39 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

Captulo 5. Momento de torsin y equilibrio rotacional

Conversin de unidades

5-1. Dibuje el brazo del momento de la fuerza F sobre un eje en el punto A de la figura 5-11a.

Cul es la magnitud del brazo del momento?

Se dibujan perpendiculares a la lnea de accin:

rA = (2 ft) sen 250 rA = 0.845 ft

5-2. Calcule el brazo del momento sobre el eje B de la figura 5-11a. (Vase la figura anterior.)

rB = (3 ft) sen 250 rB = 1.27 ft

5-3. Calcule el brazo del momento si el eje de rotacin est en el punto A de la figura 5-11b.

Cul es la magnitud del brazo del momento?

rB = (2 m) sen 600 rB = 1.73 m

5-4. Halle el brazo del momento en el eje B de la figura 5-11b.

rB = (5 m) sen 300 rB = 2.50 m

Momento de torsin

5-5. Si la fuerza F de la figura 5-11a es igual a 80 lb, cul es el momento de torsin resultante en

el eje A (ignore el peso de la varilla)? Cul es el del eje B?

Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que A es y B es +.

(a) A = (80 lb)(0.845 ft) = 67.6 lb ft (b) B = (80 lb)(1.27 ft) = +101 lb ft

5-6. La fuerza F ilustrada en la figura 5-11b es de 400 N y el peso del hierro del ngulo es

insignificante. Cul es el momento de torsin resultante en torno de los ejes A y B?

Las torsiones contra reloj son positivas, de modo que A es y B es +.

(a) A = (400 N)(1.732 m) = +693 N m; (b) B = (400 N)(2.50 m) = 1000 N m

3 ft

2 ft rB

B A

250

F

rA

250

2 m

5 m

rB rA

600 B

300

A

F

40 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

5-7. Una correa de cuero enrollada en una polea de 20 cm de dimetro. Se aplica a la correa una

fuerza de 60 N. Cul es el momento de torsin en el centro del eje?

r = D = 10 cm; = (60 N)(0.10 m) = +6.00 N m

5-8. La varilla liviana de la figura 5-12 tiene 60 cm de longitud y gira libre alrededor del punto A.

Halle la magnitud y el signo del momento de torsin provocado por la fuerza de 200 N, si el

ngulo es de (a) 90, (b) 60, (c) 30 y (d) 0.

= (200 N) (0.60 m) sen para todos los ngulos:

(a) = 120 N m (b) = 104 N m

(b) = 60 N m (d) = 0

5-9. Una persona que pesa 650 N decide pasear en bicicleta. Los pedales giran con un radio de 40

cm. Si todo el peso acta en cada movimiento descendente del pedal, cul es el momento

de torsin mximo?

= (250 N)(0.40 m) = 260 N m

5-10. Una correa corre en dos poleas. La de traccin: 10 cm de dimetro, la de salida un dimetro

de 20 cm. Si la tensin en la parte superior de la correa es de 50 N en el borde de cada

polea, cules son los momentos de torsin de entrada y de salida?

Torsin a la entrada = (50 N)(0.10 m) = 5 N m

Torsin a la salida = (50 N)(0.20 m) = 10 N m

Momento de torsin resultante

5-11. Cul es el momento de torsin resultante en A de la figura 5-13? Ignore la barra.

= +(30 N)(6 m) - (15 N)(2 m) (20 N)(3 m)

= 90.0 N m, en sentido contrario al reloj.

F

A 200 N

r

60 cm

30 N

2 m

15 N

20 N A

4 m 3 m

41 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

5-12. Calcule el momento de torsin resultante en la figura 5-13 si el eje se mueve hasta el

extremo izquierdo de la barra.

= +(30 N)(0) + (15 N)(4 m) (20 N)(9 m)

= 120 N m, en sentido contrario al reloj.

5-13. Qu fuerza horizontal se aplica en el punto A de la figura 5-11b para que el momento de

torsin resultante en B sea igual a cero si la fuerza F = 80 N?

= P (2 m) (80 N)(5 m) (sen 300) = 0

2 P = 200 N; P = 100 N

5-14. Dos ruedas de 60 cm y 20 cm de dimetro giran sobre el mismo eje, figura 5-14. Cul es el

momento de torsin resultante en torno de un eje central con los pesos ah indicados?

r1 = (60 cm) = 0.30 m; r2 = (30 cm) = 0.15 m

= (200 N)(0.30 m) (150 N)(0.15 m) = 37.5 N m; = 37.5 N m, contra reloj

5-15. Suponga que retira el peso de 150 N de la rueda ms pequea de la figura 5-14. Qu nuevo

peso puede colgar para obtener un momento de torsin resultante de cero?

= (200 N)(0.30 m) W (0.15 m) = 0; W = 400 N

5-16. Calcule el momento de torsin resultante de la esquina A.

= +(160 N)(0.60 m) sen 400 (80 N)(0.20 m)

= 61.7 N m 16.0 N m = 45.7 N m

R = 45.7 N m

5-17. Halle el momento de torsin resultante de C en la figura 5-15.

= (80 N)(0.20 m) = 16 N m

30 N

2 m

15 N

20 N

A 4 m 3 m

2 m

5 m

rB

B

300

P

F = 80 N

C

B

A

80 N

400 20 cm

60 cm

r 400

160 N

C

80 N

400 20 cm

60 cm r

160 N

42 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

*5-18. Halle el momento de torsin resultante del eje B.

Fx = 160 cos 400; Fy = 160 sen 400

= (123 N)(0.2 m) + (103 N)(0.6 m) = 37.2 N m

Equilibrio 5-19. Una regla de material uniforme se ha equilibrado en su punto medio en un punto de apoyo.

Una pesa de 60 N cuelga a 30 cm. En qu punto debe colgar una pesa de 40 N para

equilibrar el sistema? (El peso de 60 N est a 20 cm del eje.)

= 0; (60 N)(20 cm) (40 N)x = 0

40 x = 1200 N cm o x = 30 cm:

El peso debe colgar en la marca de 80 cm.

5-20. En una regla se colocan pesas de 10 N, 20 N y 30 N en las marcas de 20, 40 y 60 cm,. La

regla se balancea sobre un solo apoyo en su punto medio. En qu punto habr que agregar

una pesa de 5 N para obtener el equilibrio?

= (10 N)(30 cm) + (20 N)(10 cm)

(30 N)(10 cm) (5 N) x = 0

5 x = (300 + 200 300) o x = 40 cm

El peso de 5 N debe estar a los 90 cm.

5-21. Una tabla de 8 m con peso despreciable est sostenida a 2 m del extremo derecho, donde se

le aplica un peso de 50 N. Qu fuerza descendente se tendr que ejercer en el extremo

izquierdo para alcanzar el equilibrio?

= 0: F (6 m) (50 N)(2 m) = 0

6 F = 100 N m o F = 16.7 N

5-22. Un poste de 4 m usado por dos cazadores para cargar un venado de 800 N que cuelga a 1.5

m del extremo izquierdo. Cules son las fuerzas ascendentes para cargarlo?

= A (0) (800 N)(1.5 m) + B (4.0 m) = 0

4B = 1200 N o B = 300 N

Fy = A + B 800 lb = 0; A = 500 N

Fx

Fy B

80 N

400 20 cm

60 cm

160 N

20 cm x

40 N 60 N

10 cm 30 cm

10 N 20 N

x

5 N 30 N

50 N

F 6 m 2 m

800 N

B A 2.5 m 1.5 m

Eje

43 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

5-23. Suponga que la barra de la figura 5-16 tiene un peso despreciable. Halle las fuerzas F y A

considerando que el sistema est en equilibrio.

= (80 N)(1.20 m) F (0.90 m) = 0; F = 107 N

Fy = F A 80 N = 0; A = 107 N 80 N = 26.7 N

F = 107 N, A = 26.7 N

5-24. Cules deben ser las fuerzas F1 y F2 para lograr el equilibrio en la figura 5-17?

= (90 lb)(5 ft) F2 (4 ft) (20 lb)(5 ft) = 0;

F2 = 87.5 lb Fy = F1 F2 20 lb 90 lb = 0

F1 = F2 +110 lb = 87.5 lb + 110 lb, F1 = 198 lb

5-25. Considere la barra ligera sostenida como indica la figura 5-18. Cules son las fuerzas que

ejercen los soportes A y B?

= B (11 m) (60 N)(3 m) (40 N)( 9 m) = 0;

B = 49.1 N Fy = A + B 40 N 60 N = 0

A = 100 N B = 100 N 49.1 N; B = 50.9 N

5-26. Una correa en V enrollada en una polea de 16 pulg de dimetro. Requiere un momento de

torsin resultante de 4 lb ft, qu fuerza debe aplicar a la correa?

R = (16 in) = 8 in R = (8/12 ft) = 0.667 ft

= F (0.667 ft) = 4 lb ft; F = 6.00 lb

5-27. Un puente pesa 4500 N, tiene 20 m de longitud y soportes en ambos extremos. Halle las

fuerzas que ejerce en cada extremo un tractor de 1600 N a 8 m del extremo izquierdo.

= B (20 m) (1600 N)(8 m) (4500 N)( 10 m) = 0;

B = 2890 N Fy = A + B 1600 N 4500 N = 0

A = 6100 N B = 6100 N 2890 N; B = 3210 N

F

80 N

F

A

90 cm 30 cm Eje

20 lb F2

5 ft

Eje

1 ft

90 lb

F1 4 ft

B 3 m

Eje

40 N

2 m

60 N

A 6 m

B 10 m

Eje

4500 N

2 m

1600 N

A 8 m

44 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

5-28. Una plataforma de 10 ft que pesa 40 lb la sostienen escaleras de tijera. Un pintor que pesa

180 lb est a 4 ft del extremo derecho. Encuentre las fuerzas que ejercen los soportes.

= B(10 ft) (40 lb)(5 ft) (180 lb)( 6 ft) = 0;

B = 128 lb Fy = A + B 40 lb 180 lb = 0

A = 220 lb B = 220 lb 128 lb; A = 92.0 lb

*5-29. Una barra horizontal de 6 m, de 400 N, gira sobre un pivote fijo, vase figura 5-19. La

barra sujeta un cable a 4.5 m de la pared y sostiene un peso de 1200 N en el extremo

derecho. Cul es la tensin en el cable?

= 900 370 = 530; Ty = T sen 530

= (T sen 530)(4.5 m) (400 N)(3 m) (1200 N)(6 m) = 0;

3.59 T = 1200 N + 7200 N; T = 2340 N

*5-30. Cules son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la

barra? Cules son la magnitud y la direccin de esa fuerza?

Fx = H Tx = 0; H T cos 530 = 0; H = (2340 N) cos 530; H = 1408 N

Fy = V + T sen 530 400 N 1200 N = 0; V = 1600 N (2340 N) sen 530 = 269 N

As, las componentes son: H = 1408 N y V = 269 N. La resultante es:

2 2 0-2691434 N; tan = =10.8 SE

1408R H V ! != + = R = 1434 N, 349.20

Centro de gravedad

5-31. Una barra con longitud de 6 m pesa 30 N. De su extremo izquierdo pende una pesa de 50 N

y en el derecho se aplica una fuerza de 20 N. A qu distancia del extremo izquierdo debe

aplicar una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio?

Fy = F 50 N 30 N 20 N = 0; F = 100 N

= F x (30 N)(3 m) (20 N)(6 m) = 0

(100 N) x = 210 N m; x = 2.10 m

B 4 ft

Eje

180 lb

1 ft

40 lb

A 5 ft

1.5 m H

Ty

Ty B 1.5 m

Eje

1200 N 400 N

V 3 m

Eje

F

20 N 30 N 50 N

x

3 m 3 m

45 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

5-32. Una esfera de 40 N y otra de 12 N unidas por una varilla ligera de 200 mm de longitud. A

qu distancia del punto medio de la esfera de 40 N est el centro de gravedad?

Fy = F 40 N 12 N = 0; F = 52 N

= F x (40 N)(0) (12 N)(0.20 m) = 0

(52 N) x = 2.40 N m; x = 0.0462 m or x = 46.2 mm

5-33. Pesas de 2, 5, 8 y 10 N penden de una varilla ligera de 10 m a distancias de 2, 4, 6 y 8 m del

extremo izquierdo. A qu distancia del extremo izquierdo est el centro de gravedad?

Fy = F 10 N 8 N 5 N 2 N = 0; F = 25 N

Fx (2 N)(2 m) (5 N)(4 m) (8 N)(6 m) (10 N)(8 m) = 0

(25 N) x = 152 N m; x = 6.08 m

5-34. Calcule el centro de gravedad de un martillo si la cabeza de metal pesa 12 lb y el mango de

32 in que la sostiene pesa 2 lb. Suponga que la construccin y el peso del mango son

uniformes.

Fy = F 2 lb 12 lb = 0; F = 14 lb

Fx (12 lb)(0) (2 lb)(16 in) = 0; Fx = 32 lb in

(14 lb) x = 32 lb in; x = 2.29 in de la cabeza.

Problemas adicionales

5-35. Cul es el momento de torsin resultante en torno del pivote de la figura 5-20?

= (80 N)(0.6 m) (200 N)(0.4 m) sen 400

= 48.0 N m 51.4 N m; = 3.42 N m

5.36 Con qu fuerza horizontal, aplicada al extremo izquierdo de la varilla, figura 5-20, se llega

al equilibrio rotacional?

Del problema 5-33: = - 3.42 N m.

As, si = 0, entonces se debe adicionar la torsin de +3.42 N.

F

12 N 40 N 200 mm

x

10 N 5 N 8 N 2 N

2 m

2 m 2 m

2 m

2 m x F

F

16 in 16 in

x

2 lb 12 lb

200 N

60 cm

40 cm r 40

0 400

80 N

F

40 cm

r 400 80 N

46 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

F (0.6 m) cos 400 = +3.45 N m; F = 7.45 N

47 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

5-37. Pesas de 100, 200 y 500 N colocadas sobre una tabla ligera que descansa en dos soportes,

como se aprecia en la figura 5-21. Cules son las fuerzas que ejercen los soportes?

= (100 N)(2 m) + B(8 m)

(200 N)(3 m) (500 N)(6 m) = 0; B = 425 N

Fy = A + B 100 N 200 N 500 N = 0

A = 800 N B = 800 N 425 N; A = 375 N

Las fuerzas ejercidas por los soportes son: A = 375 N y B = 425 N

5-38. Una viga de acero de 8 m pesa 2400 N sostenida a 3 m del extremo derecho. Si se coloca un

peso de 9000 N en el extremo derecho, qu fuerza se debe aplicar en el extremo izquierdo

para equilibrar el sistema?

= A (5 m) + (2400 N)(1 m) (9000 N)( 3 m) = 0;

A = 4920 N Fy = A + B 2400 N 9000 N = 0

B = 11 400 N A = 11 400 N 4920 N; A = 6480 N

*5-39. Halle el momento de torsin resultante del punto A, figura 5-22.

= (70 N)(0.05 m) sen 500 (50 N)(0.16 m) sen 550

= 2.68 N m 6.55 N m = 3.87 N m

= 3.87 N m

*5-40. Halle el momento de torsin resultante del punto B, figura 5-22.

= (70 N)(0) (50 N)(a + b) ; Primero encuentre a y b.

a = (0.05 m) cos 500 = 0.0231 m; b = (0.16 m) sen 550 = 0.131 m

= (50 N)(0.0231 m + 0.131 m) = 8.16 N m

= 8.16 N m

Eje

100 N 200 N 500 N

A B 3 m 3 m 2 m 2 m

A 9000 N

F 4 m 3 m 1 m

2400 N

b

a 70 N

50 N

B

5 cm

16 cm

500

550

r

r

70 N

50 N

B 5 cm

A

16 cm

500

550

A 9000 N

F 4 m 3 m 1 m

2400 N

48 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

Preguntas para la reflexin crtica

*5-41. Una caja de 30 lb y otra de 50 estn en extremos opuestos de una tabla de 16 ft sostenida

en su punto medio. A qu distancia del lado izquierdo se debe colocar una caja de 40 lb

para lograr el equilibrio? Sera diferente si pesara 90 lb? Por qu s o por qu no?

= (30 lb)(8 ft) + (40 lb)(x) (50 lb)(8 ft) = 0;

x = 4.00 ft Note que el peso en el centro NO

contribuye a la torsion alrededor del centro y por

consiguiente, el punto de equilibrio no es afectado,

sin importar el peso.

5-42. En un banco tiene una piedra pequea, una regla de 4 N y un soporte con borde de navaja.

Cmo usa esos tres elementos para hallar el peso de la piedra pequea.

Mida las distancias a y b, determine F y despus

calcule el peso W a partir de mtodos de equilibrio.

*5-43. Calcule las fuerzas F1, F2 y F3 para que el sistema de la figura 5-23 quede en equilibrio.

Note las fuerzas de accin-reaccin R y R.

Primero, trabaje la tabla superior:

(de R) = 0; R es hacia arriba.

R = (300 lb)(6 ft) (50 lb)(2 ft) F1(8 ft) = 0

F1 = 213 lb

Ahora, Fy = 0 da: 213 lb + R 300 lb 50 lb = 0; R = 138 lb = R

Sume los momentos de torsin F2 con R = 138 lb hacia abajo:

F = (138 lb)(3 ft) + F3(7 ft) (200 lb)(5 ft) = 0; De donde: F3 = 83.9 lb

Fy = 0 = F2 + 83.9 lb 138 lb 200 lb; F2 = 254 lb

Las tres fuerzas desconocida: F1 = 213 lb, F2 = 254 lb, F3 = 83.9 lb

0.5 m F 4 N W

b a

x

F

W 40 lb

8 ft 8 ft

50 lb 30 lb

50 lb 2 ft

5 ft

2 ft 6 ft

3 ft 2 ft 300 lb

200 lb

F3 F2

F1

R

R

49 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

*5-44. (a) Qu peso W producir una tensin de 400 N en la cuerda atada a la vigueta de la

figura 5-24? (b) Cul sera la tensin en la cuerda si W = 400 N? Ignore el peso de la

vigueta en ambos casos.

(a) = (400 )(4 m) sen 300) W (6 m) cos 300 = 0

W = 154 N

(b) = T(4 m) sen 300 (400 N)(6 m) cos 300 = 0

T = 600 N

*5-45. Suponga que la vigueta de la figura 5-24 pesa 100 N y que el peso suspendido W es igual a

40 N. Cul es la tensin en la cuerda?

= (4 m) sen 300) (40 N)(6 m) cos 300

(100 N)(3 m) cos 300 = 0

T = 234 N

*5-46. En las condiciones del problema 5-45, cules son las componentes horizontal y vertical

de la fuerza que ejerce el gozne sobre la base de la vigueta?

Fx = H 1169 N = 0; o H = 1169 N

Fy = V 100 N 400 N = 0; o V = 500 N

H = 1169 N y V = 500 N

**5-47. Cul es la tensin en el cable de la figura 5-25? El peso de la vigueta es 300 N, pero se

ignora su longitud. (Seleccione el eje en la pared, L se cancela.)

0 0 0sen75 (300 ) sen30 546 sen30 02

LTL N L!" = # # =

T sen 750 = 75.0 N + 273 N; T = 360 N

Axis

300

4 m

2 m 400 N

W 300

100 N Eje

300

4 m

2 m T

W 300

V

H

100 N Eje

300

4 m

2 m 1169 N

400 N

300

T

H

546 N

L

r

750

300 N

450

300

V

50 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 5 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

**5-48. Cules son la magnitud y la direccin de la fuerza que ejerce la pared sobre la vigueta,

figura 5-25? Tambin, suponga que el peso de la tabla es de 300 N.

Remtase a la figura y datos dados en el problema 5-7 y recuerde que T = 360 N.

Fx = H - (360 N) cos 450 = 0; H = 255 N

Fy = V + (360 N) sen 450 300 N 546 N = 0; V = 591 N

H = 255 N y V = 591 N

*5-49. El eje trasero est a 3.4 m del delantero de un auto. 60 % del peso del auto descansa en las

ruedas delanteras, a qu distancia del eje frontal se localiza el centro de gravedad?

= 0.6W(0) + 0.4W(3.4 m) F x = 0

Pero F = W: 1.36 W W x = 0

x = 1.36 m en el eje frontal

600

300

450

T = 360 N

0.4W

x F

0.6W 3.4 m

Eje