tkt jyrki laitinen [email protected] …jyrkila/0405/tl5231/johdanto.pdf · 2004-09-07 ·...

©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria (S2004) 1

SignaaliteoriaTkT Jyrki Laitinen

[email protected]/~jyrkila


JohdantoSignaali on yksiarvoinen funktio, joka kuljettaa mukanaan informaatiota. Signaalilla on kullakin ajanhetkellä yksikäsitteinen arvo. Matemaattisesti esimerkiksi signaali g voidaan esittää muodossa g = g(t), missä aika t on aina reaaliarvoinen.

Useimmiten signaalin arvot g(t) esittävät jonkun ilmiön amplitudiarvoa ajan t funktiona. Neliöimällä amplitudiarvo saadaan vastaava energiaan verrannollinen arvo, eli energia ~ amplitudi2.

Signaalit voivat olla yksi tai useampiulotteisia. Esimerkiksi harmaasävykuva on kaksiulotteinen (2D) signaali, jossa signaalin amplitudiarvo riippuu kahdesta kuvapisteen paikan kuvassa määrittävästä koordinaattiarvosta g = g(x,y).

Tällä opintojaksolla käsitellään vain yksiulotteisia signaaleja ja niiden käsittelyyn käytettyjä menetelmiä.


Johdanto

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3

-2

-1

0

1

2

3

t [s ]

Ampl

itudi

g(t)

Esimerkki. Yksiulotteinen signaali g(t) ajan t funktiona. g(t) esittää AM-moduloitua signaalia. Nopeat muutokset vastaavat kantoaaltotaajuutta. Matalataajuinen informaatio näkyy katkoviivoilla esitetyissä signaalin g(t) verhokäyrissä.


JohdantoEsimerkki. Kaksiulotteinen signaali g(x,y) paikan (x,y) funktiona. g(x,y) on tässä harmaasävykuva, jossa signaaliarvo g ilmaisee pisteen vaaleusasteen ja paikkakoordinaatit x ja y pisteen sijainnin kuvassa.

Harmaasävykuva253 252 251 249 249 255 241 238 244 215113 96 89 69 81 68 76 57 60 58248 133 73 53 42 43 35 48 34 28255 236 252 134 31 38 42 46 29 36255 247 240 247 104 31 32 31 30 2199 99 95 64 78 59 59 108 114 110

165 158 157 146 98 45 75 98 76 181188 177 109 39 83 84 108 72 41 139175 140 91 143 156 163 156 155 169 76106 57 142 164 170 179 158 157 150 96


JohdantoSignaalinkäsittelyyn liittyy perusmääritelmiä ja operaatioita, jotka on esitetty seuraavassa kuvassa.

Käsiteltävää signaalia kutsutaan tulosignaaliksi (lyhyemmin tuloksi) ja merkitään usein x(t). Vastaavasti signaalinkäsittelyn tuloksena saatavaa signaalia kutsutaan lähtösignaaliksi (lyhyemmin lähtö tai vaste) ja merkitään usein y(t).

Jotta lähtösignaalin muoto voidaan määrittää, täytyy tuntea signaalia muokkaava järjestelmä. Voidaan osoittaa, että järjestelmän täyttäessä tietyt ehdot sen impulssivaste h(t) on riittävä kuvaamaan järjestelmä täydellisesti. Tällaiset ehdot täyttäviä järjestelmiä kutsutaan lineaarisiksi aikainvarianteiksi eli LTI-järjestelmiksi. Pääosa eri sovelluksissa (esim. tiedonsiirtotekniikka) esiintyvistä järjestelmistä voidaan käsitellä LTI-järjestelminä.

Käytännössä signaalia muokkaava järjestelmä voi olla vaikkapa suunnittelun tuloksena syntynyt suodin, signaalin siirtotie (kaapeli, radiotie) tai näiden muodostama kokonaisuus, jossa signaali kulkee usean suotimen ja siirtotien kautta.


JohdantoJärjestelmän impulssivaste voidaan joko mitata laittamalla järjestelmän tuloksi lyhytkestoinen impulssi ja mittaamalla tällöin saatava vaste tai se tunnetaan suodinsuunnittelun tuloksena. Jälkimmäisessä tapauksessa impulssivastetta kuvataan usein suodinkertoimilla.

Edellä kuvatun lähestymistavan tekee tehokkaaksi se, että lähdön ja tulon välillä voidaan yleisesti osoittaa yhteys

y(t) = h(t) * x(t), missä * viittaa matemaattiseen operaatioon, jota kutsutaan konvoluutioksi.

Jos siis tunnetaan LTI-järjestelmän impulssivaste, voidaan järjestelmän tuottama vaste mihin tahansa tuloon määrittää impulssivasteen ja tulon konvoluutiona. Jos taas halutaan järjestelmän muokkaavan signaalia tietyllä tavalla, suunnitellaan järjestelmän impulssivaste sellaiseksi, että haluttu vaatimusmäärittely toteutuu.

Edellä on kuvattu yleinen signaalinkäsittelyn periaate aikatasossa, ts. signaaleille, jotka ovat ajan funktioita. Käsittely voidaan kuitenkin toteuttaa myös taajuustasossa, jossa signaalit esitetään taajuuden funktiona.


JohdantoAikatasosta taajuustasossa voidaan siirtyä matemaattisella operaatiolla, jota kutsutaan Fourier-muunnokseksi. Päinvastainen siirtyminen tapahtuu käänteisellä Fourier-muunnoksella. Fourier-muunnoksen tuloksena saatava signaali on kompleksiarvoinen (ts. muodostuu kompleksiluvuista). Signaalia on tapana havainnollistaa laskemalla kompleksiluvuista itseisarvo eli amplitudi ja vaihe(kulma). Kun amplitudi ja vaihe esitetään taajuuden funktiona puhutaan amplitudi- ja vaihespektristä.

Taajuustasossa lähtö Y(f) voidaan määrittää kertomalla tulo X(f)taajuusvasteella H(f). Nyt X(f) on tulon x(t) ja H(f) impulssivasteen h(t) Fourier-muunnos. Lähtö y(t) voidaan määrittää signaalin Y(f) käänteisenäFourier-muunnoksena.

Signaalinkäsittely on taajuustasossa usein tehokasta, koska konvoluution asemesta riittää kertolaskun laskeminen.


Johdanto

LTI-järjestelmä

)()()( txthty ∗=)(tx )(th

tuloimpulssivaste

lähtö konvoluutio

)()()( fXfHfY =

konv

oluu

tio-

teor

eem

a

)( fX )( fH )( fY{ })(arg fX { })(arg fH { })(arg fHamplitudi-spektri

amplitudi-spektri

amplitudi-spektri

vaihe-spektri

vaihe-spektri

vaihe-spektri

Taaj

uust

aso

Aik

atas

o

Four

ier-

muu

nnos

)( fX )( fHtaajuusvaste


JohdantoEsimerkki. Signaali x(t) (ylin kuva), amplitudispektri |X(f)| (keskimmäinen kuva) ja vaihespektri arg{X(f)} (alin kuva).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

t [s ]

Am

plitu

di x

(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

f [Hz]

Am

plitu

di |X

(f)|

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200

0

200

400

f [Hz]

Vai

he a

rgX

(f)


Matematiikan kertaustaSignaaliteoria muodostaa pohjan mm. tiedonsiirtotekniikan keskeisten menetelmien ymmärtämiselle. Tämän vuoksi tärkeitä signaaliteoriassa käsiteltäviä asioita ovat esimerkiksi Fourier-muunnokset ja erilaisten modulaatiomenetelmien taustalla olevat matemaattiset operaatiot, jotka perustuvat eksponenttimuotoisten signaalien integrointiin ja kompleksilukujen käsittelyyn. Tässä kappaleessa kerrataan kompleksilukujen perusteoriaa sekä eksponenttifunktioiden käsittelyä ja integrointimenetelmiä.

KompleksiluvutSuorakulmainen ja trigonometrinen esitysmuoto

Kompleksiluvun z suorakulmainen esitysmuoto on muotoa

z = a + bj,

missä a = Re{z} on kompleksiluvun z reaaliosa, b = Im{z} on kompleksiluvun z imaginaariosa ja j imaginaariyksikkö, jolle pätee j2 = -1.

Kompleksiluvut voidaan esittää pisteinä tai vektoreina kompleksitasossa.


Matematiikan kertausta

Kuvasta nähdään helposti kompleksiluvun trigonometrinen esitysmuoto

z = |z|cosθ + j|z|sinθ = |z|{cosθ + jsinθ},

missä |z| on z:n itseisarvo (moduli) eli amplitudi ja θ on z:n vaihe(kulma) eli argumentti.

Nämä voidaan määrittää kaavoista

Re

Im z = a+jb

θb = |z|sinθ

a = |z|cosθ

|z|



Eksponenttiesitysmuoto (eli napakoordinaattiesitys)

Kompleksiluvut esitetään usein eksponenttimuodossa, joka voidaan helposti määrittää käyttäen Eulerin kaavoja

==

+=

abz

baz

arctan}arg{

22

θ

θθ

θθθ

θ

sincossincosjeje

j

j

−=

+=−

Vertaamalla Eulerin kaavoja ja kompleksiluvun z trigonometrista esitysmuotoa saadaan helposti kompleksiluvun eksponenttiesitysmuoto

z = |z|ejθ


Matematiikan kertaustaKompleksilukujen eksponenttiesitysmuoto on usein edullinen, koska kompleksilukujen välisten kerto- ja jakolaskujen tekeminen on tässä muodossa yleensä helpompaa kuin suorakulmaisessa esitysmuodossa.Seuraavassa joitakin kompleksilukujen peruslaskutoimituksia kaavoina:

( )

1

2121

2

1

11

2

1

2

1)(2121212121

2222

1111

)()(

θ

θθθθ

θ

θ

jnnn

jj

j

j

ezz

ezz

zzezzzzbbjaazz

ezjbaz

ezjbaz

=

==±+±=±

⇒

=+=

=+=

−+

Kompleksilukujen yhteenlasku on helpointa suorittaa suorakulmaisessa muodossa, kerto- ja jakolasku sekä potenssiinkorotus onnistuvat parhaiten eksponettimuodossa.


Matematiikan kertaustaSinille ja kosinille voidaan Eulerin kaavoja käyttäen johtaa kompleksiesitykset

( )

( )θθ

θθ

θ

θ

jj

jj

ee

eej

−

−

+=

−=

21cos

21sin

Kompleksiluvun liittoluku eli kompleksikonjugaatti

Kompleksiluvun z = a + jb kompleksikonjugaatti z* määritellään muodossa z* = a – jb = |z|e-jθ.

Kompleksiluvuille ja niiden kompleksikonjugaateille pätee

{ } { } 2***

*2

*1

*

2

1*2

*121

*2

*121

,Im2,Re2

,)*(,)*(

zzzzzzzzz

zz

zz

zzzzzzzz

=⋅=−=+

=

⋅=⋅±=±


Matematiikan kertaustaEksponenttifunktioiden laskusääntöjäMonet signaalinkäsittelyn keskeiset operaatiot (mm. Fourier-muunnos) perustuvat integraalimuunnoksiin, joissa integroitavana on tyyppiä et olevalla eksponenttifunktiolla kerrottu signaali. Tämän vuoksi on tärkeää tuntea eksponenttifunktioiden käsittelyn perusoperaatiot.

Peruslaskusääntöjä

( ) abba

babab

a

baba

aa

ee

eeeee

eeee

e

e

=

=⋅=

=⋅

=

=

−−

+

− 110


Matematiikan kertaustaDerivaatta ja integraali

atat

tftf

atatat

tt

ea

dte

dttdfe

dtdeae

dtdate

dtde

edtde

1

)()()(

=

⋅==⋅=

=

∫Määrätty integraali

[ ] [ ]aaa

eea

eea

ea

dte aaaatat 1101111111/1 00

00

=−−=

−∞

−=

−−=−−=−= ∞

−∞−−∞∞

−∫


Matematiikan kertaustaOsittaisintegrointiIntegraalimuunnosten laskenta on pääsääntöisesti varsin hankalaa ja monissa tilanteissa integraali ei ole edes suljetussa muodossa laskettavissa. Perusintegroimissääntöjen lisäksi osittaisintegrointi on tärkeä apumenetelmä ratkaisun hakemisessa.

Osittaisintegroinnin laskusääntö voidaan johtaa differentioimalla funktioiden u(t) ja v(t) tulo:

∫ ∫

∫ ∫∫

−=⇒

+==⇒+=

dtdtduvuvdt

dtdvu

dtdtduvdt

dtdvuuvdt

dtuvd

dtduv

dtdvu

dtuvd )()(

∫ ∫−= dttutvtvtudttvtu )()()()()()( ''

Tämä voidaan myös esittää muodossa


Matematiikan kertaustaEsimerkki.

Cetedtetedtte

etvetvtuttumerk

dttutvtvtudttvtu

dtte

ttttt

tt

t

+−=⋅−=

⇒=⇒=

=⇒=

−=

=

∫∫

∫ ∫∫

1

)()(1)()(.

)()()()()()(

?

'

'

''

Tässä C on integroimisvakio. (Tarkista tulos derivoimalla ratkaisu!)


Matematiikan kertaustaJärjestelmien mallintamisessa ja tietoliikenteen teoriassa hyödynnetään usein eräitä signaaleja, jotka on lyhyesti määritelty seuraavassa:

Yksikköaskel

Yksikköaskel eli Heavisiden funktio u(t) määritellään muodossa

<>

=0,00,1

)(tt

tu

Yksikköaskel on epäjatkuva ja sen arvo on määrittelemätön kohdassa t = 0.

Yksikköimpulssi

Yksikköimpulssi eli Diracin deltafunktio määritellään muodossa

≠=∞

=0,00,

)(tt

tδ



Edellä φ(t) on mikä tahansa jatkuva funktio ajanhetkellä t = 0.

Voidaan osoittaa, että askelfunktion derivaatta on impulssifunktio:

dttdutut )()()( ' ==δ

)0()()(1)( φδφδ =⇒= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dtttdtt

Yksikköimpulssifunktion integraalille pätee

Joitakin impulssifunktion ominaisuuksia:

)()()()()()0()()(

)()()(1)()()()(

000

00

tttxtttxtxttx

ttta

attdtttt

−=−=

=−==−∫∞

∞−

δδδδ

δδδδφδφ


Matematiikan kertaustaEsimerkki.

δ(t)

0 1 2 3 4−1−2−3−4t

δ(t-3.5)

0 1 2 3 4−1−2−3−4t

u(t)

0 1 2 3 4−1−2−3−4t

1d[u(t)/dt]

0 1 2 3 4−1−2−3−4t


Matematiikan kertaustaSignumfunktio

Signumfunktio sgn(t) määritellään muodossa

)()()sgn(Huomaa0,1

0,00,1

)sgn(

tututttt

t

−−=

<−=>

=

Pengerfunktio

Pengerfunktio eli ramppi rA(t) määritellään muodossa

<≥

=0,00,

)(rttAt

tA

sgn(t)

t

1

−1

rA(t)

t


Matematiikan kertaustaSinc-funktio

Sinc-funktio sinc(t) määritellään muodossa

tttinc

ππ )sin()(s =

Sinc-funktion arvo pisteessä t = 0 voidaan määrittää, kun muistetaan

1)sin(lim0

=→ t

tt π

π

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1s inc(t)

t


Signaalien luokitteluSignaaleja voidaan luokitella usealla eri tavalla edellä puhuttiin esimerkiksi yksi- ja kaksiulotteisista signaaleista. Muita tyypillisiä tapoja luokitella signaaleja on esimerkiksi jakaa ne jatkuva-aikaisiin ja diskreetteihin signaaleihin, analogisiin ja digitaalisiin signaaleihin, reaaliarvoisiin ja kompleksiarvoisiin signaaleihin, jne.

Luokittelun tarkoituksena on havaita signaaleista sellaisia yhteisiä ominaisuuksia, jotka joko helpottavat niiden käsittelyä tai vaativat tietyntyyppistä käsittelyä. Edellisestä tapauksesta esimerkkinä voidaan mainita symmetriaominaisuuksien perusteella tapahtuva luokitteluesimerkiksi parillisiin ja parittomiin signaaleihin1. Jälkimmäistä tapausta puolestaan kuvaa esimerkiksi jako analogisiin ja digitaalisiin signaaleihin.

Seuraavassa on lyhyesti käsitelty signaaliteorian opintojen kannalta keskeisiä luokittelukäytäntöjä. Joiltakin osin luokittelua täsmennetään opintojakson kuluessa.

1Signaali x(t) on perillinen, jos sille pätee x(t) = x(-t), ja pariton, jos x(-t) = -x(t). Pariton signaalin saa aina arvon 0 ajanhetkellä 0 (t = 0).


Signaalien luokitteluDeterministinen vs. satunnaissignaali

Signaali x(t) on deterministinen, jos sen tarkka arvo on tiedossa kaikkina ajanhetkinä. Signaalille voidaan kirjoittaa analyyttinen lauseke, jonka avulla se voidaan esittää yksikäsitteisesti. Jos signaalin x(t) tarkkaa arvoa ei voida ennustaa, se on satunnaissignaali. Signaalissa tai prosessissa on kuitenkin säännönmukaisuuksia, jotka voidaan kuvata todennäköisyyslaskennalla. Tällaisen signaalin voidaan ajatella olevan yksi näyte suuresta joukosta signaaleja, joissa kullakin signaalilla on oma aaltomuotonsa. Kullakin joukon signaalilla on tietty esiintymistodennäköisyys.

Deterministiset signaalit on tapana jakaa jaksollisiin ja jaksottomiin signaaleihin ja jaksolliset signaalit edelleen kosinisignaaliin ja kompleksisesti jaksollisiin1 signaaleihin ja jaksottomat signaalit melkein jaksollisiin ja transienttisignaaleihin2.

Satunnaissignaalit voidaan jakaa stationäärisiin ja epästationäärisiin signaaleihin ja stationääriset signaalit ergodisiin ja epäergodisiin signaaleihin (tähän palataan myöhemmin).1Sisältää useita taajuuskomponentteja. 2Mm. satunnaiset pulssit ja purskeet.


Signaalien luokittelu

Deterministinensignaali

Satunnais-signaali

Jaksollinen Jaksoton

KosiniKompleksisesti

jaksollinen

Melkein jaksollinen

Transientti-signaali

Stationäärinen Epätationäärinen

Ergodinen Epäergodinen


Signaalien luokitteluJaksollinen vs. jaksoton signaali

Signaalin jaksollisuus on keskeinen oletus monissa signaalinkäsittelymenetelmissä. Vain jaksollinen signaali voidaan tuntea tarkasti. Jaksottomasta signaalista jää aina osa tuntematta, koska käytännössä signaalista voidaan käsitellä vain äärellisen pituista osaa.

Signaali x(t) on jaksollinen, jos on olemassa positiivinen luku T0, jolle pätee x(t+T0) = x(t). Pienin T0:n arvo, jolla ehto on voimassa, on signaalin x(t) jakso. Jakson käänteislukua kutsutaan signaalin perustaajuudeksi f0: f0 = 1/T0 [Hz].

Perustaajuuden kokonaislukukerrannaisia kutsutaan puolestaan signaalin harmonisiksi monikerroiksi.

Signaali, jolle jaksollisuusehto ei ole voimassa millään T0:n arvolla, on jaksoton. Jaksottoman signaalin jaksonpituus T0 → ∞.


Signaalien luokitteluEnergia- vs. tehosignaali

Signaali on energiasignaali, jos sen kokonaisenergialle E pätee 0 < E < ∞ . Signaali on tehosignaali, jos sen keskimääräiselle teholle P pätee 0 < P < ∞. Signaali ei voi olla yhtä aikaa sekä energia- että tehosignaali. Energiasignaalin keskimääräinen teho on nolla ja tehosignaalin kokonaisenergia ääretön. Yleensä jaksolliset ja satunnaiset signaalit ovat tehosignaaleja, kun taas deterministiset ja jaksottomat signaalit ovat energiasignaaleja.

Signaalin x(t) kokonaisenergia E ja keskimääräinen teho P voidaan määrittää kaavoilla:

dttxE ∫∞

∞−

= )(2

dttxTT

PT

T∫−∞→

= )(21lim 2


Signaalien luokitteluHuomaa, että kokonaisenergian laskukaavassa summataan (integroidaan) signaalin x(t) kaikki energia-arvot x2(t) yhteen, jolloin tuloksena saadaan kokonaisenergia E [J]. Vastaavasti keskimääräisen tehon laskukaavassa lasketaan kokonaisenergia [J] tietyllä aikavälillä ja jaetaan lopputulos aikavälin pituudella [s], jolloin tuloksena saadaan keskimääräinen teho [J/s)] = [W]. Käytännössä näissä lasketaan aika-akselin ja signaalin x2(t) väliin jäävää pinta-alaa ja signaalin x2(t) keskiarvoa.

Esimerkki. Suorakaidepulssin x(t) kokonaisenergia.

-T/2 T/2

A

x(t) (= amplitudi)

-T/2 T/2

A2

x2(t) (= amplitudin neliö = teho)

Pinta-ala = A2T= kokonaisenergia

TAdttxE 22 )( == ∫∞

∞−


Signaalien luokitteluEsimerkki. Jaksollisen suorakaidepulssijonon x(t) keskimääräinen teho.

-T0/2 T0/2

A

x(t)

-T0/2 T0/2

A2

x2(t)

Kokonaisenergia E = ∞. Yhden jakson energia = A2T.

Keskimääräinen teho P on nyt yhden jakson energia jaettuna jakson pituudella = signaalin keskiarvo. Eli

P =A2T/T0.

T T

tkt jyrki laitinen [email protected] …jyrkila/0405/tl5231/johdanto.pdf · 2004-09-07 ·...

Documents