tikimybiu teorijos elementai

8/12/2019 Tikimybiu teorijos elementai

http://slidepdf.com/reader/full/tikimybiu-teorijos-elementai 1/103

TIKIMYBIŲ TEORIJOSELEMENTAI

Violeta Šimatonienė

LSMU Fizikos, matematikos ir biofizikos katedra



1. Atsitiktiniai įvykiai ir jų

tikimybės 1.1. Atsitiktiniai įvykiai, jų veiksmai

1.2. Įvykio tikimybės sąvoka

1.3. Pagrindinės teoremos

1.4. Nepriklausomų įvykių schema

2



1.1. Atsitiktiniai įvykiai, jų veiksmai Eksperimentu (bandymu) vadiname kokio nors sąlygų komplekso

realizavimą praktikoje. Eksperimentus, kuriuos esant vienodomssąlygoms galima pakartoti daugelį kartų, ir kurių konkretausrezultato negalima nuspėti iš anksto, vadiname tikimybiniais (stochastiniais) eksperimentais.

Determinuotas įvykis – įvykis, kurio baigtis iš anksto žinoma tai:

a) būtinas įvykis, kuris esamomis sąlygomis visada įvyksta,žymime raidėmis E, Ω(omega), U.b) negalimas įvykis, kuris esamomis sąlygomis niekada

neįvyksta, žymime raide Λ arba Ø. Atsitiktinis įvykis – įvykis, kuris tam tikromis sąlygomis gali įvyktiarba neįvykti, t.y., jo baigtis iš anksto nežinoma, žymime raidėmis

A, B, C.Elementarieji įvykiai – įvykiai, kurie smulkiau neskaidytini, t.y.,sudaryti tik iš vienos atsitiktinės baigties, žymime simboliais ω1,ω2,..., ωn.

3



Visi galimi elementarieji įvykiai, sudaroelementariųjų įvykių erdvę, kurią žymime raide

Ω={ω1, ω2,..., ωn}.Elementariųjų įvykių erdvė gali būti:

• baigtinė,

pavyzdžiui, egzamino pažymiai, darbo dienų skaičius permėnesį;

• begalinė skaičioji, pavyzdžiui, jei mėtome monetą tol, kol atsivers herbas,tai gali būti tokios baigtys Ω={H, SH, SSH, SSSH,...};

• begalinė neskaičioji, pavyzdžiui, jei stebime elektros lemputėsilgaamžiškumą, tai elementariųjų įvykių erdvė - visųgalimų sugedimo momentų t aibė Ω={ω; ω=t, t[0;)}.

4



Įvykiai, sudaryti ne iš visų, o iš dalieselementariųjų įvykių erdvės Ω įvykių, yra toserdvės poaibiai , žymime A Ω, B Ω.

Jei įvykis A yra įvykio B dalis, t.y., įvykus A

įvyksta ir B, tai įvykis A vadinamas įvykio B poaibiu, žymime AB.

Du įvykiai lygūs (A=B), jei AB ir B A, t.y., jie

susideda iš tų pačių elementariųjų įvykių.

5



Įvykių veiksmai Įvykių A ir B suma (sąjunga) vadiname įvykį, kai įvyksta

bent vienas iš įvykių A arba B, žymime A+B arba AUB.

Įvykių A ir B sandauga (sankirta, pjūviu) vadiname įvykį,kai įvyksta abu įvykiai, žymime A∙B arba A∩B.

Įvykiai vadinami nesutaikomais, jei jie kartu įvykti negali,t.y., A∙B=Ø.

Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadinamas įvykis, kaiįvyksta įvykis A, bet neįvyksta įvykis B, žymime A-B arba A\B.

Įvykis Ā=Ω-A vadinamas priešingu įvykiui A.Jei turime n poromis nesutaikomų įvykių ir jų suma yra

būtinas įvykis, t.y., jei A1+A2+...+An=Ω ir Ai∙A j=Ø; i=1,2,…,n; j= 1,2,…,n (i≠j), tai šie įvykiai sudaro pilnąją įvykių grupę.

6



Veiksmų su įvykiais savybės

A+A=A; A∙A=A; A-Ω=Ø; A+Ω=Ω; A∙Ω=A; Ø- A=Ø;

A+Ø=A; A∙Ā=Ø; A- A=Ø;

A+ Ā=Ω; A∙Ø=Ø; A-B=A- A∙B;

A+B=B+A; A∙B=B∙A;

A(B+C)=AB+AC; (A+C)(B+C)=AB+C;

Jei AB, tai A+B=B, A∙B=A, A-B=Ø.

;B AB A

;B AB A

7



1.2. Įvykio tikimybės sąvoka

• Statistinis tikimybės apibrėžimas Daug kartų kartodami eksperimentą stebime konkrečios baigtiespasirodymų dažnį. Tarkime, kad atlikus n eksperimentų įvykis A (konkretibaigtis) įvyko m kartų, tai įvykio A pasirodymų statistinis dažnis bus

Jei, didinant eksperimentų skaičių, šis dažnis stabilizuojasi ties kokiu norsskaičiumi, tai tą skaičių ir laikome tiriamojo įvykio statistine tikimybe

Būtina, kad visi eksperimentai vyktų vienodomis sąlygomis ir būtųnepriklausomi, t.y., vieno eksperimento rezultatai neturėtų įtakos kitoeksperimento rezultatams.

.

n

mn

.plim nn

8



• Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Tarkime, turime baigtinę elementariųjų įvykiųerdvę Ω={ ω1, ω2,..., ωn}, kurios visi elementarieji įvykiaiωi turi vienodas galimybes įvykti. Tegu įvykis A yrasudarytas iš dalies šių elementariųjų įvykių.

Klasikine įvykio A tikimybe vadinsime įvykiui A

palankių elementariųjų įvykių skaičiaus santykį su visųelementariųjų įvykių skaičiumi, žymėsime

čia m – įvykiui A palankūs elementarieji įvykiai, o n – visi

elementarieji įvykiai.

,n

m AP

9



Kombinatorikos formulės

1. Kombinatorinė sudėties taisyklė. Jei elementą galima pasirinkti išaibės, turinčios n elementų, arba iš aibės , turinčios m elementų, o

aibės bendrų elementų neturi, tai iš viso yra n+m pasirinkimogalimybių.

2. Kombinatorinė daugybos taisyklė. Jei pirmoje aibėje yra nelementų, o antroje aibėje m elementų, tai, renkantis po vienąelementą iš kiekvienos aibės, turime n∙m pasirinkimo galimybių.

3. Kėliniai be pasikartojimo – n elementų rinkinys iš n,visi elementaiskirtingi, svarbi išrinkimo tvarka

Pn = n! = 1∙2∙3∙...∙n.

4. Gretiniai be pasikartojimo – k elementų rinkinys iš n (k<n), visielementai skirtingi, svarbi išrinkimo tvarka

.1kn...2n1nn

!kn

!n Ak

n

10



5. Deriniai be pasikartojimo – k elementų rinkinys iš n (k n), visielementai skirtingi, išrinkimo tvarka nesvarbi

6. Kėliniai su pasikartojimais – n elementų rinkiniai iš n, tarp kuriųyra k grupių po r k vienodų elementų (iš viso yra r 1+r 2+...+r k = nelementų), išrinkimo tvarka svarbi

7. Gretiniai su pasikartojimais – k elementų rinkiniai iš n (k<n),elementai gali kartotis (išrinkus, grąžinami atgal), išrinkimo tvarkasvarbi

8. Deriniai su pasikartojimais – k elementų rinkiniai iš n (k n),elementai gali kartotis (išrinkus, grąžinami atgal), išrinkimo tvarkanesvarbi

.

!k

1kn...2n1nn

!kn!k

!n

k

nCk

n

.!r !...r !r

!n

r ;...;r ;r Pk21

k21n

.nB kkn

.!1n!k

!1knCk

1knkn

11



• Geometrinis tikimybės apibrėžimas Kai elementariųjų įvykių erdvė Ω yra begalinė, tai

klasikinis tikimybės apibrėžimas netinka. Tarkime, kad Ω yra tam tikro matavimo μ erdvės

baigtinio tūrio sritis, o A srities Ω dalis, AΩ.Elementariuoju įvykiu laikysime bet kurio srities Ω taškoparinkimą, o atsitiktiniu įvykiu – srities A taško parinkimą.

Tada įvykio, kad atsitiktinai parinktas taškas pateks į sritį A,tikimybė yra šių sričių matų santykis

Pavyzdžiui, jei turime trikampį, įbrėžtą į spindulio R apskritimą,taitikimybė, kad atsitiktinai pasirinktas skritulio taškas pateks į trikampį,yra lygi trikampio ir skritulio plotų santykiui:

. A

AP

.R4

abc AP;RS;

R4

abcS

3

2.skrit

12



• Apibendrintas tikimybės apibrėžimas Įvykio A tikimybe P(A) vadinsime skaitinę funkciją, kuri

kiekvienam įvykiui A priskiria skaičių P(A), tenkinantį tokiasaksiomas:1) P(A)≥0; 2) P(Ω)=1;

3) P(A+B)=P(A)+P(B), jei A∙B=Ø, t.y., A ir B – nesutaikomi

įvykiai. Šis apibrėžimas nenurodo konkretaus tikimybėsskaičiavimo metodo, o tik nusako bendrąsias savybes. Iš bendrojo tikimybių apibrėžimo išplaukia tokios

savybės: • Jei AB, tai P(A)P(B);

• P(Ā)=1-P(A);

• P(Ø)=0; • 0P(A)1.

13



1.3. Pagrindinės teoremos

1.Teorema

Jei įvykiai A ir B nesutaikomi, tai jų sumos tikimybė yralygi atskirų įvykių tikimybių sumai

P(A+B)=P(A)+P(B).

Įrodymas.

Tegu visa elementariųjų įvykių erdvė Ω yra sudaryta iš nelementariųjų įvykių, įvykis A sudarytas iš m1, o įvykis B iš m2

elementariųjų įvykių. Jei įvykiai A ir B nesutaikomi, tai jieneturi bendrų elementariųjų įvykių, o tada įvykių sumą A+Bsudarys visi įvykio A ir visi įvykio B elementarieji įvykiai, t.y.

jų bus m1+m2. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą gauname

P(A)=m1/n; P(B)=m2/n;

P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B).

14



Šią teoremą galima apibendrinti ir bet kokiam baigtiniamporomis nesutaikomų įvykių skaičiui

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).Išvada

Jei įvykiai A1, A2, …, An sudaro pilnąją įvykių grupę, tai

P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1.

Iš tikrųjų,

P(A1+A2+…+An)=P(Ω)=1 ir

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

Abiejų lygybių kairiosios pusės lygios, todėl turi būtilygios ir dešiniosios pusės.

15



2. Teorema (apibendrinta sumos teorema)

Jei įvykiai A ir B yra bet kokie (tame tarpe irnesutaikomi), tai įvykių sumos tikimybė yra randama iš šių

įvykių tikimybių sumos atėmus jų sandaugos tikimybę P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Įrodymas.

Tegu visa elementariųjų įvykių erdvė Ω yra sudaryta iš n

elementariųjų įvykių, įvykis A sudarytas iš m1, o įvykis B iš m2 elementariųjų įvykių. Jei įvykiai A ir B yra sutaikomi, tai jie turik bendrų elementariųjų įvykių. Kadangi į įvykių A ir B sumąbendri elementarieji įvykiai įtraukiami tik po vieną kartą, tai

įvykis A+B bus sudarytas iš m1+m2-k elementariųjų įvykių.Tada

P(A)=m1/n; P(B)=m2/n; P(AB)=k/n ir

P(A+B)=(m1+m2-k)/n=m1/n+m2/n-k/n=P(A)+P(B)-P(AB).

16



Jei turime daugiau dėmenų, tai P(A+B+C)=P((A+B)+C)=P(A+B)+P(C)-

P((A+B)∙C)=P(A)+P(B)-P(AB)+ +P(C)-

P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).Teorema taip pat apibendrinama ir bet kokiam

baigtiniam įvykių skaičiui

Išvada. P(A+B)=1-P( ).

Iš tikrųjų, pasinaudoję įvykių savybe

ir priešingo įvykio tikimybe, gauname

Šią išvadą galima apibendrinti ir bet kokiam baigtiniamįvykių skaičiui

. A... A AP1... A A AP A AP AP AP j,i k, j,i

n211n

k ji ji

i

i

n

1i

i

B A B AB A

.B AP1B AP1B AP

. A... A AP1 A... A AP n21n21

17



Pavyzdys

Tegu studentas sesijos metu laiko tris egzaminus.

Tikimybė, kad išlaikys pirmąjį P(A)=0,7, kad antrąjį -

P(B)=0,9, kad trečiąjį - P(C)=0,85. Kokia tikimybė, kadsesijos metu studentas išlaikys bent vieną egzaminą?

Sprendimas.

Jei studentas išlaiko bent vieną egzaminą, tai jis išlaiko arba pirmąjį,

arba antrąjį, arba trečiąjį egzaminą, tai reiškia įvykių sumą. Tačiau šieįvykiai yra sutaikomi, nes studentas gali išlaikyti ir visus egzaminus.Taigi,

P(A+B+C)=0,7+0,9+0,85-0,7∙0,9-0,7∙0,85-0,85∙0,9++0,7∙0,9∙0,85=0,9955.

Šį uždavinį galima spręsti ir pasinaudojant išvada:

.9955,015,01,03,01

)C(P)B(P) A(P1)CB A(P1)CB A(P

18



Įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno jųtikimybė nepriklauso nuo to, įvyko ar neįvyko antrasis įvykis.

3. TeoremaJei įvykiai A ir B nepriklausomi, tai jų sandaugos

tikimybė lygi šių įvykių tikimybių sandaugai P(A∙B)=P(A)∙P(B).

Įrodymas.

Jei įvykiai A ir B nepriklausomi, tai jie yra iš skirtingų elementariųjų įvykiųerdvių: A Ω1, o B Ω2. Tarkime, Ω1 sudaro n1 įvykių, Ω2 sudaro n2 įvykių, A – m1 ir B - m2 įvykių. Remiantis kombinatorikos formulėmis randame: iš viso elementariųjų įvykių yra n1∙n2; o sandaugai AB palankių įvykių yram1∙m2. Tuomet

Teorema taip pat gali būti apibendrinta bet kokiambaigtiniam įvykių skaičiui.

P(A1∙A2∙…∙An)=P(A1)∙P(A2)∙...∙P(An).

.BP AP

n

m

n

m

nn

mm ABP

2

2

1

1

21

21

19



Sąlyginė tikimybė Jei įvykiai A ir B nėra nepriklausomi, tada vieno jų tikimybė

priklauso nuo to, įvyko ar neįvyko antrasis įvykis. Sąlygine įvykio Atikimybe, kai įvyko B, žymime P(A|B), vadinama tikimybė

Tarkime, turime elementariųjų įvykių erdvę Ω, sudarytą iš nįvykių. Įvykiai A ir B yra šios erdvės poaibiai AΩ ir BΩ. Tegu Įvykį A

sudaro k elementariųjų įvykių, įvykį B – m įvykių, be to, įvykiai A ir B turi rbendrų įvykių (r k ir r m). Tada P(AB)=r/n, P(B)=m/n.

Kai įvykiai yra nepriklausomi, tai

Nesutaikomi įvykiai yra visiškai priklausomi .

.0BP jei,BP

ABPB AP

.m

r

n

mn

r

B AP

. APBP

BP AP

BP

ABPB AP

20



4. Teorema (apibendrinta sandaugos teorema)

Jei įvykiai A ir B yra bet kokie, tai jų sandaugos

tikimybė yra lygi vieno iš įvykių tikimybei, padaugintai iš kitoįvykio sąlyginės tikimybės, kai pirmasis įvyko

P(AB)=P(A)∙P(B|A)=P(B)∙P(A|B). Įrodymas.

Tegu įvykiai A ir B turi r bendrų elementariųjų įvykių, visa erdvė sudarytaiš n įvykių, įvykis A - iš k, o įvykis B - iš m įvykių. Tada

Jei turime n įvykių, tai jų sandaugos tikimybėapskaičiuojama pagal formulę

P(A1∙A2∙…∙An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)…P(An|A1 A2…An-1).

. ABP APk

r

n

k

kn

kr

n

r ABP

21



5. Teorema (pilnosios tikimybės formulė) Sakykime, kad įvykis A gali įvykti tik kartu su vienu iš

įvykių H1,H2,...,Hn, kurie sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y., jie yra

poromis nesutaikomi ir jų suma yra būtinas įvykis, tai įvykio Atikimybė apskaičiuojama pagal formulę

.H APHP APn

1i

ii

H1

H2 H3

Hi Hn A

Ω

Įrodymas.

Pasinaudojame įvykių savybėmis: A∙Ω=A bei A(B+C)=AB+AC; ir gauname

. AH AH... AH AH

H...HH A A A

n

1i

in21

n21

Jei įvykiai Hi ir H j poromis nesutaikomi, tai ir įvykiai AHi bei AH j taip patporomis nesutaikomi (žr. pav.). Tada, pasinaudoję sumos ir sandaugosteoremomis, turime

.H APHP AHP AHP APn

1i

ii

n

1i

i

n

1i

i

22



6. Teorema (Bajeso formulė) Sakykime, kad įvykis A gali įvykti tik kartu su vienu iš įvykiųH1,H2,...,Hn, kurie sudaro pilnąją įvykių grupę, tai visiems i(i=1, 2, ..., n) galioja formulė

Įrodymas.

Kadangi įvykis A vyksta kartu su vienu iš įvykių Hi (i=1, 2, ..., n), tai įvykiai A ir Hi yra priklausomi. Tada pagal apibendrintą įvykių sandaugos teoremągauname

P(AHi)=P(A)∙P(Hi|A).

Iš šios lygybės išreiškiame sąlyginę tikimybę P(Hi|A) ir vėl pasinaudojamesandaugos bei pilnosios tikimybės teoremomis

.

H APHP

H APHP AHP

n

1i

ii

iii

.

H APHP

H APHP

AP

AHP AHP

n

1i

ii

iiii

23



Įvykių Hi tikimybės P(Hi) (i=1, 2, ..., n) yra nustatytos

prieš eksperimentą (iš anksčiau), nepriklausomai nuo įvykio A, jos vadinamos apriorinėmis tikimybėmis. Jei tikimybių P(Hi)

nežinome, tai laikome, kad kiekviena iš hipotezių (Hi) yravienodai galima, tada P(Hi)=1/n.

Įvykių Hi sąlyginės tikimybės P(Hi|A), kai įvykis A jauįvyko, yra vadinamos aposteriorinėmis tikimybėmis. Taigi,pagal Bajeso formulę perskaičiuojamos hipotezių tikimybėsatsižvelgiant į įvykį A (po eksperimento).

Pilnosios tikimybės bei Bajeso formulės yra tarpusavyjesusiję, jos duoda tos pačios problemos tiesioginį ir atvirkštinįsprendimą. Pagal pilnosios tikimybės teoremą prognozuojameįvykio A įvykimo galimybę remdamiesi apriorinėmis hipoteziųtikimybėmis, o pagal Bajeso teoremą įvertiname kiekvienos išhipotezių galimybes įvykti, jei įvykis A jau įvykęs.

24



1.4. Nepriklausomų įvykių schema Iki šiol skaičiavome tikimybes įvykių, kurie įvykdavo ar neįvykdavo vienoeksperimento metu. Jei tas pats eksperimentas kartojamas n kartų, t.y.,

turime bandymų seriją, tuo atveju mus domina ne atskiro eksperimentorezultatai, bet visos bandymų serijos rezultatai.

Tarkime

• vykdome n nepriklausomų eksperimentų, t.y., įvykio A įvykimas tam

tikrame bandyme nepriklauso nuo to, ar ankstesniuose bandymuose įvykisA įvyko, ar ne;

•kiekvieno tokio eksperimento metu įvykio A įvykimo tikimybė ta pati;

•įvykis A įvyksta, esant tikimybei p, o neįvyksta, esant tikimybei q (p+q=1,

nes A ir Ā sudaro pilnąją įvykių grupę). Jei eksperimentai tenkina visas minėtas sąlygas, tai sakome, kad turimeBernulio nepriklausomų bandymų (įvykių) schemą. Šiuo atveju musdomina suminis įvykio A įvykimų skaičius, atlikus n eksperimentų.

25



1.4. Nepriklausomų įvykių schema Tarkime

a) vykdome n nepriklausomų eksperimentų,t.y., įvykio A įvykimas tam tikrame bandyme nepriklausonuo to, ar ankstesniuose bandymuose įvykis A įvyko, arne;

b) kiekvieno tokio eksperimento metu įvykio A įvykimotikimybė ta pati ;

c) įvykis A įvyksta, esant tikimybei p, o neįvyksta, esanttikimybei q (p+q=1, nes A ir Ā sudaro pilnąją įvykiųgrupę).

Jei eksperimentai tenkina visas minėtas sąlygas, taisakome, kad turime Bernulio nepriklausomų bandymų

(įvykių) schemą. Šiuo atveju mus domina suminis įvykio

A įvykimų skaičius, atlikus n eksperimentų. 26



7. Teorema (Bernulio dėsnis) Tikimybė Pn(k), kad atlikus n eksperimentų įvykis A įvyks

k kartų (k=0,1,2,...,n), išreiškiama formule

Įrodymas.

Atlikus n eksperimentų (vieną bandymų seriją), įvykis A įvyksta k kartų irneįvyksta n-k kartų. Tada kiekvieną bandymų seriją galime laikyti atsitiktiniu

įvykiu ωi, kuris yra k įvykių A ir (n-k) įvykių Ā sandauga ωi=A∙A∙A∙...∙A∙Ā∙Ā∙Ā∙...∙Ā.

Kiekvienos sandaugos ωi tikimybė pagal nepriklausomų įvykių tikimybiųsandaugos teoremą yra lygi

P(ωi)=pk∙qn-k.

Sandaugos ωi daugiklius galima kaitalioti vietomis, nes mus domina tiksuminis įvykio A įvykimų skaičius, todėl tokių sandaugų (kėlinių supasikartojimais) skaičius yra

.!kn!k

!nCčia,qpCkP k

nknkk

nn

.C!kn!k

!nkn,kP k

nn

27



Įvykiai ωi ir ω j (i, j=1, 2, … , ir i≠j) yra poromis nesutaikomi, nesvienu metu negali būti du skirtingi daugiklių A ir Ā išdėstymaisandaugoje.

Taigi, mus dominančio suminio įvykio A įvykimų skaičiaus tikimybė pagalnesutaikomų įvykių sumos teoremą yra lygi

knC

.qpCqpPPkP knkkn

i i

knki

iin

PastabaBernulio formulė taikoma skaičiuoti įvykių tikimybėms, kainepriklausomų bandymų skaičius n nėra labai didelis irįvykio A įvykimo tikimybė viename bandyme nėra labai

maža (p ≥ 0,1). Kai bandymų skaičius didelis arbatikimybė maža, taikomos kitos formulės (Muavro –

Laplaso lokalinė bei integralinė, Puasono).

28



2. Atsitiktiniai dydžiai

2.1. Diskretieji ir tolydieji atsitiktiniai

dydžiai

2.2. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo charakteristikos

2.3. Atsitiktinių dydžių skaitinės

charakteristikos

29



Dydžiai, kurie eksperimente įgija vieną ar kitą, iš anksto nežinomą

reikšmę, vadinami atsitiktiniais dydžiais. Atsitiktinius dydžius žymimedidžiosiomis raidėmis X, Y, Z, o jų įgijamas reikšmes – atitinkamomis

mažosiomis raidėmis X: x1, x2, ..., xn; Y: y1, y2, ..., yn; Z: z1, z2, ..., zn.

Atsitiktiniai dydžiai pagal jų įgijamas reikšmes skirstomi įdiskrečiuosius ir tolydžiuosius.

Atsitiktinis dydis, kurio reikšmių aibė baigtinė arba begalinėskaičioji, vadinamas diskrečiuoju. Pavyzdžiui, vaikų skaičius šeimoje;egzamino pažymys; telefono skambučių per parą skaičius; darbo dienųper gyvenimą skaičius.

Atsitiktinis dydis, kurio reikšmių aibė begalinė neskaičioji,vadinamas tolydžiuoju. Toks dydis įgyja visas reikšmes iš tam tikrointervalo, t.y. tų reikšmių yra be galo daug ir jų visų negalimesunumeruoti. Tolydžių dydžių pavyzdžiai: žmogaus ūgis, svoris,temperatūra, procedūros trukmė, ligos trukmė.

2.1. Diskretieji ir tolydieji atsitiktiniai

dydžiai

30



Atsitiktiniai dydžiai gali būti priklausomi ir nepriklausomi. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi , jeigu bet

kokiems realių skaičių poaibiams B1 ir B2 yra teisinga

lygybė

P(XB1,YB2)=P(XB1)∙P(YB2).

Į kiekvieną skaičių C galima žiūrėti kaip į atsitiktinį

dydį, kuris įgija tik vieną reikšmę. Bet koks atsitiktinisdydis X ir bet kokia konstanta C yra nepriklausomi.

Jei X yra atsitiktinis dydis, tai atsitiktinis dydis bus ir jo

tolydžioji funkcija. Pavyzdžiui, X4, 3X+10, ln|X|. Jeigu X ir

Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tai nepriklausomiatsitiktiniai dydžiai yra ir jų tolydžiosios funkcijos.Pavyzdžiui, X2 ir 2Y.

31



Atsitiktinių dydžių veiksmai

Tarkime turime du atsitiktinius dydžius X ir Y, kurie įgija

atitinkamai reikšmes x1, x2, ..., xn ir y1, y2, ..., ym.

• Atsitiktinių dydžių X ir Y suma X+Y vadiname atsitiktinįdydį Z, kurio reikšmės yra: x1+y1, x1+y2, x1+y3, ..., xi+y j,...,xn+ym.

• Atsitiktinių dydžių X ir Y sandauga XY vadinameatsitiktinį dydį Z, kurio reikšmės yra: x1y1, x1y2, x1y3, ...,xiy j, ..., xnym.

• Atsitiktinio dydžio X ir skaičiaus C sandauga CX

vadiname atsitiktinį dydį Z, kurio reikšmės yra: Cx1, Cx2,..., Cxi, ..., Cxn.

32



2.2. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymocharakteristikos

Ryšys tarp atsitiktinio dydžio reikšmių ir jas atitinkančiųtikimybių vadinamas atsitiktinio dydžio skirstiniu arba

pasiskirstymo dėsniu (pasiskirstymu).Šį dėsnį galimaišreikšti lentele, formule arba grafiku.

Tarkime, turime diskretųjį atsitiktinį dydį X, kuris įgija reikšmesx1,x2,...,xn su tikimybėmis p1,p2,...,pn. dydžio X pasiskirstymo dėsnįišreiškiame:

a) Formule pi = P(X = xi), i=1, 2, …, n, čia

b) Lentele (pasiskirstymo eilute), kurioje reikšmės išdėstomos didėjančiatvarka x1<x2<...<xn:

.1pn

1i

i

X x1 x2 ... xn

P(X) p1 p2 ... pn

33



c) Grafiku ( pasiskirstymo daugiakampiu arba poligonu):

0 xix5 x4 x3 x2 x1

p1

p2

p5

p4 p3

pi

34



Pasiskirstymo funkcijaJei atsitiktinio dydžio X reikšmių yra labai daug,

tai šiuo atveju domimės ne galimomis reikšmėmis ir jų įgyjimo tikimybėmis, bet tikimybe, kad atsitiktinisdydis X įgis reikšmes iš tam tikro intervalo.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija – tai

tikimybė, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmesmažesnes už x:

F(x) = P(X<x).

35



Pasiskirstymo funkcijos savybės

1. 0 F(x) 1 Įrodymas. Iš apibrėžimo turime, kad pasiskirstymo funkcija yra

tikimybė, o bet kokių įvykių tikimybėms ši savybė yra teisinga. 2. F(x) yra nemažėjanti funkcija, t.y., jei x1<x2, taiF(x1) F(x2)

Įrodymas.

Pažymėkime įvykius A: X<x1; B: x1X<x2; C: X<x2.

Kadangi (X<x2)=(X<x1)U(x1 X<x2), tai C=A+B.

Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, tuomet P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B) arba

P(X<x2)=P(X<x

1)+P(x

1 X<x

2).

Tačiau P(X<x1)=F(x1), o P(X<x2)=F(x2), todėl

F(x2)=F(x1)+P(x1 X<x2).

Lygybė galima tik tuo atveju, kai P(x1 X<x2)=0, o visais kitais atvejais

F(x2)>F(x1). Taigi, F(x2)≥F(x1).

C

x1 x2 x A B

36



3.

Įrodymas. =P(Ø)=0;

4. P(α X < β)=F(β)-F(α).

Įrodymas.

Pažymėkime įvykius A: X<α; B: αX<β; C: X<β.

Kadangi (X<β)=(X<α)U(αX<β), tai C=A+B.Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, tuomet P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)arba P(X<β)=P(X<α)+P(αX<β).

Tada F(β)=F(α)+P(αX<β), o iš čia P(αX<β)=F(β)-F(α).

.1xFlim,0xFlimxx

XPFxFlimx

.1PXPFxFlimx

C

α β x

A B

37



Diskrečiojo dydžio skirstinio funkcija

Tegu turime diskretųjį atsitiktinį dydį X, kurio skirstinysnusakytas pasiskirstymo eilute

Šio dydžio pasiskirstymo funkcija yra:

X x1 x2 ... xn

P(X) p1 p2 ... pn

.pp...ppxXPxFxx

ii21

i

38



Taigi, pasiskirstymo funkcija randama sudėjus tikimybes tųreikšmių, kurios yra į kairę nuo taško x:

.xxkai,1pp...ppp

;xxxkai,p...ppp

..;....................,....................

;xxxkai,ppp

;xxxkai,pp

;xxxkai,p

;xxkai,0

xF

nn1n321

n1n1n321

43321

3221

211

1

39

Di k či j t itikti i d dži i ki t f k ij F( )



Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F(x) yratolydi iš kairės

Jos grafikas laiptinė kreivė. Trūkio taškai xi yra atsitiktiniodydžio reikšmės, o patys trūkiai lygūs šių reikšmiųtikimybėms pi:

.xFxFlim i0xx i

x1 x2 x3 x4 xn-1 xn x

F(x)

p1

p2

p3

pn-1

pn 1

0

40



Pavyzdys. Šeimoje yra du vaikai. Parašykite berniukųskaičiaus pasiskirstymo eilutę, nubrėžkite tikimybiųdaugiakampį, raskite pasiskirstymo funkciją ir nubrėžkite jos

grafiką. Sprendimas. Atsitiktinis dydis X – berniukų skaičius šeimoje įgyjareikšmes 0, 1, 2. Šių reikšmių tikimybės bus skaičiuojamos pagalBernulio formulę:

Tada gauname tokias charakteristikas:

Pasiskirstymo eilutė: Pasiskirstymo funkcija:

.4

1

2

1

2

1

Cp;2

1

4

1

22

1

2

1

Cp;4

1

2

1

2

1

Cp

02

2

23

11

1

22

20

0

21

X 0 1 2

P(X) 0,25 0,5 0,25

.2xkai,125,05,025,0

;2x1kai,75,05,025,0

;1x0kai,25,0

;0xkai,0

xF

41



1

0,5

0,25

0 1 2 X

P(X)

0,25

0,75

1

F(x)

0 1 2 x

Pasiskirstymo daugiakampis ir funkcija

Berniukų skaičiaus šeimoje pasiskirstymą galime pavaizduotigrafiškai:

42



• Jeigu turime tolydųjį atsitiktinį dydį, tai jo skirstinio nusakytipasiskirstymo eilute neįmanoma (nes yra be galo daugreikšmių), tuomet naudojame pasiskirstymo funkciją, kuri,šiuo atveju, yra tolydinė visoje realių skaičių aibėje, t.y. neturitrūkių

0 x

F(x)

1

43

P i ki t t ki



Pasiskirstymo tankisTolydžiojo atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymotankiu (arba tiesiog tankiu) vadiname funkciją f(x), kuri

yra pasiskirstymo funkcijos pirmoji išvestinė f(x)=F′(x).

Tankio savybės

1. f(x)≥0.

Įrodymas. Kadangi pasiskirstymo funkcija F(x) yra nemažėjanti(pasiskirstymo funkcijos savybė), tai jos išvestinė funkcija f(x) turibūti neneigiama.

2.

Įrodymas.

Iš pasiskirstymo funkcijos savybių turime P(αX<β)=F(β)-F(α).

Tačiau, jei f(x)=F′(x), tai F(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė funkcija.Tada pagal Niutono – Leibnico formulę gauname

.dxxf XP

44



Kadangi dviejų lygybių dešiniosios pusės sutampa, tai turi sutapti ir

kairiosios pusės. Tuo būdu, sulyginę jas ir gauname tai, ką reikėjo įrodyti.

Tikimybės P(α X<β) grafinė interpretacija

Atsitiktinio dydžio X reikšmių patekimo į intervalą [α;β) tikimybė – tai tankio

funkcijos ir tiesių x=α bei x=β apribotas plotas S:

f(x)

α β

S

.FFxFdxxf

45



Išvada.

Tikimybė, kad tolydusis atsitiktinis dydis X įgis tam tikrą

reikšmę α, yra lygi nuliui P(X=α)=0.

Iš tikrųjų:

Dėl šios savybės tolydiesiems atsitiktiniams dydžiamsgalioja lygybės:

P(α X < β) = P(α < X < β) = P(α < X β) = P(α X β).

.0dx x f X P

46



3.

Įrodymas.

Iš tankio 2 savybės išplaukia, kad

4.

Įrodymas.

Remiantis pasiskirstymo funkcijos

apibrėžimu ir tankio 2 savybe gauname:

.1dx)x(f

.1PXPdxxf

x

.dttf xF

x

.dttf xXPxXPxF

x

Tikimybė P(X<x)=F(x)

f(x)

x

S=F(x)

x

f(x)

S=1

Tikimybė P(-<X<+)

47



Pavyzdys Atsitiktinio dydžio X skirstinio funkcija yra

Raskite atsitiktinio dydžio X tankį, nubrėžkite pasiskirstymo funkcijos irtankio grafikus, apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgisreikšmes iš intervalo [-1;1].

Sprendimas. Kadangi tankis yra pasiskirstymo funkcijos išvestinė, taidiferencijuodami ją gauname

.3xkai,1

,3x0kai,9

x

,0xkai,0

xF2

.3xkai,0

,3x0kai,9

x2,0xkai,0

xFxf

48



Tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmes iš intervalo [-1;1], galima

skaičiuoti dvejopai: a) P(-1 < X < 1) = F(1) -F(-1) = 1/9 - 0 = 1/9;

b)

Pasiskirstymo funkcijos ir tankio grafikai yra

.9

1

9

x0dx

9

x2dx0dxxf )1X1P

1

0

21

1

1

0

0

1

x30

1

F(x)

x30

2/3

f(x)

Pasiskirstymo funkcija ir tankis

49



2.3. Atsitiktinių dydžiųskaitinės

charakteristikos



Pasiskirstymo eilutė, pasiskirstymo funkcija ir tankispilnai nusako atsitiktinį dydį, tačiau šios charakteristikosne visada yra žinomos. Daugelyje praktinių uždavinių

visai nebūtina žinoti visų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jųtikimybių, užtenka nurodyti tam tikrus parametrus, kurieglaustai atspindi būdingas atsitiktinio dydžio savybes.Šie parametrai yra ne funkcijos, o skaičiai, todėl

vadinami skaitinėmis charakteristikomis.Skaitinės charakteristikos skirstomos į tokias grupes:

• Padėties (vidurkis, moda, mediana, kvartiliai, kvantiliai,

procentiliai);

• Sklaidos (dispersija, vidutinis kvadratinis nuokrypis,variacijos koeficientas);

• Formos (asimetrijos koeficientas, ekscesas);

• Ryšio (kovariacija, koreliacijos koeficientas).51

Vid ki



Vidurkis• Diskrečiojo atsitiktinio dydžio vidurkis yra skaičius, lygusatsitiktinio dydžio X reikšmių ir jas atitinkančių tikimybių

sandaugų sumai, žymime m, , MX, EX

• Tolydžiojo atsitiktinio dydžio X, kurio tankis f(x), vidurkis

skaičiuojamas pagal formulę

Kai atsitiktinis dydis tolydusis, tai jo reikšmių yra be galo daug,

visų išvardyti negalime, todėl vietoj xi rašome x, begalinė suma virstaintegralu, o tikimybes pi keičiame diferencialu f(x)dx.

Įrodymas:

pi = P(X = xi) = P(xi X <xi+x) = F(xi+x)-F(xi) = F(x) dF(x) =

=F′(x)dx = f(x)dx.

.pxMXn

1i

ii

.dx)x(f xMX

52



Vidurkio savybės

1. Pastovaus dydžio C vidurkis lygus jam pačiam:

MC = C. 2. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš vidurkį:

M(CX) = CMX.

3. Atsitiktinių dydžių algebrinės sumos vidurkis lygus šių

dydžių vidurkių algebrinei sumai: M(X ± Y) = MX ± MY.

4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos vidurkislygus šių dydžių vidurkių sandaugai

M(X∙Y) = MX∙MY. 5. Atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo vidurkio vidurkis lygus 0:

M(X-MX) = 0.

53

M d



ModaLabiausiai tikėtina (tipiškiausia) atsitiktinio dydžioskirstinio reikšmė vadinama moda, žymėsime Mo.

• Diskrečiojo atsitiktinio dydžio moda yra ta reikšmė,kurios tikimybė p(xi) yra didžiausia.

• Tolydžiojo atsitiktinio dydžio moda yra tankio f(x)maksimumo taškas.

Jei atsitiktinio dydžio visos reikšmės įgyjamos su vienodomistikimybėmis (arba tankis visame intervale vienodas), tai sakome,kad skirstinys modos neturi. Jei skirstinys turi vieną modą, jįvadiname unimodiniu skirstiniu. Jei dvi reikšmės turi vienodas,didesnes negu kitų reikšmių, tikimybes, tai sakome, kad skirstinys

yra bimodinis. Skirstinys gali turėti ir daugiau modų, tuomet jįvadiname multimodiniu.

54



x

f(x)

Mo1 0 Mo2

c)

xba0

f(x)

b)a)

x

f(x)

Mo0

Skirstinio moda:

a) nėra;

b) unimodinis skirstinys;c) bimodinis skirstinys

55

Mediana



MedianaMediana – tokia atsitiktinio dydžio reikšmė, kuri dalijaatsitiktinio dydžio reikšmių aibę pusiau, žymėsime Me,

mediana charakterizuoja reikšmių centrą: • Diskrečiojo atsitiktinio dydžio mediana paprastaineskaičiuojama.

• Tolydžiojo atsitiktinio dydžio mediana yra tokia atsitiktinio

dydžio reikšmė, kurios pasiskirstymo funkcija lygi 1/2

Kadangi mediana yra reikšmių vidurys, tai tikimybė įgyti

reikšmes, mažesnes už medianą, lygi tikimybei įgytireikšmes, didesnes už medianą, t.y. P(X<Me)=P(X>Me)

.Mexčia,2

1dttf arba

2

1meF

x

.2

1dxxf dxxf

Me

Me

56



Tolydžiojo atsitiktinio dydžio mediana dalija tankiofunkcijos f(x) apribotą plotą į dvi lygias dalis S1=S2.

Jei atsitiktinio dydžio skirstinys simetriškas, tai medianair vidurkis sutampa Me = MX.

xMe0

f(x)

S1 S2

S1=S2

57

Kvantiliai



Kvantiliai

Tegul 0< p <1. Atsitiktinio dydžio p lygmens kvantiliu

vadiname skaičių xp, tenkinantį nelygybes: P(X < xp) p P(X xp).

• Diskrečiojo dydžio kvantiliai praktiškai neskaičiuojami.

• Tolydžiojo dydžio p lygmens kvantiliu vadinameatsitiktinio dydžio reikšmę xp, kurios pasiskirstymo

funkcija yra lygi p

pxF p .pdxxf

px

arba

58



K ili i k i i i ik i i d dži į j ikš i



Kvantiliai, kurie visą atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmiųaibę dalina į 4 lygias dalis, vadinami kvartiliais, žymimi Q1,Q2, Q3:

• Q1 (apatinis kvartilis) – tai kvantilis, kurio p=1/4;• Q2 = Me – tai kvantilis, kurio p=1/2;

• Q3 (viršutinis kvartilis) – tai kvantilis, kurio p =3/4.

Jei atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmių aibę daliname į: • 10 lygių dalių, tai turime decilius,

• 100 dalių - procentilius,

• 1000 dalių - promiles.

Pavyzdžiui, kvantilis x0,25 yra: apatinis kvartilis, 25 - asisprocentilis ir 250 – oji promilė.

60

Dispersija



Dispersija Atsitiktinio dydžio dispersija vadinsime skaičių, lygų atsitiktiniodydžio nuokrypio nuo vidurkio kvadrato vidurkiui, žymėsime

DX, σ2

: DX = M(X - MX)2.

• Diskrečiojo atsitiktinio dydžio dispersija skaičiuojama pagalformulę

• Tolydžiojo atsitiktinio dydžio dispersija skaičiuojama pagalformulę

Dispersija įvertina atsitiktinio dydžio reikšmiųišsibarstymą apie vidurkį.

.p)MXxDXn

1i

i2

i

.dxxf MXxDX 2

61



Dispersijos savybės

1. Dispersija visuomet neneigiama:

DX≥0. 2. Pastovaus dydžio dispersija lygi nuliui: DC=0.

3. Pastovų daugiklį, pakėlus jį kvadratu, galima iškelti prieš

dispersijos ženklą: D(CX)=C2DX.

4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių algebrinės sumosdispersija lygi šių dispersijų sumai: D(X± Y)=DX+DY.

5. Teisinga formulė

DX=M(X2)-(MX)2.

62



5 savybės įrodymas. Įrodysime formulę diskrečiojo dydžio

atveju

Taigi, dispersiją galima skaičiuoti ir pagal tokias formules:

• , kai dydis diskretusis.

• , kai dydis tolydusis.

.MXXMmmm2XMpmpxm2px

pmpmx2pxpmmx2xpxxDX

2222n

1i

i2

n

1i

ii

n

1i

i2i

n

1i

i2

iii2i

n

1i

i2

i2i

n

1i

i2

i

2n

1i

i2i mpxDX

22 mdxxf xDX

63

Kitos sklaidos charakteristikos



Kitos sklaidos charakteristikos• Vidutinis kvadratinis nuokrypis (standartinis nuokrypis)

Reiškiamas tais pačiais vienetais, kaip ir pats atsitiktinis dydis,dažnai taikomas duomenų statistinėje analizėje.

• Variacijos koeficientas (kitimo koeficientas)

Bedimensis dydis, taikomas lyginant skirtingais vienetais matuotųdydžių reikšmių sklaidą.

• Kvartilinis plotis – skirtumas tarp viršutinio ir apatiniokvartilių(Q3-Q1).

Dažnai taikomas statistinėje analizėje, kai atsitiktinio dydžioskirstinys yra asimetriškas.

DX

%100m

V

64

Pradiniai ir centriniai momentai



Pradiniai ir centriniai momentai

Atsitiktinio dydžio X k – osios eilės pradiniu

momentu αk vadinamas dydžio Xk vidurkisαk=M(Xk), čia k=1,2,…

• jei dydis diskretusis

• jei dydis tolydusis

Aišku, kad α0=1, α1=MX, o α2-α12 = DX.

.px

n

1i

ikik

.dxxf xkk

65



Atsitiktinio dydžio X k – osios eilės centriniu

momentu k vadinamas dydžio (X-MX)k vidurkis

k = M(X-MX)k, čia k=1,2,…

• jei dydis diskretusis

• jei dydis tolydusis

Tuomet 0=1, 1=0, o 2=DX.

.pMXxn

1i

ik

ik

.dxxf MXx k

k

66

Asimetrijos koeficientas



Asimetrijos koeficientas

Atsitiktinio dydžio asimetrijos koeficientu

vadinsime skaičių γ1:

Tai skirstinio grafiko simetriškumomatas:

• Jei γ1

=0, tai skirstinys

simetriškas

Mo = Me.

• Jei γ1>0, skirstinio asimetrija

teigiama (dešinioji), tuomet modayra į kairę nuo medianos

Mo < Me.• Jei γ1<0, skirstinio asimetrija

neigiama (kairioji), tada moda yra įdešinę nuo medianos

Mo > Me.

x

f(x)

γ1>0 γ1=0γ1<0

.33

1

67

Ek



Ekscesas Atsitiktinio dydžio ekscesokoeficientu (ekscesu)

vadinsime skaičių γ2:

Ekscesas yra skirstinio grafiko

lėkštumo matas (lyginama sunormaliojo skirstinio grafiku):

x

f(x)

γ2>0 γ2=0

γ2<0

• Jei γ2=0, tai grafikas panašus į normaliojo skirstinio grafiką, atsitiktiniodydžio reikšmių sklaida apie vidurkį tokia pat, kaip ir normaliojo skirstinio;

• Jei γ2>0, tai grafikas smailesnis nei normaliojo skirstinio, reikšmiųsklaida apie vidurkį yra mažesnė nei normaliojo skirstinio; • Jei γ2<0, tai grafikas lėkštesnis nei normaliojo skirstinio, reikšmiųsklaida apievidurkį yra didesnė nei normaliojo skirstinio.

.34

42

68

Koreliacijos koeficientas



Koreliacijos koeficientas Atsitiktiniai dydžiai gali būti priklausomi ir nepriklausomi .

Priklausomybė gali būti funkcinė ir stochastinė.

• Funkcinė priklausomybė – visiška priklausomybė, dydžiaisusieti formule. Pavyzdžiui, X – apskritimo spindulys, o Y –

skritulio plotas, tada Y=πX2.

• Stochastinė priklausomybė – dalinė priklausomybė,

neturime formulės siejančios dydžius. Pavyzdžiui,žmogaus ūgis ir svoris, mašinos amžius ir kaina.

Atsitiktinių dydžių priklausomybei įvertinti naudojamaspriklausomybės stiprumo matas – koreliacijos koeficientas.

Atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos koeficientu vadinsimeskaičių ρ

.11,

DYDX

MYMXYXM

69

Koreliacijos koeficientas kinta nuo -1 iki +1 :



j

• ρ = ±1 - priklausomybė visiška, • ρ = 0 - dydžiai visiškai nepriklausomi, • 0<|ρ|<1 - dalinė priklausomybė.

Priklausomybė gali būti: • |ρ|0,3 – silpna

• 0,3<|ρ|0,7 - vidutinė, • |ρ|>0,7 – stipri.

Ženklas „+“ reiškia, kad vienam dydžiui didėjant kitastaip pat didėja, o ženklas „-“ – kad vienam dydžiuididėjant kitas mažėja.

Koreliacijos koeficientas matuoja tik tiesinę priklausomybę, t.y., kai dydžiai visiškai priklausomi(ρ=±1), tai egzistuoja tokie skaičiai a ir b, kad Y=aX+b.

70

Pavyzdžiai



1. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirstiniai yra:

Raskite:

a) šių dydžių sumos ir sandaugos vidurkius

pagal apibrėžimą, pasinaudodami savybėmis;

b) Apskaičiuokite dydžio Z = X2 - 3Y + 5 vidurkį ir dispersiją, remdamiesisavybėmis;

c) Nustatykite atsitiktinių dydžių X, Y, X+Y, X∙Y modas.

Sprendimas. Randame dydžių X+Y ir X∙Y skirstinius:

Apskaičiuojame dydžių X ir Y vidurkius bei dispersijas: MX=1∙0,4+2∙0,2+3∙0,4=2 ir MY=0∙0,5+1∙0,5=0,5; DX=(1-2)2∙0,4+(2-2)2 ∙0,2+(3-2)2 ∙0,4=0,8 ir DY=(0-0,5)2 ∙0,5+(1-0,5)2 ∙0,5=0,25.

X 1 2 3

P(X) 0,4 0,2 0,4

Y 0 1

P(Y) 0,5 0,5

X+Y 1 2 3 4

P(X+Y) 0,2 0,3 0,3 0,2

X∙Y 0 1 2 3

P(X∙Y) 0,5 0,2 0,1 0,2

71

a) Skaičiuojame dydžių X+Y ir X∙Y vidurkius:



a) Skaičiuojame dydžių X+Y ir X∙Y vidurkius:

pagal apibrėžimą

M(X+Y)=1∙0,2+2∙0,3+3∙0,3+4∙0,2=2,5 ir M(X∙Y)=0∙0,5+1∙0,2+2∙0,1+3∙0,2=1;

pasinaudodami savybėmis M(X+Y)=MX+MY=2+0,5=2,5 ir M(X∙Y)=MX∙MY=2∙0,5=1.

b) Jei dydis X įgyja reikšmes 1, 2, 3 su tikimybėmis 0,4; 0,2; ir 0,4, tai dydis X2

įgis reikšmes 1, 4, 9 su tomis pačiomis tikimybėmis 0,4; 0,2; 0,4.

Pasinaudojame vidurkių savybėmis ir gauname

MZ=M(X2-3Y+5)=M(X2)-3MY+M5=(1∙0,4+4∙0,2+9∙0,4)-3∙0,5+5= 4,8 -1,5 + 5==8,3.

Pasinaudojame dispersijų savybėmis ir gauname

DZ=D(X2-3Y+5)=D(X2)+9DY+D5=(1-4,8)2 ∙0,4+(4-4,8)2 ∙0,2+(9-4,8)2 ∙0,4+

+9∙0,25+0=12,96 + 2,25 = 15,21.

c) Atsitiktinis dydis X turi dvi modas Mo(X)=1 ir Mo(X)=3; dydis Y modos neturi;dydis X+Y taip pat turi dvi modas Mo(X+Y)=2 ir Mo(X+Y)=3, o dydis XY turi vienąmodą Mo(XY)=0.

72

2 R kit t l dži j t itikti i d dži X k iti h kt i tik j i j



2. Raskite tolydžiojo atsitiktinio dydžio X skaitines charakteristikas, jei jo

pasiskirstymo funkcija yra tokia:

Sprendimas. Norint rasti skaitines charakteristikas, reikia žinoti tankį. Tankįrandame diferencijuodami pasiskirstymo funkciją:

.4xkai,1

,4x2kai,4x12

1

,2xkai,0

xF 2

.4xkai,0

,4x2kai,6

x,2xkai,0

xFxf

.913

1856

18x0dxx

610dx0xdx

6xxdx0xdxxf xMX

4

2

34

2

2

4

4

2

2

73

444 2



32,0x162

784x

27

56

4

x

6

1dxx

81

784x

9

56x

6

1dx

6

x

9

28xDX

4

2

2344

2

234

2

2

.32,068,91068,946461

81784

4x

61

928dx

6xxDX

4

2

424

2

2

Atsitiktinio dydžio X kvantiliai:

Q1:

Q2:

Q3:

x0,95 (0,95 lygmens kvantilis):

.65,2Q;65,27x,7x,

4

14x

12

1,

4

1xF 1

22

.16,3Q;16,310xčiaiš,10xarba2

14x

12

1;

2

1xF 2

22

.61,3Q;61,313x,13x,4

34x12

1,4

3xF 3

22

.92,3x;92,3x,4,15x,95,04x12

1,95,0xF 95,0

22

74



Atsitiktinis dydis X turi vieną modą Mo = 4, nes tai tankio maksimumo

taškas

2 uždavinio brėžinys

42 x0

f(x)

⅓

⅔

Q1 Me Q3 x0,95

3

75



3.1. Diskretieji skirstiniai3.2. Tolydieji skirstiniai

3. Pagrindiniai atsitiktiniųdydžių skirstiniai

3 1 Di k ti ji ki ti i i



3.1. Diskretieji skirstiniai

,n...,,2,1,0kir 0p,p1pCkXP knkkn

.1qpp...qpCpqCqqpCp nn2n22

n1n1

nn

n

0k

knkkn

n

0k

k

Binominis skirstinysDiskretusis atsitiktinis dydis X turi binominį skirstinį ,

jei jis įgyja sveikas neneigiamas reikšmes su tikimybėmis

čia p – binominio skirstinio parametras. Simboliškaiužrašome X~B(n,p).

Binominio dydžio reikšmių aibė baigtinė

{0,1,2,...,n}, o tikimybės tenkina lygybę

77

Bi i i ki ti i i ki t f k ij



Binominio skirstinio pasiskirstymo funkcija yra

Šį skirstinį galima pavaizduoti ir grafiškai. Pavyzdžiui,paveiksle pateiktas binominio skirstinio, kai bandymųskaičius n=10, o sėkmės tikimybė 0,8, poligonas.

.pxFxk

k

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

P(X)

78

Rasime binominio dydžio X skaitines charakteristikas.



Rasime binominio dydžio X skaitines charakteristikas.

Atsitiktinis dydis X (sėkmių skaičius, atlikus n eksperimentų)gali būti išreikštas n nepriklausomų atsitiktinių dydžių Xi

(i=1,2,...,n) suma, t.y. X = X1+X2+…+Xn, kur kiekvieno Xi skirstinys yra:

Dydžių Xi vidurkiai ir dispersijos yra:

MXi=1∙p+0∙q=p (i=1,2,…,n);

DXi=(1-p)2p+(0-p)2q=pq2+p2q=pq(q+p)=pq (i=1,2,…,n).

Tada MX=M(X1+X2+…+Xn)=MX1+MX2+…+MXn=np.

DX=D(X1+X2+…+Xn)=DX1+DX2+…+DXn=npq.

Xi 0 1

P(Xi) q p

.npqDXX 79

Statistinis įvykio dažnisX



Statistinis įvykio dažnis

Pasinaudoję vidurkio ir dispersijos savybėmis, randame

Dydis σν vadinamas santykine kvadratine paklaida. Jei

tikimybė p ir dažnis ν išreikšti procentais, tai ši paklaida -

procentinė santykinė paklaida

.n

,pnpn

1MX

n

1

n

XMM

,n

pqnpq

n

1DX

n

1

n

XDD

22

.n

pqD

.

n

p100p

80

Puasono skirstinys



Puasono skirstinys

Diskretusis atsitiktinis dydis X turi Puasono skirstinį , jei

jis įgyja sveikas neneigiamas reikšmes su tikimybėmis

čia λ – Puasono skirstinio parametras. Simboliškai

užrašome X~P(λ). Puasono skirstinio atveju nepriklausomų eksperimentųskaičius n yra didelis (n→∞), o įvykio tikimybė artimanuliui (p→0), tuomet np→ λ. Puasono skirstinio reikšmių

aibė yra begalinė skaičioji, o tikimybės tenkina lygybę

,0...;,2,1,0k,e!k

)kX(Pk

.1ee!k

ee!k

p0k 0k 0k

kk

k

81

Puasono skirstinio vidurkis ir dispersija sutampa ir lygūs



parametrui λ

MX= λ ir DX= λ.

Didėjant λ, Puasono skirstinys tampa vis labiau simetriškas(žr. pav.).

00,1

0,2

0,3

0,40,5

0,6

0,7

0 5 10 15 20 25 X

P(X)

λ=10

λ=5

λ=2

λ=1/2

82

3 2 Tolydieji skirstiniai



3.2. Tolydieji skirstiniai

Tolygusis skirstinys

Sakome, kad atsitiktinis dydis pasiskirstęs tolygiai , jei joskirstinio tankis

Simboliškai rašome X~T(a,b). Šis atsitiktinis dydis įgyjareikšmes iš intervalo [a,b] su vienodomis tikimybėmis.

Tai iš tikro tikimybinis skirstinys, nes

.bxir axkai,0

,bxakai,ab

1

xf

.1ab

abx

ab

1xdx

ab

1

ab

dxdxxf

b

a

b

a

b

a

83

Šio dydžio pasiskirstymo funkcija yra



0 a b x

F(x)

1

Pasiskirstymo funkcijos grafikasTankio grafikas

xba0

f(x)

ab

1

y p y j y

,

.bxkai,1

bxakai,ab

ax

,axkai,0

xF

84

Rasime MX ir DX:



Rasime MX ir DX:

,

2

ab

ab2

ab

2

x

ab

1xdx

ab

1dxxxf MX

22b

a

2b

a

.12

ab

ab12

ab

8

ba

8

ab

ab3

1

2

abx

ab3

1dx

2

abx

ab

1dxxf MXxDX

2333

b

a

3b

a

22

.ab

xab

1dx

ab

1

ab

dxXP

Tada tikimybė, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmes iš

intervalo [α,β] bus

85

Normalusis (Gauso) skirstinys



Normalusis (Gauso) skirstinys Atsitiktinio dydžio skirstinys vadinamas normaliuoju, jei jo

tankis yra

čia m ir σ – tam tikros konstantos, vadinamos normaliojo

skirstinio parametrais. Simboliškai žymime X~N(m,σ).

Tai iš tikro yra tikimybinis skirstinys, nes

Čia atlikome integravimo kintamojo keitimą

Be to, pasinaudojome žinomu integralu

,0,m,x,e2

1xf 2

2

2

mx

.1due2

1dxe

2

1dxxf 2

u

2

mx 2

2

2

.dx

du,mx

u

.2due 2

u2

86

f(x)



Kaip matome, normaliojo skirstinio tankio grafikas yra

varpo formos, simetriškas taško x =m atžvilgiu, be to, tametaške pasiekia maksimumą, lygų Taigi, m = Me = Mo.

Normaliojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra

.2

1

X~N(m,σ)

x

f(x)

Normaliojo skirstinio tankis ir pasiskirstymo funkcija

m0 x0

1

F(x)

.due2

1xF

x

2

mu

2

2

87

f(x) f(x)



Normaliojo skirstinio tankio priklausomybė: a) nuo parametro m; b) nuo parametro σ

x

( )

m10 m2 m3

m1<m2<m3

a)

x

σ1<σ2<σ3

m0

b)

Parametras m charakterizuoja padėtį. Kintant parametrui m,tankio grafikas pasislenka Ox ašimi, bet formos nekeičia.Parametras σ apsprendžia kreivės formą. Mažėjant σ,grafikas smailėja.

88

Nesunkiai įrodoma, kad



esu a į odo a, ad

Normaliojo skirstinio visi nelyginės eilės centriniaimomentai lygūs nuliui μ1=μ3=μ5=…=0, todėl asimetrijoskoeficientas γ1=0. Ekscesas γ2=0, nes .

Jei parametrai m=0 ir σ =1, tai toks skirstinysvadinamas standartiniu normaliuoju skirstiniu, simboliškaižymime X~N(0,1).

,mdxe

2

1xMX

2

2

2

mx

.mdxe2

1x)MX(MXDX 222

mx

222 2

2

44

4 3)( MX X M

89

Standartinio normaliojo skirstinio tankis ir atitinkamai



j

pasiskirstymo funkcija yra tokie:

Funkcija Ф(x) yra vadinama Laplaso funkcija, yra sudarytos

jos reikšmių lentelės. Kadangi standartinio normaliojoskirstinio tankis simetriškas koordinačių pradžios atžvilgiu, taiLaplaso funkcija tenkina lygybę

Ф(-x)=1- Ф(x).

Funkcijos Ф(x) reikšmės naudojamos, kai reikia apskaičiuotitikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmes iš duotointervalo. Tegul X~N(m,σ), tada

x

2

t

2

x

.dte2

1xir ;x,e2

1x

22

.dxe2

1dxxf XP 2

2

2

mx

90

Duotame integrale atliekame kintamųjų keitimą .dtdx

;tmx



g ųjų ą

Tuomet

.mmdte21XP

/m

/m

2

t2

Praktiniuose uždaviniuose dažnai tenka skaičiuoti tikimybę,

kad atsitiktinis dydis X~N(m,σ) įgis reikšmes iš intervalo,simetrinio vidurkio atžvilgiu

.1h2hhmhmmhm

hmXhmPhmXhPhmXP

91

Remdamiesi šiuo rezultatu galime apskaičiuoti normaliojo



Remdamiesi šiuo rezultatu galime apskaičiuoti normaliojoskirstinio kvartilius.

Tegu apatinis ir viršutinis kvartiliai yra nutolę nuo vidurkio matstumu h, tada

Pasinaudojame Laplaso funkcijos reikšmių lentele irgauname arba h=0,675σ.

Tada

Q1 = m-0,675σ,

Q2 = m,

Q3 = m+0,675σ.

.4

3h,

2

11

h2hmXhmP

675,0h

92

Rasime normaliai pasiskirsčiusio atsitiktinio dydžio



Rasime normaliai pasiskirsčiusio atsitiktinio dydžionuokrypio nuo vidurkio tikimybes, kai h = σ, 2σ, 3σ:

P(|X-m|<σ)=2Ф(1)-1=2∙0,8413-1≈0,68;

P(|X-m|<2σ)=2Ф(2)-1=2∙0,9773-1≈0,95;

P(|X-m|<3σ)=2Ф(3)-1=2∙0,9987-1≈0,997.

Tai yra vadinamoji „3 sigmų“ taisyklė. Ji teigia, jog praktiškaivisos normaliai pasiskirsčiusio atsitiktinio dydžio reikšmėspatenka į intervalą [m-3σ, m+3σ].

Medicinos tyrimai dažniausiai tenkinasi 95% tikslumu, t.y.laikoma, jog atsitiktinis dydis nuo savo vidurkio nenukrypsta

daugiau kaip per 2σ. Intervalas [m-2σ, m+2σ] – fiziologinėnorma.

93

Dažnai patogumo dėlei naudojamas normuotas dydis,X



kuriam neturi reikšmės matavimo vienetai,

Parodysime, kad MZ=0 ir DZ=1:

Normuoto dydžio Z ~ N(0,1) beveik visos reikšmės patenka įintervalą [-3, 3].

Normalusis skirstinys – vienas svarbiausių skirstiniųmatematinėje statistikoje, ypatingas tuo, kad tai - ribinis

skirstinys, prie kurio, esant gana bendroms sąlygoms, artėjakiti atsitiktinių dydžių skirstiniai (Centrinė ribinė teorema).Nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra vyraujančių,

suma turi normalųjį skirstinį

.mX

Z

,0mm1

mMX1

mXM1mX

MMZ

.11

DmDX1

mXD1mX

DDZ 2

222

94

Pavyzdys 6x 2



Pavyzdys.Normaliojo skirstinio tankio funkcija yra

Raskite:a) Skirstinio parametrus ir konstantą c; b) Skaitines charakteristikas (MX, DX, mo, me, Q1, Q2,

Q3);

c) Intervalus, į kuriuos patenka visos atsitiktinio dydžio Xreikšmės, 95% reikšmių, du trečdaliai reikšmių;

d) Tikimybes, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmes išintervalų: [4;10],

[0;4] ir [-2;5];

e) Nubrėžkite tankio grafiką.

.ecxf 8

6x

95

Sprendimas

a) Iš d otosios tankio f nkcijos t rime m 6 ir 2σ2 8 Tada



a) Iš duotosios tankio funkcijos turime m=6 ir 2σ2=8. Tada

σ=2, o

b) MX=m=6, DX=σ2=4, mo=me=m=6,

Q1=m-0,675σ =6-0,675∙2=4,65,

Q2=me=6,Q3=m+0,675σ =6+0,675∙2=7,35.

c) Visos normaliojo atsitiktinio dydžio X reikšmės patenka įintervalą [m-3σ; m+3σ]=[0; 12],

95% reikšmių patenka į intervalą [m-2σ; m+2σ]=[2;10], 2/3 reikšmių patenka į intervalą [m-σ; m+σ]=[4;8].

.2,051

221

21c

96

d)



d)

2XmPmXmP2mXmP10X4P

;765,0425,034,095,02

168,02

1

mXmPmX3mP4X0P

;1585,0317,02

168,0997,02

168,02

1997,02

1

5,115,05,15,0

2

63

2

677X3P

.624,0933,01691,0

97

e) Atsitiktinio dydžio X~ N(6 2) tankio grafikas



0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

f(x)

e) Atsitiktinio dydžio X~ N(6,2) tankio grafikas

98

Skirstiniai susiję su normaliuoju skirstiniu



χ2 (CHi kvadratu) skirstinys χ2 skirstinį su n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

čia X1, X2, ..., Xn yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinįturintys atsitiktiniai dydžiai, Xi~N(0,1).

,X...XX 2n

22

21

2n

MX=n,

DX=2n.

99

Stjudento t skirstinys



Stjudento t skirstin į su n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

čia Y, X1, X2, ..., Xn yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinįturintys atsitiktiniai dydžiai, Y, Xi~N(0,1).

;

n

Y

n/X...XX

Yt

2n

2n

22

21

n

.2n

n

DX

,0MX

100

Fišerio F skirstinys



yFišerio skirstinį su m ir n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

čia Y1, Y2, ..., Ym, X1, X2, ..., Xn yra nepriklausomi, standartinįnormalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai, Y j, Xi~N(0,1).

;n/m/

n/X...XXm/Y...YYF 2

n

2

m2n

22

21

2

m

2

2

2

1n,m

.4n2nm

2mnn2

DX

,2n

nMX

2

2

101

1 lentelė. Standartinio normaliojo skirstinio funkcija Ф(x)x 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0 0 0 5000 0 5040 0 5080 0 5120 0 5160 0 5199 0 5239 0 5279 0 5319 0 5359



0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

102

1 lentelė (tęsinys). Standartinio normaliojo skirstinio funkcija Ф(x)x 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

2 0 9772 0 9778 0 9783 0 9788 0 9793 0 9798 0 9803 0 9808 0 9812 0 9817



2 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999

tikimybiu teorijos elementai

Documents