toan 1-chuong4

Không gian véc tơSự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

Hạng của một hệ véc tơCơ sở, số chiều của không gian véc tơ

Không gian con

Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1

Chương IV: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng

Ngày 12 tháng 10 năm 2010

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IV: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Không gian con

4.1 Không gian véctơ.

4.2 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệvéc tơ.

4.3 Hạng của một hệ véc tơ.

4.4 Cơ sở, số chiều của không gian véc tơ.

4.5 Không gian con.

Không gian con

Định nghĩaVí dụ

Định nghĩa

Cho V là tập hợp khác rỗng. V được gọi là không gian véc tơ trêntrường số thực R nếu trên V xác định hai phép toán:

a, Phép toán cộng u + v ∈ V ,∀u, v ∈ Vb, Phép toán nhân αu ∈ V ,∀α ∈ R,∀u ∈ V

thỏa mãn 8 tiên đề sau:

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

3 Tồn tại phần tử 0 ∈ V sao cho x + 0 = x ,∀x ∈ V

4 ∀x ∈ V tồn tại phần tử đối −x ∈ V sao cho x + (−x) = 0,∀x ∈ V

5 ∀α, β ∈ R,∀x ∈ V , ta có (α + β)x = αx + βx

6 ∀α ∈ R,∀x , y ∈ V , ta có α(x + y) = αx + αy

7 ∀α, β ∈ R,∀x ∈ V , ta có (αβ)x = α(βx)

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

a, Phép toán cộng u + v ∈ V ,∀u, v ∈ V

b, Phép toán nhân αu ∈ V ,∀α ∈ R,∀u ∈ Vthỏa mãn 8 tiên đề sau:

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Định nghĩa

1 x + y = y + x ,∀x , y ∈ V

2 (x + y) + z = x + (y + z),∀x , y , z ∈ V

8 1 ∈ R,∀x ∈ V , 1.x = x

Không gian con

Ví dụ

1 Tập hợp các véc tơ trong hình học là một không gian véc tơ, vớiphép toán cộng 2 véc tơ theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắcta giác và phép nhân véc tơ với một số, là một không gian véc tơtrên trường số thực R

2 Tập hợp Rn = {(x1, x2, ..., xn) : x1, x2, ..., xn ∈ R} là một không gianvéc tơ trên trường số thực R.

3 Tập hợp Pn [x ] = {a0 + a1x + · · ·+ anxn : a0, a1, ..., an ∈ R} các đa

thức có bậc không vượt quá n với hệ số thực, là một không gian véctơ trên trường số thực R.

4 Tập hợp số phức C = {a + bi : a, b ∈ R} là một không gian véc tơtrên trường số thực R.

5 Tập hợp Mmxn [R] các ma trận cùng cấp m.n hệ số thực, với phéptoán cộng hai ma trận, nhân ma trận với một số, là một không gianvéc tơ trên trường số thực R.

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

không gian véc tơ trên trường số thực R.

Không gian con

Ví dụ

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

Không gian con

Ví dụ

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

Không gian con

Ví dụ

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

Không gian con

Ví dụ

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

Không gian con

Ví dụ

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

Không gian con

Ví dụ

6 Tập hợp F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1}không là

Không gian con

Định nghĩaVí dụChú ý

Định nghĩa

Trong không gian véc tơ V trên trường số thực R, cho hệ véc tơE = {e1, e2, ..., en}.

Hệ thức α1e1 +α2e2 + ...+αnen được gọi là tổ hợp tuyến tính củahệ véc tơ E , trong đó αi (1 6 i 6 n) là các số thực.

Nếu α1e1 + α2e2 + ...+ αnen = 0⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0 thì hệvéc tơ E được gọi là độc lập tuyến tính.

Nếu tồn tại α1, α2, ..., αn không đồng thời bằng 0 thì hệ véc tơ Eđược gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Véc tơ x ∈ V được gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ E nếu∃α1, α2, ..., αn ∈ R sao cho x = α1e1 + α2e2 + ...+ αnen

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Trong không gian R3 cho hệ véc tơM = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụthuộc tuyến tính. Véc tơ x = (2,−1, 3) có là tổ hợp tuyến tính của họ Mkhông?

Giải: Xét tổ hợp tuyến tính α (1, 1, 1) + β (2, 1, 3) + γ (1, 2, 0) = 0

⇔ (α + 2β + γ, α + β + 2γ, α + 3β) = (0, 0, 0)⇔

α + 2β + γ = 0

α + β + 2γ = 0

α + 3β = 0

{α = −3βγ = β

nên hệ M phụ thuộc tuyến tính.

Mặt khác ta có α (1, 1, 1) + β (2, 1, 3) + γ (1, 2, 0) = x

α + 2β + γ = 2

α + β + 2γ = −1α + 3β = 3

hệ vô nghiệm.

Vậy x không là tổ hợp tuyến tính của M.

Không gian con

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Trong không gian R3 cho hệ véc tơM = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụthuộc tuyến tính. Véc tơ x = (2,−1, 3) có là tổ hợp tuyến tính của họ Mkhông?Giải: Xét tổ hợp tuyến tính α (1, 1, 1) + β (2, 1, 3) + γ (1, 2, 0) = 0

⇔ (α + 2β + γ, α + β + 2γ, α + 3β) = (0, 0, 0)⇔

α + 2β + γ = 0

α + β + 2γ = 0

α + 3β = 0

{α = −3βγ = β

nên hệ M phụ thuộc tuyến tính.

Mặt khác ta có α (1, 1, 1) + β (2, 1, 3) + γ (1, 2, 0) = x

α + 2β + γ = 2

α + β + 2γ = −1α + 3β = 3

hệ vô nghiệm.

Vậy x không là tổ hợp tuyến tính của M.Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IV: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Không gian con

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Trong không gian véc tơ P2[x ] (không gian các đa thức cóbậc không vượt quá 2) cho hệ véc tơ M =

{x2 + 2x + 1, x2 + 1, x + 1

Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

Giải. Xét tổ hợp tuyến tính α(x2 + 2x + 1

(x2 + 1

)+ γ (x + 1) = 0

⇔ (α + β) x2 + (2α + γ) x + (α + β + γ) = 0⇔

α + β = 0

2α + γ = 0

α + β + γ = 0

⇒ α = β = γ = 0. Vậy M độc lập tuyến tính.

Không gian con

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Trong không gian véc tơ P2[x ] (không gian các đa thức cóbậc không vượt quá 2) cho hệ véc tơ M =

{x2 + 2x + 1, x2 + 1, x + 1

Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.Giải. Xét tổ hợp tuyến tính α

(x2 + 2x + 1

(x2 + 1

)+ γ (x + 1) = 0

⇔ (α + β) x2 + (2α + γ) x + (α + β + γ) = 0⇔

α + β = 0

2α + γ = 0

α + β + γ = 0

⇒ α = β = γ = 0. Vậy M độc lập tuyến tính.

Không gian con

Chú ý

1 Nếu hệ véc tơ M chứa véc tơ 0 thì M phụ thuộc tuyến tính.

2 M = {x1, x2, · · · , xn} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại xi

là tổ hợp của các véc tơ còn lại trong M.

3 Thêm một số véc tơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được mộthọ phụ thuộc tuyến tính.

4 Bỏ đi một số véc tơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được họ độclập tuyến tính.

Không gian con

Chú ý

Không gian con

Chú ý

Không gian con

Chú ý

Không gian con

Chú ý

Không gian con

Định nghĩaNhận xétVí dụ

Định nghĩa

Cho không gian véc tơ V và hệ véc tơ M = {x1, x2, · · · , xn, · · · } ⊂ V .Hạng của M là một số k nếu tồn tại k véc tơ độc lập tuyến tính của Mvà mọi tập con của M chứa nhiều hơn k véc tơ đều phụ thuộc tuyến tính.

Vậy hạng của hệ véc tơ M là số véc tơ độc lập tuyến tối đại của M.

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Nhận xét

Cho hệ véc tơ M có n véc tơ

Nếu hạng của M bằng n (số véc tơ của M) thì M độc lập tuyến tính.

Nếu hạng của M nhỏ hơn n (số véc tơ của M) thì M phụ thuộctuyến tính.

Nếu hạng của M với hạng của M thêm véc tơ x thì x là tổ hợptuyến tính của M.

Cách tìm hạng của hệ véc tơ x1, x2, · · · , xn

1 Lập ma trận A có các hàng là tọa độ của các véc tơ x1, x2, · · · , xn.

2 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng, đưa ma trận A về dạngbậc thang.

3 Hạng của ma trận A cũng là hạng của hệ véc tơ x1, x2, · · · , xn.

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Nhận xét

Không gian con

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Hãy xác định tập hợp các véc tơ sau độc lập tuyến tính hayphụ thuộc tuyến tính

M1 = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}

Giải. Ta có

1 1 12 1 31 2 0

h2−2h1−−−−→h3−h1

1 1 10 −1 10 1 −1

−−−→h3+h2

1 1 10 −1 10 0 0

⇒ r (A) = 2⇒ r (M1) = 2Vậy M1 phụ thuộc tuyến tính.

Không gian con

Ví dụ 1

M1 = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}

Giải. Ta có

1 1 12 1 31 2 0

h2−2h1−−−−→h3−h1

1 1 10 −1 10 1 −1

−−−→h3+h2

1 1 10 −1 10 0 0

⇒ r (A) = 2⇒ r (M1) = 2Vậy M1 phụ thuộc tuyến tính.

Không gian con

Ví dụ 2

M2 = {x2 + x + 1, 2x2 + 3x + 2, 2x + 1}

Giải. Ta có

1 1 12 3 20 2 1

h2−2h1−−−−→

1 1 10 1 00 2 1

−−−−→h3−2h2

1 1 10 1 00 0 1

⇒ r (A) = 3⇒ r (M2) = 3

Vậy M2 độc lập tuyến tính.

Không gian con

Ví dụ 3

{(1 11 0

(2 11 −1

(3 40 1

(1 3−1 2

Giải. Ta có

1 1 1 02 1 1 −13 4 0 11 3 −1 2

h2−2h1−−−−→h3−3h1h4−h1

1 1 1 00 −1 −1 −10 1 −3 10 2 −2 2

−−−−→h3+h2h4+2h2

1 1 1 00 −1 −1 −10 0 −4 00 0 −4 0

⇒ r (A) = 3⇒ r (M3) = 3

Vậy M3 phụ thuộc tuyến tính.

Không gian con

Ví dụ 3

{(1 11 0

(2 11 −1

(3 40 1

(1 3−1 2

)}Giải. Ta có

1 1 1 02 1 1 −13 4 0 11 3 −1 2

h2−2h1−−−−→h3−3h1h4−h1

1 1 1 00 −1 −1 −10 1 −3 10 2 −2 2

−−−−→h3+h2h4+2h2

1 1 1 00 −1 −1 −10 0 −4 00 0 −4 0

⇒ r (A) = 3⇒ r (M3) = 3

Vậy M3 phụ thuộc tuyến tính.Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Bài giảng: TOÁN CAO CẤP 1 Chương IV: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Không gian con

Hệ sinhCơ sởSố chiềuTọa độ của véc tơ trong cơ sở

Định nghĩa hệ sinh

Hệ véc tơ M = {v1, v2, ..., vn} được gọi là hệ sinh của không gian véctơ V nếu mọi véc tơ x ∈ V đều biểu thị tuyến qua hệ véc tơ{v1, v2, ..., vn}.

Ví dụ.(Bạn đọc tự giải)

1 Cho M = {(1, 1, 1); (1, 2, 1); (2, 3, 1)}. M có là hệ sinh của R3

không?

2 Cho M = {(1, 1,−1); (2, 3, 1); (3, 4, 0)}. M có là hệ sinh của R3

không?

3 Cho M = {x2 + x + 1; 2x2 + 3x + 1; x2 + 2x}. M có là hệ sinh củaP2 [x ] không?

Không gian con

không?

Không gian con

không?

Không gian con

không?

Không gian con

không?

Không gian con

Định nghĩa cơ sở

Hệ véc tơ M = {v1, v2, ..., vn} được gọi là cơ sở của không gian véctơ V nếu nó là hệ sinh của V và là hệ độc lập tuyến tính.

Từ định nghĩa ta có, hệ véc tơ Hệ véc tơ M = {v1, v2, ..., vn} là cơ sở cảkhông gian véc tơ V nếu

1 M = {v1, v2, ..., vn} độc lập tuyến tính.

2 Mọi véc tơ x ∈ V đều biểu thị tuyến qua hệ véc tơM = {v1, v2, ..., vn}.

Không gian con

Ví dụ

1 Dễ thấy hệ véc tơE = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} là cơ sở của Rn

và được gọi là cơ sở chính tắc

2 Tương tự ta có thể kiểm tra được hệ véc tơ E = { xn, xn−1, ..., x , 1}là cơ sở của Pn[x ] và được gọi là cơ sở chính tắc.

3 Dễ kiểm tra hệ véc tơ E = 1 0 ... 0

0 0 ... 00 0 ... 0

0 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 0

, ...,

0 0 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

là cơ sở của Mn [R] và được gọi là cơ sở chính tắc.

Không gian con

Ví dụ

0 0 ... 00 0 ... 0

0 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 0

, ...,

0 0 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

Không gian con

Ví dụ

0 0 ... 00 0 ... 0

0 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 0

, ...,

0 0 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

Không gian con

Định lý 4.4.1

Trong không gian véc tơ V cho hệ véc tơ M = {v1, v2, ..., vn} độclập tuyến và mỗi véc tơ của M là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơE = {u1, u2, ..., um}. Khi đó n ≤ m

Định lý 4.4.2

Nếu không gian véc tơ V có một cơ sở hữu hạn gồm n véc tơ thìmọi cơ sở khác của V cũng có n véc tơ (trong một không gian véc tơmọi cơ sở đều có số véc tơ bằng nhau)

Không gian con

Định lý 4.4.1

Định lý 4.4.2

Không gian con

Định lý 4.4.1

Định lý 4.4.2

Không gian con

Định nghĩa số chiều

Số chiều của không gian véc tơ V là số véc tơ trong một cơ sở củaV , kí hiệu dimV

Nếu số chiều của không gian véc tơ V là hữu hạn thì V được gọi làkhông gian hữu hạn chiều.

Nếu số chiều của không gian véc tơ V là vô hạn thì V được gọi làkhông gian vô hạn chiều.

Nếu dimV = n khi đó

1 Mọi hệ có số véc tơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính.

2 Mọi hệ độc lập tuyến tính có n véc tơ đều là cơ sở của V .

3 Mọi hệ hệ sinh của V có n véc tơ đều là cơ sở của V .

4 Mọi hệ độc lập tuyến tính có k véc tơ đều có thể bổ sung thêmn − k véc tơ để được cơ sở của V .

Không gian con

Chú ý

Từ nhận xét ta có; Trong không gian véc tơ n chiều để chứng minhmột hệ gồm n véc tơ là cơ sở ta chỉ cần chỉ ra chúng thỏa mãn mộttrong hai điều kiện hoặc hệ độc lập tuyến tính hoặc hệ là hệ sinh củakhông gian véc tơ đó.Ví dụ.

1 Kiểm tra hệ véc tơ M = {(1, 1, 1); (2, 3, 1); (3, 1, 0)} có là cơ sở củaR3 không?

Ta có

∣∣∣∣∣∣1 2 31 3 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 + 3− 9− 1 = −5 6= 0, suy ra M độc lập

tuyến tính.Mặt khác dim

= 3. Vậy M là cơ sở của R3

2 Tương tự ta có thể kiểm tra hệ véc tơM = {x2 + x + 1; 2x2 + x + 1; x2 + 2x + 2} có là cơ sở của P2[x ]không?

Không gian con

Chú ý

Ta có

∣∣∣∣∣∣1 2 31 3 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 + 3− 9− 1 = −5 6= 0, suy ra M độc lập

Không gian con

Chú ý

Ta có

∣∣∣∣∣∣1 2 31 3 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 2 + 3− 9− 1 = −5 6= 0, suy ra M độc lập

Không gian con

Định nghĩa

Cho V là không gian véc tơ n chiều có cơ sở là E = {e1, e2, ..., en}.Với x ∈ V , khi đó x viết được duy nhất dưới dạng

x = a1e1 + a2e2 + · · ·+ anen, ai ∈ R

Bộ số (a1, a2, ..., an) được gọi là tọa độ của x trong cơ sở E , ký hiệu

(x)E = (a1, a2, ..., an) hoặc [x ]E =

Không gian con

Ví dụ

1 Ta có hệ E = {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)} làchính tắc của Rn có n véctơ, suy ra dimRn = n.

2 Hệ véc tơ E = { xn, xn−1, ..., x , 1} là cơ sở của Pn[x ] có n + 1 véctơ, suy ra dim(Pn[x ]) = n + 1

3 Hệ véc tơ E = 1 0 ... 0

0 0 ... 00 0 ... 0

0 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 0

, ...,

0 0 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

là cơ sở của Mn [R] có n2 véc tơ, suy ra dim(Mn [R]) = n2.

Không gian con

Ví dụ

3 Hệ véc tơ E = 1 0 ... 0

0 0 ... 00 0 ... 0

0 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 0

, ...,

0 0 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

Không gian con

Ví dụ

3 Hệ véc tơ E = 1 0 ... 0

0 0 ... 00 0 ... 0

0 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 0

, ...,

0 0 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

Không gian con

Ví dụ

1 Chứng minh E = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1, 1, 0)} là một cơ sở của R3.Tìm tọa độ của véc tơ x = (3, 1,−2) trong cơ sở E .

Ta có

∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ = 1+ 1− 1 = 1 6= 0 suy ra M độc lập tuyến tính.

Mặt khác dim(R3)

Xét tổ hợp tuyến tính x = α (1, 1, 1) + β (1, 0, 1) + γ (1, 1, 0)⇔(3, 1,−2) = (α + β + γ, α + γ, α + β)

α + β + γ = 3

α + γ = 1

α + β = −2⇔

α = −4β = 2

γ = 5

⇒ [x ]E =

2 Chứng minh E = {x2 + x + 1; x2 + 2x + 1; x2 + x + 2} là cơ sở của

P2[x ]. Tìm p(x), biết [p(x)]E =

3−52

(Bạn đọc tự giải)

Không gian con

Định nghĩaVí dụKhông gian con sinh bởi một hệ véc tơBài tập

Định nghĩa

Cho không gian véc tơ V trên trường số thực R. Tập con W khácrỗng của V được gọi là không gian véc tơ con (hay không gian con)của không gian véc tơ V nếu nó thỏa mãn hai điều kiện:

1 ∀x , y ∈W : x + y ∈W

2 ∀x ∈W ,∀α ∈ R : αx ∈W

Định lý 4.5.1

Tập con W khác rỗng của không gian véc tơ V là không gian concủa V khi và chỉ khi

∀x , y ∈W ,∀α, β ∈ R : αx + βy ∈W

Không gian con

Định nghĩa

1 ∀x , y ∈W : x + y ∈W

2 ∀x ∈W ,∀α ∈ R : αx ∈W

Định lý 4.5.1

∀x , y ∈W ,∀α, β ∈ R : αx + βy ∈W

Không gian con

Định nghĩa

1 ∀x , y ∈W : x + y ∈W

2 ∀x ∈W ,∀α ∈ R : αx ∈W

Định lý 4.5.1

∀x , y ∈W ,∀α, β ∈ R : αx + βy ∈W

Không gian con

Định nghĩa

1 ∀x , y ∈W : x + y ∈W

2 ∀x ∈W ,∀α ∈ R : αx ∈W

Định lý 4.5.1

∀x , y ∈W ,∀α, β ∈ R : αx + βy ∈W

Không gian con

Định nghĩa

1 ∀x , y ∈W : x + y ∈W

2 ∀x ∈W ,∀α ∈ R : αx ∈W

Định lý 4.5.1

∀x , y ∈W ,∀α, β ∈ R : αx + βy ∈W

Không gian con

Ví dụ

1 Không gian véc tơ V bất kỳ đều có hai không gian con là V và tập{0} chỉ có một véc tơ không.

2 Cho F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + 2x2 − x3 = 0}. Chứng tỏ F là

không gian con của R3, tìm cơ sở và số chiều của F .Ta có (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= Φ∀α, β ∈ R,∀x , y ∈ F , x = (x1, x2, x3) : x1 + 2x2 − x3 = 0, y =(y1, y2, y3) : y1 + 2y2 − y3 = 0αx + βy = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)⇒αx1 + βy1 + 2 (αx2 + βy2)− (αx3 + βy3) = 0⇒ αx + βy ∈ F , dođó F là không gian con của R3.Mặt khác

∀x ∈ F , x = (x1, x2, x3) : x1 + 2x2 − x3 = 0⇒ x1 = −2x2 + x3

⇒ x = (−2x2 + x3, x2, x3) = (−2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (−2, 1, 0) + x3 (1, 0, 1)

⇒ E = {(−2, 1, 0) , (1, 0, 1)} là hệ sinh của F . Dễ thấy E độc lậptuyến tính. Vậy E là cơ sở của F ⇒ dimF = 2

Không gian con

Ví dụ

2 Cho F ={

∀x ∈ F , x = (x1, x2, x3) : x1 + 2x2 − x3 = 0⇒ x1 = −2x2 + x3

⇒ x = (−2x2 + x3, x2, x3) = (−2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (−2, 1, 0) + x3 (1, 0, 1)

Không gian con

Ví dụ

2 Cho F ={

∀x ∈ F , x = (x1, x2, x3) : x1 + 2x2 − x3 = 0⇒ x1 = −2x2 + x3

⇒ x = (−2x2 + x3, x2, x3) = (−2x2, x2, 0) + (x3, 0, x3) = x2 (−2, 1, 0) + x3 (1, 0, 1)

Không gian con

Ví dụ I

Cho F =

{[a + b a− 2bb 2a

]| a, b ∈ R

}. Chứng tỏ F là không

gian con của M2 [R], tìm cơ sở và số chiều của F .

+ Ta có

(0 00 0

)∈ F ⇒ F 6= Φ

+ ∀α, β ∈ R,∀x , y ∈ F , x =

(a + b a− 2bb 2a

), y =(

c + d c − 2dd 2c

)⇒ αx + βy = α

(a + b a− 2bb 2a

(c + d c − 2dd 2c

(αa + βc + αb + βd αa + βc − 2 (αb + βd)

αb + βd 2 (αa + βc)

)∈ F

Vậy F là

không gian con của M2 [R]

Không gian con

Ví dụ II

+ Mặt khác ∀x ∈ F , x =

(a + b a− 2bb 2a

a a0 2a

(b −2bb 0

(1 10 2

(1 −21 0

)suy ra E =

{(1 10 2

(1 −21 0

)}là hệ sinh của F . Dễ thấy E độc

lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F , do đó dimF = 2

Không gian con

Định nghĩa

Trong không gian véc tơ V cho hệ véc tơ S = {v1, v2, ..., vn}. Tậphợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ S được gọi là không giancon sinh bởi hệ véc tơ S (hay bao tuyến tính của hệ S), kí hiệu làspan(S) hay 〈v1, v2, ..., vn〉.

Gọi W là không gian con sinh bởi S , từ định nghĩa ta có

1 W = span{v1, v2, ..., vn} = {α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn |∀αi ∈ R }.2 W là một không gian con của V .

3 dimW = Hạng của hệ véc tơ S .

Không gian con

Định nghĩa

1 W = span{v1, v2, ..., vn} = {α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn |∀αi ∈ R }.

2 W là một không gian con của V .

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Định nghĩa

Không gian con

Ví dụ

Ví dụ. Cho F =< (1, 1, 1); (2, 1, 1); (3, 1, 1) >. Tìm cơ sở và số chiềucủa F .

Giải. Ta tìm hạng của hệ véctơ {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (3, 1, 1)}.

1 1 12 1 13 1 1

h2−2h1−−−−→h3−3h1

1 1 10 −1 −10 −2 −2

−−−−→h3−2h2

1 1 10 −1 −10 0 0

Vậy cơ sở của F là {(1, 1, 1); (2, 1, 1)} và dimF = 2

Không gian con

Ví dụ

Ví dụ. Cho F =< (1, 1, 1); (2, 1, 1); (3, 1, 1) >. Tìm cơ sở và số chiềucủa F .Giải. Ta tìm hạng của hệ véctơ {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (3, 1, 1)}.

1 1 12 1 13 1 1

h2−2h1−−−−→h3−3h1

1 1 10 −1 −10 −2 −2

−−−−→h3−2h2

1 1 10 −1 −10 0 0

Không gian con

Ví dụ

1 1 12 1 13 1 1

h2−2h1−−−−→h3−3h1

1 1 10 −1 −10 −2 −2

−−−−→h3−2h2

1 1 10 −1 −10 0 0

Không gian con

Ví dụ

1 1 12 1 13 1 1

h2−2h1−−−−→h3−3h1

1 1 10 −1 −10 −2 −2

−−−−→h3−2h2

1 1 10 −1 −10 0 0

Không gian con

Bài tập I

1 Chứng minh rằng trong không gian R3

a, Các véc tơ v1 = (2, 1, 1), v2 = (1, 3, 1), v3 = (−2, 1, 3) độclập tuyến tính.

b, Các véc tơ v1 = (1, 0, 3), v2 = (0, 1, 2), v3 = (2,−3, 0) phụthuộc tuyến tính

2 Chứng minh rằng các véc tơv1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0, 1), v4 = (1, 1, 1, 0) lậpthành một cơ sở của không gian R4. Tìm tọa độ của véc tơv = (1, 1, 1, 1) theo cơ sở đó.

3 Cho P2 [x ] ={ax2 + bx + c |a, b, c ∈ R

}là không gian các đa thức

có bậc không vượt quá 2. Chứng minh hệ véc tơB = {1; x − 1; x(x − 1)} là một cơ sở của P2 [x ]. Tìm tọa độ củap(x) = 2 + 3x + 4x2 theo cơ sở B.

Không gian con

Bài tập II

4 Chứng minh hệ véc tơ E = {x2 + x + 1; x2 + 2x + 1; x2 + x + 2} là

một cơ sở của P2 [x ]. Tìm p(x), biết [p(x)]E =

3−52

5 Cho F =< x2 + x + 1, 2x2 + 3x − 1, x2 + 2x − 2 >. Tìm cơ sở và số

chiều của F .

6 Cho F =

⟨(1 12 1

(2 10 1

(3 1−2 1

(1 0−2 0

Tìm cơ sở và số chiều của F .7 Cho x = (1,−2, 3);M = {(1, 1, 1); (2, 1, 0); (3,−1, 3)}. x có thuộc

không gian con sinh bởi M không?8 Cho x = (1, 0,m);M = {(1, 1, 1); (2, 3, 1); (3, 2, 0)}. Tìm các giá trị

của m để x thuộc không gian con sinh bởi M.

9 Cho F = {A ∈ M2[R] | A[

1 −12 −2

}Chứng tỏ F là không

gian con, tìm cơ sở và số chiều của F .

toan 1-chuong4

Education