxyyxyxy (5)
Thay (4) vào (5) ta được 0)(2422.3 22 yxxyyxy 022426 22 yxxyyxy
04422 22 yxyxyx 0)1(4)1(2 xyyxyx 0)42)(1( yxxy
yx
xy
42
01
yx
xy
2
1
Với xy=1 đã giải TH1 rồi
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
36
Với yx 2 (6)
Thay (6) vào (4) ta được: 22 22 yy 24 22 yy 25 2 y
5
102
5
10
5
102
5
10
)6(
)6(
xy
xy
Kết luận hệ pt đã cho có 4 nghiệm
5
10
5
102
5
10
5
102
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
Đại học khối B_năm 2011
13) Giải phương trình 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x (1) (x R).
Giải:
Cách 1
Điều kiện: 22
04
02
02
2
x
x
x
x
(*)
(1) xxxxx 310)2)(2(42223 (2)
Đặt t= xx 222 )2(4)2)(2(422 xxxxt xxxt 310)2)(2(42
23)2( tt
3
0032
t
ttt
TH1: t=0 xx 222 =0 xx 222 )2(42 xx xx 482 65 x
5
6 x thỏa mãn điều kiện (*)
TH2: 3t xx 222 =3 3222 xx
Vô nghiệm vì 22 x ; 3322 x
Kết luận pt đã cho có nghiệm 5
6x
Cách 2: 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x (1)
Điều kiện: 22
04
02
02
2
x
x
x
x
(*)
xxxxx 310)2)(2(42223
xxxxx 310)2)(48(24823 (2)
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
37
Đặt
xb
xa
48
2
xb
xa
48
2
2
2
xba 31022 ( 40;20 ba )
(2) 222)(3 baabba
2)()(3 baba 0)()(3 2 baba 0)(3)( baba
0)(3
0
ba
ba
3ba
ba
TH1: a=b xx 482 xx 482 65 x5
6 x thỏa mãn điều kiện (*)
TH2: 3 ba vô nghiệm vì 33;2 ba
Kết luận pt đã cho có nghiệm 5
6x
Cách 3: 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x (1)
Điều kiện: 22
04
02
02
2
x
x
x
x
(*)
Đặt u = 2 x và v = 2 x (u, v 0) xvu 3104 22
)1(
)3(4
)2(4463
22
22
vu
vuuvvu
064)34()2( 22 vvuvu
9241692416)64(434 2222 vvvvvvv
322
334
22
334
vv
u
vv
u
TH1: u = 2v thế vào (3) v2 =
4
5 suy ra: 2 – x =
4
5 x =
6
5
TH2: u = 2v + 3 thế vào (3) (2v + 3)2 + v
2 = 4 5v
2 + 12v +5 = 0
)(5
116
)(5
116
loaiv
loaiv
(vì v
0)
Kết luận pt đã cho có nghiệm 5
6x
Cách 4: 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x (1)
Điều kiện: 22
04
02
02
2
x
x
x
x
(*)
(1) xxxxxx 482)2)(48(248323
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
38
0)48()2)(48()2()2)(48(48323 xxxxxxxx
0)482(48)248(2)482(3 xxxxxxxx
0)482(48)482(2)482(3 xxxxxxxx
0)4823)(482( xxxx
)3(2483
)2(482
04823
0482
xx
xx
xx
xx
(2) xx 482 65 x5
6 x thỏa mãn điều kiện (*)
(3) xxx 2484869
15548 xx ptVNptVN
x
xx
x
xx
x
3
02177125
3
)155(48
0155
22
Kết luận pt đã cho có nghiệm 5
6x
Cách 5: 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x (1)
Điều kiện: 22
04
02
02
2
x
x
x
x
(*)
Bấm máy ta được nghiệm x=1.2 tức là=5
6
Nên ta nhân 2 vế của pt cho 5 (vì mẫu của nghiệm là 5)
xxxxx 1550)2)(2(20230215
Cần phân tích pt có dạng
cbaxcxbxax 1550420230215 2
Tìm a=? biết ax 215 =0 và nghiệm x=5
6
Thế x=5
6 vào ta được 5120
5
62.15 aa
Tìm b=? biết bx 230 =0 và nghiệm x=5
6
Thế x=5
6 vào ta được 0
5
6230 b 512 b
Tìm c=? biết cx 2420 =0 và nghiệm x=5
6
Thế x=5
6 vào ta được 320
5
6420
2
cc
(1) xxxxx 1550)2)(2(20230215
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
39
32155032420512230512215 2 xxxx
01815)845(4)5225(6)5425(3 2 xxxx
0)65(384
64)4(254
5225
20)2(256
5425
80)2(253
2
2
x
x
x
x
x
x
x
0)65(384
36254
5225
25306
5425
30253
2
2
x
x
x
x
x
x
x
0)65(384
)56)(56(4
5225
)56(30
5425
)65(15
2
x
x
xx
x
x
x
x
0)65(384
)56)(65(4
5225
)65(30
5425
)65(15
2
x
x
xx
x
x
x
x
0384
4
5225
30
5425
1565
2
xxxx
03
84
4
5225
30
5425
15
065
2xxx
x
)(84
43
5225
30
5425
15
(*))(5
6
2nghiêmVô
xxx
đkthoax
5
6 x
Vì 335225
30
5425
15
xxVT ; VP=
2
1
8
4
84
4
2
x<3
Kết luận pt đã cho có nghiệm 5
6x
Đại học khối D_năm 2011
14) Rxxxx 0211log8log2
1
2
2 (1)
Giải:
Cách 1
ĐK: 11
1
1
2222
01
01
08 2
x
x
x
x
x
x
x
(1) 02log211log8log 22
2
2 1 xxx
02log11log8log 2
22
2
2 xxx
4log11log8log 22
2
2 xxx
4.11log8log 2
2
2 xxx
4.118 2 xxx
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
40
16.118222 xxx
16.1)1)(1(211664 42 xxxxxx
16.1221664 242 xxx (2)
Đặt t= 21 x 2222 11 txxt ( t 0) (3)
(2) 16).22()1()1(1664 222 ttt
tttt 323221161664 422
0173214 24 ttt
Bấm máy ta thấy t=1 là nghiệm của pt nên ta chia horne
1 0 14 -32 17
1 1 1 15 -17 0
0)1715)(1( 23 tttt
Bấm máy ta thấy t=1 là nghiệm của pt nên ta chia horne
1 1 15 -17
1 1 2 17 0
0)172)(1)(1( 2 tttt
0)172()1( 22 ttt
)(0172
0010)1(
2
2)3(2
nghiêmVôtt
xxtt so với đk ta nhận x=0
Kết luận pt đã cho có nghiệm x=0
Cách 2
Rxxxx 0211log8log2
1
2
2 (1)
ĐK: 11
1
1
2222
01
01
08 2
x
x
x
x
x
x
x
(1) 02log211log8log 22
2
2 1 xxx
02log11log8log 2
22
2
2 xxx
4log11log8log 22
2
2 xxx
4.11log8log 2
2
2 xxx
4.118 2 xxx
16.118222 xxx
16.1)1)(1(211664 42 xxxxxx
16.1221664 242 xxx (2)
Đặt t=21 x 2222 11 txxt ( t 0) (3)
(2) 16).22()1()1(1664 222 ttt
tttt 323221161664 422
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
41
0173214 24 ttt (4)
Phân tích 173214 24 ttt ))(( 22 dcttbatt = bdtbcadtacdbtcat )()()( 234
17
32
14
0
bd
bcad
acdb
ca
TH1: b=1d=17
)3(3217
)2(4
)1(0
ca
ac
ca
Từ (1) và (2)
2
2
c
a thế vào (2) ta thấy thỏa
(4) 0)172)(12( 22 tttt
)(0172
001012
2
2)3(2
nghiêmVôtt
xxttt so với đk ta nhận x=0
Nều TH 1 mà không thỏa thì ta giải TH2: 171 db rồi giải tiếp như trên (TH 2 này VN)
Kết luận pt đã cho có nghiệm x=0
Cách 3
Rxxxx 0211log8log2
1
2
2 (1)
ĐK: 11
1
1
2222
01
01
08 2
x
x
x
x
x
x
x
(*)
(1) 02log211log8log 22
2
2 1 xxx
02log11log8log 2
22
2
2 xxx
4log11log8log 22
2
2 xxx
4.11log8log 2
2
2 xxx
4.118 2 xxx
16.118222 xxx
16.1)1)(1(211664 42 xxxxxx
16.1221664 242 xxx (2)
Đặt t=21 x 2222 11 txxt ( t 0) (3)
(2) 16).22()1()1(1664 222 ttt
tttt 323221161664 422
0173214 24 ttt
01734172422 223234 tttttttt
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
42
0)12(17)12(2)12( 2222 tttttttt
0)172)(12( 22 tttt
)(0172
001012
2
2)3(2
nghiêmVôtt
xxttt so với điều kiện (*) ta nhận x=0
Kết luận pt đã cho có nghiệm x=0
Cách 4
Rxxxx 0211log8log2
1
2
2 (1)
ĐK: 11
1
1
2222
01
01
08 2
x
x
x
x
x
x
x
(*)
(1) 02log211log8log 22
2
2 1 xxx
02log11log8log 2
22
2
2 xxx
4log11log8log 22
2
2 xxx
4.11log8log 2
2
2 xxx
4.118 2 xxx
414414448 2 xxx
041616416162 xxx
041616
161616
41616
1616162
x
x
x
xx
041616
16
41616
162
x
x
x
xx
041616
16
41616
16
xxxx
)(041616
16
41616
16
0
nghiêmVôxx
x
x
Vì
1
1
x
x
32
1
1616
132161632161616161616
32
1
1616
132161632161616161616
xxxx
xxxx
2232
16
1616
16
2232
16
1616
16
x
x 012422221
41616
16
41616
16
xxx
Kết luận pt đã cho có nghiệm x=0
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
43
Đại học khối D_2011
15) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
myxx
mxyxyx
21
)2(2
2
23
Ryx ,
myxx
mxyxyxx
21
22
2
223
myxxx
myxxyxx
212
)2()2(
2
2
mxxyx
mxxyx
21)()2(
))(2(
2
2
Đặt
xxb
yxa
2
2
Tìm đk của b
Cách 1: 4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1..2
2
22
xxxxxb
Cách 2: đặt b=f(x)= xx 2
f’(x)= 12 x
Cho f’(x)=0 12 x =02
1 x
4
1
2
1
2
1
2
12
f
Bảng biến thiên
x -∞
2
1 +∞
f’(x) - 0 +
f(x) +∞ +∞
4
1
Theo bảng biến thiên ta có 4
1)( xf
4
1 b
Hệ pt
mba
mba
21
.
bma
mbmbb
bma
mbbm
bma
mba
21
2
21
)21(
21
. 2
bma
mmbbb
21
22
)2(21
)1()12(2
bma
mbbb
Hệ có nghiệm pt (1) có nghiệm 4
1b
Với 4
1b 2b+1 0 nên (1)
12
2
b
bbm
Xét hàm f(b)= 12
2
b
bb với
4
1b
f’(b)= 2
2
12
122
b
bb
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
44
f’(b)=0 122 2 bb =0
)(2
31
2
32)()(
2
31
loaib
bfnhânb
Bảng biến thiên
x -∞
2
31
2
1
4
1
2
31 +∞
f’(x) - 0 + + + 0 -
f(x)
2
32
8
5 -∞
Theo bảng biến thiên 2
32 m
Kết luận: 2
32m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm
Đại học khối A_2010
16) Giải hệ phương trình
)2(74324
)1(0253)14(
22
2
xyx
yyxx (x, y R).
Giải:
Đk
043
025
x
y
4
3
2
5
x
y
Đặt t= y252
525
22 t
yyt
( 0t )
(1) 032
5)14(
22
t
txx 0
2
65)14(
22
t
txx
01)14(2 22 ttxx ttxx 12).1)2(( 22 (3)
(3) có dạng f(2x)=f(t)
Đặt hàm f(u)= uuuu 32 1
f’(u)=2u2+1>0 Ru
f(u) đồng biến trên R
do đó (3) 2x=t yx 252
yx
x
254
02
2
)4(
2
45
0
2xy
x
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
45
Thế (4) vào (2) ta được: 74322
454
22
2
x
xx
74324
1640254
422
x
xxx
2843816402516 422 xxxx
043832416 24 xxx
Bấm máy ta được nghiệm x=0,5 tức là 2
1
Nên ta thêm bớt có dạng 12 x
043832416 24 axaxx
Tìm a=? biết ax 438 =0 tại x=2
1
Thế x=2
1 vào ta được 8+a=0 a= 8
08438832416 24 xxx
0843852416 24 xxx
0)143(84
1
4
516 22
xxx
0143
14381454
222
x
xxx
0143
428)12(1254 2
x
xxxx
0143
)12(16)12(1254 2
x
xxxx
0143
16)12(5412 2
xxxx
0143
16)12(54
012
2
xxx
x
Giải pt: 2)(2
1012 )4( ynhânxx
Giải pt: 0143
16)12(54 2
xxx (5)
0143
1651048 23
xxxx
143
1651048 23
xxxx