télécommunications numériques -...
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Contexte: système de télécommunication
But : échange d’information à travers un réseau entre différents utilisateurs
� Organisation des informations: domaine des « réseaux »
� Transmission d’information (numérique) : domaine des « communications (numériques) »
Processus de communication (ici 1 utilisateur, modèle de Shannon)
Lois de la physique (propagation …) / traitement du signal (codage, modulation, détection, estimation, …) / Electronique et optoélectronique (réalisation des dispositifs)
2
source destinataire
bruit, perturbations
signal émis signal reçucanal
Positionnement du cours dans le modèle OSI
Couche Physique du modèle OSI : « Transmission »
bits bits
signal
3
7 Application (Interfaçage avec les systèmes utilisateurs)
6 Présentation (Syntaxe et présentation des données)
5 Session (Mise en place du dialogue entre tâches distantes, synchronisation, vérification des droits d'accès)
4 Transport (transport des messages, constitution et contrôle des paquets)
3 Réseau (établissement et rupture des communications, routage et contrôle de flux)
2 Liaison logique (établissement d'une communication point à point, protocoles d'échanges desdonnées et correction des erreurs, contrôle de l'accès au support de transmission)
1 Physique (modulation/démodulation, transcodage pour le support utilisé, émission /réception, régénération du signal)
Support de transmission Couche physique
Couche physique
4
D’après la revue des télécommunications d’Alcatel, année 2005
= nombreux standards de communication ((GSM, UMTS, WIFI, ADSL, …), diffusion (TNT, …), de diffusion (GPS, Galiléo), transmission par fibre optique ou câble …
Domaines d’application
OBJECTIF du cours : les premières briques de base seulement …
Bases théoriques de la transmission numériquepermettant d’acheminer une source d’information « numérique» (ou numérisée) au travers d’un « support physique analogique » dans le cas élémentaire (Canal à Bruit Blanc Additif Gaussien)
• Principe des « modulations » numériques, principaux paramètres, transmission sur/sans fréquence porteuse,
• conditions d’optimalité d’un émetteur/récepteur pour un canal « idéal » à Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG),
• formats usuels de modulation numérique et performances
=> choix d’une modulation (vs Bande, TEB, Puissance, …)
+ Introduction / ouverture aux Technique de Multiplexage entre plusieurs utilisateurs
5
PLAN
I- Introduction à la transmission numérique [2,5h]
transmission en Bande de Base ou sur fréquence porteuse, numérique vs analogique,
numérisation d’une source analogique, TEB, Eb/N0, Capacité de canal (Théorie de l’information)
II- “Modulation” en Bande de Base (“Codes en Ligne”) [3,5h]
Formats linéaires ou non, cyclo-stationnarité, Densité Spectrale de Puissance, calcul de Eb.
III- Transmission (en B.B.) optimale (Canal à Bruit Blanc Additif Gaussien) [3h]
Filtre adapté /corrélateur, Critères de Nyquist, Transmission à Bande limitée,
performances, comparaison aux limites de la Théorie de l’Information,
IV- Transmission numérique sur fréquence porteuse [1h]
Modulation/démodulation I/Q, représentation complexe équivalente en B.B.,
Modulations Linéaires courantes (PSK, QAM, …),
+ 2 séances de TD [4h]6
Principaux outils utilisés dans le cours:• notions de base en traitement du signal déterministe
analogique et numérique
• notions de base en traitement du signal aléatoire et
probabilités / statistiques
Références bibliographiques• A. Glavieux, M. Joindot. “Communications Numériques,
Introduction”, Coll. Pédagogique de Télécommunication, 1996
• J.G. Proakis. “Digital Communications”. McGraw-Hill, 3rd edition, 2000.
• S. Haykin. “Digital Communications”. Wiley, 1988.
7
A) Transmission Numérique : définition
Message transmis au travers d’un support
Numérique (physique)(ou numérisé) Analogique
Séquence de symboles signal continu
∈ Alphabet fini (taille N) ex: ondes radio ou acoustiquescâble, ondes optiques,
Exemple du Télégraphe (code Morse, 1832) : N ≈ 60 caractères, convertis en impulsions envoyée sur un câble électrique
9
B) Adaptation du signal au canal:
Transmission en Bande de Base (B.B.)
Signal transmis réel de type passe bas
(‘spectre’ autour de 0 Hz)
Transmission sur Fréquence Porteuse f0
Signal transmis réel de type passe bande.
(‘spectre’ autour de ± f0 , nul en 0 Hz)
10
B = bande Passante, ou Largeur de bande (mono-latérale)
-B 0 +B
f
- f0 0 +f0
f
B << f0B
11
------------------- Transmission Analogique ----- ----------------
« CanalAnalogique »
Message
Critère deQualité ?
peut inclure : Transposition de Fréq. ,ou autre mod. analogique
t
...0110 =>
Message
t
------------------- Transmission Numérique ------- ---------------
t ...0110
peut inclure Transposition de Fréq.(si porteuse)
déc
isio
n
« CanalAnalogique »
C) Transmission Numérique vs Analogique
Transmission Numérique vs Analogique (2)
trans. Analogique
• Message: fonction continue du temps avec une infinité de valeurs possibles
(<-> information analogique)
• Critère de Qualité : fidélité, Rapport Signal à
Bruit (RSB)
trans. Numérique
• Message: série de symboles (discrets),pris dans un alphabet fini(bits si N=2) connu à laréception
• Critère de Qualité :Taux d’Erreur Binaire (TEB)
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Avantages• faible SNR requis• Protection « infinie »
contre le bruit possible grâce au codage : C. Shannon, 1948(Cf cours de Théorie de l’Information)
• Facilité des traitements numériques: pour multiplexer, transformer, régénérer, mémoriser, …
Inconvénients• Bande passante +large
… mais possibilité de compression, de modulation à plus grand nombre d’états, …
• Délai dû au codage/décodage ou aux autres traitements numériques
• Consommation si puissance de calcul importante
13
Transmission Numérique vs Analogique (3)
D) Numérisation d’un signal analogique (Rappel)
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• Échantillonnage : discrétisation en temps pas de perte d’information (respect du théorème d’échantillonnage Fech ≥ 2.fmax )
• Quantification : discrétisation en amplitude, par approximation à la valeur la plus proche parmi Q niveaux de quantification.
perte irréversible d’information (distorsion, bruit de quantification)
Cas de la quantification uniforme sur n bits � Q = 2n niveaux
si amplitude a∈ [-A; +A[ => pas de quantification q = 2A/ 2n.
Bruit de quantification : b_q[k] = a[k] - a_q[k] ∈ [-q/2; +q/2[ ,
Une Modélisation : suite indépendante, même loi uniforme.
Application : RSB_q dû à la quantification pour une sinusoïde d’amplitude A :
RSB_q = (A2/2)/(q2/12) = 1,5 ×22n => (RSB_q)dB ≈ 6,02 ×n + 1,76 dB
Exemple : signal de parole en téléphonie (bande 300 Hz-3400Hz)
fréquence d’échantillonnage Fe = 8 kHz sur 8 bits (=> RSB_q ≈ 49,76 dB)
Numérisation à Débit = 64 kbit/s, mais compression avec perte à 13 kbit/s pour le GSM)
Exemple : transmission temps-réel d’un Son Haute Fidélité
Qualité Compact Disque : ‘0-20 kHz’ x 2 en stéréo (Droite / Gauche),
RSB Audio requis (destination) ≥ 96dB
=> Comparer pour une transmission (en bande de base) :
• Transmission Analogique (multiplexage fréquentiel des 2 voies D/G)
• Transmission Numérique (par simple modulation binaire filtrée, après Numérisation Audio, et sans code correcteur d’erreur)
1) la bande nécessaire de transmission Bmin
2) le RSB requis dans la bande de la transmission
Donnée : pour une modulation binaire polaire en bande de base, nous verrons (ch III) que : Bmin = Débit Binaire / 2 , et RSB (avec Bmin) = 12dB @TEB = 10-8
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E) Probabilité d’erreur binaire (Pe) et Taux d’Erreur Binaire (TEB)
• Pe : probabilité d’erreur par élément binaire restitués au destinataire.
= probabilité de prendre une mauvaise décision sur un élément binaire.
exemple téléphonie : Pe ≤ 10-6 (parole) ; image : Pe ≤ 10-9 typiquement
En pratique, Pe estimée par la mesure du :
• TEB (Taux d’Erreur Binaire) =
TEB est un estimateur sans biais et convergent de Pe (hypothèse erreurs indépendantes)
Modélisation : Nerr ~ Loi Binomiale(Pe, N)
⇒ Vérifier: moyenne E{ TEB } = Pe, et Variance{ TEB } = Pe(1-Pe)/N
⇒ Exemple: nombre de bits pour estimer Pe = 10-6 avec σTEB ≤ 10% de Pe ?
16
N
Nerr
ansmisde bits tralnombre tot
ésbits erronnombre de =
D) Rapport Eb / N0 :
paramètre d’entrée du récepteur (ou “état” du canal)
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r (t) = x(t) + n (t)
Traitementde Réception
BitsDécidés
( Eb , N0 )
(TEB)
En radio-électricité : N0 = k T, où k = constante de Boltzmann (1,38.10-23 Joule/Kelvin),
T = température «équivalente» de bruit (Kelvin) ≥ T0 = t. ambiante (prise à 17° = 290 Kelvin).
Pour T = T0 , => 10 log(N0 / 1mWatt) = -174 dBm / Hz (dBm: décibels relatifs au milliwatt)
Eb : Energie (moyenne) par bit du signal analogique utile en entrée du récepteur
N0 : Densité Spectrale de Puissance (DSP) mono-latérale
du bruit blanc en entrée du récepteur (donc DSP bi-latéraleΓ(f) = N0/2)
=> Mesure de performance: TEB= f( Eb / N0 )
• Energie par bit: Eb = P / Db = P × Tb
- P = P(x) : puissance moyenne de x(t), en Volt^2, ou Watt
calculé en pratique par
et en théorie à partir des outils des signaux aléatoires
- x(t) : signal analogique utile en entrée du récepteur,
(passe-bas si trans. en B.B., ou passe-bande si trans. sur porteuse)
- Db = 1/Tb : débit binaire, en bit/sec, Tb : Temps bit
• Rapport Eb /N0 = P / (N0 Db) est aussi le rapport entre puissance du signal et puissance du bruit mesurée dans un bande Db Hertz.
=> sorte de RSB par bit (mais ce n’est pas « le RSB d’entrée », car la bande du signal n’est généralement pas égale à Db Hz; elle peut être très inférieure ou supérieure selon les cas).
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Rapport Eb /N0 : annexe
∫+
∞→≈
Tt
t
dttxP0
0
2
T)(
T
1 lim
19
Convers. A to N
Source Coding
Mux
(Line Coding)
SOURCE(S)
ChannelCoding
IF
Binary rate (bit/s) : Db(U) < Db(B)
IF
RF stage Trans .
Up Transp. Amplification
filtering
RF stage Receiver
Filtering,Low Noise Amp.
Down Transp.AGC
Symbolsmapping
a[m]
MOD
I/Q
Modulatorvoies
I
Q
PhysicalRF channel
signal
TransmittedSignal
ReceivedSignal
x(t)
r(t)
bits
U
bits
B
(Line Decoding)
Demux
Source Decoding
conversion N to A
DESTINATION(S)
ChannelDecoding
bits
U’
bits
B’
* With « hard » decision channel decoding
IF: intermediar frequency, typically 70MHz to 400 MHzRF: radio-frequencies, typically 900 Mhz to 40 GHz
LINE
DEC.
LINE
COD.
DemodulatorDEMOD
I/Q
DECISION
Synchronization
processing
Annexe: Typical Scheme * of a digital transmission (via RF carrier modulation)
SOURCEDiscrètebinaire
AU = {0, 1}
Normalisée
Procédé d’émission
UDESTINATAIRE
Procédé de Détection
U’
normalisé
capacité ( en Sh/sec):
Ct = B.log2(1 + RSBin )
Ht (U) Sh/sec
= Db(U) bit/sec si U sans redondance
Il existe un procédé de transmission (émission + détection) fiable à volonté (i.e. avec une probabilité d’erreur après détection: Ped < ε , ∀ ε >0) au travers d’un canal à BBAG (de largeur de bande B Hz et Rapport signal à Bruit dans la bande RSBin) si et seulement si le débit d’information de la source est inférieur à la capacité du canal:
H t (U) ≤ Ct = B.log2(1 + RSBin) Sh/sec
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x(t)
Signalcontinu
Canal continu BBAG
r(t)
Signalcontinu
E) Capacité du canal continu BBAG (2° Théorème de Shannon)
Note: en pratique le procédé Emission/Détection est le + souvent décomposé en :
Procédé d’émission = « Codage canal » + « Modulation numérique » Procédé de Détection = « Dé-modulation » + « Dé-codage canal »
Annexe: clef de la démonstration => transmission par blocs de grande taille !
1) Cas d’une transmission à Bande limitée fixée à B > 0 :Large débit d’information possible si l’on a un grand RSBin dans la bande.
Exemples d’application: Modulation à grand nombre d’états, ou « bit loading » en trans.multi-porteuse: ajustement du débit/taille modulation par sous-porteuse selon RSB local.
2) Cas d’une transmission à Rapport signal à Bruit fixé à RSBin > 0 :Large débit d’information possible si l’on a une large bande mais attention augmentation de la bande nécessite augmentation de la Puissance dans ce scénario.
Exemple d’application : transmission à étalement de spectre fiable malgré un RSBin << 1 (signal noyé dan s le bruit) en utilisant une très large bande.
3) Cas d’une transmission à Puissance utile fixée P > 0 :Etant donné dépendance entre RSBin = P/(N0B) et la bande B, la Capacité croit avec
B vers une limite : ����� =�
�.�
� (�)bits d’information /sec
Conséquence : transmission fiable possible ssi����≥ln(2) ≈ 0,69 (soit -1,6 dB)
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Interprétations (formule/ théorème de Shannon-Capacité canal BBAG)
Ct = B×log2(1 + RSBin) bits d’informations/sec
22
ANNEXE : « Théorie de l’Information »Cas du canal continu à Bruit Blanc Additif Gaussien
2 Livres de références :T.M. Cover, J.A. Thomas, “ Elements of Information Theory”, Wiley, 2nd ed., 2006.
Gérard Battail, « Théorie de l’information : application aux techniques de communication », collection pédagogique de Télécom., MASSON, 1997Polycopié Sicom2a « Théorie de l’Information », chapitre IV:http://chamilo2.grenet.fr/inp/main/document/document.php?cidReq=PHELMAA2SICOM4PMSTHI&id_session=0&gidReq=0
• Théorie de l’Information se généralise au cas des lois de probabilités continues:=> Entropie différentielle d’une V.A. continue X de densité de probabilité pX(x):
Hd X = −� pX(x)�
! log2{ pX(x) }dx (en bits d’Information)
• En particulier, le théorème de Shannon-Capacité se généralise au cas du canal bruité sans mémoire à entrée/sortie continues de type BBAG: la transmission de manière fiable d’information discrète est toujours possible tant que la quantité de cette information ne dépasse pas une valeur critique (capacité de ce canal continu).
• Plan: - Modèle(s) du canal BBAG (pour signal complet analogique / pour 1 échantillon)- Formules de capacité C pour 1 échantillon, et Ct pour 1 seconde de signal,
Annexe T.I (2): Modèle(s) du canal continu BBAG
sortie
r(t)
= x(t)+n(t)
entrée
x(t)
bruit BAG de DSP bilatérale N0 / 2
n(t)
signal réel analogique, (aléatoire stationnaire)de Puissance moyenne P,de bande limitée B(support spectral [-B; B])de moyenne nulle.
Canal BBAG
Pré-traitementlimitant à la bande Bdu signal utile: Passe-bas idéal
y(t)
= x(t)+b(t)
• À Amplitude Continue et Temps continu (modèle complet pour signaux analogiques)
• À Amplitude Continue et Temps discret (puis pour 1 échantillon) :
x(t) et y(t) « échantillonnable » sans perte d’information à la fréquence : Fe = 2B ech/sec
=> Modèle pour 1 seul échantillon: où X, Y, Z : 3 V.A. continues
X et Z indépendants,σσσσX
2 = P; σσσσZ2 = N0.B
et σσσσY2 = σσσσX
2 + σσσσZ2 Z
XY = X + Z
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Annexe T.I (3): Capacité du Canal continu BBAG
Démarche : calcul de C = max&'{)(*; ,) } Sh/ech
1) Information Mutuelle :
I(X; Y) = Hd(Y) – Hd( Y | X) = Hd(Y) - Hd(Z)
D’où C = max&'{H-(,) } - H-(.), obtenue en choisissant la d.d.p. d’entrée /* qui
maximise Hd(Y) (obtenue dans ce cas de symétrie de la ddp en maximisantHd(X)).
2) Résultat : l’entropie différentielle Hd(X) d’une V.A. continue X de d.d.p. /*(x) et de variance σX
2 est bornée parHd(X) ≤ log2(σX 212 ) , ce maximum étant
atteint si X~N(0; σX2) : V.A. Gaussiennecentrée, /*(x) =
3
4X 56 exp(−9:
54X:) .
24
3) Il en résulte : ; =3
5.log2(1 +RSBin) Sh/ech avec RSBin =
4X:
4Z: =
>
��.?
Et Capacité par seconde ;@ = ;. 2A du canal BBAG complet (signaux analogiques):
;@ = A.log2(1 +RSBin) Sh/sec (ou bits d’information/sec)
H(Y)H(X)
H(X |Y) H(Y |X)I(X,Y)
contenu
2.1 Codes en Ligne : cas général
modèle, exemples, distance eucilidienne minimale
2.2 Cas de la Modulation d’une Impulsion en Amplitude (“PAM” : Pulse Amplitude Modulation),
(ou modulation linéaire en Bande de Base)
26
27
2.1 Codes en ligne : en général
source Codeur en Ligne
Filtre
g2(t)
{ }Zibi ∈ ; x(t)
« Émetteur » ou « Modulateur »numérique en Bande de Base
s(t) vers canal
Structure de la chaîne d’émission en bande de base
N.B : La plupart du temps le « filtrage de R.I. g2(t) » n’est pas une opération supplémentaire après le codeur en ligne mais les 2 opérations sont réalisés simultanément (+ avantageux !).
(optionnel)
Séquencement pour une modulation de taille M = 2n : émission d’1 signal parmi M possibles par intervalle de temps Ts , en correspondance à 1 groupe de n bits.
n bits
Mlog
1
2
bb
ss
D
n
D
TD ===
temps
Rapidité de modulation Rou Débit Symbole Ds = R(Bauds, ou signaux/sec, ou symb/sec),
Tb : temps bit
Ts : Temps symbole
))(( kms
Débit BinaireDb = 1/Tb ( bits/sec)
28
))1(( +kms ))2(( +kms
Modèle mathématique du signal en sortie du Codeur en Ligne :
• M=2n mots de n bits � M signaux possibles en sortie du 'codeur en ligne’
=> Dictionnaire de M signaux WWWW = {s(1)(t) , s(2)(t) , …, s(M)(t)}
support de s(m) (t) ∈ [0; Ts], avec Ts = nTb.
Choix des signaux et affectation bits/signal (mapping) dépend de la modulation
• 1 nouveau signal est émis (décalé) au temps k.Ts, où k ∈ Z (indice temporel):
29
{ }Mkmsk
km kTtsts ..., ,2 ,1)( ,)()( ))(( ∈−= ∑+∞
−∞=Notes:- le signal choisi pour l’instant k sera noté simplement sk(t) au lieu de s(m(k))(t) - après filtrage, x(t) = s(t)⊗ g2(t) s’exprime aussi à partir d’un dictionnaire de M signaux x(m)(t) = s(m)(t)⊗ g2(t), mais de support non nécessairement limité à [0,Ts]
Exemplescas de modulations “sans mémoire” (1)
“Pulse-Position Modulation” (M-PPM)
largeur d’impulsion constante ∆ = Ts/M, et M positions possibles durant Ts
Ex: M = 4, n=2 bits:
“00” “01” “11” “10”
s(1)(t) s(2)(t) s(3)(t) s(4)(t)
30
• applications à Puissance moyenne limitée mais très large-bandes (si M↑)
Signaux orthogonaux < s(m) ; s(m’) > = 0, => robustesse au bruit si M↑ (Cf TD )
• Exemples d’utilisation: communications optiques, communication sans filultra large-bande entre objets proches (capteurs à faible puissance)
0 Ts
t
0 Ts
tWWWW = { Ts
t
0 Ts
t
0
}; ; ;
Exemplescas de modulations “sans mémoire” (2)
“Audio frequency-shift keying” (AFSK) => M fréquences discrètes (audibles) d’un signal de type sinusoïdal
Ex: M = 2, n=1 bit: “0” “1”
signaux : s(1)(t) s(2)(t)
31
• Applications simples et bas débit (télécommande, monitoring, ..),
• OK même si composante continue non transmise (transport de voix, musique, …)
• Signaux orthogonaux (comme sur l’illustration), ou non
• Exemple du Modem Bell 202 : jusque 1200 bit/sec (f1 = 1200 Hz, f2 = 2200 Hz), utilisé sur le réseau téléphonique commuté en Amérique du Nord pour la signalisation (numéro « Id caller »), les systèmes d’alarmes ou commerciaux.
(Exemple généralisé : « Dual-Tone Multi-Frequency signaling » (DTMF))
0 Ts
tWWWW = { Ts
t
0};
Exemple d’extension au cas de modulation “avec mémoire” :
Code en ligne « Bi-phase-Mark Code » (BMC)
Codage binaire (M=2) basé sur des inversions de signe du signal: • changement de signe systématique à chaque nouveau temps symbole, • en cas de bit « 0 », conservation de la valeur durant toute la période symbole Ts,
alors qu’en cas de bit « 1 », changement de signe supplémentaire en milieu de Ts.
Codage du bit “ 0 ” Codage du bit “ 1 ”
32
Utilisé dans le standard “Sony/Philips Digital InterFace” (S/PDIF)• Interface Audio-Numérique pour le transport de données audio-numériques par cable coaxial
(ou fibre optique si offset), par exemple entre sortie d’un lecteur DVD et « Home cinema ».
• Trame de 32 bits (20 bits par échantillon audio D ou G + 12 bits de données auxiliaires),
• 2.048 Mbit/s (Fe = 32 kHz, satellite), 2.8224 Mbit/s (44.1 kHz, CD), 3.072 Mbit/s (48 kHz, DAT)
Ts
tTs
t00
s(1)(t) ou s(1)’ (t)
Ts
tTs/20
s(2)(t) ou s(2)’ (t)
Ts
tTs/20
Distance Euclidienne minimale du dictionnaire et Probabilité d’erreur
• Soit l’observation: r(t) = s(i)(t) + n(t)
où les M signaux s(m)(t), m=1, …, M du dictionnaire WWWW sont supposéségalement probables, et n(t) est un B.B.A.G de DSP bilatérale N0/2.
• Récepteur optimal: probabilité d’erreur Pes dans la décision du signaltransmis est minimum en choisissant le signal du dictionnaire (indice îparmi m=1,…, M ?) le plus « proche » de l’observation au sens de ladistance Euclidienne d(r ; s(m)) :
avecd(r ; s(m))5 ≝ C − D(E)
5≝ � C(F) − D(E)(F)
5GF
�
!
• Borne de l’Union: on montre que la probabilité d’erreur Pes est alorsinférieure à une fonction exponentiellement décroissante avec la distanceEucilidienne minimale du dictionnaire dmin :
HIJ ≤ L!3
6exp
!MNOP:
Q��avecGETU
5 ≝ minEWU
d(s(m) ; s(n))
5
33
(MIA, ou en anglais “Pulse amplitude Modulation” : PAM)
• Modèle mathématique
• Exemple de formats (unipolaire, polaire, bi-polaire (codes NRZ, RZ, ), code Manchester, …)
• Représentation convolutive
• Propriété de cyclo-stationarité, Densité Spectrale de Puissance (moyenne).
34
2.2 Codes en ligne : par « Modulation d’Impulsion en Amplitude »
Modèle mathématique Modulation d’Impulsion en Amplitude (Modulation Linéaire en B.B.)
• Dictionnaire de M signaux WWWW = {s(m) (t) ; m = 1, …, M } construit à partir:
- d’un signal élémentaire unique se (t) = Ts . g(t)
- et de M amplitudes a(m) issues d’un alphabet réel Amod = {a(1) , …, a(M)} :
s(m)(t) = a(m) . se(t)
• Signal en sortie du codeur en ligne :
g(t) : Réponse Impulsionnelle (R.I.) réelle du filtre de mise en forme,
(ou Ts.g(t) : forme d’onde du codeur en ligne),
ak : symbole ∈ Amod , à transmettre à l’instant d’indice k ∈ Ζ.
35
)( . . )( s
kks kTtgaTts −= ∑
+∞
−∞=
)(..)( )()( tgTats smm =
Le plus souvent Ts.g(t)
construit à partir de
Π[0,T[(t) ou Π[0,T/2[ (t)
Codes en ligne binaires :
De nombreux codes binaires possibles …
**
Cas des modulations sans mémoire
• Relation entre les bits et les symboles « mapping »: Bijection entre les M groupes de n bits possibles B(m) et les M symbolespossibles a(m) , m = 1…M. => ak ne dépend que de Bk , à l’instant k.
• Formats classiques binaires (et sans mémoire)
- Uni-polaire, ou polaire (différent de Bipolaire ! )
Exemple pour les codes “Non Return to Zero” NRZ (= NRZ-L(Level) ), ou les codes “Return to Zero” RZ
- Manchester (= bi-phase-L)
37
Annexe: exemples de Cas de Modulation avec mémoire
• Codes incluant un codage différentiel: NRZ-M (Mark), NRZ-S (Space), …
=> ak dépend des groupes de bits présent Bk et précédent Bk-1 .
• Code bi-polaires: RZ-bipolaire, NRZ-bipolaire = AMI (Alternate Mark Inversion)
=> changement du signe de ak si bk = 1, et ak = 0 si bk = 0
at
+A
0
-A
x(t)
Ts = Tb -A +A
« 0 » « 1 »
EXEMPLE: Modulation à M états d’amplitude (format polaire)a ∈ { ±1, ±3, ..., ±(M-1)}.A, et Ts.g(t) = ΠTs(t)
Affectation
« mapping »
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«00 » «01 » «11 «10 » a
bits bi : « 1 1 0 1 0 0 1 0
t
+3A
+A
0
-A
-3A
x(t)
Ts = 2Tb
Modulation : 4-PAM: M = 4, i.e. n = 2 bits /symbolea ∈ { ±1, ±3 }.A
Modulation : 2-PAM: M = 2, i.e. n = 1 bit/symbolea ∈ {- A; +A }
Codage de Gray vs codage naturel
(idem NRZ polaire)
Représentation Convolutived’un codage en ligne par MIA
Filtrage:
où :
exemple avec ak ∈ {-A ; +A} et une impulsion rectangulaire
39
s(t)
⊗ g(t)t
Ts
t
Ts
)( )( )( tgtats ⊗=
)( . . )( s
kks kTtaTta −= ∑
+∞
−∞=
δ
{ } ka
)(ta
40
Structure de la chaîne d’émission en bande de base (cas MIA)
)(.)( s
kks kTtgaTts −= ∑
)( . . )( se
kks kTthaTtx −= ∑
+∞
−∞=
source Codeur en Ligne
Filtre
g2(t){ }Zibi ∈ ;
x(t) vers canal
s(t)
he(t) = g(t) ⊗⊗⊗⊗ g2(t) : R.I. réelle du filtre de mise en forme global d’émission, ou forme d’onde de l’émetteur (incluant le filtre)support non nécessairement limité à [0,Ts]
He(f) = G(f) . G2(f) : Fonction de Transfert, obtenue par T.F.
Cyclo-stationnaritépour une Modulation Linéaire
• Avec des symboles aléatoires, fonction d’ (auto-) corrélation du signal modulé x(t) en B.B. :
• Cyclo-stationnarité (2nd ordre), avec périodicité temp. de Ts:
41
{ } )( . )( ),( * ττγ −= txtxEtx
) ,( ) ,( τγτγ sxx Ttt +=
{ } { } τ∀∀+= t, )( )( sTtxEtxE
Calcul de la fonction de corrélation pour une Modulation Linéaire en B.B.
• Hypothèse: stationnarité des symboles aléatoires,
de corrélation (discrète) et moyenne
=>
• En prenant la moyenne temporelle (sur une durée Ts) :
• Si symboles non-corrélés ( ) et centrés (ma=0):
=> ;
42
{ } . * ][
def
nkkna aaE −=γ
)().(.),( *][
2 τγτγ −+−−= ∑ ∑ sses
n k
enasx nTkTthkTthTt
∑ −−−=k
seseasx kTthkTthTt )().(. .),( *22 τστγ
2
][2
][ . anana m+= δσγ
∑+∞
∞=
−=-n
)(..)( ][ shenasx nTCT ττττγγγγττττγγγγ >−<=−= ∫+∞
∞−
)(;)()()()( * ττττττττττττ ththdtththC eeee
def
he avec
)(.)( 2 ττττσσσσττττγγγγ heasx CT . =
{ }k
def
a aEm =
Puissance Moyenne et Energie par bit Ebpour une Modulation Linéaire en B.B.
• Puissance moyenne du signal x(t) (avec symboles non-corrélés) :
où :
=> Cas particuliers fréquents où le 2° terme est nul:support de he limité à Ts, ou Che(nTs) = 0 ∀ n∈ Z*, ou symboles centrés
• Cas de symboles non corrélés et centrés:Puissance : Px = σa
2 . Ts ║he║2 et Energie par bit : Eb = σa2 . Ts ║he║2.Tb
43
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
== dffHdhh eee222
)()( ττ
{ }
terme2
)(C. . E 0
he
2
2
22
2
444 3444 21
43421
°
+= ∑≠
+n
sases
aa
kx nTmThTaP
mσ
Densité Spectrale de Puissance (DSP) (moyenne)
pour une Modulation Linéaire en B.B. (formule de Bennet)
où :
ΓΓΓΓ1a(f) : DSP continue ΓΓΓΓ2
a(f) : spectre de raies
= DSP des symboles centrés (ak – ma). espacées de 1/Ts
(=> porte l’information)
N.B. : calcul à partir de la Transformée de Fourier de la moyenne temporelle (durant une période symbole Ts) de la fonction d’auto-corrélation.
Et en utilisant la relation:
44
2)( )( )( fHff eax ×Γ=Γ
∑∑ −+−=Γn s
an
s anasa T
nfm fnTjm- Tf )(. )2exp(). (.)(
22 ][ δπγ
)2exp().()( ∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
=−n
ss
n sfnTjT
T
nf πδ
45
----10/T10/T10/T10/T ssss ----8/T8/T8/T8/Tssss ---- 6/T6/T6/T6/T ssss ---- 4/T4/T4/T4/Tssss ---- 2/T2/T2/T2/T ssss 0000 2/T2/T2/T2/T ssss 4/T4/T4/T4/T ssss 6/T6/T6/T6/Tssss 8/T8/T8/T8/Tssss 10/T10/T10/T10/Tssss-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
D S P (d B )
Fr éq u en ce
Exemple : DSP du code RZ unipolaire
222 )( . )(. . )( fHT
nfm Tf e
n saasx
−+=Γ ∑δσ
DSP pour une Modulation Linéaire en B.B. (2)
=> Cas des symboles non corrélés :
46
2
2 )( . )( fHTf esax σ=Γ
----10/T10/T10/T10/T ----8/T8/T8/T8/T ----6/T6/T6/T6/T ----4/T4/T4/T4/T ----2/T2/T2/T2/T 0000 2/T2/T2/T2/T 4/T4/T4/T4/T 6/T6/T6/T6/T 8/T8/T8/T8/T 10/T10/T10/T10/T -60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
DSP (dB)
Fréquence
----10/T10/T10/T10/T ----8/T8/T8/T8/T ----6/T6/T6/T6/T ----4/T4/T4/T4/T ----2/T2/T2/T2/T 0000 2/T2/T2/T2/T 4/T4/T4/T4/T 6/T6/T6/T6/T 8/T8/T8/T8/T 10/T10/T10/T10/T -60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
DSP (dB)
Fréquence
Exemples: Code NRZ (polaire) Code Manchester
DSP pour une Modulation Linéaire en B.B. (3)
=> Cas des symboles non corrélés et centrés :
Annexe : note sur les dimensions
• Signal x(t), symboles ak : amplitude (volt)
• R.I. filtre he(t), g(t), g2(t): Hertz (ou sec-1)
• F. de transfert He(f), G(f), G2(f): sans dimension (gain)
• Densité Spectrale de Puissance Γ(f): Volt2/Hertz
47
III) TRANSMISSION (EN B.B.) OPTIMALE POUR UN CANAL À BRUIT BLANC ADDITIF GAUSSIEN
Transmission et Communications Numériques, chapitre III
48
Contenu
(par défaut : symboles binaires, mod. linéaire polaire, canal BBAG)
3.1- Problème : obtenir Pe = f(Eb/N0) minimum
3.2- Cas d’un seul symbole transmis, Filtre Adapté (FA)
3.3- Interférence Entre Symboles (IES) et Critère de Nyquist
3.4- Conclusion pour la chaîne optimale : Filtre de Nyquist equi-réparti entre émission et réception
3.5- Conséquences pour la Transmission à Bande Limitée
Annexes : Théorie de la Détection Optimale (Modulation Quelconque),
49
x(t)
Filtre (global)d’Emission (Tx)
he
3.1) Problème à résoudre (1)
• Modulation linéaire (binaire) :
Hypothèses sur les symboles par défaut:binaires, réels ai ∈ {-A ; +A}par défaut équi-probables pA = p-A = ½ = > moyenne nulle : E {ak } = 0non-corrélés E {ak. ai* } = 0 si i ≠ k
Canal : Bruit Blanc Additif Gaussien (BBAG) n(t), DSP bi-latérale : N0/2
50
{ } ka
A) Problème à résoudre (2)
• Réception Linéaire*et décisions symbole par symbole :
Quels couples de filtres émission/réception (he , hr ) amènent au
minimum de la Prob. d’Erreur Pe, pour un Eb / N0 donné ?
* N.B.: Pour une modulation linéaire, ce récepteur à structure linéaire imposée donnera en fait après optimisation la même solution que le détecteur optimal obtenu directement en résolvant le problème de détection (sans imposer de structure, basé sur la distance) !
51
r(t) = x (t) + n (t)
hr
Echantillonnage(synchrone)
décisionpar seuil
symboledécidé
symboleestimé
Filtre deRéception (Rx)
t = k.Ts
+ retard t0
y(t) yk ka
Chaîne globale (émission-réception) équivalente en Bande de Base :
• Equations (transmission):
• Energie par bit : Eb = P(x).Tb = A2 . (Ts || he ||2 ) .Tb
( pour M= 2 => Tb = Ts , n = 1 bit/symb)
52
hr
Échantillonnage
t = k.Ts
+ retard t0 seuil
+
BBAGbi dsp N0 /2
he
)( . . )( se
iis iTthaTtx −= ∑
+∞
−∞=
kax(t) r(t)
n(t)
y(t) yk
{ } ka
n(t)txtr )( )( +=
Equations générales (1)
• avant échantillonnage :
où : • p(t) = he(t) ⊗⊗⊗⊗ hr(t) : R.I. du filtre global Emission/Réception
(ou Tx/Rx)
• b (t) = n(t) ⊗⊗⊗⊗ hr(t) : bruit Gaussien filtré, DSP : (N0 /2) .|Hr(f)|2
53
b(t)iTtpaTty s
iis )(. . )( +−= ∑
+∞
−∞=
54
• après échantillonnage synchrone : instants tk = t0 + k .Ts
(k∈ Z)
yk
=
Utile Interférence Entre Symboles
IES [k]
: échantillon (variable de décision) pour décider le symbole d’indice k
Bruitbk
Equations générales (2)
)kT(tbTiktpaTTtpakTty ss
kiissks ++−++=+ ∑
≠00 00 ))(( . )).(.( )(
55
Exemple de transmission
260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
temps (s)
temps (s)
Sortie codeur avant filtrage s (V)
horloge (V)
1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1
260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
temps (s)
temps (s)
Signal modulé émis x (V)
Signal bruité reçu r (V)
THe
260 262 264 266 268 270 272 274 276 278 280 *10 -8
-2.0
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
THr
temps (s)
Après filtre de réception y (V)
Transmission NRZ à 100 Mbit/s
Extrait cours G. Maury INPG/Telecom 2007
56
Diagramme de l'œil
immunité au bruit
résistance à variation de l'instant d'échantillonnage
• qualité mesurée par le diagramme de l'œil en réception de y(t) :
• Constellations :
- Symboles émis ak
Ts
- Symboles estimés { yk }(avant décisions)
(échantillonnage)
3.2) Cas d’un seul symbole transmis
modèle sans IES : r (t) = a .Tshe(t) + n(t) => y (t) = a.Tsp(t) + b(t)
après échantillonnage en t = t0 : y = y (t0) = a.λ + b
57
+
n(t)BBAG
0 ∆T
t
0 ∆T
t
Symbole +A
Ou (même probabilité)
Symbole -A
+A. Ts.he(t)
-A. Ts.he(t)
r(t)
seuil
y >s => +Ay <s => -A
y
t = t0
échantillonnage
y(t)
* hr
Filtrede Réception
Problème : trouver hr , et le retard associé t0
pour décider + ou – A ?
?
Cas d’un seul symbole transmis (2)
décision à partir de : y = a.λ + b
où : b variable Gaussienne, centrée, de variance σ 2b
a : var. aléatoire centrée avec 2 états possibles, de variance Α 2
• Probabilité d’Erreur pour décision = sgn{ y } ( i.e. seuil s=0)
• RSBY : Rapport Signal à Bruit pour la var. de décision y
58
duexQu
x
2
2
21
)(−∞+
∫=π
(aire sous la queue de distribution Gaussienne)
( )yRSBQPe=
{ }{ }
. 2
2
bE
aERSBy
λ=
2
22.
b
ARSBy σ
λ=
Cas d’un seul symbole transmis (3)
Probabilité d’Erreur Pe minimum � RSBy maximum
• Pour un Eb/N0 donné (une puissance de transmission donnée),
i.e. sous la contrainte : || he ||2 = constante où
• Trouver hr (et t0 associé)qui maximise :
où� (amplitude) gain :
varie avec he and hr
� variance de bruit :varie avec hr
59
∫+∞
∞−
= dffHh ee22
)(
dfefHfHTtpT ftjress ∫
+∞
∞−
== 020 . )().(.)(. πλ
2
22.
b
ARSBy σ
λ=
dffHN
rb ∫+∞
∞−
= )(.2
202σ
RSBy maximum pour: Hr (f) = He*(f) . exp( -j2ππππft0 )
donc pour la R. Impulsionnelle: hr(t) = he*(- t + t0)
=> filtre de réception optimal est adapté (avec retard t0) au filtre d’émission: hr(t) = he
H(t)*δ(t - t0)=heH(t-t0)
Notations :
• Pour une fonction quelconque g, on note XY F ≝ X∗ −F• Filtre adapté (F.A.) au filtre de R.I. he et de Fonction de Transfert (F.T.) He(f) :
filtre de R.I. heH(t) = he*(-t) et de F.T. He*(f) (module identique, phase en opposition)
NB : en pratique t0 choisi pour que hr soit un filtre causal : t0 ≥ ∆Τ60
Cas d’un seul symbole transmis (4)
Solution( obtenue avec l’inégalité de Schwartz )
61
Filtre avec R.I.
hr(ττττ) = he*(-τ τ τ τ +t0 )
0 ∆T
t
±A .Ts he(t)
t = t0
⊗ 0
− ∆T+ t0 0+t0
τ
± A.Ts Che(0)
0
− ∆T+ t0 t0
t
+ ∆T+ t0
± A. Ts Che(t - t0)
=
Sortie du filtre Adapté (retardé de t0) , sans bruit :
• Mise en forme du symbole : p(t) = Che(t - t0) car (he ⊗ heH) = Che
fonction d’auto-corrélation de l’impulsion (filtre émission), retardée de t0 .
• Instant d’échantillonnage correspond au maximum de la fonction d’auto-corrélation :
=> (amplitude) gain :
Cas d’un seul symbole transmis (5)
2 . ; . )0( . eseeshes hThhTCT =><==λ
62
• (amplitude) gain :
• variance du bruit :
2 . s eT hλ =
Probabilité d’Erreur est minimum :0
2 bE
Pe QN
=
Rapport Signal à Bruit en sortie du F.A. bien échantillonné est maximum:
Cas d’un seul symbole transmis (6)
avec filtre de réception optimum (canal BBAG, symboles bi-polaires ):
0
2
N
ERSB b
y =
202 .2 eb hN=σ
63
+
BBAG (DSP N0 /2)
n (t)
0
∆T t
Ou (même probabilité)
-A. Ts.he(t)
r (t)
Détecteurà seuil
y >0 => +Ay <0 => -A
yy (t)Filtre de R.I.hr(ττττ) = he
*( - τ τ τ τ + ∆∆∆∆T)
0 ∆T
t
+ATs .he(t)
0 ∆T
τ⊗
Corrélation aveche au retard nul
X
∫
Échant.
t = ∆Τ∆Τ∆Τ∆Τ
0 ∆T
t
he(t) ∆T
0
2 bEPe Q
N
=
Eb = A2 . || Ts .he ||2
r(t) y
N.B: - En supposant synchronisation parfaite (instants connus à la réception)
- Ce récepteur linéaire à corrélation + seuils correspond au récepteur à distance minimale(optimum si signaux du dictionnaire équiprobables) pour le cas des mod. Linéaires.
Cas d’un seul symbole transmis (7)
SYNTHESE (illustration avec t0 = ∆T)
Annexe:Equivalence entre Filtre Adapté (plus
échantillonnage en t=ττττ0000) et corrélation (au retard ττττ0000)
64
r(t)Filtre Adapté à h
R.I. hH(t) = h*(-t)
y(t)
=
(r * hH)(t)
t- ∆T
y( ( ( ( t = τ= τ= τ= τ0 0 0 0 ) ) ) ) = Cr,h(τ0)
0
r(t)inter-corrélation
entre r et h au
retard ττττ0
0
h*(t -τ0 )
tττττ0000 ∆T
h(t )
Corrélation avec h au retard ττττ0
X
∫retard τ0
+ conjugué
Échantill.
t = ττττ0
∫+∞
∞
−=-
*def
hr )dtτ(tr(t).hC 00 , )(τ
N.B: ou encore: « F.A. à h retardé de t0 , heH(t-t0) » + « échantillonnage en t = τ0 + t0 »
r(t)Filtre adapté à h
hH(t) = h*(-t)
y(t)
=
(r * hH)(t)
t- ∆T
y( ( ( ( t = τ= τ= τ= τ0 0 0 0 ) ) ) ) = Cr,h(τ0)
0
Échant.
t = ττττ0
si r = h => fonction d’auto-corrélation
de h au retard τ0
module pair, phase impaire, Maximum réel pour ττττ0 = 0
0 ∆T -∆T
t0 ττττ0 ∆T
Ch,h(τ0)
RSB (avec BBA) est maximisé en sortie du F.A. (bien échantillonné)
Annexe (bis):Equivalence entre Filtre Adapté(plus échantillonnage en t = ττττ0000) et corrélation (au retard ττττ0000)
65
N.B: dans notre problème de détection à 2 hypothèses (supposant une synchronisation temporelle parfaite), on veut l’inter-corrélation au retard nul (donc τ0 =0) ce qui équivaut au F.A. (non causal) + échantillonnage en t = 0. Mais en pratique, on utilise un filtre rendu causal (FA retardé de t0) et on échantillonne ainsi en t0 .
3.3) Annulation de l’Interférence-Entre-Symboles et Critère de Nyquist
Modèle complet avec émission de symboles successifs (1/Ts bauds)
• Après échantillonnage synchrone : à l’instant tk = t0 + k .Ts
66
yk
=
Utile Interférence Entre SymbolesIES [k]
: échantillon utilisé pour décider le symbole d’indice k
Bruit bk
Quelle propriété doit avoir le filtre global Tx/Rx p(ττττ)
pour garantir : IES[k] =0 ∀∀∀∀ la suite de symboles {ai } ?
)kT(tbTiktpaTTtpakTty ss
kiissks ++−++=+ ∑
≠00 00 ))(( . )).(.( )(
Annulation de l’IES et Critère de Nyquist (2)
Critère de Nyquist : formulation en temps
Pour un filtre global Tx/Rx (jusqu’à l’échantillonneur, opérant en t0 + kTs) de Réponse Impulsionelle p(τ τ τ τ ) , et Fonction de Transfert P(f) = TF( p(ττττ) ) :
pas d’IES <=>
67
t0-2Ts t0-Ts t0 t0+Ts t0+2Ts t0+3Ts ...
τ
Les échantillons de p(τ) sont nuls pour τ = t0 + nTs , sauf pour n=0 (n∈Z*)
Ζ∈
≠=
=+ 0 ; 0
0 ; )() ( 0 0 n
n
n tpnTtp s
1 exemple pour p(τ)
NB: les filtres sont généralement choisis avec une symétrie paire autour de t0 (raison => Cf 3.4)
pas d’IES <=>
68
Le repliement (1/Ts périodisation) de P(f) (déphasée de 2πft0) est constant ∀ la fréquence
f
1 exemple pour P’(f) = P(f).exp(j2πft0)
1
sT− 1 1
.2 sT
− 1
sT+1 1
.2 sT
+0
P’(f-1/Ts)P’(f+1/Ts)
+B-B
⇒ Bande Minimum (monolatérale) pour une trans. B.B sans IES : B ≥≥≥≥ Ds /2
Annulation de l’IES et Critère de Nyquist (3)
Critère de Nyquist : formulation en fréquence
{ } ℜ∈∀=−−∑+∞
−∞=
f T
nftj
T
nfP
sn s constante )(2exp.)( 0π
s).T p(t avec 0constante=
3.4) CONCLUSION : chaîne optimale Pour canal BBAG et une Mod. Linéaire
peut être obtenue avec un récepteur linéaireopérant symbole par symbole ssi :
• Filtre de Réception est adapté (avec retard t0) au filtre d’émission:
Hr (f) = He*(f) . exp( -j2πft0 ), i.e. hr(t) = he*(- t + t0)
ET
• Absence d’Interférence-Entre-Symboles : Critère de Nyquist (temps
symbole Ts , et retard t0 ) est vérifié pour le filtre global Tx/Rx P(f) = He(f).Hr(f)
69
hr
Échant.synchrone
t = k.Ts
+ retard t0 seuilFiltre de
RéceptionFiltre
d’Emission
+
BBAG, DSP bi N0 /2
he{ } kaka
n (t)
y(t) x(t) r(t) yk
Conclusion chaîne optimale (2)
Propriétés avec filtrage Tx/Rx optimal• filtre de Nyquist P(f) à phase linéaire : P(f) = |He(f)|2.exp(-j2πft0 )
i.e. un (module) de R.I. pair autour du milieu t0 : p(t) = Che(t - t0)
avec Che (t) : fonction d’auto-correlation de he, telle que Che (t) = Che*(-t)
• Filtre Global de Nyquist P(f) équi-réparti entre Tx et Rx :
He et Hr sont appelés filtres en racine de Nyquist, ou encore filtres 1/2 Nyquist
• Filtres 1/2 Nyquist usuels choisis tels que leur R.I. réelle a une symétrie paire autour de t0/2, et identiques pour Tx et Rx :
hr = he , avec He(f) = |He(f)|. exp(-j2πft0 /2)
70
( ) ( ) ( )e rH f H f P f= =
Conclusion chaîne optimale (3)
Propriétés avec filtrage Tx/Rx optimal
Probabilité d’Erreur Optimale en fonction de Eb/N0pour des symboles antipodaux (polaires) :
• Idem Pe obtenue dans le cas de la transmission d’un seul symbole avec Filtre Adapté en réception
• indépendant de la forme de l’impulsion de mise en forme (he), du moment que les 2 conditions (« F.A. » et « pas d’IES ») sont vérifiées
71
0
2 bE
Pe QN
=
72
Bilan sur la probabilité d'erreur
ex :Transmission binaire en bande de base (symboles polaires)
=
02
1
N
Eerfc b
probabilité d'erreur sur un bit fonction du rapport énergie d'un bit / DSP de bruit au niveau du récepteur :
0 2 4 6 8 10 12 14 1610
-14
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
Eb/N0 (dB)
Pe
duexQavecu
x
2
2
2
1)(
−+∞
∫=π
0
2 bE
Pe QN
=
)2(2erfc(x)t xQe =
73
Cas de la transmission « PAM » M-aire
22
2 0
6log2( 1) .
log 1b
e
EMMP Q
M M M N
−≈ −
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010
-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
Eb/N0 (dB)
Pe
M=2
M=4
M=8
M=16
+{ ak } He (f)
Filtre d’émission(mise en forme)
Filtre de réception(adapté au filtre d’émission)
He*(f).e-j2πft0
tk= t0 +kTs
ka
Décision (M-1 seuils)
)(tn
)(tx )(tr )(tyky
Même 2 conditions (FA et pas d’IES) pour obtenir la chaîne optimale, pour une Mod. Linéaire à M états
(BBAG)
75
3.5- Conséquence pour uneTransmission à Bande Limitée
Performance optimale toujours garantie ssi :
• Critère de Nyquist respecté
• Equi-répartition du filtre global de Nyquistentre l’émetteur et le récepteur.
⇒ Bande Minimum (mono-latérale) pour une
transmission optimale : B ≥≥≥≥ 1/(2Ts)
Les + utilisés en pratique (trans. à bande limitée):
filtre (global) de Nyquist en cosinus surélevé
76
α: « roll-off » ou « excès de bande » par rapport à la bande minimum
ex de Nyq(f) : fonction en Cosinus Surélevé
α=0α=1
α=0,5
0 R/2 R( )α+12
R
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )α
αα
απ
α
α
α
α
+=
≤≤
−−=
=
12T
1>pour 0
+12T
1 -1
2T
1pour
5.0Tsin2
1
2
1
-12T
1<pour 1
s
ss
s
s
ffCS
f
ffCS
ffCS
| P(f) |
1
½
0 f
α =0
α =0,5
α = 1
rappel: R = Ds = (1/Ts)
77
f.Ts
t/ Ts
les + utilisés en pratique pour trans. à bande limitée (2) :
Filtre (global) de Nyquist en cosinus surélevé (2)
78
Figures extraites du cours ENST de R. Vallet
roll-off: α = 0.35
diagramme de l’Oeil
roll-off: α = 1
les + utilisés en pratique pour trans. à bande limitée (3) :
Filtre (global) de Nyquist en cosinus surélevé (3)
α: « roll-off » ou « excès de bande » par rapport à la bande minimum
79
• Forme en Racine de Cosinus surélevé pour le module de la Fonct. de Transfert
• R.I. réelle, avec symétrie paire autour du milieu de son support (Phase Linéaire)
• Bande-Passante : [-(1+ α)/(2Ts); +(1+ α)/(2Ts)] autour de ±f0.
f.Ts t / Ts
les + utilisés en pratique pour trans. à bande limitée (4) :
Filtres ½ Nyquist en Racine de cosinus surélevé
Figures extraites du cours ENST de R. Vallet
80
les + utilisés en pratique pour trans. à bande limitée (5) :
Filtres ½ Nyquist en Racine de cosinus surélevé (2)
Diagramme de l’œil en x(t)sortie du filtre ½ Nyquist d’émission (α = 0,22)
IV) TRANSMISSION NUMERIQUE SUR FREQUENCE PORTEUSE
Transmission et Communication Numériques, chapitre IV
81
PLAN
IV.1 Introduction : synoptique, modulation/démodulation I/Q, ...
IV.2- Représentation complexe équivalente en BB de la
chaîne de transmission sur fréquence porteuse
IV.3- Modulations linéaires– Emission (Modèle général, DSP, ...)
– Performances optimales avec canal BBAG,
82
Référence : polycopié « Transmission Numériques de Données » 2008, INPG/dpt Télécom ,chapitre 3: transmission numérique sur fréquence porteuse
http://chamilo2.grenet.fr/inp/main/document/showinframes.php?cidReq=PHELMAA2SICOM4PMSTCN&id_session=0&gidReq=0&id=41
IV.1) INTRODUCTION: Synoptique d’une modulation
numérique (dimension M) sur fréquence porteuse
(avec symboles intermédiares)
MOD. I / Q sur freq. Porteuse f0
« mapping » :
n bits =>
1 symbolecomplexe
Signalmodulé
x(t)
( Tb )
B transformation Analogique
(voies I et Q)( Ts )
aI [k]
aQ [k]
Bits(data)
Symboles de Mod.
xI (t)
xQ(t)
X
X
+cos(2πf0t )π/2
Signaux en BB
D
Codage Differentiel
(option)
Bits
83
MOD I/Q: x(t) = xI(t).cos(2πf0t ) + xQ(t).cos(2πf0t +π/2) (1)
Passage bits => symboles (de modulation)
Type de modulation définie par : M (taille) et correspondance bits / symboles
Débit binaire Db = 1/Tb (en bits/sec)
Rapidité de modulation R
(en symb/sec ou Bauds),
• 1 symbole est émis aux instants k.Ts ( k ∈ Z),
• Alphabet (taille M) complexe pour une trans. sur fréquence porteuse (correspondant à deux trains de symboles réels « I » et « Q »):
84
1 symboleà M = 2n états
n bits
1
n
DD
TR
bs
s===
temps
Tb : temps bit
Ts : temps symbole
ka~ 1~
+ka 2~
+ka
~QI j. aaa +=
Extraction des composantes I/Q (1)
=> À partir d’une démodulation I/Q cohérente et fil trage passe-bas :
xI(t)
xQ(t)
x(t)+π/2
2.cos{2πf0t }Filtrage passe-bas (fc ∈ ]B/2; 2f0 - B/2[ )
x
x
{ })2cos(2. 0tfx(t)BF π=
{ })2sin(2. 0tfx(t)BF π−=
BF{} garde les Basses Fréquences << f0 : BF{ cos(2π f0 t ) . cos(2π f0 t ) } = 1/2 ; BF{ cos(2π f0t ) . cos(2π f0t + π /2 ) } = 0
85
N.B. : En pratique opération de « synchronisation (ou Récupération ) de porteuse » nécessaire pour estimer la fréquence et phase de la porteuse à l’entrée du démodulateur (ou opération numérique de compensation équivalente en bande de base …)
86
( ) (t) (t)I Qx t x j.x= +% : signal complexeen bande de base (et enveloppe complexe de x relative à f0)
: signal complexe, passe-bande autour de +f0 : fréq. > 0 !(et signal analytique de x(t))
f+f0-f0 0
(+f0 )
( )X f+
( )fxz( )fX%( )X f
−
Représentation en fréquence(modules) :
: signal réel modulé I/Qà émettre passe-bande autour de ± f0
)(~
0ffX −=
2
)(~
0ffX −=
2
)(~
0* ffX −−=
IV.2) Représentation du signal modulé à partir du signal complexe en Bande de Base
1
2
{ } ).(~ Re)( 02 tfjetxtx π+= (2)
)(tzx
(-f0 )
87
cos( 2πf0 t )
+π/2 x (t)x
Mod. I/Q (f0)
n (t)x
+2cos( 2πf0 t )
r (t)
r I (t)
rQ (t)
Demod. I/Q (f0)
xI (t)
xQ (t)
x
x
+π/2
= xI (t) + j.xQ (t)
=r I (t) + j.rQ (t)
Chaîne complexe équivalente en Bande de Base (autour de 0 Hz)
BBAG (dsp bi N0/2 autour de ±f0)
Representation équivalente (avec un canal idéal BBAG)
BBAG complexe (nI et nQ sont indépendants,
avec une dsp bi = N0 autour de 0 Hz)
( ) x t ( ) r t
( ) n t
Chaîne réelle
+
+
= nI(t) + j.nQ(t)
Annexe 1: Représentation des signaux à bande-étroite :
illustration des relations entre DSP
88
f+f0-f0 0
( +/- f0 )
)( fx+Γ
)(fxzΓ)(~ fxΓ
)( fx
−
Γ
0~ )f(fz(f)xx +Γ=Γ
44 344 214434421)(
~
)(
~ 00 4
1
4
1
fx
x
fx
x )ff()f(f(f)x
−Γ+Γ
−−Γ+−Γ=Γ
B
43421
P
~.2
1
: moyennes puissances
xx P=
4
1
N.B.: signaux à modulation analogique ou numérique ne sont que des cas particuliers de signaux réels à bande étroite (tels que B << f0 ). Exemple : signaux naturels, bruits, …
A) Emission :
• définition
• exemples : Modulations numériques d’Amplitude (PAM), de Phase (PSK), et d’Amplitude en Quadrature (QAM),
• cyclo-stationnarité, Densité spectrale de Puissance, …
B) performances optimales pour un canal à Bruit Blanc Additif Gaussien
89
4.3) Modulations Linéaires
Modèle généralde la modulation linéaire
• L’enveloppe complexe est :
symboles numériques he(τ): impulsion de mise en formeou filtre d’émission
∈ alphabet complexe de taille M
Dans les applications basiques : he est une Rep. Impulsionnelle réelle Note:
90
)( . ~ . )(~ se
kks kTthaTtx −= ∑
+∞
−∞=
φjQI Aejaaa =+=~
)( )(~ )(~ thtatx e⊗= )( . ~. )(~ s
kks kTtaTtaoù −= ∑
+∞
−∞=
δ
91
écriture réelle du signal modulé linéairement :
) (t-kThaTx) (t-kThaTxavec se
k
sQse
k
sI ∑∑ == . (t) ; . (t) : [k] Q [k] I
)2
2cos()( )2cos()( 00
πππ ++= tftxtftxx(t) QI
cos(2πf0 t)
+π/2x(t)
x
x
+
xI (t)
xQ (t)
{ aI [k] }
Source desymboles
réels
he
mise enforme
{ aQ [k] } he
t
aI (t)
aQ (t)
tTs
(1)
Mod. I/Q
{ } ).(~ Re (t) 02 tfjetxx π= (2)
Mod. Linéaires Basiques (dim. M)
• Pulse Amplitude Modulation : « M-PAM »
aI ∈ {±1, ±3, ..., ±(M-1)}.A’ et aQ = 0
=> seulement la voie I (symboles réels)
• Quadrature Amplitude Modulation : « M-QAM »
aI et aQ ∈ {±1, ±3, ..., ±(√ M -1)}.A’
=> 2 modulations PAM indépendantes (dim. √M ) pour voies I et Q
• Phase Shift Keying : « M-PSK »
CteAeMmM
m =
−≤≤+∈ t 10 ;2 0 πθφ
92
modulations linéaires Basiques : Remarques
• B-PSK modulation = 2-PAM φ ∈ {-π ; +π} et θ0 = 0 <=> aI ∈ {-A; +A} et aQ = 0
• Q-PSK modulation = 4-QAM φ ∈ {-π/2; 0; +π/2; +3 π/2} et θ0 = π/4 <=> aI et aQ ∈ {-A; +A} √ 2/2
• Aussi « Amplitude Shift Keying Modulation » (M-ASK) seulement voie (I) utilisée mais avec des symb. réels positifs
• Dans les illustrations: imp. rectangulaires, et « mapping » (bits D => symb.) fait à partir des bits de données (D = B ) ou après codage différenTel (D≠ B)
93
I
Qt
+A0
-A
0
xI (t)
xQ (t)
« 1 » « 0 » « 0 » « 1 »
t
+A
0
-A
x (t)
0 π π 0+π 0 +π
Ts=Tb
-A +A
« 0 » « 1 »
EXEMPLE: BPSK Binary Phase Shift Keying
M = 2 , i.e. n=1 bit /symbol : bit {« 0 », « 1 »} => symbole aI ∈ {-A; +A} , aQ =0
Bits d
( I)
(Q)
ψ(t)
∆ψ
Signal
modulé
Constellation
Et trajectoires possibles
94
I
Q
t+A’0
-A’
0xQ(t)
« 1 0 » « 0 1 » « 1 1 » « 0 0 » « 0 1 » « 0 1 »
xI (t)
7π/4 3π/4 π/4 5π/4 3π/4+π -π/2 +π -π/2 0
Ts = 2Tb A’=A .√2/2
« 11 »
« 10 »
« 01 »
« 00 »
EXEMPLE: QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) (ou 4-QAM)
M = 4, i.e. n = 2bits /symb : {« 00 », « 01 », « 11 », « 10 »} <=> aI , aQ ∈ {-A-A; -A+A; +A+A; +A-A}.√2/2
Bits d
( I)
(Q)
φ(t)
∆φ (saut)
passages par zéro de l’enveloppe instant. (A(t)) du signal modulé x(t)
Constellation
et trajectoires possibles
95
N.B.: Extension au cas Offset-QPSK …
Constellation
t
+A’0
-A’
0
xQ(t)
« 1 1 0 1 » « 10 0 0 » « 0 1 0 1 » « 1 0 1 0 »
xI (t)
Ts = 4TbI
Q
«00 00» «01 00» «11 00» «10 00» «00 00» «01 00» «11 00» «10 00»
«00 01» «01 01» «11 01» «10 01»
«00 11» «01 11» «11 11» «10 11»
«00 10» «01 10» «11 10» «10 10»
EXEMPLE: 16-QAM (Quadrature Amplitude Modulation)
M = 16, i.e. n = 4 bits /symb (2 bits pour I, pour Q) : aI et aQ ∈ {±1, ±3 }.A’
Bits d
( I)
(Q)
exemple de « Mapping » avec codage de Gray (meilleure performance)
96
Q
I
« 000 »
« 001 »« 011 »
« 010 »
« 110 »
« 111 »
« 101 »
« 100 »
Bits d
EXEMPLE: 8-PSK (Phase Shift Keying)
M = 8, i.e. n=3 bits /symb
aI + j aQ = A . exp{ jφ } avec
97
CteAeMmM
m =
−≤≤+∈ t 10 ;2 0 πθφ
Constellation
Propriétés des Mod. Linéaires sur fréquence porteuse (propriétés Mod. Lin. en bande de base généralisées pour des symboles complexes)
• symboles complexes stationnaires non corrélés :moyenne : variance :
fonction de corrélation :
• enveloppe complexe : est cyclo-stationnaire (périodicité Ts)
98
{ } 2
][2*
][][ ][ . ~ . ~ anankkna maaE +== − δσγ
{ }][~ ka aEm = { } 22
][ 2 ~ aka maE −=σ
)( . ~ . )(~ se
kks kTthaTtx −= ∑
+∞
−∞=
Pour des symboles centrés et non-corrélés:
• Puissance moyenne du signal réel en bande portée:
=> Energie par bit : Eb = ½ . σa2 . Ts ║he║2.Tb
• DSP de l’enveloppe complexe :
• => DSP du signal réel en bande portée :
2
2 . . . 2
1esax hTP σ=
22~ )( . )( fHTf esax σ=Γ
( )2
0
2
02 )( )( .
4
1 )( ffHffHTsf eeax ++−=Γ σ
B) Performances optimales pour un canal à Bruit Blanc additif Gaussien
• Avec récepteur linéaire :
• r(t) = x(t) + n(t) avec n(t) BBAG réel, de DSP bi-latérale : N0/2• x(t) modulé lin. (sur porteuse f0) avec symboles centrés non corrélés ãk
99
4.3: Modulations linéaires
hr
ka+π/2
x
x
2cos(2πf0t)
r(t) r I (t)
rQ (t)
Démodulateur I/Q cohérent
hr
Décision par Comparaison(M classes)
yI (t)
yQ (t)
yI [k]
yQ [k]
tk= t0+ kTsFiltre de Réception
Chaîne globale (émission-réception) complexe équivalente en Bande de Base
• p(t) = he(t) ⊗⊗⊗⊗ hr(t)
• bI (t), bQ(t) : réels Gaussiens centrés stationnaires de DSP : N0 .|Hr(f)|2
• Eb = P(x).Tb = ½ . σσσσa2 . (Ts || he ||2 ) .Ts
100
+he
Filtre d’émission(mise en forme)
. ~ ~e][∑=
k
sks )(t-kTha T(t) x Bruit (BBAG)DSP bi 2N0
Filtre de réception
hr tk= t0+ kTs
[k]a
échantillonneur
circuit dedécision
)(~ tn
)(~ tx )(~ tr )(~ ty ][~
ky{ } ka~
(t)biTtpaTty s
iis
~ )(. ~ . )(~
+−= ∑+∞
−∞=)()(
~tjbtb(t)b QI +=
Performances optimalesPour canal BBAG et Mod. Linéaire, performance optimale obtenue avec un
récepteur linéaire (coherent) opérant symbole par symbole si et seulement si
• Filtre de Réception est adapté (avec retard t0) au filtre d’émission:
Hr (f) = He*(f) . exp( -j2πft0 ), i.e. hr(t) = he*(- t + t0)
ET
• Absence d’Interférence-Entre-Symboles : Critère de Nyquist
(temps symbole Ts , et retard t0 ) est vérifié pour le filtre global Tx/Rx
P(f) = He(f).Hr(f)
101
Et Bande Minimum (autour de fréquence porteuse + f0) pour une trans. sans IES
(cas général symboles complexes et R.I. filtrage he réelle) : B ≥≥≥≥ 1/Ts
102
• BPSK et QPSK :
=
02 NEbQPe
• M-QAM :
−−=
)1(2
)(log3.
2
)(log
)/11(4 2
2 0 M
M
N
EbQ
M
MPe
• M-PSK :
=
MM
N
EbQ
MPe
π22
2
sin)(log.2
)(log
2
0
Performance Optimum pour les modulations linéaires classiques (dim. M)
duexQu
x
2
2
21
)(−∞+
∫=π
Figures extraites du cours ENST de R. Vallet
Limite fondamentale (Théorie de l’information) pour le canal à BBAG
Pour signal x(t) de puissance moyenne finie Px (= Eb .Db) et bande limitée B, perturbé
par Bruit Blanc Additif Gaussien centré de puissance σσσσ2 (= N0 .B) dans bande B :
2 2 . log ( 1 ) / secx
tP
C B Shσ
= +• formule de la capacité :
pour qu’il existe un procédé de transmission fiable à volonté (débit d’information Ht (= Db) ≤≤≤≤ Ct )
• Efficacité spectrale maximale :
(Eb /N0) dB-1,6 dB
10
32
1
0,1
Bits / secHz
ηηηη====
Db/BRégion à Bande limitée: Ht / B >1
Région à Puissance limitée: Ht / B < 1
Mod. Num (sans codage) pour Pe = 10-5
BPSK
QPSK 8-PSK
16-QAM
MOD ⊥⊥⊥⊥ (64-FSK)
MOD ⊥⊥⊥⊥ (16-FSK)
Db bit/sec : débit binaire après codage de source supposé idéal (et avant codage canal éventuel)
Hz
bits/sec ).
N
E 1(log max
0
b2max ηη +=
104
Annexe: cas des Modulations (non-linéaires) utilisant un dictionnaire de M signaux orthogonaux
extraits du cours de « Communication Theory » de « University of Saskatchewan”:http://homepage.usask.ca/~hhn404/EE810/Signal-Constellations.pdf
Exemples de modulation à dictionnaire ⊥:- Modulations de fréquences M-FSK(avec indices bien choisie) ,- Modulations de position M-PPM,- Modulation avec codes de Walsh-Hadamard, …