tl ds gt 12 ltdh 2010 _ban goc

Tài Liệu Luyện Thi Đại Học & Cao Đẳng Biên soạn: Gv Trần Minh Tuấn – 0933.66.2005

Website: www.tmt.ucoz.com

Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

PHỤ LỤC: ÔN TẬP KIẾN THỨC VỀ ĐẠO H ÀM

1. Định nghĩa:Cho hàm số y f (x) xác định trên a;b và điểm 0x a;b . Khi đó, nếu giới hạn

0

0

x x0

f x f xlim

x x

tồn tại (hữu hạn) thì: 0

0'0 x x

0

f x f xf x lim

x x

(Kí hiệu: '0f x hay '

0y x để chỉ đạo hàm của hàm số y f (x) tại điểm 0x a,b )

Chú ý: Ta có thể định nghĩa: '0 x 0

yf x lim

x

trong đó:

0

0 0

x x x

y f x x f x

2. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số :

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của một đường cong:Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C), và điểm 0 0 0M x ; y (C) . Khi đó:

PTTT của (C) tại điểm 0 0 0M x ; y có dạng: '0 0 0y y f (x ) x x

( '0f x đgl HSG của tiếp tuyến tại tiếp điểm 0M )

4. Các quy tắc tính đạo hàm: Kí hiệu: u = u(x) và v = v(x)

'

2

u v ' u ' v '

u v ' u ' v '

u.v u '.v v '.u

u u '.v v '.u;(v 0)

v v

5. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: (Kí hiệu: u = u(x))

'n n 1

'

2

'

c ' 0 (c const)

x ' 1

x n.x (n N,n 2)

1 1;(x 0)

x x

1x ;(x 0)

2 x

'n n 1

'

2

'

k.u ' k.u ' (k const)

u n.u .u '

1 1.u ' ; (u 0)

u u

1u .u ' ; (u 0)

2 u

6. Đạo hàm của hàm số hợp: Với y f (u); u g(x) có đạo hàm lần lượt ' ';u xy u

thì hàm số hợp ( ( ))y f g x có đạo hàm: ' ' '.x u xy y u7. Đạo hàm các hàm số lượng giác:

SAI

Hàm số y f (x)

có đạo hàm tại 0xHàm số y f (x)

Liên tục tại 0xĐÚNG

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

'

'

2

'

2

sin x ' cosx

cosx sinx

1t anx ;(cosx 0)

cos x1

cotx ;(sin x 0)sin x

'

'

2

'

2

sin u ' cos u .u '

cos u s inu .u '

1t anu .u ' ; (cos u 0)

cos u

1cotu .u ' ; (sin u 0)

sin u

8. Đạo hàm cấp cao: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm 'f x .

Nếu hàm số 'y f x có đạo hàm ''f x thì ta nói hàm số y f x có đạo hàm cấp hai

(Kí hiệu: ''y f x ) và: 'f '' x f ' x

Mở rộng: Đạo hàm cấp n , 2 n N n của hàm số y f x . Kí hiệu: nf x

'n n 1f x f x

9. Vi phân: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;a b và có đạo hàm tại ;x a b

Vi phân của hàm số y f x tại x (ứng với số gia x ). Kí hiệu: df x hay dy .

dy df x f ' x x

Chú ý: Vi phân của hàm số y f x có thể viết: ' dy df x f x dx

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐA-KIẾN THỨC CƠ BẢN:

B-CÁC DẠNG BÀI TẬP:Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của h àm số y f x

B1: Tìm MXĐ và tính đạo hàm y’B2: Tìm các điểm tới hạn ix i 1,2,3,... {tại đó y’=0 hoặc y’ không xác định}

B3: Lập BBT và Kết luận.Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

1) 3 2y x 9x 15x 3 4) 4 2y x 6x 3 2) 3 2y x 3x 3x 2 5) 4 2y 2x 4x 2

3) 3 21y x 3x 8x 2

3 6) 4 3 21 4 5

y x x x 2x 14 3 2

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

1)2x 1

yx 2

3)

2x 2x 5y

x 1

2)2x

yx 1

4)1

y 4x 1x 1

Bài 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

1) 2y x 2x 3 6) 2y x 4 x

2) y x x 2 7) 2y x 4x 3

3)2

2

x x 1y

x x 1

8)

2

xy

x 1

4) y cos x x 9) y 2x sin x cos x

5) y x sin x; x 0;2 10)5

y x 2cos x; x ;6 6

Dạng 2: Tìm điều kiện m để hàm số y f x,m đơn điệu trên khoảng K cho trước.

B1: Tính đạo hàm y ' f ' x,mB2: Sử dụng ĐK:

+ Hàm số đồng biến trên K y ' 0; x K

1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên tập K.

i). Hàm số y f x đgl đồng biến (tăng) trên K nếu: 1 2 1 2 1 2x , x K : x x f x f x

ii). Hàm số y f x đgl nghịch biến (giảm) trên K nếu: 1 2 1 2 1 2x , x K : x x f x f x 2. Liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số:Định lý: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên tập K. Khi đó:

+ Hàm số f đồng biến trên K f ' x 0; x K

+ Hàm số f nghịch biến trên K f ' x 0; x K (Lưu ý: dấu “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K)

Chú ý: f ' x 0; x K f là hàm hằng trên K.

3. Định lý Lagrange:Nếu hàm số y f x liên tục trên a;b và có đạohàm trên a;b thì:

f b f ac a;b : f ' c

b a

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

+ Hàm số nghịch biến trên K y ' 0; x K (Chú ý: Dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm của tập K)

Bài 1: Tìm m để các hàm số sau:

i) Hàm số 3 2y mx 3x 3x 2 .

a) Nghịch biến trên R. ĐS: m 1 b) Đồng biến trên 1; ĐS:

ii) Hàm số 4 2y x 8mx 9m đồng biến trên 2; ĐS: m 1

iii) (ĐHNN-1998) Hàm số 3 21y x ax 2a 1 x a 2

3 nghịch biến trên 2;0 . ĐS:

1a

2

Bài 2: Tìm m để các hàm số sau:

1) Hàm sốmx 4

yx m

.

a) Nghịch biến trên từng khoảng xác định. ĐS: m 2;2

b) Đồng biến trên 3; ĐS: m 2 3 m 2

c) Nghịch biến trên ; 1

2) Hàm số2mx 6x 2

yx 2

.

a) Đồng biến trên từng khoảng xác định. ĐS: m 0;7 / 2

b) Nghịch biến trên 1; ĐS: m 14 / 5

3) Hàm số2x mx 5

y3 x

.

a) Nghịch biến trên từng khoảng xác định. ĐS: m 4 / 3 b) Đồng biến trên 2;2 ĐS: m 7

4) (ĐHNN_2001-B) Hàm số22x 3x m

y2x 1

nghịch biến trên

1;

2

ĐS: m 1

5) Hàm số 2x 2 m 1 x 2

yx 1

.

a) Đồng biến trên từng khoảng xác định.b) Đồng biến trên 0;

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh Bất đẳng thứcChứng minh bđt: P x Q x ; x a;b (*)

B1: Biến đổi (*) thành P x Q x 0; x a;b

B2: Xét hàm số F x P x Q x ; x a;b

B3: Xét dấu F' x KL: tính chất đơn điệu của hàm số F x ; x a;b

B4: Dựa vào tính đơn điệu để suy ra BĐT (*)đpcmChứng minh các BĐT sau đây:

1) s inx x ; x 0;2

2) tanx x ; x 0;2

3)tan a a

tan b b ; 0 a b

2

4)

3xx s inx x; x 0

6

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐA-KIẾN THỨC CẦN NHỚ:1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên tập K và 0x K .

i) Điểm 0x đgl một điểm cực đại (CĐ) của hàm số y f x nếu:

0a;b K, x a;b sao cho: 0 0f x f x ; x a;b \ x

(Giá trị 0f x đgl giá trị CĐ của hàm số trên tập K).

ii) Điểm 0x đgl một điểm cực tiểu (CT) của hàm số y f x nếu:

0a;b K, x a;b sao cho: 0 0f x f x ; x a;b \ x

(Giá trị 0f x đgl giá trị CT của hàm số trên tập K).

2. Ghi nhớ: Cho hàm số y f x xác định trên tập K và 0x K .

Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0

Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + – khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0.

Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – + khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0.Hay là:

Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0.Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0.Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0.

Nhận xét:i).

(Định lí Fermat)

ii). Nếu khi x “qua” 0x mà đạo hàm y ' đổi dấu thì 0x là một điểm cực trị (CĐ hoặc CT)

3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số y f x :

Quy tắc 1:B1: Tính y '

B2: Tìm các điểm ix (i 1,2,3,...) (tại đó y ' 0 hoặc hs liên tục nhưng không có đạo hàm)

B3: Lập BBT và Kết luận.Quy tắc 2:

B1: Tính y '

B2: Giải phương trình y ' 0 . Tìm các nghiệm ix (i 1, 2,3,...)

B3: Tính iy '' x . Kết luận: + iy '' x 0 : hs đạt CĐ tại ix

+ iy '' x 0 : hs đạt CT tại ix

B-CÁC DẠNG BÀI TẬP:Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số y f x

+ Sử dụng quy tắc 1+ Sử dụng quy tắc 2

GHI NHỚ:i) Xét hàm số đa thức y f x , với f x A x .f ' x B x . Khi đó:

Nếu hàm số đạt Cực trị tại 0x thì 0 0y x B x

ii) Xét hàm số phân thức

u xy

v x v x 0 . Khi đó:

Nếu hàm số đạt Cực trị tại 0x thì

00

0

u ' xy x

v ' x 0v ' x 0

{Sử dụng để tính nhanh giá trị cực trị của h àm đa thức và hàm phân thức}

Hàm số f đạt cực trị tại 0x

Tồn tại 0f ' x 0f ' x 0

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1) 3 2y x 3x 1 3) 4 21y x x 3

2

2) 3 2y x 2x 3x 2 4) 4 3 2y 3x 8x 30x 72x 20 Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1)x 3

y2 x

2)

4y x 1

x 2

2)2x x 1

yx 2

4)

2

2

x 3x 2y

2x x 1

Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:

1) y x x 2 4) 2y x 4x 3

2) 2y x 4 x 5) 2y 2x 3 x 1 3) y x sin 2x 2 6) y 3 2cosx cos2x

Dạng 2: Tìm điều kiện m để hàm số y f x,m có cực trịi) Hàm số có k cực trị y ' 0 có k nghiệm phân biệt (và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó )

ii) Đạt cực trị tại 0x :

B1 (ĐK cần): hàm số đạt cực trị tại 0 0x f ' x 0 tìm được mB2 (ĐK đủ): Với giá trị m tìm được, sử dụng quy tắc I hoặc quy tắc II để kiểm tra.

iii) Có giá trị cực trị bằng 0y :

B1 (ĐK cần): hàm số có giá trị cực trị bằng 0y

0

0

f ' x 0

f x y

tìm được m

B2 (ĐK đủ): Với giá trị m tìm được, sử dụng quy tắc I hoặc quy tắc II để kiểm tra.

Bài 1: Cho hàm số 3 2y x 2m 1 x m 5 x 1 .

Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 1 {ĐS: m=-2}

Bài 2 (TNTHPT 2004-2005): Cho hàm số 3 2 2y x 3mx m 1 x 2

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 2 {ĐS: m=11}Bài 3: Cho hàm số 3 2y x ax bx 3a 2 .

Tìm a, b để hàm số qua một cực trị bằng 4 tại x 1 . {ĐS: a = 0; b=-3}

Bài 4: Xác định a, b để hàm số 4 21y x ax b

2 đạt cực trị bằng -2 tại x=1 ĐS: a = -1; b=-3/2

Bài 5: Cho hàm số2x 4x m

y1 x

. Tìm m để hàm số:

a) Có CĐ và CT ĐS: m > 3b) Đạt cực trị tại x 2 ĐS: m = 4c) Đạt CT tại x 1 ĐS: m = 7

Bài 6: Cho hàm số2x mx 1

yx m

a) CMR: hàm số luôn có CĐ và CT với mọi m.b) Tìm m để hàm số đạt CĐ tại x 2 ĐS: m = -3c) Tìm m để hàm số có giá trị CT là 3. ĐS: m = -1

Bài 7: Tìm m để hàm số 4 2 2y mx m 9 x 10 có 3 điểm cực trị

Dạng 3: Tìm điều kiện m để hàm số y f x,m có cực trị thỏa mãn một tính chất T cho trước

B1: ĐK để y f x,m có các điểm cực trị ix i 1,2,3,... tìm được m (a)

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

thiết lập hệ thức (*) liên hệ giữa các điểm cực trị ix i 1,2,3,... {thường áp dụng định lý Viete}B2: ĐK để các điểm cực trị ix thỏa tính chất T: giải hệ gồm hệ thức (*) và điều kiện T tìm được m (b)B3: KL: Từ (a) & (b) giá trị m cần tìm

Bài 1: Cho 3 2y x 3x m . Tìm m để hàm số có CĐ, CT sao cho giá trị CĐ và giá trị CT trái dấu nhau.Bài 2: Cho 3 2y 2x ax 12x 13 .

a) CMR: hsố luôn có CĐ và CTb) Tìm a để hàm số:

i) Đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.ii) Có điểm CĐ , CT thỏa giá trị CĐ và giá trị CT trái dấu.iii) Có điểm CĐ và CT cách đều trục tung.

Bài 3: Cho 3 21 1y mx m 1 x 3 m 2 x

3 3 . Xác định m để hàm số:

a) Không có cực trị.b) Có 2 điểm cực trị 1 2x ; x thỏa 1 2x 3x 1 .

Bài 4: Tìm m để hàm số 4 2 4y x 2mx m 2m có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

ĐS: 3m 3

Bài 5: Cho 2 3 25y a x 2ax 9x b

3 . Tìm a, b sao cho các điểm cực trị nhận giá trị dương và

5x

9 là điểm

CĐ. ĐS: a 81/ 25 b 400 / 243 hoac a 9 / 5 b 36 / 5

Bài 6: Cho2x 3x m

yx 4

. Tìm m để hàm số:

a) Giá trị CĐ và giá trị CT trái dấu.b) Có điểm CĐ, CT thỏa CD CTy y 4

Bài 7(ĐHQG’99-A): Cho hàm số 2 2x m 1 x m 4m 2

yx 1

. Xác định m để:

a) Hàm số có cực trị. ĐS: 1<m<2b) Tích giá trị CĐ và giá trị CT đạt GTNN. ĐS: m=7/5 và CD CTMin(y .y ) 4 / 5

Bài 8: Xác định m để hàm số2x mx m 8

yx 1

có điểm CĐ và CT nằm về hai phía đối với đường thẳng

: 9x 7y 1 0 ĐS: -3<m<9/7

Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng (đường cong) đi qua các điểm cực trị của đồ thị h àm sốBài 1: Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị h àm số:

a) 3 2y x 3x 4x 1 b)2x 5x 7

y2x 1

Bài 2: Cho hàm số 3 2y 2x 3 m 1 x 6m 1 2m x . Tìm m để:

a) Hàm số có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng y 4x ĐS: m=1

b) Đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng : y x 1 ĐS: m=0 v m=2/3

Bài 3: Cho hàm số2 2x mx m

yx m

. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ và CT. Hãy viết ptđt đi qua hai

điểm cực trị đó. ĐS: y= -2x+m

Bài 4: Cho hàm số2 2 2x 2m x m

yx 1

. Tìm m để hàm số có CĐ, CT và đường thẳng qua 2 điểm cực trị đó qua

M 1;3 . ĐS: y=2x+2m2 ; m 2 / 2

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA H ÀM SỐ

A-KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên tập K K R .

i) Số M đgl GTLN của hàm số y f x trên tập K 0 0

x K : f x M

x K : f x M

{K/h: x K

Max y M

}

ii) Số m đgl GTNN của hàm số y f x trên tập K 0 0

x K : f x m

x K : f x m

{K/h: x K

Min y m

}

B-CÁC DẠNG BÀI TẬP:Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f x

Loại 1: Sử dụng phương pháp khảo sát trực tiếpBài 1: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

a) 3 2y 2x 3x 12x 7 c)2x 3x 1

yx

với x 0

b) 3 4y 4x 3x d)1

y xx

với x 0;2

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

a) 3 2y x 3x 9x 5 trên 4;4 c)x 1

yx 1

trên 2;3

b) 4 2y x 2x 2 trên 2;1 d)22x 5x 4

yx 2

trên 0;1

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

a) y x 2 4 x d)sin x

y2 cos x

trên 0;

b) 2y x 2 x trên 2; 2 e) y x sin 2x trên ;2

Loại 2: Sử dụng phương pháp khảo sát gián tiếpTìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:Bài 1: {Đặt ẩn phụ}

a) 34y 2s inx sin x

3 trên 0; e) 44y sin x sin x 1 trên

50;

6

b) 2y cos 2x sin x cos x 4 g) 22

1 1y x 6 x 8

x x

c)2

2

2sin x s inx 1y

sin x s inx 1

h) 22

y x 1 x x x3

d)22cos x cos x 1

ycos x 1

Bài 2: {Dùng miền giá trị của hàm số}

a)2

2

x 1y

x x 1

d)

2 cosxy

s inx cos x 2

b)2

2

3x 10x 20y

x 2x 3

e)

2s inx 3cosx 1y

s inx 2

c) y 3s inx 4cosx 1

Bài 3: {Dùng bất đẳng thức}

a) 2y 3 2x x trên

30;

2

b)2

16y 2x

x với x 0

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

Tổng hợp: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số:

a) 2y x 2x 3 trên 0;2

b) 342s inx- sin

3y x trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04)

c) 2 os2x+4sinxy c với x[0,π/2] (TN-THPT 01-02)

Dạng 2: Áp dụng GTLN, GTNN để biện luận ph ương trình và bất phương trìnhBài 1: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm:

a) 2x 4 x m ĐS: 2 m 2 2

b) 2x 3 m x 1 Bài 2: Tìm m để bpt x 1 4 x m có nghiệm ĐS: m 5Bài 3: Tìm m để hệ sau nghiệm đúng với mọi x 2;3

2 25 x 1 x 4x m

x 2 x m 6x

ĐS: 12 m 13

Bài 3: Cho pt: 3 x 6 x 3 x 6 x m

a) Giải pt khi m 3b) Tìm m để phương trình có nghiệm. ĐS: 6 2 9 / 2 m 3

Bài 4: Tìm m để bpt:a) 3 2x 2x x 2 m 20m 0 có nghiệm trên 0;3 ĐS: 21 m 1

b) 1 2cos x 1 2sin x m nghiệm đúng x ĐS: m 2 1 2

BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ H ÀM SỐA-KIẾN THỨC CẦN NHỚ:1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x :

x a

x a

lim yx a

lim y

là tiệm cận đứng

2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x :

xlim y b y b

là tiệm cận ngang

3. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x :

TH1:

x

y ax b xy ax b

lim x 0

là tiệm cận xiên

TH2:

x

x

ylim a

x y ax blim y ax b

là tiệm cận xiên

B-CÁC DẠNG BÀI TẬP:Dạng 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:Tìm các loại tiệm cận (nếu có) của các đồ thị hàm số sau:Loại 1: Đối với hàm số hữu tỷ Loại 2: Đối với hàm số vô tỷ

a)2 3x

y2x 1

a) 2y x 1

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

b)2x 2x 3

yx 1

b) 2y x x 1

c)2

2x 5y

x 3x 2

c) 2y x x 1

d)2

2

x 4x 3y

x 5x 6

d)

2

xy

x x 1

e)3

2

x x 1y

x 1

e)

2

xy

4 x

Dạng 2: Một số bài toán về tiệm cận:Bài 1: Tùy theo m, hãy tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:

a)mx 1

yx 1

b)

2x 4x my

x 2

c)

22x 3x my

x m

Bài 2: Cho2x mx 1

yx 1

có đồ thị (Cm).

1. Tìm m để đths có tiệm cận xiên. ĐS: m 02. Tìm m TCX của (Cm):

i. Qua M(2;-5) ĐS: m 8 ii. Tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. ĐS: m 5 v m 3

3. Tìm m để giao điểm hai đường TC nằm trên đường cong 2y x 3 ĐS: m 2

Bài 3: Cho hàm số2x x m

yx m

có đồ thị (C).

Tìm điểm A trên (C) sao cho tổng các khoảng cách từ A đến 2 đ ường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.

Bài 4: Cho hàm số2x x 1

yx 2

có đồ thị (C). Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ tr ên (C) đến

2 tiệm cận của (C) không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.

Bài 5: Cho 2x 2x 5

y Cx 1

a. CMR: tích số các khoảng cách từ điểm M bất kỳ tr ên (C) đến hai đường TC là một hằng số.b. Tìm những điểm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai TC l à nhỏ nhất.ĐS: a. 4 / 2 b. 4 4 4 4 4 4

1 2M 1 2 / 2;2 / 2 2 2 ;M 1 2 / 2; 2 / 2 2 2

Bài 6: Cho 2

2

x x 2y C

x 2x m

. Tìm m để (C)

a. Có hai TCĐ b. Có 1 TCĐ c. Không có TCĐĐS: a. 8 m 1 b. m 8 v m 1 c. m 1

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

KHẢO SÁT HÀM SỐA- CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

1. Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.2. Bài toán cực trị của hàm số3. Bài toán tìm GTLN & GTNN của hàm số.4. Bài toán về phép biến đổi đồ thị của hàm số.5. Bài toán xác định đường tiệm cận của đồ thị của hàm số.

Khảo sát một số hàm số cơ bản:

i. Hàm đa thức bậc ba: 3 2y ax bx cx d (a 0) ii. Hàm đa thức bậc bốn (trùng phương): 4 2y ax bx c (a 0)

iii. Hàm phân thức (bậc nhất trên bậc nhất) : ax by cx d 0

cx d

iv. Hàm phân thức (bậc hai trên bậc nhất) : 2ax bx c

y mx n 0mx n

Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số:1. Giao điểm hai đồ thị:Bài toán: Xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số y f x và y g xPhương pháp:

B1: Lập pt hoành độ giao điểm f x g x (*)

B2: Giải pt (*) tìm được hoành độ giao điểm {số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm }

2. Sự tiếp xúc của hai đường cong y f x và y g x :

Phương pháp 1: hai đường cong y f x và y g x tiếp xúc nhau

f x g x

f ' x g ' x

có nghiệm

{Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm}

Phương pháp 2: hai đường cong y f x và y g x tiếp xúc nhau pt : f x g x có nghiệm kép.

3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x (C):

i. Tiếp tuyến tại điểm 0 0 0M x ; y C : 0 0 0y y f ' x x x ii. Ghi nhớ: Để tìm pttt của (C):

+ Cách 1: đt y ax b là một tiếp tuyến của (C) pt : f x ax b có nghiệm kép.

+ Cách 2: đt y ax b là một tiếp tuyến của (C)

f x ax b

f ' x a

có nghiệm x

{Thường sử dụng cách 1 khi pt f x ax b là ptb2 hoặc ptb3 (nhẩm được nghiệm)}* Lưu ý:

+ Nếu đt (d) có hsg k thì viết: d : y kx b {b: chưa biết}

+ Nếu đt (d) qua điểm M MM x ; y thì viết: M Md : y y k x x {k: chưa biết}4. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng phương pháp đồ thị:Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình P m; x 0 bằng pp đồ thị:Phương pháp:

B1: Biến đổi pt về dạng: f x g m

B2: Xét hàm số y f x có đồ thị (C) và đường y g m {thay đổi theo m}B3: Số nghiệm của pt bằng số giao điểm hai đồ thị tr ên.

5. Bài toán tìm tập hợp điểm M x; y :

Phương pháp:B1: Tìm ĐK tham số (m) để điểm M tồn tại.

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

B2: Tính x; y (theo m) :

x g m

y h m

B3: Khử tham số m giữa x và y.B4: Xác định giới hạn (nếu có) {Dựa vào đk tham số m ở B1 }

B- HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP:* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số* Các bài toán tổng hợp liên quan.

DẠNG 1: Hàm đa thức bậc ba 3 2 0 y ax bx cx d (a )

Bài 1: Cho hàm số 3 2y x 1 2m x 2 m x m 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2.2. Tìm m để đths có điểm CĐ và CT sao cho hoành độ điểm CT nhỏ hơn 1.3. Tìm m để hàm số đồng biến trên 2;ĐS: 2. 5 / 4 m 7 / 5 v m 1

Bài 2 (TNTHPT-2006): Cho hàm số 3 2y x 6x 9x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Viết PTTT của (C) tại điểm uốn. ĐS: U 2;2 ; y 3x 8

3. Tìm m để đường thẳng 2y x m m qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm CĐ v à CT.

ĐS: m 0 m 1 Bài 3 (TNTHPT-2008): Cho hàm số 3 2y 2x 3x 1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Biện luận theo m số nghiệm thực của pt: 3 22x 3x 1 m

Bài 4 (TNTHPT-2001): Cho hàm số 31y x 3x (C)

4

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Cho điểm M C có hoành độ bằng 2 3 . Viết pt đường thẳng (d) qua M và là tiếp tuyến của (C).

ĐS: 2. y 6 x 2 3 ; y 3 / 4 x 2 3

Bài 5: Cho hàm số 3 2y x 3x 2 (C) . Tìm các điểm trên đt y=2 để từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ

thị (C) ĐS: a 1 a 5 / 3 a 2 Bài 6 (ĐH-2006):

1. Khảo sát và vẽ đths 3 2y 2x 9x 12x 4

2. Tìm m để pt 3 22 x 9x 12 x m có 6 nghiệm phân biệt. ĐS: 4<m<5

Bài 7 (ĐH 2008-B): Cho hàm số 3 2y 4x 6x 1 (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1; -9) . ĐS: y=24x+15 & y=(15/4).x-21/4

Bài 8 (ĐH 2006-D): Cho hàm số 3y x 3x 2 (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Gọi (d) là đường thẳng qua M(3; 20) và có hsg là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

ĐS: m 15 / 4 m 24 Bài 9 (ĐH 2002-A): Cho hàm số 3 2 2 3 2y x 3mx 3 1 m x m m (Cm)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=12. Tìm k để pt 3 2 3 2x 3x k 3k 0 có 3 nghiệm phân biệt ĐS: k 1;3 ;k 0 k 2

3. Viết pt đường thẳng qua hai điểm cực trị của đ ồ thị (Cm). ĐS: 2y 2x m m

Bài 10 (CĐKT-ĐN): Cho hàm số 2y x 1 x 2mx m 1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

2. Tìm m để đths cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1.

Bài 11 (TNTHPT 2008-L2): Cho hàm số 3 2y x 3x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2. Tìm m để pt 3 2x 3x m 0 có 3 nghiệm phân biệt.

DẠNG 2: Hàm đa thức bậc bốn 4 2 0 y ax bx c (a )

Bài 1(TNTHPT2007): Cho 4 2y x 2x 1 (C) .1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại.

Bài 2(ĐH2009-B): Cho hàm số 4 2y 2x 4x (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Tìm m để phương trình 2 2x x 2 m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ĐS: m 0;1

Bài 3(ĐH2009-D): Cho hàm số 4 2my x 3m 2 x 3m (C )

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0.2. Tìm m để đường thẳng y 1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

ĐS: m 1/ 3;0 \ 0

Bài 4(ĐH2002-B): Cho hàm số 4 2 2my mx m 9 x 10 (C )

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.2. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị ĐS: m 3 0 m 3

Bài 5: Cho hàm số4

2x 9y 2x (C)

4 4

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Viết PTTT với (C) tại các giao điểm của đồ thị với trục Ox.

Bài 6: Cho hàm số 4 2my x 2mx 2m 1 (C )

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 5.2. Tìm m để đồ thị (Cm) cắt Ox tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng. Tìm CSC đó. ĐS: m 5 m 5 / 9 3. Tìm m để hàm số có các điểm CĐ và CT lập thành một tam giác đều.

Bài 7: Cho hàm số 4 2ay a 1 x 4ax 2 (C ) . Tìm a để (Ca) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. ĐS: a > 1

Bài 8: Cho hàm số 4 2ay x ax a 1 (C ) .

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a = -1.

2. Biện luận theo a số nghiệm của ph ương trình 2 24x 1 x 1 a

Bài 9: Cho hàm số 4 21y x ax b

2

1. Tìm a, b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1.2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a = 1 và b = -3/2.

3. Biện luận theo m số nghiệm của ph ương trình 4 2x 2x 3 2m 0 Bài 10(TNTHPT2008): Cho hàm số 4 2y x 2x

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.2. Viết PTTT của đồ thị tại điểm có hoành độ x = -2.

Bài 11(TNTHPT1997-L2): Cho hàm số 4 21 9y x 2x

4 4 (đồ thị (G))

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (G).2. Viết PTTT với (G) tại điểm có hoành độ x = 1.3. Tìm a để (P): 2y x a tiếp xúc với (G). Viết phương trình các Parabol đó và xác định tọa độ các tiếp

điểm của chúng.ĐS: 2). y = 3x +1 3) a 9 / 4;(0;9 / 4) và a 45 / 4;( 6;21/ 4)

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

DẠNG 3: Hàm phân thức:ax b

ycx d

Bài 1: Cho hàm số3x 1

y (C)2 x

.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2. Xác định giao điểm I của hai đường tiệm cận.3. CMR: I là tâm đối xứng của đồ thị (C).4. Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên.5. Tìm các điểm trên (C), cách đều hai trục tọa độ.6. Tìm các điểm trên (C), mà tổng khoảng cách từ đó đến hai đ ường tiệm cận là nhỏ nhất.


1

xy

x

có đồ thị (C).

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 2 1 0x y .

3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 22 1 1 0x m x m (1)

Bài 3: Cho hàm số

m

m 1 x my (C )

x m

.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.2. Tìm những điểm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai đường Tiệm cận là nhỏ nhất.3. Lập PTTT với (C) biết TT song song với đ ường thẳng y = x + 2010.


4

mxy

x m

(Hm)

1. Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.2. Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m = 23. Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox một góc 450. Viết PTTT đó.

Bài 5: Cho hàm số:1

42

x

xy

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.3. Cmr tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ tr ên (C) đến 2 tiệm cận là một hằng số.4. Biện luận theo m số giao điểm của (C) v à đường thẳng (d): y2xm = 0.5. Trong trường hợp (d) cắt (C) tại 2 điểm M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.

Bài 6: Cho hàm sốx 2

y (C)x 1

. Cmr với mọi m, đường thẳng y x m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B. Tìm GTNN của độ dài đoạn AB.

Bài 7: Cho hàm sốx 3

y (C)x 1

1. CMR: đường thẳng d : y 2x m luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N nằm tr ên 2 nhánh của (C).2. Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.

Bài 8: Cho hàm số 222

yx

, gọi đồ thị của hàm số là (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số 2 x 3y

x 2

(1) . Dựa vào đồ thị của hàm số (1), hãy biện luận theo k số nghiệm

của phương trình 2 x 3k

x 2

3. Tìm các điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên.

Bài 9(TNTHPT’99): Cho hàm sốx 1

y (H)x 1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số.2. Viết PTTT với (H) đi qua A(0; 1) ĐS: y 4x 1

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

3. CMR có đúng một tiếp tuyến của (H) qua B(0; -1). ĐS: y 2x 1 4. Tìm trên (H) các điểm có tọa độ nguyên. ĐS: 0; 1 ; 2;3 ; 1;0 ; 3;2

Bài 10(TNTHPT’2007-L2): Cho hàm sốx 1

y (C)x 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số2. Viết PTTT với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

Bài 11(TNTHPT’2009): Cho hàm số2x 1

y (C)x 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số2. Viết PTTT với (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5.

Bài 12(ĐH2002/D): Cho hàm số 22m 1 x m

y (1)x 1

.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m = -1.2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

Bài 13(ĐH2007/D): Cho hàm số2x

y (C)x 1

.

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho diệ n tích

tam giác OAB bằng 1/4. ĐS: 1/ 2; 2 ; 1;1

Bài 14(ĐH2008/A): Cho hàm sốx

y (C)x 1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .2. Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 15(ĐH2009/A): Cho hàm sốx 2

y (1)2x 3

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) .2. Viết PTTT của đồ thị hàm số (1), biết TT đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho tam giác OAB cân tại gốc O. ĐS: y x 2

DẠNG 4: Hàm phân thức:

2ax bx cy

mx n

Bài 1: Cho hàm số22x 5x 4

y (C)x 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số2. CMR: Giao điểm I của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

3. Biện luận theo m số nghiệm của pt:22x 5x 4

m 0x 2


m

x 2mx 2y (C )

x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu thỏa khoảng cách từ 2 điểm đó đến x y 2 0 bằng nhau.


m

x mx 1y (C )

x m

1. Tìm m để hàm số đồng biến với x 2 .2. Tìm m để đồ thị hàm số có Cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa 1 2 1 2x x 4x x

Bài 4: Cho hàm số2x x 2

yx 2

(C) và điểm M thuộc (C) .

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .2. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại P v à Q . Chứng minh MP = MQ .

www.tmt.ucoz.com



Gv

Trầ

n M

inh

Tuấ

n–

ww

w.t

mt.

ucoz

.com

Bài 5(TNTHPT’93-94): Cho hàm số2 2x 2kx k 1

yx k

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với k = 1.2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A 3;0 và có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C)

với (d). Viết PTTT của (C) đi qua A.3. CMR: Với giá trị k bất kỳ, đồ thị hàm số luôn có điểm CĐ, CT thỏa tổng tung độ bằng 0.

Bài 6(ĐH2003/A): Cho hàm số2mx x m

y (1)x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1.2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm phân biệt v à 2 điểm đó có hoành độ dương.

Bài 7(ĐH2005/B): Cho hàm số 2

m

x m 1 x m 1y (C )

x 1

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.2. CMR: Với mọi m đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm CĐ, CT và khoảng cách giữa 2 điểm CĐ, CT bằng 20

Bài 8(ĐH2006/B): Cho hàm số2x x 1

y (C)x 2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2. Viết PTTT với (C), biết TT vuông góc với TCX của (C).

Bài 9(ĐH2007/A): Cho hàm số 2 2

m

x 2 m 1 x m 4my (C )

x 2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m 1 .2. Tìm m để (Cm) có các điểm CĐ, CT cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.

Bài 10(ĐH2008/A): Cho hàm số 2 2

m

mx 3m 2 x 2y (C )

x 3m

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị (Cm) bằng 450.

Phương pháp giải các dạng Toán trong Tài Liệu này có trong Tài Liệu:“ ÔN THI ĐẠI HỌC THEO CHỦ ĐỀ ”

Biên soạn: Gv Trần Minh Tuấn – Thpt BàrịaTrang chủ - www.tmt.ucoz.com

www.tmt.ucoz.com

tl ds gt 12 ltdh 2010 _ban goc

Documents