Nội dungNội dung

• Giới thiệu bài toán QHTT

• Phương pháp giải bài toán QHTT

Lý thuyết

• Bài toán cực đại lợi nhuận

• Bài toán cực tiểu chi phí

• …

Ứng dụng

Giới thiệu bài toán QHTTGiới thiệu bài toán QHTT

Quy hoạch tuyến tính (QHTT – Linear Programming) là một kỹ thuật toán học nhằm xác định giá trị của các biến x1, x2,..., xn (được gọi là các biến quyết định - decision variable) sao cho:

Làm cực đại hay cực tiểu giá trị của hàm mục tiêu (objective function): Z = f(x1, x2,..., xn)

Thỏa mãn các ràng buộc (constraint):Rj = rj(x1, x2,..., xn)

Trong đó, hàm mục tiêu f và các ràng buộc rj là những biểu thức tuyến tính (bậc nhất) đối với các biến x1, x2,..., xn

Giới thiệu bài toán QHTTGiới thiệu bài toán QHTT

Một nhà quản lý dự án nông nghiệp có các số liệu sau:

Hãy xác định lượng lúa gạo và lúc mì cần được sản xuất để làm cực đại lợi nhuận của dự án.

Bài toán lập kế hoạch sản xuất (bài toán cực đại)

Số liệu đầu vào đối với một đơn vị sản phẩm

Loại sản phẩm Khả năng lớn nhất của các nguồn tài nguyên

sẵn cóLúa gạo Lúa mì

Diện tích [Ha/tấn] 2 3 50 HaLượng nước [103m3/tấn] 6 4 90 x 103m3

Nhân lực [công/tấn] 20 5 250 côngLợi nhuận [USD/tấn] 18 21

Giới thiệu bài toán QHTTGiới thiệu bài toán QHTT

Bước 1: Xác định các biến quyết định Gọi x1, x2 lần lượt là số tấn lúa gạo và lúa mì cần

được sản xuất

Bước 2: Xác định hàm mục tiêu Hàm mục tiêu là lợi nhuận Z

Cực đại lợi nhuận: Z = 18x1 + 21x2 Max

Bước 3: Xác định các ràng buộc Ràng buộc về diện tích: 2x1 + 3x2 < 50

Ràng buộc về lượng nước: 6x1 + 4x2 < 90

Ràng buộc về nhân lực: 20x1 + 5x2 < 250

Các biến không âm x1, x2 > 0

Bài toán lập kế hoạch sản xuất (bài toán cực đại)

Giới thiệu bài toán QHTTGiới thiệu bài toán QHTT

Một nhà quản lý trại gà dự định mua 2 loại thức ăn để trộn ra khẩu phần tốt và giá rẻ.

Mỗi đơn vị thức ăn loại 1 giá 2 đồng có chứa:

5g thành phần A

4g thành phần B

0,5g thành phần C

Mỗi đơn vị thức ăn loại 2 giá 3 đồng có chứa:

10g thành phần A

3g thành phần B

không có chứa thành phần C

Trong 1 tháng, 1 con gà cần tối thiểu 90g thành phần A, 48g thành phần B và 1,5g thành phần C.

Hãy tìm số lượng mỗi loại thức ăn cần mua để có đảm bảo đủ nhu cầu tối thiểu về dinh dưỡng cho 1 con gà với giá rẻ nhất.

Bài toán trộn khẩu phần (bài toán cực tiểu)

Giới thiệu bài toán QHTTGiới thiệu bài toán QHTT

Bước 1: Xác định các biến quyết định Gọi x1, x2 lần lượt là số lượng đơn vị thực phẩm loại 1

và loại 2 cần cho 1 con gà trong 1 tháng

Bước 2 : Xác định hàm mục tiêu Hàm mục tiêu là giá mua Z

Cực tiểu giá mua: Z = 2x1 + 3x2 Min

Bước 3 : Xác định các ràng buộc Thành phần A : 5x1 + 10x2 > 90

Thành phần B : 4x1 + 3x2 > 48

Thành phần C : 0.5x1 > 1,5

Các biến không âm: x1, x2 > 0

Bài toán trộn khẩu phần (bài toán cực tiểu)

Mô hình tổng quát của bài toán QHTTMô hình tổng quát của bài toán QHTT

Hàm mục tiêu:

Z = c1x1 + c2x2 + .... + cnxn Max

Ràng buộc:

a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn < b1

a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn < b2

…

am1x1 + am2x2 + .... + amnxn < bm

xj > 0 , j = 1,n

Bài toán cực đại chuẩnÝ nghĩa (có n sản phẩm và m tài nguyên)• xj là số đơn vị sản phẩm

thứ j• cj là lợi nhuận do 1 đơn

vị sản phẩm thứ j đem lại

• aij là lượng tài nguyên thứ i cần cho 1 đơn vị sản phẩm thứ j

• bi là tổng lượng tài nguyên thứ i sẵn có

Mô hình tổng quát của bài toán QHTTMô hình tổng quát của bài toán QHTT

Hàm mục tiêu:

Z = c1x1 + c2x2 + .... + cnxn Min

Ràng buộc:

a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn b2

…

am1x1 + am2x2 + .... + amnxn bm

xj > 0 , j = 1,n

Bài toán cực tiểu chuẩn

Quá trình giải bài toán QHTTQuá trình giải bài toán QHTT

Bước 1: Nhận dạng các biến quyết định và hàm mục tiêu

Bước 2: Diễn tả hàm mục tiêu và các ràng buộc theo các biến quyết định

Bước 3: Kiểm tra xem có phải tất cả các quan hệ trong hàm mục tiêu và trong các ràng buộc có phải là quan hệ tuyến tính không. Nếu không, phải tìm một mô hình phi tuyến phù hợp để giải.

Bước 4: Kiểm tra vùng không gian lời giải để xem xét điều kiện nghiệm của bài toán. Các khả năng có thể xảy ra là:

a) Không có vùng khả thi (vô nghiệm) nới lỏng các ràng buộc

b) Vùng khả thi vô hạn và không có điểm cực trị cấu trúc lại mô hình, có thể đưa thêm ràng buộc vào mô hình

c) Vùng khả thi vô hạn và có điểm cực trị sang bước 5

d) Vùng khả thi có giới hạn sang bước 5

Phương pháp giải bài toán QHTTPhương pháp giải bài toán QHTT

Bước 5: Tìm ra các lời giải tối ưu có thể có. Việc tìm lời giải này có thể dùng:

Phương pháp đồ thị (graphical method)(chỉ áp dụng cho bài toán có 2 biến hoặc 3 biến)

Phương pháp đơn hình (simplex method)(giải bằng tay SV tự đọc thêm)

Sử dụng phần mềm máy tính• Công cụ Solver trong Excel

• Hàm FindMaximum/FindMinimum trong Mathematica

• Phần mềm LINGO

• Phần mềm ABQM

• …

Phương pháp đồ thịPhương pháp đồ thị

Dùng đường đẳng lợi/phí (iso-profit/cost line)

10

50

5025100

y

x

22.5

16.67

15

C

(D3)

(D1)

(D2)

Z = 0

Z = 18x+21y Max

2x+3y<=50 (D1)

6x+4y<=90 (D2)

20x+5y<=250 (D3)

x,y>=0

Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Phương pháp đồ thịPhương pháp đồ thị

Các điểm đỉnh là giao điểm của các ràng buộc nằm trong không gian lời giải gọi là các đỉnh của không gian lời giải.

Một kết quả quan trọng trong lý thuyết QHTT là: Nếu bài toán QHTT có lời giải tối ưu thì lời giải sẽ nằm trên các đỉnh của không gian lời giải.

Áp dụng kết quả này điểm tìm giá trị của hàm mục tiêu bằng cách so sánh giá trị của các đỉnh của không gian lời giải.

Dùng điểm đỉnh (corner point/extreme point)

Phương pháp đồ thịPhương pháp đồ thị

So sánh giá trị tại 5 đỉnh O, A, B, C, D

Đỉnh O (0, 0) ZO = 0

Đỉnh A (12.5, 0) ZA = 18 x 12.5 + 21 x 0 = 225

Đỉnh B (11, 6) ZB = 18 x 11 + 21 x 6 = 324

Đỉnh C (7, 12) ZC = 18 x 7 + 21 x 12 = 378

Đỉnh D (0, 16.67) ZD = 18 x 0 + 21 x 16.67 = 350.07

Zmax = ZC = 378

Dùng điểm đỉnh (corner point/extreme point)

x1

* 7

x2

*

12

Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Mathematica’s FindMaximum/Minimum Mathematica’s FindMaximum/Minimum

LINGOLINGO

16

ABQMABQM

Excel’s SolverExcel’s Solver

File > Options > Add-Ins

Excel’s SolverExcel’s Solver

ⓐ

ⓑ

ⓒ

ⓓ

Excel’s SolverExcel’s Solver

Excel’s SolverExcel’s Solver

Excel’s SolverExcel’s Solver

Phân tích tài nguyên Diện tích: Khi thêm (hoặc giảm) 1ha tài nguyên diện tích thì lợi nhuận tăng thêm (hoặc giảm) 5.4USD (cột Shadow Price) và điều này chỉ đúng trong phạm vi diện tích từ 50-10 (cột Allowable Decrease) đến 50+17.5 (cột Allowable Increase). Nói cách khác trong phạm vi diện tích từ 40ha đến 67.5ha, cứ tăng thêm 1ha thì lợi nhuận tăng thêm 5.4USD.Phân tích lợi nhuận của lúa gạo: Khi lợi nhuận đơn vị thay đổi trong phạm vi 18-4 (cột Allowable Decrease) đến 18+13.5 (cột Allowable Increase) thì phương án tối ưu không đổi (giả sử các yếu tố khác không đổi).