thptdoanket-tanphu.edu.vnthptdoanket-tanphu.edu.vn/files/thanhvien_upload/369/tuyen_tap_bdt.pdf ·...
TRANSCRIPT
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
33 3a b a b
2 2
2. Chứng minh:
2 2a b a b
2 2
3. Cho a + b 0 chứng minh:
3 3
3a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: a b
a bb a
5. Chứng minh: Với a b 1: 2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
6. Chứng minh: 2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c R
7. Chứng minh: 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e
8. Chứng minh: 2 2 2x y z xy yz zx
9. a. Chứng minh:
a b c ab bc ca
; a,b,c 03 3
b. Chứng minh:
22 2 2a b c a b c
3 3
10. Chứng minh: 2
2 2ab c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh: 2 2a b 1 ab a b
12. Chứng minh: 2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh: 4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1a b
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a
2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ca).
b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a
2b
2 + 2b
2c
2 + 2c
2a
2 – a
4 – b
4 – c
4 > 0
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
2
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh: 2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh: 331 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
m mm 1a b
1 1 2b a
, với m Z+
5. Chứng minh: bc ca ab
a b c ; a,b,c 0a b c
6. Chứng minh:
6 9
2 3x y3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh:
4 22
12a 3a 1
1 a.
8. Chứng minh: 1995a 1995 a 1 , a > 0
9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3a 3 a b b c c .
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
c)
1 1 11 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
1x 3
x y y
16. Chứng minh:
a)
2
2
x 22
x 1 ,x R b)
x 86
x 1 , x > 1 c)
2
2
a 54
a 1
17. Chứng minh:
ab bc ca a b c; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y , x , y R
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
3
19. Chứng minh:
a b c 3
b c a c a b 2 ; a , b , c > 0
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)
b. 3a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0
23. Chứng minh: 3 942 a 3 b 4 c 9 abc
24. Cho x 18
y2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
x 2y ,x 1
2 x 1 . Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
3x 1y , x 1
2 x 1 . Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
x 5 1y ,x
3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN.
28. Cho
x 5y
1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
3
2
x 1y
x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
2x 4x 4
f(x)x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của 23
2f(x) x
x , x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x 5
2 . Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , 5
x 52
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1
2 x
5
2 . Định x để y đạt GTLN
37. Cho 2
xy
x 2 . Định x để y đạt GTLN
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
4
38. Cho
2
32
xy
x 2
. Định x để y đạt GTLN
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2 (a
2 + c
2)(b
2 + d
2) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh: sinx cosx 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b
2 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b
2
725
47.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b
2
2464
137.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b
4 2.
7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1a b
2
Lời giải:
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
33 3a b a b
2 2 (*)
(*)
33 3a b a b0
2 2
23a b a b 0
8. ĐPCM.
2. Chứng minh:
2 2a b a b
2 2 ()
a + b 0 , () luôn đúng.
a + b > 0 , ()
2 2 2 2a b 2ab a b
04 2
2
a b0
4 , đúng.
Vậy:
2 2a b a b
2 2.
3. Cho a + b 0 chứng minh:
3 3
3a b a b
2 2
3 3 3a b a b
8 2
2 23 b a a b 0 2
3 b a a b 0 , ĐPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: a b
a bb a
()
() a a b b a b b a a b a a b b 0
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
5
a b a b 0 2
a b a b 0 , ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a b 1: 2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b ()
2 2
1 1 1 10
1 ab 1 ab1 a 1 b
2 2
2 2
ab a ab b0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
2 2
a b a b a b0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
2 2
b a a b0
1 ab 1 a 1 b
2 2
2 2
b a a ab b ba0
1 ab 1 a 1 b
2
2 2
b a ab 10
1 ab 1 a 1 b , ĐPCM.
Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0.
6. Chứng minh: 2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c R
2 2 2
a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM.
7. Chứng minh: 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e
2 2 2 2
2 2 2 2a a a aab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
2 2 2 2a a a a
b c d e 02 2 2 2
. ĐPCM
8. Chứng minh: 2 2 2x y z xy yz zx
2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
2 22
x y x z y z 0
9. a. Chứng minh:
a b c ab bc ca
; a,b,c 03 3
2 2 2a b c ab bc ca
2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
22 2 2a b c a b c
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 23 a b c a b c 2 a b c
22 2 2a b c 2 ab bc ca a b c
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
6
22 2 2a b c a b c
3 3
10. Chứng minh: 2
2 2ab c ab ac 2bc
4
2
2 2aa b c b c 2bc 0
4
2a
b c 02
.
11. Chứng minh: 2 2a b 1 ab a b
2 22a 2b 2 2ab 2a 2b 0
2 2 2 2a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0
2 2 2
a b a 1 b 1 0 .
12. Chứng minh: 2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz
2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 0 (x – y + z)2 0.
13. Chứng minh: 4 4 2 2x y z 1 2x(xy x z 1)
4 4 2 2 2 2x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0
2 2 22 2x y x z x 1 0 .
14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1a b
4
a + b 1 b 1 – a b3 = (1 – a)
3 = 1 – a + a
2 – a
3
a3 + b
3 =
21 1 1
3 a2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a
2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ca).
ab + bc + ca a2 + b
2 + c
2 (a – b)
2 + (a – c)
2 + (b – c)
2
a b c , b a c , c a b
2 2 2a b 2bc c , 2 2 2b a 2ac c , 2 2 2c a 2ab b
a2 + b
2 + c
2 < 2(ab + bc + ca).
b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
22 2a a b c 2a a c b a b c
22 2b b a c 2b b c a a b c
22 2c c a b 2c b c a a c b
2 2 22 2 2a b c a b c a c b b c a
abc a b c a c b b c a c. 2a
2b
2 + 2b
2c
2 + 2c
2a
2 – a
4 – b
4 – c
4 > 0
4a2b
2 + 2c
2(b
2 + a
2) – a
4 – b
4 – 2a
2b
2 – c
4 > 0
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
7
4a2b
2 + 2c
2(b
2 + a
2) – (a
2 + b
2)2 – c
4 > 0
(2ab)2 – [(a
2 + b
2) – c
2]2 > 0 [c
2 – (a – b)
2][(a + b)
2 – c
2] > 0
(c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
a b 2 ab , b c 2 bc , a c 2 ac
2 2 2a b b c a c 8 a b c 8abc .
2. Chứng minh: 2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3a b c 3 abc , 32 2 2 2 2 2a b c 3 a b c
32 2 2 3 3 3a b c a b c 9 a b c 9abc .
3. Chứng minh: 331 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c 0.
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.
3a b c 3 abc , 3 2 2 2ab ac bc 3 a b c
33 2 2 23 31 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
m mm 1a b
1 1 2b a
, với m Z+
m m m m m
m m 1
a b a b b a1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b
2 4 2
5. Chứng minh: bc ca ab
a b c ; a, b, c 0a b c
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
2bc ca abc
2 2ca b ab
, 2bc ba b ac
2 2ba c ac
,
2ca ab a bc
2 2ab c bc
bc ca ab
a b ca b c
.
6. Chứng minh:
6 9
2 3x y3x y 16 ; x,y 0
4 ()
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
8
() 6 9 2 3x y 64 12x y 3 32 3 3 2 3x y 4 12x y
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
3 32 3 3 2 3 2 3x y 4 3x y 4 12x y .
7. Chứng minh:
4 22
12a 3a 1
1 a ()
()
4 4 2 22
1a a a 1 4a
1 a.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:
4 4 22
1a , a , a 1,
1 a
4 4 2 4 4 2 242 2
1 1a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh: 1995a 1995 a 1 () , a > 0
() 1995 1995a 1995a 1995 a 1995 1995a
19951995 1995 1995 1995
1994 soá
a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a
9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6a a b b b c c c a 6 a b c 6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
2 2
a a 1
2ab 2ba b ,
2 2
b b 1
2bc 2cb c ,
2 2
c c 1
2ac 2aa c
Vậy:
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1.
a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1
ab 2b a 1 , ab 2a b 1
ab a b 1 b a 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
x x 1 1 x 1 x y z 3
24x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
9
Tương tự: 24y 4 x 1 y 1 z 1 ;
24z 4 x 1 y 1 z 1
xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3a 3 a b b c c .
3a a b b c c 3 a b b c c
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc.
2b c
bc2
2 22b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a2 2
2 224a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
(1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
1 1 11 1 1 64
a b c
4 21 a a b c 4 a bc1
a a a
4 21 4 ab c
1b b
4 21 4 abc
1c c
1 1 11 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
1x 3
x y y
3
x y y1VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh:
a)
2
2
x 22
x 1 2 2x 2 2 x 1 2 2x 1 1 2 x 1
b)
x 8
x 1 =
x 1 9 9 9x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1
c. 2 2 2a 1 4 2 4 a 1 4 a 1
2
2
a 54
a 1
17. Chứng minh:
ab bc ca a b c; a, b, c 0
a b b c c a 2
Vì : a b 2 ab
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
10
ab ab ab
a b 22 ab ,
bc bc bc
b c 22 bc ,
ac ac ac
a c 22 ac
a b c ab bc ca , dựa vào: 2 2 2a b c ab bc ca .
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2
18. Chứng minh:
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y , x , y R
2 2 2
4 2 2
x x x 1
81 16x 2.4x1 4x
2 2 2
4 2 2
y y y 1
81 16y 2.4y1 4y
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
19. Chứng minh:
a b c 3
b c a c a b 2 ; a , b , c > 0
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
a + b + c = 1
2(X + Y + Z)
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c2 2 2
a b c 1 Y X Z X Z Y3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z
1 3
2 2 2 32 2
.
Cách khác:
a b c a b c1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
1 1 1 1a b b c c a 3
2 b c a c a b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
1 1 1 1 9 3a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
3 3 2 2a b a b a ab a a b ab
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
11
3 3a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự
3 3b c abc b c bc abc bc a b c
3 3c a abc c a ca abc ca a b c
1 1 1 1 a b cVT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)
a b 2 ab , c d 2 cd
4a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd
b. 3a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )
4a b c a b c
a b c 4. abc3 3
4a b c a b c
abc3 3
4a b c a b c
abc3 3
3a b c
abc3
3a b c 3 abc .
22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0
3 2a abc 2a bc , 3 2b abc 2b ac , 3 2c abc 2c ab
3 3 3 2 2 2a b c 3abc 2 a bc b ac c ab
3 3 3 2 2 22 a b c 2 a bc b ac c ab ,
vì : 3 3 3a b c 3abc
Vậy: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab
23. Chứng minh: 3 942 a 3 b 4 c 9 abc Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
3 3 3 94 4 4 4VT a a b b b c c c c 9 abc
24. Cho x 18
y2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: x 18 x 18
y 2 . 62 x 2 x
Dấu “ = ” xảy ra 2x 18x 36 x 6
2 x, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
25. Cho
x 2y ,x 1
2 x 1 . Định x để y đạt GTNN.
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
12
x 1 2 1y
2 x 1 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
x 1 2,
2 x 1:
x 1 2 1 x 1 2 1 5y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2
Dấu “ = ” xảy ra
2 x 3x 1 2x 1 4
x 1(loaïi)2 x 1
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5
2
26. Cho
3x 1y , x 1
2 x 1 . Định x để y đạt GTNN.
3(x 1) 1 3y
2 x 1 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
3 x 1 1,
2 x 1:
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3y 2 . 6
2 x 1 2 2 x 1 2 2
Dấu “ = ” xảy ra
2
6x 1
3 x 1 1 2 3x 1
2 x 1 3 6x 1(loaïi)
3
Vậy: Khi 6
x 13
thì y đạt GTNN bằng 3
62
27. Cho
x 5 1y ,x
3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN.
2x 1 5 1y
6 2x 1 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
2x 1 5,
6 2x 1:
2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3
Dấu “ = ” xảy ra
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
13
2
30 1x
2x 1 5 22x 1 30
6 2x 1 30 1x (loaïi)
2
Vậy: Khi
30 1
x2
thì y đạt GTNN bằng 30 1
3
28. Cho
x 5y
1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 xf(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
Dấu “ = ‘ xảy ra
2x 1 x x 5 5
5 5 x1 x x 1 x 4
(0 < x < 1)
Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi
5 5
x4
29. Cho
3
2
x 1y
x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
3
32 2 2 2 3
x 1 1 x x 1 x x 1 3x 3
2 2 2 2 4x x x x
Dấu “ = ‘ xảy ra 2
x x 1
2 2 x 3x 2 .
Vậy: GTNN của y là 3
3
4 khi 3x 2
30. Tìm GTNN của
2x 4x 4
f(x)x
, x > 0.
2x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8x x x
Dấu “ = ‘ xảy ra 4
xx
x = 2 (x > 0).
Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của 23
2f(x) x
x , x > 0.
3 22 2 2 22 5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5x 5
3 3 3 3 27x x x x
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
14
Dấu “ = ‘ xảy ra 2
53
x 1x 3
3 x x = 2 (x > 0).
Vậy: GTNN của y là 5
5
27 khi 5x 3 .
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
f(x) = –10x2 + 11x – 3 =
22 11x 11 1 1
10 x 3 10 x10 20 40 40
Dấu “ = “ xảy ra 11
x20
Vậy: Khi 11
x20
thì y đạt GTLN bằng 1
40.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN. Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 x 6):
6 x 6 x 2 x 6 x x(6 – x) 9
Dấu “ = “ xảy ra x = 6 – x x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x 5
2 . Định x để y đạt GTLN.
y = (x + 3)(5 – 2x) = 1
2(2x + 6)(5 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
53 x
2:
11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x 1
2(2x + 6)(5 – 2x)
121
8
Dấu “ = “ xảy ra 2x + 6 = 5 – 2x 1
x4
Vậy: Khi 1
x4
thì y đạt GTLN bằng 121
8.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , 5
x 52
. Định x để y đạt GTLN.
y = (2x + 5)(5 – x) = 1
2(2x + 5)(10 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,
5x 5
2:
2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x 1
2(2x + 5)(10 – 2x)
625
8
Dấu “ = “ xảy ra 2x + 5 = 10 – 2x 5
x4
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
15
Vậy: Khi 5
x4
thì y đạt GTLN bằng 625
8
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1
2 x
5
2 . Định x để y đạt GTLN
y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
1 5x
2 2:
2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x (2x + 1)(5 – 2x) 9
Dấu “ = “ xảy ra 2x + 1 = 5 – 2x x = 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
37. Cho 2
xy
x 2 . Định x để y đạt GTLN
2 22 x 2 2x 2x 2 2
1 x
2 2 2 x
1y
2 2
Dấu “ = “ xảy ra 2x 2 và x > 0 x= 2
Vậy: Khi x 2 thì y đạt GTLN bằng 1
2 2.
38. Cho
2
32
xy
x 2
. Định x để y đạt GTLN
32 2 2x 2 x 1 1 3 x .1.1
232 232
x 1x 2 27x
27x 2
Dấu “ = “ xảy ra 2x 1 x 1
Vậy: Khi x 1 thì y đạt GTLN bằng 1
27.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2 (a
2 + c
2)(b
2 + d
2) () BĐT Bunhiacopxki
() 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b 2abcd c d a b a d c b c d
2 2 2 2a d c b 2abcd 0 2
ad cb 0 .
2. Chứng minh: sinx cosx 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
sinx cosx 2 2 2 21. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b
2 7.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b :
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
16
2 23a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b 3a2 + 4b
2 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b
2
725
47.
2 3
2a 3b 3 a 5b3 5
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 2 3
, 3 a , , 5b3 5
:
2 22 3 4 93 a 5 b 3a 5b
3 53 5 3a
2 + 5b
2
735
47.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b
2
2464
137.
3 5
3a 5b 7 a 11b7 11
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 5
, 7 a , , 11b7 11
:
2 23 5 9 25
7 a 11b 7a 11b7 117 11
7a2 + 11b
2
2464
137.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b
4 2.
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
2 22 a b 1 1 a b a2 + b
2 2
2 2 4 42 a b 1 1 a b a4 + b
4 2
7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1a b
2
2 2 2 2 2 2 11 a b 1 1 a b a b
2
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
17
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: 2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3 + y
3 + z
3 x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z + 1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = 5
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A = 4 1
x 4y.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
a b c d
a b c b c d c d a d a b< 2
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2
2
1 21
xx 16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:
a b c a b c a b c
9a b c
8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x
2 + x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
a b c a b c
1 1 1 a b c3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a
2 + b
2 + c
2 = 1. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2b c c a a b
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
18
Cho các số a, b, c thoả:
2 2 2a b c 2
ab bc ca 1
Chứng minh: 4 4 4 4 4 4
a ; b ; c3 3 3 3 3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 12
p a p b p c a b c
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: b c c a a blog a log b log c 1
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi > 1 ta luôn có: x + – 1 ≥ x. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c ab c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
bằng 3 thì: 3a2 + 3b
2 + 3c
2 + 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:
2 2 2
3 3 3a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh
rằng: 8a + 8
b + 8
c ≥ 2
a + 2
b + 2
c
21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
minh rằng:
2 2 2 2 2 2b 2a c 2b a 2c
3ab bc ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
33 3a b a b
2 2
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
19
a) a2 + b
2 + c
2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)
2 ≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = 2 2 2 2 2 2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 3
31 abc
26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3
6x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
c + 1 + b
c + 1 ≥ ab(a
c – 1 + b
c – 1)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
18xyz
2 xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n
n + 1 > (n + 1)
n
30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A = a 1 b 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
khác không: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z
BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c ab c a
33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z1 x 1 y 1 z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x
3 + y
3 + z
3) – (x
2y + y
2z + z
2x) ≤ 3 (*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
20
2 2 2a b c
x y z2R
(a, b, c là các cạnh của ABC, R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5
4. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 4 1
x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức:
2a c b b 50
b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: S = a c
b d.
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
a b c
1 1 1 1 1 13
a b c h h h
39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z 1. Chứng minh rằng:
2 2 22 2 2
1 1 1x y z 82
x y z
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin5x + 3 cosx
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
4p(p a) bc (1)
A B C 2 3 3sin sin sin (2)
2 2 2 8
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a b c
2.
42. (Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 1 1
4x y z
.
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
21
Chứng minh rằng:
1 1 11
2x+y+z x 2y z x y 2z
43. (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x R, ta có:
x x xx x x12 15 20
3 4 55 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra? 44. (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x
3 3xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra? 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: x y z3 4 3 4 3 4 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
2y 9
1 x 1 1x y
256
Đẳng thức xảy ra khi nào? 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 3
4. Chứng minh rằng:
3 3 3a 3b b 3c c 3a 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì 1
x y y x4
.
Đẳng thức xảy ra khi nào? 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
2 2 2x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
50. (Đại học khối A 2006) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x
2 + y
2 – xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 3
1 1
x y.
51. (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 2 22 2x 1 y x 1 y y 2
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
22
LỜI GIẢI
1. (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:
A
y 3x ; z
2 2, B
3 30; y z
2 2, C
y z;0
2 2
Ta có: AB =
222 2y 3
x y x xy y2 2
AC =
222 2z 3
x z x xz z2 2
BC =
222 2y z 3
(y z) y yz+z2 2 2
Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC
2 2 2 2 2 2x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
x3 + y
3 + z
3 3 3 3 33 x y z 2(x
3 + y
3 + z
3) 6
x
3 + 1 + 1 3
3 3x x3 + 2 3x (1)
Tương tự: y3 + 1 + 1 3 33 y y
3 + 2 3y (2)
z3 + 1 + 1 3
3 3z z3 + 2 3z (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cách 1:
Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 3 xyz > 0
3
1 1 1 3
x y z xyz
Từ đó: A 3 3 xyz + 3
3
xyz
Đặt: t = 3 xyz , điều kiện: 0 < t 1
3
Xét hàm số f(t) = 3t + 3
t với 0 < t
1
3
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
23
f(t) = 3 – 2
3
t =
2
2
3(t 1)
t < 0, t
10;
3
Bảng biến thiên:
1
3
Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3
Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1
3.
Cách 2:
Theo BĐT Côsi: 1 x + y + z 3 3 xyz > 0 3
1
xyz 3
x + 1 2
9x 3, y +
1 2
9y 3, z +
1 2
9z 3
Từ đó: A=
1 1 1 8 1 1 1x y z
9x 9y 9z 9 x y z 2 +
3
8 3
9 xyz 10
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =
1
3
4. (CĐSPHCM khối ABT 2006)
Ta có: x + y = 5
4 4x + 4y – 5 = 0
A = 4 1
x 4y =
4 14x+ 4y 5
x 4y A 2
4.4x
x + 2
1.4y
4y – 5
A 5
Dấu "=" xảy ra
44x
x
14y
4y
5x y
4
x,y 0
x 1
1y
4
. Vậy Amin = 5.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:
a c a c1
a b c c d a a c a c
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
24
b d b d1
b c d d a b b d b d
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)2
2
1 21
xx 16 (1) (x + 1)2
21
1x 16
(x + 1)
11
x 4 (do x > 0) (x + 1)
2 4x (x – 1)
2 0 (2)
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = b c a c a b
1 1 1a a b b c c
= 3 +
b a c a c b
a b a c b c
Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
b a b a
2 . 2a b a b
; b c b c
2 . 2c b c b
; c a c a
2 . 2a c a c
Khi đó: VT 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). 8. (CĐKTYTế1 2006) y 0, x
2 + x = y + 12 x
2 + x – 12 0 – 4 x 3
y = x2 + x – 12 A = x
3 + 3x
2 – 9x – 7
Đặt f(x) = A = x3 + 3x
2 – 9x – 7 với – 4 x 3
f(x) = 3x2 + 6x – 9 ; f(x) = 0 x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z 3 3 xyz xyz 3 3 xyz (xyz)2 27 xyz 3 3
Dấu "=" xảy ra x = y = z = 3 .
Vậy minA = 3 3 . 10. (Học viện BCVT 2001)
Ta có hàm số f(x) = x
1
3 là hàm nghịch biến nên:
(a – b)
a b
1 1
3 3 ≤ 0, a, b.
a b a b
a b b a
3 3 3 3, a, b. (1)
Tương tự: b c c b
b c b c
3 3 3 3 (2)
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
25
c a c a
c a a c
3 3 3 3 (3)
Mặt khác: a b c a b c
a b c a b c
3 3 3 3 3 3 (4)
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
a b c a b c
a b c 1 1 13 (a b c)
3 3 3 3 3 3
Hay
a b c a b c
a b c 1 1 13
3 3 3 3 3 3 (vì a + b + c = 1)
Dấu “=” xảy ra a = b = c = 1
3.
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Do a2 + b
2 + c
2 = 1 nên
2
2 2 2 2
a a a
b c 1 a a(1 a ) (1)
Mà 2a2.(1 – a
2)2 ≤
3 32 2 22a (1 a ) (1 a ) 2
3 3
a2.(1 – a
2)2 ≤
4
27 a(1 – a
2) ≤
2
3 3 (2)
Từ (1), (2) suy ra:
22 2
a 3 3a
2b c
Do đó:
2 2 22 2 2 2 2 2
a b c 3 3 3 3(a b c )
2 2b c c a a b
Dấu “=” xảy ra
2 2
2 2
2 2
2a 1 a
2b 1 b
2c 1 c
a = b = c = 1
3.
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Ta có:
2 2 2a b c 2
ab bc ca 1
2 2(a b) 2ab 2 c
c(a b) ab 1
Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt
a b S
ab P (S
2 – 4P ≥ 0)
Ta được hệ:
2 2S 2P 2 c (1)
cS+P =1 (2)
Từ (2) P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
26
S2 – 2(1 – cS) = 2 – c
2 S
2 + 2cS + c
2 – 4 = 0
S c 2
S c 2
Với S = – c – 2 P = 1 + c(c + 2) = c2 + 2c + 1
BĐT: S2 – 4P ≥ 0 (–c – 2)
2 – 4(c
2 + 2c + 1) ≥ 0
–3c2 – 4c ≥ 0
4c 0
3 (3)
Với S = –c + 2 P = 1 – c(–c + 2) = c2 – 2c + 1
BĐT: S2 – 4P ≥ 0 (–c + 2)
2 – 4(c
2 – 2c + 1) ≥ 0
–3c2 + 4c ≥ 0
40 c
3 (4)
Từ (3), (4) ta được: 4 4
c3 3
Tương tự ta chứng minh được: 4 4
a,b,c3 3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:
1 1 4
x y x y (1)
Dấu “=” xảy ra x = y.
Áp dụng (1) ta được:
1 1 4 4
p a p b p a p b c
1 1 4 4
p b p c p b p c a
1 1 4 4
p c p a p c p a b
Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:
1 1 1 1 1 12 4
p a p b p c a b c đpcm
Dấu “=” xảy ra a = b = c. 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x
3, y
2 ta có:
x3 + y
2 ≥ 2 3 2x y 2xy x
3 2
2 x 2 x 1
xy2xy xx y
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 2 2
1 1,
x y ta có:
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
27
2 2
1 1 1 1
xy 2 x y
3 2 2 2
2 x 1 1 1
2x y x y
Tương tự ta cũng có:
3 2 2 2
2 y 1 1 1
2y z y z;
3 2 2 2
2 z 1 1 1
2z x z x
Suy ra: 3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z
Dấu “=” xảy ra
3 2 3 2 3 2x y y z z xvaø vaø
x y y z z x x = y = z = 1
15. (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = alog x là đồng biến
và dương.
Do đó hàm số y = logxa = a
1
log x là nghịch biến.
Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta được:
VT= b c c a a b a b a b a b a blog a log b log c log a log b log c log abc
Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Xét f(x) = x – x + – 1 (x ≥ 0)
f(x) = (x – 1 – 1); f(x) = 0 x = 1
Vậy với x ≥ 0 và > 1 thì f(x) ≥ 0 hay x + – 1 ≥ x.
BĐT cần chứng minh:
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a b c a
Áp dụng BĐT đã chứng minh với = 3
2, ta có:
3
2a 1 3 a.
b 2 2 b;
3
2b 1 3 b.
c 2 2 c;
3
2c 1 3 c.
a 2 2 a
Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
28
3 3 3
2 2 21 a b c 3
2 b c a 2
Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có:
3 3 3
2 2 23 a b c 3 3 a b c 3
2 b c a 2 2 b c a 2
Suy ra:
3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a b c a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
BĐT (*)
a b 1 b a 1
1ab ab
1 1 1 11 1 1
b b a a (1)
Theo BĐT Côsi ta có:
1 11
1 1 1b b1
b b 2 2
1 11
1 1 1a a1
a a 2 2
Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1 1 11
b b 2
1 1 11
a a 2
a = b = 2.
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Do đó theo BĐT Côsi ta có:
(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤
33 2a 3 2b 3 2c
3 = 1
27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 3(a
2 + b
2 + c
2) + 4abc ≥ 3(a
2 + b
2 + c
2) + 6(ab + bc + ca) – 14
= 3(a + b +c)2 – 14 = 13
Đẳng thức xảy ra 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
29
Từ giả thiết ta có: a b
c c = 1 0 <
a b,
c c < 1
2 2
3 3a b a b
c c c c = 1
Từ đó suy ra:
2 2 2
3 3 3a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Đặt x = 2
a, y = 2
b, z = 2
c thì x, y, z > 0.
Đ.kiện a + b + c = 0 xyz = 2a+b+c
= 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x
3 + 1 + 1 ≥ 3x x
3 ≥ 3x – 2
Tương tự: y3 ≥ 3y – 2; z
3 ≥ 3z – 2
x3 + y
3 + z
3 ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
8a + 8
b + 8
c ≥ 2
a + 2
b + 2
c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
b 2a b 2a 1 12.
ab a b a b
Đặt x = 1
a; y =
1
b; z =
1
c thì
giả thiết
a,b,c 0
ab bc ca abc
x,y,z 0
x y z 1
và đpcm 2 2 2 2 2 2x 2y y 2z z 2x 3
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 3(x
2 + 2y
2) = 3(x
2 + y
2 + y
2) ≥ (x + y + y)
2
2 2 1x 2y (x 2y)
3
Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:
2 2 2 2 2 2 1x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3
3
Đẳng thức xảy ra x = y = z = 1
3 a = b = c = 3
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Ta có:
33 3a b a b
2 2 4(a
3 + b
3) ≥ (a + b)
3
(a + b) [4(a2 + b
2 – ab) – (a
2 + b
2 + 2ab)] ≥ 0
(a + b)(3a2 + 3b
2 – 6ab) ≥ 0 (a + b)(a – b)
2 ≥ 0
BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. Đẳng thức xảy ra a = b. 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) a) a
2 + b
2 ≥ 2ab; b
2 + c
2 ≥ 2bc; c
2 + a
2 ≥ 2ca
a2 + b
2 + c
2 ≥ ab + bc + ca.
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
30
Đẳng thức xảy ra a = b = c b) (ab + bc + ca)
2 = (ab)
2 + (bc)
2 + (ca)
2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥
≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Ta có:
2
2 2 22
1
bc bc 1 a1 11 1a b a c a (b c) ab cb c
Đặt x = 1
a; y =
1
b; z =
1
c thì
giả thiết
a, b, c > 0
abc = 1
x,y,z 0
xyz=1 và P =
2 2 2x y z
y z z x x y
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
(y + z + z + x + x + y).P ≥
2x y z
y z. z x. x y.y z z x x y
2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 P ≥
1
2(x + y + z) ≥ 31 1
.3 xyz .32 2
P ≥ 3
2
Nếu P = 3
2 thì x = y = z = 1 a = b = c = 1
Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = 3
2. Vậy minP =
3
2
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥
≥ 1 + 3 3 2 2 23 abc 3 a b c + abc =
331 abc
Đẳng thức xảy ra a = b = c > 0. 26. (ĐH Y HN 2000)
22 2 3 2 3
2 3 . x . y (x y)x y x y
= 6(x + y)
x + y ≥
22 3
6
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
31
Giá trị
22 3
6 đạt được
2
2 3: x : y
x y
2 3x y
6
2( 2 3)x
6
3( 2 3)y
6
Vậy min(x + y) = 5 2 6
6
27. (ĐH An Giang khối D 2000) Giả sử a ≥ b ≥ 0 a
c(a – b) ≥ b
c(a – b) a
c + 1 + b
c + 1 ≥ ab(a
c – 1 + b
c – 1)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1)
và xy + yz + zx ≥ 3 2 2 23 x y z (2)
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz xy + yz + zx >
18xyz
2 xyz (vì 2 +xyz > 0)
29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Ta có: 3
4 = 81, 4
3 = 64 3
4 > 4
3 BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.
Với n > 3, đpcm n >
nn 1
n
n1
1n
< n (1)
Ta có:
n1
1n
= n
kn k
k 0
1C
n =
= 1 +
2 n
n n(n 1) 1 n(n 1)...(n n 1) 1. ... .
n 2! n!n n
= 1 + 1 +
1 1 1 1 2 n 11 ... 1 1 ... 1
2! n n! n n n <
< 1 + 1 + 1 1
...2! n!
< 1 + 1 +
n 1
1 1...
2 2 <
< 1 + 1 +
n 1
1 1...
2 2+ … = 1 +
1
11
2
= 3
n1
1n
< 3 < n (1)
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
32
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a 1, b 1 ), ta có:
A = 1. a 1 1. b 1 ≤ (1 1)(a 1 b 1)
mà a + b = 1 nên A ≤ 6
Dấu “=” xảy ra a 1 b 1 a = b a = b = 1
2 ( do a + b = 1)
Vậy maxA = 6 khi a = b = 1
2
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
BĐT cần chứng minh
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y1 1 1
x x y y z z≥ 9
3 +
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
x x y y z z ≥ 9
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Côsi ta có:
* 2 2 2 2 2 2
32 2 2 2 2 2
a b c a b c3 . . 3
b c a b c a (1)
* 2
2
a a1 2
bb;
2
2
b b1 2
cc;
2
2
c c1 2
aa
2 2 2
2 2 2
a b c a b c2 3
b c ab c a (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c2 2
b c ab c a
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c ab c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Do (x – 1)2 ≥ 0 nên x
2 + 1 ≥ 2x
2
2x
1 x ≤ 1
Tương tự ta cũng có: 2
2y
1 y ≤ 1;
2
2z
1 z ≤ 1
Do đó: 2
2x
1 x +
2
2y
1 y +
2
2z
1 z ≤ 3
Hay: 2 2 2
x y z 3
21 x 1 y 1 z (1)
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
33
33
1 1 1
1 11 x 1 y 1 z
3 (1 x)(1 y)(1 z) (1 x)(1 y)(1 z)
33(1 x)(1 y)(1 z)
1 1 1
1 x 1 y 1 z
≤ (1 x) (1 y) (1 z)
3 ≤ 2
3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x
2 ≥ x
3; y
2 ≥ y
3; z
2 ≥ z
3.
Suy ra: 2(x3 + y
3 + z
3) – (x
2y + y
2z + z
2x) ≤ 2(x
2 + y
2 + z
2) – (x
2y + y
2z + z
2x)
Do đó nếu ta chứng minh được: 2(x
2 + y
2 + z
2) – (x
2y + y
2z + z
2x) ≤ 3 (1)
thì (*) đúng. Ta có: (1 – y)(1 + y – x
2) ≥ 0 x
2 + y
2 – x
2y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra
y 1
x 1
y 0
Tương tự ta cũng có: x2 + z
2 – z
2x – 1 ≤ 0 (3)
y2 + z
2 – y
2z – 1 ≤ 0 (4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2(x
2 + y
2 + z
2) – (x
2y + y
2z + z
2x) ≤ 3
Vậy (1) đúng (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra (x; y; z) (1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
1 1 1
x y z . ax . by . cza b c
≤
1 1 1(ax+by+cz)
a b c
≤
1 1 1.2S
a b c =
1 1 1 abc
a b c 2R =
ab bc ca
2R
≤ 2 2 2a b c
2R
Dấu “=” xảy ra
a b c
x y z
ABC ñeàu
M truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Cách 1: S = 5
1 1 1 1 1 5
x x x x 4y x.x.x.x.4y ≥
5.5
x x x x 4y = 5
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
34
minS = 5
1 1
x 4y
x 4y
5x y
4
x 1
1y
4
Cách 2: S =
4 1
x 5 4x = f(x), 0 < x <
5
4
f(x) = 2 2
4 4
x (5 4x); f(x) = 0
2 2x (5 4x)
50 x
4
x = 1
Lập bảng xét dấu f(x), suy ra minS = 5.
Cách 3: 2 + 1 2 1
x. y.2 x 2 y
≤ 4 1
x y.x 4y
(3)
Dấu “=” ở (3) xảy ra
2 1
x. x 2 y. y
5x y
4
x 4y
5x y
4
x 1
1y
4
(3)
25 5 4 1
.2 4 x 4y
4 1
x 4y ≥ 5
Vậy minS = 5. 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b N) nên c ≥ b + 1 thành thử:
S = a c
b d ≥
1 b 1
b 50 =
2b b 50
50b
Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a 1
d 50
c b 1
Để tìm minS, ta đặt 2b b 50
50b =
b 1 1
50 b 50 và xét hàm số có biến số
liên tục x:
f(x) = x 1 1
50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48)
f(x) =
2
2 2
1 1 x 50
50 x 50x; f(x) = 0
2x 50
2 x 48 x 5 2
Bảng biến thiên:
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
35
5 2
Chuyển về biểu thức f(b) = 2b b 50
50b (2 ≤ b ≤ 48, b N)
Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].
Ta có f(7) =
49 57 53
350 175; f(8) =
64 58 61 53
400 200 175
Vậy minS = 53
175 khi
a 1
b 7
c 8
d 50
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Ta có diện tích tam giác: S = a b c1 1 1
ah bh ch2 2 2
ha = 2S
a; hb =
2S
b ; hc =
2S
c
a b c
1 1 1 1(a b c)
h h h 2S
a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(a b c)
a b c h h h 2S a b c
Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)
1 1 1
a b c≥ 9
và vì S = 3
2, nên ta có:
a b c
1 1 1 1 1 1 93
a b c h h h 3
39. (Đại học khối A 2003)
Với mọi u,v ta có:
u v u v (*)
Đặt
1 1 1a x; ; b y; ; c z;
x y z
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a b c a b c a b c
Vậy P = 2 2 22 2 2
1 1 1x y z
x y z
22 1 1 1
(x y z)x y z
Cách 1:
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
36
Ta có: P
22 1 1 1
(x y z)x y z
22
3 31
3 xyz 3xyz
= 9
9tt
với t = 23( xyz) 0 < t
2x y z 1
3 9
Đặt Q(t) = 9t + 9
t Q(t) = 9 –
2
9
t< 0, t
10;
9Q(t) giảm trên
10;
9
Q(t) Q
1
9 = 82. Vậy P Q(t) 82
Dấu "=" xảy ra x = y = z = 1
3.
Cách 2: Ta có:
(x + y + z)2 +
21 1 1
x y z = 81(x + y + z)
2 +
21 1 1
x y z – 80(x + y + z)
2
18(x + y + z).
1 1 1
x y z – 80(x + y + z)
2 162 – 80 = 82
Vậy P 82
Dấu "=" xảy ra x = y = z = 1
3.
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin
4x + 3 cosx (1)
Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , x R (2)
3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 3 (1 – cosx) – (1 – cos
2x)
2 ≥ 0
(1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ≥ 0 (3)
Theo BĐT Côsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1
2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
≤
31 4 32
32 3 27
Vậy BĐT (3) đúng (2) đúng y ≤ 3 , x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
x = k2. Vậy maxy = 3 .
Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin
4x + 3 cosx.
Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = + k2. 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
(1)
(a b c)(b c a)
1bc
2 2(b c) a
1bc
2bc(1 cosA)
1bc
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
37
2 A 1cos
2 4 2 A 3
sin2 4
A 3
sin2 2
(do 0 < A
2 2) (3)
Biến đổi vế trái của (2) như sau:
A B C 1 A B-C B+Csin sin sin sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 ≤
1 A Asin 1 sin
2 2 2 =
= –
21 A Asin sin
2 2 2 = –
21 A 1 1
sin2 2 2 4
=
21 1 A 1
sin8 2 2 2
Do (3) suy ra:
2A B C 1 1 3 1
sin sin sin2 2 2 8 2 2 2
= 1 1
(4 2 3)8 8
= 2 3 3
8
Dấu “=” xảy ra
0
0
B-Ccos 1
A 1202
A 3 B C 30sin2 2
42. (Đại học khối A 2005) Với a, b > 0 ta có:
4ab (a + b)2
1 a b
a b 4ab
1 1 1 1
a b 4 a b
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có:
1 1 1 1
2x+y+z 4 2x y z
1 1 1 1 1
4 2x 4 y z =
1 1 1 1
8 x 2y 2z (1)
Tương tự:
1 1 1 1
x 2y z 4 2y x z
1 1 1 1 1
4 2y 4 x z =
1 1 1 1
8 y 2z 2x (2)
1 1 1 1
x y 2z 4 2z x y
1 1 1 1 1
4 2z 4 x y =
1 1 1 1
8 z 2x 2y (3)
Vậy:
1 1 1 1 1 11
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz = 1
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3
4.
43. (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
38
x x x x12 15 12 15
2 .5 4 5 4
x x12 15
5 4 2.3
x (1)
Tương tự ta có:
x x12 20
5 3 2.4
x (2)
x x15 20
4 3 2.5
x (3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
1 + x3 + y
3 3 3 33 1.x .y = 3xy
3 31 x y 3
xy xy (1)
Tương tự:
3 31 y z 3
yz yz (2);
3 31 z x 3
zx zx (3)
Mặt khác 33 3 3 3 3 3
3xy yz zx xy yz zx
3 3 3
3 3xy yz zx
(4)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức x = y = z = 1. 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Ta có: 3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4
x 4
4 x4
84x x x3 4 2 4 2 4
Tương tự: 8y y3 4 2 4 ;
8z z3 4 2 4
Vậy x y z3 4 3 4 3 4 2
8 8 8x y z4 4 4 3 8 x y z6 4 .4 .4
6 24 x y z4 = 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Ta có: 1 + x = 1 + 3
43
x x x x4
3 3 3 3
1 + y
x = 1 +
34
3 3
y y y y4
3x 3x 3x 3 x
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
39
1 + 9
y = 1 +
3
43
3 3 3 34
y y y y
26
43
9 31 16
y y
Vậy:
2y 9
1 x 1 1x y
2563 3 6
43 3 3 3
x y 3. .
3 3 x y = 256
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cách 1:
Ta có:
3 a 3b 1 1 1(a 3b).1.1 (a 3b 2)
3 3
3 b 3c 1 1 1(b 3c).1.1 (b 3c 2)
3 3
3 c 3a 1 1 1(c 3a).1.1 (c 3a 2)
3 3
Suy ra: 3 3 3 1a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6
3
1 34. 6
3 4 = 3
Dấu "=" xảy ra
3a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
a = b = c = 1
4
Cách 2:
Đặt x = 3 a 3b x3 = a + 3b; y = 3 b 3c y
3 = b + 3c;
z = 3 c 3a z3 = c + 3a
x3 + y
3 + z
3 = 4(a + b + c) = 4.
3
4 = 3. BĐT cần ch. minh x + y + z 3
Ta có: x3 + 1 + 1 3
3 3x .1.1 = 3x; y3 + 1 + 1 3 33 y .1.1 = 3y;
z3 + 1 + 1 3
3 3z .1.1 = 3z
9 3(x + y + z) (vì x3 + y
3 + z
3 = 3)
Vậy x + y + z 3
Dấu "=" xảy ra
3 3 3x y z 1
3a b c
4
a 3b b 3c c 3a=1
3a+b+c=
4
a = b = c = 1
4
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Ta có: 0 x 1 x x2
1
x y y x4
1
x y y x4
(1)
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
40
Theo BĐT Côsi ta có: 2 21 1 1y x yx 2 yx . x y
4 4 4
1x y y x
4
Dấu "=" xảy ra
2
2
0 y x 1 x 1
x x 1y
1 4yx
4
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Ta có:
2 2x 1 y x 1 y2 . x
1 y 4 1 y 4
2 2y 1 z y 1 z2 . y
1 z 4 1 z 4
2 2z 1 x z 1 x2 . z
1 x 4 1 x 4
Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
2 2 2x 1 y y 1 z z 1 xx y z
1 y 4 1 z 4 1 x 4
2 2 2x y z 3 x y zx y z
1 y 1 z 1 x 4 4
3(x y z) 3
4 4
3 3 9 3 3
.34 4 4 4 2
(vì x + y + z 3 3 xyz = 3)
Vậy:
2 2 2x y z 3
1 y 1 z 1 x 2.
50. (Đại học khối A 2006) Cách 1:
Từ giả thiết suy ra: 2 2
1 1 1 1 1
x y xyx y.
Đặt 1
x= a,
1
y= b, ta có: a + b = a
2 + b
2 – ab (1)
A = a3 + b
3 = (a + b)(a
2 – ab + b
2) = (a + b)
2
Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.
Vì ab ≤
2a b
2 nên a + b ≥ (a + b)
2 – 23
(a b)4
(a + b)2 – 4(a + b) ≤ 0 0 ≤ a + b ≤ 4
Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức
41
Với x = y = 1
2 thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S
2 – 4P 0. Từ giả thiết S, P 0.
Ta có: SP = S2 – 3P P =
2S
S 3
A = 3 3
1 1
x y =
3 3
3 3
x y
x y=
2 2
3 3
(x y)(x y xy)
x y=
2
3 3
(x y) xy
x y=
2
2 2
(x y)
x y
A =
2
2
S S 3
SP
Đk: S2 – 4P 0 S
2 –
24S
S 3 0 S
2
S 1
S 3 0
S 1
S 3 0 (vì S0)
S 3
S 1 (*)
Đặt h = f(S) = S 3
S h =
2
3
S< 0, S thoả (*)
Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h 4 và h 1, S thoả (*).
Mà A = h MaxA = 16 khi x = y = 1
2 (S = 1, P =
1
4).
Cách 3:
(x + y)xy =
2 2y 3yx
2 4> 0
1 1 x y
x y xy> 0
A = 3 3
1 1
x y =
3 3
3 3
x y
x y=
21 1
x y
1 1A
x y
Dễ chứng minh được:
3 3 3a b a b
2 2 (với a + b > 0)
dấu "=" xảy ra khi a = b.
Áp dụng với a = 1
x, b =
1
y, ta có:
Tuyển tập Bất đẳng thức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ
42
333 1 11 1
x yx y
2 2
3A A
2 2 A 16.
Dấu "=" xảy ra khi 1 1
2x y
. Vậy Max A = 16.
Cách 4:
A = 2
2
S
P, suy ra
2
S 3SA
P S SP
S2 – 4P 0 S
2 – 4
2S SP
3 0
P1
S1 43
0 P 1
S 4 (chia cho S
2)
Nên: A = 2
2
S
P 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y =
1
2).
51. (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y). Do OM + ON ≥ MN nên:
2 22 2 2 2x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y
Do đó: A ≥ 2 21 y y 2 = f(y)
Với y ≤ 2 f(y) = 2 21 y + 2 – y f(y) = 2
2y
y 1– 1
f(y) = 0 2y = 21 y
2 2
y 0
4y 1 y y =
1
3
Do đó ta có bảng biến thiên như trên
Với y ≥ 2 f(y) ≥ 2 21 y ≥ 2 5 > 2 + 3 .
Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y.
Khi x = 0 và y = 1
3 thì A = 2 + 3
Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 .